Mechanické kmitání (oscilace) • pohyb, při kterém se těleso střídavě vychyluje v různých směrech od rovnovážné polohy – př. kyvadlo
Příklady kmitavých pohybů • kyvadlo v pendlovkách • struna hudebního nástroje • chvění bubínku ucha při příjmu zvuku • pulsování srdce • píst v motoru, tlumiče pérování,... Souhrnně nazýváme tyto „stroje“ jako mechanické oscilátory Mimo mechaniku: • střídavý proud v el. síti • vysílání a příjem signálů z rozhlasu a televize
Kmitavý pohyb – základní pojmy • Perioda (doba kmitu) T [s] - doba, za kterou proběhne jeden kmit a oscilátor dospěje do počáteční polohy • Frekvence (kmitočet) f [Hz] - hertz – počet kmitů za jednu sekundu
1 f T
• Úhlová frekvence ω [rad/s]
2 . f
2 T
převedení kmitů na kruhový pohyb
příklady • rozsah vnímání lidského ucha: asi 16 Hz – 16 kHz • přenos rozhlasových vln: frekvence od 150 kHz do 100 MHz
• určete periodu a frekvenci tepu vlastního srdce
• Okamžitá výchylka y [m] (výchylka v daném okamžiku) - periodicky se mění s časem, nabývá kladných a záporných hodnot • Amplituda výchylky ym [m] je absolutní hodnota největší výchylky
Harmonické kmitání • Kmitavé pohyby, při kterých se časový průběh výchylky pravidelně opakuje, jsou periodické kmitavé pohyby • Zvláštním případem jsou pohyby harmonické, které lze popsat rovnicí y ym sin t • udává závislost okamžité výchylky na čase • grafem je sinusoida
; • • • • •
ym amplituda – maximální výchylka y okamžitá výchylka – výchylka v daném čase T perioda – doba jednoho kmitu t čas určete z grafu periodu, frekvenci, amplitudu
úlohy • určete výchylku tělesa v čase t = 0,3 s, jestliže oscilátor vykonává harmonický pohyb s frekvencí 0,2 Hz a s amplitudou 12 cm. • a v čase 6,25 s? • určete, v jakém čase poprvé (podruhé) nastává výchylka 6 cm.
úlohy • určete výchylku tělesa v čase t = 0,5 s, jestliže oscilátor vykonává harmonický pohyb s frekvencí 0,4 Hz a s amplitudou 10 cm. • y = 9,51 cm
• určete, v jakém čase poprvé (podruhé) nastává výchylka 7 cm. • t1 = 0,31 s , t2 = 0,94 s
• T = 1,6 s • amplituda = 4,3 mm • určete výchylku v čase – 0,7 s – 0,8 s – 2,1 s
• určete v jakých časech nastává výchylka – – –
4 mm 8,6 mm - 3,5 mm
Fáze kmitavého pohybu • kmitavý pohyb nemusí začínat v rovnovážné poloze • v porovnání s pohybem tělesa po kružnici lze pak zavést úhel zvaný počáteční fáze 0
rovnice kmitání s počáteční fází pak je
y ym sin(t 0 )
Složené kmitání • Jestliže hmotný bod koná současně několik harmonických pohybů • Využíváme princip superpozice
aplet Skládání vln - rázy
Dynamika kmitavého pohybu • Příčinou kmitavého pohybu je síla pružnosti (u pružiny) nebo síla tíhová (u kyvadla). • Pomocí 2. Newtonova zákona platí:
F ma m y 2
• což je pohybová rovnice harmonického kmitání
Závaží na pružině • Vlastnosti jsou dány hmotností m zavěšeného tělesa a tuhostí pružiny k, což je poměr působící síly a příslušné výchylky.
F k.y
N • jednotkou je m
(newton na metr)
• působící síla je úměrná výchylce: F = - ky a také F = - mω2y • tedy - ky = - mω2y
doba kmitu pružiny • je úměrná hmotnosti (4krát větší hmotnost znamená 2krát větší periodu) • je nepřímo úměrná tuhosti pružiny
příklady 1. určete tuhost pružiny, jestliže závaží o hmotnosti 150 g ji prodloužilo o a) 10 cm b) 2 cm 2. určete periodu kmitání závaží, které prodlouží danou pružinu o 5 cm 3. určete frekvenci kmitání tělesa na pružině s kilogramovým závažím, je-li její tuhost 60 N/m.
příklady • Jak se změní perioda harmonického kmitání, pokud k pružině místo měděné kuličky připevníme hliníkovou kuličku o témže průměru? Hustota mědi je 8930 kg.m-3, hustota hliníku 2700 kg.m-3
Kyvadlo • matematické kyvadlo - hmotný bod na nehmotném závěsu • příčinou pohybu je tíhová síla • pro periodu a frekvenci platí : (l je délka závěsu)
Perioda kmitání je při konstantním tíhovém zrychlení určena pouze délkou závěsu. • Určete, jakou periodu má kyvadlo s délkou závěsu 5 cm, 50 cm, 1 m, 10 m. • Určete délku kyvadla, které má periodu kmitání 1 s. • Jak se změní perioda kyvadla, jestliže ho zkrátíme o 25 % délky? • Jak se změní perioda kyvadla, jestliže ho přeneseme ze Země na Měsíc? gM = gZ / 6
• Kyvadlo se objevuje v historii lidstva velmi brzy jako jednoduché zařízení pro měření času. • Konstrukcí kyvadlových hodin proslul holandský fyzik Christian Huygens.
Tlumené kmitání • vlastní kmitání oscilátoru je vždy tlumené • příčinnou je odpor prostředí a tření v materiálu • zmenšuje se amplituda kmitů
Nucené kmitání • netlumené harmonické kmitání, které je vynucováno vnější silou • oscilátor při nuceném kmitání kmitá vždy s frekvencí vnějšího působení
Rezonance • nastává u nuceného kmitání, kdy frekvence nuceného kmitání je shodná s frekvencí vlastního kmitání oscilátoru: = 0 • amplituda výchylky dosáhne největší hodnoty
význam rezonance • v hudbě (rezonanční desky nástrojů – houslí, kytar, apod., ozvučnice reproduktorů) • dutiny ve sluchovém ústrojí • v elektrotechnice a ve sdělovací technice • rozhoupání dětské houpačky
negativní vlivy rezonance • strojní zařízení vykonávající rotační pohyb (turbíny, velké motory,…) musejí být uložena na podlaze s jinou vlastní frekvencí kmitání (a jejích násobků) než je frekvence otáčení stroje • rozkmitání vozidla na panelové vozovce • rozkmitání mostu při průchodu vojska s pořadovým krokem • jak těmto nežádoucím vlivům zabráníme?
příklady • učebnice str. 24 • určete, při jaké rychlosti automobilu jedoucího po betonové dálnici dojde k rezonanci, jestliže délka panelů je 10 m a vlastní frekvence kmitů automobilu je 2,5 Hz • určete vlastní periodu kmitů vody v nádobě, kterou nese chlapec s délkou kroku 0,6 m a která se v nádobě rozkmitala při rychlosti 3 m/s.
