Matematika 3. Ing. Marek Nikod´ ym, Ph.D. Katedra matematiky a deskript´ıvn´ı geometrie ˇ VSB-TU Ostrava
1
´ ´I ROVNICE DIFERENCIALN
Diferenci´aln´ı rovnice jsou velmi d˚ uleˇzit´e a maj´ı obrovsk´e vyuˇzit´ı hlavnˇe ve fyzice. Je to proto, ˇze vˇetˇsina fyzik´aln´ıch z´akon˚ u je pops´ana pr´avˇe diferenci´aln´ımi rovnicemi. Napˇr. Newton˚ uv pohybov´ y z´akon F=ma je vlastnˇe diferenci´aln´ı rovnic´ı. Pokud na tˇeleso o hmot´ nosti m p˚ usob´ıme silou F, uvedeme ho do pohybu a udˇel´ıme mu zrychlen´ı a. Ukolem je zjistit dr´ahu y, popˇr´ıpadˇe rychlost v tohoto tˇelesa a to znamen´a matematicky ˇreˇsit pˇr´ısluˇsnou diferenci´aln´ı rovnici. Hled´ame tedy funkci y(t), kde t je ˇcas, popˇr´ıpadˇe v(t).
1.1 1.1.1
´ PAD ´ TELESA ˇ VOLNY Bez odporu prostˇ red´ı
Uvaˇzujme tˇeleso, kter´e pad´a k zemi, pak na nˇeho p˚ usob´ı t´ıhov´a s´ıla FG = mg, kde g je t´ıhov´e zrychlen´ı pˇribliˇznˇe rovno 10. Pokud zanedb´ame odpor prostˇred´ı, dosad´ıme do Newtonova z´akona a uprav´ıme. V´ıme z matematiky 1, ˇze rychlost je derivac´ı dr´ahy v(t) = ′ ′ ′′ s (t) a zrychlen´ı je derivac´ı rychlosti nebo druhou derivac´ı dr´ahy a(t) = v (t) = s (t). F FG m·g ′′ y (t)
= = = =
′
y (t) = ′
m·a m · a(t) ′′ m · y (t) 10 Z
10 dt
Z
10t + C1 dt
y (t) = 10t + C1 y(t) =
y(t) = 5t2 + C1 t + C2
Je vidˇet, ˇze pokud zanedb´ame odpor prostˇred´ı, pak pohyb tˇelesa nez´avis´ı na jeho hmotnosti a v´ yslednou funkci pro dr´ahu dosteneme jednoduˇse dvojn´asobnou integrac´ı. nezn´ame konstatnty C1 a C2 urˇc´ıme z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek. Jestliˇze poˇc´atek souˇradn´eho syst´emu d´ame do poˇc´ateˇcn´ı polohy tˇelesa, pak y(0)=0, kladn´ y smˇer osy y d´ame dol˚ u ve ′ smˇeru pohybu tˇelesa. Jestliˇze tˇeleso pad´a z klidu, pak v(0) = y (0) = 0. y(0) = 0 : 5 · 02 + C1 · 0 + C2 = 0 ⇒ C2 = 0 ′ y (0) = 0 : 10 · 0 + C1 = 0 ⇒ C1 = 0 1
′
′
Tedy dr´aha tˇelesa je y(t) = 5t2 , rychlost v(t) = y (t) = 10t a zrychleni a(t) = v (t) = ′′ y (t) = 10. Grafy ´ ˇ POKUD NEBUDE UVEDENO JINAK, PAK DRAHA JE ZAKRESLENA VZDY ˇ ˇ ˇ ´ ˇ ˇ CERNE, RYCHLOST MODRE A ZRYCHLENI CERVENE.
120 100 80 60 40 20 0 0
1
2
3
4
5
t 1.1.2
S odporem prostˇ red´ı
Uvaˇzujme nyn´ı i odpor prostˇred´ı. Z fyziky je zn´amo, ˇze odporov´a s´ıla Fo je pˇr´ımo u ´mˇern´a rychlosti, to znamen´a, ˇze ˇc´ım je tˇeleso rychlejˇs´ı, t´ım je odporov´a s´ıla vyˇsˇs´ı. Tedy Fo (t) = ′ −ko · v(t) = −ko · y (t), m´ınus je tam proto, protoˇze s´ıla p˚ usob´ı proti smˇeru pohybu. ’ Odvod me nyn´ı tvar diferenci´aln´ı rovnice pro tento pohyb. Zvolme pak ko = 1. Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky z˚ ustavaj´ı stejn´e. F = m·a 2
FG + Fo ′ m · g − ko · y (t) ko ′ ′′ y (t) + y (t) m 1 ′ ′′ y (t) + y (t) 2
= m · a(t) ′′ = m · y (t) = g = 10
Tady uˇz tuto diferenci´aln´ı rovnici takto lehce nevyˇreˇs´ıme jako minule, zavaz´ı n´am tam totiˇz ta prvn´ı derivace. Tato diferenci´aln´ı rovnice je speci´aln´ım pˇr´ıpadem obecn´e line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice s konstantn´ımi koeficienty. 1.1.3
Obecn´ eˇ reˇ sen´ı line´ arn´ı diferenci´ aln´ı rovnice 2. ˇ r´ adu s konstantn´ımi koeficienty
Uvaˇzujme tedy n´asleduj´ıc´ı rovnici: ′′
′
a · y (x) + b · y (x) + c · y(x) = f (x),
a, b, c ∈ R
Nejdˇr´ıve si uk´aˇzeme jak vyˇreˇsit tuto rovnici obecnˇe a pak se vr´at´ıme a uˇz jednoduˇse vyˇreˇs´ıme n´aˇs pˇr´ıklad. Postupujme ve dvou kroc´ıch. Nejdˇr´ıve budeme hledat ˇreˇsen´ı naˇs´ı diferenci´aln´ı rovnice s nulovou pravou stranou, takov´a diferenci´aln´ı rovnice se naz´ yv´a homogenn´ı. Aˇz to budeme m´ıt, uk´aˇzeme si potom, jak ˇreˇsit naˇsi diferenci´aln´ı rovnici obecnˇe s nenulovou pravou stranou, takov´a diferenci´aln´ı rovnice se naz´ yv´a nehomogenn´ı. Mˇejme tedy homogenn´ı diferenci´aln´ı rovnici. ˇ sme tedy nejdˇr´ıve homogenn´ı rovnici, jej´ı ˇreˇsen´ı oznaˇcme y0 (x). Reˇ ′′
′
a · y0 (x) + b · y0 (x) + c · y0 (x) = 0
Pˇredpokl´adejme, ˇze ˇreˇsen´ı je ve tvaru y0 (x) = erx , kde r je nˇejak´a nezn´am´a konstatnta. ′ Spoˇc´ıtejme prvn´ı a druhou derivaci a dosad’me do naˇs´ı diferenci´aln´ı rovnice. y0 (x) = ′′ r · erx , y0 (x) = r2 · erx . a · r2 · erx + b · r · erx + c · erx = 0 erx (a · r2 + b · r + c) = 0 a · r2 + b · r + c = 0 Toto je kvadratick´a rovnice, kterou vyˇreˇs´ıme. Tato rovnice se naz´ yv´a charakteristick´a rovnice. Jak zn´amo, m˚ uˇzou nastat tˇri pˇr´ıpady: 1) existuj´ı dva r˚ uzn´e re´aln´e koˇreny, oznaˇcmˇs je r1 , r2 . Pak m´ame dvˇe r˚ uzn´a ˇreˇsen´ı naˇs´ı r1 x r2 x diferenci´aln´ı rovnice y1 = e , y2 = e 2) existuje jeden dvojn´asobn´ y re´aln´ y koˇren, oznaˇcme ho r, pak se d´a odvodit, ˇze dvˇe r˚ uzn´a rx rx ˇreˇsen´ı vypadaj´ı takto y1 = e , y2 = x · e 3) existuj´ı dva komplexnˇe sdruˇzen´e koˇreny, oznaˇcme je r1 = m + ni, r2 = m − ni, pak se d´a odvodit, ˇze dvˇe r˚ uzn´a ˇreˇsen´ı vypadaj´ı takto y1 = emx sin(nx), y2 = emx cos(nx). Celkov´e obecn´e ˇreˇsen´ı homogenn´ı diferenci´aln´ı rovnice je y0 (x) = C1 · y1 (x) + C2 · y2 (x), 3
C1 , C2 ∈ R
Nyn´ı si uk´aˇzeme, jak vyˇreˇsit obecnou rovnici s nenulovou pravou stranou. Potˇrebuje z´ıskat jedno konkr´etn´ı ˇreˇsen´ı t´eto rovnice, takov´e konkr´etn´ı ˇreˇsen´ı se naz´ yv´a partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı, oznaˇcme ho yp (x). Nen´ı to tedy obecn´e ˇreˇsen´ı, nevyskytuj´ı se tam ˇz´adn´e obecn´e konstaty C1 , C2 apod. D˚ uleˇzit´e je, ˇze obecn´e ˇreˇsen´ı nehomogenn´ı diferenci´aln´ı rovnice se d´a zapsat jako souˇcet nˇejak´eho partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı yp (x) a obecn´eho ˇreˇsen´ı homogenn´ı diferenci´aln´ı rovnice y0 (x). y(x) = yp (x) + y0 (x) Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı budeme hledat v tzv. neurˇcit´em tvaru podle prav´e strany f(x). Uk´aˇzeme si pouze dvˇe ned˚ uleˇzitˇejˇs´ı varianty a to kdyˇz je f(x) polynom nebo kombinace sinu a kosinu. 1) Jestliˇze napˇr. f (x) = 2x3 − x + 5, pak yp hled´ame ve tvaru yp = Ax3 + Bx2 + Cx + D , pokud ale 0 nen´ı koˇrenem charakteristick´e rovnice. Pokud je 0 koˇrenem charakteristick´e rovnice, pak yp hled´ame ve tvaru yp = x(Ax3 + Bx2 + Cx + D), pokud je 0 dvojn´asobn´ ym 2 3 2 koˇrenem, pak je yp = x (Ax + Bx + Cx + D) a metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ u najdeme nezn´am´e konstatny. 2) Jestliˇze f (x) = 2 sin(3x), pak yp hled´ame ve tvaru yp = A sin(3x) + B cos(3x), pokud ale 3i nen´ı koˇrenem charakteristick´e rovnice. Pokud je 3i koˇrenem charakteristick´e rovnice, pak yp hled´ame ve tvaru yp = x(A sin(3x) + B cos(3x)), a metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ u najdeme nezn´am´e konstatny. 1.1.4
S odporem prostˇ red´ı - pokraˇ cov´ an´ı
Nyn´ı se m˚ uˇzeme vr´atit k naˇs´ı diferenci´aln´ı rovnici, kterou jsme dostali pˇri ˇreˇsen´ı voln´eho p´adu s odporem prostˇred´ı a vyˇreˇsit ji. Rovnice vypadala takto: ′′
′
y (t) + 0.5y (t) = 10 Tedy jedn´a se o line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnici 2. ˇr´adu, kde a=1, b=0.5, c=0, f(x)=10. ˇ sme nejdˇr´ıve homogenn´ı rovnici Reˇ ′′
′
y0 (t) + 0.5y0 (t) = 0 Charakteristick´a rovnice m´a tvar r2 + 0.5r = 0 a m´a dva re´aln´e koˇreny r1 = 0, r2 = −0.5. ˇ sen´ı homogenn´ı rovnice m´a tedy tvar Reˇ y0 (t) = C1 e0·t + C2 e−0.5t = C1 + C2 e−0.5t Najdeme nyn´ı partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı yp . Prav´a strana f(x) je v naˇsem pˇr´ıpadˇe polynom nult´eho stupnˇe, 0 ale je koˇren charakteristick´e rovnice, yp hled´ame tedy ve tvaru yp = t·A. ′ Dosad´ıme toto ˇreˇsen´ı do naˇs´ı diferenci´aln´ı rovnice, k tomu si jeˇstˇe vypoˇcteme yp = A a ′′ yp = 0. ′′
′
yp (t) + 0.5yp (t) = 10 0 + 0.5A = 10 A = 20
Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı je ve tvaru yp (t) = 20t 4
Obecn´e ˇreˇsen´ı naˇs´ı diferenci´aln´ı rovnice y je souˇctem ˇreˇsen´ı y0 a yp . y(t) = yp (t) + y0 (t) y(t) = 20t + C1 + C2 e−0.5t
Nyn´ı zb´ yv´a urˇcit nezn´am´e konstanty C1, C2 z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek y(0) = 0 :⇒ 20 · 0 + C1 + C2 e−0.5·0 = 0 ′ ′ y (0) = 0 :⇒ y (t) = 20 − 0.5C2 e−0.5t → 20 − 0.5C2 e−0.5·0 = 0 C1 + C2 = 0C1 = −40 20 − 0.5C2 = 0 ⇒ C2 = 40 Celkov´e ˇreˇsen´ı naˇs´ı diferenci´aln´ı rovnice, tj. dr´aha tˇelesa vypad´a takto: y(t) = 20t − 40 + 40e−0.5t derivac´ı dr´ahy dostaneme rychlost tˇelesa ′
v(t) = y (t) = 20 − 20e−0.5t a derivac´ı rychlosti dostaneme zrychlen´ı tˇelesa ′
′′
a(t) = v (t) = y (t) = 10e−0.5t Grafy
5
120 100 80 60 40 20 0 0
2
4
6
8
t 1.1.5
S odporem prostˇ red´ı - jin´ e poˇ c´ ateˇ cn´ı podm´ınky
ˇ sme nyn´ı stejn´ Reˇ y pˇr´ıklad voln´eho p´adu tˇelesa o hmotnosti m=2 kg v prostˇred´ı s koeficientem odporu ko=1, ale nyn´ı uvaˇzujme situaci, ˇze tˇeleso se nach´az´ı 2000 metr˚ u nad zem´ı ˇ a pad´a. Casovou osu um´ıstˇeme do u ´rovnˇe zemˇe a kladn´ y smˇer osy y nahoru k tˇelesu. jak bude nyn´ı vypadat pohybov´a diferenci´aln´ı rovnice, poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky a jej´ı ˇreˇsen´ı? Odporov´a s´ıla Fo nyn´ı p˚ usob´ı v kladn´em smˇeru osy y, tedy bude s kladn´ ym znam´enkem ′ Fo (t) = ko · v(t) = −ko · y (t), naopak t´ıhova s´ıla FG p˚ usob´ı v z´aporn´em smˇeru osy y a bude se znam´enkem m´ınus FG = −mg. F FG + Fo ′ −m · g + ko · y (t) ko ′ ′′ y (t) − y (t) m ′′ ′ y (t) − 0.5y (t)
= m·a = m · a(t) ′′ = m · y (t) = −g = −10 ′
Poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky se ale zmˇen´ı y(0) = 2000, y = 0. Jedn´a se o line´arn´ı diferenci´aln´ı 6
ˇ sme nejdˇr´ıve homogenn´ı rovnici rovnici 2. ˇr´adu, kde a=1, b=-0.5, c=0, f(x)=-10. Reˇ ′′
′
y0 (t) − 0.5y0 (t) = 0 Charakteristick´a rovnice m´a tvar r2 − 0.5r = 0 a m´a dva re´aln´e koˇreny r1 = 0, r2 = 0.5. ˇ sen´ı homogenn´ı rovnice m´a tedy tvar Reˇ y0 (t) = C1 e0·t + C2 e0.5t = C1 + C2 e0.5t Najdeme nyn´ı partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı yp . Prav´a strana f(x) je v naˇsem pˇr´ıpadˇe polynom nult´eho stupnˇe, 0 ale je koˇren charakteristick´e rovnice, yp hled´ame tedy ve tvaru yp = t·A. ′ Dosad´ıme toto ˇreˇsen´ı do naˇs´ı diferenci´aln´ı rovnice, k tomu si jeˇstˇe vypoˇcteme yp = A a ′′ yp = 0. ′′
′
yp (t) + 0.5yp (t) = 10 0 + 0.5A = 10 A = 20
Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı je ve tvaru yp (t) = 20t Obecn´e ˇreˇsen´ı naˇs´ı diferenci´aln´ı rovnice y je souˇctem ˇreˇsen´ı y0 a yp . y(t) = yp (t) + y0 (t) y(t) = 20t + C1 + C2 e0.5t
Nyn´ı zb´ yv´a urˇcit nezn´am´e konstanty C1 , C2 z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek y(0) = 2000 :⇒ 20 · 0 + C1 + C2 e0.5·0 = 2000 ′ ′ y (0) = 0 :⇒ y (t) = 20 + 0.5C2 e0.5t → 20 + 0.5C2 e0.5·0 = 2000 C1 + C2 = 2000C1 = 2040 20 + 0.5C2 = 0 ⇒ C2 = −40 Celkov´e ˇreˇsen´ı naˇs´ı diferenci´aln´ı rovnice, tj. dr´aha tˇelesa vypad´a takto: y(t) = 20t + 2040 − 40e0.5t derivac´ı dr´ahy dostaneme rychlost tˇelesa ′
v(t) = y (t) = 20 − 20e0.5t a derivac´ı rychlosti dostaneme zrychlen´ı tˇelesa ′
′′
a(t) = v (t) = y (t) = −10e0.5t Grafy
7
2000 1500 1000 500 0 0 -500
2
4
6
8
t
-1000 -1500
Zaj´ımav´e by bylo zjistit, kdy tˇeleso dopadne na zem a s jakou rychlost´ı a zrychlen´ım. To znamen´a naj´ıt t, pro kter´e je y(t)=0, to znamen´a ˇreˇsit rovnici: 20t + 2040 − 40e0.5t = 0 Toto je ale neline´arn´ı rovnice, kter´a se ned´a ˇreˇsit nˇejak´ ym vzorcem nebo logaritmov´an´ım, ale pouze pˇribliˇznˇe numericky. Udˇelejme tabulku hodnot dr´ahy y(t), kde hodnoty pˇrech´azej´ı z + do - a pak to upˇresn´ıme. t 0 1 2 5 8 9 8.5 8.25 8.1 8.05 8.01 8.02 y(t) 2000 1994.1 1971.3 1652.7 16.1 -1380.7 -594.2 -269.7 -93.9 -38.2 5.3 -5.5 Je vidˇet z tabulky, ˇze v ˇcase t=8.01 bylo tˇeleso 5.3 metru nad zem´ı a v ˇcase t=8.02 bylo tˇeleso teoreticky 5.5 metr˚ u pod zem´ı. Takˇze ˇreˇsen´ı naˇs´ı rovnice je urˇcitˇs z intervalu ¡8.01,8.02¿. Jako aproximaci vezmeme t=8.015. Takˇze zhruba za 8 sekund tˇeleso dopadne na zem a dopadne s rychlost´ı v(8.015) = 20 − 20e0.5·8.015 = −1080.2m · s−1 a se zrychlen´ım a(8.015) = −10e0.5·8.015 = −550.1m·s−1 . Znam´anka - tam jsou proto, protoˇze jak rychlost, tak zrychlen´ı smˇeˇruj´ı ve smˇeru z´aporn´e osy y. 8
1.2
´ KMITAN ´ ´I-KMITAN ´ ´I TELESA ˇ ˇ E ˇ HARMONICKE NA PRUZIN
¨ 1.2.1
Kmit´ an´ı bez odporu prostˇ red´ı - nulov´ a poˇ c´ ateˇ cn´ı rychlost
Budeme nyn´ı uvaˇzovat jin´ y fyzik´aln´ı pˇr´ıpad, kter´ y taky vede na line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnici druh´eho ˇr´adu. M´ame tˇeleso o hmotnosti m zavˇeˇsen´e na pruˇzinˇe o tuhosti kp , nech´ame tˇeleso ust´alit do rovnov´aˇzn´e polohy a pak ho vych´ yl´ıme z t´eto rovnov´aˇzn´e polohy o hodnotu y0 a pust´ıme, aniˇz bychom udˇelili tomuto tˇelesu nˇejakou poˇc´ateˇcn´ı rychlost, to znamen´a, ˇze do nˇeho nedrcneme, ale pouze pust´ıme. Jak zn´amo, tˇeleso zaˇcne kmitat kolem rovnov´aˇzn´e polohy. My budeme cht´ıt zjistit dr´ahu tohoto tˇelesa v ˇcase t tj. funkci y(t), pomoc´ı derivace uˇz z t´eto funkce odvod´ıme rychlost tˇelesa v(t) a zrychlen´ı tˇelesa a(t). Na tˇeleso p˚ usob´ı pruˇzina silou Fp = −kpy . Pokud zanedb´ame s´ılu odporu prostˇred´ı je Fp jedinou silou, kter´a na tˇeleso p˚ usob´ı. Dosad´ıme do Newtonova z´akonu a uprav´ıme. F Fp (t) −kp · y(t) kp ′′ y (t) + · y(t) m
= m·a = m · a(t) ′′ = m · y (t) = 0
Uvaˇzujme konkr´etn´ı pˇr´ıklad: tˇeleso o hmotnosti 2 kg a tuhost pruˇziny kp = 1, tˇeleso z rovnov´aˇzn´e polohy vych´ yl´ıme o 3 m dol˚ u. Pokud zvol´ıme kladn´ y smˇer osy y nahoru, jak je bˇeˇzn´e, pak y0 = −3, tˇeleso pust´ıme z klidu, pak poˇc´ateˇcn´ı rychlost je nulov´a, tj. ′ v0 = y (0) = 0. Naˇse u ´loha tedy vypad´a takto: ′′
y (t) + 0.5y(t) = 0 ′ y(0) = −3, y (0) = 0 Je to naˇse diferenci´aln´ı rovnice, kde a=1, b=0, c=0.5, f(x)=0. tedy je to pˇr´ımo homogenn´ı rovnice. Charakteristick´a rovnice vypad´a takto: r2 + 0.5 = 0 √ . . ˇ sen´ım jsou dvˇe komplexnˇe sdruˇzen´a ˇc´ısla r1 = −0.5 = Reˇ 0.71i, r2 = −0.71i tedy m=0, n=0.71. a obecn´e ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice je y(t) = C1 sin(0.71t) + C2 cos(0.71t) ′
Nyn´ı zb´ yv´a urˇcit nezn´am´e konstanty C1 , C2 z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek y0 = −3, y (0) = 0. y(0) = −3 : C1 sin(0.71 · 0) + C2 cos(0.71 · 0) = −3 ′ ′ y (0) = 0 : y (t) = 0.71C1 cos(0.71t) − 0.71C2 sin(0.71t) = 0 ⇒ 0.71C1 cos(0.71 · 0) − 0.71C2 sin(0.71 · 0) = 0 C1 · 0 + C2 · 1 = −3 ⇒ C2 = −3 0.71C1 · 1 − 0.71C2 · 0 = 0 ⇒ C1 = 0 9
Dr´aha tˇelesa je d´ana takto y(t) = −3 cos(0.71t) Graf
3 2 1
t 0
5
10
15
20
0 -1 -2 -3
Rychlost a zrychlen´ı ′
v(t) = y (t) = 2.13 sin(0.71t) ′ ′′ a(t) = v (t) = y (t) = 1.51 cos(0.71t)
Grafy
10
25
3 2 1
t 0
5
10
15
20
25
0 -1 -2 -3
Ve fyzice se ˇcasto pouˇz´ıv´a jin´ y z´apis dr´ahy-v´ ychylky, kter´ y je pˇrehlednˇejˇs´ı a to ve tvaru y(t) = A sin(ω0 t + ϕ) C1 = A cos(ϕ), C2 = A sin(ϕ) kde A¿0 je amplituda v´ ychylky, ω0 je u ´hlov´a frakvence ϕ ∈< −π, π > je poˇc´ateˇcn´ı f´aze. V naˇsem pˇr´ıpadˇe plat´ı C1 = A cos(ϕ), C2 = A sin(ϕ) 0 = A cos(ϕ), −3 = A sin(ϕ) −3 π −3 ⇒0= cos(ϕ) ⇒ 0 = −3 cot(ϕ) ⇒ ϕ = − A= sin(ϕ) sin(ϕ) 2 −3 −3 A= = =3 sin(− π2 ) −1 Tedy ˇreˇsen´ı se d´a zapsat ekvivalentnˇe ve tvaru y(t) = 3 sin(0.71t − 1.57) 11
′
v(t) = y (t) = 2.13 cos(0.71t − 1.57) ′′ a(t) = y (t) = −1.51 sin(0.71t − 1.57) Ot´azky: 1) Kdy proch´az´ı tˇeleso rovnov´aˇznou polohou? 2) Kdy m´a tˇeleso nejvˇetˇs´ı v´ ychylky? 3) Kdy m´a tˇeleso nejvˇetˇs´ı rychlost a kdy je rychlost nulov´a? 4) Kdy m´a tˇeleso nejvˇetˇs´ı tyrychlen´ı a kdy je zrychlen´ı nulov´e? 1.2.2
Kmit´ an´ı bez odporu prostˇ red´ı - nenulov´ a poˇ c´ ateˇ cn´ı rychlost
Uvaˇzujme stejn´ y pˇr´ıklad, ale nyn´ı pˇredpokl´adejme, ˇze jsme do tˇelesa drncli a udˇelili mu ′ poˇc´ateˇcn´ı rychlost v0 = y (0) = 2ms−1 Naˇse u ´loha tedy vypad´a takto: ′′
y (t) + 0.5y(t) = 0 ′ y(0) = −3, y (0) = 2 Obecn´e ˇreˇsn´ı je stejn´e jako minule, ale konstanty C1 , C2 budou jin´e. Ty urˇc´ıme z ′ poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek y0 = −3, y (0) = 2 y(t) = C1 sin(0.71t) + C2 cos(0.71t)
y(0) = −3 : C1 sin(0.71 · 0) + C2 cos(0.71 · 0) = −3 ′ ′ y (0) = 2 : y (t) = 0.71C1 cos(0.71t) − 0.71C2 sin(0.71t) = 2 ⇒ 0.71C1 cos(0.71 · 0) − 0.71C2 sin(0.71 · 0) = 2 C1 · 0 + C2 · 1 = −3 ⇒ C2 = −3 2 = 2.83 0.71C1 · 1 − 0.71C2 · 0 = 2 ⇒ C1 = √ 0.5 Dr´aha tˇelesa je d´ana takto y(t) = 2.83 sin(0.71t) − 3 cos(0.71t) Graf
12
4
2 t 0
5
10
15
20
0
-2
-4
Rychlost a zrychlen´ı ′
v(t) = y (t) = 2.01 cos(0.71t) + 2.13 sin(0.71t) ′ ′′ a(t) = v (t) = y (t) = −1.43 sin(0.71t) + 1.51 cos(0.71t) Grafy
13
25
4
2 t 0
5
10
15
20
25
0
-2
-4
Ekvivalentn´ı z´apis vypad´a takto: y(t) = A sin(ω0 t + ϕ) C1 = A cos(ϕ), C2 = A sin(ϕ)
V naˇsem pˇr´ıpadˇe plat´ı C1 = A cos(ϕ), C2 = A sin(ϕ) 2.83 = A cos(ϕ), −3 = A sin(ϕ) −3 1 −3 ⇒ 2.83 = cos(ϕ) ⇒ −0.94 = cot(ϕ) ⇒ ϕ = (−0.94) = arctan( ) − 0.82 A= sin(ϕ) sin(ϕ) −0.94 −3 = 4.1 A= sin(−0.82)
y(t) = 4.1 sin(0.71t − 0.82) 14
′
v(t) = y (t) = 2.91 cos(0.71t − 1.57) ′′ a(t) = y (t) = −2.06 sin(0.71t − 1.57) 1.2.3
Kmit´ an´ı s odporem prostˇ red´ı - nulov´ a poˇ c´ ateˇ cn´ı rychlost
Nyn´ı tedy pˇribude k s´ıle Fp (t) = −kp y(t) jeˇstˇe s´ıla odporu prostˇred´ı Fo , kter´a je pˇr´ımo ′ u ´mˇern´a rychlosti tˇelesa Fo (t) = −ko y (t). F Fp (t) + Fo (t) ′ −kp · y(t) − ko y (t) kp ko ′ ′′ · y(t) y (t) + y (t) + m m
= m·a = m · a(t) ′′ = m · y (t) = 0
Uvaˇzujme stejn´ y pˇr´ıklad, tedy tˇeleso o hmotnosti m=2 kg na pruˇzinˇe s tuhost´ı kp = 1, ′ nyn´ı nav´ıc s odporem prostˇred´ı ko = 0.4 s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y(0) = −3, y (0) = 0. Naˇse u ´loha tedy vypad´a takto: ′′
′
y (t) + 0.2y + 0.5y(t) = 0 ′ y(0) = −3, y (0) = 0 Je to diferenci´aln´ı rovnice, kde a=1, b=0.2, c=0.5, f(x)=0. Charakteristick´a rovnice vypad´a takto: r2 + 0.2r + 0.5 = 0 √ √ −0.2 + − 0.22 − 4 · 0.5 −0.2 + − −1.96 −0.2 + −1.4i r1,2 = = = 2 2 2 ˇ sen´ım jsou dvˇe komplexnˇe sdruˇzen´a ˇc´ısla r1 = −0.1 + 0.7i, r2 = −0.1 − 0.7i tedy Reˇ m=-0.1, n=0.7. a obecn´e ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice je y(t) = e−0.1t (C1 sin(0.7t) + C2 cos(0.7t)) ′
Nyn´ı zb´ yv´a urˇcit nezn´am´e konstanty C1 , C2 z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek y0 = −3, y (0) = 0. y(0) = −3 : e−0.1·0 (C1 sin(0.7 · 0) + C2 cos(0.7 · 0)) = −3 ′ ′ y (0) = 0 : y (t) = −0.1e−0.1t (C1 sin(0.7t) + C2 cos(0.7t)) + e−0.1t (0.7C1 cos(0.7t) − 0.7C2 sin(0.7t)) ⇒ −0.1e−0.1·0 (C1 sin(0.7 · 0) + C2 cos(0.7 · 0)) + e−0.1·0 (0.7C1 cos(0.7 · 0) − 0.7C2 sin(0.7 · 0)) = 0 1(C1 · 0 + C2 · 1) = −3 ⇒ C2 = −3 −3 · 0.1 −0.1(C1 · 0 + C2 · 1) + 1(0.7C1 − 0) = 0 ⇒ −0.1C2 + 0.7C1 = 0 ⇒ C1 = = −0.43 0.7 V´ ychylka tˇelesa je d´ana takto y(t) = e−0.1t (−0.43 sin(0.7t) − 3 cos(0.7t)) Graf 15
2
1 t 0
5
10
15
20
25
0
-1
-2
-3
Pˇrevedeme zase tu goniometrickou ˇc´ast na ekvivalentn´ı tvar, kter´ y je v´ yhodnˇejˇs´ı k v´ ypoˇctu rychlosti a zrychlen´ı a je v˚ ubec pˇrehlednˇejˇs´ı y(t) = A sin(ω0 t + ϕ) C1 = A cos(ϕ), C2 = A sin(ϕ) V naˇsem pˇr´ıpadˇe plat´ı C1 = A cos(ϕ), C2 = A sin(ϕ) −0.43 = A cos(ϕ), −3 = A sin(ϕ) −0.43 −0.43 −3= sin(ϕ) A= cos(ϕ) cos(ϕ) −0.43 3 A= ⇒ A = −3.06 − 3 = −0.43 tan(ϕ) ⇒ ϕ = arctan( ) ⇒ ϕ = 1.43 cos(1.43) 0.43 Tedy v´ ychylka m´a tento ekvivalentn´ı tvar y(t) = −3.06e−0.1t sin(0.7t + 1.43) 16
Z tohoto tvaru je d˚ uleˇzit´a exponenci´ala + − 3.06e−0.1t , kter´a charakterizuje u ´tlum kmit˚ u, jak je vidˇet z obr´azku:
3 2 1 0 0
5
10
-1
15
20
25
t
-2 -3
V´ ychylka, rychlost a zrychlen´ı y(t) = e−0.1t (−0.43 sin(0.7t) − 3 cos(0.7t)) ′ v(t) = y (t) = (−0.1)e−0.1t (−0.43 sin(0.7t) − 3 cos(0.7t)) + e−0.1t (−0.3 cos(0.7t) + 2.1 sin(0.7t)) = e−0.1t (2.14 sin(0.7t) + 0 · cos(0.7t)) = 2.14e−0.1t sin(0.7t) ′ ′′ a(t) = v (t) = y (t) = −0.21e−0.1t sin(0.7t) + 1.5e−0.1t cos(0.7t) = e−0.1t (−0.21 sin(0.7t) + 1.5 cos(0.7t) = −1.49e−0.1t sin(0.7t − 1.43) Posledn´ı u ´prava u a(t) je tˇreba vypoˇc´ıtat konstanty A a ϕ. C1 = A cos(ϕ), C2 = A sin(ϕ) −0.21 = A cos(ϕ), 1.5 = A sin(ϕ) −0.21 −0.21 , 1.5 = sin(ϕ) A= cos(ϕ) cos(ϕ) 17
A=
−0.21 ⇒ A = −1.49, cos(−1.43)
1.5 = −0.21 tan(ϕ) ⇒ ϕ = arctan(
1.5 ) ⇒ ϕ = −1.43 −0.21
Grafy
2
1 t 0
10
5
15
20
25
0
-1
-2
-3
1.2.4
Kmit´ an´ı s odporem prostˇ red´ı - nenulov´ a poˇ c´ ateˇ cn´ı rychlost
Diferenci´aln´ı rovnice z˚ ustane stejn´a jako minule, ale zmˇen´ı se pouze druh´a poˇc´ateˇcn´ı podm´ınka. Pˇredpokl´adejme tedy, ˇze jsme udˇelili tˇelesu poˇc´ateˇcn´ı rychlost 2 ms-1. ′′
′
y (t) + 0.2y + 0.5y(t) = 0 ′ y(0) = −3, y (0) = 2 ˇ seˇsn´ı z˚ Reˇ ustane stejn´e jako minule, jenom se zmˇen´ı konstatnty C1 a C2, ty vypoˇcteme ′ jako obvykle z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek y0 = −3, y (0) = 2. y(t) = e−0.1t (C1 sin(0.7t) + C2 cos(0.7t)) 18
y(0) = −3 : e−0.1·0 (C1 sin(0.7 · 0) + C2 cos(0.7 · 0)) = −3 ′ ′ y (0) = 2 : y (t) = −0.1e−0.1t (C1 sin(0.7t) + C2 cos(0.7t)) + e−0.1t (0.7C1 cos(0.7t) − 0.7C2 sin(0.7t)) ⇒ −0.1e−0.1·0 (C1 sin(0.7 · 0) + C2 cos(0.7 · 0)) + e−0.1·0 (0.7C1 cos(0.7 · 0) − 0.7C2 sin(0.7 · 0)) = 2 1(C1 · 0 + C2 · 1) = −3 ⇒ C2 = −3 2 + 0.1(−3) −0.1(C1 · 0 + C2 · 1) + 1(0.7C1 − 0) = 2 ⇒ −0.1C2 + 0.7C1 = 2 ⇒ C1 = = 2.43 0.7 V´ ychylka tˇelesa je d´ana takto y(t) = e−0.1t (2.43 sin(0.7t) − 3 cos(0.7t)) ekvivalentn´ı tvar y(t) = 3.86e−0.1t sin(0.7t − 0.89) C1 = A cos(ϕ), C2 = A sin(ϕ) 2.43 = A cos(ϕ), −3 = A sin(ϕ) A = ϕ = −0.89, A = 3.86 Nejl´epe porovn´ame kmit´an´ı bez poˇc´ateˇcn´ı rychlosti - ˇcernˇe a s poˇc´ateˇcn´ı rychlost´ı zelenˇe
19
2 1
t 0
5
10
15
20
25
0 -1 -2 -3
1.2.5
Silnˇ e tlumen´ e kmit´ an´ı - nulov´ a poˇ c´ ateˇ cn´ı rychlost
Uvaˇzujme poˇr´ad stejn´ y pˇr´ıpad, ale zmˇen ´mˇe jednu vˇec a to koeficient odporu. Zvyˇsme koeficient odporu prostˇred´ı ko z 0.4 na 4 tedy desetkr´at, ko=10. Co se stane? odpor prostˇred´ı bude tak velk´ y, ˇze tˇeleso nebude kmitat, pouze se doplaz´ı limitnˇe do rovnov´aˇzn´e polohy. Matematicky tomu bude odpov´ıdat situace, kdy charakteristick´a rovnice bude m´ıt re´aln´e koˇreny, takˇze se v ˇreˇsen´ı neobjev´ı ani funkce sinus ani kosinus. Uvaˇzujme nejdˇr´ıve nulovou poˇc´ateˇcn´ı rychlost. Diferenci´aln´ı rovnice bude vypadat takto: kp ko ′ y (t) + · y(t) = 0 m m 4 ′ 1 ′′ y (t) + y (t) + · y(t) = 0 2 2 ′′ ′ y (t) + 2y (t) + 0.5y(t) = 0
′′
y (t) +
Je to diferenci´aln´ı rovnice, kde a=1, b=2, c=0.5, f(x)=0. Charakteristick´a rovnice vypad´a takto: r2 + 2r + 0.5 = 0 20
r1,2
√ √ −2 + − 22 − 4 · 0.5 −2 + − 2 = = 2 2
ˇ sen´ım jsou dvˇe re´aln´a ˇc´ısla r1 = −0.29, r2 = −1.71 a obecn´e ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice Reˇ je y(t) = C1 e−0.29t + C2 e−1.71t ′
Nyn´ı zb´ yv´a urˇcit nezn´am´e konstanty C1 , C2 z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek y0 = −3, y (0) = 0. y(0) = −3 : C1 e−0.29·0 + C2 e−1.71·0 = −3 ⇒ C1 + C2 = −3 ′ ′ y (0) = 0 : y (t) = −0.29C1 e−0.29t − 1.71C2 e−1.71t = 0 ⇒ −0.29C1 − 1.71C2 = 0 C1 = −3.6, C2 = 0.61 V´ ychylka tˇelesa je d´ana takto y(t) = −3.6e−0.29t + 0.61e−1.71t Graf
t 0
5
10
15
0 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -3
21
20
25
Tedy je vidˇet, ˇze tˇeleso nekmit´a, ale bl´ıˇz´ı se limitnˇe rovnov´aˇzn´e poloze. V´ ychylka, rychlost a zrychlen´ı y(t) = −3.6e−0.29t + 0.61e−1.71t ′ v(t) = = y (t) = 1.04e−0.29t − 1.04e−1.71t ′′ a(t) = = y (t) = −0.3e−0.29t + 1.78e−1.71t Grafy
1 t 0
2
4
6
8
10
12
14
0
-1
-2
-3
1.2.6
Silnˇ e tlumen´ e kmit´ an´ı - nenulov´ a poˇ c´ ateˇ cn´ı rychlost
Uvaˇzujme stejn´ y pˇr´ıklad, ale nyn´ı pˇredpokl´adejme, ˇze jsme do tˇelesa drncli a udˇelili mu ′ velkou poˇc´ateˇcn´ı rychlost v0 = y (0) = 10ms−1 , aby se tˇeleso pˇrehouplo pˇres rovnov´aˇznou ˇ sen´ı je tedy stejn´e, jenom budou jin´e konstanty C1 a C2, kter´e vypoˇcteme z polohu. Reˇ ′ poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek y0 = −3, y (0) = 10. y(0) = −3 : C1 e−0.29·0 + C2 e−1.71·0 = −3 ⇒ C1 + C2 = −3 ′ ′ y (0) = 10 : y (t) = −0.29C1 e−0.29t − 1.71C2 e−1.71t = 10 ⇒ −0.29C1 − 1.71C2 = 10 22
C1 = 3.43,
C2 = −6.43
V´ ychylka tˇelesa je d´ana takto y(t) = 3.43e−0.29t − 6.43e−1.71t Graf
1 t 0
5
10
15
20
25
0
-1
-2
-3
Tady je vidˇet, ˇze tˇeleso se pˇrehoupne pˇres rovnov´aˇznou polohu, ale d´ale uˇz nepmit´a a bl´ıˇz´ı se limitnˇe rovnov´aˇzn´e poloze. V´ ychylka, rychlost a zrychlen´ı y(t) = 3.43e−0.29t − 6.43e−1.71t ′ v(t) = = y (t) = −0.99e−0.29t + 11e−1.71t ′′ a(t) = = y (t) = 0.29e−0.29t − 18.81e−1.71t Grafy 23
1 t 0
2
6
4
8
10
12
14
0
-1
-2
-3
1.2.7
Kriticky tlumen´ y pohyb - hraniˇ cn´ı pˇ r´ıpad
V´ıme z pˇredchoz´ıch pˇr´ıklad˚ u, ˇze tˇeleso bud’ kmit´a a to tehdy pokud m´a charakteristick´a rovnice komplexn´ı koˇreny nebo nekmit´a, pokud m´a charakteristick´a rovnice re´aln´e koˇreny. N´as bude ted’ zaj´ımat ten pˇrechod mezi tˇemito dvˇema stavy. nech´ame hmotnost stejnou m=2, tuhost pruˇziny taky stejnou kp = 1 a mˇenit budeme odpor prostˇred´ı ko . V´ıme, ˇze kdyˇz je ko mal´ y tˇeleso kmit´a, kdyˇz je velk´ y, pak nekmit´a. Ale kde je ten pˇrechod? Ten pˇrechod neboli kritick´a hodnota ko bude tehdy, kdyˇz diskriminant v charakteristick´e rovnici bude nulov´ y, pak bude m´ıt charakteristick´a rovnice dvojn´asobn´ y nulov´ y koˇren. Diferenci´aln´ı rovnice bude vypadat takto: ′′
′
y (t) + 0.5ko y (t) + 0.5y(t) = 0 Charakteristick´a rovnice vypad´a takto: r2 + 0.5ko r + 0.5 = 0 Diskriminant D = (0.5k0 )2 − 4 · 0.5 = 0 24
0.25ko2 − 2 = 0 √ 8 = 2.83 k0 = Hraniˇcn´ı diferenci´aln´ı rovnice vypad´a takto: √ ′ ′′ y (t) + 2y (t) + 0.5y(t) = 0 ˇ sen´ım charakteristick´e rovnice je dvojn´asobn´ Reˇ y re´aln´ y koˇren r = − obecn´e ˇreˇsen´ı diferenci´aln´ı rovnice je
√
2 2
= −0.71 a
y(t) = C1 e−0.71t + C2 te−0.71t ′
Nyn´ı zb´ yv´a urˇcit nezn´am´e konstanty C1 , C2 z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek y0 = −3, y (0) = 0.
y(0) = −3 : C1 e−0.71·0 + C2 · 0 · e−0.71·0 = −3 ⇒ C1 + 0 = −3 ′ ′ y (0) = 0 : y (t) = −0.71C1 e−0.71t + C2 e−0.71t − 0.71C2 te−0.71t = 0 ⇒ −0.71C1 + C2 = 0 C1 = −3, C2 = −2.13
V´ ychylka tˇelesa je d´ana takto y(t) = −3e−0.71t − 2.13te−0.71t
Graf
t 0
2
4
6
8
0 -0,5 -1 -1,5 -2 -2,5 -3
25
10
12
14
Tedy je vidˇet, ˇze tˇeleso nekmit´a, ale bl´ıˇz´ı se limitnˇe rovnov´aˇzn´e poloze. V´ ychylka, rychlost a zrychlen´ı y(t) = −3e−0.71t − 2.13te−0.71t ′ v(t) = = y (t) = 2.13e−0.71t − 2.13e−0.71t + 1.51te−0.71t = 1.51te−0.71t ′′ a(t) = = y (t) = 1.51e−0.71t − 1.07te−0.71t Grafy
1 t 0
2
4
6
8
10
0
-1
-2
-3
1.2.8
Vynucen´ e kmit´ an´ı
Pˇredpokl´adejme nyn´ı, ˇze nav´ıc kmit´a cel´a soustava d´ıky vnejˇs´ı bud´ıc´ı s´ıle FB = AB sin(Ωt), pak v´ ysledn´a diferenci´aln´ı rovnice bude takov´ato: F = m·a Fp (t) + Fo (t) + FB (t) = m · a(t) ′ ′′ −kp · y(t) − ko y (t) + AB sin(Ωt) = m · y (t) 26
′′
y (t) +
ko ′ kp AB y (t) + y(t) = sin(Ωt) m m m
Uvaˇzujme n´aˇs klasick´ y pˇr´ıklad, tedy tˇeleso o hmotnosti m=2 kg na pruˇzinˇe s tuhost´ı ′ kp = 1, s odporem prostˇred´ı ko = 0.4 s poˇc´ateˇcn´ımi podm´ınkami y(0) = −3, y (0) = 0, nyn´ı nav´ıc cel´a soustava kmit´a d´ıky vnˇejˇs´ı bud´ıc´ı s´ıle s amplitudou AB = 40 a frekvenc´ı Ω = 3. Naˇse u ´loha tedy vypad´a takto: ′′
′
y (t) + 0.2y + 0.5y(t) = 20 sin(3t) ′ y(0) = −3, y (0) = 0 Je to diferenci´aln´ı rovnice, kde a = 1, b = 0.2, c = 0.5, f (t) = 20 sin(3t). Nyn´ı mus´ıme postupovat ve dvou kroc´ıch. Nejdˇr´ıve vyˇreˇs´ıme homogenn´ı rovnici s f(t)=0 a najdeme ˇreˇsen´ı y0 (t) a potom najdeme partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı yp (t) podle prav´e strany f(t). ˇ s´ıme rovnici 1) Reˇ ′′ ′ y0 (t) + 0.2y0 + 0.5y0 (t) = 0 Toto uˇz m´ame vyˇreˇsen´e z minula y0 (t) = e−0.1t (C1 sin(0.7t) + C2 cos(0.7t)) 2) Protoˇze 3i nen´ı koˇrenem charakteristick´e rovnice, budeme partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı hledat ve tvaru yp (t) = A sin(3t) + B cos(3t) a nezn´am´e konstanty A a B nalezneme metodou neurˇcit´ ych koeficient˚ u. Nejdˇr´ıve si spoˇc´ıt´ame prvn´ı a druhou derivaci yp (t) = A sin(3t) + B cos(3t) ′ yp (t) = 3A cos(3t) − 3B sin(3t) ′′
yp (t) = −9A sin(3t) − 9B cos(3t) a dosad´ıme do diferenci´aln´ı rovnice. ′′
′
yp (t) + 0.2yp (t) + 0.5yp (t) (−9A sin(3t) − 9B cos(3t)) + 0.2(3A cos(3t) − 3B sin(3t))+ +0.5(A sin(3t) + B cos(3t)) (−9A − 0.6B + 0.5A) sin(3t) + (−9B + 0.6A + 0.5B) cos(3t) (−8.5A − 0.6B) sin(3t) + (−8.5B + 0.6A) cos(3t) −8.5A − 0.6B = 0, −8.5B + 0.6A = 0 A = −2.34, B = −0.17
= 20 sin(3t) = 20 sin(3t) = 20 sin(3t) = 20 sin(3t) + 0 · cos(3t)
Partikul´arn´ı ˇreˇsen´ı tedy vypad´a takto: yp (t) = −2.34 sin(3t) − 0.17 cos(3t) Celkov´e ˇreˇsen´ı je souˇctem partikul´arn´ıho ˇreˇsen´ı a ˇreˇsen´ı homogenn´ı rovnice: y(t) = yp (t) + y0 (t) y(t) = −2.34 sin(3t) − 0.17 cos(3t) + e−0.1t (C1 sin(0.7t) + C2 cos(0.7t)) 27
′
0.
Nyn´ı zb´ yv´a urˇcit nezn´am´e konstanty C1 , C2 z poˇc´ateˇcn´ıch podm´ınek y0 = −3, y (0) =
y(0) = −3 : −2.34 sin(3 · 0) − 0.17 cos(3 · 0) + e−0.1·0 (C1 sin(0.7 · 0) + C2 cos(0.7 · 0)) = −3 ′ ′ y (0) = 0 : y (t) = −7.02 cos(3t) + 0.51 sin(3t) − 0.1e−0.1t (C1 sin(0.7t) + C2 cos(0.7t)) + e−0.1t (0.7C1 1 · (C1 · 0 + C2 · 1) − 0 − 0.17 = −3 −0.1(0 + C2 ) + 1(0.7C1 − 0) − 7.2 + 0 = 0 C1 = 9.62, C2 = −2.83 V´ ychylka tˇelesa je d´ana takto y(t) = −2.34 sin(3t) − 0.17 cos(3t) + e−0.1t (9.62 sin(0.7t) − 2.83 cos(0.7t)) Zase se d´a pˇrev´est na ekvivalentn´ı tvar −2.34 sin(3t) − 0.17 cos(3t) −→ −2.35 sin(3t + 0.07) 9.62 sin(0.7t) − 2.83 cos(0.7t) −→ 10.04 sin(0.7t − 0.29)
y(t) = −2.35 sin(3t + 0.07) + 10.04e−0.1t sin(0.7t − 0.29) Graf
28
8
4
0 0
5
10
15
20
25
t -4
Pro ˇcas jdouc´ı k nekoneˇcnu druh´ y ˇclen p˚ ujde k nule a pˇrevl´adne prvn´ı ˇclen, jak je vidˇet u obr´azku, takˇze uˇz od zhruba 50 sekundy cel´a soustava kmit´a pravidelnˇe podle bud´ıc´ı vnˇejˇs´ı s´ıly.
29
8
4
0 0
20
40
60
80
t -4
1.2.9
Rezonance
Pokud frekvence vnˇejˇs´ı bud´ıc´ı s´ıly Ω bude m´ıt urˇcitou hodnotu, pak se cel´a soustava rozkmit´a v obrovsk´ ych v´ ychylk´ach. Tato hodnota frekvence se naz´ yv´a rezonanˇcn´ı frekvence ΩR a v naˇsem pˇr´ıpadˇe je ΩR =
v u u kp t
Ã
ko −2 m m
!2
=
√
0.5 − 2 · 0.12 = 0.69
Napˇr. pro FB = 40 sin(0.69t) je v´ ychylka d´ana takto: y(t) = 24.37 sin(0.69t) − 140.71 cos(0.69t) + e−0.1t (−4.35 sin(0.7t) + 137.71 cos(0.7t)) Na obr´azku je pro zaj´ımavost srovn´an´ı p˚ uvodn´ıho kmit´an´ı s bud´ıc´ı silou FB = 40 sin(3t) ˇcernˇe a rezonanˇcn´ıho kmit´an´ı s bud´ıc´ı silou FB = 40 sin(0.69t) - zelenˇe. Zat´ımco p˚ uvodn´ı soustava kmit´a maxim´alnˇe s v´ ychylkou kolem 10, pak rezonanˇcn´ı kmit´an´ı m´a v´ ychylky v´ıce neˇz 100!
30
100 50 0 0
20
40
-50
60
80
t
-100
2 2.1 2.1.1
ˇ E ´ RADY ˇ NEKONECN ˇ ˇ ´ISEL POSLOUPNOSTI A RADY C Posloupnost ˇ c´ısel
Pˇr´ıklad posloupnosti ˇc´ısel je takov´ y 1 1 1 1 1, , , , , ··· 2 4 8 16 D˚ uleˇzit´ ym u ´kolem je umˇet vyj´adˇrit obecnˇe n-t´ y ˇclen posloupnosti an . V naˇsem pˇr´ıpadˇe zjist´ıme, ˇze plat´ı 1 1 1 1 a0 = 0 , a1 = 1 , a 2 = 2 , a 3 = 3 , · · · 2 2 2 2 tedy odtud 1 an = n 2 Obecnˇe posloupnost zapisujeme do sloˇzen´ ych z´avorek ½ ¾∞ 1 2n n=0 31
pokud ˇc´ıslujeme od 0, nebo pokud ˇc´ıslujeme od 1, vypad´a z´apis takto ½
1
¾∞
2n−1 n=1 Je vidˇet, ˇze ˇc´ısla se postupnˇe zmenˇsuj´ı a bl´ıˇz´ı se k 0, tuto situaci matematicky pop´ıˇseme pomoc´ı limity 1, 0.5, 0.25, 0.125, 0.0625, · · · 1 lim =0 n→∞ 2n Jin´a d˚ uleˇzit´a posloupnost ˇc´ısel, kter´a se bl´ıˇz´ı(konverguje) k d˚ uleˇzit´emu ˇc´ıslu e=2.718..., naz´ yvan´e Eulerovo ˇc´ıslo, vypad´a takto 1 1 1 (1 + )2 , (1 + )3 , (1 + )4 , · · · 2 3 4 2.25, 2.3703, 2.4414, · · ·
(1 + 1)1 , 2,
n-t´ y ˇclen t´eto posloupnosti je
1 n an = 1 + n ¶ µ 1 n = e = 2.718... lim 1 + n→∞ n Jestliˇze se posloupnost ˇc´ısel bl´ıˇz´ı k nekoneˇcnu + nebo -, pak se ˇr´ık´a, ˇze dan´a posloupnost diverguje. Pokud se dan´a posloupnost nebl´ıˇz´ı ˇz´adn´emu ˇc´ıslu a ani nekoneˇcnu, pak se ˇr´ık´a, ˇze dan´a posloupnost osciluje, napˇr. tato posloupnost osciluje: µ
1, 2.1.2
−1,
, 2,
−2,
¶
3,
−3, · · ·
ˇ Rada ˇ c´ısel
Utvoˇrme z naˇs´ı prvn´ı posloupnosti ˇradu ˇc´ısel tak, ˇze je jednoduˇse seˇcteme: 1 1 1 1 + + + + ··· 2 4 8 16 a zaj´ım´a n´as, zda tato ˇrada m´a koneˇcn´ y souˇcet a kdyˇz ano, pak jak´ y. Co ale budeme ch´apat souˇctem nekoneˇcnˇe mnoha ˇc´ısel? Pˇrevedeme tento pojem souˇctu nekoneˇcn´e ˇrady na pojem limity posloupnosti, coˇz uˇz v´ıme, co je. Vytvoˇrme tedy takovouto posloupnost ˇc´asteˇcn´ ych souˇct˚ u, kdy vezmeme prvn´ı ˇclen, pak souˇcet prvn´ıch dvou ˇclen˚ u, pak souˇcet prvn´ıch tˇr´ı ˇclen´ı atd.- dostaneme posloupnost ˇc´ısel. Jestliˇze tato posloupnost bude koneˇcnou limitu, pak prohl´as´ıme tuto limitu za souˇcet naˇs´ı nekoneˇcn´e ˇrady. 1+
s0 = 1 1 = 1.5 2 1 1 s2 = 1 + + = 1.75 2 4 1 1 1 s3 = 1 + + + = 1.875 2 4 8 ··· 1 1 1 1 = 1.999023... s10 = 1 + + + + · · · + 2 4 8 1024 ···
s1 = 1 +
32
1,
1.5,
1.75, 1.875, · · · 1.999023, · · · → 2 1 1 1 1 + ··· = 2 1+ + + + 2 4 8 16 ∞ X 1 =2 n n=0 2
M´ame tedy posloupnost ˇc´asteˇcn´ ych souˇct˚ u, kter´a, jak je vidˇet, se bl´ıˇz´ı k ˇc´ıslu 2, proto souˇcet naˇs´ı ˇrady je roven 2. Toto ale nen´ı matematick´ y d˚ ukaz. D˚ ukaz plyne z toho, ˇze tato ˇrada je totiˇz speci´aln´ım pˇr´ıpadem Geometrick´e ˇrady, coˇz je asi nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı typ ˇrady, u kter´e zn´ame vzorec pro jej´ı souˇcet. Obecn´ y geometrick´a ˇrada vypad´a takto a + a · q + a · q2 + a · q3 + · · · =
a , 1−q
q ∈ (−1, 1)
kde a je prvn´ı ˇclen a q je kvocient. Pokud q neleˇz´ı v intervalu (-1,1), pak geometrick´a ˇrada nekonverguje. Tedy v naˇsem pˇr´ıpadˇe je a=1 a q = 21 , proto ˇrada mus´ı konvergovat, m´ıt koneˇcn´ y souˇcet. 1 1 1 1 1 ··· = =2 1+ + + + 2 4 8 16 1 − 21 Obecnˇe, kdyˇz m´ame nekoneˇcnou ˇradu ∞ X
n=0
an = a0 + a 1 + a 2 + a3 + · · ·
pak je jasn´e, ˇze aby souˇcet t´eto ˇrady byl koneˇcn´e ˇc´ıslo, mus´ıme pˇriˇc´ıtat st´ale menˇs´ı a menˇs´ı ´ podm´ınka toho, aby souˇcet nekoneˇcn´e ˇrady hodnoty, kter´e se mus´ı bl´ıˇzit 0. Tedy NUTNA byl koneˇcn´ y je lim an = 0 n→∞
coˇz v naˇsem pˇr´ıkladˇe bylo zaruˇceno limn→∞ 21n = 0. Ale tato podm´ınka nen´ı obecnˇe ˇ ´IC´I. Pˇr´ıkladem ˇrady, kter´a m´a nekoneˇcn´ POSTACUJ y souˇcet a pˇri tom je splnˇena nutn´a podm´ınka konvergence je tzv. Harmonick´a ˇrada. 1+
1 1 1 1 + + + + ··· = ∞ 2 3 4 5
Tady je n-t´ y ˇclen an = n1 , pokud ˇc´ıslujeme od 1. A limn→∞ n1 = 0. Pˇresto je souˇcet nekoneˇcn´ y. D˚ ukaz toho, ˇze souˇcet je opravdu nekoneˇcn´ y si uvedeme pozdˇeji pomoc´ı integr´aln´ıho krit´eria. Ale napˇr. tato podobn´a ˇrada uˇz m´a koneˇcn´ y souˇcet a to ln(2). D˚ ukaz tohoto faktu si uvedeme pozdˇeji pomoc´ı Mocninn´ ych ˇrad. 1−
1 1 1 1 + − + − · · · = ln(2) = 0.693... 2 3 4 5
Takov´a to ˇrada je pˇr´ıkladem tzv. Alternuj´ıc´ı ˇrady ∞ X
n=0
(−1)n an = a0 − a1 − a2 + a3 − · · ·
U tˇechto ˇrad plat´ı d˚ uleˇzit´a vˇec a to, ˇze ta podm´ınka limn→∞ an = 0, kter´a je pouze NUTNOU podm´ınou pro konvergenci obecn´e ˇrady, je nyn´ı v pˇr´ıpadˇe Alternuj´ıc´ı ˇrady ˇ ´IC´I. Odtud tedy plyne konvergence naˇs´ı ˇrady, urˇcit ale jej´ı i podm´ınkou POSTACUJ souˇcet je u ´loha mnohem obt´ıˇznˇejˇs´ı. Obecnˇe plat´ı, ˇze urˇcit, zda ˇrada konverguje nebo 33
ne je vˇetˇsinou snadn´ yu ´kol. Ale urˇcit jej´ı souˇcet pˇresnˇe je u ´kol velice obt´ıˇzn´ y a vˇetˇsinou nezn´ame jeho ˇreˇsen´ı. Pak je tˇreba spoˇc´ıtat souˇcet alespoˇ n pˇribliˇznˇe seˇcten´ım dostateˇcnˇe velk´eho mnoˇzstv´ı ˇclen˚ u. Uved’me si jeˇstˇe dva zaj´ımav´e pˇr´ıklady alternuj´ıc´ıch ˇrad, u nichˇz zn´ame pˇresnˇe jejich souˇcet a toto odvozen´ı si uk´aˇzeme pozdˇeji pomoc´ı Mocninn´ ych ˇrad. U prvn´ı ˇrady je to alternuj´ıc´ı souˇcet pˇrevr´acenn´ ych hodnot lich´ ych ˇc´ısel, u druh´e sud´ ych ˇc´ısel. 1 1 1 1 π + − + − ··· = = 0.785... 3 5 7 9 4 1 1 1 1 ln(2) 1 − + − + − ··· = − = 0.653... 2 4 6 8 2 1 1 1 1 1 + + + + + · · · = e = 2.718... 1! 2! 3! 4! 1−
2.1.3
Krit´ eria konvergence ˇ c´ıseln´ ych ˇ rad
Jak uˇz bylo ˇreˇceno, zjistit pˇresnˇe souˇcet nekoneˇcn´e ˇrady vˇetˇsinou nejde,a le co jde, je zjistit, zda v˚ ubec dan´a ˇrada m´a koneˇcn´ y souˇcet. K tomu existuje nˇekolik krit´eri´ı. Mˇejme P P n tedy nekoneˇcnou ˇradu ∞ a s kladn´ y mi ˇcleny. Pro alternuj´ıc´ı ˇradu ∞ ı n=0 n n=0 (−1) an plat´ jednoduch´e kriterium, kter´e jsme uˇz uvedli tj. limn→∞ = 0 a an je klesaj´ıc´ı posloupnost. 1. Srovn´avac´ı krit´erium P P∞ Mˇejme dvˇe nekoneˇcn´e ˇc´ıseln´e ˇrady ∞ redpokl´adejme, ˇze plat´ı an ≤ bn , n=1 an , n=1 bn a pˇ potom plat´ı: P P a) jestliˇze ∞ bn konverguje, pak konverguje i ∞ a n=1 P∞ P∞ n=1 n b) jestliˇze n=1 an diverguje, pak diverguje i n=1 bn
Pˇ r´ıklad Dokaˇzme nyn´ı, ˇze ˇrada
∞ X sin(n)
n=1
n2
=
sin(1) sin(2) sin(3) sin(4) + + + + ··· 1 4 9 16
konverguje. Plat´ı: sin(n) ≤ 1 ⇒
1 sin(n) ≤ 2 n n
sin(n) 1 aˇze se integr´aln´ım krit´eriem), konverguje i ∞ a protoˇze ∞ n=1 n2 . n=1 n2 konverguje (dok´ 2. Pod´ılov´e kriterium P Mˇejme nekoneˇcnou ˇc´ıselnou ˇradu ∞ ze limn→∞ an+1 = K, potom plat´ı n´asleduj´ıc´ı: n=1 an , jestliˇ an a) jestliˇze K < 1, pak ˇrada konverguje b) jestliˇze K > 1, pak ˇrada diverguje c) jestliˇze K = 1, pak nelze rozhodnout
P
P
3. Odmocninov´e kriterium P √ Mˇejme nekoneˇcnou ˇc´ıselnou ˇradu ∞ ze limn→∞ n an = K, potom plat´ı n´asleduj´ıc´ı: n=1 an , jestliˇ a) jestliˇze K < 1, pak ˇrada konverguje b) jestliˇze K > 1, pak ˇrada diverguje c) jestliˇze K = 1, pak nelze rozhodnout
34
Uˇziteˇcn´e vztahy √ n
limn→∞ n = 1,
√ n
limn→∞ a = 1,
limn→∞
Ã
k 1+ n
!n
= ek
4. Raabeovo kriterium P ) = K, potom plat´ı Mˇejme nekoneˇcnou ˇc´ıselnou ˇradu ∞ ze limn→∞ n(1 − an+1 n=1 an , jestliˇ an n´asleduj´ıc´ı: ˇ ´ a) jestliˇze K > 1, pak ˇrada konverguje - POZOR ZMENA OPROTI POD´ILOVEMU A ´ ´ ODMOCNINOVEMU KRITERIU b) jestliˇze K < 1, pak ˇrada diverguje c) jestliˇze K = 1, pak nelze rozhodnout 5. Integr´aln´ı krit´erium: P∞ Mˇejme nekoneˇcnou ˇc´ıselnou ˇradu a . Definujme funkci f (n) = an , pak ˇrada je konR ∞ n=1 n y. vergentn´ı pr´avˇe kdyˇz integr´al 1 f (x) dx je koneˇcn´ Pˇ r´ıklad Dokaˇzme nyn´ı, ˇze harmonick´a ˇrada ∞ X 1
n=1
n
=1+
1 1 1 + + + ··· 2 3 4
m´a nekoneˇcn´ y souˇcet. Funkce f (x) = x1 . Spoˇc´ıtejme integr´al Z
1
∞
Z t 1 1 dx = lim dx = lim [ln(x)]t1 = lim (ln(t) − ln(1)) = ∞ t→∞ 1 x t→∞ t→∞ x
Tedy podle integr´aln´ıho krit´eria mus´ı m´ıt i Harmonick´a ˇrada nekoneˇcn´ y souˇcet.
35
ˇ POSLOUPNOSTI A RADY FUNKC´I
2.2 2.2.1
Posloupnost funkc´ı
Uvaˇzujme posloupnost funkc´ı 1,
x2 ,
x3 ,
x4 , · · ·
Jestliˇze za x dosad´ıme nˇejak´e ˇc´ıslo, dostaneme posloupnost ˇc´ısel. Napˇr. pro x=0.7: 1,
0.72 ,
0.73 ,
0.74 , · · · 0.71 0 · · · = 1,
0.7,
0.49,
0.343,
· · · 0.028 · · ·
Zaj´ım´a n´as, pro kter´a x pak tato posloupnost ˇc´ısel koneˇcnou limitu, to je, pro kter´a x tato posloupnost konverguje a jak vypad´a v´ ysledn´ı limitn´ı funkce. Obecnˇe je nalezen´ı v´ ysledn´e limitn´ı funkce jeˇstˇe n´aroˇcnˇejˇs´ı proces neˇz nalezen´ı souˇctu ˇc´ıseln´e ˇrady a vˇetˇsinou je nezn´am´ y. V tomto naˇsem pˇr´ıkladu ale limitn´ı funkci nalezneme. napˇr. pro konkr´etn´ı x m´ame tyto ˇc´ıseln´e posloupnosti: x = 0.7 : 1, x = −0.7 : 1,
0.7, 0.49, 0.343, · · · 0.028, · · · −→ 0 −0.7, 0.49, −0.343, · · · 0.028, · · · −→ 0
pro x ∈ (−1, 1) je limn→∞ xn = 0 x = 1 : 1, x = −1 : 1,
x = 2 : 1, x = −2 : 1,
1, 1, 1, · · · 1, · · · −→ 1 −1, 1, −1, · · · 1, · · · osciluje
2, 4, 8, · · · 1024, · · · −→ ∞ −2, 4, −8, · · · 1024, · · · osciluje
pro x > 1 je limn→∞ xn = ∞, pro x ≤ −1 je limn→∞ xn = osciluje Oznaˇcme limitn´ı funkci naˇs´ı posloupnosti F(x). Pak z toho, co jsme ted’ zjistili m´ame F(x) definovanou na intervalu (-1,1¿ takto: F(x)=0 pro x ∈ (−1, 1) a F(x)=1 pro x=1. Grafy ˇclen˚ u posloupnosti funkc´ı:
36
2
y 1
0 -1
-0,5
0
0,5
1
x -1
-2
2.2.2
ˇ Rada funkc´ı
Seˇctˇeme nyn´ı ˇcleny v poslopnosti z pˇredchoz´ıho odstavce a dostaneme pˇr´ıklad funkˇcn´ı ˇrady 1 + x2 + x3 + x4 + · · · Jestliˇze za x dosad´ıme nˇejak´e ˇc´ıslo, dostaneme ˇradu ˇc´ısel. Napˇr. pro x=0.7: 1 + 0.72 + 0.73 + 0.74 + · · · = 1 + 0.7 + 0.49 + 0.343 + · · · = 0.333... Protoˇze se jedn´a o geometrickou ˇradu s prvn´ım ˇclenem rovn´ ym 1 a s kvocientem 0.7 a jej´ı souˇcet je 1/(1-0.7)=0.333... Obecnˇe m˚ uˇzeme ch´apat tuto funkˇcn´ı ˇradu jako ˇradu geometrickou s kvocientem q=x. Odtud je jasn´e, ˇze naˇse funkˇcn´ı ˇrada bude konvergovat pouze na intervalu (-1,1): 1 + x2 + x3 + x4 + · · · =
1 , 1−x
x ∈ (−1, 1)
Obecnˇe naj´ıt souˇcet funkˇcn´ı ˇrady je velice obt´ıˇzn´e a vˇetˇsinou neprovediteln´e. Souˇcet se definuje stejnˇe jako souˇcet ˇrady ˇc´ısel pomoc´ı limity posloupnosti ˇc´asteˇcn´ ych souˇct˚ u. V 37
naˇsem pˇr´ıpadˇe m´ame tuto posloupnost funkc´ı: s0 (x) s1 (x) s2 (x) s3 (x) s4 (x)
= = = = =
1 1+x 1 + x + x2 1 + x + x 2 + x3 1 + x + x 2 + x3 + x4 ··· 1 s(x) = 1−x
Grafy ˇclen˚ u posloupnosti ˇclen˚ u posloupnosti ˇc´asteˇcn´ ych souˇct˚ u - ˇcernˇe a souˇcet ˇrady - ˇcervenˇe:
10
8
6 y 4
2
0 0
0,2
0,4
0,6 x
2.2.3
Mocninn´ eˇ rady
Mˇeli jsme tady Geometrickou funkˇcn´ı ˇradu 1 + x + x 2 + x3 + x4 + · · · 38
0,8
1
o kter´e v´ıme, ˇze m´a na intervalu (-1,1) koneˇcn´ y souˇcet a dokonce v´ıme, jak vypad´a limitn´ı 1 funkce, je to 1−x . Zobecnˇen´ım Geometrick´e ˇrady je Mocninn´a ˇrada, kter´a m´a obecnˇe tento tvar: ∞ a0 + a1 (x − x0 ) + a2 (x − x0 )2 + a3 (x − x0 )3 + · · · =
X
n=0
an (x − x0 )n
kde an jsou koeficienty a x0 je stˇred Mocninn´e ˇrady. Geometrick´a ˇrada je tedy speci´aln´ım pˇr´ıpadem Mocninn´e ˇrady pro an = 1 a x0 = 0. Ot´azka zn´ı, pro kter´a x bude souˇcet Mocninn´e ˇrady koneˇcn´ y? U Geometrick´e ˇrady v´ıme ˇze to je pro x z (-1,1). Obecnˇe to ale bude z´aviset na koeficientech an a stˇredu x0 . Obecnˇe plat´ı, ˇze Mocninn´a ˇrada konverguje na intervalu (x0 − R, x0 + R), kde R se naz´ yv´a polomˇer konvergence a plat´ı: q ¯ an+1 ¯ 1 ¯ lim n |an | = n→∞ lim ¯¯ R an ¯ n→∞ ¯
¯
jestliˇze limita vyjde 0, pak R = ∞ - to znamen´a, ˇze ˇrada konverguje vˇsude , jestliˇze vyjde ∞, pak R = 0 - to znamen´a, ˇze ˇrada konverguje pouze ve sv´em stˇredu x0 k hodnotˇe a0 . Pˇ r´ıklad Zjistˇete, pro kter´a x dan´a mocninn´a ˇrada konverguje a naˇcrtnˇete jej´ı souˇcet. 1 1 1 1 + (x − 2) + (x − 2)2 + (x − 2)3 + · · · 2 3·5 4 · 25 5 · 125
Nejdˇr´ıve je tˇreba urˇcit n-t´ y koeficient an a stˇred x0 . Ze z´apisu je vidˇet, ˇze: an =
1 , (n + 2)5n
x0 = 2
D´ale spoˇc´ıt´ame polomˇer konvergence R pomoc´ı pod´ılov´eho vztahu ¯ an+1 ¯ 1 ¯ = n→∞ lim ¯¯ R an ¯ ¯
¯
koeficienty jsou kladn´e, takˇze absolutn´ı hodnotu m˚ uˇzeme vynechat, d´ale an+1 = an
1 n+1+2)5n+1 1 (n+1)5n
=
1 n + 1 n1 11+ (n + 1)5n = 1 = n (n + 3)5 · 5 5n+3 n 51+
tedy an+1 11+ 1 = n→∞ lim = n→∞ lim R an 51+
1 n 3 n
=
1 n 3 n
1 11+0 = 51+0 5
odtud R=5. Tedy interval konvergence je (x0 − R, x0 + R) = (2 − 5, 2 + 5) = (−3, 7) Jestli ˇrada konverguje v krajn´ıch bodech intervalu -3, 7 mus´ıme urˇcit zvl´aˇst’. V tˇechto bodech m˚ uˇze, ale nemus´ı konvergovat, z´aleˇz´ı vˇzdy na konkr´etn´ı ˇradˇe. ∞ ∞ X X 1 1 1 n n x = −3 : (−1)n (−3 − 2) = (−5) = konverguje n n (n + 2) n=0 (n + 2)5 n=0 (n + 2)5 n=0 µ ¶ ∞ X 1 1 1 1 1 1 1 1 1 = − + − + · · · = 1 − 1 − + − + − · · · = 1 − ln(2) = 0.307... (−1)n (n + 2) 2 3 4 5 2 3 4 5 n=0 ∞ ∞ ∞ X X X 1 1 1 n n x=7: (7 − 2) (5) = = diverguje n n n=0 (n + 2)5 n=0 (n + 2)5 n=0 (n + 2) ∞ X
39
Tedy interval konvergence je < −3, 7) Na obr´azku jsou nakresleny ˇc´asteˇcn´e souˇcty s0 , s1 , ...s5 - ˇcernˇe, ˇc´asteˇcn´ y souˇcet s6 ˇcervenˇe: s0 = s1 = s2 = s3 = s4 = s5 = s6 = +
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2
1 (x − 2) 3·5 1 + (x − 2) + 3·5 1 + (x − 2) + 3·5 1 + (x − 2) + 3·5 1 + (x − 2) + 3·5 1 + (x − 2) + 3·5 1 (x − 2)6 8 · 15625 +
1 (x − 2)2 4 · 25 1 (x − 2)2 + 4 · 25 1 (x − 2)2 + 4 · 25 1 (x − 2)2 + 4 · 25 1 (x − 2)2 + 4 · 25
1 (x − 2)3 5 · 125 1 1 (x − 2)3 + (x − 2)4 5 · 125 6 · 625 1 1 1 3 (x − 2) + (x − 2)4 + (x − 2)5 5 · 125 6 · 625 7 · 3125 1 1 1 3 4 (x − 2) + (x − 2) + (x − 2)5 + 5 · 125 6 · 625 7 · 3125
···
40
1,6
1,2
0,8
0,4
-2
0
4
2
6 x
2.2.4
Taylorovy ˇ rady
Nyn´ı n´as bude zaj´ımat tento probl´em: M´ame nˇejakou funkci s(x), chceme naj´ıt mocninnou ˇradu, kter´a bude k funkci s(x) konvergovat. Pokud takov´a mocninn´a ˇrada existuje, pak m´a nutnˇe tento tvar, kter´ y se naz´ yv´a Taylorova ˇrada, pokud stˇred x0 je 0, pak se t´e ˇradˇe ˇr´ık´a Maclaurinova. ′
s(x) = s(x0 )+
′′
′′′
∞ X s (x0 ) s (x0 ) s(n) (x0 ) s (x0 ) (x−x0 )+ (x−x0 )2 + (x−x0 )3 +· · · = (x−x0 )n 1! 2! 3! n! n=0
Jak pro danou funkci sestrojit jej´ı Taylorovu ˇradu je jasn´e, ale probl´em je v tom, ˇze dan´a ˇrada nemus´ı konvergovat k dan´e funkci na cel´em jej´ım definiˇcn´ım oboru. Tedy obor konvergence Taylorovy ˇrady se mus´ı zjistit dodateˇcnˇe zjiˇstˇen´ım polomˇeru konvergence.
41
D´ale je uveden seznam Taylorov´ ych ˇrad pro element´arn´ı funkce i s oborem konvergence: x
2
=
ex = ax = sin(x) = cos(x) = ln(1 + x) = 1+x ln 1−x µ
¶
=
(1 + x)a = arcsin(x) = arctan(x) =
2.2.5
ln2 (2) 2 ln3 (2) 3 0.69 0.48 2 0.33 3 ln(2) x+ x + x + ··· = x+ x + x + ··· 1+ 1! 2! 3! 1! 2! 3! 1 1 1 1 + x + x2 + x3 + · · · 1! 2! 3! ln2 (a) 2 ln3 (a) 3 ln(a) x+ x + x + ··· 1+ 1! 2! 3! x3 x5 x7 x− + − + ··· 3! 5! 7! x2 x5 x7 + − + ··· 1− 2! 5 7! x2 x3 x4 x− + − + · · · x ∈ (−1, 1 > 2 3 4 Ã ! x3 x5 x7 2 x+ + + + ··· 3 5 7 a a(a − 1) 2 a(a − 1)(a − 2) 3 1+ + x + x + · · · x ∈ (−1, 1) 1! 2! 3! 1 x3 1 · 3 x5 1 · 3 · 5 x7 + · + · + · · · x ∈< −1, 1 > x+ · 2 3 2·4 5 2·4·6 7 x3 x5 x7 x− + − + · · · x ∈< −1, 1 > 3 5 7
Aplikace Taylorov´ ych ˇ rad
Pˇ r´ıklad Z
1
2
! Z 2Ã sin(x) x3 x5 x7 1 dx = · (x − + − + · · · dx x x 3! 5! 7! 1 ! Z 2Ã x2 x4 x6 + − + · · · dx 1− = 3! 5! 7! 1
=
"
x3 x5 x7 x− + − + ··· 3 · 3! 5 · 5! 7 · 7!
#2 !1
25 27 13 15 17 23 + − + ··· − 1 − + − + ··· = 2− 3 · 3! 5 · 5! 7 · 7! 3 · 3! 5 · 5! 7 · 7! . = 1.605 − 0.946 = 0.659 Ã
Ã
!
Obsah ´ ´I ROVNICE 1 DIFERENCIALN ´ PAD ´ TELESA ˇ 1.1 VOLNY . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Bez odporu prostˇred´ı . . . . . . . . . . . . 1.1.2 S odporem prostˇred´ı . . . . . . . . . . . . 1.1.3 Obecn´e ˇreˇsen´ı line´arn´ı diferenci´aln´ı rovnice koeficienty . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. ˇr´adu s konstantn´ımi . . . . . . . . . . . . .
. . .
1 1 1 2
.
3
1.2
1.1.4 S odporem prostˇred´ı - pokraˇcov´an´ı . . . . . . . . . . . . . . 1.1.5 S odporem prostˇred´ı - jin´e poˇc´ateˇcn´ı podm´ınky . . . . . . . ´ KMITAN ´ ´I-KMITAN ´ ´I TELESA ˇ ˇ E ˇ . . HARMONICKE NA PRUZIN 1.2.1 Kmit´an´ı bez odporu prostˇred´ı - nulov´a poˇc´ateˇcn´ı rychlost . . 1.2.2 Kmit´an´ı bez odporu prostˇred´ı - nenulov´a poˇc´ateˇcn´ı rychlost 1.2.3 Kmit´an´ı s odporem prostˇred´ı - nulov´a poˇc´ateˇcn´ı rychlost . . 1.2.4 Kmit´an´ı s odporem prostˇred´ı - nenulov´a poˇc´ateˇcn´ı rychlost . 1.2.5 Silnˇe tlumen´e kmit´an´ı - nulov´a poˇc´ateˇcn´ı rychlost . . . . . . 1.2.6 Silnˇe tlumen´e kmit´an´ı - nenulov´a poˇc´ateˇcn´ı rychlost . . . . . 1.2.7 Kriticky tlumen´ y pohyb - hraniˇcn´ı pˇr´ıpad . . . . . . . . . . 1.2.8 Vynucen´e kmit´an´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2.9 Rezonance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
ˇ E ´ RADY ˇ 2 NEKONECN ˇ ˇ ´ISEL . . . . 2.1 POSLOUPNOSTI A RADY C 2.1.1 Posloupnost ˇc´ısel . . . . . . . . . . ˇ 2.1.2 Rada ˇc´ısel . . . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Krit´eria konvergence ˇc´ıseln´ ych ˇrad . ˇ 2.2 POSLOUPNOSTI A RADY FUNKC´I . . 2.2.1 Posloupnost funkc´ı . . . . . . . . . ˇ 2.2.2 Rada funkc´ı . . . . . . . . . . . . . 2.2.3 Mocninn´e ˇrady . . . . . . . . . . . 2.2.4 Taylorovy ˇrady . . . . . . . . . . . 2.2.5 Aplikace Taylorov´ ych ˇrad . . . . .
43
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
4 6 9 9 12 15 18 20 22 24 26 30
. . . . . . . . . .
31 31 31 32 34 36 36 37 38 41 42
