Mechanické vlnění Vlnění – představuje šíření nějakého rozruchu prostorem (např.deformace pružného tělesa, změny teploty, tlaku, hustoty, intenzity silového pole,…) Tyto veličiny se v dané vlnění přenáší energii prostorem místě prostoru mění s časem (kmitají) vlny se šíří konečnou rychlostí c 2 základní typy vlnění: A) Vlnění podélné (longitudinální) - kmity se dějí ve směru šíření vlny (např. elastická podélná vlna v pevných látkách, kapalinách a plynech) B) Vlnění příčné (transverzální) - kmity se dějí kolmo k šíření vlny (např.elmag.vlny, elastická příčná vlna v pevných látkách)
Mechanické vlnění x=0
časové zpoždění vlny: τ=
x c
c x t + ∆t
t x=0
c
t −τ
u ( x, t ) = u (0, t − x / c)
x t
Funkce u(x,t) popisuje veličinu, která se šíří ve směru osy x (např.výchylku částic prostředí) Vlnění šířící se ve směru osy x :
u = f (t − x / c)
Vlnění šířící se proti směru osy x : u = f (t + x / c) Harmonické vlnění:
u ( x, t ) = A cos[ω(t − x / c) + ϕ0 ]
Charakteristiky vlnění Fáze vlnění:
ϕ = ω(t − x / c) + ϕ0
Fázová rychlost:
ϕ = konst.
dx dt
2π = 2πf T
Kruhová frekvence:
ω=
Vlnová délka:
λ = cT =
Vlnové číslo (vektor):
k=
Fázový rozdíl:
∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = 2π
Harmonická vlna:
c=
dϕ = 0
dráha, kterou urazí vlna za dobu jedné periody
c f
ω 2π = c λ
r ω r 2π r k = n= n λ c x2 − x1 λ
u ( x, t ) = A cos[ωt − kx + ϕ0 ] u ( x, t ) = A sin[ωt − kx + ϕ0 ]
u ( x, t ) = Aei[ ωt − kx + ϕ0 ]
Vlnová rovnice Vlnění musí splňovat:
u = f (t m x / c) = f ( s) netlumené vlnění šířící se homogenním izotropním prostředím
• změna podle času: ∂u ∂f ∂s ∂f = ⋅ = ∂t ∂s ∂t ∂s
∂ 2u ∂ 2 f = ∂t 2 ∂s 2
• změna podle souřadnice x: ∂u ∂f ∂s ∂f ⎛ 1 ⎞ = ⋅ = ⋅⎜m ⎟ ∂x ∂s ∂x ∂s ⎝ c ⎠
1 ∂ 2u ∇ u= 2⋅ 2 c ∂t 2
Obecné řešení:
∂ 2u ∂ 2 f = 2 2 ∂x ∂s
2
1 ∂2 f 1 ∂ 2u ⎛ 1⎞ ⋅⎜m ⎟ = 2 ⋅ 2 = 2 ⋅ 2 c ∂s c ∂t ⎝ c⎠
Vlnová rovnice
u = f (t − x / c) + g (t + x / c)
rychlost šíření vln
Vlnová rovnice jelikož vlnová rovnice je lineární, platí princip superpozice řešení: u = ∑ uk ...řešení
u1 , u2 , u3 ...řešení
k
r n
Elementární řešení vlnové rovnice: A) Rovinná vlna:
rr r u ( r , t ) = f [ ωt − k r ]
- harmonická rovinná vlna:
ϕ = konst.
rr r u (r , t ) = A cos[ωt − k r + ϕ0 ] rr r i[ ωt − k r + ϕ0 ] u (r , t ) = Ae
rychlost šíření vlnového rozruchu závisí na frekvenci ω: každou vlnu lze složit superpozicí rovinných vln
r i[ ωt − krrr ] r u (r , t ) = ∑ A(k )e r k
r ω = ω(k )
disperze vln
Vlnová rovnice B) Sférická (kulová) vlna: r r = r = x2 + y2 + z 2 - rozruch v daném čase t závisí pouze na vzdálenosti - hledejme tedy řešení vlnové rovnice ve tvaru: u = u (r , t )
u=
f (r − ct ) g (r + ct ) + r r
obecné řešení
u1 =
g (r − ct ) r
divergentní sférická vlna
u2 =
g (r + ct ) r
konvergentní sférická vlna ϕ = konst.
- harmonická sférická vlna: A cos(ωt m kr + ϕ0 ) r A u = e i[ ωt m kr + ϕ0 ] r
u=
Z
Σ
Vlnová rovnice hledejme řešení vlnové rovnice ve tvaru harmonické vlny r r u (r , t ) = U (r )eiωt
∇ 2u =
1 ∂u ⋅ c 2 ∂t 2 2
∇ 2U + k 2U = 0
∇ 2u = ∇ 2Ueiωt ∂ 2u 2 iω t = − ω Ue ∂t 2
Helmholzova rovnice
diferenciální rovnice pro amplitudu vlnového pole
Vlastnosti vlnění Huygens-Fresnelův princip: vlnění se šíří prostorem tak, že každý bod, do něhož vlnění dospěje, se stává zdrojem elementárního vlnění, které se rozšíří na elementární vlnoplochu, jejíž každý bod se opět stává zdrojem vlnění. Elementární vlny z bodů ležících na stejné vlnoploše se skládají a vytvářejí vlnoplochu v následujícím čase. Vlnoplocha – plocha na níž má vlna v daný ϕ = konst. časový okamžik konstantní fázi
Paprsek – normála k vlnoploše (pro izotropní prostředí) Σt
Σt +∆ t
Vlastnosti vlnění Interference (skládání) vln: -podle principu superpozice platí, že vlny se v prostředí šíří nezávisle na ostatních vlnách r r u (r , t ) = ∑ uk (r , t ) - výsledná vlna je součtem dílčích vln, které se skládají k Interference dvou vln stejné frekvence: u1 ( x, t ) = A1 cos(ωt − kx + ϕ1 )
u2 ( x, t ) = A2 cos(ωt − kx + ϕ2 )
u1 + u 2 = cos( ωt − kx ) ( A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2 ) − sin( ω t − kx ) ( A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 )
u = u1 + u2 = A cos(ωt − kx + ϕ) = A cos(ωt − kx) cos ϕ − A sin(ωt − kx) sin ϕ
Amplituda A = A + A + 2 A1 A2 cos( ϕ 2 − ϕ1 ) 2
2 1
2 2
tg ϕ =
A1 sin ϕ1 + A2 sin ϕ 2 A1 cos ϕ1 + A2 cos ϕ 2
Vlastnosti vlnění Interference dvou vln stejné frekvence: - výsledné vlnění je charakterizováno v různých místech prostoru různou amplitudou A (pravidelné kolísání amplitudy resp. intenzity vlny) Amplituda závisí na fázovém rozdílu vlnění v daném místě
Fázový rozdíl:
A 2 = A12 + A22 + 2 A1 A2 cos( ϕ 2 − ϕ1 )
∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 = 2π
∆d λ
Intenzita vlnění je úměrná čtverci amplitudy
Interferenční minima: cos ∆ϕ = −1
∆ϕ = π + 2πn
Interferenční maxima: cos ∆ϕ = 1
∆d = (2n + 1)
n = 0,±1,±2,...
∆ϕ = 2πn
∆d = n
λ 2
λ 2
Vlastnosti vlnění Interference vlnění: - intenzita (resp.amplituda) vlnění je v daném místě prostoru zesílena nebo zeslabena v závislosti na frekvenci a fázi vlnění
konstruktivní interference Slyšitelný zvuk
destruktivní interference λ = c / f = 22 − 0,02 m
Vlastnosti vlnění Interference vlnění – aplikace: tlumení šumu (hluku) destruktivní interferencí interferenční metody měření Zdroj analýzou interferenčního signálu můžeme získat informace o fyzikálních vlastnostech měřeného objektu (rychlost, tvar, …)
měřený objekt
interferenční signál
Vlastnosti vlnění Stojaté vlnění: - důležitý případ interference dvou stejných vln, šířících se proti sobě u1 ( x, t ) = A0 sin(ωt − kx)
u2 ( x, t ) = A0 sin(ωt + kx)
u = u1 + u2 = 2 A0 cos(kx) sin(ωt ) = A sin(ωt ) Amplituda stojatého vlnění závisí na poloze
A = 2 A0 cos(kx)
vzdálenost sousedních uzlů nebo kmiten - λ/2
- nevzniká postupné vlnění - vzniknou harmonické kmity se stejnou fází - výsledná amplituda kmitů závisí periodicky na vzdálenosti Maxima amplitudy (kmitny): Minima amplitudy (uzly):
cos(kx) = ±1 cos(kx) = 0
x=n
λ 2
x = (2n − 1)
λ 4
Vlastnosti vlnění Příčné stojaté vlnění: Stojaté vlnění vznikne vždy, když proti sobě postupují stejně polarizované vlny se stejnou frekvencí Stojaté vlnění vzniká při odrazu postupné vlny na pevném resp. volném konci Pevný konec – odraz s opačnou fází na pevném konci je uzel Volný konec – odraz se stejnou fází na volném konci je kmitna
Vlastnosti vlnění stojaté vlnění se projeví jako chvění materiálu. stojatého vlnění se využívá u mnoha hudebních nástrojů
A) Chvění oboustranně omezené bodové řady: - oba konce jsou pevné (např.struna) – na koncích vznikají 2 uzly L=n
λ 2
fn =
c c =n λn 2L
f1 =
c 2L
B) Chvění jednostranně omezené bodové řady: - jeden konec je pevný, druhý volný (např.píšťala) - na koncích vzniká uzel a kmitna λ L = (2n − 1) 4
c c fn = = (2n − 1) λn 4L
f1 =
c 4L
základní frekvence
Vlastnosti vlnění chvění struny
chvění píšťaly
Frekvence zvuku závisí poté na délce a rychlosti šíření vlnění v daném materiálu (materiál struny, vzduchový sloupec)
Vlastnosti vlnění Polarizace vlnění: Polarizované vlnění – příčné vlnění, jehož amplituda je různá v různých směrech kolmých na směr šíření
Lineárně polarizované vlnění - příčné vlnění, jehož všechny výchylky leží ve všech místech ve stejné rovině
Lom a odraz vlnění: - dopadá-li rovinná vlna na rovinné rozhraní potom platí zákon odrazu a lomu α = α′
sin β c2 = sin α c1
sin β b2 c2 ∆t = = sin α b1 c1∆t
Vlastnosti vlnění Úplný (totální) odraz vlnění:
c1 < c2
- pokud platí: c1 < c2 sin β c2 = >1 sin α c1 mezní (kritický) úhel:
c sin α m = 1 = n12 c2
nenastává lom vlnění, dopadající vlna se totálně odráží na rozhraní
Příklad: (odraz zvukových vln na hladině jezera) c1 = 340 m/s c2 = 1450 m/s
c α m = arcsin 1 = 13o30′ c2
téměř všechno šikmo dopadající vlnění se totálně odráží a nad hladinou se tedy šíří velmi dobře zvuk
Vlastnosti vlnění -
Difrakce (ohyb) vlnění: odchylky od přímočarého šíření vlnění difrakci lze pozorovat na překážkách v cestě šíření vln vlnění proniká i do oblasti tzv. geometrického stínu oblast geom.stínu
P Z
dS M Σ
rMP α r n
M
P Σ Amplituda vlnění v bodě P
eikrMP U ( P) = K ∫ U ( M ) cos α ⋅ dS rMP S
Vlastnosti vlnění Difrakce vlnění -
ohyb vlnění (difrakce) se projeví více, jestliže bude překážka v cestě šíření vlnění rozměrově srovnatelná s vlnovou délkou λ
λ << d
λ >> d
λ >> d
λ << d
Vlastnosti vlnění Dopplerův jev: Pokud se oscilátor, který je zdrojem vlnění, a pozorovatel vůči sobě pohybují, potom při vzájemném přibližování je frekvence přijímaného vlnění vyšší a při vzdalování nižší. - budeme předpokládat, že prostředí je v klidu (nemá vliv na vnímanou frekvenci)
a) pohyb zdroje, pozorovatel v klidu c vZ
Z
P
Vlnová délka: λ′ = λ − ∆λ =
∆λ = vZ T =
vZ f
c − vZ f
Vnímaná frekvence vlnění: f f′= nastává zhuštění vln
c c c = = f λ′ λ − ∆λ c − vZ
Vlastnosti vlnění b) pohyb pozorovatele, zdroj v klidu c
f Z
vP
f′=
P
c) pohyb pozorovatele i zdroje
vZ
c + vP c + vP = f λ c
Vnímaná frekvence vlnění: f′=
c Z
Vnímaná frekvence vlnění:
vP
P
rychlosti jsou kladné v tom případě, když se zdroj a pozorovatel vzájemně přibližují
c + vP c + vP = f λ − ∆λ c − vZ
Vlastnosti vlnění vZ
• obecně platí: f′= f
αZ
Z
P
c + vP cos α P c − vZ cos α Z
αP vP
Příklad: (Dopplerův jev – ponorky) vZ = 0
c
f0
vP
c
vP << c
f2
f1 2
c c + vP cos α P ⎛ 2v cos α P ⎞ ⎛ v cos α P ⎞ f 2 = f1 = f0 ≈ f 0 ⎜1 + P ⎟ ⎟ ≈ f 0 ⎜1 + P c − vP cos α P c − vP cos α P c c ⎠ ⎝ ⎠ ⎝
Dopplerův posuv frekvence fD:
f D = f0
2vP cos α P c
Vlastnosti vlnění Příklad: (Dopplerův jev – míjející se vlaky) c vZ = 60 km/h
vZ
vP
vP = 100 km/h P
Z
1 c = 340 m/s vP
f = 1000 Hz
c vZ
P
Z
2
c + vP f1′ = f =& 1137 Hz c − vZ
f 2′ = f
c − vP =& 875 Hz c + vZ
Vlastnosti vlnění Aplikace Dopplerova jevu: - Dopplerův jev má široké spektrum aplikací jak pro mechanické tak pro elektromagnetické vlnění
měření vibrací konstrukcí (akustické, optické) měření rychlosti, rychlosti proudění Dopplerovský radar (metrologie, policie) Dopplerovský sonar Dopplerovská ultrasonografie,… Dopplerovská sonografie
Vlastnosti vlnění Další aplikace Dopplerova jevu:
Dopplerovský radar f D = ±2vf 0 / c v = ± cf D / 2 f 0
Vlastnosti vlnění Dopplerovské měření rychlostí proudění a vibrací akustické
original frequency
transmitted freq + reflected freq 2
1 0.5
1
0
0
-0.5
-1
-1
0
500
1000
-2
0
rectified
500
1000
filtered
4
3
3
2
2 1
1 0
0
500
1000
0
0
1000
2000
Dopplerovská laserová velocimetrie a vibrometrie
Vlastnosti vlnění Rázová vlna:
Machova linie M =2
v α
p
t sin α = c / v dochází ke skokové změně (poruše, rázu) hustoty a tlaku – vzniká rázová vlna, která se šíří prostředím
Machovo číslo: M=v/c
Vlnění v elastickém materiálu Šíření rovinné podélné vlny ve směru osy x v elastickém materiálu: -
kmitání částic prostředí ve směru šíření vlny s různými fázemi v různých bodech
-
nastává zhušťování a zřeďování (změny objemu elementů ve směru osy x)
-
poměrné změně délky objemového elementu ∆V přísluší přídavný tlak pa resp. normálové napětí σn ua c y ≅ x2 Kapaliny,plyny pa ∆V ∂u pa = − K = −K V ∂x ∆x ∆x ′ x ≅ x1 z ≅ x3
ub
Pevné látky (tyč)
∂u σ n = Eε = E ∂x
ε=
∆x ′ − ∆x ∆u = ∆x ∆x
∆V S ∆ u ∆ u = = V S∆x ∆x
ε=
∂u ∂x
∆V ∂u = V ∂x
Vlnění v elastickém materiálu podélná vlna v ideální tekutině (G = 0, σij = 0), šířící se ve směru osy x1 r r u = u ( x1 , t )
Výchylka:
r r r r r r u = i u1 + j u2 + k u3 = u L + uT
Pohybová rovnice:
r r r ρa = f E + f O
3 dV p = −K = − Kϑ = − K ∑ ε kk V k =1
ε11 =
∂u ∂u ∂u1 =/ 0, ε 22 = 2 = 0, ε 33 = 3 = 0 ∂ x1 ∂ x2 ∂ x3
p = −σ kk = − Kε11 = − K
∂u1 ∂ x1
k = 1,2,3
zanedbáme objemové síly
r f O =& 0
3 ∂σ ∂ 2ui ij ρ 2 =∑ ∂t j =1 ∂x j
∂ 2u1 K ∂ 2u1 = ⋅ 2 ∂x12 ρ ∂t
vlnová rovnice ∂ 2u1 1 ∂ 2u1 = ⋅ ∂x12 cL2 ∂t 2
cL =
K ρ
Vlnění v elastickém materiálu elastickými materiály se mohou šířit jak podélné (tlakové) vlny, tak příčné (smykové) vlny. Výchylka:
zanedbáme objemové síly
r r r r r r u = i u1 + j u2 + k u3 = u L + uT
Pohybová rovnice:
r r r ρa = f E + f O
r f O =& 0
3 ∂σ ∂ 2ui ij ρ 2 =∑ ∂t j =1 ∂x j
- pro vnitřní napětí σij platí podle Hookeova zákona: E ⎡ ν 3 ⎤ σ11 = ε + ε ∑ kk 11 1 + ν ⎢⎣ 1 − 2ν k =1 ⎥⎦
σ12 = Gγ12 = 2Gε12
- uvažujme šíření rovinné vlny ve směru x1: r r u = u ( x1 , t )
σ13 = Gγ13 = 2Gε13
1 ⎛ ∂ui ∂uk ⎞ ⎟⎟ + ε ik = ⎜⎜ 2 ⎝ ∂ xk ∂ xi ⎠ σik = −σ ki
Vlnění v elastickém materiálu Šíření rovinné vlny v elastickém materiálu ∂σ11 ∂ 2 u1 E (1 − ν ) ∂ 2 u1 =ρ 2 = 2 (1 + ν )(1 − 2ν ) ∂x1 ∂x1 ∂t ∂σ 21 ∂ 2u2 ∂ 2u2 =G =ρ 2 ∂x1 ∂x12 ∂t
Podélné vlnění
Příčné vlnění
cL =
E (1 − ν ) ρ(1 + ν )(1 − 2ν )
cT =
G ρ
∂σ 21 ∂ u2 ∂ u2 =G = ρ ∂x1 ∂x12 ∂t 2 2
2
∂ uj 2
vlnová rovnice
∂x12
1 ∂ uj = 2⋅ 2 c ∂t
Tekutiny (kapaliny,plyny) - šíří se prakticky pouze podélné vlny
2
G =& 0
c L > cT
Pro šíření podélných vln v tenké tyči
c L =& E / ρ
cL =
K ρ
cL = κ
p ρ
kapaliny plyny
Vlnění v elastickém materiálu rychlost šíření vln v materiálech Materiál
Fázová rychlost cL [m/s]
Fázová rychlost cP [m/s]
5900-6000
3260
hliník
6320
3080
sklo
5570
3515
dřevo
4300
900
beton
5400
3400
rtuť
1450
-
voda
1480
-
vzduch (20°C)
340
-
vzduch (0°C)
331,8
-
ocel
suchý vzduch:
cL =& (331,82 + 0,61t ) m/s
Vlastnosti vlnění vlnění přenáší energii prostorem
!!!
Zářivý tok (tok energie): - energie, která projde plochou za čas dt Objemová hustota energie: Proudová hustota energie: - energie, která za jednotku času projde jednotkovou plochou kolmou ke směru šíření vlny
j=
P=
dW dt
[W]
w=
dW dV
[J/m 3 ]
j=
dP dS ⊥
[ W/m 2 ]
dW dW =c = cw dS ⊥ dt dV
Intenzita vlnění: T 1 2 - časová střední hodnota proudové hustoty energie I = j = j d t [ W/m ] ∫ T 0
Vlastnosti vlnění Energie přenášená mechanickým vlněním: na deformaci objemu dV je nutné vydat energii dW, která je c spotřebována na práci dA d A = σ dS du σ
σ
• Objemová hustota mech.energie vlnění: ∂u dW dA σ dS du ⎛ ∂u ⎞ w= = = =σ = ρc 2 ⎜ ⎟ ∂x dV dV dS dx ⎝ ∂x ⎠
w = ρω2u02 cos[ω(t − x / c)]
dS
2
σ=K
∂u ∂u = ρc 2 ∂x ∂x
u ( x, t ) = u0 sin[ω(t − x / c)]
• Intenzita vlnění: 1 I= j = T
T
∫ 0
T
T
1 1 1 j dt = ∫ w ⋅ c dt = ∫ ρ cω2u02 cos 2 [ω(t − x / c)] dt = ρ cω2u02 T 0 T 0 2
- mechanická energie, kterou vlna za časovou jednotku přenese přes jednotkovou plochu kolmou ke směru šíření vlny
I=
1 ρ cω2u02 2
Vlastnosti vlnění Intenzita vlnění kulových vln: zářivý tok prošlý plochou S⊥:
I1 =
P S1
I2 =
P S2
S1 = 4πr
2 1
P = IS ⊥
r1 Z
S 2 = 4πr
I 2 S1 r12 = = 2 I1 S 2 r2
S1
2 2
S2 r2
intenzita kulové vlny ubývá se čtvercem vzdálenosti
Válcové vlny: šíří se radiálním směrem od zdroje u (r ) =
A sin(ωt − kr + ϕ) r
Vlastnosti vlnění Příklad: (detonační vlna) - určete intenzitu kulově symetrické detonační vlny s tlakovou energii výbuchu W=1010 J ve vzdálenosti 1, 10 a 20 km od výbuchu (exploze trvala ∆t=1,5s) Intenzita sférické vlny:
R1 = 1 km ⇒
I=
P E = S 4πR 2 ∆t
I1 = 531 W/m 2
R2 = 10 km ⇒
I 2 = 5,31 W/m 2
R3 = 20 km ⇒
I 3 = 1,3 W/m 2
Vlastnosti vlnění Grupová rychlost: fázová rychlost závisí na frekvenci (popř.vlnové délce) uvažujme případ interference 2 harmonických vln s různými, ale málo odlišnými frekvencemi a vlnovými délkami
u1 = u0 cos[ω1t − k1 x]
u 2 = u0 cos[ω2t − k 2 x]
k −k ⎡ ω − ω1 u = u1 + u 2 = 2u 0 cos ⎢ 2 t− 2 1 2 ⎣ 2
k + k2 ⎤ ⎡ ω + ω2 x ⎥ cos ⎢ 1 t− 1 2 ⎦ ⎣ 2
ω2 = ω1 + ∆ω = ω + ∆ω k 2 = k1 + ∆k = k + ∆k ∆k ⎡ ∆ω u~ t− = 2u 0 cos ⎢ 2 ⎣ 2
⎤ x⎥ ⎦
disperzní prostředí
ω = ω(k )
∆ω =&
dω ∆k dk
⎡⎛ d ω ⎤ ⎞ ∆k ⎤ x ⎥ cos [ωt − kx ] = 2u 0 cos ⎢⎜ t − x⎟ ⎥ cos [ω t − kx ] k d 2 ⎦ ⎠ ⎦ ⎣⎝ Amplituda vlny A( x, t )
Vlastnosti vlnění grupová rychlost:
vg =
fázová rychlost:
c=
dω dk
ω k
Vzniká postupná vlna s amplitudou A(x,t) periodicky závislou na souřadnici a čase u~ = A( x, t ) cos [ωt − kx ]
místa stejné fáze se šíří fázovou rychlostí vlna je rozdělena na jednotlivé grupy (vlnové balíky), které se šíří tzv.grupovou rychlostí vg c
∆k ⎤ ⎡ A( x, t ) = 2u 0 cos ⎢(v g t − x ) ⎥ 2 ⎦ ⎣ V disperzním prostředí bude grupová rychlost odlišná od fázové rychlosti !!! - může mít i opačný směr I ∼A2 ⇒ energie vlny se šíří grupovou rychlostí !!!
Vlastnosti vlnění Příklady vln:
Vlny na mělké vodě c = vg = gh
nedochází k disperzi
Tsunami fázová rychlost nezávisí na vlnové délce vlnová délka několik desítek kilometrů h =& 5 km
- hloubka oceánu
c = v g = gh =& 800 km/h
