Pozn´amky
Matematika (a fyzika) schovan´a za GPS Michal Bulant Masarykova univerzita Pˇr´ırodovˇ edeck´ a fakulta ´ Ustav matematiky a statistiky
Brno, 2011
Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
1 / 17
Global Positioning system
Pozn´amky
27 satelit˚ u (24 aktivn´ıch, 3 z´aloˇzn´ı) v´yˇska cca 19 300 km na povrchem Zemˇe, cca 2 obˇehy dennˇe z kaˇzd´eho m´ısta na Zemi viditeln´ych 4–12 satelit˚ u od 1. kvˇetna 2000 zruˇseno umˇel´e zkreslov´an´ı dat (SA – selective availability)
Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
2 / 17
V´ypoˇcet pozice – u´vod
Pozn´amky
Satelity ob´ıhaj´ıc´ı (nejde o stacion´arn´ı druˇzice) Zemi vys´ılaj´ı zpr´avy obsahuj´ıc´ı: ˇcas vysl´an´ı zpr´avy polohu satelitu syst´emovou informaci o stavu a (pˇribliˇzn´e) pozici ostatn´ıch satelit˚ u Z tˇechto informac´ı chce pˇr´ıjemce (GPS pˇrij´ımaˇc) odvodit informaci o sv´e poloze.
Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
3 / 17
V´ypoˇcet pozice
Pozn´amky
Pˇrij´ımaˇc na z´akladˇe polohov´e a ˇcasov´e informace [xi , yi , zi , ti ] od alespoˇ n4 satelit˚ u vypoˇcte svoji zd´anlivou vzd´alenost ri od jednotliv´ych vys´ılaˇc˚ u (pseudorange) za pˇredpokladu, ˇze se sign´al ˇs´ıˇr´ı rychlost´ı svˇetla. Vypoˇcten´a vzd´alenost od satelitu spolu s jeho polohou pˇri vysl´an´ı sign´alu ud´av´a sf´eru (povrch koule), na n´ıˇz pˇrij´ımaˇc leˇz´ı. Pr˚ useˇc´ıkem takov´ych dvou sf´er je pak kruˇznice, obsahuj´ıc´ı dan´y bod,
Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
4 / 17
V´ypoˇcet pozice – pokraˇcov´an´ı
Pozn´amky
Pr˚ useˇc´ıkem tˇret´ı sf´ery s touto kruˇznic´ı jsou pak (obvykle) 2 body. V´yslednou pozici je pak moˇzn´e urˇcit jako: ten z pr˚ useˇc´ık˚ u, kter´y je bl´ıˇze povrchu Zemˇe (v obvykl´em pˇr´ıpadˇe GPS pˇrij´ımaˇce v autˇe ˇci v ruce) ten z pr˚ useˇc´ık˚ u, kter´y je bl´ıˇze ˇ ctvrt´ e sf´ eˇre – v tomto pˇr´ıpadˇe je rovnˇeˇz moˇzn´e pomoc´ı GPS urˇcit nadmoˇrskou v´yˇsku, v n´ıˇz se pˇrij´ımaˇc pohybuje.
Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
5 / 17
Koneˇcnˇe sl´ıben´a matematika
Pozn´amky
Pro zjednoduˇsen´ı v´ypoˇct˚ u je moˇzn´e bez u ´jmy na obecnosti zvolit kart´ezskou soustavu souˇradnic tak, ˇze stˇredy sf´er (tj. pozice vys´ılaj´ıc´ıch satelit˚ u) jsou v rovinˇe xy (tj. z = 0), jeden ze stˇred˚ u d´ale um´ıst´ıme v poˇc´atku a druh´y na ose x. Uvaˇzujme tedy tˇri sf´ery se stˇredy v bodech [0, 0, 0], [u, 0, 0], [v , w , 0] a polomˇery r1 , r2 , r3 a dostaneme tak pro hledanou pozici [x, y , z] rovnice x 2 + y 2 + z 2 = r12 (x − u)2 + y 2 + z 2 = r22 (x − v )2 + (y − w )2 + z 2 = r32
Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
6 / 17
Koneˇcnˇe sl´ıben´a matematika
Pozn´amky
x 2 + y 2 + z 2 = r12 (x − u)2 + y 2 + z 2 = r22 (x − v )2 + (y − w )2 + z 2 = r32 Odeˇcten´ım 2. rovnice od prvn´ı a snadnou u ´pravou dostaneme 1 x = 2u (r12 − r22 + u 2 ). odkud po dosazen´ı za x do prvn´ı rovnice dostaneme vztah (r 2 − r22 + u 2 )2 r12 − 1 = y 2 + z 2. 4u 2 Podm´ınkou pro ˇreˇsitelnost (tj. pro to, ˇze se prvn´ı dvˇe sf´ery v˚ ubec prot´ınaj´ı) je 2ur1 ≥ r12 − r22 + u 2 , neboli r22 ≥ (u − r1 )2 , ˇci r1 + r2 ≥ u ≥ r1 − r2 (tuto podm´ınku lze samozˇrejmˇe takˇrka ihned vidˇet z obr´azku). Pˇri splnˇen´ı odvozen´e podm´ınky jiˇz vypoˇcteme i souˇradnici y pomoc´ıq dosazen´ı do tˇret´ı rovnice. Souˇradnici z pak lze dopoˇc´ıtat napˇr. jako z = ± r12 − x 2 − y 2 . Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
7 / 17
Jak ale poˇc´ıtat prakticky odmocniny?
Pozn´amky
V d˚ usledku je tˇreba ˇreˇsit neline´arn´ı soustavu rovnic o v´ıce nezn´am´ych – jiˇz jsme uk´azali jeden zp˚ usob, jak´ym ji lze pˇrev´est na postupn´e ˇreˇsen´ı rovnic o jedn´e nezn´am´e. Newton-Raphsonova metoda je iterativn´ı metoda na hled´an´ı koˇren˚ u re´aln´ych funkc´ı (obecnˇe v´ıce promˇenn´ych). Ukaˇzme zde alespoˇ n pro ilustraci jej´ı pouˇzit´ı pro odvozen´ı elegantn´ıho postupu v´ypoˇctu druh´e odmocniny. 1
Mˇejme d´anu diferencovatelnou funkci f (x) a aproximaci jej´ıho koˇrene x0 .
2
Postupnˇe poˇc´ıtejme dalˇs´ı iterace pomoc´ı vztahu xn+1 = xn −
Pro v´ypoˇcet druh´e odmocniny z a (tj. hled´an´ı koˇrene funkce f (x) = x 2 − a) tak dost´av´ame iteraˇcn´ı postup xn+1 = 21 (xn + √ Vypoˇctˇeme 12 s x0 = 3: x1 = √ pˇritom 12 ≈ 3,46410. Michal Bulant (PˇrF MU)
3+4 2 ,
x2 =
7/2+24/7 2
f (xn ) f 0 (xn ) .
a xn ).
= 97/28 ≈ 3,46429,
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
8 / 17
Fyzika a praxe n´am to trochu zkomplikuje
Pozn´amky
Do ide´aln´ıho stavu uk´azan´eho dˇr´ıve se n´am ale vloud´ı v´ıce ˇci m´enˇe z´avaˇzn´e chyby:
2
Satelity disponuj´ı vysoce pˇresn´ymi atomov´ymi hodinami, to ale naˇse kapesn´ı GPSka neum´ı. ˇıˇr´ı se sign´al skuteˇcnˇe rychlost´ı svˇetla i pˇri pr˚ S´ uchodu ionosf´erou?
3
Sign´al se odr´aˇz´ı od r˚ uzn´ych ter´enn´ıch pˇrek´aˇzek, budov apod.
4
Do hry velmi z´asadnˇe vstupuje i speci´aln´ı a obecn´a teorie relativity.
1
Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
9 / 17
Jak se vyrovnat s chybami – hodiny v pˇrij´ımaˇci
Pozn´amky
S nepˇresnost´ı levn´ych hodin v GPS pˇrij´ımaˇci se vyrovn´ame pomˇernˇe snadno – k tomu n´am slouˇz´ı pr´avˇe ˇctvr´y (a pˇr´ıpadnˇe dalˇs´ı) satelit, kter´y jsme dosud ve v´ypoˇctech nepouˇzili. V praxi tak dost´av´ame ˇctyˇri nebo v´ıce rovnic o ˇctyˇrech nezn´am´ych (x, y , z, error ). Na obr´azku je pro zjednoduˇsen´ı uk´az´an 2D pˇr´ıpad, kde hodiny v pˇrij´ımaˇci jsou zpoˇzdˇeny o 0,5 s.
Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
10 / 17
Jak se vyrovnat s chybami – hodiny v pˇrij´ımaˇci
Pozn´amky
Pokud je vidˇet v´ıce neˇz ˇctyˇri satelity, m´ame tzv. pˇreurˇcen´y syst´em rovnic a do hry vstupuje moˇznost “vybrat si” z nˇekolika moˇznost´ı tu nejlepˇs´ı – v takov´em pˇr´ıpadˇe se poloha aproximuje pomoc´ı metody nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u. Metoda slouˇz´ı k rekonstrukci funkce f z hodnot f0 , . . . , fn namˇeˇren´ych v uzlov´ych bodech a0 , . . . , an . Tuto rekonstrukci hled´ame vzhledem k dan´emu modelu – dan´e posloupnosti funkc´ı (obecnˇe v´ıce promˇenn´ych) g0 (x), . . . , gm (x), . . . – ve tvaru ym (x) =
m X
cj gj (x).
j=0
C´ılem je pˇri tom minimalizovat ”souˇcet ˇctverc˚ u” n X
2 fi − ym (ai ) .
i=0 Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
11 / 17
Aproximace metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u
Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Pozn´amky
Brno, 2011
12 / 17
Ukaˇzme si pouˇzit´ı t´eto metody v nejjednoduˇsˇs´ım pˇr´ıpadˇe, kdy m´ame d´ano n bod˚ u ([x1 , y1 ], . . . , [xn , yn ]) a hled´ame pˇr´ımku, kter´a nejl´epe vystihuje rozloˇzen´ı tˇechto bod˚ u. Hled´ame tedy funkci tvaru f (x) = a · x + b s nezn´am´ymi a, b ∈ R tak, aby hodnota n X (f (xi ) − yi )2
Pozn´amky
i=1
byla minim´aln´ı. S vyuˇzit´ım diferenci´aln´ıho poˇctu lze snadno odvodit n´asleduj´ıc´ı tvrzen´ı.
Vˇeta Mezi pˇr´ımkami tvaru f (x) = a · x + b m´a nejmenˇs´ı souˇcet ˇctverc˚ u vzd´alenost´ı funkˇcn´ıch hodnot v bodech x1 , . . . , xn od hodnot yi funkce splˇ nuj´ıc´ı X X X a xi2 + b xi = xi yi X X a xi + b · n = yi Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
13 / 17
Metoda nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u – pˇr´ıklad
Pozn´amky
Pˇr´ıklad Metodou nejmenˇs´ıch ˇctverc˚ u urˇcete regresn´ı pˇr´ımku odpov´ıdaj´ıc´ı x 1 2 3 4 namˇeˇren´ym dat˚ um: y 1.5 1.6 2.1 3.0
ˇ sen´ı Reˇ Data je vhodn´e seˇradit v tabulce podle sch´ematu: x 1 2 3 4 10
y 1.5 1.6 2.1 3 8.2
xy 1.5 3.2 6.3 12 23
x2 1 4 9 16 30
Odtud a = 0,5, b = 0,8. Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
14 / 17
Jak se vyrovnat s chybami – teorie relativity
Pozn´amky
GPS ukazuje jeden z nejpraktiˇctˇejˇs´ıch d˚ usledk˚ u teorie relativity – pokud bychom ji nevzali v potaz, bude metoda GPS prakticky nepouˇziteln´a. Atomov´e hodiny pracuj´ı s pˇresnost´ı na nanosekundy (ns = 10−9 s), abychom byli schopni zaruˇcit pˇresnost zjiˇstˇen´ı pozice na cca 10 m, je tˇreba umˇet urˇcit pˇresnost ˇcasu vys´ılaˇce s pˇrenost´ı cca 30 ns. Pˇritom se satelity vzhledem k Zemi pohybuj´ı rychlost´ı cca 14 000 km/h. Do hry tak vstupuje speci´aln´ı teorie relativity, nebot’ pˇrij´ımaˇc a vys´ılaˇc jsou v˚ uˇci sobˇe v pohybu, doch´az´ı ke zpomalen´ı hodin vys´ılaˇce oproti 42 v2 −10 , tj. asi pozorovateli (dilatace ˇcasu) o 2c 2 ≈ 2·(3·105 )2 ≈ 10 o 7µs/den. Dalˇs´ı jeˇstˇe v´yznamnˇejˇs´ı efekt pˇredstavuje obecn´a teorie relativity, kter´a pˇredpov´ıd´a, ˇze hodiny pobl´ıˇz masivn´ıho objektu (Zemˇe) jdou pomaleji neˇz hodiny vzd´alenˇejˇs´ı (d´ıky vˇetˇs´ımu zakˇriven´ı prostoroˇcasu). Z povrchu Zemˇe vid´ıme tedy satelitn´ı hodiny jdouc´ı rychleji neˇz tyt´eˇz hodiny um´ıstˇen´e na Zemi o cca 45µs za den. Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
15 / 17
Jak se vyrovnat s chybami – teorie relativity
Pozn´amky
Nezapoˇc´ıt´an´ım teorie relativity bychom tak dostali chybu v ˇr´adu 38µs za den, coˇz v d˚ usledku znamen´a cca 10km chybu v urˇcen´ı pozice. Tato chyba je opravena umˇel´ym zpomalen´ım atomov´ych hodin um´ıstˇen´ych v satelitech oproti hodin´am na Zemi (10,22999999543 MHz oproti 10,23 MHz).
Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
16 / 17
Pouˇzit´a literatura
Pozn´amky
Wikipedia, The Free Encyclopedia, www.wikipedia.org. Neil Ashby, Relativity and the Global Positioning System. Physics Today, May 2002.
Dˇekuji za pozornost!
Michal Bulant (PˇrF MU)
Matematika (a fyzika) schovan´ a za GPS
Brno, 2011
17 / 17
Pozn´amky
