MASSA GRAVITON BERDASARKAN TEORI de RHAMGABADADZE-TOLLEY DALAM MODEL ALAM SEMESTA DATAR FRIEDMANN-LEMAITRE-ROBERTSON-WALKER
AHMAD KHOIRUL FALAH
DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016
i
PERNYATAAN MENGENAI SKRIPSI DAN SUMBER INFORMASI SERTA PELIMPAHAN HAK CIPTA Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi berjudul Massa graviton berdasarkan teori de Rham-Gabadadze-Tolley dalam model alam semesta datar Friedmann-Lemaitre-Roberson-Walker adalah benar karya saya dengan arahan dari komisi pembimbing dan belum diajukan dalam bentuk apa pun kepada perguruan tinggi mana pun. Sumber informasi yang berasal atau dikutip dari karya yang diterbitkan maupun tidak diterbitkan dari penulis lain telah disebutkan dalam teks dan dicantumkan dalam Daftar Pustaka di bagian akhir skripsi ini. Dengan ini saya melimpahkan hak cipta dari karya tulis saya kepada Institut Pertanian Bogor. Bogor, Maret 2016 Ahmad Khoirul Falah NIM G74120032
ii
ABSTRAK AHMAD KHOIRUL FALAH. Massa Graviton Berdasarkan Teori de RhamGabadadze-Tolley dalam Model Alam Semesta Datar Friedmann-LemaitreRoberson-Walker. Dibimbing oleh HUSIN ALATAS. Teori Relativitas Umum memprediksi ekspansi alam semesta diperlambat, sedangkan hasil observasi supernova tipe Ia mendapati ekspansi alam semesta dipercepat. Teori Relativitas Umum dimodifikasi melalui pendekatan teori gravitasi bermassa nonlinier oleh de Rham-Gabadadze-Tolley (dRGT). Massa graviton dimunculkan untuk dinamika skala sangat besar. Persamaan medan Einstein teori dRGT dapat dirumuskan dari prinsip variasi. Selanjutnya dengan memilih metrik datar Friedmann-Lemaitre-Roberson-Walker dapat diformulasikan bentuk persamaan Friedmann yang relevan dengan model ekspansi dipercepat. Hasil akhirnya, dengan membandingkan massa graviton dari metode Extremely Low Energy (ELE) dapat dihitung massa kritis graviton yaitu sekitar . Kata kunci: massa graviton, teori dRGT, persamaan medan Einstein, persamaan Friedmann, ekspansi alam semesta dipercepat.
ABSTRACT AHMAD KHOIRUL FALAH. Graviton Mass from de Rham-Gabadadze-Tolley Theory in Flat Universe Model Friedmann-Lemaitre-Roberson-Walker. Supervised by HUSIN ALATAS. General Relativity Theory predict that expansion of the universe is decelarated, nevertheless observations of type Ia supernova indicates that the expansion of the universe is actually accelerated. General relativity theory was modified by de Rham-Gabadadze-Tolley (dRGT) with nonlinear massive gravity theory. Graviton mass appear for large scale distance. Einstein field equation of dRGT theory can be derived from variational principle. Furthermore, by using flat metric Friedmann-Lemaitre-Roberson-Walker led to the Friedmann equation with accelerated model. Finally, by comparing graviton mass from Extremely Low Energy (ELE) can be calculated critical graviton mass approximately . Keywords: graviton mass, dRGT theory, Einstein field equation, Friedmann equation, accelerating universe.
iii
MASSA GRAVITON BERDASARKAN TEORI de RHAMGABADADZE-TOLLEY DALAM MODEL ALAM SEMESTA DATAR FRIEDMANN-LEMAITRE-ROBERTSON-WALKER
AHMAD KHOIRUL FALAH
Skripsi sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Departemen Fisika
DEPARTEMEN FISIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2016
v
PRAKATA Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Allah subhanahu wa ta’ala atas segala karunia-Nya sehingga karya ilmiah ini berhasil diselesaikan. Tema yang dipilih dalam penelitian yang dilaksanakan sejak bulan September 2015 ini ialah teori gravitasi, dengan judul “Massa Graviton B rdasarkan T ori d RhamGabadadze-Tolley dalam Model Alam Semesta Datar Friedmann-LemaitreRoberson-Walk r” Terima kasih penulis ucapkan kepada Bapak Dr Husin Alatas selaku pembimbing yang telah banyak memberi saran, bimbingan, perhatian, dan kesabarannya kepada penulis selama ini. Beliaulah guru dan sahabat yang telah memperkenalkan keindahan dibalik persamaan-persamaan Teori Relativitas Umum Einstein yang elegan, serta menumbuhkan lebih dalam kecintaan penulis pada bidang fisika teoretik. Ungkapan salam penuh cinta penulis sampaikan kepada kedua orang tua, Bapak Ahmad Jahid dan Ibu Dede Khoiriyah, serta adikadik dirumah, terimakasih atas segala doa, dukungan dan kasih sayangnya. Tak lupa rasa terima kasih sebesar-besarnya kepada seluruh dosen Departemen Fisika IPB yang telah ikhlas mengajarkan banyak ilmu selama penulis menjadi mahasiswa. Terakhir kepada teman-teman fisika IPB khususnya angkatan 49 dan marboth asrama masjid Al-Hurriyyah IPB, terimakasih atas kebersamaannya selama ini. Semoga karya ilmiah ini bermanfaat.
Bogor, Maret 2016 Ahmad Khoirul Falah
vi
DAFTAR ISI DAFTAR GAMBAR
viii
DAFTAR LAMPIRAN
viii
PENDAHULUAN
1
Latar Belakang
1
Tujuan Penelitian
1
Perumusan Masalah
1
Hipotesis
1
Manfaat Penelitian
2
Ruang Lingkup Penelitian
2
TINJAUAN PUSTAKA
2
Tensor
2
Persamaan Medan Einstein
3
Metrik Friedmann-Lemaitre-Roberson-Walker
4
Persamaan Friedmann
4
Tensor Energi-Momentum Fluida Ideal
4
Teori Gravitasi Bermassa Fierz-Pauli
5
Diskontinuitas van Dam-Veltman-Zakharov
5
Mekanisme Vainshtein
6
Medan Hantu Boulware-Deser
6
Teori Gravitasi Bermassa de Rham-Gabadadze-Tolley
7
METODE
7
Waktu dan Tempat Penelitian
7
Alat
8
Metode Penelitian
8
HASIL DAN PEMBAHASAN Persamaan Medan Einstein Teori dRGT
8 8
Persamaan Friedmann Teori dRGT
10
Ekspansi Alam Semesta dan Massa Graviton
12
SIMPULAN DAN SARAN Simpulan
15 15
vii
Saran
15
DAFTAR PUSTAKA
15
LAMPIRAN
17
RIWAYAT HIDUP
24
viii
DAFTAR GAMBAR 1 Grafik fungsi faktor skala terhadap parameter waktu kosmik untuk tiga jenis proporsi ( ).
14
DAFTAR LAMPIRAN A Konvensi Penjumlahan Einstein B Satuan Alam (Natural Unit) C Persamaan Medan Einstein dari Prinsip Aksi D Tensor Ricci dalam Metrik Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker E Kode Matlab Gambar 1
16 17 18 20 22
1
PENDAHULUAN Latar Belakang Teori Relativitas Umum (TRU) menjelaskan keterkaitan ruang, waktu, dan gravitasi yang dirumuskan oleh Albert Einstein pada tahun 1915. Dalam TRU gravitasi tidak lagi dipandang sebagai gaya, melainkan manifestasi dari kelengkungan ruangwaktu.1 TRU merupakan konsep yang mendasari kosmologi, dan kosmologi adalah aplikasi penting TRU. Observasi dari pergerakan galaksi menunjukkan bahwa alam semesta kita berekspansi.2 Pada tahun 1998, para astronom menemukan bahwa ekspansi alam semesta mengalami percepatan. Jika TRU benar, maka harus ada energi gelap (dark energy) sebagai penyebabnya. Secara sederhana energi gelap ialah interpretasi dari konstanta kosmologi, yang secara fisis dapat diartikan sebagai energi vakum. Tetapi orde konstanta kosmologi terlalu kecil untuk menghasilkan kerapatan energi yang sesuai prediksi teori fisika partikel. Sehingga terdapat kemungkinan TRU salah atau perlu dimodifikasi.3 Salah satu modifikasi yaitu penambahan massa graviton. Gagasan ini sudah diperkenalkan oleh Fierz dan Pauli sejak tahun 1939. Namun sempat diragukan karena pada tahun 1970 van Dam-Veltman-Zakharov (vDVZ) menunjukkan teori gravitasi bermassa Fierz-Pauli tidak konsisten dengan persamaan medan linier saat limit takbermassa. Selanjutnya pada tahun 1972 Vainshtain mengusulkan mekanisme nonlinier untuk menghindari diskontinuitas vDVZ. Langsung ditahun yang sama Boulware dan Deser menunjukkan model nonlinier mengandung medan hantu yang kemudian disebut medan hantu Boulware-Deser. Barulah pada tahun 2010 masalah medan hantu Boulware-Deser dapat dihindari dengan teori gravitasi bermassa nonlinier de Rham-GabadazeTolley.4,5 Tujuan Penelitian Penelitian ini bertujuan menghitung massa graviton berdasarkan teori de Rham-Gabadaze-Tolley (dRGT) dalam model alam semesta datar FriedmannLemaitre-Robertson-Walker (FLRW) untuk menjelaskan fenomena ekspansi dipercepat. Rumusan Masalah Teori dRGT digunakan untuk menghitung persamaan medan Einstein melalui prinsip aksi, merumuskan persamaan Friedmann, dan memeriksa kontinuitasnya untuk limit takbermassa. Serta menganalisis evolusi faktor skala terhadap parameter waktu kosmik untuk menghitung massa graviton. Hipotesis Teori dRGT menyediakan model alam semesta yang berekspansi dipercepat dan massa graviton dapat ditentukan.
2
Manfaat Penelitian Manfaat dari penelitian ini adalah menambah perbendaharaan informasi tentang massa graviton. Ruang Lingkup Penelitian Penelitian ini melingkupi perhitungan matematis persamaan medan Einstein dan persamaan Friedmann berdasarkan TRU yang dimodifikasi oleh teori gravitasi bermassa nonlinier untuk membangun model alam semesta. TINJAUAN PUSTAKA Tensor TRU adalah salah satu teori fisika modern yang cukup besar peranannya dalam menerangkan struktur ruangwaktu dan jagad raya. Teori ini adalah teori yang indah, memiliki daya pikat ramalan terhadap gejala alam yang cukup menarik, namun memiliki persyaratan matematika berupa analisis tensor. Tensor merupakan perluasan dari vektor, seperti halnya vektor merupakan perluasan dari skalar. Skalar adalah tensor rank-0 dan vektor adalah tensor rank-1. Dalam TRU terdapat dua jenis sistem koordinat, yaitu koordinat kovarian dan kontravarian. Untuk membedakan kedua sistem koordinat tersebut digunakan indeks atas untuk kontravarian dan indeks bawah untuk kovarian. Sebuah tensor rank-2 kovarian dan kontravarian berlaku transformasi: Tensor kovarian
(1.a)
Tensor kontravarian
(1.b)
Tensor Metrik dan Ruang Riemann Tensor metrik menggambarkan jarak terdekat antara dua titik dalam ruang (geodesik). Ruang tiga dimensi dengan bentuk dinamakan ruang datar atau ruang Euclid. Jika suatu sistem koordinat tidak memenuhi bentuk tersebut maka dinamakan ruang lengkung atau ruang Riemann. Bentuk untuk ruang datar empat dimensi disebut ruangwaktu Minkowski: (2) tensor metrik dari geodesik (2):
Secara umum kuadrat jarak antara dua buah titik di dalam ruang sembarang berdimensi N dinyatakan dalam: (3)
3
dengan . Tensor metrik juga dapat digunakan untuk menaikkan dan menurunkan indeks: (4.a) (4.b) Tensor Riemann-Christoffel dan Tensor Ricci Tensor Riemann-Christoffel dirumuskan sebagai berikut: (5.a) (5.b) Besaran disebut simbol Christoffel. Kontraksi menghasilkan tensor Ricci .
terhadap indeks (
)
(6) Tensor Ricci menyatakan kelengkungan ruangwaktu atau disebut juga tensor curvature.6 Persamaan Medan Einstein TRU dibangun berdasarkan prinsip ekivalensi dan prinsip kovariansi umum. Efek gravitasi terkait dengan geometri. Deskripsi lebih lengkap gravitasi terangkum dalam sebuah persamaan medan yang berlaku secara umum untuk berbagai sistem fisis. 7 Sebagaimana teori fisika pada umumnya, rumusan gravitasi TRU dapat diturunkan melalui prinsip variasi.8 (7) dengan disebut kerapatan Lagrangian Einstein-Hilbert, adalah skalar Ricci, dan adalah kerapatan Lagrangian materi. Melalui prinsip ini, persamaan medan Einstein diturunkan dengan melakukan variasi sedemikian rupa sehingga , kemudian diperoleh (lampiran C): (8) Persamaan (8) dinamakan persamaan medan Einstein yang menyatakan bahwa kehadiran materi menyebabkan ruangwaktu melengkung dan kelengkungan ruangwaktu menyebabkan materi bergerak. Besaran disebut tensor energi-momentum dan konstanta diturunkan dari limit Newtonian. Untuk penulisan selanjutnya diberlakukan
satuan alam (natural unit) c=1 dan dengan
-
(lihat lampiran B), sehingga merupakan massa Planck.4,7
Untuk aproksimasi medan lemah metrik dapat diuraikan sebagai metrik Minkowski ditambahkan suku gangguan kecil : (9)
4
Sebagai catatan, persamaan medan yang dilinearisasi dapat diturunkan dari Lagrangian Einstein-Hilbert berikut:9 (10)
Metrik Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker Metrik FLRW dibangun berdasarkan prinsip kosmologi, yakni asumsi alam semesta bersifat homogen dan isotropik. Metrik FLRW dalam bentuk yaitu: (11)
Fungsi R(t) disebut faktor skala dan konstanta k disebut indeks kurvatur. Nilai k = -1 untuk alam semesta hipebola, k=0 untuk alam semesta datar, dan k=1 untuk alam semesta bola. 10 Persamaan Friedmann Dinamika kosmologi dalam geometri ruangwaktu sepenuhnya ditentukan oleh faktor skala R(t). Untuk mengetahui bentuk R(t) diperlukan solusi persamaan medan Einstein. Representasi dari solusi persamaan medan Einstein untuk metrik FLRW disebut Persamaan Friedmann. Bentuknya sebagai berikut: (12.a) (12.b) Persamaan (12.a) dan (12.b) memungkinkan kita mempelajari ekspansi alam semesta tanpa membutuhkan persamaan keadaan tertentu. Jika selalu positif, k “ k l r ” bernilai negatif. Di masa kini R>0 (dari definisi) dan (karena yang terdeteksi pergeseran merah bukan pergeseran biru), maka bentuk kurva R(t) versus t cekung kebawah. Interpretasi ini berlawanan dengan hasil observasi yang menyatakan alam semesta mengembang dipercepat (bentuk kurva cekung keatas). 8,10 Tensor Energi-Momentum Fluida Ideal Prinsip kosmologi homogen dan isotropik mengizinkan distribusi kontinu materi di alam semesta dapat diaproksimasi oleh tensor energi-momentum fluida ideal: (13) Untuk setiap tensor energi-momentum berlaku: (14)
5
yang merupakan bentuk pernyataan hukum kekekalan energi. Persamaan kekekalan energi fluida ideal dalam metrik FLRW yaitu: (15) Dalam kosmologi, biasanya digunakan asumsi persamaan keadaan berikut: (16) dengan w disebut parameter keadaan yang nilainya w=0 untuk material debu (dust) dan w=1/3 untuk radiasi. Sehingga solusi persamaan (15) yaitu: (17) yang menyatakan evolusi kerapatan sebagai fungsi faktor skala.
8
Teori Gravitasi Bermassa Fierz-Pauli Keberadaan energi gelap yang sudah disinggung di bagian pendahuluan menjadi salah satu motivasi dari teori gravitasi bermassa. Pada skala besar TRU dimodifikasi dengan cara menambahkan suku massa graviton. Modifikasi ini sekaligus memungkinkan massa graviton memperbaiki masalah konstanta kosmologi. Adalah Fierz dan Pauli yang pertamakali mengkonstruksi suku massa tersebut untuk metrik linier disekitar ruangwaktu datar, - . (18) Kerapatan Lagrangian menjadi:
(19) Empat suku pertama di ruas kanan merupakan Lagrangian Einstein-Hilbert untuk ruangwaktu datar. Indeks dapat dinaikkan dan diturunkan menggunakan metrik , . 11, 12 Diskontinuitas van Dam-Veltman-Zakharov Aksi pada Lagrangian (19) menghasilkan bentuk persamaan gerak linier: (20) Notasi but op r tor ’Al b rt U tuk u b r p rt k l t t k b r M solusi komponen persamaan (20) ialah: (21) Pada limit tak bermassa
6
(22) Sedangkan dari persamaan gerak linier gravitasi takbermassa yang memenuhi transformasi Lorentz-Gauge: (23) Solusi
sumber titik bermassa M persamaan gerak (23) ialah: (24)
Diskontinuitas persamaan (22) dan (24) pertamakali dideteksi oleh van Dam, Veltman, dan Zakharov. Korespondensi dari gravitasi takbermassa menjadi gravitasi bermassa mempunyai syarat perubahan . Jika hasil ini diterapkan untuk kasus pembelokan cahaya yang menurut gravitasi takbermassa dirumuskan oleh: (25) Syarat korespondensi membuat sudut pembelokan cahaya versi teori Fierz-Pauli menjadi: (26) Perbedaan antara persamaan (25) dan persamaan (26) mencapai 25%. Prediksi linier TRU berbeda dengan teori Fierz-Pauli saat limit tak bermassa. Bentuk linier telah melanggar asas kontinuitas dalam fisika, inilah yang disebut diskontinuitas vDVZ.4 Mekanisme Vainshtein Mekanisne Vainshtein digagas oleh Vainshtein ketika menelaah solusi statik bersimetri bola teori Fierz-Pauli. Pada jarak yang sangat jauh dari sumber, teori dapat dideskripsikan secara linier, sehingga semua mode graviton bermassa berpropagasi, menghasilkan penyimpangan besar terhadap TRU berupa diskontinuitas vDVZ. Vainshtein mengusulkan bahwa terdapat jarak tertentu dari sumber yang membatasi linieritas dapat diberlakukan. Jarak tersebut disebut jarijari Vainshtein, . Di daerah prediksi linier tidak bisa dibenarkan.13
nonlinieritas mulai mendominasi dan
Medan Hantu Boulware-Deser Boulware dan Deser mempelajari beberapa spesifikasi bentuk nonlinier gravitasi bermassa dan menunjukkan bahwa terdapat hantu ketidakstabilan (ghostlike instability). Teori linier mempunyai lima derajat kebebasan, sedangkan teori nonlinier menghasilkan enam derajat kebebasan. Satu derajat kebebasan tambahan dalam bentuk medan skalar disebut medan hantu Boulware-Deser.4
7
Teori Gravitasi Bermassa Nonlinier de Rham-Gabadadze-Tolley Teori Fierz-Pauli memiliki cacat berupa diskontinuitas vDVZ dan medan hantu Boulware-Deser. Generalisasi teori Fierz-Pauli yang bebas diskontinuitas vDVZ dan medan hantu Boulware-Deser dirumuskan oleh de Rham-GabadadzeTolley (dRGT). Melalui cara Stuckelberg didefinisikan tensor kovarian: (27) Untuk unit Gauge , tensor - menjadi metrik gangguan. Tensor dapat dinyatakan dalam tensor polinomial berikut: (28) Invers persamaan (29) ialah: -
-
-
-
-
Dengan menyatakan
sebagai metrik fiducial, sehingga: (29)
Bentuk kerapatan Lagrangiannya adalah: (30.a) dengan
adalah konstanta parameter, dan
(30.b)
Not […] y t k trace tensor terhadap metrik . Ketiadaan medan hantu pada persamaan (30.a) berlaku untuk metrik latar belakang Minkowski. 14,15 METODE Waktu dan Tempat Penelitian Penelitian ini dilaksanakan selama lima bulan mulai dari bulan September 2015 sampai Januari 2016. Tempat penelitian dilakukan di Laboratorium Fisika Teori dan Komputasi, Departemen Fisika Fakultas Metematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Pertanian Bogor.
8
Alat Pada penetlitian ini alat-alat yang digunakan berupa alat tulis (kertas/buku tulis, pena, pensil), laptop/komputer milik pribadi dengan processor intel ® core ™ B9 or B n menggunakan windows 7 professonal. Metode Penelitian Studi Pustaka Studi pustaka dilakukan untuk memahami persamaan medan Einstein, prinsip aksi, teori gravitasi bermassa Fierz-Pauli, serta menganalisis suku nonlinier dRGT. Penurunan Persamaan Medan Einstein dan Persamaan Friedmann Proses ini dilakukan melalui prinsip aksi dari teori dRGT untuk mendapatkan persamaan medan Einstein dilanjutkan mencari persamaan Friedmann. Analisis Faktor Skala Dengan memanfaatkan parameter kosmologi yang tersedia, persamaan Friedmann dapat dibentuk sedemikian rupa sehingga dapat memberikan gambaran evolusi faktor skala terhadap waktu kosmik. HASIL DAN PEMBAHASAN Persamaan Medan Einstein Teori dRGT Persamaan medan Einstein konvensional dapat diturunkan dari kalkulus variasi (lampiran C). Melalui cara yang sama akan diturunkan persamaan medan Einstein teori dRGT dengan melakukan aksi pada Lagrangian (30.a):
Untuk mendapatkan persamaan medan Einstein variasikan
(31) terhadap metrik ,
(32) Sebagai catatan, alam semesta datar memiliki indeks kurvatur k=0 dan metrik fiducial yaitu metrik minkowski . Tensor pada persamaan (29) menjadi:
9
(33) Variasi tensor (33):
Kemudian diperoleh: (34.a) (34.b) (34.c) (34.d) 2 Persamaan (34.a)-(34.d) memberikan pemecahan variasi suku-suku ruas kanan persamaan (32). (35.a)
(35.b) [ (35.c) [
][
[
[ ][
]
[ (35.d)
[ ][
[
] (35.e)
Substitusi persamaan (35.a)-(35.e) kedalam persamaan (32).
10
-
-
-
-
-
-
(36) Karena sedangkan Einstein teori dRGT:
sembarang maka diperoleh persamaan medan
(37.a) Atau dalam bentuk kovarian ditulis: (37.b) dengan (37.c)
Untuk limit graviton takbermassa , persamaan medan Einstein teori dRGT kembali menjadi persamaan medan Einstein biasa. Persamaan Friedmann Teori dRGT Persamaan Friedmann diperoleh dari persamaan medan Einstein yang diimplementasikan dalam metrik FLRW. Bentuk ekivalen persamaan (37.b) yaitu. (38) Bongkar tensor Ricci persamaan (38) menggunakan persamaan (6). Kemudian substitusi metrik (11) dengan k=0 sehingga diperoleh komponen tensor Ricci (Lampiran D):
-
(39)
11
Distribusi materi dan energi alam semesta dapat didekati dengan tensor energi-momentum fluida ideal. Substitusi metrik (11) kedalam tensor energimomentum (13), sehingga bentuk suku kedua persamaan (14): -
-
-
-
-
-
-
-
-
-
-
(40)
-
-
Persamaan (39) dan (40) dapat digabungkan sesuai persamaan (38): (41.a) (41.b) (41.c) (41.d) Suku terakhir persamaan (41) harus diperbaiki dengan menentukan kuantitas . Mengacu persamaan (33) untuk metrik FLRW datar dan metrik fidusial Minkowski diperoleh: ; Diperoleh komponen
(42)
pada persamaan (37.c): (43.a) (43.b) (43.c) (43.d)
9
(43.e)
Persamaan (41.b), (41.c), dan (41.d) menjadi ekivalen sehingga persamaan (41) tereduksi: (44.a) (44.b)
12
Sedikit teknik aljabar sederhana membawa kepada bentuk berikut ini: (45.a) (45.b) Inilah Persamaan Friedmann teori dRGT. Jika diperiksa pada limit maka persamaan (45.a) dan (45.b) kembali menjadi persamaan (12.a) dan (12.b) yang merupakan persamaan Friedmann biasa. Ekspansi Alam Semesta dan Massa Graviton Faktor skala merupakan kunci untuk mempelajari dinamika kosmologi. Informasi mengenai faktor skala dapat diketahui dengan mencari solusi persamaan diferensial (45.a) dan (45.b). Namun parameter pada persamaan tersebut belum dinyatakan dalam kuantitas yang terukur. Sebelum membahas lebih jauh, nyatakan persamaan (45.b) dalam bentuk berikut:
(46) Kerapatan harus memenuhi hukum kekekalan energi sehingga berlaku perbandingan (17). Asumsikan fluida alam semesta terdiri dari materi dan radiasi: (47) dengan berturut-turut merupakan kerapatan massa, kerapatan radiasi, dan faktor skala masa kini . Untuk alasan teknis dibuat beberapa definisi: (48) Faktor skala selanjutnya diungkapkan dalam bentuk . Disini juga diperkenalkan parameter Hubble H, parameter takberdimensi untuk kerapatan fluida alam semesta dan untuk graviton. Kemudian persamaan (46) menjadi:
13
Langkah selanjutnya yaitu membagi setiap suku dengan kuadrat dari parameter Hubble masa kini, .
(49) Definisikan parameter waktu kosmik takberdimensi: (50) Sehingga diperoleh:
(51) Perlu diperhatikan bahwa setiap suku persamaan diatas merupakan kuantitas takberdimensi. Hasil observasi kosmologi memberikan nilai-nilai: Dan untuk sangat besar suku ketiga, keenam, dan ketujuh persamaan (51) dapat diabaikan. (52) Persamaan (49) menjadi: (53) Pada masa kini
dan
, diperoleh normalisasi: (54)
Karena dan memberikan nilai numerik persamaan (52) untuk tiga jenis proporsi (
. Solusi ) ialah:
14
Gambar 1 Grafik fungsi faktor skala terhadap parameter waktu kosmik untuk tiga jenis proporsi ( ). Garis titik-titik pada gambar 1 merupakan kondisi ketika =0, atau representasi dari persamaan Friedmann konvensional. Terlihat dari bentuk kurva cekung kebawah persamaan Friedmann konvensional menghendaki ekspansi alam semesta diperlambat. Hal ini bertentangan dengan hasil observasi supernova tipe Ia yang mendapati ekspansi alam semesta seharusnya dipercepat8. Melaui pendekatan teori gravitasi bermassa nonlinier (Nonlinear Massive Gravity Theory), yakni teori dRGT, kurva ekspansi alam semesta ditunjukkan oleh garis tebal. Pemberian massa graviton membuat kurva menjadi cekung keatas. Dengan demikian teori dRGT dapat mendeskripsikan ekspansi dipercepat tanpa membutuhkan energi gelap. Selain itu diperoleh massa kritis yang ditunjukkan oleh garis putus-putus. Kondisi ini terjadi ketika parameter kerapatan dan . Massa graviton berdasarkan metode Extremely Low Energy (ELE)16 ialah . Melalui definisi (48) diperoleh nilai yang memberikan massa kritis graviton:
15
Massa kritis ini menjadi nilai minimum supaya ekspansi alam semesta tidak diperlambat. SIMPULAN DAN SARAN Simpulan Teori dRGT merupakan pendekatan gravitasi bermassa nonlinier yang bebas diskontinuitas vDVZ dan medan hantu Boulware-Deser. Persamaan medan Einstein dan persamaan Friedmann teori ini dapat kembali ke bentuk konvensional untuk limit graviton takbermassa. Teori dRGT juga memberikan model alam semesta yang relevan dengan fenomena ekspansi dipercepat tanpa membutuhkan energi gelap. Selain itu dengan mengambil massa graviton dari metode ELE, diperoleh massa kritis graviton sebagai massa yang membatasi model alam semesta dipercepat dan diperlambat. Saran Penelitian ini hanya membahas model alam semesta datar sehingga metrik fiducial menjadi metrik Minkowski dan indeks kurvatur sama dengan nol. Untuk penelitian selanjutnya ada baiknya meninjau untuk kasus metrik fiducial umum. DAFTAR PUSTAKA 1. Wald RM. 1984. General Relativity, The University of Chicago Press, Chicago. Hal. 3, 67. 2. Hartle James B. 2003. Gravity, An Introduction to Einstein General Relativity, Addison Wesley, New York. Hal. 10, 347. 3. Song YS, Koyama K. 2009. Consistency test of general relativity from large scale structure of the Universe. arXiv:0802.3897v3 [astro-ph]. Hal. 1. 4. Hinterbichler, Kurt. 2011. Theoretical aspects of massive gravity. arXiv:1105.3735v2 [hep-th] 2 Oct 2011. Hal. 10-11, 13, 23-30. 5. Alberte, Lasma. 2013. Non-linear Massive Gravity. [Disertasi]. Munchen: an der Fakultat fur Physik der Ludwig-Maximilians-Universitat. Hal. 3-4. 6. Anugraha R. 2011. Teori Relativitas dan Kosmologi. Yogyakarta (ID): UGM Press. Hal. 61-70. 7. Hidayat, T. 2010. Teori Relativitas Einstein Sebuah Pengantar. Penerbit ITB, Bandung. Hal. 183, 189. 8. Hobson, H.R. Efstathiou, G. Lasenby, A.N. 2006. General Relativity an Introduction for Physicists. Cambridge University Press, Cambridge. Hal. 188, 376, 379-380, 524, 545-546. 9. Carol S. 2004. Spacetime and Geometry An Introduction to General Relativity. Addison Wesley, San Francisco. Hal. 274-275. 10. Weinberg, S. 1972. Gravitation and Cosmology: Principles and Application of The General Theory of Relativity. Jhon Wiley & Sons, Inc. New York, London, Sydney, Toronto. Hal. 412, 473. 11. Hassan, S. F. 2011. On non-linear actions for massive gravity. arXiv:1103.6055v3 [hep-th] 1 Jul 2011. Hal. 1, 3.
16
12. Marco Crisostomi. 2014. Massive Gravity. [Disertasi]. Université Paris Diderot. Hal. 5. 13. Babichev, E. Deffayet, C. 2013. An introduction to the Vainshtein mechanism. arXiv:1304.7240v2 [gr-qc] 6 Sep 2013. Hal. 18. 14. C. de Rham, G. Gabadadze, A. Tolley. 2011. Ghost free massive gravity in the Stuckelberg language. arXiv:1107.3820v1 [hep-th] 19 Jul 2011. Hal. 1-2. 15. Fasiello Matteo, Andrew J. Tolley. 2012. Cosmological perturbations in massive gravity and the Higuchi bound. arXiv:1206.3852v3 [hep-th] 5 Jul 2012. Hal. 3-4. 16. Valev, Dimitar. 2005. Neutrino and graviton rest mass estimations by a phenomenological approach. arXiv.org:hep-ph/0507255. Hal. 7.
17
LAMPIRAN Lampiran A Konvensi Penjumlahan Einstein Persamaan-persamaan dalam tulisan ini menggunakan konvensi penjumlahan Einstein. Jika di dalam sebuah bentuk terdapat sepasang indeks yang sama dengan salah satu terletak diatas dan yang lainnya dibawah, maka penjumlahan harus dilakukan terhadap bentuk tersebut meliputi jangkauan indeks berulang. Contoh, untuk =0,1,2,..., N:
18
Lampiran B Satuan Alam (Natural Unit) Secara umum penggunaan satuan alam (natural unit) dalam fisika partikel dan kosmologi berarti: Dimana , c, dan adalah reduksi konstanta Planck, kecepatan cahaya, dan konstanta Boltzmann. Semua besaran dinyatakan dalam kuantitas energi dengan satuan eV. Contoh: 9 Satuan
Nilai
1 eV-1 panjang
1.97 x 10-7 m
1 eV massa
1.78 x 10-36 kg
1 eV-1 waktu
6.58 x 10-16 s
1 eV suhu
1.16 x 104 K
Derivasi
19
Lampiran C Persamaan Medan Einstein dari Prinsip Aksi Bentuk paling sederhana prinsip aksi gravitasi disebut prinsip aksi Einstein-Hilbert:
Persamaan medan Einstein diperoleh dari variasi
terhadap
Suku kedua dan ketiga perlu disesuaikan dalam bentuk variasi -
-
-
:
.
-
-
-
-
Berdasarkan teorema divergensi dengan syarat batas akan membuat
ialah integral terhadap permukaan tertutup . Sisanya tinggal dan sehingga:
Karena secara umum dan sembarang, maka kondisi yang harus dipenuhi agar variasi adalah:
Untuk persamaan medan dengan kehadiran materi akan memberikan:
Ekspresi
adalah kerapatan lagrangian Einstein-Hilbert.
Variasi S terhadap
:
20
Dari hasil sebelumnya variasi Einstein-Hilbert menghasilkan:
Kemudian definisikan tensor energi-momentum:
Sehingga diperoleh persamaan medan Einstein dengan kehadiran materi:
Dengan
diperoleh dari pendekatan Newton.
21
Lampiran D Tensor Ricci dalam Metrik Friedmann-Lemaitre-RobertsonWalker Kuadrat jarak antara dua buah titik di dalam metrik FLRW diberikan:
Komponen tensor metrik kovarian yang bernilai tidak nol adalah:
Karena
komponen tensor metrik kontravarian yaitu:
Simbol Christoffel dapat dihitung dengan menggunakan formula:
Dalam metrik FLRW komponen-komponen simbol Crhistoffel yang tidak bernilai nol:
o ot Kemudian besaran tensor Ricci dirumuskan sebagai:
Dari simbol christoffel diatas diperoleh komponen-komponen tensor Ricci:
22
Lampiran E Kode Matlab Gambar 1 Fungsi utama: function [x,y,z,w]=FdRGTrk4(fdrgt,friedmann,friedmann1, x0,y0,z0,w0,xt,n) h=(xt-x0)/n; x=zeros(n+1,1); y=zeros(n+1,1); z=zeros(n+1,1); w=zeros(n+1,1); x(1)=x0; y(1)=y0; z(1)=z0; w(1)=w0; for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; ky1=h*fdrgt(x(i),y(i)); ky2=h*fdrgt(x(i)+h/2,y(i)+ky1/2); ky3=h*fdrgt(x(i)+h/2,y(i)+ky2/2); ky4=h*fdrgt(x(i)+h,y(i)+ky3); y(i+1)= y(i)+(ky1+2*ky2+2*ky3+ky4)/6; end for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; kz1=h*friedmann(x(i),z(i)); kz2=h*friedmann(x(i)+h/2,z(i)+kz1/2); kz3=h*friedmann(x(i)+h/2,z(i)+kz2/2); kz4=h*friedmann(x(i)+h,z(i)+kz3); z(i+1)= z(i)+(kz1+2*kz2+2*kz3+kz4)/6; end for i=1:n x(i+1)=x(i)+h; kw1=h*friedmann1(x(i),w(i)); kw2=h*friedmann1(x(i)+h/2,w(i)+kw1/2); kw3=h*friedmann1(x(i)+h/2,w(i)+kw2/2); kw4=h*friedmann1(x(i)+h,w(i)+kw3); w(i+1)= w(i)+(kw1+2*kw2+2*kw3+kw4)/6; end plot(x,y, '-k'); %marker: solid; hold on; plot(x,z, ':k'); %marker: dashed; hold on; plot(x,w, '--k'); %marker: dotted; xlabel('Parameter waktu kosmik','fontname', 'times new roman', 'fontsize', 12); ylabel('Faktor skala','fontname', 'times new roman', 'fontsize', 12);
Fungsi panggilan: function v = fdrgt(x,y) Omo = 0.3; Oro = 0.00005; Ogo = 0.7; v= sqrt(Omo/y+Oro/(y^2)+Ogo*y^2);
23
function v = friedmann(x,z) Omo = 1; Oro = 0.00005; Ogo = 0; v= sqrt(Omo/z+Oro/(z^2)+Ogo*z^2); function v = friedmann1(x,w) Omo = 0.85; Oro = 0.00005; Ogo = 0.15; v= sqrt(Omo/w+Oro/(w^2)+Ogo*w^2);
Command window: [x,y,z,w]=FdRGTrk4(@fdrgt,@friedmann,@friedmann1, 0,1,1,1,1.5,100)
24
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Cirebon pada tanggal 24 Juli 1994 dari pasangan Ahmad Jahid dan Dede Khoiriyah
sebagai
anak
pertama
dari
lima
bersaudara. Penulis menyelesaikan pendidikan sekolah dasar pada tahun 2006 di SDN 2 Ender Cirebon, kemudian penulis melanjutkan pendidikan di SMPN 1 Babakan (2006-2009) dan di SMAN 1 Babakan (2009-2012). Penulis diterima sebagai mahasiswa Institut Pertanian Bogor di Departemen Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam pada tahun 2012 melalui jalur SMPTN Undangan dan menerima beasiswa Bidikmisi. Selama mengikuti perkuliahan, penulis aktif sebagai Asisten Praktikum mata kuliah Fisika Dasar 2 (2014), Gelombang (2015-2016), dan Pendidikan Agama Islam (2016). Selain itu penulis aktif sebagai pengurus Dewan Musholah Asrama TPB IPB (2012-2013), Lembaga Dakwah Kampus Al Hurriyyah (20122014), Paguyuban Bidikmisi IPB (2013), Keluarga Muslim Fisika (2014-2015), Salam Islamic Student Center (2014), Ketua Departemen Sains dan Teknologi Himpunan Mahasiswa Fisika IPB (2014-2015), serta Ketua Panitia Physics Expo 2015. Penulis juga merupakan pengajar fisika Tutorial Bidikmisi IPB (2013), truktur T h t ff p
j rB
L
b
P
Tul
Qur’
j r
Qur’
M j
Al Hurr yy h (2014-2015),
MA Kor t (2015) serta pengajar fisika dan
matematika Bimbingan Belajar Primagama cabang Dramaga dan Ciomas (20142016).
