MATLAB alapjainak áttekintése

MATLAB és társai Matematikai kitér® a mátrixokra Mátrixm¶veletek a MATLAB-ban

MATLAB alapjainak áttekintése Horváth Árpád

2015. szeptember 16.

Horváth Árpád

MATLAB


MATLAB és társai

MATLAB: zet®s, nagy tudású, mérnöki és tudományos feladatok megoldására, mátrixközpontú (MATrix LABoratory)

Octave:

nyílt forrású változata, a szintaktikája teljesen azonos,

kisebb tudású

Pylab:

A MATLAB-éhoz hasonló függvények. A Python nyelvre

épül, mások az er®sségei mint a MATLAB-nak.

Laboron MATLAB 7.0.1 (2004), F 113-as és 114-es termekben gyakorolhatnak ha nincs óra

Horváth Árpád

MATLAB


Mi a MATLAB? Egy programozási nyelv, egy interaktív környezettel. A nyelv tartalmazza a megszokott vezérlési szerkezeteket (ciklus, feltételes elágazás. . . ), függvényeket és osztályokat hozhatunk létre benne. Alkalmas önmagában adatok elemzésére és megjelenítésére különféle módokon, ehhez igazodó adattípusai vannak, képes táblázatkezel®b®l, adatbázisból, küls® eszközökb®l adatot gy¶jteni, a kapott eredményeket és ábrákat elmenteni.

Horváth Árpád

MATLAB


A MATLAB toolboxai. . .

különböz® feladatokra (csak pár példa): párhuzamos számítások statisztikai számítások jel- és képfeldolgozás pénzügyi és biológiai modellezés alkalmazásfejlesztés

Horváth Árpád

MATLAB


A MATLAB numerikus értékeket használ Mi az

x 2 = 2 egyenlet megoldáshalmaza?

A MATLAB (Pylab, Octave) numerikus értéket használ. Az úgynevezett számítógépalgebrai rendszerek pl. (MAPLE, MATEMATHICA) képesek pontos értékekkel számolni. A MATLAB csak külön eszköztárral körülményesen.

Horváth Árpád

MATLAB


A MATLAB numerikus értékeket használ Mi az

x 2 = 2 egyenlet megoldáshalmaza?

Pontos értékkel:

{

p

p

2, −

2}

Numerikus értékkel:

{1.4241 · · · , −1.4241 · · · } A MATLAB (Pylab, Octave) numerikus értéket használ. Az úgynevezett számítógépalgebrai rendszerek pl. (MAPLE, MATEMATHICA) képesek pontos értékekkel számolni. A MATLAB csak külön eszköztárral körülményesen.

Horváth Árpád

MATLAB


Mátrixm¶veletek Mátrixm¶veletek tulajdonságai Mátrixok alkalmazásai

Mátrixok: számtáblázatok A matematika számos területén használatosak a mátrixok. Egyenletrendszerek megoldásában és geometriai transzformációk (forgatás egy lövöldöz®s játékban) nélkülözhetetlenek.



2

0

4

6





3

3

3

3



2

0

4

5

£

2

·

6 3

5

6

6

¤

3x4-es mátrix (3 sor 4 oszlop)

1x4-es mátrix (1xm-es, tehát sorvektor)

¸ 2x1-es mátrix (nx1-es, tehát oszlopvektor)

Néha kerek zárójellel jelölik.

Horváth Árpád

MATLAB



Mátrixm¶veletek A mátrixokon az alábbi m¶veleket értelmezünk: A mátrixok összeadását, ebb®l deniálható a különbség, a mátrixok szorzását, ebb®l deniálható a hatványozás (a hányadost nem szokás deniálni, majd meglátjuk miért). És még van egy nem igazi m¶velet, a mátrixok számmal (skalárral) való szorzása. Akkor szoktunk m¶veletr®l beszélni, ha két ugyanolyan matematikai objektummal m¶veletet végezve ugyanolyan típusú objektumot kapunk (például a fenti m¶veleteknél két mátrixból mátrixot, a négy alapm¶veletnél két számból számot, vektorok összeadásánál két vektorból harmadikat). Itt viszont egy számból és egy mátrixból fogunk mátrixot kapni. Ezeket a m¶veleteket majd lineáris algebrából is tanulják.

Horváth Árpád

MATLAB



Mátrixösszeadás értelmezése

A két tag oszlopainak és sorainak számának egyeznie kell, a mátrixok összeadása elemenként történik. Példa két 3 × 4-es mátrix összegére:



2

0

3

6

 

1

0

4

7





3

0

7

13





3

3

−2

3

 +  −1

3

3

4

=

2

6

1

7



2

0

4

5

2

0

1

7

4

0

5

12

Horváth Árpád

MATLAB



Mátrix skalárral való szorzása

Számunkra a skalár egy számot fog jelenteni. A m¶szaki életben és a zikában egy mértékegységgel rendelkez® mennyiség (tömeg, töltés, hossz) is lehet. Egy skalárral való szorzás esetén a mátrix minden elemét megszorozzuk a skalárral. Például:

· 2·

1

8

−3

4

−2

5

¸

·

=

¸

2·1

2·8

2 · (−3)

2·4

2 · (−2)

2·5

Horváth Árpád

MATLAB

·

=

2

16

¸ −6

8

−4

10



Mátrixok kivonása A mátrixok kivonását ezek után egyszer¶en deniálhatjuk. A kivonás tulajdonképpen a mátrix ellentettjének (−1-szeresének)

B mátrix ellentettjét a számoknál megszokott módon, −B -vel jelöljük.

hozzáadását jelenti. A

A − B = A + (−1)B = A + (−B ) 

2

0

3

6

 

1

0

4

7





1

0



3

3

−2

3

 −  −1

3

3

4

=

4

0

2

0

4

5

2

0

1

7

0

0

Horváth Árpád

MATLAB

 −1 −1 −5 −1  3 −2



Mátixszorzás Két mátrix szorzása során nem elemenként végezzük el a m¶veletet, mint az összeadás esetén.

Az

A·B = C

szorzás elvégzését úgy tudjuk könnyen követni, ha a

C

(még ismeretlen) eredménymátrixtól balra írjuk az els® tényez®t (itt

A-t), és fölé a második tényez®t (B -t).

A következ® dián szerepl® ábra mutatja, hogy az eredménymátrixot egy elemét hogyan tudjuk kiszámítani.

Horváth Árpád

MATLAB



2 ..

+

a2

2·

b2

+

a2

1·

b1

2



.+



                 

p2 ·b

a 2p

 a11 a12 . . . a1p          a a22 . . . a2p  21          . . . ..   . . . .   . . .       Horváth  Árpád  a a ... a



b11

b12

...

b1q

b21

b22

...

b2q

. . .

. . .

..

. . .

bp 1

bp 2

...

.

bpq

c11

c12

...

c1q

c21

c22

...

c2q

. . .

. . .

..

. . .

c

c

MATLAB

.

...

c

                 

                 



Az A · B = C szorzat esetén tehát a szorzatmátrix i -edik sorának j -dik elemét az els® tényez® i -dik sorából és a második tényez® j -dik oszlopából alkotjuk meg:

cij = ai 1 b1j + ai 2 b2j + ai 3 b3j + . . . + aip bpj A szorzás csak akkor végezhet® el, ha az els® tényez® oszlopainak a száma megegyezik a második tényez® sorainak számával. Ezt a számot jelöltük

p-vel a képletben és ez el®z® ábrán.

(A fenti összefüggést a szumma jel alkalmazásával így is lehet írni:

cij =

p X k =1

aik bkj

k minden értékére p-ig, és az eredményeket összegzem.)

A szumma jelentése: az utána lév® kifejezést a kiszámolom 1-t®l

Horváth Árpád

MATLAB



           

      

 2

3

1

2

0

4

5

1

1

  2

3

1

5

3

0

     

     

          



?

?

?

?

?

?

Horváth Árpád

MATLAB

     



           

      

 2

3

1

2

0

4

5

1

1

  2

3

1

5

3

0

     

     

          

 15

7

15

16

15

17

Horváth Árpád

MATLAB

     



Mátrix transzponáltja Az eddigi m¶veletek zöme kétváltozós volt. Két valamib®l csinált egy harmadikat. Egy egyváltozós m¶velet szerepelt már, az ellentettképzés. A transzponált is ilyen egyváltozós m¶velet: egy mátrixból egy másikat csinál. A transzponálás során az eredeti els® sorból lesz az els® oszlop, a második sorból a második oszlop és így tovább.

AT = C ⇒ aij = cji 

1



2

3

 A = 14

2 9

 7 , 2

6

0

5

Horváth Árpád



1

AT = 2 3

MATLAB



1

4

6

2

9

0

7

2

5



Mátrixok halmaza

A továbbiakban a valós számokból álló

n × m-es (n sor, m oszlop)

mátrixok halmazát a következ®képp jelölöm:

Mn×m 



1

2

3

A = 14

2

7

6

0



9

  ∈ M4×3 2 5

Horváth Árpád

MATLAB

AT ∈ M3×4



Mátrixösszeadás tulajdonságai Csoporttulajdonságok 1.

A mátrixösszeadás a számok összeadásához hasonlóan csoportot alkot, amely a következ® négy tulajdonságokat foglalja magában: a) a mátrixösszeadás kétváltozós m¶velet Mn×m felett, azaz bármely két × -es mátrix összege is ilyen mátrix,

n m

b) asszociatív: az összeadások végrehajtásának sorrendje nem változtat a végeredményen, Képlettel: Bármely

A, B , C ∈ Mn×m esetén: (A + B ) + C = A + (B + C )

ezért ha csak összeadás van, nem is kell zárójelezni.

Horváth Árpád

MATLAB




c) Létezik neutrális elem. Létezik egy 0 ∈ M ×

n m

eleme a halmaznak amelyre, akármelyik

A ∈ Mn×m elem esetén:

A + 0 = A és 0 + A = A A neutrális elemet összeadásnál nullelemnek is szoktuk nevezni. (Szorzásnál pedig egységelemenek.) A

M2×3

halmaz nulleleme például:

A=

Horváth Árpád

·

¸

0

0

0

0

0

0

MATLAB




d) Ellentett létezése. Minden

A ∈ Mn×m mátrixnak létezik (−A-val jelölt) ellentettje,

amelyre

A + (−A) = 0 A=

·

¸

1

−2

3

1

0

7

Horváth Árpád

· −1 −A = −1

MATLAB

2 0

−3 −7

¸



Mátrixösszeadás tulajdonságai Kommutativitás

A csoporttulajdonságokon felül még rendelkezik a kommutativitás tulajdonságával is:

bármely

A és B

A+B = B +A

mátrix esetén, amennyiben összeadhatóak.

A csoporttulajdonságokal és a kommutatív tulajdonsággal rendelkez® struktúrákat kommutatív csoportnak vagy Abel-csoportnak nevezzük.

Az

(Mn×m , +)

algebrai struktúra tehát kommutatív csoport.

Horváth Árpád

MATLAB



A mátrixok, mint vektortér (Mn×m , +, λ·) Az

Mn×m

vektortér.

mátrixai úgynevezett vektorteret alkotnak az összeadásra

és a skalárral való szorzásra nézve. Ez azt jelenti, hogy bizonyíthatóak, hogy a mátrixok két m¶veletére teljesülnek a következ® szabályok:

(Mn×m , +)

kommutatív csoport,

a következ® disztributív szabályok teljesülnek:

λ(A + B ) = λA + λB

(λ + µ)A = λA + µA

még két feltétel:

λ(µA) = (λ · µ)A 1 Horváth Árpád

A=A

MATLAB



Alkalmazások

Órán voltak részletezve. lineáris transzformációk: forgatás (2D, 3D), tükrözés, gráfokban adott hosszúságú séták száma két csúcs között, lineáris egyenletrendszer megoldása (gyakorlaton b®vebben) és még rengeteg helyen.

Horváth Árpád

MATLAB


A további részek a MATLAB laborgyakorlatokhoz tartoznak, azok ismerete nem szükséges az FSZ-es hallgatók számára. Számonkérésükre a gyakorlaton kerül sor.

Horváth Árpád

MATLAB


Mátrixm¶veletek a MATLAB-ban Az mátrixok összeadását, kivonását és szorzását a programnyelvekben számok esetén megszokott módon jelöljük a MATLAB-ban is:

+, -, *.

A skalárral való szorzásra szintén a

*

jelet használjuk.

A mátrixok közötti elemenkénti szorzásra és osztásra és elemenkénti hatványozásra a MATLAB-nak egy külön jelölése van: a megszokott m¶veleti jel elé tett ponttal jelöljük.

A transzponáltat a mártix után elhelyezett aposztróf jelöli:

A'

Horváth Árpád

MATLAB


Elemenkénti és mátrixm¶veletek

A szorzást kétféleképpen is el lehetne végezni mátrixok között: azonos méret¶ mátrixok esetén lehet elemenként szorozni: ha az eredeti mátrixok elemeit

cij -vel jelöljük, akkor cij = aij · bij .

aij -vel és bij -vel, eredmény elemeit

a következ® oldalon deniált mátrix-szorzás esetén a helyzet bonyolultabb.

Horváth Árpád

MATLAB


A MATLAB m¶veletei

+ - * /

^ (hatványozás)

Pont nélkül elemenkénti m¶veletek, ponttal mátrixm¶veletek. A különbség a szorzásnál és a hatványozásnál fontos. Ha

A és B

mátrixok, mit jelenthet:

A*B A.*B A^2 A.^2

Horváth Árpád

MATLAB


Mátrixok megadása MATLAB-ban Elemek felsorolásával (pontosvessz® helyett soremelés is lehet):

A = [2 3 1; 5 3 0]

A=

·

2

3

1

5

3

0

¸

Sorvektort kett®spontos jelöléssel.

Speciális függvényekkel. Pl. rand, eye, linspace.

Horváth Árpád

MATLAB


A kett®spontos jelölés

n:m 2:5

n-t®l m-ig egyesével a számok [2 3 4 5]

n:s:m 2:3:20 1:0.1:1.5

n-t®l m-ig s lépésközzel [2 5 8 11 14 17 20] [1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5]

Horváth Árpád

MATLAB


Sorvektor megadása a linspace függvénnyel

Ugyanúgy egyenletesen (lineárisan) oszlanak el a pontok, de a lépésköz helyett a darabszámot tudjuk.

linspace(kezd, vég [, darabszám]) A darabszám elhagyható.

Pl.

linspace(0, 7*pi+1, 1024)

Horváth Árpád

MATLAB


Kirajzoltatás A plot parancs (egyszer¶sítve) így néz ki:

plot([x,] y[, formátum]) x

és

y

sorvektorok, a

formátum

egy sztring

A szögletes zárójel az elhagyható paramétereket (x és jelöli.

x = [5 y = [1 % (5,1), plot(x, y, plot(x, y, % vagy plot(x, y)

2 0] 3 -1] (2,3), (0,-1) pontok ábrázolása 'o') % körökkel '-') % összeköti vonallal

Horváth Árpád

MATLAB

formátum)


Ábra készítése MATLAB-ban

x = linspace(0, 2*pi, 1000) % 1000 érték 0-tól 2*pi-ig plot(x, sin(x)) hold on % Így nem törl®dik az el®z® ábra plot(x, cos(x), '.') title('szögfüggvények') xlabel('x (radian)') ylabel('y') grid on % Rács az ábrára legend('szinusz', 'koszinusz')

Horváth Árpád

MATLAB


Feladat

Ábrázolja az

függvényt a

x → 2sin(x )cos (x ) [−2, 2]

intervallumon!

Horváth Árpád

MATLAB


Megoldási lehet®ségek

Az

x

sorvektor létrehozása többféle lehet. Például:

x = linspace(-2, 2, 1000) x = linspace(-2, 2) x = -2:0.1:2 A kirajzoltatás:

plot(x, 2*sin(x).*cos(x)) Miért kell

.*

?

Horváth Árpád

MATLAB


Vonaltípusok és markerek (nem teljes) formátum -

magyarázat folytonos vonal (alapértelemezett)

--

szaggatott

:

pontozott

-.

pontvonal

. + x o h és H

hatszög

d és D

gyémánt

v > <

¦

p

ötszög (pentagon)

^

háromszögek

Horváth Árpád

MATLAB


Színek jelölés

magyarázat

r

piros

g

zöld

b

kék

c

ciánkék

y m

sárga bíbor (magenta)

k

fekete (blacK)

w

fehér

'ro' sárga körök, 'x' x-ekkel, 'y' sárga folytonos, ':' pontozott ha nincs szín megadva, akkor MATLAB-ban: kék Pylab-ban: a következ® szín a színpalettából Horváth Árpád

MATLAB


Matematikai függvények (nem teljes) függvény sqrt

magyarázat négyzetgyök

sin

szinusz (szögfüggvényekben radián, sind fok)

cos

koszinusz

tan

tangens

asin atan2

arcus sinus kétváltozós arcus tangens (szemközti és melletti koordináta el®jelhelyesen)

exp

exponenciális függvény (az alap e=2.717....)

log

természetes logaritmus (alapja e)

log2 log10 round sign

kettes alapú logaritmus tizes alapú logaritmus kerekít egészre (lásd még ceil, oor) el®jel függvény (1, ha pozitív, -1, ha negatív, 0 ha 0 az érték)

Horváth Árpád

MATLAB


A továbbiakról

A továbbiakban rendszerezni szándékozom a mátrixok m¶veleteinek tulajdonságait. Ez a rész nem kötelez®, csak érdekl®d®knek készül, és hiányos. Lehet, hogy lassan készül és átmenetileg kicsit pongyola is lehet.

Horváth Árpád

MATLAB


Csoport (group) deníciója Az

(G , ◦) A

◦

párost csoportnak nevezzük, ha:

A

◦

G

egy kétváltozós m¶velet az

a, b ∈ G

esetén

a◦b ∈ G

halmaz felett, azaz bármely

m¶velet asszociatív:

∀a, b , c ∈ G Létezik

(a ◦ b) ◦ c = a ◦ (b ◦ c )

n neutrális elem: ∃ !n ∈ G

∀a ∈ G

a ◦ n = a és n ◦ a = a

Minden elemnek létezik inverze:

∀a ∈ G

∃a−1 ∈ G

Horváth Árpád

a ◦ a−1 = n és a−1 ◦ a = n MATLAB


Kommutatív csoport

Egy csoportot kommutatív csoportnak (más néven Abel-csoportnak) nevezünk, ha a m¶velet kommutatív, azaz:

∀a, b ∈ G

Horváth Árpád

a◦b = b◦a

MATLAB


Test (eld) deníciója Az

(F , +, ·) (F , +)

hármast testnek nevezzük, ha: kommutatív csoport,

a neutrális elemét 0 jelöli (nullelem), az additív inverzet

(F \ {0}, ·)

−a

jelöli (ellentett),

kommutatív csoport,

neutrális elemét 1 jelöli (egységelem), a multiplikatív inverzet

a−1

teljesül a disztributivitás

∀a, b , c ∈ F

a(b + c ) = ab + ac

Példák testekre: racionális számok, valós számok, komplex számok a szokásos összeadással és szorzással. Egész számoknál a multiplikatív inverz hiányzik (reciprok). Horváth Árpád

MATLAB


Mátrixokról az absztrakt algebra nyelvén Továbbiakban nem szorítkozunk a valós számokra, a mártix elemei tetsz®leges

F

test elemei lehetnek, és ugyanilyen elemekkel való

szorzást jelenti a skalárral való szorzás.

(Mn×m , λ·, +) (azaz az

n × m-es mátrixok a skalárral való szorzás és az

összeadás m¶veletekre nézve) vektortér,

(R n , ·) azaz a reguláris (nem nulla determinánsú)

n × n-es mátrixok a

mátrixszorzásra nézve nem kommutatív csoport. A neutrális eleme (egységeleme) az egységmátrixnak nevezett mátrix, ahol a f®átlóban 1-esek, máshol 0-ák állnak. (Az 1 és a 0 a test egységeleme és nulleleme.) Horváth Árpád

MATLAB

MATLAB alapjainak áttekintése

Recommend Documents