Materi 4: Logika I Nyoman Kusuma Wardana STMIK STIKOM Bali
Logika merupakan dasar dr semua penalaran (reasoning). Penalaran didasarkan pada hubungan antara pernyataan-pernyataan (statements). Dalam Logika dipelajari metode2 utk membedakan cara berpikir benar (correct) atau tidak benar (incorrect)
Logika dpt membantu menyatakan ide2 yg tepat dan tidak mempunyai arti ganda Jadi, dalam ilmu logika hanya mempelajari atau memperhatikan kebenaran dan kesalahan dr penalaran, dan penarikan kesimpulan dari sebuah pernyataan atau lebih.
kalimat deklaratif yang bernilai benar (true) atau salah (false), tetapi tidak keduanya. Nama lain proposisi: kalimat terbuka Contoh: Semua pernyataan berikut adlh proposisi: 13 adalah bilangan ganjil Soekarno adalah alumnus UGM. 1+1=2
Contoh: Berikut contoh lain: 8 akar kuadrat dari 8 + 8 Ada monyet di bulan Hari ini adalah hari Rabu Utk sembarang bil. bulat n 0, maka 2n adlh bilangan genap x + y = y + x untuk setiap x dan y bil. Riil
Contoh: Semua pernyataan berikut bukan proposisi: Jam brapa kereta api Argo Bromo tiba di Gambir? Isilah gelas tersebut dengan air! x+3=8 x>3
Proposisi dilambangkan dengan huruf kecil p, q, r, … Contoh: p : 13 adalah bilangan ganjil. q : Soekarno adalah alumnus UGM. r: 2+2=4
Misalkan p dan q adalah proposisi. Dgn p dan q, dpt dibentuk proposisi baru dgn mengkombinasikan proposisi menggunakan operator logika. Operator Logika Dasar : o o o
DAN (AND) ATAU (OR) TIDAK (NOT)
Bbrp cara mengkombinasikan proposisi, sbb: 1. Konjungsi (conjunction): p dan q Notasi p q 2. Disjungsi (disjunction): p atau q Notasi: p q 3. Ingkaran (negation) dari p: tidak p Notasi: p
p dan q disebut proposisi atomik Kombinasi p dengan q menghasilkan proposisi majemuk (compound proposition) Contoh: Diketahui proposisi-proposisi berikut: p : Hari ini hujan q : Murid-murid diliburkan dari sekolah
Carilah: p q , p q dan p
p : Hari ini hujan q : Murid-murid diliburkan dari sekolah
Jawab: p q : Hari ini hujan dan murid-murid diliburkan dari sekolah p q : Hari ini hujan atau murid-murid diliburkan dari sekolah p : Tidak benar hari ini hujan (atau: Hari ini tidak hujan)
Contoh: Diketahui proposisi-proposisi berikut: p : Pemuda itu tinggi q : Pemuda itu tampan Nyatakan dalam bentuk simbolik: pq a) Pemuda itu tinggi dan tampan b) Pemuda itu tinggi tapi tidak tampan p q c) Pemuda itu tidak tinggi maupun tampan p q
p : Pemuda itu tinggi q : Pemuda itu tampan
Tidak benar bahwa pemuda itu pendek atau tidak tampan (p q) Pemuda itu tinggi, atau pendek dan tampan p (p q) Tidak benar bahwa pemuda itu pendek maupun tampan (p q)
o
Konjungsi p q bernilai benar jika p dan q keduanya benar, selain itu nilainya salah
o
Disjungsi p q: bernilai salah jika p dan q keduanya salah, selain itu nilainya benar
o
Ingkaran p yaitu p, bernilai benar jika p salah, sebaliknya bernilai salah jika p benar
Tabel Kebenaran, sbb:
Contoh: Misal diketahui: p : 13 adalah bilangan prima (benar) q : bilangan prima selalu ganjil (salah) Carilah nilai kebenaran dr p q
Jawab: p q : 13 adalah bilangan prima dan bilangan prima selalu ganjil (salah)
Contoh: Bentuklah tabel kebenaran dari proposisi majemuk (p q) (~q r). Jika diketahui p, q, dan r, sbb:
Tautologi Proposisi majemuk disebut tautologi jika ia benar untuk semua kasus Kontradiksi Proposisi majemuk disebut kontradiksi jika ia salah untuk semua kasus
Contoh: p ~(p q) adalah sebuah tautologi
(p q) ~(p q) adalah sebuah kontradiksi
Proposisi Ekivalen Dua buah proposisi majemuk, P(p, q, ..) dan Q(p, q, ..) disebut ekivalen scr logika jika keduanya mempunyai tabel kebenaran yg identik. Notasi: P(p, q, …) Q(p, q, …)
Contoh: Hukum De Morgan: ~(p q) ~p ~q Buktikan!
Disebut juga hukum-hukum aljabar proposisi.
Contoh: Tunjukkan bahwa p ~(p q) dan p ~q keduanya ekivalen secara logika.
Jawab: p ~(p q ) p (~p ~q) (p ~p) (p ~q) T (p ~q) p ~q
(Hukum De Mogran) (Hukum distributif) (Hukum negasi) (Hukum identitas)
Contoh: Buktikan hukum penyerapan: p (p q) p Jawab: p (p q) (p F) (p q) p (F q) pF p
(Hukum Identitas) (Hukum distributif) (Hukum Null) (Hukum Identitas)
Kata “atau” (or) dlm operasi logika digunakan dlm dua cara: 1.
Inclusive or “atau” berarti “p atau q atau keduanya” Contoh: “Tenaga IT yang dibutuhkan menguasai Bahasa C++ atau Java”.
Exclusive or “atau” berarti “p atau q tetapi bukan keduanya”. Contoh: “Ia lahir di Bandung atau di Padang”.
Disjungsi eksklusif dikenal sbg ekslusif OR Operator logika disjungsi eksklusif: XOR Notasi: Misalkan p dan q adlh proposisi. Eksklusif OR p dan q adlh proposisi yg bernilai benar bila hanya salah satu dari p dan q bernilai benar, selain itu nilainya salah
Tabel kebenaran dr disjungsi ekslusif (XOR):
Contoh: Tunjukkan dengan menggunakan tabel kebenaran: p(qr) Jawab:
Proposisi bersyarat dikenal sbg kondisional atau implikasi Bentuk proposisi: “jika p, maka q” Notasi: p q Proposisi p disebut hipotesis, antesenden, premis, atau kondisi Proposisi q disebut konklusi (atau konsekuen).
Contoh: Beberapa jenis proposisi bersyarat (implikasi) adalah: a) Jika saya lulus ujian, maka saya mendapat hadiah dari ayah b) Jika suhu mencapai 80C, maka alarm akan berbunyi c) Jika anda tidak mendaftar ulang, maka anda dianggap mengundurkan diri
o o o
o o o o
o
Cara2 mengekspresikan implikasi p q: Jika p, maka q Jika p, q p mengakibatkan q (p implies q) q jika p p hanya jika q p syarat cukup untuk q (hipotesis menyatakan syarat cukup (sufficient condition)) q syarat perlu untuk p (konklusi menyatakan syarat perlu (necessary condition)) q bilamana p (q whenever p)
Contoh: Proposisi2 berikut adlh implikasi dlm brbagai bentuk: o Jika hari hujan, maka tanaman akan tumbuh subur. o Jika tekanan gas diperbesar, mobil melaju kencang. o Es yang mencair di kutub mengakibatkan permukaan air laut naik. o Orang itu mau berangkat jika ia diberi ongkos jalan.
Contoh: Proposisi2 berikut adlh implikasi dlm brbagai bentuk: o Ahmad bisa mengambil matakuliah Teori Bahasa Formal hanya jika ia sudah lulus matakuliah Matematika Diskrit. o Syarat cukup agar pom bensin meledak adalah percikan api dari rokok. o Syarat perlu bagi Indonesia agar ikut Piala Dunia adalah dengan mengontrak pemain asing kenamaan. o Banjir bandang terjadi bilamana hutan ditebangi.
Tabel kebenaran implikasi:
Penjelasan Tabel kebenaran implikasi (melalui contoh): Dosen: “Jika nilai ujian akhir anda 80 atau lebih, maka anda akan mendapat nilai A untuk kuliah ini”
Apakah dosen anda mengatakan kebenaran atau dia berbohong? Tinjau empat kasus berikut ini:
Kasus 1: Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) dan anda mendapat nilai A untuk kuliah tersebut(konklusi benar). pernyataan dosen benar. Kasus 2: Nilai ujian akhir anda di atas 80 (hipotesis benar) tetapi anda tidak mendapat nilai A (konklusi salah). dosen berbohong (pernyataannya salah).
Kasus 3: Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda mendapat nilai A (konklusi benar). dosen anda tidak dpt dikatakan salah (Mungkin ia melihat kemampuan anda secara rata2 bagus shg ia tidak ragu memberi nilai A). Kasus 4: Nilai ujian akhir anda di bawah 80 (hipotesis salah) dan anda tidak mendapat nilai A (konklusi salah). dosen anda benar.
Contoh: Tunjukkan bahwa p q ekivalen secara logika dengan ~ p q. Jawab:
“Jika p, maka q” “Tidak p atau q”.
Varian Proposisi Bersyarat Terdapat bbrp varian dr Proposisi bersyarat p q, yaitu sbb:
Konvers (kebalikan) o Invers o Kontraposisi o
: : :
qp ~p~q ~q~p
Tabel Kebenaran dari varian Proposisi Bersayarat tsb, yaitu sbb:
Contoh: Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dr: “Jika Amir mempunyai mobil, maka ia orang kaya”
Jawab: Konvers : Jika Amir orang kaya, maka ia mempunyai mobil Invers : Jika Amir tidak mempunyai mobil, maka ia bukan orang kaya Kontraposisi : Jika Amir bukan orang kaya, maka ia tidak mempunyai mobil
Bikondisional dikenal sbg Bi-implikasi Bentuk proposisi: “p jika dan hanya jika q” Notasi: p q Pernyataan pq adlh benar bila p dan q mempunyai nilai kebenaran yg sama. pq bernilai benar jika p dan q keduanya benar atau p dan q keduanya salah
Tabel kebenaran dr bikondisional
Contoh: Buktikan menggunakan tabel kebenaran dr pernyataan bikondisional berikut: pq (pq)(qp) Jawab:
Dengan kata lain, pernyataan “p jika dan hanya jika q” dapat dibaca “Jika p maka q dan jika q maka p”.
Misalkan ada bbrp proposisi, maka dr proposisi2 tsb. dpt ditarik kesimpulan baru. Proposisi penarikan kesimpulan disebut inferensi. Penarikan kesimpulan dapat didasarkan pada beberapa kaidah.
Modus Ponen Kaidah ini didasarkan pada tautologi (p(pq))q Modus Ponen ditulis sbb:
Contoh: Implikasi “Jika hari ini hari minggu, maka kantor saya tutup” dan hipotesis “Hari ini hari minggu” Maka menurut Modus Ponen inferensinya sbb: Jika hari ini minggu hari minggu, maka kantor saya tutup Hari ini hari minggu Kantor saya tutup
Implikasi “jika 20 habis dibagi 2 maka 20 adalah bilangan genap” dan hipotesis “20 habis dibagi 2” keduanya benar. Maka menurut modus ponen inferensi berikut: Jika 20 habis dibagi 2, maka 20 adalah bil. Genap 20 habis dibagi 2 20 adalah bilangan genap
Modus Tollen Kaidah ini didasarkan pada tautologi (~q(pq))~p Modus Tollen ditulis sbb:
Contoh: Implikasi “Jika hari ini hari minggu, maka kantor saya tutup” dan hipotesis “kantor saya tidak tutup” Maka menurut Modus Tollen inferensinya berikut: Jika hari ini hari minggu, maka kantor saya tutup Kantor saya tidak tutup Hari ini tidak hari minggu
Contoh: Implikasi “jika n bilangan ganjil, maka n2 adlh bilangan ganjil” dan “n2 bernilai genap” keduanya benar. Maka menurut modus tollen inferensi berikut: Jika n bilangan ganjil, maka n2 adlh bil. ganjil n2 bernilai genap n bukan bilangan ganjil
Silogisme a) Silogisme Hipotesis Kaidah ini didasarkan pada tautologi ((pq)(qr))(pr) Silogisme Hipotesis dpt ditulis sbb:
Contoh: Implikasi “Jika hari ini hari minggu, maka kantor saya tutup” dan hipotesis “Jika kantor saya tutup, maka saya santai” Maka menurut Silogisme Hipotesis inferensinya berikut: Jika hari ini hari minggu, maka kantor saya tutup Jika kantor saya tutup, maka saya santai Jika hari ini hari minggu, maka saya santai
Contoh: Implikasi “Jika a bilangan genap, maka a2 genap” dan “Jika a2 genap, maka a2 habis dibagi 2” keduanya benar. Maka menurut Silogisme Hipotesis inferensinya berikut: Jika a bilangan genap, maka a2 genap Jika a2 genap, maka a2 habis dibagi 2 Jika a bilangan genap , maka a2 habis dibagi 2
Silogisme b) Silogisme Disjungtif Kaidah ini didasarkan pada tautologi ((pq)(qr))(pr) Silogisme Disjungtif dpt ditulis sbb:
Contoh: Implikasi “Saya membeli apel atau saya membeli jeruk” dan hipotesis “Saya tidak membeli apel” Maka menurut Silogisme Disjungtif inferensinya berikut: Saya membeli apel atau saya membeli jeruk Saya tidak membeli apel Saya membeli jeruk
Pada suatu hari, Anda hendak pergi kuliah dan baru sadar bahwa Anda tidak memakai kacamata. Setelah diingat-ingat, ada beberapa fakta yang Anda yakini benar : 1. 2.
3. 4. 5. 6.
Jika kacamataku ada di meja dapur, aku pasti sudah melihatnya ketika mengambil makanan kecil. Aku membaca buku pemrograman di ruang tamu atau aku membacanya di dapur. Jika aku membaca buku pemrograman di ruang tamu, maka pastilah kacamata kuletakkan di meja tamu. Aku tidak melihat kacamataku ketika aku mengambil makanan kecil. Jika aku membaca majalah di ranjang, maka kacamataku kuletakkan di meja samping ranjang. Jika aku membaca buku pemrograman di dapur, maka kacamata ada di meja dapur.
Berdasar fakta tentukan di mana letak kacamata ?
Terjemahkan pernyataan dengan simbolsimbol logika : o
o o
o o o o
p : kacamata ada di meja dapur q : aku melihat kacamataku ketika mengambil makanan kecil r : aku membaca buku pemrograman di ruang tamu s : aku membaca buku pemrograman di dapur t : kacamata kuletakkan di meja tamu u : aku membaca majalah di ranjang v : kacamata kuletakkan di meja samping ranjang
1. 2. 3. 4. 5. 6.
Fakta-fakta tsb dapat ditulis, sbb: p→q 1. Jika kacamataku ada di meja dapur, aku pasti sudah melihatnya ketika mengambil makanan kecil. 2. Aku membaca buku pemrograman di ruang tamu atau r˅s aku membacanya di dapur. 3. Jika aku membaca buku pemrograman di ruang tamu, r→t maka pastilah kacamata kuletakkan di meja tamu. 4. Aku tidak melihat kacamataku ketika aku mengambil ~q makanan kecil. 5. Jika aku membaca majalah di ranjang, maka kacamataku kuletakkan di meja samping ranjang. u→v 6. Jika aku membaca buku pemrograman di dapur, maka kacamata ada di meja dapur. s→p p : kacamata ada di meja dapur q : aku melihat kacamataku ketika mengambil makanan kecil r : aku membaca buku pemrograman di ruang tamu s : aku membaca buku pemrograman di dapur t : kacamata kuletakkan di meja tamu u : aku membaca majalah di ranjang v : kacamata kuletakkan di meja samping ranjang
Hasilnya : Inferensi yang dapat dilakukan adalah : 1. p q (modus tollen) ~q ~p 2. s p (modus tollen) ~p ~s 3. r s (silogisme disjungtif) ~s r 4. r t (modus ponen) r t
1. 2. 3. 4. 5. 6.
p→q r˅s r→t ~q u→v s→p
p : kacamata ada di meja dapur q : aku melihat kacamataku ketika mengambil makanan kecil r : aku membaca buku pemrograman di ruang tamu s : aku membaca buku pemrograman di dapur t : kacamata kuletakkan di meja tamu u : aku membaca majalah di ranjang v : kacamata kuletakkan di meja samping ranjang
Kesimpulannya : Kacamata ada di meja tamu
Munir, R., 2005, Matematika Diskrit, Penerbit Informatika Rosen, K.H., 2007, Discrete Mathematics and Its Applications 7th edition, McGraw-Hill
