MASARYKOVA U IVERZITA

MASARYKOVA UIVERZITA PEDAGOGICKÁ FAKULTA Katedra sociální pedagogiky

Statistické testy v pedagogickém výzkumu Bakalářská práce

Brno 2009

Autor práce: Bc. Petra Kaisarová Vedoucí práce: doc. PhDr. Jiří Němec, Ph.D.

Bibliografický záznam KAISAROVÁ, Petra. Statistické testy v pedagogickém výzkumu : bakalářská práce. Brno : Masarykova univerzita, Fakulta pedagogická, Katedra sociální pedagogiky, 2009.

Anotace Bakalářská práce Statistické testy v pedagogickém výzkumu pojednává o základech testování hypotéz, popisuje jednotlivé kroky tohoto procesu a vysvětluje základní pojmy jako nulová hypotéza, alternativní hypotéza, hladina významnosti, p-hodnota, síla testu, bodové a intervalové odhady. Kapitola modelová rozložení a normalita dat čtenáře seznamuje s rozloženími, kterých nabývají sociální jevy nebo na které může čtenář narazit v publikacích nebo při testování hypotéz. Následuje shrnutí dělení statistických testů. Poslední kapitoly tvoří testování hypotéz o shodě středních hodnot za použití Studentova t testu a jeho neparametrických obdob. Vše je demonstrováno na příkladech s využitím statistického softwaru STATISTICA. Klíčová slova testování hypotéz, nulová hypotéza, statistický test, t-test, neparametrické testy, rozdělení, STATISTICA

Summary This bachelor thesis `Statistical tests in pedagogical research’ covers basics of hypotheses testing, describes its necessary steps and explains definitions of null hypothesis, alternative hypothesis, level of significance, p-value, statistical power, point and interval estimates. One of chapters introduces model statistical distributions and notably normality of the sample. Described distributions are often observed in social phenomena and reader can encounter them when studying scientific literature. Following chapter summarizes different statistical test approaches. The last chapter deals with hypotheses testing using Student’s t-test and its nonparametric versions. Tests are demonstrated using statistical software STATISTICA.

Keywords: hypotheses testing, null hypothesis, statistical test, t-test, nonparametric tests, statistical distribution, STATISTICA

Prohlášení Prohlašuji, že jsem bakalářskou práci zpracovala samostatně a použila jen prameny uvedené v seznamu literatury. Souhlasím, aby práce byla uložena na Masarykově univerzitě v Brně v knihovně Pedagogické fakulty a zpřístupněna ke studijním účelům V Brně dne 20. dubna 2009

Petra Kaisarová

Poděkování *a tomto místě bych ráda poděkovala doc. PhDr. Jiřímu *ěmci, Ph.D. za trpělivost, kterou se mnou měl a podporu během studia.

Obsah ÚVOD ......................................................................................................................................................... 2 1 ZÁKLADY PRÁCE SE SYSTÉMEM STATISTICA ......................................................................... 3 2 BODOVÉ A ITERVALOVÉ ODHADY ............................................................................................ 9 2.1 BODOVÉ ODHAD ................................................................................................................................. 9 2.2 INTERVALOVÉ ODHADY ..................................................................................................................... 9 3 TESTOVÁÍ HYPOTÉZ .................................................................................................................... 11 3.1 VÝZKUMNÝ PROBLÉM ...................................................................................................................... 11 3.2 PROMĚNNÁ ...................................................................................................................................... 11 3.3 HYPOTÉZA ....................................................................................................................................... 12 3.4 TYPY HYPOTÉZ................................................................................................................................. 13 3.5 HLADINA VÝZNAMNOSTI.................................................................................................................. 16 3.6 TESTOVÁNÍ HYPOTÉZ ....................................................................................................................... 17 3.7 VYVOZOVÁNÍ ZÁVĚRŮ ..................................................................................................................... 18 4 MODELOVÁ ROZDĚLEÍ A ORMALITA DAT ........................................................................ 19 4.1 NORMÁLNÍ ROZDĚLENÍ .................................................................................................................... 19 4.2 ALTERNATIVNÍ A BINOMICKÉ ROZDĚLENÍ ........................................................................................ 20 4.3 POISSONOVO ROZDĚLENÍ ................................................................................................................. 20 4.4 JINÁ ROZDĚLENÍ ............................................................................................................................... 21 4.5 NORMALITA DAT .............................................................................................................................. 21 5 STATISTICKÉ TESTY ....................................................................................................................... 26 5.1 PARAMETRICKÉ TESTY ..................................................................................................................... 26 5.2 NEPARAMETRICKÉ TESTY ................................................................................................................ 26 5.3 JEDNOVÝBĚROVÝ TEST .................................................................................................................... 26 5.4 DVOUVÝBĚROVÝ TEST ..................................................................................................................... 27 5.5 VÍCEVÝBĚROVÝ TEST....................................................................................................................... 27 6 T TEST .................................................................................................................................................. 28 6.1 TESTOVÁNÍ PROTI REFERENČNÍ HODNOTĚ ........................................................................................ 28 6.2 PÁROVÝ T TEST ................................................................................................................................ 31 6.3 DVOUVÝBĚROVÝ T TEST .................................................................................................................. 33 7 EPARAMETRICKÉ TESTY............................................................................................................ 41 ZÁVĚR ..................................................................................................................................................... 46 POUŽITÁ LITERATURA...................................................................................................................... 47

1

Úvod Po prostudování dostupné literatury z oblasti kvantitativního výzkumu, jsem dospěla k názoru, že problematika statistické analýzy dat v pedagogickém výzkumu je zpracována ne vždy správně a přesně matematicky. Popřípadě některé publikace jsem shledala pro nematematika jako velmi náročné, což může mladého badatele dovést k rezignaci. Navíc v dnešní době nám výpočetní technika poskytuje nástroje, které mohou pomoci zpracovat shromážděné údaje a o softwarových produktech jako STATISTICA či SPSS se autoři knih o pedagogickém výzkumu zmiňují maximálně ve smyslu, že existují. Myslím si, že je škoda nevyužít těchto nástrojů. Pro studenty psychologie nebo sociologie existují kurzy, v nichž se studenti učí se statistickými softwary pracovat. Jistě by bylo přínosné i pro studenty sociální pedagogiky, aby se o těchto programech dozvěděli a mohli je použít při zpracování dat shromážděných při svém výzkumu. Budu velmi ráda, když kolegové studenti na příkladech pochopí základy testování hypotéz a statistických testů pro spojité proměnné a využijí takto získané poznatky ve svých výzkumech. Tato bakalářská práce navazuje na moji bakalářskou práci Základy popisné statistiky v pedagogickém výzkumu, proto zde nebudu popisovat některé nezbytné poznatky pro porozumění jako definice typů dat či míry polohy a variability. Předpokládám, že čtenář má potřebné základy z popisné statistiky. Základy práce v systému STATISTICA a kapitola o modelových rozděleních je zde zařazena z této bakalářské práce. Hlavním cílem této bakalářské práce je využití základních statistických testů pro spojité proměnné za použití výpočetní techniky, konkrétně programu STATISTICA, který obsahuje uživatelsky příjemné prostředí pro analýzu dat. Právě díky počítačům se stává vyhodnocení výsledků mnohem jednodušší a není nutné pracně počítat jednotlivé charakteristiky nebo testy. Je však důležité mít na paměti, že základní vědomosti o statistickém zpracování jsou nezbytné, protože počítač nám sice usnadní počítání, ale pracuje na základě předem daných algoritmů a zpracuje nám data, na která se daná operace vůbec použít nedá, proto jsme to my, kdo musí rozhodnout o smysluplnosti výsledků a učinit závěry. Proto je mým cílem vytvořit metodickou pomůcku pro testování hypotéz, díky, které se bude mladý badatel orientovat v testech pro spojité proměnné. Příklady k vyzkoušení i s matematickými vzorci lze najít např. v publikacích [5], [6], [13], [15], [18]. 2

1 Základy práce se systémem STATISTICA STATISTICA je software umožňující analýzu dat. Datové okno vypadá velmi podobně jako tabulka v MS Excel. Při prvním spuštění systému STATISTICA se objeví prázdná tabulka, která obsahuje 10 sloupců a 10 řádků. Stejně jako v MS Excelu sloupce značí proměnné a řádky jednotlivé případy (tedy dotazníky, zkoumané osoby, subjekty hodnocení). Můžeme začít vkládat data přímo do této tabulky, jak jsme zvyklí z MS Excelu. Pokud dvakrát klikneme na šedé záhlaví proměnné, objeví se nám následující nabídka:

Obr. 1: Možnosti proměnné v systému STATISTICA.

Do „Jména“ proměnné vypíšeme název, jaký jsme pro proměnnou zvolili. Můžeme zvolit „Typ“ proměnné, ale to není nutné. Do položky „Dlouhé jméno“ můžeme vypsat vzorec podobným způsobem, jak se tvoří vzorce v MS Excelu. (Začínáme znakem „=“ a potom použijeme funkci nebo matematickou operaci, kterou máme zájem provést např. „v2+v3“. Na jednotlivé proměnné se odkazujeme pomocí označení např. „v1“, což značí první sloupec.) Pokud klikneme v pravé části nabídky

3

na „Hodnoty/Statistiky“ objeví se nám okno s jednotlivými hodnotami, kterých proměnná nabývá a dozvíme se, jakým způsobem si systém STATISTICA zakódoval textové položky (textu přiřazuje hodnoty od 101 výše). V dolní části tabulky jsou umístěny některé popisné charakteristiky. (Systém STATISTICA však klidně spočítá průměr z textových hodnot, proto musíme vědět, že u této proměnné je to nesmysl.) V případě, že nám nestačí počet proměnných poklepeme pravým tlačítkem myši na šedé záhlaví proměnné a vybereme „Přidat proměnné“. Z nabídky vybereme kolik proměnných chceme přidat, kam se mají vložit. Pokud přidáváme jednu proměnnou můžeme zvolit její název nebo název později doplnit postupem, který byl uveden dříve.

Obr. 2 Přidání proměnné v systému STATISTICA.

Obdobná situace platí i pro přidání více případů (dotazníků) jen s tím rozdílem, že poklepeme na číslo řádku a objeví se trochu jiná nabídka, ale postup je stejný. Také odebírání proměnných (tzn. sloupců) či případů (tzn. řádků) je jednoduché. Po poklepání pravým tlačítkem myši na vybereme „Odebrat proměnné“ a zvolíme, co chceme smazat.

4

Existuje však i jiný způsob vkládání dat do systému STATISTICA. Můžeme si data připravit v MS Excelu a po zkontrolování je importovat do systému STATISTICA. Tento postup považuji za vhodnější, protože s MS Excelem mívají uživatelé více zkušeností a lépe se v něm orientují. Postup importování dat z MS Excelu je následující: Soubor – Otevřít , najdeme excelovský soubor, který chceme načíst (musíme si pohlídat, abychom měli v „Soubor typu“ vybránu možnost „Všechny soubory“ nebo „Excel soubory“). Objeví se následující nabídka, ze které zvolíme „Importovat vybraný list do tabulky“ a vybereme list, který chceme načíst.

Obr. 3: Import souboru do systému STATISTICA.

V následující nabídce zkontrolujeme rozsah souboru, který chceme načíst a protože máme data připravená tak, že nám první řádek tvoří názvy proměnných, zatrhneme možnost, jak je vidět na obr. 4.

Obr. 4: Import souboru do systému STATISTICA.

Tím jsme data načetli do systému STATISTICA. Když soubor uložíme, vidíme, že datový soubor má příponu .sta. Při využití nějakého nástroje analýzy dat nebo vykreslení grafu v systému STATISTICA se výstupy, které nám tento program zpracuje, ukládají do zvláštního souboru, tzv. pracovního sešitu, jehož přípona je .stw. Pracovní sešit se skládá ze dvou

5

oken, v levém okně vidíme stromovou strukturu, ve které můžeme listovat a v pravém jsou požadované výstupy (tabulky, výsledky analýz, grafy,...). Tyto výstupy lze dále editovat a můžeme je použít pro další analýzu. Další možností je ukládat výstupy do samostatných oken, což znamená každý graf nebo tabulku výsledků zvlášť, nebo také lze ukládat každou analýzu či graf do samostatného pracovního sešitu. V některých případech, když si chceme zobrazit dva výstupy vedle sebe, to může být praktické, ale obecně je výhodnější mít všechny výsledky v jednom souboru. Některou z těchto možností můžeme vybrat v nabídce Soubor – Správce výstupů, kde na záložce „Správce výstupů“ najdeme uvedené možnosti, tedy


ukládání výstupů do jednotlivých oken (např. grafy jsou jako obrázky a jsou jednoduše kopírovat)




ukládání výstupů do pracovního sešitu - do více sešitů - do jednoho společného sešitu (doporučuji tuto variantu) - do již existujícího sešitu (tato možnost se využije, pokud už mám pracovní sešit vytvořený a po nějakém čase do něj chci přidat nové výstupy. Jinak by se výsledky uložily do nově vytvořeného pracovního sešitu a neměli bychom je všechny pohromadě.)

Obr. 5: Možnosti ukládání výstupů v systému STATISTICA.

Vytvořené výstupy se dají ještě ukládat do tzv. protokolu, který nejen shromažďuje jednotlivé výsledky ve formě obrázků (to znamená, že nejdou dále editovat), ale také nám umožňuje psát k výstupům poznámky a komentáře. Nastavení ukládání výstupů do protokolu najdeme opět v Soubor – Správce výstupů, kde na

6

záložce „Správce výstupů“ vybereme, kam se má protokol ukládat a na záložce „Protokoly“ můžeme upřesnit nastavení. Systém STATISTICA umožňuje řadu možností, které uživateli usnadní práci a systém STATISTICA umožňuje intuitivní ovládání, proto z nabízených funkcí připomenu pouze ještě seřazení dat, jak jsem avizovala dříve. Pro seřazení dat zvoláme z menu Data – Setřídit a objeví se nám následují okno (obr. 6)

Obr. 6: Seřazení dat v systému STATISTICA.

Zvolíme proměnnou, podle které chceme data seřadit např. Věk, potvrdíme „Přidat prom.“ a můžeme vybrat směr řazení (vzestupně nebo sestupně) a řazení buď číselně nebo textově (což se týká textových položek, které jsou seřazeny podle abecedy). Proměnných, podle kterých chceme data seřadit, můžeme vybrat víc a pomocí šipek v dolní části nabídky měnit pořadí seřazení. Nyní máme dvě možnosti. Buď zvolíme „OK“ a naše data v tabulce se seřadí nebo můžeme zaškrtnou možnost „Vytvořit novou tabulku“ a seřazená data se uloží do nové tabulky, čímž si zachováme i původní soubor. Poslední věc, kterou z ovládání programu STATISTICA zmíním, je možnost užívat projekty. Tato možnost je implementována až od verze 8.0, dřívější verze tento prvek neobsahovaly. Jedná se o to, že si můžeme zatím provedenou práci uložit jako jeden projekt tak, že po spuštění tohoto projektu se nám zobrazí na obrazovce všechny

7

objekty (datový soubor, pracovní sešit, otevřené analýzy) tak, jak byly otevřeny, když jsme práci v systému STATISTICA končili. Tento postup nám umožní rychleji pokračovat v práci tam, kde jsme analýzu dat přerušili. Při zavírání programu budeme dotázáni, jestli chceme možnost projektu využít.

Obr. 7: Uložení projektu v systému STATISTICA.

8

2 Bodové a intervalové odhady 2.1 Bodové odhad Bodový odhad je charakteristika, kterou chceme odhadnout z výběrových dat jako číslo. Toto číslo se snažíme určit tak, aby splňovalo určité vlastnosti, které se využívají při testování hypotéz. Mezi základní požadavky patří nestrannost (nevychýlenost, nezkreslenost), konzistence, eficience (vydatnost) a rezistence (robustnost). Nestrannost znamená, že odhad systematicky nenadhodnocuje ani nepodhodnocuje. Význam konzistence spočívá v tom, že čím více zvětšujeme rozsah výběru, tím se více blížíme ke skutečné hodnotě odhadovaného parametru. Čím je počet hodnot výběrového souboru větší, tím je náš odhad skutečného parametru přesnější. Eficience znamená, že při opakovaných pokusech je rozptyl odhadů malý. Rezistence je požadavek na to, aby odlehlé hodnoty neměly velký vliv na hodnotu odhadu. ([10], ([16], [2]) Některé odhady lépe charakterizují soubor, některé méně. Např. u symetrických či normálně rozdělených dat je lepším odhadem průměr, u zešikmených dat je vhodnějším odhadem medián.

2.2 Intervalové odhady Vzhledem k tomu, že jedno číslo nemůže zcela přesně charakterizovat základní soubor na základě výběrového souboru, hledáme interval, ve kterém s určitou spolehlivostí leží neznámý parametr. Tomuto intervalu se říká interval spolehlivosti nebo konfidenční interval. Většinou se volí interval spolehlivosti 95 % či 99 %. Obecně říkáme, že máme 100(1-α)% (čti stokrát jedna mínus alfa procentní) interval spolehlivosti, kde α = 0,05 nebo α = 0,01. Interpretace intervalu spolehlivosti je jednoduchá. Za předpokladu, že bychom provedli 100 nezávislých stejných pokusů, což znamená 100 x opakovat nějaký stochastický pokus, tak 95 odhadnutých intervalů bude obsahovat skutečnou hodnotu odhadovaného neznámého parametru. Zbylých 5 odhadnutých intervalů skutečnou hodnotu obsahovat nebude. Šířku intervalu určuje velikost výběrového souboru, rozptyl (neboli variabilita) souboru a požadovaná spolehlivost. „Pro intervaly spolehlivosti platí, že a) čím je rozsah výběru n větší, tím je interval spolehlivosti užší b) čím je odhad přesnější a má menší rozptyl, tím je interval spolehlivosti užší

9

c) čím je vyšší statistická jistota (1-α), tím je interval spolehlivosti širší.“ ([19], str.139) Intervaly spolehlivosti se konstruují podle toho, jaký parametr odhadujeme. My se budeme zaměřovat pouze na interval spolehlivosti pro průměr, jehož výpočet zjistíme pomocí systému STATISTICA. Více informací o bodových a intervalových odhadech lze najít např. v [10] nebo [16].

10

3 Testování hypotéz 3.1 Výzkumný problém Výzkumný problém je téma, kterým se chceme zabývat, které chceme řešit. Před zvolením výzkumného problému je důležité prostudovat si literaturu a zjistit, jestli se někdo daný problémem zabýval, k jakým došel výsledkům, co už je z této oblasti známo a kde je prostor pro další bádání. Výzkumný problém je potřeba nevymezovat příliš široce. Široce zvolený problém je potřeba postupně zpřesňovat. Jak uvádí Chráska ([21]), formulace problému má být jednoznačná a pokud možno v tázací formě. Problémy musí být empiricky ověřitelné, pokud nejdou empiricky ověřit, nejedná se o vědecký výzkum. Výzkumný problém může být:


deskriptivní (popisný) – popisuje situaci, stav nebo výskyt nějakého jevu pomocí základních charakteristik. Hledá odpověď na otázku „Jaké to je?“, „Jaká je (byla) situace?“.




relační (vztahový) – determinuje vztah mezi jevy nebo činiteli. Ptá se po relaci mezi dvěmi (nebo více) jevy a hledá, co spolu souvisí.




kauzální (příčinný) – zjišťuje mezi jevy příčinné souvislosti. Zabývá se otázkou „Který jev ovlivňuje který?“.

Hned po vymezení výzkumného problému, je potřeba dobře nadefinovat hlavní pojmy a proměnné, což je základ úspěšného uchopení daného problému.

3.2 Proměnná Proměnná představuje prvek zkoumání, má nějakou variabilitu (může nabývat různých hodnot), může to tedy být jev, vlastnost, podmínka, činitel. Proměnné, které chci zkoumat, musím nejprve nadefinovat a musí splňovat podmínku, že jsou měřitelné. Pokud proměnná nelze změřit, nemůžu s ní pracovat. Proměnné můžeme rozlišovat na nezávisle a závisle proměnné. Nezávisle proměnná je ta, která je příčinnou změny druhé proměnné. Hodnoty závisle proměnné se naopak mění vlivem nezávisle proměnné. Např.: věk – nezávisle proměnná, výška - závisle proměnná negativní chování dítěte ve škole – závisle proměnná, může být způsobeno konfliktními vztahy s rodiči – nezávisle proměnná

11

Pokud si výzkumník zvolil kvantitativní výzkum a má již definován problém, jeho další kroky jsou vymezení proměnných výzkumu a stanovení výzkumných hypotéz. Je potřeba si naplánovat a rozvrhnout kvantitativní výzkum a držet se svého výzkumného plánu. „Jednotlivé výzkumy se mohou navzájem lišit co do posloupností jednotlivých realizovaných činností, ale základní schéma postupu bývá následující: a) stanovení problému, b) formulace hypotézy, c) testování (verifikace, ověřování) hypotézy, d) vyvozování závěrů a jejich prezentace.” ([12], str.3)

3.3 Hypotéza Hypotéza je tvrzení vyjádřené oznamovací větou, které vyjadřuje vztahy, rozdíly a následky mezi proměnnými. Zatímco výzkumný problém bývá často vyjadřován otázkou, u hypotézy je nezbytná formulace oznamovací větou. Protože se zabýváme vztahy mezi proměnnými, musí se dát proměnné změřit. Pokud neexistuje způsob, jak proměnnou změřit, musíme zvolit jiný typ výzkumu a jiné metody než kvantitativní výzkum. Dalším požadavkem na hypotézu je, že se musí dát testovat, to znamená, musí se dát převést do matematického zápisu, abychom mohli využít statistických testů a vyslovit se pro nebo proti zamítnutí hypotézy. Důležité také je hypotézu jasně a stručně formulovat. Složitě formulované hypotézy s řadou proměnných mohou zamotat hlavu nejen čtenáři, který se seznamuje se závěry výzkumu, ale také badateli, který nebude vědět, co a jak vlastně chtěl testovat.

Příklady hypotéz:


Agresivita u dětí předškolního věku se vyskytuje častěji u dětí vyrůstajících v neúplných rodinách.




Chlapci dosahují lepších výsledků ve fyzice než dívky.




Existuje rozdíl v oblíbenosti vodních sportů u dětí, které jako miminka navštěvovaly kurzy plavání a u dětí, které jako miminka kurzy nenavštěvovaly.




Studenti VŠ bydlící na kolejích utrácejí více peněz za své koníčky než studenti bydlící doma.




Dlouhodobě nezaměstnaní mají více zdravotních problémů než jejich vrstevníci, kteří pracují.

12




Děti vysokoškolsky vzdělaných rodičů navštěvují více zájmových kroužků než děti rodičů se základním vzděláním.




Děti bydlící na vesnici tráví méně času u počítače než děti ve městě.




Vícečlenná rodina zaplatí za jídlo měsíčně více než rodina bez dětí.




Průměrný počet dětí na jednoho pedagoga na katedře Sociální pedagogiky je 2 děti.

3.4 Typy hypotéz K potvrzení nebo vyvrácení hypotézy se ve vědě používá metoda falzifikace, kterou navrhl Karl. R. Popper. Její jádro tkví v tom, že „Vědec by ve výzkumu neměl usilovat o dokazování hypotéz, ale pouze o jejich falzifikaci, tj. hledání faktů, svědčících o jejich neplatnosti.“ ( [13], str. 17). Tedy snažíme se najít fakt, který naši hypotézu popírá, abychom mohli přijmout hypotézu opačnou. Musíme mít tedy možnost hypotézu ověřit a proto musíme pracovat s měřitelnými proměnnými, jak již bylo uvedeno. Pro statistické testy používáme vždy dvě hypotézy – nulovou a alternativní. ulová hypotéza je postavena na tom, že badatel nepředpokládá žádnou významnou vazbu, vztah nebo rozdíl mezi proměnnými. Předpokládáme, že mezi proměnnými není rozdíl. Chceme-li například porovnat dva úřady sociálně-právní ochrany dětí, jako nulovou hypotézu zvolíme tvrzení, že oba úřady jsou stejné, jinými slovy případný malý rozdíl mezi těmito úřady je způsoben pouze náhodou. (Musíme mít ovšem dobře nadefinované, co znamená, že jsou úřady stejné a jakými parametry tohle tvrzení budeme dokazovat.) Alternativní hypotéza naproti tomu říká opak nulové hypotézy. Říká, že nulová hypotéza neplatí. V případě úřadů sociálně-právní ochrany dětí bychom jako alternativní hypotézu položili tvrzení, že úřady se liší nebo jeden úřad je lepší (resp. horší) než druhý úřad, tedy, že je nalezený rozdíl mezi úřady natolik velký, že se nemůže jednat o náhodu. Nulovou hypotézu značíme H0, alternativní hypotéza bývá označována jako HA nebo H1. V souladu s metodou falzifikace v podstatě chceme po použití statistických testů nulovou hypotézu H0 zamítnout, abychom mohli přijmout alternativní hypotézu HA. V nulové hypotéze se vždy objevuje rovnost mezi proměnnými (tedy, že mezi proměnnými není rozdíl, není vazba). Popř. se dá nulová hypotéza formulovat jako menší nebo rovno, resp. větší nebo rovno, ale rovnost proměnných je tam vždy. 13

Podle toho, jak formulujeme alternativní hypotézu, rozdělujeme testy na oboustranné nebo jednostranné: Oboustranná hypotéza je taková, kde

nulová hypotéza H0 říká, že mezi

proměnnými není rozdíl (tj. je zde pouze rovnost proměnných) a alternativní hypotéza HA říká, že tam rozdíl je, ale neupřesňuje, jestli je jedna proměnná větší nebo menší než druhá. Jednostranná hypotéza má v nulové hypotéze H0 rovnost (popř. vztah menší (≤) resp. větší (≥)) a alternativní hypotéza HA říká, že jedna proměnná je větší resp. menší než druhá proměnná.

Příklady 1. Pokud zkoumám agresivitu dětí předškolního věku: H0 : Agresivita u dětí předškolního věku se vyskytuje stejně často u dětí vyrůstajících v neúplných rodinách jako v úplných rodinách. HA: Agresivita u dětí předškolního věku se vyskytuje častěji u dětí vyrůstajících v neúplných rodinách než v úplných rodinách. nebo

H0 : Agresivita u dětí předškolního věku se vyskytuje stejně či méně často u dětí vyrůstajících v neúplných rodinách jako v úplných rodinách. HA: Agresivita u dětí předškolního věku se vyskytuje častěji u dětí vyrůstajících v neúplných rodinách než v úplných rodinách.

Jde o jednostrannou hypotézu.

2. Chlapci dosahují lepších výsledků ve fyzice než dívky. H0 : Z testu z fyziky získali chlapci i dívky stejný počet bodů. HA : Z testu z fyziky získali chlapci vyšší počet bodů než dívky. nebo

H0 : Z testu z fyziky získali chlapci nižší nebo stejný počet bodů jako dívky. HA : Z testu z fyziky získali chlapci vyšší počet bodů než dívky.

Jde o jednostrannou hypotézu.

3. Existuje rozdíl v oblíbenosti vodních sportů u dětí, které jako miminka navštěvovaly kurzy plavání a u dětí, které jako miminka kurzy nenavštěvovaly. H0 : Děti, které jako miminka navštěvovaly kurzy plavaní, mají stejně oblíbené vodní sporty jako děti, které jako miminka kurzy plavaní nenavštěvovaly.

14

HA : Existuje rozdíl v oblíbenosti vodních sportů u dětí, které jako miminka navštěvovaly kurzy plavání a u dětí, které jako miminka kurzy nenavštěvovaly. (Tedy že jedny děti mají vodní sporty raději, ale už se nezabýváme tím, které mají vodní sporty raději.) Jde o oboustrannou hypotézu.

4. Studenti VŠ bydlící na kolejích utrácejí více peněz za své koníčky než studenti bydlící doma. H0 : Mezi výdaji studentů VŠ bydlících doma a na kolejích není rozdíl v útratě peněz za koníčky. (Tedy výdaje studentů na volný čas na kolejích a doma jsou stejné.) HA : Studenti VŠ bydlící na kolejích utrácejí více peněz za své koníčky než studenti bydlící doma. (Tedy výdaje studentů na kolejích jsou vyšší.) Opět je možná formulace hypotézy H0 s použitím vyjádření „stejně nebo méně peněž“. Jde o jednostrannou hypotézu.

5. Průměrný počet dětí na jednoho pedagoga na katedře Sociální pedagogiky je 2 děti. H0 : Průměrný počet dětí na jednoho pedagoga na katedře Sociální pedagogiky je 2 děti. HA : Průměrný počet dětí na jednoho pedagoga na katedře Sociální pedagogiky není 2 děti. Jde o oboustrannou hypotézu. nebo H0 : Průměrný počet dětí na jednoho pedagoga na katedře Sociální pedagogiky je 2 děti. (nebo lze formulovat: Průměrný počet dětí na jednoho pedagoga na katedře Sociální pedagogiky je rovno nebo více než 2 děti.) HA : Průměrný počet dětí na jednoho pedagoga na katedře Sociální pedagogiky je méně než 2 děti. Jde o jednostrannou hypotézu. nebo taky H0 : Průměrný počet dětí na jednoho pedagoga na katedře Sociální pedagogiky je 2 děti. HA : Průměrný počet dětí na jednoho pedagoga na katedře Sociální pedagogiky je více než 2 děti. Opět jde o jednostrannou hypotézu, záleží pouze na tom, co vlastně chci dokázat.

15

3.5 Hladina významnosti Když testujeme hypotézu, snažíme se o její potvrzení nebo vyvrácení na základě empirických dat, která jsme sesbírali. Nikdy nám nic nevyjde s přesností na 100 %, vždy je možnost, že se nám do našeho výzkumu dostali samí „abnormální“ jedinci. Tedy jedinci nějak zvláštní, kteří vybočují od většiny a nereprezentují dobře základní soubor, o což se snažíme. Např. při měření výšky lidí v ČR bychom změřili náhodou jen samé vysoké basketbalisty, takže bychom dostali vysoký průměr výšky a vyvodili z to závěr, že lidé v ČR měří 2 metry, což by neodpovídalo realitě. Proto volíme hladinu významnosti (neboli signifikanci), což je vlastně pravděpodobnost (riziko), že neoprávněně odmítneme nulovou hypotézu H0 (a tudíž nesprávně přijmeme alternativní hypotézu HA). Jde o to, jakou chybu si dovolíme udělat, kdybychom neoprávněně odmítli nulovou hypotézu H0. Hladina významnosti se značí α (čti alfa) a volí se většinou jako 5 % nebo 1 %, tedy α = 0,05 nebo α = 0,01. „Pokud zvolíme hladinu významnosti 0,05 (jinak zapsáno 5 %), pak v 5 případech ze sta statistickým testem zamítáme hypotézu H0, která je platná a zamítnuta být neměla. Máme tedy 95% pravděpodobnost, že jsme učinili správné rozhodnutí.“ ([22], str. 54-55) Hladina významnosti se volí vždy před započetím analýzy a s touto hladinou se nehýbe a neposunujeme ji podle toho, jak nám vycházejí výsledky. Hladině významnosti se také říká chyba 1. druhu. „*a chybu 1. druhu se můžeme dívat jako na riziko, se kterým se odmítáme H0, jestliže platí. Čím menší volíme α, tím menší riziko pro odmítnutí H0 povolujeme.“ ([10], str. 317) Pokud ve skutečnosti nulová hypotéza H0 platí a na základě statistického testu nezamítneme nulovou hypotézu H0, učiníme správné rozhodnutí. Stejně tak pokud ve skutečnosti nulová hypotéza H0 neplatí a na základě statistického testu zamítneme nulovou hypotézu H0, učiníme také správné rozhodnutí. Pokud však ve skutečnosti nulová hypotéza neplatí H0 a na základě statistického testu nezamítneme tuto nulovou hypotézu H0, dopustíme se chyby 2. druhu. Chyba 2. druhu je tedy pravděpodobnost, že H0 nezamítneme, i když ve skutečnosti neplatí. Číslo 1- β se nazývá síla testu a vyjadřuje pravděpodobnost, s jakou test vypoví, že H0 neplatí – za podmínky, že tomu tak skutečně je. Situace je pro lepší přehlednost popsaná v následující tabulce.

16

Závěr testu

Skutečnost H0 platí H0 neplatí

H0 platí

H0 neplatí

správné rozhodnutí

α = chyba 1. druhu

β = chyba 2. druhu

správné rozhodnutí = 1- β

Obr. 8: Vztah mezi skutečností a závěrem testu v testování hypotéz.

3.6 Testování hypotéz Hypotézy testujeme pomocí statistických testů. Podle typu dat musíme vybrat vhodný test, o čemž budou pojednávat následující kapitoly. Z dat se vypočítá testová statistika, což je číslo, které nám poslouží k vyvození závěrů ohledně hypotézy. Buď můžeme určit kritický obor, se kterým porovnáme testovou statistiku a na základě kterého rozhodneme o zamítnutí či nezamítnutí nulové hypotézy nebo testovou statistiku převedeme do její pravděpodobnostní podoby, tzv. p-hodnoty, jejíž výpočet je implementován v systému STATISTICA. „Standardním výstupem statistických programů je i p-hodnota, takže nemusíme v tabulce hledat příslušnou kritickou hodnotu daného rozložení vymezující kritický obor pro zamítnutí nulové hypotézy.“ ([25], str. 15) Tedy v testu nám vyjde tzv. p-hodnota, což je

pozorovaná hladina významnosti

spočítaná na základě testové statistiky. Je to vlastně pravděpodobnost, při jaké bychom neoprávněně zamítli nulovou hypotézu H0, i když platí. Velká p-hodnota neposkytuje dostatečný důvod k zamítnutí nulové hypotézy H0. Malá p-hodnota (pokud je menší než dříve zvolená hladina významnosti α) poskytuje důvod k zamítnutí nulové hypotézy H0. Tedy pokud p < α, říkáme, že test vyšel statisticky významně neboli signifikantně a nulovou hypotézu H0 zamítáme. Takže když to ještě jednou shrneme, test vyjde statisticky významně (signifikantně, p-hodnota < 0,05, popř. 0,01), zamítáme nulovou hypotézu H0 a přijímáme alternativní hypotézu HA na hladině významnosti 0,05, popř. 0,01. Test nám potvrdil, že rozdíl mezi proměnnými není způsobem náhodou. Uděláme závěr, že alternativní hypotéza HA je správná. Pokud test nevyjde statisticky významně, nezamítáme (tj. nemůžeme zamítnout) nulovou hypotézu H0, nikdy neříkáme, že přijímáme nulovou hypotézu H0! Jen se nám nepodařilo dokázat, že nulová hypotéza H0 neplatí. Rozdíl mezi proměnnými je způsoben náhodou. Uděláme závěr, že data nám neposkytla dostatek podkladů k podpoře alternativní hypotézy HA. „*ezamítneme-li H0, neznamená to její přijetí.

17

Znamená to pouze, že výsledek testu neukázal tak velkou neshodu mezi zjištěnou skutečností a testovanou hypotézou, která by dala dostatečný důvod k zamítnutí hypotézy. *ezamítnout H0 tedy znamená v další práci předpokládat, že buď platí H0 nebo jiná hypotéza, která se však od H0 příliš neliší.“ ([19], str. 182) Chráska nebo někteří další autoři sice ve svých závěrech uvádějí, že nulovou hypotézu H0 přijímají ([12], str. 14, 49), ale korektnější je formulace o nezamítnutí nulové hypotézu H0.

3.7 Vyvozování závěrů Při zhodnocení statistické signifikance a interpretace výsledků se musíme podívat na to, co nám vyšlo a výsledky kriticky prohlédnout. Může se stát, že nám díky velkému rozsahu výběru vyjde statisticky významný výsledek, avšak v datech je rozdíl tak malý, že z praktického hlediska nemá smysl. Čím větší máme rozsah výběru, tím menší rozdíl mezi proměnnými dokážeme prokázat. ([8])

18

4 Modelová rozdělení a normalita dat „Často se nám podaří vystihnout stručným způsobem základní konfiguraci dat pomocí pravděpodobnostního modelu.“ ([2], str. 86) Ve statistice je vytvořeno několik modelů, jejichž charakteristiky jsou známé a pomocí nichž se dají jevy poměrně lehce popsat. Pokud se nám podaří najít vhodné modelové rozdělení (používá se také termín modelové rozložení, který značí totéž), ulehčí nám to práci, neboť vlastnosti modelů jsou popsány ve statistických učebnicích, pro zájemce o hlubší porozumění modelovým rozložením doporučuji např. [2], [14] nebo [20]. Modelová rozložení využíváme např. ve statistických testech.

4.1 Normální rozdělení ormální rozdělení je asi nejpoužívanější rozdělení pro modelování náhodného chování v empirických výzkumech. Ve výzkumech se často setkáváme se situací, kdy měřenou proměnnou ovlivňuje současně větší počet poměrně slabých náhodných vlivů. Toto působení se projevuje tím, že značná část výsledků se soustřeďuje kolem střední hodnoty a na obě strany se výsledky vyskytují stále méně často. Normální rozdělení reprezentuje tzv. Gaussova křivka zvonovitého tvaru. Nejvíce lidí je průměrných, úplně podprůměrných je málo, stejně jako velmi nadprůměrných. Normální rozdělení je symetrické, průměr je roven mediánu i modu a jeho šikmost je nulová. „*ormální rozdělení je závislé pouze na dvou číslech, na dvou parametrech: na průměru µ a směrodatné odchylce σ.“

([1], str. 79) Normální rozdělení se označuje N(µ, σ2).

Normální rozložení má tu vlastnost, že: „interval µ ± σ obsahuje 63,3 % populace interval µ ± 2σ obsahuje 95,5 % populace interval µ ± 3σ obsahuje 99,7 % populace.“ ([2], str.140) Normálním rozdělením se řídí spousta jevů, např. inteligence, tělesná výška či prospěch.

19

-4

-3 -2 -1 -3σ -2σ -σ

00

1 σ

2 2σ

3 3σ

4

63,3 % 95,5 % 99,7 %

µ Obr. 9: *ormální rozložení.

4.2 Alternativní a binomické rozdělení Alternativní rozdělení je takové rozdělení, kdy proměnná nabývá pouze dvou hodnot, buď nějaký jev nastane nebo nenastane např. úspěch / neúspěch, zúčastnil se / nezúčastnil se, muž / žena. Pravděpodobnost výskytu těchto hodnot nemusí být stejná. Pokud sečteme více alternativních rozdělení, tedy provedeme více pozorování nebo pokusů alternativního jevu, dostáváme rozdělení binomické, kde s nějakou pravděpodobností p nastane jedna možnost a s pravděpodobností 1-p nastane možnost druhá. Tyto pozorování však na sobě nesmí být závislé a všechny mají stejnou pravděpodobnost p, že jev nastane. Např. s pravděpodobností 80 % uděláme státnice, s pravděpodobností 20 % (tj. 1 - 0,8 = 0,2, což je 20 %) státnice neuděláme.

4.3 Poissonovo rozdělení Poissonovo rozdělení je rozdělení, které se týká málo pravděpodobných jevů. Vyjadřuje počet výskytu sledovaného jevu v určitém časovém intervalu, jestliže

20

k výskytu sledovaného jevu dochází náhodně, jednotlivě a vzájemně nezávisle. ([14]) Např. počet výskytu záškoláctví za týden, počet úrazů ve škole za měsíc.

4.4 Jiná rozdělení Existují teoretická rozdělení, která se používají v matematické statistice, zejména v teorii odhadu a při testování hypotéz, jejichž popis by byl matematicky náročný. Proto si vystačíme s povrchním popisem. Jinak dle zákona velkých čísel všechny rozložení se pro velmi velká n přibližují k normálnímu rozložení, takže normální rozložení je nejpodstatnější modelové rozložení. Pearsonovo rozdělení χ2 (čti chí kvadrát), jehož hodnoty se používají např. v testu dobré shody. Je určeno jedním parametrem, jemuž se říká stupeň volnosti a nejčastěji vyjadřuje počet nezávislých pozorování zmenšený o počet lineárních podmínek kladených na pozorování. ([14]) K označení používáme χ2 (ν), kde ν značí stupeň volnosti. Studentovo t-rozdělení se využívá při t-testu (párovém nebo nepárovém), je velmi podobné normálnímu, tedy je symetrické a využívá se při malém n. Pro velká n (přibližně > 30) přechází v normální rozložení. Studentovo rozdělení je určeno také stupněm volnosti, který nabývá hodnoty n-1, kde n je rozsah souboru, píšeme t (ν). Fisher-Snedecorovo rozdělení se používá při porovnávání rozptylů. Je určeno dvěmi stupni volnosti, které se odvodí od rozsahů souborů, tedy se značí F (ν1, ν2).

4.5 Normalita dat Protože má normální rozdělení dobré vlastnosti, díky nimž můžeme o zkoumaném souboru vyvozovat závěry, snažíme se u zkoumaných jevů ověřit, zda nepocházejí z tohoto rozložení. Pokud bychom použili statistický test předpokládající normalitu dat na data, která mají jiné rozložení, došli bychom ke zkresleným výsledkům. Normalitu můžeme testovat různými způsoby. Nejčastěji se používá Shapiro-Wilksův test, Kolmogorov-Smirnovův test (či spíše jeho Lilieforsova modifikace) a posouzení normality dat pomocí normál – pravděpodobnostního grafu, tzv. Normal – probability plot (N-P plot). Mezi dále používané testy patří např. test dobré shody. Shapiro-Wilksův test je neparametrický test použitelný i pro malé rozsahy s dobrou sílou testu. Pokud máme tedy malé n (n < 50), použijeme tento test. U větších rozsahů si můžeme test zvolit. Při porovnání testů normality vidíme, že pro velká n

21

vycházejí velmi podobně. V případě malého rozsahu výběru (malého n), při různých závěrech testů, se budeme řídit raději Shapiro-Wilksovým testem. Kolmogorov-Smirnovův test dokáže dobře najít odlehlé hodnoty, ale počítá spíše se symetrií dat než přímo s normalitou. Měl by být počítán pouze v případě, že známe teoretickou směrodatnou odchylku. V praxi tuto hodnotu většinou neznáme, proto používáme jeho modifikaci – Lilieforsův test. ormál – pravděpodobnostní graf (-P plot) zobrazuje odchylky hodnot od pravděpodobnostní přímky. Zkušený badatel pozná, kdy data vypadají, že pocházejí z normálního rozložení a může použít pouze vizuální metody. Použití popsaných metod si ukážeme v systému STATISTICA. Nástroje k testování normality se nachází v tomto programu a více místech. Ukažme si řešení na následujícím příkladu

Příklad 6 Byl uskutečněn výzkum aktivního trávení volného času mezi lidmi pracujícími v kanceláři. Celkem bylo osloveno 60 respondentů, aby po dobu jednoho týdne zaznamenávali dobu svého volného času stráveného sportem (v minutách). Po týdnu byla data sesbírána: 53, 6, 10, 20, 99, 40, 18, 5, 48, 45, 77, 72, 90, 113, 50, 134, 50, 52, 67, 84, 90, 62, 15, 16, 25, 21, 100, 57, 60, 85, 30, 40, 50, 79, 100, 77, 0, 15, 35, 65, 89, 42, 95, 37, 60, 90, 79, 69, 43, 100, 85, 78, 35, 47, 30, 60, 45, 115, 95, 75. Z menu vybereme Statistiky - Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky, zvolíme proměnnou a vybereme záložku Normalita. Zde zatrhneme K-S & Lilieforsův test normality a Shapiro-Wilksův test.

22

Obr. 10: Testování normality v systému STATISTICA.

Po vykreslení histogramu vidíme křivku normálního rozložení, jak moc se překrývá s histogramem. Výsledky testu máme nad grafem.Hodnota testového kriteria ShapiroWilksova testu je 0,98182 a tomuto číslu přísluší p-hodnota asi 0,51026, tedy nezamítáme předpoklad, že data jsou z normálního rozložení. Stejný výsledek nám ukázal i Lilieforsův test. Zkusíme se ještě na normalitu podívat pomocí N-P plotu. opět máme několit možností, jak N-P plot zobrazit. Např. vybereme záložku Pravd. & bod. grafy, kde klikneme na Normální pravděpod. graf, jak je zvýrazněno na obr. 11.

23

Obr. 11: *-P plot v systému STATISTICA.

Další možností pro vykreslení N-P plotu je cesta Grafy – 2D grafy – *ormální pravděpodobnostní grafy. „V případě, že soubor vykazuje normální rozdělení se modré body přibližují k zobrazené přímce resp. v ideálním případě na ní leží. Značné odchylky bodů od přímky ukazují na soubor, který nevykazuje normalitu.“ ([25], str. 17)

24

Normál. p-graf:Prom1 3

Oček. normál. hodnota

2

1

0

-1

-2

-3 -20

0

20

40

60

80

Hodnota

Obr. 12: Výsledek *-P plotu v systému STATISTICA.

25

100

120

140

5 Statistické testy Statistické testy se dělí podle způsobu výpočtu do dvou významných skupin: na testy parametrické a neparametrické. Podle počtu výběrů, které porovnáváme můžeme testy rozdělit na jednovýběrové, dvouvýběrové (párové nebo nepárové) a více výběrové.

5.1 Parametrické testy Tyto testy vyžadují splnění některých podmínek, např. aby rozdělení proměnné bylo určitého typu, nejčastěji normálního. Při stejném rozsahu a dodržení předpokladů mají vyšší sílu testu než testy neparametrické. Tedy odhalí i rozdíly, které neparametrický test nenajde. Pokud nejsou dodrženy požadované předpoklady, síla parametrických testů velmi klesá a můžeme obdržet chybný nebo nesmyslný výsledek.

5.2 Neparametrické testy Nemají většinou předpoklady o rozložení proměnných, takže je lze použít, i když

jsou

data

asymetrická,

zešikmená

nebo

obsahují

odlehlé

hodnoty.

Neparametrické testy nepracují většinou s původními hodnotami, ale seřadí si hodnoty podle velikosti a dále pracují pouze s pořadími hodnot v takto setříděném souboru. Tím, že zredukují informaci o kolik se jednotlivé hodnoty od sebe navzájem liší, snižuje se i jejich síla testu, takže nemusí odhalit rozdíl mezi dvěma proměnnými. Pokud je to tedy možné, je vhodnější používat parametrické testy. Bohužel však reálná data často nesplňují předpoklad normality, proto je třeba použít buď neparametrický test nebo na data aplikovat vhodnou transformaci, díky níž obdržíme normálně rozdělená data. Tento přístup vyžaduje hlubší pojednání, než je záměrem této bakalářské práce.

5.3 Jednovýběrový test Jednovýběrový test je takový, který srovnává jeden vzorek (jeden výběrový soubor) s nějakou hodnotou. Tato hodnota se nazývá referenční. Může to být např. obecně známý parametr základního souboru nebo výsledek dříve uskutečněného pokusu (pozorování). V testu tedy srovnáváme rozložení hodnot výběrového souboru s jediným číslem. Tímto způsobem můžeme testovat různé popisné charakteristiky, nejčastěji se však s referenční hodnotou porovnává průměr. Můžeme například testovat, zda je průměrná výška desetiletých dětí 140 cm nebo jestli je průměrný počet odchodů od partnera v případě domácího násilí 3.

26

5.4 Dvouvýběrový test Ve dvouvýběrovém testu srovnáváme proti sobě dva výběrové soubory, tedy proti sobě stavíme dvě rozložení hodnot a ptáme se, jestli jsou oba výběry stejné nebo nikoliv. Stejně jako v jednovýběrovém případě se můžeme ptát na různé popisné charakteristiky, ale nejčastěji se požívá testování shodnosti průměru nebo rozptylu (tzv. homoskedasticita). Pokud porovnáváme proti sobě dva soubory, je potřeba rozlišit, jestli se jedná o nepárová data nebo o párová data. epárová data představují dvě skupiny dat, které jsou na sobě zcela nezávislé. Např. žáci z jedné školy a žáci z druhé školy, výsledky preventivního programu na snížení neomluvených hodin u dětí ve městě a na vesnici. V případě nepárových dat mohou mít výběry různou velikost. U párových dat existuje mezi zkoumanými subjekty nějaká vazba. Např. projevy úzkosti klienta zkoumané před a po krizové intervenci. Hodnoty jsou naměřené u jednoho subjektu a pokud bychom k datům přistupovali nepárově, ztratili bychom informace. Velikost obou vzorků je stejná. Hodnoty nemusí být nutně naměřeny u stejného subjektu, na začátku experimentu mohu vybrat do páru vždy jedince, kteří jsou si ve sledovaných parametrech podobní, u každého aplikovat např. jinou metodu učení a pak porovnat, jestli byla jedna metoda úspěšnější. Je zde ovšem požadavek, aby si byli jedinci přiřazení do páru co nejvíce podobní. Párové testy v podstatě nepracují s původními daty, ale s diferencemi (s rozdíly), které mezi dvojicí pozorování jsou.

5.5 Vícevýběrový test Ve více výběrovém testu dochází k porovnávání více výběrových souborů zároveň. Výběry mohou být opět závislé i nezávislé. Mezi závislé patří např. opakované měření na jednom subjektu. „U pedagogických jevů má opakované měření smysl jen tehdy, pokud zapamatování prvního měření nemá vliv na měření druhé.“ ([12], str. 56) Mezi nezávislé řadíme porovnání více skupin, např. srovnáváme výši platu podle nejvyššího dosaženého vzdělání. O těchto testech tato práce nepojednává.

27

6 t test Pomocí tohoto testu ověřujeme, zda se průměr výběrového souboru rovná nějaké hodnotě (v případě jednovýběrového souboru) nebo zda se průměry dvou souborů (ať už párově nebo nepárově uspořádaných) rovnají. Pokud bychom chtěli srovnávat průměry více souborů, musíme použít analýzu rozptylu, tzv. ANOVU. t test patří mezi parametrické statistické testy a proto se k němu váže podmínka o normalitě dat. Pokud není splněn předpoklad normality dat, je nutné použít neparametrické testy. Nebudu zde uvádět matematické vzorce, které se dají najít např. v [20], [5] nebo [16]. Způsob využití tohoto testu ukáži prostřednictvím softwaru STATISTICA.

6.1 Testování proti referenční hodnotě Jedná se jednovýběrový test. Používá se pokud máme nulovou hypotézu H0 položenou ve tvaru: Průměr proměnné se rovná konstantě. Např. Průměrný počet dětí na jednoho pedagoga na katedře Sociální pedagogiky je 2 děti. Průměrná měsíční mzda v ČR je 16 tis. Kč. Jak již bylo dříve řečeno, může to být např. obecně známý parametr základního souboru nebo výsledek dříve uskutečněného pokusu (pozorování).

Příklad 7 Byly zjištěny následující počty dětí svěřených do pěstounské péče maminkám v SOS dětských vesničkách: 4, 3, 2, 5, 3, 1, 4, 5, 2, 4, 3, 1, 6, 5, 4, 7, 2, 8, 4, 6. Na hladině významnosti α = 0,05 testujme hypotézu, že průměrně má každá maminka z SOS vesničky v pěstounské péči 3 děti. Vytvoříme si nulovou hypotézu H0: Každá maminka z SOS dětské vesničky v pěstounské péči 3 děti. A proti ní postavíme alternativní hypotézu HA: Není pravda, že každá maminka z SOS dětské vesničky v pěstounské péči 3 děti. Data načteme do systému STATISTICA v podobě jednoho sloupce. Nejprve musíme ověřit normalitu dat, abychom mohli vůbec tento test použít. Ještě jednou si připomeňme postup: Statistiky-Základní statistiky a tabulky – Popisné statistiky, zvolíme proměnnou a vybereme záložku Normalita. Zde zatrhneme K-S & Lilieforsův test normality a Shapiro-Wilksův test. Vidíme, že Lilieforsův test vyšel p > 0,20 a Shapiro-Wilksův test má p < 0,59873. Protože p-hodnota je větší než hladina významnosti α = 0,05, můžeme vyslovit závěr, že předpoklad normality je splněn. Po

28

vykreslení N-P plotu (obr. 13), vidíme, že data jsou normální. Nic nám nebrání použití jednovýběrového t testu. Normál. p-graf:počet dětí 2,0

1,5

Oček. normál. hodnota

1,0

0,5

0,0

-0,5

-1,0

-1,5

-2,0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Hodnota

Obr. 13: *-P plot k příkladu 7.

Pro lepší představu o datech si však ještě vypíšeme popisné charakteristiky („Statistiky – Základní statistiky / tabulky – Popisné statistiky“, vybereme proměnnou a na záložce „Detailní výsledky“ zvolíme vše, co chceme spočítat)

Obr. 14: Popisná statistika k příkladu 7.

Vidíme, že máme k dispozici údaje od 20 matek pěstounek (n = 20), počet dětí na jednu matku se pohybu v rozmezí 1 dítě až 8 dětí, průměrný počet dětí na jednu matku (stejně jako medián) jsou 4 děti. 95% interval spolehlivosti je 3,06 - 4,84, tedy průměr se s devadesátipětiprocentní pravděpodobností nachází v tomto intervalu.

Pro použití t testu z menu vybereme Statistiky – Základní statistiky / tabulky – t-test, samost. vzorek.

29

Obr. 15: t test v systému STATISTICA.

Zvolíme proměnnou a nastavíme referenční hodnotu na číslo 3.

Obr. 16: t-test pro jednovýběrový vzorek v systému STATISTICA.

Obr. 17: Výsledky t-testu pro příklad 7.

30

Z výsledků testu vyčteme, že průměr je 4 děti na jednu matku, směrodatná odchylka je 1,9. Počet subjektů je 20, testovali jsme soubor proti referenční hodnotě 3, testová statistika t nám vyšla 2,2302 s 19 stupni volnosti, tento údaj by nás však zajímal pokud bychom konstruovali obor kritických hodnot ručně, my se budeme řídit p-hodnotou, kterou nám systém STATISTICA spočítal. Pracujeme na hladině významnosti α = 0,05, pozorovaná hladina četnosti p = 0,038, čili p < α, to znamená, že zamítáme na 5% hladině významnosti nulovou hypotézu H0, že každá maminka z SOS dětské vesničky v pěstounské péči 3 děti. A přijímáme alternativní hypotézu HA: Není pravda, že každá maminka z SOS dětské vesničky v pěstounské péči 3 děti. Tento výsledek se dal čekat, protože na jednu maminku vychází dle popisné statistiky průměrně 4 děti. Pokud bychom položili nulovou hypotézu H0 : Každá maminka z SOS vesničky v pěstounské péči 4 děti. A proti ní alternativní hypotézu HA: Není pravda, že každá maminka z SOS vesničky v pěstounské péči 4 děti. Dospěli bychom k p-hodnotě p = 0,91, tedy p > α a k závěru, že nemůžeme zamítnout H0 : Každá maminka z SOS vesničky v pěstounské péči 4 děti.

6.2 Párový t test Jak již bylo dříve řečeno, párová data jsou spolu nějakým způsobem svázána, že tvoří uspořádané dvojice. Z toho vyplývá, že oba soubory mají stejný rozsah. Testuje se vlastně diference mezi těmito dvěma soubory. Můžeme tedy buď spočítat rozdíl vždy mezi dvěma hodnotami v páru, čímž získáme jeden soubor diferencí a tento soubor testovat jednovýběrovým t testem proti referenční hodnotě rovné nule (to znamená, že nenastal rozdíl a oba soubory zůstaly stejné). Nebo použít párový t test. Vzhledem k tomu, že se jedná o parametrický test, je potřeba otestovat normalitu dat, abychom mohli test použít.

Příklad 8 V jedné třídě byli na začátku školního roku změřeny výšky dětí a na konci školního roku proběhlo měření opět. Hodnoty byly následující:

31

Výška na začátku roku (v cm) 140 135 144 133 140 138 143 138 145 137 135 131 136 145 141 140 138 140

Výška na konci roku (v cm) 146 145 144 142 141 145 153 141 145 143 143 139 139 149 143 145 149 153

Rozdíl ve výšce za rok 6 10 0 9 1 7 10 3 0 6 8 8 3 4 2 5 11 13

Na 5% hladině významnosti testujme hypotézu, že děti za rok vyrostly. Položme si nulovou hypotézu H0: Děti za rok vůbec nevyrostly, čili výška dítěte na začátku a konci školního roku je stejná. A proti ní postavíme alternativní hypotézu HA: Není pravda, že výška dítěte na začátku a konci školního roku je stejná. Čili došlo ke změně výšky. Nejprve otestujeme normalitu obou výběrů a vypíšeme si popisné charakteristiky. U obou měření nám vyjde, že data mají normální rozdělení (vzhledem k malému n použijeme Shapiro-Wilksův test, p < 0,74188 pro 1. měření, p < 0,13314 pro druhé měření).

Obr. 18: Popisná statistika k příkladu 8.

Vidíme, že průměrně děti vzrostly za rok o 6 cm, tedy by se dalo předpokládat, že by se mohl prokázat statisticky významný rozdíl. Pro použití t testu z menu vybereme Statistiky – Základní statistiky / tabulky – t-test, závislé vzorky. Vybereme proměnné (do prvního seznamu vložíme výšku na začátku roku, do druhého seznamu vložíme sloupec s výškou na konci školního roku).

32

Obr. 19: t-test párová data v systému STATISTICA.

Obr. 20: Výsledky t-testu pro příklad 8.

Výsledek testu nám zobrazí průměr, určí rozdíl mezi průměry (ten je téměř 6 cm), je zde vypočtena testová statistika t se 17 stupni volnosti, a hlavně nás zajímá p-hodnota. Pracujeme na hladině významnosti α = 0,05, pozorovaná hladina četnosti p < 0,001, čili p < α, to znamená, že zamítáme na 5% hladině významnosti nulovou hypotézu H0, že děti za rok vůbec nevyrostly. A přijímáme alternativní hypotézu HA: Není pravda, že děti za rok vůbec nevyrostly, tedy děti za rok vyrostly.

6.3 Dvouvýběrový t test „Pomocí studentova t-testu můžeme rozhodnout, zda dva soubory dat, získané měřením na dvou různých souborech objektů (např. žáků), mají stejný aritmetický průměr.“ ([12], str. 46) K tomu testu potřebujeme dva normálně rozdělené nezávislé výběry, které mohou, ale nemusí mít stejný rozsah. Navíc oproti párovému srovnání se ještě budeme muset zabývat rozptyly těchto dvou souborů a podle toho, jaké budou, rozhodneme se pro použití testu.

33

Nejprve tedy musíme vědět, že jsou soubory nezávislé a nejsou uspořádány párově, pak u obou souborů je zapotřebí ověřit předpoklad, že pocházejí z normálního rozložení (drobné odchylky od normality nevadí, test je vůči nim odolný) a navíc musíme otestovat, zda oba soubory mají shodný (homogenní) rozptyl.

Test homogenity rozptylů Hypotézu o shodnosti rozptylu testujeme pomocí Levenova nebo BrownForsythova testu, které využívají Fisher-Snedecorova rozložení. V případě, že soubory mají stejný rozptyl, říkáme, že jsou homoskedastické, v případě souborů s různým rozptylem mluvíme o heteroskedaticitě.

Příklad 9 ([20], str. 101) V rámci statistického zjišťování bylo prováděno šetření, zda existuje rozdíl mezi výdaji domácností za tzv. bílou techniku v závislosti na počtu dětí. Srovnání bylo provedeno pro dva vzorky domácností – domácnosti se dvěma dětmi a čtyřmi dětmi. Výsledky jsou uvedeny v následující tabulce (v tis. Kč. za rok) Dvě děti 41,2 40,6 39,4 41,5 36,3 37,4 38,7 43,1 39,9 35,7 38,3 35,8

Čtyři děti 39,2 43,8 38,9 44,3 41,2 44,1

Rozhodněte na základě těchto výsledků, zda lze hovořit o rozdílech v objemu prostředků vynaložených na bílou techniku mezi uvedenými dvěma typy domácností. Jako nulovou hypotézu H0 zvolíme: Není rozdíl mezi výdaji za bílou techniku v domácnostech se dvěma a čtyřmi dětmi. A proti ní postavíme alternativní hypotézu HA: Existuje rozdíl mezi výdaji za bílou techniku v domácnostech se dvěma a čtyřmi dětmi. V systému STATISTICA máme dvě možnosti, jak

dvouvýběrový test nezávislých

vzorků provádět. Nejprve si načteme data tak, jak znázorňuje tabulka v zadání tohoto

34

příkladu. Vidíme, že jsou soubory navzájem nezávislé (nikdo nemůže mít zároveň 2 děti a čtyři děti). Spočítáme si popisné charakteristiky a otestujeme normalitu.

Obr. 21: Popisná statistika k příkladu 9.

U obou měření nám vyjde, že data mají normální rozdělení (vzhledem k malému n použijeme Shapiro-Wilksův test, p < 0,77393 pro domácnost se dvěma dětmi, p < 0,11131 pro domácnost se čtyřmi dětmi). Průměrné výdaje za bílou techniku u rodiny se dvěma dětmi je 39 tis. Kč za rok, u rodiny se čtyřmi dětmi vychází průměr 42 tis. Kč za rok. Přejdeme tedy k t testu. Z menu vybereme Statistiky – Základní statistiky / tabulky – t-test, nezávislé, teď vidíme, že máme na výběr ze dvou testů nezávislých vzorků. Podíváme se na ikonku, která je před názvem a protože máme data ve dvou sloupcích vybereme variantu viz obr. 22.

Obr. 22: Výběr t testu pro dva nezávislé vzorky v systému STATISTICA.

Vybereme proměnné stejně jako u párového testování a na záložce Možnosti, zaškrtneme Levenův test a Brown-Forsythův test, které testují homogenitu rozptylu. Po

35

spuštění testu a následné transpozici výsledků (otočení řádků a sloupců pro lepší čtení) dostáváme následující výsledky:

Výsledek t testu p = 0,028

Výsledek Levenova testu p = 0,738 Výsledek BrownForsythova testu p = 0,750

Výsledky testů o homogenitě rozptylů

Obr. 23: Výsledky t-testu v příkladu 9.

Prvních 9 řádků tvoří výsledek t testu, ostatní řádky se vážou k homogenitě rozptylu. I kdybychom si neuvědomili, že je potřeba zaškrtnout, že chceme testovat homogenitu rozptylů, t test nám sám vypočítá poměr rozptylů a k nim příslušnou hodnotu (10. a 11. řádek v tabulce). Z výsledků Levenova a Brown-Forsythova testu vidíme, že mezi rozptyly není rozdíl (p-hodnoty jsou vyšší než 0,05), tedy bez obav můžeme použít t test pro nezávislé vzorky. P-hodnota t testu se rovná 0,028, což je menší než hladina významnosti α. Tedy zamítáme nulovou hypotézu H0 a přijímáme alternativní hypotézu HA. Druhá možnost, jak si data v tomto příkladu uspořádat, je vložit do jednoho sloupce hodnoty výdajů a do druhého sloupce označení, zda se jedná o rodinu se dvěma či čtyřmi dětmi.

36

Obr. 24: Tabulka k příkladu 9.

Popisné charakteristiky a otestování normality musíme udělat pro každou kategorii proměnné domácnost zvlášť, tedy použijeme buď filtr Select cases nebo Analýzu skupin (používání těchto nástrojů bylo popsáno v mojí bakalářské práci Základy popisné statistiky v pedagogickém výzkumu). Výsledky nám pochopitelně vyjdou stejné jako před chvílí. Přejdeme tedy k t testu. Z menu vybereme Statistiky – Základní statistiky / tabulky – t-test, nezávislé. Podle ikonky, která je před názvem vybereme variantu viz obr. 25.

37

Obr. 25: Výběr t-testu pro dva nezávislé vzorky v systému STATISTICA.

Jako závisle proměnnou vyberu „Výdaje“ jako grupovací proměnnou vyberu „Domácnost“. Na záložce Možnosti vyberu oba testy homogenity a obdržím úplně shodné výsledky.

Obr. 26:Možnosti t-testu pro dva nezávislé vzorky v systému STATISTICA.

38

V příkladu byl ukázán výpočet pro dva nezávislé, normálně rozložené výběry se stejným rozptylem. V následujícím příkladu si ukážeme, jak porovnat dva nezávislé, normálně rozložené výběry s rozdílným rozptylem.

Příklad 10 Proběhlo šetření, ve kterém byl zjišťován věk při narození prvního dítěte. Údaje byly zjišťovány vzhledem k pohlaví. Ženy (věk v letech): 19, 31, 20, 29, 20, 23, 30, 34, 30, 29, 25, 22, 18, 30, 17 Muži (věk v letech): 32, 26, 29, 31, 29, 28, 31, 26, 30, 31, 30, 26 Existuje rozdíl mezi věkem při narození prvního dítěte u žen a u mužů? Test provedeme na hladině významnosti α = 0,01. Nulovou hypotézu H0 vybereme následovně: Není rozdíl mezi věkem při narození prvního dítěte mezi muži a ženami. Proti ní postavíme alternativní hypotézu HA: Existuje rozdíl mezi věkem při narození prvního dítěte mezi muži a ženami. Postupujeme stejně jako v předešlém příkladu. Musíme ověřit normalitu (ShapiroWilksův test p < 0,13282 pro ženy, p < 0,10714 pro muže, tedy předpoklad normality splněn) a homogenitu rozptylů. Podle výsledků však vidíme, že Levenův i BrownForsythův test dávají p < 0,001. Tedy se jedná o heteroskedastické soubory a nemůžeme použít klasický t test. Pro tuto situaci existuje tzv. Welchův test, který nepožaduje homoskedasticitu. V systému STATISTICA je implementovaný a spustíme ho, když na záložce Možnosti zatrhneme t-test se samostatnými odhady rozptylů.

Obr. 27: Možnosti t testu pro dva nezávislé vzorky s rozdílným rozptylem v systému STATISTICA.

39

V tabulce výsledků dostaneme navíc o 3 položky více (viz obr. 27) a budeme se řídit p-hodnotou, která zde vyšla, tedy p = 0,021.

Obr. 28:Výsledky příkladu 10.

Vzhledem k tomu, že jsme zvolili hladinu významnosti α = 0,01, p > α a nulovou hypotézu H0 nezamítáme. (Pokud bychom na začátku zvolili α = 0,05, H0 bychom zamítli.

40

7 Neparametrické testy Tyto testy mají tu výhodu, že většinou nemají požadavky na testovaný soubor, popř. jsou požadavky mnohem mírnější než při testech parametrických (např. se požaduje symetrie). Pokud jsou tedy data zešikmená, obsahují odlehlé hodnoty nebo neodkážeme určit z jakého rozdělení data pocházejí, je použití parametrických testů nevhodné a využijeme neparametrické testy. Tím, že na ně nejsou kladeny takové nároky, jejich síla je menší než u parametrických testů. Pro jednovýběrový soubor, který nesplňuje podmínky normality použijeme jednoduchý Wilcoxonův test nebo znaménkový test. Tyto testy existují i pro dvouvýběrové v párové i nepárové podobě. V systému STATISTICA je pouze možnost pro porovnání dvou výběrů, proto si v případě jednovýběrového souboru testovaného k referenční hodnotě vypomůžeme souborem, který bude celý složený pouze z referenčního čísla.Wicoxonův test je silnější než znaménkový, ale předpokládá symetrii dat.

Příklad 11 Ve třídě byly na konci roku spočítány počty zameškaných hodin 1, 13, 13, 97, 87, 139, 114, 128, 5, 134, 57, 42, 102, 68, 0, 89, 77, 123, 61, 115, 99, 103, 5, 90. Otestujeme hypotézu, že střední hodnota počtu zameškaných hodin je 50. Data načteme do systému STATISTICA data zameškaných hodin a zjistíme, zda data splňují podmínku normality. Vzhledem k malému rozsahu (n = 24) použijeme ShapiroWilksův test a zjistíme, že p < 0,03101, teda na hladině významnosti 5 % zamítáme hypotézu o tom, že data pocházejí z normálního rozdělení. Musíme tedy použít neparametrické testy. Proto si druhý sloupec vyplníme celý hodnotou 50, abychom mohli test provést. Vybereme Statistiky – *eparametrická statistika – porovnání dvou závislých vzorků. Zvolíme proměnné a necháme si vypsat výsledek znaménkového i Wilcoxonova testu.

41

Obr. 29: *eparametrické testy v systému STATISTICA.

Obr. 30: Výsledky příkladu 11.

Ve výsledku dostáváme rozsah souboru, testovou statistiku Z a pro nás nejdůležitější parametr – p. Vidíme, že jeden test vyšel významně, zatímco druhý ne. Vzhledem k tomu, že data nejsou symetrická, budeme se držet znaménkovému testu, který se s pozorovanou hladinou významnosti (p = 0,066) k hladině významnosti α = 0,05 blíží. Avšak nemůžeme zamítnout nulovou hypotézu.

Příklad 12 V tabulce je uveden důchodový věk pro muže a pro ženy v jednotlivých zemích Evropy. Země

Důchodový věk pro muže

Důchodový věk pro ženy

Belgie Bulharsko Česko Dánsko Estonsko

65,0 64,0 63,0 67,0 63,0

63,0 59,0 63,0 67,0 59,5

42

Finsko Francie Irsko Itálie Kypr Litva Lotyšsko Lucembursko Maďarsko Malta Německo Nizozemí Polsko Portugalsko Rakousko Rumunsko Řecko Slovensko Slovinsko Španělsko Švédsko Velká Británie

65,0 60,0 66,0 65,0 65,0 62,5 62,0 65,0 62,0 61,0 65,0 65,0 65,0 65,0 65,0 65,0 65,0 62,0 63,0 65,0 65,0 65,0

65,0 60,0 66,0 60,0 65,0 59,5 62,0 65,0 62,0 60,0 65,0 65,0 60,0 65,0 65,0 60,0 65,0 62,0 61,0 65,0 65,0 60,0

Je důchodový věk v zemích Evropy stejný pro muže i ženy? Po načtení dat do systému STATISTICA zjistíme, že data nejsou normálně rozložena (Shapiro-Wilksův test dá hodnotu p < 0,001 pro muže a p < 0,002 pro ženy). Musíme tedy použít neparametrické testy a jedná se o párové uspořádání.

Obr. 31: Výsledky příkladu 12.

Oba testy prokázali rozdíl mezi důchodovým věkem mužů a žen.

Příklad 13 Klienti poradny pro odvykání kouření byli podle vlastního rozhodnutí rozděleni do dvou skupin. U jedné skupiny probíhala skupinová sezení, u druhé individuální terapie. Byla sesbírána data, jak dlouho vydržel klient nekouřit: 43

Dny 1 3 4 5 6 8 8 8 11 11 12 13 14 15 16 17 19 22 23 23 23 24 25

Terapie skupinová individuální skupinová individuální skupinová individuální individuální individuální individuální skupinová skupinová skupinová individuální skupinová skupinová individuální individuální skupinová individuální skupinová skupinová individuální skupinová

Dny 28 30 30 31 32 36 40 40 40 46 48 50 50 52 53 53 53 57 63 63 65 65 66

Terapie individuální individuální skupinová skupinová individuální individuální individuální skupinová skupinová individuální individuální individuální skupinová skupinová individuální skupinová skupinová individuální individuální skupinová individuální skupinová individuální

Dny 68 73 73 76 78 78 79 80 84 84 84 86 90 91 91 95 95 95 96 98 99

Terapie individuální individuální skupinová individuální individuální individuální skupinová individuální individuální skupinová skupinová skupinová skupinová individuální individuální individuální skupinová skupinová individuální skupinová individuální

Pomocí nepárového testu (neboť není splněna podmínka normality) porovnáme, zda jsou obě skupiny stejně úspěšné v odolávání cigaretě nebo ne. Zvolíme Statistiky – Neparametrická statistika – Porovnávání dvou nezávislých vzorků (skupiny), do závisle proměnné vložíme proměnnou „Dny“, do grupovací proměnné druh terapie. Dvouvýběrový nepárový Wilcoxonův test se také jinak nazývá MannWhitneyův U test.

Obr. 32: Porovnání dvou skupin v systému STATISTICA.

44

Obr. 33: Výsledky příkladu 13.

Zajímá nás zvýrazněná p-hodnota na obr. 33, která je 0,725, teda na 5% hladině významnosti jsme neprokázali, že by byl mezi terapiemi odvykání kouření rozdíl.

45

Závěr V této bakalářské práci jsem se snažila čtenáře zasvětit do základů testování hypotéz, popsat jednotlivé kroky tohoto procesu a vysvětlit základní pojmy jako nulová hypotéza, alternativní hypotéza, hladina významnosti, p-hodnota, síla testu. Kapitolou modelová rozložení a normalita dat jsem se snažila čtenáře seznámit s rozloženími, kterých nabývají sociální jevy nebo na které může čtenář narazit v publikacích nebo při testování hypotéz. Následovalo shrnutí dělení statistických testů. Poslední kapitoly tvořilo testování hypotéz o shodě středních hodnot za použití Studentova t test a jeho neparametrikých obdob. Vše je demonstrováno na příkladech s využitím statistického softwaru STATISTICA. Záměrně jsem se vyhýbala uvádění matematických vzorců, protože tato problematika vyžaduje hlubší znalosti ze statistiky, které badatelé v pedagogických výzkumech často nemají. Dříve bylo testování hypotéz náročné na výpočet, v dnešní době máme díky počítačům přístup mnohem jednodušší, ale musíme výsledky, které nám nabídne počítač kriticky zhodnotit.

46

Použitá literatura 1. GREGOR, M., PŘADKOVÁ, S., SPĚŠNÁ, D. Statistika pro sociology. 2. vyd. Brno : Masarykova univerzita, 1993. ISBN 80-210-0560-2

2. HENDL, J. Přehled statistických metod zpracování dat: analýza a metaanalýza dat. 2. opr. vyd. Praha : Portál, 2006. 583 s. ISBN 80-7367-123-9

3. HORÁK, F., CHRÁSKA, M. Metodologie pedagogiky. 2. vyd. Olomouc : rektorát Univerzity Palackého v Olomouci, 1986. 147 s.

4. CHRÁSKA, M. Empirická pedagogická šetření a jejich statistické vyhodnocování. 1. vyd. Olomouc : rektorát Univerzity Palackého v Olomouci, 1988. 54 s. 5. CHRÁSKA, M. Metodologie řešení vybraných problémů v pedagogickém výzkumu. 1. vyd. Olomouc : rektorát Univerzity Palackého v Olomouci, 1991. 70 s. ISBN 80-7067-041-X

6. JEDLIČKA, J. Úvod do statistických metod v pedagogice. 1. vyd. Ostrava : Pedagogická fakulta v Ostravě, 1976. 101 s.

7. KERLINGER, F. Základy výzkumu chování. 1. vyd. Praha : Academia, 1972. 708 s.

8. KLEMENTA, J., KOMENDA, S., KUNERT, E. Statistické metody v pedagogickém výzkumu. 1. vyd. Olomouc : rektorát Univerzity Palackého v Olomouci, 1978. 226 s.

9. LINDQUIST, E. F. Statistická analýza v pedagogické výzkumu. 1. vyd. Praha : Státní pedagogické nakladatelství n.p., 1967. 264 s.

10. ŘEHÁK, J., ŘEHÁKOVÁ, B. Analýza kategorizovaných dat v sociologii. 1. vyd. Praha : Academia, 1986. 397s. 11. CHRÁSKA, M. Metody sběru a statistického vyhodnocování dat v evaluačních pedagogických výzkumech. 1. vyd. Praha : Votobia, 2003. 155 s. ISBN 80-7220-164-6

47

12. CHRÁSKA, M. Hypotézy a jejich ověřování v klasických pedagogických výzkumech. 1.vyd. Olomouc : VOTOBIA, 2005. 61 s. ISBN 80-7220-253-7

13. CHRÁSKA, M. Metody pedagogického výzkumu – Základy kvantitativního výzkumu. 1. vyd. Praha : Grada Publishing, a.s. 2007. 272 s. ISBN 978-80-247-1369-4

14. BUDÍKOVÁ, M., MIKOLÁŠ, Š., OSECKÝ, P. Teorie pravděpodobnosti a matematická statistika. Sbírka příkladů. 1.dotisk 3. vyd. Brno : Masarykova univerzita, 2007. 127 s. ISBN 80-210-3313-4

15. ANDĚL, J.

Základy matematické statistiky. 2.opravené vyd. Praha :

MATFYZPRESS, 2007. 358 s. ISBN

80-7378-001-1, ISBN 80-86732-40-1

(1. vyd.)

16. BUDÍKOVÁ, M., LERCH, T., MIKOLÁŠ, Š. Základní statistické metody. 1. vyd. Brno : Masarykova univerzita, 2005. 180 s. ISBN 80-210-3886-1

17. PECÁKOVÁ, I., NOVÁK, I., HERZMANN, J. Pořízování a vyhodnocování dat ve výzkumech veřejného mínění. 3. vyd. Praha : VŠE – Oeconomica, 2004. 145 s. ISBN 80-245-0753-6

18. SUP, J. Základy pedagogické statistiky. 1.vyd. Brno : Masarykova univerzita, 1990. 146 s. ISBN 80-210-0111-9

19. MELOUN, M., MILITKÝ, J. Statistické zpracování experimentálních dat. 1. vyd. Praha : PLUS spol. s r.o., 1994. 839 s. ISBN 80-85297-56-6

20. ŠPALEK, J. Aplikovaná statistika I. 1.vyd. Brno : Masarykova univerzita, 2004. 126 s. ISBN 80-210-3412-2

21. CHRÁSKA,

M.

Úvod

do

výzkumu

v pedagogice.

Základy

kvantitativně

orientovaného výzkumu. 1. vyd. Olomouc : Univerzita Palackého, 2003. 199 s. ISBN 80-244-0765-5 48

22. ŠKALOUDOVÁ, A. Statistika v pedagogickém a psychologickém výzkumu. 1. vyd. Praha : Pedagogická fakulta Univerzity Karlovy, 1998. 112 s. ISBN 80-86039-56-0

23. ŽIŽLAVSKÝ, M. Metodologie pro Sociální politiku a sociální práci. 1. vyd. Brno : Masarykova univerzita, 2003. 142 s. ISBN 80-210-3110-7

24. STRAUSS, A., CORBINOVÁ, J. Základy kvalitativního výzkumu. 1. vyd. Boskovice : ALBERT, 1999. 228 s. ISBN 80-85834-60-X

25. LOUDA, Z. Řešené příklady v systému STATISTICA. 1. vyd. Praha : Česká zemědělská univerzita v Praze, provozně ekonomická fakulta, 2004. 102 s. ISBN 80-213-1239-4

49