Mátrixok és determinánsok
2
3
Mátrixalgebra
A mátrixalgebra kifejezést egy
A mátrix fogalma, alapműveletek
kicsit
nagyképűen
használjuk:
ennek
tudományágnak
a
csupán
leegyszerűsített A mátrix olyan számtáblázat, amelynek m sora és n nagyon oszlopa van, ahol m és n pozitív egész számok. A változatát tárgyaljuk. táblázatban tetszőleges valós számok szerepelhetnek, Előfordul, hogy a mátrix elemei azaz a mátrix elemei tetszőleges valós számok lehetnek
függvények,
halmazok,
vagy
maguk az elemek is mátrixok, illetve egyéb más dolgok. Mi
Definíció: Az m sorban és n oszlopban elrendezett elsősorban
olyan
foglakozunk,
számtáblázatot mátrixnak nevezzük. Jelölés: a mátrixokat általában az ábécé nagybetűivel
mátrixokkal
amelynek
elemei
valós számok, a más eseteket külön jelezzük.
jelöljük, és a számtáblázatot szögletes zárójelek közé tesszük. Példa:
4 3 3 1 A = 2 1 0 5 0 1 2 3 Általánosan: A mátrix elemeit aij-vel jelöljük, ahol az i, az első index, mindig a sor számát jelenti a mátrixban, A számtáblázatokat gyakran így az értékei 1-től m-ig lehetnek a pozitív egész tömböknek nevezik, például számok, a j pedig az oszlop számát jelöli (1 ≤ j ≤ n). a számítástechnikában ez az elnevezés általános.
Tehát:
a11 a 21 . A= . . a m1
a12
. . .
a 22 .
. . . . . .
. .
. . . . . . . . .
a m2
a1n a 2 n . . . a m, n
Az írásmóddal azt fejezzük ki, hogy az A mátrix aij elemekből
A fenti módon megadott A mátrixot m×n (azaz m-szer mátrixnak
áll, m sora
n) típusúnak nevezzük, az m és n számokat szoktuk a oszlopa van. mátrix jelzőszámainak is nevezni.
[ ]
A = a i j , ahol 1 ≤ i ≤ m és 1 ≤ j ≤ n.
és és
a n
4
A mátrix transzponáltja Gyakran előfordul, hogy egy Definíció: Az A=[aij] mátrix transzponáltja az AT=[aji] számtáblázat oszlopait és mátrix, ahol 1 ≤ i ≤ m és 1 ≤ j ≤ n.
sorait
Példa:
Mátrixoknál ezt az eljárást
Az
4 3 3 1 A = 2 1 0 5 0 1 2 3
és
az
4 3 AT = 3 1
2 1 0 5
felcseréljük.
transzponálásnak nevezzük. 0 1 2 Transzponálás = sor és 3 oszlop csere.
mátrixok egymás transzponáltjai.
Speciális mátrixok 1.) Nullmátrix az a mátrix, amelynek minden eleme 0.
A nullmátrixokkal
2.) Vektorok
számításainkban gyakran
Ha a mátrix egyik, vagy a másik jelzőszáma 1, akkor találkozunk. az ilyen számsort, vagy számoszlopot vektornak nevezzük. A vektorokat az ábécé kisbetűivel jelöljük Az oszlopvektor egyetlen oszlopból áll, például: 2 1, 3 a= 0 − 4
Az a vektor egy 4 elemű
Az oszlopvektor alakot tekintjük elsődlegesnek, a (4×1 típusú) oszlopvektor. sorvektort transzponáltként fogjuk fel, így ha egy számegyüttest sorvektor alakban („vízszintesen”) írunk fel, akkor a jelöléskor mindig fel kell tűntetni a transzponálásra utaló jelet, például: bT=[ 5 2 -1 0 7 ] Skalárnak nevezzük azt vektort (mátrixot), amelynek A bT vektor egy 5 elemű egyetlen eleme van.
(1×5 típusú) sorvektor.
A skalár egy tetszőleges valós szám, jelölésére A
skalárokat
általában a görög ábécé kisbetűit használjuk, például: számokat”)
(„a
nem
puszta szoktuk
5 α, β,…,λ, µ.
szögletes
zárójelek
közé
tenni. Megjegyzés:
A
mátrixokat
gyakran
vektorokból
összetetteknek tekintjük, olyan módon, hogy a mátrix oszlopai oszlopvektorok, illetve a sorai sorvektorok. Példa: Adott az A mátrix:
4 3 3 1 A = 2 1 0 5 . 0 1 2 3 4 3 3 1 Az oszlopok: a1= 2 , a2= 1 , a3= 0 , a4= 5 . 0 1 2 3 Az oszlopokat vektorokként
3.) Négyzetes (kvadratikus) mátrixok
A négyzetes mátrix fogalma benne van a nevében: a jelölhetjük. mátrixnak ugyanannyi sora van, mint oszlopa, azaz a „számtáblázat” négyzet alakú. Példa: Az M mátrix 4×4-es, a mátrix rendje 4. M=
3 5 7 0
0 − 2 π 1 2,3 0 2 25 8 4 − 9 6 A mátrix elemei tetszőleges
Elnevezések:
1. Főátló: a „bal felső saroktól a jobb alsó sarokig valós számok lehetnek. húzott átló”, azaz a főátlóban a mátrixnak azok az elemei vannak, amelyeknek a sor- és oszlopindexe azonos. Példánkban a főátlót (fődiagonálist) a
3
1
25
6
számok alkotják. 2. Mellékátló: a főátlóra merőleges átló („a jobb felső saroktól a bal alsó sarokig”). Példánkban a mellékátlót a π 2,3 2 0 számok alkotják. Definíció: Diagonális mátrixnak nevezzük azt a
6 négyzetes mátrixot, amelyben a főátlón kívüli elemek nullák.
Természetesen lehetséges,
Példa: a D mátrix diagonális (a D diagonál mátrix):
hogy a főátlóban is vannak
3 0 D= 0 0
0 0 0 1 0 0 =(jelölés)=< 3 1 25 6 >. 0 25 0 0 0 6
Általánosan: Ha az A mátrix diagonális, akkor: A=< a11 a22 … ann >.
nullák,
sőt,
a
négyzetes
nullmátrix egyúttal diagonál mátrix is.
A diagonális mátrixot a főátlója egyértelműen
Speciálisan: Az olyan diagonális mátrixot, amelynek a megadja, így a jelölése a „<” főátlójában
csupa
egyes
van,
egységmátrixnak és „>” jelek közé írással
nevezzük és En-nel jelöljük (n-ed rendű egységmátrix). történik. Például:
1 0 0 E3=< 1 1 1 >= 0 1 0 . 0 0 1 Definíció:
Háromszög
(trianguláris)
mátrixnak
nevezzük azt a mátrixot, amelyben a főátló alatti, vagy a főátló feletti elemek nullák. Felső háromszög a mátrix, ha főátló felett lehetnek nullától különböző („értékes”) elemek, alsó háromszög mátrix az, ahol a főátló alatt lehetnek nullától Az egységmátrixok, vagy a
különböző elemek.
nullmátrixok Példa: A Tf mátrix felső trianguláris, a Ta pedig alsó négyzetes egyszerre alsó és felső trianguláris: 3 0 T f= 0 0
0 − 2 π 0 2,3 0 0 25 8 0 0 6
3 0 Ta= 5 0
0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 6
.Definíció: Szimmetrikus az a négyzetes mátrix, amelynek minden elemére igaz, hogy ai j=aj i. Ez azt jelenti, hogy az elemek a „főátlóra tükrözöttek”. Példa: Az S mátrix szimmetrikus:
háromszög mátrixok.
7 3 0 S= 4 7
0 4 7 0 0 9 0 − 3 0 9 0 6
Műveletek mátrixok között Három
alapműveletet
értelmezünk:
két
mátrix
összeadását, egy mátrix szorzását egy valós számmal (skalárral), és a mátrixok egymással való szorzását.
Mátrixok összeadása és skalárral való szorzása Definíció: Az A=[ai j] és a B=[bi j] azonos, (m×n) típusú mátrixok összegén azt a C=[ci j] (m×n) típusú mátrixot értjük, amelynek minden elemére igaz: ci j= ai j+ bi j. Példa: Az A és B mátrixok adottak, összegük:
2 5 3 − 2 5 3 A= 0 3 , B= 1 4 , ekkor: A+B=C= 1 7 . 1 − 9 1 9 2 0
Két azonos típusú mátrixot tehát úgy adunk össze, hogy
Definíció: Adott az A=[ai j] mátrix és a λ valós szám. A mátrix λ-szorosán azt a mátrixot értjük, amelynek
a
megfelelő
elemeiket
összeadjuk.
minden eleme az eredeti mátrix elemeinek λ-szorosa, azaz: λ⋅A=[λai j]. Például: Az A mátrix adott és legyen λ=5. Ekkor:
2 5 10 25 15 . A= 0 3 és 5A= 0 1 − 9 5 − 45
A mátrix minden elemét meg kell
szorozni
az
adott
skalárral (számmal).
A kivonást külön nem kell értelmezni, hiszen az visszavezethető
λ=–1-gyel
történő
szorzásra
és A kivonás nem alapművelet.
összeadásra: A–B=A+(–1)B.
Az
összeadás
és
a
skalárral
való
szorzás
8 A mátrixokra értelmezett két
tulajdonságai
Legyenek az A, B, C azonos típusú mátrixok, a λ és µ műveletre
hasonló
szabályok érvényesek, mint
pedig valós számok. 1.) Kommutatív tulajdonság:
A+B=B+A, illetve: a valós számok körében
λA=A⋅λ.
értelmezett összeadásra és
A műveletben a tagok felcserélhetősége a műveletek szorzásra. definíciójából következik 2.)
Asszociatívitás:
A+(B+C)=(A+B)+C=
illetve: (λµ)A=λ(µA)= λµA.
A+B+C, Az „átzárójelezhetőség”, a csoportosítás is a műveletek
Az asszociatív tulajdonság szerinti „átzárójelezés” definíciójából következik. többet is jelent: a két mátrixra értelmezett összeadás elvégezhető 3 mátrix esetén is, illetve hasonló A „szétosztás”, a zárójel
csoportosításokkal tetszőlegesen sok tagra is.
felbontás 3,) A disztributív tulajdonság: λ(A+B)=λ A+λ B, illetve: műveletek (λ+µ)A=λA+µA.
szabálya
is
a
definíciójából
következik.
Az összefüggést jobbról balra olvasva a szabály a kiemelés lehetőségét tartalmazza. Az
összeadás
és
a
skalárral
Ez a szabály is a műveletek való
szorzás definíciójából következik.
transzponáltjára érvényes a következő: (A+B)T=AT+BT, illetve: (λA)T=λAT, azaz a transzponálás „művelettartó” az összeadásra és a skalárral való szorzásra nézve.
Mátrixok szorzása A mátrixok egymással való szorzása eléggé eltér a A mátrixszorzást később valós számok körében végzett szorzástól, majd vektorok szorzására bevezetéséhez előkészítést kell tennünk.
Vektorok skaláris szorzata
vezetjük vissza.
9 Definíció: Két azonos elemszámú vektor skaláris A definíció szerinti előírást, szorzatán azt a valós számot értjük, amelyet úgy nevezetesen, hogy a szorzat kapunk,
hogy
a
megfelelő
rendre első tényezője sorvektor, a
elemeket
összeszorozzuk és a kapott szorzatokat összeadjuk. A második pedig oszlopvektor, skaláris szorzatban az első tényező mindig sorvektor, szigorúan be kell tartani! a második tényező pedig oszlopvektor: b 1 b 2 aT⋅b=[ a1 a2 … an ] . =a1b1+a2b2+…+anbn= . . b n
n
∑a b i =1
i
i
.
A skaláris szorzás eljárását („szorozd össze a megfelelő elemeket és a szorzatokat add össze”) komponálásnak nevezzük.
Példa: Legyen aT=[ 3 –1 5 0 ] és b= [ 4 –2 3 8 ]T (a „b” oszlopvektor!).
A
komponáláskor
számokat
valós
szorzunk
egymással, ami kommutatív, így ebben az értelemben a skaláris szorzatra igaz a tényezők felcserélhetősége.
Ekkor: aT⋅b=3⋅4+(–1)⋅(–2)+3⋅5+0⋅8=29.
A szorzat első tényezőjének
Mátrixszorzás vektorokra bontással
mindig
sorvektornak
lennie,
a
második
kell pedig
oszlopvektor
A mátrixokat soraik, illetve oszlopaik szerint vektorokra lehet „bontani”. Így összeszorozhatunk két mátrixot a skaláris szorzat definíciója alapján, ha az első tényezőt sorvektorokra oszlopvektorokra.
bontjuk,
a
Szükséges
másodikat feltétel
pedig a
szorozhatósághoz, hogy a sor- és oszlopvektorok elemszámai azonosak legyenek.
Példa: Adott az A és B mátrix, vegyük fel A-t sorvektorokra, B-t oszlopvektorokra bontva:
2 − 6 1 [2 − 6 1] A= = 3 0 −1 [3 0 −1]
A mátrixszorzást vektorok 1 − 2 1 − 2 skaláris szorzatára vezetjük B= 0 3 = 0 3 . vissza. 5 4 5 4
Az A⋅B szorzatmátrix első sorának első elemét
10 megkapjuk, ha az A első sorvektorát komponáljuk a B első oszlopvektorával: [ 2 –6 1 ]⋅[ 1 0 5 ]T=2+0+5=7. Az A⋅B szorzatmátrix első sorának második elemét megkapjuk, ha az A első sorvektorát komponáljuk a B Hasonló komponálással a
második oszlopvektorával:
szorzatmátrix
[ 2 –6 1 ]⋅[ –2 3 4 ]T=–18.
második
Tehát:
sorának első eleme: –2, a
1 − 2 2 − 6 1 7 − 18 A⋅B= ⋅ 0 3 = . 3 0 − 1 5 4 − 2 − 10
második sor második eleme pedig –10.
Definíció: Ha az A mátrix m×p típusú és a B mátrix p×n típusú, akkor a szorzatukon azt az m×n típusú C mátrixot értjük, amelynek bármely ci
j
eleme az A
mátrix i-edik sorvektorának és a B mátrix j-edik oszlopvektorának skaláris szorzata. Két mátrix szorozhatóságának feltétele tehát az, hogy az első tényező oszlopainak száma megegyezzen a második
tényező
sorainak
számával,
azaz
konformábilis legyen a két mátrix. Példa: Az A mátrix (3×4)-es, milyen típusú B mátrixszal szorozható meg?
Konkrétan: az A és B akkor
Megoldás: Két mátrix akkor szorozható össze, ha a „középső”
jelzőszámaik
megegyeznek.
Így
nem
mindegy, hogy egy adott mátrixot balról, vagy jobbról szorzunk egy másikkal. Az A mátrix (3×4)-es, tehát jobbról egy (4×n) típusú B mátrix-szal szorozható, ekkor a szorzat (3×n) típusú lesz (n pozitív egész). Az A mátrix balról pedig egy (m×3) típusú B’ mátrixszal szorozható, ekkor a szorzat (m×4) típusú lesz. Példa: Adott az A és legyen B 4×2-es, ekkor az A⋅B szorzatuk 3×2 típusú:
szorozható, ha a középső jelzőszámok
megegyeznek
és ilyenkor az eredmény jelzőszámait a két „szélső” jelzőszám adja.
11 5 − 1 3 4 5 − 2 3 15 0 2 6 7 2 = 36 21 1 ⋅ 0 4 0 0 − 3 4 24 8 6 5 Áttekinthetőbbé tehetjük a szorzást, ha az ú.n. Falk A szorzást „sorvektor sémát alkalmazzuk, amely a szorzás következő komponálva oszlopvektorral” elrendezését jelenti:
módon végeztük. Az eljárás B
3 4 A 6 7
5
−1
alkalmazásakor
0 0
2 4
hibát elkövetni!
6
5
Húztunk
− 2 3 15 1 36 21
5 2
0 0 −3
4
24
két
könnyű
egymásra
merőleges szakaszt, a bal alsó negyedbe kerül az A
8
Példa: Legyen a B’ 3×3-as, a B’⋅A szorzást végezzük mátrix, a jobb felsőbe a B, és az eredmény, amit úgy Falk módszerrel: 3
4
5
−2
A
6
7
2
1
5 −1 0
0 9
0 −3 4 13 23 − 11
B′ 0
2
4 12 14 − 8
18
3
0
1
−2
9
12 12
kapunk, hogy az A mátrix sorait
komponáljuk
megfelelő
a
B
oszlopaival,
a
jobb alsó negyedbe kerül.
Speciálisan: – ha a szorzat egyik tényezője a nullmátrix, akkor az eredmény is az: A⋅0=0 és 0⋅A=0. –
ha a szorzat egyik tényezője az egységmátrix, akkor az eredmény a másik szorzótényező: A⋅E=A és E⋅A=A.
Ügyeljünk arra, hogy mind a nullmátrixoknak,
egységmátrixoknak típusúaknak hogy
a
A mátrixszorzás eredménye akkor is lehet nullmátrix, teljesüljön! ha az egyik tényező sem 0. Példa: Adott az
− 1 2 3 A= 6 5 − 1 9 3 − 6
− 2 1 − 5 és B= 2 − 1 5 − 2 1 − 5
mind
kell
az
olyan lenniük,
konformábilitás
12 Kérjük,
Képezzük az A⋅B és a B⋅A szorzatokat! Egyszerűen
belátható
(például
a
Falk
sémát
végezze
el
ezt
a
műveletet!
alkalmazva), hogy A⋅B=0. A B⋅A szorzat eredmény egészen más:
− 37 − 14 23 14 − 23 . B⋅A= 37 − 37 − 14 23
Ezt a szorzást is el kellene végeznie,
célszerűen
a
Falk
sémát alkalmazva!
A mátrixszorzás tulajdonságai 1.) A mátrixszorzás nem kommutatív! Tehát: A⋅B ≠ B⋅A. (Léteznek kivételek: például ha A négyzetes és a 0 is:
A fenti példa is indokolja, hogy
áttekintsük
mátrixszorzás
A⋅0=0⋅A, valamint: A⋅E=E⋅A.) 2.) A mátrixszorzás asszociatív, ha a szorzásnál a
a
műveleti
szabályait.
konformábilitás fennáll: A⋅(B⋅C)=(A⋅B)⋅C=A⋅B⋅C, azaz
a
két
tényezőre
értelmezett
szorzás
általánosítható 3, illetve n mátrixra is. Az asszociatívitás skalárszorzóra is fennáll: λ(A⋅B)=(λA)B. 3.)
A
mátrixszorzás
disztributív
mindkét
irányú
szorzásnál, ha a konformábilitás fennáll: A⋅(B+C)=A⋅B+ A⋅C, illetve: (A+B)⋅C= A⋅C+B⋅C.
Emlékszünk:
az
asszociativitás azt is jelenti, hogy
általánosítható
a
művelet.
A szorzat transzponáltjára vonatkozó szabály: (A⋅B)T=BT⋅AT
A felsorolt tulajdonságok a mátrixszorzás definíciójából következnek.
13
A mátrix determinánsa Minden
n-ed
fokú
négyzetes
mátrixhoz
hozzárendelhető egy szám. Ezt a számot a mátrix determinánsának nevezzük. Egy n-ed rendű A négyzetes mátrix determinánsa az a det A szám, amelyet a következő szabály szerint számíthatunk ki: 1. ha n=1, akkor det A=a1,1 2. ha n>1, akkor det A = (−1) k +1 a k ,1 ⋅ Ak ,1 + (−1) k + 2 a k ,2 ⋅ Ak , 2 + K + (−1) k + n a k , n ⋅ Ak , n
ahol az Ak,j aldeterminánst úgy kapjuk, hogy az A mátrix determinánsából elhagyjuk a k. sort és a j. Hogy a determinánst oszlopot. megkülönböztethessük a A 2×2 determináns értékét a definíció szerint a mátrixtól, szögletes következőképp számíthatjuk ki:
a1,1 a 2,1
zárójelek [ ] helyett
a1, 2 = a1,1 ⋅ a 2,2 − a1,2 ⋅ a 2,1 , a 2, 2
azaz
a
főátló
függőleges szakaszokkal határoljuk: | |.
2 1 3 Például, ha A = 0 1 2 , szorzatát. 4 2 3 Példa: Számítsuk ki a mátrix determinánsának értékét: elemeinek szorzatából kivonjuk a mellékátló elemeinek
1 A = 0 − 2 Mivel az
3 1 1 2 det A = 0 −2 − 3 0 . ember lusta, ebből 2
2
3
1 2 −3 0
akkor A3,2 =
2 3 0 2
. kiindulva keressünk a
mátrixunkban olyan sort vagy oszlopot, ahol több a nulla. Ezzel időt és energiát spórolunk meg. Nézzük akkor a példát! Válasszuk ki a középső sort, és 2 3 = 2 ⋅ 4 − 3 ⋅1 = 8 − 3 = 5 képzeletben takarjuk le: 1 4
1
2
3
0 1 2 −2 −3 0 Most pedig „fejtsük ki” a determinánst a kijelölt sor
14 szerint: det A = (−1)
2 +1
⋅0⋅
2
3
−3 0
+ ( −1)
2+ 2
⋅1⋅
1
3
−2 0
+ (−1)
2+3
⋅ 2⋅
1
2
− 2 −3
=
A determinánst bármely
= 0 + 1 ⋅ (1 ⋅ 0 − 3 ⋅ (−2)) − 2 ⋅ (1 ⋅ (−3) − 2 ⋅ (−2)) = 4
sora és oszlopa szerint
A kiválasztott sorunkból a nullát és a fennmaradó
kifejthetjük.
számok adta aldeterminánst a megfelelő előjellel kiszámoljuk. A következő lépésben letakartuk a középső oszlopot és a számot a sorunkból ellenkező előjellel írtuk le. Az előjelek ciklikusan változnak.
A Sarrus-szabály A harmadrendű determináns kiszámítását elvégezhetjük a következő séma szerint. Először a determináns első két oszlopát leírjuk a determináns mellé, majd
a „+” jellel megjelölt vonalakon az elemeket összeszorozzuk, a szorzatokat összeadjuk, majd ugyanezt elvégezzük a - jellel megjelölt elemekkel. A + A Sarrus szabály kizárólag a jelűeknél kapott eredményből kivonjuk a – jelűeknél
harmadrendű determináns
kapott eredményt.
kiszámítására szolgál! A
Például:
magasabb rendű
1 2 3 1 2 3 1 2 0 1 2= 0 1 2 0 1 = −2 −3 0 −2 −3 0 −2 −3
determinánsokat soraik vagy
(0 − 8 + 0) − (0 − 6 − 6) = −8 + 12 = 4 A determinánsok alaptulajdonságai: 1. Ha a determináns egy olyan oszlopot vagy sort
oszlopaik szerinti kifejtésével oldjuk meg.
15 tartalmaz, amely csak nullákból áll, a végeredmény nulla lesz. 2. Ha egy determinánsban két egyforma sor van, akkor a végeredmény nulla lesz. 3. A determinánst úgy szorozhatjuk vagy oszthatjuk egy számmal, hogy egy sorának vagy oszlopának minden elemét szorozzuk vagy osztjuk az említett számmal. 4. A determináns értéke nem változik, ha egy sorának vagy oszlopának többszörösét hozzáadjuk egy másik sorához vagy oszlopához.
1
Például:
5 −2 3 −6 =0 1 5 2 0 0 0 0 0
1 2 3 4 1 2 3 4 1 1 2 3 5 −2 3 −6 5 −2 3 −6 5 −7 −2 −7 = = 2 3 4 5 1 1 1 1 1 0 0 0 0 2 −1 0 0 2 −1 0 0 2 −1 0
2
1 2 5 −2
Az első egyenlőséget úgy kaptuk, hogy a determináns 1 0 első sorát -1-gyel megszorozva, hozzáadtuk a harmadik
sorához.
A
második
egyenlőségnél
a
determináns első oszlopát szoroztuk meg ugyancsak 1-gyel, majd hozzáadtuk a 2., 3. és a negyedik oszlophoz.
A lineáris egyenletrendszerek megoldása Crammer-szabállyal A
determinánsokat
egyenletrendszerek
felhasználhatjuk megoldására
is.
a
lineáris
Legyen
az
egyenletrendszer: a1,1 x1 + a1, 2 x 2 + K + a1, n xn = b1 a 2,1 x1 + a 2, 2 x 2 + K + a 2, n x n = b2 L
a n,1 x1 + a n, 2 x 2 + K + a n, n xn = bn alakú. Az egyenletrendszer együtthatóiból alakított A mátrix az egyenletrendszer mátrixa, a b szabad
2 2 2⋅
2
3
4
3 3
4 −6
3 −1
4 0
3
−2 1
=
=0
2 2 3 2 −2 1
16 tagokból alakított oszlopvektor a szabad tagok vektora,
a1,1 a 2,1 azaz A = M a n,1
a1, 2 K a1, n b1 b a 2, 2 K a 2, n , b = 2 . M M M a n,2 K a n, n bn
Ez egy négyzetes egyenletrendszer, azaz az
Ha D=det A a rendszer determinánsa, és D ≠ 0 , akkor ismeretlenek és egyenletek bármelyik xk ismeretlen kiszámítható, mint xk =
Dk száma megegyezik. , D
ahol a Dk determinánst úgy kapjuk, hogy a D determináns k-adik oszlopát a b oszlopvektorral helyettesítjük. Példa: 2x + 4 y = 5 4x + y = 3
D=
Crammer szabály négyzetes
2 4 = 2 − 16 = −14 , 4 1
Dy =
2 5 4 3
= 6 − 20 = −14 , tehát
Dx =
5 4 egyenletrendszerekre: = 5 − 12 = −7 , 3 1 D D ≠ 0 ⇒ xk = k D
D y − 14 D −7 1 x= x = = és y = = = 1. D − 14 2 D − 14
A Crammer szabály különösen hatékony két-
Megjegyzés: Ha D=0, azaz a rendszer determinánsa 0, ismeretlenes egyenletrendszerek a következőket szögezhetjük le: a) Ha Dk mindegyike 0, akkor a rendszer határozatlan, megoldásakor. azaz számtalan sok megoldása van, amelyeket Háromismeretlenes másfajta módszerrel kereshetünk meg.
egyenletrendszerek
b) Ha legalább az egyik Dk nullától különböző, akkor az megoldására még egyenletrendszer ellentmondó, azaz nincs megoldása. használható, azonban, a háromnál több ismeretlent tartalmazó rendszerek megoldására nagy számításigénye miatt nem ajánlott a használata. D=0 esetén használjunk más módszert.
17
A mátrix inverze Definíció: Adott az A (nxn)-es (négyzetes) mátrix. Az A mátrix inverzének nevezzük azt az A-1 szimbólummal jelölt (nxn)-es mátrixot, amelyre teljesül az alábbi azonosság: A·A-1 =A-1·A=E, feltéve, hogy ilyen mátrix létezik. Például: 3 −2 1 3 -1 2 A= A = 1 2 4 1 − 2 1 0 AA -1 = 0 1
1 0 A -1A = 0 1
Egy mátrix szinguláris, ha nincs inverze. Egy mátrix reguláris, ha van inverze. Bizonyítható, ha det(A) nem nulla, akkor a mátrix reguláris, azaz létezik inverze:
A11 A 21 1 −1 A = det A An1
A12
.....
A22
.....
A1n A2n Ann
An 2
T
ahol Aik jelöli az A mátrixból képzett előjeles (n-1) rendű aldeterminánst. Példa: 1 2 3 1 2 3 A = 2 3 2 , det( A) = 2 3 2 = −7 3 3 4 3 3 4
+ 1 −1 A = − −7 +
3 3 2 3 2 3
2 4 3 4 3 2
2 − 3 1 + 3 1 − 2
6 − 2 − 3 1 1 −5 3 A −1 = −7 − 5 4 − 1
2 4 3 4 3 2 T
2 + 3 1 − 3 1 + 2
3 3 2 3 2 3
T
1 − 5 6 1 = − − 2 − 5 4 7 − 3 3 − 1
Ha az A négyzetes mátrix determinánsa nem nulla, akkor reguláris azaz van inverze.
18 6 − 7 2 A −1 = 7 3 7
1 7 5 7 3 − 7 −
5 7 4 − 7 1 7
Ellenőrzésképp érdemes elvégezni az A·A-1 szorzást. Az inverz mátrixot helyesen kiszámoltuk, ha az említett szorzat egységmátrix (E).
A mátrix inverzének tulajdonságai:
(A−1 )−1 = A (A−1 )T = (AT )−1
( A ⋅ B )−1 = B −1 ⋅ A −1 Mátrix-egyenletek: A mátrixok inverzét fel tudjuk használni egyenletrendszerek és mátrix-egyenletek megoldására. Tétel: Legyen A egy n-ed rendű reguláris mátrix, és B egy n×m-ed rendű mátrix. Az A·X=B mátrix egyenlet megoldása az X=A-1·B, az X·A=B egyenlet megoldása pedig az X=B·A-1 mátrix. Ha a fenti tételben B mátrix helyett b oszlopvektort helyettesítünk az A·X=B egyenletbe, lineáris egyenletrendszert kapunk. Tétel: Legyen A egy reguláris mátrix. Az A·x=b alakú lineáris egyenletrendszer megoldása az x=A-1·b oszlopvektor.
A·X=B megoldása X=A-1·B X·A=B megoldása X=B·A-1
19
20
