1
mathextender! thought by Async written in LATEX
Essential note: gramatick´e chyby, nechˇt si kaˇzd´y oprav´ı,— s´ am
1
Komplexn´ı ˇ c´ısla jsou v´ıc neˇ z pouh´ e “i”.
Motto: Kdyˇz si nejsi jist analytick´ ym ˇreˇsen´ım, spoˇcti to numericky – sice tˇeˇzkop´adnˇe, pro nˇekter´e hloupˇe, ale za to jistˇe s chybou, ale ne v ˇr´ adech! Zaˇcneme jedn´ım ze “skvost˚ u” matematiky: eiϕ = cos(ϕ) + i sin(ϕ)
(1)
Kdo nevˇeˇr´ı, coˇz je chv´alihodn´e, nechˇt provˇeˇr´ı: Exponenciela ex m´a zaj´ımavou vlastnost v okol´ı bodu x = 0, chov´ a se totiˇz jako pˇr´ımka (line´arn´ı funkce) y = x + 1. T´eto vlastnosti lze vyuˇz´ıt pro v´ ypoˇcet ex i pro x ∈ R. Lze ps´at: e∆x = 1 + ∆x + o((∆x)2 )
∆x → 0
(2)
Z´ahadn´e o((∆x)2 ) je chyba, jeˇz je zanedbateln´a oproti ∆x. (e∆x )n = e∆xn
x ∈ R, n ∈ N
indukc´ı podle exponentu n lze uk´azat: (e∆x )n = e∆xn = (1 + ∆x + o((∆x)2 ))n = (1 + ∆x)n + o((∆x)2 ),
∆x → 0
ˇ ´ISLA JSOU V´IC NEZ ˇ POUHE ´ “I”. 1 KOMPLEXN´I C
2 srozumitelnˇe tedy:
e∆xn ' (1 + ∆x)1 · (1 + ∆x)2 . . . (1 + ∆x)n =
n Y
(1 + ∆x), ∆x → 0,
n∈N
i=1
(3) protoˇze um´ıme umocˇ novat cel´ ymi ˇc´ısly je snadn´e vypoˇc´ıtat i ex , x ∈ R. Pokud zvol´ıme ∆x = x/n potom dosazen´ım do v´ yrazu (3) dostaneme: x
x
(e n )n = e n n = ex ' (1 +
x n ) n
n → ∞ ⇒ ∆x → 0
coˇz lze pˇrepsat na limitu: ex = lim (1 + n→∞
x n ) n
(4)
pokud poloˇz´ıme k = xn: ex = lim (1 + n→∞
x xn 1 x k ) = lim (1 + ) = lim (1 + )xn n→∞ n→∞ k xn n
Pˇ r´ıklad 1. Vypoˇctete eπ bez pomoci instrukce F2XM1 (2x ) a FLDL2E (konstanta log2 e). Obˇe instrukce podporuje FPU1 Pentia. Pˇredpokl´ad´ ame dostupnost kalkul´atoru, jeˇz je obdaˇren schopnost´ı n´asobit ;-). . ˇ sen´ı. Budeme iterovat v´ Reˇ yraz (4) pro n = 100, nx = ∆x = π/100 = 0.031415926: 2 . (1 + 0.031415926)1 · (1 + 0.031415926)2 . . . (1 + 0.031415926)100 = 22. V´ ysledek “FPU”: 23, 14, n´aˇs v´ ysledek je 22, pro n = 1000 je rozd´ıl hodnot pouze 0, 11 (lepˇs´ı jak 5%). Pozn´ amka. V´ yraz (4) lze rozvinout pomoc´ı binomick´e vˇety v ˇradu: x (1 + )n = 1 + n µ
µ
n 1
¶
x + n
µ
n 2
¶ 2 x
n2
µ
+
n 3
¶ 3 x
n3
+ ...
(5)
¶
n n! V´ yraz · n1k = (n−k)!k!n stˇest´ı) konverguje pro n → ∞ k 1/k!, pro k (naˇ k n! ´ k = 1 je (n−k)!k!n alnˇe splnˇen. Upravou (5) z´ısk´ ame rozvoj k = 1/k trivi´ exponeci´aln´ı fce do mocninn´e ˇrady: ex = 1 + 1 2
x2 x3 xn x + + + ... + 1! 2! 3! k!
Floating Point Unit = poˇc´ıtadlo pro ˇc´ısla s plovouc´ı ˇca ´rkou Pozn. doporuˇcuji pouˇz´ıt funkce xy , jinak se umaˇck´ ate!
(6)
3 Jak dostat do hry i ? Podle (4): ex = lim (1 +
x n ) n
eky = lim (1 +
ky n ) n
n→∞
pak tak´e (y = x/k): n→∞
pak tak´e:
ix n ) n→∞ n Nyn´ı m´ame vˇse pˇripraveno na “matematick´ y experiment” (stejnou iteraˇcn´ı metodu jako v pˇr´ıkladu 1). Laboratorn´ı pom˚ ucky: PC (staˇc´ı starˇs´ı stroj min. 286). Hlava znal´a: (C) OR (C++) OR (Pascal) OR (Delphi) OR (Java) OR (PHP) ... OR (jak´ ykoliv tabulkov´ y procesor). eix = lim (1 +
V´ ypoˇcet sestavte n´asledovnˇe: krok 1. (1 + i∆x) krok 2. (1 + i∆x)(1 + i∆x) = (1 + 2i∆x − ∆x2 ) do jedn´e “ˇskatulky” dejte <(1 + i∆x)2 = 1 − ∆x2 do druh´e =(1 + i∆x)2 = 2i∆x krok 3. (a + ib)(1 + i∆x), kde a je re´aln´ a ˇc´ ast (<) z pˇredchoz´ıho kroku, b je imagin´arn´ı ˇc´ast (=). Nyn´ı tedy padne do ˇskatulky a (<) a − b∆x a do ˇskatulky b (=) i(a∆x + b). Opakujte n-kr´at. Pozn´ amka. L´epe se bude probl´em programovat tak, ˇze m´am 2 promnˇenn´e: Re, Im. Na zaˇc´atku je inicializuji Re = 1, Im = 0. Zacykl´ım se ve smyˇcce: v´ ysledek pro kaˇzd´ y krok bude: Re = a − b · ∆x = Re − Im · ∆x, Im = a · ∆x + b = Re · ∆x + Im ∆x doporuˇcuji volit max. 0,01 pro dosaˇzen´ı mal´eho zkreslen´ı. V´ ysledek je aˇz strhuj´ıc´ı — v promˇenn´e Re “sk´aˇce” cosinus, v Im sinus! (pro vizualizaci tohoto “efektu” je nutn´e vyn´aˇset do grafu alespoˇ n 50 vzork˚ u ze vˇsech iteraˇcn´ı krok˚ u za periodu 2π). Pozn´ amka. Kdo si takto “nezahraje” a “ner´ ype”, nezjist´ı jeˇstˇe jednu zaj´ımavou vˇec: Pokud zvol´ıte i · i = 1, pak nam´ısto cosinu vznikne hyperbolick´ y cosinus, nam´ısto sinu zas hyperbolick´ y sinus. V´ıc obr´azk˚ u s v´ıce rozmˇern´ ymi ˇc´ısly: http://asyncbrain.baf.cz/m/nt/index.htm.
4
2
˚ ANEB TI, CO “NEUDRZ ˇ´I”. . . VYSVOBOZEN´I SKLEROTIKU,
Na m´ıstˇe je analytick´ y “d˚ ukaz”: Podle (6): eix = 1 +
ix (ix)2 (ix)3 (ix)4 (ix)n + + + + ... + 1! 2! 3! 4! k!
(7)
kaˇzd´e i2n (sud´e) je re´aln´e, kaˇzd´e i2n+1 (lich´e) je imagin´arn´ı. Zb´ yv´ a urˇcit znam´enka: Nechˇt existuje ˇc´ıslo ik , jestliˇze je zbytek po celoˇc´ıseln´em dˇelen´ı k/4 zbytek 0 1 2 3
pak. . . pak ik = 1 pak ik = i pak ik = −1 pak ik = −i
exampla (i0 = 1, ii · ii = −1 · −1 = 1), (i1 = i, ii · ii · i = −1 · −1 · i = i), (i2 = −1, ii · ii · ii = −1 · −1 · −1 = −1), (i3 = −i, ii · ii · ii · i = −1 · −1 · −1 · i = −i).
potom lze (7) zjednoduˇsit: eix = cos(x) + i sin(x) = 1 + i
x x2 x3 x4 x5 x6 x7 − −i + +i − − i . . . (8) 1! 2! 3! 4! 5! 6! 7!
Re´aln´a sloˇzka v´ yrazu (8): cos(x) = 1 −
x2 x4 x6 x2n + − . . . (−1)n 2! 4! 6! (2n)!
coˇz je opravdu Taylor˚ uv rozvoj fukce cosinus. Imagin´arn´ı sloˇzka v´ yrazu (8): sin(x) =
x x3 x5 x7 x2n+1 − + − . . . (−1)n 1! 3! 5! 7! (2n + 1)!
coˇz je opravdu Taylor˚ uv rozvoj fukce sinus.
2
Vysvobozen´ı sklerotik˚ u, aneb ti, co “neudrˇ z´ı”. . .
Pokud m´ate probl´emy s “vzoreˇcky” pro sin, cos, tg . . . pamatujte si jen tohle: eiϕ = cos ϕ + i sin ϕ
ii = −1 2
Vzorec pro dvojn´asobn´ yu ´hel: e2iα = e(iα) = (cos α + i sin α)2 = cos2 α + 2 i2 sin α cos α − sin α = cos(2α) + i sin(2α), “roztrˇzen´ım” na re´alnou a imagin´arn´ı ˇc´ast dost´av´ame: sin(2α) = 2 sin α cos α
5 cos(2α) = cos2 α − sin2 α Vzorec pro souˇcet u ´hl˚ u: ei(α+β) = eiα .eiβ = (cos α + i sin α)(cos β + i sin β) = cos α cos β − sin α sin β + i cos α sin β + i sin α cos β = cos(α + β) + i sin(α + β) “roztrˇzen´ım” na re´alnou a imagin´arn´ı ˇc´ ast dost´av´ ame: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β sin(α + β) = cos α sin β + sin α cos β Dovol´ım si jednu d˚ uleˇzitou pozn´amku k tˇemto “vzoreˇck˚ um: Jed´a se totiˇz o rotaci vektoru v ploˇse, nebo vz´ajemnou rotaci kart´ezsk´ ych souˇradnicov´ ych soustav. V´ yrazy: x0 = cos ϕ, y0 = sin ϕ popisuj´ı transfomoraci vektoru jednotkov´e velikosti z pol´arn´ıho souˇradnicov´eho syst´emu do kart´ezsk´eho. Pro rotaci kart´ezsk´ ych souˇradnic se v [1] zav´ ad´ı (doporuˇcuji pˇreˇc´ıst kapitolu 11 (Vektory - rotace), je tam hezk´e geometrick´e odvozen´ı): Nechˇt x0 a y0 jsou sloˇzky vekotoru v nerotovan´e soustavˇe “XY0 ”, nechˇt x% a y% jsou sloˇzky t´ehoˇz vektoru (stejn´a velikost i smˇer) v nov´e soustavˇe “XY% ” rotovan´e o u ´hel % oproti “XY0 ” (+% proti smˇeru hodinov´ ych ruˇciˇcek), potom: x% = x0 cos % + y0 sin % y% = y0 cos % − x0 sin % (9) V pol´arn´ıch souˇradnic´ıch dostaneme stejn´ y v´ ysledek pouh´ ym rozd´ılem u ´hl˚ u ϕ − %, protoˇze (9) popisuje rotaci soustavy, je tedy nutn´e vektor posunout zpˇet, aby z˚ ustal zachov´an smˇer. Pokud dosad´ıme do (9) x0 = cos ϕ, y0 = sin ϕ a x% = cos(ϕ − %), y% = sin(ϕ − %), potom z´ısk´ ame souˇctov´e vzorce, nebo l´epe transformace sloˇzek vektor˚ u rotovaneh´eho vektoru (+%) nebo rotovan´e soustavy (−%) o u ´hel %: rotace vektoru: Sloˇzka X: cos(ϕ + %) = cos ϕ cos % − sin ϕ sin % Sloˇzka Y: sin(ϕ + %) = cos ϕ sin % + sin ϕ cos % rotace soustavy: Sloˇzka X: cos(ϕ − %) = cos ϕ cos % + sin ϕ sin %
6
2
˚ ANEB TI, CO “NEUDRZ ˇ´I”. . . VYSVOBOZEN´I SKLEROTIKU,
Sloˇzka Y: sin(ϕ − %) = sin ϕ cos % − cos ϕ sin % Pozn´ amka. Jak se prohodila znam´enka: fce sinus je lich´ a: sin(−α) = − sin α a cosinus je fce sud´a: cos(−α) = cos α, nakreslete si jejich p˚ ubˇehy, cosinus lze zrcadlit podle osy y, jeˇzto sinus nelze bez otoˇcen´ı znam´enka. Pozn´ amka. sin2 α + cos2 α = 1 je pythagorova vˇeta – polomˇer kruˇznice je 1, ˇcili nen´ı probl´em odpovˇedˇet na ot´azku kolik je absolutn´ı hodnota z eix , ano je to 1. Vzorec pro poloviˇcn´ı u ´hel: √ √ α α α ei 2 = eiα = cos α + i sin α = cos + i sin 2 2 umocnˇen´ım: cos α + i sin α = cos2
α α α α + i2 sin cos − sin2 2 2 2 2
re´aln´a ˇc´ast v´ yrazu je: α α − sin2 , (cos2 ϕ + sin2 ϕ = 1) 2 2 α α α cos α = 1 − sin2 − sin2 = 1 − 2 sin2 2 2 2 α 1 − cos α sin2 = 2 2
cos α = cos2
zde se mus´ıme zastavit: sin2 α sin 2 α sin 2
α 2
“maˇze” znam´enko!
r
1 − cos α , r 2 1 − cos α = − , 2 =
pro vˇsechna α ∈ h0 + 2kπ, π + 2kπi
(1)
pro vˇsechna α ∈ hπ + 2kπ, 2π + 2kπi (2)
obdobnˇe lze dosazen´ım sin2 ϕ = 1 − cos2 ϕ z´ıskat: α cos 2 α cos 2
r
1 + cos α , r 2 1 + cos α = − , 2 =
π π + 2kπ, + 2kπi (3) 2 2 π 3 pro vˇsechna α ∈ h + 2kπ, π + 2kπi (4) 2 2
pro vˇsechna α ∈ h−
imagin´arn´ı ˇc´ast v´ yrazu je nezaj´ımav´ a, jelikoˇz sin α = 2 sin α2 cos α2 je to sam´e jako sin 2β = 2 sin β cos β
7
3
Kdyˇ z komplexn´ı, tak komplexn´ı! eiπ = −1 ? = ln(−1)? ? = ii ? ? = logiπ (x)? ? = aix ?
Napˇr´ıklad ln(−1) = i(π + 2kπ) — hled´ame arccos(−1), protoˇze i sin(ϕ) mus´ı b´ yt nulov´a! aix je standardn´ı aplikace ax = ex ln a , takˇze aix = eix ln(a) . Detailn´ı pohled: ax = 1 + ln(a)x, x→0 konstanta ln(a) potom vystupuje i ve v´ yrazu ei ln aϕ = cos(ln aϕ)+i sin(ln aϕ) Ti, kdo touˇz´ı poznat logiπ (x), cesta je otevˇren´ a. Pozn´ amka. Zaj´ımavost´ı je, ˇze ii = −1 pˇrin´ aˇs´ı nov´e fce, kter´e jsou nevyj´adˇriteln´e koneˇcnou kombinac´ı algebraick´ ych fc´ı. ii = 1 nic nov´eho nepˇrin´ aˇs´ı — cosh ϕ i sinh ϕ je vyj´adˇriteln´a pomoc´ı eϕ .
4
Slavn´ a, i kdyˇ z ban´ aln´ı Moivreova vˇ eta.
Nutno si uvˇedomiti, ˇze nen´ı rozd´ılu mezi eiϕ a ei(ϕ+2kπ) , je tedy lepˇs´ı pouˇz´ıvati formy obecnˇejˇs´ı, neb n´as nesvede na zcest´ı: p n
µ
ei(ϕ+2kπ)
= e ϕ
¶1 i(ϕ+2kπ)
n
= ei
ϕ+2kπ n
ϕ
= ei n +i
2kπ
2kπ n
Doˇslo r´azem ke zmˇenˇe: ei n +i n jiˇz nen´ı stejn´e pro jak´ekoliv k!, stejn´e “sekvence” ˇc´ısel dost´av´ame kaˇzd´ ym celoˇc´ıseln´ym n´ asobkem k/n, proto vznikne pr´avˇe n ˇc´ısel: ϕ
x 0 = ei n
ϕ
2π
ϕ
2(n−1)π ) n
ϕ
2nπ ) n
x1 = ei( n + n ) .. . xn−1 = ei( n + xn = ei( n +
ϕ
= x0 = ei n
8
5
5
´ ´I SOUCIN ˇ ˇ EST ˇ ´I, SPAT. ´ SKALARN MI NEDAL, NAST
Skal´ arn´ı souˇ cin mi nedal, naˇ stˇ est´ı, sp´ at.
M´ame zjistit zda − → − → − → → − cos ϕk h kk k k = h · k = h1 k1 + h2 k2 + . . . + hn kn
→ − − → h , k ∈ Rn
Pozn´ amka. Rn je n-rozmˇern´ y prostor (kaˇzd´ a sloˇzka vektoru je re´aln´e ˇc´ıslo, ˇcili 3D ∼ R3 ). Kaˇzd´e 2 line´arnˇe nez´avisl´e vektory v Rn “generuj´ı” R2 tj. plochu, proto n´as bude zaj´ımat pouze − → − → − → − → cos ϕk h kk k k = h · k = hx kx + hy ky
− → → − h , k ∈ R2
→ − − → Projekci vektor˚ u do osy x lze rozepsat: hx = k h k cos α, kx = k k k cos β, − → − → projekci vektor˚ u do osy y lze rozepsat: hy = k h k sin α, ky = k k k sin β. potom: − → → − − → → − − → → − cos ϕk h kk k k = k h k cos αk k k cos β + k h k sin αk k k sin β = − → → − − → → − − → − → = k h kk k k(cos α cos β +sin α sin β) = k h kk k k cos(α−β) = k h kk k k cos ϕ Mysl´ım, ˇze stoj´ı za povˇsimnut´ı, ˇze se n´am tu zjevila stejn´a formule jako u rotace soustav: cos α cos β + sin α sin β = cos(α − β) − → Pokud je k k k = 1, pak skal´ arn´ı souˇcin vrac´ı pr´avˇe “ixovou” souˇradnici vektoru, kter´ y je nyn´ı pops´an v nov´e, rotovan´e soustavˇe o u ´hel β! ˇ Spr´avn´eho ˇstouru napadne, a coˇz takhle sin(α−β) ? Zkusme postupovat zpˇetnˇe: sin(α − β) = sin α cos β − cos α sin β − → − → vyn´asob´ıme k h kk k k: → − − → − → → − − → − → k h kk k k sin(α − β) = k h kk k k sin α cos β − k h kk k k cos α sin β = − → → − − → → − = k h k sin αk k k cos β − k h k cos αk k k sin β → − − → − → − → inu, hx = k h k cos α, kx = k k k cos β, hy = k h k sin α, ky = k k k sin β pak se div´ıme, pokud si matnˇe vzpomeneme na v´ ypoˇcet determinantu... − → − → − → − → k h k sin αk k k cos β − k h k cos αk k k sin β = hy kx − hx ky = det
µ
hy ky
hx kx
¶
9 zjistili jsme tedy zaj´ımavost: → − − → − → − → cos ϕk h kk k k = h · k = hy ky + hx kx a
µ− →¶
µ
− → − → h , k ∈ R2 ¶
h hy hx − → − → h , k ∈ R2 − → = det k ky kx − → → − Pokud bude k k k = 1 pak se k h k zobraz´ı v nov´e, rotovan´e soustavˇe, jej´ıˇz − → − → x-ov´a osa bude ve smˇeru k k k pokud k k k 6= 1, pak bude vektor zmenˇsen´ y nebo zvˇetˇsen´ y. Tyto formule n´am tedy umoˇzn ˇuj´ı pˇrepoˇc´ıtat souˇradnice pˇri − → hled´an´ı v map´ach podle vektoru k k k— nat´aˇcen´ı a zoomov´ an´ı pomoc´ı lupy (pokud jsme jiˇz napolovic slep´ı;-). Mimochodem, onen determinant je tak´e → − − → “velikost” vektoru, kter´ y vznikne vektorov´ ym souˇcinem k h k×k k k. Protoˇze − → − → jsme v R2 , nen´ı kam tento vektor um´ıstit — mus´ıb´ yt kolm´ y na oba k h k,k k k — jedin´a cesta je zvˇetˇsit dimenzi na R3 . V naˇsem pˇr´ıpadˇe bude v´ ysledek vektorov´eho souˇcinu osa z (smˇer), kter´a je kolm´ a na obˇe x,y. Viz obr: osa z
→ − − → sin ϕk h kk k k = det
¡ ¡ osa y
¡ ¡ ¡ S 0 ¡h ³ 1PP k ¡³³³ HH PP ³ PP H³ ¡ q 1 PP k S H ³³ ³ ¡ HP ³ HPPP ¡ HHq³³ h0 ¡ H H H 6
Plocha (objem pro Rn , n > 3) S ohraniˇcen´ a − → − → − →0 − →0 vektory h , k , h a k je rovna: µ− µ ¶ →¶ h hy hx − → → − sin ϕk h kk k k = det − → = det k ky kx
osa x Jeˇstˇe m´am v z´aloze zaj´ımavost kolem determinantu (“grafick´ y d˚ ukaz”): *£± © ©©¡ £ © ¡ D ©2 © ¡ £ 1£ 3¡¡££± £ £ ¡ £ £ £ 1 £h £ £ *£ £ k ©©© ¡ B £ ©© ¡ £© 2¡ 4
A
C
Plocha ˇctyˇru ´heln´ıka ABCD je sloˇzena z obsahu hy kx (vyznaˇcen´ y obd´eln´ık) minus plochy 3,4. Plochy 3,4 jsou ale pr´avˇe hx ky µ
Potom: S = det
hy ky
hx kx
¶
= hy kx − hx ky
Co je tedy skal´ arn´ı souˇcin?
Protoˇze palt´ı sin2 ϕ + cos2 ϕ = 1 pak tak´e: sin2 ϕ(khkkkk)2 + cos2 ϕ(khkkkk)2 = (khkkkk)2
10
5
´ ´I SOUCIN ˇ ˇ EST ˇ ´I, SPAT. ´ SKALARN MI NEDAL, NAST
Takˇze tu m´ame pythagorovu vˇetu. khkkkk tvoˇr´ı obd´eln´ık, ten umocnˇete, vznikne ˇctyˇrrozmˇern´ y kv´adr. Zkuste zformulovat takovou vˇetu! To je vˇsechno kr´asn´e, ale nem´ame d˚ ukaz platnosti h · k = khkkkk cos ϕ n i pro R ! Nic lepˇs´ıho, neˇz co bude n´asledovat mˇe nenapadlo: C Á£± £ £ £ γ£ £ £ p £√ (h + k) · (h + k) £ k·k £ £ £ 1 ³³ £ β ϕ³³³ ³ £ 1 ³ α³³³ B ³ √ ³
h·h
A
Tohoto obrazu si vaˇzte! Jako zaˇc´ ateˇcn´ık TEXaˇr jsem se na tom vyblbnul ˇc´ısly 2 odpoledne;-) Na osvˇeˇzen´ı pamˇeti: x · x = x1 x1 + x2 x2 + . . . + xn xn = = x21 + x22 + . . . + x2n √ x · x = kxk d´elka (norma) vektoru x Pythagorova vˇeta pro n dimenz´ı euklidovsk´eho prostoru!
Odvozen´ı z kosinov´e vˇety bude vypadat n´asledovnˇe: √ √ (h + k) · (h + k) = h · h + k · k − 2 h · h k · k cos β Skal´arn´ı souˇcin je distributivn´ı a komutativn´ı: √ √ h · h + h · k + k · h + k · k = h · h + k · k − 2 h · h k · k cos β √ √ 2(h · k) = −2 h · h k · k cos β dvojka se “poˇzere”: √ √ h · k = − h · h k · k cos β coˇz je tak´e: h · k = −khkkkk cos β tu pozor! — n´aˇs u ´hel β je jin´ y neˇz “ϕ”. β je π−ϕ (viz obraz), pro cosinus tedy odvod´ıme (nejl´epe nakresn´ım grafu fce), ˇze cos(π − ϕ) = − cos(ϕ) tedy: h · k = khkkkk cos ϕ Nem´am r´ad nedodˇelanou pr´aci, proto jeˇstˇe distributivita: (x + y) · (x + y) = x · x + x · y + y · x + y · y
11 (x1 + y1 ) · (x1 + y1 ) + . . . + (xn + yn ) · (xn + yn ) = = x21 + . . . + x2n + x1 y1 + . . . + xn yn + y1 x1 + . . . + yn xn + y12 + . . . + yn2 z ˇcehoˇz vypl´ yv´a i komutativita xi yi = yi xi . A jeˇstˇe ta podezˇrel´ a kos(z)inova vˇeta: B
C
Á£± £ £ £ β£ £ y £ £ a £ c £ £ π/2 £ Q Q α£ x vQQ £ ³ 1 γ³³³ A ³ ³ b
a plat´ı: x + y = a; x = a − y y = c cos β b2 = v 2 + x2 ; v 2 = b2 − x2 c2 = v 2 + y 2 ; c2 = b2 − x2 + y 2 c2 = b2 − (a − y)2 + y 2 = b2 − a2 + 2ay dosazen´ım za y a pˇreskupen´ım ˇclen˚ u dost´ av´ ame: b2 = a2 + c2 − 2ca cos β
ˇ Cili, nic nepad´a, ale odvozuje se, ˇze?! ;-). Nyn´ı jste mohli vidˇet v´ yhodu “textov´eho jazyka matiky” oproti geometrii — celkem bez probl´em˚ u se pohybuji v dimez´ıch, kter´e si s´am nedok´aˇzu v hlavˇe pˇredstavit — to je v´ yhoda “vzoreˇck˚ u”! Pozor — jeˇstˇe — tento d˚ ukaz bylo moˇzn´e realizovat pouze za vˇedomosti, ˇze kaˇzd´e dva line´arnˇe nez´avisl´e vektory jsou bas´ pı pro dvojdimenzion´aln´ı u ´tvar – rovinu (plochu). Jelikoˇz v´ ysledn´ y vektor (h + k) · (h + k) je line´arn´ı kobinac´ı h a k, pak tak´e leˇz´ı v rovinˇe “generovan´e” h, k. V´ yznam skal´arn´ıho souˇcinu ve fyzice: Na h · k = khkkkk cos ϕ se lze tak´e koukat jako na souˇ cin pr˚ umˇ etu vektoru h do k(= cos ϕkhk) kr´ at velikost k. Pr´ace je definov´ ana jako souˇcin s´ıly a dr´ahy na kter´e s´ıla p˚ usob´ı(W = F r). Obecnˇe pro jakoukoliv dr´ahu v prostoru pak plat´ı: W =
Z r2 → − − − F (→ r ) · d→ r r1
→ Jedn´a se jen o sˇc´ıt´an´ı pˇres nekoneˇcnˇe mal´e u ´seky d− r , protoˇze uvaˇzujeme jakoukoliv dr´ahu v prostoru. V pˇr´ıpadˇe pohybu po pˇr´ımce odpad´a v´ yznam skal´arn´ıho souˇcinu — pˇrech´az´ı na norm´aln´ı algebraick´ y souˇcin. V pˇr´ıpadˇe − → → pohybu po kruˇznici je d− r st´ale kolm´ y k s´ıle F , skal´ arn´ı souˇcin je st´ale nulov´ y, takˇze pohyb po kruˇznici nepotˇrebuje, ani nevyd´av´ a energii. Pohyb
12
6
THE DAY OF INDEPENDENCE.
→ − → po elipse ale st´alou kolmost F a d− r nezaruˇc´ı, naˇse planeta Zemˇe se pohybuje po elipse a proto se v pr˚ ubˇehu roku mˇen´ı jej´ı rycholst (st´ale doch´ az´ı k pˇremˇen´am kinetick´e a potenci´an´ı energie!). Nutno podotknouti, ˇze tohle je docela dobr´a aproximace, protoˇze realita nen´ı ploch´ a jako euklidovsk´ y prostor! (Viz. Obecn´a teorie relativity).
6
The Day of Independence.
Dva vektory h, k ∈ X n3 jsou line´arnˇe nez´avisl´e pr´avˇe tehdy kdyˇz neexistuje λ 6= 0, takov´e, ˇze plat´ı: h = λk = (λk1 , λk2 , . . . , λkn ) coˇz lze zobecnit na n vektor˚ u: n X
λi hi = 0,
(λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn \{(0, . . . , 0)}
i=1
A co to znamen´a ? λ pouze “magnifikuje” – mˇen´ı velikost vektoru. Viz. ¢¢¸ obr:. line´ arnˇe nez´avisl´e line´ arnˇe z´avisl´e ¢ ¢¢¸ ¢¢¸ ¢ ¢¢¸ ¢®¢ ¢
¢
¢®¢
¢ ¡ µ ¢ ¡ ¢¡ IBM ´ @ 3 ¡ @B¢´ £A °£ A A AAU
Line´arnˇe z´avisl´e vektory maj´ı tedy stejn´ y nebo opaˇcn´ y smˇer. Pozor na OBRAZ line´ arnˇ e nez´ avisl´ e! — je tochu nepˇresn´ y — uvˇedomte si, ˇze lin´arn´ı kombinac´ı dvou vektor˚ u lze z´ıskat tˇret´ı opaˇcn´y vektor, kter´ y je na obr´azku, takˇze lze naj´ıt takov´ a λi ! Pro sud´ y poˇcet vektor˚ u to plat´ı tak´e — dva vytvoˇr´ı nov´ y, kter´ y “vynulujeme” dalˇs´ımi dvˇema (jejich lin. kombinac´ı). Souvis´ı to s bas´ı vektorov´eho prostoru jako minim´aln´ım poˇctem vektor˚ u generuj´ıc´ıch prostor! Z ob´azku je nutn´e uvaˇzovat vˇzdy dva jak´ekoliv vektory. Zamystele se nad t´ım a jak by n´am na obr´azku pomohlo 7 dimenz´ı?
6.1
Line´ arn´ı vectorm!x.
Line´arn´ı kombinace vektor˚ u je definov´ ana takto: k=
n X
λi hi = λ1 h1 + λ2 h2 + . . . + λn hn ,
(λ1 , . . . , λn ) ∈ Rn
i=1
jestliˇze v´ıte jak se sˇc´ıtaj´ı vektory, pak vˇezte, ˇze tohle je akor´ at sˇc´ıt´ an´ı vektor˚ u s modifikovanou velikost´ı dle λi . 3
ˇ ˇc´ısla cel´ Za X si dosadte a, re´ aln´ a i komplexn´ı.
6.2
Nikoliv igelitov´e, ale line´arn´ı obaly!
13
Line´arn´ı kombinace λh se d´a pˇredstavit na “natahuj´ıc´ı” se gumˇe nebo ˇ ım v´ıce provaz nat´ahnete, t´ım vˇetˇs´ı je λ a ide´ alnˇe pruˇzn´em provazu. C´ naopak. 2 vektory
KAA
A
h1 A
1 AKA ³³³³ ¢¸ AK AK ¢ A A A ¢k ³³ ³ 1 1 A³ ¢ ³
h2
1 ³ A³³
6.2
line´arn´ı kombinace λ1 = 2/3 λ2 = 2
Nikoliv igelitov´ e, ale line´ arn´ı obaly!
Line´arn´ı obal L je mnoˇzina vˇsech line´arn´ıch kombinac´ı mnoˇziny vektor˚ u hi ∈ V : n X
L(V ) = {
λi hi }
i=1
Ovˇsem obal je tu velmi zav´ adˇej´ıc´ı pojem. O ˇz´ adn´ y obal se nejedn´a, ale jedn´a se o prostor, kter´ y generuj´ı vektory z V ! Z subkapitoly 6.1 m˚ uˇzete vypozorovat, ˇze pokud uv´aˇz´ıme vˇsechny moˇzn´e line´arn´ı kombinace h1 a h2 , dostaneme plochu! Jestliˇze chcete generovat 3D, pak si vemte 3 line´arnˇe nez´avisl´e vektory. Velmi pouˇz´ıvan´ a je jednotkov´ a kanonick´ a b´aze 3 e : ex , ey , ez : 6ez = (0, 0, 1)
1 0 0 1 0 0
0 0 = 1
ex =-(1, 0, 0)
¡ ¡ ¡ ª ey = (0, 1, 0)
Kdo m´a apetit na 156 dimenz´ı, nechˇt si opatˇr´ı 156 line´arnˇe nez´avisl´ ych vektor˚ u (tj. budou tvoˇreny minim´alnˇ nˇe 156 sloˇzkami e156 ).
6.3
Base “vektorprostoru”.
S pojmem base (b´aze) line´arn´ıho prostoru se setk´ate hned ve vstun´ım kurzu line´arn´ı algebry. V´ yznam je zcela trivi´aln´ı: Base prostoru V je minim´aln´ı mnoˇzstv´ı vektor˚ u generuj´ıc´ıch “n´aˇs” vektorprostor V . Pojem minim´aln´ı mnoˇzstv´ı je ekvivalentn´ı pojmu line´arnˇe nez´avisl´ ych. Pojem generuje je ekvivalentn´ı line´arn´ımu obalu. Dimenze takov´eho prostoru je rovna poˇctu
14
7
ˇ SLOVO NA ROZLOUCENOU...
minim´ aln´ıho mnoˇzstv´ı vektor˚ u. Uvˇedomte si, ˇze pro generov´ an´ı prostoru nemus´ıte m´ıt na sebe kolm´e vektory, ale staˇc´ı pouze jejich lin. nez´avislost. Kanonick´e vektory maj´ı v´ yhodu, ˇze se v nich dobˇre pˇrem´ yˇsl´ı, dalˇs´ı v´ yhody pozn´ate pˇri studiu pojmu gradient (diferenci´ aln´ı poˇcet fc´ı v´ıce promˇenn´ ych).
7
Slovo na rozlouˇ cenou...
Je dobr´e si uvˇedomit, ˇze komplexn´ı ˇc´ısla jsou “automaticky” vynucena jen t´ım jak ˇclovˇek zavedl sˇc´ıt´ an´ı a jeho “nad-operace” (n´asoben´ı, umocˇ nov´ an´ı. . . ) 4 , pˇ ri hled´an´ı inverzn´ı fce aˇz do zaveden´ı komplexn´ıch ˇc´ısel naraz´ıte na neˇreˇsiteln´ y probl´em. Napˇr. a + 2 = 0 nevyˇreˇs´ıte bez zaveden´ı z´aporn´ ych ˇc´ısel. Opravdov´a kr´asa matematiky se projev´ı v aplikac´ıch — bez t´eto oblasti lidsk´eho b´ad´an´ı bychom v budoucnu asi neodvr´atili naˇsi zk´azu (sr´aˇzka s metoritem, vyhasnut´ı Slunce apod.) S´ıla tkv´ı v moˇznosti pˇ redpov´ıdat co se stane v budoucnosti! Matematika je kvantitativn´ım jazykem pro popisov´an´ı pˇr´ırody, poˇc´ıtaˇce jsou “stroje na pˇredpov´ıd´ an´ı”, kdyˇz jim d´ate dobr´ y model reality. Mimochodem v´ıte jak zjistit, ˇze jste v MATRIXu a ne v realitˇe? — staˇc´ı prov´est experiment, kter´ y ovˇeˇr´ı kˇrivost ˇcasoprostoru. Dneˇsn´ı “nere´aln´e” hry jsou konstruov´ any na principech euklidovsk´eho prostoru, kde plat´ı: vzd´alenost dvou bod˚ u − → → − = kh − kk =
q
(h1 − k1 )2 + (h2 − k2 )2 + . . . + (hn − kn )2
ˇcili pythagorova vˇeta. Euklidovsk´ y prostor nen´ı zakˇriven´ y, ale realita ano! Jeden pˇr´ıklad: troj´ uheln´ık, kter´ y m´a vˇsechny u ´hly prav´e — na kouli to moˇzn´e je (jedna osmina koule). Douf´ am, ˇze tento text vyvolal bouˇrliv´e diskuze na t´ema komplexn´ı ˇc´ısla a tak podobnˇe ;-))). Just enjoy your free time, free life, free love! Yours 004CZ’s
[email protected]. LATEXin type. Pouˇzit´a a doporuˇcen´ a literatura: [1] Feynmanovy pˇredn´ aˇsky z fyziky 1/3, nakl. FRAGMENT ISBN 80-7200-405-0
4
Napˇr. 1 + 1 + 1 = 3 · 1,
2 · 2 · 2 = 23
