MATRIKS DALAM LABORATORIUM oleh : Sugata Pikatan

Kristal no.12/April/1995

1

MATRIKS DALAM LABORATORIUM oleh : Sugata Pikatan Di dalam matematika anda pasti sudah pernah berhadapan dengan sebuah sistem persamaan linier. Cacah persamaan yang berada di dalam sistem itu dapat sama, kurang atau lebih daripada variabel yang hendak dihitung nilainya. Jika cacahnya sama, berarti kita akan mendapatkan jawaban yang eksak, asal semua persamaan dalam sistem itu saling bebas. Penyelesaian non-trivial akan muncul jika cacah variabel lebih banyak daripadacacah persamaannya. Secara matematis, jika cacah persamaannya yang lebih banyak, sistem itu tidak memiliki penyelesaian, kecuali jika ada persamaan-persamaan yang tidak bebas sehingga dapat disederhanakan menjadi sistem yang variabelnya sama banyak dengan cacah persamaannya. Cara-cara penyelesaian sistem persamaan ini antara lain adalah dengan perhitungan matriks. Lantas apa hubungan semuanya ini dengan laboratorium ? Sekilas pandang, kita tidak merasa perlunya matriks di dalam eksperimen, kita hanya butuh statistika, begitu kira-kira pendapat orang awam. Padahal ternyata, statistika itulah yang membutuhkan matriks dalam perhitungannya. Sebagai kasus, katakanlah ada 3 besaran c, d, dan e yang secara bersama-sama menetukan nilai besaran yang lain, b, melalui teoritis : b = ao + a1c = a2d + a3e

(1)

Di dalam eksperimen kiat berusaha mendapatkan nilai koefisien-koefisien a0, a1, a2 dan a3. Untuk itu kita lakukan variasi terhadap c, d dan e, lalu kita ukur b pada setiap variasi. Sebenarnya, jika saja pengukuran fisis dapat dilakukan secara eksak, kita hanya memerlukan 3 kali variasi dan pengukuran untuk mendapatkan koefisien-koefisien itu. Tiga variabel dapat diselesaikan dengan tiga persamaan. Sayangnya tidak ada pengukuran yang dapat memberikan nilai eksak, ada banyak faktor yang menimbulkan galat (errror) pengukuran (lihat Pengukuran, Pengolahan dan Analisa data Eksperimen, KRISTAL no.7/Oktober/1992). Agar galat pengukuran menjadi sekecil-kecilnya, dalam hal ini galat rambang, maka makin banyak pengukuran yang dilakukan makin akurat pula hasilnya. Dari cara-cara analisa data eksperimen kita kenal azas kuadrat terkecil (least square), untuk seterusnya kita sebut cara LS. Kita akan menggunakan azas ini untuk membuat estimasi terbaik terhadap koefisien-koefisien tersebut. Logikanya, penyelesaian koefisien itu haruslah memberikan galat sekecil mungkin terhadap hasil pengamatan yang telah dilakukan. Secara matematik hal ini dapat dinyatakan dengan : ∂F/∂ai = 0, i = 0, 3 (2) m

F = Σ ( b ′m − b m ) 2 (3) m=1 cacah eksperimen hasil perhitungan melalui persamaan (1) pada variasi ke m setelah koefisienkoefisien ai dihitung hasil pengukuran ke m

di mana : n : b'm : bm :


2

Dari persamaan (2) inilah nama kuadrat terkecil itu diambil. Bila perhitungan koefisien melalui persamaan (2) sudah melibatkan banyak koefisien, kita perlu menggunakan komputer untuk melakukannya. Di sini peran matriks mulai berbicara. Sebagai contoh, misalnya kita mengadakan 6 kali pengukuran untuk menentukan koefisien ai pada persamaan (1). Maka kita dapatkan sebuah sistem yang terdiri dari enam persamaan, yang dapat kita tuliskan sebagai persamaan matriks : B=CA (4) di mana B adalah matriks kolom berorde (6x1) yang berisikan hasil pengukuran besaran b akibat variasi yang dilakukan terhadap c, d dan e. Variasi ketiga besaran bebas ini didaftar dalam matriks C yang berorde (6x4). A adalah matriks berorde (4x1) yang berisikan seluruh koefisien ai. Contoh perhitungan numerik bisa kita lakukan dengan membaca tabel pengukuran di bawah ini : c d e b -----------------------------------1.0 2.0 -1.0 0.11 2.0 -1.0 -0.5 -1.52 1.5 1.0 1.0 6.65 1.0 0.5 -2.0 -3.98 0.5 -1.5 2.0 3.30 -2.0 3.0 -2.5 -3.41 b diukur pada nilai (c, d, e) yang berbeda-beda. Kolom terakhir tidak lain adalah matriks B. Tiga kolom pertama akan membentuk matriks C setelah ditambah satu kolom di depannya yang berisikan bilangan satu. Persamaan (4) secara eksplisit menjadi : 1.0  1.0 1.0  1.0 1.0  1.0

− 1.0

2 .0

2 .0

− 1.0

1.5

1.0

1.0

0.5

0.5

− 1.5

− 2 .0

3.0

− 1.0   − 0 .5  1.0   − 2 .0  2 .0   − 2 .5 

 0 .1 1 

a 0     a   − 1.5 2  =  1   6 .6 5   a 2   − 3.9 8     a 3   3.3 0   − 3 .4 1 

Aplikasi matriks untuk memenuhi persamaan (2) adalah : C 'B = C'Ca E = DA di mana C' adalah transpos dari matriks C. Penyelesaian matriks koefisien A adalah : A = D-1 E (6) dengan ketakpastian untuk masing-masing koefisien : sai =

F Μ ii (n − k) D

, i = 0, 3

(7)

Ddan Miimasing-masing adalah determinan matriks D dan determinan minor elemen diagonal matriks D. F adalah jumlah kuadrat selisih antara b terhitung dan terukur melalui persamaan (3). n dan k adalah cacah pengukuran dan variabel, dalam hal ini 6 dan 4.


3

Berikut ini program komputer yang dapat digunakan untuk menghitung koefisien ai beserta ketakpastiannya. Bahasa program yang digunakan adalah IDL (Interavtive Data Language). ---------------------------------------------------------------------------------------------------------; Contoh Program Least Square dengan menggunakan matriks ;oleh : Sugata Pikatan ;Cacah pengukuran dan variabel N=6 & K=4 B=DBLARR (N,1) C=DBLARR (N,K) CM=DBLARR(K-1,K-1) SIG=DBLARR(K) B=[0.11,-1.52,6.65,-3.98,3.30,-3.41] C =[[1.,1.,1.,1.,1.,1.],[-1.,2.,1.5,1.,5,-2.],[2.,-1.,1.,.5,-1.5,3.],$[-1.,-.5,1.,-2.,2.,-2.5]] ;Menghitung variabel melalui persamaan (6) T=TRANSPOSE(C) D=T#C E=T#B A=INVERT(D) # E ;Menghitung galat variabel ;Menghitung F melalui persamaan (3) F=0 FOR I=0,N-1 DO BEGIN Y=0 FOR J=0,K-1 DO Y=Y+A(J)*C)I,J) F=F+(Y-B(I))^2 ENDFOR ;Menghitung galat melalui persamaan (7) DE=DETERM(D) FOR KK=0,K-2 DO BEGIN IF II LT KK THEN $ FOR JJ=0,k-2 DO BEGIN IF JJ LT KK THEN CM(II,JJ+1) ENDFOR $ ELSE FOR JJ=1,K-2 DO BEGIN IF JJ LT KK THEN CM (II+1,JJ+1) ENDFOR ENDFOR SIG(KK)=DETERM(CM)/DE ENDFOR SIG=SQRT(SIG*F/(N-K))


4

FOR I=0,K-1 DO PRINT, FORMAT=‘(2(X

5

antara C' dan C, bersama-sama dengan matriks E yang merupakan hasil kali antara C' dan B menghasilkan : n    n   n∑cm  ∑ b m   m  m  a 0   = n   n   a1  n  ∑ c mb m   ∑ c m ∑ c 2m    m m  m Dengan cara Cramer persamaan (10) akan menghasilkan rumus-rumus koefisien LR yang biasa ada di buku-buku pedoman praktikum, dan yang dipakai oleh kalkulator saku kita. Demikian pula dengan perhitungan galatnya melalui persamaan (7), akan kita dapatkan persamaan-persamaan yang kita jumpai pada artikel “Pengukuran, Pengolahan dan Analisa Data Eksperimen” (KRISTAL no.7/Oktober/1992) Tampak jelas sudah bahwa peranan matriks dalam pengolahan hasil eksperimen tidaklah kecil. Ia menjadi algoritma komputasi yang memungkinkan cepatnya pengolahan data dalam laboratorium. RUJUKAN : 1. Topping, J., Errors of Observation and Their Treatment, 4th ed., London : Chapman and Hall, Ltd., 1972 2. Bevington, P.R., Robinson, D.J., Data Reduction and Error Analysis for the Physical Science, 2nd ed., New York : McGraw-Hill, 1992 3. Sugata Pikatan, “Pengukuran, pengolahan dan Analisa data eksperimen”, KRISTAL no. 7/Oktober/1992 ***************

MATRIKS DALAM LABORATORIUM oleh : Sugata Pikatan

Recommend Documents