MATRIKS VEKTOR PADA CITRA DIGITAL
SKRIPSI
Untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai derajat sarjana (S - 1)
DANI ROFIANTO F1A1 12 130
PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS HALU OLEO KENDARI 2016
i
ii
KATA PENGENTAR
Alhamdulillah, puji dan syukur penulis panjatkan kehadirat Allah Subhanahu Wa Ta’lla sehingga penyusunan tugas akhir yang berjudul “Matriks Vektor Pada Citra Digital” dapat terselesaikan sebagaimana mestinya. Tugas akhir ini merupakan persyaratan dalam penyelesaian tahap pendidikan sarjana S-1 pada Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Halu oleo. Tugas akhir ini disusun berdasarkan penelitian yang telah dilakukan selama kurang lebih empat bulan, yaitu dari bulan Januari 2016 sampai dengan April 2016. Penulis sepenuhnya menyadari jika seluruh rangkaian kegiatan, dimulai dari awal penyusunan hingga penyelesaian tugas akhir ini, senantiasa mendapat bantuan dan petunjuk dari berbagai pihak. Oleh karena itu, penulis mengucapkan terima kasih dan penghargaan setinggi-tingginya kepada Bapak Prof. Dr. Edi Cahyono, M.Si. Selaku pembimbing I dan kepada Ibu Norma Muhtar, S.Si., M.Si. selaku pembimbing II, yang telah memberikan kesempatan, bimbingan dan motivasi yang sangat berharga kepada penulis. Karya ini secara khusus penulis persambahkan untuk keluarga tercinta, ibunda Gunasri serta ayahanda Sutrisno atas doa dan pengorbanannya yang tulus kepada penulis dan untuk adik-adikku (Diana Dwi Tristanti dan Salsabilla Azzahra) serta Egi Safitri atas segala dukungan dan doa yang selama ini telah diberikan untuk penulis. Rasa terima kasih juga penulis ucapkan kepada :
iii
1. Rektor Universitas Halu Oleo Kendari, Bapak Prof. Dr. Ir. H. Usman Rianse, M.S. 2. Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo, Bapak Dr. Muh. Zamrun F., S.Si., M.S.i. 3. Ketua Jurusan Matematika Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo, Bapak La Gubu, S.Si., M.Si. 4. Kepala Laboratorium Komputasi Matematika Fakultas MIPA Universitas Halu Oleo, Ibu Norma Muhtar, S.S.i., M.S.i. 5. Bapak Drs. La Ode Saidi, M.Kom., Bapak La Gubu, S.Si., M.Si., serta Bapak Dr. Mukhsar, M.Si. sebagai penguji yang telah memberikan masukan dalam seminar tugas akhir. 6. Ibu Rahmaliah Sahupala, S.Si., M.Sc. selaku Penasehat Akademik penulis selama menjalankan studi di Jurusan Matematika FMIPA Universitas Halu Oleo. 7. Seluruh staff pengajar FMIPA Program Studi Matematika Universitas Halu Oleo yang telah memberikan bekal ilmu kepada penulis. 8. Seluruh staff tata usaha FMIPA Universitas Halu Oleo. 9. Seluruh staff perpustakaan FMIPA Universitas Halu Oleo. 10. Seluruh Keluarga Besarku yang telah memberikan Support. 11. Sahabatku sekaligus keluarga kecilku “DKK” khususnya (Laode Muh. Fuad, Windi
Saraisang, La Ode Rahmat
(Igho), Arisandy,
Muhammad Jendriadi Sarif, Waode Nur Hasriana (Obil), Pantry Elastic (Ella), Bertin Rampo (Bebe), Astri Apriliana Rezza) yang
iv
selalu memberikan semangat, motivasi, bantuan dan pengetahuan, terima kasih sudah menjadi sahabat sekaligus keluarga yang merangkul dan mau menerima segala kekurangan Penulis. 12. Teman-teman Math 2012 B : Rajab, Rifki, Rizwan, Imran, Hajar, Gede, Jhio, Hasby, Galih, Trisna, Awal, Randi, Desi, Herdiana, Eka Fitria, Eka Sulistia, Ila, Virda, Suriana, Yuliana, Kd Ayu, Risani, Ulli, Megawati, Risma, dan Yani yang selalu kompak dalam mengerjakan tugas dan kompak juga kalau lagi ujian. 13. Teman-teman math 2012 A : Chika, Mimink, Dian, Novia, Akwal, Diki, Evi Musfira, Asni, Ummi, Mergar, Rina, Vivi, Agustima, Rosni, Saru, Wasno Dan teman-teman yang tak dapat saya sebutkan satu-persatu, terima kasih atas bantuan dan kebersamaannya selama penulis menempuh studi. 14. Teman-teman Asisten Lab. Komputasi Matematika : Nella, Igho, Sem, Yacob, Madin, Iksan, Yeni, Aldi, Nansi, Ilham, Kak ion S.mat, Kak Wayan S.mat, dan Kak Kalvin S.mat. 15. Senior-senior Math : Kak Suparno S,Si, Kak Gusti Arviana Rahman S.Si, Kak Ismail Jafar S.Si, Kak Bernadus Ardi ariwijaya S.Si, Kak Rajab, Kak Wahyu Mustika Ningrum S.mat, Kak Ulli Hidayati S.mat, Kak Ayu S.mat, Kak Citrawan Fitri S.mat, Kak Tenri, Kak Hijrawati, Kak Linda dan kakak-kakak yang lain yang tidak bisa penulis sebutkan satu persatu.
v
16. Adik-adik math 2013, 2014, 2015 : Mail, Thesa, Silvi, Fitri, Rahma, Yuni, Indah, Rima, Fajar, Fadil, Guslan, Fanni, Iki, Yoram dan adik-adik yang tak dapat saya sebutkan satu persatu. 17. Anak-anak asrama wonua : Randi, Aston, Mitro, Pace, Bang Alin, Wandi, Tati, Yuli, Dewi1, Dewi2 dan Viki. Terima kasih untuk kebersamaannya selama ini. 18. Teman-teman KKN Desa Bajo Bahari Kec. Wabula Kab. Buton : Noviana Everata Hetarie S.T., Kurnia Resti S, Imam Martandu, Davin, Muhammad Tang, Nurfitri Widayanti, Jumaliah, Rena Wahyuni, Febrian dan temanteman di Desa Bajo Bahari. Penulis menyadari bahwa tugas akhir ini masih jauh dari kesempurnaan karena hanya Allah SWT yang Maha Sempurna. Oleh karena itu dengan Segala kerendahan hati penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun untuk perbaikan tulisan ini. Penulis berharap tugas akhir ini dapat bermanfaat bagi diri penulis dan pembanca serta berguna dalam pengembangan ilmu pengetahuan. Kendari, April 2016
Penulis
vi
DAFTAR ISI
halaman
HALAMAN JUDUL .................................................................................................... i HALAMAN PENGESAHAN ..................................................................................... ii KATA PENGANTAR ................................................................................................ iii DAFTAR ISI ........................................................................................................... ...vii DAFTAR GAMBAR .................................................................................................. ix DAFTAR LAMPIRAN ............................................................................................... x ABSTRAK .................................................................................................................. xi ABSTRACK .............................................................................................................. xii BAB I
PENDAHULUAN 1.1 1.2 1.3 1.4
BAB II
.
Latar Belakang ................................................................................... 1 Rumusan Masalah .............................................................................. 3 Tujuan Penelitian................................................................................ 3 Manfaat Penelitian.............................................................................. 3
TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Definisi Citra ....................................................................................... 4 2.2 Pengolahan Citra Digital ..................................................................... 5 2.2.1 Citra Digital ............................................................................... 5 2.2.2 Representasi Citra Digital ......................................................... 7 2.2.3 Gambar Sebagai Matriks ........................................................... 7 2.2.4 Piksel ......................................................................................... 8 2.2.5 Resolusi ..................................................................................... 8 2.3 Format Citra Digital ............................................................................ 9 2.4 Color Model ...................................................................................... 11 2.4.1 Jenis – Jenis Warna ................................................................. 12 2.4.2 Warna Pada Pengolahan Citra................................................. 13 2.4.3 RGB Pada Pengolahan Citra Digital ....................................... 15 2.5 Operasi Pada Vektor ......................................................................... 16 2.6 Operasi Pada Matriks ........................................................................ 17 2.7 Sekilas Tentang Scilab ...................................................................... 21
vii
BAB III
METODE PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ........................................................... 23 3.2 Materi dan Alat Penelitian ................................................................ 23 3.3 Metode dan Prosedur Penelitian........................................................ 23
BAB IV
HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Citra Berwarna dan Citra Keabuan (Grayscale) ............................... 25 4.1.1 Grayscale Transformasi .......................................................... 25 4.1.2 Representasi Citra Dalam Bentuk Matriks Vektor ................. 26 4.2 Matriks Vektor .................................................................................. 30 4.3 Aplikasi Matematika Pada Transformasi Citra ................................ 39 4.3.1 Transformasi Pada Citra Grayscale ........................................ 39 4.3.2 Operasi Transformasi Citra Berwarna Menjadi Citra Grayscale ............................................................................... 42
BAB V
PENUTUP 5.1 Kesimpulan ....................................................................................... 46 5.2 Saran .................................................................................................. 46
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
viii
DAFTAR GAMBAR
halaman
Gambar 2.1 Representasi citra dari fungsi kontinu menjadi nilai – nilai diskrit ....... 5 Gambar 2.2 Diskritisasi citra ..................................................................................... 6 Gambar 2.3 Koordinat matriks yang merepresentasikan baris dan kolom piksel ..... 8 Gambar 2.4 Contoh citra biner .................................................................................. 9 Gambar 2.5 Contoh citra grayscale ......................................................................... 10 Gambar 2.6 Pallete warna pada citra grayscale ....................................................... 10 Gambar 2.7 Contoh citra berwarna (true color) ...................................................... 11 Gambar 2.8 Color model ......................................................................................... 11 Gambar 2.9 Model wana pada citra ......................................................................... 14 Gambar 2.10 Contoh pallete warna RGB pada memori komputer ........................... 15 Gambar 4.1 Transformasi citra berwarna menjadi citra grayscale ......................... 26 Gambar 4.2 Representase numerik matriks RGB.................................................... 27 Gambar 4.3 Representase numerik matriks citra grayscale..................................... 29 Gambar 4.4 Hasil transformasi citra berwarna menjadi citra grayscale. ................. 44 Gambar 4.5 Histogram citra grayscale. ................................................................... 44
ix
DAFTAR LAMPIRAN
halaman
Lampiran 1.Program (Script SciNotes) Menampilkan citra berwarna dalam Scilab dan konversi citra berwarna menjadi matriks RGB .............................. 48 Lampiran 2.Program (Script SciNotes) Transformasi citra berwarna menjadi citra citra grayscale......................................................................................... 50 Lampiran 3.Program (Script SciNotes) Konversi citra grayscale menjadi matriks ... 52
x
MATRIKS VEKTOR PADA CITRA DIGITAL
Oleh DANI ROFIANTO F1A112 130
ABSTRAK Secara matematis citra digital merupakan suatu larik dua dimensi atau suatu matriks yang elemen-elemennya menyatakan tingkat keabuan dari elemen gambar. Jadi, informasi yang terkandung bersifat diskrit. Penelitian ini bertujuan untuk menganalisis perubahan warna pada suatu citra berwarna ke dalam format citra keabuan (grayscale). Melalui analisis ini penulis bermaksud untuk memperoleh hasil analisis matematika tentang perubahan warna pada citra berwarna menjadi sebuah citra keabuan (grayscale). Citra berwarna akan direpresentasikan menjadi sebuah matriks 3 layer kemudian diubah menjadi sebuah matriks vektor RGB (red, green dan blue), selanjutnya ditransformasikan menjadi sebuah matriks citra grayscale. Matriks citra grayscale yang diperoleh kemudian dikonversikan menjadi sebuah citra keabuan (grayscale). Hasil analisis yang diperoleh menunjukkan bahwa matematika berperan penting dalam proses perubahan warna pada suatu citra gambar, termasuk pada proses transformasi citra berwarna menjadi suatu citra keabuan (grayscale). Kata Kunci : Citra berwarna, citra grayscale, matriks vektor, model warna RGB, transformasi citra.
xi
MATRIX VECTOR FOR DIGITAL IMAGE
BY DANI ROFIANTO F1A112130
ABSTRACT
Mathematically digital image is a two dimensional array or a matrix elements of stating level gray elements of images. Thus, the information contained discrete. This study aims to analyze the changing colors in a color image format into the image of gray. Through this analysis the researcher intends to obtain the results of mathematical analysis of the changing colors in the color image into an image of gray. The color image will be represented into a layer matrix then converted to a matrix vector RGB (red, green and blue), then transformed into a grayscale matrix. Matrix grayscale are converted into an image of gray. The results of analysis showed that mathematics has an important role in the process discoloration at a picture image, including the transformation process discoloration image into a grayscale. Keywords : image color, grayscale image, matrix vector, the RGB color model, image transformation.
xii
BAB I PENDAHULUAN
1.1
Latar Belakang Dalam kemajuan teknologi yang canggih seperti saat ini, data atau
informasi tidak hanya dapat disajikan dalam bentuk teks, namun dapat juga disajikan dalam bentuk lain misalnya berupa gambar (images), suara (audio) maupun video. Keempat macam data atau informasi tersebut dikenal dengan istilah multimedia. Salah satu komponen multimedia yang memiliki peran penting sebagai informasi dalam bentuk visual adalah citra (image). Secara harfiah, citra merupakan gambar pada bidang dua dimensi, sedangkan ditinjau dari sudut pandang matematis citra merupakan fungsi kontinyu dari intensitas cahaya pada bidang dua dimensi. Ada dua jenis citra, yaitu citra kontinyu dan citra diskrit. Citra kontinyu dihasilkan dari sistem optik yang menerima analog, misalnya mata manusia dan kamera analog. Citra diskrit dihasilkan melalui proses digitalisasi terhadap citra kontinyu. Citra diskrit disebut juga citra digital. Citra digital merupakan suatu citra dengan kondisi ketika 𝑥, 𝑦 dan nilai intensitas dari 𝑓 adalah terbatas. Citra digital terdiri dari sejumlah elemen dan setiap elemen mempunyai lokasi dan nilai tertentu. Elemen-elemen ini yang biasa disebut dengan picture element. Istilah untuk menyatakan elemen citra digital yang paling banyak digunakan saat ini adalah piksel. Citra digital adalah citra yang dinyatakan secara diskrit (tidak kontinyu), baik untuk posisi koordinatnya maupun warnanya. Dengan demikian, citra digital
1
dapat digambarkan sebagai suatu matriks, dimana indeks baris dan indeks kolom dari matriks menyatakan posisi suatu titik di dalam citra dan harga dari elemen matriks menyatakan warna citra pada titik tersebut. Dalam citra digital yang dinyatakan sebagai susunan matriks seperti ini, elemen-elemen matriks tadi disebut dengan istilah piksel (picture element). Untuk mendapatkan suatu citra digital, dapat digunakan alat yang memiliki kemampuan untuk mengubah sinyal yang diterima oleh sensor citra menjadi bentuk digital, misalnya dengan menggunakan kamera digital atau scanner. Suatu citra biasanya akan selalu mengacu kepada citra RGB. RGB adalah suatu model warna yang terdiri dari warna merah, hijau, dan biru (red, green dan blue) digabungkan dalam membentuk suatu susunan warna yang luas. Dalam pengolahan citra digital tidak hanya membahas citra berwarna saja, tetapi juga membahas berbagai jenis citra lainnya salah satunya adalah citra keabuan atau citra grayscale. Citra grayscale merupakan citra yang hanya memiliki kadar abuabu dalam citra tersebut. Intensitas warna abu-abu dalam suatu citra grayscale juga dibentuk dari komposisi red, green, dan blue yang memiliki jumlah intensitas yang sama dalam ruang RGB. Citra grayscale dihasilkan melalui transformasi dari citra berwarna. Transformasi citra berwarna ke dalam format citra grayscale yaitu mengubah atau mengkonversikan citra dari yang semula adalah berbasis ruang warna RGB (red, green dan blue) dibawa atau diubah ke dalam bentuk citra grayscale yang basis warnanya antara abu-abu, hitam dan putih. Dalam transformasi citra berwarna menjadi citra grayscale, terdapat proses gradasi warna atau perubahan warna yang sulit dijelaskan, yang diketahui selama
2
ini adalah sebuah citra berwarna yang telah bertransformasi menjadi citra grayscale tanpa mengetahui proses gradasi warna yang terjadi di dalamnya. Sehingga pada penelitian ini penulis tertarik untuk membahas analisis matematika perubahan warna pada citra berwarna ke dalam format citra keabuan (grayscale). Oleh karena itu, pada penelitian ini penulis mengangkat sebuah tugas akhir yang berjudul “ Matriks Vektor Pada Citra Digital ”. 1.2
Rumusan Masalah Berdasarkan latar belakang yang dipaparkan, maka permasalahan yang
dibahas dalam penulisan tugas akhir ini adalah bagaimana analisis perubahan warna pada suatu citra berwarna ke dalam format citra keabuan (grayscale). 1.3
Tujuan Penelitian Berdasarkan rumusan masalah, tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah
untuk mengetahui analisis perubahan warna pada suatu citra berwarna ke dalam format citra keabuan (grayscale). 1.4
Manfaat Penelitian Adapun manfaat yang dapat diperoleh dalam penelitian ini adalah
mengetahui bagaimana proses perubahan warna pada citra dan analisis matematika pada transformasi citra berwarna menjadi citra keabuan (grayscale).
3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
2.1
Definisi Citra Citra adalah suatu representasi (gambaran), kemiripan atau inisiasi dari
suatu objek. Citra sebagai keluaran suatu sistem perekaman data dapat bersifat optik berupa foto, bersifat analog berupa sinyal-sinyal video seperti gambar pada monitor televisi, atau bersifat digital yang dapat langsung disimpan pada suatu media penyimpan (Agustian, 2012). Citra dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, yaitu citra diam (still image) dan citra bergerak (moving image). Citra diam adalah citra tunggal yang tidak bergerak, contohnya lukisan maupun foto yang dihasilkan dari kamera digital. Sedangkan citra bergerak adalah rangkaian citra diam yang ditampilkan secara beruntun (sekuensial) sehingga memberi kesan pada mata sebagai gambar yang bergerak. Setiap citra di dalam rangkaian itu disebut frame. Gambar-gambar yang tampak pada film layar lebar atau televisi pada hakikatnya terdiri dari ratusan sampai ribuan frame yang bergerak. Berdasarkan cara penyimpanan atau cara pembentukannya, citra digital dapat dikelompokkan menjadi dua jenis, yaitu citra bitmap dan citra grafik vektor. Citra bitmap adalah citra digital yang dibentuk oleh sekumpulan piksel-piksel dalam array dua dimensi. Sedangkan citra grafik vektor adalah citra yang dibentuk oleh fungsi-fungsi geometri dan matematika (Awcock, 1996).
4
2.2
Pengolahan Citra Digital Citra dapat dibedakan menjadi dua macam, yaitu citra kontinyu dan citra
diskrit. Citra kontinu dihasilkan dari sistem optik yang menerima analog, misalnya mata manusia dan kamera analog. Citra diskrit (digital) dihasilkan dari citra kontinu (analog) melalui proses digitalisasi. Representasi citra diskrit (digital) dari citra kontinu (analog) dapat dilihat pada Gambar 2.1
Gambar 2.1 Representasi citra dari fungsi kontinu menjadi nilai-nilai diskrit (Sumber: Castlemen, 1996)
2.2.1
Citra Digital Sebuah citra digital adalah kumpulan piksel-piksel yang disusun dalam
larik dua dimensi. Indeks baris dan kolom (𝑥, 𝑦) dari sebuah piksel yang dinyatakan dalam bilangan bulat dan nilai-nilai tersebut mendefinisikan suatu ukuran intensitas cahaya pada titik tersebut. Satuan atau bagian terkecil dari suatu citra disebut piksel (picture element). Umumnya citra dibentuk dari persegi empat yang teratur sehingga jarak horizontal dan vertikal antara piksel satu dengan yang lain adalah sama pada seluruh bagian citra. Piksel (1,1) terletak pada sudut kiri atas pada citra, dimana indeks 𝑥 bergerak ke kanan dan indeks 𝑦 bergerak ke bawah. Untuk menunjukkan koordinat
𝑚 − 1, 𝑛 − 1 digunakan posisi kanan dan bawah dalam citra 5
berukuran 𝑚 × 𝑛 piksel. Hal ini berlawanan untuk arah vertikal dan horizontal yang berlaku pada sistem grafik dalam matematika. Citra digital merupakan fungsi intensitas cahaya 𝑓(𝑥, 𝑦) pada bidang 2 dimensi, dimana harga 𝑥 dan 𝑦 merupakan koordinat spasial dan harga fungsi tersebut pada setiap titik 𝑥, 𝑦 merupakan tingkat kecemerlangan citra pada titik tersebut. Citra digital merupakan suatu matriks dimana indeks baris dan kolomnya menyatakan suatu titik pada citra tersebut dan elemen matriksnya (yang disebut sebagai elemen gambar atau piksel) menyatakan tingkat keabuan pada titik tersebut. Jadi, dari sudut pandang matematis, bahwa citra digital berbentuk empat persegi panjang dan dimensi ukurannya dinyatakan sebagai 𝑙𝑒𝑏𝑎𝑟 × 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖. Ilustrasi citra didigitalisasi (diskritisasi) sehingga diperoleh tingkat kecerahan warna tertentu pada citra dapat dilihat pada Gambar 2.2
Gambar 2.2 Diskritisasi citra (Sumber: Dimodifikasi dari Castlemen, 1996)
6
2.2.2
Representasi Citra Digital Sebuah citra digital dapat diwakili oleh sebuah matriks yang terdiri dari 𝑀
baris dan 𝑁 kolom, dimana perpotongan antara baris dan kolom disebut piksel yaitu elemen terkecil dari sebuah citra. Piksel mempunyai dua parameter yaitu koordinat dan intensitas atau warna. Nilai yang terdapat pada koordinat (𝑥, 𝑦) adalah 𝑓(𝑥, 𝑦) yaitu besar intensitas atau warna dari piksel dititik itu. Oleh karena itu, sebuah citra digital dapat dituliskan dalam bentuk matriks berikut. 𝑓(1,1) 𝑓(2,1) 𝑓 𝑥, 𝑦 = ⋮ 𝑓(𝑀, 1)
𝑓(1,2) … 𝑓(2,2) ⋯ ⋮ ⋮ 𝑓(𝑀, 2) ⋯
𝑓(1, 𝑁) 𝑓(2, 𝑁) ⋮ 𝑓(𝑀, 𝑁)
Berdasarkan gambaran di atas maka secara matematis citra digital dapat dituliskan sebagai fungsi intensitas 𝑓(𝑥, 𝑦), dimana harga 𝑥 (𝑏𝑎𝑟𝑖𝑠) dan 𝑦 (𝑘𝑜𝑙𝑜𝑚) merupakan koordinat posisi dan 𝑓(𝑥, 𝑦) adalah nilai fungsi pada setiap titik (𝑥, 𝑦) yang menyatakan besar intensitas citra atau tingkat keabuan atau warna dari piksel dititik tersebut (Sutojo & Bowo,2010). 2.2.3
Gambar Sebagai Matriks Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun dalam larik
baris dan kolom. Umumnya matriks diberi notasi huruf kapital 𝐀, 𝐁, … Jika matriks 𝐀 terdiri dari 𝑚 baris dan 𝑛 kolom (sering disebut ordo 𝑚 × 𝑛), maka dapat ditulis sebagai a11 a21 𝐀 = aij = ⋮ am1
a12 … a1n a22 ⋯ a2n ⋮ ⋮ ⋮ am2 ⋯ amn
Perhatikan bahwa matriks yang terdiri dari 1 kolom sama dengan vektor.
7
2.2.4
Piksel Gambar yang bertipe bitmap tersusun dari piksel-piksel. Piksel disebut
juga dengan dot. Piksel ada yang berbentuk persegi panjang dan ada pula yang berbentuk bujur sangkar dengan ukuran relatif kecil yang merupakan penyusun atau pembentuk gambar bitmap. Banyaknya piksel tiap satuan luas tergantung pada resolusi yang digunakan. Keanekaragaman warna piksel tergantung pada bit depth yang dipakai. Semakin banyak jumlah piksel tiap satuan luas maka semakin baik kualitas gambar yang dihasilkan dan tentu akan semakin besar ukuran file yang digunakan. 2.2.5
Resolusi Masing-masing elemen dari matriks yang tidak lain adalah elemen dari
citra digital yang merupakan bagian terkecil dari suatu citra disebut dengan picture element atau piksel. Jadi, jika sebuah citra mempunyai ukuran 125 × 96 piksel artinya citra tersebut mempunyai 125 baris dan 96 kolom dalam sebuah matriks. Sedangkan banyaknya piksel yang digunakan untuk membentuk suatu citra digital disebut resolusi. Semakin tinggi resolusi maka citra yang terbentuk akan semakin baik (Siang, J, J. 2005). Koordinat matriks yang merepresentasikan baris dan kolom piksel dapat dilihat pada Gambar 2.3
Gambar 2.3 Koordinat matriks yang merepresentasikan baris dan kolom piksel 8
2.3
Format Citra Format data citra digital berhubungan erat dengan warna, nilai data digital
merepresentasikan warna dari citra. Berdasarkan jenisnya, citra digital dapat dikelompokkan menjadi tiga macam (Sutojo dkk, 2009), yaitu sebagai berikut. 1. Citra Biner (Monochrome) Pada citra biner, setiap titik bernilai 0 atau 1, masing-masing merepresentasikan warna tertentu. Warna hitam bernilai 0 dan warna putih bernilai 1. Pada standar citra untuk ditampilkan dilayar komputer, nilai biner ini berhubungan dengan ada tidaknya cahaya yang ditembakkan oleh elektron yang terdapat dalam monitor komputer. Angka 0 menyatakan tidak ada cahaya, dengan demikian warna yang direpresentasikan adalah warna hitam. Untuk angka 1 terdapat cahaya, sehingga warna yang direpresentasikan adalah warna putih. Ilustasi citra biner dapat dilihat pada Gambar 2.4
Gambar 2.4 Contoh citra biner (monochrome) (Sumber:Catatan penelitian.wordpress.com) 2. Citra Skala Keabuan (Grayscale) Citra skala keabuan memberi kemungkinan warna yang lebih banyak dari pada citra biner, karena ada nilai-nilai lain di antara nilai minimum (biasanya 0) dan nilai maksimumnya. Banyaknya kemungkinan nilai minimum dan nilai maksimumnya bergantung pada jumlah bit yang digunakan. Contohnya untuk
9
skala keabuan 4 bit, maka jumlah kemungkinan warnanya adalah 24 = 16 warna, dan nilai maksimumnya adalah 24 − 1 = 15. Sedangkan untuk skala keabuan 8 bit, maka jumlah kemungkinan warnanya adalah 28 = 256 warna, dan nilai maksimumnya adalah 28 − 1 = 255. Format citra ini disebut skala keabuan karena pada umumnya warna yang dipakai adalah antara hitam sebagai warna minimal dan warna putih sebagai warna maksimalnya. Ilustrasi citra grayscale dan pallete warna pada citra grayscale dapat dilihat pada Gambar 2.5 dan Gambar 2.6 secara berurutan
Gambar 2.5 Citra grayscale (Sumber:Catatan penelitian.wordpress.com)
Gambar 2.6 Pallete warna pada citra grayscale 3. Citra Berwarna (True Color) Pada citra warna, setiap titik mempunyai warna spesifik yang merupakan kombinasi dari tiga warna dasar, yaitu merah, hijau, dan biru. Format citra ini sering disebut sebagai citra RGB (red, green dan blue). Setiap warna dasar mempunyai intensitas sendiri dengan nilai maksimum 255 (8 bit). Misalnya warna kuning merupakan kombinasi warna merah dan hijau sehingga nilai RGBnya adalah [255,255,0], sedangkan warna ungu muda nilai RBG-nya adalah [150,0,150]. Dengan demikian, setiap titik pada citra berwarna membutuhkan data 3 byte atau sama dengan 24 bit. Jumlah kombinasi warna yang mungkin 10
untuk format citra ini adalah 224 atau lebih dari 16 juta warna, dengan demikian bisa di anggap mencakup semua warna yang ada. Inilah sebabnya format ini dinamakan sebagai citra true color. Citra berwarna (true color) dapat diilustrasikan pada Gambar 2.7
Gambar 2.7 Contoh citra berwarna (true color) (Sumber:Catatan penelitian.wordpress.com)
2.4
Color Model Color model (color space atau color system) adalah suatu model
matematika yang mendeskripsikan cara agar warna-warna dapat direpresentasikan sebagai tupet angka. Pada digital image processing pemodelan berorientasi hardware biasanya dipakai dalam bentuk model RGB (Red, Green, Blue) untuk monitor dan kamera video, model CMYK (Cyan, Magenta, Yellow, dan Hitam) untuk printer warna, dan model HSI (Hue, Saturation, Intensity) yang mendekati cara manusia menjabarkan dan menginterpretasikan warna (Gonzales & Woods, 2002). Color model dapat diilustrasikan dengan Gambar 2.8
Gambar 2.8 Color model (color system)
11
2.4.1
Jenis - Jenis Warna Pembagian warna dalam pengolahan citra sangat penting, tujuannya
adalah untuk membedakan antara warna satu dengan warna yang lainnya. Sehingga dapat memperoleh campuran warna yang diinginkan. Menurut teori Brewster, warna dapat dikelompokkan menjadi empat macam. Keempat kelompok warna tersebut adalah warna primer, warna sekunder, warna tersier, dan warna netral. Teori ini pertama kali dinyatakan pada Tahun 1831 oleh Jordana Brewster. Berikut ini adalah pembagian warna menurut teori Brewster. 1. Warna Primer Warna primer adalah warna dasar yang bukan campuran dari warna-warna lain. Warna yang termasuk dalam golongan warna primer adalah merah, biru, dan kuning. 2. Warna Sekunder Warna sekunder adalah hasil pencampuran dari warna-warna primer dengan proporsi 1: 1. Misalnya warna jingga merupakan hasil dari percampuran warna merah dengan kuning, dan ungu adalah campuran merah dan biru. 3. Warna Tersier Warna tersier adalah campuran salah satu warna primer dengan salah satu warna sekunder. Misalnya warna jingga kekuningan diperoleh dari pencampuran warna kuning dengan jingga. 4. Warna Netral Warna netral adalah hasil campuran ketiga warna dasar dalam proporsi 1: 1: 1. Warna ini sering muncul sebagai penyeimbang warna-warna kontras di
12
alam. Biasanya hasil campuran yang tepat akan menuju hitam. Warna-warna yang tidak lagi memiliki kemurnian warna atau dengan kata lain bukan merupakan warna primer maupun sekunder. Warna ini merupakan campuran ketiga komponen warna sekaligus, tetapi tidak dalam komposisi tepat sama. 2.4.2
Warna Pada Pengolahan Citra Dalam istilah monitor, piksel sering disebut titik-titik bersinergi yang
menghasilkan warna dan gambar, biasanya ditulis seperti 1920 × 1080, dll. Artinya monitor tersebut memiliki jumlah piksel 1920 (kiri – kanan dalam 1 baris piksel) dan 1080 (atas – bawah dalam 1 kolom piksel). Total ada 2 juta piksel lebih di monitor tersebut (kalikan lebar dengan tingginya). Oleh karena itu semakin banyak titik-titik elemen tersebut, maka gambar akan semakin terlihat lebih halus. 1 piksel terdiri dari 3 sub-piksel, yaitu warna merah, hijau dan biru, kecuali
yang
menggunakan
teknologi
quatron ada
tambahan
warna
kuning sebagai warna dasar penyusunnya (RGB + Y). RGB adalah singkatan dari (red, green dan blue), tiga warna dasar yang dijadikan patokan warna secara universal. Dengan basis RGB, komputer dapat mengubah warna ke dalam kode-kode angka sehingga warna tersebut akan tampil universal. CMYK merupakan standar industri cetak saat ini. Singkatan dari Cyan, Magenta, Yellow, dan K mewakili warna hitam. CMYK merupakan standar warna berbasis pigment based, yang menyesuaikan diri dengan standar industri printing. Sampai saat ini, dunia cetak mencetak memakai 4 warna dasar dalam membuat warna apapun yaitu cyan (biru kehijau-hijauan), magenta (merah keunguan), yellow (kuning), dan hitam.
13
Pada dasarnya printer dan monitor adalah dua perangkat yang berbeda, bahkan basis manajemen warnanya-pun berbeda, monitor menggunakan mode RGB (seperti juga mata manusia) sedangkan printer menggunakan mode CMYK. RGB menggunakan proses rasterisasi yang tingkat gradasinya lebih pendek sedangkan pada CMYK menggunakan tingkat refleksi yang gradasinya lebih panjang. Contohnya pada Photoshop dan Corell Draw dimana palette warna RGB menggunakan 255 tingkat gradasi sedangkan CMYK hanya 100 tingkat gradasi, pendek kata ada detail warna yang tidak bisa disimulasikan oleh printer. Salah satu cara untuk mengatasi perbedaan dalam konversi warna dari RGB ke CMYK adalah kalibrasi. Proses kalibrasi warna adalah proses pencocokan warna agar semua perangkat pemroses menggunakan satu patokan yang serupa. Untuk itu di aturlah agar warna pada monitor sebagai perangkat yang jangkauan warnanya paling tinggi hanya menampilkan warna yang bisa dihasilkan oleh printer. Jadi jika sewaktu-waktu akan mencetak maka hasilnya akan mirip seperti yang terlihat dalam monitor. Berikut ini adalah model warna RGB dan CMYK yang diilustrasikan dengan Gambar 2.9
Gambar 2.9 Model warna pada citra (Sumber:proxima solution.com)
14
2.4.3
RGB Pada Pengolahan Citra Digital Dasar dari pengolahan citra digital adalah pengolahan warna RGB pada
posisi tertentu yang dideskripsikan dengan pemetaan yang mengacu pada panjang gelombang dari RGB. Pemetaan menghasilkan nuansa warna untuk masingmasing R, G dan B. Masing-masing R, G dan B didiskritkan dalam skala 256, sehingga RGB akan memiliki indeks warna antara 0 sampai 255. RGB disebut juga warna pencahayaan, hal itu dikarenakan apabila dalam suatu ruang yang sama sekali tidak ada cahaya, maka ruangan tersebut adalah gelap total. Tidak ada signal gelombang cahaya yang diserap oleh mata atau RGB (0,0,0). Apabila ditambahkan cahaya merah pada ruangan tersebut, maka ruangan akan berubah warna menjadi merah misalnya RGB (255,0,0), semua benda dalam ruangan tersebut hanya dapat terlihat berwarna merah. Demikian apabila cahaya diganti dengan hijau atau biru. Warna RGB difungsikan untuk tampilan di monitor komputer karena warna latar belakang komputer adalah hitam. Jadi, R = merah, G= hijau dan B = biru sebagai warna dasar difungsikan untuk berbagi intensitas cahaya untuk mencerahkan warna latar belakang yang gelap hitam (Ahmad, 2005). Pallete warna RGB pada memori komputer dapat diilustrasikan pada Gambar 2.10
Gambar 2.10 Contoh pallete warna RGB pada memori komputer (Sumber:Pengolahan citra dan suara.blogspot.com)
15
2.5
Operasi Pada Vektor Definisi Vektor Vektor adalah pasangan berurutan bilangan rill, vektor di 𝐑𝟐 ditulis dengan
(𝑎1 , 𝑎2 ) dan vektor di 𝐑𝟑 ditulis (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ). 1. Penjumlahan Vektor Misalkan a= (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) dan b= (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) maka penjumlahan vektor a dengan vektor b adalah a+𝐛 = (𝑎1 + 𝑏1 , 𝑎2 + 𝑏2 , 𝑎3 + 𝑏3 ). Contoh 2.1 Jika a = 3, 4, 5 dan b = 1, 2, 1 Maka 𝐚 + 𝐛 = 3, 4, 5 + 1, 2, 1 = (4, 6, 6) 2. Perkalian Vektor Dengan Skalar Misalkan vektor 𝐚 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) ∈ 𝐑𝟑 dan 𝑘 ∈ 𝐑, maka 𝑘a= (𝑘𝑎1 , 𝑘𝑎2 , 𝑘𝑎3 ) ∈ 𝐑𝟑 . Contoh 2.2 Jika a = 3, 4, 5 dan 𝑘 = 2, maka operasi perkalian 𝑘a dapat dituliskan sebagai 𝑘𝐚 = 2 3, 4, 5 = (6, 8,10) 3. Perkalian Titik (Dot Product) Misalkan 𝐚 = (𝑎1 , 𝑎2 , 𝑎3 ) dan b = (𝑏1 , 𝑏2 , 𝑏3 ) adalah vektor di 𝐑𝟑 . Perkalian titik dari 𝐚 dan b, dinotasikan a . 𝐛 adalah 𝐚 . 𝐛 = (𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 + 𝑎3 𝑏3 ) Jika di 𝐑𝟐 maka 𝐚 . 𝐛 = (𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 )
16
Contoh 2.3 Jika a = 2, −1, 3 dan b = 1, 3, 5 Maka 𝐚 . 𝐛 = 2, −1, 3 . 1, 3, 5 = 2 − 3 + 15 = 14 2.6
Operasi Pada Matriks
1.
Penjumlahan Matriks Jika 𝐀 dan 𝐁 adalah sebarang dua matriks yang ukurannya sama, maka
jumlah 𝐀 + 𝐁 adalah matriks yang diperoleh dengan menambahkan bersamasama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks tersebut. Matriks-matriks yang ukurannya berbeda tidak dapat ditambahkan (Anton, 1991). Bentuk umum : 𝐀 = [aij ]mxn ; 𝐁 = [bij ]mxn
,
maka 𝐀 + 𝐁 = aij + bij = aij + bij = [cij ]mxn dimana cij = aij + bij Contoh 2.4 8 9 Jika 𝐀 = 2 6 4 5
7 2 1 dan 𝐁 = 2 4 5 10 2 6
8 𝐀+𝐁 = 2 4
9 7 2 1 3 + 6 2 4 5 2 5 10 2 6 4
8+2 = 2+4 4+2 10 = 6 6
3 2 maka; 4
10 11 11
9+1 6+5 5+6
7+3 2+2 10 + 4
9 4 14
17
2.
Pengurangan Matriks Sama seperti pada penjumlahan matriks, pengurangan matriks hanya dapat
dilakukan pada matriks-matriks yang mempunyai ukuran yang sama. Jika ukurannya berlainan maka matriks hasil tidak terdefinisikan (Anton, 1991). Contoh 2.5 2 −3
Jika 𝐴 =
𝐴−𝐵 =
3.
7 4 −1 3 5 dan 𝐵 = maka; −6 −5 2 4 −7
2 7 4 −1 − −3 −6 −5 2
=
2 − (−1) 7 − 3 −3 − 2 −6 − 4
=
3 4 −5 −10
3 5 4 −7
4−5 −5 − (−7)
−1 2
Perkalian Matriks Dengan Skalar Jika 𝑘 adalah suatu bilangan skalar dan 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 ) maka matriks 𝑘𝐴 =
(𝑘𝑎𝑖𝑗 ) yaitu suatu matriks 𝑘𝐴 yang diperoleh dengan mengalikan semua elemen matriks 𝐴 dengan 𝑘. Mengalikan matriks dengan skalar dapat dituliskan di depan atau di belakang matriks (Anton, 1991). Contoh 2.6 𝐴=
1 2 0 −1
3 5
maka
2𝐴 = =
2∗1 2∗2 2 ∗ 0 2 ∗ (−1)
2∗3 2∗5
2 4 6 0 −2 10
18
4.
Perkalian Matriks Dengan Matriks Jika 𝐀 adalah matriks m × r dan 𝐁 adalah matriks r × n, maka hasil kali AB
adalah matriks m × n yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. Untuk mencari entri dalam baris i dan kolom j dari 𝐀𝐁, dipilih baris i dari matriks 𝐀 dan kolom j dari matriks 𝐁. Kalikan entri-entri yang bersesuaian dari baris dan kolom tersebut bersama-sama dan kemudian tambahkan hasil kali yang dihasilkan (Anton, 1991). Bentuk umum perkalian matriks : Misalkan a11 a21 𝐀= ⋮ am1
a12 a22 ⋮ am2
⋯ a1r ⋯ a2r = aij ⋮ ⋮ ⋯ amr
b11 b 𝐁 = 21 ⋮ br1
b12 b22 ⋮ br2
⋯ b1n ⋯ b2n = bij ⋮ ⋮ ⋯ brn
m×r
r×n
,
maka a11 a 𝐀𝐁 = 21 ⋮ am 1
a12 a22 ⋮ am2
⋯ a1r ⋯ a2r ⋮ ⋮ ⋯ amr
c11 c = 21 ⋮ cm 1
c12 c22 ⋮ cm2
⋯ c1n ⋯ c2n = cij ⋯ ⋮ ⋯ cmn
b11 b21 ⋮ br1
b12 b22 ⋮ br2
⋯ b1n ⋯ b2n ⋮ ⋮ b ⋯ rn
m×n
dimana : cij = ai1 b1j + ai2 b2j + ai3 b3j + ⋯ + air brj
19
p
cij =
air brj
i = 1, … , m
j = 1, … , n
r=1
Pada umumnya matriks tidak komutatif terhadap operasi perkalian yaitu 𝐀𝐁 ≠ 𝐁𝐀. Matriks AB berlaku komitatif yaitu 𝐀𝐁 = 𝐁𝐀 apabila matriks A dan matriks B adalah matriks bujur sangkar. Matriks bujur sangkar berkomutatif dengan 𝐈 (yang ukurannya sama). Contoh 2.7 1. Matriks 2 ×3. Jika 𝐀 =
2 1 3 1 4 0 dan 𝐁 = 4 5 2 maka; −1 2 3 2 6 4 𝐀𝐁 =
=
1 4 −1 2
2 1 0 4 5 3 2 6
3 2 4
1∙2+4∙4+0∙2 1∙1+4∙5+0∙6 1∙3+4∙2+0∙4 −1 ∙ 2 + 2 ∙ 4 + 3 ∙ 2 −1 ∙ 1 + 2 ∙ 5 + 3 ∙ 6 −1 ∙ 3 + 2 ∙ 2 + 3 ∙ 4 =
18 12
21 15 27 11
2. Matriks 3×3. 8 9 Jika 𝐀 = 2 6 4 5
7 2 1 2 dan 𝐁 = 4 5 10 2 6
8 9 𝐀𝐁 = 2 6 4 5
7 2 1 2 4 5 10 2 6
3 2 maka; 4 3 2 4
8∙2+9∙4+7∙2 8∙1+9∙5+7∙6 8∙3+9∙2+7∙4 = 2∙2+6∙4+2∙2 2∙1+6∙5+5∙6 2∙3+6∙2+2∙4 4 ∙ 2 + 5 ∙ 4 + 10 ∙ 2 4 ∙ 1 + 5 ∙ 5 + 10 ∙ 6 4 ∙ 3 + 5 ∙ 3 + 10 ∙ 4 66 95 = 32 62 48 89
70 26 67
20
2.5
Sekilas Tentang Scilab Dalam pengerjaan masalah-masalah matematika secara numerik tidak
terlepas dari penggunaan software komputer. Terdapat dua kategori umum dari software ilmiah yaitu sistem aljabar komputer yang bermanfaat dalam komputasi simbolik, dan sistem numerik berguna dalam komputasi numerik dan merancang spesifikasi apllikasi ilmiah. Contoh aplikasi terbaik dan terkenal untuk kategori pertama yaitu Maple, Maxima, Mathematica, Axiom, dan Mupad. Kategori kedua didominasi oleh MATLAB. Selain dari Matlab, sekarang ini juga telah hadir sebuah software baru yaitu Scilab. Scilab merupakan suatu software berbasis open-source sebagai alternative dari MATLAB yang dapat didownload secara gratis di http://www.scilab.org Scilab memiliki kesamaan fungsionalitas dengan MATLAB, tetapi tersedia untuk diunduh tanpa biaya lisensi dan tersedia untuk berbagai sistem operasi seperti Windows, Mac OS/X, Unix dan Linux. Scilab aslinya bernama Basile dan dikembangkan di INRIA (Perancis) sebagai bagian dari proyek Meta2. Pengembangannya berlanjut di bawah nama Scilab oleh Scilab group, yang mana adalah sebuah tim riset dari INRIA Metalau dan ENPC. Sejak 2004, pengembangan dan pemeliharaan Scilab dilakukan oleh konsorium Scilab. Scilab merupakan bahasa pemprograman tingkat tinggi, sebagian besar kegunaannya didasarkan pada seputar kemampuan menspesifikasi banyak komputasi dengan sedikit baris kode. Scilab melakukan hal ini dengan mengabstraksi tipe data primitif kepada matriks ekuivalen menurut fungsinya.
21
Scilab telah digunakan secara luas di beberapa industri dan projek penelitian, dan banyak kontribusi telah dibuat oleh para pengguna. Scilab bisa digunakan sebagai sebuah bahasa script untuk menguji algoritma atau untuk melakukan komputasi numeric. Tetapi Scilab juga merupakan bahasa pemrograman dengan Scilab Library standar memuat 200 fungsi kode Scilab. Sintaknya sederhana, dan menggunakan matriks yang mana merupakan objek dasar dari kalkulus ilmiah. Scilab utamanya didedikasikan untuk komputasi ilmiah dan memberikan akses mudah dalam proses numerik yang lebih rumit seperti aljabar linear, integrasi numeric, dan optimisasi. Scilab juga menyediakan banyak fungsi visualisasi yang mencakup 2D, 3D, plot kontur, plot parametric, dan animasi. Grafiknya bisa diekspor ke format yang bervariasi diantaranya Gif, Postscript, Postscript-Latex, dan Xfig. Scilab memiliki fungsi yang sama dengan MATLAB meskipun Scilab bukan merupakan tiruan dari MATLAB namun Scilab mempunyai kemiripan dengan MATLAB. Sintaksnya sama dengan MATLAB, tetapi yang kedua tidak sepenuhnya kompatibel, meskipun terdapat konverter yang disertakan di dalam Scilab untuk konversi kode sumber dari MATLAB ke Scilab. Scilab memiliki lebih sedikit bantuan daripada MATLAB. Sintaks Scilab banyak didasarkan pada bahasa MATLAB. Cara paling sederhana untuk menjalankan kode Scilab adalah dengan mengetiknya pada prompt (-->) di dalam jendela perintah.
22
BAB III METODE PENELITIAN 3.1
Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilaksanakan dari bulan Januari 2016 sampai dengan bulan
April 2016, dan bertempat di Laboratorium Numerik Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Halu Oleo. 3.2
Materi dan Alat Penelitian Materi yang digunakan dalam penelitian ini adalah citra digital, warna,
matriks vektor, dan transformasi citra. Adapun alat yang digunakan adalah komputer. 3.3
Metode dan Prosedur Penelitian Tahapan-tahapan yang dilakukan dalam penelitian ini adalah : 1. Persiapan Awal tahapan ini adalah mengumpulkan literatur yang mendukung penelitian baik dari perpustakaan, browsing di internet, atau dari sumber lain yang dapat memberikan wawasan terhadap permasalahan yang dikaji. 2. Mempersiapkan citra yang akan digunakan dalam penelitian (citra berwarna). 3. Merepresentasikan citra berwarna menjadi sebuah matriks dua dimensi 3 layer. 4. Mengubah matriks 3 layer yang diperoleh menjadi sebuah matriks vektor RGB.
23
5. Mentransformasikan citra berwarna ke dalam format citra keabuan (grayscale) dari matriks vektor RGB yang diperoleh. 6. Menginterpretasikan hasil yang diperoleh.
24
BAB IV HASIL DAN PEMBAHASAN
4.1
Citra Berwarna Dan Citra Keabuan (Grayscale) Pada hasil dan pembahasan ini yang dibahas adalah citra berwarna
berbasis RGB yang berkorespondensi citra keabuan (grayscale). Kemudian akan dianalisis
bagaimana proses perubahan warna atau gradasi warna pada citra
tersebut dari sudut pandang matematika dan aplikasi matematika pada transformasi citra. Pada pembahasan ini software yang digunakan dalam mengolah citra adalah software Scilab dan citra yang digunakan adalah citra berwarna yang berukuran 1108 × 620 piksel. Dalam mengolah citra, proses kuantisasi pada Scilab yaitu dengan cara Scilab membaca piksel-pikselnya saja sesuai perintah dalam program dan melakukan digitalisasi sesuai intensitas warna RGB pada citra. 4.1.1
Grayscale Transformasi Grayscale transformation adalah metode yang digunakan untuk nilai setiap
piksel sampel tunggal hanya membawa informasi intensitas, yang dikenal sebagai hitam-putih, secara eksklusif terdiri dari warna abu-abu, bervariasi dari hitam di bagian intensitas paling lemah untuk putih di bagian yang terkuat. Grayscale transformation sendiri memiliki pengertian sebuah transformasi citra berwarna menjadi citra keabuan (grayscale). Suatu istilah untuk menyebutkan satu citra yang memiliki warna abu-abu, hitam dan putih. Grayscale menunjukkan jumlah
25
warna (dari abu-abu, hingga hitam sampai dengan putih) yang ada dalam satu citra. Pada pengubahan sebuah gambar atau citra menjadi grayscale dapat dilakukan dengan cara mengambil semua piksel pada gambar, kemudian warna tiap piksel akan diambil informasi mengenai tiga warna dasar yaitu merah, hijau, dan biru (RGB). Kemudian ketiga warna dasar tersebut dikonversikan menjadi sebuah matriks vektor yang nilai di dalamnya sesuai dengan intensitas warna pada masing-masing piksel pada citra berwarna. Selanjutnya dikalikan dengan sebuah matriks diaogonal yang nilainya dapat mengubah citra berwarna menjadi citra grayscale. Berikut ini adalah transformasi citra berwarna ke dalam format citra keabuan (grayscale).
Gambar 4.1 Transformasi citra berwarna menjadi citra grayscale 4.1.2
Representasi Citra Dalam Bentuk Matriks Vektor Karena komputer hanya dapat mengolah data yang bersifat numerik, maka
sebuah citra agar dapat diolah menggunakan komputer harus direpresentasikan secara numerik menggunakan nilai-nilai diskrit yaitu berupa angka-angka yang mempresentasikan jumlah intensitas warna pada suatu citra. Proses pengubahan citra menjadi matriks, yaitu citra disimpan oleh komputer dengan cara titik-titik
26
berupa koordinat yang dinamakan piksel. Piksel-piksel inilah jika semuanya disatukan akan membentuk sebuah citra yang akan menyerupai objek aslinya. Berikut ini merupakan representasi numerik matriks red, green dan blue (RGB) dalam program Scilab pada citra Gambar 4.1(a), dengan mengambil 5 baris dan 5 kolom pertama dari 1108 × 620 ukuran matriks yang sebenarnya.
Gambar 4.2 Representase numerik matriks red ,green dan blue Keterangan: 𝑠 : , : ,1 adalah representasi numerik matriks red. 𝑠 : , : ,2 adalah representasi numerik matriks green. 𝑠 : , : ,3 adalah representasi numerik matriks blue.
Gambar 4.2 merupakan representasi numerik matriks red, green dan blue pada citra Gambar 4.1 (a). yaitu dengan mengambil 5 baris dan 5 kolom pertama dari ukuran matriks yang sebenarnya atau ukuran citra yang sebenarnya. Nilainilai matriks inilah yang kemudian dikelola oleh komputer dan dicocokkan dengan pallete warna yang telah terprogram dalam memori komputer kemudian
27
diterapkan pada citra digital sehingga diperoleh gambar yang menyerupai objek aslinya. Matriks Gambar 4.2 agar dapat di transformasikan menjadi matriks citra grayscale maka representasi numerik matriks red, green dan blue pada Gambar 4.2 harus diubah terlebih dahulu menjadi sebuah matriks vektor. Matriks vektor adalah matriks dimana entri-entri di dalamnya berupa vektor-vektor. Secara matematis representasi numerik matriks red, green dan blue menjadi matriks vektor RGB dapat dituliskan sebagai berikut. Misalkan 𝐀, 𝐁 dan 𝐂 adalah matriks yang mewakilkan citra berturut-turut menyatakan komponen red, green dan blue. Representasi matriks vektor dituliskan sebagai a11 a 𝐀 = 21 ⋮ am1
a12 a22 ⋮ am2
⋯ a1n b11 ⋯ a2n b , 𝐁 = 21 ⋮ ⋮ ⋮ ⋯ amn bm1
c11 c21 𝐂= ⋮ cm1 (a11 , b11 , c11 ) (a21 , b22 , c21 ) 𝐌𝐚𝐭𝐫𝐢𝐤𝐬 𝐯𝐞𝐤𝐭𝐨𝐫 = ⋮ (am1 , bm1 , cm1 )
c12 c22 ⋮ cm2
b12 b22 ⋮ bm2
⋯ b1n ⋯ b2n ⋮ ⋮ b ⋯ mn
⋯ c1n ⋯ c2n ⋮ ⋮ c ⋯ mn
(a12 , b12 , c12 ) (a22 , b22 , c22 ) ⋮ (am2 , bm2 , cm2 )
⋯ (a1n , b1n , c1n ) ⋯ (a2n , b2n , c2n ) ⋮ ⋮ ⋯ (amn , bmn , cmn )
Sehingga representasi numerik matriks red, green dan blue pada Gambar 4.2 dapat dituliskan kembali menjadi matriks vektor sebagai berikut. 132, 172, 207 135, 170, 210 136, 175, 208 136, 172, 204 140, 172, 211
138, 177, 210 139, 169, 207 135, 174, 205 135, 179, 206 139, 169, 205
136, 175, 208 142, 171, 205 133, 171, 201 131, 177, 201 141, 172, 203
135, 175, 210 144, 174, 208 139, 178, 209 138, 180, 205 144, 173, 203
138, 181, 216 138, 174, 208 140, 179, 212 139, 174, 204 144, 173, 203
28
Citra grayscale adalah citra yang memiliki warna keabuan antara hitam dan putih. Citra grayscale diperoleh dari hasil transformasi citra berwarna. Gambar 4.2 merupakan representasi numerik matriks red, green dan blue yang merupakan warna-warna dasar penyusun citra pada Gambar 4.1(a), dengan masing- masing warna dasar memberikan intensitas yang berbeda-beda sesuai kebutuhan objek yang akan diserupai. Berikut ini merupakan representasi numerik matriks citra grayscale setelah dikonversikan dari citra berwarna pada Gambar 4.1(a) dalam program Scilab, dengan mengambil 5 baris dan 5 kolom pertama dari ukuran matriks yang sebenarnya dari citra pada Gambar 4.1(b).
Gambar 4.3 Representasi numerik matriks citra grayscale Representasi numerik matriks citra grayscale pada Gambar 4.3 dapat dituliskan kembali dalam bentuk matriks seperti berikut ini. 164 164 167 165 167
169 164 166 169 164
167 166 164 166 166
167 169 170 170 168
172 167 171 167 168
29
4.2
Matriks Vektor Misalkan 𝑘, 𝑚, 𝑛 adalah bilangan asli, sedangkan 𝒖1,1 , 𝒖1,2 , … , 𝒖𝑚 ,𝑛 adalah
vektor di 𝐑𝑘 . Vektor berukuran 𝑚 × 𝑛 didefinisikan sebagai berikut 𝒖1,1 𝒖2,1 𝐀= ⋮ 𝒖𝑚 ,1
𝒖1,2 … 𝒖2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝒖𝑚 ,2 ⋯
𝒖1,𝑛 𝒖2,𝑛 ⋮ 𝒖𝑚 ,𝑛
Dapat juga ditulis 𝐀 (𝑚 ×𝑛) = 𝒖𝑖,𝑗 , dimana 𝑚 × 𝑛 adalah ukuran (𝑜𝑟𝑑𝑜) dari matriks vektor 𝐀. Matriks vektor dengan dimensi baris 𝑚 = 1 disebut dengan matriks vektor baris. Sedangkan dengan dimensi kolom 𝑛 = 1 disebut dengan matriks vektor kolom.
𝐁 = 𝒗1 , 𝒗2 , … 𝒗𝑛 ,
4.2.1
𝒘1 𝒘2 𝐂= ⋮ 𝒘𝑚
Penjumlahan Matriks Vektor Jika 𝐀 dan 𝐁 adalah sebarang dua matriks vektor yang ukurannya sama,
maka penjumlahan 𝐀 + 𝐁 adalah matriks vektor yang diperoleh dengan menambahkan bersama-sama entri yang bersesuaian dalam kedua matriks vektor tersebut. Matriks vektor yang ukurannya berbeda tidak dapat dijumlahkan. Bentuk umum penjumlahan matriks vektor : 𝐀 = [𝒖𝒊,𝑗 ]𝑚𝑥𝑛 ; 𝐁 = [𝒗𝑖,𝑗 ]𝑚𝑥𝑛
maka 𝐀 + 𝐁 = 𝒖𝑖,𝑗 + 𝒗𝑖,𝑗 = 𝒖𝑖,𝑗 + 𝒗𝑖,𝑗 = [𝑪𝑖,𝑗 ]𝑚𝑥𝑛 dimana 𝐂𝑖,𝑗 = 𝒖𝑖,𝑗 + 𝒗𝑖,𝑗
30
Contoh 4.1 1. Matriks vektor 2 × 2. Jika 𝐀 =
(1, 2, 3) (2, 4, 6)
Maka 𝐀 + 𝐁 =
(2, 2, 1) (1, 4, 2) dan 𝐁 = (1, 5, 4) (2, 2, 1)
1, 2, 3 2, 4, 6
2, 2, 1 1, 5, 4
=
1 + 1, 2 + 4, 3 + 1 2 + 2, 4 + 2, 6 + 1
=
2, 6, 5 4, 6, 7
+
1, 4, 2 2, 2, 1
(5, 1, 1) (2, 3, 4) 5, 1, 1 2, 3, 4
2 + 5, 2 + 1, 1 + 1 1 + 2, 5 + 3, 4 + 4
7, 3, 2 3, 8, 8
2. Matriks vektor 3 × 3.
Jika 𝐀 =
132, 172, 207 135, 170, 210 136, 175, 208 (20, 30, 40)
dan 𝐁 = (40, 30, 20)
(20, 25, 30)
138, 177, 210 139, 169, 207 135, 174, 205
136, 175, 208 142, 171, 205 133, 172, 201
(20, 10, 15) (30, 35, 40) (50, 10, 30) (20, 10, 25) (60, 40, 20) (40, 25, 20)
Maka operasi penjumlahan antara matriks vektor 𝐀 dan matriks vektor 𝐁 adalah
𝐀+𝐁=
132, 172, 207 135, 170, 210 136, 175, 208 (20, 30, 40) + (40, 30, 20) (20, 25, 30)
138, 177, 210 139, 169, 207 135, 174, 205
136, 175, 208 142, 171, 205 133, 172, 201
(20, 10, 15) (30, 35, 40) (50, 10, 30) (20, 10, 25) (60, 40, 20) (40, 25, 20)
(152, 202, 247) (158, 187, 235) = (175, 200, 230) (159, 179, 237) (156, 200, 238) (195, 214, 225)
(166, 210, 248) (162, 181, 230) (173, 197, 221)
31
4.2.2
Perkalian Matriks Vektor Dengan Skalar Jika 𝑘 adalah suatu bilangan skalar dan 𝐀 = 𝒖𝑖,𝑗 maka matriks vektor
𝑘𝐀 = (𝑘𝒖𝑖,𝑗 ) yaitu suatu matriks vektor 𝑘𝐀 yang diperoleh dengan mengalikan
semua elemen matriks vektor 𝐀 dengan 𝑘. Mengalikan matriks vektor dengan skalar dapat dituliskan di depan atau di belakang matriks vektor. Perkalian skalar 𝑘 dengan matriks vektor 𝐀 didefinisikan sebagai 𝑘𝒖1,1 𝑘𝒖2,1 𝑘𝐀 = ⋮ 𝑘𝒖𝑚 ,1
𝑘𝒖1,2 … 𝑘𝒖1,𝑛 𝑘𝒖2,2 ⋯ 𝑘𝒖2,𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑘𝒖𝑚 ,2 ⋯ 𝑘𝒖𝑚 ,𝑛
Contoh 4.2 (20, 30, 40) (20, 10, 15) Misalkan matriks vektor 𝐀 = (40, 30, 20) (50, 10, 30) (20, 25, 30) (60, 40, 20)
(30, 35, 40) (20, 10, 25) (40, 25, 20)
Dilakukan operasi perkalian antara matriks vektor 𝐀 dengan skalar sebagai berikut. Jika λ=2 maka, λ𝐀 adalah (20, 30, 40) 2𝐀 = 2 (40, 30, 20) (20, 25, 30)
=
(40, 60, 80) (80, 60, 40) (40, 50, 60)
(20, 10, 15) (30, 35, 40) (50, 10, 30) (20, 10, 25) (60, 40, 20) (40, 25, 20) ( 40, 20, 30) (100, 20, 60) (120, 80, 40)
(60, 70, 80) (40, 20, 50) (80, 50, 40)
32
4.2.3
Perkalian Skalar Dua Matriks Vektor Jika 𝐀 adalah matriks vektor 𝑚 × 𝑛 di 𝐑𝑘 dan 𝐁 adalah matriks vektor
𝑛 × 𝑟 di 𝐑𝑘 maka hasil kali 𝐀 • 𝐁 adalah matriks vektor 𝑚 × 𝑟 yang entri-entrinya ditentukan sebagai berikut. 𝒖1,1 𝒖2,1 Misalkan, 𝐀 = ⋮ 𝒖𝑚,1 𝒗1,1 𝒗2,1 dan 𝐁 = ⋮ 𝒗𝑛,1
𝒗1,2 𝒗2,2 ⋮ 𝒗𝑛,2
𝒖1,2 𝒖2,2 ⋮ 𝒖𝑚,2 … ⋯ ⋮ ⋯
… ⋯ ⋮ ⋯
𝒖1,𝑛 𝒖2,𝑛 = 𝒖𝑖,𝑗 ⋮ 𝒖𝑚,𝑛
𝒗1,𝑟 𝒗2,𝑟 ⋮ = 𝒗𝑖,𝑗 𝒗𝑛,𝑟
Misalkan pula 𝐀 • 𝐁 = 𝐂𝑚×𝑟
𝑚 ×𝑛
𝑛×𝑟
𝒄1,1 𝒄2,1 dan 𝐂 = ⋮ 𝒄𝑚 ,1
𝒄1,2 … 𝒄2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝒄𝑚 ,2 ⋯
𝒄1,𝑟 𝒄2,𝑟 ⋮ = 𝒄𝑖,𝑗 𝒄𝑚 ,𝑟
𝑚×𝑟
Maka 𝐂𝑖,𝑗 = 𝒖𝑖,1 • 𝒗1,𝑗 + 𝒖𝑖,2 • 𝒗2,𝑗 + 𝒖𝑖,3 • 𝒗3,𝑗 + ⋯ + 𝒖𝑖,𝑛 • 𝒗𝑛,𝑗 𝒑
𝐂𝑖,𝑗 =
(𝒖𝑖,𝑛 • 𝒗𝑛 ,𝑗 )
𝑖 = 1, … , 𝑚
𝑗 = 1, … , 𝑟
𝑛=1
Contoh 4.3 1. Matriks vektor 2 × 2 dengan matriks vektor 2 × 2. Jika 𝐀 =
(1, 2, 3) (2, 4, 6)
(2, 2, 1) (1, 4, 2) dan 𝐁 = (1, 5, 4) (2, 2, 1)
(5, 1, 1) (2, 3, 4)
Maka operasi perkalian matriks vektor 𝐀 dan matriks vektor 𝐁 adalah: 𝐀•𝐁=
=
(1, 2, 3) (2, 2, 1) (1, 4, 2) (5, 1, 1) • (2, 4, 6) (1, 5, 4) (2, 2, 1) (2, 3, 4)
1, 2, 3 • 1, 4, 2 + (2, 2, 1) • (2, 2, 1) 2, 4, 6 • 1, 4, 2 + (1, 5, 4) • (2, 2, 1)
1, 2, 3 • 5, 1, 1 + 2, 2, 1 • (2, 3, 4) 2, 4, 6 • 5, 1, 1 + (1, 5, 4) • (2, 3, 4)
33
= =
1 + 8 + 6 + (4 + 4 + 1) 2 + 16 + 12 + (2 + 10 + 4) 24 46
5 + 2 + 3 + (4 + 6 + 4) 10 + 4 + 6 + (2 + 15 + 16)
24 53
2. Matriks vektor 2 × 3 dengan matriks vektor 3 × 2 Jika 𝐀 =
13, 17, 20 13, 17, 21
(10, 10, 8) dan 𝐁 = (7, 12, 11) (10, 5, 12)
13, 17, 21 13, 16, 20
13, 17, 20 14, 17, 20
(16, 10, 15) (10, 10, 10) (6, 14, 11)
Maka operasi perkalian matriks vektor 𝐀 dan matriks vektor 𝐁 adalah
𝐀•𝐁=
= =
13, 17, 20 13, 17, 21
13, 17, 21 13, 16, 20
460 + (526) + (455) 468 + 503 + 465 1441 1436
13, 17, 20 14, 17, 20
(10, 10, 8) • (7, 12, 11) (10, 5, 12)
(16, 10, 15) (10, 10, 10) ( 6, 14, 11)
678 + 510 + (536) 693 + 490 + 542
1724 1725
Teorema 4.1 Misalkan 𝐀, 𝐁 dan 𝐂 adalah matriks vektor yang berukuran 𝑚 × 𝑛. Maka berlaku: 1. 𝐀 + 𝐁 = 𝐁 + 𝐀 (Sifat Komutatif) 2. 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 = 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 (Sifat Asosiatif) 3. Sifat perkalian skalar 𝑘 𝐀 + 𝐁 = 𝑘𝐀 + 𝑘𝐁 4.
𝑘 + 𝑙 𝐀 = 𝑘𝐀 + 𝑙𝐀 (Sifat Distributif)
34
Bukti: 1. 𝐀 + 𝐁 = 𝐁 + 𝐀 Misalkan 𝐀 dan 𝐁 adalah matriks vektor yang berukuran 𝑚 × 𝑛. Akan dibuktikan bahwa berlaku sifat komutatif 𝐀 + 𝐁 = 𝐁 + 𝐀 Pembuktian: 𝒖1,1 𝒖2,1 Misalkan, 𝐀 = ⋮ 𝒖𝑚 ,1
𝒖1,2 … 𝒖1,𝑛 𝒗1,1 𝒖2,2 ⋯ 𝒖2,𝑛 𝒗2,1 ⋮ dan 𝐁 = ⋮ ⋮ ⋮ 𝒖𝑚 ,2 ⋯ 𝒖𝑚 ,𝑛 𝒗𝑚 ,1
𝒗1,2 … 𝒗1,𝑛 𝒗2,2 ⋯ 𝒗2,𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝒗𝑚 ,2 ⋯ 𝒗𝑚 ,𝑛
Akan ditunjukkan bahwa 𝐀 + 𝐁 = 𝐁 + 𝐀 𝒖1,1 𝒖2,1 𝐀+𝐁= ⋮ 𝒖𝑚 ,1
𝒖1,2 … 𝒖1,𝑛 𝒗1,1 𝒖2,2 ⋯ 𝒖2,𝑛 𝒗2,1 + ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝒖𝑚 ,2 ⋯ 𝒖𝑚 ,𝑛 𝒗𝑚 ,1
𝒗1,2 … 𝒗2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝒗𝑚 ,2 ⋯
𝒖1,1 + 𝒗1,1 𝒖2,1 + 𝒗2,1 = ⋮ 𝒖𝑚,1 + 𝒗𝑚,1
𝒖1,2 + 𝒗1,2 … 𝒖2,2 + 𝒗2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝒖𝑚,2 + 𝒗𝑚,2 ⋯
𝒖1,𝑛 + 𝒗1,𝑛 𝒖2,𝑛 + 𝒗2,𝑛 ⋮ 𝒖𝑚,𝑛 + 𝒗𝑚,𝑛
𝒗1,1 + 𝒖1,1 𝒗2,1 + 𝒖2,1 = ⋮ 𝒗𝑚,1 + 𝒖𝑚,1
𝒗1,2 + 𝒖1,2 … 𝒗2,2 + 𝒖2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝒗𝑚,2 + 𝒖𝑚,2 ⋯
𝒗1,𝑛 + 𝒖1,𝑛 𝒗2,𝑛 + 𝒖2,𝑛 ⋮ 𝒗𝑚,𝑛 + 𝒖𝑚,𝑛
𝒗1,1 𝒗2,1 = ⋮ 𝒗𝑚 ,1
𝒗1,2 … 𝒗2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝒗𝑚 ,2 ⋯
𝒗1,𝑛 𝒖1,1 𝒗2,𝑛 𝒖2,1 ⋮ + ⋮ 𝒗𝑚 ,𝑛 𝒖𝑚 ,1
𝒗1,𝑛 𝒗2,𝑛 ⋮ 𝒗𝑚 ,𝑛
𝒖1,2 … 𝒖1,𝑛 𝒖2,2 ⋯ 𝒖2,𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝒖𝑚 ,2 ⋯ 𝒖𝑚 ,𝑛
= 𝐁+𝐀 Terbukti bahwa sifat komutatif berlaku pada operasi penjumlahan matriks vektor 𝐀 + 𝐁 = 𝐁 + 𝐀 dengan syarat 𝐀, 𝐁 berordo sama 𝑚 × 𝑛 .
35
2. 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 = 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 Misalkan 𝐀, 𝐁 dan 𝐂 adalah matriks vektor yang berukuran 𝑚 × 𝑛. Akan dibuktikan bahwa berlaku sifat asosiatif 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 = 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 Pembuktian: 𝒖1,1 𝒖2,1 Misalkan, 𝐀 = ⋮ 𝒖𝑚 ,1
𝒖1,2 … 𝒖1,𝑛 𝒗1,1 𝒖2,2 ⋯ 𝒖2,𝑛 𝒗2,1 ⋮ , 𝐁= ⋮ ⋮ ⋮ 𝒖𝑚 ,2 ⋯ 𝒖𝑚 ,𝑛 𝒗𝑚 ,1
𝒘1,1 𝒘2,1 dan 𝐂 = ⋮ 𝒘𝑚,1
𝒘1,2 … 𝒘2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝒘𝑚 ,2 ⋯
𝒗1,2 … 𝒗1,𝑛 𝒗2,2 ⋯ 𝒗2,𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝒗𝑚 ,2 ⋯ 𝒗𝑚 ,𝑛
𝒘1,𝑛 𝒘2,𝑛 ⋮ 𝒘𝑚,𝑛
Akan ditunjukkan bahwa: 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 = 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 𝒖1,1 𝒖2,1 ⋮ 𝒖𝑚 ,1
𝒖1,1 𝒖2,1 = ⋮ 𝒖𝑚,1
𝒖1,2 … 𝒖2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝒖𝑚 ,2 ⋯
𝒖1,2 𝒖2,2 ⋮ 𝒖𝑚,2
… ⋯ ⋮ ⋯
𝒖1,𝑛 𝒖2,𝑛 ⋮ + 𝒖𝑚 ,𝑛
𝒗1,1 𝒗2,1 ⋮ 𝒗𝑚 ,1
𝒗1,2 … 𝒗2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝒗𝑚 ,2 ⋯
𝒖1,𝑛 𝒗1,1 + 𝒘1,1 𝒖2,𝑛 𝒗2,1 + 𝒘2,1 + ⋮ ⋮ 𝒖𝑚,𝑛 𝒗𝑚,1 + 𝒘𝑚,1
𝒗1,𝑛 𝒘1,1 𝒗2,𝑛 𝒘2,1 ⋮ ⋮ + 𝒗𝑚 ,𝑛 𝒘𝑚 ,1
𝒘1,2 … 𝒘2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝒘𝑚 ,2 ⋯
𝒗1,2 + 𝒘1,2 … 𝒗2,2 + 𝒘2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝒗𝑚,2 + 𝒘𝑚,2 ⋯
𝒘1,𝑛 𝒘2,𝑛 ⋮ 𝒘𝑚 ,𝑛
𝒗1,𝑛 + 𝒘1,𝑛 𝒗2,𝑛 + 𝒘2,𝑛 ⋮ 𝒗𝑚,𝑛 + 𝒘𝑚,𝑛
𝒖1,1 + (𝒗1,1 + 𝒘1,1 ) 𝒖1,2 + (𝒗1,2 + 𝒘1,2 ) … 𝒖1,𝑛 + (𝒗1,𝑛 + 𝒘1,𝑛 ) 𝒖2,1 + (𝒗2,1 + 𝒘2,1 ) 𝒗 + 𝒘 ) ⋯ 𝒖 𝒖2,2 + ( 2,2 2,2 2,𝑛 + (𝒗2,𝑛 + 𝒘2,𝑛 ) = ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝒖𝑚 ,1 + (𝒗𝑚 ,1 + 𝒘𝑚 ,1 ) 𝒖𝑚 ,2 + (𝒗𝑚 ,2 + 𝒘𝑚 ,2 ) ⋯ 𝒖𝑚 ,𝑛 + (𝒗𝑚 ,𝑛 + 𝒘𝑚,𝑛 ) (𝒖1,1 + 𝒗1,1 ) + 𝒘1,1 (𝒖2,1 + 𝒗2,1 ) + 𝒘2,1 = ⋮ (𝒖𝑚 ,1 + 𝒗𝑚 ,1 ) + 𝒘𝑚 ,1
(𝒖1,2 + 𝒗1,2 ) + 𝒘1,2 … (𝒖1,𝑛 + 𝒗1,𝑛 ) + 𝒘1,𝑛 (𝒖2,𝑛 + 𝒗2,𝑛 ) + 𝒘2,𝑛 (𝒖2,2 + 𝒗2,2 ) + 𝒘2,2 ⋯ ⋮ ⋮ ⋮ (𝒖𝑚 ,2 + 𝒗𝑚 ,2 ) + 𝒘𝑚,2 ⋯ (𝒖𝑚 ,𝑛 + 𝒗𝑚 ,𝑛 ) + 𝒘𝑚,𝑛
36
=
𝒖1,1 + 𝒗1,1 𝒖2,1 + 𝒗2,1 ⋮ 𝒖𝑚 ,1 + 𝒗𝑚 ,1
𝒖1,2 + 𝒗1,2 … 𝒖1,𝑛 𝒖2,2 + 𝒗2,2 ⋯ 𝒖2,𝑛 ⋮ ⋮ 𝒖𝑚 ,2 + 𝒗𝑚 ,2 ⋯ 𝒖𝑚 ,𝑛
+ 𝒗1,𝑛 + 𝒗2,𝑛 ⋮ + 𝒗𝑚 ,𝑛
𝒘1,1 𝒘2,1 + ⋮ 𝒘𝑚 ,1
𝒘1,2 … 𝒘1,𝑛 𝒘2,2 ⋯ 𝒘2,𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝒘𝑚,2 ⋯ 𝒘𝑚 ,𝑛
= 𝐀+𝐁 +𝐂 Terbukti bahwa sifat asosiatif berlaku pada operasi penjumlahan matriks 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 = 𝐀 + 𝐁 + 𝐂 dengan syarat 𝐀, 𝐁 dan 𝐂 berordo sama (𝑚 × 𝑛). 3. Sifat perkalian Skalar 𝑘 𝐀 + 𝐁 = 𝑘𝐀 + 𝑘𝐁 Misalkan 𝐀 dan 𝐁 adalah matriks vektor yang berukuran 𝑚 × 𝑛 dan 𝑘 adalah sebarang skalar. Akan dibuktikan bahwa berlaku 𝑘 𝐀 + 𝐁 = 𝑘𝐀 + 𝑘𝐁 Pembuktian: 𝒖1,1 𝒖2,1 Misalkan, 𝐀 = ⋮ 𝒖𝑚 ,1
𝒖1,2 … 𝒖1,𝑛 𝒖2,2 ⋯ 𝒖2,𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝒖𝑚 ,2 ⋯ 𝒖𝑚 ,𝑛
𝒗1,1 𝒗2,1 dan 𝐁 = ⋮ 𝒗𝑚 ,1
𝒗1,2 … 𝒗1,𝑛 𝒗2,2 ⋯ 𝒗2,𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝒗𝑚 ,2 ⋯ 𝒗𝑚 ,𝑛
Akan ditunjukkan bahwa 𝑘 𝐀 + 𝐁 = 𝑘𝐀 + 𝑘𝐁
𝑘 𝐀+𝐁 =𝑘
𝒖1,1 𝒖2,1 ⋮ 𝒖𝑚,1
𝒖1,2 𝒖2,2 ⋮ 𝒖𝑚,2
𝒖1,1 + 𝒗1,1 𝒖2,1 + 𝒗2,1 =𝑘 ⋮ 𝒖𝑚 ,1 + 𝒗𝑚 ,1
=
… ⋯ ⋮ ⋯
𝒖1,𝑛 𝒗1,1 𝒖2,𝑛 𝒗2,1 ⋮ + ⋮ 𝒖𝑚,𝑛 𝒗𝑚,1
𝒗1,2 𝒗2,2 ⋮ 𝒗𝑚,2
𝒖1,2 + 𝒗1,2 … 𝒖1,𝑛 𝒖2,2 + 𝒗2,2 ⋯ 𝒖2,𝑛 ⋮ ⋮ 𝒖𝑚 ,2 + 𝒗𝑚 ,2 ⋯ 𝒖𝑚 ,𝑛
𝑘(𝒖1,1 + 𝒗1,1 ) 𝑘(𝒖2,1 + 𝒗2,1 ) ⋮ 𝑘(𝒖𝑚,1 + 𝒗𝑚 ,1 )
… ⋯ ⋮ ⋯
𝒗1,𝑛 𝒗2,𝑛 ⋮ 𝒗𝑚,𝑛
+ 𝒗1,𝑛 + 𝒗2,𝑛 ⋮ + 𝒗𝑚 ,𝑛
𝑘(𝒖1,2 + 𝒗1,2 ) … 𝑘(𝒖1,𝑛 𝑘(𝒖2,𝑛 𝑘(𝒖2,2 + 𝒗2,2 ) ⋯ ⋮ ⋮ 𝑘(𝒖𝑚,2 + 𝒗𝑚 ,2 ) ⋯ 𝑘(𝒖𝑚 ,𝑛
+ 𝒗1,𝑛 ) + 𝒗2,𝑛 ) ⋮ + 𝒗𝑚 ,𝑛 )
37
=
𝑘𝒖1,1 + 𝑘𝒗1,1 𝑘𝒖2,1 + 𝑘𝒗2,1 ⋮ 𝑘𝒖𝑚 ,1 + 𝑘𝒗𝑚 ,1
=
𝑘𝒖1,1 𝑘𝒖2,1 ⋮ 𝑘𝒖𝑚 ,1
𝑘𝒖1,2 + 𝑘𝒗1,2 … 𝑘𝒖2,2 + 𝑘𝒗2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝑘𝒖𝑚 ,2 + 𝑘𝒗𝑚 ,2 ⋯
𝑘𝒖1,2 … 𝑘𝒖2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝑘𝒖𝑚 ,2 ⋯
𝑘𝒖1,𝑛 𝑘𝒗1,1 𝑘𝒖2,𝑛 𝑘𝒗2,1 + ⋮ ⋮ 𝑘𝒖𝑚 ,𝑛 𝑘𝒗𝑚 ,1
𝑘𝒖1,𝑛 + 𝑘𝒗1,𝑛 𝑘𝒖2,𝑛 + 𝑘𝒗2,𝑛 ⋮ 𝑘𝒖𝑚 ,𝑛 + 𝑘𝒗𝑚 ,𝑛 𝑘𝒗1,2 … 𝑘𝒗1,𝑛 𝑘𝒗2,2 ⋯ 𝑘𝒗2,𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑘𝒗𝑚 ,2 ⋯ 𝑘𝒗𝑚 ,𝑛
= 𝑘𝐀 + 𝑘𝐁 Terbukti bahwa perkalian skalar 𝑘 𝐀 + 𝐁 = 𝑘𝐀 + 𝑘𝐁 dengan 𝐀, 𝐁 berordo sama (𝑚 × 𝑛) dan 𝑘 sebarang skalar.
𝟒. 𝑘 + 𝑙 𝐀 = 𝑘𝐀 + 𝑙𝐀 Misalkan 𝐀 adalah matriks vektor yang berukuran 𝑚 × 𝑛,
𝑘 dan 𝑙 adalah
sebarang skalar. Akan dibuktikan bahwa berlaku sifat distributif
𝑘+𝑙 𝐀=
𝑘𝐀 + 𝑙𝐀 Pembuktian: 𝒖1,1 𝒖2,1 Misalkan, 𝐀 = ⋮ 𝒖𝑚 ,1
𝒖1,2 … 𝒖1,𝑛 𝒖2,2 ⋯ 𝒖2,𝑛 ⋮ , 𝑘 dan 𝑙 adalah skalar ⋮ ⋮ 𝒖𝑚 ,2 ⋯ 𝒖𝑚 ,𝑛
Akan ditunjukkan bahwa 𝑘 + 𝑙 𝐀 = 𝑘𝐀 + 𝑙𝐀
𝑘+𝑙 𝐀= 𝑘+𝑙
𝒖1,1 𝒖2,1 ⋮ 𝒖𝑚 ,1
𝒖1,2 … 𝒖1,𝑛 𝒖2,2 ⋯ 𝒖2,𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝒖𝑚 ,2 ⋯ 𝒖𝑚 ,𝑛
38
(𝑘 + 𝑙)𝒖1,1
=
(𝑘 + 𝑙)𝒖2,1 ⋮ (𝑘 + 𝑙)𝒖𝑚,1
𝑘𝒖1,1 + 𝑙𝒖1,1 𝑘𝒖2,1 + 𝑙𝒖2,1 = ⋮ 𝑘𝒖𝑚,1 + 𝑙𝒖𝑚,1
(𝑘 + 𝑙)𝒖1,2 … (𝑘 + 𝑙)𝒖2,2 ⋯ ⋮ ⋮ (𝑘 + 𝑙)𝒖𝑚,2 ⋯
(𝑘 + 𝑙)𝒖1,𝑛 (𝑘 + 𝑙)𝒖2,𝑛 ⋮ (𝑘 + 𝑙)𝒖𝑚,𝑛
𝑘𝒖1,2 + 𝑙𝒖1,2 … 𝑘𝒖2,2 + 𝑙𝒖2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝑘𝒖𝑚,2 + 𝑙𝒖𝑚,2 ⋯
𝑘𝒖1,1 𝑘𝒖2,1 = ⋮ 𝑘𝒖𝑚 ,1
𝑘𝒖1,2 … 𝑘𝒖2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝑘𝒖𝑚 ,2 ⋯
𝒖1,1 𝒖2,1 =𝑘 ⋮ 𝒖𝑚,1
𝒖1,2 𝒖2,2 ⋮ 𝒖𝑚,2
… ⋯ ⋮ ⋯
𝑘𝒖1,𝑛 + 𝑙𝒖1,𝑛 𝑘𝒖2,𝑛 + 𝑙𝒖2,𝑛 ⋮ 𝑘𝒖𝑚,𝑛 + 𝑙𝒖𝑚,𝑛
𝑘𝒖1,𝑛 𝑙𝒖1,1 𝑘𝒖2,𝑛 𝑙𝒖2,1 + ⋮ ⋮ 𝑘𝒖𝑚 ,𝑛 𝑙𝒖𝑚 ,1 𝒖1,𝑛 𝒖1,1 𝒖2,𝑛 𝒖2,1 + 𝑙 ⋮ ⋮ 𝒖𝑚,𝑛 𝒖𝑚,1
𝒖1,2 𝒖2,2 ⋮ 𝒖𝑚,2
𝑙𝒖1,2 … 𝑙𝒖1,𝑛 𝑙 𝒖2,2 ⋯ 𝑙𝒖2,𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝑙𝒖𝑚 ,2 ⋯ 𝑙𝒖𝑚 ,𝑛 … ⋯ ⋮ ⋯
𝒖1,𝑛 𝒖2,𝑛 ⋮ 𝒖𝑚,𝑛
= 𝑘𝐀 + 𝑙𝐀 Terbukti bahwa sifat distributif berlaku pada operasi perkalian matriks vektor 𝑘 + 𝑙 𝐀 = 𝑘𝐀 + 𝑙𝐀 dengan syarat 𝐀, 𝑘 𝑑𝑎𝑛 𝑙 berordo sama 𝑚 × 𝑛 . 4.3
Aplikasi Matematika Pada Transformasi Citra Berikut ini merupakan aplikasi matematika dalam pengolahan citra digital
dan analisis perhitungan secara matematika bagaimana dapat diperoleh sebuah transformasi citra berwarna menjadi citra keabuan (grayscale). 4.3.1
Transformasi Pada Citra Grayscale Citra grayscale merupakan citra yang hanya memiliki kadar abu-abu dalam
citra tersebut. Intensitas warna abu-abu dalam suatu citra grayscale juga dibentuk dari komposisi red (merah), green (hijau), blue (biru), yang memiliki jumlah
39
intensitas yang sama dalam ruang warna RGB. Citra digital terdiri dari komposisi warna RGB yang memiliki bentuk vektor RGB sebagai berikut. 𝐂𝐢𝐭𝐫𝐚 𝐁𝐞𝐫𝐰𝐚𝐫𝐧𝐚 = 𝐑, 𝐆, 𝐁 Transformasi citra berwarna ke dalam bentuk citra grayscale yaitu dengan mengubah atau mengkonversikan citra dari yang semula adalah berbasis ruang warna RGB dibawa dalam bentuk citra grayscale yang basis warnanya antara warna abu-abu, hitam dan putih. Proses transformasi citra dilakukan secara matematis, yaitu dengan cara mengalikan matriks vektor dari citra berwarna yaitu warna dasar penyusun citra (red, green dan blue) dengan sebuah matriks vektor diagonal yang nilainya dapat mengubah warna-warna dasar tersebut menjadi warna pada citra grayscale. Transformasi citra berwarna ke dalam format citra keabuan (grayscale) dilakukan dengan cara sebagai berikut. Misalkan 𝐖 adalah matriks vektor dari citra berwarna, dan 𝛌 adalah matriks vektor diagonal pengubah citra berwarna menjadi citra grayscale, transformasi
citra berwarna ke dalam format citra grayscale dapat tuliskan
sebagai 𝒘1,1 𝒘2,1 Misalkan, 𝐖 = ⋮ 𝒘𝑚 ,1 𝒘1,1 𝒘2,1 𝐖•𝛌= ⋮ 𝒘𝑚,1
𝒘1,2 … 𝒘1,𝑛 𝒘2,2 ⋯ 𝒘2,𝑛 ⋮ ⋮ ⋮ 𝒘𝑚 ,2 ⋯ 𝒘𝑚 ,𝑛 𝒘1,2 … 𝒘2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝒘𝑚 ,2 ⋯
𝒘1,𝑛 𝒘2,𝑛 ⋮ 𝒘𝑚,𝑛
dan
𝜆1 0 • ⋮ 0
0 … 𝜆2 ⋯ ⋮ ⋮ 0 ⋯
𝜆1 0 𝛌= ⋮ 0 0 … 𝜆2 ⋯ ⋮ ⋮ 0 ⋯
0 0 ⋮ 𝜆3
0 0 ⋮ 𝜆3
40
Dimana 𝜆1 , 𝜆2 dan 𝜆3 = (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 ) yaitu bobot dari vektor model warna RGB
pengubah citra berwarna menjadi citra grayscale. Sehingga transformasi citra berwarna ke dalam format citra grayscale dapat dituliskan kembali sebagai 𝒘1,1 𝒘2,1 𝐖•𝛌= ⋮ 𝒘𝑚 ,1
𝒘1,2 … 𝒘2,2 ⋯ ⋮ ⋮ 𝒘𝑚 ,2 ⋯
𝒘1,𝑛 𝒘2,𝑛 ⋮ 𝒘𝑚 ,𝑛
(𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 ) 0 • ⋮ 0
0 (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 ) ⋮ 0
… ⋯ ⋮ ⋯
0 0 ⋮ (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 )
Contoh 4.3 Misalkan matriks vektor 𝐀 berukuran 2 × 2 adalah matriks vektor yang mewakilkan sebuah citra berwarna, dan 𝛌 adalah matriks vektor diagonal, akan dilakukan operasi transformasi citra berwarna ke dalam format citra grayscale sebagai berikut. 2, 2, 7 5, 7, 1
Jika, 𝐀 = 𝐀•𝛌=
2, 2, 7 5, 7, 1
3, 7, 0 9, 6, 2 3, 7, 2 9, 6, 2
, dan 𝛌 = •
𝜆1 0
𝜆1 0
0 𝜆2
0 𝜆2
Dimana 𝜆1 dan 𝜆2 = (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 ), sehingga:
=
=
2, 2, 7 • (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 ) 5, 7, 1 • (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 )
3, 7, 2 • (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 ) 9, 6, 2 • (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 )
(2𝜆𝑟 + 2𝜆𝑔 + 7𝜆𝑏 ) (3𝜆𝑟 + 7𝜆𝑔 + 2𝜆𝑏 ) (5𝜆𝑟 + 7𝜆𝑔 + 𝜆𝑏 ) (9𝜆𝑟 + 6𝜆𝑔 + 2𝜆𝑏 )
Untuk nilai 𝜆𝑟 =0.277, 𝜆𝑔 = 0.566, dan 𝜆𝑏 = 0.144, Maka diperoleh matriks grayscale sebagai berikut.
=
2(0.277) + 2(0.566) + 7(0.144) 3(0.277) + 2(0.566) + 7(0.144) 5(0.277) + 7(0.566) + 1(0.144) 9(0.277) + 6(0.566) + 2(0.144)
41
=
(0.554 + 1.132 + 1.008) (0.831 + 1.132 + 1.008) (1.385 + 3.962 + 0.144) (2.493 + 3.396 + 0.288)
=
2.694 2.971 5.291 6.177
Hasil matriks grayscale diatas kemudian dibulatkan nilainya, karna telah disepakati bahwa aturan pemberian tingkat kecerahan warna pada piksel adalah bilangan bulat antara 0 sampai dengan 255. Sehingga nilai matriks citra grayscale yang tersimpan dalam komputer adalah 𝐂𝐢𝐭𝐫𝐚 𝐠𝐫𝐚𝐲𝐬𝐜𝐚𝐥𝐞 =
3 6
3 7
Pemberian nilai 𝜆𝑟 =0.277, 𝜆𝑔 = 0.566, dan 𝜆𝑏 = 0.144 ini adalah sesuai aturan dari NTSC (National Television System Committee) yaitu sistem televisi analog yang digunakan dalam sebagian besar peralatan elektronik yang ada sekarang ini. Termasuk juga dalam pengolahan citra digital, yaitu menggunakan sistem aturan dari NTSC. Sehingga standar yang digunakan dalam transformasi citra grayscale juga menggunakan standar dari NTSC.
4.3.2
Operasi Transformasi Citra Berwarna Menjadi Citra Grayscale Berikut ini merupakan proses transformasi citra berwarna ke dalam format
citra keabuan (grayscale) pada Gambar 4.1, dengan mengambil 3 baris dan 3 kolom pertama dari 1108 × 620 ukuran matriks vektor yang sebenarnya. Matriks vektor berikut ini merupakan sebagian kecil dari citra pada Gambar 4.1. Berikut adalah proses transformasi citra berwarna ke dalam format citra keabuan (grayscale). 𝐑 adalah adalah matriks vektor dari citra berwarna pada Gambar 4.1(a), yaitu dengan mengambil 3 baris dan 3 kolom pertama dari citra berwarna pada 42
Gambar 4.1 (a), dan 𝐁 adalah matriks diagonal pengubah citra berwarna menjadi citra grayscale. Transformasi citra berwarna ke dalam format citra grayscale dituliskan sebagai
𝐑=
132, 172, 207 135, 170, 210 136, 175, 208
𝐁=
𝜆1 0 0
0 𝜆2 0
138, 177, 210 139, 169, 207 135, 174, 205
136, 175, 208 142, 171, 205 133, 171, 201
𝑂 0 𝜆3
𝐓𝐫𝐚𝐧𝐬𝐟𝐨𝐫𝐦𝐚𝐬𝐢 𝐆𝐫𝐚𝐲𝐬𝐜𝐚𝐥𝐞 = 𝐑 • 𝐁
𝐑•𝐁=
=
=
132, 172, 207 135, 170, 210 136, 175, 208
138, 177, 210 139, 169, 207 135, 174, 205
136, 175, 208 142, 171, 205 133, 171, 201
𝜆1 • 0 0
0 𝜆2 0
𝑂 0 𝜆3
132, 172, 207 • (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 ) 135, 170, 210 • (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 ) 136, 175, 208 • (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 )
138, 177, 210 • (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 ) 139, 169, 207 • (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 ) 135, 174, 205 • (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 )
136, 175, 208 • (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 ) 142, 171, 205 • (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 ) 133, 171, 201 • (𝜆𝑟 , 𝜆𝑔 , 𝜆𝑏 )
132𝜆𝑟 + 172𝜆𝑔 + 207𝜆𝑏
138𝜆𝑟 + 177𝜆𝑔 + 210𝜆𝑏
136𝜆𝑟 + 175𝜆𝑔 + 208𝜆𝑏
135𝜆𝑟 + 170𝜆𝑔 + 210𝜆𝑏
139𝜆𝑟 + 169𝜆𝑔 + 207𝜆𝑏
142𝜆𝑟 + 171𝜆𝑔 + 205𝜆𝑏
136𝜆𝑟 + 175𝜆𝑔 + 208𝜆𝑏
135𝜆𝑟 + 174𝜆𝑔 + 205𝜆𝑏
133𝜆𝑟 + 171𝜆𝑔 + 201𝜆𝑏
Untuk nilai 𝜆𝑟 =0.277, 𝜆𝑔 = 0.566, dan 𝜆𝑏 = 0.144, Maka diperoleh matriks citra grayscale sebagai berikut. 36.564 + 97.352 + 29.808 38.226 + 100.18 + 30.240 37.672 + 99.05 + 29.952 38.503 + 95.654 + 29.808 39.334 + 97.786 + 29.52 37.672 + 99.05 + 29.952 37.395 + 98.484 + 29.52 36.841 + 97.352 + 28.94
= 37.395 + 96.22 + 30.240
163.724 = 163.855 166.674
168.648 163.965 165.239
166.674 165.640 163.137
164 169 167 = 164 164 166 167 166 164
43
Nilai matriks grayscale yang diperoleh kemudian diproses oleh komputer kemudian dicocokkan dengan palette warna citra grayscale yang telah terprogram dalam memori komputer atau kamera digital yang nilainya antara 0 − 255 karena memori citra yang digunakan dalam pembahasan ini ukurannya lebih dari 8 bit. Berikut ini adalah hasil transformasi citra berwarna ke dalam format citra grayscale dari operasi transformasi citra diatas, yaitu dengan mengambil dengan mengambil 3 baris dan 3 kolom pertama dari ukuran matriks vektor yang sebenarnya. Jika semua baris dan kolom matriks vektor citra berwarna pada Gambar 4.1(a) dilakukan operasi transformasi grayscale, maka akan diperoleh citra grayscale yang utuh seperti dibawah ini.
Gambar 4.4 Hasil transformasi citra berwarna menjadi citra grayscale Distribusi warna atau penyebaran nilai-nilai intensitas piksel dari citra grayscale Gambar 4.4 dapat digambarkan menggunakan histogram citra berikut.
Gambar 4.5 Histogram citra grayscale 44
Gambar 4.5 merupakan histogram dari citra grayscale pada Gambar 4.4. Histogram dalam pengolahan citra digital adalah representasi grafis untuk distribusi warna dari citra digital atau menggambarkan penyebaran nilai-nilai intensitas piksel dari suatu citra atau bagian tertentu di dalam citra. Dari sebuah histogram dapat diketahui frekuensi kemunculan relatif dari intensitas pada citra, kecerahan, dan kontas dari sebuah gambar. Histogram citra grayscale pada Gambar 4.5 cara membacanya adalah mata bergerak dari kiri ke kanan. Grafik tersebut mewakili tingkat gelap-terang masingmasing piksel. Ujung kiri grafik mewakili hitam sempurna, ujung tengah mewakili abu-abu (mid tone) sementara ujung kanan mewakili putih sempurna. Dalam satu titik, ketinggian grafik mewakili jumlah piksel dalam tone tersebut. Karena daerah sebelah kiri mewakili hitam atau gelap, berarti jika citra cenderung gelap (low key) maka histogramnya akan cenderung tinggi disebelah kiri. Jika citra cenderung terang (high key), maka histogramnya cenderung tinggi disebelah kanan. Grafik pada Gambar 4.5 menunjukkan bahwa histogram hampir merata disemua tempat (gambar high contrast) artinya citra grayscale yang dihasilkan penyebaran warnanya merata sehingga dapat dikatakan bahwa citra grayscale yang dihasilkan kualitasnya sudah cukup baik.
45
BAB IV PENUTUP
5.1
Kesimpulan Dari hasil pembahasan diperoleh suatu kesimpulan bahwa transformasi
citra berwarna ke dalam format citra keabuan (grayscale) diperoleh dengan cara mengubah atau mentransformasikan citra yang pada awalnya berbasis ruang warna RGB (red, green dan blue) menjadi sebuah citra yang warna-warna di dalamnya terdiri dari warna abu-abu, hitam dan putih. Secara matematis transformasi citra berwarna menjadi citra keabuan (grayscale) dilakukan dengan cara mengubah atau mengkonversikan citra berwarna menjadi sebuah matriks vektor RGB (red, green dan blue) kemudian mengalikannya dengan sebuah matriks vektor diagonal yang nilainya dapat membawa atau mengubah citra berwarna menjadi citra keabuan (grayscale). 5.2
Saran Dalam mengolah suatu citra digital banyak melibatkan warna-warna
dalam prosesnya, walaupun pada dasarnya warna yang digunakan hanya menggunakan tiga warna dasar yaitu (red, green dan blue). namun hasil percampuran dari ketiga warna dasar ini dapat menghasilkan berjuta-juta warna baru yang kemudian di aplikasikan dalam sebuah citra digital. Dalam pengolahan warna tidak hanya mengenal istilah model warna RGB saja namun masih banyak model warna yang lainnya, misalnya model warna CMYK (Cyan, Magenta, Yellow dan K mewakili warna hitam). Model warna CMYK ini digunakan dalam
46
sistem pewarnaan pada perangkat percetakan atau printer. Sedangkan model warna RGB hanya digunakan pada sistem pewarnaan citra digital. Sehingga dalam penelitian selanjutnya peneliti dapat melakukan sebuah analisis matematika transformasi citra model RGB ke dalam format citra model warna CMYK.
47
DAFTAR PUSTAKA Agustian, I. 2012. Deteksi Kedip Mata Berbasis Metode SURF. Diakses 02 Januari 2016 dari http://unib.ac.id. Ahmad, U. 2005. Pengolahan Citra Digital & Teknik Pemrogramannya. Edisi I. Graha Ilmu. Yogyakarta. Anonim. 2014. Scilab
Anton, H. 1991. Aljabar Linear Elementer. Jakarta: Erlangga. Awcock, GW. 1996. Aplied Image Processing. Singapore. McGraw-Hill Book. Campbell, S.L., Chancelier J-P. & Nikoukhah R. 2006. Modelling and Simulation in Scilbab/Scisos. Springer. New York. Castlemen, K. R. 1996. Digital Image Processing. Prentice Hall, Englewood clift, New Jersey. Gonzales, R. C. and Woods, R. E. 2002. Digital Image Processing Second Edition. NewJersey: Prentice Hall. Siang, J. J. 2005. Jaringan Syaraf Tiruan & Pemrograman Menggunakan MATLAB. Yogyakarta: Andi. Sutojo, T dan Bowo, N. 2010. Teori dan Aplikasi Aljabar Linear & Matriks. Semarang: Penerbit Andi. Sutojo, T., Edy, M., Vincent, S., Oky, D.N., dan Wijanarto. 2009. Teori Pengolahan Citra Digital. Yogyakarta: Penerbit Andi.
48
LAMPIRAN
49
Lampiran 1: Program (Script SciNotes) Menampilkan citra berwarna dalam Scilab dan konversi citra citra berwarna menjadi matriks RGB Clc; Clear all; % Membaca file citra I=imread('C:\Users\MR X\mipa.jpg'); % Menampilkan matriks R, G, B dari file citra Ir=I(:,:,1); Ig=I(:,:,2); Ib=I(:,:,3); s=I(1:5,1:5,:); % Menampilkan file citra figure,imshow(I);
Hasil run program menampilkan citra berwarna dalam Scilab
50
Hasil run program konversi citra berwarna menjadi matriks RGB
51
Lampiran 2: Program (Script SciNotes) Transformasi citra berwarna menjadi
citra keabuan.
Clc; Clear all; % Membaca file citra I=imread('C:\Users\MR X\mipa.jpg'); % Menampilkan matriks R, G, B citra Ir=I(:,:,1); Ig=I(:,:,2); Ib=I(:,:,3); s=I(1:5,1:5,:); % transformasi citra rgb ke grayscale b=rgb2gray(I); % Menampilkan citra grayscale figure,imshow(b); % Menampilkan histogram citra grayscale imhist(b,[],1);
52
Hasil run program transformasi citra berwarna menjadi citra grayscale.
Hasil run histogram citra grayscale, program transformasi citra berwarna menjadi citra grayscale.
53
Lampiran 3: Program (Script SciNotes) Konversi citra grayscale menjadi matriks 𝟓 × 𝟓. Clc; clear all; % Membaca file citra I=imread('C:\Users\MR X\mipa.jpg'); Ir=I(:,:,1); Ig=I(:,:,2); Ib=I(:,:,3); s=I(1:5,1:5,:); % transformasi citra rgb ke grayscale b=rgb2gray(s); % Menampilkan citra grayscale figure,imshow(s);
Hasil run representasi citra grayscale menjadi matriks.
54
