MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

IV. Základy integrálního počtu 1

Matematika I. I.

Lineární algebra

II. Základy matematické analýzy III. Diferenciální počet IV. Integrální počet

2

Matematika I. IV. IV.1. IV.2. IV.3. IV.4. IV.5. IV.6. IV.7. IV.8. IV.9. 1V.10.

Integrální počet Primitivní funkce, neurčitý integrál Výpočet neurčitého integrálu Integrace substitucí Integrace racionální funkce Vybrané speciální substituce Riemanův integrál Výpočet Riemanova integrálu Aplikace Riemanova integrálu Nevlastní integrál Numerický výpočet Riemanova integrálu

3

Matematika I. IV.

Integrální počet

IV.1. Primitivní funkce, neurčitý integrál Definice: Jsou-li F a f funkce definované na intervalu I s krajními body a, b ∈ R* a platí, že a) F’(x) = f (x) pro všechna x ∈ (a,b), b) F+’(x) = f (a) pokud a ∈ I, c) F-’(x) = f (b) pokud b ∈ I, nazýváme funkce F(x) primitivní funkcí k funkci f (x) na intervalu I.

Věta (o existenci primtivní funkce): Je-li funkce f spojitá v intervalu I, pak k funkci f existuje v intervalu I primitivní funkce.

4

IV.1. Primitivní funkce, neurčitý integrál • je-li F(x) primitivní funkcí k funkci f (x) v intervalu I, potom i funkce G(x) = F(x) + C je primitivní funkí k f (x) na intervalu I • jsou-li F(x) a G(x) primitivní funkce k funkci f (x) v intervalu I, pak existuje reálná konstanta C taková, že C = G(x) − F(x) • jsou-li F(x) a G(x) primitivní funkce k funkcím f (x) a g (x) v intervalu I, potom je součet F(x) + G(x) primitivní funkce k funkci f (x) + g (x) v intervalu I Definice: Množinu všech primitivních funkcí k funkci f v intervalu I nazýváme neurčitým integrálem funkce f v intervalu I. Z

f (x)dx, x 2 I Z

Z

Z

f (x)dx

f dx

f (x)dx = F (x) + C, x 2 I 5

integrační konstanta

IV.2. Výpočet neurčitého integrálu Věta (o linearitě integrálu): Jsou-li f a g funkce integrovatelné v intervaluZI a a, b ∈ R jsou libovolné potom platí Z reálné konstanty, Z a.f (x) + b.g(x) dx = a

Speciálně platí, že:

Z

a.f dx = a

f (x)dx + b

g(x)dx + C.

Z

f dx, Z Z Z (f + g)dx = f dx + gdx.

Věta (o integraci per-partes): Jsou-li f a g funkce spojitě diferencovatelnéZ funkce v intervalu I, pak vZtomto intervalu platí f 0 (x)g(x)dx = f (x)g(x)

(f.g)0 = f 0 g + f g 0 ) f.g =

Z

f 0 gdx + 6

Z

f (x)g 0 (x)dx.

f g 0 dx ) tvrzen´ı vˇety

IV.2. Výpočet neurčitého integrálu a)

b) c) d)

e)

Z

1 x dx = xa+1 + C, a ≠ -1, x∈R, Mocninné funkce: a+1 Z 1 dx = ln |x| + C, x ≠ -1 x Z x a x a dx = + C, a > 0, a ≠ 1, x∈R. Exponenciální funkce: ln a ✓ ◆ Z 1 Logaritmické funkce: loga xdx = x loga x + C, a > 0, ln a a ≠ 1, x>0. Z Goniometrické funkce: sin(x)dx = cos(x) + C, x∈R, Z cos(x)dx = sin(x) + C, x∈R. Z p Cyklometrické funkce: arcsin xdx = x arcsin x + 1 x2 + C, Z p arccos xdx = x arccos x 1 x2 + C, x∈(-1, 1). a

7

IV.2. Výpočet neurčitého integrálu Z tabulky derivací elementárních funkcí plynou další “tabulkové” integrály: a) b) d)

Z

Z

Z

1 dx = tgx + C, 2 cos x p

1 1

x

Z

dx = arcsin x + C = 2

1 dx = arctgx + C = 2 1+x

Příklady:

1 2 dx = sin x

Z

(x2 + 3x

Z

1 dx, 2 n (1 + x )

cotgx + C.

arccos x + D. arccotgx + D. Z

2)ex dx,

8

cos2 xdx,

Z

ex sin xdx,

IV.3. Integrace substitucí Věta (o integraci substitucí): Nechť f (x) je spojitá funkce v intervalu I a funkce x = g(t) je spojitě diferencovatelná v intervalu J a je g(J) ⊂ I. Potom platí Z Z f g(t) .g 0 (t)dt

f (x)dx =

pro x ∈ I, t ∈ J.

Tuto větu lze použít oběma směry: “zleva doprava” (substituční metoda I) i “zprava doleva” (substituční metoda 2): :

:

Z

p x 4

Z p

4

x2 dx

• • • •

x2 dx

• Je komplikovanější v tom, že ji musíme “nalézt”. • Musíme určit substituci ve tvaru: x=g(t), dx=g’(t)dt • Po zintegrování provedeme zpětnou substituci: t=g-1(x)

Obvykle jednodušší, bývá “vidět” na první pohled. Musíme určit f(g), g(t) a g’(t). Uděláme substituci: g(t)=x, g’(t)dt=dx. Nakonec provedeme zpětnou substituci: t=g-1(x)

9

IV.2. Výpočet neurčitého integrálu Příklady: Z Z Z Z

sin5 x cos xdx

Z

0

f (x) dx f (x)

Z

p cos x p dx x

(3

2x)

256

Z

dx

sin5 xdx 3x x3

2 dx, 2x + 1

x 1 dx x

10

tgxdx

Z

2

ex dx 2x 1+e

Z p

Z

Z

1 1

x

dx

p

2 + ln x dx x ln x Z

e

x2

dx

IV.4. Integrace racionální funkce Věta (o rozkladu polynomu): Nechť Qm(x) je mnohočlen stupně m > 1. Potom i) je-li α k-násobným reálným kořenem funkce Qm(x), pak Qm(x) = (x-α)k.Um-k(x) ii) je-li β k-násobným komplexním kořenem funkce Qm(x), pak tato funkce má i k-násobným komplexně sdružený kořen γ a platí Qm(x) = (x-β)k(x-γ)k.Um-2k(x) = (x2 +px+q)k.Um-2k(x), kde x2 +px+q = (x-β)(x-γ). Je-li Q3(x) = rx3+ sx + t polynom stupně 3, potom jsou pouze čtyři možnosti: i) Q3(x) = r(x-α)(x-β)(x-γ), ii) Q3(x) = r(x-α)(x-β)2, iii) Q3(x) = r(x-α)3, iv) Q3(x) = r(x-α)(x2+px+q) x3 - 2x2 - 5x + 6 = 0

Příklad: Najděte kořeny rovnice 11

IV.4. Integrace racionální funkce Pn (x) Racionální (lomená) funkce: f (x) = Qm (x)

Pokud je n ≥ m, pak lze f(x) rozdělit na polynom stupně m-n a ryze racionální funkci:

f (x) = Rn

Sk (x) , m (x) + Qm (x)

k < m.

Věta (o rozkladu racionální funkce na parciální zlomky): Nechť i)

f (x) =

Pn (x) Qm (x)

je ryze racionální funkce.

je-li x0 k-násobným reálným kořenem funkce Qm(x), pak existují konstanty A1, …,Ak a polynomy P*n-k(x) a Q*m-k(x) tak, Pn⇤ k (x) A1 A2 Ak že f (x) =

x

x0

+

(x

x0

)2

+ ··· +

(x

x0

)k

+

Q⇤m

k (x)

ii) je-li x1 k-násobným komplexním kořenem funkce Qm(x), pak existují konstanty B1, …,Bk, C1, …,Ck a polynomy P*n-2k(x) a Q*m-2k(x) tak, že Pn⇤ B1 + C1 x B2 + C2 x Bk + C k x f (x) = 2 + + ··· + 2 + ⇤ x + px + q (x2 + px + q)2 (x + px + q)k Qm 12

2k (x) 2k (x)

IV.4. Integrace racionální funkce Je-li jmenovatel stupně 2, lze racionální funkci rozložit pouze v případě, že jmenovatel má reálné kořeny: ax + b A B = + 2 rx + sx + t x ↵ x

nebo

ax + b C = 2 rx + sx + t (x )2

Je-li jmenovatel stupně 3, jsou opět pouze čtyři možnosti: P2 (x) A B C = + + Q3 (x) (x ↵) (x ) (x ) P2 (x) A B C = + + Q3 (x) (x ↵) (x ) (x )2

(tři reálné různé kořeny)

iii)

C P2 (x) A B = + + 2 Q3 (x) (x ↵) (x ↵) (x ↵)3

(jeden reálný trojnásobný kořen)

iv)

P2 (x) A Bx + C = + 2 Q3 (x) (x ↵) (x + px + q)

(jeden reálný a dva komplexně sdružené kořeny)

i) ii)

13

(dva reálné různé kořeny, jeden dvojnásobný)

IV.4. Integrace racionální funkce Z Z Z

1 x2

1

dx

2

2x + 1 dx 3 2(x + 1) 3

x +5 dx 3 2 x + 2x + 3x

Z Z

Z

14

x3

3 dx 7x + 6

x 1 dx 3 2 4x + 4x + 7x + 2

p

1 2x + 1

dx

IV.5. Vybrané speciální substituce 1)

2)

Z

Z

1 dx, cos x

Z

sinm (x). cosn (x) dx

Z Z

3

sin x dx, 3 + cos x

sin5 (x) cos2 (x) dx,

Z

Z

cotg x dx 2 sin x

R sin(x), cos(x) dx

Z

cos2 (2x) dx

sin2 (x) cos4 (x) dx,

1 sin x dx, 1 + cos x

x t = tg 2

15

Z

1 t2 2 cos x = , dx = dt 1 + t2 1 + t2 2t sin x = , 1 + t2

IV.5. Vybrané speciální substituce

3)

4)

Z

3x p dx, 2x + 1 ✓

r

Z

R x,

Z

p 2 x 4

Z

R x,

n

p

ax + b cx + d

x2

ax2

Z ◆

1 p x(x

1)

dx,

dx

dx,

Z r t=

Z

x+2 dx x 1

r n

ax + b cx + d

1 p dx 2 x +x+1+x

+ bx + c dx

a>0 )

p

ax2

p

+ bx + c = t + ax p p 2 c>0 ) ax + bx + c = c + tx r x a<0 ) t= x ↵ (tzv. Eulerovy substituce)

16

IV.6. Riemanův integrál Určitý integrál (je jich celá řada: Newtonův, Lebesgueův, Stieltjesův, …) f(x)

a

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

17

x8

x9

x10 x11 x12 xn-1 b


Jak je velká plocha pod grafem funkce f ?

a

x1

x2

x3

Dělení intervalu ⟨a,b⟩:

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10 x11 …

xn-1 b

D = {x0, x1, …, xn : a= x0 < x1 < … < xn = b}

norma dělení D: ||D|| = max{4xi : 4xi = xi

18

xi

1

; i = 1, . . . , n }



a

ξ1

x1

ξ2

x2

ξ3

x3

ξ4


x4

ξ5

x5

ξ6

x6

ξ7

x7

ξ8

x8

x9

ξ9

ξ10

x10 x11 … ξ11 …

ξn-1

ξn

D = {x0, x1, …, xn : a= x0 < x1 < … < xn = b}


výběr z intervalu ⟨a,b⟩:

xn-1 b

xi

1

; i = 1, . . . , n }

V = {ξ1, ξ2, …, ξn : ξi ∈ ⟨xi-1; xi⟩, i=1,…, n}

19



a

ξ1

x1

ξ2

x2

ξ3

x3

ξ4


x4

ξ5

x5

ξ6

x6

ξ7

x7

ξ8

x8

x9

ξ9

ξ10

x10 x11 … ξ11 …

Riemanův součet:

ξn-1

ξn

D = {x0, x1, …, xn : a= x0 < x1 < … < xn = b}


výběr z intervalu ⟨a,b⟩:

xn-1 b

xi

1

; i = 1, . . . , n }

V = {ξ1, ξ2, …, ξn : ξi ∈ ⟨xi-1; xi⟩, i=1,…, n}

s(f, D, V ) =

n X i=1

f (⇠i )4xi



lim

m

||D||!0+

a

x1

x2

x3

s(f, D, V ) = x4

x5

x6

Z

b

f (x)dx a

x7

x8

x9

x10 x11 …

m = minimum funkce f na intervalu ⟨a,b⟩ => (b

Riemanův součet:

s(f, D, V ) =

n X i=1

f (⇠i )4xi

xn-1 b

a).m 

Z

b

f (x)dx a



M

lim

m

||D||!0+

a

x1

x2

x3

s(f, D, V ) = x4

x5

x6

Z

b

f (x)dx a

x7

x8

x9

x10 x11 …

m = minimum funkce f na intervalu ⟨a,b⟩ => (b M = maximum funkce f na intervalu ⟨a,b⟩ => Riemanův součet:

s(f, D, V ) =

n X i=1

Z

a).m  b

a

xn-1 b

Z

b

f (x)dx a

f (x)dx  (b

f (⇠i )4xi

a).M



M µ

lim

m

||D||!0+

a

x1

x2

x3

s(f, D, V ) = x4

x5

x6

Z

b

f (x)dx a

x7

x8

x9

x10 x11 …

m = minimum funkce f na intervalu ⟨a,b⟩ => (b M = maximum funkce f na intervalu ⟨a,b⟩ => Z

b

f (x)dx = (b a

a).µ ) µ =

1 b

a

Z

a).m  b

Z

b

f (x)dx a

f (x)dx  (b

a

Z

xn-1 b

b

f (x)dx a

µ je tzv. střední hodnota integrálu funkce f na intervalu ⟨a,b⟩

a).M

IV.6. Riemanův integrál Z

b

f (x)dx = plocha mezi grafem funkce a osou x nad intervalem ⟨a,b⟩

a

Zřejmě platí:

f(x)

• •

Z

Z

Z

b

f (x)dx = a

a

f (x)dx b

a

f (x)dx = 0 a

+ a

• •

acb ) Z

b

− Z

b

f (x)dx = a

b

r.f (x) + s.g(x) dx = r. a

(linearita vzhledem k funkci)

Z

Z

c

f (x)dx + a

b

f (x)dx + s. a

Z Z

b

f (x)dx c

(linearita vzhledem k mezím) b

a

g(x)dx, r, s 2 R

IV.6. Riemanův integrál Věta (o existenci Riemanova integrálu): Nechť f (x) je spojitá funkce v intervalu ⟨a,b⟩. Potom existuje Riemanův integrál Z b

f (x)dx

a

Říkáme, že funkce f je integrovatelná na intervalu ⟨a,b⟩. Věta: Nechť jsou funkce f a g obě integrovatelné v intervalu ⟨a,b⟩. a) Je-li ⟨c,d⟩⊂⟨a,b⟩, potom jsou tyto funkce integrovatelná také v intervalu ⟨c,d⟩. b) Liší-li se funkce f a g v intervalu ⟨a,b⟩ pouze v konečně mnoha Z b bodech, potom je Z b g(x)dx

f (x)dx =

a

a

c) Je-li f (x) ≤ g (x) pro všechna x ∈ ⟨a,b⟩, potom je také Z

b a

f (x)dx 

Z

b

g(x)dx a

IV.6. Výpočet Riemanova integrálu Věta (Newtonova-Leibnitzova formule): Nechť f (x) je spojitá funkce v intervalu ⟨a,b⟩ a F je primitivní funkce k f v ⟨a,b⟩. Z b ⇥ ⇤b Potom f (x)dx = F (x)

a

Z

a

= F (b)

Z

1 3

(4x + 2x

F (a)

5)dx,

1

⇡/2 0

1 dx 5 + 4 sin x

Věta (o integraci per partes): Nechť funkce f a g mají spojité derivace v intervalu ⟨a,b⟩. Potom Z Z b

f 0 (x)g(x)dx = f (x)g(x)

a

Z

⇥

2

x.e2x dx, 0 26

⇤b

a

b

f (x)g 0 (x)dx.

a

Z

⇡

sin2 (x)dx, 0

IV.6. Výpočet Riemanova integrálu Věta (o integraci substitucí): Nechť funkce g má spojitou derivaci v intervalu ⟨a,b⟩ a zobrazuje ⟨a,b⟩ do intervalu J. Nechť funkce f je spojitá v J. PotomZ b Z g(b) f g(x) g 0 (x)dx =

g(a)

a

Z

Z

Z

1 1

2x x2

⇡/2 0

1/2 0

p

4

f (s)ds.

Z

3 dx 3x + 8

Z

x2 dx,

arcsin x p dx 2 3 (1 x )

⇡/2

sin 4x dx, 0

sin3 x cos4 x dx,

⇡/2

Z 27

⇡/2

⇡/2 0

1 dx 5 + 4 sin x

IV.7. Riemanův integrál jako funkce horní meze Předpokládejme, že funkce f je integrovatelná na intervalu ⟨a,b⟩. Pro každé x ∈ ⟨a,b⟩ můžeme definovat funkci Platí:

P (x) =

Z

x

f (t)dt a

• Funkce P(x) je spojitá v ⟨a,b⟩. • Ve všech Zbodech x ∈ ⟨a,b⟩ ve kterých je funkce f spojitá je dP d = dx dx

x

f (t)dt = f (x).

a

• Je-li f(x) spojitá v intervalu I, potom funkce P(x) je její primitivní funkcí v I.

• Je-li f(x) spojitá, g(x) a h(x) jsou diferencovatelné v intervalu I, potom pro x ∈ I platí d dx

Z

h(x) g(x)

f (t)dt = f h(x) .h0 (x)

f g(x) .a0 (x)

IV.8. Aplikace Riemanova integrálu Věta (plošný obsah oblasti ohraničené křivkami): Nechť O je oblast v R2 ohraničená grafy spojitých funkcí f a g nad intervalem ⟨a,b⟩: O={[x,y]∈R2: g(x) ≤ y ≤ f (x), x∈⟨a,b⟩}. Potom plošný obsah této oblasti je dán vztahem Z b

P (O) =

f (x)

g(x) dx

a

Příklad: Vypočtěte obsah oblasti ohraničené křivkami f: y = 1 - x2 a g: y = x2.

 29

4 P = p 3 2

IV.8. Aplikace Riemanova integrálu Hmotnost homogenní rovinné plochy: m=⇢

Z

b

f (x)dx a

Statické momenty homogenní rovinné plochy: ⇢ mx = 2

Z

b

f 2 (x)dx,

my = ⇢

a

Z

b

xf (x)dx a

Souřadnice těžiště homogenní rovinné plochy: my xT = , m

mx yT = . m

Momenty setrvačnosti homogenní rovinné plochy: ⇢ Jx = 3

Z

b

f 3 (x)dx,

Jy = ⇢

a

30

Z

b

x2 f (x)dx a

IV.8. Aplikace Riemanova integrálu Příklad: Najděte souřadnice těžiště pravoúhlého trojúhelníka s odvěsnami o délce 1 a 4. Příklad: Najděte souřadnice těžiště homogenní rovinné desky vyříznuté z materiálu s hustotou hmotnosti ρ=1,15 g/cm2 a ohraničené křivkami f: y = 1 - x2 a g: y = x2.

31

IV.8. Aplikace Riemanova integrálu Věta (objem rotačního tělesa): Nechť funkce f je spojitá a nezáporná na intervalu ⟨a,b⟩. Uvažujme těleso T v R3, které vznikne rotací části grafu funkce f nad intervalem ⟨a,b⟩ kolem osy x. Potom objem tělesa T je dán vztahem Z b f 2 (x)dx

V (T ) = ⇡

a

Příklad: Odvoďte vzorec pro objem komolého rotačního kužele s poloměry podstav r1, r2 a výškou h. 

r1 f(x)

⇡h 2 V = r1 + r1 r2 + r22 3

r2

0

32

h

x

IV.8. Aplikace Riemanova integrálu Hmotnost homogenního rotačního tělesa: m = ⇢⇡

Z

b

f 2 (x)dx a

Statické momenty homogenního rotačního tělesa: mxx = mxy = 0,

myz = ⇢⇡

Z

b

xf 2 (x)dx a

Souřadnice těžiště homogenního rotačního tělesa: myz xT = , m

yT = zT = 0.

Momenty setrvačnosti homogenního rotačního tělesa vzhledem k ose rotace: ⇢⇡ Jx = 2

Z

b

f 4 (x)dx. a

33

IV.8. Aplikace Riemanova integrálu Příklad (pokračování): Najděte souřadnice těžiště komolého rotačního kužele s poloměry podstav r1, r2 a výškou h.  

r1

⇡h 2 V = r1 + r1 r2 + r22 3

f(x) r2

⇡h2 2 mx = r1 + 2r1 r2 + 3r22 12



0

h (r12 + 2r1 r2 + 3r22 ) xT = , y T = zT = 0 2 2 4 (r1 + r1 r2 + r2 )

34

h

x

IV.8. Aplikace Riemanova integrálu Věta (délka části grafu funkce): Nechť funkce f je spojitá na intervalu ⟨a,b⟩. Délka grafu funkce f nad intervalem ⟨a,b⟩ je rovna l=

Z

b a

q 2 0 1 + f (x) dx

Hmotnost homogenní rovinné křivky: m=⇢

Z

b a

q 2 0 1 + f (x) dx

Statické momenty homogenní rovinné křivky: mx = ⇢

Z

b

f (x) a

q

1+

2 0 f (x) dx,

my = ⇢

Z

b

x a

Souřadnice těžiště homogenní rovinné křivky: my xT = , m

mx yT = . m 35

q

1+

2 0 f (x) dx

IV.8. Aplikace Riemanova integrálu Příklad: Řetězovka je křivka definovaná grafem funkce ex + e cosh(x) = 2

x

, x2R x a x a cosh = ea + e a 2

Spočtěte délku řetězovky pro a = 1 a x ∈ ⟨-2, 2⟩.

36

x a

IV.8. Aplikace Riemanova integrálu Věta (povrch pláště rotačního tělesa): Nechť funkce f je spojitá a nezáporná na intervalu ⟨a,b⟩. Uvažujme těleso T v R3, které vznikne rotací části grafu funkce f nad intervalem ⟨a,b⟩ kolem osy x. Potom povrch pláště rotačního tělesa T je dán vztahem Z b

S(T ) = 2⇡

f (x)

a

q

1+

2 0 f (x) dx

Příklad (pokračování): Odvoďte vzorec pro povrch pláště komolého rotačního kužele s poloměry podstav r1, r2 a výškou h. 

r1

⇡h 2 V = r1 + r1 r2 + r22 3  ⇡h2 2 mx = r1 + 2r1 r2 + 3r22 12  h (r12 + 2r1 r2 + 3r22 ) xT = , y T = zT = 0 2 2 4 (r1 + r1 r2 + r2 )

h

S = ⇡(r1 + r2 )

p

h2 + (r1

r2 )

i

f(x) r2

0

37

h

x

IV. 9. Porušení předpokladů, nevlastní integrál Předpoklady pro existenci Riemanova integrálu dle definice: (i) interval ⟨a,b⟩ je omezený, (ii) funkce f je v intervalu ⟨a,b⟩ spojitá a omezená. 1) Funkce f je v omezeném intervalu ⟨a,b⟩ nespojitá, ale omezená: Je-li funkce f v intervalu ⟨a,b⟩ spojitá “po částech”, potom existuje dělení intervalu ⟨a,b⟩ {c0, c1, …, ck : a = c0 < c2 < … < ck = b} takové, že funkce f je v každém intervalu ⟨ cj-1, cj⟩, j =1,…, k spojitá. Potom Z

b

f (x)dx = a

Z

c1

f (x)dx + c0

Z

c2 c1

f (x)dx + · · · +

Z

ck

f (x)dx ck

1

2) Funkce f je v omezeném intervalu (a,b) spojitá, ale neomezená: V takovém případě je funkce f v každém intervalu ⟨u,v⟩, a < u < v < b, integrovatelná a položíme ✓ ◆ Z Z v

b

f (x)dx = lim

a

u!a+

lim

v!b

f (x)dx

u

= lim F (v) v!b

lim F (u)

u!a+

pokud tyto limity existují a výraz na pravé straně má smysl. 38

IV. 9. Porušení předpokladů, nevlastní integrál Předpoklady pro existenci Riemanova integrálu dle definice: (i) interval ⟨a,b⟩ je omezený, (ii) funkce f je v intervalu ⟨a,b⟩ spojitá a omezená. 3) Funkce f je spojitá v neomezeném intervalu (a,b): V takovém případě je funkce f v každém intervalu ⟨u,v⟩, a < u < v < b, integrovatelná a položíme ✓ ◆ Z Z v

b

f (x)dx = lim

a

u!a+

lim

v!b

f (x)dx

u

= lim F (v) v!b

lim F (u)

u!a+

pokud tyto limity existují a výraz na pravé straně má smysl.

Poznámka: a) Pokud je hodnota funkce f(x) nevlastní v některém z krajních bodů omezeného intervalu ⟨a,b⟩, říkáme, že se jedná o nevlastní integrál vlivem funkce. b) Pokud je některý z krajních bodů intervalu ⟨a,b⟩ nevlastní, říkáme, že se jedná o nevlastní integrál vlivem meze. 39

IV. 9. Porušení předpokladů, nevlastní integrál Příklad: Rozhodněte výpočtem zda konvergují nevlastní integrály Z Z Z

1

x3 ln x dx, 0 1

x x2

4

1 1

9

dx,

1 dx. 2 4+x

40

IV.10. Numerický výpočet Riemanova integrálu Existují integrály, které nelze vyjádřit pomocí konečného počtu elementárních funkcí, nebo jejichž výsledek je velmi komplikovaný. Příklady:

Z

1 0

sin x dx, x

Z

1

p

xe

0

x

dx,

Z

1

e

x

2

dx,

1

Z

5 2

Přibližný výpočet lze provést: a) rozvojem v Taylorovu řadu a integrací člen po členu, b) numerickou integrací pomocí Lagrangeových interpolačních polynomů.

41

dx . ln x

42

Monument Valley, Navajo, UT

(n) = n! (z + 1) = z (z) p 1 ⇡ (z) (z + ) = 2z 1 (2z) 2 2 lim

z!0+

lim

z!+1

(z) = +1

(z) = +1

( 1) nen´ı definov´ano (1) = 0, (1/2) =

…. Gama funkce: Beta funkce: Z B(z, q) =

(z) =

Z

1

tz

1

t

(1

⇡,

p

⇡ (3/2) = , 2

e t dt

0

1 z 1

p

(2) = 1,

t)

q 1

dt =

0 43

Z

1 0

tz 1 = dt (1 + t)z+q

(z) (q) (z + q)

IV.10. Numerický výpočet Riemanova integrálu 1) Obdélníková metoda:

44

IV.10. Numerický výpočet Riemanova integrálu 1) Obdélníková metoda: f(x)

a

x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x10 x11 …

xn-1 b

označme f(xi) = yi , h = (xi+1 - xi ): Z

b a

f (x)dx ⇡ Ln =

n X i=1

h.yi = h[y0 + y1 + · · · + yn

45

1]

IV.10. Numerický výpočet Riemanova integrálu 1) Lichoběžníková metoda:

46

IV.10. Numerický výpočet Riemanova integrálu 1) Lichoběžníková metoda: f(x)

a

Z

b a

x1

x2

x3

x4

x5

n X (yi f (x)dx ⇡ Ln = h i=1

Z

b

f (x)dx a

Ln 

b

a 12

x6

x7

x8

x9

x10 x11 …

xn-1 b

+ yi ) h = [y0 + 2y1 + · · · + 2yn 2 2

1

1

+ yn ]

h2 M2 , kde M2 je max |f ’’(x)| na ⟨a,b⟩ 47

IV.10. Numerický výpočet Riemanova integrálu 2) Simpsonova metoda:

-5 -10 48

IV.10. Numerický výpočet Riemanova integrálu 2) Simpsonova metoda: (xi+h, yi+1)

(xi, yi)

L2 = ax2 + bx + c, x ∈ ⟨xi,xi+2h⟩

(xi+2h, yi+2) L2(xi) = axi2 + bxi + c = yi L2(xi+h) = a(xi+h)2 + b(xi+h) + c = yi+1 L2(xi+2h) = a(xi+2h)2 + b(xi+2h) + c = yi+2 a(2hxi+ h2) + bh a(2hxi+3h2) + bh

= yi+1 - yi = yi+2 - yi+1

2ah2 b=

yi+2

yi+1 h

a 2xi + 3h

=> c = yi - axi2 - bxi

= yi+2 - 2yi+1 + yi 49

1 a = 2 yi+2 2h

2yi+1 + yi

IV.10. Numerický výpočet Riemanova integrálu 2) Simpsonova metoda: L2 = ax2 + bx + c, x ∈ ⟨xi,xi+2h⟩ Pi = =

Z

xi +2h xi

2ax2i h



3

2

ax bx L2 (x)dx = + + cx 3 2

xi +2h xi

8 3 + 4axi h + ah + 2bxi h + 2bh2 + 2ch 3 2

L2(xi) = axi2 + bxi + c = yi L2(xi+h) = a(xi+h)2 + b(xi+h) + c = yi+1 L2(xi+2h) = a(xi+2h)2 + b(xi+2h) + c = yi+2 a(2hxi+ h2) + bh a(2hxi+3h2) + bh

= yi+1 - yi = yi+2 - yi+1

2ah2 b=

yi+2

yi+1 h

a 2xi + 3h

=> c = yi - axi2 - bxi

= yi+2 - 2yi+1 + yi 50

1 a = 2 yi+2 2h

2yi+1 + yi

IV.10. Numerický výpočet Riemanova integrálu 2) Simpsonova metoda: f(x)

a

Z Z

x1

x2

b a

f (x)dx ⇡ L2n

x4

x5

x6

n X (y2i = h

x7 2

i=1

x8

+ 4y2i 3

x9 1

x10 x11 …

f (x)dx

L2n

x2n-1 b

+ y2i )

h = [y0 + 4y1 + 2y2 + 4y3 + · · · + 2y2n 3

b a

x3

2

+ 4y2n

1

+ y2n ]

b a 4  h M4 , kde M4 je max |f(4)(x)| na ⟨a,b⟩ 180 51

IV.11. …. a to je vše :)

52


53


54


Děkuji za pozornost a přeji úspěšnou zkoušku.

… a také hezké Vánoce a šťastný Nový rok!

55

MATEMATIKA I. prof. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. IV. Základy integrálního počtu

Recommend Documents