Slovenská komisia matematickej olympiády Fakulta PEDAS Žilinskej univerzity, Univerzitná 1, 010 26 Žilina
MATEMATICKÁ OLYMPIÁDA MATEMATIKAI OLIMPIA pre žiakov základných škôl a nižších ročníkov osemročných gymnázií általános iskolások és a nyolcosztályos gimnáziumok alsó tagozatos tanulói számára
57. ročník, školský rok 2007/2008 57. évfolyam, 2007/2008. tanév
I. kolo (domáca časť) I. (házi) forduló
1
Kedves Diákok! Kedvelitek az érdekes matematikai feladatokat és szívesen versenyeznétek ilyen példák megoldásában? Ha így van, kapcsolódjatok be a matematikai olimpia (MO) versenybe! A verseny önkéntes, nem függ attól, milyen az osztályzatotok számtanból. A matematikai olimpia egyes kategóriáinak feladatai közül ebben a füzetben azokat találjátok meg, amelyeket az alapiskolás tanulóknak (AI), valamint a nyolcosztályos gimnáziumok (NYG) elsı négy osztályát látogató diákjainak szántunk. A Z9 kategóriában az AI 9. osztályos tanulói, a NYG 4. osztályos tanulói versenyeznek, valamint a kétnyelvő gimnáziumok 1. osztályos tanulói. A Z8 kategóriában az AI 8. osztályos tanulói versenyeznek. A Z7 kategóriában az AI 7. osztályos tanulói és a NYG 3. osztályos tanulói versenyeznek. A Z6 kategóriában az AI 6. osztályos tanulói és NYG 2. osztályos tanulói versenyeznek. A Z5 kategóriában az AI 5. osztályos tanulói és a NYG 1. osztályos tanulói versenyeznek. A Z4 kategóriában az AI 4. osztályos tanulói versenyeznek. Matematika tanárotok jóváhagyásával a felsıbb osztályos tanulóknak szánt kategóriák valamelyikében (így a Z8 kategóriában is) vagy a középiskolások részére kiírt A, B és C kategóriák egyikében is versenyezhettek (a középiskolásoknak szánt feladatok külön füzetben jelentek meg). A verseny menete A Z4 kategóriában a verseny egy házi és egy iskolai fordulóból áll, a Z5, Z6, Z7 és Z8 kategóriákban házi és körzeti forduló van. A Z9 kategóriában a házi és a körzeti fordulót a kerületi forduló követi. A házi fordulóban 6 feladatot kell megoldanotok, amelyeket ebben a füzetben találtok meg. A megoldásokat adjátok át matematika tanárotoknak a következı határidık betartásával: kategória Z4, Z5, Z9 Z6, Z7, Z8
az elsı feladathármas 2007. november 3. 2007. december 8.
a második feladathármas 2007. december 15. 2008. március 1.
Tanáraitok ellenırzik és az alábbi jegyekkel értékelik a feladatok megoldását: 1 – kitőnı, 2 – jó, 3 – nem felelt meg. A házi fordulóban az a diák minısül sikeresnek, aki legalább négy feladat megoldására jó vagy kitőnı osztályzatot kapott. A Z5—Z9 kategóriák esetében a házi fordulók sikeres megoldóinak feladatait az értékeléssel együtt az iskola küldi el a matematikai olimpia körzeti versenybizottságának. A versenybizottság a legjobb megoldókat meghívja a körzeti fordulóra. A körzeti fordulóban a versenyzık hasonló jellegő feladatokat kapnak, mint amilyeneket az házi fordulóban oldottak meg, ám a zárthelyi megoldásra csak meghatározott idıtartam áll rendelkezésükre (a Z5, Z6, Z7, Z8 kategóriákban 2 óra, a Z9 kategóriában 4 óra), és a versenyzık külsı segítséget sem vehetnek igénybe. A Z4 kategóriában a házi forduló sikeres megoldói iskolai zárthelyi fordulón vesznek részt. A Z9 kategória körzeti fordulóinak legjobb megoldóit a szervezık meghívják a kerületi fordulóra.
2
A verseny idırendje: Kategória II. forduló III. forduló Z4 2008. január 24. ------Z5 2008. január 23. ------Z6-Z8 2008. április 9. ------Z9 2008. január 23. 2008. március 26. Útmutató és tanácsok. A versenyfeladatok megoldását A4-es lapokra írjátok (olvashatóan!). Minden feladatot új lapon kezdjetek kidolgozni, és a bal felsı sarokba az alábbi minta szerint írjátok a fejlécet: Nagy Károly, 7.c Harmat Utcai Alapiskola, 979 01 Dunaszerdahely Z7-I-2 számú feladat A megoldást úgy írjátok le, hogy gondolatmenetetek követhetı legyen. Tudnotok kell, hogy nemcsak a feladatok végeredményét értékeljük, hanem fıleg következtetéseitek helyességét, azt a módot, ahogyan a megoldáshoz eljutottatok. A fenti feltételeket nem teljesítı vagy a határidın túl leadott munkákat a versenyben nem vesszük figyelembe. Reméljük, hogy örömeteket lelitek a feladatok megoldásában, és ehhez, valamint iskolai tanulmányaitokhoz sok sikert kívánunk! RNDr. Monika Dillingerová vedúca sekcie Z SKMO
doc. RNDr. Vojtech Bálint, CSc. predseda SKMO
Az MO régebbi feladványait és megoldásait az alábbi weboldalakon találhatjátok meg: http://www.iuventa.sk http://pppnnn.webpark.sk/mo.htm http://matematika.webpark.sk
3
Z4 kategória Z4-I-1 Az 53 827 és 19 763 számokból hagyj ki összesen két számjegyet úgy, hogy az így kapott számok összege a lehetı legnagyobb legyen! M. Dillingerová Z4-I-2 Narancsos üdítı elkészítéséhez szükséges hozzávalók: 8 narancs és 2 citrom leve, 2 teáskanál cukor, 6 deciliter víz. Egy kancsóba 9 deciliter vizet öntöttünk. Hány narancs és hány citrom levét, és hány teáskanál cukrot kell még hozzáadnunk, hogy a receptben leírt minıségő üdítıt kapjuk? S. Bodláková Z4-I-3 Palinak és Annának egy 70 lécbıl álló fakerítést kellett befesteniük. A munkát együtt kezdték és együtt is fejezték be. Anna 4 perc alatt 2 lécet festett be, Pali 8 perc alatt 3 lécet tudott befesteni. Hány perc alatt végeztek a munkával? M. Dillingerová Z4-I-4 Az alábbi ábrán egy négyzetrács része látható, amelyben három rácspontot jelöltünk ki (elnevezésüket – sajnos – valaki kitörölte). E három pont közül tetszıleges két ponthoz találhatunk olyan négyzeteket, amelyeknek két csúcsát ez a két pont képezi. Az így létrehozható összes négyzet közül a KAMI négyzet a legkisebb. Rajzold be a négyzetrácsba a KAMI négyzetet! M. Dillingerová
Z4-I-5 Marci és Zsuzsi összehasonlították Mikulás-napi csomagjaikat, amelyek kedvenc csokoládéjukat is tartalmazták. Mivel a csokoládék száma a két csomagban nem egyezett, ezért a jószívő Marci csokijainak negyedét Zsuzsinak ajándékozta. Zsuzsi megszámolta hány csokija van és a felét visszaaadta Marci barátjának. Erre Marci csokijainak negyedét ismét Zsuzsinak ajándékozta. Ezután jöttek rá, hogy mindkettıjüknek 9-9 csokoládéja van. Hány csokoládéja volt eredetileg Marcinak és mennyi Zsuzsinak? (Az ajándékozás és számolás közben egyetlen csokoládét sem ettek meg.) M. Dillingerová
4
Z4-I-6 Az ábrán látható számpiramis minden mezıjében (kivéve a legalsó sor mezıit) az alatta levı két mezıbe írt számok összegének fele szerepel. Írd be a megfelelı számokat a számpiramis üres mezıibe!
284 220 110
434 S. Bednářová
5
Z5 kategória Z5-I-1 A konyhaasztal téglalap alakú lapjának méretei 90 cm és 140 cm. Olyan terítıt szeretnénk varrni, amelynek egyforma hosszú része lóg le az asztal mind a négy oldalán. a) Milyen hosszú darabot kell vásárolnunk egy 140 cm széles anyagból, hogy azt már ne kelljen többször elvágnunk? b) Hány cm széles lesz az asztalterítı lelógó része? S. Bednářová Z5-I-2 Az ábrán látható számpiramis minden mezıjében (kivéve a legalsó sor mezıit) az alatta levı két mezıbe írt számok összegének fele szerepel. Írd be a megfelelı számokat a számpiramis üres mezıibe!
170 142 110
436 S. Bednářová
Z5-I-3 Az óvodai építıkészlet egyforma téglatest elemeibıl a gyerekek mindig úgy építenek tornyot, hogy a téglatestek egyforma lapjaikkal érintkeznek, és minden „szintet” csak egy elem alkot. A téglatestekbıl így csak 120 cm, 150 cm és 130 cm magasságú tornyot tudnak építeni. Hány téglatestet tartalmazhat az építıkészlet? M. Dillingerová Z5-I-4 A hármasikrek most ünneplik harmadik születésnapjukat. Öt év múlva életkoruk összege megegyezik majd anyjuk mostani életkorával. Hány éves lesz édesanyjuk öt év múlva? M. Krejčová Z5-I-5 Egy számot furfangosnak nevezünk, ha balról számított elsı két számjegyét kivéve az összes többi számjegy a tıle balra elhelyezkedı számjegyek összege. a) Határozd meg a két legnagyobb furfangos számot! b) Hány négyjegyő furfangos szám létezik? S. Bednářová Z5-I-6 Írj a négyzetekbe 1-tıl 16-ig természetes számokat (mindegyiket csak egyszer használhatod fel) úgy, hogy mind a négy mőveletsort elvégezhessük! M. Smitková
6
7
Z6 kategória Z6-I-1 Gyuri két csokit vásárolt az iskola elıtti boltban. Misi ugyanilyen két csokoládét vásárolt az iskola mögötti boltban és Pisti is vett egy ilyen csokit az iskolai büfében. Megállapították, hogy átlagosan 19,70 Sk-t költöttek egy csokira. Azt is kiszámolták, hogy ha mindhárman az iskola elıtti boltban vásároltak volna, akkor összesen 6 koronát takarítanak meg, ha pedig az iskola mögötti boltban, akkor összesen 6,50 koronával fizettek volna többet. Mennyibe kerül a csokoládé az egyes boltokban? M. Dillingerová Z6-I-2 Misinek kétféle nagyságú matricái vannak, amelyek mind egyenlıszárú derékszögő háromszögek. Az egyik fajta szárhossza 5 cm, ezekbıl 9 darabja van. A másik fajta leghosszabb oldala 10 cm, ezekbıl 17 darabja van. Legkevesebb hány matricát kell még Misinek vásárolnia az elsı fajtából, hogy összes matricáival tele tudja ragasztani (be tudja fedni) egy 10 cm élhosszúságú kocka lapjait? M. Dillingerová Z6-I-3 Egy sík A, B, C, D pontjaira fennáll: |AB| = 7 cm, |BC| = 8 cm, |CD| = 5 cm és |DA| = 9 cm. a) Határozd meg az A és C pontok legnagyobb lehetséges távolságát! b) Határozd meg az A és C pontok legkisebb lehetséges távolságát! L. Šimůnek Z6-I-4 Vérszegénységnél ajánlatos céklás sárgarépalét fogyasztani, melyben a céklalé az ital ötödét teszi ki. Zöldségprés segítségével 2 kg sárgarépából 7,5 dl levet, 1 kg céklából 6 dl levet nyerhetünk. a) Mennyi sárgarépát számítsunk 25 dag céklához, hogy a fent leírt zöldséglevet kapjuk? b) Hány dl céklás sárgarépalét nyerünk így? S. Bednářová Z6-I-5 Egy földönkívüli lelkesen meséli társainak karácsonyi élményeit a földön: „haf quin lina“ (jelentése „nagy aranyszínő csillagok”) „kari lina mejk“ (jelentése „villogó aranyszínő karikák”) „esca haf kari“ (jelentése „nagy piros karikák”) Hogyan mondaná azt, hogy „villogó csillagok”? ( A megoldáshoz vezetı gondolatmenetedet részletesen fejtsd ki!) M. Volfová Z6-I-6 Az 532 és 179 számokból hagyj ki összesen két számjegyet úgy, hogy az így kapott számok szorzata a lehetı legnagyobb legyen! M. Dillingerová
8
Z7 kategória Z7-I-1 Ha egy szám a 13 többszöröse, akkor „kissé szomorúnak”, ha 17-nek a többszöröse, akkor „kissé vidámnak” nevezzük. A természetes számsor 1-tıl 1 000 000-ig terjedı számai közül hányra áll fenn, hogy nem végzıdik se 0-ra se 5-re, „kissé szomorú” de ugyanakkor „kissé vidám” is? M. Volfová Z7-I-2 Meseország kormánya úgy döntött, hogy az ország területét hat megyére osztja fel. Ezért a hat legjelentısebb város (megyeszékhely) mindegyikének hatáskörébe rendelt egy területet (megyét), az alábbi szabály szerint: az ország bármely pontja abba a megyébe tartozik, amelynek megyeszékhelyéhez légvonalban legközelebb esik. Rajzoljátok át megfelelı mértékben Meseország térképét, és szerkesszétek meg benne a megyehatárokat! (Az A-F betők a megyeszékhelyeket jelölik, a vastag vonal Meseország határa. A négyzetrács csak a térképen való eligazodást könnyíti, a megyehatárokat semmilyen módon nem befolyásolja!)
L. Šimůnek Z7-I-3 Délben a fıtéren parkoló magyar, szlovák és osztrák rendszámú autók aránya a következı volt: magyar és szlovák 9:4, szlovák és osztrák 2:3. Egy óra alatt elment 11 magyar, 1 szlovák és 3 osztrák autó, de jött 5 magyar, 11 szlovák és 6 osztrák autó. Milyen a magyar, szlovák és az osztrák rendszámú autók aránya a parkolón délután egykor, ha délben a parkolón 12 osztrák autó állt? Š. Ptáčková Z7-I-4 Az ábrán látható AM, BM, CM és DM szakaszok hossza azonos. Az általuk meghatározott szögek nagysága 20˚, 20˚, 50˚, 50˚, 70˚ és α. Határozd meg az AB és CD egyenesek hajlásszögét! (Az ábra pontatlanul van megrajzolva, nem érdemes mérni.)
9
M. Raabová Z7-I-5 Egy 4×4-es sakktábla összes mezıjét négy színnel fessétek ki és írjátok rájuk a N, Y, Á, R betőket úgy, hogy minden oszlopban és sorban az összes szín és bető szerepeljen. Minden mezı egyszínő legyen és pontosan egy betőt tartalmazzon. Mindegyik betőnek szerepelnie kell az összes színen és mindegyik színre rá kell írni az összes betőt. Keress egy megoldást! M. Volfová Z7-I-6 Táblára írtunk néhány egymás után következı természetes számot. Közülük 12 szám az 5 többszöröse és 10 szám a 7 többszöröse. a) Hány természetes számot írtunk a táblára? b) Keress egy olyan számsort, amely megfelel a fent leírt feltételeknek! L. Šimůnek
10
Z8 kategória Z8-I-1 Keresd meg az összes olyan hárommal osztható négyjegyő számot, amelynek 17-szerese 519re végzıdik! L. Hozová Z8-I-2 Határozd meg az összes olyan számhármast, amelynek tagjai 10-tıl kisebb természetes számok és szorzatuk az összegük hétszerese! L. Hozová Z8-I-3 Jano hétmérföldes csizmát vásárolt. Barátja Attila repülıszınyeget vett. Mindketten részt vettek a mesebeli 12 órás versenyen. Verseny közben megéheztek, ezért megálltak enni. Mindketten egy órán át ettek. Ha Attila nem állt volna meg gulyást enni, akkor 51 mérfölddel elızte volna meg Janót. Ha pedig Jano nem állt volna meg sztrapacskát enni, akkor 28 mérfölddel elızte volna meg Attilát. Hány mérföld különbséggel fejezték volna be a versenyt, ha egyikük sem eszik? Melyikük lett volna az elsı? M. Dillingerová Z8-I-4 Bergengócia egyetemein 5 orvosi kar mőködik, amelyek mindegyike az elsı évfolyamra pontosan 200 hallgatót vesz fel. Felvételi vizsgák az egyes karokra különbözı napokon zajlanak, ezért a diákok több karra is jelentkezhetnek. Megkérdeztük az egyetemi karokon, hány jelentkezési lap érkezett hozzájuk a 2007/2008-as tanévre. Ezeket a válaszokat kaptuk: 1. kar: „Ötször többen jelentkeztek, mint amennyi jelentkezıt fel tudunk venni.” 2. kar: „Nálunk a jelentkezık száma 320%-al haladta meg kapacitásunkat.“ 3. kar: „A mi karunkra 520-szal többen jelentkeztek, mint ahány helyünk volt.” 4. kar: „Nálunk minden helyre átlagosan három jelentkezési lap jutott.” 5. kar: „Hozzánk háromnegyedével többen jelentkeztek, mint ahány helyünk volt.” A 2007/2008-as tanévben végül is 1000 orvostanhallgató kezdte meg tanulmányait. Statisztikailag kimutatták, hogy az orvosi képzés iránt érdeklıdık átlagosan 2,5 jelentkezési lapot küldtek el az orvosi karokra. Hány olyan jelentkezı volt, aki Bergengócia egyetlen orvosi karára se nyert felvételt? L. Šimůnek
11
Z8-I-5 Rönk úr és Szilánk úr téglalap alakú bejárati ajtót készítettek, amelynek területe 3 m2. Az ajtó kerete, átlós merevítıi valamint a két másik merevítı, amelyek a téglalap csúcsát az oldal felezıpontjával kötik össze (lásd a lenti ábrát), fémcsövekbıl készültek. Rönk úr az ajtó négy sötét részét falemezekkel töltötte ki, Szilánk úr a világos részeket beüvegezte. Hány m2 falemezre lesz Rönk úrnak szüksége? (A fémcsövek vastagsága elhanyagolható.)
L. Hozová Z8-I-6 Kukutyin fıterén egy négyzet alakú park állt. Miután a derék kukutyiniak rájöttek, hogy elfelejtettek járdát építeni, a parkból /kerülete mentén/ két méter széles sávot jelöltek ki erre a célra. A kavicsréteg és a burkolat lerakása elıtt a járda helyén 0,5 m mély árkot kellett ásniuk. A park területe így 1200 m2-rel lett kisebb. a) Mennyi most a park területe? b) Hány m3 kavics van a burkolat alatt, ha a burkolat a talajjal egy szintben van és a burkolólapok vastagsága 8 cm? M. Smitková, M. Dillingerová
12
Z9 kategória Z9-I-1 Keresd meg az összes olyan 9-re végzıdı négyjegyő számot, amely összes számjegyével osztható! P. Tlustý Z9-I-2 Peti azt tudakolta nagymamájától, hány éves lehet a nagyapó. A nagyi így felelt: „Régen túl vagyunk már az ötvenen, de még nem töltöttuk be a nyolcvanat. Ha nagyapád és az én életkorom összegét megszorzod azok különbségével és az eredményhez hozzáadod mindkettınk életkorát, akkor 492-t kapsz .” Hány éves nagyapó, ha tudjuk, hogy nagymamánál idısebb? M. Raabová Z9-I-3 Egy m magasságú, r sugarú forgáshengerbe, annak tengelyét követve henger alakú lyukat fúrtunk. Az így létrejött „üreges henger” térfogata az eredeti henger térfogatának fele. Fejezd ki az „üreges henger” falának vastagságát r segítségével!
M. Krejčová Z9-I-4 A tavalyi színházi évadban a belépıjegyek egységes ára 160 Sk volt. Idén az ülıhelyeket két kategóriába sorolták. Az I. kategóriába sorolt helyek ára 180 Sk, a II. kategóriába soroltaké 155 Sk. Ha az összes jegy elkel, a bevétel így ugyanakkora lesz, mint amilyen a tavalyi szezonban volt teltháznál. A színházigazgató elégedetlen és a jövı szezonra változást tervez: a II. kategória legrosszabb helyeit III. kategóriába sorolja át. Hogy a bevétel teltháznál ne változzon, úgy döntött, hogy a belépıjegyek ára 180 Sk (I. kategória), 160 Sk (II. kategória) és 130 Sk (III. kategória) lesz. Milyen arányban lesznek elosztva az ülıhelyek kategóriák szerint a jövı évadban? L. Šimůnek Z9-I-5 Gyuri két csokit vásárolt az iskola elıtti boltban. Misi ugyanilyen két csokoládét vásárolt az iskola mögötti boltban, és Pisti is vett egy ilyen csokit az iskolai büfében. Kiszámolták, hogy ha mindhárman az iskola elıtti boltban vásároltak volna, akkor összesen 6 koronát takarítottak volna meg, ha pedig az iskola mögötti boltban vásárolnak, akkor összesen 6,50 koronával
13
fizettek volna többet. Az iskolai büfében egy csoki 19,50 Sk-ba kerül. Mennyibe került összesen az öt csokoládé? Mennyibe kerül a csokoládé az iskola mögötti boltban? M. Dillingerová Z9-I-6 Adott a síkban egy ABCD négyszög. Szerkeszd meg a K és L pontokat úgy, hogy BCDK és CDAL paralelogrammák legyenek. Igazold, hogy az AB szakasz felezıpontja a KL egyenesre esik! J. Švrček
14
Mintaként egy régebbi olimpiai feladat megoldását közöljük: Z8-II-1 számú feladat Adott egy olyan téglalap, melynek oldalhosszai egész számmal fejezhetık ki. Ha egyik oldalának hosszát 4-gyel növeljük, másik oldalának hosszát pedig 5-tel csökkentjük, az eredeti téglalapnál kétszer nagyobb területő téglalapot kapunk. Határozzátok meg az adott téglalap oldalhosszait! Találjátok meg az összes megoldást! Megoldás: A téglalap oldalainak hossza legyen a, b . Az új téglalap oldalainak hossza a + 4 , b − 5 . A feladat feltétele szerint a két téglalap területére érvényes: 2ab = (a + 4)(b − 5).
Az egyenletet más alakra hozva:
ab − 4b + 5a = −20 ab − 4b + 5a − 20 = −40 .
Azért vonunk ki 20-at, hogy az egyenlet bal oldalát szorzatra tudjuk átalakítani: (a − 4)(b + 5) = −40 . A megoldást a -40 szám két tényezıre való bontásával kapjuk meg. Mivel a > 0 és b > 0 , ezért a − 4 > − 4, b + 5 > 5 . Két lehetıség van: (− 2).20 = −40 és (− 1).40 = −40 . Az elsı esetben egy olyan téglalapot kapunk, melynek oldalai a = 2, b = 15 területe S = 30 . Az új téglalap oldalai eszerint a ′ = 6, b ′ = 10 területe pedig S ′ = 60 , vagyis S ′ = 2 S . A második esetben egy olyan téglalapot kapunk, melynek oldalai a = 3, b = 35 területe pedig S = 105 . Az új téglalap oldalai tehát a ′ = 7, b ′ = 30 területe pedig S ′ = 210 . És megint érvényes, hogy S ′ = 2 S . Végezetül egy jó tanács: A feladatok nem könnyőek, ezért ne adjátok fel, ha mindjárt nem jöttök rá a megoldásra. Kísérletezzetek, rajzoljatok, „játszadozzatok el“ a feladattal! Néha segít, ha valamilyen könyvben kerestek egy hasonló megoldott feladatot, de az is megtörténhet, hogy néhány nap múlva egyszer csak eszetekbe jut a helyes megoldás. A versenyt a Szlovák Köztársaság Oktatási Minisztériuma a Szlovák Matematikusok és Fizikusok Egyesületével karöltve írja ki, és a szervezését a Matematikai Olimpia Szlovákiai Bizottsága (járási szinten a járási bizottságok) vállalta fel. Az iskolákban a versenyt a matematika tanárok szervezik. Kérdéseitekkel matematika tanárotokhoz forduljatok.
15
Slovenská komisia matematickej olympiády
Fakulta PEDAS Žilinskej univerzity, Univerzitná 1, 010 26 Žilina
57. ROČNÍK MATEMATICKEJ OLYMPIÁDY Leták kategórií Z4 - Z9, I. kolo, domáca časť Autori úloh: PaedDr. S. Bednářová, PhD., Mgr. S. Bodláková, RNDr. M. Dillingerová, PhD., doc. RNDr. L. Hozová, CSc., Mgr. M. Krejčová, Mgr. Š. Ptáčková, Mgr. M. Raabová, Mgr. M. Smitková, L. Šimůnek, RNDr. J. Švrček, CSc., doc. RNDr. P. Tlustý, CSc., doc. RNDr. M. Volfová, PhD. VYDALA IUVENTA S FINANČNOU PODPOROU MINISTERSTVA ŠKOLSTVA SR
MIESTO A ROK VYDANIA: BRATISLAVA, 2007
Neprešlo jazykovou úpravou Grafická úprava: RNDr. M. Dillingerová, PhD. Zodpovedný redaktor: Doc. RNDr. Vojtech Bálint, CSc. © Slovenská komisia Matematickej olympiády, 2007
16
