Mag- ´es r´eszecskefizika II R´eszecskefizika Jakov´ac Antal 2005 – utols´o jav´ıt´as: November 24, 2011
Contents 1 Bevezet´ es 1.0.1 Sk´al´ak az Univerzumban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.0.2 Kis t´ avols´agok felbont´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3 3 5
2 Fenomenol´ ogia 2.1 Az atomok alkot´oelemei . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Kat´odsug´arz´ as – elektron felfedez´ese . . . 2.1.2 Radioakt´ıv sug´ arz´ as . . . . . . . . . . . . 2.1.3 Rutherford k´ıs´erlet – atommag felfedez´ese 2.1.4 Sz´or´ask´ıs´erletek I. . . . . . . . . . . . . . 2.2 Elm´eleti j´oslatok, u ´j k¨olcs¨ onhat´asok . . . . . . . 2.2.1 Pozitron felfedez´ese . . . . . . . . . . . . . 2.2.2 A neutron ´es az er˝ os k¨olcs¨ onhat´as . . . . 2.2.3 Izospin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.4 A pion megj´ osol´ asa . . . . . . . . . . . . . 2.2.5 A neutr´ın´o ´es a gyenge k¨olcs¨ onhat´as . . . 2.2.6 A kaon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.7 T´erid˝o szimmetri´ ak ´es parit´ ass´ert´es . . . . 2.3 R´eszecsk´ek rendszerez´ese . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 K¨olcs¨onhat´asok fajt´ aja szerint . . . . . . . 2.3.2 Kvantumsz´ amok . . . . . . . . . . . . . . 2.3.3 Ritkas´ag . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.4 Hadron multiplettek . . . . . . . . . . . . 2.3.5 Kvarkok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.6 Az SU(3) csoport ´es ´ abr´ azol´asai . . . . . . 2.3.7 A kvarkok kvantumsz´ amai . . . . . . . . . 2.3.8 R´eszecsk´ek kvark-¨ osszet´etele . . . . . . . 2.3.9 A kvarkok k´ıs´erleti bizony´ıt´eka . . . . . . ´ szabads´agi fok: a sz´ın . . . . . . . . . 2.3.10 Uj 2.3.11 Egy´eb r´eszecsk´ek . . . . . . . . . . . . . . 2.3.12 M´ert´ekbozonok . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 R´eszecskeforr´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Term´eszetes forr´asok . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Atomreaktor . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.3 R´eszecskegyors´ıt´ ok . . . . . . . . . . . . . 2.4.4 Detektorok . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.5 Rezonanci´ ak . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 7 7 8 8 9 10 10 11 11 12 13 14 14 16 16 16 16 17 17 18 21 21 21 22 22 24 25 25 27 27 32 35
3 T´ erelm´ elet 3.1 Ism´etl´es . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Relativit´ aselm´elet . . . . . 3.1.2 Kvantummechanika . . . . 3.2 Klasszikus t´erelm´eletek . . . . . . . 3.2.1 Lagrange-s˝ ur˝ us´eg . . . . . . 3.2.2 Mozg´ asegyenletek . . . . . 3.2.3 Megmarad´ o´ aramok . . . . 3.2.4 Szimmetria ´es megmarad´ as 3.2.5 Energia-impulzus tenzor . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
37 37 37 39 41 41 42 42 43 44
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
45 45 46 49 50 50 53 53 55 55 57 57 60 61 61 64 65 67 68 69 70 70 70 71 72 74 76 77 77
A Appendix A.1 Klasszikus sz´or´ as centr´ alis potenci´ alon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2 Konstrukt´ıv elj´ ar´ as a Dirac-egyenlet megold´asainak megkeres´es´ere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3 Lorentz-invari´ans norm´ al´ as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
81 81 81 83
3.3
3.4
3.5 3.6
3.7
3.8
3.9
3.2.6 T´erelm´eletek kvant´ al´ asa . . . . . . . . . . . . . . . . . Relativisztikus skal´ ar t´erelm´elet . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 A kvadratikus skal´ ar elm´elet kvant´ al´ asa . . . . . . . . 3.3.2 Klasszikus mez˝o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.3 Id˝ of¨ ugg´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.4 Korrel´atorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Fermionok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.1 A Lorentz csoport spinor ´ abr´ azol´asai . . . . . . . . . . 3.4.2 T´ert¨ ukr¨oz´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.3 Lagrange f¨ uggv´eny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.4 A Dirac egyenlet kvant´ al´ asa ´es a spin-statisztika t´etel 3.4.5 A Dirac-Hamilton oper´ ator spektruma . . . . . . . . . 3.4.6 Id˝ of¨ ugg´es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.4.7 Korrel´atorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Lorentz-vektor mez˝ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . K¨olcs¨onhat´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.1 Sz´or´asi folyamat jellemz´ese . . . . . . . . . . . . . . . 3.6.2 Az ´atmeneti m´atrixelem sz´ am´ıt´ asa . . . . . . . . . . . Perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.7.1 Sz´or´asi hat´ askeresztmetszet a skal´ ar modellben . . . . 3.7.2 Feynman diagramok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az elektrom´ agneses k¨olcs¨ onhat´as . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.1 Az elektrom´ agneses k¨olcs¨ onhat´as Lagrange f¨ uggv´enye 3.8.2 Elektrom´ agneses folyamatok . . . . . . . . . . . . . . 3.8.3 Anom´alis m´agneses momentum . . . . . . . . . . . . . 3.8.4 Az elektron-m¨ uon sz´ or´ as . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.8.5 Elektron-m¨ uon sz´ or´ as . . . . . . . . . . . . . . . . . . Az er˝os k¨olcs¨onhat´as m´ert´ekelm´elete . . . . . . . . . . . . . . 3.9.1 Az er˝os k¨olcs¨ onhat´as jellegzetess´egei . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chapter 1
Bevezet´ es bemutatkoz´as; ki milyen szakir´ anyt v´alasztott r´ eszecskefizika feladatai: 1. R´eszecsk´ek fizik´aja – jelens´egek • milyen r´eszecsk´ek • detekt´al´as: hogyan fedezhetj¨ uk fel ˝ oket • milyen szimmetri´ ak ´ allnak m¨og¨ott¨ uk • hogyan hatnak k¨olcs¨ on • (´ uj probl´em´ ak, u ´j elm´eletek)
2. Matematikai formalizmus (“elm´eletek”) – jelens´egek le´ır´ asa • kollekt´ıv jelens´egek le´ır´ asa (m´ asodkvant´ al´as, analicit´as ´es kauzalit´as, renorm´al´as, . . . ) • r´eszecskefizika-specifikus (kvantumt´erelm´elet, ´abr´ azol´aselm´elet, sz´or´aselm´elet, m´ert´ekelm´elet, . . . ) • Lagrange formalizmus
Kett˝ os c´ el: ´ • Attekint´ es a r´eszecskefizik´ ar´ ol • Bepillant´ as a formalizmusba K¨ onyvek, irodalom • Patk´os A., Pol´onyi J.: Sug´arz´ as ´es r´eszecsk´ek (egyetemi tank¨onyv, TypoteX, 2000) • B´ır´ o T.: Bevezet´es a t´erelm´eletbe (M˝ uegyetemi kiad´o, 2002) • H. Fritzsch: Kvarkok (Gondolat, 1987) • L. Ledermann: Az isteni a-tom (TypoteX, 1995) • M.E. Peskin, D.V. Schr¨oder: An introduction to QFT (Westview Press, 1995) • M. Kaku: Quantum Field Theory: A Modern Introduction (Oxford Univ. Press, 1993) • http://cdsweb.cern.ch summer student lectures, academic training lectures
1.0.1
Sk´ al´ ak az Univerzumban
C´elunk az atommagn´al kisebb strukt´ ur´ak felder´ıt´ese. K´erd´es, hogyan jutunk el oda, ´es milyenek a tipikus id˝o-, hossz- energiastb. viszonyok? Ha ezt meg´ertett¨ uk, ´erdemes a haszn´alt m´ert´ekegys´egeket ezekhez a tipikus ´ert´ekekhez igaz´ıtani. Hogy van ez a t¨ obbi jelens´egk¨orn´el? A karakterisztikus t´ avols´agok (l. http://en.wikipedia.org/wiki/Orders_of_magnitude_(length)) • emberi l´ept´ek 0.1mm - 100 km. Szabv´anyos m´ert´ekegys´egrendszer: SI: emberi l´ept´ekhez igaz´ıtott. A megengedett egys´egek: J, kg, m, s, C, V, A, K, . . . . Ezeknek a t¨ obbsz¨or¨os´et k´epezhetj¨ uk a k¨ovetkez˝o szorz´ okkal (E: exa, Z: zetta, Y: yotta, a: atto, z: zecto, y: yocto):
1111 0000 000 111 0000 1111 000 111 0000 1111 000 111 0 1 0 1
atomok vírusok molekulák sejtek
gyorsítók atommag
... −35
Planck skála
−18
−15
idáig látunk
fm: p mérete
111 000 00000 11111 00000 11111 000 111 00000 11111 00001111 1111 000011 00 00000 11111 0000 1111 000 111 00000 11111 000000000 111111111 0000 1111 0000 1111 00 11 00000 11111 00001 1111 000 111 00000 11111 0 1 0 1 0 000000000 111111111 0000 1111 0000 1111 00 11 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1
−12
−9
o
−6
bolygók csillagok mérete
emberi lépték
−3
0
A ~ atom mérete
3
6
gal. csillagok galaxis halmaz távolsága
Naprendszer
9
m
12
CsE
15
18
fényév (pc=3.26 fényév)
21
24
0110 10 1010 1010
10 xm
27
horizont
Figure 1.1: Sk´al´ak az Univerzumban. CsE≡ Csillag´ aszati Egys´eg (Au ≡ Astronomical Unit) = 1.5 · 1011 m, a Nap ´es a F¨old ´atlagos t´ avols´aga.
Jel¨ol´es Faktor Jel¨ol´es Faktor
k 103 m 10−3
M 106 µ 10−6
G 109 n 10−9
T 1012 p 10−12
P 1015 f 10−15
E 1018 a 10−18
Z 1021 z 10−21
Y 1024 y 10−24
Az SI egys´egeket haszn´alva viszont k¨ ul¨onb¨ oz˝o a´lland´ okat kell bevezetn¨ unk. A term´eszeti ´alland´ ok ´ert´eke: Jel¨ol´es
´ ek Ert´
c
2.998 · 108
h h ¯ me e kB ε0 G
Elnevez´es m s
f´enysebess´eg 2
kgm s 2 −34 kg m 1.054 · 10 s 9.11 · 10−31 kg 1.602 · 10−19 C J 1.38 · 10−23 K2 −12 C 8.85 · 10 Nm 2 −11 N m 6.67 · 10 kg2 6.626 · 10−34
Planck ´alland´ o Planck ´alland´ o elektron t¨ omeg elemi t¨ olt´es Boltzmann ´alland´ o v´akuum-permittivit´as gravit´aci´ os ´alland´ o.
Ha m´as jelens´egk¨ort vizsg´alunk, m´as m´ert´ekegys´egeket is haszn´alunk hozz´ ajuk. • csillag´aszatban 1 f´eny´ev (ly) = 1 ´ev × 3 · 108 m/s = 9.46 · 1015 m (1 ´ev = 3.15 · 107 s). M´ asik standard jel¨ol´es: 1 pc = 3.26 lyr, parsec, azaz parallaxis m´asodperc. Defin´ıci´oja m´er´esi elj´ar´ashoz k¨ot˝odik: egy parsec t´ avols´ag´ u objektum egy f´el ´ev alatti l´atsz´olagos elmozdul´asa 2” (sz¨ ogm´asodperc). • F¨old sugara: ≈ 6400 km = 6.4 · 106 m • Nap sugara: ≈ 6.955 · 108 m • F¨old-Nap t´ avols´ag (nagytengely: AU) 149, 597, 871 km ≈ 1.50 · 1011 m • Naprendszer m´erete (heliopause): ≈ 100 AU. • legk¨ ozelebbi csillagok (Proxima Centauri, α-Centauri): 4.2 - 4.3 ly = 4.2 − 4.3 · 1016 m • Tej´ ut ´atm´er˝oje: ≈ 100, 000 ly = 1021 m • legk¨ ozelebbi galaxisok 0.1 − 1 M ly = 1021 − 1022 m • galaxishalmazunk (local group) ´ atm´er˝ oje: ≈ 10 M ly = 1023 m • legk¨ ozelebbi (nagy) galaxis cluster a Virgo cluster, t´ avols´aga ≈ 60 M ly = 6 · 1023 m • horizont m´erete 46.5 Gly = 4.65 · 1026 m (Univerzum ´eletkora 13.7 Gy). • sejt m´erete tipikusan 10 µm = 10−5 m, emberi sejtek: 1 − 135 µm • l´athat´o f´eny: 390 − 750 nm = 3.9 − 7.6 · 10−7 m
• v´ırusok m´erete: 20 − 450 nm = 0.2 − 4.5 · 10−7 m • atomok m´erete: 0.3 − 3 ˚ A = 0.3 − 3 · 10−10 m • atommag m´erete: 1 − 10 fm = 1 − 10 · 10−15 m • Planck sk´ ala: 1.65 · 10−35 m.
1.0.2
Kis t´ avols´ agok felbont´ asa
Hogy a kis m´eretekbe belel´ assunk, nagy nagy´ıt´ as´ u “mikroszk´ opra”van sz¨ uks´eg¨ unk. Azonban mikroszk´opot m´eg a felbont´ asa is jellemzi. • l. k´et r´eses k´ıs´erlet: egy vagy k´et r´es van jelen? Heurisztikus ´ervel´es: kiolt´ast akkor l´atunk, ha a sin ϕ = λ/2, ahol a a k´et r´es t´ avols´aga, ϕ az elt´er¨ ul´es sz¨ oge. Akkor m´as az egy ´es a k´et r´es, ha ´eppen ϕ = π/2-n´el l´atunk kiolt´ast ⇒ a = λ/2. • Mikroszk´ opra a legkisebb m´eg megk¨ ul¨onb¨ oztethet˝o t´ avols´ag R = λ/(2n sin θ), ahol tan θ = D/(2f ), D a lencse ´atm´er˝oje, f a f´okusza. A legjobb lencs´ekre n sin θ ≈ 1, vagyis a R ≈ λ/2 (l´athat´o f´eny eset´en ∼ 2 · 10−7 m). ⇒ felbont´ ok´epess´eg ≡ hull´ amsz´ am. A r´eszecskefizika vil´ag´aban ∼ 10−15 − 10−18 m´eter hull´ amhossz kellene!! Nincs ilyen term´eszetes f´enyforr´ as, a f´eny hull´ amhossz´ at mesters´egesen cs¨okkenteni pedig nem lehet (l´enyegesen). Ehelyett haszn´aljunk r´eszecsk´eket, hiszen a de Broglie k´eplet alapj´an p = ¯hk =
h . λ
⇒
(1.1)
⇒ kis hull´ amhosszakhoz nagy impulzusra van sz¨ uks´eg¨ unk. T¨olt¨ott r´eszecsk´ek azonban gyors´ıthat´ok ⇒ bizonyos m´eretek alatt m´as csak t¨ olt¨ ott r´eszecsk´eket haszn´alhatunk a mikroszk´opunkban. Tipikus felbont´ ok´epess´egek: Eszk¨ oz
forr´as
max. felbont´ ok´epess´eg
mikroszk´ op elektron-mikroszk´ op radioakt´ıv forr´as gyors´ıt´ ok
l´athat´o f´eny elektronok (∼ 100 kV) α r´eszecsk´ek 200 GeV (LEP) 20 TeV (LHC)
200 nm (2 · 10−7 m) 1˚ A = 10−10 m 10−15 m (fm) 10−18 m 10−20 m
T¨ olt¨ ott r´eszecsk´ek elektromos t´errel val´ o gyors´ıt´ asa ⇒ energia logikus egys´ege az az energimennyis´eg, amit egy elemi t¨ olt´essel rendelkez˝o r´eszecske 1V fesz¨ ults´egk¨ ul¨onbs´egen ´athaladva felvesz. Ez az elektronvolt eV, ´ert´eke SI-ben 1 eV = 1.602 · 10−19 J,
(1.2)
a v´alt´ osz´ am megegyezik az elemi t¨ olt´es ´ert´ek´evel. A gyor´ıt´okban a hull´ amhossz ∼ 10−18 m´eter kell legyen, azaz p ∼ 0.66 · 10−15 kg m/s. Ez sok vagy kev´es? Ha egy r´eszecsk´ere jut, melynek nyugalmi t¨ omege m0 , akkor m0 v p= p 1 − v 2 /c2
v/c p = p . m0 c 1 − v 2 /c2
(1.3)
Elektronra sz´amolva p/me c ≈ 2.42 · 106 ⇒ az elektron sebess´ege nagyon k¨ozel kell legyen a f´enysebess´eghez, v/c ∼ 1 − 8.4 · 10−14 . ⇒ a gyors´ıt´okban ultrarelativisztikus viszonyok uralkodnak, ami sok egyszer˝ us´ıt´est tesz lehet˝ov´e: • ultrarelativisztikus viszonyok miatt az id˝ot m´erhetj¨ uk “m´eterben”, azaz t = x/c – ennyi id˝o alatt halad ´at a f´eny x t´ avols´agon: 1 m ⇔ 0.33 · 10−8 sec. Pontosabban fogalmazva ha az id˝o u ´j m´ert´ekegys´ege 0.33 · 10−8 sec, akkor a f´enysebess´eg ´ert´eke c = 1. • E = mc2 k´eplet alapj´ an a f´enysebess´eggel azanos´ıthat´o a t¨ omeg ´es az energia: 1 kg ⇔ 9 · 1016 J, vagy 1 J ⇔ 1.1 · 10−17 kg. Ha az energi´at a m´ar eml´ıtett eV-ban m´erj¨ uk, akkor (1 eV = 1.602 · 10−19 J): 1 eV ⇔ 1.78 · 10−36 kg, az ¨ elektron t¨ omege pedig me ≈ 511 keV. Osszehasonl´ ıt´ask´eppen a nagyfesz¨ ults´eg˝ u t´ avvezet´ekekben 110 kV fesz¨ ults´eg van, esetenk´ent azonban 245 kV-n´ al nagyobb fesz¨ ults´egeket is haszn´alnak. M´ asik ´ertelmez´es: ekkora energia befektet´es´evel kelthet¨ unk egy elektront a v´akuumb´ ol. . . r´eszleteket l. k´es˝obb.
• ultrarelativisztikus esetben E =
p p2 c2 + m2 c4 → pc, vagyis az impulzust is m´erhetj¨ uk energi´aval. Ezzel a hull´ amhossz λ=
h hc ≈ , p E
k=
2π E = . λ ¯c h
(1.4)
Emiatt bevezethet¨ unk a t´ avols´agra egy u ´j m´ert´ekegys´eget, 1 ¯hc/eV = 0.197 · 10−6 m ≈ 0.2µm. A ¯hc szorz´ ot itt sem szoktuk ki´ırni. Szok´asosan kifejezve 1
1 ⇔ 197 fm, MeV
vagy
1
1 ⇔ 0.2 fm, GeV
(1.5)
x
197 1 ⇔ fm, MeV x
vagy
x
1 0.2 ⇔ fm, GeV x
(1.6)
vagyis
A nagy gyors´ıt´ok energi´aja 10 - 10000 GeV
⇒ a felbont´ ok´epess´ege ∼ 10−17 - 10−20 m, ahogy kor´abban l´attuk.
• K´et, r t´ avols´agra lev˝o pontt¨olt´es elektrom´ agneses energi´aja V =
e2 . 4πε0 r
(1.7)
V Jouleban, r m´eterben m´erend˝o az SI szerint. Ha eV -ban illetve 1/eV -ban m´er¨ unk, akkor r[m] = ¯hc · R[eV −1 ], azaz V =
e2 1 α = , 4πε0 ¯ hc R R
ahol
α=
e2 1 = , 4πε0 ¯hc 137
(1.8)
dimenzi´ otlan. Ez jellemzi az alektrom´ agneses k¨olcs¨onhat´as “er˝ oss´eg´et”. Ez a mennyis´eg az elektrom´ agneses probl´em´ ak hierarchi´aj´at is jellemzi. Pl. H-atom feladata, kvalitat´ıve; SI-ben −
e2 ¯2 h ∆Ψ − Ψ = EΨ. 2m 4πε0 r
(1.9)
Az u ´j m´ert´ekegys´egekkel x → ¯ hcx, m → m/c2 , ezzel −
1 α ∆Ψ − Ψ = EΨ. 2m r
(1.10)
K¨ ot¨ott ´allapotban az els˝o k´et tag kb. egyenl˝ o. A k¨ot¨ott ´allapot m´erete legyen d; mivel ∆ ∼ 1/d2 , ez´ert 1/(md2 ) ∼ α/d. Ezzel α 1 ∼ αm E ∼ ∼ α2 m. (1.11) d d (a pontos k´eplet En = α2 m/2 az alap´allapotra). Vagyis a k¨ot´esi energia a nyugalmi energia α2 -szerese. Ha α ∼ 1, akkor a k¨ot´esi energi´aval u ´j r´eszecsk´ek keletkez´es´et id´ezn´enk el˝o! (l. k´es˝obb er˝os k¨olcs¨onhat´asn´ al). • gravit´aci´ os k¨olcs¨onhat´asn´ al V =
Gm2 r
⇒
V =
m2 , MP2 l r
(1.12)
a k¨olcs¨onhat´as er˝oss´ege t¨ omeg n´egyzet dimenzi´ oj´ u, MP2 l = ¯hc/G, sz´am´ert´eke MP l = 2.18 · 10−8 kg = 1.22 · 1028 eV = 1.22 · 1019 GeV = 1.61 · 10−35 m.
(1.13)
A gravit´aci´ os k¨olcs¨ onhat´as er˝ oss´ege elektronra αgr = m2e /MP2 l ≈ 0.18 · 10−44 , j´oval gyeng´ebb, mint az elektrom´ agneses k¨olcs¨onhat´as ⇒ k¨oz¨ons´eges energi´akon figyelmen k´ıv¨ ul hagyhatjuk. Azonban E ∼ MP l energiask´ al´an a gravit´aci´ o lesz a leger˝ osebb k¨olcs¨ onhat´as ⇒ kvantumgravit´aci´ o kell.
Chapter 2
Fenomenol´ ogia Ebben a fejezetben ´attekintj¨ uk az elemi, potosabban a szub-atomi r´eszecsk´ek vil´ag´at, t¨ obb´e-kev´esb´e a felfedez´esek t¨ ort´enet´et k¨ovetve. Onnan indulunk, hogy a XIX. sz´ azad v´eg´ere az ´altal´ anosan elfogadott´a v´alt, hogy l´eteznek atomok illetve molekul´ak. Ezen fel¨ ul ismertek sug´ arz´ asokat: • f´eny, r¨ontgen-sug´ arz´ as
⇒ err˝ol tudt´ ak, hogy elektrom´ agneses sug´ arz´ asok
• kat´odsug´arz´ as • 1896, Becquerel: radioakt´ıv sug´ arz´ as
2.1 2.1.1
Az atomok alkot´ oelemei Kat´ odsug´ arz´ as – elektron felfedez´ ese
Elektrom´ agneses jelens´egek vizsg´alata n´epszer˝ u volt a XVIII. sz´azadban
⇒ onnan sz´armazik ez az eszk¨ oz
Figure 2.1: Kat´odsug´arcs˝o • Faraday (1830) tanulm´anyozza → Faraday-f´ele s¨ot´et t´er (dark space) • Geissler (1855) v´akuumszivatty´ u • t¨ obben vizsg´alj´ak a kat´odsugarak term´eszet´et; Pl¨ ucker (1855) meg´allap´ıtja, hogy m´agneses t´erben elt´er´ıthet˝o • 1850-t˝ol felmer¨ ult, hogy elektrom´ agneses hull´ am → a m´agneses t´erben val´o elt´er¨ ul´es u ´ j jelens´eg lenne • Hertz (1883): k´ıs´erlet elektromos t´erben val´ o elhajl´ıt´asra • Lenard (1892): v´ekony f´ oli´an ´ athatol j´ oslat: f´enysebess´eggel terjed
⇒ nem siker¨ ult (val´osz´ın˝ uleg nem megfelel˝o g´ aznyom´ as)
⇒ nagyon kicsi alkot´oelemekb˝ol ´all
⇒ elektrom´ agneses hull´ am
⇒
• J.J. Thomson (1894): j´ oval kisebb sebess´eg! • Thomson (1897): m´agneses ´es elektromos t´erben val´o pontos vizsg´alat ⇒ u ´j r´eszecske: elektron (Stoney, Helmholtz 1874 az elektromoss´ ag “atomj´ anak” elnevez´es´ere) ⇒ 1906-ban Nobel-d´ıj Az elektrol´ızises k´ıs´erletekb˝ol, ´es az Avogadro (Loschmidt) sz´amb´ ol az elektron t¨ olt´ese ad´odik ⇒ Thomson az elektron t¨ omeg´et is meg tudta mondani: kb. 3 nagys´ agrenddel kisebb mint a H-atom´e! ⇒ Thomson-f´ele atommodell: szilv´ as puding (mazsol´as kal´acs) Kat´odsug´arz´ as ut´o´elete: • R¨ ontgen (1895) ezzel fedezi fel a r¨ontgen-sugarakat: beburkolt kat´odsug´arcs˝o melletti fluoreszk´al´o s´o vil´ag´ıt
• Hertz, Lenard (1902): kat´odsug´arcs˝ o an´odj´ara f´enyt bocs´atva lehet szab´alyozni a kil´ep˝o elektronok energi´aj´ at (→ seg´ıt˝og´ atl´ o potenci´ al alkalmaz´asa), ez a f´eny sz´ın´et˝ol f¨ ugg! Einstein (1905): f´eny ≡ fotonok sokas´ aga, E = hν. ⇒ 1921 Nobel-d´ıj. ⇒ f´eny r´eszecske term´eszete Atommodellel probl´ema: vonalas sz´ınk´ep • Fraunhofer (1815): s¨ot´et vonalak a Nap sz´ınk´ep´eben (abszorpci´os) • Kirchhoff (1859): anyagok hev´ıt´es´en´el jellemz˝ o vonalak jelennek meg sz´ınk´ep magyar´azata
⇒ elemek felfedez´ese (Cr, Ru), abszorpci´os
⇒ atomoknak bels˝o szerkezet¨ uk van
2.1.2
Radioakt´ıv sug´ arz´ as
• Becquerel (1896) fluoreszcencia ´es r¨ontgensug´arz´ as ¨osszef¨ ugg´eseit keresve becsomagolt f´enyk´eplemezre fluoreszk´al´o ur´ans´ ot helyezett, ´es napra tett (hogy a fluoreszk´al´as beinduljon) ⇒ f´enyk´eplemez elfeketedett ⇒ r¨ontgen sug´ arz´ as? rossz id˝oben nem tette napra, m´egis elfeketedett!? • Curie h´ azasp´ar folytatta a k´ıs´erleteket m´as elemekkel: t´ orium, p´ olium, radium → radioaktivit´ as • Rutherford (1898): k´etfajta sug´ arz´ as (α, β). Egyik er˝osen ioniz´ al, r¨ovid hat´ot´av´ u, m´asik kicsit ioniz´ al, messzebbre elmegy. Becquerel megmutatja, hogy a β-sug´arz´ as ≡ elektronok Villard (1900): γ sugarak felfedez´ese Rutherford (1909): α-sug´arz´ as ≡ He++ atommagok. • nagy energiaforr´as (∼ MeV energia, szemben az atomi ∼ eV energi´aj´ aval), ismeretlen eredet!
Figure 2.2: Rutherford-k´ıs´erlet
2.1.3
Rutherford k´ıs´ erlet – atommag felfedez´ ese
Crookes (1903): ZnS-erny˝on az α-r´eszecsk´ek felvillan´ ast okoznak ⇒ mikroszk´op seg´ıts´eg´evel ´eszlelhet˝o. Rutherford α-r´eszecsk´ekkel foglalkozott Manchesterben ⇒ k´ıs´erletek 1909: Geiger, Marsden α-r´eszecsk´ekkel bomb´ azott arany-f´ oli´at (l. Fig. 2.2), becsap´od´asokat figyelte. V´ arakoz´ as: a pudingon kicsit elt´er¨ ul˝o α-r´eszecsk´ek ⇒ t¨ olt´eseloszl´as (l. k´es˝obb) Megfigyel´ es: N´eha (1 a 8,000-b˝ ol Pt-ra, 1 a 20,000-b˝ ol Au-ra) visszafel´e sz´or´odik! K¨ ovetkeztet´ es: valami kis m´eret˝ u nagy t¨ omeg˝ u sz´or´ocentrum visszal¨oki a r´eszecsk´eket! Aranyn´ al Rutherford m´er´ese szerint 3.4 · 10−14 m-es az atommag (mai sz´am kb. 7 fm = 7 · 10−15 m) arany atom m´erete 135 pm = 1.35 · 10−10 m = 1.35˚ A ⇒ mag kb. 4-5 nagys´ agrenddel kisebb. ⇒ Nem j´o a szilv´ as pudding modell, az atom kis m´eret˝ u, t¨ olt¨ ott, ´es az atom t¨ omeg´et l´enyeg´eben teljes eg´esz´eben hordoz´ o atommagb´ol ´es elektronokb´ ol ´ all, j´ o r´esze u ¨res! Publik´al´ as 1911-ben. Rutherford-Bohr-f´ ele atommodell a vonalas sz´ınk´eppel val´o ¨osszeegyeztet´eshez: elektron csak J = hn impulzusmomentum´ u p´ aly´akon keringhet ⇒ pontosan le´ırta a H-atom sz´ınk´ep´et
A sz´ or´ ocentrum m´ erete – kvalitat´ıv becsl´ es A Rutherford k´ıs´erletben Eα ≈ 5 MeV volt. Mα ≈ 4 GeV ⇒ nemrelativisztikus √ p ≈ 2mE ≈ 200 MeV ≈ 1 fm,
(2.1)
azaz a felbont´ ok´epess´eg kb. 1 fm.
2.1.4
Sz´ or´ ask´ıs´ erletek I.
Sz´or´ ask´ıs´erletek jelent˝ os´ege: a sz´ or´ asi k´epb˝ol a sz´ or´ ocentrum sz´or´asi er˝oss´eg´enek eloszl´as´ara ( ⇒ t¨ olt´eseloszl´asra) k¨ovetkeztethet¨ unk. ⇒ az´ota is ez a legfontosabb anyagvizsg´alati m´odszer!
j0 χ b
dΩ Figure 2.3: Sz´or´as
Klasszikus sz´or´asn´ al: j0 bemen˝o r´eszecske´ aram eset´en (azaz fel¨ uletegys´egre id˝oegys´egenk´ent j0 r´eszecske ´erkezik be) Ω k¨or¨ uli dΩ t´ersz¨ogbe id˝oegys´eg alatt sz´ or´ odott r´eszecsk´ek sz´am´ at n´ezz¨ uk: dn ∼ j0 dΩ, az ar´anyoss´agi t´enyez˝o a differenci´alis hat´ askereszmetszet: 1 dn dσ = (2.2) dΩ j0 dΩ G¨ ombszimmetrikus sz´ or´ ocentrum eset´en b impakt param´eterrel indul´o r´eszecske p´ aly´aja egy´ertelm˝ u ⇒ χ sz´or´asi sz¨og megadhat´ o, vagy b(χ) rel´aci´ o. Id˝ oegys´eg alatt [b, b + db] k¨orgy˝ ur˝ un bej¨ ov˝ o r´eszecsk´ek sz´ama j0 2πbdb, ezek csak χ sz¨ogben sz´ or´ odnak: db dn = j0 2π b db = j0 2π b dχ. (2.3) dχ Az azimutsz¨og szerinti eloszl´ as egyenletes, azaz egy dχdϕ sz¨ogbe sz´or´od´o r´eszecsk´ek sz´ama dndϕ/(2π). dϕ sin χ dχ, ez´ert v´eg¨ ul dσ b(χ) db db2 (χ) = = . dΩ sin χ dχ d cos χ
Mivel dΩ =
(2.4)
Vagyis m´erve dσ/dΩ-t mint χ f¨ uggv´eny´et a fenti egyenlet differenci´alegyenlet lesz b(χ) meghat´aroz´as´ahoz.
χ ϕ b
Figure 2.4: Sz´or´as merev g¨ omb¨ on Merev g¨ ombre: χ π−χ = R cos b = R sin ϕ = R sin 2 2
⇒
A [χ0 , π] tartom´anyba val´ o sz´ or´ as hat´ askeresztmetszete: σ(χ > χ0 ) =
Zπ
χ0
db R = sin χ dχ 2 2
dχ 2π sin χ
⇒
dσ R2 = dΩ 4
dσ χ0 = R2 π cos2 . dΩ 2
⇒
σ = R2 π,
(2.5)
(2.6)
A teljes hat´askeresztmetszet (χ0 = 0) ´eppen a g¨ omb keresztmetszet´enek fel¨ ulete! A nagy sz¨og˝ u sz´or´as val´ osz´ın˝ us´ege: ha a maxim´ alis impakt param´eter H, akkor az ¨osszes bees˝ o r´eszecske sz´ama j0 H 2 π, azaz 2 2 j0 σ(χ > χ0 ) R R 2 χ0 χ0 =π/2 1 P(χ > χ0 ) = cos . (2.7) = −→ j0 H 2 π H 2 2 H Innen kisz´ amolhat´ o az R ´ert´eke. 1/r-es potenci´ alra: α 2 dσ χ sin−4 . = dΩ 4E 2 A [χ0 , π] tartom´anyba val´ o sz´ or´ as hat´ askeresztmetszete 1 α2 π − 1 . σ(χ > χ0 ) = 4E 2 sin2 χ0 /2
(2.8)
(2.9)
A teljes hat´askeresztmetszet v´egtelen (χ0 = 0-n´ al); azonban a szomsz´edok ´es az ´arny´akol´as miatt b-nek van maximuma ⇒ χ0 -nak minimuma: 1 α2 π σtot = −1 . (2.10) 4E 2 sin2 χmin /2 Az ´erdekes k´erd´es, hogy a nagy sz¨ og˝ u sz´ or´ as val´ osz´ın˝ us´ege mekkora: α2 j0 σ(χ > χ0 ) 1 α2 χ0 =π/2 − 1 −→ P(χ > χ0 ) = , = 2 j0 H 2 π 4H 2 E 2 sin χ0 /2 4H 2 E 2
(2.11)
itt energiaf¨ ugg˝o.
2.2
Elm´ eleti j´ oslatok, u ´ j k¨ olcs¨ onhat´ asok
Vil´agk´ep: • R´eszecsk´ek: elektron, proton (Rutherford elnevez´ese, ∼ 1920), ´es az elektrom´ agneses sug´ arz´ asok; elemi tulajdons´ agok meghat´aroz´asa (t¨omeg, t¨ olt´es, spin) • Atom: atommag, k¨or¨ ul¨otte kering˝ o elektronok ⇒ 1913 Bohr-Rutherford atommodell, 1920 Sommerfeld ´altal´ anos´ıt´asa ⇒ kij¨ on a vonalas sz´ınk´ep, nincs sug´ arz´ asi vesztes´eg, DE: hi´anyzik az elvi al´at´amaszt´as 1925 Heisenberg, 1926 Schr¨odinger: kvantummechanika • Atommag: mib˝ol ´ all? t¨ omegspektroszk´ opia ⇒ M = Amp , ahol A eg´esz elektronszerkezet ⇒ Q = Ze, ahol Z < A eg´esz ⇒ elektronokb´ ol ´es protonokb´ol ´ all: A proton, A − Z elektron; beta-boml´as jelens´ege al´at´amasztja
2.2.1
Pozitron felfedez´ ese
Relativit´ aselm´elet & kvantummechanika?
⇒ 1928 P. Dirac fel´ırja a Dirac-egyenletet
• helyesen ´ırja le a spint, j´ o a statisztik´ aja (fermion), konzisztens a kauzalit´assal • Klein, Nishina 1928: girom´agneses faktor g = 2, egyez´esben az Einstein-de Haas k´ıs´erlettel (1915, Back 1919 helyes k´ıs´erlet) • nemrelativisztikus hat´ aresete a Schr¨odinger egyenlet (ill. a Pauli-egyenlet) ´Igy hamar elfogadt´ak. Azonban van egy furcsa j´ oslata: negat´ıv energi´aj´ u ´allapotok is l´eteznek, a Hamilton oper´ator nem korl´atos alulr´ ol. Dirac: minden negat´ıv energi´aj´ u´ allapot be van t¨ oltve – ez az u ´ j v´akuum (Dirac tenger). K¨ovetkezm´eny • a negat´ıv energi´aj´ u bet¨olt¨ ott ´ allapotokb´ ol kil¨ okhet¨ unk elektront ⇒ megmarad egy pozit´ıv t¨ olt´es˝ u, elektronnal azonos t¨ omeg˝ u ´es ´elettartam´ u r´eszecske ⇒ pozitron 1932 Anderson: kozmikus sug´ arz´ ast figyelt Wilson kamr´aval, ott az elektronnal azonos t¨ omeg˝ u, ellent´etes t¨ olt´es˝ u r´eszecsk´et figyelt meg ⇒ 1936 Nobel d´ıj • a negat´ıv energi´aj´ u´ allapotok: e−iEt = ei|E|t = e−i|E|(−t) ⇒ id˝oben visszafel´e halad´o ´allapot. A helyette marad´ o lyuk, azaz az antir´eszecske impulzusa is ellent´etes, vagyis |pi ≡ h−p|.
Figure 2.5: Pozitron felfedez´ese a kozmikus sug´ arz´ asban (Wilson kamra). A k´ep k¨ozep´en ´olomlemez lass´ıtja a pozitront • nincs egy-r´eszecske relativisztikus kvantummechanika ⇒ a Hilbert t´er k¨ ul¨onb¨ oz˝o r´eszecskesz´ am´ u ´allapotok ¨osszess´ege (Fock t´er), ezek k¨oz¨ott a k¨olcs¨ onhat´asok visznek ´at ⇒ m´asodkvant´ al´as (Dirac, 1927), kvantumt´erelm´elet • v´akuum strukt´ ur´aja is bonyolult, E > 2m energiak¨ozl´essel k´et m t¨ omeg˝ u r´eszecsk´et kelthet¨ unk • felt´etelez´es: minden r´eszecsk´ehez tartozik egy antir´eszecske (esetleg vele azonos), mely ellent´etes t¨ olt´es˝ u, de azonos t¨ omeg˝ u ´es ´elettartam´ u
2.2.2
A neutron ´ es az er˝ os k¨ olcs¨ onhat´ as
Az atommagban nem stimmel valami • hat´arozatlans´ agi rel´aci´ o
⇒ e− -t az elektromos er˝ok nem tudj´ak a magban tartani
• hasonl´ o ´erv: k´ıs´erletileg k¨ot´esi energi´ak megfigyel´ese
⇒ nagy A-ra nem lehetne stabil az atommag.
• N-anom´alia: N-ben A = 14, Z = 7 ⇒ a modell szerint 7 e− , ´es 14 p+ van a magban ⇒ f´eleg´esz spin ugyanakkor k´ıs´erletileg (hiperfinom felhasad´as) ⇒ SN = 1 !?
⇒ p´ aratlan szam´ u fermion
Javaslat (Rutherford, Heisenberg, ∼ 1920): ∃ egy semleges r´eszecske (neutron); a p+´es n0 k¨oz¨ott er˝os k¨ot´es (nem elektromos) → a felszbadul´o nagy energi´ak erre utaltak • 1930: Bothe, Geiger: Be +α → nem ioniz´ al´ o, vastag ´olomlemezen is ´athatol´o sug´ arz´ as → γ? A sug´ arz´ as energi´aja azonban ekkor val´ osz´ın˝ utlen¨ ul nagy lenne (Curie, 1932): 50 MeV ≫ nukle´aris energi´ak • Chadwick 1932: Po α-boml´as´ ab´ol: He + Be → C + n ´atalak´ıt´as, a kil´ep˝o nagy energi´aj´ u n l´et´et N-nel t¨ olt¨ ott expanzi´os kamra (expansion chamber, l. k´es˝ obb) seg´ıts´eg´evel fedezte fel: l. Fig. 2.6. A n0 vagy N-t vagy H magot l¨ok meg ⇒
Figure 2.6: Neutron megfigyel´ese a megl¨ ok¨ ott atommag seg´ıts´eg´evel a k´et sebess´eget megfigyelve a t¨ omegre kapunk ´ert´eket: mn = 939.565 MeV,
(mp = 938.27 MeV).
(2.12)
Mivel mn > mp , nem lehet nem k¨ot¨ott ´ allapot, bomlik ⇒ Chadwick 1935 Nobel d´ıj
2.2.3
Izospin
A neutron felfedez´ese nagyobb jelent˝ os´eg˝ u, mint csup´ an egy r´eszecske megismer´ese, mert egy u ´ j k¨olcs¨onhat´ast is megismertek ezzel: a meger˝oket vagy er˝ os k¨olcs¨ onhat´ast. Err˝ol a k¨olcs¨onhat´asr´ol a p+ ´es a n0 t¨ omeg´enek k¨ozel azonos volta sokat el´arul. Az ilyen egybees´esek ´altal´ aban a k¨olcs¨ onhat´as szimmetri´ aj´ aval ´allnak kapcsolatban.
A magot ¨osszetart´ o er˝ ok k¨ ul¨onb¨ oznek az elektromos er˝okt˝ol, a teljes Hamilton-oper´ator: H = Hmag + HED + . . .. A szabad r´eszecsk´ek saj´at´ert´ek-egyenlete H |Ψi = E |Ψi, itt az energia a teljes energia, azaz a nyugalmi energi´at is tartalmazza ⇒ E 2 = p2 + m2 ⇒ legalacsonyabb ´ert´ek ´eppen a r´eszecske t¨ omege. K´ıs´erletekb˝ol: mager˝ok j´ oval er˝ osebbek az elektromos er˝okn´el ⇒ Hmag ≫ HED , azaz a nyugalmi t¨ omeg nagy r´esze innen j¨ on. A proton ´es a neutron hat´ arozott t¨ omeg˝ u, vagyis energia saj´at´allapotok, azaz a t¨ omegk¨ ul¨onbs´egeket ´es az elektromos k¨olcs¨ onhat´ast elhagyva (2.13) Hmag n0 = mN n0 ⇒ Hmag = mN ( p+ ⊗ p+ + n0 ⊗ n0 ), Hmag p+ = mN p+ , a p+´es n0 ´altal kifesz´ıtett 2D t´erben (mN a nukleon-t¨omeg). Ebben a t´erben b´ azist v´alasztva + 0 10 p = 1 n = 0 , Hmag = mN 0 01 1
(2.14)
Ez azonban azt is jelenti, hogy ebben a 2D t´erben minden unit´er transzform´ aci´ o ut´an a Hmag v´altozatlan marad. M´ as sz´oval a mager˝oknek van egy szimmetri´ aja: U ∈ SU (2) eset´en [Hmag , U ] = 0. Ekkor, ´altal´ aban ha |Ψi saj´at´allapota Hmag -nak m saj´ at´ert´ekkel, akkor Hmag U |Ψi = U Hmag |Ψi = mU |Ψi , (2.15) azaz U |Ψi is saj´atvektor, ugyanolyan saj´ at´ert´ekkel ⇒ ha |Ψi egy r´eszecske-´allapotot jel¨ol, melynek t¨ omege m, akkor kell lennie egy m´asik r´eszecsk´enek is ugyanolyan t¨ omeggel ⇒ a spektrum elfajult, t¨ omeg multiplettek j¨onnek l´etre. Ha a mager˝oknek ez nemcsak v´eletlen szimmetri´ aja, hanem ez a mager˝ok tulajdons´ aga, akkor a p+ ´es n0 t¨ omeg´enek elfajul´asa term´eszetes. Ez a szimmetria az izospin (Heisenberg). A 2D komplex forgat´ asok le´ır´ asa σi ωi U = e−i 2 , (2.16) ahol σ1 =
01 10
σ2 =
0 −i i 0
σ3 =
1 0 0 −1
a Pauli m´atrixok. Az elektrodinamik´anak nem szimmetri´ aja U – t¨ olt´es oper´atora 1 + σ3 10 . Q= = 00 2
2.2.4
(2.17)
(2.18)
A pion megj´ osol´ asa
Elektromos t´er kvantuma: foton Mager˝ ok kvantumelm´elete is ad r´eszecsk´eket? ⇒ Yukawa 1935: a mager˝ok kvantumai a π pionok. K¨ ul¨onbs´eg: mager˝ok r¨ovid hat´ ot´avols´ag´ uak, elektromoss´ag hossz´ u hat´ot´av´ u: VED (r) ∼
1 r
⇒
∆VED = 0.
(2.19)
Yukawa javaslata: Vmag (r) ∼ Dinamika? Elektrodinamik´aban ∆ → ∆ − ∂t2
1 e−r/R ⇒ ∆Vmag (r ≫ R) = 2 Vmag . r R ⇒ elektrom´ agneses sug´ arz´ asra (Lorenz-m´ert´ekben)
(∆ − ∂t2 )Aµ (t, x) = 0
⇒
(ω 2 − k 2 )Aµ (ω, k) = 0
⇒
ω2 = k2 .
⇒
ω2 = k2 +
(2.20)
(2.21)
Mivel az energia ¯hω, az impulzus ¯hk ⇒ E = p, nulla t¨ omeg˝ u a foton. K¨ ovess¨ uk ugynezt itt is: a π-sug´arz´ as ter´ere (∆ − ∂t2 )π(t, x) =
1 π R2
⇒
(ω 2 − k 2 −
1 )π(ω, k) = 0 R2
1 R2
mπ =
Az energia ´es impulzus beazonos´ıt´ as´ aval E 2 = p2 +
⇒
1 , R
1 . R2
(2.22)
(2.23)
azaz a pion t¨ omeges, a t¨ omege ´eppen a hat´ ot´avols´aga! A hat´ ot´avols´agra a proton m´eret´et, kb. 1 fm-t v´eve ⇒ mπ ≈ 200 MeV a j´oslat (a val´os´agban 140 MeV, l. k´es˝obb). • 1938, Steet, Stevenson, Anderson, Neddermayer tal´ altak egy 105 MeV t¨ omeg˝ u r´eszecsk´et Wilson kamr´aval figyelve a kozmikus sug´ arz´ ast! ⇒ pion! 1940-ben megfigyelt´ek a r´eszecske e− -ra val´ o boml´as´at
• h´ abor´ u. . . • 1945 Conversi, Pancini, Piccioni: 1m ´ olomlemezen is ´athatol!? pion!
⇒ nem hathat er˝osen k¨olcs¨on
⇒ nem lehet a
• 1942-43 Tanikawa, Sakata, Inoue; 1947 Bethe, Marshak: k´et mezon-hipot´ezis, feltehet˝o, hogy a pion elbomlik egy m´asik r´eszecsk´ere: π ± → µ± + ν¯ mai ´ır´ asm´oddal. A µ tov´abb bomlik: µ± → e± + νµ + ν¯e mai ´ır´ asm´oddal (akkor m´eg nem gondoltak t¨ obb neutrin´o l´et´ere). • ha ´ıgy van, akkor a kozmikus sug´ arz´ asban keletkez˝o pionok m´ar magasan elbomlanak, ´es csak a boml´asterm´ekek jutnak el a F¨old felsz´ın´ere – oda nem lehet laborat´oriumot telep´ıteni. fotoemulzi´o! 1938-t´ol fejlesztik, Walter Heitler, Cecil Powell, k´es˝obb munkat´arsaik ⇒ magas hegyekre viszik (Mount Chacaltaya, Andok, Bol´ıvia), ballonokkal viszik fel ⇒ 1947 Lattes, Occhialini, Powell besz´ amol ilyen megfigyelt boml´asr´ol (˝ ok nevezik el pionnak illetve m¨ uonnak a r´eszecsk´eket) ⇒ 1950 Powell Nobel d´ıj. • 1950-ben Carlson szint´en emulzi´os lemezen felfedezi a π 0 -t, amelynek boml´asai π 0 → e− + e+ + γ ´es π 0 → 2γ Ezzel egy csap´asra sok r´eszecsk´et tal´ altunk: π ±,0 ´es µ± . Ezek adatai: mπ± = 140 MeV, mµ = 105 MeV
τπ± = 2.6 · 10−8 sec ≈ 7.8 m, mπ0 = 135 MeV, −6 τµ = 2.2 · 10 sec ≈ 660 m S = 1/2.
τπ0 = 8.4 · 10−17 sec(!) ≈ 25.1 nm,
S=0 (2.24)
• A pion er˝os k¨olcs¨onhat´asban r´eszt vesz, a m¨ uon (mint az elektron), nem. Elboml´as´ahoz a gyenge k¨olcs¨onhat´as kell (l, k´es˝obb). • A m¨ uon f¨oldfelsz´ınen val´ o megfigyelhet˝ os´ege a relativit´aselm´elet bizony´ıt´eka. Hogyan illeszthet˝o be a pion az er˝ os k¨olcs¨ onhat´as izospin rendszer´ebe? 3 r´eszecske ⇒ izospin 1 ⇒ k´et 1/2-es izospin “k¨ ot¨ott ´allapota”? A spin is stimmel. Az elektromos illetve gyenge k¨olcs¨ onhat´asnak nem szimmetri´ aja az izospin ⇒ k¨ ul¨onb¨ oz˝o t¨ olt´es, t¨ omeg. A t¨ olt´es oper´ atort azonban m´odos´ıtani kell B Q = I3 + , (2.25) 2 ahol B = 1 a p+ -ra ´es n0 -ra, B = 0 a pionokra.
2.2.5
A neutr´ın´ o´ es a gyenge k¨ olcs¨ onhat´ as
1907 Hahn, Schmidt, Meitner: beta-boml´asban a kil´ep˝o elektronok energia-eloszl´asa nem ´eles!?
e− n0 p+ Figure 2.7: Beta-boml´asban a kil´ep˝o elektronok energia-eloszl´asa (v´ızszintes tengelyen 0.1 MeV-ben az energia) V´ arakoz´as: kb. ´all´o neutron, impulzus- ´es energia megmarad´as: q p pe = pp = p, mn = p2 + m2e + p2 + m2p
p≪mp
−→
Ee = mn − mp = ∆m,
(2.26)
egy meghat´arozott energia; kisz´elesed´es m´asodrend˝ u effektus. Magyar´azat? energiamegmarad´ as s´er¨ ul? Pauli 1927: van egy harmadik partner; Fermi: u ´j r´eszecske: ν Milyen er˝osen hat k¨olcs¨ on a ν?
• n0 ´elettartam∼ K/|hp+ e− ν¯ | n0 i2 , ahol K kinematikai faktor • ν hat´askeresztmetszet a ν + n0 → p+ + e− folyamatb´ ol: σ ∼ K ′ hp+ e− | ν n0 i2 • mivel |¯ ν , −pi ≡ hν|, ez´ert a k´et m´atrixelemet ugyanaz a f¨ uggv´eny ´ırja le (keresztez´esi szimmetria) a hat´askeresztmetszet, vagy a szabad u ´thossz (ℓ = 1/(nσ), ahol n a sz´or´ocentrumok s˝ ur˝ us´ege)
⇒ kisz´ am´ıthat´o
• Mivel a n0´elettartam igen hossz´ u (∼ 14.8 perc!)
⇒ a neutr´ın´o gyeng´en hat k¨olcs¨on
• Sz´amszer˝ uen: 3 MeV-es neutr´ın´o szabad u ´thossza v´ızben ≈ 150 f´eny´ev!! (10−18 a k¨olcs¨onhat´as val´osz´ın˝ us´ege m-enk´ent) ⇒ nagyon neh´ez kimutatni! 1953-ban Reines ´es Cowan mutatta ki (l. k´es˝ obb). ⇒ u ´j t´ıpus´ u k¨olcs¨ onhat´as, mert semleges r´eszecsk´et is ´erint; kis hat´askeresztmetszetek (Fermi elm´elet)
2.2.6
⇒ gyenge k¨ olcs¨ onhat´ as
A kaon
Nem megj´osolt r´eszecsk´eket is tal´ altak! Ism´et kozmikus sug´ arz´ as hat´as´anak kitett emulzi´oban, Wilson-k¨odkamr´aval K 0 → + − + + π + π illetve K → µ + νµ folyamatra utal´o jelet l´attak, l. Fig. 2.8. A keletkez˝o r´eszecsk´ek sebess´eg´eb˝ol meg´allap´ıthat´o νµ
π+
µ+
π− K0
K
+
Figure 2.8: Kaon felfedez´ese; bal oldalon K 0 → π + + π − , a jobb oldalon K + → µ+ + νµ az eredeti r´eszecske t¨ omege. A felfedezett r´eszecsk´ek adatai: mK ± = 493 MeV, mK 0 = 498 MeV,
τK ± = 1.2 · 10−8 sec ≈ 3.7 m, τKS0 = 9.0 · 10−11 sec ≈ 2.7 cm
S=0 τKL0 = 5.8 · 10−8 sec ≈ 15.5 m
(2.27)
1953: Dalitz, Fabri: k´et k´eszecske: θ, τ , melyek megfigyelt boml´asa θ → π+ + π0 ,
τ → π+ + π0 + π0 .
(2.28)
Mivel π parit´ asa −1 (pszeudoskal´ ar r´eszecske), ez´ert θ parit´ asa 1, τ parit´ asa −1. Azonban m´as tulajdons´ agaik teljesen azonosak voltak!! theta-tau rejt´ely ⇒ a k´et r´eszecske val´oj´ aban ugyanaz: K + . Ha azonban a k´et folyamat val´ oj´ aban egy r´eszecske k´etf´ele boml´as´at mutatja, akkor valami baj van a parit´ asmegmarad´assal, azaz a t¨ ukr¨oz´esi invarianci´ aval.
2.2.7
T´ erid˝ o szimmetri´ ak ´ es parit´ ass´ ert´ es
Tapasztalat: sokf´ele rendszer ugyanazt a szimmetri´ at t¨ ukr¨ozi ⇒ ezt a t´erid˝o szimmetri´ aj´ anak tekintj¨ uk ⇒ matematikai megfogalmaz´as ut´an minden rendszert˝ol elv´arjuk ennek teljes¨ ul´es´et ⇒ Lagrange f¨ uggv´eny lehets´eges alakja V´eg¨ ulis ez tapasztalaton alapul: pl. “mozg´ o” rendszerben a fizikai t¨ orv´enyek ugyanolyanok; vagy a f´enysebess´eg ugyanakkora. A t¨ ukr¨oz´esekre nincsenek k¨ozvetlen tapasztalataink: vajon milyen lenne egy k´ıs´erlet eredm´enye, ha a t¨ uk¨orvil´agban val´ os´ıtan´ank meg? A konkr´et modellek azonban mind tudt´ ak ezt az (extra) szimmetri´ at is. QM: legyen a t´ert¨ ukr¨oz´es oper´ atora P : H → H, ¨onadjung´alt t¨ ukr¨oz´es ⇒ P 2 = 1 ⇒ saj´at´ert´ekei ±1. Ha a mozg´ asegyenletek szimmetri´ aja, akkor [P, H] = 0 ⇒ van k¨oz¨os sf. rendszer ⇒ a r´eszecsk´eket P saj´at´ert´ekei szerint is jellemezhetj¨ uk (j´ o, azaz megmarad´ o kvantumsz´ am): parit´ as. Ylm (−θ, −ϕ) = (−1)l Ylm (θ, ϕ) miatt az |L, mi ´ allapot parit´ asa (−1)L . Egy r´eszecske ´allapot legyen |pi, ahol p az impulzus: P |pi = α |−pi ,
(2.29)
r´eszecske→ visszafel´e mozg´ o r´eszecske; az α = ±1 a bels˝o parit´ as. T¨obb r´eszecske eset´en k¨ ul¨on-k¨ ul¨on vessz¨ uk P |p1 , . . . pn i = α1 . . . αn |−p1 , . . . − pn i ,
(2.30)
´ Allapotok bels˝o parit´ asa k¨oz¨ott ¨ osszef¨ ugg´est teremt, ha az egyik ´allapot a m´asikba id˝ofejl˝ od´es sor´an ´at tud alakulni (´es a parit´ as szimmetria). Ekkor ugyanis |q1 , . . . qm i → e−iHt |p1 , . . . pn i ⇒ ⇒
P |q1 , . . . qm i = α′1 . . . α′m |−q1 , . . . − qm i → P e−iHt |p1 , . . . pn i = α1 . . . αn e−iHt |−p1 , . . . − pn i α1 . . . αn = α′1 . . . α′m .
(2.31)
• A proton, neutron illetve elektron parit´ as´ at szabadon v´alaszthatjuk: legyen mindh´arom +1.
• pion parit´ asa: π − + D → 2n0 “atom” boml´as´ab´ol: kezdetben L = 0 ´es S = 1, a v´eg´en S = 1 csak L = 1 mellett val´ osulhat meg (szimmetrikus spin kombin´ aci´ o, a teljes hull´ amf¨ uggv´eny viszont antiszimmetrikus) ⇒ kezdeti parit´ as απ αD , a v´eg´en (−1)L = −1. Mivel a deut´erium p+ + n0 , parit´ asa 1 ⇒ pion parit´ asa −1. • Foton parit´ asa: atomi n´ıv´ ok ´ atmenetei: megfigyelhet˝o p → s ´atmenet, ahol teh´at a p´ alyamomentum v´altoz´ asa ∆L = 1. Emiatt a kisug´arzott foton parit´ asa −1. Ugyanilyen m´odon a foton spinje 1.
Parit´ as-s´ ert´ es θ − τ rejt´ely: 1956-ban T.D. Lee, C.N. Yang felvetette, hogy lehets´eges, hogy ugyanaz a r´eszecske ´es a parit´ as s´er¨ ul? • er˝ os, elektrom´ agneses folyamatban nem s´er¨ ulhet, ezt m´ar akkor is eleget tapasztalt´ ak
• gyenge kh? javasoltak k´ıs´erletet: l. Fig. 2.9. Ha a parit´ as szimmetri´ aja a gyenge k¨olcs¨onhat´asnak, akkor a spin ir´ anya nem befoly´ asolhatja a b´eta-boml´asban kimen˝o elektronok eloszl´as´at
P
e−
e− Figure 2.9: Parit´ as szimmetria eset´en elv´art eredm´eny 1957: C.S. Wu: Co60 beta boml´o izot´opj´ at er˝ os m´agneses t´erben leh˝ ut¨ott´ek ⇒ B||S, m´ert´ek az elektronok eloszl´as´at ⇒ igen nagy szimmetrias´ert´es ad´ odott! Magyar´azat (Lee, Yang; Landau; Salam): ν-k csak balkezesek lehetnek, az antineutrin´ok (¯ ν ) csak jobbkezesek parit´ as oper´ator belkezes neutr´ın´ot jobbkezes neutr´ın´oba vinne, ilyen viszont nincs ⇒ a gyenge k¨olcs¨onhat´asban a parit´ as nem szimmetria (100%-ban s´er¨ ul). Egy´ eb diszkr´ et szimmetri´ ak T¨ olt´est¨ ukr¨oz´es: C H → H, C 2 = 1, amely r´eszecsk´et antir´eszecsk´ej´ebe visz ´at, pl. C |ν, pi = αC |¯ ν , pi .
(2.32)
C balkezes neutr´ın´ot balkezes antineutr´ın´oba vinne, ilyen viszont nincs ⇒ gyenge k¨olcs¨onhat´asban biztosan s´er¨ ul Emiatt gyenge k¨olcs¨onhat´as seg´ıts´eg´evel r´eszecske ´es antir´eszecske azonos kvantumsz´ amok eset´en (pl. azonos t¨ olt´es) egym´ asba ¯ 0 ⇒ energia saj´ ´atalakulhat K 0 → K at´allapot kever´ek: KL0 ´es KS0 , k¨ ul¨onb¨ oz˝o ´elettartam´ uak Viszont CP balkezes neutrin´ot jobbkezes antineutr´ın´oba visz ´at ⇒ szimmetria? Mindenesetre kicsit s´er¨ ulhet csak! CP val´oban szimmetria? Tapasztalat K 0 → e+ + π − + ν,
K 0 → e− + π + + ν¯
(2.33)
egym´ as CP t¨ ukr¨oz¨ott folyamatai nem egyform´ an val´ osz´ın˝ uek ! σ(K 0 → e+ + π − + ν) = 1.003. σ(K 0 → e− + π + + ν¯)
(2.34)
Azaz k¨ ul¨onbs´eget lehet tenni az e− ´es e+ k¨oz¨ott; meg lehet ´allap´ıtani, hogy egy vil´ag anyagb´ol vagy antianyagb´ol ´all; lehet defini´alni a jobb/bal fogalm´at: pl. π + → e+ + ν folyamatban keletkez˝o ν helicit´ asa a bal. Azt is jelenti, hogy spont´ an megs´er¨ ulhet a r´eszecske-antir´eszecske szimmetria ⇒ Univerzum jelenlegi ´allapota. Id˝ ot¨ ukr¨oz´es: T : H → H, T 2 = 1, amely a bemen˝o ´es kimen˝o ´allapotokat megcser´eli: T |pi = α hp|
⇒
T (z |pi) = α(z |pi)† = αz ∗ hp| ,
(2.35)
azaz anti-unit´er transzform´ aci´ o. Lok´alis relativisztikus kvantumt´erelm´eletekben, ahogy majd l´atni fogjuk egy antir´eszecske matematikailag megfelel egy id˝oben visszafel´e mozg´o r´eszecsk´enek (lyuk). Vagyis |pi = h−p| ∼ T |−pi ∼ T C |−pi ∼ T CP |pi . Vagyis a T CP hat´asa egy ´ allapotot ¨ onmag´ aval ar´ anyos ´allapotba visz ´at. Emiatt igaz a CPT t´ etel: lok´alis relativisztikus kvantumt´erelm´eletekben a CP T szimmetria.
(2.36)
2.3
R´ eszecsk´ ek rendszerez´ ese
Vissza a r´eszecsk´ek felfedez´es´ehez: az 1950-es ´evekre kezdett megn¨ovekedni az ismert r´eszecsk´ek sz´ama e− , p+ , n0 , γ, e+ , π ±,0 , µ, ν, K± , KS,L 1952-ben a Cosmotron (BNL), 1954 a Bevatron (Berkeley) meg´ep¨ ul´ese ⇒ ism´et u ´j r´eszecske: Λ0 hiperon, mΛ = 1116 MeV (nehezebb a protonn´ al ⇒ hiperon) hamarosan Σ± (1189 MeV), majd Ξ± (1315 MEV) . . . Az 1960-as ´evekre kb. 200 ismert r´eszecske ´es rezonancia! Hogyan lehet ezeket jellemezni? K´et t´ıpus: milyen k¨olcs¨onhat´asban vesznek r´eszt, ´es milyen kvantumsz´ amokkal rendelkeznek.
2.3.1
K¨ olcs¨ onhat´ asok fajt´ aja szerint
Milyen k¨olcs¨onhat´asban vesznek r´eszt? Ha er˝ os k¨olcs¨onhat´asban r´eszt vesznek hadronok, ha nem leptonok, a k¨olcs¨onhat´as k¨ozvet´ıt˝ o r´eszecsk´eit (mint a foton) m´ert´ekbozonoknak h´ıvjuk. Az 1960-as ´evekben ismert leptonok az e− , µ, antir´eszecsk´eik, ´es a neutrin´o; mai ismereteink szerint leptonok: e− , νe ; µ− , νµ ; τ − , ντ . Hadronokb´ol sokkal t¨ obb van
2.3.2
⇒ ezeket kell f˝ oleg csoportos´ıtani.
Kvantumsz´ amok
ˆ oper´ ˆ saj´at´allapotait Mik a kvantumsz´ amok? Ha O ator megmarad´ o mennyis´eget jellemez, akkor ´erdemes a Hilbert t´er b´ azis´anak O ˆ v´alasztani. Egy b´ azis´allapot ´ıgy jellemezhet˝o O saj´ at´ert´ekeivel. Szok´asosan: a Lorentz csoport gener´ atoraihoz (spin´allapot, impulzus) rendelhet˝ o megmarad´o mennyis´egek k¨ ul¨onb¨ oz˝o ´ert´ekeihez tartoz´o b´ azis´allapotokat egy adott r´eszecske k¨ ul¨onb¨ oz˝o ´allapotainak nevezz¨ uk, m´ıg a t¨ obbi kvantumsz´ am k¨ ul¨onb¨ oz˝o ´ert´ekei a r´eszecsk´eket k¨ ul¨onb¨ oztetik meg. ´Igy a r´eszecsk´ek jellemz´es´ehez csak az ut´obbiakat kell felt¨ untetni. J´o jellemz´est adnak az olyan oper´ atorok saj´ at´ert´ekei, amelyek csak az er˝os ´es elektrom´ agneses k¨olcs¨onhat´asban maradnak meg, a gyeng´eben nem ⇒ gyeng´en s´er¨ ulnek. Ezek teh´at megv´ altozhatnak egy gyenge k¨olcs¨onhat´assal j´ar´o folyamatban. ˆ → Q). Gyeng´en s´er¨ Az 1960-as ´evekben ismert kvantumsz´ amok a t¨ omeg (p2 → m2 ), spin (Sˆ2 → S(S + 1)), t¨ olt´es (Q ul˝o kvantumsz´ am a parit´ as (P ), t¨ olt´esparit´ as (C) ´es az izospin. K´esz´ıts¨ unk egy olyan L oper´ atort, amely a leptonokhoz, azaz az er˝os k¨olcs¨onhat´asban nem r´eszt vev˝ o r´eszecsk´ekhez (e− , µ− , τ − ´es neutrin´oik) L → +1-et rendel, az antileptonokhoz (e+ , µ+ , τ + ´es antineutrin´ok) L → −1-et, a t¨ obbi r´eszecsk´ehez 0-t. Ez a leptonsz´ am, a tapasztalat azt mutatta, hogy L megmarad´o mennyis´eg! A hadronok k¨oz¨ott is bevezethet¨ unk egy u ´j B oper´atort, amely a leptonokra 0-t ad, a f´eleg´esz spin˝ u hadronokra 1-et, ezek antir´eszecsk´eire −1-et, a t¨ obbi hadronra 0-t. Azokat a hadronokat, amelyek ±1-et kapnak, barionoknak, a B = 0-t kap´o r´eszecsk´eket mezonoknak1 nevezz¨ uk. B neve barionsz´ am, ´es szint´en megmarad´o mennyis´egnek bizonyul. K¨ ovetkezm´eny: a legk¨ onyebb barion stabil! A legk¨ onyebb barion a p+ , ennek boml´asa :p+ → B + . . ., ahol B valamilyen bariont jel¨ol; ennek ott kell lennie a barionsz´ am megmarad´as miatt. Mivel mB > m+ p , a fenti folyamatban az energiamegmarad´ as nem teljes¨ ulhet! M´er´esek szerint a proton ´elettartama τp+ > 1030 ´ev, ami nagyobb, mint az Univerzum ´elettartama (1.5 · 1010 ´ev). K´erd´es: akkor mi´ert van a jelenlegi Univerzumban m´egis Bnet > 0 a tapasztalatok szerint? Kezdeti felt´etelek?? Ha nem, akkor valamilyen folyamatban m´egis elbomolhat a proton!
2.3.3
Ritkas´ ag
A Λ0 hiperont 1952-ben Pais fedezte fel, a keletkez´ese π − + p+ → Λ 0 + K 0 ,
vagy
π + + n0 → Λ 0 + K +
(2.37)
folyamatokkal megy. A Λ szeret a kaonokkal p´ arban keletkezni. A hasonl´ o p+ + π − → Λ 0 ,
vagy
n0 + π 0 → Λ 0
(2.38)
folyamatok l´eteznek, de sokkal kisebb a hat´ askeresztmetszet¨ uk. P´eld´ aul a Λ0 boml´asa ezekkel a folyamatokkal t¨ ort´enik, mert 0 + − ¯ a Λ → K +p +π nem mehet v´egbe az energiamegmarad´as miatt (a keletkezett v´egterm´ekeknek ugyanis nagyobb a t¨ omege mint a Λ-nak, emiatt ´all´o Λ eset´en nem teljes¨ ulhet az energiamegmarad´as). A m´asodik folyamatoknak kis hat´ askeresztmetszete arra enged k¨ovetkeztetni, hogy azok a gyenege k¨olcs¨onhat´assal mennek, m´ıg az els˝ok az er˝os k¨olcs¨ onhat´assal (Gell-Mann ´es Nishijima). Az a t´eny, hogy p+ + π − → Λ nem megy er˝os k¨olcs¨onhat´assal, 1A
g¨ or¨ og eredeti jelent´ ese: lepton ≡ k¨ onny˝ u, barion ≡ neh´ ez.
viszont p+ + π − → Λ + K 0 igen, arra utal, hogy az er˝os k¨olcs¨onhat´asban van m´eg egy extra megmarad´o mennyis´eg, ami megtiltja az els˝o folyamatot. Ezt elnevezt´ek ritkas´ agnak S (“strangeness”): SΛ = −1, SK + = 1, a t¨ obbi r´eszecsk´ere S = 0 (nem “ritk´ak”). S felcser´el az er˝os ´es elektrom´ agneses k¨olcs¨ onhat´as Hamilton oper´ator´aval, de nem cser´el fel a gyenge k¨olcs¨onhat´as Hamilton oper´ator´aval, csak´ ugy, mint a parit´ as.
2.3.4
Hadron multiplettek
A hadronok t¨ omeg´enek vizsg´alatakor kider¨ ul, hogy csoportokban szeretnek megjelenni. Az els˝o p´elda a p+´es n0 t¨ omeg´enek k¨ozels´ege ⇒ izospin bevezet´ese. Ezek ut´an a egym´ ashoz k¨ozeli t¨ omeg˝ u hadronok jel¨ol´es´ere ugyanazt a bet˝ ut haszn´alt´ ak, ´es egy adott r´eszecske k¨ ul¨onb¨ oz˝o izospin vet¨ ulet´enek tekintett´ek. Ilyen m´odon p´eld´ aul N = {p+ , n0 }: barionok, izospin dublett, mN ≈ 940 MeV π ±,0 : mezonok, izospin triplet, mπ ≈ 140 MeV Λ0 : barion, izospin szinglet, mΛ = 1116 MeV. η: mezon, izospin singlet, mη = 510 MeV Σ±,0 : izospin triplet, mΣ ≈ 1193 MeV ∆ = {∆++ , ∆+ , ∆0 , ∆− } izospin kvartet, m∆ ≈ 1232 Mev ... Ha kicsit nagyobb felhasad´ast is megenged¨ unk, nagyobb multipletteket kaphatunk, l. Fig. 2.10. Itt nem teljesen azonosak 1350 1300
(1318)
-
1250
Σ
(1193)
Ξ Σ
-
1700
0
Σ
S=-1
1150 1100
(1116)
1000 950
n
(940)
0
1400
p
+
-1
-0.5
0
S=-3
Ξ* (1533)
S=-2
Σ* (1384)
S=-1
∆ (1232)
S=0
1300 S=0
900 -1.5
?
1500
0
Λ
1050
(1680)
1600
+
m
m
1200
S=-2
0
Ξ
0.5
1
1.5
1200 -2.5
-2
I3
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
I3
a.)
b.) Figure 2.10: Barion multiplettek
a t¨ omegek, azonban |S| n¨ ovekedt´evel majdnem line´arisan n˝ onek a t¨ omegek (az a. esetben a t¨ omegk¨ ul¨onbs´egek 202 MeV ill. 253 MeV nem igaz´an line´aris, a b. esetben azonban a k¨ ul¨onbs´egek 152 MeV ill. 149 MeV m´ar csaknem t¨ ok´eletes). A multiplettekben a t¨ olt´es is meghat´arozhat´o 1 (2.39) Q = I3 + (B + S) 2 k´eplet seg´ıts´eg´evel. A b. ´abr´ an a szimmetria dikt´ aln´ a, hogy a h´ aromsz¨ og cs´ ucs´ an is legyen r´eszecske, nevezz¨ uk Ω-nak. Ennek tulajdons´ agai is meghat´arozhat´ok: m ≈ 1680 MeV, a ritkas´ aga S = −3, izospin szinglett, a t¨ olt´ese −1. Ez 1961-ben egy geometria k´epre ´ep¨ ul˝o j´ oslat volt; azonban 1964-ben megtal´ alt´ ak az Ω− r´eszecsk´et, a megadott kvantumsz´ amokkal (mΩ = 1672 MeV)!!
2.3.5
Kvarkok
A j´ oslat sikere egy´ertelm˝ uv´e tette, hogy valamilyen szimmetriaelv ´allhat a h´ att´erben. 1964 Gell-Mann, Zweig: a hadronok ¨osszetettek! Az ¨osszetev˝ okr˝ol eredetileg nem gondolt´ak, hogy val´odi l´etez˝o r´eszecsk´ek (hiszen r´eszecskek´ent senki sem l´atta ˝oket! – confinement, bez´ar´ as), hanem csak olyan kis “iz´ek” – n´emet¨ ul “kvark”, ami az angol k¨oztudatba James Joyce “Finnegans wake” (Finnegan ´ebred´ese) k¨onyve alapj´ an ker¨ ult ´at
Three quarks for Muster Mark! Sure he hasn’t got much of a bark And sure any he has it’s all beside the mark. But O, Wreneagle Almighty, wouldn’t un be a sky of a lark To see that old buzzard whooping about for uns shirt in the dark And he hunting round for uns speckled trousers around by Palmerstown Park? Hohohoho, moulty Mark!
H´ arom kvarkot, tartsd a markod, Ne hallgassuk el Mister Markot, bizony cs´ uny´an belemart ott. De ´ o, mindenhat´ o Sas¨ ok¨ orszem, nem l´atsz mad´ art, hogy l´assuk, a v´en kesely˝ u mint rikolt s¨ot´etbe m´artott ing´ert, ´es kutatja ´at p¨ otty¨os nadr´ ag´ert a Palmerstown Parkot? (Ferencz Gy˝oz˝o ford´ıt´asa)
H´ any kvarkra van sz¨ uks´eg¨ unk? Nem ritka r´eszecsk´ekn´el az izospin le´ır´ as´ahoz a k¨oz¨ons´eges 1/2-es spin |↑i ´es |↓i ´allapotainak megfelel˝oen k´et kvark kell: u (up) ´es d (down), ezek a 2D izospin t´er b´ aziselemei. A ritkas´ag le´ır´ as´ahoz sz¨ uks´eg¨ unk lesz egy harmadik kvarkra, amely izospinje 0, ritkas´ aga pedig (defin´ıci´o szerint) −1. Ez a h´ arom kvark egy 3D t´er b´ azis´allapotait adja, ezen t´er egy norm´ alt ´ allapota |qi = q1 |ui + q2 |di + q3 |si, ahol |q1 |2 + |q2 |2 + |q3 |2 = 1. A kvarkok fajt´ ait vagyis a b´ aziselemeket ´ıznek h´ıvj´ ak. Az er˝os k¨olcs¨onhat´as, a felt´etelez´es szerint, nem b´ antja az izospint, ´es v´arhat´o ´ert´eke arra, ha egy u ´es egy d vagy s kvarkot kicser´el¨ unk, vagyis a 3D kvark-t´erben Hs ∼ 1 egys´egm´atrix (a ritka r´eszecsk´ek elt´er˝o t¨ omeg´et az s kvark t¨ omeg´evel magyar´ azhjatjuk, nem a kvarkok k¨oz¨otti k¨olcs¨ onhat´assal). Itt pontosan ugyanaz mondhat´o el, mint a p+ -n0 rendszerben, csak most a 3D esetre: v´egezz¨ unk el a 3D t´erben egy line´aris transzform´ aci´ ot, amely minden transzform´ alt ´allapot norm´aj´ at 1-nek adja:
|q ′ i = U |qi , hq ′ |q ′ i = q|U † U |q = 1 ∀ |qi ⇒ U † U = 1. (2.40)
Egy glob´alis f´azis ugyanakkor nem megfigyelhet˝ o, ez´ert megk¨ovetelhetj¨ uk a det U = 1 felt´etelt. ´Igy alakul ki az izospin SU (2) csoport ha csak az |ui, |di alt´erben vagyunk, illetve az SU (3) csoport az u, d, s kvarkok ter´eben. Ezek a csoportok a kvarkok ¨osszetett ´allapotain is megjelennek (´ abr´ azol´odnak). A komponensek transzform´ aci´ ojakor haszn´aljuk az Uij m´atrixelemeket: X X Uij qj U |qi i ⇒ U |qi i = Uji |qj i , (2.41) qi U |qi i = qi′ = Uij qj ⇒ U |qi = ij
i
vagyis a b´ aziselemek U T = U ∗ szerint transzform´ al´ odnak. Hogyan kell transzform´ alni az antikvarkokat? Kvalitat´ıve: ha |qi volt egy kvark-´ allapot, akkor az antikvark azonos´ıthat´o † |qi ∼ hq| ∼ |qi . Emiat a hull´ amf¨ uggv´enyekre qi′ ∼ (q ′ )∗i = (U q)∗i = Uij∗ qj∗ ∼ Uij∗ q¯j .
(2.42)
Az antikvarkok teh´at U ∗ szerint transzform´ al´ odnak. SU(2) csoport eset´en ez unit´er ekvivalens U -val. Hogy ezt megmutassuk, vezess¨ uk be 0 1 E= , Eij = εij , E 2 = −1, E T = E † = −E = E −1 . (2.43) −1 0 Emiatt E unit´er. M´ asr´eszt, mivel U ∈ SU(2) eset´en U unit´er ´es det U = 1: SU(2) :
εi′ j ′ Uii′ Ujj ′ = det U εij = εij
⇒
U EU T = E,
E −1 U E = E † U E = U ∗ .
(2.44)
Ez´ert ha van egy q norm´ alt ´ allapotom, amely U szerint transzform´ al´odik, akkor q˜ = Eq is norm´alt, ´es u ´ gy transzform´ al´odik mint: q˜′ = (Eq)′ = Eq ′ = EU q = EU E −1 Eq = U ∗ q˜. (2.45) Vagyis minden ´allapotot E-vel ´ atdefini´ alva U helyett U ∗ transzform´ aci´ ot l´atok. Ez´ert nincs “antispin”.
2.3.6
Az SU(3) csoport ´ es ´ abr´ azol´ asai
A 3 × 3 egys´egnyi determin´ans´ u unit´er m´atrixok, ahol U † = U −1 , csoportot alkotnak, hiszen • 1 egys´egm´atrix unit´er • ha U unit´er, akkor U −1 is unit´er, hiszen (U −1 )−1 = U = (U † )† • ha U1,2 unit´er, akkor (U1 U2 )−1 = U2−1 U1−1 = U2† U1† = (U1 U2 )† .
Mivel a csoportelemek m´atrixok, ahol a m´atrixelemek komplex mennyis´egek, v´egtelen sok elem˝ u csoportr´ol van sz´o – folytonos csoport (Lie csoport). Megmondhatjuk azonban, hogy h´ any val´os param´etert tartalmaz: egy N × N komplex m´atrix 2N 2 val´ os param´eterrel ´ırhat´ o le (f¨ uggetelen m´atrixelemek). Unit´er m´atrixn´al U † U = 1, ez N 2 val´os egyenletet jelent ⇒ U(N) m´atrix param´etereinek sz´ ama N 2 . A det U = 1 megk¨ ot´es m´eg egy egyenlet ⇒ SU(N) param´etereinek sz´ama N 2 − 1. Ha el˝ o akarom ´all´ıtani a m´atrixot, megadhatok pl. ennyi elemet, a t¨ obbi ebb˝ol kisz´ amolhat´ o. A szok´ asos param´eterez´es ´ azonban m´ask´ent megy. Altal´ aban egy Lie csoportn´al jel¨olj¨ uk a param´eterez´est U (c)-vel, c ∈ Rn . Tegy¨ uk fel, hogy a param´eterez´es folytonos, azaz ||U (c + δc) − U (c)|| = O(δc). (2.46) Emiatt U (c + δc)U −1 (c) az egys´egelem k¨ozel´eben van. A standard param´eterez´es menete • U (0) = 1 legyen • ekkor U (dc) infinitezim´ alisan kis param´eterre az egys´eg k¨or¨ ul lesz: U (dc) = 1 − iT dc + O(dc2 ). Az unitarit´ as miatt U † = 1 + iT † dc = U −1 = 1 + iT dc
⇒
Ta† = Ta ,
(2.47)
hermitikus, neve (infinitezim´alis) gener´ ator. ´ ırva dc = c/n, azaz • U (dc)n a csoport eleme, ennek param´eter´et defini´ alom c = ndc-nak. At´ n iT c n→∞ −iT c U (c) = 1 − −→ e n
(2.48)
• T¨ obb (d) param´eter eset´en nem mindegy, milyen u ´ton ´erek el (c1 , . . . , cd )-ig. A szok´ asos elj´ar´as, hogy az egyenes utat v´alasztom: ha az egys´egelem k¨or¨ ul U (dca ) = 1 − iTa ca + O(c2 )
⇒
U (dca )n ≡ U (ndca )
⇒
U (ca ) = e−iTa ca .
(2.49)
Ha a csoport unit´er, akkor n = N 2 − 1, ennyi gener´atorra van sz¨ uks´eg. Az unitarit´ as miatt a gener´atorok hermitikusak, ´es ha m´eg det U = 1, akkor 0 = ln det U = Tr ln U = −ica Tr Ta ⇒ Tr Ta = 0. (2.50)
N × N -es m´atrixok eset´en a spurtalan hermitikus m´atrixok sz´ama N 2 − 1, pont megfelel˝o. A gener´atorok szok´ asos v´aalaszt´ asa SU(N)-n´el Ta = λa /2, ahol Tr λa λb = 2δab . SU(2)eset´en ezek a Pauli m´atrixok, SU(3)-n´al a szok´ asos v´alaszt´as a Gell-Mann m´atrixok: Az SU(3) 8 param´eteres, a szok´ asos v´alaszt´as a gener´atorokra a Gell-Mann m´atrixok T = λ: 010 0 −i 0 1 0 0 001 λ1 = 1 0 0 , λ2 = i 0 0 , λ3 = 0 −1 0 , λ4 = 0 0 0 , 000 0 0 0 0 0 0 100 10 0 0 0 −i 000 00 0 1 (2.51) λ5 = 0 0 0 , λ6 = 0 0 1 , λ7 = 0 0 −i , λ8 = √ 0 1 0 3 0 0 −2 i0 0 010 0i 0
Ezek tudj´ak, hogy Tr λa = 0 ´es Tr λa λb = 2δab . Tartalmaz 3 db SU(2) r´eszcsoportot; a bal fels˝o sarok, azaz λ1 , λ2 , λ3 a szok´ asos izospinnek felel meg, hiszen az s kvarkot nem b´ antja. Ha a r´eszecske-´allapotok Hilbert ter´et n´ezz¨ uk, akkor az SU(3) csoport hat´asa azt jelenti, hogy l´etezik az ´allapotok Hilbert ¯ : H × H olyan oper´ ter´en hat´o U ator-sereg, amely k¨oveti az SU(3) szorz´ asi szab´alyokat. Ennek param´eterez´es´et a fenti standard m´odon v´egezz¨ uk el U (c). Ez a csoport Hilbert t´eren t¨ ort´en˝o ´ abr´ azol´ asa. Ha szimmetri´ ar´ol van sz´o, akkor minden m´atrixelem felcser´el a Hamilton-oper´ atorral ¯ , H] = 0. [U (2.52) ¯ opr´ Ha kiindulok egy energia-saj´ at´allapotb´ ol, ´es hatok valamely U atorral, akkor ugyanolyan saj´at´ert´ekhez jutok. Miut´an ¯ nem minden U diagonliz´alhat´ o egyszerre, ez´ert ha minden csoportelemmel hatok, az eredeti ´allapott´ ol k¨ ul¨onb¨ oz˝o ´allapotba juthatok, amelyek mindegyike ugyanolyan saj´ at´ert´ekkel rendelkezik. V´eg¨ ul egy adott saj´at´ert´ek˝ u saj´atalteret gener´alok le. Pl. kiindulva az u kvarkb´ ol, a csoport hat´ as´ ara legener´alom a d ´es az s kvarkot is, ezek er˝os k¨olcs¨onhat´asra sz´am´ıtott saj´ at´ert´eke ugyanaz. A r´eszecsk´ek t¨ obb kvarkb´ ol ´ep¨ ulnek fel, ezek a szorzat Hilbert t´eren lev˝o ´allapotok, emlyeken szint´en hat az SU(3) csoport, a szok´ asos m´odon, komponensenk´ent Q∈H×H
⇒
Q = Qij |qi i ⊗ |qj i
⇒
U Q = Qij U |qi i ⊗ U |qj i = Uii′ Ujj ′ Qi′ j ′ |qi i ⊗ |qj i
⇒
Q′ij = Uii′ Ujj ′ Qi′ j ′ . (2.53)
ˆ = U × U . Azonban a csoport hat´as´ara nem juthatok el Vagyis a szorzatt´eren a csoport szorzat´ abr´ azol´asa val´osul meg U minden ¨ osszetett ´allapotb´ ol b´ armely m´asikba, a csoporthat´ as az ¨osszetett ´allapotokon maga is saj´atalterekre bomlik. Egy alteret irreducibilisnek nevez¨ unk, ha nincs m´as, csoporthat´ asra z´ art altere. Az irreducibilis altereken kapott csoporthat´ as az irreducibilis ´abr´ azol´as. Csak az irreducibilis alterek elemei mennek ´at egym´ asba a csoporthat´ asra, azaz csak itt lesz biztosan ugyanolyan saj´at´ert´eke H-nak. Fizikailag ez azt jelenti, hogy nem minden ¨osszetett ´allapotnak lesz ugyanaz a t¨ omege, csup´ an azoknak, amelyeket a csoporthat´ as ¨ osszek¨ ot, vagyis amelyek ugyanazon irreducibilis alt´erhez tartoznak. A k¨oz¨ons´eges spin eset´en pl. 1/2 × 1/2-ben H × H = {|↑↑i , |↑↓i , |↓↑i , |↓↓i},
(2.54)
azaz 4D-s. A szimmetrikus U × U nem tudja megv´ altoztatni a k´et spin cser´ej´evel kapott szimmetriatulajdons´ agokat szimmetrikus ill. antiszimmetrikus kombin´ aci´ ok egym´ asba nem vihet˝ ok ´at! Irreducibilis alterek teh´at 1 I0 = { √ (|↑↓i − |↓↑i)}, 2
1 I1 = {|↑↑i , √ (|↑↓i + |↓↑i) , |↓↓i} 2
⇒ a (2.55)
I0 1D alt´er, ez teh´at egy nulla spin˝ u reprezent´ aci´ o; I1 3D alt´er, itt a csoport 1-es spin˝ u ´abr´ azol´asa j¨on el˝o. Hasonl´o m´odon viselkedik az SU(3) csoport is. Mivel a szorzat t´eren szimmetrikus szorzat´ ab´arzol´ as gener´al´odik, ez´ert a ´ ıt´as: szorzatelemek permut´aci´ oira val´ o szimmetri´ at nem v´altoztatja meg ⇒ ezek biztosan k¨ ul¨on´all´o alterek lesznek. All´ ezek az irreducibilis alterek (a szimmetri´ ak nyilv´antart´as´ahoz lehet haszn´alni a Young t´ abl´ akat). Pl.: kvark ∗ kvark ´ab´arzol´ as ⇒ jel¨ ol´ese 3 × 3. Elemei p´ arok, a teljes direkt szorzat t´er |uui , |udi , |usi , |dui , |ddi , |dsi , |sui , |sdi , |ssi .
(2.56)
|udi − |dui , |usi − |sui , |dsi − |sdi ,
(2.57)
Az antiszimmetrikus kombin´ aci´ ok 3D alt´er. Most azonban nem egy´ertelm˝ u, hogy melyik ´abr´ azol´assal van dolgunk: U (kvark) vagy U ∗ (antikvark). Defini´aljuk b´ azisnak: ∗ ∗ |Qi i = εijk |qj i ⊗ |qk i ⇒ |Q′i i = εijk Ujj (2.58) ′ Ukk′ |qj ′ i ⊗ |qk′ i . Mivel azonban εijk Uii′ Ujj ′ Ukk′ = det U εi′ j ′ k′
⇒
∗ εijk Ujj ′ Ukk′ = εi′ j ′ k′ Ui−1 ′ i = Uii′ εi′ j ′ k′ .
(2.59)
Ez´ert |Q′i i = Uii′ εi′ j ′ k′ |qj ′ i ⊗ |qk′ i = Uii′ |Qi′ i .
(2.60)
3 × 3 ≡ ¯3 + 6.
(2.61)
Az antiszimmetrikus kombin´ aci´ o b´ azisa teh´ at U szerint transzform´ al´odik, azaz a hull´ amf¨ uggv´enyek U ∗ szerint: u ´ gy transz¯ form´al´ odik mint egy antikvark (jel¨ ol´es 3). Teh´at a szorzat´ abr´ azol´as transzform´ aci´ oja
Egy kvark ´es egy antikvark szorzata sz´ am´ıt´ as´ ahoz haszn´alhatjuk a ¯3 ≡ 3 × 3|antiszim megfeleltet´est; ebben a t´erben a b´ azis |u¯ ui ≡ |udsi − |usdi , ud¯ ≡ |uusi − |usui , |d¯ ui ≡ |uusi − |usui , . . . . (2.62)
Az antiszimmetrikus kombin´ aci´ o ez´ uttal teljesen antiszimmetrikus!
εijk qi qj qk ,
(2.63)
azaz 1D! A marad´ek a szimmetrikus ´ ab´arzol´ ashoz tartozik. Vagyis ¯3 × 3 ≡ 1 + 8.
(2.64)
Ez az ´ abr´ azol´as azonos´ıthat´ o a mezonokkal: a mezonok teh´at egy kvark ´es egy antikvark k¨ot¨ott ´allapotai – l. pozitr´ onium! A mezonok alkothatnak szinglettet vagy oktettet. H´ arom kvark szorzat´ ahoz m´ar majdnem minden ¨ ossze´ allt: ha mindh´arom kvark antiszimmetrikus, akkor 1D ´abr´ azol´asunk van; ha k´et kvark szimmetrikus, a harmadik antiszimmetrikus, akkor 8D ´abr´ azol´as; az utols´ o lehet˝os´eg, hogy mindh´arom kvarkra szimmetrikus az ´ abr´ azol´as, ebb˝ol van |uuui , . . . : 3
|uudi , |uddi , . . . : 6,
|udsi : 1
⇒
10,
(2.65)
azaz 10D ´ab´arzol´ as. Vagyis 3 × 3 × 3 = 1 + 8 + 8 + 10. Ezek a barionokkal azonos´ıthat´ ok. A barionok alkothatnak oktettet vagy dekuplettet.
(2.66)
2.3.7
A kvarkok kvantumsz´ amai
Mivel h´ arom kvark alkot egy bariont Elektromos t¨ olt´esre Q = I3 +
B+S 2
⇒
⇒ bariont¨ olt´ese Bq = 1/3. Qu =
1 1 2 + = , 2 6 3
1 1 1 Qd = − + = − , 2 6 3
Qs = 0 +
1 −1 3
1 1 =− . 2 3
(2.67)
Azaz a kvarkoknak t¨ ort t¨ olt´es¨ uk van!! Mivel a mezonok kvark+antikvark objektumok, t¨ olt´es¨ uk eg´esz: pl. π 0 ∼ u ¯u, π + ∼ − ¯ π =u du, ¯d. A barionok h´ arom kvarkb´ ol tev˝odnek ¨ossze, ´ıgy t¨ olt´es¨ uk itt is eg´esz; pl.: ∆ : uuu → +2, uud → 1, udd → 0, ddd → −1. Spinj¨ uk: mezonok eg´esz spin˝ uek, a barionok feles spin˝ uek ⇒ a kvarkoknak feles spinj¨ uk kell legyen.
2.3.8
R´ eszecsk´ ek kvark-¨ osszet´ etele
N´eh´any r´eszecske fel´ep´ıt´ese kvarkokb´ ol Mezonok: ¯ • pionok: q¯q√r´eszecsk´ek, ahol q = u vagy d, nulla spin˝ u pszeudoskal´ar kombin´aci´ o: π + = du, π− = u ¯d, π 0 = 0 −8 ¯ agneses k¨olcs¨ onhat´assal is bomlik, r¨ovidebb ´elettartam! (2.6 · 10 helyett 8 · 10−17 ). (¯ uu − dd)/ 2 ⇒ π elektrom´ • q¯q r´eszecsk´ek lehetnek 1-es spin˝ uek is (vektormezonok) ⇒ ρ mezon √ ¯ • a szinglet (¯ uu + dd)/ 2 kombin´ aci´ o keveredik s¯s-sel ⇒ η, η ′ , . . .. • s¯q, ahol q = u vagy d alkotj´ak a kaonokat: K + = s¯u,
K − = u¯s,
K 0 = s¯d,
¯ ¯ 0 = ds K
• Ezeknek gerjesztett ´ allapotai is megfigyelhet˝ ok. Barionok: • nukleonok: p+ = uud, n0 = udd, spinj¨ uk ´es izospinj¨ uk 1/2 • egy´eb qqq ´allapotok, ahol q = u, d: ∆ = uuu, uud, udd, ddd, spinj¨ uk ´es izospinj¨ uk 3/2 • Λ0 = uds, spinje 1/2, izospin szinglett • Σ = uus, uds, dds, spinj¨ uk 1/2, izospin 1 • Ξ = uss, dss, spinj¨ uk 1/2, izospin 1/2 • Ω = sss, spin 3/2, izospin szinglett • itt is sz´amos gerjeszett ´ allapot figyelhet˝ o meg
2.3.9
A kvarkok k´ıs´ erleti bizony´ıt´ eka
Az elm´eleti j´oslatok ut´an a k´ıs´erleti fizika feladata lett a kvarkok kimutat´ asa. Ehhez speci´ alis berendez´est ´ep´ıtettek: 1969 SLAC, Stanford Linear Accelerator. Itt p+ -okon sz´ orattak elektronokat nagy energi´an (20 GeV). V´ arakoz´as: ha vannak elemi ¨osszetev˝ ok, akkor azokon kem´enyen sz´ or´ odik az elektron, ha nincs, akkor egyre l´agyabb lesz a sz´or´as. K´ıs´erlet meger˝os´ıtette: a p+ -on bel¨ ul h´ arom kem´eny sz´or´ocentrum helyezkedik el! Ezek t¨ olt´ese a v´art 2/3 ill. −1/3 volt. Kvarkok t¨ omege? Nem tudjuk szabad r´eszecskek´ent elk¨ ul¨on´ıteni ˝oket ⇒ mit jelent a t¨ omeg? M´er´esi utas´ıt´assal lehet defini´alni, de ennek alapj´ an k¨ ulnb¨ oz˝o eredm´enyeket kapunk. Ha a sz´or´asi k´ep alapj´an az e− -p+ u ¨ tk¨ oz´esb˝ ol hat´arozzuk meg, akkor mu = 4 MeV, md = 8 MeV, ms = 150 MeV. Ekkor azonban nem ´erthet˝ o, hogy a proton t¨ omege hogy lehet j´oval nagyobb, mint az ¨osszetev˝ok t¨ omege – ekkor mi´ert k¨ot¨ott ´allapot? M´ asik lehet˝os´eg, hogy gyeng´en k¨olcs¨ onhat´o rendszernek felt´eve sz´amoljuk ki a t¨ omegeket. Ez is j´ol m˝ uk¨odik, mu ≈ md = 300 MeV, ms = 450 MeV. A k¨ ul¨onbs´eg ´ıgy is kb. 150 MeV, ez magyar´ azza pl. a barion dekuplett t¨ omegfelhasad´as´at.
2.3.10
´ szabads´ Uj agi fok: a sz´ın
B´armennyire is sikeresen ´ırta le kvalitat´ıve a hadron multipletteket, az eredeti kvark-modell sz´amos k´erd´esben nem adott kiel´eg´ıt˝ o v´alaszt. • Mi´ert nincsenek szabad kvarkok; ezzel egy¨ utt mi´ert nem l´atunk k´et kvarkb´ol ´all´o multipletteket (3¯ + 6). Valami miatt a kvarkok be vannak z´ arva bizonyos k¨ot¨ott ´ allapotaikba (confinement). • A SLAC k´ıs´erletekben az elektronok sz´ or´ asi k´ep´eb˝ol a kvarkok impulzus´at is meg lehetett hat´arozni. A h´ arom kvark ossz-impulzusa azonban a p+ impulzus´anak csak kb. fel´et adta ki! ¨ • A protonon bel¨ ul a kvarkok nagyon er˝ os k¨olcs¨onhat´assal vannak k¨otve. A sz´or´asi k´ep alapj´an azonban a kvarkok ´ t˝ szabadnak t˝ untek! Ugy unik teh´ at, hogy ki t´ avols´agok (nagy energi´ak) mellett a kvarkok nem hatnak k¨olcs¨on. . . ⇒ aszimptotikus szabads´ag (l. 2004-es Nobel d´ıj t’Hooft ´es Veltmann). • Konkr´et probl´ema: a ∆++ r´eszecske spinje 3/2, azaz fel´ep´ıt´ese spinekkel egy¨ utt |u ↑, u ↑, u ↑i ⇒ szimmetrikus a kvarkok cser´ej´ere. Mivel a kvarkok fermionok, ez´ert a teljes hull´ amf¨ uggv´eny antiszimmetrikus kell legyen, azaz a t´erbeli hull´ amf¨ uggv´eny antiszimmetrikus. De hogy lehet egy alap´allapoti hull´ amf¨ uggv´eny antiszimmetrikus? A v´alasz 1972-ben sz¨ uletett meg: Gell-Mann, Fritzsch: van egy u ´ jabb bels˝o szimmetria: sz´ın. Mi´ert nincsenek akkor e szerint is hadron multiplettek? Mert minden hadron csak sz´ın-szinglett lehet. A felt´etelez´es szerint a sz´ınes objektumok olyan nagy energi´aval rendelkeznek, hogy csak j´oval magasabb energi´an lehetne megfigyelni ˝oket. Mai k´ep: k´et sz´ınes objektumot t´ avol´ıtva line´arisan n˝ o a rendszer energi´aja (mint a szappanbubor´ek) ⇒ el´erj¨ uk a k´et kvark t¨ omeg´enek megfelel˝o energi´at, ekkor a v´akuum polariz´al´odik, ´es a k´et u ´j kvark semleges´ıti a sz´ınt¨ olt´eseket. A barionok 3 kvarkb´ ol ´ allnak, ´es sz´ın-szinglettek ⇒ a sz´ın le´ır´ as´ ahoz is SU(3) kell!!. Lehets´egesek sz´ın-szinglettek ´ ez´ert nincs dikvark, hab´ar a¯ 3 × 3 ´es a 3 × 3 × 3 ´abr´ azol´asban ⇒ megfigyelhet˝o objektumok a mezonok ´es a barionok. Es a kor´ abbi t´ argyal´asban semmi nem utalt ennek lehetetlens´eg´ere. A kvarkok a sz´ın¨ uk miatt hatnak k¨olcs¨ on: elm´elete a kvantum sz´ın-dinamika (QCD), mint a kvantum-elektrodinamika. Ez helyettes´ıti a mager˝oket. A mager˝ok csup´ an a QCD “van der Waals” er˝oi. A ∆++ -ban a spin, izospin szimmetrikus, sz´ın antiszimmetrikus (szinglett!), ´ıgy a hull´ amf¨ uggv´eny szimmetrikus lehet! Teh´at a kvarkok hull´ amf¨ uggv´eny´enek a k¨ovetkez˝o indexei vannak: qicα ,
ahol
i az ´ız ⇒ q1cα ≡ ucα , q2cα ≡ dcα , q3cα ≡ scα . c a sz´ın: minden kvarknak lehet h´ arom sz´ıne, azaz pl. u1α , u2α , u3α . α a spin-index; a kvarkokra ´es az antikvarkokra is |↑i vagy |↓i. A sz´ın felfedez´es´ere u ´jabb kutat´ asok indultak el, ´es hamarosan bizony´ıt´ekokat is tal´ altak. Pl. R :=
σ(e+ e− → hadronok) σ(e+ e− → µ+ µ− )
(2.68)
ar´ anyt vizsg´aljuk. A folyamat elektrom´ agneses (f˝ oleg), ´es u ´gy zajlik le, hogy e+ e− → γ ∗ → q¯ q ≡ hadronok,
vagy
e + e − → γ ∗ → µ+ µ− .
(2.69)
A k¨ozbens˝ o foton energi´aja ´es impulzusa nem el´eg´ıti ki a nulla t¨ omeg k¨ovetelm´enyt, ´ıgy ez csak v´eges ideig ´elhet (τ ∆E ∼ ¯h). Az ´ atmeneti amplit´ ud´ o ar´ anyos a foton ´es a t¨ olt¨ ott r´eszecsk´ek csatol´as´aval (ez a t¨ olt´es), a hat´askeresztmetszet ennek n´egyzete. A hat´ askeresztmetszet a f¨ uggetlen v´eg´allapotok sz´ am´ aval is ar´anyos. Mivel a folyamat egy´eb k¨or¨ ulm´enyei megegyeznek, ez´ert R=
Nc (Q2u + Q2d + Q2s ) 2 = Nc . Q2µ 3
A k´ıs´erleti megfigyel´esek szerint kb 2 a hat´ askeresztemtszetek ar´anya
2.3.11
(2.70)
⇒ Nc = 3!
Egy´ eb r´ eszecsk´ ek
M¨ uon neutr´ın´ o Vajon minden r´eszecsk´et megismert¨ unk? A lepton-hadron k´ep szimmetrikusnak t˝ unt e − , µ− , ν
vs.
u, d, s.
(2.71)
Azonban voltak m´eg rejt´elyek: pl. mi´ert nem bomlik a m¨ uon, mint µ− → / e− + 2γ,
µ− → e− + ν + ν¯.
(2.72)
Magyar´ azat lehet, ha k´etf´ele neutr´ın´o van, ´es a m¨ uon + m¨ uon-neutr´ın´o sz´am megmarad. K´ıs´erleti bizony´ıt´ek: neutrin´o nyal´ ab m´odszer (1988 Nobel-d´ıj): p+ + Be → π + ; a pionok 99.98%-ban u ´gy bomlanak tov´abb, hogy π + → µ+ + ν → 5000 tonna vas (r´egi csatahaj´ o maradv´ anyai) → ν → Ne-nal t¨ olt¨ ott Al 10t-s szikrakamra. Ha a neutrin´o k¨olcs¨onhat, akkor µ− − vagy e keletkezik, a r´eszecsk´et a nyomb´ ol lehet azonos´ıtani. Eredm´eny: a m¨ uonok boml´as´ab´ol keletkez˝o neutr´ın´ok kiz´ar´olag m¨ uonokat keltettek ⇒ a m¨ uon neutr´ın´o ´es az elektron neutr´ın´o k¨ ul¨onb¨ ozik.
c-kvark A m¨ uun-neutr´ın´o felfedez´es´evel ism´et felborult a hadron-lepton k´ep, hiszen e− , νe , µ, νµ ´allt szemben a h´ arom kvarkkal u, d, s. Ehhez az “elvi” sz´eps´eghez j¨ ottek konkr´et fizikai probl´em´ ak. Ha a b´eta-boml´ast kvark szinten n´ezz¨ uk, akkor ez a kvark ´ızek k¨oz¨otti ´atmenetet ´ırja le. A n0 b´eta-boml´asa p´eld´ aul n0 → p+ + e− + ν¯e ,
n0 ≡ udd, p+ ≡ uud
⇒
d → u + e− + ν¯e .
(2.73)
Az s-kvarkot is figyelembe v´eve logikusnak t˝ unik, hogy a gyenge k¨olcs¨onhat´as az s-kvarkot d illetve u kvarkba vigye ´at. Azonban a k´et szimmetrikusnak t˝ un˝ o folyamat k¨oz¨ ul csak az egyik val´osul meg: s → u + µ− + ν¯µ ,
s 6→ d + νµ + ν¯µ .
(2.74)
¯ Ha ilyen folyamat lenne, akkor ez j´ arul´ekot adna a K -boml´ashoz (ami ds), a sz´amol´ asok szerint a val´os´agban megfigyelhet˝ o boml´asi r´at´anak kb. 20-szoros´ at eredm´enyezve. A fenti folyamat ´ızv´alt´ o, semleges r´eszecsk´ekre hatna ´es gyenge k¨olcs¨ onhat´assal menne ⇒ neve ´ızv´alt´ o semleges ´ aram (FCNC). A tapasztalat szerint teh´at FCNC nincsen; de mi´ert? 1970-ben Glashow, Iliopoulos, Maiani (GIM) felvetette, hogy ha bevezet¨ unk egy u ´ j kvarkot (c – charm), amelynek t¨ olt´ese 2/3 (mint az u-nak), ´es a csatol´asi ´ alland´ oj´ at megfelel˝oen v´alasztjuk, akkor ez megtilthatja a fenti boml´ast (GIM) mechanizmus. Grafikusan l. 2.11. A k´et folyamat kinematik´aja l´enyeg´eben megegyezik, azonban az amplit´ ud´ ok ar´anyosak a 0
s
u
d
s
c
d
νµ
µ
νµ
νµ
µ
νµ
Figure 2.11: A s boml´asa d-be csatol´asi ´alland´ okkal: Vud Vsu
vs.
Vcd Vsc .
(2.75)
Hogyha feltessz¨ uk, hogy Vud = Vcs , viszont Vsu = −Vdc , akkor a k´et j´arul´ek ´eppen kiejti egym´ ast! Teljes¨ ulne a fenti ¨osszef¨ ugg´es akkor, ha Vsu = Vdc = 0 lenne, azaz az u csak a d-vel hatna k¨olcs¨on, a c csak az s-sel. Ekkor (u, d) ´es (s, c) k´et k¨ ul¨on “csal´ adot” alkotna, melyek k¨oz¨ott nincs ´atj´ar´as. Hozz´av´eve a leptonokat, a csal´adok − − e u µ c (2.76) νe d νµ s m´odon lenn´enek ´ırhat´ ok. A k´ep nem teljesen korrekt, mert l´etezik s ↔ u ´atmenet. Cabibbo javaslata: az u, c egy unit´er elforgatott s, c-vel hat k¨olcs¨ on (u, c) cos θc sin θc d ⇒ Vud = Vcs ∼ cos θc , Vus = −Vcd ∼ sin θc . (2.77) s − sin θc cos θc Ez a konstrukci´o teh´at “´esszer˝ u”magyar´ azatot ad a GIM ´altal felt´etelezett ¨osszef¨ ugg´esekre. Hogyan mutathat´ o ki a c-kvark? A c-sz´am olyan mint a ritkas´ag, azaz az er˝os k¨olcs¨onhat´as szimmetri´ aja, azaz a c a rendszerb˝ol csak elektrom´ agneses vagy gyenge kh. u ´tj´an t˝ unhet el ⇒ a legalacsonyabb t¨ omeg˝ u, c-t tartalmaz´ o r´eszecsk´ek hossz´ u ´elet˝ uek! Amit l´atni kell: egy viszonylag keskeny rezonancia magasabb t¨ omegekn´el. Legegyszer˝ ubb a c¯c charm´ onium kelt´ese, mert az elektrom´ agnesesen megy. 1974-ben t¨ obben is v´egeztek k´ıs´erleteket, az ˝ e− -e+ MIT-n´el S. Ting, a SLAC SPEAR elektron-pozitron t´ arol´ogy˝ ur˝ un´el B. Richter ´es csapata (1976-ban Nobel d´ıj). Ok + − − + u ¨tk¨ oztet´est v´egeztek, ´es a hat´ askeresztmetszetet figyelt´ek k¨ ul¨onb¨ oz˝o v´eg´allapotokba (µ µ , hadronok, e e stb.). 3096 MeV-n´el egy keskeny rezonanci´at l´attak minden csatorn´aban, a sz´eless´ege kb. 100 MeV volt ⇒ nem lehetett er˝os kh. rezonancia. Elnevez´es: J/Ψ, mert a k´et csoport egyidej˝ uleg m´ask´ent nevezte el. K´es˝obb rengeteg c-t tartalmaz´ o rezonanci´at tal´ altak (pl. ηc = c¯c 0 spin˝ u, D0 = u¯c, Λc = udc stb.). Ezeket a c nagyobb t¨ omege miatt el´eg j´ol lehetett elm´eletileg is sz´ amolni. A τ lepton 1975-ben u ´jabb rejt´ely: megfigyelt esem´eny e− + e+ → e− + µ+ + missing energy,
(2.78)
m´egpedig nagy hat´askeresztmetszettel! Ez az´ert furcsa, mert a µ− → e− + νµ + ν¯e kis hat´askeresztmetszet˝ u folyamat. Ennek magyar´ azat´ara u ´j leptont kellett felt´etelezni: τ , amely bomolhat τ − → e− + ντ + ν¯e ,
τ − → µ− + ντ + ν¯µ .
(2.79)
T¨ obb ´eves kutat´ assal lehetett a τ adatait felt´erk´epezni: t¨ omege 1777 MeV, ´elettartama 290 · 10−15 sec. M. Perl 1995-ben Noble d´ıjat kap (megosztva Reines-szel a neutrin´o felfedez´es´e´ert).
A bottom ´ es top kvark Ha igaz a csal´ad-elk´epzel´es, akkor a τ lepton egy u ´j csal´ad els˝o tagja, ´es kell l´eteznie egy u-t´ıpus´ u, ´es egy d-t´ıpus´ u kvarknak, valamint egy megfelel˝o neutr´ın´onak is. 1976-ban a Fermilab-ban 400 GeV-es p+ -okkal bomb´ aztak c´elt´ argyakat (Be, Cu, Pt), ´es leptonp´ arba val´o ´atmenet hat´ askeresztmetszet´et n´ezt´ek. 9.5 GeV-n´el keskeny rezonanci´at tal´ altak ⇒ u ´j kvark k¨ot¨ott ´allapota, hasonl´ o a J/Ψhez. Ez az u ´j kvark d-t´ıpus´ u volt, elnevezt´ek bottom-nak (b), a tal´ alt r´eszecske ¯bb k¨ot¨ott ´allapot volt, bott´ onium vagy u ¨pszilon (Y). A c kvark felfedez´es´ehez hasonl´ oan itt is sok gerjesztett ´allapotot tal´ altak. A bottom fels˝o p´ arja, a top (t) kvark felfedez´es´ere 1994-ig kellett v´arni, a Fermilab-ban p+ − p− u ¨ tk¨ oz´esben fedezt´ek fel, hasonl´ oan, mint a bott´ oniumot; azonban ekkorra m´ar senki sem k´etelkedett a l´etez´es´eben, s˝ot, perturb´ aci´ osz´am´ıt´as seg´ıts´eg´evel a t¨ omeg´ere is el´eg j´ o becsl´est lehetett adni (mert mint virtu´alis r´eszecske m´as folyamatokhoz is ad j´arul´ekot). A top kvark nagyon magas t¨ omeg˝ u, mtop = 172 GeV – mint egy Yb (itterbium) atommag! A τ neutrin´ o Ezekut´an a tau neutr´ın´oja szinte biztosra volt vehet˝ o, felfedez´ese 2001-ben a Fermilabban t¨ ort´ent meg neutr´ın´o-nyal´ab m´odszerrel. Ezzel teljes volt a harmadik csal´ ad is, azaz a r´eszecsk´ek teljes rendszere − − − e u µ c τ t . (2.80) νe d νµ s ντ b Az antir´eszecsk´eikkel egy¨ utt ezzel lez´ arhat´ o a fermionok sora.
2.3.12
M´ ert´ ekbozonok
A csal´ adok tagjai k¨oz¨ott hat´ o k¨olcs¨ onhat´asok: • ν neutrin´ok: csak gyenge k¨olcs¨ onhat´asban vesznek r´eszt • e− elektron (´es ennek megfelel˝oen µ ´es τ ): gyenge ´es elektrom´ agneses k¨olcs¨onhat´asban vesznek r´eszt • kvarkok: gyenge, elektrom´ agneses ´es er˝ os k¨olcs¨ onhat´asban vesznek r´eszt Az elektrom´ agneses k¨olcs¨ onhat´as k¨ozvet´ıt˝ o r´eszecsk´ei a fotonok – mik a t¨ obbi k¨olcs¨onhat´as k¨ozvet´ıt˝o r´eszecsk´ei? Er˝ os k¨ olcs¨ onhat´ as: mager˝okben a pionok (illetve ´altal´ aban a mezonok) j´atssz´ ak a k¨ozvet´ıt˝o r´eszecske szerep´et (l. Yukawa-elm´elet). A kvarkok k¨oz¨ott hat´ o QCD azonban m´as k¨ozvet´ıt˝o r´eszecsk´eket ig´enyel. Ezeket neve gluon (glue: ra¨ gaszt´ o). Osszesen 8 db gluon t´er van, nulla t¨ omeg˝ uek (mint a foton), elektromosan semlegesek. A k´ıs´erletek szerint a hadronok impulzus´anak ´es t¨ omeg´enek jelent˝ os r´esz´et a gluonok teszik ki. K¨ ul¨on r´eszecskek´ent nem figyelhet˝ok meg (csak´ ugy, mint a kvarkok), azonban a k´ıs´erletekkel ¨ osszhangban vannak a QCD j´oslatai. Gyenge k¨ olcs¨ onhat´ as: a gyenge k¨olcs¨ onhat´as az ´ızek k¨oz¨otti transzform´ aci´ o, p´eld´ aul az u ´es a (m´ as csal´adokkal ¨osszekevert) d k¨oz¨ott hat. Emiatt k´et alapobjektuma van, ez´ert v´arhat´oan az SU (2) csoporttal ´ırhat´ o le. Itt h´ arom k¨ozvet´ıt˝o r´eszecske van, nev¨ uk W ± (elektromosan t¨ olt¨ ottek!) ´es a Z 0 . Mivel elektromosan nem semlegesek, az elektrom´ agneses ´es gyenge k¨olcs¨onhat´ast egyszerre kell le´ırnunk: elektrogyenge elm´elet (Glashow, Weinberg, Salam, 1968; 1979: Nobeld´ıj). M´ asr´eszt a k´ıs´erletek szerint a gyenge k¨olcs¨ onhat´as er˝oss´ege energif¨ ugg˝o ⇒ a m´ert´ekbozonok t¨ omegesek kell, hogy legyenek! K´ıs´erletileg: 1973, CERN-ben mutatt´ak ki a Z 0 bozon hat´as´at (elektron-neutrin´ o k¨olcs¨onhat´ast). K¨ozvetlen¨ ul 1983-ban l´att´ ak a ˝oket (Rubbia, van der Meer; 1984 Nobel-d´ıj). 1990-ben a CERN-ben pontosan meghat´arozt´ ak a Z-bozon boml´asi sz´eless´eg´et. Ez a sz´eless´eg, az elm´eleti sz´amol´ asok szerint, f¨ ugg a lehets´eges (k¨ onny˝ u) neutrin´ok sz´ am´ at´ol. Ennek alapj´an biztosra lehet venni, hogy legfeljebb 3 k¨onny˝ u neutr´ın´o van, azaz – ha a csal´ad elk´epzel´es igaz – 3 csal´ ad. A k¨olcs¨onhat´asok le´ır´ asa a m´ert´ek-elvvel t¨ ort´enik (l. k´es˝obb). Ennek l´enyeges eleme, hogy a szimmetriacsoport minden gener´ ator´ahoz egy vektorteret rendel. Emiatt • elektrom´ agneses er˝ o: U (1) szimmetria (f´ azistranszform´ aci´ o)
⇒
1 gener´ator: hull´ amf¨ uggv´enye Aµ (x) (foton)
• gyenge k¨olcs¨onhat´as: SU (2) szimmetria (´ız-transzform´aci´ o)
⇒ 3 gener´ator: Wµ+ (x), Wµ− (x), Zµ (x)
• er˝ os k¨olcs¨onhat´as: SU (3) szimmetria (sz´ın-transzform´aci´ o)
⇒ 8 gener´ator: gµa (x), a = 1 . . . 8 gluonok.
A m´ert´ek-elv szerint a k¨ozvet´ıt˝ o r´eszecsk´ek t¨ omegtelenek kell, hogy legyenek; hogyan lehet akkor a W ill. Z bozonnak t¨ omege? Magyar´azat: spont´ an szimmetrias´ert´es (Higgs mechanizmus). Ehhez kell egy u ´ j bozon t´er (Higgs-t´er), amely a gyenge k¨olcs¨onhat´as szerint transzform´ al´ odik (dublett ⇒ 4 val´os komponens), azaz elm´elete SU (2) szimmetrikus. Ha ez a szimmetria spont´ an s´er¨ ul, mint a m´agness´eg eset´eben a spont´ an m´agnesezetts´eg kialakul´ asakor (itt most azt jelenti, hogy valamelyik komponens Bose-kondenz´atumot k´epez), akkor ez a k¨ozvet´ıt˝o r´eszecsk´eknek t¨ omeget adhat. A Higgs-t´er
Figure 2.12: A Higgs r´eszecske egyik kelt´esi mechanizmusa 3 komponense a m´ert´ekbozonokba olvad mint longitudin´alis komponens, a negyedik elvileg megfigyelhet˝o most az LHC-ban is. Az el˝ oa´ll´ıt´ as´ anak egy lehets´eges m´odj´at l´athatjuk a 2.12 ´abr´ an. Ezzel teljes a r´eszecskefizika Standard Modellje:
⇒ ezt keresik
• 3 r´eszecske-csal´ad • k¨olcs¨onhat´as: er˝os + gyenge + elektrom´ agneses (gluon, W ± ´es Z 0 valamint a foton)
⇒ SU (3) × SU (2) × U (1), k¨ozvet´ıt˝o r´eszecsk´eik a m´ert´ekbozonok
• t¨ omeg-gener´al´as miatt a Higgs-bozon.
2.4
R´ eszecskeforr´ asok
A kozmikus sug´ arz´ as megfigyel´ese m´ar nem vezetett u ´j r´eszecsk´ek felfedez´es´ere. M´ ashonnan kellett venni a nagy energi´aj´ u r´eszecsk´eket ⇒ r´eszecskegyors´ıt´ ok ´ep´ıt´ese. Mi is hagyjuk el a t¨ ort´eneti utat egyel˝ ore, ´es n´ezz¨ uk meg a k´ıs´erleti berendez´esek fejl˝od´es´et!
2.4.1
Term´ eszetes forr´ asok
• radioakt´ıv boml´as: energia ∼ O(10) MeV – atommag felfedez´ese – mag´atalakul´asok (1919 Rutherford α+7 N 14 →8 O17 + H, 1923 Blackett megfigyeli)
– maghasad´ as (1939, O. Hahn, L. Meitzner, F. Strassmann: U magot n0 -kal bomb´ azva k´et r´eszre hasad; Fermi, Szil´ard, Anderson: felszabadul´ o neutronokkal u ´jabb maghasad´ as, l´ancreakci´o gondolata) – korl´atozott E, intenzit´ as • kozmikus sug´ arz´ as: – 1912 V. Hess: ballonnal m´erte az ioniz´ aci´ ot
⇒ n˝ o
⇒ ioniz´ al´o sug´ arz´ as jelenl´ete
⇒
1936 Nobel-d´ıj
– eredete: Nap (pl. Napkit¨or´esek), galaktikus (f˝ oleg szupernova maradv´ anyok), extragalaktikus (AGN: akt´ıv galaxis magok, kozmikus l¨ok´eshull´ amok) – f˝ok´ent p+ -okb´ ol ´ all, amelyek a fels˝o l´egk¨orbe ´erve r´eszecske-z´ aporokat kelt: p+ + mag → π 0 → 2γ → e+ + e− → . . . + ± vagy p + mag → π → µ + ν → . . .. Ezek a z´ aporok a F¨old felsz´ın´en is megfigyelhet˝ok – az intenzit´ asa nagyj´ab´ol ∼ 1/E 3 szerint megy (l. 2.13 ´abra) – h´ atr´ anya: nem szab´alyozhat´o, kis intenzit´ as
– ma ism´et aktu´alis k´erd´es: UHECR (ultra high energy cosmic rays): ak´ ar 1021 eV energi´aj´ u z´ aporokat is megfi20 gyeltek!! (El˝ osz¨ or a Fly’s Eye k´ıs´erletben 1991-ben 3.2 · 10 eV) (oh-my-god r´eszecske) 1020 eV ≈ 10 J ≈170 km/h sebess´eg˝ u teniszlabda! Probl´ema: spektrumban lev´ag´asnak kellene lennie: GKZ (Greisen, Zatsepin, Kuzmin): p+ + γ → ∆∗ → n0 + π + folyamat miatt, ahol a γ a kozmikus h´ att´ersug´ arz´ asb´ ol ered ⇒ a p+ lelassul (kb 10 Mpc exponenci´ alis lassul´asi hossz) ⇒ 50 Mpc-n´el t´ avolabbi forr´asb´ ol ´erkez˝o p+ -ok nem lehetnek ∼ 5 · 1019 eV-n´al nagyobb energi´aj´ uak. A 1020 eV feletti esem´enyek rendk´ıv¨ ul ritk´ ak, kb 1 esem´eny/km2/´evsz´ azad. Ez´ert nagyon nagy m´eret˝ u detektorokat kell ´ep´ıteni. Jelenleg is folynak k´ıs´erletek, pl. ∗ AGASA, Jap´ an: f¨ oldi megfigyel˝ oa´llom´as, 100 km2 , z´ aporokat figyelnek meg ∗ fly’s eye (HiRes): fluoreszcent detektor (azaz a z´ apor UV f´eny´et ´eszlelik)
√s = 10 -4
10 2
10 3
10 4
10 5
10 6
direct measurements
10 -6 air showers
10 -10 6/km2 .ster.minute
10 -12 10 26
knee
E 3dN/dE (m -2 s -1 ster -1 eV 2 )
dF/dlnE, cm-2 s-1 ster -1
10 -8
10 -14 ankle
1/km2 .ster.day
10 -16
10
-18 3/km2 .ster.century
10 -20 10 2
10
4
10
6
10
8
10
10
10
12
10 25
10 24
10 23 10 18
10 19
10 20
10 21
Energy (eV)
E, GeV/particle
Figure 2.13: Kozmikus sug´ arz´ as spektruma (T. Stanev, astro-ph/0411113, lecture at the 2004 SLAC Summer Institute)
∗ PAO (Pierre Auger Observatory) · 3000 km2 ter¨ ulet˝ u · direkt megfigyel´es: 1600, egyenk´ent 12000 literes v´ıztart´aly, egym´ ast´ ol 1.5 km-re, fotomultiplyer-rel figyelve. · fluoreszcens detektor
Magyar´azat? extra ´egi objektum (fekete lyuk, gamma-ray burst)?´ uj r´eszecske boml´asa? ν h´ att´eren sz´or´od´o νsug´ arz´ as? egzotikus fizika (Pl. Lorentz invariancia Planck hosszn´ al val´o s´er¨ ul´es´enek jele – E-f¨ ugg˝o f´enysebess´eg; stabil n0 )? Ma legelfogadottabb az AGN hipot´ezis, n¨ ovekv˝o illetve forg´ o fekete lyukkal a k¨ozep´en
2.4.2
Atomreaktor
maghasad´ asban sok n0 ´es ν keletkezik ⇒ ezeket haszn´alhatjuk r´eszecskeforr´ask´ent is ⇒ ν detekt´al´as lehet˝os´ege felmer¨ ult: 10−18 /m a k¨olcs¨ onhat´asi val´ osz´ın˝ us´eg ⇒ nagy intenzit´ as kell. reaktorok: ´atlagban: n0 +92U 235 → n0 gazdag elemek + 2.5¯ ν + 200 MeV; tov´abbi β-boml´asok miatt ¨osszesen kb. 6 ν¯ keletkezik (´ atlagosan kb. 3 MeV energi´aval) 200 MeV-enk´ent: Nν = 6 ×
Preaktor 1 . 200 MeV sec
(2.81)
Tipikus reaktorban: Paks: egys´egenk´ent 1375 MW h˝ oteljes´ıtm´eny (34% hat´asfok ´ amolva MeV/s-ra: 4 blokk o¨sszesen 5500 MW h˝ oteljes´ıtm´eny. Atsz´ 1M W =
1 MeV MeV = 0.625 × 1019 −19 1.6 × 10 sec sec
⇒
⇒ 470 MW elektromos teljes´ıtm´eny),
5500 MW → 1021
db ν¯ . sec
(2.82)
Ez m´ar o¨sszesen nagy hat´ askeresztmetszetet jelent! 1953: Reines, Cowan a Savannah River atomreaktorb´ol j¨ov˝ o ν¯-kat haszn´alt ν¯ + p+ → e+ + n0 .
(2.83)
A e+ annihil´al´odik ⇒ 0.5 MeV-es foton A n0 termaliz´ al´odik, majd befog´ odik; ha van Cd a k¨ozelben, akkor n0 + Cd → foton; konkr´et k´ıs´erletben 200 liter v´ızben 40 kg-nyi oldott CdCl-ot haszn´altak ⇒ k´esleltetett koincidencia m´er´es ⇒ kb. 3 esem´eny ´or´ank´ent ∼ v´arakoz´as
2.4.3
R´ eszecskegyors´ıt´ ok
A gyors´ıt´as elve egyszer˝ u: elektromos t´erbe helyezett t¨ olt´es gyorsul, a nyert energia ´eppen a r´aadott fesz¨ ults´eg. Technikai probl´em´ ak • Nagy fesz¨ ults´eg kell • A felgyors´ıtott r´eszecsk´ek nem u ¨tk¨ ozhetnek m´as r´eszecsk´ekkel
⇒ nagy v´akuum kell
• Sok r´eszecsk´et kell tudni gyors´ıtani: r´eszecske´ aram ≡ luminozit´ as. Hogyan lehet nagy fesz¨ ults´egeket el´erni? • Cockroft-Walton kapcsol´ as: elektronikai eszk¨ oz. M˝ uk¨od´esi elve: a di´od´akon kereszt¨ ul a kondenz´atorok t¨ olt˝ odni tudnak, azonban nem tudnak kis¨ ulni (“pumpa”) ⇒ egym´ as ut´an felt¨ olt˝ odik az ¨osszes kondenz´ator ⇒ Eout az ¨osszes fesz¨ ults´eg ¨osszege nagy lesz. Olcs´o, n´eh´any 100 kV-ig lehet elmenni vele; viszont a kimen˝o t¨ olt´es cs¨okkenti a fesz¨ ults´eget. ∼ 1930 500 kV-ot ´ertek el, ezzel p+ + Pb, Li, Be ⇒ mesters´eges maghasad´ as (1951: Nobel-d´ıj; sz¨ uks´eges elm´elet: alagutaz´ as! (Gamow)) • R.J. van der Graaf, els˝o modell 1929-ben; ez m´eg bolti selyemszalaggal m˝ uk¨od¨ott. . . ´es 1 MV-ot tudott produk´ alni! Mai legnagyobb VdG g´epek ∼ 25 MeV-re k´epesek M˝ uk¨od´esi elve: Az als´o hengeren t¨ olt´esmegoszt´ assal vagy t¨ olt´es injekt´ al´as´aval felt¨ oltj¨ uk a szalagot, amely a fels˝o, arny´ekolt hengerbe ´erve leadja a t¨ ´ olt´es´et ⇒ a fels˝o g¨ omb t¨ olt´ese egyre n˝ o.
Figure 2.14: Cockroft-Walton gener´ator
Figure 2.15: van der Graaf gener´ator
Figure 2.16: Ciklotron m˝ uk¨od´esi elve
• ciklotron: haszn´aljunk periodikus mozg´ ast a gyors´ıt´ashoz. 1931 Lawrence, l. Fig. 2.16. Az u ¨ regben ´arny´ekolt elektromos t´er ⇒ csak a m´agneses t´er hat, a r´eszecske k¨orbefut. Mikor a f´em u ¨regek k¨oz´e ´er, mindig olyan fesz¨ ults´eget kapcsolunk r´a, hogy gyors´ıtsa a r´eszecsk´et. ´ Alland´ o B t´erben a f´el k¨orp´ alya befut´ as´ ahoz sz¨ uks´eges id˝o: mv 2 = evB r f¨ uggetlen a sebess´egt˝ ol
⇒
r=
mv eB
⇒
t1/2 =
⇒ ´ alland´ o k¨ uls˝ o frekveci´ at haszn´alhatunk!!
rπ πm = , v eB
(2.84)
⇒ Lawrence 1939-ben Nobel-d´ıjat kap.
Kezdetben egy 4.5 inch (kb. 12 cm-es) eszk¨ ozzel kezdt´ek, de m´ar ez is 80 keV-es r´eszecsk´eket adott. T´amogat´as´ert fordult az ´allamhoz (1000$) ⇒ egy “nagy” ciklotronnal (11 inch – 30 cm) m´ar ´atl´epte az 1 MeV-ot (1.2 MeV)! Ezzel m´ar maghasad´ as is el˝ oid´ezhet˝o, n´eh´any h´ettel k´estek Cockroft-Waltonhoz k´epest 1934: 5 MeV, 1939: 20 MeV “big science”: nagy csoportok dolgoztak ugyanazon a ter¨ uleten. • probl´ema a ciklotronnal: – relativisztikus sebess´egekn´el m n˝ o – n¨ ovekszik a sug´ ar a max E-vel
⇒ megv´ altozik a frekvencia
⇒ szinkro-ciklotron, a m´agneses t´er is n˝ o.
⇒ nagy ter¨ uleten kell (homog´en) m´agneses t´er & v´akuum
• betatron: n¨ ovekv˝o m´agneses t´er rot´ aci´ os elektromos teret gerjeszt, amivel r´eszecsk´eket gyors´ıthatunk. 1950-re Kerst 300 MeV-es betatront ´ep´ıt! Szinkrotron: a mai gyors´ıt´ ok technol´ ogi´ aja • a gyors´ıtott r´esecsk´ek z´ art cs˝ oben haladnak: rozsdamentes ac´el, 8-12 cm ´atm´er˝oj˝ u. • a r´eszecsk´ek csoportokban haladnak (kupac, bunch) A luminozit´ as ∼ E 2 szerint kell n˝ oj¨ on, mert a hat´askeresztmetszetek ∼ 1/E 2 szerint cs¨okkennek. • el˝ ogyors´ıt´as: miel˝ ott a nagy gyors´ıt´ oba ´ernek a r´eszecsk´ek, kisebb gyors´ıt´okkal (t¨obb l´epcs˝oben) gyors´ıtj´ak, esetleg t´ arolj´ak ˝oket (pl. e+ -gyors´ıt´ o eset´en). • gyors´ıt´as: klisztronokkal, l. Fig. 2.17 olyan frekvenci´at v´alasztunk, hogy ´eppen megfeleljen az elektronok sebess´eg´enek:
Figure 2.17: Klisztron m˝ uk¨od´ese (SLAC) val´ oj´ aban csatolt 250 MHz-es u ¨regrezon´atorok sorozata. • elt´er´ıt´es: m´agnesekkel. A sz¨ uks´eges B ´ert´ek´ehez felthetj¨ uk, hogy ultrarelativisztikus r´eszecsk´eket gyors´ıtunk, ez´ert R=
mc E mv = = eB eB ecB
⇒
B=
E E/TeV ≈ 3.33 . ecR R/km
(2.85)
Figure 2.18: F´azsistbilit´ as Nyal´ ab stabilit´ as • nyal´ab stabilit´as: r´eszecsk´ek tasz´ıtj´ ak egym´ ast, a falban keltett elektromos terek sz´etzil´ alj´ak a csoportot skodni kell az egy¨ utt marad´ asukr´ol (t¨obb ´ or´ an kereszt¨ ul)
⇒ gondo-
– f´azisstabilit´as: (l. Fig. 2.18). A k´es˝ o r´eszecsk´ek er˝osebb teret ´ereznek ⇒ jobban gyorsulnak ⇒ r´eszecskecsoport egy¨ utt marad (McMillan, Veksler) Ezzel szinkrociklotron ´ep´ıthet˝ o, v´altoz´ o frekvenci´aj´ u ciklotron, ahol a r´eszecsk´ek csoportokban (kupac, bunch) haladnak. – gyenge f´okusz´ al´ as: transzverz´ alis s´ıkban: k´ıv¨ ul halad´o r´eszecsk´ek nagyobb sug´ aron kell haladjanak ⇒ cs¨okkenteni kell kifel´e a m´agneses teret. – akt´ıv (er˝ os) f´ okusz´ al´ as (1952: Courant, Livingston, Snyder): a sz´ettart´o nyal´abokat ¨ossze kell terelni. Nincs a lencs´ehez hasonl´ o m´agneses eszk¨ oz, azonban kvadrupol m´agnes: egyik ir´ anyban f´okusz´ al, m´asik ir´ anyban def´okusz´ al, l. Fig. 2.19. Lencs´ekn´el: f1 ´es f2 f´okuszt´avols´ag´ u lencse d t´ avols´agra (d < f1,2 ) ⇒ ered˝o f´okusz
Figure 2.19: F´okusz´ al´o elem (DESY) 1 d2 1 + − f1 f2 f1 f2
f1 =−f2
−→
d2 > 0, f2
(2.86)
azaz mindig f´ okusz´ al. Nagy jelent˝ os´eg˝ u, nagy energi´ak el´er´es´et tette lehet˝ov´e. Elk´epeszt˝o pontoss´ ag: m´ar a r´egi eszk¨ oz¨okn´el is ≈ l´egy m´eret/Hold t´ avols´aga; ma ≈ l´egy m´eret/Pluto t´ avols´aga (20 µm/nap). • r´eszecske u ¨tk¨ oz´es: collider, azaz u ¨tk¨ oztet˝ o, nem fix target!
K´et azonos t¨ omeg˝ u r´eszecsk´ere: ha az egyik ´ all p1 = (E1 , p), p2 = (m, 0) ⇒ az u ¨ tk¨ oz´es teljes energi´aja E 0 = Ep +m. TK TK Ugyanezt mozg´o vonatkoztat´ asi rendszerb˝ol n´ezve? Ott p1 = (E /2, p/2), p2 = (E /2, −p/2), az u ¨ tk¨ oz´es energi´aja E T K . A k´et energia viszony´ara: s = (p1 + p2 )2 invari´ans, azaz (E T K )2 = (E1 + m)2 − p2 = (E1 + m)2 − (E12 − m2 ) = (E 0 )2 − (E 0 − 2m)E 0 = 2mE 0
⇒
E0 =
(E T K )2 . (2.87) 2m
Vagyis 1 TeV u ¨tk¨ oz´esi energia megfelel p+ -n´al 500 TeV, e− -n´al 1 milli´ o TeV (!!) ´all´o target energi´anak (arr´ol nem is besz´elve, hogy mindk´et r´eszecsk´et fel lehet gyors´ıtani.) • szinkrotronsug´ arz´ as: k¨orp´ aly´an mozg´ o r´eszecsk´ek gyorsulnak ⇒ sug´ aroznak. Sug´arz´ assal kibocs´atott teljes´ıtm´eny r´eszecsk´enk´ent 4 Z 0 e 2 c2 E , (2.88) P = 6πR2 E0 p ahol Z0 = ε0 /µ0 ≈ 376.73 Ω v´akuum impedancia. Fontos, hogy (E/E0 )4 hatv´annyal megy ⇒ nagy energi´at neh´ez r´eszecsk´ekkel k¨onnyebb el´erni. energiaveszetes´eg: LEP 2-ben E ≈ 100 GeV r´eszecsk´enti energia, az elektronok nyugalmi t¨ omege: 500 keV ⇒ E/E0 ≈ 2 · 105 , ´es ennek a 4. hatv´anya kell ⇒ igen nagy energiavesztes´eg, kb. 44 MW, amit gyors´ıt´assal kell p´ otolni! ⇒ gyakorlatilag ez korl´atozza az e− –e+ szinkrotronok alkalmaz´as´at LHC-ban E ≈ 7 TeV, ´es E0 ≈ 1 GeV ⇒ E/E0 ≈ 7 · 103 ⇒ kb. 10 milli´ oszor kisebb sug´ arz´ asi vesztes´eg r´eszecsk´enk´ent; ¨osszesen P ≈ 5 kW. Teljesen elker¨ ulhet˝o a szinkrotronsug´ arz´ as? Line´aris gyors´ıt´o kell! Stanford (SLAC) ilyen, a tervek szerint ILC (International Linear Collider), CLIC (Compact Linear Collider) ⇒ 1-5 TeV-es elektron-pozitron gyors´ıt´o lehet. Nagy gyors´ıt´ ok • 1952, Brookhaven National Laboratory (BNL): Cosmotron. E = 3 GeV. Gyenge nyal´abf´okusz´ al´ast haszn´alt (ezzel max 10 GeV-ig lehet elmenni). 1960 AGS (alternating gradient synchrotron), er˝os f´okusz´ al´assal, E = 33 GeV; 2000 RHIC (Relativistic heavy ion collider), p+ -p+ , d-Au, Cu-Cu, Au-Au u ¨tk¨ oz´esek; p+ -p+ u ¨tk¨ oz´esekn´el 2009-ben 500 GeV TK-i energi´aval • 1954, Berkley, Bevatron, E = 6 GeV; antiproton felfedez´ese 1955-ben (1959-ben Nobel d´ıj) • CERN: 1957-ben indul az els˝o gyors´ıt´ o (600 MeV-es szinkrociklotron), 1959-ben PS (proton synchrotron), akkor a vil´ ag legnagyobb gyors´ıt´ oja, 1963-ban detektorban megfigyelik a neutrin´o-k¨olcs¨onhat´ast. 1976 SPS (super- proton synchrotron), 1981-ben ´ at´ep´ıtik proton-antiproton u ¨tk¨oztet˝ov´e 2 × 270 GeV energi´aval. 1989 LEP (large electronpositron collider) eredetileg 2 × 50 GeV energi´aval; 1995 LEP2, 2 × 100 GeV-es energia; 2008 szeptember´eben indult az LHC (large hadron collider), de a baleset miatt le´allt, 2009. november´eben u ´jra indult, 2010. m´arcius´aban 3.5 TeV energi´at siker¨ ult el´erni. A tervezett 7 TeV-es energi´at (´es a megfelel˝o luminozit´ ast) kb. 2012 ut´an tervezik el´erni. • 1962: SLAC, 50 km hossz´ u line´aris gyors´ıt´ o, 50 GeV-ig; 1994 “B-factory” • Fermilab (FNAL), 1967, Weston (Illinois, Chicago k¨ozel´eben), 1972-re 200 GeV-es proton nyal´ab; 1985-ben p+ -p− u ¨tk¨ oztet˝o kb. 500 GeV energi´aval ⇒ Tevatron, kb. 2 TeV-es energi´aval. 4 m´erf¨old (kb. 6.5 km) ker¨ ulet˝ u gyors´ıt´o • 1958: DESY (deutsches elektronen-synchrotron), r´eszecskegyors´ıt´ ok: 1974 DORIS, k´es˝obb PETRA (electron-positron double storage ring), 1990 HERA (Hadron Electron Ring Accelerator) elektronok ´es protonok u ¨ tk¨ oz´ese; TESLA (TeVEnergy Superconducting Linear Accelerator) • 1971 KEK (Tsukuba, Jap´ an); neutrino-oszcill´ aci´ o kutat´ asban az egyik f˝oszerepl˝o. LHC adatok • Sz¨ uks´eges luminozit´ as LHC-n´al 1034 db/(cm2 sec) ⇒ 2808 kupac, 1011 r´eszecsk´evel mindegyikben nyal´ab´aram I = Nbunch nbunch ec/2πR ≈ 0.5 A u ¨tk¨ oz´esek: 25 ns-onk´ent!! teljes nyal´abenergia 724 MJ – ha ebb˝ol csup´ an 10−7 r´esz elv´esz a m´agneseket quench-eli! • A CERN-LHC-ban a k´ıv´ ant energia ≈ 7 TeV, a p´ alya ker¨ ulete 27 km, m´elys´ege 50-175 m, az R ≈ 3.5 km, ennek 80%-a m´agnes ⇒ Ref f ≈ 2.8 ⇒ B ≈ 8.3 T. Ez nagyon nagy m´agneses indukci´ o; vasm´agnesekkel kb. 2 T ´erhet˝o el (szatur´aci´ o), rendk´ıv¨ ul nagy fogyaszt´as mellett! Mai gyors´ıt´okban szuprevezet˝o m´agnesek; LHC-n´al 1232 db 14 m´eter hossz´ u m´agnes, (392 kvadrup´ol m´agnes) – a m´agnesekben 10 GJ energia t´ arol´ odik a huzaloz´ as NiTi els˝ofaj´ u szupravezet˝o sz´ alb´ ol a´ll (T < 1.9 K kell: hidegebb, mint a vil´ag˝ ur!), a sz¨ uks´eges ´aramer˝ oss´eg 12350 A!! H˝ ut´es: 96 t foly´ekony He. Fogyaszt´as: kb. 10 GW.. . . Vesz´elyes u ¨zem: LHC baleset – a szupravezet˝o m´agnesben elektromos hiba, ´ıvet h´ uzott, ami kirepesztette a He-tart´ alyt, 6t foly´ekony He ki¨ oml¨ott, k¨ozben a 10t-s m´agneseket kit´epte a hely´eb˝ol. Kb. 100 m´agnes k´arosodott, kb. 20 milli´ o $-os k´ar. • el˝ ogyors´ıt´ok: LINAC2 (50MeV), PSB (1.4GeV), PS (26 GeV), SPS (450GeV)
• 1-2-szer naponta felt¨ oltik az LHC-t ´es felmennek 3.5 TeV-re • 2013-t´ol ´allnak ´at 7 TeV-re • 7.5 milli´ ard EUR-s ´ep´ıt´esi k¨olts´eg
2.4.4
Detektorok
Ha m´ar megvannak a gyors´ıtott r´eszecsk´eink, mit kezdj¨ unk vel¨ uk?
⇒ detektorok
• fluoreszcens erny˝o (pl. ZnS); a becsap´ od´o ioniz´ al´o (t¨olt¨ ott) r´eszecsk´ek fevillan´asokat okoznak, ezt mikroszk´oppal lehet megfigyelni ⇒ atommag felfedez´ese (1911) • fotolemez, fotoemulzi´o; ioniz´ al´ o sug´ arz´ as ´es fotonok nyomot hagynak a lemezen, el˝oh´ıv´ as ut´an megvizsg´ alhat´o Becquerel is haszn´alta m´ar, de sok´aig haszn´alt´ ak (l. pion felfedez´ese 1947)
⇒
• 1912: Wilson-f´ele k¨odkamra (1927: Nobel-d´ıj). M˝ uk¨od´esi elve a Fig. 2.20 ´abr´ an l´athat´o.
1111111111111111 0000000000000000 " szobahomérséklet 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 +25 oC 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111
izopropanol
" alászállva túlhul
1111111111111111 0000000000000000 0000000000000000 1111111111111111 0000000000000000 1111111111111111 szárazjég 0000000000000000 1111111111111111
ionizáló sugárzás kondenzációs csík o
−28 C
Figure 2.20: Wilson kamra m˝ uk¨od´esi elve – m´agneses teret alkalmazva elhajlik a p´ alya
⇒ mv/e ar´any
– energia-m´er´es: r´eszecske u ¨tk¨ ozik ⇒ lelassul. Adott u ´thosszon leadott energia ∼ q 2 ̺f (v), ahol ̺ a k¨ozeg s˝ ur˝ us´ege, f (v) a sebess´eg f¨ ugv´enye, f anyagt´ ol f¨ ugg, meghat´arozhat´o, q a bej¨ ov˝ o r´eszecske t¨ olt´ese. Ha meg´all´ast l´atunk, akkor a meg´all´asig megtett u ´tb´ol L= mc2 /
2 mc Z
√
dE ∼ mF (v), dE/dx
(2.89)
1−v 2 /c2
meghat´arozhat´o a kezdeti sebess´eg. 30-as ´evek “a magfizika aranykora” Probl´ema: kis g´ azs˝ ur˝ us´eg ⇒ limit´ alt felbont´ ok´epess´eg, lass´ u f´ekez˝od´es • 1952: Glaser bubor´ekkamra (bubble chamber), 1960 Nobel-d´ıj: haszn´aljunk t´ ulf˝ ut¨ott folyad´ekot (nyom´ as cs¨okkent´es´evel lehet el´erni), az ´athalad´o ioniz´ al´ o r´eszecsk´ek forr´asba hozz´ ak a folyad´ekot. Folyad´ek pl. H. Sok´ aig haszn´alj´ak; pl. CERN 1971: Gargamelle bubor´ekkamra a legnagyobb detektor (freonnal CF3 Br u ¨ zemelt) ⇒ semleges ´aram felfedez´ese (l. k´es˝ obb). • foto-multiplier. Foton becsap´ odik a fotokat´odba egy lemezbe (dynoda), ahonnan t¨ obb e− -t u ¨t ki.
⇒ fotoeffektus, e− l´ep ki. Gyors´ıt´o fesz¨ ults´eg hat´as´ara becsap´odik
• scintillation counter: bizonyos k´emiai elemek f´enyt bocs´atanak ki, ha foton vagy ioniz´ al´o sug´ arz´ as ´eri. Gamma-detektor: pl. NaI vagy CsI; mai gyors´ıt´ okban gyors jel-lefut´ as kell (antrac´en C14 H10 , BGO Bi4 Ge3 O12 ). F´enyintenzit´ as a leadott energi´at´ol f¨ ugg. Fotomultiplier seg´ıts´eg´evel kapunk elektronikus jelet ⇒ trigger • elektronikus detekt´al´ as: Geiger detektor 1908, l. Fig. 2.22. Ioniz´al´o sug´ arz´ as ionp´ art kelt, amelyek a k¨ uls˝ o fesz¨ ults´eg hat´as´ara felgyorsulnak, r´eszecske lavin´at ind´ıtanak el (l. kozmikus sug´ arz´ as), ´ıgy becsap´od´askor m´erhet˝o elektronikus jelet kapunk. • szikradetektor: Az ´ athalad´o ioniz´ al´ o sug´ arz´ as ionokat hagy h´ atra, ´ıgy ha ut´ana nagy fesz¨ ults´eget kapcsolunk a lemezekre, akkor szikra u ¨t ´at ezeken a helyeken ⇒ lef´enyk´epezhet˝o. Kev´esb´e pontos mint a bubor´ekkamra, de jobban id˝oz´ıthet˝o
Figure 2.21: Fotomultiplier
Figure 2.22: Geiger detektor
Figure 2.23: Szikradetektor
Figure 2.24: Wire chamber
• sok tov´abbfejleszt´es: egy fontos l´ep´es: multiwire proportional chamber (MWPC) 1968 Charpak (1992 Nobel d´ıj). M˝ uk¨od´esi elve a Fig. 2.24 ´ ab´arn l´athat´o. Az ioniz´ alt r´eszecsk´ek az an´odok fel´e mozognak, ´ıgy a becsap´od´as elektromos jelet kelt ⇒ minden sz´ alhoz egy er˝ os´ıt˝ o kell. Mer˝ oleges sz´alakkal a p´ alya elektronikusan lek´epezhet˝o. A keletkezett t¨ olt´esek sz´ ama az energi´at´ol f¨ ugg (proportional), ´ıgy, ha nem indul be lavina, akkor az ´athalad´o t¨ olt´es energi´aj´ ara is k¨ovetkeztethet¨ unk. Drift chamber: ha ismerj¨ uk a r´eszecske bel´ep´es´enek idej´et (pl. szcintill´ aci´ os detektor), ´es az ionok driftsebess´eg´et a detektorban, akkor a r´eszecske ´ athalad´as´ anak hely´et ki tudjuk sz´amolni ⇒ eleg kevesebb huzal Time projection chamber (TPC): henger, v´egein MWPC, a henger hossz´ aban elektromos t´er. A p´ alya ment´en keltett ionokat az MWPC-vel olvass´ak ki. Energiavesztes´eg is m´erhet˝o ⇒ jobb r´eszecske azonos´ıt´as. • f´elvezet˝o detektorok: f´elvezet˝oben nincsenek szabad t¨ olt´eshordoz´ ok, ´ıgy nagy fesz¨ ults´eget adhatunk r´a; ha ekkor egy ioniz´ al´o sug´ arz´ as vagy gamma-foton l´ep a f´elvezet˝obe, akkor a valencia-s´ avb´ ol kil¨okhet t¨ olt´eshordoz´ okat, ami felgyorsulva elektromos jelet kelt. A jel nagys´ aga a t¨ olt´eshordoz´ ok sz´am´ aval, ´ıgy a leadott energi´aval ar´anyos. Egy gyors´ıt´o detektora sok r´eszb˝ol ´ all, amelyekkel pontos inform´aci´ okat lehet szerezni az ´athalad´o r´eszecsk´er˝ol. P´elda: SLD (SLAC Large Detector http://www2.slac.stanford.edu/vvc/detectors.html). 6000 tonna s´ uly´ u, kb 15 m´eteres
Figure 2.25: SLD detektor sematikus v´azlata detektor. • legbels˝o egy szilikon vertex detektor: v´ekony CCD chipekkel k¨orbevett (kb. 5cm ´atm´er˝oj˝ u) henger ioniz´ al´o sug´ arz´ as t¨ olt´est kelt, amelyet elektronikusan kiolvasunk. Hely pontoss´aga ≈ 10−8 cm. 2 r´eteg
⇒ ´athalad´o ⇒ kirep¨ ul˝o
Figure 2.26: Vertex detekt´al´as r´eszecsk´ek ir´ anya pontosan meghat´arozhat´o (vertex), innen a r¨ovid ´elet˝ u r´eszecsk´ek ´altal megtett u ´ tra k¨ovetkeztethet¨ unk. • k¨ovetkezik egy drift chamber, m´agneses t´erben; 35000 sz´alb´ ol ´all ⇒ m´agneses t´erb˝ ol p/e ar´ any.
⇒ p´ alya inform´aci´ o, kb. 10−3 cm pontoss´aggal
• Cherenkov detektor: ha a t¨ olt¨ ott r´eszecske sebess´ege meghaladja a k¨ozegbeli f´enysebess´eget, akkor elektrom´ agneses sug´ arz´ ast bocs´at ki ⇒ hengerhull´ amok, ny´ıl´ assz¨og cos θ = clok /v. Jelad´ o freon g´ az, f´eny detekt´al´asa TMAE szcintill´ ator, amely UV→ elektronok, amely elektronikusan kiolvashat´o. • kalorim´eter: meg´all´ıtja a r´eszecsk´et ´es megm´eri az energi´aj´ at: meg´all´ıt´as ´olom lemezekkel, k¨ozt¨ uk foly´ekony Ar (¨ osszesen 288 modul, 650 t). Az ´ olomlemezeken ´ athalad´o r´eszecske ionokat kelt, amely az Ar-ban tov´abbi z´ aporokat induk´al ⇒ t¨ olt´esek, ¨osszegy˝ ujthet˝ok az ´ olomlapokon, kiolvashat´ok. Z´ apor m´erete ⇒ energia; z´ apor alakja ⇒ r´eszecskefajta.
Figure 2.27: Cherenkov detektor • ut´ana j¨on a m´agneses teret el˝ oa´ll´ıt´ o tekercs • v´eg¨ ul a vas kalorim´eter: a m¨ uonok ´es a legnagyobb energi´aj´ u hadronok ´atmennek a a kalorim´eteren ⇒ ˝oket 14 vaslemez, k¨oz¨ott¨ uk g´ az ´es f´emsz´ alak ⇒ mint egy ´ori´asi drift chamber. Ami innen is elsz¨okik, az a neutrino, amelyet a hi´anyz´ o energi´ab´ol lehet azonos´ıtani.
2.4.5
Rezonanci´ ak
R´eszecsk´ek felfedez´ese: ha a nyom´ at felfedezz¨ uk, akkor meghat´arozhat´o a t¨ olt´ese, t¨ omege, egy´eb kvantumsz´ amai. De mi van akkor, ha nem l´atjuk meg a nyom´ at – pl. ilyenek az er˝os k¨olcs¨onhat´assal boml´o r´eszecsk´ek, ahol a tipikus ´elettartam τ ∼ 10−24 sec, amennyi id˝o alatt a f´eny ´ at´er a protonon. . . A gyorsan boml´o r´eszecske ´elete a LEP-ben, l. Fig. 2.28: 1. egym´ as fel´e fut´o e−´es e+ nyal´abok; 2. u ¨ tk¨ oz´esben el˝oa´ll az u ´j x e+ N
1.
X
...
e−
2.
3.
4. 5.
t
Figure 2.28: Gyorsan boml´o r´eszecske ´elet´enek pillanatai N r´eszecske; 3. eltelik τ id˝o; 4. a r´eszecske elbomlik; 5. a boml´asterm´ekek sz´etrep¨ ulnek, ´es a detektorokban felfogjuk ˝oket. Meg lehet-e ´allap´ıtani a boml´asterm´ekek megfigyel´es´evel, hogy volt egy k¨ozbens˝ o ´allapot, mikor N l´etezett? Ebben a folyamatban N ´allva keletkezik, azaz az energi´aja E = MN . Az energiamegmarad´as miatt csak egyetlen bemen˝o energi´an´al fodulhat el˝o ez az esem´eny, mikor teh´ at Ee− + Ee+ = MN . Ha m´as folyamat nem lenne a vil´agon, akkor a k´et u ¨ tk¨ oz˝o elektron nem tudna egym´ assal k¨olcs¨ onhatni, csakis ezen az energi´an, ´ıgy a hat´askeresztmetszet minden¨ utt 0 lenne, kiv´eve 2 s = (p1 + p2 )2 = MN energi´an´al. A val´ os´ag k´et ponton t´er el ett˝ ol az esett˝ ol. Egyr´eszt az ide´ alis eset is pontos´ıt´asra szorul, hiszen N csak v´eges id˝otartamig l´etezik, ez´ert az energi´aja nem meghat´arozott; az energia bizonytalans´ aga ∆E·τ ∼ ¯h. Emiatt m´as energia´ert´ekekn´el is v´arhat´o k¨olcs¨ onhat´as; az elm´eleti k´eplet dσ A2 (2.90) ≈ 2 2 /τ 2 , dΩ (s − MN )2 + 3MN
ahol A ∼ az e− -e+ → N folyamat sz´ or´ asi hat´ askeresztmetszete. Ez egy Lorentz-g¨orbe, a csillap´ıtott harmonikus oszcill´ator v´alaszf¨ uggv´enye ⇒ az ilyen r´eszecsk´eket rezonanci´anak nevezz¨ uk. A m´asik elt´er´es, hogy vannak m´as folyamatok is, ahogyan az e−´es e+ k¨olcs¨onhat egym´ assal. Ezeket a megmarad´o kvantumsz´ amok szerint csoportos´ıthatjuk: itt a v´eg´allapoti r´eszecsk´ek ¨ossz kvantumsz´ amai (energia, impulzus, t¨ olt´es, parit´ as stb.), meg kell egyezzen az N r´eszecske hasonl´ o kvantumsz´ amaival. De m´eg egy adott kvantum csatorn´aban is lehet egy´eb 2 folyamat, az azonban ´altal´ aban nem mutat k¨ ul¨on¨os viselked´est s = MN k¨or¨ ul. Vagyis az N r´eszecske id˝oleges megjelen´ese u ´gy l´atszik az s − dσ/dΩ diagramon, mint egy sima h´ att´eren lev˝o kiemelked´es. Ez azonban val´osz´ın˝ us´egi alapon megy, hiszen dσ/dΩ adott sz¨ogbe val´ o sz´ or´ od´as val´ osz´ın˝ us´eg´et jelenti, ez´ert a cs´ ucs is csak sok esem´eny megfigyel´ese ut´an rajzol´ odik ki (pl. egy cinkelt dob´okocka is csak sok dob´as ut´an ´ arulja el mag´at. . . ). Szok´asosan: ha valamilyen ismert h´ att´erfolyamat
hat´ askeresztmetszet´et˝ol val´ o elt´er´es 5σ 2 , akkor besz´el¨ unk u ´j fizik´ar´ol. P´elda: hogyan ´allap´ıthatjuk meg egy kock´ar´ ol, hogy cinkelt, ha csak a dob´asok eredm´eny´et l´atjuk?
2 Azaz: a sz´ or´ asi hat´ askeresztmetszetek alapj´ an adott or¨ ulm´ enyek k¨ oz¨ ott v´ arunk n esem´ enyt. Feltessz¨ uk, hogy az esem´ enyek eloszl´ asa nagy √ k¨ aban a megfigyelt esem´ enyek sz´ ama n ± 5σ n-re Gauss (centr´ alis hat´ areloszl´ as!), akkor a sz´ or´ as σ = n. Ha igaz a modell, akkor az esetek 99.995%-´ tartom´ anyba esik. Ha az igazi k´ıs´ erletben a megfigyelt esem´ enyek sz´ ama ezen k´ıv¨ ul esik, akkor nagy val´ osz´ın˝ us´ eggel a modell nem j´ o.
Chapter 3
T´ erelm´ elet 3.1
Ism´ etl´ es
A matematikai formalizmus a relativisztikus kvantumt´erelm´elet nevet viseli ⇒ sz¨ uks´eges el˝oismeretek a relativit´aselm´elet, a kvantummechanika ´es t´erelm´elet. Ezeket ism´etelj¨ uk ´at ebben a fejezetben. A levezet´esekn´el az u ´ jonnan bevezetett egys´egrendszert haszn´alva h ¯ = c = 1.
3.1.1
Relativit´ aselm´ elet
Minkowski t´ er def.: M Minkowski t´er 4 dimenzi´ os val´ os vekort´er, elemei az esem´enyek. Koordin´at´az´as (megfigyel˝o) felbontja t´erre ´es id˝ore: x = (t, x) ≡ xµ . A rajta ´ertelmezett skal´ aris szorzat u · v = u0 v0 − uv. Innen sz´armaz´o metrika |x|2 ≡ x2 = t2 − x2 . def.: M-en ´ertelmezett metrikus tenzor
gµν
1 0 0 0 0 −1 0 0 = 0 0 −1 0 0 0 0 −1
⇒
u·v =
X µν
uµ gµν v ν ≡ ugv.
(3.1)
def.: M∗ du´ alis t´er elemei v¯ : M → R line´aris lek´epz´esek. M∗ is 4D vektort´er, koordin´at´az´askor elemeit als´o indexxel jel¨ olj¨ uk v¯µ . P def.: Einstein konvenci´o: als´o ´es fels˝o indexeket automatikusan szumm´azzuk: aµ bµ ≡ µ aµ bµ . M∗ azonos´ıthat´o M-mel:
g¯ : M → M ∗ ,
v 7→ v¯,
hogy
v¯(x) = v · x
∀x ∈ M
vagyis g¯ ≡ g, a metrikus tenzorral lehet azonos´ıtani M-et ´es M∗ -ot. Inverz lek´epz´es: g −1 : M ∗ → M, v¯ 7→ v, v µ = g µν v¯ν
⇒
u¯µ = gµν uν ,
⇒
′
gµµ′ g µ ν = δµν .
(3.2)
(3.3)
Ha van egy line´aris X : M → M lek´epz´es, annak inverze is X −1 : M → M , transzpon´altja X T : M ∗ → M ∗ , defin´ıci´o szerint v¯M x = (M T v) x ⇒ v¯µ M.µν xν = (M T ).νµ vµ xν ⇒ (M T )µ.ν = Mν. µ . (3.4) Szimmetria A Minkowski t´er szimmetri´ aja olyan line´aris Λ : M → M, ahol x 7→ x′ = Λx lek´epz´es (Lorentz-transzform´aci´ o), komponensekben µ x′ = Λµ.ν xν (3.5) amely a skal´ar szorzatot b´ek´en hagyja: u′ · v ′ = u · v
∀ u, v ∈ M,
azaz
uΛT gΛv = ugv.
(3.6)
Ha ez igaz minden u, v-re, akkor ´ırhatjuk ΛT gΛ = g
Λ−1 = gΛT g.
vagy
(3.7)
Komponens jel¨ol´esben Λµ.ρ Λν.σ gµν = gρσ ,
Λ.ν̺ Λν.σ = δσ̺ ,
(Λ−1 )̺.ν = Λ.ν̺
(3.8)
x ¯µ = Λ.ν µ xν ,
(3.9)
A du´ alis t´eren gener´al´od´o transzform´ aci´ o x¯′ = gx′ = gΛx = gΛg x ¯
vagy
azaz az index g-vel val´o h´ uz´as´ aval konzisztens. A Lorentz-trf-k param´etereinek sz´ ama: 4 × 4-es val´os m´atrixban 16 szabad param´eter van, a fenti megk¨ot´es egy szimmetrikus m´atrixot ad, ebben 10 param´eter van ⇒ 6 szabad val´os param´eter van. Ebb˝ol 3 forgat´ as, 3 boost. P´ eld´ ak Lorentz-transzform´ aci´ okra A k¨ovetkez˝o m´atrix
cosh η sinh η sinh η cosh η Λ= 0 0 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
(3.10)
Lorentz-transzform´aci´ o, mert (csak a 2 × 2-es r´eszt ki´ırva) 1 0 cosh η sinh η 1 0 cosh η − sinh η gΛT g = = = Λ−1 . 0 −1 sinh η cosh η 0 −1 − sinh η cosh η
(3.11)
Mint t´erid˝o transzform´ aci´ o ez u ´gy hat, hogy ′ t cosh η sinh η t t cosh η + x sinh η = = . x′ sinh η cosh η x x cosh η + t sinh η
(3.12)
Fizikailag: K ′ koordin´atarendszer, amely a t´erid˝ot (t′ , x′ ) koordin´at´akkal jellemzi, ´es K koordin´atarendszer, amelyben a koordin´ at´ak (t, x), a vil´agot (azaz a fizikai t¨ orv´enyeket) ugyanolyannak l´atja. K ′ koordin´atarendszer k¨oz´eppontj´ anak mozg´asa ′ ′ K -b˝ol le´ırva x = 0, K-b´ol le´ırva x = vt, ahol v a K ′ rendszer sebess´ege K-hoz k´epest. A fentiek miatt x′ = 0 = x cosh η + t sinh η
⇒
x = −t tanh η = vt
azaz
⇒
1 Λ= √ 1 − v2
1 cosh η = √ , 1 − v2
tanh η = −v,
1 −v −v 1
−v sinh η = √ , 1 − v2 (3.13)
.
(3.14)
M´ asik speci´ alis p´elda a Λ = g, hiszen erre fenn´all gΛT g = ggg = g = Λ−1 . Fizikailag ez t′ = t, x′ = −x transzform´ aci´ ot jelenti, azaz t´ert¨ ukr¨oz´es. Hasonl´oan Λ = −g az id˝ot¨ ukr¨oz´es, szint´en Lorentz-trf. V´eg¨ ul Λ = 1 egys´egtrf ´es Λ = −1 t´erid˝o t¨ ukr¨oz´es is speci´ alis Lorentz-trf. Csoport-szerkezet A Lorentz-trf-k csoportot alkotnak jel¨ olj¨ uk L-lel. Bizony´ıt´ashoz Λ = 1 Lorentz-trf, ha Λ ∈ L, azaz gΛT g = Λ−1 , akkor −1 T −1 inverzet v´eve g(Λ ) g = Λ, azaz Λ ∈ L. Ha Λ1 , Λ2 ∈ L, akkor g(Λ1 Λ2 )T g = gΛ2 T g gΛ1 T g = Λ2 −1 Λ1 −1 = (Λ1 Λ2 )−1
⇒
Λ1 Λ2 ∈ L.
(3.15)
L 6 param´eteres folytonos csoport (Lie-csoport), azonban nem ¨osszef¨ ugg˝o. Ugyanis det(ΛT gΛ) = −(det Λ)2 = det g = −1
⇒
A +1 ´es −1 elemek nem k¨othet˝ok folytonosan ¨ ossze. M´ asr´eszt g00 = 1 = Λµ.0 Λν.0 gµν = (Λ0.0 )2 − (Λi.0 )2
⇒
(Λ0.0 )2 = 1 + (Λi.0 )2
⇒
det Λ = ±1. |Λ0.0 | ≥ 1,
valamint |Λ0.0 | ≥ |Λi.0 |
(3.16)
(3.17)
ism´et a Λ0.0 > 1 ´es a Λ0.0 < −1 elemek nem k¨othet˝ok ¨ ossze folytonosan. A sz´etes˝o r´eszeket Lαβ -val jel¨ olj¨ uk, ahol α = sgn det Λ, ´es β = sgn Λ0.0 . Ha Λ1 ∈ Lα1 β1 ´es Λ2 ∈ Lα2 β2 , akkor Λ1 Λ2 ∈ asr´eszt, Lα1 α2 ,β1 β2 . Bizony´ıt´ashoz det Λ1 Λ2 = det Λ1 det Λ2 = α1 α2 . M´
|Λ0.0 | = |(Λ−1 )0.0 | ≥ |(Λ−1 )i.0 | = |Λ0.i | ⇒ sgn(Λ1 Λ2 )0.0 = sgn (Λ1 )0.0 (Λ2 )0.0 + (Λ1 )0.i (Λ2 )i.0 = sgn(Λ1 )0.0 (Λ2 )0.0 = sgn(Λ1 )0.0 sgn(Λ2 )0.0 = β1 β2 . (3.18)
Ez´ert L++ val´odi r´eszcsoport.
Relativisztikus mechanika Mechanika megfogalmaz´ as´ ahoz a legkisebb hat´ as elv´et tartjuk szem el˝ott. Vizsg´ aljunk k´et r¨ogz´ıtett v´egpont (x1 = (t1 , x1 ) ´es x2 = (t2 , x2 )) k¨oz¨ott mozg´ o (´ altal´ anos´ıtott) t¨ omegpontot. Felvesz¨ unk egy tetsz˝ oleges p´ aly´at a k´et v´egpont k¨oz¨ott: x = q(t). Ehhez hozz´ asrendel¨ unk egy skal´ ar f¨ uggv´enyt S[q; x1 , x2 ], mely a p´ alya funkcion´alja. Fizikai mozg´asra a legkisebb hat´as elve szerint S[q] minim´alis. Re´alis (kauz´alis) fizikai rendszerekre ∃L(q(t), q(t), ˙ t) Lagrange-f¨ uggv´eny, hogy Zt2 S[q; x1 , x2 ] = dt L(q(t), q(t), ˙ t).
(3.19)
t1
Szimmetria: vagy¨ unk R : M → M lek´epz´est, amely t 7→ t′ ≡ R0 (t) ´es x 7→ R(x). Ezt kiterjeszthetj¨ uk a p´ aly´akra ′ R[q](t ) = R(q(t)) m´odon. Ez a lek´epz´es szimmetri´ aja a mechanikai rendszernek, ha b´ armely p´ aly´ara S[q] = S[R[q]]. Ebb˝ol k¨ovetkezik, hogy ha q(t) megval´ osul´o mozg´ ast ´ır le, akkor R[q](t) is megval´osul´o p´ alya. P´elda: centr´alis er˝ot´erben egy p´ alya elforgatottja ugyanazt a hat´ asf¨ uggv´enyt adja (szimmetria), ez´ert az elforgatott megold´as tov´abbra is megold´as marad. Az eltolt megold´asra ez nem igaz. Fizikai elv: val´odi fizikai rendszerekben nem lehet t¨ obb k¨ uls˝ o strukt´ ura, mint a t´erid˝oben mag´aban ⇒ a fizikai rendszereknek szimmetri´ aja lesz a t´erid˝o szimmetri´ aja. Relativit´ aselm´eletre: minden val´odi fizikai rendszer Lorentz-invari´ans kell legyen, azaz S[q] = S[Λq] igaz kell maradjon. Szabad t¨ omegpontra ez l´enyg´eben ler¨ogz´ıti a hat´asf¨ uggv´eny lehets´eges alakj´ at: ar´anyos a p´ alya ´ıvhossz´aval: Z Z p S[q] = −m ds[q] = −m dt 1 − v 2 , (3.20) ahol vi = q˙i . Az impulzus
mvi ∂L = √ . ∂vi 1 − v2 A mechanik´ ara megfogalmazott elvek, kis m´odos´ıt´asokkal, ´atvihet˝ ok a kvantumt´erelm´eleti rendszerekre. pi =
3.1.2
(3.21)
Kvantummechanika
A kvantummechanik´ aban a rendszer ´ allapot´at egy H komplex Hilbert t´er egy norm´alhat´o eleme |Ψi ∈ H adja meg. Szok´asosan a norma 1, azaz hΨ|Ψi = 1. A H → H oper´ atorok k¨oz¨ott k´et csoport jelent˝ os: Hermitikus oper´ atorok Hermitikus oper´atorokra H † = H. Ezek jobb ´es bal oldali saj´atvektora megegyezik, saj´at´ert´ekeik val´osak: H |hi i = hi |hi i ,
h∗i = hi .
(3.22)
Hermitikus oper´atorok megfigyelhet˝ o mennyis´egeket reprezent´ alhatnak, ekkor saj´at´ert´ekeik a megfigyelhet˝o mennyis´eg m´er´es´enek eredm´eny´et jelenthetik. Ha a rendszer ´ allapota |Ψi, akkor a hi m´er´esi eredm´eny megval´osul´as´anak val´osz´ın˝ us´ege | hhi |Ψi |2 . A m´er´es eredm´eny´enek v´arhat´ o ´ert´eke X hi | hhi |Ψi |2 = hΨ |H| Ψi . (3.23) hHi = i
A m´er´es ut´an a rendszer a m´ert saj´ at´allapotba ker¨ ul. Speci´ alis szerepet t¨ olt be a hely qˆ ´es impulzus pˆ oper´atora. Ezek folytonos spektrummal rendelkeznek, azonban egyszerre nem m´erhet˝ok: ∆p∆x ≥ ¯ h. Oper´ atorokra megfogalmazva [ˆ q , pˆ] = i.
(3.24)
Ezek az oper´atorok “b´azist” k´epeznek a fizikai megfigyelhet˝o oper´atorok k¨oz¨ott, azaz minden megfigyelhet˝o mennyis´eg qˆ ´es pˆ hermitikus f¨ uggv´enye. Ekkor a fenti kvant´ al´ asi felt´etel r¨ogz´ıti b´ armely k´et megfigyelhet˝o mennyis´eg kommut´ator´at. A klasszikus mechanik´ ahoz val´ o kapcsolathoz a megfigyelhet˝o mennyis´egek qˆ ´es pˆ-vel val´o kifejez´ese meg kell egyezzen a klasszikus k´eplettel, azonban rendez´esi bizonytalans´ agok lehetnek. Unit´ er oper´ atorok A rendszer ´allapot´anak megv´ altoztat´ as´ at k´etf´ele m´odon ´ırhatjuk le. Schr¨odinger k´epben az ´allapotot transzform´ aljuk |Ψ′ i = † U |Ψi line´aris oper´ator. Ennek egys´egnyi norm´ aj´ u elemet egys´egnyi norm´aj´ u elembe kell k´epeznie, ´ıgy U U = 1, azaz U unit´er oper´ator kell legyen. A Heisenberg k´epben az a´llapot marad, viszint az oper´atorokat transzform´ aljuk. A v´arhat´o ´ert´ek v´altozatlans´aga ´erdek´eben E D E D E D ˆ′ ˆ ′ ˆ ˆ ′ = U † OU. ˆ Ψ O ⇒ O (3.25) η = Ψ ′ O η = Ψ U † OU η
Fontos speci´ alis esetet jelentenek azok az oper´ atorok, amelyek egy (vagy t¨ obb) folytonos param´etert˝ ol f¨ uggnek U (λ), ´es csoportot alkotnak. Egy param´eteres csoport pl. az ´ allapot eltol´ asa, vagy adott tengely k¨or¨ uli elforgat´ asa, t¨ obb param´eteres csoport az ´altal´ anos forgat´ as. A csoport tulajdons´ ag azt jelenti, hogy ∀ λ1 , λ2 param´eterre ∃λ3 param´eter, hogy U (λ1 )U (λ2 ) = U (λ3 ). A standard param´eterez´es: a (3.26) U (λ) = e−iT λa . Infinitezim´alis trf. hat´as´ ara a hull´ amf¨ uggv´eny ill. az oper´atorok trf-ja: d |Ψi = −iT |Ψi dλ,
ˆ = i[T, O]dλ. ˆ dO
illetve
(3.27)
Az infinitezim´ alis gener´ ator, mivel hermitikus oper´ator, fizikai megfigyelhet˝o mennyis´eget reprezent´ al. Az egy param´eteres csoportok hat´as´ara ennek az oper´ atornak a transzform´ aci´ oja: T (λ) = U † (λ)T U (λ) = eiT λ T e−iT λ = T.
(3.28)
Azaz T megmarad a transzform´ aci´ o sor´an. Ezzel a k¨ovetkez˝o fontos ¨osszef¨ ugg´esre mutattunk r´a: trf. gener´ atora ≡ trf. sor´an megmarad´o mennyis´eg. Az id˝o-eltol´ as p´eld´ aja az egy param´eteres transzform´ aci´oknak. Ekkor ∃H az infinitezim´ alis id˝o-eltol´ as gener´atora, ezzel U (t) = e−iHt a v´eges id˝oeltol´as oper´ atora. Az ´ allapotok transzform´ aci´oja |Ψ(t)i = U (t) |Ψi = e−iHt |Ψi
⇒
i∂t |Ψi = H |Ψi ,
(3.29)
ez a Schr¨odinger egyenlet. Az oper´ atorokra ´erv´enyes egyenlet −iHt ˆ = eiHt O(0)e ˆ O(t)
⇒
ˆ = i[H, O]. ˆ ∂t O
(3.30)
A gener´ ator, H id˝o-f¨ uggetlen. Ezt defini´ aljuk energi´anak. def.: Energia az id˝oeltol´as gener´ atora (´es egyben az id˝oeltol´as sor´an megmarad´o mennyis´eg). A t´er-eltol´as gener´ator´at p-vel jel¨ olve a v´eges eltol´ as oper´atora e−ipx . A hely-oper´ator infinitezim´ alis megv´ altoz´ asa ´eppen dx kell legyen, azaz dq = i[p, q]dx = dx ⇒ [q, p] = i. (3.31) A t´er-eltol´as gener´atora teh´ at az impulzus; egy bonyolult elm´eletn´el, ahol nem tudjuk, mi az impulzus: def.: Az impulzus a t´er-eltol´ as gener´ atora (´es egyben az eltol´ as sor´an megmarad´o mennyis´eg). Harmonikus oszcill´ ator A kvantummechanika l´enyeg´eben egyetlen megoldhat´o probl´em´ aja a harmonikus oszcill´ator. Erre H=
1 2 ω2 2 p + q . 2 2
(3.32)
BEvezetj¨ uk a kelt˝ o-elt¨ untet˝ o oper´ atorokat: 1 q = √ (a + a† ), 2ω
p = −i
r
ω (a − a† ) 2
⇒
[q, p] = i[a, a† ] = i
⇒
[a, a† ] = 1.
(3.33)
Kifejezve H-t ω 2 a − aa† − a† a + (a† )2 , p =− 2 2
1 q = a2 + aa† + a† a + (a† )2 2ω 2
Jel¨olj¨ uk H saj´atvektorait |ni-nel, saj´ at´ert´ekeit En -nel. Mivel b´ armely ´allapotban 1 2 hΨ |H| Ψi = ω |a |Ψi| + > 0, 2
⇒
1 † . H =ω a a+ 2
(3.34)
(3.35)
ez´ert valamennyi saj´at´ert´eke pozit´ıv. Emiatt van legkisebb saj´at´ert´ek: E0 , a hozz´ a tartoz´o saj´atvektort jel¨olj¨ uk |0i-nak. Mivel [a† a, a] = −a ⇒ [H, a] = −ωa, [H, a† ] = −ωa† , (3.36) ez´ert Ha |ni = aH |ni + [H, a] |ni = (E − ω)a |ni .
(3.37)
Vagyis a |ni is saj´atvektor, saj´ at´ert´eke E − ω. Viszont E0 − ω nem lehet saj´at´ert´ek, ez´ert ω ω a |0i = 0 ⇒ H |0i = |0i ⇒ E0 = . 2 2 M´ asr´eszt Ha† |ni = (En + ω)a† |ni
(3.38)
⇒ a† |ni is saj´atvektor, saj´at´ert´eke En + ω. Ez´ert 1 En = n + ω, |ni ∼ (a† )n |0i . 2
Az ar´ anyoss´agi t´enyez˝oh¨oz |ni =
(3.39)
1 1 † a |n − 1i = a |n + 1i . αn βn+1
(3.40)
hn − 1|a|ni = βn = αn .
(3.41)
Ezzel, felt´eve, hogy minden saj´ at´allapot norm´ alt:
M´ asr´eszt hn|ni = Teh´at
3.2
1
1
1 n − 1|aa† |n − 1 = 2 n − 1|a† a + 1|n − 1 = 2 (α2n−1 +1) = 1 α2n αn αn
⇒
α2n = α2n−1 +1
⇒
1 |ni = √ (a† )n |0i . n!
α2n = n. (3.42)
(3.43)
Klasszikus t´ erelm´ eletek
T´erelm´elettel tal´ alkoztunk m´ar: elektrodinamik´aban, hidrodinamik´aban, rugalmass´agtan, stb. L´enyege, hogy a fizikai mennyis´egeket egy mez˝ o hat´ arozza meg def.: Mez˝o: Ψ : M → V, a Minkowski-t´err˝ol valamilyen vektort´erbe k´epez˝o f¨ uggv´eny; valamely alkalmas koordin´at´az´assal komponensei: Ψi (x) ≡ Ψi (t, x).
P´eld´ ak:
• p(t, x) illetve T (t, x) nyom´ as illetve h˝ om´ers´eklet-mez˝o: itt V ≡ R
⇒ skal´ar mez˝o
• E(t, x), B(t, x) elektromos mez˝o ´es m´agneses indukci´o mez˝o, vagy v(t, x) sebess´eg-mez˝o: itt V ≡ R3
3.2.1
⇒ vektormez˝ o.
Lagrange-s˝ ur˝ us´ eg
Hogy az a´ltal´ anos t´erelm´elet le´ır´ as´ at megkapjuk, al˝ osz¨ or felosztjuk a teret kis cell´akra, k¨oz´eppontjukat jel¨olje xi , ´es vessz¨ uk a cella k¨oz´eppontj´ anak ´ert´ek´et: Ψi (t) = Ψ(t, xi ). Ezzel egy v´eges sok szabads´agi fok´ u rendszert kapunk, amelyet a mechanika elvei szerint ´ep´ıt¨ unk fel. L Lagrange f¨ uggv´eny t¨ obb szabads´agi fok eset´en L(q˙i , qi , t) f¨ uggv´eny, ahol i = 1 . . . N . Ez m´eg t´ ul ´ altal´ anos. Lok´alisnak nevezz¨ uk a sok szabads´agi fok´ u rendszert, ha qi csak a szomsz´edaival hat k¨olcs¨on, ´es a Lagrangef¨ uggv´eny fel´ırhat´ o mint X (1) X (2) (3.44) Li (q˙i , qi , t), Li (qi , qj , t) + L= i
hi,ji
ahol hi, ji ≡ szomsz´edok, ´es i > j (hogy ne sz´ amoljunk dupl´ an). Ha i, j t´erbeli cell´akat jel¨ol, mint el˝obb, akkor ´ırhatjuk a t´erbeli feloszt´ast finom´ıtva qj − qi = a∇q(xi ) + O(a2 ). (3.45) ¨ A magasabbrend˝ u tagokat elhagyva ´ırhat´ o L2 (qi , ∇qi , t). Osszefoglal´ oP jel¨ol´essel bevezetj¨ok a n´egyes deriv´altat: ∂µ = (∂t , ∇). eben bevezetj¨ uk az F (x) = Fi , x ∈ δVi A feloszt´as finom´ıt´as´ aval a szumm´ak integr´alokk´a ´ırhat´ok ´at: i Fi eset´ l´epcs˝ of¨ uggv´enyt, amelyre Z Z X F (x) 1 (3.46) d3 x F (x) ≡ d3 x F (x) ⇒ F (x) = lim Fi = δV →0 δV δV i s˝ ur˝ us´eg. ´Igy lok´alis t´erelm´eleteket jellemz˝ o Lagrange-f¨ uggv´eny fel´ırhat´ o mint Z L = d3 x L(Ψ(t, x), ∂µ Ψ(t, x), t, x) Lagrange s˝ ur˝ us´eg integr´alja A hat´as alakja
⇒
(3.47)
L csak els˝ o deriv´ altakat tartalmaz. S=
Z
dt L =
t-ben ´es x-ben teljesen szimmetrikus alakba ´ırhat´ o.
Z
d4 x L(Ψ(x), ∂µ Ψ(x), x)
(3.48)
3.2.2
Mozg´ asegyenletek
Legkisebb hat´as elve: a megval´ osul´o p´ aly´an´al a hat´ as minim´alis, vagyis a hat´as vari´aci´ oja nulla. Itt k´etf´ele utat k¨ovethet¨ unk: vagy a diszkretiz´alt mechanikai rendszerben az ismert mozg´esegyenletet vessz¨ uk, ´es megn´ezz¨ uk a kontinuum limeszt, vagy k¨ozvetlen¨ ul a Lagrange s˝ ur˝ us´eg mez˝ok szerinti vari´aci´oj´ at tekintj¨ uk. Diszkretiz´ alt eset Mechanik´ aban vessz¨ uk a qi (t) konfigur´ aci´ os t´erbeli p´ aly´at, ´es az a k¨or¨ uli vari´aci´ ot, azaz qi′ (t) = qi (t) + δqi (t) p´ aly´at. Ekkor a k´et p´ aly´ahoz tartoz´o hat´ as ´ert´eke lineariz´alhat´ o δqi -ben. XZ δS S[q ′ ] − S[q] = dt δqi (t) + O(δqi (t)2 ). (3.49) δq (t) i i Megval´ osul´o p´ aly´akra tetsz˝ oleges vari´aci´ ora elt˝ unik δS/δqi (t), ez adja a mozg´asegyenletet (Euler-Lagrange egyenlet): d ∂L ∂L − = 0. dt ∂ q˙i ∂qi
(3.50)
T´erelm´eletre ´att´erve a qi szerinti deriv´altat ´ ovatosan kell elv´egezni, hiszen az elv´egzend˝o deriv´alt, 1D-ban ´ırva: X X ∂ qj+1 − qj qj+1 − qj 1 1 qj+1 − qj qj+1 − qj δi,j ∂1 L(qj , L(qj , , t) = , t) + δi,j+1 ∂2 L(qj , , t) − δi,j ∂2 L(qj , , t) = ∂qi a a a a a a j j qi+1 − qi qi − qi−1 1 qi+1 − qi = ∂1 L(qi , ∂2 L(qi−1 , , t) + , t) − ∂2 L(qi , , t) . (3.51) a a a a Az els˝o tag a L f¨ uggv´eny els˝o argumentuma szerinti deriv´altat tartalmazza ⇒ qi → Ψ helyettes´ıt´essel ∂L/∂Ψ. A m´asodik tag val´ oj´ aban (∂2 Li−1 − ∂2 Li )/a → −∂(∂2 L)/∂x, hiszen az i → x. A ∂2 pedig a m´asodik argumentum szerinti deriv´altat jelenti, azaz ∂/∂Ψ′ (x), ahol Ψ′ az x szerinti deriv´alt. Az egy dimenzi´ os mozg´asegyenlet ezek szerint: d ∂L ∂L ∂ ∂L = 0. − + ˙ dt ∂ Ψ ∂Ψ ∂x ∂Ψ′
(3.52)
Az ¨ osszes ir´ anyt figyelembe v´eve ¨ osszefoglal´o ´ır´ asm´oddal: ∂µ
∂L ∂L − = 0. ∂(∂µ Ψ) ∂Ψ
(3.53)
Direkt u ´t A m´asik lehet˝os´eg, hogy a hat´ ast k¨ozvetlen¨ ul a mez˝ok szerint ´ırjuk fel, ´es megvizsg´ aljuk a vari´aci´ oj´ at: Z Z Z ∂L ∂L ∂L ∂L = S[Ψ]+ d4 x δΨ , + ∂µ Ψ − ∂µ S[Ψ+δΨ] = d4 x L(Ψ+δΨ, ∂µ Ψ+∂µ δΨ, x) = S[Ψ]+ d4 x δΨ ∂Ψ ∂(∂µ Ψ) ∂Ψ ∂(∂µ Ψ) (3.54) ahol az utols´ o l´ep´esn´el parci´ alisan integr´altunk, ´es eldobtuk a v´egtelenben fell´ep˝o fel¨ uleti tagokat. A hat´as sz´els˝o´ert´eke ott van, ahol δS = 0 minden vari´aci´ ora. Ekkor az integr´alban δΨ egy¨ utthat´oja el kell t˝ unj¨ on ∂L ∂L − ∂µ = 0, ∂Ψ ∂(∂µ Ψ)
(3.55)
megegyezik a m´asik eredm´ennyel.
3.2.3
Megmarad´ o´ aramok
M´ıg mechanik´ aban egy Q mennyis´eg megmarad´ asa azt jelentette, hogy Q(t) = Q(0), egy ̺ mez˝o eset´en a lok´alis mennyis´egek nem maradnak meg, mert m´as helyre ´ atmehetnek. M´egis megmarad´asr´ol besz´elhet¨ unk olyan ´ertelemben, hogy egy tetsz˝ oleges V t´erfogatban R 3 R 3 avoz´o ̺). V d x̺(t + dt, x) = V d x̺(t, x)+ (falon t´ Bevezetve j µ = (̺, j) jel¨ ol´est, ahol j a ̺-hoz tartoz´o a´ram, V → 0 limeszben a k¨ovetkez˝o m´erlegegyenlethez jutunk: ∂µ j µ = 0. R j µ neve megmarad´o ´aram. A t´enylegesen megmarad´ o mennyis´eg Q = dV j 0 , a teljes t´erre integr´alva, hiszen Z Z I dF j = 0, Q˙ = dV ∂0 j 0 = − dV div j = − ̺˙ + ∇j = 0
⇒
∞
mert a v´egtelenben nincsenek ´ aramok.
(3.56)
(3.57)
3.2.4
Szimmetria ´ es megmarad´ as
A mechanik´ aban l´attuk, hogy egy szimmetria k¨ovetelm´eny mennyire megszor´ıtja a hat´as lehets´eges alakj´ at. A t´erid˝o relativisztikus invari´ans: milyen hat´ as-funkcion´alok konzisztensek ezzel? Hogy ezt megv´ alaszoljuk, el˝osz¨ or a Lorentz-transzform´aci´ ok hat´ as´ at n´ezz¨ uk meg mez˝ok¨ on. Kezdj¨ uk egy szeml´eletes p´eld´ aval: ha adott egy sebess´egmez˝ o (pl. ´araml´asn´ al), ´es forgat´ ast v´egzek a rendszeren, mi t¨ ort´enik a mez˝ovel? Egyr´eszt a sebess´egek helye megv´ altozik, m´asr´eszt viszont a sebess´egek ir´ anya is v´altozik! Ez azt mutatja, hogy egy ´altal´ anos R transzform´ aci´ o hat´ asa k´et r´eszb˝ol tev˝odik ¨ossze: egyr´eszt a t´erid˝o transzform´ aci´ oj´ ab´ol, RM : M → M, m´asr´eszt a “bels˝o t´er” V transzform´ aci´ oj´ ab´ol RV : V → V ⇒ R = RM × RV . A Fig. 3.1 ´abr´ an l´athat´o, hogy a teljes
x’ v’ R V
v
RM x v
Figure 3.1: Vektormez˝ o ´altal´ anos transzform´ aci´ oja hat´ as u ´gy ´all´ıthat´o el˝o, hogy el˝ osz¨ or x 7→ x′ , majd az u ´j helyen v 7→ v′ . Teh´at v′ (RM (x)) = RV (v(x))
⇒
−1 v′ (x) = RV (v(RM (x))).
(3.58)
A k´es˝ obbiekben nem k¨ ul¨onb¨ oztetj¨ uk meg jel¨ ol´esben RV -t ´es RM -et, ´es az ´ır´ asm´od: v′ (x) = R(v(R−1 (x))) lesz. def.: Line´aris transzform´ aci´ o: RM ´es RV is line´aris. Ekkor mindkett˝ o egy-egy m´atrixxal ´ırhat´ o fel, ekkor v′ (x) = Rv(R−1 x). A Lorentz csoport elemei folytonos line´aris transzform´ aci´ ok. Egy transzform´ aci´ o akkor szimmetria, ha a transzform´ alt mez˝oh¨oz az eredetivel azonos hat´asf¨ uggv´eny tartozik: S[Ψ] = S[R(Ψ)]. Ekkor a transzform´ alt mez˝o k¨or¨ uli vari´aci´ ora igaz ¯ ¯ − S[Ψ] = δS δΨ, ¯ δS[R(Ψ)] = S[R(Ψ) + δΨ] − S[R(Ψ)] = S[R(Ψ + δΨ)] − S[R(Ψ)] = S[Ψ + δΨ]
(3.59)
¯ = δΨ m´odon vezett¨ ¯ itt δR(Ψ)δΨ uk be δΨ-t. Ha teh´at Ψ kiel´eg´ıtette a mozg´asegyenleteket, akkor δS = 0, ekkor viszont δS[R(Ψ)] = 0 is igaz, azaz R(Ψ) is kiel´eg´ıti a mozg´ asegyenleteket. T´ etel: (Noether-t´etel) Minden folytonos szimmetri´ ahoz tartozik egy megmarad´o ´aram. Bizony´ıt´ as.: Jel¨olj¨ uk a folytonos transzform´ aci´ ot Rτ -val. R0 ≡ 1 az egys´egtranszform´ aci´ o legyen. Infinitezim´alis transzform´aci´ on´al (Rδτ ) a v´altoz´ as line´aris δτ -ban. Ez´ert a mez˝ok¨ on hatva fel´ırhat´ o: Rδτ : Ψ(x) 7→ Ψ′ (x) = Ψ(x) + δΨ(x) = Ψ(x) + δτ ∆Ψ(x).
(3.60)
Szimmetriatranszform´aci´ o eset´en S[Ψ′ ] = S[Ψ]. M´ odos´ıtsuk a fenti transzform´ aci´ ot u ´gy, hogy δτ -t helyf¨ ugg˝ ov´e tessz¨ uk! Ekkor teh´at δΨ(x) = δτ (x)∆Ψ(x).
(3.61)
Az ´ıgy kapott transzform´ aci´ ora k´etf´elek´eppen n´ezhet¨ unk r´a. Egyr´eszt Ψ(x) infinitezim´ alis v´altoz´ as a “p´aly´an”, ´ıgy annak vari´aci´ oj´ at adja. Mivel a hat´ as a val´ odi mozg´asok k¨or¨ uli kis vari´aci´ okra (els˝o rendben) nem v´altozik, ´ıgy minden transzform´ aci´ ora igaz, hogy δS = 0, (3.62) δτ Ψ0 ahol Ψ0 a mozg´asegyenlet megold´asa.
M´ asr´eszt fel´ırhatjuk a hat´ as v´altoz´ as´ at. Tudjuk azonban azt is, hogy ha δτ (x) → δτ helyf¨ uggetlen lenne, akkor a hat´as nem v´altozna (szimmetria!). Emiatt δS ar´ anyos lesz δτ deriv´altjaival. Parci´alis integr´al´asokkal azonban minden δτ -ra hat´o deriv´alt ´ath´ar´ıthat´ o az egy¨ utthat´ oj´ ara, m´ıg v´eg¨ ul az els˝o deriv´alt marad Z Z 4 µ δS = − d xK (x)∂µ δτ (x) = d4 x∂µ K µ (x)δτ (x). (3.63)
Ezt ¨osszevetve (3.62) egyenlettel: δS = ∂µ K µ (x) δτ (x)
⇒
vagyis K µ megmarad´ o´ aram.
3.2.5
∂µ K (x) µ
= 0,
(3.64)
Ψ0
Energia-impulzus tenzor
Speci´ alis p´eldak´ent tekints¨ uk a t´erid˝o eltol´ asokat: x → x+a, ahol a =const, valamint RV = 1. Mez˝ore hatva Ψ′ (x+a) = Ψ(x) ′ ⇒ Ψ (x) = Ψ(x − a). Mikor szimmetria? Ha S[Ψ] = S[Ψ′ ]! V´ alasszuk az integr´al´asi v´altoz´ onak x′ -t: Z Z S[Ψ′ ] = d4 x′ L(Ψ′ (x′ ), ∂µ′ Ψ′ (x′ ), x′ ) = d4 x L(Ψ(x), ∂µ Ψ(x), x + a). (3.65) Ez akkor egyezik S[Ψ]-vel ∀ Ψ-re, ha L nem f¨ ugg expliciten x-t˝ol. Mi a megmarad´o mennyis´eg? Ehhez x′ = x + a(x), ´es vizsg´aljuk S[Ψ′ ]-t: Z Z µ ∂x′ S[Ψ′ ] = d4 x′ L(Ψ′ (x′ ), ∂µ′ Ψ′ (x′ ), x′ ) = d4 x det L(Ψ(x), ∂µ′ Ψ(x)). ∂xν Ehhez:
(3.66)
∂xν ∂ν Ψ(x). ∂x′ µ µ = xµ + aµ (x) illetve xµ ≈ x′ − aµ (x′ ) alapj´an: ∂µ′ Ψ(x) =
A deriv´alt m´atrix x′
µ
µ
∂x′ = δνµ + ∂ν aµ ∂xν
⇒
(3.67)
∂xν = δνµ − ∂µ aν + O(a2 ). ∂x′ µ
(3.68)
A determin´anshoz 1 + ∂0 a0 ∂1 a0 . . . ∂0 a1 1 + ∂1 a1 = (1 + ∂0 a0 )(1 + ∂1 a1 ) . . . + O(a2 ) = 1 + ∂µ aµ + O(a2 ). .. .
V´eg¨ ul teh´at S[Ψ′ ] =
Z
d4 x (1 + ∂µ aµ )L(Ψ(x), ∂µ Ψ(x) − ∂µ aν ∂ν Ψ(x)) = S[Ψ] +
Z
d4 x ∂µ aµ L − ∂µ aν ∂ν Ψ
Val´ oban csak ∂a-t´ol f¨ ugg! A kor´ abbiak alapj´ an a megmarad´o ´aram Z ∂L δS = d4 x∂µ aν T.µν ⇒ Tµν = ∂ν Ψ − gµν L ∂(∂ µ Ψ) vagyis minden µ-re van egy megmarad´ o´ aram
⇒
∂L . ∂(∂µ Ψ)
∂ µ Tµν = 0,
(3.69)
(3.70)
(3.71)
⇒ energia-impulzus tenzor. Szimmetrikuss´a tehet˝o.
Energia Energia ≡ id˝oeltol´as gener´ atora ≡ az id˝oeltol´asra megmarad´o mennyis´eg, emiatt Z Z 3 00 E = d x T (t, x) = d3 x ε(t, x) ⇒ ε(t, x) = T 00 (t, x)
(3.72)
az energias˝ ur˝ us´eg. Bevezetve a kanonikusan konjug´ alt impulzust a szok´ asos
k´eplettel, az energias´ar´as´eg ´ırhat´ ou ´gy, mint ami teljesen anal´og a klasszikus mechanika k´eplet´evel.
∂L = Π(x) ˙ ∂ Ψ(x)
(3.73)
˙ − L, ε = ΠΨ
(3.74)
Impulzus Impulzus ≡ t´ereltol´ as gener´ atora ≡ a t´ereltol´ asra megmarad´o mennyis´eg, ezzel Z Z Pi = d3 x T 0i (t, x) = d3 x p(t, x) ⇒ p = T 0i = Π∂ i Ψ, ahol p az impulzuss˝ ur˝ us´eg.
(3.75)
3.2.6
T´ erelm´ eletek kvant´ al´ asa
L´ attuk: diszkretiz´alt t´erelm´elet ≡ sok szabads´agi fok´ u mechanikai rendszer, ahol Ψ(t, xi ) → qi (t) ´es Π(t, xi ) = pi (t). ˆ x) oper´ator. Mechanikai rendszer kvant´ al´ asakor q → qˆ ´es p → pˆ oper´atorok lettek ⇒ T´erelm´eletn´el Ψ(t, x) → Ψ(t, L´ attuk: kvantummechanikai rendszer kvant´ al´ asa onnan j¨on, hogy az impulzus (≡ t´er-eltol´as invariancia eset´en a megmarad´ o mennyis´eg) gener´ alja a t´er-eltol´ ast. A t´er-oper´ator qˆi megv´ altoz´ asa t´er-eltol´as hat´as´ara δ qˆi = dx1, ar´anyos az egys´egm´atrixxal. Ez´ert, ha az impulzus ´eppen a kanonikusan konjug´ alt impulzus, akkor [qi , pj ] = iδij 1. T´erelm´eletekn´el ugyan´ıgy megk¨ ovetelj¨ uk, hogy az impulzus (≡ t´er-eltol´as invariancia eset´en a megmarad´o mennyis´eg) gener´ alja a t´er-eltol´ast. Az impulzus kifejez´ese (3.75) k´epletb˝ ol j¨on. M´ asr´eszt infinitezim´ alis t´er-eltol´as hat´as´ara Ψ′ (t, x) = Ψ(t, x − dx) = Ψ(t, x) − dxi ∂i Ψ(t, x) + . . .
⇒
δΨ = −dxi ∂i Ψ(t, x).
(3.76)
Ezt gener´alja az impulzus, a (3.27) k´eplet alapj´ an i
i
i
δΨ(t, x) = −dx ∂i Ψ(t, x) = i[P (t), Ψ(t, x)]dx = i
Z
d3 y i[Π(t, y)∂i Ψ(t, y), Ψ(t, x)]dxi .
(3.77)
Ezt k´et konzisztens kvant´ al´ as tudja teljes´ıteni. Mivel [AB, C] = ABC − CAB = A(BC + αCB) − (αAC + CA)B =
A[B, C] + [A, C]B, A{B, C} − {A, C}B,
ha α = −1 ha α = 1,
(3.78)
Ez´ert lehets´eges kommut´atorral vagy antikommut´atorral kvant´ alni: [Ψ(t, x), Π(t, y)] = iδ(x − y), {Ψ(t, x), Π(t, y)} = iδ(x − y),
[Ψ(t, x), Ψ(t, y)] = 0, {Ψ(t, x), Ψ(t, y)} = 0.
vagy (3.79)
Az el˝ obbieket nevezz¨ uk bozonoknak, az ut´obbiakat fermionoknak. Fontos, hogy a kvant´ al´as egy idej˝ u oper´atorokra vonatkozik. Az id˝ofejl˝ od´est az infinitezim´ alis id˝o-eltol´ as gener´ator´aval ´all´ıthatjuk el˝o, ezR a Hamilton-oper´ator. Ett˝ ol elv´arjuk, hogy megegyezzen az id˝o-eltol´ as sor´an el˝ oa´ll´o megmarad´ o mennyis´eggel, vagyis E = d3 x T 00 energi´aval.
3.3
Relativisztikus skal´ ar t´ erelm´ elet
A legegyszer˝ ubb t´erelm´elet, mikor Ψ : M → R, azaz a target vektort´er V = R egy dimenzi´ os vektort´er. Jel¨olj¨ uk a mez˝ot Φ-vel, ´es tegy¨ uk fel, hogy Φ → −Φ szimmetria ⇒ csak p´ aros hatv´anyok szerepelnek. Tegy¨ uk fel azt is, hogy eltol´ as invari´ans a rendszer ⇒ energia ´es impulzus megmarad ⇒ ´altal´ anosan L(Φ, ∂µ Φ). Lorentz transzform´ ac´o hat´ as´ asra ∂µ Φ v´altozik: ∂µ Φ′ (x) = ∂µ Φ(Λ−1 x) = ∂µ (Λ−1 x)ν (∂ν Φ)(Λ−1 x), −1 Φ′ (x) = Φ(Λ−1 x) ⇒ ⇒ ∂µ Φ′ (x) = Λ.ν x), µ (∂ν Φ)(Λ ∂µ (Λ−1 x)ν = ∂µ (Λ−1 )ν.̺ x̺ = (Λ−1 )ν.µ = (gΛT g)ν.µ = Λ.ν µ (3.80) azaz u ´gy transzform´ al´odik, mint egy kovari´ans vektormez˝ o. Emiatt Z ′ Z Z 4 µ 4 ′ µ ′ −1 d x ∂µ Φ(x)∂ Φ(x) = d x ∂µ Φ (x)∂ Φ (x) = d4 x Λ.ν x)Λµ.̺ ∂ ̺ Φ(Λ−1 x) = µ ∂ν Φ(Λ .ν µ Z Λµ Λ.̺ = δ̺ν = = d4 x ∂µ Φ(x)∂ µ Φ(x), (3.81) x′ = Λ−1 x ⇒ | det J| = | det Λ−1 | = 1 R relativisztikusan invari´ans. Hasonl´o m´odon tetsz˝ oleges d4 x U (Φ(x)) is invari´ans. R ´Igy relativisztikusan invari´ans, eltol´ as-invari´ans ´es Φ → −Φ szimmetrikus hat´asf¨ uggv´eny alakja d4 x L(∂µ Φ(x)∂ µ Φ(x), Φ2 (x)). Hatv´ anysorba fejtve, ´es az els˝o tagokat megtartva kaphatjuk a Φ4 modellt: L=
m2 2 λ 1 ∂µ Φ(x)∂ µ Φ(x) − Φ (x) − Φ4 (x), 2 2 24
(3.82)
ahol m2 ´es λ param´eterek. Ennek kvadratikus r´esze (azaz az els˝o k´et tag) adja a Klein-Gordon hat´ast. A Φ4 modell param´etereinek dimenzi´ oja? M´erj¨ unk mindent energia-dimenzi´oban, jel¨ol´es [E] = 1. Ekkor [S] = 0,
[d4 x] = −4, [∂µ ] = 1
azaz m energia (t¨omeg) dimenzi´ oj´ u, λ dimenzi´ otlan. A kanonikusan konjug´ alt impulzus mez˝o Π(x) =
[L] = 4,
[Φ] = 1,
∂L ˙ = Φ(x). ˙ ∂ Φ(x)
[m] = 1, [λ] = 0,
(3.83)
(3.84)
Az impulzusmomentum tenzor
T µν (x) = ∂ µ Φ(x)∂ ν Φ(x) − g µν L(x)
Z Z 1 2 1 m2 2 λ 4 3 00 3 2 E = d x T (x) = d x Π (x) + (∇Φ(x)) + Φ (x) + Φ (x) 2 2 2 24 Z i 3 i P = d x Π(x)∂ Φ(x)
⇒
(3.85)
´ Erdekess´ eg: egy konfigur´ aci´ otR statisztikailag is jellemezhet¨ unk: kis t´erfogatelemekre felosztva a rendszert (“coarse graining”) egy aci´ o eset´en, mikor a k¨ ul¨ onb¨ oz˝ o ir´ anyok korrel´ alatlanok, azaz t´ermennyis´eg ´ atlaga hf (x)i = ∆V d3 x f (x), ahol x ∈ ∆V . Olyan konfigur´
h∂ µ Φ(x)∂ ν Φ(x)i = 0, ott hT µν i diagon´ alis. Ha a konfigur´ aci´ o izotr´ op is, azaz a t´er ir´ anyok ekvivalensek, akkor a ∂ i Φ∂ i Φ f¨ uggetlen
az i-t˝ ol ⇒ jel¨ olj¨ uk (∇Φ)2 = G. Ekkor hT µν i alakja: T
µν
ε 0 = 0 0
0 p 0 0
0 0 p 0
0 0 0 p
1 2 Π + 2 1 2 Π − p= 2 ε=
⇒
1 G + hU i 2 1 G − hU i . 6
(3.86)
Ez egy ide´ alis g´ az energia-impulzusmomentum tenzora, ahol ε az energias˝ ur˝ us´eg, p a nyom´ as. Egyens´ ulyban, ha U = 0, akkor
|Πk |2 =
1 Zk
Z
β
dΠk dΦk |Πk |2 e− 2 (|Πk |
2
+k2 |Φk |2 )
=
1 = k2 |Φk |2 β
⇒
Π2 = G
(3.87)
Emiatt ε = Π2 = 3p, ami egy relativisztikus g´ azra jellemz˝ o t¨ orv´eny. Konstans konfigur´ aci´ o eset´en, vagyis mikor Φ(x) = Φ =const., akkor T µν = U (Φ) g µν ⇒ U (Φ) kozmol´ ogiai konstans, negat´ıv nyom´ assal ⇒ gravit´ aci´ os szempontb´ ol vonz´ as helyett tasz´ıt´ as ⇒ felf´ uv´ od´ o univerzum, infl´ aci´ o.
3.3.1
A kvadratikus skal´ ar elm´ elet kvant´ al´ asa
A Φ4 elm´eletet bozonikus elm´eletk´ent kell kvant´ alni (l. k´es˝obb: spin-statisztika t´etel). Φ-t mostant´ ol oper´atork´ent ´ertelmezz¨ uk. Klasszikusan val´os skal´art´er ⇒ oper´ atork´ent ¨ onedjung´alt Φ† = Φ. Az energia kifejez´es´eb˝ol a Hamilton oper´ator lesz. ˙ ez´ert Mivel itt Π = Φ, ˙ y)] = iδ(x − y), [Φ(t, x), Φ(t, [Φ(t, x), Φ(t, y)] = 0. (3.88) A teljes Hamilton-oper´ator saj´ atf¨ uggv´enyeit, saj´ at´ert´ekeit nem tudjuk fel´ırni 1. megoldjuk addig, am´ıg tudjuk L=
⇒ k´et l´epcs˝oben haladunk:
⇒ kvadratikus r´esz. 1 m2 2 ∂µ Φ∂ µ Φ − Φ 2 2
⇒
H=
1 2 1 m2 2 Π + (∂i Φ)2 + Φ . 2 2 2
(3.89)
Diszkretiz´ alva a1/2 Π → p ´es a1/2 Ψ → q jel¨ ol´essel, 1D-ban H=
1 m2 a 2 2 p2i + (qi+1 − qi )2 + q , 2 2 2 i
X1 i
ami egy csatolt harmonikus oszcill´ator teret ´ır le
(3.90)
⇒ megoldhat´o, kelt˝ o-elt¨ untet˝ o oper´atorok bevezet´es´evel.
2. a nem kvadratikus r´eszben (“k¨olcs¨ onhat´asi” r´esz) feltessz¨ uk, hogy λ ≪ 1 hatv´anysorban keresni (pertub´aci´ osz´ am´ıt´ as).
⇒ megpr´ ob´aljuk a spektrumot λ szerinti
A kvadratikus r´eszben a diszkretiz´ alt form´aban az oszcill´atorok els˝o szomsz´ed csatol´assal vannak ¨osszek¨ otve. F¨ uggetlen´ıteni lehet ˝ oket, ha ´att´er¨ unk a Fourier m´odusokra. Ez´ert a kelt˝ o-elt¨ untet˝ o oper´atorokat a k¨ovetkez˝o m´odon vezetj¨ uk be: Z 3 r Z 3 1 d p ωp d p ipx † −ipx p (3.91) ap (t)eipx − a†p (t)e−ipx , , Π(t, x) = −i ap (t)e + ap (t)e Φ(t, x) = 3 3 (2π) (2π) 2 2ωp
ahol ωp2 = p2 + m2 . A m´asodik tag Φ† = Φ k¨ovetkezm´enye. Az inverz rel´aci´ o r Z r Z iΠ(t, x) iΠ(t, x) ωp ωp ap (t) = , ap (t)† = . d3 x e−ipx Φ(t, x) + d3 x eipx Φ(t, x) − 2 ωp 2 ωp
(3.92)
Ezt be´ırva a kommut´aci´ os rel´aci´ oba [ap (t), a†q (t)]
Z 1√ iΠ(t, x) iΠ(t, y) 3 3 −ipx+iqy ωp ωq d x d y e = Φ(t, x) + , Φ(t, y) − = 2 ωp ωq Z 1 1 1√ ωp ωq d3 x d3 y e−ipx+iqy δ(x − y) = (2π)2 δ(p − q). + = 2 ωp ωq
(3.93)
Hasonl´o m´odon kij¨ on, hogy [ap (t), aq (t)] = 0. Be´ırjuk a kelt˝ o-elt¨ untet˝ o oper´ atoros alakot a Hamilton-oper´atorba. Az els˝o tag Z 3 r Z Z Z 3 r 1 d q d p 1 ωp ωq ipx † −ipx (−i) a (t)e − a (t)e aq (t)eiqx − a†q (t)e−iqx = d3 xΠ(t, x)2 = d3 x(−i) p p 3 3 2 2 (2π) 2 (2π) 2 Z 3 d p ωp −ap (t)a−p (t) + ap (t)a†p (t) + a†p (t)ap (t) − a†p (t)a†−p (t) . (3.94) = (2π)3 4 A m´asodik tagban kihaszn´ aljuk, hogy ∂i Φ(t, x) =
Z
1 d3 p p (ip) ap (t)eipx − a†p (t)e−ipx , 3 (2π) 2ωp
(3.95)
ezzel Z 3 Z Z Z 3 1 d q 1 1 d p 1 ipx † −ipx 3 2 3 p p p ap (t)e − ap (t)e (−i) q aq (t)eiqx − a†q (t)e−iqx = d x(∂i Φ(t, x)) = d x(−i) 2 2 (2π)3 2ωp (2π)3 2ωp Z 3 d p p2 = ap (t)a−p (t) + ap (t)a†p (t) + a†p (t)ap (t) + a†p (t)a†−p (t) . (3.96) 3 (2π) 4ωp A harmadik tag Z 3 Z Z 3 Z d q 1 1 d p m2 m2 2 ipx † −ipx p p a (t)e + a (t)e aq (t)eiqx + a†q (t)e−iqx = Φ (t, x) = d3 x d3 x p p 3 3 2 2 (2π) (2π) 2ωp 2ωp Z 3 2 d p m † † † † a (t)a (t) + a (t)a (t) + a (t)a (t) + a (t)a (t) . (3.97) = p −p p p p p p −p (2π)3 4ωp ¨ Osszeadva a tagokat a Hamilton-oper´ ator alakja H= Az els˝o tagot ´at´ırjuk: Z
Z
d3 p ωp ap a†p + a†p ap . 3 (2π) 2
d3 p ωp ap a†p = (2π)3 2
Z
(3.98)
d3 p ωp † ap ap + [ap , a†p ] . 3 (2π) 2
(3.99)
Az els˝o tag m´ar szerepelt; a m´asodik tag ar´ anyos az egys´egoper´atorral, azaz nem sz´am´ıt, az energiaszint konstans eltol´ as´at jelenti. ´ Erdekess´ eg azonban, hogy ´ert´eke v´egtelen ⇒ a v´ akuum energi´ aja v´egtelen. A v´ akuum energi´ aja azonban nem m´erhet˝ o, csak ha k´et rendszert hasonl´ıtunk ¨ ossze ⇒ Casimir effektus: egy z´ art, v´eges t´erfogat´ u rendszerben a v´ akuum energi´ aja ∼ V ⇒ a rendszer falaira er˝ o hat! Ilyen er˝ o m´erhet˝ o; azonban a m´er´esi eredm´enyek m´ ask´epp is ´ertelmezhet˝ oek ∼ nincs igazi z´ art rendszer... A v´ akuum energias˝ ur˝ us´eg´enek abszol´ ut ´ert´eke egy helyen sz´ am´ıthat: ´ alt. rel.. Azonban minden ´esszer˝ u nagy energi´ as (UV) regulariz´ aci´ o eset´en O(10100 )-szoros´ at kapjuk a val´ odi kozmol´ ogiai konstansnak ⇒ mai napig rejt´ely
T´erelm´eletben elhagyjuk a v´akuumenergi´ at
⇒ norm´alrendez´es Z 3 d p : H := ωp a†p ap . (2π)3
(3.100)
Hasonl´o sz´amol´ assal a norm´ alrendezett impulzus alakja : P :=
Z
d3 p p a†p ap . (2π)3
(3.101)
A j¨ ov˝ oben elhagyjuk a norm´ alrendez´es jel´et. H m´ar teljesen olyan mint (v´egtelen sok) f¨ uggetlen harmonikus oszcill´ator ¨osszege • ∃ |0i v´akuum, amelyre ap |0i = 0 ∀p
⇒ H |0i = 0,
⇒
meg tudjuk oldani:
P |0i = 0.
• Mivel a harmonikus oszcill´atorok f¨ uggetlenek, egy ´altal´ anos energia saj´at´allapot alakja |p1 , n1 ; . . . pi , ni ; . . .i ∼
Y (a†p )ni √i |0i , ni ! i
Epi = ωpi =
q m2 + p2i ,
(3.102)
a norm´al´ast k´es˝obb r¨ogz´ıtj¨ uk m´eg. Ez az ´ allapot egyben impulzus saj´at´allapot is. A saj´at´ert´ekek: X X ni pi |p1 , n1 ; . . . pi , ni ; . . .i . P |p1 , n1 ; . . . pi , ni ; . . .i = ni Epi |p1 , n1 ; . . . pi , ni ; . . .i , H |p1 , n1 ; . . . pi , ni ; . . .i = i
i
(3.103) Ez rendszer teh´at egym´ ast´ ol f¨ uggetlen, p1 , . . . pn . . . impulzus´ u, m t¨ omeg˝ u relativisztikus r´eszecsk´ek rendszer´et ´ırja le. A p impulzus´ u r´eszecsk´ek sz´ am´ at megad´ o oper´ator Z 3 d p † † N p = ap ap ⇒ N = a ap (3.104) (2π)3 p az ¨ osszes r´eszecske sz´ ama. R¨ ogz´ıtve az ¨osszes r´eszecske sz´ am´ at a teljes Hilbert-t´er fel´ırhat´ o, mint fix r´eszecskesz´ am´ u alrendszerek direkt ¨osszege H = H0 ⊕ H0 ⊕ . . . H0 ⊕ . . . ,
(3.105)
ez a Fock-t´er konstrukci´ o. • az egy r´eszecske ´allapot ∼ a†p |0i. Hogyan norm´aljuk ezt az ´allapotot? Legyen a norm´al´asi faktor Np , azaz |pi = Np a†p |0i .
(3.106)
hp|qi = Np∗ Nq 0 ap a†q 0 = (2π)3 |Np |2 δ(p − q).
(3.107)
Ekkor Mivel f´azis nem sz´ am´ıt, v´alasszuk Np -t val´ osnak. Az egy-r´eszecske ´allapotokra val´o vet´ıt´es oper´atora emiatt: Z 3 d p 1 Π1 = |pi hp| . (3.108) (2π)3 Np2 ´ El˝ osz¨ or hat´arozzuk meg a t´erbeli hull´ amf¨ uggv´enyt! Altal´ aban egy |ai ´allapot hull´ amf¨ uggv´enye QM-ban hx|ai, ahol |xi a hely saj´at´allapot. Mivel P a hely-eltol´ as oper´atora, ez´ert ´ırhatjuk: |xi = e−iPx |x = 0i Mivel hp|qi =
Z
d3 x hp|xi hx|qi = α∗p αq
⇒ Z
Ψp (x) = hx|pi = hx = 0|pi eipx ≡ αp eipx .
d3 xe−i(p−q)x = (2π)3 |αp |2 δ(p − q)
⇒
αp = Np .
(3.109)
(3.110)
Egy ilyen s´ıkhull´ am v´egtelen sok r´eszecsk´et ´ır le; a QM alapj´an t¨ obbf´ele norm´al´ast vezethet¨ unk be: – doboz-norm´ al´ as: ekkor valamilyen “´ all´o” rendszerb˝ol n´ezve V t´erfogatban van egy r´eszecske Z 1 ⇒ Np = √ . 1 = d3 x |Ψp (x)|2 = Np2 V V
(3.111)
V
– ´ aram-norm´ al´ as: ekkor |pi egy egys´egnyi ´arams˝ ur˝ us´eg˝ u r´eszecskenyl´ abot ´ır le. Ha j az ´arams˝ ur˝ us´eg, akkor t id˝o alatt A nagys´ ag´ u, j-re mer˝oleges fel¨ uleten Atj r´eszecske halad ´at. A r´eszecsk´ek sebess´ege v = p/Ep ⇒ a fel¨ uleten ´athalad´o Atj r´eszecske V = Atv t´erfogatban helyezkedik el ⇒ 1 r´eszecske V = v/j = p/(Ep j) t´erfogatban van ⇒ itt is t´erfogati norm´al´ast haszn´alhatunk: s Ep j 1 Np = √ = . (3.112) p V – Lorentz-invari´ ans norm´ al´ as: azt szeretn´enk, ha mozg´o koordin´atarendszerb˝ol Lorentz-invari´ans megfigyelhet˝o mennyis´egek v´arhat´ o ´ert´ek´et ugyanakkor´ anak l´atn´ank ⇒ hp|qi = (2π)2 Np2 δ(p − q) Lorentz-invari´ans f¨ uggv´eny legyen, azaz hp|qi = hp′ |q′ i ⇒ Np2 δ(p − q) = Np2′ δ(p′ − q′ ). (3.113) Lehet k¨ozvetlen m´odszerrel is megkeresni Np2 ´ert´ek´et, l. Appendix A.3. Az egyszer˝ us´ıtett m´odszern´el el˝osz¨ or megkeress¨ uk a Lorentz-invari´ans 3-as integr´alt. Ehhez: Z
d4 p 2π Θ(p0 )δ(p2 − m2 ) = (2π)4
Z
d3 p (2π)3
Z∞
1 dp0 δ(p0 − Ep ) = 2Ep
Z
d3 p 1 . (2π)3 2Ep
(3.114)
Mivel az integr´al´ asi m´ert´ek ´es az integrandus is Lorentz-invari´ans, ez´ert ez a kifejez´es Lorentz-invari´ans, vagyis a Lorentz-invari´ans m´ert´ek ∼ d3 p/Ep . Ezekut´an 1=
Z
d3 pδ(p − q) =
Z
d3 p 2Ep δ(p − q). 2Ep
(3.115)
Mivel az integr´al ´ert´eke (1) Lorentz-invari´ans, valamint a m´ert´ek Lorentz-invari´ans, ´ıgy 2Ep δ(p − q) is Lorentzinvari´ans. Emiatt Np2 = 2Ep , ´ıgy a fizikai norm´al´as |pi = • A t´eroper´ator Φ(t, x) =
p 2Ep a†p |0i .
(3.116)
1 d3 p p (ap (t) + a†−p (t)) eipx 3 (2π) 2Ep
Z
(3.117)
egy kelt˝ o ´es egy elt¨ untet˝ o oper´ atort tartalmaz. A v´akuumra hatva teh´at egy r´eszecske ´allapot lesz az eredm´eny Z 3 Z 3 d p e−ipx Np 1 1 d p † −ipx −ipx p p p a (t) e |0i = e |pi ⇒ hp|Φ(x)|0i = . (3.118) Φ(x) |0i = (2π)3 2Ep p (2π)3 Np 2Ep 2Ep
Relativisztikus norm´ al´ assal Mivel Φ† = Φ, ´ıgy
hp|Φ(x)|0i = e−ipx .
(3.119)
h0|Φ(x)|pi = eipx ,
(3.120)
vagyis a p impulzus´ u egy-r´eszecske ´ allapotot el is t¨ unteti
3.3.2
⇒ Φ egyszerre kelt ´es elt¨ untet egy r´eszecsk´et.
Klasszikus mez˝ o
Minek felel meg egy klasszikus, id˝oben ´ alland´ o mez˝o? Megk¨ozel´ıthetj¨ uk u ´gy a k´erd´est, hogy a Klein-Gordon egyenletet m´odos´ıtjuk olyan m´odon, hogy klasszikusan az id˝of¨ uggetlen megold´as ne a nulla legyen. Vagyis a klasszikus mozg´asegyenletet ´at´ırjuk J(x) t´erf¨ ugg˝o mennyis´eggel: (∂ 2 + m2 )Φ = J. (3.121) Ezt a rendszert k´et, egym´ assal ekvivalens m´odon ´ırhatom le. Egyr´eszt klasszikusan fel´ırom u ´ gy, mint az inhomog´en r´esz partikul´aris megold´asa ´es a homog´en r´esz ´ altal´ anos megold´asa ¨osszegek´ent: Φ(x) = Φ0 (x) + ϕ(x),
Φ0 (p) =
Jp , ωp2
(∂ 2 + m2 )φ = 0.
(3.122)
Ezek ut´an csak ϕ-t kvant´ alom, erre ugyanazok a formul´ak vonatkoznak, mint kor´abban. A ϕ v´akuum´ allapota a Φ szempontj´ ab´ol mint klasszikus Φ0 mez˝o jelenik meg. A m´asik lehet˝os´eg, hogy egyben kezelve a rendszert a Φ-t kvant´ alom. Ekkor a Lagrange- ´es Hamilton-f¨ uggv´eny alakja Z Z m2 2 m2 2 1 2 1 1 (∂µ Φ)(∂ µ Φ) − Φ + JΦ , H = d3 x Π + (∇Φ)2 + Φ − JΦ . (3.123) L = d3 x 2 2 2 2 2 Ugyan´ ugy bevezetve a kelt˝ o- elt¨ untet˝ o oper´ atorokat mint kor´abban, a J-t tartalmaz´ o tag: Z Z 3 Z 3 1 1 d p d p p p − d3 x ap eipx J(x) + a†p e−ipx J(x) = − ap Jp∗ + a†p Jp . (2π)3 2ωp (2π)3 2ωp
(3.124)
A teljes Hamilton-oper´ator teh´ at:
H= Bevezetve ηp =
2Jp (2ωp )3/2
A legalacsonyabb energi´as ´ allapotra
Z
d3 p (2π)3
Jp∗ Jp ωp a†p ap − ap p − a†p p 2ωp 2ωp
bp = ap − ηp ˜ =0 bp |0i
⇒ ⇒
H=
Z
!
.
d3 p ωp b†p bp + |ηp |2 . 3 (2π)
˜ ˜ = ηp |0i, ap |0i
(3.125)
(3.126)
(3.127)
ez teh´ at a-k saj´at´allapotai. Ezeket h´ıvjuk koherens ´ allapotoknak. Egy adott impulzus eset´en a norm´alt koherens ´allapot a |ηi = η |ηi
1
|ηi = e− 2 |η|
⇒
2
∞ X 2 † ηn 1 √ |ni = e− 2 |η| eηa |0i , n! n=0
a teljes koherens ´allapot ezek direkt szorzata, azaz Z 3 d p 1 2 † ˜ = exp |0i |0i , − |η | + η a p p p (2π)3 2
ηp =
r
(3.128)
ωp Φp . 2
(3.129)
A klasszikus mez˝o teh´at a r´eszecsk´ek szempontj´ ab´ol egy koherens ´allapotnak felel meg, ahol az n-r´eszecske ´allapot megfi2 gyel´es´enek val´osz´ın˝ us´ege | hη|ni |2 = e−|η| |η|2n /n! Poisson-eloszl´ ast mutat minden impulzusra.
3.3.3
Id˝ of¨ ugg´ es
Az id˝oeltol´as gener´atora H, azaz a Heisenberg-k´epbeli oper´atorokra Z 3 d q Eq [a†q aq , ap ] = −iEp ap ⇒ ap (t) = e−iEp t ap a˙ p = i[H, ap ] = i (2π)3
⇒
a†p (t) = eiEp t a†p .
A t´eroper´ator id˝ofejl˝ od´ese, kis ´ atrendez´es ut´an Z 3 Z 3 d p 1 1 d p ipx −ipx † p p Φ(t, x) = e a (t) + e a (t) = e−ipx ap + eipx a†p , p p 3 3 (2π) (2π) 2Ep 2Ep
ahol
p0 = Ep .
(3.130)
(3.131)
Emiatt Φ kiel´eg´ıti a klasszikus mozg´ asegyenletet
(∂ 2 + m2 ) Φ(x) = 0.
(3.132)
Schr¨ odinger k´epben az ´ allapotok id˝ ofejl˝ od´ese: ∂t |pi = −iH |pi = −iEp |pi
3.3.4
⇒
|t, pi = e−iEp t |pi .
(3.133)
Korrel´ atorok
Az id˝of¨ ugg´es ismeret´eben id˝oben elv´alasztott esem´enyek korrel´aci´ oj´ at vizsg´alhatjuk. ∆ propag´ ator A legegyszer˝ ubb korrel´ator Z Z −iqy
−ipx d3 p d3 q d3 p iqy † ipx † e p p 0 = e a + e a 0 a + e a h0|Φ(x)Φ(y)|0i = e−ip(x−y) . q p q p (2π)3 2Ep (2π)3 2Ep (2π)3 2Eq (3.134) Ez csak x − y f¨ uggv´enye (v´ akuum eltol´ as-invari´ans!); jel¨olj¨ uk i∆(x − y)-nal. Fourier transzform´ altj´ ahoz a 4D Fourier transzform´alt defin´ıci´oja Z Z Z d4 p −i(p0 x0 −px d4 p −ipx e f (p) = e f (p), f (p) = d4 x eipx f (x). (3.135) f (x) = (2π)4 (2π)4 Felhaszn´alva, hogy δ(p2 − m2 ) = ´at´ırhat´ o i∆: i∆(x) =
Z
1 (δ(p0 − Ep ) + δ(p0 + Ep )) , 2Ep
d4 p Θ(p0 ) 2π δ(p2 − m2 ) e−ip(x−y) (2π)4
⇒
i∆(p) = Θ(p0 ) 2π δ(p2 − m2 ).
(3.136)
(3.137)
Ez expliciten relativisztikusan invari´ans ⇒ i∆(x) is rel. invari´ans. M´ ask´epp kisz´ amolva: Φ a v´akuumb´ ol egy r´eszecske ´allapotokba k´epez, vagyis k¨ozbesz´ urhatunk egy teljes egy-r´eszecske ´ ´allapot rendszert. Altal´ anosan energia-impulzus saj´ at´allapotokat k¨ozbesz´ urva, Heisenberg k´epben, v´eges t´erfogatban, t´erfogati norm´ al´ ast haszn´alva: X X
h0|Φ(x)Φ(0)|0i = h0|Φ(x)|E, pi hE, p|Φ(0)|0i = 0|eiHt+iPx Φ(0)e−iHt−iPx |E, p V hE, p|Φ(0)|0iV E,p
=
X E,p
E,p
2 −ipx
| h0|Φ(0)|E, piV | e
.
(3.138)
´ erve fizikai norm´al´asra Att´ | h0|Φ(0)|E, piV |2 =
1 1
| 0|Φ(0)a†p |0 V |2 = | h0|Φ(0)|E, pi |2 . V 2Ep V
´ erve v´egtelen t´erfogatra a szumm´akb´ Att´ ol integr´al lesz: mivel ∆p = 2π/L, ez´ert Z 3 1 X d p . = V p (2π)3 Ez´ert ∆(x) =
XZ E
A Fourier transzform´ aci´ o ut´an
d3 p | h0|Φ(0)|E, pi |2 e−ipx . (2π)3 2Ep
∆(p) = Θ(p0 )
X E
2πδ(p20 − E 2 )| h0|Φ(0)|pi |2 .
(3.139)
(3.140)
(3.141)
(3.142)
azaz i∆(p) ott nem 0, ahol l´etezik p0 energi´aj´ u pimpulzus´ u ´allapot ⇒ folytonos esetben az ´allapots˝ ur˝ us´eggel ar´anyos. A szabad esetben E 2 = Ep2 = p2 + m2 , ´es h0|Φ(0)|pi = 1, ´ıgy visszakapjuk a kor´abbi eredm´enyeket. A δ(p2 − m2 ) f¨ ugg´es miatt (p2 − m2 ) i∆(p) = 0; (3.143) ez onnan is j¨on, hogy (∂ 2 + m2 )Φ = 0. Spektr´ alf¨ uggv´ eny A spektr´ alf¨ uggv´eny defin´ıci´oja ̺(x − y) = h[Φ(x), Φ(y)]i = i∆(x − y) − i∆(y − x)
⇒
̺(x) = i∆(x) − i∆(−x).
(3.144)
Mivel ∆ Lorentz-invari´ans volt, ez´ert ̺ is az. Ahol teh´at az x → −x csere folytonos transzform´ aci´ okkal elv´egezhet˝o, ott ̺(x) = 0. Ezek a t´erszer˝ u n´egyesvektorok; az id˝oszer˝ u vektorokn´al ugyanis sgn(x0 ) nem v´altozhat folytonos trf-ra! ⇒ ̺ csak az id˝oszer˝ u tartom´ anyokban nem nulla. ´ Ertelmez´ es: az x ´es y t´erid˝o-pontokban keltett r´eszecsk´ek befoly´ asolhatj´ak-e egym´ ast? ⇒ kauzalit´as. A Fourier-transzform´altakra felhaszn´aljuk, hogy Z Z f− (x) := f (−x) ⇒ f− (k) = d4 x eikx f (−x) = d4 x e−ikx f (x) = f (−k). (3.145) Emiatt ̺(p) = i∆(p) − i∆(−p) = (2π) sgn(p0 ) δ(p2 − m2 ).
(3.146)
Retard´ alt Green-f¨ uggv´ eny def.: iGR (x) = Θ(t)̺(x).
(3.147)
Ez´ert GR csak az j¨ov˝ obeli f´enyk´ up belsej´eben nem 0 ⇒ kauz´alis Fourier transzform´ alt alakj´ ahoz: t-ben szorzat a val´os t´erben ⇒ konvol´ uci´ o a Fourier t´erben. Mi lesz Θ(t) Fourier transzform´ altja? T´ etel: Θ(ω) = Bizony´ıt´ as.: Az inverz transzform´ aci´ ora
Z∞
i , ω + iε
ε → 0+ .
i dω e−iωt =?. 2π ω + iε
(3.148)
(3.149)
−∞
Az integrandusnak p´ olusa van ω = −iε-n´al.
Ha t > 0, akkor a negat´ıv imagin´ arius r´esz˝ u komplex ω s´ıkon ω = ωR − iζ, ez´ert e−iωt = e−iωR t−ζt ,
(3.150)
azaz nagy t-re explonenci´ alisan lecseng ⇒ bez´arhatom a kont´ urt alul. A Cauchy t´etel miatt a 2πi× reziduumot cs´ıpem fel a p´ olus hely´en, −1 a k¨orbej´ ar´ as ir´ any miatt: Z∞
−∞
dω i i −εt e−iωt = −2πi e → 1. 2π ω + iε 2π
Ha t < 0, akkor ugynezzel a gondolatmenettel fel¨ ul z´ arhatom be a kont´ urt, ahol azonban nincs p´ olus integr´al 0. QED. Emiatt a retard´alt Green-f¨ uggv´eny Fourier-t´erbeli alakja Z dω ̺(ω, k) GR (k) = . 2π k0 − ω + iε
(3.151)
⇒ ott az
(3.152)
V´eve ennek az imagin´arius r´esz´et, felhaszn´alva, hogy Im
ε 1 ε→0 =− −→ −πδ(k0 − ω), k0 − ω + iε (k0 − ω)2 + ε2
(3.153)
kapjuk
1 Im GR (k) = − ̺(k). 2 Vagyis a retard´alt Green f¨ uggv´eny eleget tesz a Kramers-Kr¨onig ¨osszef¨ ugg´esnek. Klein-Gordon esetben Z 1 1 1 1 dω 2π = (δ(ω − Ek ) − δ(ω + Ek )) = − GR (k) = 2π 2Ek k0 − ω + iε 2Ek k0 − Ek + iε k0 + Ek + iε 1 1 1 = = 2 = . (k0 + iε)2 − k2 − m2 k 2 − m2 k0 →k0 +iε k − m2 + iε sgn k0
(3.154)
(3.155)
Az utols´ o kifejez´esn´el felhaszn´altuk, hogy ε → 0+ , vagyis az ˝ot szorz´ o f¨ uggv´enynek csak az el˝ojele sz´am´ıt. Hogy a retard´alt Green-f¨ uggv´enyeket k0 imagin´ arius eltol´ as´ aval kell ´ertelmezni, Landau el˝o´ır´ asnak is h´ıvj´ ak. A Fourier alakb´ ol k¨ovetkezik, hogy (p2 + m2 )GR (p) = 1, azaz (∂ 2 − m2 ) GR (x) = −δ(x − y).
(3.156)
Az ilyen tulajdons´ ag´ u f¨ uggv´enyeket h´ıvj´ ak Green-f¨ uggv´enynek. Ezzel ugyanis megoldhat´o az inhomog´en mozg´asegyenlet Z 2 2 (∂ − m ) f (x) = g(x) ⇒ f (x) = f0 (x) − d4 y GR (x − y) g(y), (3.157) ahol (∂ 2 − m2 )f0 = 0 a homog´en r´esz ´ altal´ anos megold´asa. A fenti megold´as automatikusan csak az x0 > y0 felt´etelt kiel´eg´ıt˝o g(y) ´ert´ekeket veszi figyelembe ⇒ retard´alt. Feynman propag´ ator def.: iGF (x) = Θ(t) h0|Φ(x)Φ(0)|0i + Θ(−t) h0|Φ(0)Φ(x)|0i = Θ(t)∆(x) + Θ(−t)∆(−x).
(3.158)
A Fourier t´erbeli alakj´ ahoz (Θ∆)(k) =
Z
dω 2π 1 1 1 δ(ω − Ek ) = . 2π 2Ek k0 − ω + iε 2Ek k0 − Ek + iε
Innen GF (k) = (Θ∆)(k) + (Θ∆)(−k) =
−2Ek + 2iε 1 1 1 1 . + = 2Ek k0 − Ek + iε −k0 − Ek + iε 2Ek (Ek − iε)2 − k02
(3.159)
(3.160)
Mivel ε → 0+ , ez´ert a fenti kifejez´es egyen´ert´ek˝ u a k¨ovetkez˝ovel GF (k) =
1 . k 2 − m2 + iε
(3.161)
3.4
Fermionok
A val´ os´ agban a skal´ar r´eszecsk´ek mellett spinnel rendelkez˝o r´eszecsk´ek is el˝ofordulnak. Mi a relativisztikus kvantumt´erelm´eletben a spin, ´es hogyan kell az ilyen r´eszecsk´eket reprezent´ alni? −1 Egy tetsz˝ oleges mez˝o Ψ : M → V , ezen egy transzform´ aci´ o (pl. Lorentz-csoport) hat´asa (RΨ)(x) = RV Ψ(RM x). Egym´ as ut´ani transzform´ aci´ ok eset´en R1 R2 = R3 kell −1 −1 −1 −1 (R1 R2 Ψ)(x) = R1V (R2 Ψ)(R1M x) = R1V R2V Ψ(R2M R1M x) = R1V R2V Ψ((R1M R2M )−1 x) = R3V Ψ(R3M x),
(3.162)
azaz R1V R2V = R3V , vagyis a csoport hat´ asa ´ abr´ azol´odik a vektrot´eren. Multiplettek, ahogy kor´abban l´attuk, az irreducibilis ´abr´ azol´asb´ ol j¨onnek. Keress¨ uk teh´at meg a Lorentz csoport irreducibilis ´abr´ azol´asait!
3.4.1
A Lorentz csoport spinor ´ abr´ azol´ asai
A Lorentz csoport defin´ıci´oja: olyan M → M line´aris lek´epz´esek, amelyek x 7→ x′ transzform´ aci´ o ut´an a n´egyes hosszt invari´ansan hagyj´ak: (x′ )2 = x2 . Mint sz´ o olt r´ola, ez a csoport 6 val´os param´etert tartalmaz. Lorentz csoport lek´ epez´ ese 2D m´ atrixokra V´egezz¨ unk el egy lek´epz´est a Minkowski t´err˝ol a 2 × 2 hermitikus komplex m´artixok ter´ere 0 01 0 −i 1 0 x + x3 x1 − ix2 µ µ σ0 = 1, σ1 = x 7→ x σµ , σ2 = σ3 = ⇒ x σµ = . 10 i 0 0 −1 x1 + ix2 x0 − x3
(3.163)
A Pauli-m´ atrixok teljes´ıtik a Tr σµ σν = 2δµν ¨ osszef¨ ugg´est. Mivel det xµ σµ = x2 , ´eppen az x n´egyes hossza, ez´ert a Lorentz csoport azonos´ıthat´o azon H → H 2D hermitikus m´atrixot hermitikus m´atrixba lek´epez˝o line´aris transzform´ aci´ ok csoportj´ aval, amelyek a m´atrix determin´ans´ at invari´ansan hagyj´ak. Vegy¨ uk az al´abbi lek´epz´est: L legyen 2 × 2-es egys´egnyi determin´ans´ u m´atrix, ezzel A hermitikus m´atrixra u ´ gy hatunk, mint A 7→ LAL† . (3.164) A jobb oldal nyilv´anval´ oan hermitikus, ´es, mivel det L = 1, determin´ansa is 1. Ez´ert minden x ∈ M elemhez l´etezik olyan x′ ∈ M, hogy ν L(xµ σµ )L† = x′ σν , (3.165) ν
´es x2 = x′2 . Vagyis L egy Lorentz csoport hat´ ast val´ os´ıt meg. Jel¨olj¨ uk ezt a transzform´ aci´ ot Λ-val, azaz x′ = Λν. µ xµ . Ezzel xµ Lσµ L† = xµ Λν. µ σν
⇒
Lσµ L† = Λν. µ σν ,
valamint Λµ̺ σµ = L−1 σν (L−1 )† .
(3.166)
Mivel Tr σµ σν = 2δµν , ez´ert
1 Tr σν Lσµ L† . 2 L´ athat´o, hogy L-hez ´es −L-hez ugyanaz a Lorentz trf. tartozik. L-ek csoportot alkotnak, az egys´egnyi determin´ans´ u 2×2 komplex m´atrixok csoportj´ at, azaz SL(2, C)-t. Ha L1 -hez Λ1 , L2 -h¨oz Λ2 tartozik, akkor mi tartozik L−1 oz? 1 -hez, illetve L1 L2 -h¨ Λν. µ =
σµ = Λν. µ L−1 σν L†
−1
⇒
(3.167)
L−1 7→ Λ−1
L1 L2 σµ (L1 L2 )† = L1 Λ2 ν. µ σν L†1 = Λ2 ν. µ Λ1 ̺. ν σ̺ = (Λ1 Λ2 )̺. µ σ̺
⇒
L1 L2 7→ Λ1 Λ2 .
(3.168)
Ezenfel¨ ul 1 7→ 1. Ez´ert L-ek csoportja, SL(2, C) ´ abr´ azol´asa a Lorentz csoportnak. µ Minden x′ el´erhet˝o ´ıgy? Induljunk ki x = (1, 0, 0, 0)-b´ol, erre xµ σµ = 1 ´es Lxµ σµ L† = LL† = x′ σµ valamilyen hermitikus m´atrix. Ennek saj´at´ert´ekeire LL† v = λv ⇒ λ = v† LL† v = (L† v)2 > 0. (3.169) Mivel xµ σµ saj´at´ert´ekei x0 ± |x|, ez azt jelenti, hogy x0 > 0 ´es x0 > |x|, vagyis x a pozit´ıv f´enyk´ upban van. Teh´at L csak olyan Lorentz transzform´ aci´ okat tud le´ırni, amely a pozit´ıv f´enyk´ upot ¨onmag´ aba k´epezi, azaz L++ . Mindez azt jelenti, hogy SL(2, C) k´etszeresen lefedi L++ -t.
L param´ eterez´ ese Minden m´atrix fel´ırhat´ ou ´gy, mint M = eln M . Mivel a 2 × 2-es m´atrixok ter´eben σµ b´ azist alkot, ez´ert ln M fel´ırhat´ o ezek seg´ıts´eg´evel. Azaz minden 2D komplex m´atrix u ´gy ´ırhat´ o, mint i
M = e− 2 (ω
µ
+iuµ )σµ
,
(3.170)
ez nyolc param´eter. M determin´ansa det M = eTr ln M = e− 2 (ω i
µ
+iuµ ) Tr σµ
= e−i(ω
0
+iu0 )
(3.171)
Azaz ha megk¨ ovetelj¨ uk, hogy det L = 1 legyen, akkor ω 0 = u0 = 0. Vagyis L kifejezhet˝o, mint i
L = e− 2 (ω
i
+iui )σi
,
(3.172)
itt m´ar csak a Pauli m´atrixok j¨ onnek be. Ez 6 param´etert jelent, ahogyan a Lorentz csoporttal val´o homomorfizmusb´ol v´artuk is. Milyen Lorentz-transzform´aci´ o tartozik az egyes param´eterekhez? • ha ω3 6= 0, a t¨ obbi param´eter nulla, akkor X 1 −iω n X 1 −iω n X 1 −iω n ω ω n − 2i ωσ3 σ3 = + σ3 = cos − iσ3 sin . = L=e n! 2 n! 2 n! 2 2 2 n ps. n
(3.173)
n prtl.
Ez´ert Lσµ L† = (cos
ω ω ω ω ω ω ω ω − iσ3 sin )σµ (cos + iσ3 sin ) = σµ cos2 + σ3 σµ σ3 sin2 + i sin cos [σµ , σ3 ] = Λν. µ σν . (3.174) 2 2 2 2 2 2 2 2
Innen Λν0 = δ0ν , Λν3 = δ3ν , az 1-2 esetben pedig Λi. j =
cos ω sin ω
− sin ω cos ω
,
(3.175)
azaz egy xy s´ıkban t¨ ort´en˝o ω sz¨ og˝ u forgat´ asnak felel meg. • ha u3 6= 0, a t¨ obbi param´eter nulla, akkor u u + σ3 sinh . 2 2
(3.176)
u u u u + σ3 σµ σ3 sinh2 + sinh cosh {σµ , σ3 } = Λν. µ σν . 2 2 2 2
(3.177)
1
L = e 2 uσ3 = cosh Ez´ert
Lσµ L† = σµ cosh2
Mivel {σi , σj } = 2δij , ez´ert Λi. j = δji , ha i, j 6= 3. A 0-3 szektorban pedig Λi. j =
cosh u sinh u
sinh u cosh u
,
(3.178)
azaz egy z ir´ any´ u η = u rapidit´ as´ u boost. Ez a m´atrix nem unit´er! A spinorok A Lorentz csoportnak teh´ at megtal´ altuk egy 2D ´ ar´ azol´as´at. Az alapt´er elemeit Ψ ∈ C2 spinoroknak nevezz¨ uk (Weyl-spinorok) 1 2 α ⇒ k´et komponens˝ u, Ψ = (Ψ , Ψ ) ≡ Ψ . A spinorok transzform´ aci´ oj´ ara t¨ obb v´alaszt´asunk van: ha ugyanis L ´abr´ azol´as, akkor ´abr´ azol´as m´eg L∗ , LT −1 ´es L† −1 is. T −1 2×2-es egys´egnyi determin´ans´ u m´atrixokn´ al L ´es L unit´er ekvivalensek, mert: εij det L = εi′ j ′ Lii′ Ljj ′
⇒
(iε)†ki Lii′ (iε)i′ j ′ LTj′ j = δkj
⇒
LT −1 = (iε)† L(iε),
(3.179)
hiszen (iε)† = (iε)−1 = (iε), unit´er m´atrix. ´Igy k´et v´alaszt´asunk van: L vagy L† −1 . Az els˝o esetben Lorentz-csoport hat´ as´ ara i
Ψ′R = LΨR = e− 2 (ω
i
+iui )σi
ΨR .
(3.180)
L´ athat´oan boost hat´as´ara nem marad meg a hull´ amf¨ uggv´eny norm´aja, hiszen exp(u/2σ) nem unit´er. Mi t¨ ort´enik ekkor? Ehhez vizsg´aljuk meg Ψ∗R σµ ΨR transzform´ aci´ oj´ at. (Ψ∗R σµ ΨR )′ = Ψ∗R L† σµ LΨR .
(3.181)
Mivel σµ b´ azist alkot, L† σµ L kifejthet˝ o mint L† σµ L = fµν σν
⇒
1 1 Tr σν L† σµ L = Tr σµ Lσν L† = Λµ.ν . 2 2
fµν =
(3.182)
Ez´ert teh´at Ψ∗R σµ ΨR u ´gy transzform´ al´ odik, mint egy kontravari´ ans n´egyesvektor. Bevezetve µ jR := Ψ∗R σµ ΨR ≡ Ψ∗R σ ¯ µ ΨR
µ
j ′ = Λµ.ν j ν ,
⇒
(3.183)
ahol bevezett¨ uk a σ ¯ µ = σµ jel¨ ol´est. Teh´at val´ oban kisebb lesz |ΨR |2 , azonban ez az´ert van, mert a s˝ ur˝ us´eg egy n´egyesvektor els˝o komponense. A m´asik lehet˝os´eg, hogy Ψ u ´gy transzform´ al´ odik, hogy i
Ψ′L = L†−1 ΨL = e− 2 (ω
i
−iui )σi
ΨL .
(3.184)
Ebben az esetben Ψ∗L σµ ΨL transzform´ aci´ oja, felhaszn´alva (3.166)-t: (Ψ∗L σµ ΨL )′ = Ψ∗L L−1 σµ (L−1 )† ΨL = Λ.µν Ψ∗L σν ΨL .
(3.185)
Ekkor teh´at Ψ∗L σµ ΨL u ´gy transzform´ al´ odik, mint egy kovari´ ans n´egyesvektor. Ebben az esetben teh´at jLµ = Ψ∗L σ µ ΨL
3.4.2
⇒
µ
j ′ = Λµ.ν j ν .
(3.186)
T´ ert¨ ukr¨ oz´ es
Legyen P a t´ert¨ ukr¨oz´est jellemz˝ o oper´ ator C2 -n, azaz a t´ert¨ ukr¨oz¨ott spinor P Ψ. T´ert¨ ukr¨oz´es hat´as´ara ω → ω (a sz¨ogsebess´eg vektor nem v´alt ir´ anyt) ´es u → −u (a sebess´eg ir´ anyt v´alt). P´eld´ aul ha egy adott ΨR transzform´ aci´ oja L-lel ment ω ´es u param´eterekkel, akkor P ΨR transzform´ aci´ oja ugyanazzal az L-lel megy, csak ω ´es −u param´eterekkel. Mivel i
L(ω, −u) = e− 2 (ω
i
−iui )σi
= L(ω, u)† −1 ,
(3.187)
ez´ert a t´ert¨ ukr¨oz´es a fent t´ argyalt k´et ´ abr´ azol´as k¨ozt v´alt: P ΨR = ΨL . Innen az elnevez´es is ΨR balkezes, ΨL jobbkezes spinorok, a t¨ ukr¨oz´es a jobbkezest a balkezesbe viszi. Mivel ΨL ´es P ΨL k¨ ul¨onb¨ oz˝ok´eppen transzform´ al´odnak, ez´ert k¨ ul¨onb¨ oz˝o vektorterek elemi kell legyenek. Ha a t¨ ukr¨oz´es megval´ osul a rendszerben (azaz l´etezik t¨ ukr¨oz¨ott ´ allapot), akkor csak a ΨR -k ´es P ΨR -k egy¨ uttes ter´en lehet ´ertelmezni ⇒ C2 × C2 t´er kell. Ez m´ar 4D, elemeit bispinoroknak nevezz¨ uk: 01 ΨL P = Ψ= . (3.188) 10 ΨR A Ψ Lorentz transzform´ aci´ oja ˆ Ψ = LΨ ′
ˆ= L
L† −1 0 0 L
i
=
e− 2 (ω
i
−iui )σi
0
´ erhet¨ Ezt a fel´ır´ ast nevezik Weyl-b´azisnak. Att´ unk m´as reprezent´ aci´ ora: 1 ΨR ± ΨL 1 1 Ψu √ Ψ ≡ KΨ, , ΨD = = √ Ψu/v = Ψv 2 2 −1 1
0 i
e− 2 (ω
i
+iui )σi
!
.
PD = KP K −1 =
(3.189)
1 0 0 −1
(3.190)
a Dirac-b´ azis.
3.4.3
Lagrange f¨ uggv´ eny
A Lorentz csoport akkor szimmetri´ aja egy dinamikai rendszernek, ha a hat´asf¨ uggv´eny invari´ans marad a csoport hat´asa alatt. Most a spinorokb´ol (bispinorokb´ ol) k´epzett hull´ amf¨ uggv´enyekre akarunk fel´ırni Lagrange f¨ uggv´enyt. Erre igaz kell legyen S[Ψ] = S[Ψ′ ], ahol a transzform´ alt t´er Ψ′ (x) = LΨ(Λ−1 x). (3.191) Milyen tagokat tartalmazhat a hat´ asf¨ uggv´eny?
Ha a hat´asf¨ uggv´enyt u ´gy ´ırjuk fel, mint Z S[Ψ] = d4 x L(∂µ Ψ(x), Ψ(x))
′
⇒
S[Ψ ] =
Z
d4 x L(∂µ LΨ(Λ−1 x), LΨ(Λ−1 x))
´ erve x′ = Λ−1 x, a deriv´alt u Att´ ´gy transzform´ al´ odik, mint ∂µ → Λ.ν es ´ıgy µ ∂ν , ´ Z ′ ′ S[Ψ′ ] = d4 x′ L(Λ.ν µ ∂ν LΨ(x ), LΨ(x )).
(3.192)
(3.193)
Ez akkor azonos S[Ψ]-vel, ha L´ attuk, hogy
Ψ∗L σ µ ΨL
´es
Ψ∗R σ ¯ µ ΨR
′ ′ L(∂µ Ψ(x), Ψ(x)) = L(Λ.ν µ ∂ν LΨ(x ), LΨ(x )).
kontravari´ans n´egyesvektor. Emiatt
(Ψ∗L σ µ ∂µ ΨL )′ (Ψ∗R σ ¯ µ ∂µ ΨR )′ invari´ans kombin´aci´ ok norm´ al´ assal ´ırhatjuk
(3.194)
= Λµ.ν Λ.µ̺ (Ψ∗L σ ν ∂̺ ΨL ) = Ψ∗L σ µ ∂µ ΨL ¯ ν ∂̺ ΨR ) = Ψ∗R σ ¯ µ ∂µ ΨR = Λµ.ν Λ.µ̺ (Ψ∗R σ
(3.195)
⇒ j¨ ohetnek a Lagrange f¨ uggv´enybe! A k´et tag tetsz˝ oleges egy¨ utthat´oval j¨ohet, de megfelel˝o L=
Ψ∗L σ µ i∂µ ΨL
+
Ψ∗R σ ¯ µ i∂µ ΨR
=
(Ψ∗L , Ψ∗R )
σµ 0 0 σ ¯µ
Bevezetj¨ uk a Dirac-f´ele gamma m´atrixokat ´es Dirac-adjung´altat: 0 σ ¯µ 01 † µ 0 ¯ Ψ = Ψ γ0 , γ = ⇒ γ = = P, σµ 0 10 illetve Dirac-b´ azisban µ = Kγµ K −1 γD
0 γD =
⇒
B´armely b´ azisban igaz
1 0 0 −1
i γD =
,
i∂µ
i
γ =
ΨL ΨR
0 σi −σi 0
.
0 σi −σi 0
(3.196)
,
(3.197)
.
(3.198)
{γ µ , γ ν } = 2g µν .
Szok´as m´eg bevezetni γ5 =
−1 0 0 1
,
γD5 =
01 10
(3.199)
γ5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 ,
,
{γ5 , γ µ } = 0.
(3.200)
Ezzel a fenti Lagrange f¨ uggv´eny ´ırhat´ o mint ¯ µ i∂µ Ψ = Ψi∂ ¯ / Ψ. L = Ψγ
(3.201)
A m´asik kvadratikus lehet˝ os´eg ¨ osszek¨ oti a bal ´es jobbkezes spinorokat Ψ∗R ΨL
⇒
(Ψ∗R ΨL )′ = Ψ∗R L−1 LΨL = Ψ∗R ΨL ,
(3.202)
vagyis invari´ans. A Lagrange f¨ uggv´eny val´ os kell legyen, ez´ert a lehets´eges tag (Ψ∗L , Ψ∗R ) 0 1 ΨL ∗ ∗ ¯ = Ψ† γ0 Ψ = ΨΨ. ΨR ΨL + ΨL ΨR = 10 ΨR
(3.203)
Ez a tag azonban csak akkor lehets´eges, ha mind a bal, mind a jobbkezes fermion l´etezik. Ha csak a balkezes l´etezik (pl. neutrin´o), akkor ilyen tagot nem lehet konstru´ alni ⇒ nulla t¨ omeg˝ u r´eszecske (l. k´es˝obb). A szok´ asos kvadratikus Lagrange-f¨ uggv´eny teh´ at ¯ / Ψ − mΨΨ, ¯ L = Ψi∂
(3.204)
a Dirac-f´ele Lagrange-f¨ uggv´eny. Az ebb˝ol sz´ armaz´o mozg´asegyenlet a ∂µ
∂L ∂L / ¯ = 0 = ∂Ψ ¯ = (i∂ − m)Ψ, ∂∂µ Ψ
(3.205)
a Dirac-egyenlet. ¯ M´eg n´ezz¨ uk meg, hogyan transzform´ al´ odik Ψ ¯ ′ = (Ψ′ )∗ γ0 = Ψ∗ L ˆ † γ0 = Ψ ¯L ˆ −1 , Ψ Meg´ allap´ıthatjuk a γ µ transzform´ci´ oj´ at is. Mivel µ ν σ 0 ˆ σ 0 µ † ˆ L = Λ. ν L 0 σ ¯µ 0 σ ¯ν azaz γ µ kontravarians negyesvektor-oper´ ator.
mert
⇒
01 10
L−1 0 0 L†
ˆ † γ0 γ µ L ˆ = Λµ.ν γ0 γ ν L
01 10
⇒
=
L† 0 0 L−1
ˆ −1 . =L
ˆ −1 γ µ L ˆ = Λµ.ν γ µ . L
(3.206)
(3.207)
3.4.4
A Dirac egyenlet kvant´ al´ asa ´ es a spin-statisztika t´ etel
A kanonikusan konjug´ alt impulzus Πα =
∂L = iΨ†α . ˙α ∂Ψ
(3.208)
Az impulzus ´es a mez˝o felcser´el´es´ere vagy kommut´atort vagy antikommut´atort kell haszn´alni. A spin-statisztika t´etel szerint eg´esz spin˝ u r´eszecsk´ekre kommut´atort, f´eleg´esz spin˝ uekre antikommut´atort kell haszn´alni. Hogy meg´erts¨ uk a t´etel l´enyeg´et, n´ezz¨ uk most a balkezes fermionok egy speci´ alis eset´et: Vegy¨ unk k´et balkezes fermiont az x = (x0 , 0, 0) ´es az x = (−x0 , 0, 0) helyen az egyszer˝ us´eg kedv´e´ert s ´allapotban, mindkett˝ o sipnje legyen z ir´ any´ u, felfel´e mutat´ o. A k¨oz¨os hull´ amf¨ uggv´enyt vegy¨ uk egyel˝ore k´et hull´ amf¨ uggv´eny szorzat´ anak, azaz Ψ12 (t, x, x′ ) = |↑i ⊗ |↑i Ψs (t, x − x0 , y, z)Ψs (t, x′ + x0 , y ′ , z ′ ). (3.209) Mi t¨ ort´enik a k¨oz¨os saj´atf¨ uggv´ennyel, ha megcser´elj¨ uk a k´et r´eszecsk´et? A k´et r´eszecske felcser´el´ese ebben a speci´ alis esetben el´erhet˝ ou ´gy is, hogy z tengely k¨or¨ ul elforgatom a rendszert 180◦ -kal1 ! Ekkor (x, y, z) → (−x, −y, z), de mivel s ´allapotban voltak a r´eszecsk´eim, a hull´ amf¨ uggv´eny t´erbeli r´esze nem v´altozik – att´ ol eltekintve, hogy most x − x0 helyett x + x0 jelenik meg. A hull´ amf¨ uggv´eny azonban m´eg spinor indexekkel is rendelkezik, azaz ott is forgatni kell. A forgat´ ast v´egz˝ o oper´ator − iπ iπ −i 0 e 2 0 = (3.210) L(ω3 = π) = e− 2 σ3 = iπ 0 i 0 e2 azaz a felfel´e mutat´ o spint egyszer˝ uen i-vel szorozza. Ez´ert a r´eszecsk´ek felcser´el´ese ut´an kapott hull´ amf¨ uggv´eny Ψ21 (t, x, x′ ) = − |↑i ⊗ |↑i Ψs (t, x + x0 , y, z)Ψs (t, x′ − x0 , y ′ , z ′ ) = −Ψ12 (t, x′ , x),
(3.211)
vagyis kaptunk egy extra −1 faktort. Bozonikus esetben a 180◦ -kal val´o elforgat´ as oper´atora ±1-et ad, ami k´et azonos hull´ amf¨ uggv´eny eset´eben mindig 1-re eg´esz´ıti ki egym´ ast. Ennek alapj´an teh´at a r´eszecsk´eket kelt˝ o oper´ atoroknak antikommut´alniuk kell. Mivel a kommut´atorb´ol, ahogy l´attuk, kommut´al´o r´eszecsk´eket kapunk, ez´ert antikommut´atort kell venn¨ unk: {Ψα (t, x), Πβ (t, x′ )} = iδαβ δ(x − x′ )
3.4.5
⇒
{Ψ(t, x), Ψ† (t, x′ )} = δαβ δ(x − x′ ).
(3.212)
A Dirac-Hamilton oper´ ator spektruma
A Hamilton oper´ator ˙ − L = iΨ† Ψ ˙ − Ψ† γ 0 (i∂0 γ 0 + i∂i γ i − m)Ψ = Ψ† γ0 (−i∂i γ i + m)Ψ = Ψ† h(i∂)Ψ, H = ΠΨ
(3.213)
h(i∂) := γ0 (−i∂i γ i + m)
(3.214)
ahol Keress¨ uk meg h(i∂) saj´ atf¨ uggv´enyeit. Mivel h hermitikus, ezek ortonorm´alt b´ azist k´epeznek, ´es ´ıgy Z X Ei a†i ai , h(i∂)ψi (x) = Ei ψi (x) ⇒ Ψ = ai ψi , H = d3 x Ψ† (x)h(i∂)Ψ(x) =
(3.215)
i
diagon´ alis lesz a Hamilton oper´ ator. ´ erve Fourier t´erbe Att´ ψ(p) = azaz
Z
i
d3 x eipi x ψ(x),
h(p) = γ0 (−pi γ i + m) Ezt ´ atalak´ıtva, ´es bevezetve p0 = Ep jel¨ ol´est
ψ(x) = ⇒
Z
dd p −ipi xi e ψ(p), (2π)d
h(p)ψ(p) = Ep ψ(p).
(pµ γ µ − m)ψ(p) = 0,
(3.216) (3.217) (3.218)
azaz ψ(p) a Dirac-egyenlet Fourier transzform´ altj´ at el´eg´ıti ki. Megszorozva ezt (pµ γ µ + m)-mel: (pµ γ µ + m)(pν γ ν − m)ψ(p) = (p2 − m2 )ψ(p) = 0
⇒
p Ep = ± p2 + m2 .
(3.219)
1 Ehhez legal´ abb k´ et dimenzi´ os t´ er kell; 1D rendszerekben a statisztika nem k¨ ot˝ odik a forgat´ asokhoz, ´ıgy nem igaz a spin-statisztika t´ etel sem. Lehetnek pl. egzotikus statisztik´ aj´ u “anyonok”
Ez azt jelenti, hogy a saj´ at´ert´ekek a relatiisztikus k´eplettel adhat´ok meg, azonban egyar´ant lesz pozit´ıv ´es negat´ıv saj´at´ert´ek is. A szimmetria miatt 2 pozit´ıv ´es 2 negat´ıv saj´ at´ert´ek lesz. A pozit´ıv saj´at´ert´ekhez tartoz´o saj´atvektorokat jel¨olj¨ uk ur (p)-vel, a negat´ıvokhoz tartoz´ot vr (−p)-vel, r = ±. Negat´ıv saj´at´ert´ek eset´en 0 = (−Ep γ 0 + pi γ i − m)vr (−p)
⇒
0 = (Ep γ 0 + pi γ i + m)vr (p) = (pµ γ µ + m)vr (p),
(3.220)
vagyis az a pozit´ıv t¨ omeg˝ u v´altozatot el´eg´ıti ki. A F¨ uggel´ek A.2 fejezet´eben megadjuk a konstrukt´ıv elj´ar´ast ezen egyenlet megold´asaira, itt most megadjuk az eredm´enyt ´es bebizony´ıtjuk, hogy val´ oban megold´as. Haszn´ aljuk a Weyl reprezent´ aci´ ot, ahol a Dirac egyenlet alakja ∓m pµ σ ¯µ ψ(p) = 0. (3.221) pµ σ µ ∓m ´ ıt´ All´ as az, hogy ebben a reprezent´ aci´ oban a megold´asok √ p σ ¯µξ ur (p) = √ µ µ r , pµ σ ξr
vr (p) =
√ − pµ σ ¯ µ ξr √ , pµ σ µ ξr
(3.222)
ahol ξ+ = (1, 0), ξ− = (0, 1). Bizony´ıt´ as: arra alapszik, hogy q q p √ pµ σ ¯ µ pν σ ν = (Ep + pσ)(Ep − pσ) = Ep2 − p2 = m.
Emiatt ur (p) eset´en √ √ √ √ √ √ pµ σ ¯ µ ξr ¯ µ + pµ σ ¯ µ pµ σ µ ) ξr pµ σ ¯ µ (−m + pµ σ ¯ µ pµ σ µ ) ξr −m pµ σ ¯µ (−m pµ σ √ √ √ √ √ √ = = 0. = ¯ µ − m pµ σ µ ) ξr ¯ µ − m) ξr (pµ σ µ pµ σ pµ σ µ −m pµ σ µ ξr pµ σ µ ( pµ σ µ pµ σ Hasonl´ok´eppen vr (p)-re √ √ √ √ √ √ m pµ σ ¯µ − pµ σ ¯ µ ξr ¯ µ + pµ σ ¯ µ pµ σ µ ) ξr pµ σ ¯ µ (−m + pµ σ ¯ µ pµ σ µ ) ξr (−m pµ σ √ √ √ √ √ √ = = 0. = pµ σ µ m ¯ µ + m pµ σ µ ) ξr ¯ µ + m) ξr (−pµ σ µ pµ σ pµ σ µ ξr pµ σ µ (− pµ σ µ pµ σ
(3.223)
(3.224)
(3.225)
QED Ezzel a form´aval bizony´ıthat´ o n´eh´any fontos ¨ osszef¨ ugg´es (haszn´ aljuk a σ m´atrixok tulajdons´ ag´at: {σi , σj } = 2δij , valamint hogy pµ σ µ = E − pσ, ´es pµ σ ¯ µ = E + pσ) √ √ √ ξ† p σ ¯ µ , ξr† pµ σ µ p σ ¯µξ √ µ µ s = ξr† (pµ σ ur (p)† us (p) = r µ ¯ µ )ξs + ξr† (pµ σ µ )ξs = 2Ep ξr† ξs = 2Ep δrs , pµ σ ξs √ √ √ q p ξr† pµ σ ¯ µ , ξr† pµ σ µ 01 pµ σ ¯ µ ξs √ u ¯r (p)us (p) = ¯ µ )(pµ σ µ )ξs = 2 E 2 − p2 ξr† ξs = 2mδrs , = 2ξr† (pµ σ µ 10 pµ σ ξs √ †√ †√ µ µ ¯ µ ξs − pµ σ −ξr pµ σ ¯ , ξr pµ σ † √ vr (p) vs (p) = = ξr† (pµ σ ¯ µ )ξs + ξr† (pµ σ µ )ξs = 2Ep ξr† ξs = 2Ep δrs , pµ σ µ ξs √ √ √ q p ¯ µ ξs 01 − pµ σ ¯ µ , ξr† pµ σ µ −ξr† pµ σ √ = −2ξr† (pµ σ ¯ µ )(pµ σ µ )ξs = −2 E 2 − p2 ξr† ξs = −2mδrs , v¯r (p)vs (p) = µ pµ σ ξs 10 √ †√ †√ µ µ µ − pµ σ ξs ¯ , ξr pµ σ ξ p σ √ ur (p)† vs (−p) = r µ = 0, pµ σ ¯ µ ξs √ √ √ ξr† pµ σ 01 ¯ µ , ξr† pµ σ µ ¯ µ ξs − pµ σ √ = 0, u ¯r (p)vs (p) = 10 pµ σ µ ξs p √ √ X X √ pµ σ ¯ µ ξr (pµ σ ¯ µ )(pµ σ µ ) 01 pµ σ ¯µ 01 ξr† pµ σ ¯ µ , ξr† pµ σ µ p √ ur (p)¯ ur (p) = = = pµ σ µ ξr 10 10 (pµ σ ¯ µ )(pµ σ µ ) pµ σ µ r r m p¯ σ = = pγ + m, pσ m p √ √ X X −√pµ σ −ξr† pµ σ 01 ¯ µ ξr ¯ µ , ξr† pµ σ µ ¯ µ )(pµ σ µ ) pµ σ ¯µ − (pµ σ 01 p √ = = vr (p)¯ vr (p) = 10 pµ σ µ ξr 10 − (pµ σ ¯ µ )(pµ σ µ ) pµ σ µ r r −m p¯ σ = = pγ − m. (3.226) pσ −m
Vezess¨ uk be a h = 12 pˆi σi ⊗ 1 helicit´ as oper´ atort:√ez forg´ asinvari´ans oper´ator, √ haszn´aljuk abban a koordin´atarendszerben, √ √ ¯ µ = E + pσ3 , ´ırhatjuk: ahol p = (0, 0, p). Itt, felhaszn´alva, hogy pµ σ µ = E − pσ3 illetve pµ σ √ √ 1 σ3 0 1 1 p σ ¯µξ p σ ¯µ σ ξ √ µ µ r = √ µ µ 3 r = ± ur (p), hur (p) = (3.227) pµ σ ξr pµ σ σ3 ξr 2 0 σ3 2 2 ˆ = e−iωh , emiatt ur (p) u ˆ k¨or¨ azaz saj´ atf¨ uggv´eny. Mivel a p uli ω sz¨ og˝ u forgat´ asra L ´gy transzform´ al´odik a forgat´ as alatt mint egy 1/2 spin˝ u r´eszecske. Most t´erj¨ unk vissza a spektrumra: (3.213) szerint a Hamilton-s˝ ur˝ us´eg H(x) = Ψ† (x)h(i∂)Ψ(x). Fejts¨ uk most ki Ψ(x)-et a fenti u ´es v szerint: Z 3 X d p 1 ipx p Ψ(t, x) = as (t, p)us (p) + ¯bs (t, −p)vs (−p) , (3.228) e (2π)3 2Ep s=1,2 ahol a ´es ¯b oper´atorok. Az inverz rel´aci´ o levezet´ese: X
s=1,2
p as (t, p)us (p) + ¯bs (t, −p)vs (−p) = 2Ep
Z
d3 x e−ipx Ψ(t, x)
⇒
R 3 −ipx † as (t, p) = √ 1 d xe us (p)Ψ(t, x) 2Ep R 3 −ipx † 1 ¯ d xe vs (−p)Ψ(t, x). bs (t, −p) = √ 2Ep
Ez´ert az a ´es ¯b oper´atorokra vonatkoz´o antikommut´aci´ os rel´aci´ ok Z 1 d3 xd3 y e−ipx+iqy u†sα (p){Ψα (t, x), Ψ†β (t, y)}urβ (q) = (2π)3 δ(p − q) δrs . {as (t, p), a†r (t, q)} = p 4Ep Eq
(3.229)
(3.230)
Hasonl´oan
{¯bs (t, p), ¯b†r (t, q)} = (2π)3 δ(p−q) δrs ,
{as (t, p), ar (t, q)} = {bs (t, p), br (t, q)} = {as (t, p), b†r (t, q)} = {bs (t, p), a†r (t, q)} = 0. (3.231)
Ezzel H kifejez´ese Z ¯ H = d3 x Ψ(x)h(i∂)Ψ(x) = Z X X d3 p d3 q 1 p = d3 x ar (t, q)ur (q) + ¯br (t, −q)vr (−q) = a†s (t, p)u†s (p) + ¯b†s (t, −p)vs† (−p) h(i∂)eiqx e−ipx 3 3 (2π) (2π) 4Ep Eq r=1,2 s=1,2 Z 3 X d p 1 = a†s (t, p)u†s (p) + ¯b†s (t, −p)vs† (−p) h(p) ar (t, p)ur (p) + ¯br (t, −p)vr (−p) = 3 (2π) 2Ep r,s Z 3 d p 1X † as (t, p)u†s (p) + ¯b†s (t, −p)vs† (−p) ar (t, p)ur (p) − ¯br (t, −p)vr (−p) = = 3 (2π) 2 r,s Z 3 X d p = a†s (t, p)as (t, p) − ¯b†s (t, p)¯bs (t, p) . (3.232) E p (2π)3 r,s A bozonikus rendszerhez hasonl´ oan a spektrum innen m´ar el˝oa´ll´ıthat´o: van egy v´akuum´ allapot |¯0i, amelyet a ´es ¯b oper´atorok † † ¯ elt¨ untetnek; a r´eszecske-´ allapotokat a ´es b ism´etelt hat´as´aval kapjuk. Mivel a ´es b oper´atorok antikommut´alnak, fermionokat ´ırtunk le. Mekkora az energi´aja ¯b†r (p) |¯ 0i ´ alapotnak? Z 3 X d q ¯b† (t, q)¯bs (t, q)¯b† (p) |¯0i = −Ep¯b† (p) |¯0i . (3.233) H ¯b†r (p) |¯ 0i = − Eq r s r 3 (2π) r,s ¯ Vagyis a r´eszecsk´enek negat´ıv energi´aja van. Ha k¨olcs¨onhat´asba l´ep m´as terekkel (pl. fotont´errel), akkor egy ¯b†r (p) |0i r´eszecske kelt´ese energetikailag kedvez˝o, a marad´ek energia kisug´arz´ odik. Vagyis ´ıgy a v´akuum hamar felt¨ olt˝ odik ¯b†r (p) |¯0i r´eszecsk´ekkel, azaz |¯0i v´akuum nem stabil. Ha m´ar az ¨osszes ¯b ´allapot bet¨olt˝ od¨ott, akkor stabiliz´al´odik a helyzet: a stabil alap´allapotot h´ıvjuk az u ´j v´akuumnak, |0i. Mivel itt m´ar minden ¯b ´allapot foglalt, ez´ert b´ armely ¯b† hat´asa a v´akuumra null´ at ad: ¯b† (p) |0i = 0. (3.234) s Ez´ert az u ´j v´akuumon ¯b†s j´ atssza az elt¨ untet˝ o oper´ ator szerep´et, ´ıgy jel¨olhetj¨ uk br (p) = ¯b†r (p),
b†r (p) = ¯br (p)
⇒
{br (p), b†s (q)} = (2π)3 δ(p − q)δrs ,
(3.235)
az antikommut´aci´ os rel´aci´ ok nem v´altoznak. ¯b hat´ asa az u ´j v´akuumra: elt¨ untet egy ¯b r´eszecsk´et, azaz b†r az eredeti nyelven egy lyukat hoz l´etre, az u ´j nyelven azonban egy r´eszecsk´et. Az u ´j oper´atorokkal kifejezhetj¨ uk a teret ´es a Hamilton-oper´atort is Z 3 X d p 1 p Ψ(t, x) = as (t, p)us (p)eipx + b†s (t, p)vs (p)e−ipx , 3 (2π) 2Ep s=1,2 Z 3 Z 3 X X d p d p † † E Ep a (t, p)a (t, p) − b (t, p)b (t, p) = a†s (t, p)as (t, p) + b†s (t, p)bs (t, p) + konstans. (3.236) H= p s s s s 3 3 (2π) (2π) s r,s Vagyis Ψ elt¨ untet egy a r´eszecsk´et, ´es kelt egy b r´eszecsk´et. A b r´eszecske energi´aja Hb†r (p) |0i = Ep b†r (p) |0i , azaz ugyanakkora mint az a† (p)-vel keltett ´ allapotnak. R´eszecske-´allapotokat most is relativisztikusan norm´aljuk p |p, si = 2Ep a†s (p) |0i ,
|p, si =
p 2Ep b†s (p) |0i .
A t´eroper´ator egy r´eszecske ´ allapot ´es a v´akuum k¨oz¨otti m´atrixeleme (form faktor) Z 3 E X D p d q 1 † p h0|Ψ(0)|p, si = 0 (q) 2E a (p) a 0 ur (q) = us (p), r p s (2π)3 2Eq r=1,2 Z 3 X p
1 d q p hp, s|Ψ(0)|0i = 2Ep 0|bs (p)b†r (q)|0 vr (q) = vs (p), 3 (2π) 2Eq r=1,2 Z 3 E D X p
d q 1 † ¯ p 2E b (p)|0 vr (q) = v¯s (p), 0|Ψ(0)|p, s = v ¯ (q) 0|b (q) p s r s (2π)3 2Eq r=1,2 Z 3 X p
d q 1 ¯ p 2Ep 0 as (p)a†r (q) 0 u¯r (q) = u¯s (p). p, s|Ψ(0)|0 = 3 (2π) 2Eq r=1,2
(3.237)
(3.238)
(3.239)
T¨ obbr´eszecske ´allapotok: q E p q p † † p1 , s1 ; . . . ; pn , sn ; . . . ; p′1 , s′1 ; . . . ; p′m , s′m ; . . . = 2Ep1 a†s1 (p1 ) . . . 2Epn a†sn (pn ) . . . 2Ep′1 bs′ (p′1 ) . . . 2Ep′m bs′m (p′m ) |0i . 1 (3.240) • Mivel (a†s (p))2 = 12 {a†s (p), a†s (p)} = 0, ez´ert nem lehet k´et r´eszecske ugyanabban az ´allapotban (Pauli elv)
• Mivel {a†s (p), a†r (q)} = 0, ez´ert k´et r´eszecske felcser´el´es´evel az ´allapot el˝ojelet v´alt P o igaz az impulzu• A fenti ´allapot energia-saj´ at´allapot, energi´aja az egyr´eszecske energi´ak ¨osszege (Ep + Ep′ ); hasonl´ sokra is. Mindezek miatt a fenti ´ allapot f¨ uggetlen szabad fermionok rendszer´et ´ırja le.
3.4.6
Id˝ of¨ ugg´ es a˙ s (t, p) = i[H, as (t, p)] = i
Z
mert
X d3 q E [a†r (t, q)ar (t, q), as (t, p)] = −iEp as (t, p), q (2π)3 r
(3.241)
[a†r (t, q)ar (t, q), as (t, p)] = a†r (t, q)ar (t, q)as (t, p) + a†r (t, q)as (t, p)ar (t, q) − a†r (t, q)as (t, p)ar (t, q) − as (t, p)a†r (t, q)ar (t, q) = = −(2π)3 δ(p − q)δrs ar (t, q). (3.242) Mivel b-re ugyanez ad´odik, kapjuk: as (t, p) = e
−iEp t
as (p),
as (t, p) = e
−iEp t
as (p)
⇒
Ψ(t, x) =
Z
X 1 d3 p p as (p)us (p)e−ipx + b†s (p)vs (p)eipx . 3 (2π) 2Ep s=1,2 (3.243)
3.4.7
Korrel´ atorok
Most is defini´alhatunk k¨ ul¨onb¨ oz˝o korrel´aci´ os f¨ uggv´enyeket: Z X X
d3 p d3 q 1 ¯ 0 = p i∆(x) = 0 Ψ(x)Ψ(0) e−ipx us (p)¯ ur (q) 0 as (p)a†r (q) 0 = 3 3 (2π) (2π) 4Ep Eq r,s r,s Z 3 Z 3 X d p 1 d p 1 −ipx us (p)¯ us (p)e = = (/ p + m)e−ipx = (2π)3 2Ep s (2π)3 2Ep Z d4 p 2π δ(p0 − Ep )(/ p + m)e−ipx . = (2π)4 2Ep
(3.244)
Fourier t´erben i∆(p) = (/ p + m) 2πΘ(p0 )δ(p2 − m2 ) ⇒ ∆(p) = (/ p + m)∆Φ (p), (3.245) ´ ahol ∆Φ a skal´ar t´er delta-korrel´atora. Altal´ aban: minden szabad, relativisztikus elm´elet delta-korrel´atora ar´anyos ∆Φ -vel, az ar´ anyoss´agi t´enyez˝o a Klein-Gordon oszt´o. Ugyanilyen sz´amol´ assal X Z d3 p d3 q X
1 ¯ ¯ 0 = p i∆(x) = 0 Ψ(0)Ψ(x) eipx v¯s (p)vr (q) 0 bs (p)b†r (q) 0 = 3 3 (2π) (2π) 4Ep Eq r,s r,s Z 3 Z 3 d p 1 d p 1 X ipx v (p)¯ v (p)e = (/p − m)eipx = = s s 3 (2π) 2Ep s (2π)3 2Ep Z d4 p 2π =− δ(p0 + Ep )(/ p + m)e−ipx . (3.246) (2π)4 2Ep A Feynman propag´ ator defin´ıci´oja most:
¯ 0 = Θ(t) 0 Ψ(x)Ψ(0) ¯ 0 − Θ(−t) 0 Ψ(0)Ψ(x) ¯ 0 . iGF (x) = 0 TΨ(x)Ψ(0)
(3.247)
Ez´ert a Feynman propag´ ator
ωγ0 − pγ + m ωγ0 − pγ + m dω 2π = δ(ω − Ep ) + δ(ω + Ep ) 2π 2Ep p0 − ω + iε −p0 + ω + iε Ep γ0 − pγ + m −Ep γ0 − pγ + m 1 = + = 2Ep p0 − Ep + iε −p0 − Ep + iε 1 2p0 Ep γ0 + 2Ep (−pγ + m) p/ + m = = 2 2Ep p20 − (Ep − iε)2 p − m2 + iε
GF (p) =
3.5
Z
(3.248)
Lorentz-vektor mez˝ ok
Miut´ an megtal´altuk a Lorentz-csoport ´ abr´ azol´as´ at, a spinekhez hasonl´ oan ¨osszetett ´abr´ azol´asokat is vizsg´alhatunk. A legegyszer˝ ubb eset az Aαβ = ΨL,α ΨR,β eset, ez egy 2 × 2 = 4 dimenzi´ os ´abr´ azol´as. Ennek transzform´ aci´ oja: A′ = (ΨL ΨR )′ = LΨL L† −1 ΨR = LΨL ΨR L∗−1 .
(3.249)
Mivel L† −1 unit´er ekvivalens L∗ -gal, ez´ert a fenti alak unit´er ekvivalens azzal, hogy A′ = LAL† .
(3.250)
Vagyis ez az ¨osszetett ´abr´ azol´as megfelel a Lorentz vektorok ´abr´ azol´as´anak. Lorentz vektormez˝ okb˝ ol ´es annak deriv´altjaib´ol t¨ obbf´ele invari´ans k´epezhet˝o, pl.: Aµ Aµ ,
∂µ Aµ ,
∂µ Aν ∂ µ Aν .
(3.251)
Ezek mindegyike szerepelhet a Lagrange-f¨ uggv´enyben. Kiemelked˝o szerepe van azonban a k¨ovetkez˝o kombin´aci´ onak: 1 L = − Fµν F µν , 4
ahol Fµν = ∂µ Aν − ∂ν Aµ ,
(3.252)
ez ´ırja le az elektrom´ agneses t´er Lagrange f¨ uggv´eny´et. Kifejtve 1 L = − (∂µ Aν ∂ µ Aν − ∂µ Aν ∂ ν Aµ ) . 2
(3.253)
K´epezhetj¨ uk az elektromos ´es m´agneses t´erer˝ oss´egeket F 0i = Ei ´es F ij = εijk Bk alapj´an. ´Igy a fenti alak L= A mozg´ asegyenletek:
1 E2 − B2 . 2
∂L ∂L − ∂µ = ∂µ F µν = 0 ∂Aν ∂∂µ Aν
⇒
(3.254)
div E = 0,
∂0 E − rot B = 0,
(3.255)
szabad (forr´asmentes) Maxwell egyenletek. A marad´ek k´et Maxwell egyenlet: ∂µ F˜ µν = 0,
ahol F˜ µν = εµν̺σ F̺σ ,
(3.256)
ahol εµν̺σ teljesen antiszimmetrikus. A fenti egyenlet val´oj´ aban azonoss´ag (Bianchi), ami ε antiszimmetri´ aja illetve a vegyes parci´ alis deriv´altak szimmetri´ aja miatt teljes¨ ul. A fenti Lagrange f¨ uggv´enynek van egy k¨ ul¨onleges szimmetri´aja: ha δAµ (x) = ∂µ α(x) helyf¨ ugg˝ o (m´ert´ek) transzfrom´ aci´ o, akkor a t´erer˝oss´egtenzor v´altoz´ asa δFµν = ∂µ δAν − ∂ν δAµ = 0. (3.257) Vagyis a terek mozg´as´at meghat´aroz´o Lagrange-f¨ uggv´eny m´ert´ekinvari´ans. Az energia-impulzus tenzor kifejez´ese Tµν = ∂ν A̺
∂L 1 − gµν L = ∂ν A̺ F̺µ + gµν F F. ∂(∂ µ A̺ ) 4
(3.258)
Ez nem szimmetrikus µ-ν-ben; azonban hozz´ aadhatjuk ∂ ̺ (Aν F̺µ )
∂ µ ∂ ̺ (Aν F̺µ ) = 0,
⇒
(3.259)
hiszen F antiszimmetrikus µ-ν-ben, m´ıg a vegyes deriv´alt szimmetrikus. Ez´ert a szimmertikus energia-impulzus tenzor alakja: ′ 1 T¯µν = g ̺̺ Fν̺′ F̺µ + gµν F F. 4
(3.260)
Speci´ alisan
1 (3.261) E2 + B2 . T¯00 = 2 Mivel a t´er spinje 1, ez´ert bozon, vagyis kommut´atorral kell kvant´ alni. Ilyet m´ar l´attunk kor´abban a skal´ar t´er eset´en. El˝ osz¨ or meg kell mondani a kanonikusan konjug´ alt momentumot: Πµ =
∂L = −∂0 Aµ + ∂µ A0 ∂∂ 0 Aµ
⇒
Π0 ≡ 0!
(3.262)
Ez annak a k¨ovetkezm´enye, hogy a Lagrange-f¨ uggv´eny m´ert´ekinvari´ans. Ez´ert nem r´ohatjuk ki a [A0 , Π0 ] = iδ kommut´aci´ os rel´aci´ ot! Hogy orvosoljuk a bajt, m´ert´eket kell r¨ogz´ıten¨ unk. Szok´asos v´alaszt´as ∂µ Aµ = 0
(3.263)
′ 1 1 1 1 L = − ∂µ Aν ∂ µ Aν = (−g νν )∂µ Aν ∂ µ Aν ′ = − ∂µ A0 ∂ µ A0 + ∂µ Ai ∂ µ Ai . 2 2 2 2
(3.264)
Lorentz m´ert´ek. Ezzel a Lagrange-f¨ uggv´eny alakja
L´ athat´oan az Ai terek teljesen olyanok, mint 3 f¨ uggetlen m = 0 t¨ omeg˝ u skal´art´er. Az A0 t´er el˝ojele azonban k¨ ul¨onb¨ ozik – ez az az ´ ar amit fizetn¨ unk kell a m´ert´ekr¨ogz´ıt´es´ert. Most m´ar defini´alhat´ok a kanonikusan konjug´ alt impulzusok Πµ = −∂0 Aµ
⇒
Π0 = −∂0 A0 ,
Πi = ∂0 Ai .
(3.265)
A kommut´aci´ os rel´aci´ ok teh´ at [Aµ (t, x), Πν (t, y)] = iδµν δ(x − y) a t¨ obbi nulla.
⇒
[Aµ (t, x), A˙ ν (t, y)] = −igµν δ(x − y),
(3.266)
A kor´abbiakhoz hasonl´ oan itt is bevezethetj¨ uk a kelt˝ o-elt¨ untet˝ o oper´atorokat, azonban nem kell teljesen az eredeti terek kioszt´ as´ at k¨ovetni. Szok´as bevezetni egy polariz´ aci´ os vektor-sereget: 3
d3 p 1 X ̺ † −ipx √ εµ (p)a̺p (t)eipx + ε∗̺ , µ (p)a̺,p (t)e 3 (2π) 2p ̺=0 Z 3 r X 3 ̺ d p p † −ipx ∂0 Aµ (x) = −i , εµ (p)a̺p (t)eipx − ε∗̺ µ (p)a̺,p (t)e 3 (2π) 2 ̺=0
Aµ (x) =
Z
ahol
3 X
′
ε∗̺µ (p)ε̺ν (p) = gµν ,
′
̺µ ε∗̺ (p) = g ̺̺ . µ (p)ε
(3.267)
(3.268)
̺=0
P´eld´ aul ε0 = (1, 0, 0, 0),
ˆ, ε3 = p
ε1,2 ⊥ p.
(3.269)
Ezzel az inverz rel´aci´ o ! Z p ∗µ iA˙ µ (t, x) 3 −ipx Aµ (t, x) + = a̺p (t) ε (p) d x e 2 ̺ p ! r Z ˙ µ (t, x) i A p µ = a†̺,p (t). ε (p) d3 x eipx Aµ (t, x) − 2 ̺ p
r
A kommut´aci´ os rel´aci´ o
[a̺p (t), a†̺′ ,q (t)] = −g̺̺′ (2π)3 δ(p − q),
a t¨ obbi kommut´al. A Hamilton oper´ator ebben a m´ert´ekben Z 3 Z ′ 1 d p 3 µ µ ˙ ˙ : H := − : p (−g ̺̺ )a†̺p a̺′ p . d x Aµ A + ∂Aµ ∂A := 2 (2π)3
(3.270)
(3.271)
(3.272)
A relativisztikusan norm´ alt r´eszecsk´ek |p̺i = mert : H : a†̺p |0i =
Z
p 2p a†̺p |0i
′ d3 q q (−g σσ )a†σq aσ′ q a†̺p |0i = (2π)3
⇒ Z
H |p̺i = p |p̺i ,
′ d3 q q (−g σσ )a†σq [aσ′ q , a†̺p ] |0i = p a†̺p |0i (2π)3
Probl´ema a negat´ıv kommut´atorral: a ̺ = 0 ´ allapotok norm´al´asa rossz el˝ojel˝ u: D E p h̺, p|̺′ , qi = 4pq 0|a̺p a†̺′ q |0 = −g̺̺′ 2p(2π)3 δ(p − q).
´Igy a megtal´al´asi val´osz´ın˝ us´eg negat´ıv
(3.273)
(3.274)
(3.275)
⇒ nem lehet fizikai ´allapot! Hasonl´ok´eppen tal´ alhatunk nulla norm´aj´ u ´allapotokat:
| |0, pi + |3, pi |2 = h0, p|0, pi + h3, p|3, pi = 0.
(3.276)
Itt a megtal´al´asi val´osz´ın˝ us´eg nulla, azaz ez sem lehet fizikai ´allapot. A m´ert´ekr¨ogz´ıt´es mell´ekhat´ asa teh´ at nem fizikai a´llapotok megjelen´ese. A fizikai Hilbert t´er a transzverz´ alis m´odusokat tartalmazza csup´ an. Ennek ellen´ere az ¨ osszes ´ allapottal sz´amolhatunk, mert m´ert´ekinvari´ans mennyis´eghez u ´ gyis minden m´odusb´ol ugyanakkora, csak a nulla m´odusb´ol ellent´etes el˝ojel˝ u j´arul´ekot kapunk ⇒ marad k´et m´odus j´arul´eka. Az oper´atorok id˝of¨ ugg´es´ehez Z 3 Z 3
′ d q d q ̺̺′ † q (−g ) 0|[a̺q a̺′ q , aµp ]|0 = i q (−g ̺̺ )g̺µ (2π)3 δ(p − q)a̺′ q = −ipaµp a˙ µp = i[H, aµp ] = i (2π)3 (2π)3 ⇒
aµp (t) = e−ipt aµp (0).
(3.277)
A t´er id˝of¨ ugg´ese Aµ (x) =
Z
3
d3 p 1 X ̺ † ipx √ . εµ (p)a̺p e−ipx + ε∗̺ µ (p)a̺,p e 3 (2π) 2p ̺=0
(3.278)
Kisz´amolhatjuk a propag´ atorokat, el˝ osz¨ or a ∆ propag´ atort: Z 3 3 D E X ′ d p d3 q 1 −ipx √ ∆µν (x) = h0|Aµ (x)Aν (0)|0i = 0|a̺p a†̺′ q |0 ε̺µ (p)ε∗̺ ν (q)e 3 3 (2π) (2π) 4pq ′ ̺̺ =0
=
Z
1 d3 p d3 q √ (2π)3 (2π)3 4pq
3 X
′
̺̺′ =0
−ipx ε̺µ (p)ε∗̺ (−g̺̺′ )(2π)3 δ(p − q) = −gµν ν (q)e
Z
d3 p 1 −ipx e , (2π)3 2p
(3.279)
Fourier t´erben ∆µν (p) = −gµν Θ(p0 ) 2π δ(p2 ).
(3.280)
Vagyis itt a Klein-Gordon oszt´o −gµν . Ezzel a t¨ obbi propag´ ator is kefejezhet˝o: ̺µν (x) = h0|[Aµ (x), Aν (0)]|0i
⇒
iGF,µν = h0|TAµ (x), Aν (0)|0i
⇒
̺µν (p) = −gµν sgn(p0 ) 2π δ(p2 ), −gµν GF,µν (p) = 2 . p + iε
(3.281)
A form-faktorok:
3.6
h0|Aµ (0)|p̺i =
Z
hp̺|Aµ (0)|0i =
Z
3 D E p d3 q 1 X ̺′ † ′ √ ε (q) 0|a 2p a |0 = −ε̺µ (p) ̺q µ ̺p (2π)3 2q ′ ̺ =0
3 E D p d3 q 1 X ∗̺′ † √ a |0 = −ε∗̺µ (p). ε (q) 0| 2p a ′ ̺p ̺ q µ (2π)3 2q ′ ̺ =0
(3.282)
K¨ olcs¨ onhat´ asok
Eddig szabad r´eszecsk´ek rendszer´et vizsg´altuk – hogyan lehet a k¨olcs¨onhat´asokat kezelni? A Hamilton oper´ator itt nem diagonaliz´ alhat´o egzaktul, ez´ert val´ oj´ aban m´eg az energia-´allapotokat (r´eszecsk´eket) sem ismerj¨ uk. Hogy a helyzetet kezelni tudjuk, v´egezz¨ uk el a k¨ovetkez˝o gondolatk´ıs´erletet: V t´erfogat´ u t´erbe ti -ben betesz¨ unk n db szabad r´eszecsk´et, majd bekapcsoljuk a k¨olcs¨onhat´asokat egy ideig, majd tf -n´el kikapcsolva azt megn´ezz¨ uk, milyen szabad ´allapotok kever´ek´eben van a rendszer. Fizikai k´erd´es: ´atmeneti amplit´ o: t = t0 -ban el˝oa´ll´ıtunk egy |ii ´allapotot, majd id˝ofejleszt´es ut´an megn´ezz¨ uk az
ud´ ´atfed´es´et t-ben egy |f i ´allapottal: f, t|e−iH(t−t0 ) |i, t0 ≡ hf, t|i, t0 i. Speci´ alis k´erd´es: t → ∞, t0 → −∞; ekkor a fenti ´atmeneti amplit´ ud´ ot Sf i = hf, t → ∞|i, t0 → −∞i
(3.283)
S-m´ atrixnak h´ıvjuk (m´ atrix az ´ allapotok ter´eben). Ortogon´alis v´eg´allapotok b´ azis´aban dolgozva, teljes f¨ uggv´enyrendszert besz´ urva a kezdeti id˝opontban X (3.284) hf |ii hi|f ′ i = hf |f ′ i = δf f ′ ⇒ S S † = 1, i
vagyis az S-m´ atrix unit´er. Szok´as lev´alasztani a nem k¨olcs¨ onhat´o r´eszt S = 1 + iT m´odon. Relativisztikus kvantum t´erelm´eletekn´el az energia ´es impulzus megmarad ⇒ T ∼ δ(Pf − Pi ), ahol Pf,i a kezdeti/v´eg´allapot teljes energia-impulzus n´egyesvektora. Ekkor szok´ asosan ´ırhatjuk Sf i = δf i + i(2π)4 δ(Pf − Pi )Mf i . (3.285)
A k¨ovetkez˝okben elhagyjuk a k¨olcs¨ onhat´asmentes ´ atmenet lehet˝os´eg´et. Ekkor az ´atmeneti val´osz´ın˝ us´eg Pf 6=i = | hf |iif 6=i |2 = [(2π)4 δ(Pf − Pi )]2 |Mf i |2 . Hogyan ´ertelmezz¨ uk δ 2 -et? (2π)4 δ(p) =
(3.286)
⇒ Fermi-f´ele aranyszab´ aly: Z
d4 x eipx
⇒
[(2π)4 δ(p)]2 = (2π)4 δ(p)
azaz a teljes t´erid˝o-tartom´ annyal ar´ anyos:
Z
d4 x eipx
p=0
= V (t − t0 ) (2π)4 δ(p),
Pf i = (2π)4 δ(Pf − Pi ) V ∆t |Mf i |2 .
(3.287)
(3.288)
∆t ´ertelmez´ese: id˝oegys´eg alatt bek¨ ovetkez˝o reakci´ okat tudunk sz´amolni: id˝oegys´eg alatti ´atmeneti val´osz´ın˝ us´eg: wf i =
|Sf i |2 ∆t
(3.289)
3.6.1
Sz´ or´ asi folyamat jellemz´ ese
Fizikai folyamat: sz´or´as. Egym´ ast´ ol f¨ uggetlen¨ ul (“v´egtelen t´ avols´agra”) el˝oa´ll´ıtunk n r´eszecsk´et, amelyeket egym´ asnak l¨ov¨ unk, u ¨tk¨ oznek, v´eg¨ ul a v´egtelenbe t´ avozva m r´eszecsk´et tal´ alunk. Pontos megfogalmaz´as: a k¨olcs¨onhat´as adiabatikus be´es kikapcsol´asa. Vegy¨ unk teh´at n db f¨ uggetlen r´eszecsk´et egy V t´erfogat´ u dobozban. Ennek hull´ amf¨ uggv´enye a t´erfogati norm´al´assal adhat´o meg. Egy r´eszecske hull´ amf¨ uggv´enyekre l´attuk 1 |piV = √ a†p |0i , V
|pi =
Sok r´eszecsk´ere
p 2Ep a†p |0i
⇒
|pi . |piV = p 2Ep V
(3.290)
|p1 , . . . , pn i |ii = Qn p 2Epi V i=1
(3.291)
Ezzel az ´atmeneti m´atrixelem n´egyzete egy p1 , . . . pn → q1 , . . . qm folyamat v´eg´en: |Mf i |2 = |hq1 , . . . qm |p1 , . . . pn iV |2 =
n Y
i=1
1 2Epi V
m Y
j=1
1 2Eqj V
|hq1 , . . . qm |p1 , . . . pn i|2 ≡
n Y
1
2Epi V i=1
m Y
1 |Mqp |2 . (3.292) V 2E q j j=1
A fizikai norm´al´assal sz´amolt |Mqp |2 relativisztikusan invari´ans. A v´eg´allapotokn´ al azonban nehezen figyelhet¨ unk meg egy adott impulzus-´ allapotba val´o ´atmenetet. Val´oj´ aban csak egy d3 qi impulzus-tartom´ anyba val´ o´ atmenetet megfigyelhet˝o. Mivel a v´eg´allapotok k¨ ul¨onb¨ oz˝oek, ´ıgy az ´atmeneti val´osz´ın˝ us´egek ad´odnak ¨ossze. Mivel az ´ atmeneti m´atrixelem az impulzusok infinitezim´ alis v´altoz´ as´an´al alig v´altoznak, |Mqp |2 ugyanaz marad, vagyis a teljes ´ atmeneti val´ osz´ın˝ us´eg egyszer˝ un a v´eg´allapotok sz´am´ aval szorz´ odik. 1D eset´en az energiszintek t´ avols´aga ∆q = 2π/L, ahol L a dobozm´eret. Ez´ert dq tartom´anyba es˝o ´allapotok sz´ama dq/∆q = Ldq/2π. 3D eset´en ez V d3 q/(2π)3 . Minden v´eg´allapotra v´egigszorozva ezzel a faktorral: |Mf i |2 =
n Y
m Y
d3 qj |Mqp |2 . 3 2E 2E (2π) p q i V j j=1 i=1 1
(3.293)
Annak a val´osz´ın˝ us´ege teh´ at, hogy kezd˝ o´ allapotk´ent p1 , p2 . . . , pn hat´arozott impulzus´ u r´eszecsk´evel indulva a v´eg´allapotban q1 k¨or¨ ul d3 q1 tartom´anyban, q2 k¨or¨ ul d3 q2 tartom´ anyban, . . . qm k¨or¨ ul d3 qm tartom´anyban egy-egy r´eszecsk´et tal´ aljunk id˝oegys´eg alatt: m Y 1 d3 qj 2 wf i = (2π)4 δ(Pf − Pi ) V 1−n Qn |Mqp | . (3.294) 3 2E (2π) 2E qj pi j=1 i=1 Boml´ as
Ha egy bemen˝o ´allapot van (n = 1) ´es t¨ obb kimen˝o ´allapot, akkor boml´as´ar´ol besz´el¨ unk. Az id˝oegys´egre vonatkoztatott ´atmeneti val´osz´ın˝ us´eg a boml´asi val´ osz´ın˝ us´eg dΓ = (2π)4 δ(Pf − p)
m d3 qj 1 Y 2 |Mqp | . 2Ep j=1 (2π)3 2Eqj
(3.295)
A teljes boml´asi val´osz´ın˝ us´eget u ´gy kapjuk, hogy fel¨ osszegz¨ unk az ¨osszes lehets´eges v´eg´allapotra: Γ=
1 2Ep
Z Y m
j=1
d3 qj (2π)4 δ(Σj pj − p) |Mqp |2 . (2π)3 2Eqj
(3.296)
Az ´elettartam a boml´asi ´ alland´ o inverze. Az integr´al alatt ´all´o kifejez´es relativisztikusan invari´ans. Ez´ert egy p impulzus´ u ´es egy ´all´o r´eszecske ´elettartam´anak ar´ anya τp Ep 1 τ0 = =√ ⇒ τp = √ , (3.297) 2 τ0 m 1−v 1 − v2 a relativit´aselm´elet j´oslata szerint.
2-r´ eszecske sz´ or´ as Ha (3.294) egyenletbe n = 2-t ´ırunk be, akkor 1/V faktor bennmarad ⇒ annak a val´osz´ın˝ us´ege, hogy a k´et r´eszecske eltal´ alja egym´ ast. Ez´ert azt a fel´ all´ast val´ os´ıtjuk meg, mikor az egyik r´eszecske ´all, a m´asik pedig adott ´arams˝ ur˝ us´eggel sz´ or´ odik rajta. Erre a bemen˝o r´eszecsk´ere teh´ at ´ aram-norm´al´ast kell alkalmaznunk. L´ attuk egy r´eszecsk´ere s s 1 † Ep j † V Ep j |pij = a |0i , |piV = √ ap |0i ⇒ |pij = |piV . (3.298) p p p V Vagyis az | |2 -ben ennek n´egyzet´evel kell szorozni, azaz az ´atmeneti val´osz´ın˝ us´eg kifejez´ese wf i ∼ j. Az ar´anyoss´agi t´enyez˝o a differenci´alis hat´askeresztmetszet: dσ = (2π)4 δ(Pf − Pi )
m Y d3 qj 1 |Mqp |2 . 4m1 |p2 | j=1 (2π)3 2Eqj
(3.299)
Ez azonban csak a “labor rendszerben” (ahol az 1. r´eszecske ´all) haszn´alhat´o ´ıgy, hiszen m1 ill. p2 defin´ıci´o szerint az ´all´o r´eszecske t¨ omege ill. a m´asik bees˝ o r´eszecske impulzusa. Azonban q q p1 →0 λ = 2 (p1 p2 )2 − m21 m22 (3.300) −→ 2 m21 (E22 − m22 ) = 2m1 |p2 |.
Ez a kifejez´es m´ar relativisztikusan invari´ans, vagyis ´ert´eke minden rendszerben ugyanaz, a labor rendszerben pedig ´epp a k´ıv´ ant formul´at adja. Ez´ert m d3 qj 1 Y 2 |Mqp | , (3.301) dσ = (2π)4 δ(Pf − Pi ) 2λ j=1 (2π)3 2Eqj ez a hat´ askeresztemtszet relativisztikusan invari´ans kifejez´ese. λ-ra m´asik kifejez´es: defini´aljuk s = (p1 + p2 )2 -et. Ez relativisztikusan invari´ans, ´es s = p21 + p22 + 2p1 p2 = m21 + m22 + 2p1 p2 Bevezetve λ(x, y, z) =
⇒
λ2 = (s − m21 − m22 )2 − 4m21 m22 .
p x2 + y 2 + z 2 − 2xy − 2xz − 2yz
⇒
λ = λ(s, m21 , m22 ).
(3.302) (3.303)
P´elda: t¨ omegk¨oz´epponti rendszerben 2 → 2 boml´as eset´en: bemen˝o r´eszecsk´ek legyenek p1 , p2 n´egyesimpulzus´ uak, energi´ ak E1 , E2 , t¨ omegeik m1 , m2 ; a kimen˝o r´eszecsk´ek q1 , q2 impulzus´ uak, energi´ak E1′ , E2′ , t¨ omegeik M1 , M2 . TK rendszerben p1 = −p2 , ´es E 2 ≡ (E1 + E2 )2 = (p1 + p2 )2 = s Z 3 d q1 d3 q2 1 1 σ = (2π)4 δ(E − E1′ − E2′ )δ(q1 + q2 ) ′ ′ |M |2 = 3 3 (2π) (2π) 4E1 E2 2λ(s, m21 , m22 ) Z Z 3 1 1 1 q2 d q1 ′ ′ 2 (2π)δ(E − E − E ) δ(E − E1′ − E2′ )|M(3.304) |2 . |M | = dΩ dq = 1 2 (2π)3 4E1′ E2′ 2λ(s, m21 , m22 ) 32π 2 λ(s, m21 , m22 ) E1′ E2′ ´ v´altoz´ Uj o x := E1′ + E2′ vagyis ami marad
⇒
dx q qE q = ′ + ′ = ′ ′, dq E1 E2 E1 E2
q 1 dσ = |M |2 . dΩ 32π 2 λ(s, m21 , m22 ) E
Az energiamegmarad´asb´ ol E= ´Igy ¨ osszesen
q q q 2 + M12 + q 2 + M22
⇒
q=
λ(s2 , M12 , M22 ) . 2E
1 λ(s, M12 , M22 ) dσ = |M |2 . dΩ 64π 2 s λ(s, m21 , m22 )
(3.305)
(3.306)
(3.307)
(3.308)
Az 1/s faktor k¨ovetkezm´enye: s = (p1 + p2 )2 = (E T K )2 , a t¨ omegk¨oz´epponti energia n´egyzete ⇒ a hat´askeresztmetszetek tipikusan 1/E 2 szerint cs¨ okkennek ⇒ nagyobb energi´an ugyanannyi esem´eny el´er´es´ehez t¨ obb u ¨ tk¨ oz´esre van sz¨ uks´eg!
3.6.2
Az ´ atmeneti m´ atrixelem sz´ am´ıt´ asa
Sz´or´ as folyam´ an |i, t0 i → |i, ti, ennek ´ atfed´es´et sz´ amoljuk valamilyen |f i ´allapottal: E D hf, t|i, ti = f e−iH(t−t0 ) i .
(3.309)
Vegy¨ unk a kezdeti ill. v´eg´allapotban (aszimptotikus) r´eszecsk´eket, azaz H0 saj´at´allapotait ⇒ prec´ızebben: k¨olcs¨onhat´asok adiabatikus ki- ill. bekapcsol´ asa. Ekkor ´ırhat´ o E E D E D D (3.310) f e−iH(t−t0 ) i = f e−iH0 (t−t0 ) eiH0 (t−t0 ) e−iH(t−t0 ) i = e−iEf (t−t0 ) f eiH0 (t−t0 ) e−iH(t−t0 ) i .
Bevezetve
U (t) = eiH0 t e−iHt
(3.311)
oper´ atort, ´ırhatjuk hf, t|i, ti = e−iEf (t−t0 ) hf |U (t − t0 )|ii ,
(3.312) 2
vagyis a szabad id˝ofejl˝ od´eshez tartoz´o f´ azisfaktor erej´eig (ami kiesik a fizikailag relev´ans |M | -b˝ol) sz´amolhatunk az U oper´ atorral is (k¨ olcs¨onhat´asi k´ep). Hogyan hat´arozhat´o meg U ? Tulajdons´ agai U † (t)U (t) = 1,
U (0) = 1, azaz unit´er. Id˝ o szerinti deriv´altja
U˙ (t) = iH0 eiH0 t e−iHt − eiH0 t (iH) e−iHt .
(3.313) (3.314)
H Hamilton id˝o-f¨ uggetlen; azonban hozz´ arendelhet¨ unk egy id˝of¨ ugg˝o oper´atort: ¯ H(t) = eiH0 t H e−iH0 t ,
(3.315)
vagyis a szabad id˝ofejleszt˝ o oper´ atorral ad´od´o id˝ofejl˝ od´es´et vessz¨ uk. Ezzel
A szorz´ o oper´ator
¯ U˙ = i(H0 − H(t)) U (t).
(3.316)
¯ H(t) − H0 = eiH0 t (H − H0 ) e−iH0 t = eiH0 t HI e−iH0 t ≡ HI0 (t).
(3.317)
Mivel H − H0 -ban a kvadratikusn´ al magasabb rend˝ u (anharmonikus) tagok szerpelnek, amelyeket kihagytunk a r´eszecske-k´ep kialak´ıt´ as´aban, ´ıgy ezek a r´eszecsk´ek k¨olcs¨ onhat´asait ´ırj´ ak le. Az U oper´atort teh´at a k¨olcs¨onhat´asok fejlesztik U˙ (t) = −iHI0 (t)U (t),
U (0) = 1.
(3.318)
Szukcessz´ıv approxim´ aci´ os megold´ as A fenti egyenletet szukcessz´ıv approxim´ aci´ oval oldjuk meg. Ehhez ´at´ırjuk integr´alegyenlett´e az egyenletet: U (t) = 1 +
Zt
dt′ (−iHI0 (t′ )) U (t′ ).
(3.319)
0
A szukcessz´ıv approxim´ aci´ o elj´ ar´ asa a k¨ovetkez˝o iter´ aci´ ot jelenti Un+1 = 1 +
Zt
dt′ (−iHI0 (t′ )) Un (t′ ).
(3.320)
0
Az els˝o n´eh´any tagot ki´ırva: U0 = 1, U1 = 1 + U2 = 1 + ... U=
Z
Z
∞ Z X
n=1
t 0 t 0
0
dt1 (−iHI0 (t1 )), dt1 (−iHI0 (t1 )) +
t
dt1
Z
0
1
dt2 . . .
Z
0
Z
tn−1
0
t
dt1
Z
0
t1
dt2 (−iHI0 (t1 )) (−iHI0 (t2 )),
dtn (−iHI0 (t1 )) (−iHI0 (t2 )) . . . (−iHI0 (tn )).
(3.321)
´ Az integr´al´asi hat´arok miatt t1 > t2 > . . . > tn , ´es az iHI0 opr´ atorok ugyanebben a sorrendben k¨ovetikm egym´ ast. Erdemes teh´ at bevezetni az id˝orendez´es fogalm´at TA(t)B(t′ ) = Θ(t − t′ )A(t)B(t′ ) + Θ(t′ − t)B(t′ )A(t).
(3.322)
A HI0 -k szorzata the´at ´ırhat´ ou ´gy, mint T (−iHI0 (t1 )) (−iHI0 (t2 )) . . . (−iHI0 (tn )).
(3.323)
Ebben az alakban azonban a fenti oper´ ator szimmetrikus az id˝oargumentumok minden permut´aci´ oj´ ara. Ez´ert ha egy v´altoz´ ocser´et v´egz¨ unk u ´gy, hogy t1 . . . tn → ennek permut´aci´ oja, akkor az integrandus v´altozatlan marad. n = 2-re ki´ırva Z t Z t Z t1 Z t Z t1 Z t2 1 dt2 T (−iHI0 (t1 )) (−iHI0 (t2 )) = dt1 dt2 + dt1 dt1 T (−iHI0 (t1 )) (−iHI0 (t2 )) = dt2 2 0 0 0 0 0 0 Z t 2 Z t Z t 1 1 = dt′ HI0 (t′ ) . (3.324) dt1 dt2 T(−iHI0 (t1 )) (−iHI0 (t2 )) = T −i 2 0 2 0 0 Az n-dik tagban n!-sal kell osztani, ´ıgy v´eg¨ ulis Z t n Rt ′ 0 ′ ∞ X 1 −i dt HI (t ) ′ 0 ′ 0 −i dt HI (t ) = T e U (t) = T n! 0 n=1
3.7
(3.325)
Perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ as
A fenti k´eplet v´arhat´o ´ert´ekeit sz´ amoljuk ki k¨ ul¨onb¨ oz˝o Fock-t´er ´allapotok k¨oz¨ott. Mivel az exponenci´ alis form´aban nem tudunk j´ol sz´ amolni, a kifejtett alakot haszn´aljuk. HI0 (x)-ben, a k¨olcs¨onhat´asi k´ep k¨ovetkezt´eben szabad tereket kell be´ırnunk, szabad id˝ofejl˝ od´essel. A k¨olcs¨onhat´asi Hamilton oper´ atorban kvadratikusn´ al magasabb rend˝ u tagok szerepelnek azonos helyen ´es id˝oben Z HI0 (t) = g d3 xΨ1 (x)Ψ2 (x)Ψ3 (x) . . . , (3.326)
ahol g-t nevezz¨ uk csatol´asi ´ alland´ onak, Ψi -k ´ altal´ anos mez˝ok. U v´arhat´o ´ert´ek´enek kifejez´es´eben emiatt a k¨ovetkez˝o alakkal tal´ alkozunk: (3.327) hp′1 , . . . , p′m |T Ψ1 (x1 ) . . . Ψn (xn )| p1 , . . . , pn i . p † A be- ill. kimen˝o ´allapotokn´ al a v´akuumb´ ol ´ all´ıtjuk el˝o az ´allapotot 2Ep ap -vel szorozva, vagyis amit ki kell sz´am´ıtani: Y p
2Ek 0 ap′1 . . . ap′m T Ψ1 (x1 ) . . . Ψn (xn )a†p1 . . . a†pn 0 .
(3.328)
k=pi , p′i
− + Ψi mindig tartalmaz egy kelt˝ o ´es egy elt¨ untet˝ o r´eszt, azaz ´ırhatjuk, hogy Ψi = Ψ+ o, Ψ− untet˝ o i + Ψi , ahol Ψi a kelt˝ i az elt¨ − † oper´ atort tartalmazza. Elkezdem Ψi -t jobbra tolni, ´ atkommut´alva/antikommut´alva a t¨ obbi mez˝on ´es a -eken: − − + Ψ− i Ψj = ±Ψj Ψi + [Ψi , Ψj ]± .
(3.329)
A kommut´ator/antikommut´ator egy sz´ am, kiemelhet˝o a v´arhat´o ´ert´ek el´e. K¨ovetkezm´eny: Ψ− arba ´all, ´es i vagy valakivel p´ (anti) kommut´atork´ent jelenik meg, vagy el´eri a jobb oldali v´akuumot. Ekkor azonban ezt elt¨ unteti, azaz ez nulla j´erul´ekot ad. Teh´at v´eges j´arul´ek csak onnan j¨ on, ha a Ψ− asik mez˝ovel (anti)kommut´atort k´epez. i valamelyik m´ (x) ´es Ψ+ ator´ab´ol j¨on – azaz bozonikus tereink El˝ osz¨ or vizsg´aljuk azt az esetet, mikor ez a j´ arul´ek a Ψ− i j (y) kommut´ vannak, hogy ezt hangs´ ulyozzuk, ´ırjunk Ψ → Φ. Ha x0 > y0 akkor a sorrend Φ− (x)Φ+ (y) = Φ+ (y)Φ− (x) + [Φ− (x), Φ+ (y)].
(3.330)
Mivel a kommut´ator ar´anyos 1-gyel, ´ıgy v´akuumv´arhat´o ´ert´eke ¨onmaga. M´ asr´eszt h0|Φ+ (y)Φ− (x)|0i = 0, hiszen Φ− elt¨ unteti a v´akuumot. Ez´ert
[Φ− (x), Φ+ (y)] = 0|Φ− (x)Φ+ (y)|0 = 0|(Φ− (x) + Φ+ (x))(Φ− (y) + Φ+ (y))|0 = h0|Φ(x)Φ(y)|0i = i∆(x − y). (3.331)
Ha x0 > y0 , akkor az id˝orendezett szorzat miatt ford´ıtva szerepelnek az eredeti szorzatban a Φ(x) ´es Φ(y) oper´atorok, azaz az eredm´eny x ↔ y helyettes´ıt´essel j¨ on. A k´et eset ¨ osszefoglalva Θ(x0 − y0 )i∆(x − y) + Θ(y0 − x0 )i∆(y − x) = iGF (x − y), ez a Feynman propag´ ator.
(3.332)
M´ asik lehet˝os´eg, hogy Φ− (x) az egyik a†p -vel val´ o kommut´atora adja a j´arul´ekot: p p p p Φ− (x) 2Ep a†p = 2Ep a†p Φ− (x) + [Φ− (x), 2Ep a†p ] ⇒ [Φ− (x), 2Ep a†p ] = h0|Φ(x)|pi .
(3.333)
Ekkor teh´at a form faktor j¨ on be, a hat´ arozott impulzus´ u r´eszecske hull´ amf¨ uggv´enye. Harmadik eset, ha a kimen˝o hull´ amf¨ uggv´enyhez alkoznak Φ+ -szal, akkor a kommut´atoruk az el˝oz˝o tartoz´o elt¨ untet˝ o oper´atorokat, ap′ -ket tolom el bal fel´e. Amikor ezek tal´ eset komplex konkug´altja lesz: p (3.334) [ 2Ep ap , Φ+ (x)] = hp|Φ(x)|0i , a m´asik form faktor. Ha a j´arul´ekunk Ψ− es Ψ + ator´ab´ol j¨on (azaz fermionjaink vannak), akkor a fenti gondolatmenethez nagyon i ´ j antikommut´ hasonl´ oan kell elj´arnunk. Azonban figyelni kell az antikommut´al´asn´ al fell´ep˝o negat´ıv el˝ojelekre. Mivel HI0 -ben a fermionok mindig p´ arban jelennek meg, ez´ert itt a k¨ovetkez˝o megfontol´as ´erv´enyes:
¯ ¯ ¯ ¯ + Θ(−t) a|Ψ(0)Ψ(0) Ψ(x)Ψ(x)|b , Θ(t) a|Ψ(x)Ψ(x) Ψ(0)Ψ(0)|b
(3.335)
´es a m´asodik tagban egyszer ´ at kell emelni k´et teret egym´ ason. Mivel itt a terek antikommut´alnak, ez´ert ez behoz egy negat´ıv el˝ ojelet. Emiatt a fenti t < t0 esetben ∆-t negat´ıv el˝ ojellel kell figyelembe venni, azaz a Feynman propag´ ator:
¯ 0 − Θ(−x0 ) 0 Ψ(0)Ψ(x) ¯ 0 . iGF (x) = Θ(x0 ) 0 Ψ(x)Ψ(0) (3.336)
Mindk´et (fermionikus ´es bozonikus) esetben teh´ at p´ aros´ıt´asokat kell figyelembe venn¨ unk. Jel¨ol´es: ezeket a p´ aros´ıt´asokat jel¨ olj¨ uk o¨sszek¨ ot´essel: Ha az ¨ osszes Φ
±
h. . . Ψ(x) . . . Ψ(y) . . .i .
(3.337)
teret elvissz¨ uk a jobb ill. bal oldali v´akuumhoz, akkor minden j´arul´ek ilyen p´ aros´ıt´asokb´ ol kell j¨ojj¨ on. Ez a
T´ etel: Wick t´ etel: hp′1 , . . . , p′m |T Ψ1 (x1 ) . . . Ψn (xn )| p1 , . . . , pn i = =
X
pairs
hp′1 , . . . , p′m |T Ψ1 (x1 ) . . . Ψn (xn )| p1 , . . . , pn i =
X
Y
pairs internal
iGF (xi − xj )
Y
′
u(p)e−ipx v(p′ )eip y ,
(3.338)
external
ahol u illetve v a megfelel˝o hull´ amf¨ uggv´enyeket jel¨olik.
3.7.1
Sz´ or´ asi hat´ askeresztmetszet a skal´ ar modellben
Most m´ar ki tudunk sz´amolni egy 2–2 sz´ or´ asi hat´ askeresztmetszetet a Φ4 modellben. (3.308) szerint egyenl˝ o t¨ omegek eset´en dσ |M |2 = , dΩ 64π 2 s
(3.339)
´es R −i ∞ dt′ HI0 (t′ ) −∞ (2π) δ(q1 + q2 − p1 − p2 )M = q1 , q1 Te p1 , p2 , 4
ahol
HI0 (t)
=
Z
d3 x
λ 4 Φ (t, x). 24 0
(3.340)
Els˝o nemtrivi´alis rendben
Z
−iλ (3.341) d4 x q1 , q1 Φ40 (x) p1 , p2 . 24 Ha p, q-k k¨ ul¨onb¨ oz˝o impulzusok, akkor az egyetlen lehets´eges j´arul´ek, ha a n´egy Φ0 -t a k¨ uls˝ o impulzusokhoz k¨otj¨ uk. Ezt ¨osszesen 4! = 24 f´elek´epp tehetj¨ uk meg, ´es mivel mindegyikben a hely x, ugyanazt a j´arul´ekot adj´ak: e±ipx . Teh´at a j´arul´ek Z −iλ d4 x ei(q1 +q2 −p1 −p2 )x = −iλ (2π)4 δ(q1 + q2 − p1 − p2 ) ⇒ M = −iλ. (3.342) M=
A sz´ or´ asi hat´askeresztmetszet teh´ at, t¨ omegk¨oz´epponti energi´aval kifejezve (s = E 2 ) λ2 dσ . = dΩ 64π 2 E 2
(3.343)
Az eredm´eny sz¨ogf¨ uggetlen, vagyis megfelel egy merev g¨ omb¨ on val´o sz´or´asnak. A sz´or´o g¨ omb sugara azonban f¨ ugg a sz´or´asi energi´at´ol! L´ athat´o az is, hogy a λ param´eter szoros kapcsolatban van a sz´or´asi tulajdons´ agokkal. A teljes hat´askeresztmetszet σtot =
λ2 . 16π E 2
(3.344)
3.7.2 Az e−i
Feynman diagramok R
HI
kifejt´es´en´el valahanyadik rendben ad´od´o kifejez´es n Z
1 −iλ d4 x1 . . . d4 xa p′ . . . Φ4 (x1 ) . . . Φ4 (xa ) p . . . n! 24 n Z Z 1 −iλ d4 q −iq(xu −xv ) ipxj 4 4 ip′ xi = e iGF (q) . . . ... ...e d x1 . . . d xa e n! 24 (2π)4
(3.345)
Minden integr´al pont 4 exponenci´ alishoz tartozik, mert 4-szer fodul el˝o egy adott Φ(x). Ez´ert amikor kiintegr´alom az xi -t, akkor Z d4 xi eixi (p1 +p2 +p3 +p4 ) = (2π)4 δ(p1 + p2 + p3 + p4 ). (3.346)
A kiintegr´al´as ut´an megmaradnak a Dirac-delt´ak, a Feynman propag´ atorok ´es az integr´al´asok a Feynman propag´ atorok impulzusaira. Ezeket a k¨ovetkez˝o szab´alyokkal foglalhatjuk ¨ossze: s
′ p✲
p✲
s
q✲ p❅ 1 ✠p3 ❘ ❅✉ p p2 ✒ ❅ ■4 ❅
befoly´ o impulzus
1 (form faktor)
kimen˝o impulzus
1 (form faktor)
bels˝o propag´ ator
iGF (q)
vertex
−iλ (2π)4 δ(p1 + p2 + p3 + p4 ) 24
Ezekb˝ ol az elemekb˝ol az ¨ osszes lehets´eges kombin´ aci´ ot ¨ossze kell ´all´ıtani (Feynman diagramok), ´es a fenti szab´alyok szerint ki kell ´ert´ekelni a diagramot. A legegyszer˝ ubb p´elda a 2-r´eszecske sz´ or´ asra s′ s p❅ ✠−p1 = −iλ (2π)4 δ(p′ + p′ − p1 − p2 ), ❘ 1 2 1 ❅✉ p′2 −p2 ❅ ■s s✒ ❅
(3.347)
a 24-es faktor a p´ aros´ıt´asok sz´ am´ aval kiesik.
3.8
Az elektrom´ agneses k¨ olcs¨ onhat´ as
A r´eszcsk´ek k¨oz¨ott n´egy alapvet˝o k¨olcs¨ onhat´as lehets´eges: az er˝os, az elektrom´ agneses ´es a gyenge k¨olcs¨ohat´ as, valamint a gravit´aci´ o. Ez a sorrend a k¨olcs¨ onhat´asok er˝ oss´eg´enek sorrendje is. Mi´ert l´atjuk a gyeng´ebb k¨olcs¨ onhat´asokat? Ha pl. az e− ´es e+ k¨oz¨ott k´etf´ele er˝o hatna, az elektrom´ agneses, ´es egy milli´ oszor kisebb er˝oss´eg˝ u m´asik k¨olcs¨ onhat´as, akkor ezt a m´asik er˝ot a mai k´ıs´erletek alapj´an nem l´atn´ank. Az egyetlen lehet˝ os´eg egy gyeng´ebb er˝ o sz´ am´ ara, hogy kevesebb szimmetri´ aja van, mint az er˝osebbnek. Ez val´oban ´ıgy van az alapvet˝o er˝ okn´el. Az er˝os k¨olcs¨onhat´as csak a kvarkokra (hadronokra) hat, az elektrom´ agneses k¨olcs¨onhat´as hat a leptonokra is; a gyenge kh. felel˝os az ´ız megv´ altoztat´ as´ a´ert.; v´eg¨ ul a gravit´aci´ o mindenkire hat, ´es nem lehet le´arny´ekolni, ez´ert l´athat´o nagy m´eretekben.
3.8.1
Az elektrom´ agneses k¨ olcs¨ onhat´ as Lagrange f¨ uggv´ enye
Az elektrom´ agness´eg elm´elet´et le´ır´ o Maxwell-egyenletek Lagrange-form´aban is megfogalmazhat´oak. Ez m´ar elvileg szerepelt az Elektrodinamika keretein bel¨ ul; most ism´etelj¨ uk ´ at gyorsan. Kezdj¨ uk az anyag ´es Relektrom´ agneses sug´ arz´ as k¨olcs¨onhat´as´anak hat´asf¨ uggv´eny´evel. Klasszikus ´ervel´es: ´all´o r´eszecsk´ere a potenci´ alis energia V = d3 x̺(x)ϕ(x), Rahol ̺ a t¨ olt´ess˝ ur˝ us´eg, ϕ az elektromos potenci´ al. Mozg´ o r´eszecsk´ere a relativisztikus invariancia alapj´an ´ırhatjuk, hogy V = d3 xjµ (x)Aµ (x), ez ´ırhat´ o a Lagrange f¨ uggv´enybe. Ha kvantum szinten kezelj¨ uk a fermionokat, akkor Ψ hull´ amf¨ uggv´ennyel le´ırt r´eszecske t¨ olt´eseloszl´asa ̺(x) = eΨ∗ Ψ; a ¯ µ Ψ m´odon alak´ıthat´o. Ilyen m´odon egy fermionra az elemi k¨olcs¨onhat´ast Dirac-egyenlet szerint ez n´egyesvektorr´ a jµ = eΨγ le´ır´ o Lagrange-f¨ uggv´enys˝ ur˝ us´eg r´eszlet ¯ µ Aµ Ψ. LI = −e Ψγ (3.348) A Dirac-f´ele szabad Lagrange s˝ ur˝ us´eggel eyg¨ utt ¯ µ ∂ µ − m)Ψ − eΨγ ¯ µ Aµ Ψ = Ψ(γ ¯ µ (i∂ µ − eAµ ) − m)Ψ. Ψ(iγ
(3.349)
Milyen ´altal´ anos elvek ´ allnak a h´ att´erben? Vegy¨ uk ´eszre, hogy a vektorpotenci´ al egy megmarad´o ´aramhoz csatol´odik. Val´ oban, a szabad Dirac-Lagrange f¨ uggv´enynek van egy f´azis-szimmetri´aja: Ψ′ = e−ieα Ψ, erre val´oban invari´ans a Ψ∗ Ψ kombin´ aci´ o. A szimmetri´ ahoz tartoz´o megmarad´ o´ aram meg´allap´ıt´as´ahoz, mint l´attuk, lok´alis infinitezim´ alis transzform´ aci´ ot kell venn¨ unk. Az infinitezim´ alis transzform´ aci´ o δΨ = −ieαΨ,
¯ = ieαΨ, ¯ δΨ
(3.350)
´es vegy¨ unk α(x)-et. Erre a Dirac-Lagrange f¨ uggv´eny transzform´ aci´ oja ¯ µ ∂µ − m)Ψ + Ψ(iγ ¯ µ ∂µ − m)δΨ = ieαΨ(iγ ¯ µ ∂µ − m)Ψ − Ψ(iγ ¯ µ ∂µ − m)ieαΨ = e∂µ αΨγ ¯ µΨ δL = δ Ψ(iγ
⇒
¯ µ Ψ, j µ = eΨγ (3.351)
val´ oban az elektromos ´aram. Mivel azonban a megmarad´ o´ aramhoz csatol´odunk, lehet˝os´eg¨ unk van arra, hogy ak´ ar helyf¨ ugg˝o transzform´ aci´ ora is biztos´ıtsuk az invarianci´ at. Val´ oban, a vektorpotenci´ allal ¯ µ (i∂ µ − eAµ ) − m)Ψ = e∂ µ αΨγ ¯ µ Ψ − eδAµ Ψγ ¯ µ Ψ = 0 ⇒ δAµ = ∂ µ α. δL = δ Ψ(γ (3.352)
Ha teh´ at a fermion hull´ amf¨ uggv´enyek lok´alis transzform´ aci´oj´ aval egyidej˝ uleg a n´egyespotenci´ alt a lok´alis transzform´aci´ o param´eter´enek deriv´altj´ aval v´altoztatjuk, akkor a Lagrange f¨ uggv´eny a lok´ alis transzform´ aci´ okra is invari´ans marad. Elektrodinamik´aban ezt a transzform´ aci´ ot m´ert´ektranszform´aci´ onak h´ıvtuk, azt a jelens´eget, hogy a fizikai mennyis´egek m´ert´ektranszform´aci´ okor nem v´altoznak, m´ert´ekinvarianci´ anak nevezt¨ uk. A fentiek miatt a m´ert´ekinvariancia seg´ıts´eg´evel a Lagrange-f¨ uggv´eny glob´alis f´ azis-invarianci´ aj´ at lok´alis invarianci´ av´ a lehetett tenni. A glob´alis invariancia a t¨ olt´esmegmarad´assal egyen´ert´ek˝ u ⇒ a k¨olcs¨ onhat´asok a t¨ olt´es-megmarad´asb´ ol k¨ovetkeznek. Ez a m´ert´ek-elv. Kor´ abban m´ar n´ezt¨ uk a Lorentz-vektor mez˝ok Lagrange f¨ uggv´eny´et (ε = µ = 1 m´ert´ekegys´egeket haszn´alva): 1 L = − Fµν F µν , 4
(3.353)
ahol F µν = ∂µ Aν −∂ν Aµ a t´erer˝ oss´egtenzor. Ez szabad foton-g´ azt ´ır le. L´ attuk, hogy ez a Lagrenge f¨ ugv´eny is m´ert´ekinvari´ans ⇒ a teljes Lagrange f¨ uggv´eny m´ert´ekinvari´ans! L´ athat´o m´odon a m´ert´ekinvariancia k¨ozvetlen k¨ovetkezm´enye, hogy a deriv´al´as oper´atora megv´ altozik ¯ / − m)Ψ → Ψ(i∂ ¯ / − e/ Ψ(i∂ A − m)Ψ,
(3.354)
azaz a k¨oz¨ons´eges deriv´altat kicser´elt¨ uk i∂µ → i∂µ −eAµ ≡ iDµ . Ezt nevezz¨ uk kovari´ans deriv´altnak. Lok´alis f´azistranszform´ aci´ o eset´en i∂µ Ψ nem homog´en m´odon transzform´ al´ odik, azonban a kovari´ans deriv´alt m´ar igen: (iDµ Ψ)′ = e−ieα iDµ Ψ.
(3.355)
A t´erer˝ oss´egtenzor is kifejezhet˝o a kovari´ans deriv´alttal: ieFµν = [Dµ , Dν ] = (∂µ + ieAµ )(∂ν + ieAν ) − {µ ↔ ν}.
(3.356)
Mindezek alapj´an a glob´alis transzform´ aci´ o u ´gy tehet˝o lok´aliss´a, hogy a deriv´altakat kicser´elj¨ uk kovari´ans deriv´altra, ´es hozz´ aadjuk a kovari´ans deriv´altak kommut´ator´ab´ol k´epzett t´erer˝oss´egtenzor kvadratikus alakj´ at. A m´ert´ek-elv, azaz a lok´aliss´a tett glob´alis transzform´ aci´ o gener´alta Lagrange f¨ uggv´eny nemcsak az elektrodinamik´aban m˝ uk¨ odik. A t´erid˝o glob´alis transzform´ aci´ oja a Lorentz-transzform´aci´ o. Ezt is lok´aliss´a lehet tenni: ehhez be kell vezetni egy “m´ert´ek-teret”, amellyel az inhomog´en m´odon transzform´al´od´o deriv´alt helyett homog´en m´odon transzform´ al´od´o kovari´ans deriv´altat k´epezhet¨ unk. Ezt a m´ert´ekteret Christoffel szimb´ olumnak nevezz¨ uk, ´es a geometri´aval hozzuk kapcsolatba. A lok´aliss´a tett speci´ alis relativit´aselm´elet pedig az ´ altal´ anos relativit´aselm´elet, melynek Maxwell-egyenletei az Einstein egyenletek.
3.8.2
Elektrom´ agneses folyamatok
Az elektrom´ agneses k¨olcs¨ onhat´asn´ al a fermionok mez˝okkel hatnak k¨olcs¨on, a k¨olcs¨onhat´as er˝oss´ege a t¨ olt´es. A k¨olcs¨onhat´as k¨ozvet´ıt˝ o r´eszcsk´eje a foton, nulla t¨ omeg˝ u. A QED Feynman szab´alyai foton propag´ ator foton form faktorok elektron propag´ ator elektron form faktorok vertex
−igµν p2 + iε bej¨ ov˝ o ε̺µ (p); kimen˝o ε∗̺µ (p) i iG(p) = p/ − m + iε bej¨ ov˝ o e− us (p), bej¨ ov˝ o e+ v¯s (p); kimen˝o e− u¯s (p), kimen˝o e+ vs (p) 4 −ieγµ (2π) δ(p + k − q)
iGµν (p) =
Figure 3.2: Elemi folyamat Milyenek a tipikus elektrom´ agneses folyamatok? Az ´abr´ azol´asukhoz a Feynman diagramokat haszn´aljuk, amelyet egy id˝osornak is felfoghatunk. Az elemi k¨olcs¨ onhat´as egy t¨ olt¨ ott r´eszecske elnyel´ese, egy foton ´es egy m´asik r´eszecske kibocs´at´asa. Diagram-nyelven: A bemen˝o r´eszecske ≡ kimen˝o antir´eszecske ekvivalencia alapj´an, valamint mert a foton ¨onmaga antir´eszecsk´eje, ez a diagram sokkal t¨ obb dolgot is le´ır: lehet a foton bemen˝o; lehet bemen˝o ´es kimen˝o antir´eszecske; lehet egy bemen˝o foton, kimen˝o r´eszecske ´es antir´eszecske, stb. A perturb´ aci´ osz´ am´ıt´ as alapj´an ebb˝ol az elemi k¨olcs¨onhat´asb´ ol kell fel´ep´ıteni a bonyolultabb eseteket; fontos, hogy a “bels˝o” vonalakon nem kell teljes´ıteni a p2 = m2 t¨ omegh´ej felt´etelt – a bels˝o r´eszecsk´ek virtu´alis r´eszecsk´ek, sz´amol´ asukkor az ´ atmeneti amplit´ ud´ ojukat le´ır´ o Feynmann propag´ atort kell haszn´alni. Az elektrodinamik´aban lehets´eges tipikus m´asodrend˝ u folyamatok:
e− e−
γ
e−
e−
e−
e−
γ
e+
e−
e−
γ
e− γ
e+
Figure 3.3: M´ asodrend˝ u folyamatok: Coulomb-sz´or´as, Compton-sz´or´as, p´ arkelt´es. A Coulomb sz´or´as ´es a p´ arkelt´es l´enyeg´eben hasonl´ o folyamatok, hiszen megkaphat´ok a bemen˝o r´eszecske ≡ kimen˝o antir´eszecske azonos´ıt´as felhaszn´al´ as´ aval ⇒ a m´atrixelem ugyanaz. Ezek vari´aci´ oja a f´ekez´esi sug´ arz´ as, mikor az atomok ter´eb˝ol kil´ep˝o foton okoz Compton sz´or´ast; vagy az atommag ter´eben t¨ ort´en˝o p´ arkelt´es, amely a Compton sz´ or´ as elforgatottja.
3.8.3
Anom´ alis m´ agneses momentum
K¨ uls˝ o t´erbe helyezett e− mozg´ as´ at vizsg´alva a mozg´ asegyenlet: (i∂/ − e/ A − m)Ψ = 0.
(3.357)
Ezt megszorozva i∂/ − e/ A + m oper´ atorral, ´es felhaszn´alva, hogy 1 (i∂µ − eAµ )(i∂ν − eAν ) [{γ µ , γ ν } + [γ µ , γ ν ]] = (i∂µ − eAµ )2 − iσ µν (i∂µ − eAµ )(i∂ν − eAν ), 2 (3.358) i i σk 0 = [γ µ , γ ν ] ⇒ σ ij = [γ i , γ j ] = εijk = εijk Σk , σ 0i = iγ 0 γ i (3.359) 0 σk 2 2
(i∂µ − eAµ )(i∂ν − eAν )γ µ γ ν = ahol σ µν
A megfelel˝o egy¨ utthat´ot is antiszimmetriz´alni kell
1 e (−i) [(i∂µ − eAµ )(i∂ν − eAν ) − (i∂ν − eAν )(i∂µ − eAµ )] = − Fµν . 2 2 Amit kapunk:
i h e (i∂µ − eAµ )2 − σ µν Fµν − m2 ψ = (i∂µ − eAµ )2 − m2 + ieγ 0 γ i Ei − eBk Σk ψ = 0. 2
(3.360)
(3.361)
A skal´ ar ´es vektorpotenci´ allal Aµ = (Φ, A). Homog´en m´agneses t´er eset´en Ai = 12 εijk Bj xk , ekkor ∂i Ai = 0, ´es Fourier t´erben (i∂i + eAi )2 → (pi + eAi )2 = p2 + 2eAi pi + e2 A2 = p2 + e2 A2 + eBi Li , vagyis ekkor Fourier t´erben, ´es felhaszn´alva, hogy az elektron spinje Si = 12 Σi : e2 p2 − m2 − (B × r)2 − eBi (Li + 2Si ) ψ = 0. 4
(3.362)
(3.363)
L´ athat´oan a spinhez k´etszer akkora m´agneses momentum tartozik, mint a p´ alya-impulzusmomentumhoz. Ez az ar´any a girom´agneses faktor (vagy Land´e-f´ele g-faktor), elektronra g = 2.
Ezt az eredm´enyt megkaphatjuk az elektron sz´ or´as seg´ıts´eg´evel is. Ehhez n´ezz¨ uk a hp′ ξ ′ |pξi m´atrixelemet, ahol ξ az elektron spin hull´ amf¨ uggv´eny´et jelenti. Ha egy potenci´ alon sz´or´odna az elektron, vagyis a Hamilton oper´ator k¨olcs¨onhat´o r´esze HI0 = Ψ† V Ψ lenne, akkor ez a m´atrixelem †
iM = −iu†p′ V (q)up → −2imξ ′ V (q)ξ
(3.364)
m´odon lenne kisz´ am´ıthat´ o, ahol a jobb oldali alak a p, p′ ≈ 0 nemrelativisztikus limeszben ´erv´enyes. ¯ µ Ψ, ahol most A k¨ uls˝ o t´er, ez legyen sztatikus. Az elektrodinamik´aban a k¨olcs¨ onhat´as Hamilton oper´atora HI0 = eAµ Ψγ Fourier t´erben a k¨olcs¨onhat´as: Z Z Z d4 q d4 p d4 p′ µ ¯ ¯ ′ )γ µ Ψ(p). −i dtHI0 (t) = −ie d4 xAµ (x)Ψ(x)γ Ψ(x) = −ie (2π)4 δ(p′ − q − p)Aµ (q)Ψ(p (3.365) (2π)4 (2π)4 (2π)4 Ezen fel¨ ul a klasszikus t´er k¨ozel homog´en is legyen, azaz ahol csak lehet q → 0 limeszt vesz¨ unk. A hp′ ξ ′ |pξi m´atrixelem els˝o rendben, Fourier t´erben
¯ µ Ψ|pξ (−ie)Aµ (q) p′ ξ ′ |Ψγ ⇒ iM = (−ie)Aµ (q)¯ u p′ γ µ u p .
(3.366)
K¨ uls˝ o elektromos t´er eset´en Aµ = (Φ, 0), azaz
iM = (−ieΦ(q))¯ up′ γ 0 up = (−ieΦ(q))u†p′ up .
(3.367)
Ez megfelel egy V (x) = eΦ(x) potenci´ alion t¨ ort´en˝o nemrelativisztikus sz´or´asnak, ahogyan v´arjuk is. K¨ uls˝ o m´agneses t´er eset´en Aµ = (0, A), ekkor iM = −ieAi (q)¯ u p ′ γi u p .
(3.368)
Felhaszn´alva az u alakj´ at p → 0 nemrelativisztikus hat´areset k¨ozel´eben, ahol E ≈ m p √ √ √ (1 + pσ/2m) ξ p¯ σξ 1 + pσ/m ξ . ≈ m = m p u= √ (1 − pσ/2m) ξ pσξ 1 − pσ/m ξ A γ0 γi szorzat
azaz †
i
u ¯ γ up p′
01 10
0 −σi σi 0
†
=
σi 0 0 −σi
(3.369)
,
(3.370)
(1 + pσ/2m) ξ = =m (1 − pσ/2m) ξ p′ σ pσ pσ p′ σ † † † = m ξ′ 1 + σi 1 + ξ − ξ′ 1 − σi 1 − ξ = ξ ′ [p′ σσi + σi pσ] ξ, 2m 2m 2m 2m (ξ ′ (1 + p′ σ/2m) ξ ′ (1 − p′ σ/2m))
σi 0 0 −σi
(3.371)
vagyis elt˝ unik p′ = p = 0 limeszben. Mivel σi σj = δij + iεijk σk , ez´ert †
†
†
†
u¯p′ γ i up = −(p′i + pi )ξ ′ ξ + iεijk (p′ − p)j ξ ′ σk ξ = −(p′i + pi )ξ ′ ξ + iεijk qj ξ ′ σk ξ. Vissza´ırva ezt a form´at
†
†
iM = −ieAi (q)(p′i + pi )ξ ′ ξ + ieAi (q) iεijk qj ξ ′ σk ξ.
′
(3.372) (3.373)
Az els˝o tagban p = p-t be´ırva kapjuk ´ alland´ o m´agneses t´erben: †
†
†
−2ieAi pi ξ ′ ξ = −ieεijk Bj xk pi ξ ′ ξ = −ieξ ′ Bj Lj ξ.
(3.374)
Bk = εkji ∂j Ai ⇒ −iεijk qj Ai .
(3.375)
A m´asodik tagban Ezzel a m´asodik tagban ´ırhatjuk †
†
†
ieAi (q) iεijk qj ξ ′ σk ξ = −ieξ ′ Bk σk ξ = −2ieξ ′ Bk Sk ξ,
(3.376)
ahol Sk = σk /2 az elektron spin oper´ atora. Ezzel †
iM = −2imξ ′ B potenci´ alon val´o sz´or´asnak felel meg.
L + 2S ξ 2m
⇒
V =
e B(L + gS), 2m
g=2
(3.377)
L´ athat´o teh´at, hogy ´ altal´ aban a hp′ ξ ′ |pξi sz´ or´ asban a k¨ uls˝ o t´erben line´aris tag vizsg´alata vezet el a m´agneses momentum ´ ´ert´ek´ehez. Altal´ aban QED-ben u ´gy ´ırhat´ o fel, hogy iσ µν qν µ ′ µ 2 2 iM = −ieAµ (q)¯ up′ Γ (p , p)up = −ieAµ (q)¯ up′ γ F1 (q ) + F2 (q ) up . (3.378) 2m ¯ µ ψ alak´ u. Vezet˝o rendben, ahogy A Γµ az effekt´ıv vertex, vagyis a bels˝o fotonok kik¨ usz¨ ob¨ol´ese ut´an a k¨olcs¨onhat´as −eAµ ψΓ l´attuk F1 = 1, F2 = 0. ´ Alland´ o elektromos t´erben q = 0-n´ al a m´asodik tag nem ad j´arul´ekot, ekkor ugyanaz a levezet´es mint el˝obb, vagyis megfelel egy V (x) = eF1 (0)Φ(x) (3.379) potenci´ alon val´o sz´or´asnak. Vagyis az elektron t¨ olt´ese eF1 (0), de m´asr´eszt a t¨ olt´es e ⇒ F1 (0) = 1. M´ agneses t´erben az els˝o tag ugyanazt adja, mint fent, csak F1 (0)-val szorozva. A m´asodik tagb´ ol p′ = p = 0 esetre ugyanazt kapjuk F2 (0)-val szorozva, hiszen σij = εijk Σk : +ie(2m)Ai ξ ′
† iεijk qj σk
†
ξ F2 (0) = ie F2 (0) Ai iεijk qj ξ ′ σk ξ
(3.380)
g = 2(F1 (0) + F2 (0)) = 2(1 + F2 (0)) ≡ 2(1 + ae ).
(3.381)
2m
¨ Osszesen teh´at a megfelel˝o potenci´ al V2 (x) = g
e Bs, 2m
Vagyis k¨olcs¨onhat´o elm´eletben a girom´agneses faktor nem 2, hanem att´ ol valamennyire elt´er. Az els˝orend˝ u vertex-korrekci´ o kisz´ am´ıthat´ o ´es v´eges ´ert´eket ad F2 -re, ´ert´eke F2 (0) =
α = 0.0011614 2π
(3.382)
(Schwinger, 1948). A girom´agneses faktor k´ıs´erletileg is m´erhet˝o, pl. a H-atom hiperfinom felhasad´as´anak m´er´es´evel. A m´er´es ´ert´eke ae = 0.0011597, nagyon j´ o egyez´esben a sz´am´ıt´asokkal.
3.8.4
Az elektron-m¨ uon sz´ or´ as
A m¨ uon vertexf¨ uggv´enye ugyanaz mint az elektron´e HI =
HIe
+
HIµ ,
HIe,µ
= −e
Z
¯ e,µ Aµ γ µ Ψe,µ . d3 x Ψ
(3.383)
Ki akarjuk sz´amolni a
+ µ ¯ (p4 , s4 )µ− (p3 , s3 )|e− (p1 , s1 )e+ (p2 , s2 )
m´atrixelemet. A diagram olyan mint az elektron p´ arkelt´esn´el. Ehhez m´asodrend˝ u tagokat kell figyelembe venni Z Z 1 ¯ µ (x)Aν (x)γ ν Ψµ (x)Ψ ¯ e (y)Aµ (y)γ µ Ψe (y). T (−i HI )2 → d4 xd4 y(ie)2 T Ψ 2
(3.384)
(3.385)
M´ atrixelemei:
+ − −igµν ¯ e Aµ γ µ Ψe |e− e+ = −e2 v¯s2 (p2 )γ ν us1 (p1 )¯ ¯ µ Aν γ ν Ψµ Ψ us3 (p3 )γ µ vs4 (p4 ) −e2 µ ¯ µ |T Ψ (2π)4 δ(p1 + p2 − p3 − p4 ). (p1 + p2 )2 (3.386) Teh´at 1 us3 (p3 )γ µ vs4 (p4 ) Mf i = e2 v¯s2 (p2 )γµ us1 (p1 )¯ . (3.387) (p1 + p2 )2 Nek¨ unk |Mf i |2 kell. Ehhez
(¯ v γµ u)∗ = (v † γ0 γµ u)∗ = u† 㵆 γ0 v = u ¯γµ v,
mert 㵆 γ0 = γ0 γµ . Ezzel |Mf i |2 =
e4 (¯ u1 γµ v2 v¯4 γ µ u3 )(¯ u3 γ ν v4 v¯2 γν u1 ). s2
Egyszer˝ ubb v´egeredm´enyhez • polariz´alatlan bemen˝o ´ allapot
⇒ ´ atlagol´ as
(3.388)
(3.389)
• minden v´eg´allapotot ¨ osszem´erem
⇒ ¨ osszegz´es
Azaz |M|2 = Mivel
X
1X1XX |Mf i |2 . 2 s 2 s s ,s 1
X
us (p)¯ us (p) = p/ + m,
s
ez´ert amit kapunk
3
2
s
(3.390)
4
vs (p)¯ vs (p) = p/ − m,
(3.391)
u ¯1 γµ v2 v¯2 γν u1 = Tr(/ p1 − me )γµ (/ p2 + me )γν v¯4 γ µ u3 u ¯3 γ ν v4 = Tr(/ p4 + mµ )γ µ (/ p3 − me )γ ν .
(3.392)
Mivel Tr{γ1 γ2 . . . γ2n+1 } = 0,
Tr γµ γν = 4gµν ,
Tr γµ γν γ̺ γσ = 4(gµν g̺σ − gµ̺ gνσ + gµσ gν̺ ),
(3.393)
ez´ert Tr(/ p1 − me )γµ (/ p2 + me )γν = 4[p1µ p2ν + p1ν p2µ − gµν (p1 p2 + m2e )],
(3.394)
ugyan´ıgy a m¨ uonokra is. A teljes j´ arul´ek |M|2 =
8e4 (p1 p3 )(p2 p4 ) + (p1 p4 )(p2 p3 ) + (p1 p2 )m2µ + (p3 p4 )m2e + 4m2e m2µ . s2
(3.395)
Tov´abbi egyszer˝ us´ıt´eshez vezet, hogy ha me ≈ 0-t vesz¨ unk. TK-i rendszerben sz´amolva p1 = (E, p),
p2 = (E, −p),
p3 = (E, k),
p4 = (E, −k),
(3.396)
valamint E ≈ p. Ezzel p1 p2 = E 2 + p2 ≈ 2E 2 ,
p1 p3 = p2 p4 = E 2 − pk ≈ E 2 − Ek cos θ
p1 p4 = p2 p3 = E 2 + pk ≈ E 2 + Ek cos θ.
(3.397)
´Igy, mivel s = 4E 2 : " 4 m2µ e 4 2 2 2 2 2 2 |M|2 = E (E − k cos θ) + E (E + k cos θ) + 2E mµ = e 1 + 2 + 4 2E E A sz´ or´ asi hat´askeresztmetszet 1 dσ = dΩ 64π 2 s
s
2
2
λ(s, m , m ) = s −
4sm2µ
2
!
2
2
2
= 16E (E − m )
⇒
s
#
cos θ .
λ(s, m2µ , m2µ ) |M|2 . λ(s, 0, 0)
Mivel 2
m2µ 1− 2 E
(3.398)
(3.399)
λ(s, m2µ , m2µ ) = λ(s, 0, 0)
r
1−
m2µ . E2
(3.400)
Vagyis dσ e4 = dΩ 64π 2 (4E 2 )
" m2µ m2µ 1− 2 1+ 2 + E E
r
A teljes hat´askeresztmetszethez a sz¨ ogintegr´alok Z dΩ1 = 4π,
Z
m2µ 1− 2 E
dΩ cos2 θ =
!
#
cos2 θ .
(3.401)
4 π, 3
(3.402)
!
(3.403)
ezzel, valamint α = e2 /4π-vel: σtot
πα2 = 3E 2
r
m2µ 1− 2 E
m2µ 1+ 2E 2
.
L´ athat´oan akkor van csak j´ arul´ek, ha az energia nagyobb mint a m¨ uon t¨ omege. A gy¨ ok¨ os indul´as jellemz˝ o minden t¨ omeges r´eszecsk´ere. A sz´amol´ as eredm´enye az el˝ ofaktor ´es az utols´ o tag. Nagy E-re megkapjuk a szok´ asos 1/E 2 viselked´est: σtot =
4πα 3s
ha s ≫ m2µ .
(3.404)
Az eg´esz sz´amol´ as ugyanez marad, ha m¨ uonok helyett kvarkok vannak a v´eg´allapotban. Kvarkok t¨ olt´ese eq = Qe, ahol Q = 2/3 az u, c, t kvarkokra ´es Q = −1/3 a d, s, b kvarkokra. Emiatt teh´at ! r 2 m2q m2q − + 2 πα σtot (e e → q¯q) = Q 1− 2 1+ . (3.405) 3E 2 E 2E 2 N´ezz¨ uk a k¨ovetkez˝o ar´anyt:
P Nc q σtot (e− e+ → q¯q) σtot (e− e+ → hadron) = , (3.406) R= σtot (e− e+ → µ− µ+ ) σtot (e− e+ → µ− µ+ ) mert a hadronokba val´o ´ atmenet b´ amilyen sz´ın˝ u kvarkon kereszt¨ ul t¨ ort´enhet. Ha olyan energi´akat vesz¨ unk, amelyek k´et kvark t¨ omege k¨oz´e esnek, akkor X X R(s) ≈ Nc Θ(s > 4m2q )Q2q . (3.407) q
Pl. s = 1 GeV eset´en az u, d, s kvarkok sz´ am´ıtanak, azaz R ≈ 2.
3.8.5
Elektron-m¨ uon sz´ or´ as
Ha a he− (p2 , s2 )µ− (p4 , s4 )|e− (p1 , s1 )µ− (p3 , s3 )i folyamatot vizsg´aljuk, akkor ami v´altozik (3.387)-hez k´epest, hogy csak u-k vannak, nem v-k 1 us3 (p3 )γ µ us4 (p4 ) Mf i = e2 u ¯s2 (p2 )γµ us1 (p1 )¯ . (3.408) (p1 − p2 )2 P P Mivel a spin-´ atlagolt, fel¨ osszegzettt v´eg´allapotos eredm´enyben u¯ u kell v¯ v helyett: X X us (p)¯ us (p) = p/ + m = −(−/ p − m) = − vs (−p)¯ vs (−p), (3.409) s
s
ez´ert csak az impulzusok el˝ ojel´eben lesz v´altoz´ as (3.395)-hez k´epest |M|2 = vagy, ha me ≈ 0:
8e4 (p1 p3 )(p2 p4 ) + (p1 p4 )(p2 p3 ) − (p1 p2 )m2µ − (p3 p4 )m2e + 4m2e m2µ , 2 s
(3.410)
8e4 (3.411) (p1 p3 )(p2 p4 ) + (p1 p4 )(p2 p3 ) − (p1 p2 )m2µ . 4 (p1 + p2 ) Amit l´atunk, hogy az M m´atrix elemei a k´et folyamatban ugyanazok, ha minden impulzust befel´e ir´ any´ıtunk, ´es ennek oka a m´ar l´atott X X us (p)¯ us (p) = − vs (−p)¯ vs (−p) (3.412) |M|2 =
s
s
o¨sszef¨ ugg´es (egy el˝ojel az M-ben elk´epzelhet˝ o, de nem sz´am´ıt). Vagyis egy bemen˝o r´eszecske megfelel egy ellent´etes impulzus´ u kimen˝o antir´szecsk´enek. Ez a TCP szimmetria k¨ovetkezm´enye, ´es az M-m´ atrixra vonatkoztatva ezt keresztez´esi (crossing) szimmetri´ anak mondj´ak. A kinematika azonban teljesen m´ass´a teszi a v´egered´enyt. A mostani esetben (kb. t¨ omegtelen e− esete) q p1 = (p, p), p3 = (E, −p), p2 = (p, p′ ), p4 = (E, −p′ ), E = p2 + m2µ . (3.413) Ezzel
p1 p2 = p2 (1 − cos θ),
(p1 + p2 )2 = 2p1 p2 = 2p2 (1 − cos θ),
vagyis |M|2 =
p2 (1
p1 p3 = p2 p4 = p(E + p),
p1 p4 = p2 p3 = p(E + p cos θ), (3.414)
2e4 (E + p)2 + (E + p cos θ)2 − (1 − cos θ)m2µ . 2 − cos θ)
(3.415)
A hat´ askeresztmetszet (s = (p1 + p3 )2 = (E + p)2 )
|M|2 α2 dσ = = (E + p)2 + (E + p cos θ)2 − (1 − cos θ)m2µ . 2 2 2 2 2 dΩ 64π (E + p) 2p (E + p) (1 − cos θ)
(3.416)
Ha E ≫ m2µ , azaz ultrarelativisztikus limeszben
Kis sz¨ og˝ u sz´or´asn´ al ∼ 1/θ4 divergencia
α2 dσ 4 + (1 + cos θ)2 . = 2 2 dΩ 8E (1 − cos θ)
⇒ a teljes hat´askeresztmetszet diverg´ al, mint a Coulomb sz´or´as eset´en.
(3.417)
3.9
Az er˝ os k¨ olcs¨ onhat´ as m´ ert´ ekelm´ elete
El˝ osz¨ or n´ezz¨ uk a kvarkok Lagrange f¨ uggv´eny´et. V´ alasszunk ki egy kvarkot, pl. a d kvarkot, jel¨olj¨ uk a hull´ amf¨ uggv´eny´et Ψ ≡ d-val. Ez fermion, ´es van egy sz´ın indexe. A h´ arom sz´ın-´ allapot egym´ assal teljesen egyenrang´ u, teh´at a szabad Lagrange-f¨ uggv´eny alakja 3 X d¯i (i∂/ − m)di . (3.418) Ld = i=1
Ennek a Lagrange-f¨ uggv´enynek (a f´ azis-transzform´ aci´ on k´ıv¨ ul) van egy SU(3) szimmetri´ aja: d′i = Uii′ di′ , ahol U egy 3 × 3 unit´er m´atrix. Val´oban 3 3 X X † d¯′i (i∂/ − m)d′i = d¯j Uji (i∂/ − m)Uik dk = Ld . (3.419) L′d = i=1
i,j,k=1
i
Mi a megmarad´o ´aram? Ehhez param´eterezz¨ uk U = e− 2 ωa λa m´odon, ahol a = 1 . . . 8, hiszen ez egy 8-param´eteres csoport. Tegy¨ uk ωa -t helyf¨ ugg˝ov´e; ekkor a Lagrange-f¨ uggv´eny transzform´ aci´ oja (elhagyva az i sz´ın-indexet) ¯ e 2i ωa (x)λa (i∂/ − m)e− 2i ωa (x)λa d(x) = Ld + ∂µ ωa (x) d(x) ¯ λa γ µ d(x). L′d = d(x) 2
(3.420)
Innen a megmarad´o ´aram
λa µ γ d(x). (3.421) 2 Ez ¨ osszesen 8 darab megmarad´ o´ aram, minden param´eterhez tartozik egy (mikor csak azt a param´etert v´altoztatom). Ha lok´aliss´a akarom tenni e szimmetri´ at, akkor mind a nyolc param´eterhez be kell vezetnem egy m´ert´ekteret ⇒ Aaµ , nyolc vektorpotenci´ alom lesz. A vektorpotenci´ alokat a deriv´altak mell´e rendelem, kovari´ans deriv´altat csin´alok bel˝ol¨ uk: ¯ jaµ = d(x)
iDµ = i∂µ − gAaµ ahol bevezett¨ uk Aµ = Aaµ
λa 2
λa 2
⇒
Ld = d¯(i∂/ − g/ A − m)d,
(3.422)
jel¨ ol´est. A vektorpotenci´ aloknak u ´gy kell transzform´ al´odniuk, hogy az u ´ j Ld invari´ans legyen:
¯ † (i∂/ − g/ L′d = dU A′ − m)U d = d¯(γ µ U † (i∂µ − gA′µ )U − m)d = d¯(i∂/ − g/ A − m)d.
(3.423)
Ez azt jelenti, hogy U † (i∂µ − gA′µ )U = −gAµ
⇒
gA′µ = i(∂µ U )U † + U gAU † = U (gAµ − i∂µ )U † = −iU Dµ U † .
(3.424)
Itt teh´ at az A terek nemcsak addit´ıve transzform´ al´ odnak, hanem maguk is “forognak” az SU(3) transzform´ aci´ o hat´as´ara. Infinitezim´alis transzform´ aci´ oval δAaµ =
1 ∂µ ω a + f abc ω b Acµ , g
ahol
[λb , λc ] = 2if bca λa .
(3.425)
Ilyen m´odon el tudtuk ´erni, hogy L lok´alisan invari´ans legyen, ehhez be kellett vezetni a kvarkok ´es nyolc darab vektorpotenci´ al k¨olcs¨onhat´as´at ⇒ 8 gluon. A gluonok dinamik´aj´ ahoz a t´erer˝ oss´eget sz´ amoljuk ki Fµν =
1 1 [Dµ , Dν ]1 = [∂µ + igAµ , ∂ν + igAν ]1 = ∂µ Aν − ∂ν Aµ + ig[Aµ , Aν ]. ig ig
(3.426)
Komponensekben ki´ırva a Fµν = ∂µ Aaν − ∂ν Aaµ − gf abc Abµ , Acν .
(3.427)
Mivel D′ = U DU † , ez´ert a t´erer˝ oss´eg transzform´ aci´ oja is F ′ = U F U † . Itt teh´at a t´erer˝oss´egek nem fizikai mennyis´egek ! Hogyan k´epezhet¨ unk invari´ans Lagrange-f¨ uggv´enyt? Nyilv´ an Tr Fµν F µν is invari´ans, ´ıgy a QCD Lagrange-f¨ uggv´enye, az ¨osszes kvark-´ızre fel¨osszegezve X 1 ¯ f (i/ (3.428) LQCD = Ψ D − mf ) Ψf − Tr Fµν F µν . 4 f
3.9.1
Az er˝ os k¨ olcs¨ onhat´ as jellegzetess´ egei
er˝ os a csatol´ asi ´ alland´ o: m´ıg az elektrodinamik´aban α ≈ 0.0074, a QCD-ben αs ≈ 0.21. Emiatt nincs ´eles hat´arvonal a k¨ot¨ott ´ allapotok m´erete ´es k¨ot´esi energi´aja k¨oz¨ott.
k¨ olcs¨ onhat´ o gluonok : m´ıg a fotonok, az elektrom´ agneses kvantumok a Lagrange-f¨ uggv´enyben kvadratikusan szerepeltek ⇒ szabadon terjedtek, a QCD-ben F -ben van A2 -es tag is az A-s mellett, ´ıgy L-ben A3 ´es A4 is el˝ofordul. Vagyis a gluonok k¨olcs¨ onhatnak, a k¨olcs¨onhat´asi er˝ oss´eg pedig ugyanaz mint a gluon-kvark k¨olcs¨onhat´as, azaz nagyon er˝os. Emiatt a gluon er˝ ovonalak vonzz´ ak egym´ ast ⇒ a kvark ´es antikvark k¨oz¨ott h´ uz´od´o er˝ovonalak nem kiterjednek, hanem egy sz´all´a (h´ ur) R ´allnak ¨ ossze. Az er˝ovonal s˝ ur˝ us´eg nem ´erz´ekeny a kvarkok t´ avols´ag´ara, ez´ert a h´ ur energi´aja (∼ A2 ) a h´ ur hossz´ aval ar´anyos.
kvark-antikvark potenci´ al : Monte Carlo szimul´aci´ oval m´erhet˝o, vagy k´ıs´erletekb˝ol k¨ovetkeztethet¨ unk r´a. Kis t´ avols´agokon Coulomb-szer˝ u nagy t´ avols´agokon line´arisan n˝ o: V (r) ≈ −
αs + σr. r
(3.429)
A line´aris potenci´ al k´ıs´erleti k¨ovetkezm´enye: Regge trajekt´oria m2 ∼ J. Erre klasszikus ´ervel´es: tekints¨ unk egy V (r) = σr potenci´ alban k¨ormozg´ast. A mozg´ as felt´etele ultrarelativisztikus esetben pc mv 2 ≈ =σ r r
⇒
pc = σr.
(3.430)
Az energia ´es az impulzusmomentum E = mc2 ≈ pc,
J = pr =
m2 c3 p2 c = . σ σ
(3.431)
Mivel a potenci´ al ∞-ig n˝ o, ez´ert a kvarkok nem lehetnek szabadok, csak a sz´ıntelen objektumok. A QCD t¨ olt´ ese : Mekkora a g, a QCD t¨ olt´ese, a k¨olcs¨onhat´as er˝oss´ege? Sz´amoljuk ki hqp|qp′ i gluon h´ att´eren val´o sz´ or´ as´ at (vagy k¨ovetkeztess¨ unk erre valamilyen bonyolultabb folyamatb´ ol) ⇒ g vertex. Els˝o rendben kapjuk, ha a kvarkok impulzuscser´eje q: g3 q2 2 Γ(q 2 , µ2 ) = g − ln 11 − + .... (3.432) N f 32π 2 3 µ2 ´ Benne marad egy sk´ ala! Altal´ anos jellegzetess´ege a kvantum t´erelm´eletek radiat´ıv korrekci´oinak: hogy v´eges eredm´enyt tudjunk defini´alni, r¨ogz´ıteni kell egy sk´ al´ at: ez ´epp´ ugy hozz´ atartozik a rendszerhez, mint a csatol´asi ´alland´ ok vagy t¨omegek. Egy adott sk´ ala v´alaszt´as´ an´al megm´erve Γ(q 2 , µ2 )-et, ´es innen kisz´ amolhatjuk g-t. Ha m´ar tudjuk g ´ert´ek´et, m´as folyamatokban bemen˝o param´eterk´ent haszn´alhatjuk. K¨ ul¨onb¨ oz˝o sk´ al´ak eset´en teh´ at m´as ´es m´as g-t kapunk. g teh´at f¨ ugg µ-t˝ol ⇒ fut´o csatol´asi ´alland´ o. A m´erhet˝o Γ azonban nem f¨ ugg a v´alasztott µ-t˝ ol – ebb˝ol kital´alhat´o a g(µ): b 2 dg g3 ∂Γ = − g3. 11 − =0 ⇒ = β(g) ahol β(g) = − N (3.433) f ∂ ln µ d ln µ 16π 2 3 4π Ennek megold´asa: g 2 (µ) =
g 2 (µ0 ) µ bg 2 (µ0 ) ln 1+ 2π µ0
vagy
αs (µ) =
αs (µ0 ) 1 + bαs (µ0 ) ln
µ2 µ20
,
(3.434)
ahol αs = g 2 /4π. Ezt az eredm´enyt t¨ obbf´elek´eppen ´ert´ekelhetj¨ uk: • ha µ2 = q 2 , akkor Γ = g, vagyis ´eppen a k¨olcs¨ onhat´as er˝oss´eg´et kapjuk q impulzus´atad´ asn´ al
⇒ R ∼ 1/q sk´ al´an.
(0)
• ¨ osszevonva (αs ≡ αs (µ0 )) (0)
αs
αs (q 2 ) = 1+
bα(0) s
2
q ln 2 µ0
1
= b ln
q
2
,
ahol Λ2QCD = µ20 e
−
1 (0) bαs
.
(3.435)
Λ2QCD
ΛQCD nem f¨ ugg a µ0 sk´ al´ at´ol, ahogy ezt a fut´as seg´ıts´eg´evel ellen˝ orizni lehet. Mivel αs > 0, ez´ert q 2 > Λ2QCD (felt´eve, hogy 11 − 2Nf /3 > 0). • emiatt αs (q 2 → ∞) → 0, azaz nagy energi´akon, kis t´ avols´agokon a csatol´asi ´alland´ o elt˝ unik szabads´ag.
⇒ aszimptotikus
• ha q 2 → Λ2QCD , akkor αs → ∞ ⇒ infrav¨or¨ os Landau p´ olus. Kis energi´akon, nagy t´ avols´agokon a QCD kvark-gluon rendszere nem az alap´allapot, helyette kvarkok k¨ot¨ott, sz´ınetelen ´allapotait l´atjuk ⇒ hadronok.
Kir´ alis szimmetria Vegy¨ unk k´et kvarkot q = (u, d). Hajtsuk v´egre az al´abbi transzform´ aci´ okat: a
q ′ = U q ≡ e−iα
Ta
q,
illetve
a
q ′ = Uq q ≡ e−iα5 γ5 Ta q,
ahol T0 =
1 , 2
Ta =
1 σa . 2
(3.436)
Az els˝o transzform´ aci´ o α0 komponense a f´ azistranszform´ aci´ o, az αi komponense pedig az izospin forgat´ as, a hozz´ ajuk tartoz´o megmarad´o mennyis´egek pedig a kvarksz´am illetve az izospin ´es annak harmadik komponense: δL = δ q¯(i∂/ − m)q + q¯(i∂/ − m)δq = iαa q¯T a (i∂/ − m)q − i¯ q (i∂/ − m)T a αa q = (∂µ αa )¯ q γ µT aq
⇒
Jµa = q¯γ µ T a q. (3.437)
A m´asodik t´ıpus´ u, γ5 -¨ot tartalmaz´ o transzform´ aci´ or´ o szimmetria? A Dirac-adjung´alt transzform´ aci´ oja a
a
q¯′ = (U5 q)† γ0 = q † eiα5 γ5 Ta γ0 = q¯e−iα5 γ5 Ta , mert {γµ , γ5 } = 0.
q¯′ (i∂/ − m)q ′ = q¯U5 (i∂/ − m)U5 q = q¯ (i∂/ )q − m¯ qU52 q.
(3.438) (3.439) α05
Vagyis csak akkor szimmetria, ha m = 0, azaz t¨ omegtelenek a kvarkok. Ebben az esetben az transzform´ aci´ o a f´azist ellent´etesen forgatja a bal ´es a jobbkezes kvarkokn´ al, az αi5 pedig a bal ´es jobbkezes kvarkokn´ al ellent´etesen forgat az izospin t´erben. Az ehhez tartoz´o ´ aramot ua5 helyf¨ ugg˝ ov´e t´etel´evel lehet megkapni: q T a γµ γ5 q. (3.440) q(i∂/ − m)αa5 T a γ5 q = −2imαa5 q¯γ5 T a q + (∂µ αa5 )¯ δL = δ q¯(i∂/ − m)q + q¯(i∂/ − m)δq = −iαa5 q¯T a γ5 (i∂/ − m)q − i¯ Vagyis, mivel δL = 0, parci´ alis integr´al´ as ut´an kapjuk: a J5µ = q¯T a γµ γ5 q,
a ∂ µ J5µ = −2im¯ qγ5 T a q.
(3.441)
Mivel az u, d kvarkok “majdnem” t¨ omegtelenek (a 4 ill. 8 MeV t¨ omeg¨ uk sokkal kisebb mint a legk¨ onnyebb hadron, a pion 140 MeV-es t¨ omege). M´egis: sem az L illetve R m´odusok megmarad´ as´ at, sem az izospinhez hasonl´ o multipleteket nem l´atunk! Mi´ert? Az α05 -hoz tartoz´o axi´al ´ aram anom´ alis! Ez azt jelenti, hogy b´ ar klasszikus szinten megmarad, a kvantumos korrekci´ok miatt m´egis s´er¨ ul. Hurok sz´ amol´ asban az axi´al ´es a szok´ asos vektor ´aram → 2γ m´atrixelem h´ aromsz¨ og diagramjai line´arisan divergensek, ´es nem lehet u ´gy regulariz´ alni az elm´eletet, hogy mindkett˝ o megmaradjon ⇒ az axi´al ´aram megmarad´as s´er¨ ul. M´ asik k´ep: az axi´al transzform´ aci´ o elv´egz´esekor a Dirac-oper´ator energiaszintjei eltol´ odnak, az L felfel´e, az R lefel´e ⇒ az u ´j v´akuumban L r´eszecske ´es R antir´eszecske lesz. A m´ert´ekt´er mozg´as´at is figyelemmel k´ıs´erve, megv´ altozik a m´ert´ekt´er topol´ogi´ aja, “csavarod´ asi sz´ am” jellemzi ⇒ a csavarod´ asi sz´am a megjelen˝o m´odusokkal ¨osszef¨ ugg (AtyahSinger indext´etel). M´ as sz´ oval az axi´al´ aram divergenci´aja a topol´ogikus t¨ olt´essel fejezhet˝ o ki: a ∂ µ J5µ =−
g 2 nf µν̺σ b c ε Fµν F̺σ Tr[T a T b T c ]. 16π 2
(3.442)
Az axi´al´ aram eset´en a = 0 ez´ert δbc /2-t kapunk. A jobb oldalon ´all´o mennyis´eg t´erintegr´alja fejezi ki a m´ert´ekt´er csavarod´ as´anak megv´ altoz´ as´at, ez m´ert´ekinvari´ans. A jobb oldal m´asr´eszt teljes divergencia, vagyis defini´alhat´o egy megmarad´o ´aram, azonban az nem m´ert´ekinvari´ans. A chir´ alis izospin ´aramok pedig spont´ an s´er¨ ulnek ! Ez azt jelenti, hogy b´ ar a Hamilton oper´ator invari´ans a transzform´aci´ ora, de a v´akuum´ allapot nem! Ennek jele, hogy olyan oper´ator, amely transzform´ al´odik az axi´al transzform´ aci´ o alatt, nem nulla v´akuum v´arhat´ o ´ert´eket kaphat. Most D E † † h0|¯ q q|0i = 0|qL qR + qR qL |0 . (3.443)
Ha a bal- ´es jobbkezes kvarkok m´ask´epp transzfrom´ al´odnak, akkor az oper´ator transzform´ al´odna. Ha a v´akuum invari´ans lenne, akkor D E h0|¯ qq|0i = 0|U5† q¯qU5 |0 . (3.444)
V´ alasztva α35 = π/2-t, a fenti kifejez´es jobb oldala − h0|¯ q q|0i lenne, azaz az eg´eszet lenull´ azn´a. Ha azonban U5 |0i 6= |0i, akkor a fenti egyenl˝ os´eg nem ´ırhat´ o fel. Vagyis a chir´ alis kondenz´atum nem nulla volta azt jelenti, hogy: h0|¯ qq|0i 6= 0
⇒
U5 |0i 6= |0i .
(3.445)
Hogyan k´epzelhet˝o el, hogy a v´akuum nem invari´ans? M´ agness´eg p´eld´ aja: b´ ar a spinek mindegyike forg´ asinvari´ans, az alap´allapot lehet rendezett. Ekkor egy adott alap´allapot elforgatottja egy m´asik, ugyanolyan energi´aj´ u ´allapot, az ¨osszes ´allapot ter´eben teh´at sok azonos energi´aj´ u alap´allapotot kapunk. Ez olyan, mint egy kalap. V´egtelen nagy rendszer eset´en azonban az ¨osszes spin egyszerre val´ o elforgat´ asa id˝ofejl˝ od´es sor´an egyre kisebb val´osz´ın˝ us´eggel k¨ovetkezik be ⇒ beragadunk az egyik v´akuumba, b´ armelyikbe, ez spont´ an v´alaszt´odik ki, de onnan m´ar nem tudunk tov´abbl´epni. Ugyanakkor az
a gerjeszt´es, amelyik az egyik v´akuumot a m´asikba viszi, ugyanolyan energi´aj´ u ´allapotokat k¨ot ¨ossze, azaz energiabefektet´es n´elk¨ ul gerjeszthet˝ o, nulla t¨ omeg˝ u ⇒ Goldstone bozon. M´ agneses rendszerben ez a spin-hull´ am. A chir´ alis szimmetria eset´en ezek a pionok. Ha teh´ at egy infinitezim´ alis axi´al transzform´ aci´ ot v´egz¨ unk a v´akuumon, akkor olyan, mintha pionokat keltett¨ unk volna: U5 |0i ∼ |π(p = 0)i. Mivel az infinitezim´ alis transzform´ aci´ o gener´atora a megmarad´o t¨ olt´es, ez´ert azt is ´ırhattuk volna, hogy Z a d3 x j50 (x) |0i ∼ |π a (p = 0)i . (3.446) Innen Lorentz-invariancia ´es az axi´al forgat´ asok seg´ıts´eg´evel ´ırhat´ o:
a 0|j5µ (x)|π b (p) = fπ pµ δ ab e−ipx ,
(3.447)
ahol fπ valamilyen ´alland´ o (pion boml´asi ´ alland´ o). A fenti egyenlet divergenci´aj´ at v´eve x = 0-n´ al, ´es kihaszn´ alva az axi´al´aram megmarad´asi t¨ orv´enyeit:
µ a 0|∂ j5µ (x)|π b (p) = −2im 0|¯ q γ5 T a q|π b (p) = −ifπ p2 δ ab
⇒
p2 = m2π =
mu + md 2 M , fπ
(3.448)
ahol M 2 = 2 0|¯ qγ5 T 3 q|π 3 (p) , valamilyen energiask´ ala. Innen l´atszik, hogy nulla kvarkt¨ omegek eset´en az axi´al ´aram megmarad, ´es a pion t¨ omege null´ av´ a v´alik, vagyis val´ oban Goldstone bozon lesz.
Appendix A
Appendix A.1
Klasszikus sz´ or´ as centr´ alis potenci´ alon
´ Altal´ aban centr´alis potenci´ alra a p´ alya egyenlete: hengerkoordin´at´ak, v 2 = vr2 + vϕ2 , u ´gy v´alasztom a p´ alya s´ıkj´ at, hogy vz = 0 legyen. Megmarad´ o mennyis´egek vϕ J J (A.1) , ϕ˙ = = J = mrvϕ ⇒ vϕ = mr r mr2 ´es r mv 2 mr˙ 2 J2 J2 2 E= + U (r) ⇒ vr = (A.2) + U (r) = + (E − U ) − 2 2 . 2 2 2 2mr m m r A p´ alya dϕ J/r2 ϕ˙ = p = . (A.3) dr vr 2m(E − U ) − J 2 /r2 Innen a sz´or´as sz¨oge (l. Fig. 2.4)
ϕ=
Z∞
rmin
ahol rmin -re a nevez˝o nulla. Mivel v´egtelen t´ avol E=
2 mv∞ , 2
J/r2 dr p , 2m(E − U ) − J 2 /r2 J = mv∞ b
Ezt be´ırva ϕ=
Z∞
rmin
A.2
b/r2
dr p =b 1 − b2 /r2 − U/E
⇒
√ J = b 2mE.
1/r Z min 0
dx p , 2 2 1 − b x − U (1/x)/E
(A.4)
(A.5)
(A.6)
Konstrukt´ıv elj´ ar´ as a Dirac-egyenlet megold´ asainak megkeres´ es´ ere
A Dirac-egyenlet: (pµ γ µ − m)ψ(p) = 0.
(A.7)
ˆ µL ˆ −1 − m)L ˆ ψ(p) = (pµ [Λ−1 ]µ γ ν − m)L ˆ ψ(p). ˆ µ γ µ − m)ψ(p) = (pµ Lγ 0 = L(p .ν
(A.8)
ˆ Beszorozva ezt az egyenletet L-lel, ´es felhaszn´alva a γ µ vektor-oper´ator jelleg´et kapjuk:
ˆ ψ(p) kiel´eg´ıti azt az egyenletet, amelyben az impulzus [Λ−1 ]µ pµ = Λ.µ pµ . Vagyis ez az egyenlet azt mondja, hogy L .ν ν ψ(Λp) = Lψ(p).
(A.9)
Vagyis ha meg tudjuk ´allap´ıtani p = 0-ra az E0 saj´at´ert´ekeket, akkor v´eges p-re az energia saj´at´ert´ek az (E0 , 0) Lorentztranszform´ altja, a saj´atvektor pedig Lψ(0). p = 0-ra h(0) = γ0 m, vagyis a saj´ at´ert´ek-egyenlet 0 0 m 0 0 0 0 m 2 2 (A.10) m 0 0 0 ψ(0) = Eψ(0) ⇒ E − m = 0 ⇒ E = ±m, 0 m 0 0
azaz k´et +m ´es k´et −m saj´ at´ert´ek¨ unk van. Szok´as a saj´atvektorokat m-re norm´alni. Az ´ıgy norm´alt saj´atvektorok szok´ asos jel¨ ol´ese: +m-hez tartozik ψ(0) → ur (0), a −m-hez tartoz´ot pedig ψ(0) → vr (0)-lal jel¨olj¨ uk, ahol r = 1, 2. A +m-hez tartoz´o saj´ atvektorok 0 0 0 0 m 0 1 1 0 0 m 0 1 0 0 0 m1 0 0 0 0 m0 (A.11) m 0 0 0 0 = m0. m 0 0 0 1 = m1, 1 1 0 m 0 0 0 0 0 m 0 0
Vagyis
ur (0) =
√ m
Hasonl´oan
ξr ξr
,
ahol
√ vr (0) = m
ξ1 =
ξr −ξr
Forgat´ as hat´asa ezeken az ´ allapotokon: a forgat´ as-opr´ator − i ωσ i 0 e 2 = e− 2 ωΣ , L(ω) = − 2i ωσ 0 e
1 , 0
ξ2 =
0 . 1
(A.12)
.
(A.13)
ahol
Σ=
σ 0 0σ
,
(A.14)
ez a bels˝o impulzusmomentum, azaz spin oper´ atora. Ennek hat´as´ara 1 Σ3 ur (0) = sr ur (0), 2
1 Σ3 vr (0) = sr vr (0), 2
(A.15)
ahol s1,2 = ± 12 ⇒ az r index a spinnek felel meg. V´eges impulzus eset´en, ahogy volt sz´ o r´ola, meg kell keresni azt a Lorentz-transzform´aci´ ot, amely (m, 0)-b´ol (E, p)-t csin´al. Ugyanez a transzform´ aci´ o (−m, 0)-b´ol term´eszetesen (−E, −p)-t csin´al! Vagyis minden impulzusra lesz egy pozit´ıv ´es egy negat´ıv energi´as megold´asunk. El˝ osz¨ or v´alasszunk speci´ alis koordin´atarendszert, ahol p = (0, 0, p3 ). A Lorentz transzform´ aci´ o ekkor a t-z alt´erben −1σ η cosh η sinh η e 2 3 0 . (A.16) Λ= ⇒ L= 1 sinh η cosh η 0 e 2 σ3 η Vagyis √ ur (p) = L ur (0) = m
1
e− 2 σ3 η ξr 1 e 2 σ3 η ξr
,
vr (p) = L vr (0) =
√ m
Mivel σ3 diagon´ alis, ´ırhatjuk a bal-´es jobbkezes boostot a k¨ovetkez˝o alakban 1η 1 1 0 e2 10 σ3 η η − 12 η 2 2 e = e P↑ + e = P↓ , ahol P↑ = , 1 00 0 e− 2 η
1
e− 2 σ3 η ξr 1 −e 2 σ3 η ξr
P↑ =
.
00 01
(A.17)
projektorok. Felhaszn´alva a val´ os t´erbeli Lorentz-transzform´aci´ o k´eplet´et (A.16), kapjuk q p p p p √ √ 1 1 √ e 2 η m = eη m = m cosh η + m sinh η = E + p3 ⇒ e 2 σ3 η m = E + p3 P↑ + E − p3 P↓ .
(A.18)
(A.19)
Projektorok f¨ uggv´eny´ere ´ırhatjuk
f (aP↑ + bP↓ ) = f (a)P↑ + f (b)P↓ ,
(A.20)
mert f (aP↑ + bP↓ ) =
X n
fn (aP↑ + bP↓ )n =
X n
fn
n X n
k=0
k
ak bn−k P↑k P↓n−k =
X
fn (an P↑ + bn P↓ ) = f (a)P↑ + f (b)P↓ , (A.21)
n
hiszen ha k 6= 0, akkor P↓k = P↓ , P↑k = P↑ , ´es P↓ P↑ = 0. Ezt felhaszn´alva q p √ 1 e 2 σ3 η m = (E + p3 )P↑ + (E − p3 )P↓ = E + p3 σ3 .
√ Ez speci´ alis koordin´atarendszerbeli alakja a Lorentz-invari´ans pµ σ ¯ µ kifejez´esnek. Ugyanezt elv´egezve p √ 1 e 2 σ3 η m = E − p3 σ3 , √ amely speci´ alis koordin´atarendszerbeli alakja a pµ σ µ kifejez´esnek. Vissza´ırva ezt (A.17) k´epletbe kapjuk: √ √ p σµ ξ p σµ ξ √µ µr vr (p) = . ur (p) = √ µ µ r , − pµ σ pµ σ ¯ ξr ¯ ξr
(A.22)
(A.23)
(A.24)
A.3
Lorentz-invari´ ans norm´ al´ as
´ erve egy z ir´ Hogyan transzform´ al´odik a Dirac-delta egy Lorentz transzform´ aci´ o hat´as´ara? Att´ anyban V sebess´eggel mozg´o koordin´ atarendszerre a n´egyesimpulzus trf-´asa: E ′ = γ(E + pz V ),
p′z = γ(pz + V E),
p′x = px ,
py = py .
(A.25)
Emiatt: δ(p′ − q′ ) = δ(p′x − qx′ )δ(p′y − qy′ )δ(p′z − qz′ ) = δ(px − qx )δ(py − qy )δ(p′z − qz′ ).
(A.26)
A z komponens transzform´ aci´ oja: δ(p′z − qz′ ) = δ(γ(pz − qz ) + γv(Ep − Eq )).
(A.27)
A Dirac-delta argumentum´ at kifejtve p − q k¨or¨ ul: Ep = Eq + (p − q) azaz
dEp p = Eq + (p − q) , dp Ep
(A.28)
Ep′ Ep vp = δ (pz − qz ) = δ(pz − qz ), δ(p′z − qz′ ) = δ (pz − qz )γ 1 + Ep Ep Ep′
(A.29)
(figyelembe v´eve, hogy |f ′ (x)|δ(f (x)) = δ(x − x0 ), ahol f (x0 ) = 0). Ez´ert: Np2 δ(p − q) = Np2′ δ(p′ − q′ ) = Np2′
Ep δ(p − q) Ep′
⇒
Np2 Np′ = . Ep Ep′
(A.30)
Np2 = 2Ep v´alaszt´ast fogjuk fizikai norm´ al´ asnak tekinteni: |pi =
p 2Ep a†p |0i .
(A.31)
