Manajemen Sains. Eko Prasetyo. Teknik Informatika UMG Modul 3 PEMROGRAMAN LINIER METODE SIMPLEKS

Modul 3 PEMROGRAMAN LINIER METODE SIMPLEKS Dalam menggunakan metode simpleks, hal yang perlu diperhatikan adalah mengonversi constraint yang masih dalam bentuk pertidaksamaan menjadi persamaan menggunakan bantuan variabel slack. Dan nilai di sisi kanan harus non negatif. Dalam constraint yang menggunakan tanda ≤ dapat dipikirkan merupakan representasi batas ketersediaan sumber daya, dimana sisi kiri adalah representasi penggunaan sumber daya oleh aktivitas (variabel) model. Perbedaan antara sisi kanan dan sisi kiri tanda ≤ merupakan sejumlah sumber daya yang belum digunakan atau slack.

1. Mengonversi pertidaksamaan (≤ atau ≥) menjadi persamaan

11

Langkah-langkah awal sebelum menggunakan metode simpleks :

Ek M o Te an Pra kn aje se ik me ty In n o fo S rm ai at ns ik a U M

G

20

Untuk mengonversi pertidaksamaan (≤) menjadi persamaan, sebuah variabel slack nonnegative ditambahkan pada sisi kiri constraint. Misalnya pada kasus Reddy Mikks, constraint yang menyatakan penggunakan bahan baku M1 diberikan oleh : 6x1 + 4x2 ≤ 24

Definisikan s1 sebagai variabel slack dari M1, maka constraint dapat dikonversi menjadi : 6x1 + 4x2 + s1 = 24, s1 ≥ 0

Selanjutnya, untuk constraint dengan tanda ≥, menyatakan batas terendah aktivitas model program linear, sehingga jumlah yang dinyatakan disisi kiri melewati batas minimal yang direpresentasikan sebagai surplus. Konversi dari ≥ ke = dicapai dengan mengurangi dengan variabel surplus non negatif dari sisi kiri pertidaksamaan. Misalnya, dalam kasus Ozark Farm, constraint yang menyatakan kebutuhan makanan : x1 + x2 ≥ 800 Definisikan r1 sebagai variabel surplus, constraint dapat dikonversi menjadi persamaan berikut : x1 + x2 - r1 = 800, r1 ≥ 0 Sedangkan untuk kasus dimana sisi kanan constraint bernilai negatif, maka harus dilakukan perkalian kedua sisi dengan -1 setelah langkah diatas dilakukan. Misalnya constraint : 17

-x1 + x2 ≤ -3 Maka bentuk persamaannya menjadi : -x1 + x2 + r1 = -3, r1 ≥ 0 Selanjutnya kedua sisi dikalikan dengan -1, sehingga sisi kanan bernilai positif : x1 - x2 - r1 = 3 2. Menambahkan variabel slack ke fungsi tujuan dengan koefisien nol Pada kasus model Reddy Mikks, fungsi tujuan Z = 5x1 + 4x2 dengan 4 variabel slack menjadi Z = 5x1 + 4x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4. 3. Memindahkan komponen sisi kanan fungsi tujuan ke sisi kanan

11

Pada kasus model Reddy Mikks, fungsi tujuan Z = 5x1 + 4x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 + 0s4 menjadi Z - 5x1 - 4x2 - 0s1 - 0s2 - 0s3 - 0s4 = 0.

G

20

Dalam menyelesaikan kasus pemrograman linier, metode simpleks memberikan langkahlangkah penyelesaian sebagai berikut :


1. Menentukan awal basis solusi layak

2. Memilih variabel masuk menggunakan syarat keoptimalan. Berhenti jika tidak ada lagi variabel masuk, solusi terakhir adalah solusi optimal. Jika tidak maka ke langkah 3. 3. Memilih variabel keluar menggunakan syarat kelayakan.

4. Menentukan solusi dasar yang baru menggunakan perhitungan Gauss-Jordan. Kembali ke langkah 2. Syarat keoptimalan (optimality condition). Variabel masuk dalam kasus pemaksimalan (peminimalan) adalah variabel nonbasis yang mempunyai koefisien negatif terbesar (pemaksimalan) atau positif terbesar (peminimalan) dalam baris z-row. Syarat optimal dicapai pada iterasi dimana semua koefisien z-row dari variabel nonbasis tidak negatif (pemaksimalan) atau tidak positif (peminimalan) Syarat kelayakan (feasibility condition). Untuk kedua masalah pemaksimalan dan peminimalan, variabel keluar adalah variabel basis yang dikaitkan dengan rasio non negatif terkecil. Operasi baris Gauss-Jordan : 1. Menentukan baris kunci : a. Gantilah variabel keluar dalam kolom basis dengan variabel masuk 18

b. Baris kunci baru = Baris kunci ÷ elemen kunci 2. Mengganti nilai baris yang lain : Baris baru = Baris lama – koefisien kolom kunci × Baris kunci baru Variabel basis adalah variabel yang berkontribusi (mempunyai nilai) memberikan solusi yang diminta. Variabel nonbasis adalah variabel yang tidak berkontribusi (bernilai 0) dalam pemberian solusi. Inisialisasi dalam metode simpleks : 1. x1, x2, … adalah variabel non basis 2. s1, s2, … adalah variabel basis

20

11

Dalam iterasi metode simpleks, satu persatu variabel slack akan berubah menjadi variabel non basis karena keluar dari solusi dasar (variabel keluar), dan variabel keputusan akan berubah menjadi variabel basis karena masuk ke basis solusi (variabel masuk).


Contoh 3-1

G

3.1 Program Linier pada kasus memaksimalkan

Perusahaan Reddy Mikks memproduksi cat interior dan exterior dari dua bahan baku, M1 dan M2. Tabel dibawah ini adalah informasi mengenai kebutuhan bahan baku, ketersediaan, dan keuntungannya.

Produk Cat Ext Cat Int Kapasitas

Kebutuhan bahan baku (ton) M1 M2 6 1 4 2 24 6

Keuntungan (x1000) 5 4 Z

Survey pasar menunjukkan bahwa kebutuhan perhari untuk cat interior tidak boleh melebihi cat exterior lebih dari 1 ton, juga kebutuhan harian maksimal untuk cat interior adalah 2 ton. Reddy Mikks ingin menentukan jumlah optimal (terbaik) produk antara cat interior dan exterior dengan memaksimalkan total keuntungan harian. Penyelesaian Model lengkap Reddy Mikks: Konversi model Reddy Mikks menjadi : Kendala : 19

6x1 + 4x2 + s1 = 24 (bahan baku M1) x1 + 2x2 + s2 = 6 (bahan baku M2) -x1 + x2 + s3 = 1 (batas pasar) x2 + s4 = 2 (batas kebutuhan) x1, x2, s1, s2, s3, s4 ≥ 0 Maksimalkan Z = 5x1 + 4x2 + 0s1 + 0s2 + 0s3 +0s4

(1) (2) (3) (4)

Variabel s1, s2, s3, dan s4 adalah variabel slack yang dikaitkan dengan constraint yang bersangkutan. Fungsi tujuan diubah menjadi : Z - 5x1 - 4x2 - 0s1 - 0s2 - 0s3 - 0s4 = 0 Tabel awal simpleks dapat dilihar sebagai berikut :


G

20

11

Basis Z x1 x2 s1 s2 s3 s4 Solusi Z 1 -5 -4 0 0 0 0 0 z-row s1 0 6 4 1 0 0 0 24 s1-row s2 0 1 2 0 1 0 0 6 s2-row s3 0 -1 1 0 0 1 0 1 s3-row s4 0 0 1 0 0 0 1 2 s4-row Informasi dari tabel diatas adalah bahwa sejumlah variabel basis dan nonbasis telah dimasukkan pada awal iterasi. Iterasi awal simplekas dimulai pada titik (x1,x2) = (0,0) yang jika dikaitkan dengan himpunan variabel basis dan nonbasis adalah : Variabel nonbasis (nol) : {x1,x2} Variabel basis : {s1, s2, s3, s4}

Dengan mensubstitusikan variabel nonbasis (x1,x2) = (0,0) pada constraint dan fungsi tujuan maka variabel basis (s1, s2, s3, s4) didapatkan : Z=0

s1 = 24 s2 = 6 s3 = 1 s4 = 2

Informasi diatas ditunjukkan dalam tabel pada kolom Basis dan nilainya di kolom Solusi sebelah kanan. Perlu diingat bahwa variabel basis adalah variabel yang mempunyai hubungan dengan nilai fungsi tujuan Z. Sedangkan variabel nonbasis sellau bernilai nol (tidak ada dalam kolom Basis). 20

Solusi dari fungsi Z = 5x1 + 4x2 yang ditunjukkan oleh tabel dapat ditingkatkan dengan meningkatkan x1 dan x2. Untuk variabel yang akan masuk sebagai variabel basis dipilih nilai variabel nonbasis yang mempunyai nilai koefisien positif terbesar. Karena fungsi tujuan dalam tabel simpleks adalah Z – 5x1 – 4x2 = 0, variabel masuk akan dikaitkan pada variabel dengan koefisien negatif terbesar dalam fungsi tujuan. Aturan ini disebut dengan syarat optimal. Mekanisme penentuan variabel keluar dari tabel simpleks dilakukan dengan menghitung rasio non negatif dari sisi kanan persamaan (kolom Solusi) pada koefisien constraint yang bersangkutan dengan variabel masuk seperti yang ditunjukkan dibawah ini : Basis

G

20

11

s1 s2 s3 s4

Masuk Solusi Rasio x1 6 24 x1 = 24/6 = 4 minimal 1 6 x1 = 6/1 = 6 -1 1 x1 = 1/-1 = -1 (diabaikan) 0 2 x1 = 2/0 = ∞ (diabaikan) Kesimpulan : x1 masuk dan s1 keluar


Dari tabel diatas dapat dilihat bahwa rasio nonnegative minimal didapatkan pada variabel basis s1. Solusi yang baru didapatkan dengan menukar x1 sebagai variabel masuk (menjadi variabel basis) dengan s1 sebagai variabel keluar (menjadi variabel nonbasis). Sehingga himpunan variabel basis dan nonbasis menjadi : Variabel nonbasis (nol) : {s1, x2} Variabel basis : {x1, s2, s3, s4}

Proses penukaran didasarkan pada operasi Gauss-Jordan. Operasi ini menjadikan kolom variabel masuk sebagai kolom kunci dan variabel keluar sebagai baris kunci. Elemen yang tepat menjadi anggota kolom kunci dan baris kunci disebut elemen kunci. Tabel akan diupdate berdasarkan baris dan kolom yang dihighlight.

Keluar

Basis Z s1 s2 s3 s4

Z 1 0 0 0 0

Masuk ↓ x1 -5 6 1 -1 0 Kolom kunci

x2 -4 4 2 1 1

s1 0 1 0 0 0

21

s2 0 0 1 0 0

s3 0 0 0 1 0

s4 0 0 0 0 1

Solusi 0 24 6 1 2

Baris kunci

Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru : 1. Baris kunci Ganti s1 pada kolom Basis dengan x1 Baris x1 baru = Baris s1 ÷ elemen kunci = [0 6 4 1 0 0 0 24] / 6 = [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4] 2. Baris yang lain Baris z baru = Baris z – (-5) × Baris x1 baru = [1 -5 -4 0 0 0 0 0] – (-5) × [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4]

11

= [1 -5 -4 0 0 0 0 0] – [0 -5 -10/3 -5/6 0 0 0 -20]

G


Baris s2 baru = Baris s2 – (1) × Baris x1 baru

20

= [1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20]

= [0 1 2 0 1 0 0 6] – (1) × [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4] = [0 1 2 0 1 0 0 6] – [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4] = [0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2]

Baris s3 baru = Baris s3 – (-1) × Baris x1 baru

= [0 -1 1 0 0 1 0 1] – (-1) × [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4] = [0 -1 1 0 0 1 0 1] – [0 -1 -2/3 -1/6 0 0 0 -4] = [0 0 5/3 1/6 0 1 0 5]


= [0 0 1 0 0 0 1 2] – (0) × [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4] = [0 0 1 0 0 0 1 2] – [0 0 0 0 0 0 0 0] = [0 0 1 0 0 0 1 2] Solusi baru adalah (x1, s2, s3, s4) dan tabel simpleks berubah menjadi :

22

Basis Z x1 s2 s3 s4

Z 1 0 0 0 0

x1 0 1 0 0 0

x2 -2/3 2/3 4/3 5/3 1

s1 5/6 1/6 -1/6 1/6 0

s2 0 0 1 0 0

s3 0 0 0 1 0

s4 0 0 0 0 1

Solusi 20 4 2 5 2

Dari tabel diatas, terlihat bahwa fungsi tujuan Z = 20. Selanjutnya dicari lagi variabel masuk pada baris Z (fungsi tujuan) yang mempunyai koefisien negatif terbesar, ditemukan x2 dengan koefisien -2/3 sebagai variabel masuk. Syarat optimal ditunjukkan bahwa x2 adalah variabel masuk. Syarat layak ditunjukkan dibawah ini : Masuk Solusi Rasio x2 2/3 4 x2 = 4/(2/3) = 6 4/3 2 x2 = 2/(4/3) = 3/2 minimal 5/3 5 x2 = 5/(5/3) = 3 1 2 x2 = 2/1 = 2 Kesimpulan : x2 masuk dan s2 keluar

Basis


G

20

11

x1 s2 s3 s4

Nilai rasio positif terkecil menjadi baris kunci dan kolom pada fungsi tujuan dengan koefisien negatif terbesar menjadi kolom kunci.

Keluar

Basis Z x1 s2 s3 s4

Z 1 0 0 0 0

x1 0 1 0 0 0

Masuk ↓ x2 -2/3 2/3 4/3 5/3 1 Kolom kunci

s1 5/6 1/6 -1/6 1/6 0

Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru : 1. Baris kunci Ganti s2 pada kolom Basis dengan x2 Baris x2 baru = Baris s2 ÷ elemen kunci 23

s2 0 0 1 0 0

s3 0 0 0 1 0

s4 0 0 0 0 1

Solusi 20 4 2 5 2

Baris kunci

= [0 0 4/3 -1/6 1 0 0 2] / (4/3) = [0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2] 2. Baris yang lain Baris z baru = Baris z – (-2/3) × Baris x2 baru = [1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20] – (-2/3) × [0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2] = [1 0 -2/3 5/6 0 0 0 20] – [0 0 -2/3 1/12 -1/2 0 0 -1] = [1 0 0 ¾ ½ 0 0 21] Baris x1 baru = Baris x1 – (2/3) × Baris x2 baru = [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4] – (2/3) × [0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2]

11

= [0 1 2/3 1/6 0 0 0 4] – [0 0 2/3 -1/12 1/2 0 0 1]

20

= [0 1 0 1/4 -1/2 0 0 3]


G

Baris s3 baru = Baris s3 – (5/3) × Baris x1 baru = [0 0 5/3 1/6 0 1 0 5] – (5/3) × [0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2] = [0 0 5/3 1/6 0 1 0 5] – [0 0 5/3 -5/24 5/4 0 0 5/2] = [0 0 0 3/8 -5/4 1 0 5/2]


= [0 0 1 0 0 0 1 2] – (1) × [0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2] = [0 0 1 0 0 0 1 2] – [0 0 1 -1/8 3/4 0 0 3/2] = [0 0 0 1/8 -3/4 0 1 1/2]

Solusi baru adalah (x1, x2, s3, s4) dan tabel simpleks berubah menjadi : Basis Z x1 x2 s3 s4

Z 1 0 0 0 0

x1 0 1 0 0 0

x2 0 0 1 0 0

s1 ¾ ¼ -1/8 3/8 1/8

s2 ½ -1/2 ¾ -5/4 -3/4

s3 0 0 0 1 0

s4 0 0 0 0 1

Solusi 21 3 3/2 5/2 1/2

Berdasarkan pada syarat optimal, tidak ada dalam koefisien z-row yang variabel nonbasis (s1 dan s2) nilainya negatif. Sehingga tabel diatas sudah mencapai optimal. 24

Solusi optimal bisa dibaca dari tabel simpleks dengan cara berikut : Nilai optimal variabel dikolom Basis diberikan disisi kanan. Kolom Solution dapat diartikan sebagai berikut : Variabel keputusan x1 x2 Z

Nilai Optimal 3 3/2 21

Rekomendasi Produksi 3 ton cat exterior perhari Produksi 1.5 ton cat interior perhari Keuntungan harian adalah 21(x1000)

Kita bisa melakukan verifikasi bahwa nilai s1 = 0, s2 = 0, s3 = 5/2, dan s4 = ½ adalah sesusi dengan nilai yang yang diberikan oleh x1 dan x2 seperti diatas dengan memasukannya kedalam constraint.


G

20

11

Solusi tersebut juga memberikan informasi mengenai status sumber daya. Sumber daya yang dirancang sebagai scarce jika aktivitas (variabel) model menggunakan semua sumber daya. Jika sebaliknya, maka sumber daya ditolak. Informasi diamankan oleh tabel optimal dengan pemeriksaan nilai variabel slack yang dikaitkan dengan constraint yang merepresentasikan sumber daya. Jika nilai slack adalah nol, berarti sumber daya digunakan semua, dan diklasifikasikan sebagai scarce. Sebaliknya, nilai slack positif menunjukkan sumber daya berlimpah. Klasifikasi constraint ada di tabel berikut : Sumber daya Bahan baku M1 Bahan baku M2 Batas pasar Batas kebutuhan

Nilai slack s1 = 0 s2 = 0 s3 = 5/2 s4 = 1/2

Status Scarce Scarce Abundant Abundant

3.2 Solusi Awal Buatan

Pemrograman linear yang constraintnya menggunakan tanda ≤ dengan nilai non negatif disisi kanan menyebabkan semua variabel slack memulai solusi layak awal. Model yang menggunakan tanda = dan atau ≥ tidak seperti itu. Prosedur untuk awal pemrograman linear dengan tanda = dan ≥ pada constraint adalah menggunakan variabel buatan (artificial variables) yang memainkan peranan slack diawal iterasi dan kemudian mengatur keabsahannya diakhir iterasi. Dua metode terkait adalah : metode M dan metode dua fase 3.2.1 Metode M Metode M memulai LP dalam bentuk persamaan. Jika persamaan i tidak mempunyai slack, sebuah variabel buatan ri ditambahkan untuk membentuk solusi awal yang menyerupai semua basis solusi awal. Bagaimanapun, karena variabel buatan bukan bagian dari model asli LP, 25

kehadirannya memberikan pelanggaran yang sangat berat dalam fungsi tujuan, maka pemaksaan variabel buatan agar bernilai nol harus dilakukan. Hal ini akan terjadi dalam kasus jika masalah mempunyai solusi yang layak. Aturan pelanggaran pada variabel buatan : Diberikan M, nilai positif yang cukup besar (secara matematis M ∞), koefisien tujuan variabel buatan merepresentasikan pelanggaran (penalty) yang tepat jika : - M, dalam masalah memaksimalkan Koefisien obyektif variabel buatan =   M, dalam masalah meminimalkan Contoh 3-2 Minimalkan Z = 4x1 + x2

11

Constraint :

20

3x1 + x2 = 3

G

4x1 + 3x2 ≥ 6


x1 + 2x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0 Penyelesaian

Menggunakan r1 sebagai variabel surplus dalam constraint kedua dan s1 sebagai slack dalam constraint ketiga, bentuk persamaan masalah menjadi : Minimalkan Z = 4x1 + x2 Constraint :

3x1 + x2

=3

4x1 + 3x2 – r1

=6

x1 + 2x2

+ s1

=4

x1, x2, r1, s1 ≥ 0 Persamaan ketiga mempunyai variabel slack yaitu s1, tetapi persamaan pertama dan kedua tidak. Maka kita tambahkan variabel buatan R1 dan R2 dalam persamaan pertama dan kedua dan melanggar fungsi tujuan dengan MR1 + MR2 (karena meminimalkan). Hasil LP menjadi : Minimalkan Z = 4x1 + x2 + MR1 + MR2 Constraint : 26

3x1 + x2

+ R1 = 3

4x1 + 3x2 – r1 x1 + 2x2

+ R2 = 6 + s1

=4

x1, x2, r1, s1, R1, R2 ≥ 0 Solusi basis awal diberikan oleh (R1, R2, s1) = (3,6,4). Dari titik awal solusi masalah, M harus mengasumsikan sebuah nilai. Nilai M ini nantinya akan dimanipulasi secara aljabar dalam tabel simpleks. Berapa nilai awal M yang baik digunakan ? Tergantung pada data asli LP. Nilai M sebaiknya cukup besar yang relative terhadap koefisien obyektif yang asli sehingga dapat bertindak sebagai pelanggaran yang memaksakan variabel buatan pada level nol dalam solusi optimal. Tetapi nilai M juga tidak boleh terlalu besar karena bisa membawa hasil tak terhingga.

20

11

Dalam kasus contoh ini, nilai koefisien obyektif x1 dan x2 adalah 4 dan 1, maka cukup beralasan jika M = 100. Dengan menggunakan M = 100 maka tabel simpleks dibentuk seperti dibawah : x2 -1 1 3 2

r1 0 0 -1 0

R1 -100 1 0 0

R3 -100 0 1 0

s1 0 0 0 1

Solusi 0 3 6 4

G

x1 -4 3 4 1


Basis Z R1 R2 s1

Sebelum diproses dengan metode simpleks, kita perlu membuat z-row konsisten dengan hasil tabel. Dalam tabel, x1 = x2 = r1 = 0, yang merupakan solusi basis awal R1 = 3, R2 = 6, dan s1 = 4. Solusi ini berarti Z = 100 (3) + 100 (6) = 900 (seharusnya 0, seperti sisi kanan z-row yang tampak ditabel). Ketidakkonsistenan ini muncul dari fakta bahwa R1 dan R2 mempunyai koefisien nonzero (-100, -100) dalam z-row (bandingkan dengan semua solusi awal slack pada contoh sebelumnya) dimana koefisien z-row dari slack adalah nol. Kita dapat menghilangkan inkonsistensi ini mensubstitusi R1 dan R2 dalam z-row menggunakan persamaan constraint yang tepat. Dalam tabel dibawah ini, elemen bernilai 1 yang dihighlight dalam R1-row dan R2-row, perkalian setiap R1-row dan R2-row oleh 100 dan menambahkan jumlahnya ke z-row akan mensubstitusi R1 dan R2 dalam baris obyektif. Sehingga : Z-row baru = Z-row lama + (100 × R1-row + 100 × R2-row) Z-row baru = [-4 -1 0 -100 -100 0 0] + (100 × [3 1 0 1 0 0 3] + 100 × [4 3 -1 0 1 0 6]) Z-row baru = [-4 -1 0 -100 -100 0 0] + ([300 100 0 100 0 0 300] + [400 300 -100 0 100 0 600]) 27

Z-row baru = [-4 -1 0 -100 -100 0 0] + [700 400 -100 100 100 0 900] Z-row baru = [696 399 -100 0 0 0 900] Perubahan tabel menjadi : Basis Z R1 R2 s1

x1 696 3 4 1

x2 399 1 3 2

r1 -100 0 -1 0

R1 0 1 0 0

R3 0 0 1 0

s1 0 0 0 1

Solusi 900 3 6 4

Dari tabel diatas, dapat dipastikan bahwa nilai Z=900, konsisten/tepat dengan nilai solusi layak awal : R1 = 3, R2 = 6, dan s1 = 4.


G

20

11

Tabel yang terakhir diatas siap untuk dilakukan pemrosesan dengan metode simpleks menggunakan syarat keoptmalan dan kelayakan. Karena disii ingin meminimalkan fungsi tujuan, variabel x1 mempunyai mempunyai koefisien positif terbesar dalam z-row (=696) memasuki solusi. Rasio minimum dari syarat kelayakan menetapkan R1 sebagai variabel keluar. Lihat tabel dibawah ini : Basis R1 R2 s1

Masuk Solusi Rasio x1 3 3 x1 = 3/3 = 1 minimal 4 6 x1 = 6/4 = 3/2 1 4 x1 = 4/1 = 4 Kesimpulan : x1 masuk dan R1 keluar

Nilai rasio positif terkecil menjadi baris kunci dan kolom pada fungsi tujuan dengan koefisien positif terbesar menjadi kolom kunci.

Keluar

Basis Z R1 R2 s1

Masuk ↓ x1 696 3 4 1 Kolom kunci

x2 399 1 3 2

r1 -100 0 -1 0

R1 0 1 0 0

R3 0 0 1 0

Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru : 28

s1 Solusi 0 900 0 3 Baris kunci 0 6 1 4

1. Baris kunci Ganti R1 pada kolom Basis dengan x1 Baris x1 baru = Baris R1 ÷ elemen kunci = [3 1 0 1 0 0 3] / 3 = [1 1/3 0 1/3 0 0 1] 2. Baris yang lain Baris z baru = Baris z – (696) × Baris x1 baru = [696 399 -100 0 0 0 900] – (696) × [1 1/3 0 1/3 0 0 1] = [696 399 -100 0 0 0 900] – [696 232 0 232 0 0 696]

11

= [0 167 -100 -232 0 0 204]

20

Baris R2 baru = Baris R2 – (4) × Baris x1 baru


G

= [4 3 -1 0 1 0 6] – (4) × [1 1/3 0 1/3 0 0 1] = [4 3 -1 0 1 0 6] – [4 4/3 0 4/3 0 0 4] = [0 5/3 -1 -4/3 1 0 2]

Baris s1 baru = Baris s1 – (1) × Baris x1 baru = [1 2 0 0 0 1 4] – (1) × [1 1/3 0 1/3 0 0 1] = [1 2 0 0 0 1 4] – [1 1/3 0 1/3 0 0 1] = [0 5/3 0 -1/3 0 1 3]

Solusi baru adalah (x1, R2, s1) dan tabel simpleks berubah menjadi : Basis Z x1 R2 s1

x1 0 1 0 0

x2 167 1/3 5/3 5/3

r1 -100 0 -1 0

R1 -232 1/3 -4/3 -1/3

R3 0 0 1 0

s1 0 0 0 1

Solusi 204 1 2 3

Dari tabel diatas, terlihat bahwa fungsi tujuan Z = 204. Selanjutnya dicari lagi variabel masuk pada baris Z (fungsi tujuan) yang mempunyai koefisien positif terbesar, ditemukan x2 dengan koefisien 167 sebagai variabel masuk. Syarat optimal ditunjukkan bahwa x2 adalah variabel masuk. Syarat layak ditunjukkan dibawah ini : 29

Basis x1 R2 s1

Masuk Solusi Rasio x2 1/3 1 x2 = 1/(1/3) = 3 5/3 2 x2 = 2/(5/3) = 6/5 minimal 5/3 3 x2 = 3/(5/3) = 9/5 Kesimpulan : x2 masuk dan R2 keluar

Nilai rasio positif terkecil menjadi baris kunci dan kolom pada fungsi tujuan dengan koefisien positif terbesar menjadi kolom kunci.

s1 0 0 0 1

Solusi 204 1 2 3

Baris kunci

11

R1 R3 -232 0 1/3 0 -4/3 1 -1/3 0

20

r1 -100 0 -1 0

G

x1 0 1 0 0


Keluar

Basis Z x1 R2 s1

Masuk ↓ x2 167 1/3 5/3 5/3 Kolom kunci

Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru : 1. Baris kunci

Ganti R2 pada kolom Basis dengan x2

Baris x2 baru = Baris R2 ÷ elemen kunci = [0 5/3 -1 -4/3 1 0 2] / (5/3) = [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] 2. Baris yang lain

Baris z baru = Baris z – (167) × Baris x2 baru = [0 167 -100 -232 0 0 204] – (167) × [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] = [0 167 -100 -232 0 0 204] – [0 167 -501/5 -668/5 501/5 0 1002/5] = [0 0 1/5 -492/5 -501/5 0 18/5] Baris x1 baru = Baris x1 – (1/3) × Baris x2 baru = [1 1/3 0 1/3 0 0 1] – (1/3) × [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] 30

= [1 1/3 0 1/3 0 0 1] – [0 1/3 -1/5 -4/15 3/15 0 6/15] = [1 0 1/5 3/5 -3/15 0 3/5] Baris s1 baru = Baris s1 – (1) × Baris x2 baru = [0 5/3 0 -1/3 0 1 3] – (5/3) × [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] = [0 5/3 0 -1/3 0 1 3] – [0 5/3 -1 -4/3 1 0 -2] = [0 0 1 1 -1 1 5] Solusi baru adalah (x1, x2, s1) dan tabel simpleks berubah menjadi : x2 0 0 1 0

r1 1/5 1/5 -3/5 1

R1 -492/5 3/5 -4/5 1

R3 -501/5 -3/5 3/5 -1

s1 0 0 0 1

Solusi 18/5 3/5 6/5 5

11

x1 0 1 0 0

20

Basis Z x1 x2 s1


G

Dari tabel diatas, terlihat bahwa fungsi tujuan Z = 18/5. Selanjutnya dicari lagi variabel masuk pada baris Z (fungsi tujuan) yang mempunyai koefisien positif terbesar, ditemukan r1 dengan koefisien 1/5 sebagai variabel masuk. Syarat optimal ditunjukkan bahwa r1 adalah variabel masuk. Syarat layak ditunjukkan dibawah ini : Masuk Solusi Rasio r1 x1 1/5 3/5 r1 = (3/5)/(1/5) = 3 minimal x2 -3/5 6/5 r1 = (6/5)/(-3/5) = -2 (diabaikan) s1 1 5 r1 = 5/1 = 5 Kesimpulan : tidak ada syarat kelayakan yang memenuhi Basis

Dari tabel diatas, terlihat bahwa rasio minimal terdapat pada variabel basis x1 dan ini adalah variabel keputusan. Sehingga tidak ada lagi syarat kelayakan yang dapat dilakukan dan tabel simpleks diatas adalah yang paling optimal.

3.2.2 Metode dua fase Dalam metode M, penggunaan penalty M, dimana didefinisikan nilainya harus relative besar terhadap koefisien obyektif actual dari model, dapat menghasilkan kisaran error yang dapat melemahkan akurasi perhitungan simpleks. Metode dua fase mengurangi kelemahan ini dengan menghilangkan konstanta M. Metode ini menyelesaikan kasus LP dalam dua fase : Fase I berusaha untuk mencari solusi layak awal, dan jika ditemukan, maka fase II dijalankan untuk menyelesaikan masalah aslinya. 31

Langkah-langkah metode dua fase : Fase I

Kondisikan masalah dalam bentuk persamaan, dan tambahkan variabel buatan yang diperlukan pada constraint (seperti metode M) untuk mengaman basis solusi awal. Selanjtnya, cari solusi basis dari persamaan yang didapatkan itu, tanpa memandang LP adalah memaksimalkan atau meminimalkan, selalu meminimalkan jumlah dari variabel buatan. Jika nilai minimum penjumlahan adalah positif, masalah LP tidak mempunyai solusi layak, sehingga merupakan akhir proses. Jika tidak, lanjutkan ke fase II.

Fase II

Gunakan solusi layak dari fase I sebagai basis solusi awal layak pada masalah yang sesungguhnya.

Contoh 3-3 Mengacu pada Contoh 3-2.

11

Minimalkan Z = 4x1 + x2

20

Constraint :


G

3x1 + x2 = 3 4x1 + 3x2 ≥ 6 x1 + 2x2 ≤ 4 x1, x2 ≥ 0 Penyelesaian

Menggunakan r1 sebagai variabel surplus dalam constraint kedua dan s1 sebagai slack dalam constraint ketiga, bentuk persamaan masalah menjadi : Minimalkan Z = 4x1 + x2 Constraint :

3x1 + x2

=3

4x1 + 3x2 – r1

=6

x1 + 2x2

+ s1

=4

x1, x2, r1, s1 ≥ 0 Penyelesaian dengan metode dua fase Fase I 32

Minimalkan R = R1 + R2 Kendala : 3x1 + x2

+ R1

4x1 + 3x2 – r1

=3 + R2

x1 + 2x2

=6 + s1

=4

x1, x2, r1, s1, R1, R2 ≥ 0 Tabel simpleksnya tampak sebagai berikut : x2 0 1 3 2

r1 0 0 -1 0

R1 -1 1 0 0

R3 -1 0 1 0

s1 0 0 0 1

Solusi 0 3 6 4

11

x1 0 3 4 1

20

Basis R R1 R2 s1


G

Dengan metode M, R1 dan R2 disubstitusikan dalam R-row dengan menggunakan perhitungan : R-row baru = R-row lama + (1 × R1-row + 1 × R2-row)

R-row baru = [0 0 0 -1 -1 0 0] + (1 × [3 1 0 1 0 0 3] + 1 × [4 3 -1 0 1 0 6]) R-row baru = [0 0 0 -1 -1 0 0] + ([3 1 0 1 0 0 3] + [4 3 -1 0 1 0 6]) R-row baru = [0 0 0 -1 -1 0 0] + [7 4 -1 1 1 0 9] R-row baru = [7 4 -1 0 0 0 9]

Tabel simpleks berubah menjadi : Basis R R1 R2 s1

x1 7 3 4 1

x2 4 1 3 2

r1 -1 0 -1 0

R1 0 1 0 0

R3 0 0 1 0

s1 0 0 0 1

Solusi 9 3 6 4

Selanjutnya dipilih x1 sebagai kolom kunci (memenuhi syarat optimal meminimalkan karena mempunyai koefisien positif terbesar). Perhitungan rasio dan syarat kelayakan ditampilkan dalam tabel dibawah ini : Basis

x1

x2

r1

R1

R3 33

s1

Solusi

Rasio

R R1 R2 s1

7 3 4 1

4 1 3 2

-1 0 -1 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

9 3 6 4

3/3 = 1 minimal 6/4 = 1.5 4/1 = 4

Dari tabel tersebut, R1 menjadi variabel keluar dan x1 menjadi variabel masuk. Perubahan pada tiap baris dengan Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru : 1. Baris kunci Ganti R1 pada kolom Basis dengan x1 Baris x1 baru = Baris R1 ÷ elemen kunci = [3 1 0 1 0 0 3] / 3

11

= [1 1/3 0 1/3 0 0 1]

G


Baris R baru = Baris R – (7) × Baris x1 baru

20

2. Baris yang lain

= [7 4 -1 0 0 0 9] – (7) × [1 1/3 0 1/3 0 0 1] = [7 4 -1 0 0 0 9] – [7 7/3 0 7/3 0 0 7] = [0 5/3 -1 -7/3 0 0 2]

Baris R2 baru = Baris R2 – (4) × Baris x1 baru = [4 3 -1 0 1 0 6] – (4) × [1 1/3 0 1/3 0 0 1] = [4 3 -1 0 1 0 6] – [4 4/3 0 4/3 0 0 4] = [0 5/3 -1 -4/3 1 0 2]

Baris s1 baru = Baris s1 – (1) × Baris x1 baru = [1 2 0 0 0 1 4] – (1) × [1 1/3 0 1/3 0 0 1] = [1 2 0 0 0 1 4] – [1 1/3 0 1/3 0 0 1] = [0 5/3 0 -1/3 0 1 3] Perubahan tabel simpleks menjadi :

34

Basis R x1 R2 s1

x1 0 1 0 0

x2 5/3 1/3 5/3 5/3

r1 -1 0 -1 0

R1 -7/3 1/3 -4/3 -1/3

R3 0 0 1 0

s1 0 0 0 1

Solusi 2 1 2 3

Selanjutnya dipilih x2 sebagai kolom kunci (memenuhi syarat optimal meminimalkan karena mempunyai koefisien positif terbesar). Perhitungan rasio dan syarat kelayakan ditampilkan dalam tabel dibawah ini : x1 0 1 0 0

x2 5/3 1/3 5/3 5/3

r1 -1 0 -1 0

R1 -7/3 1/3 -4/3 -1/3

R3 0 0 1 0

s1 0 0 0 1

Solusi 2 1 2 3

Rasio 1/(1/3) = 3 2/(5/3) = 1.2 minimal 3/(5/6) = 3.6

20

11

Basis R x1 R2 s1


G

Dari tabel tersebut, R2 menjadi variabel keluar dan x2 menjadi variabel masuk. Perubahan pada tiap baris dengan Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru : 1. Baris kunci

Ganti R2 pada kolom Basis dengan x2

Baris x2 baru = Baris R2 ÷ elemen kunci = [0 5/3 -1 -4/3 1 0 2] / (5/3) = [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] 2. Baris yang lain

Baris R baru = Baris R – (5/3) × Baris x2 baru

= [0 5/3 -1 -7/3 0 0 2] – (5/3) × [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] = [0 5/3 -1 -7/3 0 0 2] – [0 5/3 -1 -4/3 1 0 2] = [0 0 0 -1 -1 0 0] Baris x1 baru = Baris x1 – (1/3) × Baris x2 baru = [1 1/3 0 1/3 0 0 1] – (1/3) × [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] = [1 1/3 0 1/3 0 0 1] – [0 1/3 -1/5 -4/15 1/5 0 2/5] = [1 0 1/5 3/5 -1/5 0 3/5] 35

Baris s1 baru = Baris s1 – (5/3) × Baris x2 baru = [0 5/3 0 -1/3 0 1 3] – (5/3) × [0 1 -3/5 -4/5 3/5 0 6/5] = [0 5/3 0 -1/3 0 1 3] – [0 5/3 -1 -4/3 1 0 2] = [0 0 1 1 -1 1 1] Perubahan tabel simpleks menjadi : Basis R x1 x2 s1

x1 0 1 0 0

x2 0 0 1 0

r1 0 1/5 -3/5 1

R1 -1 3/5 -4/5 1

R3 -1 -1/5 3/5 -1

s1 0 0 0 1

Solusi 0 3/5 6/5 1

20

11

Tidak ada syarat optimal yang ditemui pada tabel (tidak ada koefisien positif terbesar di zrow). Sehingga untuk fase I selesai dan mencapai optimal.

Fase II


G

Karena minimal R = 0. Fase I menghasilkan basis solusi optimal x1 = 3/5 dan x2 = 6/5 dan s1 = 1. Pada titik ini, variabel buatan telah mecapai tujuan, dan kita dapat menghilangkan kolom tersebut dari tabel dan dilanjutkan ke fase II.

Setelah penghapusan kolom variabel buatan, masalah asli menjadi : Minimalkan Z = 4x1 + x2 Constraint :

x1 + 1/5 r1 = 3/5 x2 – 3/5 r1 = 6/5 r1 + s1 = 1

x1, x2, r1, s1 ≥ 0 Secara esensial, fase I adalah prosedur yang mentransformasikan persamaan constraint asli dalam cara yang memberikan basis solusi awal layak pada masalah. Tabel dalam fase II menjadi :

36

Basis Z x1 x2 s1

x1 -4 1 0 0

x2 -1 0 1 0

r1 0 1/5 -3/5 1

s1 0 0 0 1

Solusi 0 3/5 6/5 1

Karena variabel basis x1 dan x2 mempunyai koefisien nonzero dalam z-row, keduanya harus disubstitusikan menggunakan perhitungan berikut : Z-row baru = Z-row lama + (4 × x1-row + 1 × x2-row) Z-row baru = [-4 -1 0 0 0] + (4 × [1 0 1/5 0 12/5] + 1 × [0 1 -3/5 0 6/5]) Z-row baru = [-4 -1 0 0 0] + ([4 0 4/5 0 12/5] + [0 1 -3/5 0 6/5])

11

Z-row baru = [-4 -1 0 0 0] + [4 1 1/5 0 18/5]

20

Z-row baru = [0 0 1/5 0 18/5]

x1 0 1 0 0

x2 0 0 1 0

r1 1/5 1/5 -3/5 1

s1 0 0 0 1

Solusi 18/5 3/5 6/5 1


Basis Z x1 x2 s1

G

Inisial tabel simpleks di fase II menjadi

Kasusnya adalah meminimalkan, sehingga dicari koefisien variabel dalam z-row yang mempunyai nilai positif terbesar. Didapatkan r1 bernilai positif terbesar, sehingga menjadi kolom kunci (memenuhi syarat optimal meminimalkan karena mempunyai koefisien positif terbesar). Perhitungan rasio dan syarat kelayakan ditampilkan dalam tabel dibawah ini : Basis Z x1 x2 s1

x1 0 1 0 0

x2 0 0 1 0

r1 1/5 1/5 -3/5 1

s1 0 0 0 1

Solusi 18/5 3/5 6/5 1

Rasio

(3/5)/(1/5) = 3 (6/5)/(-3/5) = -2 (diabaikan) 1/1 = 1 minimal

Dari tabel tersebut, s1 menjadi variabel keluar dan r1 menjadi variabel masuk. Perubahan pada tiap baris dengan Operasi Gauss-Jordan untuk menghasilkan solusi baru : 1. Baris kunci Ganti s1 pada kolom Basis dengan r1 37

Baris r1 baru = Baris s1 ÷ elemen kunci = [0 0 1 1 1] / 1 = [0 0 1 1 1] 2. Baris yang lain Baris Z baru = Baris Z – (1/5) × Baris r1 baru = [0 0 1/5 0 18/5] – (1/5) × [0 0 1 1 1] = [0 0 1/5 0 18/5] – [0 0 1/5 1/5 1/5] = [0 0 0 -1/5 17/5] Baris x1 baru = Baris x1 – (1/5) × Baris r1 baru

11

= [1 0 1/5 0 3/5] – (1/5) × [0 0 1 1 1]

20

= [1 0 1/5 0 3/5] – [0 0 1/5 1/5 1/5]


G

= [1 0 0 -1/5 2/5] Baris x2 baru = Baris x2 – (-3/5) × Baris r1 baru = [0 1 -3/5 0 6/5] – (-3/5) × [0 0 1 1 1] = [0 1 -3/5 0 6/5] – [0 0 -3/5 -3/5 -3/5] = [0 1 0 3/5 9/5]

Perubahan tabel simpleks menjadi : Basis Z x1 x2 r1

x1 0 1 0 0

x2 0 0 1 0

r1 0 0 0 1

s1 -1/5 -1/5 3/5 1

Solusi 17/5 2/5 9/5 1

Solusi baru adalah (x1, x2, r1) dan tabel simpleks dan memberikan nlai x1 dan x2 yang optimal yaitu masing-masing 2/5 dan 9/5. Perlu diperhatikan Penghilangan variabel buatan dan kolomnya diakhir fase I hanya bisa dilakukan ketika semua variabel buatan tersebut sudah menjadi variabel nonbasis. Jika satu atau lebih variabel buatan

38

adalah basis (pada level nol) di akhir fase I, maka langkah tambahan berikut ini harus dilakukan untuk menghilangkannya sebelum masuk ke fase II Langkah 1

Pilih variabel buatan nol untuk meninggalkan basis solusi dan rangcanglah baris sebagai baris kunci. Variabel masuk bisa sembarang variabel nonbasis (non buatan) dengan koefisien nonzero (positif atau negatif) dalam baris kunci. Lakukan iterasi simpleks.

Langkah 2

Hilangkan kolom variabel buatan (yang baru saja keluar) dari tabel. Jika semua variabel buatan nol telah dikeluarkan, lanjutkan ke fase II. Jika tidak, kembali ke langkah 1.

3.3 Soal Latihan

11

3.1 Perhatikan constraint dibawah ini

20

x1 + 2x2 + 2x3 + 4x4 ≤ 40

G

2x1 – x2 + x3 + 2x4 ≤ 8


4x1 – 2x2 + x3 – x4 ≤ 10 x1, x2, x3, x4 ≥ 0

Selesaikan masalah setiap fungsi tujuan dibawah ini dengan metode simpleks: (a) Maksimalkan Z = 2x1 + x2 – 3x3 + 5x4

(b) Maksimalkan Z = 8x1 + 6x2 + 3x3 - 2x4 (c) Maksimalkan Z = 3x1 - x2 + 3x3 + 4x4

(d) Maksimalkan Z = 5x1 - 4x2 + 6x3 - 8x4

3.2 Perhatikan Linear Programming dibawah ini Maksimalkan Z = 16x1 + 15x2 Fungsi kendala : 40x1 + 31x2 ≤ 124 -x1 + x2 ≤ 1 x1 ≤ 3 x1, x2 ≥ 0 39

(a) Selesaikan masalah dengan metode simpleks, dimana variabel masuk yang terpilih adalah variabel nonbasis dengan koefisien z-row negatif terbesar. (b) Selesaikan ulang masalah dengan metode simpleks, dimana variabel masuk yang terpilih adalah variabel nonbasis dengan koefisien z-row negatif terkecil. (c) Lakukan analisis perbandingan hasil (a) dan (b). 3.3 Gutchi Company memproduksi purses, shaving bag dan backpack. Konstruksi barang terbuat dari kulit. Proses produksi membutuhkan dua jenis keterampilan kerja : sewing dan finishing. Tabel dibawah ini menginformasikan ketersediaan sumber daya, penggunaan oleh tiga produk dan keuntungan per unit. Kapasitas harian

11

42 ft2 40 hr 45 hr

G

Kulit (ft2) Sewing (hr) Finishing (hr) Harga jual ($)

Kebutuhan sumber daya per unit Purse Bag Backpack 2 1 3 2 1 2 1 5 1 24 22 45

20

Sumber daya


(a) Formulasikan masalah menjadi pemrogram linear dan carilah solusi optimal dengan metode simpleks (b) Dari solusi optimal yang didapatkan tentukan status dari setiap sumber daya. 3.4 Perhatikan Linear Programming berikut : Maksimalkan Z = x1 + x2 + 3x3 + 2x2 Constrain :

x1 + 2x2 – 3x3 + 5x4 ≤ 4 5x1 - 2x2 + 6x4 ≤ 8

2x1 + 3x2 – 2x3 + 3x4 ≤ 3 -x1 + x3 + 2x4 ≤ 0 x1, x2, x3, x4 ≥ 0 (a) Formulasikan masalah menjadi pemrogram linear dan carilah solusi optimal dengan metode simpleks (b) Dari solusi optimal yang didapatkan tentukan status dari setiap sumber daya. 3.5 Perhatikan constraint Linear Programming berikut : 40

-2x1 + 3x2 = 3

(1)

4x1 + 5x2 ≥ 10

(2)

x1 + 2x2 ≤ 5

(3)

6x1 + 7x2 ≤ 3

(4)

4x1 + 8x2 ≥ 5

(5)

x1, x2 ≥ 0 Untuk setiap masalah dibawah ini, dapatkan nilai Z : (a) Maksimalkan Z = 5x1 + 6x2 dengan kendala (1), (3), dan (4)

(c) Minimalkan Z = 3x1 + 6x2 dengan kendala (3), (4), dan (5)


G

(e) Minimalkan Z = 3x1 + 2x2 dengan kendala (1) dan (5)

20

(d) Minimalkan Z = 4x1 + 6x2 dengan kendala (1), (2), dan (5)

3.6 Perhatikan constraint berikut : x1 + x2 + x3 = 7

2x1 - 5x2 + x3 ≥ 10 x1, x2, x3 ≥ 0

Selesaikan masalah untuk setiap fungsi tujuan berikut : (a) Maksimalkan Z = 2x1 + 3x2 – 5x2 (b) Minimalkan Z = 2x1 + 3x2 – 5x3 (c) Maksimalkan Z = x1 + 2x2 + x3

(d) Minimalkan Z = 4x1 – 8x2 + 3x2 3.7 Perhatikan masalah berikut : Maksimalkan Z = x1 + 5x2 + 3x3 Kendala : x1 + 2x2 + x3 = 3 2x1 – x2

=4 41

11

(b) Maksimalkan Z = 2x1 – 7x2 dengan kendala (1), (2), (4) dan (5)

x1, x2, x3 ≥ 0 Variabel x3 bisa dianggap memainkan peran sebagai slack. Sehingga, tidak ada variabel buatan yang dibutuhkan di constraint pertama. Di constraint kedua, variabel buatan masih diperlukan. Coba gunakan solusi awal ini (x3 dalam constraint pertama dan R2 dalam constraint kedua) untuk menyelesaikan masalah. 3.8 Tunjukkan bagaimana metode M akan menunjukkan bahwa masalah dibawah ini tidak punya solusi yang layak. Maksimalkan Z = 2x1 + 5x2 Kendala : 3x1 + 2x2 ≥ 6 2x1 + x2 ≤ 2


G

20

11

x1, x2 ≥ 0

42

Manajemen Sains. Eko Prasetyo. Teknik Informatika UMG Modul 3 PEMROGRAMAN LINIER METODE SIMPLEKS

Recommend Documents