MASALAH STRUM-LIOUVILLE SINGULAR DAN APLIKASINYA
SKRIPSI
Diajukan kepada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Negeri Yogyakarta Untuk Memenuhi Sebagian Persyaratan Guna Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Oleh Umi Amroni NIM. 04305141024 PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA 2009
PERSETUJUAN
Skripsi yang berjudul “Masalah Sturm-Liouville Singular dan Aplikasinya” ini telah disetujui oleh pembimbing untuk diujikan.
Yogyakarta, 16 Juni 2009 Pembimbing I,
Pembimbing II,
Dr. Hartono
Tuharto, M. Si.
NIP. 131 656 357
NIP. 131 872 513
ii
PENGESAHAN
Skripsi yang berjudul “Masalah Strum-Liouville Singular dan Aplikasinya” ini telah dipertahankan di depan Dewan Penguji pada tanggal 14 Oktober 2009 dan dinyatakan lulus.
DEWAN PENGUJI Nama
Jabatan
Tandatangan
Tanggal
Dr. Hartono
Ketua Penguji
………………
…………
Sekretaris Penguji
………………
…………
Penguji Utama
………………
…………
Penguji Pendamping
………………
…………
NIP. 131 656 357
Tuharto, M. Si. NIP. 131 872 513
Dr. Jailani NIP. 131 570 326
Emut, M. Si. NIP. 131 808 333
Yogyakarta,
Oktober 2009
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Dekan
Dr. Ariswan NIP. 131 791 367
iii
SURAT PERNYATAAN
Dengan ini saya menyatakan bahwa skripsi ini benar-benar karya saya sendiri. Sepanjang pengetahuan saya tidak terdapat karya atau pendapat yang ditulis atau diterbitkan orang lain kecuali sebagai acuan atau kutipan dengan mengikuti tata penulisan karya ilmiah yang telah lazim.
Yogyakarta, Juni 2009 Yang menyatakan,
(Umi Amroni)
iv
MOTTO
“Peliharalah Allah, niscaya Dia akan memeliharamu; peliharalah Allah, niscaya engkau akan menjumpai-Nya dihadapanmu; kenalilah Allah saat senang, niscaya Dia akan mengenalimu saat kamu susah; apabila kamu meminta, mintalah kepada Allah, & apabila kamu meminta pertolongan, mintalah pada Allah...” _HR Tirmidzi_
Jika kau lelah, basuh lelahmu dengan kesabaran Ceritakan dukamu pada ketabahan Usap airmatamu dengan harapan Jika terluka, tetaplah tersenyum untuk semua orang disekitarmu Karena itu tanda syukur pada Rabb-mu... _ro_nee15_
v
PERSEMBAHAN
Karya tulis yang sederhana ini aku persembahkan untuk : ♥ Allah SWT & Rosulullah Muhammad SAW; Ya Rabb, jadikanlah langkah-langkah kecilku ini sebagai kendaraan yang akan mengantarkan hamba menuju ridho & surga-Mu… ♥ Bapak&Ibu, untuk setiap tetesan keringat, kasih sayang, pengorbanan, & doa yang selalu dipanjatkan di akhir malam untukku; Robbi anzilni munzalan mubarokatan wa anta khoirun munzilin… ♥ Adikku: Fauzan& Ifa, untuk setiap detik kebersamaan yang telah kita lalui bersama; Allah telah memilih kita untuk mengukir perjalanan kehidupan keluarga ini, so… Laa tahzan, innaLlaaha ma’anaa... ♥ Do_why& tiwi; anggi & eva; pramita Sr;& puput, thanks for the computers.. ♥ Teman2 Math R’04 : isni, nurul, suly, mamah, oktin, isna, ali, linggar, jayus, anto, PS Club (mas otoxs, herry, andry, rully), & semuanya; untuk ukhuwah yang telah terjalin selama ini… ♥ Temen2 seperjuanganku di : HIMATIKA 2006; BEM FMIPA UNY 2006&2007; KKN “Genk Jujur” Lokasi 15 Karanggayam; Surya Institute (SI) team at Pekalongan; karyawan & tentor cv. Neutron Yogyakarta, DPC Bambanglipuro; & DPD Bantul.. untuk setiap kesempatan diskusi, transfer ilmu, motivasi, & semangat yg telah diberikan…thanks for the experiences… ♥ Setiap orang yang telah memberikan perannya masing-masing sebagai guru dalam hidupku sehingga aku bisa menjadi diriku yang sekarang...
vi
MASALAH STRUM-LIOUVILLE SINGULAR DAN APLIKASINYA Oleh Umi Amroni NIM. 04305141024 ABSTRAK Penulisan skripsi ini bertujuan untuk menjelaskan apakah syarat batas masalah regular dapat digunakan dalam masalah singular, mendeskripsikan sifatsifat nilai eigen dan fungsi eigen masalah singular, dan mengaplikasikan masalah singular dalam bidang fisika khususnya konduksi panas dalam media berbentuk tabung silinder. Syarat batas masalah singular ditentukan dengan menyelesaikan masalah Sturm-Liouville yang terdiri dari persamaan diferensial Bessel orde nol dan syarat batas regular pada interval (0,1). Sifat-sifat nilai eigen dan fungsi eigen masalah singular dideskripsikan dengan menyelesaikan persamaan diferensial biasa linear homogen orde dua yang dilengkapi dengan syarat batas singular. Masalah SturmLiouville singular diaplikasikan dalam peristiwa konduksi panas dengan terlebih dahulu menentukan persamaan konduksi panas dalam tabung silinder berjari-jari a dengan tinggi H dan menyelesaikannya dengan metode pemisahan variabel. Hasil pembahasan menunjukkan bahwa syarat batas Sturm-Liouville regular tidak dapat digunakan dalam masalah singular di titik batas singular x = a. Masalah ini dapat memiliki solusi nontrivial jika syarat batas tersebut digantikan oleh dan terbatas saat . Nilai eigen dari masalah singular dapat berupa diskret, spektrum yang kontinu, maupun campuran antara diskret dan spektrum yang kontinu. Himpunan semua fungsi eigen dari nilai eigen diskret dapat diekspansikan menjadi suatu deret sebagaimana dalam ekspansi deret Fourier. Jika , , menyatakan besarnya suhu di titik , , , maka persamaan 0, dan konduksi panas pada saat steady-state adalah dengan menggunakan metode pemisahan variabel diperoleh persamaan diferensial Sturm-Liouville dengan syarat batas singular. Solusi persamaan konduksi panas ini diperoleh dengan menggunakan syarat batas singular dalam penyelesaian persamaan diferensialnya.
vii
KATA PENGANTAR
Alhamdulillahirabbil’alamin. Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT yang telah memberikan limpahan rahmat dan nikmat iman sehingga penulis dapat menyelesaikan penyusunan skripsi ini. Dalam penyusunan skripsi ini, penulis banyak mendapat bantuan serta dukungan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan kerendahan hati penulis mengucapkan terima kasih kepada: 1. Bapak Dr. Ariswan, selaku Dekan Fakultas MIPA Universitas Negeri Yogyakarta. 2. Bapak Dr. Hartono, selaku Ketua Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta sekaligus Pembimbing I yang telah memberikan motivasi, arahan, dan bimbingan dalam penulisan skripsi ini. 3. Ibu Atmini Dhoruri, M.S selaku Ketua Program Studi Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta atas semua wejangan, arahan, dan bimbingan selama penulis menjadi mahasiswi UNY. 4. Bapak Tuharto, M. Si. selaku pembimbing II yang telah memberikan nasehat, arahan, dan bimbingan dalam penulisan skripsi ini. 5. Ibu R. Rosnawati, M. Si. selaku Pembimbing Akademik yang telah memberikan
masukan
dan
dorongan
kepada
penulis
dalam
setiap
permasalahan akademik yang penulis hadapi selama menjadi mahasiswi UNY. 6. Segenap dosen jurusan pendidikan matematika FMIPA UNY untuk segala ilmu, diskusi, dan pengalaman belajar yang diberikan.
viii
7. Seluruh pihak yang telah memberikan bantuan, baik langsung maupun tidak langsung, yang tidak dapat penulis sebutkan satu persatu. Penulis menyadari bahwa dalam penyusunan skripsi ini masih terdapat kekurangan, baik kesalahan penulisan maupun kesalahan lain sehingga dapat merubah makna. Oleh karena itu penulis menerima kritik dan saran yang membangun guna penyempurnaan karya-karya penulis selanjutnya di masa yang akan datang.
Yogyakarta, Juni 2009 Penulis
ix
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL............................................................................................. i HALAMAN PERSETUJUAN .............................................................................. ii HALAMAN PENGESAHAN............................................................................... iii HALAMAN PERNYATAAN .............................................................................. iv HALAMAN MOTTO ........................................................................................... v HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... vi ABSTRAK ............................................................................................................ vii KATA PENGANTAR ........................................................................................ viii DAFTAR ISI ......................................................................................................... x DAFTAR TABEL ................................................................................................ xii DAFTAR GAMBAR .......................................................................................... xiii DAFTAR SIMBOL ............................................................................................ xiv DAFTAR LAMPIRAN ....................................................................................... xv BAB I . PENDAHULUAN A. Latar Belakang .......................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 3 C. Tujuan Penulisan ...................................................................................... 3 D. Manfaat Penulisan ..................................................................................... 4 BAB II . DASAR TEORI A. Persamaan Diferensial Biasa ..................................................................... 5 B. Persamaan Diferensial Parsial ................................................................... 12 1. Pengertian ............................................................................................ 12 2. Klasifikasi ............................................................................................. 13 3. Metode Penyelesaian ............................................................................ 13 C. Deret Fourier .............................................................................................. 16 D. Masalah Nilai Awal dan Syarat Batas ....................................................... 19 E. Masalah Sturm-Liouville ........................................................................... 23
x
F. Fungsi Bessel ............................................................................................. 29 G. Gradien ...................................................................................................... 32 H. Integral lipat Tiga ...................................................................................... 33 I. Teorema Gauss .......................................................................................... 34 BAB III. PEMBAHASAN A. Masalah Sturm-Liouville Singular ........................................................... 35 1. Syarat Batas Masalah............................................................................ 37 2. Nilai Eigen dan Fungsi eigen................................................................ 42 B. Aplikasi Masalah Sturm-Liouville Singular ............................................. 51 1. Perumusan Matematis........................................................................... 51 2. Penyelesaian masalah konduksi panas dengan penggunaan Metode Pemisahan Variabel .............................................................................. 59 a. Penyelesaian Masalah u1 .................................................................. 65 b. Penyelesaian Masalah u2 .................................................................. 70 c. Penyelesaian masalah u3 .................................................................. 72 BAB V. PENUTUP A. Kesimpulan .............................................................................................. 90 B. Saran ......................................................................................................... 92 DAFTAR PUSTAKA .......................................................................................... 93 LAMPIRAN ......................................................................................................... 94
xi
DAFTAR TABEL
TABEL
Halaman
Tabel 1. Nilai
,
2
untuk n = 1 s.d. 5 ............................................ 81
Tabel 2. Nilai
,
2
untuk n = 1 s.d. 10 .......................................... 83
xii
DAFTAR GAMBAR
GAMBAR
Halaman
Gambar 1. Partisi daerah D menjadi n subdaerah Dx dengan volume
...... 33
Gambar 2. Himpunan nilai eigen yang memuat titik diskret dalam interval ... 43 Gambar 3. Sebarang daerah R di dalam tabung silinder ................................. 53 Gambar 4. Partisi daerah R menjadi n subdaerah Rx dengan volume
....... 54
Gambar 5. Vektor aliran panas dan vektor normalnya pada suatu titik di batas R.............................................................. 56 Gambar 6. Hubungan koordinat kartesius dengan koordinat silinder lingkaran .......................................................... 60 Gambar 7. Ilustrasi masalah konduksi panas pada tabung silinder .................. 62 Gambar 8. Ilustrasi masalah u1 pada tabung silinder dengan jari-jari a dan tinggi H ...................................................... 65 Gambar 9. Ilustrasi masalah u2 pada tabung silinder dengan jari-jari a dan tinggi H ...................................................... 71 Gambar 10. Ilustrasi masalah u3 pada tabung silinder dengan jari-jari a dan tinggi H ...................................................... 73 Gambar 11. Contoh soal 1 masalah konduksi panas pada tabung silinder ..... 77 Gambar 12. Grafik nilai u(r,z) saat z = 1, 2, 3, 4 dan n = 1 s.d 5. .................... 82 Gambar 13. Grafik nilai u(r,z) saat z = 1, 2, 3, 4 dan n = 1 s.d.10 ................... 84 Gambar 14. Grafik nilai u(r,z) saat z = 1, 2, 3, 4 dan n = 1 s.d. 0 .................... 85 Gambar 15. Grafik nilai u(r,z) saat z = 1, 2, 3, 4 dan n = 1 s.d. 50 ................. 86 Gambar 16. Grafik nilai u(r,z) untuk berbagai pengambilan nilai n ................ 87 Gambar 17. Grafik nilai u(r,z) saat z = 4 untuk berbagai pengambilan nilai n >50 ................................................. 88
xiii
DAFTAR SIMBOL
=
Nilai eigen dari masalah Sturm-Liouville
=
Operator Laplace
=
Turunan pertama u terhadap r
=
Turunan kedua u terhadap r
, ,
=
Kapasitas panas (heat capacity) di titik (x,y,z)
, ,
=
Densitas panas di titik (x,y,z)
=
Vektor aliran panas (a heat flux vector)
=
Konduktivitas panas (heat conductivity)
=
Besarnya suhu di titik
, ,
xiv
, ,
DAFTAR LAMPIRAN
Lampiran 1. Script dalam worksheet Maple 11 untuk menggambar u(r,z) Lampiran 2. Daftar nilai
,
2
untuk n = 1 s.d. 50
xv
