Matematický popis laboratorního modelu přečerpávací vodní elektrárny

1

Matematický popis laboratorního modelu přečerpávací vodní elektrárny Vojtěch Myslivec, ČVUT FEL, [email protected] 

 Abstrakt — Tento článek pojednává o principu získání matematického popisu laboratorního modelu přečerpávací vodní elektrárny, který je umístěn v laboratoři KN-s109 Českého vysokého učení technického, Fakulty elektrotechnické, na Karlově náměstí. Ukazuje princip získání matematického popisu modelu, který co možná nejvíce odpovídá skutečnosti. Klíčová slova — přečerpávací elektrárna, vazební grafy, matematický model, simulace.

 

indukční průtokoměr S5 měří průtok kapaliny mezi nádržemi N2 a N0 mikrovlný senzor S6 měří vzdálenost vodní hladiny od stropu nádrže N0 kapacitní senzor S7 vyhodnocuje přítomnost vodní hladiny u stropu nádrže N0

Proud vody tryskající shora do nádrže N0 roztáčí model peltonovy turbíny G, který je hřídelí spojen se stejnosměrným generátorem elektrického napětí a proudu.

I. ÚVOD DO PROBLÉMU RO účely řízení různorodých systémů, jako jsou například teplárny, pece, vodárny a mnohé další, potřebujeme často znát matematický popis jejich chování. Tento popis následně poslouží při návrhu regulátorů, pro simulace chování a podobně. Čím blíže odpovídá matematický model skutečnosti, tím přesnější jsou následné simulace a další výpočty na něm prováděné.

P

II. POPIS MODELOVANÉHO SYSTÉMU Naším úkolem je nalézt a odsimulovat matematický popis laboratorního modelu přečerpávací vodní elektrárny. Principielní schéma tohoto laboratorního modelu je na následujícím obrázku 1. Model tvoří tři vodní nádrže N0, N1 a N2. Nádrž N0 slouží jako zásobárna vody pro celý model. V klidovém stavu jsou nádrže N1 a N2 prázdné. Rozměry jednotlivých nádrží jsou následující (délka základny x šířka základny x výška):  nádrž N0: 1,02 x 0,55 x 0,4 m  nádrž N1: 0,3 x 0,2 x 1,5 m  nádrž N2: 0,3 x 0,2 x 1,5 m Dále zde nalezneme senzory S1…S7, které slouží pro měření následujcících veličin:  tlakový senzor S1 snímá hydrostatický tlak v nádrži N1  kapacitní senzor S2 vyhodnocuje přítomnost vodní hladiny u stropu nádrže N1  ultrazvukový teploměr S3 měří výšku hladiny v nádrži N2  teplotní senzor S4 měří teplotu v nádrži N2

Publikováno dne 21. 12. 2012.

Obrázek 1. Schéma laboratorního modelu přečerpávací vodní elektrárny.

Od použitých senzorů požadujeme, aby na jejich výstupu byla hodnota blížící se skutečné hodnotě se zanedbatelným spožděním. To senzory v našem případě splňují, proto se jimi nebudeme dále zabývat. To neplatí pro akční členy v systému, které nás z hlediska modelování zajímají podrobněji. Čerpadlo (P) CD 120/07 je jednostupňové odstředivé čerpadlo s výtlakem 1“ a sáním 1,25“. Čerpadlo je řízeno frekvenčním měničem Micromaster 440 s výkonovým rozsahem 120W – 75kW. V systému dále nalezneme dva elektromechanické ventily. První ventil V1 má jen dvě polohy (otevřeno / zavřeno), zatímco druhý ventil V2 je plynule nastavitelný v celém

2 rozsahu. Disponuje také odporovým snímačem polohy, díky kterému lze určit stav ventilu. III. MODELOVÁNÍ SYSTÉMU

IV. VÝSLEDNÉ ROVNICE Výsledné rovnice, které dostaneme porovnáním jednotlivých výrazů ve vazebním grafu na obrázku 3, mají tvar

Pro modelování použijeme metodu vazebních grafů. Vazební graf pro tento konkrétní systém vypadá následovně (obrázek 2).

, , .

Obrázek 2. Vazbní graf pro laboratorní model.

Čerpadlo P generuje tlak, který je vstupem do systému. Vzhledem k tomu, že výsledný tlak nebude konstantní, ale bude se měnit v závislosti na hydrostatickém tlaku z první nádrže (tedy na výšce hladiny v trubce a nádrži), je třeba vstupní tlak převést na odpovídající tok, který bude úměrný rozdílu těchto tlaků. O to se postará gyrátor G (viz kapitola V.). Následuje trubka vedoucí od čerpadla k první nádrži N1. Ta je reprezentována svou kapacitou. Transformátor T slouží k zajištění kauzality mezi čerpadlem, trubkou a první nádrží. Tedy aby se v modelu nezačala zvyšovat hladina v první nádrži ještě dříve, než voda proteče trubkou. Právě tuto kauzalitu zajistíme transformátorem. Parametr T veličiny nijak neupravuje, nabývá pouze dvou hodnot, 0 a 1, tedy otveřeno a zavřeno. Hodnoty 1 nebyde ve chvíli, kdy hladina v trubce dosáhne maximální hodnoty. Dále voda plní nádrž N1, reprezentovanou kapacitou C1 a zároveň přes ventil R1 odtéká do druhé nádrže N2 s kapacitou C2 a zároveň, pokud je otevřen ventil R2, teče zpět do zásobní nádrže N0, předtím ale proud tryskající vody roztáčí malou turbínu, ve vazebním grafu reprezentovanou jako sink.

Vidíme, že rovnice dávají smysl. Tok v trubce odpovídá pouze toku, který je generován čerpadlem a protitlaku z první nádrže (zajišťuje funkce G). Tok v první nádrži je závislý na zdroji, tedy opět na čerpadle, navíc zavísí na výšce hladiny v této nádrži a také na výčce hladiny ve druhé nádrži. Tok ve druhé nádrži opět závisí na rozílu hladin obou nádrží a také na otevření či zavření druhého ventilu. Co se týče funkcionality otevírání a zavírání ventilů, to nebudeme řešit přes vazební grafy. Totu funkčnost zajistíme až v simulaci (viz dále).

V. URČENÍ PARAMETRŮ Při určování parametrů jednotlivých prvků vazebního grafu využijeme jednak známé hodnoty (například rozměry nádrží), a jednak hodnoty určené pomocí experimentů na skutečné soustavě. a.

Vgrafu určíme kauzality a známé hodnoty zobecněných úsilí a toku. Červeně označíme hodnoty, které zatím neznáme. Dostáváme popsaný vazební graf na obrázku 3.

C1 = d.s.v = 0,3 . 0,2 . (1,5 – 0,105) = 0,0837 m3 C2 = d.s.v = 0,3 . 0,2 . 1,5 = 0,09 m3 b.

Obrázek 3. Popsaný vazbní graf pro laboratorní model.

Pro neznámé hodnoty dostáváme

Kapacita nádrží C1 a C2 V tomto případě je kapacita jednoduše objem, který je nádrž schopna pojmout. Obě nádrže mají stejné rozměry, ale v první nádrži je v horní části umístěn přepad, jehož dolní okraj je vzdálen od horního okraje 0,105 m. Dostáváme tedy

Kapacita trubky C0 Trubka vedoucí od čerpadla k první nádrži má kapacitu, kterou nemůžeme zanedbat. Trubka je dlouhá 2,25m a má světlost 0,04m. Z toho dostáváme její kapacitu (opět objem) jako C0 = h.π.d2/4 = 2,25 . π . 0,042 / 4 = 0,028 m3

3 c.

Parametr transformátoru T Z požadavků na parametr T posaných v předchozí kapitole snadno odvodíme funkci, která ho popisuje.

A z toho tedy

.

.

Vstupní tlak budeme určovat jako p/pmax, proto pmax není třeba určovat.

Funkce tedy nabývá hodnot 0 a 1 podle výšky hladiny v trubce. d.

Parametr gyrátoru G Gyrátor G zajišťuje převod konstantního tlaku p0, jehož zdrojem je čerpadlo, na odpovídající objemový průtok kapaliny. Ten je výsledkem toku, který generuje čerpadlo „naprázdno“ (bez protitlaku vodního sloupce) a hydrostatického tlaku vody, která je v trubce a nádrži N1 nad čerpadlem. Aby gyrátor zajišťoval výše popsanou funkci, musí mít rovnice G následující tvar:

, kde Q0 je počáteční průtok generovaný čerpadlem bez zatížení, k je směrnice úbytku objemového průtoku na jeden metr výšky vodního sloupce a q0,1 jsou výšky hladin v trubce a první nádrži. Hodnoty parametrů Q0 a k určíme pomocí experimunetu na soustavě (viz graf 1).

Graf 1. Napouštění nádrže N1.

U naměřené křivky zjistíme počáteční směrnici (příkaz polyfit v MatLabu pro) první 2 sekundy napouštění, z této směrnice dopočítáme očekávánou hodnotu pro čas t = 25s. Porovnáním očekáváné a skutečné hodnoty v tomto čase dostáváme úbytek hladiny na 25 sekundách, který tímto časem vydělíme a přes rozměry nádrže přepočítáme na změnu průtoku. Rovněž změnu hladiny za první dvě sekundy přepočítáme na počáteční průtok. Dostáváme

e.

Hodnoty rezistorů R1 a R2 Rezistory představují míru odporu, který je kladen proudící kapalině. V případě rezistoru R1 se jedná o odpor ventilu mezi nádržemi N1 a N2, který může nabývát dvou stavů (otevřen, uzavřen), do kterého je zahrnut též odpor samotné trubky. V případě odporu R2 se opět jedná o odpor ventilu, tentokráte mezi nádržemi N2 a N3. Ten může nabývat libovolného stavu mezi stavy otevřen a uzavřen. Hodnoty těchto rezistorů určíme pomocí experimentů na skutečné soustavě. Nejprve určíme dobu, za kterou ventil přejde ze stavu uzavřen do stavu otevřen nebo naopak. Zjišťujeme, že otevření nebo zavření obou ventilů trvá 36 sukend. Dále zjišťujeme, že otevírání a zavírání ventilu, respektive změna jeho odporu má lineární průběh. Díky tomu stačí zjistit hodnotu odporu při plně otevřeném ventilu a hodnotu při plně uzavřeném. Experiment provedeme tak, že při konstantní výšce hladiny v nádrži N1, kterou udržujeme čerpadlem (případně k tomuto účelu použijeme zpětnovazební regulátor), otevřeme ventil R1 a na lineárním průběhu odměříme alespoň dva body (nejlépe bod těsně po začátku otevírání ventilu a bod při plném otevření), ve kterých ze znalosti tlaku a průtoku vypočteme odpor. Graficky nebo analyticky následně určíme odpor při uzavřeném ventilu. Podobný experiment provedeme pro druhý ventil. Dostáváme velmi podobné hodnoty, u nichž předpokládáme, že se liší pouze chybou měření, tedy považujeme oba ventily za totožné s následujícími parametry Rmin a Rmax

Lineární otevírání nebo zavírání ventilu provedeme pomocí integrátoru s mezemi, jehož vstupní konstanta bude určovat rychlost náběhu (směrnici). Toto realizujeme zapojením v Simulinku, které je na následujícím obrázku (obrázek 4).

Obrázek 4. Realizace ventilů v Simulinku.

4 VI. TURBÍNA NA VÝSTUPU Model přečerpávací vodní elektrárny je vybaven na výstupu turbínou G (viz obrázek 1). Ta převádí průtok na elektrické napětí, které je přivedeno na 5 LED diod. Pro modelování této turbíny pomocí vazebního grafu by bylo třeba znát parametry jako je její setrvačnost, odpor a indukčnosti vinutí v generátoru a další, které neznáme. Proto provedeme jednoduchou aproximaci. Obecně lze říci, že závislost generovaného napětí na otáčkách turbíny je téměř lineární. Aproximujeme tedy charakteristiku přímkou. Dále víme, že na výstup je připojeno 5 LED diod, pravděpodobně každá pracující s napětím 3,6 V. Tedy při maximálním výkonu, odpovídajícímu maximálnímu průtoku (tedy maximální výška hladiny ve druhé nádrži a plně otevřený druhý ventil), turbína generuje zhruba 18V. Tedy při maximálním průtoku bude napětí na výstupu 18V, při minimálním, tedy nulovém, bude napětí samozřejmě nula. Mezi těmito dvěma body se bude napětí měnit lineárně.

VIII. ZHODNOCENÍ VÝSLEDKŮ A ZÁVĚR Jak je vidět z provedených simulací, schéma odpovídá reálným průběhům, vyjma následujících bodů: 1.

Přes čerpadlo se ve vypnutém stavu nevrací voda. To je způsobeno nedostatečnou funkčností funkce G, která toto popisuje. Zatím se mi nepodařilo navrhnout funkci, která by toto zajišťovala.

2.

Z neznámých důvodů se hladiny v obou nádržích nevyrovnají, ale jejich rozdíl se ustálí na konstantní hodnotě, jak je vidět z grafu 2.

V případě odstranění výše uvedených nedostatků by bylo možné zlepšit následující vlastnosti modelu: 1.

Simulace výstupního napětí je spíše simulace „tvaru“ než simulace konkrétních hodnot. V případě potřeby konkrétních a přesných hodnot by bylo třeba buď opravdu změřit převodní charakteristiku mezi průtokem a výstupním napětím, nebo identifikovat parametry jako je setrvačnost turbíny, indukčnost cívky a podobně. Osobně bych se přikláněl spíše ke změření převodní charakteristiky.

2.

Realizace ventilů je momentálně Simulinkovou záležitostí, bylo by vhodnější zavést pro každý další stavovou proměnnou a odvodit příslušné rovnice. Nicméně toto je spíše „kosmetická“ záležitost, model funguje i v tomto případě.

3.

Interpretace ventilů jako odporů se mi nezdá příliš vhodná vzhledem k tomu, že i při zavřeném ventilu jím vždy protéká nějaký malý průtok, i když hodnotu odporu několikanásobně zvětšíme. Přikláněl bych se spíše k řešení pomocí modulovaných transformátorů podobně, jako je řešen problém s kauzalitou vertikální trubky.

VII. SIMULACE Výše odvozené diferenciální rovnice použijeme pro realizaci zapojení v Simulinku, které je na následujícím obrázku.

Obrázek 4. Realizace modelů v Simulinku. (schéma ve vyšším rozlišení naleznete v příloze 1)

Dostáváme průběhy, které jsou vidět v následujícm grafu (graf 2).

Při modelování této laboratorní vodárny jsem došel k zajímavému poznatku, a to, že věci, které se zdají být triviální, jako je například modelování čerpání vody do vertikální trubky, zdaleka tak triviální nejsou a při chybné úvaze lze udělat spoustu chyb. Dalším poznatkem je skutečnost, že při modelování složitějšího systému, jako je tento, začíná být při nesprávné organizaci Simulinkové schéma doslova chaos. Proto je důležité důsledně zachovávat nějaký řád ve schématu a důsledně využívat popisky. To obvykle zajistí dostatečnou orientaci ve vlastním schématu i po delší době.

IX. REFERENCE [1] Zvolánek, Michal: Laboratorní model vodní přečerpávací elektrárny Graf 2. Výsledky simulace (schéma ve vyšším rozlišení naleznete v příloze 2)

5

Příloha 1 – Plné schéma zapojení v Simulinku

Příloha 2 – Výsledky simulace v Simulinku