Projekt OP VK - CZ.1.07/1.1.26/02.0073
„Matematika Plus – Podpora matematického vzdělávání žáků středních škol Olomouckého kraje“ Gymnázium Jakuba Škody, Komenského 29, 750 11 Přerov
S MATEMATIKOU TO VŽDY VYJDE!
2
Obsah
Úvod ............................................................................................... 4 Pravidelné semináře ...................................................................... 5 Výjezdní semináře ....................................................................... 14 Výjezdní soustředění ................................................................... 21 Účast na matematických soutěžích ............................................. 32 Matematická olympiáda (MO) ................................................ 32 Matematický Duel .................................................................... 33 Rakouská MO v Aichdorfu (země Štýrsko)............................. 37 Finále italské MO v Cesenaticu. .............................................. 39 Internetový portál projektu Matematika plus ........................ 45
3
Úvod Realizací projektu OPVK „Matematika Plus“ jsme volně navázali na aktivity dvou předchozích projektů realizovaných v tradiční spolupráci GJŠ Přerov a KAG PřF Univerzity Palackého v Olomouci. Tyto projekty byly mezi zájemci o matematiku jak v Olomouckém kraji, tak v celé ČR známy jako „PMT – Zkvalitnění přípravy matematických talentů základních a středních škol Olomouckého kraje“ a „MATES – Podpora systematické práce se žáky SŠ v oblasti matematiky“. Hlavním cílem projektu bylo motivovat žáky ke studiu matematiky a nasměrovat je ke studiu přírodovědných a technických oborů na středních a vysokých školách. V průběhu realizace projektu měli pravidelné týdenní semináře a být přítomni na jsme pořádali na různých základních školách kraje. Matematickým přednáškám jsme se soustředěních v Jeseníkách.
žáci možnost navštěvovat seminářích výjezdních, které a gymnáziích Olomouckého věnovali i na výjezdních
Spoustu času stráveného na seminářích a přednáškách zúročila většina žáků, kteří se účastnili tohoto projektu, při účasti na matematických soutěžích jak v ČR, tak v zahraničí. Matematické olympiády ČR se mohli a také účastnili mnozí žáci projektu, ale reprezentovat na zahraničních soutěžích mohli jen ti nejlepší. Reprezentovat pak znamenalo zúčastnit se matematických soutěží v Rakousku, Itálii a Bulharsku. 22. ročník mezinárodního matematického Duelu žáků Rakouska, Polska, Bulharska a ČR jsme na GJŠ Přerov sami zorganizovali. V průběhu projektu se jednotlivých aktivit zúčastnilo přes 400 žáků, kterým matematiku přednášelo víc jak 20 lektorů. Z naprosto kladných ohlasů žáků i výrazně zlepšených výsledků v matematických soutěžích lze usuzovat, že projekt Matematika Plus byl pro žáky velmi přínosný. Prokázal tak v současnosti bagatelizovanou starou známou pravdu, že zintenzivnění přípravy a věnování se žákům se zájmem o daný obor je přímo úměrné zkvalitňování jejich výsledků v tomto oboru. Všeobecnost vzdělávání je pro zkvalitnění rozvoje intelektu společnosti velmi důležitá, ale excelentní špičky v jednotlivých oborech nevychová.
Jan Raška, vedoucí projektu Matematika Plus
4
Pravidelné semináře Semináře pro zájemce z řad žáků naší školy, tak pro žáky okolních gymnázií probíhaly převážně na Gymnáziu Jakuba Škody v Přerově pod odborným vedením lektorů RNDr. Jaroslava Švrčka, CSc., pro starší žáky a Mgr. Heleny Zatloukalové pro žáky mladší. Pro představu čtenářů uvádíme ukázky úloh řešených na těchto seminářích.
Ukázky matematických úloh pro mladší žáky: 1) Ve třídě je 32 studentů. V Chorvatsku už bylo 15 studentů a v Itálii 16 studentů. Pouze v Chorvatsku bylo dvakrát více studentů než v obou zemích (v Chorvatsku i Itálii). a) Kolik studentů nebylo v Chorvatsku ani v Itálii? b) Kolik studentů už bylo v obou zemích? 5
2) Delegátka nabídla 45 účastníkům zahraničního pobytového zájezdu tři fakultativní výlety. První výlet si vybralo 23 rekreantů, první i druhý 7 rekreantů. 15 účastníků jelo na první výlet a přitom nejelo na třetí výlet, 10 jelo pouze na první výlet a 3 pouze na třetí výlet. Právě jeden z výletů si zvolilo 17 osob. Jedna třetina z počtu účastníků se nezúčastnila žádného výletu. Kolik účastníků si vybralo právě dva výlety?
3) Jak rozstřihneme provázek dlouhý 81 metrů na dvě části tak, aby druhá část byla 3,5 krát delší než první část?
4) Řešte rovnici: 10x – 5x + 8 = 18x – 7x – 8x – 5 – 9 – 12
5) Před několika lety slavil Marcel své deváté narozeniny ve stejný den, kdy jeho dědeček oslavoval svých 57 let. Před kolika lety to bylo, jestliže dnes, kdy oba opět slaví narozeniny, je dědeček čtyřikrát starší než Marcel? 6) Doplňte do kroužků v následujícím obrázku čísla od 1 do 9 tak, aby se součet čísel v libovolných dvou sousedních kroužcích (spojených čarou) rovnal číslu napsanému mezi nimi.
6
7) Franta měl papír tvaru čtverce o obsahu 100 cm2. Vystřihl z něho tento útvar:
Stříhal tak, aby byl útvar co největší. Míša měl větší papír, proto s ním nemusel tolik šetřit. Stříhal takto:
Získal stejně velký útvar jako Franta. Jak velký obsah měl Míšův papír?
7
8) Dva chlapci závodili na kruhové dráze. Mladší z nich šel rychlostí 5 km/h. Starší chlapec šel rychlostí 7 km/h a vystartoval tehdy, když mladší ušel vzdálenost 400 metrů. Závod skončil po čtyřech kolech. Jak dlouhá byla celá trať, jestliže oba dorazili do cíle současně?
9) Ve školní jídelně byla k obědu rajská polévka. 40 % dětí ji nemá rádo, a proto ji vůbec nejedlo. Čtvrtina dětí ji naopak „miluje“, a proto si dala dvojnásobnou porci. Ostatní děti snědly každé svoji porci a v hrnci zůstalo ještě 21 dětských porcí. Pro kolik žáků vařili oběd?
10) V továrně pracovalo 1440 zaměstnanců (mužů a žen). Za dobrou práci obdrželo prémie 18,75 % ze všech mužů a 22,5 % ze všech žen. Vedení továrny vyhlásilo, že prémiemi bylo odměněno 20 % zaměstnanců. Kolik mužů a kolik žen bylo zaměstnáno v továrně?
11) V rovnostranném trojúhelníku ABC označme M patu výšky na stranu AB. Osa úhlu CAB protíná stranu BC v bodě K. Průsečík přímek AK a CM označíme S. Bod P je střed úsečky AS a bod Q je střed úsečky BS. Dokažte, že čtyřúhelník PMQK je rovnoramenný lichoběžník. Vypočítejte délku stran lichoběžníku PMQK, jestliže víte, že obsah trojúhelníku ABC je cm2.
8
12) Trojúhelníku ABC je strana AC delší než strana BC. Těžnice CS a výška CP dělí úhel ACB trojúhelníku ABC na tři shodné úhly. SZ je výška trojúhelníku ASC. Zjistěte obsah trojúhelníku ABC, víte-li, že obsah trojúhelníku ASZ je 9 cm2.
Ukázky matematických úloh pro starší žáky: 1) Na stole leží kopka stříbrných mincí. Je povoleno v určitém pořadí provést následující operace: buď přidáme k mincím v kopce jednu zlatou minci a na kartu S napíšeme počet stříbrných mincí, nebo z kopky na stole odebereme jednu stříbrnou minci a na kartu Z napíšeme počet zlatých mincí. Po určitém počtu takových operací zůstaly na stole pouze zlaté mince. Dokažte, že v tomto okamžiku je součet všech čísel napsaných na kartě S roven součtu všech čísel napsaných na kartě Z.
2) Dokažte, že existuje právě jeden trojúhelník, jehož délky stran jsou vyjádřeny třemi po sobě jdoucími přirozenými čísly a velikost některého vnitřního úhlu je dvojnásobkem velikosti jiného vnitřního úhlu.
3) Nechť n je nejmenší přirozené číslo takové, že 2n je druhou mocninou určitého celého čísla, 3n je třetí mocninou celého čísla a 5n je pátou mocninou nějakého celého čísla. Určete číslo n.
9
4) Určete všechna přirozená čísla n, pro něž jsou hodnoty kvadratických trojčlenů prvočísla. n2 – 10n + 23, n2 – 9n + 31, n2 – 12n + 46.
5) Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB. Nechť M je středem jeho odvěsny BC a D, E jsou po řadě paty kolmic z vrcholu C k přímkám AB, AM. Určete velikost úhlu ABC, platí-li |BE| = 2 |DE|
6) Je dán tečnový pětiúhelník. Dokažte větu: Jestliže všechny jeho strany mají celočíselné délky a obvod je sudé číslo, potom všechny úsečky na jeho stranách s krajními body ve vrcholech a v dotykových bodech kružnice vepsané danému pětiúhelníku mají celočíselné délky. Je možno větu obrátit?
7) Na tabuli jsou napsány dva polynomy P(x) = x2 + 2 a Q(x) = x + 1. Je povoleno na tabuli napsat součet, rozdíl nebo součin libovolných dvou mnohočlenů, které jsou již na tabuli napsány. Rozhodněte, zda se na tabuli může objevit mnohočlen R(x) = x3 + 2.
10
8) Nechť n je liché (přirozené) číslo. Na počátku je v každém políčku čtvercové tabulky n x n napsáno číslo 0. V každém kroku můžeme změnit čísla v sousedních polích (se společnou stranou) tak, že obě čísla v nich současně zmenšíme nebo současně obě zvětšíme o 1. Po k-krocích byly součty čísel v každém řádku i v každém sloupci tabulky stejné. Dokažte, že k je sudé číslo.
9) V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic: x4 + 1 = 2yz, y4 + 1 = 2zx, z4 + 1 = 2xy.
10) Rozhodněte, zda existují celá čísla p a q, která splňují rovnici |p2 + q| + |p2 – q| + |p + q2| + |p – q2| = 123456789.
11) Je dán tětivový čtyřúhelník ABCD. Osa jeho strany CD protíná stranu AD v bodě P a úhlopříčku BD v bodě Q. Dokažte, že úhly ACQ a PCB jsou shodné.
12) Určete, kolik dvojic navzájem disjunktních podmnožin má množina o n prvcích.
11
13) Určete všechna přirozená čísla n, která splňují následující podmínku: Množinu {n, n+1, ... , n + 5} lze rozdělit na dvě disjunktní podmnožiny tak, že součin všech prvků jedné podmnožiny je roven součinu prvků druhé podmnožiny.
14) Dokažte, že pro n ≥ 4 lze každý tětivový čtyřúhelník rozdělit na n tětivových čtyřúhelníků.
15) Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s přeponou AB. Nechť D značí patu jeho výšky z vrcholu C. Kružnice vepsaná danému trojúhelníku se dotýká jeho stran AB a AC po řadě v bodech E a F. Dokažte, že průsečík výšek (ortocentrum) trojúhelníku AEF je totožný se středem kružnice vepsané trojúhelníku ACD.
16) Vrcholy trojúhelníku označme ve směru hodinových ručiček A, B, C. Trojúhelník postupně otočíme ve směru hodinových ručiček (v matematicky kladném směru) nejprve o úhel α se středem otočení v bodě A, poté o úhel β se středem v obraze bodu B, atd. Dokažte, že po šesti takových otočeních přejde trojúhelník do původní polohy.
17) Rozhodněte, zda existuje 10 navzájem různých přirozených čísel takových, že aritmetický průměr je a) pětkrát větší než jejich největší společný dělitel, b) šestkrát větší než jejich největší společný dělitel 12
18) V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic a2 + b2 + c2 = 23, a + 2b + 4c = 22.
19) Určete všechny dvojice (x, y) celých čísel, pro něž je x4 + 4y4 prvočíslo.
20) Tečny ke kružnici opsané trojúhelníku ABC sestrojené ve vrcholech A a B se protínají v bodě P. Rovnoběžka s přímkou AC procházející bodem P protíná stranu BC v bodě D. Dokažte, že platí |AD| = |CD|.
21) Dokažte, že čtvercovou tabulku 9 x 9 nelze rozřezat na několik obdélníků, z nichž každý má rozměry 1 x 5 nebo 1 x 6.
22) Osa vnitřního úhlu při vrcholu C v ostroúhlém trojúhelníku ABC protíná stranu AB v bodě D. Kružnice opsaná trojúhelníku ACD protíná stranu BC kromě bodu C v bodě E. Rovnoběžka s přímkou AE, procházející bodem B, protíná přímku CD v bodě F. Dokažte, že ABF je rovnoramenný trojúhelník.
13
Výjezdní semináře V rámci projektu se uskutečnilo mnoho výjezdních seminářů realizovaných na vzdálenějších gymnáziích a základních školách Olomouckého kraje. Na těchto seminářích byly atraktivní formou představovány zajímavé oblasti matematiky, její aplikace v praxi a různé metody řešení matematických úloh. Hojná účast a zájem o semináře byl tradičně „za kopcem“ na Gymnáziu v Jeseníku.
Ukázky úloh z výjezdních seminářů: 1) V R řešte rovnice
. 14
2) Nechť P je středem kratšího oblouku BC kružnice opsané trojúhelníku ABC s vnitřním úhlem velikosti 60 při vrcholu A. Nechť M je středem spojnice středů kružnic připsaných stranám AB a BC trojúhelníku ABC. Dokažte, že platí |PM| = 2 |BP|.
3) Dokažte, že pro libovolná kladná čísla a, b platí nerovnost
4) Kružnice trojúhelníku vepsaná se dotýká jeho stran ve třech bodech. Určete velikosti úseček, na které tyto body dělí jednotlivé strany. Podobně určete velikosti úseček, které na stranách tvoří dotykové body kružnice trojúhelníku vně připsané. Odvoďte Heronův vzorec pro obsah trojúhelníku. Vyjádřete velikost poloměrů kružnice vepsané a vně připsaných pomocí délek stran trojúhelníku.
5) Dokažte, že pro libovolná různá kladná čísla a a b platí
15
6) V R řešte soustavu rovnic
7) Do každého pole čtvercové tabulky n x n vepíšeme jedno z čísel 1, 2, ..., n tak, aby v každém řádku i v každém sloupci byla buď všechna čísla stejná, nebo všechna různá. Příkladem pro n = 5 je následující tabulka
Označme S součet všech čísel tabulky. Kolik různých hodnot S pro dané n existuje?
8) Zjednodušte součty následujících řad pro přirozené číslo n.
16
9) Petr našel na půdě 200 let starý popis cesty k pirátskému pokladu: „Jeď na ostrov X, postav se na šibenici, jdi směrem k morušovníku a počítej kroky. Potom se otoč doleva o 90° a po témž počtu kroků dojdeš do bodu s‘. Opět se postav na šibenici, jdi směrem k fíkovníku a počítej kroky. Potom se otoč o 90° vpravo a po ujití téhož počtu kroků dojdeš do bodu s‘‘. Poklad je zakopán ve středu t mezi body s‘ a s‘‘. Petr přijel na ostrov, našel morušovník i fíkovník, ale po šibenici ani stopa. Jak má najít poklad?
10) Nechť a, b, c jsou komplexní souřadnice vrcholů trojúhelníku ABC. Potom jeho obsah je
det
17
11) Lichoběžník ABCD má základny AB a CD po řadě délek 18 cm a 6 cm. Pro bod E strany AB platí 2|AE| = |EB|. Těžiště trojúhelníků ADE, CDE, BCE, jež označíme po řadě K, L, M, tvoří vrcholy rovnostranného trojúhelníku. a) Dokažte, že přímky KM a CM svírají pravý úhel, b) Vypočtěte délky ramen lichoběžníku ABCD.
12) Dokažte, že těžnice libovolného trojúhelníka se protínají v jednom bodě.
13) Nechť k je polokružnice sestrojená nad průměrem AB, která leží ve čtverci ABCD. Uvažujme její tečnu t1 z bodu C (různou od BC) a označíme P její průsečík se stranou AD. Nechť t2 je společná vnější tečna polokružnice k a kružnice vepsané trojúhelníku CDP (různá od AD) . Dokažte, že přímky t1 a t2 jsou navzájem kolmé.
14) Pokud máme n (n ≥ 2) přirozených čísel, můžeme s nimi provést následující operaci: vybereme několik z nich, ale ne všechna a nahradíme je jejich aritmetickým průměrem. Zjistěte, zda je možno pro libovolnou počáteční n-tici dostat po konečném počtu kroků všechna čísla stejná, jestliže n se rovná a) 2000, b) 35, c) 3, d) 17.
15) Určete všechna reálná čísla p, pro něž má rovnice (x – 1)2 = 3|x| - px právě tři různá řešení v oboru reálných čísel. 18
16) V rovině je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD s delší stranou AB a pravým úhlem při vrcholu A. Označme k1 kružnici sestrojenou nad stranou AD jako průměrem a k2 kružnici procházející vrcholy B, C a dotýkající se přímky AB. Mají-li kružnice k1, k2 vnější dotyk v bodě P, je přímka BC tečnou kružnice opsané trojúhelníku CDP. Dokažte. 17) Nechť K je libovolný vnitřní bod strany AB daného trojúhelníku ABC. Přímka CK protíná kružnici opsanou trojúhelníku ABC v bodě L (L ≠ C). Označme k1 kružnici opsanou trojúhelníku AKL a k2 kružnici opsanou trojúhelníku BKL. a) Dokažte, že přímka AC je tečna kružnice k1, právě když přímka BC je tečna kružnice k2. b) Předpokládejme, že přímka AC je sečna kružnice k1. Nechť P (P ≠ A) je průsečík přímky AC s kružnicí k1 a Q (Q ≠ B) průsečík přímky BC s kružnicí k2. Dokažte, že bod K leží na úsečce PQ.
18) Na zapomenuté tabuli v Rosťově ještě zapomenutější komnatě je nakreslených pět už skoro zapomenutých úseček. Z každé trojice z těchto úseček umíme složit trojúhelník. Dokažte, že umíme vybrat tři úsečky tak, že trojúhelník, který z nich vznikne, je ostroúhlý.
19) Dokažte, že v libovolném čtyřstěnu existuje takový vrchol, že z hran, které z něj vycházejí, je možno sestrojit trojúhelník. 19
20) Kružnice trojúhelníku vepsaná se dotýká jeho stran ve třech bodech. Určete velikosti úseček, na které tyto body dělí jednotlivé strany. Podobně určete velikosti úseček, které na stranách tvoří dotykové body kružnice trojúhelníku vně připsané. Odvoďte Heronův vzorec pro obsah trojúhelníku. Vyjádřete velikosti poloměrů kružnice vepsané a vně připsané pomocí délek stran trojúhelníku. 21) Do vrcholu pravidelného 63úhelníku vepíšeme libovolným způsobem 32 jedniček a 31 nul, přičemž do každého vrcholu vepíšeme jedno číslo. Ke každé jeho straně připíšeme součin čísel v jejích vrcholech a všechna čísla u jednotlivých stran sečteme. Určete nejmenší hodnotu, kterou může nabýt tento součet.
22) V každém vrcholu pravidelného 2008úhelníku leží jedna mince. Vybereme dvě mince a přemístíme každou z nich do sousedního vrcholu tak, že jedna se posune ve směru a druhá proti směru chodu hodinových ručiček. Rozhodněte, zda j možno tímto způsobem všechny mince postupně přesunout: a) na 8 hromádek po 251 minci b) na 251 hromádek po 8 mincích.
20
Výjezdní soustředění Nejoblíbenější aktivitou projektu byla vícedenní výjezdní soustředění žáků, které jsme organizovali pro zájemce o matematiku ze ZŠ s SŠ Olomouckého kraje v Jeseníkách. Při těchto soustředěních žákům přednášeli nejen lektoři GJŠ Přerov, ale také PřF UP Olomouc, PřF MU Brno a PdF UK Praha. Žáci tak měli možnost naslouchat přednáškám a diskutovat o matematice s učiteli, kteří působí ve vedení matematické olympiády ČR a jsou významnými didaktiky pro matematiku. V rámci těchto soustředění se žáci věnovali zajímavým, v hodinách matematiky neprobíraným tématům, která jsou však podstatná zvláště pro řešení matematických soutěží a olympiád vyšších kategorií. Nad těmito tématy byli žáci ochotni bádat i dlouhé večery. Pro představu uvádíme příklad pozvánky a programu jednoho ze soustředění a také ukázku úloh, které se na výjezdních soustředěních řešily.
21
GYMNÁZIUM JAKUBA ŠKODY, Komenského 29, 750 11 Přerov
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.26/02.0073 „Matematika Plus- Podpora matematického vzdělávání žáků středních škol Olomouckého kraje“
Pozvánka na výjezdní soustředění matematických talentů „KARLOV – listopad 2013“ (hotel Karlov) Milí mladí zájemci o matematiku, dovolte, abych vás pozval na třídenní soustředění matematických talentů Olomouckého kraje, které se uskuteční 21. – 23. listopadu 2013 v hotelu Karlov v Karlově pod Pradědem – Malá Morávka v Jeseníkách (http://www.hotelkarlov.cz) Program tohoto soustředění tvoří především monotematické matematické přednášky a semináře k řešení zajímavých matematických úloh, jejich principů a metod vedoucí mj. také ke zdárnému zvládnutí úloh matematické olympiády a dalších matematických soutěží. Ve volném čase plánujeme vycházky do přírody a další relaxační aktivity. Sejdeme se ve čtvrtek 21. listopadu 2013 v 16:30 hod. na recepci v hotelu Karlov, kam se každý dopraví samostatně. Možný individuálně odlišný příjezd či odjezd lze domluvit. Bezplatné ubytování a strava jsou zajištěny z prostředků projektu. Ukončení soustředění bude v sobotu odpoledne. Cestovné do Karlova a zpět hromadnými dopravními prostředky vám bude proplaceno po předložení jízdenky v průběhu soustředění. Účast na soustředění prosím oznamte mailem na adresu
[email protected] nejpozději do 15. listopadu 2013. Bližší informace k soustředění na tel: 581 217 790 (p. Jana Čejnová). Podepsanou návratku (níže) přivezte s sebou na soustředění!!! S pozdravem Mgr. Jan Raška (vedoucí projektu). 22
Návratka. Matematického soustředění v termínu 21. - 23. listopadu 2013 se zúčastním. Jméno žáka: …………………………………………. škola:….…………………………… Email žáka: ………………………
telefon: ………………………………
Zákonný zástupce žákyně/žáka potvrzuje svým podpisem, že je seznámen s tím, že akce začíná a končí na Karlově – v hotelu Karlov. Dohled nad zúčastněnými bude vykonáván pouze v průběhu soustředění a doprava tam a zpět není organizátorem akce zajišťována. …………………………. podpis žáka
................................................. podpis zákonného zástupce žáka
Doporučená doprava z Olomouce (linka Olomouc – Jeseník): autobus odjezd Olomouc – 14:30 hod. příjezd Malá Morávka – 15:53 hod. Návrat: autobus odjezd Malá Morávka – 13:45 hod. příjezd Olomouc – 15:10 hod. (Přerov 15:45hod) 23
GYMNÁZIUM JAKUBA ŠKODY, Komenského 29, 750 11 Přerov
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.26/02.0073 „Matematika Plus- Podpora matematického vzdělávání žáků středních škol Olomouckého kraje“
Program výjezdního soustředění (Karlov – říjen 2014) Středa 8. 10. 18:00 hod. 18:15 hod.
příjezd účastníků, ubytování večeře
18:45 – 19:00 hod.
zahájení soustředění, Mgr. Jan Raška, Mgr. Jitka Kopková (GJŠ Přerov) 1. přednáška „Geometrické nerovnosti a odhady I“
19:00 – 20:30 hod.
RNDr. Jaroslav Švrček, CSc. (PřF UP Olomouc)
Čtvrtek 9. 10. 8:00 hod. 8:30 – 10:00 hod.
snídaně 2. přednáška „Geometrické nerovnosti a odhady II “ RNDr. Jaroslav Švrček, CSc. (PřF UP Olomouc)
10:30 – 12:00 hod.
3. přednáška „Geometrické nerovnosti a odhady II“ RNDr. Jaroslav Švrček, CSc. (PřF UP Olomouc)
12:00 hod.
oběd
24
13:30 - 17:00 hod.
Vycházka údolím Karlova (délka a náročnost bude stanovena s ohledem na aktuální počasí) Mgr. Jitka Zemanová, Mgr. Jitka Kopková, Mgr. Jan Raška
17:00 – 18:30 hod.
4. přednáška „Vektory v geometrii I“ doc. RNDr. Jaromír Šimša, CSc. (PřF MU Brno)
18:45 hod.
večeře
19:30 – 21:00 hod.
5. přednáška „Vektory v geometrii II“ doc. RNDr. Jaromír Šimša, CSc. (PřF MU Brno)
Pátek 10. 10. 8:00 hod. 8:30 – 10:30 hod.
snídaně 6. přednáška „Vektory v geometrii III“ doc. RNDr. Jaromír Šimša, CSc. (PřF MU Brno)
11:00 hod.
odchod na autobus do Malé Morávky (11:24 hod. odjezd)
11:00 – 16:30 hod.
„Údolím Bílé Opavy“ výšlap Karlova Studánka – Ovčárna Mgr. Jitka Zemanová, Mgr. Jitka Kopková, Mgr. Jan Raška (Oběd na Ovčárně)
16:30 hod.
večeře
17:00 – 18:30 hod.
7. přednáška „Výpočetní kombinatorika I“ RNDr. Pavel Calábek, Ph.D. (PřF UP Olomouc)
25
18:45 – 20:15 hod.
8. přednáška „Mapy a jejich obarvování I“ doc. RNDr. Jaroslav Zhouf, Ph.D. (PdF UK Praha)
Sobota 11. 10. 8:00 hod. 8:30 – 10:00 hod.
snídaně 9. přednáška „Výpočetní kombinatorika II“ RNDr. Pavel Calábek, Ph.D. (PřF UP Olomouc)
10:10 – 11:40 hod.
10.přednáška „Mapy a jejich obarvování II“ doc. RNDr. Jaroslav Zhouf, Ph.D. (PdF UK Praha)
11:40 hod.
zakončení soustředění, oběd Mgr. Jan Raška, Mgr. Jitka Kopková
12:25 hod.
odjezd (13:00 hod. z Malé Morávky, zast.škola)
Program může být aktualizován podle přízně počasí a zájmu účastníků soustředění. Mgr. Jan Raška, vedoucí soustředění Karlov říjen 2014 a vedoucí projektu Matematika Plus.
26
Ukázka úloh z výjezdních soustředění:
1) Ve čtyřúhelníku ABCD, jehož strany AB a CD nejsou rovnoběžné, označíme E střed strany AB a F střed strany CD. Dokažte, že středy úseček AF, CE, BF, DE jsou vrcholy rovnoběžníku
2) V prostoru jsou dány dva pravidelné pětiúhelníky A1, B1, C1, D1, E a A2, B2, C2, D2, E se společným vrcholem E, které neleží v téže rovině. Dokažte, že přímky A1A2, B1B2, C1C2, D1D2 jsou rovnoběžné s některou rovinou.
3) Úhlopříčky čtyřúhelníku ABCD, jehož strany AB a CD jsou shodné. Dokažte, že přímky AB a CD svírají stejný úhel s přímkou, která prochází středy stran AD a BC.
4) Nechť ABCDE je konvexní pětiúhelník. Označme M, N, P, Q, R po řadě středy stran AB, BC, CD, DE, EA. Dokažte, že pokud úsečky AP, BQ, CR a DM protínají v jednom bodě, pak tento bod leží také na úsečce EN.
5) V rovině daného trojúhelníku ABC s těžištěm T určete ten bod X, při kterém je minimální hodnota součtu
27
6) Určete nejmenší přirozené číslo k s vlastností: když vybereme k různých čísel z množiny {1, 2, ... , 1999}, potom mezi nimi existují dvě, jejichž součet je 2000.
7) Na počátku je v rohu šachovnice n x n kámen. Hráči A a B ho přesouvají na sousední pole libovolným směrem. Je zakázáno umístit kámen na pole, na kterém se kámen již nacházel. a) Kdo má vítěznou strategii pro n sudé? b) Kdo má vítěznou strategii pro n liché? c) Kdo má vítěznou strategii, jestliže je na počátku kámen na poli sousedícím s rohovým polem? 28
8) V jistém jazyce jsou pouze písmena A a B. Pro jeho slova platí a) Slova délky 1 neexistují, slova délky 2 jsou pouze AB a BB. b) Posloupnost délky n je slovo, právě když vznikne z některého slova délky menší než n, a to tak, že v tomto slově písmena A ponecháme na místě a současně každé písmeno B nahradíme nějakým (ne nutně stejným) slovem. Určete počet slov délky 57.
9) Čárový kód vznikne pravidelným střídáním černých a bílých pruhů, přitom vždy začíná a končí černým pruhem. Každý pruh (černý nebo bílý) má šířku 1 nebo 2, celková šířka kódu je 12. Kolik různých kódů (čtených zleva doprava) takto může vzniknout? 29
10) Posloupnost celých čísel je rekurentně definována a1 = 2, an = 2(n + an-1). Dokažte, že pro všechna přirozený čísla n platí an ≤ 2n + 2.
11) (Pompeiuova věta) Nechť X je libovolný bod roviny rovnostranného trojúhelníku ABC, který neleží na kružnici jemu opsané. Potom z úseček délek |XA|, |XB| a |XC| lze sestrojit trojúhelník.
30
12) (Napoleonova věta) Uvažujme libovolný trojúhelník ABC. Potom středy rovnostranných trojúhelníků (vně) sestrojených nad stranami trojúhelníku ABC tvoří vrcholy rovnostranného trojúhelníku.
13) Mladý pár králíků po jednom měsíci dospěje a každý následující měsíc má nový pár králíků. Králíci nikdy neumírají. Na začátku máme pár mladých králíků. Kolik králíků budeme mít po 12 měsících, po n měsících.
14) a) Dtto, 7 a 11 nahraďte přirozenými čísly p a q, D(p, q) = 1. b) Dtto, navíc součet každých r po sobě jdoucích čísel je 0 c) Totéž, co a, jen D(p, q) = d. Rozděl a panuj: Rozlož problém na menší části, vyřeš je a zkombinuj řešení jednotlivých částí do řešení celého problému. Pravidlo součtu Pravidlo součinu Rekurze Počítání bijekcí Počítání dvěma různými způsoby.
31
Účast na matematických soutěžích V rámci řešení projektu Matematika Plus se žáci zúčastnili mnoha soutěží, v nichž dosáhli významných úspěchů. Jednalo se o soutěže tradiční, organizované již dlouhodobě i soutěže, které se teprve rozjíždí. Díky projektu se nám podařilo zahájit spolupráci s organizátory matematické olympiády v Bulharsku, kde nás také velice srdečně přivítali.
Matematická olympiáda (MO) Naši žáci se pravidelně účastní matematické olympiády (MO), naší nejstarší předmětové soutěže. Trvale se umisťují na předních pozicích, a to nejen v rámci kraje, ale i v celorepublikovém měřítku. Nejlepší z nich si vybojovali místa v českých reprezentačních družstvech pro Mezinárodní matematickou olympiádu (IMO), Středoevropskou matematickou olympiádu (MEMO) a mladší pak v českém družstvu pro česko-polsko-slovenskou MO juniorů. http://www.jcmf.cz,
http://mo.webcentrum.muni.cz 32
Matematický Duel Dvacátý druhý ročník Matematického Duelu proběhl 12. – 15. března 2014 v Přerově. Soutěž organizovalo Gymnázium Jakuba Škody v Přerově, zejména ředitel školy, Jan Raška. Tradiční matematické soutěže se zúčastnilo pět školních týmů z Rakouska, České Republiky, Polska a Bulharska. Jmenovitě z Bundesrealgymnasium Kepler, Graz, Gymnázium M. Koperníka, Bílovec, I Liceum Ogólnokształcące J. Słowackiego, Chorzów, Gymnázium J. Škody, Přerov a Sofijska matematičeska gimnazia Paisij Hilendarski, Sofia a hosté. Soutěž byla jako obvykle rozdělena do tří kategorií (A – soutěžící posledních dvou ročníků, B – soutěžící pátého a šestého ročníku, C – soutěžící třetího a čtvrtého ročníku osmiletého gymnázia). Během soutěžního dne probíhala dopoledne soutěž jednotlivců a odpoledne soutěž družstev. Celkem se zúčastnilo dvanáct soutěžních týmů (čtyři v každé kategorii), dohromady 59 soutěžících. K Matematickému Duelu vznikla brožura Matematical Duel (ISBN 978-80-244-4061-3), která obsahuje všechna zadání úloh i s řešeními. Autoři úloh: Jaroslav Švrček, Pavel Calábek, Robert Geretschläger, Józef Kalinowski, Jacek Uryga
33
Ukázky úloh a jejich řešení z Matematického Duelu.
Category C (Team Competition)
C-T-1 We are given a 4 x 4 table consisting of 16 unit squares. Determine the number of ways in which the given table can be covered with 5 congruent straight triominos (rectangles 3 x 1) such that exactly one unit square in the table remains empty. Jaroslav Švrček
C-T-2 Two circles k1(M1;r1) and k2(M2;r2) intersect in points S and T. The line M1M2 intersects k1 in points A and B and k1 in C and D such that B lies in the interior of k2 and C lies in the interior of k1. Prove that the lines SC and SB trisect the angle ASD if and only if |<M1SM2| = 90°. Robert Geretschläger
C-T-3 The sum of squares of four (not necessarily different) prositive integers a, b, c, d is equal to 100, i.e. a2 + b2 + c2 + d2 = 100 with a ≥ b ≥ c ≥ d > 0. Determine the largest possible value of a – d. Explain why a larger value cannot be possible. b) Determine the smallest possible value of a – d. Explain why a smaller value cannot be possible. a)
Robert Geretschläger
34
Řešení Category C (Team Competition) C-T-1 We can consider two possibilities for a position of the empty cell by covering the given 4 x 4 table by five straight triominos. Since the square table is symmetric with respect to its center, we will consider at first only one of four cases of a required covering with an empty cell at one of corresponding vertices of the square 4 x 4 table. For the cell at bottom left vertex we get the four possibilities in the picture.
Further, it is easy to see that any other cases of the empty cell square don’t fulfill the conditions of the given problem. Conclusion. There exist 4 x 4 = 16 possibilities for the covering of the given square table under the conditions of the problem. C-T-2 Naming |<SAB| = α and |<SDC| = β, we have |<SBA| = 90°- α, and therefore |
35
C-T-3 a)
We first note that since 102 = 100, we must have a ≤ 9. Furthermore, we certainly have d ≥ 1. Since we can write 100 = 92 + 33 + 32 + 12, we can have a = 9 and d = 1, and therefore a – d = 8, which is therefore certainly the largest possible value.
b) Since a ≥ d ( i.e. a – d ≥ 0), the smallest possible value of a – d is 0. Since 100 = 52 + 52 + 52 + 52, we can have a = d = 5 and therefore a – d = 0, and this is certainly the smallest possible value.
36
Rakouská MO v Aichdorfu (země Štýrsko) Žáci, účastníci projektu Matematika Plus, se v červnu 2014 zúčastnili Matematické olympiády Štýrska v Aichdorfu. Tato soutěž, je posledním kolem před celostátním finále MO Rakouska. Je organizována jako dvoudenní akce v luxusním penzionu v překrásném podhůří štýrských Alp. Pozvání jsme dostali z partnerského gymnázia v Grazu.
37
Ukázka úloh z rakouské MO v Aichdorfu. Österreichische Mathematische Olympiade Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger
1.
Určete všechna celá čísla a ≥ 0 a b ≥ 0, která vyhovují rovnici a2 = b (b + 7)
2.
Nechť a, b, c a d jsou reálná čísla, pro něž platí a < b < c < d. Uspořádejte podle velikosti čísla x = ab + cd, y = bc + ad a z = ac + bd. Svou odpověď zdůvodněte.
3.
Je dán trojúhelník ABC. Středy jeho stran BC, CA a AB označme po řadě D, E a F. Jeho těžnice AD a BE jsou navzájem kolmé a mají po řadě délky 18 a 13,5. Určete délku jeho třetí těžnice CF.
4.
Pošťák chce rozdělit n balíčků o hmotnostech 1, 2, 3, ..., n do tří skupin tak, že součet hmotností všech balíčků v každé skupině je stejný. Rozhodněte, zda se mu to může podařit v případě, že a)
n = 2011
b) n = 2012
38
Finále italské MO v Cesenaticu. V italském Cesenaticu jsme se zúčastnili finále Matematické olympiády Itálie. Celostátní finále se skládalo ze soutěže jednotlivců a soutěže družstev. Naši žáci se účastnili obou soutěží. V soutěži družstev se žáci umístili v první čtvrtině ze 70 družstev italských škol, doplněných družstvy z Maďarska, Rumunska a Anglie. Soutěž jednotlivců se koná v obrovském sále v tichu a soustředění. Ale soutěž družstev probíhá ve sportovní hale za povzbuzování fanoušků jednotlivých týmů a chvílemi se fandí a skanduje jako při sportovních zápasech. Průběžné výsledky se promítají na stěny haly a všichni tak sledují aktuální stav a pořadí. Ovšem pozor! Neoficiální soutěž probíhá i venku okolo haly kde počítají družstva složená z žáků i veřejnosti. Celá soutěž má i doprovodný program stylizující rozhodčí a organizátory do známých postav či dějinných událostí Itálie. Z takové show a propagace matematiky jsme byli všichni velmi příjemně překvapeni.
39
Ukázka úloh z italské MO v Cesenaticu (soutěž družstev).
1) Musical piracy All π-rates love music, but the true purists prefer not to pay for it, so they resort to „browsing“ until they find a chance to „unload“ it illegally from captured ships. Jack is looking for a cargo of Π-rate Minstrels, and to intercept their ship, he must find all foud-digit numbers such that: -
both the sum of the first and third digits and the sum of the second and fourth digits are equal to 9;
-
there are no consecutive odd digits;
-
the first digit is less than the second and fourth digits.
The sum of all numbers that satisfy these conditions will give the coordinates of the ship. What is the sum?
2) The morning run Before becoming a feared π-rate, Will Turing was a weaponsmith and amateur swordman. He kept himself fit by jogging every day from his shop down to the docks, 5 km away. Will tells Elizabeth that on flat ground his average speed was 20 km/h; downhill, he could reach 30 km/h, while uphill he could only manage 15 km/h. Will challenges Elizabeth to guess how much time, at most, he ran each day. What is the asnwer?
40
3) The crazy compass Jack Arrow’s compass almost never points north. At midnight on a certain day, the compass points north and then begins to move following this algorithm: every 5 minutes, the needle suddenly moves forward by 90 degrees, then immediately rotates back by a number of degrees equal to 6 times the number of minutes since the midnight when we started counting. For how many minutes a week does the compass point north?
4) The Sargasso Tavern The π-rate crew of the True Pearl are eating at the Sargasso Tavern. They want to move 5 square tables together (so that some of their sides touch) to form a single table for 12 people. (Each table seats one person on each side.) How many ways are to arrange the tables that satisfies the conditions? (Solutions which differ by rotation are different, while solutions which are symmetrical should not be considered distinct.) 5) At the World’s Perimeter Bourbakossa has finally managed to steal the Map of the World’s Perimeter from the π-rate Sao Feng, and he’s studying it abroad his vessel. Moving and rotating the various pieces of the map, Bourbakossa forms a regular hexagon. Then, he adds as many regulator pentagons outside of it as possible, so that each shares a side with the previous figure, with no overlap. Then, he repeats the process, adding all possible squares, and after that, all possible equilateral triangles, always so that there is no overlap between the figures. Let a be the number of regular polygons that make up the resulting figure, and b the mesure in degrees of the smallest nonzero angle formed by any sides with a common vertex. What is the product ab?
41
6) The delirium of Jack Arrow Jack was not able to escape the Cramer, and the monster ate him and the True Pearl. Now, imprisoned beyond the World’s Perimeter, he is plagued by hallucinations. From the mast of the True Pearl, he looks down and sees 144 crabs standing on the vertices of a regular polygon with 144 sides. Still hallucinating, Jack wonders how many non-congruent triangles whose vertices are vertices of the polygon. How many are they? (Recall that triangles which are symmetrical to each other with respect to a line are congruent). 7) Jak Arrow’s compass Jack Arrow’s magical compass was made by Thia Djeome, with rigorous Geomystical criteria. The compass has the shape of a hexagon, obtained as follows: we begin with a right triangle whose catheti integral lenghts in mm; we draw three external squares on its sides; we than draw segments connecting the vertices of the squares that do not lie on the triangle, two by two, to obtain a convex hexagon. Knowing that the surface of the hexagon measures 1922mm 2, find the area of the right triangle we started with.
8) The two maps The are two maps that lead to the Isla de Mono. On the first map, which is squareshaped and whose sides measures 1726 miles, the 4 major ports of the East India Trading Company each lie on one side. By some strange coincidence, on the second map, which is also square and whose sides measures 1250 miles, these four ports lie on the vertices. Both maps are divided into squares whose sides measure 1 mile by blood-coloured lines parallel to the edge of the maps. Jack knows that, on both the first and the second map, the Isla de Mono lies on the intersection of two such blood-coloured lines (this can include the edges of the map). He does not know, however, which lines. How many points are there on which the island could lie? 42
9) The Secret of Monkey IslandTM Every experienced π-rate has heard of the fabulous treasure hidden on the lost Isla de Mono; as the legend goes, the treasure was buried in a point on the island which is at least 5 m above sea level. Thia Djeome owns what may be the only map of thi island, from which it can be deduced that: -
the island has a shape of a pentagon in which a circumference can be inscribed;
-
the depth of the sea around the island is equal to √ π times the least distance from the coast measured on the map, while the altitude of every point on the surface of the island is equal to √π/2 times the least distance of the point from the water, measured on the map;
-
the area enclosed by the points that are 1 metre below sea level measures 12343 m2, while the area enclosed by the points that are 3 metres below sea level measures 12835 m2.
What is the area, in m2, of the part of the island in which the treasure could be found, according to the legent?
10) Shipwreck Cove The Brethren Court’s impregnable stronghold is built entirely with wood obtained from shipwrecks. It is in the shape of four identical cones, lying on flat ground so that share vertices. Their lateral surfaces touch the ground on 4 equal perpendicular segments, forming a cross, and the lateral surfaces of two adjecent cones are tangent. Write the first four decimal digits of the ratio of the height to the base radius of the cones.
43
Soutěž družstev na MO Itálie ve sportovní hale...
... i venku vedle haly pro dobrovolníky a veřejnost.
44
Internetový portál projektu Matematika plus Pro potřeby projektu byl vytvořen a průběžně plněn a aktualizován internetový portál na adrese http://www.matplus.gjs.cz. Zde jsou umístěny úlohy z jednotlivých aktivit projektu a informace o realizaci projektu Internetový portál projektu.
45
Projekt OP VK Matematika Plus – Podpora matematického vzdělávání žáků středních škol Olomouckého kraje Projekt OP VK Matematika Plus – Podpora matematického vzdělávání žáků středních škol Olomouckého kraje byl realizován v termínu 1. 9. 2013 – 31. 12. 2014 z operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost v rámci výzvy Výzva č. 2 pro Olomoucký kraj (oblast podpory 1.1). Projekt byl zaměřen na podporu rozvoje žáků druhého stupně základních škol a žáků víceletých gymnázií v oblasti matematiky. Hlavním cílem bylo motivovat žáky ke studiu matematiky, podpořit žáky, kteří se o matematiku zajímají a nasměrovat je tak k dalšímu studiu technických nebo přírodovědných oborů středních a vysokých škol. Pro žáky se zájmem o matematiku byly v rámci projektu realizovány pravidelné týdenní nepovinné semináře primárně na Gymnáziu Jakuba Škody. Dále byly pořádány výjezdní semináře na další školy v Olomouckém kraji se zaměřením na propagaci a zatraktivnění matematiky. Pro vybrané žáky bylo uspořádáno celkem 7 výjezdních soustředění. Projekt také umožnil zapojení těch nejlepších žáků do mezinárodních soutěží v ČR i v zahraničí. Celkový plánovaný rozpočet projektu byl stanoven ve výši 2 848 447,04 Kč, v rámci úspor však celkové náklady dosáhly 75 % plánovaného rozpočtu. Projekt naplnil všechny plánované projektové cíle a překročil stanovené monitorovací indikátory. Celkem bylo realizováno přes 110 pravidelných seminářů, 12 výjezdních seminářů a 7 výjezdních soustředění. Realizací projektu bylo podpořeno v počátečním vzdělávání celkem 269 chlapců a 153 dívek a bylo podpořeno 24 osob na pozici poskytovatelé služeb (lektoři). Mgr. Jitka Kopková projektová manažerka
46
Při příležitosti vydání tohoto sborníku chci díky ohlasu žáků, kteří se účastnili různých aktivit projektu Matematika Plus, a kteří nacházejí v matematice zalíbení, zábavu a možná s ní spojují i svou budoucnost, vyjádřit přesvědčení, že byl pro ně projekt přínosný a i díky dotacím EU poznali s matematikou mnoho nového a posunuli se ve svém vzdělávání o významný krok dál. Za neutuchající ochotu věnovat se matematickému vzdělávání žáků nad běžný rámec výuky patří velké poděkování všem učitelům matematiky, kteří na realizaci projektu spolupracovali. Zvláštní poděkování patří RNDr. Jaroslavu Švrčkovi, CSc., který svým nadšením, znalostmi a často až urputným přístupem výrazně posunul výsledky žáků GJŠ v Přerově i mnoha žáků Olomouckého kraje na celostátní i mezinárodní úroveň a stal se duší spolupráce GJŠ Přerov a PřF UP v Olomouci. Mgr. Jan Raška vedoucí projektu Matematika Plus, ředitel Gymnázia Jakuba Škody Přerov.
47
Určeno pro učitele matematiky a žáky 2. stupně základních škol a gymnázií s hlubším zájmem o matematiku. Vydalo Gymnázium Jakuba Škody, Komenského 29, 750 11 Přerov, prosinec 2014 www.gjs.cz Tisk: Jutty Group s.r.o. Přerov Publikace neprošla redakční a jazykovou úpravou. Tento sborník byl vytvořen v projektu OP VK Matematika Plus - Podpora matematického vzdělávání žáků středních škol Olomouckého kraje, který je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. CZ.1.07/1.1.26/02.0073
48
