Markowitz˚ uv model Optimalizace II s aplikac´ı ve financ´ıch – z´apoˇctov´a u´loha Josef Orel, Pavel S˚ uva 22. ˇcervna 2010
Obsah
1 Zad´ an´ı
2
2 Markowitz˚ uv model 2.1 Formulace z´akladn´ı u ´ lohy a znaˇcen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3
3 V´ ybˇ er akci´ı 3.1 St´ahnut´ı a u ´ prava dat . . 3.2 Dividendy a ˇstˇepen´ı akci´ı . 3.3 Pˇrepoˇcet na Kˇc . . . . . . ´ 3.4 Urokov´ e sazby . . . . . . .
. . . .
5 6 8 8 9
4 Vstupn´ı data a odhad parametr˚ u 4.1 V´ypoˇcet roˇcn´ıch v´ynos˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Oˇcek´avan´y v´ynos a varianˇcn´ı matice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10 10 10
ˇ sen´ı u 5 Reˇ ´loh ´ 5.1 Uloha a ´ 5.2 Uloha b ´ 5.3 Uloha c ´ 5.4 Uloha d ´ 5.5 Uloha e
13 14 16 17 19 20
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . .
. . . . .
. . . . .
6 Z´ avˇ er
22
Zdroje
25
1
Zad´ an´ı
Zad´ an´ı: Jste spr´avcem akciov´ych portf´oli´ı. Potˇrebujete, mimo jin´e, pˇripravit pro sv´e klienty vhodn´a akciov´a portfolia pro investov´an´ı 25 mil. Kˇc na obdob´ı jednoho roku. Oˇcek´av´ate, ˇze se klient bude cht´ıt poradit v ot´azce sloˇzen´ı vhodn´eho akciov´eho portf´olia a rozhodli jste se vyuˇz´ıt Markowitz˚ uv model pro selekci. Zvolte vhodn´e tituly (8-10). V´ıte, ˇze v´ybˇeru titul˚ u pˇredch´az´ı glob´aln´ı a odvˇetvov´a anal´yza a proto vyberete tituly, kter´e jsou v souladu s vaˇs´ı predikc´ı v´yvoje na finanˇcn´ıch trz´ıch. ´ Ukoly: a) Na trhu nejsou povoleny kr´atk´e prodeje. Sestavte efektivn´ı hranici portf´oli´ı (graficky prezentujte). Vyberte nˇekter´a portf´olia na efektivn´ı hranici a uved’te jejich sloˇzen´ı (v´ahy) a oˇcek´avan´e v´ynosnosti titul˚ u zastoupen´ych v portf´oliu. b) Jak se zmˇen´ı efektivn´ı hranice pokud budete m´ıt moˇznost investovat do bezrizikov´eho aktiva (depozita v bance; aktu´aln´ı sazbou naleznˇete sami). c) Jak se zmˇen´ı efektivn´ı hranice pokud budete m´ıt moˇznost v´yp˚ ujˇcek od spr´avce portf´olia aˇz do 30 % hodnoty portf´olia. Pro jednoduchost pˇredpokl´adejte ˇze v´yp˚ ujˇcn´ı sazba je stejn´a jako depozitn´ı. Dok´azali byste zohlednit rozd´ılnou v´yp˚ ujˇcn´ı a depozitn´ı sazbu (naleznˇete jej´ı sazbu sami a urˇcete efektivn´ı portf´olia)? d) Co kdyˇz budete m´ıt povoleny kr´atk´e prodeje, aˇz do 30 % poˇc´ateˇcn´ıho vkladu? Nakreslete efektivn´ı hranici v tomto pˇr´ıpadˇe. e) V souladu s vnitˇrn´ı politikou investiˇcn´ı spoleˇcnosti, kterou zastupujete, nesm´ı ˇz´adn´y z titul˚ u portf´olia pˇres´ahnout 15% v´ahu v celkov´em portf´oliu. Nakreslete hranici efektivn´ıch portf´oli´ı pˇri tomto omezen´ı. Zd˚ uvodnˇete jak jste z´ıskali odhady vstupn´ıch parametr˚ u modelu, jak´e jste volili tituly a proˇc (zejm´ena s ohledem na rizika, kter´a model zohledˇ nuje a velikost investovan´e ˇc´astky). Efektivn´ı hranice poˇc´ıtejte numericky, staˇc´ı aproximace pro dostateˇcnˇe hust´y nosiˇc“. ” V pˇr´ıpadech a)-e) vyberte nˇekter´e z efektivn´ıch portf´oli´ı a spoˇctˇete VaR(95%).
2
2
Markowitz˚ uv model
Vhodn´e akciov´e portfolio budeme hledat pomoc´ı tzv. Markowitzova modelu (viz [1]). Ten vyuˇz´ıv´a nˇekolika zjednoduˇsuj´ıc´ıch pˇredpoklad˚ u: • pohybujeme se na ide´aln´ım trhu bez transakˇcn´ıch n´aklad˚ u a arbitr´aˇze, • obchodujeme s neomezenˇe dˇeliteln´ymi dokumenty, • na trhu obchoduj´ı pouze mal´ı racion´aln´ı investoˇri, kteˇr´ı upˇrednostˇ nuj´ı vˇetˇs´ı v´ynosy pˇred menˇs´ımi v´ynosy a menˇs´ı riziko pˇred vˇetˇs´ım rizikem, • investoˇri vyuˇz´ıvaj´ı shodn´ych informac´ı, a to hodnot oˇcek´avan´ych v´ynosnost´ı akci´ı a rozptyl˚ u a kovarianc´ı tˇechto v´ynosnost´ı, • vˇsichni hr´aˇci na trhu investuj´ı ve stejn´em ˇcase na jedno stejnˇe dlouh´e obdob´ı.
2.1
Formulace z´ akladn´ı u ´ lohy a znaˇ cen´ı
Zaved’me si n´asleduj´ıc´ı znaˇcen´ı: J poˇcet akci´ı, do kter´ych budeme investovat ρj n´ahodn´y v´ynos j-t´e akcie ve zvolen´em obdob´ı xj v´aha j-t´e akcie v naˇsem portfoliu rj oˇcek´avan´y v´ynos j-t´e akcie ve zvolen´em obdob´ı Vektor vah oznaˇcme jako x = (x1 , x2 , . . . , xJ ), vektor n´ahodn´ych v´ynos˚ u jako ρ = (ρ1 , ρ2 , . . . , ρJ ) a vektor oˇcek´avan´ych v´ynos˚ u jako r = (r1 , r2 , . . . , rJ ). Pro rozdˇelen´ı n´ahodn´eho vektoru ρ plat´ı E(ρ) = r a var(ρ) = V = [cov(ρi , ρj )]Ji,j=1 , kde V je zn´am´a varianˇcn´ı matice. V´ynos portfolia s vahami x budeme ch´apat jako stˇredn´ı hodnotu celkov´e v´ynosnosti r(x) =
J X
xj rj = x0 r.
j=1
Riziko portfolia je d´ano smˇerodatnou odchylkou nebo rozptylem jeho oˇcek´avan´e v´ysnonosti σ 2 (x) = var(x0 ρ) = x0 V x =
J X J X i=1 j=1
3
xi xj cov(ρi , ρj ).
∗ D˚ uleˇzit´ym je pojem eficientn´ Pıho portfolia, coˇz je portfolio s vahami x takov´ymi, ˇze neexistuj´ı jin´e v´ahy x tak, ˇze xj = 1 a
r(x) ≥ r(x∗) a souˇcasnˇe σ 2 (x) ≤ σ 2 (x∗)
a alespoˇ n jedna z nerovnost´ı je ostr´a. Eficientn´ı portfolia je moˇzn´e hledat ˇreˇsen´ım u ´ lohy neline´arn´ıho programov´an´ı ve tvaru 1 max λr 0 x − x0 V x, x∈X 2 kde parametr λ ≥ 0 ud´av´a investor˚ uv vztah k riziku, nebo u ´ lohy min x0 V x x∈X
za podm´ınek r 0 x ≥ rp , kde rp je nastaven´a minim´ P aln´ı hodnota oˇcek´avan´e v´ynosnosti portfolia. Mnoˇzina X je definov´ana poˇzadavkem xj = 1 a pˇr´ıpadnˇe dalˇs´ımi poˇzadavky na sloˇzen´ı portfolia. Budeme hledat tzv. efektivn´ı (eficientn´ı) hranici, coˇz je mnoˇzina ˇreˇsen´ı pˇredchoz´ı u ´ lohy pro r˚ uznˇe nastaven´e hodnoty rp ≥ rmin , kde rmin je ˇreˇsen´ı u ´ lohy min x0 V x. x∈X
4
3
V´ ybˇ er akci´ı
Prvn´ım rozhodnut´ım pˇri v´ybˇeru vhodn´ych akci´ı byla volba mezi dom´ac´ımi a zahraniˇcn´ımi tituly. Na dom´ac´ım trhu se obchoduje omezen´y poˇcet akci´ı, kter´e jsou nav´ıc m´enˇe likvidn´ı. Proto jsme se rozhodli vyb´ırat prim´arnˇe z akci´ı zahraniˇcn´ıch i pˇres urˇcit´e probl´emy s pˇrevody akciov´ych kurz˚ u na koruny. Pˇri v´ybˇeru akci´ı jsme se inspirovali zejm´ena tipy pro vhodn´e investice z Bloomberg BusinessWeek (viz [3]) a vlastn´ım u ´ sudkem. Spoleˇcnosti jsme vyb´ırali z r˚ uzn´ych odvˇetv´ı pr˚ umyslu tak, abychom zv´yˇsili pravdˇepodobnost diverzifikace rizika. Po zral´e u ´ vaze jsme nakonec dospˇeli k v´ybˇeru osmi velk´ych a zaveden´ych spoleˇcnost´ı se solidn´ımi v´ysledky v minul´em roce a dobr´ymi vyhl´ıdkami do budoucnosti a jednoho titulu z rozv´ıjej´ıc´ıho se trhu: • Internet a komunikace – Telefonica SA (TEF) – Apple Inc. (AAPL) – Google Inc. (GOOG) • Dopravn´ı pr˚ umysl – Tata Motors Ltd. (TTM) – Lockheed Martin Corporation (LMT) • Energetika a ropn´y pr˚ umysl – E.ON N (EOAN.F) – Hess Corporation (HES) • Stavebnictv´ı – Orion Marine Group, Inc (ORN) • Potravin´aˇrstv´ı – Anheuser-Busch InBev (BUD)
5
3.1
St´ ahnut´ı a u ´ prava dat
Nejprve bylo nutn´e zvolit vhodnou frekvenci dat a d´elku ˇcasov´e ˇrady. Investiˇcn´ı horizont je jeden rok, abychom dos´ahli potˇrebn´eho poˇctu u ´ daj˚ u, rozhodli jsme se pracovat s denn´ımi daty a jako jednotliv´e sc´en´aˇre br´at roˇcn´ı v´ynosy titul˚ u vypoˇcten´e pomoc´ı roˇcn´ıho ok´enka“. ” Podle [2] je vhodn´e vz´ıt do u ´ vahu v´yvoj akci´ı pˇres obdob´ı, kdy na akciov´ych trz´ıch nedoˇslo k v´yrazn´ym zmˇen´am v charakteru trh˚ u a kdy bylo obchodov´an´ı v jist´em smyslu homogenn´ı a po cel´e obdob´ı srovnateln´e. Z tohoto d˚ uvodu nen´ı zˇrejmˇe moˇzn´e uvaˇzovat data pˇred i po krizi. Bude n´as proto zaj´ımat pouze v´yvoj akciov´ych trh˚ u od zaˇc´atku finanˇcn´ı krize v roce 2008 do souˇcasnosti. Rozhodli jsme se tedy br´at v u ´ vahu denn´ı data v´yvoje akciov´ych kurz˚ u od 15. z´aˇr´ı 2008 (zaˇc´atek finanˇcn´ı krize - nejvˇetˇs´ı propad newyorsk´e burzy) do 28. dubna 2010. ´ ´ Udaje o v´yvoji cen akci´ı jsme z´ısk´avali z internetov´eho port´alu yahoo.com ([4]). Udaje jsou pˇr´ıstupn´e v dobˇre form´atovan´ych tabulk´ach pro zvolen´e obdob´ı, kromˇe uzav´ırac´ıch (close) cen akci´ı pro jednotliv´e obchodn´ı dny jsme st´ahli tak´e data o vyplacen´ych dividend´ach, kter´e budeme potˇrebovat pro v´ypoˇcet roˇcn´ıch v´ynos˚ u. Takto z´ıskan´a data jsme do potˇrebn´e podoby pro dalˇs´ı pr´aci upravili v tabulkov´em editoru MS Excel ([8]). Titul EOAN.F se obchoduje na frankfurtsk´e burze, zat´ımco ostatn´ı tituly na burz´ach americk´ych, kter´e maj´ı jin´e obchodn´ı dny. Tento probl´em jsme vyˇreˇsili tak, ˇze u ´ daje ze dn˚ u, kdy se obchodovalo pouze na nˇekter´ych burz´ach, jsme jednoduˇse z dat odstranili. To se t´ykalo celkem dev´ıti dn˚ u u EOAN.F a osmi dn˚ u u ostatn´ıch akci´ı: EOAN.F 15.2.2010 18.1.2010 26.11.2009 7.9.2009 2.7.2009 25.5.2009 10.2.2009 19.1.2009 27.11.2008
Ostatn´ı 5.4.2010 31.12.2009 24.12.2009 1.5.2009 13.4.2009 31.12.2008 26.12.2008 24.12.2008
Po t´eto u ´ pravˇe jsme ke kaˇzd´emu z dev´ıti titul˚ u dostali historick´a data v´yvoje trˇzn´ıch cen po 400 obchodn´ıch dn˚ u. Ta jsou zn´azornˇena na grafech na obr´azku 1.
6
Obr´azek 1: V´yvoj akciov´ych kurz˚ u vybran´ych titul˚ u.
7
3.2
Dividendy a ˇ stˇ epen´ı akci´ı
Zisk drˇzitele akci´ı se neskl´ad´a jen z n´ar˚ ustu trˇzn´ı ceny akcie, ale i z tzv. dividend. Ty spoleˇcnost vypl´ac´ı drˇzitel˚ um akci´ı, zpravidla jednou za rok. V´yˇse vyplacen´ych dividend n´ami preferovan´ych firem je zobrazena v n´asleduj´ıc´ı tabulce (v z´avorce za zkratkou titulu je uvedena mˇena, v kter´e je dividenda vypl´acena): ORN (USD) 2008 2009
2010
HES (USD) 1,87 17.12.2008 2,11 12.3.2009 1,9 12.6.2009 1,72 16.9.2009 1,82 17.12.2009 1,87 11.3.2010
LMT (USD) 11,05 26.11.2008 12,61 26.2.2009 11,01 8.5.2009 10,09 28.8.2009 11,06 27.11.2009 12,12 25.2.2010
AAPL (USD)
GOOG (USD)
TEF (USD) 37,56 6.11.2008 39,57 7.5.2009 38,13 6.11.2009
TTM (USD)
EOAN.F (EUR)
2,31 31.7.2009
39,7 7.5.2009
BUD (USD)
Jak vid´ıme, spoleˇcnosti Orion Marine, Apple, Google a Anheuser Busch ve sledovan´em obdob´ı ˇz´adn´e dividendy nevypl´acely. Ke ˇstˇepen´ı akci´ı u ˇz´adn´e z firem nedoˇslo.
3.3
Pˇ repoˇ cet na Kˇ c
Vzhledem k tomu, ˇze m´ame vybrat vhodn´e portfolio pro investici, kter´a je v ˇcesk´ych korun´ach, je nutn´e pˇrev´est akciov´e kurzy a hodnoty vyplacen´ych dividend do t´eto mˇeny. Akcie firmy EON se obchoduje v eurech, ostatn´ı tituly potom v americk´ych dolarech. Historick´e mˇenov´e kurzy EUR/CZK a USD/CZK jsme st´ahli ze serveru kurzy.cz ([5]). Pokud nebyl pro nˇekter´y obchodn´ı den mˇenov´y kurz k dispozici, pouˇzili jsme nejbliˇzˇs´ı minul´y dostupn´y kurz. V´yvoj tˇechto kurz˚ u je zobrazen na obr´azku 2.
Obr´azek 2: V´yvoj mˇenov´eho kurzu USD/CZK a EUR/CZK.
8
3.4
´ Urokov´ e sazby
Kromˇe v´ynos˚ u z jednotliv´ych akci´ı jsme tak´e potˇrebovali naj´ıt bezrizikovou u ´ rokovou m´ıru a v´yp˚ ujˇcn´ı u ´ rokovou sazbu. Za bezrizikovou u ´ rokovou m´ıru jsme zvolili u ´ rokovou m´ıru v souˇcasnosti vyd´avan´ych ˇ e n´arodn´ı roˇcn´ıch st´atn´ıch pokladniˇcn´ıch pouk´azek, kterou jsme naˇsli na str´ank´ach Cesk´ banky ([6]). Dalˇs´ı moˇznost´ı, jak vloˇzit pen´ıze do bezrizikov´eho aktiva“, by bylo uloˇzit si ” je v bance na term´ınovan´y u ´ˇcet, nicm´enˇe tento vklad st´ale povaˇzujeme za rizikovˇejˇs´ı, neˇz investici do st´atn´ıch pokladniˇcn´ıch pouk´azek. Zvolen´a u ´ rokov´a m´ıra je r0 = 1,3 % p.a. Za v´yp˚ ujˇcn´ı u ´ rokovou m´ıru jsme zvolili u ´ rokovou m´ıru 8,5 % p.a., kterou pro obchodov´an´ı v ˇcesk´ych korun´ach nab´ız´ı spoleˇcnost Brokerjet, otevˇreme-li si u n´ı tzv. marˇzov´y u ´ˇcet. Marˇzov´y u ´ˇcet je u ´ˇcet, z nˇehoˇz klient ˇcerp´a pen´ıze na obchodov´an´ı s cenn´ymi pap´ıry a za p˚ ujˇcen´e pen´ıze pˇritom ruˇc´ı pr´avˇe tˇemito cenn´ ymi pap´ıry. Spoleˇcnost nicm´enˇe nenab´ız´ı moˇznost obchodovat na libovoln´e burze libovoln´e cenn´e pap´ıry – pˇresnou politiku zach´azen´ı s marˇzov´ym u ´ˇctem lze nal´ezt na brokerjet.cz ([7]). Pro jednoduchost jsme se tˇemito pravidly nezab´yvali, pˇredpokl´adali jsme, ˇze podobn´e u ´ vˇery z jin´ych zdroj˚ u budou m´ıt u ´ rokovou m´ıru podobnou, a zvolili jsme v´yp˚ ujˇcn´ı u ´ rokovou m´ıru rv = 8,5 % p.a.
9
4
Vstupn´ı data a odhad parametr˚ u
4.1
V´ ypoˇ cet roˇ cn´ıch v´ ynos˚ u
K v´ypoˇctu vstupn´ıch parametr pro Markowitz˚ uv model potˇrebujeme spoˇc´ıtat roˇcn´ı v´ynosy akci´ı. Pouˇzijeme metodu klouzav´eho roˇcn´ıho okna, kdy roˇcn´ı v´ynos akcie je roven rozd´ılu trˇzn´ıch cen z obchodn´ıch dn˚ u vzd´alen´ych od sebe jeden rok. Takto z´ıskan´e hodnoty budou zˇrejmˇe navz´ajem korelovan´e, coˇz by mohl b´yt probl´em, avˇsak jin´ym rozumn´ym zp˚ usobem nen´ı moˇzn´e z´ıskat dostateˇcn´e mnoˇzstv´ı roˇcn´ıch sc´en´aˇr˚ u. Proto setrv´ame u t´eto metody a budeme pˇredpokl´adat nez´avislost napoˇc´ıtan´ych v´ynos˚ u. Na burz´ach se neobchoduje vˇsechny dny v roce a d´elka roˇcn´ıho okna tedy nen´ı kalend´aˇrn´ıch 365 dn˚ u. Od prvn´ıho obchodn´ıho dne (15. 9. 2008) je koresponduj´ıc´ı den v n´asleduj´ıc´ım roce (15. 9. 2009) v naˇsich datech vzd´alen celkem 248 pozorov´an´ı, proto zvol´ıme d´elku okna D = 248. Oznaˇcme si T ρj,t dj,t yj,t
poˇcet pozorov´an´ı (v naˇsem pˇr´ıpadˇe T = 400) v´ynosnost j-t´e akcie v ˇcase t vyplacen´a dividenda j-t´e akcie v ˇcase t trˇzn´ı cena j-t´e akcie v ˇcase t
V´ynosnost j-t´e akcie v ˇcase t pak spoˇcteme podle vzorce P yj,t − yj,t−248 + tk=t−248+1 dj,k j = 1, . . . , 9 t = 249, . . . , 400 ρj,t = yj,t−248 Pro kaˇzdou akcii jsme takto z´ıskali celkem 152 pozorov´an´ı roˇcn´ıch v´ynos˚ u.
4.2
Oˇ cek´ avan´ y v´ ynos a varianˇ cn´ı matice
S pomoc´ı vypoˇcten´ych roˇcn´ıch v´ynos˚ u odhadneme pro jednotliv´e akciov´e tituly jejich stˇredn´ı v´ynosy r = (r1 , r2 , . . . , rJ ) a varianˇcn´ı matici V = [Vij ]Ji,j=1 jejich v´ynos˚ u. Jako odhady pouˇzijeme v´ybˇerov´y pr˚ umˇer respektive v´ybˇerovou varianˇcn´ı matici napoˇc´ıtan´e podle vzorc˚ u T 1X rj = ρi,t , T t=1
j = 1, . . . , J,
T
1 X Vij = (ρi,t − ri ) (ρj,t − ri ), T − 1 t=1
i, j = 1, . . . , J,
kde ρj,t znaˇc´ı pozorovan´y v´ynos j-t´eho titulu v ˇcase t. K v´ypoˇct˚ um jsme pouˇzili program R ([9]). 10
V´ysledn´y vektor odhadnut´ych v´ynos˚ u akci´ı potom bude 0
r =
ORN
HES
LMT
AAPL
GOOG
TEF
TTM
EON
BUD
1, 147
−0, 025
−0, 064
0, 909
0, 505
0, 259
1, 996
0, 112
0, 590 .
Z nˇej je jasnˇe vidˇet, ˇze nejv´ynosnˇejˇs´ım titulem je Tata Motors Ltd. – tyto akcie pˇrinesou sv´emu majiteli bˇehem jednoho roku v pr˚ umˇeru 200 % sv´e p˚ uvodn´ı hodnoty. Mezi vybran´ymi tituly jsou ale i dva ztr´atov´e: Hess Corp. a Lockheed Martin Corp. Odhadnut´a varianˇcn´ı matice bude ORN
0, 542 HES 0, 009 LMT −0, 052 AAPL −0, 016 V = GOOG 0, 039 TEF 0, 072 TTM −0, 225 EON −0, 047 BUD −0, 107 ORN
HES
LMT
AAPL
GOOG
TEF
TTM
EON
0, 009 0, 022 0, 008 0, 019 0, 021 0, 003 0, 045 0, 010 0, 050
−0, 052 0, 008 0, 022 0, 017 0, 009 −0, 005 0, 079 0, 019 0, 029
−0, 016 0, 019 0, 017 0, 046 0, 031 −0, 001 0, 112 0, 016 0, 051
0, 039 0, 021 0, 009 0, 031 0, 047 0, 007 0, 077 0, 008 0, 081
0, 072 0, 003 −0, 005 −0, 001 0, 007 0, 012 −0, 024 −0, 004 −0, 011
−0, 225 0, 045 0, 079 0, 112 0, 077 −0, 024 0, 642 0, 078 0, 248
−0, 047 0, 010 0, 019 0, 016 0, 008 −0, 004 0, 078 0, 019 0, 032
BUD
−0, 107 0, 050 0, 029 0, 051 0, 081 . −0, 011 0, 248 0, 032 0, 281
D´ale zde jeˇstˇe uvedeme odhadnutou korelaˇcn´ı matici ORN
1, 000 HES 0, 087 LMT −0, 474 AAPL −0, 104 C = GOOG 0, 243 TEF 0, 880 TTM −0, 381 EON −0, 458 BUD −0, 273 ORN
HES
LMT
AAPL
GOOG
TEF
TTM
EON
0, 087 1, 000 0, 347 0, 585 0, 643 0, 175 0, 379 0, 474 0, 641
−0, 474 0, 347 1, 000 0, 547 0, 284 −0, 305 0, 661 0, 893 0, 365
−0, 104 0, 585 0, 547 1, 000 0, 662 −0, 039 0, 648 0, 528 0, 452
0, 243 0, 643 0, 284 0, 662 1, 000 0, 280 0, 443 0, 262 0, 708
0, 880 0, 175 −0, 305 −0, 039 0, 280 1, 000 −0, 269 −0, 260 −0, 191
−0, 381 0, 379 0, 661 0, 648 0, 443 −0, 269 1, 000 0, 702 0, 584
−0, 458 0, 474 0, 893 0, 528 0, 262 −0, 260 0, 702 1, 000 0, 428
BUD
−0, 273 0, 641 0, 365 0, 452 0, 708 , −0, 191 0, 584 0, 428 1, 000
jej´ıˇz sloˇzky Cij napoˇc´ıt´ame jako Cij = √
Vij p , Vii Vjj
i, j = 1, . . . , J
a z n´ıˇz vid´ıme, jak´ym zp˚ usobem jsou v´ynosy jednotliv´ ych titul˚ u vz´ajemnˇe korelovan´e. Pˇritom je potˇreba m´ıt na pamˇeti, ˇze je vhodn´e m´ıt v portfoliu zastoupeny vz´ajemnˇe z´apornˇe korelovan´e akcie z d˚ uvodu jeho diverzifikace. Posledn´ı d˚ uleˇzitou charakteristikou jsou smˇerodatn´e odchylky v´ynos˚ u sj , j = 1, . . . , J, jimiˇz kvantifikujeme riziko jednotliv´ych titul˚ u. Jejich odhady spoˇc´ıt´ame z diagon´aln´ıch prvk˚ u odhadnut´e varianˇcn´ı matice V jako p sj = Vjj , j = 1, . . . , J. 11
Vektor odhadnut´ych smˇerodatn´ych odchylek je 0
s =
ORN
HES
LMT
AAPL
GOOG
TEF
TTM
EON
0, 736
0, 147
0, 149
0, 215
0, 217
0, 112
0, 801
0, 139
BUD
0, 530 .
Na z´avˇer t´eto ˇc´asti jeˇstˇe na obr´azku 3 uv´ad´ıme grafick´e zn´azornˇen´ı stˇredn´ıch v´ynos˚ u jednotliv´ych titul˚ u v z´avislosti na jejich riziku (tj. jejich polohu v mean-risk rovinˇe).
2.0
Akcie v mean−risk rovině
1.0
ORN AAPL BUD
GOOG
0.5
Očekávaný výnos
1.5
TTM
0.0
TEF EON HES LMT
0.2
0.4
0.6
0.8
Směrodatná odchylka
Obr´azek 3: Jednotliv´e akciov´e tituly v mean-risk rovinˇe.
12
5
ˇ sen´ı u Reˇ ´ loh
Pot´e, co jsme si pˇripravili vstupn´ı data, jsme uˇz mohli pˇristoupit k samotn´e optimalizaci. K tomu jsme jako softwarov´y n´astroj zvolili GAMS ([10]) a s n´ım dod´avan´y solver CONOPT, kter´y dok´aˇze ˇreˇsit u ´ lohy neline´arn´ıho programov´an´ı. Po vyˇreˇsen´ı jednotliv´ych u ´ loh jsme v´ysledky exportovali zpˇet do softwarov´eho prostˇred´ı R a v nˇem jsme k jednotliv´ym portfoli´ı dopoˇc´ıtali hodnoty 95% Value-at-Risk a 95% parametrick´eho Value-at-Risk. Za Value-at-Risk (VaR) se spolehlivost´ı α pˇritom povaˇzujeme hodnotu, kterou ztr´ata dan´eho portfolia za dan´e obdob´ı (v tomto pˇr´ıpadˇe 1 rok) pˇrekroˇc´ı pouze s pravdˇepodobnost´ı 1 − α. Za ztr´atu pˇritom povaˇzujeme v´ynos s opaˇcn´ym znam´enkem, tedy ztr´ata l = −ρ. Nem´ame-li ˇz´adn´e informace o pravdˇepodobnostn´ım rozdˇelen´ı ztr´aty portfolia, poˇc´ıt´ame neparametrick´ y VaR jako empirick´y kvantil z pozorovan´ych ztr´at. Tato pozorov´an´ı v naˇsem pˇr´ıpadˇe z´ısk´ame jednoduˇse – pozorovan´e ztr´aty portfolia napoˇc´ıt´ame z historick´ych dat o ztr´at´ach (v´ynosech) jednotliv´ych titul˚ u jako v´aˇzen´y pr˚ umˇer ztr´at jednotliv´ych titul˚ u (v´ahy x jsou pˇritom d´any sloˇzen´ım dan´eho portfolia), tedy lt (x) = −
J X
xj ρj,t ,
j=1
kde lt (x) znaˇc´ı ztr´atu portfolia dan´eho vahami x v ˇcase t. Z tˇechto hodnot potom spoˇc´ıt´ame empirick´y α-kvantil, kde v naˇsem pˇr´ıpadˇe α = 0,95. Pˇredpokl´ad´ame-li, ˇze ztr´ata portfolia m´a nˇejak´e pravdˇepodobnostn´ı rozdˇelen´ı urˇcen´e parametry polohy a variability, lze spoˇc´ıtat parametrick´ y VaR. My budeme pˇredpokl´adat, ˇze ztr´aty jednotliv´ych titul˚ u maj´ı sdruˇzen´e norm´aln´ı rozdˇelen´ı s vektorem stˇredn´ıch hodnot r a varianˇcn´ı matic´ı V , kter´e jsme jiˇz dˇr´ıve odhadli. Potom l(x) − (−x0 r) VaRα (x) − (−x0 r) √ √ P (l(x) > VaRα (x)) = P > x0 V x x0 V x VaRα (x) + x0 r √ = 1−Φ = 1 − α, x0 V x kde l(x) znaˇc´ı ztr´atu porftolia dan´eho vahami x a Φ znaˇc´ı distribuˇcn´ı funkci normovan´eho norm´aln´ıho rozdˇelen´ı. Z toho po u ´ pravˇe plyne, ˇze √ x0 V x, VaRα (x) = −x0 r + Φ−1 α kde Φ−1 eho norm´aln´ıho rozdˇelen´ı. Opˇet vol´ıme α = 0,95. α je α-kvantil normovan´
13
5.1
´ Uloha a
Markowitz˚ uv model se na probl´em optimalizace portfolia d´ıv´a jako na probl´em v´ıcekriteri´aln´ı optimalizace: naˇs´ım u ´ kolem je maximalizovat stˇredn´ı v´ynos portfolia, tedy J X
max x
xj rj ,
j=1
a z´aroveˇ n minimalizovat riziko vyj´adˇren´e pomoc´ı rozptylu (nebo smˇerodatn´e odchylky), tedy J X J X min xi xj Vij . x
i=1 j=1
Jak v´ıme, pˇri ˇreˇsen´ı u ´ loh v´ıcekriteri´aln´ı optimalizace lze k nalezen´ı mnoˇziny eficientn´ıch ˇreˇsen´ı (v tomto pˇr´ıpadˇe naz´yvan´ych eficientn´ı portfolia) pouˇz´ıt nˇekolika rozd´ıln´ych pˇr´ıstup˚ u. My pouˇzijeme tzv. -omezen´y pˇr´ıstup – ze dvou poˇzadavk˚ u zvol´ıme jeden do u ´ˇcelov´e funkce a druh´y zaˇrad´ıme do omezen´ı. Konkr´etnˇe budeme poˇzadovat minimalizaci rizika za podm´ınky, ˇze oˇcek´avan´y v´ynos dos´ahne alespoˇ n nˇejak´e zvolen´e hladiny rp . Dalˇs´ımi omezen´ımi budou, ˇze v´ahy jednotliv´ych sloˇzek portfolia se mus´ı vysˇc´ıtat na jedniˇcku a ˇze vˇsechny mus´ı b´yt kladn´e (to odpov´ıd´a poˇzadavku, ˇze nejsou povoleny kr´atk´e prodeje). Matematicky pak celou u ´ lohu vyj´adˇr´ıme jako min x
J X J X
xi xj Vij
(1)
i=1 j=1
s.t.
J X
xj rj ≥ rp ,
J X
xj = 1,
j=1
j=1
xj ≥ 0,
j = 1, . . . , J.
Pro samotn´e ˇreˇsen´ı je vhodn´e nejprve zjistit, pro jak´e hodnoty rp m´a cenu u ´ lohu ˇreˇsit. Je jasn´e, ˇze nelze dos´ahnout vˇetˇs´ıho oˇcek´avan´eho v´ ynosu, neˇz kter´eho dos´ahneme vyˇreˇsen´ım u ´ lohy maximalizuj´ıc´ı oˇcek´avan´y v´ynos bez ohledu na riziko, tedy u ´ lohy max x
J X
xj rj ,
J X
xj = 1,
(2)
j=1
s.t.
j=1
xj ≥ 0, 14
j = 1, . . . , J.
Jej´ı optim´aln´ı hodnota rmax tedy bude horn´ı hranic´ı pro hodnoty omezen´ı rp v u ´ loze 1 (pˇri volbˇe vyˇsˇs´ı hodnoty rp by mnoˇzina pˇr´ıpustn´ych ˇreˇsen´ı u ´ lohy 1 byla pr´azdn´a). Naopak nem´a cenu omezovat poˇzadovan´y oˇcek´avan´y v´ynos hodnotami niˇzˇs´ımi, neˇz oˇcek´avan´ym v´ynosem portfolia, kter´e z´ısk´ame pˇri ˇreˇsen´ı u ´ lohy samotn´e minimalizace rizika, tedy u ´ lohy J X J X
min x
(3)
xi xj Vij
i=1 j=1
J X
s.t.
xj = 1,
j=1
xj ≥ 0,
j = 1, . . . , J.
Oˇcek´avan´y v´ynos rmin portfolia, kter´e dostaneme jako optim´aln´ı ˇreˇsen´ı u ´lohy 3 bude tedy doln´ı hranic´ı pro hodnoty omezen´ı rp v u ´ loze 1. Nejprve jsme tedy vyˇreˇsili pomocn´e u ´ lohy 2 a 3 a z´ıskali tak hodnoty rmin = 0,157 a rmax = 1,996. N´aslednˇe jsme ˇreˇsili u ´ lohu 1, pˇriˇcemˇz za rp jsme postupnˇe volili hodnoty z intervalu [0,157; 1,996] s krokem 0, 025. Tak jsme dostali dostateˇcnˇe hustou mnoˇzinu eficientn´ıch portfoli´ı, abychom mohli vykreslit eficientn´ı hranici v mean-risk rovinˇe – viz obr´azek 4. V tabulce 1 je pak sloˇzen´ı, oˇcek´avan´y v´ynos, riziko (smˇerodatn´a odchylka) a parametrick´y√i neparametrick´y VaR nˇekolika vybran´ych portfoli´ı. Znaˇc´ıme pˇritom r(x) = x0 r, σ(x) = x0 V x a pVaR parametrick´y VaR (pro odliˇsen´ı od neparametrick´eho, kter´y znaˇc´ıme pouze VaR). V tabulce si m˚ uˇzeme povˇsimnout ˇze n´am u vˇsech vybran´ych portfoli´ı vyˇsly z´aporn´e hodnoty VaR a pVaR (coˇz znamen´a, ˇze s pravdˇepodobnost´ı v´ıce neˇz 95 % v˚ ubec nedojde ke ztr´atˇe) a nav´ıc jejich hodnoty jsou nevyˇsˇs´ı u portfoli´ı, kter´a jsou ve smyslu Markowitzova modelu nejm´enˇe riskantn´ı. Podrobnˇeji budeme tyto v´ysledky diskutovat v z´avˇereˇcn´e ˇc´asti. portfolio a1 a2 a3 a4 a5
a1 a2 a3 a4 a5
ORN 0,00% 0,00% 14,57% 42,79% 0,00%
r(x) 0,157 0,507 1,007 1,632 1,996
HES 1,26% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%
σ(x) 0,074 0,105 0,214 0,446 0,801
LMT 21,75% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%
pVaR0,95 (x) -0,036 -0,335 -0,656 -0,898 -0,678
AAPL 0,00% 34,80% 78,44% 0,08% 0,00%
GOOG 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%
VaR0,95 (x) -0,039 -0,306 -0,570 -0,774 -0,564 TEF 58,26% 61,68% 0,73% 0,00% 0,00%
pozn´amka nejniˇzˇs´ı riziko
nejniˇzˇs´ı VaR0,95 nejvyˇsˇs´ı v´ ynos TTM 0,00% 1,45% 6,26% 57,13% 100,00%
EON 18,74% 2,06% 0,00% 0,00% 0,00%
Tabulka 1: Vybran´a eficientn´ı portfolia pro u ´ lohu a.
15
BUD 0,00% 0,00% 0,00% 0,00% 0,00%
1.5 1.0 0.5
Očekávaný výnos
2.0
Eficientní hranice
0.2
0.4
0.6
0.8
Směrodatná odchylka
Obr´azek 4: Eficientn´ı hranice pro u ´ lohu a v mean-risk rovinˇe.
5.2
´ Uloha b
V t´eto u ´ loze n´am oproti u ´ loze a pˇribyla moˇznost investovat vedle ostatn´ıch (obecnˇe rizikov´ych) instrument˚ u do bezrizikov´eho aktiva. Jeho (nen´ahodn´y) v´ynos je r0 = 0,013. V´ahu t´eto investice oznaˇc´ıme x0 . Matematicky u ´ lohu b vyj´adˇr´ıme jako min x0 ,x
J J X X
xi xj Vij
(4)
i=1 j=1
s.t. x0 r0 +
J X j=1
x0 +
J X
xj rj ≥ rp ,
xj = 1,
j=1
xj ≥ 0,
j = 0, . . . , J.
Hranice rmin a rmax pro rp z´ısk´ame ˇreˇsen´ım u ´ loh odvozen´ych z u ´ lohy 4 analogicky ku ´ loh´am 2 a 3 – formulace zde jiˇz neuv´ad´ıme. Bude tak rp ∈ [0,013; 1,996]. Opˇet analogicky k pˇredchoz´ımu z´ısk´ame mnoˇzinu eficientn´ıch portfoli´ı. Pˇr´ısluˇsnou eficientn´ı hranici vid´ıme na obr´azku 5 a nˇekolik vybran´ych eficientn´ıch portfoli´ı uv´ad´ıme v tabulce 2.
16
portfolio b1 b2
b1 b2
x0 73,28% 37,66%
ORN 0,00% 0,00%
r(x) 0,163 0,363 HES 0,00% 0,00%
σ(x) 0,031 0,073 LMT 0,00% 0,00%
pVaR0,95 (x) -0,112 -0,244 AAPL 11,54% 26,93%
VaR0,95 (x) -0,100 -0,215
GOOG 0,00% 0,00%
TEF 14,64% 34,16%
pozn´amka
TTM 0,53% 1,25%
EON 0,00% 0,00%
BUD 0,00% 0,00%
Tabulka 2: Vybran´a eficientn´ı portfolia pro u ´ lohu b.
1.5 1.0 0.5 0.0
Očekávaný výnos
2.0
Eficientní hranice
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
Směrodatná odchylka
Obr´azek 5: Eficientn´ı hranice pro u ´ lohu b v mean-risk rovinˇe.
5.3
´ Uloha c
Dalˇs´ı moˇznost, kterou oproti pˇredchoz´ı u ´ loze nyn´ı z´ısk´ame, bude moˇznost vyp˚ ujˇcit si finanˇcn´ı prostˇredky aˇz do v´yˇse 30 % hodnoty portfolia. V´yp˚ ujˇcn´ı u ´ rokov´a m´ıra pˇritom je rv = 0,085. Velikost v´yp˚ ujˇcky oznaˇc´ıme xv . Tato promˇenn´a bude nab´yvat hodnot z intervalu [0; 0,3]. Celkovˇe tedy budeme m´ıt k dispozici k investov´an´ı (1 + xv )-n´asobn´e mnoˇzstv´ı p˚ uvodn´ıch prostˇredk˚ u. Od celkov´eho v´ynosu portfolia ale samozˇrejmˇe mus´ıme
17
odeˇc´ıst spl´acen´y u ´ rok z v´yp˚ ujˇcky. Matematicky tyto faktory zohledn´ıme n´asledovnˇe: min
x0 ,xv ,x
J X J X
(5)
xi xj Vij
i=1 j=1
s.t. x0 r0 +
J X j=1
x0 +
J X
xj rj − xv rv ≥ rp ,
xj = 1 + xv ,
j=1
xj ≥ 0, xv ≥ 0,
j = 0, . . . , J, xv ≤ 0,3.
´ Ulohu ˇreˇs´ıme analogicky k pˇredchoz´ım. Vol´ıme rp ∈ [0,013; 2,570] (tyto hranice opˇet z´ısk´ame vyˇreˇsen´ım pomocn´ych u ´ loh). Pˇr´ısluˇsn´a eficientn´ı hranice je zakreslena na obr´azku 6 a nˇekolik vybran´ych eficientn´ıch portfoli´ı uv´ad´ıme v tabulce 3. Dod´av´ame, ˇze dle zad´an´ı se mˇelo pro jednoduchost poˇc´ıtat s rp = r0 , nicm´enˇe zohlednit rozd´ıln´e u ´ rokov´e sazby pro n´as nepˇredstavovalo vˇetˇs´ı probl´em, a z tohoto d˚ uvodu jsme tedy poˇc´ıtali u ´ lohu rovnou se sazbami rozd´ıln´ymi (coˇz v´ıce odpov´ıd´a skuteˇcnosti). portfolio c1 c2
c1 c2
xv 7,63% 30,00%
x0 0,00% 0,00%
r(x) 1,013 2,088
ORN 13,49% 55,25%
σ(x) 0,215 0,576 HES 0,00% 0,00%
pVaR0,95 (x) -0,660 -1,140 LMT 0,00% 0,00%
VaR0,95 (x) -0,572 -0,978
AAPL 79,18% 1,18%
GOOG 0,00% 0,00%
pozn´amka nejniˇzˇs´ı VaR0,95 TEF 8,85% 0,00%
TTM 6,10% 73,57%
Tabulka 3: Vybran´a eficientn´ı portfolia pro u ´ lohu c.
18
EON 0,00% 0,00%
BUD 0,00% 0,00%
2.0 2.5 1.5 0.0 0.5 1.0
Očekávaný výnos
Eficientní hranice
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Směrodatná odchylka
Obr´azek 6: Eficientn´ı hranice pro u ´ lohu c v mean-risk rovinˇe.
5.4
´ Uloha d
V t´eto u ´ loze jiˇz nem´ame moˇznost p˚ ujˇcovat si penˇeˇzn´ı prostˇredky ani investovat do bezrizikov´eho aktiva. Novou moˇznost´ı jsou ale kr´atk´e prodeje aˇz do hodnoty 30 % p˚ uvodn´ıho vkladu. Znamen´a to pro n´as, ˇze v´ahy xj mohou b´yt i z´aporn´e, ale souˇcet jejich z´aporn´ych ˇc´ast´ı nesm´ı pˇre´ahnout 0,3. Matematick´y model pak bude vypadat takto: min + −
x ,x
s.t.
J X J X i=1 j=1
− x+ i − xi
− x+ − x j j Vij
J X j=1
− x+ j − xj rj ≥ rp ,
J X
− x+ = 1, j − xj
j=1
J X
(6)
x− j ≤ 0,3.
j=1 x+ j ≥
0,
x− j ≥ 0,
j = 0, . . . , J,
− V´ysledn´e v´ahy pak spoˇcteme jako xj = x+ j − xj . ´ Ulohu ˇreˇs´ıme stejn´ym zp˚ usobem, jako vˇsechny pˇredchoz´ı. Bude rp ∈ [0,081; 2,615]. V´yslednou eficientn´ı hranici vid´ıme na obr´azku 7 a vybran´a portfolia jsou uvedena v tabulce 4.
19
portfolio d1 d2 d3 d4
d1 d2 d3 d4
ORN -11,59% 0,00% 26,81% 53,48%
r(x) 0,081 0,756 1,506 2,156
HES 4,95% -30,00% -30,00% -4,27%
σ(x) 0,057 0,129 0,308 0,572
LMT 10,66% 0,00% 0,00% -25,73%
pVaR0,95 (x) 0,012 -0,543 -0,999 -1,215 AAPL 3,96% 56,61% 80,00% 0,32%
VaR0,95 (x) 0,000 -0,547 -0,922 -1,080
GOOG 1,94% 0,00% 0,00% 0,00%
TEF 90,37% 69,99% 0,00% 0,00%
pozn´amka nejniˇzˇs´ı riziko
nejniˇzˇs´ı VaR0,95 TTM -2,87% 2,29% 23,20% 76,20%
EON 3,31% 0,00% 0,00% 0,00%
BUD -0,74% 1,11% 0,00% 0,00%
Tabulka 4: Vybran´a eficientn´ı portfolia pro u ´ lohu d.
2.0 2.5 1.5 0.0 0.5 1.0
Očekávaný výnos
Eficientní hranice
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Směrodatná odchylka
Obr´azek 7: Eficientn´ı hranice pro u ´ lohu d v mean-risk rovinˇe.
5.5
´ Uloha e
Posledn´ı u ´ loha se ˇreˇs´ı za stejn´ych podm´ınek jako u ´ loha a, nicm´enˇe n´am pˇrib´yv´a nov´e omezen´ı: nesm´ıme do ˇz´adn´eho aktiva investovat v´ıce neˇz 15 % z celkov´eho vkladu, tj. pro
20
vˇsechny v´ahy mus´ı platit xj ≤ 0,15. Matematicky u ´ lohu zap´ıˇseme jako min x
J X J X
(7)
xi xj Vij
i=1 j=1
s.t.
J X
xj rj ≥ rp ,
J X
xj = 1,
j=1
j=1
xj ≥ 0,
xj ≤ 0,15,
j = 1, . . . , J.
´ Ulohu ˇreˇs´ıme stejn´ym zp˚ usobem, jako pˇredchoz´ı u ´ lohy. Bude rp ∈ [0,357; 0,822]. V´ysledn´a eficientn´ı hranice je zakreslena obr´azku 8 a vybran´a portfolia jsou uvedena v tabulce 5. portfolio e1 e2 e3 ORN 7,02% 12,91% 15,00%
HES 15,00% 3,47% 0,00%
σ(x) 0,124 0,160 0,230
LMT 15,00% 15,00% 0,00%
pVaR0,95 (x) -0,148 -0,314 -0,443
AAPL 15,00% 15,00% 15,00%
GOOG 15,00% 15,00% 15,00%
VaR0,95 (x) -0,094 -0,258 -0,329 TEF 15,00% 15,00% 15,00%
pozn´amka nejniˇzˇs´ı riziko nejvyˇsˇs´ı v´ ynos TTM 0,00% 8,62% 15,00%
EON 15,00% 15,00% 10,00%
Tabulka 5: Vybran´a eficientn´ı portfolia pro u ´ lohu e.
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
Eficientní hranice
Očekávaný výnos
e1 e2 e3
r(x) 0,352 0,577 0,822
0.14
0.16
0.18
0.20 0.22
Směrodatná odchylka
Obr´azek 8: Eficientn´ı hranice pro u ´ lohu e v mean-risk rovinˇe.
21
BUD 2,98% 0,00% 15,00%
6
Z´ avˇ er
Na z´avˇer se pokus´ıme prodiskutovat z´ıskan´e v´ysledky. Mnoh´eho si lze vˇsimnout z n´azorn´eho obr´azku 9, kde vid´ıme v mean-risk rovinˇe zakreslen´e vˇsechny eficientn´ı hranice najednou. Vedle toho jsou jeˇstˇe jednou zakresleny jednotliv´e tituly.
1.5
TTM
1.0
AAPL
0.5
ORN
GOOG
BUD
Úloha a Úloha b Úloha c Úloha d Úloha e
TEF EON
0.0
Očekávaný výnos
2.0
2.5
Akcie a eficientní hranice
HES LMT
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Směrodatná odchylka
Obr´azek 9: Akciov´e tituly a eficientn´ı hranice v mean-risk rovinˇe. Ze zastoupen´ı jednotliv´ych titul˚ u v eficientn´ıch portfoli´ıch u ´ lohy a (viz tabulka 1) vid´ıme, ˇze konzervativn´ı investor bude d´avat pˇrednost zejm´ena titulu Telefonica, m´enˇe konzervativn´ı investor bude m´ıt ve sv´em portfoliu nejv´ıce zastoupen titul Apple, a investor orientuj´ıc´ı se na zisk d´a pˇrednost titul˚ um Orion Marine a zejm´ena Tata Motors. To je v souladu s t´ım, ˇze tituly Telefonica, Apple a Tata Motors leˇz´ı (nebo t´emˇeˇr leˇz´ı) na r˚ uzn´ych ˇc´astech eficientn´ı hranice u ´ lohy a (viz obr´azek 9) a patˇr´ı tedy mezi v jist´em smyslu nejkvalitnˇejˇs´ı tituly. Naopak tituly Hess Corp., Google a Anheuser-Busch jsou v eficientn´ıch portfoli´ıch u ´ lohy a zastoupeny velmi m´alo nebo v˚ ubec. Vezmˇeme si napˇr´ıklad titul Google: m´a (zhruba) stejn´y rozptyl v´ynos˚ u jako Apple, pˇritom ale niˇzˇs´ı oˇcek´avan´y v´ynos, a nav´ıc, jak je vidˇet z korelaˇcn´ı matice v ˇc´asti 4.2, je se vˇsemi ostatn´ımi tituly pozitivnˇe korelovan´y (tud´ıˇz 22
pravdˇepodobnˇe pˇri zaˇrazen´ı do portfolia nepˇrinese ˇz´adnou v´yhodu v podobˇe kladn´ych v´ynos˚ u, kdyˇz jin´y zaˇrazen´y titul bude m´ıt v´ynosy z´aporn´e). D´ıky tˇemto okolnostem se v portfoli´ıch neobjevuje. Podobnˇe to plat´ı i pro oba dalˇs´ı zm´ınˇen´e tituly. V u ´ loze b je vidˇet, ˇze pˇr´ısluˇsn´a eficientn´ı hranice je z velk´e ˇc´asti shodn´a s eficientn´ı hranic´ı u ´ lohy a, pouze na zaˇc´atku se odliˇsuje. To odpov´ıd´a tomu, ˇze zpoˇc´atku jsou eficientn´ı portfolia tvoˇrena zejm´ena bezrizikov´ym aktivem, posl´eze (kdyˇz v´ynosy bezrizikov´eho aktiva nemohou pokr´yt poˇzadovan´y v´ynos) jsou eficientn´ı portfolia u ´ lohy b shodn´a s eficientn´ı portfolii u ´ lohy a. Eficientn´ı hranice u ´ lohy c je naopak s eficientn´ı hranic´ı u ´ lohy b shodn´a ve sv´em poˇc´atku. To odpov´ıd´a tomu, ˇze pro menˇs´ı poˇzadovan´e v´ynosy nen´ı tˇreba p˚ ujˇcovat si finanˇcn´ı prostˇredky – jednotliv´e eficientn´ı hranice se od sebe oddˇel´ı aˇz ve chv´ıli, kdy se v ˇreˇsen´ı u ´ lohy c objev´ı nenulov´a v´yp˚ ujˇcka. D´ıky moˇznosti p˚ ujˇcky (a t´ım p´adem vˇetˇs´ım moˇzn´ym investic´ım) je v t´eto u ´ loze i vyˇsˇs´ı maxim´aln´ı moˇzn´y oˇcek´avan´y v´ynos. Vu ´ loze d jsme povolili kr´atk´e prodeje. Ze sloˇzen´ı jednotliv´ych portfoli´ı (viz tabulka 4) vid´ıme, ˇze na kr´atko prod´av´ame zejm´ena tituly Hess Corp. a Lockheed Martin Corp. D˚ uvod je jednoduch´y – maj´ı z´aporn´e oˇcek´avan´e v´ynosy a jejich kr´atk´ym prodejem spekulujeme na jejich pokles (ztr´atu). Pˇr´ısluˇsn´a eficientn´ı hranice leˇz´ı v cel´em sv´em pr˚ ubˇehu nad eficientn´ı hranic´ı u ´ loh a, b a c – je tedy vidˇet, ˇze kr´atk´e prodeje n´am pomohou k lepˇs´ımu (ve smyslu mean-variance polohy) portfoliu. Eficientn´ı hranice u ´ lohy e je o pozn´an´ı kratˇs´ı, neˇz ostatn´ı eficientn´ı hranice. To je zp˚ usobeno t´ım, ˇze omezen´ı na skladbu portfolia n´am velmi zredukovala moˇznosti, jak´a portfolia vystavˇet: M´ame totiˇz k dispozici 9 r˚ uzn´ych titul˚ u a do jednoho z nich lze investovat maxim´alnˇe 15 % naˇsich prostˇredk˚ u – to ale znamen´a, ˇze v jednotliv´ych portfoli´ıch bude zastoupeno vˇzdy aspoˇ n 7 z celkov´ych 9 titul˚ u. V tabulk´ach 1 aˇz 5 si lze vˇsimnout neobvykl´e vˇeci: hodnoty Value-at-Risk jsou vˇzdy (aˇz na jednu v´yjimku) z´aporn´e. Z´aporn´y VaR0,95 znamen´a, ˇze nejhorˇs´ı ztr´ata, k n´ıˇz s pravdˇepodobnost´ı 95 % dojde, bude z´aporn´a. S pravdˇepodobnost´ı alespoˇ n 95 % (ale patrnˇe jeˇstˇe vˇetˇs´ı) tedy k ˇz´adn´e skuteˇcn´e ztr´atˇe nedojde – st´ale p˚ ujde o kladn´y zisk! Tento v´ysledek je patrnˇe zp˚ usobem pouˇzit´ymi daty – t´ım, ˇze jsme pouˇzili data o v´ynosech po 15. z´aˇr´ı 2008. V tento den totiˇz zejm´ena americk´e burzy, na nichˇz se vˇetˇsina pouˇzit´ych titul˚ u obchoduje, zaˇzily velk´y p´ad – velk´e mnoˇzstv´ı titul˚ u pokleslo o des´ıtky aˇz stovky procent. Od t´e doby aˇz do nynˇejˇska se burzy postupnˇe zotavuj´ı, a kurzy n´ami pouˇzit´ych titul˚ u tak postupnˇe stoupaj´ı smˇerem k p˚ uvodn´ım hodnot´am (pˇred finanˇcn´ı kriz´ı). To vede k tomu, ˇze i pˇres pˇr´ıpadn´e kr´atkodob´e poklesy kurzy jednotliv´ych titul˚ u meziroˇcnˇe stoupaj´ı. Nav´ıc vzhledem k mal´e d´elce obdob´ı, z nˇehoˇz naˇse data poch´az´ı, hraje v naˇsich v´ynosech roli t´emˇeˇr v´yhradnˇe tento trend. Vzhledem k tˇemto okolnostem je snad zˇrejm´e, ˇze v optimalizovan´ych portfoli´ıch se stˇeˇz´ı najde nˇejak´e, u nˇehoˇz by s nezanedbatelnou pravdˇepodobnost´ı doˇslo ke ztr´atˇe. Stejnˇe se daj´ı vysvˇetlit obrovsk´e oˇcek´avan´e zisky nˇekter´ych portfoli´ı – pˇres 250 % u tˇech, kde je majoritnˇe zastoupen titul Tata Motors, ale tak´e st´ale okolo 100 % u v´ıce diverzifikovan´ych portfoli´ı. Dalˇs´ı neobvyklou vˇec´ı je, ˇze portfolia, kter´a jsou dle Markowitzova modelu nejm´enˇe rizikov´a, patˇr´ı mezi nejrizikovˇejˇs´ı s ohledem na VaR. Naopak VaR je nejniˇzˇs´ı u portfoli´ı, jejichˇz smˇerodatn´a odchylka je, v r´amci dan´e eficientn´ı hranice, zhruba uprostˇred 23
mezi smˇerodatnou odchylkou nejrizikovˇejˇs´ıho (v Markowitzovˇe smyslu) portfolia a nejv´ynosnˇejˇs´ıho portfolia. To je pravdˇepodobnˇe opˇet zp˚ usobeno neobvyklou strukturou dat – v dan´em obdob´ı t´emˇeˇr nedoch´azelo k pokles˚ um, a tak i kdyˇz je ve v´ynosech nejziskovˇejˇs´ıch titul˚ u velk´y rozptyl, jejich 5 % nejniˇzˇs´ıch meziroˇcn´ıch v´ynos˚ u bude poˇr´ad dost vysok´ych. Naopak tituly s menˇs´ım rozptylem maj´ı zpravidla i menˇs´ı v´ynosy a v naˇsem pˇr´ıpadˇe tedy vˇetˇs´ı VaR. Pˇredpokl´ad´ame, ˇze pokud bychom pouˇzili data za delˇs´ı obdob´ı (data i pˇred reces´ı, kter´a jsme ale, jak jsme jiˇz zm´ınili, nepouˇzili kv˚ uli konzistenci dat), k tˇemto neobvykl´ym jev˚ um by nedoˇslo. U vˇetˇsiny vybran´ych portfoli´ı si lze povˇsimnout, ˇze pro nˇe plat´ı pVaR0,95 (x) < VaR0,95 (x), coˇz by se dalo vysvˇetlit t´ım, ˇze skuteˇcn´e rozdˇelen´ı ztr´at m´a tˇeˇzˇs´ı chvosty, neˇz norm´aln´ı rozdˇelen´ı. Z´avˇerem lze tedy ˇr´ıci, ˇze v´ysledky, ke kter´ym jsme dospˇeli, odpov´ıdaj´ı tomu, co bychom vzhledem k naˇsim znalostem Markowitzova modelu a vzhledem ke struktuˇre pouˇzit´ych dat oˇcek´avali.
24
Zdroje
[1] Dupaˇcov´a J. Markowitz˚ uv model optim´aln´ı volby portf´olia: pˇredpoklady, data, alternativy. Studijn´ı materi´al. [2] Mus´ılek P. (2002). Trhy cenn´ych pap´ır˚ u. Ekopress, Praha. [3] Bloomberg Businessweek. http://www.businessweek.com/ [4] Yahoo! Finance. http://finance.yahoo.com/ [5] Kurzy.cz. http://www.kurzy.cz/ ˇ a n´arodn´ı banka. http://www.cnb.cz/ [6] Cesk´ [7] Brokerjet.cz. http://brokerjet.cz/ [8] Microsoft Office 2007. http://www.microsoft.com/cze/office/ [9] R 2.9.0. http://cran.r-project.org/ [10] GAMS 23.0.2. http://www.gams.com/
25
