MA2AA. Matematika 2

KMA/MA2AA Matematika 2

ZS 2015

Obsah ˇ ıseln´ 1 C´ e posloupnosti 1.1 Motivaˇcn´ı pˇr´ıklady . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Pojem posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Základn´ı vlastnosti ˇc´ıseln´ ych posloupnost´ı . . . . . 1.4 Limita posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Limes inferior a limes superior . . . . . . . . . . . . 1.6 Nulové posloupnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.7 Posloupnost aritmetická a posloupnost geometrická 2 Pojem funkce 2.1 Definice funkce . . . . . ˇ sen´ı rovnic a nerovnic 2.2 Reˇ 2.3 Vlastnosti funkc´ı . . . . 2.4 Operace s funkcemi . . . 2.5 Funkce inverzn´ı . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

4 4 6 7 7 11 12 13

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

16 16 19 20 23 24

3 Element´ arn´ı funkce 3.1 Pˇrehled elementárn´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . 3.2 Algebraické funkce . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Goniometrické funkce a funkce cyklometrické . 3.4 Funkce exponenciáln´ı a logaritmické . . . . . . 3.5 Funkce hyperbolické a hyperbolometrické . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

26 26 27 34 42 46

. . . .

49 49 51 52 54

5 Spojitost funkce 5.1 Pojem spojitosti funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2 Funkce spojité na mnoˇzinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Vlastnosti funkc´ı spojit´ ych na intervalu . . . . . . . . . . . . . . .

56 56 61 62

. . . . .

. . . . .

. . . . .

4 Limita funkce 4.1 Limita funkce podle Heineho . 4.2 Limita funkce podle Cauchyho 4.3 Vˇety o limitách funkc´ı . . . . 4.4 V´ ypoˇcet limit . . . . . . . . .

. . . . .

. . . .

1

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

6 Derivace funkce 6.1 Pojem derivace funkce . . . . 6.2 Vlastnosti derivac´ı . . . . . . 6.3 Derivace elementárn´ıch funkc´ı 6.4 Diferenciál funkce . . . . . . . 6.5 Derivace vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u. . . . . 6.6 Derivace r˚ uzn´ ych typ˚ u funkc´ı

. . . . . .

66 66 69 71 71 74 75

7 Z´ akladn´ı vˇ ety diferenci´ aln´ıho poˇ ctu ´ 7.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.2 Vˇety o stˇredn´ı hodnotˇe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7.3 Nˇekteré d˚ usledky vˇet o stˇredn´ı hodnotˇe . . . . . . . . . . . . . . .

77 77 77 80

8 Uˇ zit´ı diferenci´ aln´ıho poˇ ctu 8.1 Monotónnost funkce . . . . . . . . . . . . . . . 8.2 Lokáln´ı extrémy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.3 Nejvˇetˇs´ı a nejmenˇs´ı hodnota funkce na intervalu 8.4 Konvexnost a konkávnost . . . . . . . . . . . . 8.5 Inflexe a inflexn´ı body . . . . . . . . . . . . . . 8.6 Asymptoty . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.7 Pr˚ ubˇeh funkce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8.8 Uˇzit´ı extrém˚ u funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . .

83 83 85 87 87 88 90 91 93

9 Metody integrace pro funkce jedn´ e promˇ enn´ e 9.1 Základn´ı vzorce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.2 Integrace uˇzit´ım substituc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9.3 Metoda per partes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

95 95 96 98

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

10 Riemann˚ uv urˇ cit´ y integr´ al 10.1 Definice Riemannova integrálu . . . . 10.2 Newton˚ uv vzorec . . . . . . . . . . . 10.3 Základn´ı vlastnosti urˇcitého integrálu 10.4 V´ ypoˇcet urˇcit´ ych integrál˚ u . . . . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . . . .

. . . . . . . .

. . . .

. . . .

100 100 105 105 107

11 Uˇ zit´ı Riemannova integr´ alu 109 11.1 Pˇribliˇzné metody v´ ypoˇctu Riemannova integrálu . . . . . . . . . . 109 11.2 Uˇzit´ı urˇcitého integrálu v geometrii . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 11.3 Uˇzit´ı urˇcitého integrálu ve fyzice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 ˇ ıseln´ A C´ a osa, supremum a infimum A.1 Základn´ı ˇc´ıselné mnoˇziny . . . . . . . . . A.2 Vlastnosti ˇc´ıseln´ ych mnoˇzin . . . . . . . A.3 Supremum a infimum . . . . . . . . . . . A.4 Nˇekolik vˇet o reáln´ ych ˇc´ıslech a ˇc´ıseln´ ych 2

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . mnoˇzinách .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

. . . .

120 120 122 124 126

A.5 Klasifikace bod˚ u vzhledem k mnoˇzinˇe . . . . . . . . . . . . . . . . 127 A.6 Rozˇs´ıˇrená reálná osa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 ˇ ıseln´ B C´ e posloupnosti 132 B.1 Nˇekteré v´ yznamné limity . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 ˇ ıslo e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 B.2 C´ C Spojitost funkce 135 C.1 Stejnomˇerná spojitost . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 D Metody integrace pro funkce jedn´ e promˇ enn´ e D.1 Integrace racionáln´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . . . . . . . D.2 Integrace nˇekter´ ych iracionáln´ıch funkc´ı . . . . . . . . . . D.3 Eulerovy substituce . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . D.4 Integrace goniometrick´ ych a hyperbolick´ ych funkc´ı . . . . D.5 Goniometrické a hyperbolické substituce . . . . . . . . . D.6 Uˇzit´ı Eulerov´ ych vzorc˚ u pro v´ ypoˇcet nˇekter´ ych integrál˚ u E Riemann˚ uv urˇ cit´ y integr´ al E.1 Dalˇs´ı vlastnosti urˇcitého integrálu F Technick´ e kˇ rivky

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

137 137 139 139 140 142 142

144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 146

3

Kapitola 1 ˇ ıseln´ C´ e posloupnosti 1.1

Motivaˇ cn´ı pˇ r´ıklady

Prozkoumejme, zat´ım laicky“, následuj´ıc´ı posloupnosti: ” 1. Posloupnost 1, 4, 9, . . . , n2 , . . . :

Hodnoty rostou nade vˇsechny meze. 2. Posloupnost −1, −2, −3, . . . , −n, . . . :

Hodnoty klesaj´ı pode vˇsechny meze. 4

3. Posloupnost 11 , 21 , 31 , . . . , n1 , . . . :

Hodnoty leˇz´ı v intervalu [0; 1) a s rostouc´ım n se bl´ıˇz´ı nule. 4. Posloupnost 1, −2, 3, −4, 5, . . . , 2n − 1, −2n, . . . :

Hodnoty stˇr´ıdaj´ı znaménko (osciluj´ı) a rostou (v absolutn´ı hodnotˇe) nade vˇsechny meze. 1 5. Posloupnost 1, 12 , 1, 41 , 1 . . . , 1, 22n ,...:

5

1.2

Pojem posloupnosti

Definice 1.2.1. Kaˇzdé zobrazen´ı N do R naz´ yváme ˇ c´ıseln´ a posloupnost. +∞ Zápis: {an }n=1 nebo jen {an }; an se naz´ yvá n-tý ˇclen posloupnosti. Definici ˇc´ıselné posloupnosti lze zaloˇzit i na pojmu (reálné) funkce; pak je to funkce definovaná na mnoˇzinˇe N vˇsech pˇrirozen´ ych ˇc´ısel. Zp˚ usoby zad´ an´ı posloupnosti ˇ ıselná posloupnost b´ C´ yvá zadána nˇekolika prvn´ımi ˇcleny (tak, aby bylo patrné pravidlo, jak vytváˇret dalˇs´ı ˇcleny, n-t´ ym ˇclenem nebo rekurentnˇe. ´ Uloha 1.2.2. Je dána posloupnost ˇ sen´ı. an = Reˇ

1 1·4

,

3 4·7

,

5 7·10

,

7 10·13

, · · · Urˇcete jej´ı n-tý ˇclen.

2n−1 (3n−2)·(3n+1)

Pˇri zadán´ı n-tým ˇclenem zase naopak lze z pˇr´ısluˇsného vzorce poˇc´ıtat jednotlivé ˇcleny posloupnosti. ´ Uloha 1.2.3 (Pˇr´ıklady ˇc´ıseln´ ych posloupnost´ı zadan´ ych n-t´ ym ˇclenem). {(−1)n · n}, a4 .

n

1+

1 n

n o

n

n n+1

o

,

, {a · q n−1 }, {a + (n − 1)d}. Vypoˇctˇete ˇcleny a1 , a2 , a3 ,

Rekurentn´ı definice obsahuje zpravidla 1. ˇclen (nebo nˇekolik prvn´ıch ˇclen˚ u) a pravidlo, jak vytvoˇrit dalˇs´ı ˇclen ze ˇclen˚ u pˇredcházej´ıc´ıch. Rekurentn´ı definice aritmetické posloupnosti: a1 = a, an+1 = an + d. Rekurentn´ı definice geometrické posloupnosti: a1 = a, an+1 = an · q (q ∈ / {0, 1, −1}).

´ Uloha 1.2.4. Posloupnost {an } je zad´ ana rekurentnˇe takto: a1 = 1, an+1 = √ 1 10 an + an ; je to posloupnost aproximac´ı ˇc´ısla 10. Vypoˇctˇete prvn´ı ˇctyˇri apro2 ximace. ´ Uloha 1.2.5. Fibonacciova posloupnost {bn } je definov´ ana takto: b1 = 1, b2 = 1, bn+2 = bn+1 + bn . Vypoˇctˇete prvn´ıch 10 ˇclen˚ u této posloupnosti. Posloupnost {an } je tˇreba odliˇsovat od mnoˇziny (vˇsech) jej´ıch ˇclen˚ u (kdy o n se téˇz uˇz´ıvaj´ı sloˇzené závorky). Napˇr´ıklad mnoˇzina (vˇsech) ˇclen˚ u posloupnosti n1 n

o

je 1, 21 , 13 , . . . , n1 , . . . , mnoˇzina (hodnot) ˇclen˚ u posloupnosti {(−1)n } je {−1, 1}.

Definice 1.2.6. Posloupnost {bn } se naz´ yvá vybran´ a z posloupnosti {an } (nebo téˇz podposloupnost) ⇔ ∃ posloupnost pˇrirozen´ ych ˇc´ısel k1 < k2 < k3 < · · · tak, ˇze ∀n ∈ N je bn = akn . Napˇr. posloupnost vˇsech prvoˇc´ısel je vybraná z posloupnosti {n} vˇsech ˇc´ısel pˇrirozen´ ych, ale nen´ı vybraná z posloupnosti {2n-1} vˇsech ˇc´ısel lich´ ych. 6

1.3

Z´ akladn´ı vlastnosti ˇ c´ıseln´ ych posloupnost´ı

V této kapitole se dále zab´ yváme jen ˇc´ıseln´ ymi posloupnostmi. Definice 1.3.1. Posloupnost se naz´ yvá (shora, zdola) omezen´ a ⇔ tuto vlastnost má mnoˇzina vˇsech jej´ıch ˇclen˚ u. Napˇr. posloupnost {2n − 1} je zdola omezená, nen´ı omezená shora, nen´ı omezená. Posloupnost {(−1)n } je omezená shora i zdola, je omezená. Stacionárn´ı posloupnost {c} je omezená. Definice 1.3.2. Posloupnost a se naz´ yvá – rostouc´ı ⇔ ∀n ∈ N plat´ı an < an+1 , – klesaj´ıc´ı ⇔ ∀n ∈ N plat´ı an > an+1 , – nerostouc´ı ⇔ ∀n ∈ N plat´ı an ≥ an+1 , – neklesaj´ıc´ı ⇔ ∀n ∈ N plat´ı an ≥ an+1 . Spoleˇcn´ y název pro vˇsechny tyto druhy posloupnost´ı: posloupnosti monotonn´ı a pro prvn´ı dva druhy: posloupnosti ryze monotonn´ı. Definice 1.3.3. Operace s posloupnostmi jsou definovány takto: – n´ asoben´ı re´ aln´ ym ˇ c´ıslem c: c · {an } = {c · an }; – aritmetick´ e operace (souˇcet, rozd´ıl, souˇcin, pod´ıl): {an }+{bn } = {an + bn }, {an } − {bn } = {an − bn }, {an } · {bn } = {an · bn }, {an } / {bn } = {an /bn }, (pro bn 6= 0); – opaˇ cn´ a posloupnost k {an } je {−an }; – reciprok´ a posloupnost k {an } je {1/an } (pro an 6= 0).

1.4

Limita posloupnosti

ˇ ıkáme, ˇze posloupnost {an } m´ Definice 1.4.1. R´ a limitu a ⇔ ∀U (a) ∃n0 ∈ N tak, ˇze ∀n ∈ N :

n ≥ n0 ⇒ an ∈ U (a).

Je-li a ∈ R, naz´ yvá se a vlastn´ı limita a posloupnost {an } se naz´ yvá konvergentn´ı, pokud a = ±∞ , naz´ yvá se a nevlastn´ı limita. Neexistuje-li vlastn´ı limita, naz´ yvá se posloupnost {an } divergentn´ı. Zápisy: limn→+∞ an = a; lim an = a; an → a pro n → +∞. 7

Posloupnost tedy bud’ konverguje nebo diverguje. V tomto druhém pˇr´ıpadˇe bud’ diverguje k +∞ nebo k −∞ nebo osciluje (tj. nemá limitu vlastn´ı ani nevlastn´ı). n o n Napˇr. posloupnost n+1 je konvergentn´ı, má limitu 1, stacionárn´ı posloupn

o

n je divergentn´ı, má nost {c} je konvergentn´ı a má limitu c, posloupnost 100 n nevlastn´ı limitu +∞, posloupnost {q } je pro q ≤ −1 divergentn´ı, nemá limitu (osciluje).

Definice 1.4.2. Je-li V (n) nˇejaká v´ yroková forma a plat´ı-li, ˇze v´ yrok (∃n0 ∈ N tak, ˇze ∀n ∈ N : n ≥ n0 ⇒ V (n)) je pravdiv´ y, pak ˇr´ıkáme, ˇze V (n) plat´ı pro skoro vˇ sechna n. Pomoc´ı tohoto vyjádˇren´ı lze vyjádˇrit definici limity posloupnosti napˇr. takto: ˇ ıkáme, ˇze posloupnost {an } má limitu a ⇔ v kaˇzdém okol´ı Definice 1.4.3. R´ U (a) leˇz´ı skoro vˇsechny ˇcleny této posloupnosti. Vˇ ety o limit´ ach: Vˇ eta 1.4.4. Kaˇzdá posloupnost má nejvýˇse jednu limitu. D˚ ukaz (sporem). Kdyby existovaly dvˇe limity a, b, pak by existovala disjunktn´ı okol´ı U (a), U (b) tak, ˇze pro skoro vˇsechna n by mˇelo platit souˇcasnˇe an ∈ U (a), an ∈ U (b), coˇz je spor. Vˇ eta 1.4.5. Má-li posloupnost {an } limitu, pak kaˇzdá posloupnost {bn } vybraná z posloupnosti {an } má tutéˇz limitu. D˚ ukaz. Oznaˇcme tuto limitu a; pak ∀U (a)∃n0 ∈ N tak, ˇze ∀n ∈ N : n ≥ n0 ⇒ an ∈ U (a); pro kn > n0 je ovˇsem téˇz bm = akn ∈ U (a), takˇze bm ∈ U (a) pro skoro vˇsechna m. Limita posloupnosti se tedy nezmˇen´ı, vynecháme-li nebo pozmˇen´ıme-li libovoln´ y koneˇcn´ y poˇcet ˇclen˚ u posloupnosti. Pˇri v´ ypoˇctu limit vyuˇz´ıváme také tohoto postupu: 1) zjist´ıme, ˇze daná posloupnost je konvergentn´ı a 2) najdeme limitu a nˇejaké vhodné vybrané posloupnosti. Pak toto a je i limitou dané posloupnosti. – Kdyˇz naopak zjist´ıme, ˇze nˇejaká vybraná posloupnost je divergentn´ı, znamená to podle pˇredchoz´ı vˇety, ˇze je divergentn´ı i daná posloupnost.

8

– Podobnˇe zjist´ıme-li, ˇze dvˇe vybrané posloupnosti maj´ı r˚ uznou limitu, je daná posloupnost divergentn´ı. Vˇ eta 1.4.6. Kaˇzdá konvergentn´ı posloupnost je omezen´ a. D˚ ukaz. Oznaˇcme limitu a; zvolme ε = 1. Pak mnoˇzina M tˇech ˇclen˚ u posloupnosti, které neleˇz´ı v okol´ı U (a, 1), je koneˇcná. ∀n ∈ N pak plat´ı a ≥ min {min M, a − 1}, a ≤ max {max M, a + 1}. Tato vˇeta ovˇsem neplat´ı obrácenˇe, nebot’ napˇr. posloupnost {(−1)n } je omezená, ale je divergentn´ı. Vˇetˇs´ı hloubku pohledu do vztahu mezi omezenost´ı a konvergenc´ı dává následuj´ıc´ı vˇeta. Vˇ eta 1.4.7 (Bolzano–Weierstrassova). Z kaˇzdé omezené posloupnosti lze vybrat konvergentn´ı podposloupnost. Princip d˚ ukazu. (Bolzanova metoda p˚ ulen´ı interval˚ u): Je dána posloupnost {an }; jeˇzto je omezená, ∃hK1 , L1 i tak, ˇze ∀n ∈ N je an ∈ hK1 , L1 i. Konstrukce vybrané posloupnosti: – Za b1 zvol´ıme libovoln´ y ˇclen dané posloupnosti {an }, necht’ v n´ı má index k1 . – Interval hK1 , L1 i rozp˚ ul´ıme a oznaˇc´ıme hK2 , L2 i tu ˇcást, do n´ıˇz je zobrazeno nekoneˇcnˇe mnoho ˇclen˚ u posloupnosti {an }. – V hK2 , L2 i vybereme za b2 libovoln´ y takov´ y ˇclen posloupnosti {an }, kter´ y má index k2 > k1 . – Interval hK2 , L2 i rozp˚ ul´ıme, atd. – Oznaˇc´ıme a (jedin´ y) spoleˇcn´ y bod vˇsech interval˚ u hKn , Ln i (podle vˇety o vloˇzen´ ych intervalech). – Pak ∀U (a) pro skoro vˇsechna n plat´ı hKn , Ln i ⊂ U (a), takˇze téˇz bn ∈ U (a), tedy bn → a. Vˇ eta 1.4.8. Kaˇzdá neklesaj´ıc´ı shora omezen´ a posloupnost je konvergentn´ı. Princip d˚ ukazu. Mˇejme dánu posloupnost {an }; z omezenosti mnoˇziny M = {a1 , a1 , . . . } plyne existence vlastn´ıho suprema a = sup M . Ze druhé vlastnosti suprema plyne, ˇze v libovolném levém okol´ı U (a−) leˇz´ı alespoˇ n jedno an , takˇze vzhledem k monotónnosti {an } leˇz´ı v U (a−) skoro vˇsechny ˇcleny posloupnosti {an }. 9

Vˇ eta 1.4.9 (o limitách souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu). Necht’ lim an = a, lim bn = b. Pak plat´ı, pokud výrazy na pravých stranách maj´ı v R∗ smysl: 1) lim(an + bn ) = a + b, lim(an − bn ) = a − b, 2) lim(an · bn ) = a · b, 3) pro bn 6= 0, b 6= 0 je lim(an /bn ) = a/b, 4) lim |an | = |a|. D˚ ukaz. Ukázka pro souˇcet, kde a, b jsou vlastn´ı limity: : n ≥ n1 ⇒ an ∈ U (a, ε/2), ∀ε > 0 ∃n1 , n2 ∈ N tak, ˇze : n ≥ n2 ⇒ bn ∈ U (b, ε/2). a − ε/2 < an < a + ε/2, Necht’ n0 = max {n1 , n2 } a n ≥ n0 . Pak b − ε/2 < bn < b + ε/2. Po seˇcten´ı obou nerovnost´ı máme (an + bn ) ∈ U (a + b, ε). ´ Uloha 1.4.10. Dokaˇzte vˇetu pro souˇcet, kde a je vlastn´ı limita a b = +∞. Vˇ eta 1.4.11 (limita nerovnosti). Necht’ lim an = a, lim bn = b a pro nekoneˇcnˇe mnoho n plat´ı an ≤ bn . Pak a ≤ b. D˚ ukaz sporem. Kdyby bylo a > b, existovala by disjunktn´ı okol´ı U (a), U (b) tak, ˇze ∀x ∈ U (a)∀y ∈ U (b) by platilo x > y. Pro skoro vˇsechna n je vˇsak an ∈ U (a), bn ∈ U (b), tedy by platilo an > bn , coˇz dává spor s pˇredpokladem vˇety. Pro konvergentn´ı posloupnosti {an }, {bn } zˇrejmˇe plat´ı, ˇze kdyˇz pro nekoneˇcnˇe mnoho ˇclen˚ u je an ≤ bn a pro nekoneˇcnˇe mnoho ˇclen˚ u je an > bn , pak a = b. Vˇ eta 1.4.12 (vˇeta o tˇrech limitách). Necht’ lim an = a, lim bn = a a necht’ pro skoro vˇsechna n je an ≤ cn ≤ bn . Pak lim cn = a. Princip d˚ ukazu. Podle definice limity patˇr´ı do libovolného okol´ı U (a) skoro vˇsechny ˇcleny posloupnosti {an } a také skoro vˇsechny ˇcleny posloupnosti {bn }. Proto do U (a) patˇr´ı také skoro vˇsechny ˇcleny posloupnosti {cn }. Pro nevlastn´ı limity má vˇeta o tˇrech limitách (zvaná téˇz vˇeta o tˇrech posloupnostech) speciáln´ı tvar. Je-li totiˇz lim an = +∞, lze brát za bn posloupnost {+∞}, proto z nerovnosti an ≤ cn plyne lim cn = +∞. Podobnˇe lze vˇetu o tˇrech limitách upravit pro nevlastn´ı limitu −∞.

10

1.5

Limes inferior a limes superior

Uvaˇzujme omezenou posloupnost {an }. Pro n ∈ N definujeme posloupnosti {αn } a {βn } následovnˇe: αn = inf {an , an+1 , an+2 , . . . } ,

βn = sup {an , an+1 , an+2 , . . . } .

´ Uloha cete tˇri prn´ı ˇcleny posloupnost´ı {αn } a {βn } pro posloupnost n o 1.5.1. Urˇ n (−1) n+1

.

ˇ sen´ı. Vypoˇcteme nˇekolik prvn´ıch ˇclen˚ Reˇ u posloupnosti {an }: 1 1 1 1 1 1 1 1 − , ,− , ,− , ,− , ··· . 2 3 4 5 6 7 8 9 Hodnoty v absolutn´ı hodnotˇe klesaj´ı, a tak se dá vyvodit, ˇze

1 1 1 1 1 1 1 1 1 α1 = inf − , , − , , − , , − , · · · = − , 2 3 4 5 6 7 8 9 2 1 1 1 1 1 1 1 1 ,− , ,− , ,− , ··· = − , α2 = inf 3 4 5 6 7 8 9 4 1 1 1 1 1 1 1 α3 = inf − , , − , , − , · · · = − , 4 5 6 7 8 9 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 β1 = sup − , , − , , − , , − , · · · = , 2 3 4 5 6 7 8 9 3 1 1 1 1 1 1 1 1 β2 = sup , − , , − , , − , · · · = , 3 4 5 6 7 8 9 3 1 1 1 1 1 1 1 β3 = sup − , , − , , − , · · · = . 4 5 6 7 8 9 5

Z definic {αn } a {βn } plyne: • αn ≤ an ≤ βn , • {αn } je neklesaj´ıc´ı, • {βn } je nerostouc´ı a • z omezenosti {an } plyne i omezenost {αn } a {βn }, a tedy jsou obˇe posloupnosti {αn } a {βn } konvergentn´ı (maj´ı vlastn´ı limitu). 11

Definice 1.5.2. Necht’ posloupnost {an } je omezená, pak definujeme jej´ı doln´ı limitu (limes inferior) lim inf an := lim αn = lim inf {an , an+1 , an+2 , . . . } n→+∞

n→+∞

n→+∞

a jej´ı horn´ı limitu (limes superior) lim sup an := lim βn = lim sup {an , an+1 , an+2 , . . . } . n→+∞

n→+∞

n→+∞

2n − 1 ´ Uloha 1.5.3. Urˇcete doln´ı a horn´ı limitu posloupnosti (−1)n . n+1 ˇ sen´ı. Zde si opˇet vyp´ıˇseme nˇekolik prvn´ıch ˇclen˚ Reˇ u studované posloupnosti: 1997 1999 2001 2003 1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 , ,− , ,··· . − , ,− , ,− , ,− , ,− , ,··· ,− 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1000 1001 1002 1003 Zˇrejmˇe lim |an | = 2,

n→+∞

ale samotná

lim an

n→+∞

neexistuje.

Odvod´ıme omezenost: 2n − 1 2n − 1 2n + 2 (−1)n ≤ = 2, =

n+1

a tak

n+1

n+1

2n − 1 ≤ 2. n+1 Posloupnost je tedy omezená — existence doln´ı a horn´ı limity je tedy zajiˇstˇena. −2 ≤ (−1)n

lim inf an := lim αn = lim inf {an , an+1 , an+2 , . . . } = lim −2 = −2, n→+∞

n→+∞

n→+∞

n→+∞

lim sup an := lim βn = lim sup {an , an+1 , an+2 , . . . } = lim 2 = 2. n→+∞

1.6

n→+∞

n→+∞

n→+∞

Nulov´ e posloupnosti

Jsou to posloupnosti, kde lim an = 0. Nulové posloupnosti fakticky nejsou jen zvláˇstn´ım pˇr´ıpadem konvergentn´ıch posloupnost´ı, ale i naopak, konvergenci bychom mohli definovat uˇzit´ım nulov´ ych posloupnost´ı podle vˇety: Vˇ eta 1.6.1. an → a ⇔ (an − a) → 0. Uvád´ıme nˇekteré vˇety, které maj´ı vztah k nulov´ ym posloupnostem. 12

Vˇ eta 1.6.2. Jestliˇze an → a, pak |an | → |a|.

Tato vˇeta neplat´ı pro a 6= 0 naopak, ale pro a = 0 ano.

Vˇ eta 1.6.3. Jestliˇze |an | → +∞, je 1/an posloupnost nulová.

Jestliˇze jmenovatel zlomku konverguje k nule, je situace sloˇzitˇejˇs´ı:

Vˇ eta 1.6.4. Je-li ∀n ∈ N an > 0, an → 0, pak 1/an → +∞, an < 0, an → 0, pak 1/an → −∞, an 6= 0, an → 0, pak 1/|an | → ∞.

Nulov´ ych posloupnost´ı se s v´ yhodou vyuˇz´ıvá pˇri v´ ypoˇctech limit.

´ Ulohy: 6n2 + n . 1.6.1. Vypoˇctˇete lim n→+∞ 4n2 + 5 6 · 22n + 5 · 2n − 4 . n→+∞ 22n+1 − 2n + 15

1.6.2. Vypoˇctˇete lim

7n + 150 . n→+∞ n2 − 0, 25


n3 − 8n . n→+∞ 9n2 + 10


1.7

Posloupnost aritmetick´ a a posloupnost geometrick´ a

Nˇekdy se pro uspoˇrádané n-tice pouˇz´ıvá název koneˇcné posloupnosti, kter´ y zˇcásti navozuje pouˇzit´ı posloupnost´ı v praxi. V praxi je mnoho situac´ı, kdy známe nˇekolik prvn´ıch ˇclen˚ u a1 , a2 , a3 , . . . , an nˇejaké posloupnosti a pomoc´ı této znalosti chceme zjistit, zkonstruovat nebo pˇredpovˇedˇet jej´ı dalˇs´ı ˇclen an+1 . M˚ uˇze j´ıt o posloupnost penˇeˇzn´ıch ˇcástek, (ˇcasovou) posloupnost u ´daj˚ u o objemu v´ yroby, posloupnost ˇcasov´ ych term´ın˚ u nebo interval˚ u ad. Problémem je, jak urˇcit dalˇs´ı ˇclen (nebo alespoˇ n jeho pˇribliˇznou hodnotu) ze znalosti pˇredchoz´ıch. M˚ uˇze j´ıt o nalezen´ı vzorce pro n-t´ y ˇclen, rekurentn´ıho pravidla nebo i o jin´ y postup. Zvláˇstn´ı pozornosti si zaslouˇz´ı posloupnost aritmetická a posloupnost geometrická, které se v praxi vyskytuj´ı pomˇernˇe ˇcasto. Aritmetick´ a posloupnost je (definována jako) posloupnost, která je dána sv´ ym prvn´ım ˇclenem a1 , konstantn´ı diferenc´ı d a rekurentn´ım pravidlem ∀n ∈ N : an+1 = an + d. 13

Aritmetickou posloupnost lze rovnˇeˇz definovat jako posloupnost, u n´ıˇz rozd´ıl libovoln´ ych dvou po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚ u je konstantn´ı. Z rekurentn´ıho pravidla dostaneme vzorec pro n-t´ y ˇclen: an = a1 + (n − 1)d. (Dokazuje se jednoduˇse napˇr. matematickou indukc´ı). Vid´ıme, ˇze aritmetická posloupnost má pro d > 0 limitu +∞, pro d < 0 limitu −∞.

´ Uloha 1.7.1. V posledn´ıch tˇrech mˇes´ıc´ıch ˇcinil celkový objem zakázek pˇribliˇznˇe a1 = 325 tis´ıc Kˇc, a2 = 354 tis´ıc Kˇc a a3 = 383 tis´ıc Kˇc. Jaký objem lze oˇcekávat ve 4. mˇes´ıci? ˇ sen´ı. Lze vyslovit hypotézu, ˇze objem zakázek tvoˇr´ı aritmetickou posloupnost, Reˇ kde a1 = 325, d = 29 (tis´ıc Kˇc). Pak a4 = a3 + d = 412 (tis´ıc Kˇc). Lze oˇcekávat objem zakázek za 412 tis´ıc Kˇc. (Samozˇrejmˇe korektnost vysloven´ı takové hypotézy závis´ı na praktick´ ych okolnostech.) Praktick´ y v´ yznam m˚ uˇze m´ıt i souˇcet sn prvn´ıch n ˇclen˚ u aritmetické posloupnosti. Vzorec pro sn lze odvodit napˇr. takto: Vyjádˇr´ıme sn dvˇema zp˚ usoby: sn = a1 + (a1 + d) + (a1 + 2d) + · · · + (a1 + (n − 1)d), sn = an + (an − d) + (an − 2d) + · · · + (an − (n − 1)d). Po seˇcten´ı máme 2sn = n · (a1 + an ),

takˇze sn =

n (a1 + an ). 2

´ Uloha 1.7.2. Na skl´ adce jsou uloˇzeny roury tak, ˇze v doln´ı vrstvˇe jich je 26 a kaˇzdá roura v kaˇzdé vyˇsˇs´ı vrstvˇe vˇzdy zapad´ a mezi dvˇe roury ve vrstvˇe niˇzˇs´ı; vrstev je celkem 12. Kolik je na skl´ adce rour? ˇ sen´ı. Poloˇz´ıme a1 = 26; pak d = −1. V horn´ı vrstvˇe je a12 = 26+11·(−1) = 15 Reˇ rour a celkem s12 = 6 · (26 + 15) = 246 rour. Geometrick´ a posloupnost je (definována jako) posloupnost, která je dána sv´ ym 1. ˇclenem a1 , konstantn´ım kvocientem q 6= 0 a rekurentn´ım pravidlem ∀n ∈ N : an+1 = an · q. Geometrickou posloupnost lze tedy rovnˇeˇz definovat jako posloupnost, u n´ıˇz pod´ıl libovoln´ ych dvou po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚ u je konstantn´ı. Z rekurentn´ıho pravidla dostaneme vzorec pro n-t´ y ˇclen: an = a1 · q n−1 . (Dokazuje se jednoduˇse napˇr´ıklad matematickou indukc´ı). 14

´ Uloha 1.7.3. V prvn´ım mˇes´ıci roku ˇcinil obrat 300 000 Kˇc a v kaˇzdém dalˇs´ım mˇes´ıci byl o 5% vˇetˇs´ı neˇz v mˇes´ıci pˇredchoz´ım. Urˇcete pˇredpokl´ adaný listopadový obrat. ˇ sen´ı. Jde o geometrickou posloupnost, kde a1 = 300 000, q = 1, 05, n = 11. Reˇ Pak a11 = 300 000 · 1, 0510 ≈ 300 000 · 1, 629 = 489 000 Kˇc. Viz poznámku za u ´lohou 1.7.1. Je-li a1 > 0, pak geometrická posloupnost {a1 · q n−1 } má limitu 0 (pro |q| < 1) nebo a1 (pro q = 1) nebo +∞ (pro q > 1) a nebo nemá limitu (pro q < −1). Praktick´ y v´ yznam m˚ uˇze m´ıt opˇet souˇcet prvn´ıch n ˇclen˚ u geometrické posloupnosti (tj. n-t´ y ˇcásteˇcn´ y souˇcet geometrické ˇrady). Vzorec pro sn lze odvodit takto: Vyjádˇr´ıme sn a q · sn : sn = a1 + a1 · q + a1 · q 2 + · · · + a1 · q n−1 , q · sn = a1 · q + a1 · q 2 + · · · + a1 · q n−1 + a1 · q n . Po odeˇcten´ı je sn · (1 − q) = a1 · (1 − q n ), takˇze s n = a1

1 − qn 1−q

tj. téˇz sn = a1

qn − 1 . q−1

´ Uloha 1.7.4. Vyn´ alezce ˇsachové hry poˇzadoval podle povˇesti odmˇenu za kaˇzdé ze 64 pol´ı ˇsachovnice takto: za 1. pole jedno obiln´ı zrno, za 2. pole 2 zrna, za 3. pole 4 zrna, atd., za kaˇzdé dalˇs´ı vˇzdy dvojn´ asobek. Kolik zrnek obil´ı mˇel dostat? ˇ sen´ı. Jde o geometrickou posloupnost, kde a1 = 1, q = 2, n = 64. Proto Reˇ s64

264 − 1 = 264 − 1 ≈ 1, 845 · 1019 =1 2−1

a to je v´ıce obil´ı, neˇz se kdy na Zemi urodilo. -*-

15

Kapitola 2 Pojem funkce 2.1

Definice funkce

P´ısmeno x naz´ yváme promˇenn´ a na (ˇc´ıselné) mnoˇzinˇe M ⇔ m˚ uˇze b´ yt ztotoˇznˇeno s libovoln´ ym prvkem mnoˇziny M . Pojem funkce navazuje na pojem bin´ arn´ı relace a na pojem zobrazen´ı, jejichˇz základn´ı znalost zde pˇredpokládáme. Definice 2.1.1. Kaˇzdé zobrazen´ı f z R do R (tj. zobrazen´ı v R) naz´ yváme re´ aln´ a funkce jedné reálné promˇenné. Je-li (x, y) ∈ f , p´ıˇseme y = f (x); x se naz´ yvá nez´ avisle promˇ enn´ a , y z´ avisle promˇ enn´ a; ˇr´ıkáme téˇz, ˇze y je funkc´ı x. Chceme-li vyjádˇrit, ˇze y je (zat´ım nepojmenovanou) funkc´ı x, zap´ıˇseme y = y(x). Vedle vyjádˇren´ı funkce f“ se toleruj´ı téˇz zápisy funkce f (x)“ (chceme” ” li zd˚ uraznit oznaˇcen´ı nezávisle promˇenné) nebo funkce y = f (x)“ (chceme-li ” zd˚ uraznit oznaˇcen´ı obou promˇenn´ ych). S pojmem funkce jsou spjaty dvˇe v´ yznamné mnoˇziny: definiˇ cn´ı obor funkce: D(f ) = {x ∈ R; ∃(x, y) ∈ f } , funkˇ cn´ı obor (obor hodnot): H(f ) = {y ∈ R; ∃(x, y) ∈ f } . Hodnotu promˇenné vyjadˇrujeme ˇc´ıslem nebo symbolem promˇenné s indexem. Napˇr´ıklad v bodˇe x0 = 2 má funkce y = 3x hodnotu y0 = 6. Je-li M ⊂ D(f ), je f (M ) oznaˇcen´ı pro {f (x); x ∈ M }. Je tedy H(f ) = f (D(f )). Naopak, je-li B ⊂ H(f ), pak definujeme f −1 (B) jako mnoˇzinu {x ∈ D(f ); f (x) ∈ B}. Grafem funkce f v kartézsk´ ych souˇradnic´ıch rozum´ıme mnoˇzinu vˇsech bod˚ u euklidovské roviny, pro jejichˇz souˇradnice x, y plat´ı (x, y) ∈ f . Grafické znázornˇen´ı 16

funkce ˇcasto svou názornost´ı pomáhá k pochopen´ı vlastnost´ı a pr˚ ubˇehu funkce; pro nˇekteré funkce vˇsak graf nedovedeme sestrojit, napˇr´ıklad pro Dirichletovu funkci. Grafy funkc´ı lze uvaˇzovat také v polárn´ı souˇradnicové soustavˇe, kdy ovˇsem dostáváme jiné kˇrivky. Napˇr´ıklad grafem pˇr´ımé u ´mˇernosti y = kx v kartézsk´ ych souˇradnic´ıch je pˇr´ımka, grafem téˇze funkce ρ = kϕ v polárn´ıch souˇradnic´ıch je Archimedova spirála. Neˇrekneme-li jinak, uvaˇzujeme vˇzdy graf v kartézsk´ ych souˇradnic´ıch.

Zp˚ usoby definice funkce: Funkci f lze vyjádˇrit takto: f = {(x, y) ∈ D(f ) × R; V (x, y)}. Zadat (definovat) funkci f tedy znamená udat jej´ı definiˇcn´ı obor D(f ) a jisté pravidlo V (x, y), jehoˇz oborem pravdivosti je f a které stanovuje, jak k zadanému x ∈ D(f ) naj´ıt (vypoˇc´ıtat) hodnotu f (x). Podle toho, jak je toto pravidlo formulováno, rozliˇsujeme tato zadán´ı funkce: a) (Explicitn´ı) rovnic´ı, napˇr´ıklad n

o

f = (x, y) ∈ R × R; y = x2 − 1 , nebo jednoduˇse f : y = x2 − 1.

U funkce definované rovnic´ı, nen´ı-li ˇreˇceno jinak, bereme za D(f ) nejˇsirˇs´ı mnoˇzinu, pro niˇz má rovnice smysl. Je-li pˇredepsán jin´ y definiˇcn´ı obor, mus´ıme jej uvést, napˇr´ıklad f : y = x − 1, x ∈ N.

b) Tabulkou, napˇr´ıklad x -2 -1 0 1 2 3 y 3 0 -1 0 3 8

Také zadán´ı funkce výˇctem prvk˚ u lze povaˇzovat za zadán´ı tabulkou, jde jen o jinou formu zápisu; napˇr´ıklad f = {(−2; 3), (−1; 0), (0; −1), (1; 0), (2; 3), (3; 8)} . Tabulkou ˇci v´ yˇctem prvk˚ u b´ yvaj´ı zadávány funkce, jejichˇz funkˇcn´ı hodnoty byly z´ıskány mˇeˇren´ım nebo kde jsou tyto hodnoty d˚ uleˇzitˇejˇs´ı neˇz pˇr´ısluˇsné pravidlo (napˇr´ıklad daˇ nové tabulky, bodovac´ı sportovn´ı tabulky). Tabelaci funkce vˇsak pouˇz´ıváme i u funkc´ı definovan´ ych jinak, pokud m˚ uˇze tabulka poslouˇzit lépe k pˇrehlednosti nebo jiné praktické potˇrebˇe (napˇr´ıklad tabulka cen v závislosti na hmotnosti zboˇz´ı). 17

c) Grafem (zpravidla kartézsk´ ym). Dalˇs´ı druhy graf˚ u — ˇsachovnicov´ y, uzlov´ y nebo graf v polárn´ı soustavˇe souˇradnic — b´ yvaj´ı ménˇe ˇcasté. Grafem b´ yvaj´ı ˇcasto vyjadˇrovány ty funkce, jejichˇz pr˚ ubˇeh je zapisován v pˇr´ıstroj´ıch graficky na pap´ırová média nebo na displeji. d) Po ˇcástech; tak je definována napˇr´ıklad Dirichletova funkce χ(x). Podobn´ ym zp˚ usobem je definována funkce    −1 pro x < 0,

sgn x =  0 pro x = 0,  1 pro x > 0.

Rovnice y = χ(x) a y = sgn x vˇsak jiˇz povaˇzujeme za rovnice funkc´ı. e) Implicitn´ı rovnic´ı, napˇr´ıklad x2 + y 2 = 25; takto se definuj´ı implicitn´ı funkce y = y(x), s nimiˇz je technika práce nˇekdy ponˇekud odliˇsná. Zejména b´ yvá vymezena mnoˇzina M ⊂ R × R, pro niˇz má platit (x, y) ∈ M . Napˇr´ıklad u v´ yˇse uvedené rovnice m˚ uˇze b´ yt zadáno, ˇze M je polorovina y ≥ 0. f) Parametricky: Parametrické vyjádˇren´ı je tvaru x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ J, kde ϕ, ψ jsou funkce definované na mnoˇzinˇe (intervalu) J, pˇriˇcemˇz funkce y = f (x) je definována vztahem f = {(x, y) ∈ R × R; ∃t ∈ J

tak, ˇze x = ϕ(t) ∧ y = ψ(t)} .

Napˇr´ıklad x = 4 cos t, y = 4 sin t, t ∈ h0, πi. Parametrického vyjádˇren´ı pouˇz´ıváme ponejv´ıce pˇri vyˇsetˇrován´ı r˚ uzn´ ych (napˇr´ıklad technick´ ych) kˇrivek. g) Jinak: Nˇekdy je pro v´ yrokovou formu V (x, y) dána jen slovn´ı formulace. Napˇr´ıklad v´ yroková forma V (x, y) = y je nejvˇetˇs´ı celé ˇc´ıslo, které nen´ı vˇetˇs´ı neˇz x“ de” finuje funkci [ . ] celá ˇcást“ (napˇr´ıklad [3, 8] = 3, [−1] = −1, [−6, 7] = −7; ” t´ım se tato funkce odliˇsuje od poˇc´ıtaˇcové“ INT( . ) ). Ostatnˇe i goniome” trické funkce sinus a kosinus jsou pomoc´ı jednotkové kruˇznice definovány t´ımto zp˚ usobem (avˇsak y = sin x, y = cos x, jsou jiˇz rovnice tˇechto funkc´ı). V´ yroková forma V (x, y) je tedy jisté pravidlo“ ( pˇredpis“), které ke kaˇzdému ” ” ˇc´ıslu x z jisté mnoˇziny D ⊂ R pˇriˇrazuje právˇe jedno ˇc´ıslo y ∈ R. Pojem 18

funkce se nˇekdy (z d˚ uvod˚ u didaktick´ ych) ztotoˇzn ˇuje pˇr´ımo s t´ımto pravidlem, podle nˇejˇz rozhodujeme, zda (x, y) ∈ f , nebo s jehoˇz pomoc´ı k danému x poˇc´ıtáme pˇr´ısluˇsnou funkˇcn´ı hodnotu f (x). I pˇri naˇsem pojet´ı funkce vˇsak toto pravidlo chápeme jako atribut a druhou stránku pojmu funkce. Pro toto pravidlo V (x, y) tak proto lze pouˇz´ıvat stejné oznaˇcen´ı f jako pro funkci a zkrácenˇe ˇr´ıkat a psát napˇr´ıklad funkce f : y = x2 − 1“ ” nebo prostˇe funkce y = x2 − 1“. ”

2.2

ˇ sen´ı rovnic a nerovnic Reˇ

Pˇri vyˇsetˇrován´ı vlastnost´ı (pr˚ ubˇehu) funkc´ı se setkáváme s nˇekolika typick´ ymi u ´lohami, jeˇz vedou na ˇreˇsen´ı rovnic a nerovnic resp. jejich soustav. Nˇekteré dále uvád´ıme. a) Stanoven´ı definiˇ cn´ıho oboru Je-li funkce f urˇcena rovnic´ı a jej´ı definiˇcn´ı obor nen´ı zadán, je tˇreba zjistit ´ D(f ) jako mnoˇzinu vˇsech x ∈ R, pro nˇeˇz je daná rovnice definována. Ulohy na definiˇcn´ı obor zpravidla vedou na ˇreˇsen´ı nerovnic nebo soustav nerovnic. ln (4 − x2 ) ´ Uloha 2.2.1. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce y = . 1−x ˇ sen´ı. Citatel ˇ Reˇ je definován pro 4 − x2 > 0, tj. na mnoˇzinˇe M1 = (−2, 2), jmenovatel je definován pro 1 − x 6= 0, tj. na mnoˇzinˇe M2 = R \ {1}. Pravá strana rovnice funkce je tedy definována na mnoˇzinˇe D(f ) = M1 ∩ M2 = (−2, 1) ∪ (1, 2). b) Zjiˇ stˇ en´ı nulov´ ych bod˚ u funkce Tyto u ´lohy jsou souˇcást´ı vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce: pˇri hledán´ı pr˚ useˇc´ık˚ u grafu funkce s osou x zjiˇst’ujeme nulové body funkce f (a dále téˇz pˇri v´ ypoˇctu extrém˚ u funkc´ı zjiˇst’ujeme nulové body 1. derivace, tj. stacionárn´ı body, pˇri zkoumán´ı inflexe zjiˇst’ujeme zpravidla nulové body 2.derivace funkce). ´ Uloha 2.2.2. Urˇcete nulové body funkce y = − e−x sin x + e−x cos x. ˇ sen´ı. Máme y = e−x (cos x − sin x). Hledáme body, v nichˇz y = 0, tj. Reˇ ˇreˇs´ıme goniometrickou rovnici cos x − sin x = 0, jeˇz je ı s rovnic´ı √ ekvivalentn´ sin π4 cos x − cos π4 sin x = 0 (nebot’ sin π4 = √12 = 22 = cos π4 ) a tedy i s rovnic´ı sin( π4 − x) = 0. Nulové body dané funkce jsou tedy xk = π4 + kπ.

19

c) Zjiˇ stˇ en´ı interval˚ u, kde je funkce kladn´ a (z´ aporn´ a ). Také tyto u ´lohy jsou souˇcást´ı vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce (pˇri zjiˇst’ován´ı interval˚ u monotónnosti ˇreˇs´ıme nerovnice typu y ′ > 0, pˇri zjiˇst’ován´ı interval˚ u ′′ konvexnosti a konkávnosti ˇreˇs´ıme nerovnice typu y > 0). ´ Uloha 2.2.3. Urˇcete intervaly, kde je funkce y = (6x − x2 ) e−x kladná a kde je z´ aporná. ˇ sen´ı. Rovnici uprav´ıme na tvar y = (6 − x)x e−x . Pro x > 0 ∧ 6 − x > 0, Reˇ tj. na intervalu (0, 6) je daná funkce kladná, pro x > 0 ∧ 6 − x < 0, tj. na intervalu (6, +∞) je funkce záporná, pro x < 0 ∧ 6 − x > 0, tj. téˇz na intervalu (−∞, 0) je funkce záporná. d) Zjiˇ stˇ en´ı pr˚ useˇ c´ık˚ u graf˚ u dvou funkc´ı ´ Uloha 2.2.4. Jsou dány funkce y = x2 − 1, y = x + 1. Stanovte pr˚ useˇc´ıky graf˚ u tˇechto funkc´ı. ˇ sen´ı. Reˇ ˇ s´ıme rovnici Reˇ x2 − 1 = x + 1

⇒

x1 = −1, x2 = 2,

takˇze pr˚ useˇc´ıky jsou body A[−1; 0] a B[2; 3]. e) Porovn´ an´ı hodnot dvou funkc´ı ´ Uloha 2.2.5. Jsou dány funkce f1 : y = x2 , f2 : y = 4−2x−x2 . Porovnejte hodnoty tˇechto funkc´ı. ˇ sen´ı. Reˇ f1 (x) < f2 (x)

⇔

x2 < 4 − 2x − x2

⇔

x2 + x − 2 < 0,

tedy na intervalu (-2, 1); podobnˇe f1 (x) > f2 (x) na mnoˇzinˇe (−∞, −2) ∪ (1, +∞) a obˇe funkce maj´ı stejné funkˇcn´ı hodnoty v bodech −2 a 1.

2.3

Vlastnosti funkc´ı

Omezenost Definice 2.3.1. Funkce f se naz´ yvá (shora, zdola) omezen´ a na mnoˇ zinˇ e M ⊂ D(f ) ⇔ tuto vlastnost má mnoˇzina f (M ); naz´ yvá se (shora, zdola) omezen´ a ⇔ tuto vlastnost má mnoˇzina H(f ). 20

Napˇr´ıklad funkce y = x2 je omezená zdola, nen´ı omezená shora a nen´ı omezená, ale na mnoˇzinˇe h−10, 10i je omezená. Je-li funkce f omezená na M , existuj´ı K, L ∈ R tak, ˇze plat´ı f (M ) ⊂ hK, Li. Je-li funkce omezená, je omezená na kaˇzdé mnoˇzinˇe M ⊂ D(f ). Supremum mnoˇziny f (M ) naz´ yváme supremum funkce na mnoˇzinˇe M a oznaˇcujeme sup f (x); podobnˇe inf f (x). x∈M

x∈M

Má-li mnoˇzina f (M ) nejvˇetˇs´ı prvek, pak toto ˇc´ıslo naz´ yváme nejvˇ etˇ s´ı hodnota funkce f na mnoˇzinˇe M nebo téˇz globáln´ı (absolutn´ı) maximum funkce f na mnoˇzinˇe M ; znaˇc´ı se max f (x), podobnˇe min f (x). x∈M

x∈M

Pokud M = D(f ), pak oznaˇcen´ı x ∈ M vynecháváme.

Monot´ onnost Definice 2.3.2. Funkce f se naz´ yvá rostouc´ı (klesaj´ıc´ı, neklesaj´ıc´ı, nerostouc´ı) na mnoˇ zinˇ e M ⊂ D(f ) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ M plat´ı: x1 < x2 ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) (f (x1 ) > f (x2 ), f (x1 ) ≤ f (x2 ), f (x1 ) ≥ f (x2 )). Funkci f rostouc´ı na D(f ) naz´ yváme rostouc´ı (tj. neuvád´ıme, kde je rostouc´ı), podobnˇe funkce klesaj´ıc´ı, neklesaj´ıc´ı, nerostouc´ı. Pro funkce rostouc´ı a funkce klesaj´ıc´ı pouˇz´ıváme souhrnn´ y název funkce ryze monot´ onn´ı; souhrnn´ y název pro vˇsechny ˇctyˇri uvedené druhy funkc´ı je funkce monot´ onn´ı. Napˇr´ıklad funkce y = 1/x je klesaj´ıc´ı na intervalu (−∞, 0) a je klesaj´ıc´ı i na intervalu (0, +∞), ale nen´ı klesaj´ıc´ı (tj. nen´ı klesaj´ıc´ı na D(f ) ). Kromˇe monotónnosti na mnoˇzinˇe, coˇz je globáln´ı vlastnost funkce, se zavád´ı i pojem monotónnosti v bodˇe jako vlastnost lokáln´ı. Uvedeme definici jen pro funkci rostouc´ı, dalˇs´ı tˇri pˇr´ıpady monotónnosti se formuluj´ı analogicky. Definice 2.3.3. Funkce f se naz´ yvá rostouc´ı v bodˇ e x0 ∈ D(f ) ⇔ ∃U (x0 ) ⊂ D(f ) tak, ˇze ∀x ∈ P (x0 −) plat´ı f (x) < f (x0 ) a ∀x ∈ P (x0 +) plat´ı f (x0 ) < f (x).

´ Uloha 2.3.4. Podobnˇe definujte funkci klesaj´ıc´ı (nerostouc´ı, neklesaj´ıc´ı) v bodˇe x0 a dále funkci rostouc´ı, klesaj´ıc´ı, nerostouc´ı a neklesaj´ıc´ı v bodˇe x0 zleva resp. zprava. (Tuto vlastnost vyˇsetˇrujeme zejména v krajn´ıch bodech interval˚ u.) Vˇ eta 2.3.5 (vztah monotónnosti v bodˇe a na intervalu). Funkce f definovan´ a na intervalu (a, b) je na tomto intervalu rostouc´ı (klesaj´ıc´ı, nerostouc´ı, neklesaj´ıc´ı) ⇔ má takovou vlastnost v kaˇzdém bodˇe tohoto intervalu. Princip d˚ ukazu. (pro f rostouc´ı): 1) Necht’ je f rostouc´ı na (a, b). Zvol´ıme libovoln´ y bod x0 ∈ (a, b) a jeho okol´ı P (x0 ) ⊂ (a, b). Je-li x1 ∈ P (x0 −), x2 ∈ P (x0 +), je x1 < x0 < x2 a monotónnost v bodˇe x0 plyne z monotónnosti na (a, b). 21

2) Necht’ f je rostouc´ı v kaˇzdém bodˇe intervalu (a, b). Zvol´ıme dva body x1 < x2 a dokáˇzeme, ˇze f (x1 ) < f (x2 ). Pro kaˇzdé x′ z jistého P (x1 ) je f (x1 ) < f (x′ ); necht’ m je supremum mnoˇziny M vˇsech takov´ ych x′ . Kdyby m < b, bylo by m ∈ M , nebot’ i v m je f rostouc´ı a podle 2. vlastnosti suprema ∀P (m−) obsahuje bod x′ ∈ M , tedy f (x1 ) < f (x′ ) < f (m). Souˇcasnˇe by existovalo pravé okol´ı P (m+) ⊂ (a, b) tak, ˇze by pro vˇsechny jeho body x′′ platilo f (x′′ ) > f (m) > f (x1 ), tj. x′′ ∈ M , x′′ > m a to je spor s 1. vlastnost´ı suprema. Proto m = b, takˇze x2 ∈ M a f (x1 ) < f (x2 ). Napˇr´ıklad funkce y = sgn x je rostouc´ı v bodˇe 0.

Parita Definice 2.3.6. Funkce f se naz´ yvá sud´ a (lich´ a) x ∈ D(f )

⇒

⇔

∀x ∈ R plat´ı

−x ∈ D(f ) ∧ f (−x) = f (x) (f (−x) = −f (x)).

Pˇr´ıklad sudé funkce: y = cos x, pˇr´ıklad liché funkce: y = sin x. ´ Uloha 2.3.7. Dokaˇzte, ˇze funkce y = 3x2 − 5, y = |x| a Dirichletova funkce χ jsou sudé a ˇze y = 2x3 + x, y = x|x| a y = sgn x jsou funkce liché. Pro polynomické funkce plat´ı: jsou-li v polynomu jen ˇcleny se sud´ ymi exponenty, je daná funkce sudá, jsou-li zde jen ˇcleny s lich´ ymi exponenty, je funkce lichá. Kartézsk´ y graf sudé funkce je soumˇern´ y podle osy y, graf liché funkce je soumˇern´ y podle poˇcátku.

Periodiˇ cnost Definice 2.3.8. Funkce f se naz´ yvá periodick´ a ∀x ∈ R plat´ı

⇔

∃p ∈ R, p 6= 0 tak, ˇze

1) x ∈ D(f ) ⇒ (x ± p) ∈ D(f ), 2) ∀x ∈ D(f ) : f (x ± p) = f (x). ˇ ıslo p se naz´ C´ yvá perioda funkce f . Je-li p perioda funkce f , je ∀k ∈ Z také ˇc´ıslo kp periodou funkce f . Nejmenˇs´ı kladná perioda p0 , pokud existuje, se naz´ yvá primitivn´ı (téˇz z´ akladn´ı) perioda funkce f . Konstantn´ı funkci zpravidla mezi periodické funkce nepoˇc´ıtáme. Pˇr´ıklady periodick´ ych funkc´ı: y = sin x (p0 = 2π), y = tg x (p0 = π).

22

´ Uloha 2.3.9. Dokaˇzte, ˇze funkce y = x − [x] je periodick´ a s periodou p0 = 1 a ˇze Dirichletova funkce χ je periodick´ a a periodou je kaˇzdé racion´ aln´ı ˇc´ıslo r˚ uzné od nuly; zde p0 neexistuje. Nˇekdy je uˇziteˇcné chápat periodiˇcnost jen jednostrannˇe“, napˇr´ıklad peri” ” odiˇcnost vpravo,“ tj. tak, ˇze v definici m´ısto (x ± p) uvaˇzujeme jen (x + p), kde p > 0.

2.4

Operace s funkcemi

• Rovnost funkc´ı: f =g

⇔

∀x, y ∈ R : ((x, y) ∈ f ⇔ (x, y) ∈ g).

Obrácenˇe, je-li f 6= g, znamená to, ˇze bud’ D(f ) 6= D(g) nebo ∃x′ ∈ D(f ) ∩ D(g) tak, ˇze f (x′ ) 6= g(x′ ). ˇ asteˇ • C´ cn´ e uspoˇ ra ´d´ an´ı: Je-li F mnoˇzina funkc´ı a jsou-li vˇsechny funkce definovány na M , definuje se na F ˇcásteˇcné uspoˇrádán´ı nerovnost´ı f < g. ´ Uloha 2.4.1. Definujte nerovnost f < g na M a objasnˇete jej´ı geometrický význam. Napˇr´ıklad funkce y = |x| a funkce y = x + 1 nejsou srovnatelné na R, ale na (0, +∞) ano. • Z´ uˇ zen´ı (restrikce) funkce: Mˇejme funkci f ; jej´ı restrikc´ı nazveme funkci g takovou, ˇze D(g) ⊂ D(f ) a na D(g) je g(x) = f (x). • Algebraick´ e operace: ∀x ∈ D(f ) ∩ D(g) se definuje 1. (f + g)(x) = f (x) + g(x), 2. (f − g)(x) = f (x) − g(x),

3. (f · g)(x) = f (x) · g(x),

4. (f /g)(x) = f (x)/g(x) (pokud g(x) 6= 0.

• Skl´ ad´ an´ı funkc´ı: Mˇejme funkce f , ϕ a necht’ H(ϕ) ⊂ D(f ). Pak sloˇzenou funkci F = f ◦ ϕ definujeme takto: (f ◦ ϕ)(x) = f [ϕ(x)], pˇriˇcemˇz funkci f naz´ yváme vnˇejˇs´ı funkce a funkci ϕ funkce vnitˇrn´ı. Napˇr´ıklad ve sloˇzené funkci y = sin 2x je vnˇejˇs´ı funkce y = sin u, vnitˇrn´ı funkce u = 2x. Funkce m˚ uˇze b´ yt sloˇzena i v´ıcekrát, napˇr´ıklad y = esin(3x+1) . Sloˇzenou funkci m˚ uˇzeme vytvoˇrit substituc´ı promˇenné. Máme-li napˇr´ıklad funkci y = 1 − x a dosad´ıme x = sin t, dostáváme sloˇzenou funkci y = 1 − sin t. Zvláˇstn´ım pˇr´ıpadem sloˇzené funkce je |f |. Vnˇejˇs´ı funkce je y = |z|, vnitˇrn´ı funkce z = f (x). 23

´ Uloha 2.4.2. Zobrazte funkci y = |x2 − 2x|.

Funkce prost´ a Definice 2.4.3. Funkce f se naz´ yvá prost´ a na M ⊂ D(f ) ⇔ ∀x1 , x2 ∈ M plat´ı: x1 6= x2 ⇒ f (x1 ) 6= f (x2 ) a naz´ yvá se prost´ a ⇔ je prostá na D(f ). Mnoˇzina M , na n´ıˇz je funkce prostá, se naz´ yvá jej´ım oborem prostoty. Napˇr´ıklad funkce y = x2 nen´ı prostá, ale je prostá tˇreba na intervalu h0, +∞), kter´ y je jej´ım oborem prostoty. Vˇ eta 2.4.4 (vztah prostoty a ryz´ı monotónnosti). Je-li funkce ryze monot´ onn´ı na M , je prost´ a na M . D˚ ukaz. plyne z toho, ˇze x1 < x2 ⇒ x1 6= x2 a stejnˇe i pro funkˇcn´ı hodnoty plyne z nerovnost´ı <“, >“ nerovnost 6=“. ” ” ” Obrácen´ y vztah neplat´ı, existuj´ı prosté funkce, které nejsou monotónn´ı, napˇr´ıklad funkce y = 1/x. Prostota funkce f je základn´ım pˇredpokladem pro to, aby inverzn´ı relace f −1 byla zobrazen´ım a tedy funkc´ı.

2.5

Funkce inverzn´ı

Definice 2.5.1. Inverzn´ı zobrazen´ı f −1 k prosté funkci (na M ) f naz´ yváme inverzn´ı funkce. Je-li tedy funkce f prostá, pak k n´ı existuje funkce inverzn´ı f −1 a plat´ı (x, y) ∈ f

⇔

(y, x) ∈ f −1 ;

pˇritom D(f −1 ) = H(f ),

H(f −1 ) = D(f ).

Je-li f prostá na M , pak inverzn´ı funkce má D(f −1 ) = f (M ), H(f −1 ) = M . Na M plat´ı f −1 (f (x)) = x a na f (M ) plat´ı f (f −1 (x)) = x. Geometrický význam: Grafy funkc´ı f a f −1 jsou soumˇernˇe sdruˇzené podle pˇr´ımky y = x (osy I. a III. kvadrantu). Napˇr´ıklad funkce f : y = x2 −1 je prostá na M = h0, +∞), f (M ) = h−1, √ +∞). −1 2 Inverzn´ı funkce f je definovánaqna h−1, +∞) a plat´ı x = y − 1 tj. y = x + 1. √ Pro x ∈ h0, +∞) je f −1 ◦ f (x) = (x2 − 1) + 1 = x2 = x, pro x ∈ h−1, +∞) je √ 2 x + 1 − 1 = x. f ◦ f −1 (x) = Funkce a funkce k nim inverzn´ı tvoˇr´ı dvojice funkc´ı navzájem inverzn´ıch, nebot’ (f −1 )−1 = f . Existuj´ı i funkce inverzn´ı samy k sobˇe; graf takové funkce je soumˇern´ y podle pˇr´ımky y = x (napˇr´ıklad funkce y = 1/x, y = a − x, y = x). Nˇekteré vlastnosti funkc´ı se pˇrenáˇsej´ı na funkce inverzn´ı. 24

Vˇ eta 2.5.2 (o monotónnosti inverzn´ı funkce). Je-li funkce f rostouc´ı (klesaj´ıc´ı), je funkce f −1 také rostouc´ı (klesaj´ıc´ı). Princip d˚ ukazu. Necht’ funkce y = f (x) je rostouc´ı. Je-li y1 < y2 , pak nem˚ uˇze platit x1 > x2 , protoˇze z toho by plynulo y1 > y2 . −∗−

25

Kapitola 3 Element´ arn´ı funkce 3.1

Pˇ rehled element´ arn´ıch funkc´ı

Jde o pojem sp´ıˇse historick´ y neˇz matematick´ y. Vymezuje se nˇekolik (z´ akladn´ıch) element´ arn´ıch funkc´ı a z nich se pomoc´ı koneˇcného poˇctu algebraick´ ych operac´ı a operac´ı skládán´ı vytváˇrej´ı dalˇs´ı funkce, jeˇz b´ yvaj´ı v matematické literatuˇre nˇekdy také naz´ yvány element´ arn´ı funkce.

Z´ akladn´ı element´ arn´ı funkce: - funkce konstantn´ı (y = c); - funkce mocninné (y = xr pro libovolné r ∈ R, patˇr´ı sem tedy i odmocniny a také napˇr´ıklad nepˇr´ımá u ´mˇernost); - goniometrické funkce (y = sin x, cos x, tg x, cotg x) a funkce cyklometrické (y = arcsin x, arccos x, arctg x, arccotg x); - exponenciáln´ı funkce (y = ax , a > 0, a 6= 1) a funkce logaritmické (y = loga x); - hyperbolické funkce (y = sh x, ch x, th x, coth x) a funkce hyperbolometrické (y = argsh x, argch x, argth x, argcoth x). Algebraick´ e funkce je název pro elementárn´ı funkce, které vzniknou z funkc´ı konstantn´ıch a z funkce f (x) = x uˇzit´ım operac´ı sˇc´ıtán´ı, odˇc´ıtán´ı, násoben´ı, dˇelen´ı a odmocˇ nován´ı. Pokud nepouˇzijeme operaci odmocˇ nován´ı, dostaneme algebraické funkce racion´ aln´ı. Algebraické funkce, které nejsou racionáln´ı, naz´ yváme iracion´ aln´ı. Zvláˇstn´ı pˇr´ıpady algebraick´ ych funkc´ı: napˇr´ıklad cel´ a racion´ aln´ı funkce neboli funkce polynomick´ a (algebraick´ y polynom) a lomen´ a racion´ aln´ı funkce, patˇr´ı mezi nejv´ yznamnˇejˇs´ı funkce studované v matematice. 26

Elementárn´ı funkce, které nejsou algebraické, se obvykle naz´ yvaj´ı transcendentn´ı; ze základn´ıch elementárn´ıch funkc´ı mezi nˇe patˇr´ı funkce exponenciáln´ı, logaritmické, goniometrické, cyklometrické, hyperbolické a hyperbolometrické, ale téˇz mocninná funkce s iracionáln´ım exponentem. Elementárn´ı funkce maj´ı velmi rozmanité vlastnosti (napˇr´ıklad pokud jde o omezenost, monotónnost, paritu, periodiˇcnost aj.) a proto spoleˇcné vlastnosti lze formulovat jen na velmi obecné u ´rovni. (Uvid´ıme zejména, ˇze elementárn´ı funkce jsou spojité ve vˇsech bodech svého definiˇcn´ıho oboru a maj´ı derivaci ve vˇsech vnitˇrn´ıch bodech svého definiˇcn´ıho oboru. Derivac´ı elementárn´ı funkce je opˇet elementárn´ı funkce. Naopak ovˇsem primitivn´ı funkc´ı k funkci elementárn´ı nemus´ı b´ yt funkce elementárn´ı). Pˇ r´ıklady funkc´ı, kter´ e nejsou element´ arn´ı: Dirichletova funkce χ(x), funkce sgn x, funkce [ . ] celá ˇcást“, funkce { . } ” lomená ˇcást“ definovaná vztahem {x} = x − [x].

” ´ Uloha 3.1.1. Zn´ azornˇete graficky funkci y = {x} a dokaˇzte, ˇze je periodick´ as periodou 1. Ani absolutn´ı hodnota nen´ı povaˇzována za elementárn´ı funkci. Elementárn´ımi funkcemi nejsou ani jiné funkce definované po ˇcástech“, jako napˇr´ıklad funkce ” y=

(

−x pro x < 0, x2 pro x ≥ 0.

(Tuto funkci bychom ovˇsem mohli nazvat po ˇcástech elementárn´ı“). ”

3.2

Algebraick´ e funkce

Pˇri popisu jednotliv´ ych funkc´ı nebo druh˚ u funkc´ı nˇekdy pouˇzijeme i nˇekteré pojmy, které jsou obsahem aˇz pozdˇejˇs´ıch kapitol, ale kde urˇcitou u ´roveˇ n jejich znalosti lze pˇredpokládat, jeˇzto jsou obsahem stˇredoˇskolského uˇciva matematiky. Jde tedy o jakési rozˇs´ıˇrené zopakován´ı stˇredoˇskolského uˇciva.

a) Mocniny s pˇ rirozen´ ym a cel´ ym exponentem Mocninu an pro n ∈ N definujeme jako souˇcin n ˇcinitel˚ u a. Z této definice ihned plynou vlastnosti mocnin, zejména ∀a, b ∈ R, ∀r, s ∈ N : (1) ar · as = ar+s , (2) ar : as = ar−s (pokud a 6= 0, r > s), 27

(3) (ar )s = ars , (4) (ab)r = ar br , (5)

r a b

=

ar br

(pokud b 6= 0),

(6) ar = br ⇔ a = b (pokud a, b > 0). K tomu pˇridejme jeˇstˇe vlastnosti vyjádˇrené nerovnostmi (7) ∀a, b > 0 : ar < br ⇔ a < b, (8) ∀a > 1, r < s ⇒ ar < as ;

∀a ∈ (0, 1), r < s ⇒ ar > as .

Chceme-li rozˇs´ıˇrit pojem mocniny rozˇs´ıˇren´ım ˇc´ıselného oboru exponentu, pˇricház´ı nejprve exponent 0. Maj´ı-li z˚ ustat v platnosti v´ yˇse uvedené vlastnosti (1)–(5), je tˇreba podle (2) definovat ∀a 6= 0; a0 = 1. Vlastnost (2) pak plat´ı pro r ≥ s a u vˇsech vlastnost´ı se mus´ıme omezit na mocniny s nenulov´ ym základem, nebot’ 00 nen´ı definována. Vlastnosti (6) a (7) ovˇsem pro r = 0 neplat´ı. Dalˇs´ım krokem je rozˇs´ıˇren´ı pojmu mocnina pro exponent, j´ımˇz je celé ˇc´ıslo. Kl´ıˇcovou vlastnost´ı je opˇet (2), podle n´ıˇz se definuje (poloˇz´ıme-li r = 0, s = k) ∀a 6= 0, ∀k ∈ Z;

a−k =

1 . ak

Vlastnost (2) pak plat´ı jiˇz bez omezen´ı pro r, s ∈ Z a vlastnost (7) nabude tvaru (7’) ∀r > 0, ∀a, b > 0 : ∀r < 0, ∀a, b > 0 :

ar < br ⇔ a < b,

ar > br ⇔ a < b.

b) Odmocniny Definice 3.2.1. Pro kaˇzdé pˇrirozené ˇc´ıslo n definujeme n-tou odmocninu z nezáporného ˇc´ısla a jako takové √ nezáporné ˇc´ıslo x, pro nˇeˇz plat´ı xn = a. Oznaˇcen´ı: x = n a. √ 2 √ n Podle definice tedy ( n a) = a, napˇr´ıklad 3 = 3. Existence n-t´ e odmocniny se zd´ a b´ y t zˇ r ejm´ a . Toto zdán´ı podporuj´ı jednoduché √ 3 3 pˇr´ıklady jako √8 = 2, nebot’ 2 = 8. Jestliˇze vˇsak vyˇsetˇrujeme ménˇe zˇretelné pˇr´ıpady, tˇreba 3 π, je tˇreba si odpovˇedˇet na otázku, zda n-tá odmocnina pro kaˇzdé a ∈ R, a ≥ 0 skuteˇcnˇe existuje a zda je to jediné ˇc´ıslo.

28

Vˇ eta 3.2.2 (o existenci a jednoznaˇcnosti n-té odmocniny). ∀n ∈ N, ∀a ∈ R, a ≥ 0 existuje pr´ avˇe jedno ˇc´ıslo x ∈ R, x ≥ 0, takové, ˇze xn = a. √ √ √ √ ´ Uloha 3.2.3. Zjednoduˇste rozn´ asoben´ım U = 2 2 − 3 3 2 + 2 3 . ´ Uloha 3.2.4. Zjednoduˇste umocnˇen´ım a usmˇernˇen´ım √ 2 2 3+3 2 V = √ √ . 3+ 2 √

K základn´ım vlastnostem odmocnin patˇr´ı: Vˇ eta 3.2.5. ∀a ∈ R, a ≥ 0, ∀m, n, r ∈ N: √ m √ (1) ( n a) = n am , √ √ (2) nr ar = n a. D˚ ukaz. ad (1) Pro levou a pravou stranu rovnosti plat´ı: L = xm , kde podle definice xn = a; po umocnˇen´ı na m-tou máme xmn = am . P = y, kde podle definice je y n = am . Je tedy xmn = y n a z toho xm = y, takˇze L = P . ad (2) L = x, kde xnr = ar , coˇz dává xn = a. P = y, kde y n = a. Tedy xn = y n a z toho x = y, tj. L = P .

c) Mocniny s racion´ aln´ım exponentem Chceme-li rozˇs´ıˇrit pojem mocniny na exponent racionáln´ı, vyjdeme ze základn´ı vlastnosti n-té odmocniny z ˇc´ısla a: xn = a. Tedy poloˇz´ıme x = at a po umocnˇen´ı na n-tou je a = xn = atn , tedy tn = 1, t = 1/n. To vede k definici (∀n ∈ N, ∀m ∈ Z, ∀a ∈ R, a > 0): √ √ 1 m a n = n a, a n = n am . Vlastnosti mocnin z˚ ustávaj´ı zachovány s t´ım, ˇze mus´ıme uváˇzit pˇr´ısluˇsné podm´ınky pro a, b, r, s. Pojem mocniny lze rozˇs´ıˇrit na libovolné reálné exponenty, ale mocnina s iracionáln´ım exponentem jiˇz nen´ı algebraická funkce. 29

Definice 3.2.6. Necht’ a ∈ R, a > 0, q ∈ Q′ .

Pak definujeme

aq = sup {ar } . r∈Q, r
V´ yˇse uvedené vlastnosti mocnin (1)–6), (7’), (8) plat´ı pro libovolné reálné exponenty. 3

2

1

0 -3

-2

-1

0

1

2

-1

-2

-3

Obrázek 3.1: Grafy funkc´ı y = x3 , y = x2 , y = x, y = x1/2 a y = x1/3 .

30

3

d) Polynomick´ e funkce Jsou dány rovnic´ı y = P (x), kde P (x) = a0 xn + a1 xn−1 + · · · + an−1 x + an je algebraick´ y polynom. Pro a0 6= 0 jde o polynom a tedy i o polynomickou funkci n-tého stupnˇe; D(f ) = R. Polynomická funkce obsahuj´ıc´ı jen liché mocniny x je lichá, pokud obsahuje jen sudé mocniny x, je sudá. Pˇri studiu polynomick´ ych funkc´ı se vyuˇz´ıvá poznatk˚ u z algebry, která se algebraick´ ymi polynomy zab´ yvá. Zejména se vyuˇz´ıvá: - dˇelen´ı polynom˚ u (se zbytkem), - rozklad polynomu na souˇcin koˇrenov´ ych ˇcinitel˚ u a nerozloˇziteln´ ych kvadratick´ ych polynom˚ u, - vˇeta o rovnosti polynom˚ u. (Jestliˇze dva polynomy P , Q nejv´ yˇse n-tého stupnˇe se rovnaj´ı v n + 1 bodech, pak P (x) = Q(x) na R, tj. oba polynomy maj´ı tent´ yˇz stupeˇ n a tytéˇz koeficienty.) Nyn´ı uved’me nˇekteré zvláˇstn´ı pˇr´ıpady polynomick´ ych funkc´ı. Mocninn´ a funkce y = xn (s pˇrirozen´ ym exponentem n). Grafem je parabola n-tého stupnˇe. Pro n sud´ e je f sudá funkce, která pro n ≥ 2 je na intervalu (−∞, 0i klesaj´ıc´ı a na intervalu h0, +∞) rostouc´ı, tedy v bodˇe 0 má minimum, H(f ) = h0, +∞), funkce je konvexn´ı na R. Pˇri definici√inverzn´ı funkce se za obor prostoty bere interval h0, +∞). Inverzn´ı funkce y = n x je tedy definována na intervalu h0, +∞) a stejn´ y je i obor hodnot. Pro n lich´ e je f lichá funkce, je rostouc´ı na R, H(f ) = R. Pro n ≥ 3 je f konkávn´ı na (−∞, 0i a konvexn´ı na√h0, +∞), v bodˇe 0 má inflexi. Jeˇzto f je bijekc´ı R na R, je inverzn´ı funkce y = n x definována na R a má t´ yˇz obor hodnot. Z tohoto d˚ uvodu je moˇzné√a u ´ˇcelné pro lichá n definovat n-tou odmocninu i ze záporn´ ych ˇc´ısel; napˇr´ıklad 3 −8 = −2. Konstantn´ı funkce Jsou dány rovnic´ı y = k,

31

kde k je konstanta; H(f ) = {k}. Jsou to funkce souˇcasnˇe neklesaj´ıc´ı i nerostouc´ı, sudé (y = 0 je souˇcasnˇe i lichá). V kaˇzdém bodˇe maj´ı neostré lokáln´ı maximum i neostré lokáln´ı minimum. Grafem kaˇzdé konstantn´ı funkce y = k v kartézské soustavˇe souˇradnic je pˇr´ımka rovnobˇeˇzná s osou x, resp. osa x (y = 0). V polárn´ı soustavˇe souˇradnic je grafem konstantn´ı funkce ρ = r (kde r > 0), ϕ ∈ h0, 2π) kruˇznice se stˇredem v poˇcátku a s polomˇerem r. Line´ arn´ı funkce Jsou dány rovnic´ı y = kx + q, kde k 6= 0, q jsou reálné konstanty; D(f ) = H(f ) = R. Pro k > 0 to jsou funkce rostouc´ı, pro k < 0 klesaj´ıc´ı, pro q = 0 jsou liché. Grafem kaˇzdé lineárn´ı funkce v kartézské soustavˇe souˇradnic je pˇr´ımka, jeˇz nen´ı rovnobˇeˇzná s osou x ani k n´ı kolmá. Konstanta k je smˇernic´ı pˇr´ımky, tj. k = tg ϕ, kde ϕ je velikost orientovan´ ´hlu urˇceného osou x a touto pˇr´ımkou; zpravidla bereme ϕ ∈ eho u π π − 2 , 2 . Parametr q znamená u ´sek na ose y. Pro q = 0 se lineárn´ı funkce naz´ yvá téˇz pˇr´ım´ au ´mˇernost, kartézsk´ ym grafem pˇr´ımé u ´mˇernosti je pˇr´ımka procházej´ıc´ı poˇcátkem. Pro lineárn´ı funkci (zpravidla pro q 6= 0) se pouˇz´ıvá téˇz název line´ arn´ı z´ avislost. Grafem lineárn´ı funkce v polárn´ı soustavˇe souˇradnic je Archimedova spirála. Jeˇzto lineárn´ı funkce jsou ryze monotonn´ı, jsou i prosté. Funkce inverzn´ı jsou opˇet lineárn´ı. Funkce y = a − x a funkce y = x jsou samy k sobˇe inverzn´ı. Lineárn´ı funkce je velmi d˚ uleˇzitá v ˇradˇe problém˚ u, v nichˇz se sloˇzitˇejˇs´ı pr˚ ubˇeh nˇejaké funkce nahrazuje (aproximuje) pr˚ ubˇehem lineárn´ım; napˇr´ıklad pˇri lineárn´ı interpolaci funkc´ı. ´ Uloha 3.2.7. Jsou dány dvˇe tabulkové hodnoty funkce f : f (4, 75) = 0, 6758, f (4, 80) = 0, 6803. Pomoc´ı line´ arn´ı interpolace stanovte f (4, 78). ˇ sen´ı. Dan´ Reˇ ymi dvˇema body proloˇz´ıme pˇr´ımku, jej´ı rovnice je y = 0, 6758 +

0.6803 − 0.6758 (x − 4.75) = 0, 6758 + 0, 09(x − 4, 75); 4.80 − 4.75

f (4, 78) = 0, 6758 + 0, 09 · 0, 03 = 0, 6758 + 0, 0027 = 0, 6785.

Kvadratick´ e funkce Jsou dány rovnic´ı y = ax2 + bx + c,

32

kde a 6= 0, b, c jsou konstanty; D(f ) = R, H(f ) je pro a > 0 interval typu hm, +∞), pro a < 0 je to interval typu (−∞, mi, kde m je minimum resp. maximum funkce f . Tohoto ostrého lokáln´ıho extrému nab´ yvá funkce f v bodˇe b x0 = − 2a . Grafem kaˇzdé kvadratické funkce v kartézské soustavˇe souˇradnic je (kvadratická) parabola; pro funkci y = ax2 je jej´ı vrchol v poˇcátku soustavy souˇradnic.

e) Racion´ aln´ı lomen´ e funkce Jsou to funkce dané rovnic´ı y=

P (x) , Q(x)

kde P (x), Q(x) jsou polynomy. Je-li stupeˇ n ˇcitatele vˇetˇs´ı nebo roven stupni jmenovatele, dovedeme racionáln´ı lomenou funkci vyjádˇrit ve tvaru y = S(x) +

R(x) , Q(x)

P (x) kde S(x) je pod´ıl a R(x) je zbytek pˇri dˇelen´ı Q(x) .Tato u ´prava (které se ˇr´ıká sn´ıˇzit ” stupeˇ n ˇcitatele pod stupeˇ n jmenovatele“) se pouˇz´ıvá pˇri integraci racionáln´ıch funkc´ı.

x3 − 5x2 + 8x − 7 ´ Uloha 3.2.8. Je dána funkce y = . Proved’te sn´ıˇzen´ı stupnˇe x2 + 3 ˇcitatele pod stupeˇ n jmenovatele. ˇ sen´ı. Po provedeném dˇelen´ı dostaneme y = x − 2 + 3x − 1 . Reˇ x2 + 3 x5 − 1 ´ . Proved’te sn´ıˇzen´ı stupnˇe ˇcitatele pod Uloha 3.2.9. Je dána funkce y = 2 x +1 stupeˇ n jmenovatele, aniˇz provedete klasické dˇelen´ı. ˇ sen´ı. V ˇcitateli vhodné ˇcleny pˇriˇc´ıtáme a odˇc´ıtáme a zlomek rozdˇel´ıme na v´ıce Reˇ x−1 zlomk˚ u. Dostaneme y = x3 − x + 2 . x +1 Line´ arn´ı lomen´ e funkce Jsou to funkce s rovnic´ı

ax + b , cx + d kde a, b, c, d jsou reálné konstanty, pˇriˇcemˇz plat´ı y=

a b 6= 0; c d

(

)

d . D(f ) = R \ − c 33

Jsou to funkce prosté, grafem v kartézské soustavˇe souˇradnic je rovnoosá hyperbola. Inverzn´ı funkce jsou téhoˇz typu, tj. jsou téˇz lineárn´ı lomené. a Zvláˇstn´ım pˇr´ıpadem je funkce zvaná nepˇr´ım´ au ´mˇernost s rovnic´ı y = , která x je sama k sobˇe inverzn´ı.

3.3

Goniometrick´ e funkce a funkce cyklometrick´ e

Pravo´ uhl´ e troj´ uheln´ıky Podobnost troj´ uheln´ık˚ u jako relace ekvivalence na mnoˇzinˇe vˇsech pravo´ uhl´ ych troj´ uheln´ık˚ u, definuje rozklad této mnoˇziny na tˇr´ıdy. Z vlastnosti podobnosti plyne, ˇze kaˇzdá tˇr´ıda tˇechto troj´ uheln´ık˚ u je urˇcena jedn´ım vnitˇrn´ım ostr´ ym u ´hlem a ˇze vˇsechny troj´ uheln´ıky z téˇze tˇr´ıdy ekvivalence se shoduj´ı v pomˇeru odpov´ıdaj´ıc´ıch si stran. Toho se vyuˇz´ıvá k definici goniometrických funkc´ı ostrého u ´hlu. C

b a α c

A

B

Obrázek 3.2: Pravo´ uhl´ y troj´ uheln´ık a Definice 3.3.1. sin α = , b

c cos α = , b

a tg α = , c

c cotg α = . a

Tato definice pracuje zpravidla s u ´hly v m´ıˇre stupˇ nové. Odsud sin α cos α tg α = , cotg α = . cos α sin α Z △ABC dále plyne: sin(90◦ − α) = cos α,

cos(90◦ − α) = sin α, tg(90◦ − α) = cotg α.

34

sin2 α + cos2 α = 1,

Zvl´ aˇ stn´ı hodnoty Nˇekteré zvláˇstn´ı hodnoty goniometrick´ ych funkc´ı lze odvodit (pˇri pouˇzit´ı Pythagorovy vˇety) - z rovnostranného troj´ uheln´ıku s v´ yˇskou:

√ 1 3 ◦ , sin 30 = , sin 60 = 2 2 √ √ 3 tg 30◦ = , tg 60◦ = 3. 3 (podobnˇe pro kofunkce“ cos α a cotg α). ” - ze ˇctverce s u ´hlopˇr´ıˇckou: √ 2 ◦ ◦ , tg 45◦ = cotg 45◦ = 1. sin 45 = cos 45 = 2 ◦

Na této u ´rovni se pˇrij´ımá jako d˚ usledek definice, ˇze kdyˇz α roste od 0◦ do 90◦ , tak funkce sinus roste od 0 do 1, funkce tangens roste od 0 do +∞, funkce kosinus klesá od 1 k 0 a funkce kotangens klesá od +∞ k 0. Rovnˇeˇz pomoc´ı názoru se na této u ´rovni snese rozˇs´ıˇren´ı funkc´ı: sin 0◦ = 0,

cos 0◦ = 1,

tg 0◦ = 0,

cotg 0◦ nen´ı definován;

podobnˇe sin 90◦ = 1,

cos 90◦ = 0,

tg 90◦ nen´ı definován,

cotg 90◦ = 0.

Uˇ zit´ı jednotkov´ e kruˇ znice k definici goniometrick´ ych funkc´ı Tato definice se obyˇcejnˇe spojuje jiˇz s pouˇz´ıván´ım m´ıry obloukové, pˇriˇcemˇz pˇrepoˇcet mezi velikost´ı u ´hlu α v m´ıˇre stupˇ nové a velikost´ı x v m´ıˇre obloukové je dán vztahy π 180 x= α, α= x. 180 π Definice goniometrick´ ych funkc´ı pomoc´ı jednotkové kruˇznice pˇrináˇs´ı jeden didaktick´ y problém. Chceme-li zachovat oznaˇcen´ı x pro velikost u ´hlu v m´ıˇre obloukové, mus´ıme volit jiné oznaˇcen´ı pro souˇradnicové osy, napˇr´ıklad u, v. Chceme-li vˇsak zachovat oznaˇcen´ı os x, y, mus´ıme volit jiné oznaˇcen´ı pro velikost u ´hlu, napˇr´ıklad t, tedy nem˚ uˇzeme pˇr´ımo definovat sin x, pˇrestoˇze právˇe tento zápis v matematické anal´ yze nejv´ıce pouˇz´ıváme. Definice 3.3.2. Je-li O poˇcátek pravo´ uhlé soustavy souˇradnic, J jednotkov´ y bod na ose x, M (xM , yM ) bod na jednotkové kruˇznici a t velikost orientovaného u ´hlu ∠JOM , pak hodnota funkce cos t je definována jako x-ová souˇradnice bodu M , cos t = xM , a hodnota funkce sin t je definována jako y-ová souˇradnice bodu M , sin t = yM . 35

y

M

yM

t

t xM

x

Obrázek 3.3: Uˇzit´ı jednotkové kruˇznice k definici goniometrick´ ych funkc´ı

36

Vlastnosti plynouc´ı z definice funkc´ı Z definice máme: D(sin) = D(cos) = R, H(sin) = H(cos) = h−1, 1i. Z definice plyne rovnˇeˇz periodiˇcnost obou funkc´ı s periodou 2π: ∀t ∈ R, ∀k ∈ Z;

sin(t + 2kπ) = sin t, cos(t + 2kπ) = cos t.

Z bˇeˇzn´ ych vlastnost´ı lze dále pˇr´ımo z jednotkové kruˇznice zjistit - znaménka funkc´ı v jednotliv´ ych kvadrantech I, II, III, IV; - hodnoty funkc´ı pro u ´hly, pro nˇeˇz je bod M na nˇekteré souˇradnicové ose, tj. pro u ´hly 0, π2 , π, 3π , . . . , zejména nulové body: 2 sin t = 0 ⇐⇒ t = kπ

(∀k ∈ Z),

cos t = 0 ⇐⇒ t = (2k + 1) π2 - paritu funkc´ı, tj. sin(−t) = − sin t

cos(−t) = cos t

(∀k ∈ Z);

∀t ∈ R:

(funkce sinus je lichá),

(funkce kosinus je sudá);

- vzorce pro zmˇenu velikosti u ´hlu o π, tj. sin(t ± π) = − sin t,

∀t ∈ R:

cos(t ± π) = − cos t;

- nerovnost:

∀t ∈ (0, +∞) :

sin t < t;

- parametrické vyjádˇren´ı kruˇznice:

x = r · cos t, y = r · sin t,

t ∈ h0, 2π).

Ve ˇskolské matematice se nejˇcastˇeji setkáváme s oznaˇcován´ım velikosti u ´hl˚ u ˇreck´ ymi p´ısmeny α, β, . . . a s m´ırou stupˇ novou, v matematické anal´ yze se ponejv´ıce pracuje s m´ırou obloukovou a s x jako oznaˇcen´ım velikosti u ´hl˚ u v m´ıˇre obloukové, tedy sin x, cos x, . . .

Funkce tangens a kotangens Definice funkc´ı tangens a kotangens vycház´ı z funkc´ı sinus a kosinus. Definice 3.3.3. ∀x 6= (2k + 1) π2 (tedy pro nˇeˇz cos x 6= 0) definujeme funkci tangens: sin x , tg x = cos x ∀x 6= kπ (tedy pro nˇeˇz sin x 6= 0) definujeme funkci kotangens: cos x cotg x = . sin x 37

2 1 −π

− π2

π 2

π

−1 −2

Obrázek 3.4: Grafy funkc´ı y = sin x, y = sin 2x, y = 2 sin x a y = cos x. Vlastnosti funkc´ı tg x a cotg x: Funkce tangens je definováona pro vˇsechna x ∈ (2k + 1) π2 , tj. na mnoˇzinˇe n D(tg) = R \ (2k + 1) π2 ; k ∈ Z ; H(tg) = R. Funkce kotangens je definována pro vˇsechna x 6= k·π, tj. na mnoˇzinˇe D(cotg) = R \ {kπ; k ∈ Z}; H(cotg) = R. Z definice funkc´ı tangens a kotangens a z vlastnost´ı funkc´ı sinus a kosinus dostáváme zejména tyto základn´ı vlastnosti: - znaménka funkc´ı v jednotliv´ ych kvadrantech I, II, III, IV; - hodnoty funkc´ı pro u ´hly, pro nˇeˇz je bod M na nˇekteré souˇradnicové ose, tj. pro u ´hly 0, π2 , π, 3π , 2π, zejména nulové body: tg 0 = tg π = 0, cotg π2 = 2 = 0; cotg 3π 2 - paritu funkc´ı, tj. ∀x ∈ D(f ): tg(−x) = − tg x,

cotg(−x) = − cotg x (funkce liché);

- periodiˇcnost funkc´ı: ∀x ∈ D(f ): tg(x ± π) = − tg x,

cotg(x ± π) = − cotg x.

Vzorce pro goniometrick´ e funkce: Postupnˇe lze vyvodit dalˇs´ı skupiny vzorc˚ u. Je-li g libovolná ze ˇctyˇr základn´ıch goniometrick´ ych funkc´ı a oznaˇc´ıme-li velikosti u ´hl˚ u α, β, . . . , jak je to bˇeˇzné na stˇredn´ı ˇskole, jde o vzorce, kde 38

4 3 2 1 − π2

0 −1

π 2

π

3 π 2

2π

−2 −3 −4

Obrázek 3.5: Grafy funkc´ı y = tg x a y = cotg x.

39

5 π 2

- g(α ± β) vyjadˇrujeme pomoc´ı goniometrick´ ych funkc´ı u ´hl˚ u α, β, napˇr´ıklad sin(α ± β) = sin α cos β ± cos α sin β; tg α ± tg β tg(α ± β) = (pro která α, β plat´ı?); 1 ∓ tg α tg β

- g(2α) vyjadˇrujeme pomoc´ı goniometrick´ ych funkc´ı jednoduchého u ´hlu α, napˇr´ıklad cos 2α = cos2 α − sin2 α,

sin 2α = 2 sin α cos α;

α vyjadˇrujeme pomoc´ı goniometrick´ ych funkc´ı u ´hlu α, 2 napˇr´ıklad pro α ∈ I je

- g

α sin = 2

s

1 − cos α ; nebo téˇz 2

s

1 + cos α 1 − cos 2α α sin2 α = , cos = 2 2 2 tento vzorec se vyuˇz´ıvá napˇr´ıklad pˇri integraci goniometrick´ ych funkc´ı; - g(α) ± g(β) se vyjádˇr´ı jako souˇcin funkc´ı, napˇr´ıklad α+β α−β sin α + sin β = 2 sin cos ; 2 2 - pˇri integraci souˇcinu goniometrick´ ych funkc´ı se vyuˇz´ıvá obráceného vztahu a g(α) · g(β) vyjadˇrujeme jako souˇcet nebo rozd´ıl goniometrick´ ych funkc´ı, napˇr´ıklad: 1 sin mα · cos nα = [sin(m + n)α + sin(m − n)α]; 2 - velmi uˇziteˇcn´ y je vzorec

1 = 1 + tg2 α. cos2 α

Funkce cyklometrick´ e Pro základn´ı goniometrické funkce se vol´ı obory prostoty P , pˇriˇcemˇz obory hodnot H se nemˇen´ı: π π sin x : P = − , , H = h−1, 1i; 2 2 cos x : P =h0, πi, H = h−1, 1i; π π tg x : P = − , , H = (−∞, +∞) = R; 2 2 cotg x : P = (0, π), H = (−∞, +∞) = R. Pˇri definici cyklometrick´ ych funkc´ı se vymˇen´ı u ´loha mnoˇzin P a H. 40

Definice 3.3.4. Goniometrické funkce uvaˇzujme na jejich oborech prostoty. Inverzn´ı funkc´ı (s definiˇcn´ım oborem D) k funkci sin x je funkce arcsin x (arkussinus), D = h−1, 1i; cos x je funkce arccos x (arkuskosinus), D = h−1, 1i; tg x je funkce arctg x (arkustangens), D = (−∞, +∞); cotg x je funkce arccotg x (arkuskotangens), D = (−∞, +∞). π π Pˇritom si uvˇedom´ıme, ˇze napˇr´ıklad ∀x ∈ h−1, 1i, ∀y ∈ − , , zna2 2 menaj´ı zápisy y = arcsin x, x = sin y pˇresnˇe totéˇz. Funkce arcsin x se vyskytuje v u ´lohách na urˇcen´ı definiˇcn´ıho oboru funkc´ı.

arcsin x ´ Uloha 3.3.5. Urˇcete definiˇcn´ı obor funkce f : y = √ . 3x + 2 ˇ sen´ı. Citatel ˇ Reˇ je definov´ anna intervalu h−1, 1i, jmenovatel na mnoˇzinˇe x > − 23 , tedy na intervalu − 32 , +∞ . Definiˇcn´ı obor D(f ) je pr˚ unikem obou interval˚ u,

E

tedy D(f ) = − 23 , 1 .

π

π 2

−5

−4

−3

−2

−1

1 −

2

3

4

π 2

Obrázek 3.6: Grafy funkc´ı y = arcsin x, y = arccos x, y = arctg x a y = arccotg x. Vlastnosti cyklometrick´ ych funkc´ı Jelikoˇz inverzn´ı funkce zachovává monotónnost funkce v´ ychoz´ı, jsou funkce arcsin x, arctg x ve sv´ ych definiˇcn´ıch oborech rostouc´ı, arccos x a arccotg x jsou klesaj´ıc´ı. Ze vzorc˚ u pro funkce goniometrické lze odvodit odpov´ıdaj´ıc´ı vzorce pro funkce cyklometrické, napˇr´ıklad: 41

Jeˇzto cos t = sin

π 2

− t , dostaneme po dosazen´ı cos t = x, (tedy i t =

arccos x): x = sin π2 − arccos x ⇒ ∀x ∈ h−1, 1i : arcsin x + arccos x = π2 . Podobnˇe téˇz ∀x ∈ R : arctg x + arccotg x = π2 . Proto se z uveden´ ych cyklometrick´ ych funkc´ı pouˇz´ıvá obvykle vˇzdy jen jedna z kaˇzdé dvojice, zpravidla funkce arcsin x a arctg x. Jestliˇze ve vzorci pro tg(α + β) poloˇz´ıme tg α = x, tg β = y, tj. α = arctg x, x+y β = arctg y, dostaneme vzorec arctg x + arctg y = arctg 1−xy .

3.4

Funkce exponenci´ aln´ı a logaritmick´ e

Exponenci´ aln´ı funkce Necht’ a > 0, a 6= 1. Exponenciáln´ı funkce jsou definovány rovnic´ı y = ax , D(f ) = R (plyne to z definice mocniny pro libovoln´ y reáln´ y exponent). Hodnotu mocniny s iracionáln´ım exponentem, tedy exponenciáln´ı funkce pro iracionáln´ı hodnotu nezávisle promˇenné x) lze naj´ıt i jako limitu posloupnosti ar , kde r ∈ Q, r → x. Tak tˇreba 2π je limitou posloupnosti 2r , kde r napˇr´ıklad tvoˇr´ı posloupnost doln´ıch desetinn´ ych aproximac´ı ˇc´ısla π: 3; 3, 1; 3, 14; 3, 141; 3, 1415; r 3, 14159; . . . . Pak 2 dává posloupnost 8; 8, 5741 . . .; 8, 8152 . . .; 8, 8213 . . .; 8, 8244 . . .; 8, 82496 . . ., takˇze napˇr´ıklad 2π ≈ 8, 8250. Podobnˇe (uˇzit´ım suprema mnoˇzin) bychom mohli dokázat, ˇze kaˇzdé kladné ˇc´ıslo je pˇri daném základu a hodnotou nˇejaké mocniny, tj. H(f ) = (0, +∞). Pro a > 1 je exponenciáln´ı funkce rostouc´ı, jak plyne z vlastnosti mocnin 4.2 (8). Pro a < 1 je exponenci´ ı funkce r´ıpadˇe je (1/a) > 1, aln´ x2 klesaj´ıc´ı. V tomto pˇ x1 1 1 plat´ı pro kaˇzdé x1 < x2 < a < a a po pˇrechodu k pˇrevrácen´ ym hodnotám máme ax1 > ax2 . Pro a ∈ (0, 1) je tedy ax = b−x , kde b = 1/a > 0. Exponenciáln´ı funkci y = ax pro a ∈ (0, 1) lze tedy nahradit exponenciáln´ı funkc´ı y = b−x pro b > 1 (která je klesaj´ıc´ı), a to vede k závˇeru, ˇze v podstatˇe nen´ı tˇreba se zab´ yvat exponenciáln´ımi funkcemi se základem a < 1. Grafu exponenciáln´ı funkce v kartézské soustavˇe ˇr´ıkáme exponenciála. Vˇsechny exponenciály procházej´ı bodem [0; 1]. Grafem exponenciáln´ı funkce v polárn´ı soustavˇe souˇradnic je tzv. logaritmická spirála. Zvláˇst’ d˚ uleˇzitá je exponenciáln´ı funkce y = ex oznaˇcovaná nˇekdy téˇz exp x.

Logaritmick´ e funkce Exponenciáln´ı funkce f : y = ax je pro a > 0 rostouc´ı (tedy i prostá) na celé mnoˇzinˇe R, pˇriˇcemˇz H(f ) = (0, +∞). Existuje proto inverzn´ı funkce 42

6

5

4

3

2

1

0 -3

-2

-1

0

Obrázek 3.7: Grafy funkc´ı y = ex , y =

43

1 x 1 e

, y = 2x a y =

2 x 1 2

.

3

f −1 : x = ay , kterou naz´ yváme logaritmická funkce o základu a a kterou zapisujeme y = loga x; ta má D(f −1 ) = (0, +∞), H(f ) = R. Hodnotu logaritmické funkce naz´ yváme logaritmus; nˇekdy pojem logaritmus pouˇz´ıváme i pro struˇcné oznaˇcen´ı logaritmické funkce. Logaritmovat nˇejak´ y v´ yraz znamená urˇcit jeho logaritmus. Pro matematickou anal´ yzu je nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ı logaritmická funkce o základu e, pro niˇz máme zvláˇstn´ı oznaˇcen´ı ln x = loge x a název pˇ rirozen´ y logaritmus (ln = logaritmus naturalis). Z definice logaritmu plyne zejména: (a) Zápis x = ay znamená pˇresnˇe totéˇz jako y = loga x. (b) ∀x ∈ R: loga ax = x, ∀x > 0: aloga x = x. (c) ∀x ∈ R: ax = ex ln a (nebot’ a = eln a ). Z prostoty exponenciáln´ıch a logaritmick´ ych funkc´ı plyne: (d) aK = aL ⇔ K = L,

A = B (> 0) ⇔ loga A = loga B.

V obou pˇr´ıpadech (d) z´ıskáme závˇer implikace logaritmován´ım jej´ıho pˇredpokladu. Dekadick´ y logaritmus, tj. logaritmus o základu 10, mˇel dˇr´ıve v´ ysadn´ı postaven´ı pˇri numerick´ ych v´ ypoˇctech (pouˇz´ıván´ı tabulek dekadick´ ych logaritm˚ u), ale s rozˇs´ıˇren´ım kalkulátor˚ u a poˇc´ıtaˇc˚ u toto postaven´ı ztratil. Vˇsechny logaritmické funkce o základu a > 1 jsou rostouc´ı a jejich grafy procházej´ı bodem [1; 0] na ose x. ´ Uloha 3.4.1. Naˇcrtnˇete grafy funkc´ı y = ex , y = ln x. Z v´ yˇse uvedené vlastnosti (c) plyne, ˇze m´ısto exponenciáln´ıch funkc´ı y = ax o základu a lze uvaˇzovat jen exponenciáln´ı funkce y = ekx o základu e. Podobnˇe na sebe lze pˇrevádˇet logaritmy o r˚ uzn´ ych základech. Pˇrevodn´ı vztahy lze odvodit napˇr´ıklad takto (uvaˇzujme logaritmus pˇrirozen´ y a logaritmus o základu a): loga x Rovnost x = a logaritmujeme pˇri základu e a dostaneme ln x = ln a·loga x. Jestliˇze logaritmujeme rovnost x = eln x pˇri základu a, dostaneme loga x = loga e · ln x. Z vlastnost´ı exponenciáln´ıch funkc´ı plynou ihned vlastnosti funkc´ı logaritmick´ ych: ∀x1 , x2 > 0: loga (x1 · x2 ) = loga x1 + loga x2 ; ∀x1 , x2 > 0: loga (x1 : x2 ) = loga x1 − loga x2 ; ∀x > 0, ∀m ∈ R: loga (xm ) = m · loga x.

44

3

2

1

0 0

1

2

3

4

5

6

-1

-2

-3

Obrázek 3.8: Grafy funkc´ı y = ln x, y = log1/e x, y = log2 x a y = log1/2 x.

45

3.5

Funkce hyperbolick´ e a hyperbolometrick´ e

Hyperbolické funkce patˇr´ı mezi elementárn´ı funkce a jsou definovány pomoc´ı funkc´ı exponenciáln´ıch takto: Definice 3.5.1. sh x =

1 x 1 x e − e−x , ch x = e + e−x , 2 2

th x =

sh x , ch x

coth x =

ch x ; sh x

jsou to hyperbolický sinus, kosinus, tangens a kotangens. Z definice je vidˇet, ˇze pro prvn´ı tˇri z tˇechto funkc´ı je D(f ) = R (pro th x to plyne z toho, ˇze ∀x ∈ R: ch x > 0). Lehce zjist´ıme, ˇze funkce sh x má jedin´ y nulov´ y bod pro x0 = 0, takˇze D(coth) = R \ {0}. Obory hodnot a pr˚ ubˇ eh: H(sh) = R, funkce je rostouc´ı; H(ch) = h1, +∞), funkce je klesaj´ıc´ı na (−∞, 0i a rostouc´ı na h0, +∞), v bodˇe 0 má minimum 1. H(th) = (−1; 1), funkce je rostouc´ı; H(coth) = (−∞, −1) ∪ (1, +∞), na intervalu (−∞, 0) funkce klesá od −1 k −∞, na intervalu (0, +∞) funkce klesá od +∞ k 1. Pro funkce tangens i kotangens jsou pˇr´ımky y = 1 a y = −1 asymptotami, asymptotou grafu funkce kotangens je téˇz osa y. ´ Uloha 3.5.2. Do jednoho obr´ azku zn´ azornˇete grafy funkc´ı y = sh x, y = ch x, 1 x y= e . 2 ´ Uloha 3.5.3. Do jednoho obr´ azku zn´ azornˇete grafy funkc´ı y = th x, y = coth x. x Graf funkce y = a·ch v kartézské souˇradnicové soustavˇe se naz´ yvá ˇretˇezovka. a Je to kˇrivka, kterou vytváˇr´ı ˇretˇez (nepruˇzná nit) volnˇe zavˇeˇsen´ y ve dvou bodech. Hyperbolické funkce maj´ı ˇradu vlastnost´ı velmi podobn´ ych vlastnostem funkc´ı goniometrick´ ych. Z definice funkc´ı lze odvodit napˇr´ıklad (a) Funkce sh x, th x, coth x jsou liché, funkce ch x je sudá. (b) ∀x: ch2 x − sh2 x = 1. (c) ∀x 6= 0: th x · coth x = 1. (d) ∀xi ∈ R: sh(x1 ± x2 ) = sh x1 ch x2 ± ch x1 sh x2 . (e) ∀xi ∈ R: ch(x1 ± x2 ) = ch x1 ch x2 ∓ sh x1 sh x2 . 46

(f) ∀xi ∈ R: th(x1 ± x2 ) =

th x1 ± th x2 . 1 ± th x1 th x2

Hyperbolické funkce se vyskytuj´ı zejména v aplikac´ıch a také se pouˇz´ıvaj´ı pˇri v´ ypoˇctu neurˇcit´ ych integrál˚ u pomoc´ı hyperbolick´ ych substituc´ı. Funkce sh x, th x a coth x jsou prosté, u funkce ch x vezmeme za obor prostoty interval h0, +∞). Pak lze definovat funkce inverzn´ı (zvané hyperbolometrick´ e ): - K funkci sh x je inverzn´ı funkc´ı funkce argsh x (argument hyperbolického sinu), D(f ) = H(f ) = R. - K funkci ch x je inverzn´ı funkc´ı funkce argch x (argument hyperbolického kosinu), D(f ) = h1, +∞), H(f ) = h0, +∞). - K funkci th x je inverzn´ı funkc´ı funkce argth x (argument hyperbolické tangens), D(f ) = (−1; 1), H(f ) = R. - K funkci coth x je inverzn´ı funkc´ı funkce argcoth x (argument hyperbolické kotangens), D(f ) = (−∞, −1) ∪ (1, +∞), H(f ) = R \ {0}. Jeˇzto jsou hyperbolické funkce vyjádˇreny pomoc´ı exponenciáln´ı funkce, lze hyperbolometrické funkce vyjádˇrit pomoc´ı funkce logaritmické, napˇr´ıklad: √ 1 1+x argsh x = ln x + x2 + 1 , argth x = ln . 2 1−x −∗−

47

4 3 2 1 −5

−4

−3

−2

−1 −1

1

2

3

4

−2 −3 −4 −5 Obrázek 3.9: Grafy funkc´ı y = sh x, y = ch x, y = th x a y = coth x.

3 2 1 −5

−4

−3

−2

−1 −1

1

2

3

4

−2 −3 −4 Obrázek 3.10: Grafy funkc´ı y = argsh x, y = argch x, y = argth x a y = argcoth x. 48

Kapitola 4 Limita funkce Limita funkce je jedn´ım z nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ıch pojm˚ u matematické anal´ yzy. Na pojmu limita jsou zaloˇzeny dalˇs´ı v´ yznamné pojmy, jako je spojitost, derivace funkce, Riemann˚ uv integrál, délka kˇrivky a dalˇs´ı. S pˇr´ım´ ym praktick´ ym pouˇzit´ım limity se setkáme pˇri vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce, napˇr´ıklad pˇri zjiˇst’ován´ı asymptot grafu funkce.

4.1

Limita funkce podle Heineho Hlavn´ı myˇslenka: Problém limity funkce se pˇrevede na (jiˇz znám´ y) problém limity posloupnosti.

Definice 4.1.1 (limita funkce podle Heineho). Necht’ funkce f je definována na ˇ ıslo a nazveme limita funkce f v bodˇe x0 nˇejakém redukovaném okol´ı bodu x0 1 . C´ ⇐⇒ pro kaˇzdou posloupnost {xn }, xn ∈ P (x0 ),

(xn 6= x0 ),

xn → x0 ,

plat´ı f (xn ) → a.

P´ıˇseme lim f (x) = a.

x→x0

Definice 4.1.2 (jednostranná limita funkce podle Heineho). Necht’ funkce f je definována na nˇejakém levém (pravém) redukovaném okol´ı bodu x0 2 ˇ ıslo a nazveme limita zleva (zprava) funkce f v bodˇe x0 ⇐⇒ pro kaˇzdou C´ posloupnost {xn }, xn ∈ P (x0 −), (xn < x0 )

xn ∈ P (x0 +), (xn > x0 ),

1

P (x0 ) := {x ∈ R : 0 < |x − x0 | < ε} = (x0 − ε; x0 + ε) \ {x0 } P (x0 −) := {x ∈ R : 0 < x0 − x < ε} = (x0 − ε; x0 ), P (x0 +) := {x ∈ R : 0 < x − x0 < ε} = (x0 ; x0 + ε) 2

49

xn → x0 ,

plat´ı f (xn ) → a.

P´ıˇseme

f (x0 −) = lim f (x) = a

f (x0 +) = lim f (x) = a .

x→x0 −

´ Uloha 4.1.3. Vypoˇctˇete

x→x0 +

x2 − 4 . x→2 x − 2 lim

ˇ sen´ı. Podle Heineho definice limitu funkce pˇrep´ıˇseme na limitu posloupnosti: Reˇ x2n − 4 (xn − 2)(xn + 2) x2 − 4 = lim = lim = lim (xn +2) = 4, x→2 x − 2 xn − 2 xn → 2 xn − 2 xn → 2 xn → 2 xn 6= 2 xn = 6 2 xn = 6 2 lim

kde jsme mohli krátit v´ yrazem (xn − 2), nebot’ z pˇredpoklad˚ u v´ıme, ˇze xn 6= 2, a tak (xn − 2) 6= 0. ´ Uloha 4.1.4. Vypoˇctˇete obˇe jednostranné limity funkce y = sgn x v bodˇe 0. ˇ sen´ı. Pˇripomeˇ Reˇ nme definici zkoumané funkce:    −1, pro x < 0,

sgn x :=  0, pro x = 0,  1, pro x > 0.

Vypoˇcteme limitu zprava (limita zleva se poˇc´ıtá analogicky): lim sgn x =

x→0+

lim sgn xn = lim 1 = 1, xn → 0 xn → 0 xn > 0 xn > 0

kdyˇz za sgn xn jsme dosadili 1, nebot’ xn > 0, a tak sgn xn = 1. Podobnˇe lim = −1. x→0−

´ Uloha 4.1.5. Dokaˇzte, ˇze Dirichletova funkce χ(x) nemá limitu (ani jednostrannou) v ˇza´dném bodˇe x0 ∈ R. ˇ sen´ı. Pˇripomeˇ Reˇ nme definici zkoumané funkce: χx :=

(

1, pro x ∈ Q, 0, pro x ∈ Q′ . 50

Pro kaˇzd´ y bod x0 v R existuje alespoˇ n jedna posloupnost racionáln´ıch ˇc´ısel, která k nˇemu konverguje: ∃ {an } , an ∈ Q : an → x0 . Také ovˇsem existuje i podobná posloupnost iracionáln´ıch ˇc´ısel: ∃ {bn } , bn ∈ Q′ : bn → x0 . Posloupnosti obraz˚ u obou posloupnost´ı jsou konstantn´ı, ale s r˚ uzn´ ymi konstantami: χ(an ) = 1, χ(bn ) = 0, takˇze lim 1 = 1 6= 0 = lim 0,

an →x0

bn →x0

a tak limita x→x lim χ(x) neexistuje. 0

´ Uloha 4.1.6. Vyslovte definici nevlastn´ı limity +∞ ve vlastn´ım bodˇe x0 .

Definice 4.1.7 (vlastn´ı limita v nevlastn´ım bodˇe +∞). Necht’ +∞ je hroˇ ıslo a nazveme limita funkce f v nevlastn´ım bodˇe +∞ madn´ ym bodem D(f ). C´ ⇐⇒ pro kaˇzdou posloupnost {xn }, xn ∈ D(f ), xn → +∞, plat´ı f (xn ) → a. P´ıˇseme lim f (x) = a. x→+∞

´ Uloha 4.1.8. Vyslovte definici vlastn´ı limity funkce v nevlastn´ım bodˇe −∞ a definice nevlastn´ıch limit v nevlastn´ıch bodech.

4.2

Limita funkce podle Cauchyho

Cauchyho definice limity vyuˇz´ıvá vztahu mezi okol´ımi. Vyslov´ıme dvˇe definice. Jedna uvaˇzuje okol´ı ve smyslu topologickém, druhá ve smyslu metrickém. Definice 4.2.1 (limita funkce podle Cauchyho). Necht’ x0 je hromadn´ ym bodem ˇ D(f ). R´ıkáme, ˇze funkce f m´ a v bodˇ e x0 limitu a ⇔ ∀ U (a) ∃ P (x0 ) ∀x : x ∈ D(f ) ∩ P (x0 ) ⇒ f (x) ∈ U (a). P´ıˇseme lim f (x) = a.

x→x0

51

Pozn´ amka 4.2.2. Posledn´ı implikaci lze nahradit inkluz´ı f (D(f ) ∩ P (x0 )) ⊂ U (a). Definice 4.2.3 (limita funkce podle Cauchyho, druhá definice). Necht’ x0 je ˇ ıkáme, ˇze funkce f m´ hromadn´ ym bodem D(f ). R´ a v bodˇ e x0 limitu a ⇔ ∀ε > 0∃δ > 0 tak, ˇze ∀x : x ∈ D(f ) ∩ P (x0 , δ) ⇒ f (x) ∈ U (a, ε). P´ıˇseme lim f (x) = a. x→x 0

Pozn´ amka 4.2.4. Závˇer definice lze formálnˇe upravit na jin´ y tvar s vyuˇzit´ım absolutn´ıch hodnot: m´ısto ∀x : x ∈ D(f ) ∩ P (x0 , δ) uvedeme ∀x ∈ D(f ) : 0 < |x − x0 | < δ a m´ısto f (x) ∈ U (a, ε) dáme |f (x) − a| < ε. ´ Uloha 4.2.5. Zn´ azornˇete obsah Cauchyových definic na obr´ azku. ´ Uloha 4.2.6. Vyslovte Cauchyovy definice vlastn´ı limity v nevlastn´ım bodˇe, nevlastn´ı limity ve vlastn´ım bodˇe a nevlastn´ı limity v nevlastn´ım bodˇe. Vˇ eta 4.2.7 (Ekvivalence definic limity funkce). Heineho definice a Cauchyova definice limity funkce jsou ekvivalentn´ı. Limita funkce dle definice Heineho je tedy pˇresnˇe t´ yˇz pojem jako limita funkce podle Cauchyho. Je tu vˇsak rozd´ıl v jejich pouˇzit´ı. Heineho definici pouˇz´ıváme ˇcastˇeji k výpoˇctu limit, nebot’ v této definici znalost hodnoty limity funkce nen´ı pˇredem potˇrebná, Cauchyovu definici pouˇz´ıváme ˇcastˇeji k d˚ ukaz˚ um, hodnotu limity mus´ıme znát pˇredem.

4.3

Vˇ ety o limit´ ach funkc´ı

Vˇety o limitách funkc´ı vypl´ yvaj´ı na základˇe Heineho definice limity z vˇet o limitách posloupnost´ı. Proto jsou nˇekteré formulovány velmi podobnˇe. Formulaci uvád´ıme pro vlastn´ı limity ve vlastn´ıch bodech, je vˇsak moˇzné i jejich rozˇs´ıˇren´ı na nevlastn´ı pˇr´ıpady“. ” Vˇ eta 4.3.1. Kaˇzdá funkce f má v libovolném bodˇe x0 ∈ R nejvýˇse jednu limitu. Vˇ eta 4.3.2. Necht’ funkce f má v bodˇe x0 koneˇcnou limitu. Pak existuje okol´ı P (x0 ), v nˇemˇz je omezen´ a. Vˇ eta 4.3.3 (vˇeta o kladné limitˇe). Necht’ funkce f má v bodˇe x0 koneˇcnou kladnou (z´ apornou) limitu. Pak existuje okol´ı P (x0 ), v nˇemˇz je f kladná (z´ aporná).

52

Vˇ eta 4.3.4 (vˇeta o limitˇe souˇctu, rozd´ılu, souˇcinu a pod´ılu). Necht’ jsou na M definov´ any funkce f a g. Necht’ x0 je hromadný bod M a plat´ı lim f (x) = a,

lim g(x) = b.

x→x0

x→x0

Pak funkce f − g,

f + g,

f (pro g(x) 6= 0, b 6= 0) g

f · g,

maj´ı limitu a + b,

a − b,

a · b,

a . b

Tyto vlastnosti plat´ı pro rozˇs´ıˇrenou reálnou osu ve vˇsech pˇr´ıpadech, kdy maj´ı uvedené v´ yrazy s a, b smysl; napˇr´ıklad vˇeta o souˇctu neplat´ı pro a = +∞, b = −∞. Vˇ eta 4.3.5 (vˇeta o limitˇe rovnosti). Necht’ na nˇejakém okol´ı P (x0 ) plat´ı f (x) = g(x) a existuje limx→x0 f (x) = a. Pak téˇz limx→x0 g(x) = a. Vˇ eta 4.3.6 (vˇeta o limitˇe nerovnosti). Necht’ na nˇejakém okol´ı P (x0 ) plat´ı f (x) ≤ g(x) a existuj´ı limity obou funkc´ı v bodˇe x0 . Pak x→x lim f (x) ≤ x→x lim g(x). 0

0

´ Uloha 4.3.7. Na pˇr´ıkladech ukaˇzte, jaký vztah m˚ uˇze platit mezi limitami, jestliˇze na P (x0 ) plat´ı ostr´ a nerovnost f (x) < g(x). Vˇ eta 4.3.8 (vˇeta o tˇrech limitách). Necht’ na nˇejakém okol´ı P (x0 ) plat´ı f (x) ≤ h(x) ≤ g(x), pˇriˇcemˇz lim f (x) = x→x lim g(x) = a.

x→x0

0

Pak existuje i limx→x0 h(x) a je rovna a. Vˇ eta 4.3.9. lim f (x) = 0 ⇐⇒ x→x lim |f (x)| = 0.

x→x0

0

Vˇ eta 4.3.10. lim f (x) = a

x→x0

⇐⇒

(pro a vlastn´ı). 53

lim |f (x) − a| = 0

x→x0

Vˇ eta 4.3.11. Necht’ x0 je oboustranným hromadným bodem D(f ). Pak n´ asleduj´ıc´ı dva výroky jsou ekvivalentn´ı: A: Existuje limx→x0 f (x) a je rovna a. B: Existuj´ı limx→x0 − f (x), limx→x0 + f (x) a obˇe jsou rovny a. |x| ´ Uloha 4.3.12. Uˇzit´ım pˇredchoz´ı vˇety dokaˇzte, ˇze funkce y = x + nemá limitu x v bodˇe x0 = 0. Vˇ eta 4.3.13. Necht’ na nˇejakém P (x0 ) plat´ı f (x) > 0. Pak 1) lim f (x) = 0 ⇐⇒

limx→x0

x→x0

2) x→x lim f (x) = +∞ 0

⇐⇒

1 f (x)

lim

x→x0

= +∞,

1 = 0. f (x)

Vˇ eta 4.3.14. Necht’ x0 je hromadným bodem D(f · g), limx→x0 f (x) = 0 a g je funkce omezen´ a. Pak lim f (x) · g(x) = 0. x→x0

Vˇ eta 4.3.15 (vˇeta o limitˇe sloˇzené funkce). Mˇejme sloˇzenou funkci f ◦ ϕ. Necht’ 1. ∃ okol´ı P (x0 ) ⊂ D(ϕ) tak, ˇze ϕ(P (x0 )) ⊂ D(f ), 2. ∃a jako x→x lim ϕ(x), 0

3. a je hromadným bodem D(f ) a existuje b = x→a lim f (x), 4. x0 nen´ı hromadným bodem mnoˇziny {x ∈ P (x0 ); ϕ(x) = a}. Pak existuje limita sloˇzené funkce f ◦ ϕ v bodˇe x0 a plat´ı x→x lim f ◦ ϕ(x) = b. 0

4.4

V´ ypoˇ cet limit

Limity nˇ ekter´ ych element´ arn´ıch funkc´ı ´ Uloha 4.4.1. Uˇzit´ım vˇety o tˇrech limit´ ach dokaˇzte, ˇze lim sin x = 0. x→0

´ Uloha 4.4.2. Dokaˇzte, ˇze x→x lim sin x = sin x0 a x→x lim cos x = cos x0 . 0

0

´ Uloha 4.4.3. Dokaˇzte, ˇze x→x lim x = n

0

xn0

a ˇze pro kaˇzdý polynom P (x) je x→x lim P (x) = 0

P (x0 ). Platnost v´ ysledk˚ u u ´loh 4.4.2 a 4.4.3 lze zobecnit na vˇsechny elementárn´ı funkce takto: Vˇ eta 4.4.4. Je-li f element´ arn´ı funkce, x0 ∈ D(f ), pak x→x lim f (x) = f (x0 ). 0

Pouˇzit´ı této vˇety naz´ yváme vyuˇzit´ı spojitosti funkce k výpoˇctu limity. 54

Speci´ aln´ı limity: sin x = 1, x→0 x lim

lim

x→+∞

1 1+ x

x

= e,

(1 + x)m − 1 =m x→0 x lim

(pro libovolná m ∈ R),

ex −1 = 1. x→0 x lim

sin 3x ´ . Uloha 4.4.5. Vypoˇctˇete lim x→0 x ´ Uloha 4.4.6. Vypoˇctˇete lim

x→+∞

2 1+ x

x

.

V´ ypoˇcet dle definice a vˇet o limitách 6x3 + 2x + 5 ´ Uloha 4.4.7. Vypoˇctˇete lim . x→+∞ 2x3 + x2 + 7 6 · 23x + 2x+1 + 5 ´ Uloha 4.4.8. Vypoˇctˇete lim . x→+∞ 23x+1 + 22x + 7 1 ´ Uloha 4.4.9. Vypoˇctˇete lim x sin . x→0 x Dalˇs´ı metoda výpoˇctu limit funkc´ı: uˇzit´ım l’Hospitalova pravidla . −∗−

55

Kapitola 5 Spojitost funkce Spojitost patˇr´ı k nejvýznamnˇejˇs´ım vlastnostem funkc´ı. Setk´ av´ ame se s n´ı — jako s poˇzadovanou vlastnost´ı funkc´ı — ve vˇsech ˇcástech matematické analýzy.

5.1

Pojem spojitosti funkce

Intuitivn´ı pˇredstava spojitosti funkce f v bodˇe x0 je spojena s grafem funkce: graf v tomto bodˇe nen´ı pˇretrˇzený“, funkce je v daném bodˇe definována a v malém ” okol´ı bodu x0 jsou malé i zmˇeny funkce. Spojitost v bodˇe je lokáln´ı vlastnost funkce. Definice 5.1.1 (spojitost funkce v bodˇe). ˇ ıkáme, ˇze funkce f je spojit´ R´ a v bodˇ e x0 ⇔ 1. je v bodˇe x0 definována (tj. x0 ∈ D(f )), 2. [je-li x0 hromadn´ ym bodem D(f ), pak] existuje vlastn´ı x→x lim f (x) a plat´ı 0

3. lim f (x) = f (x0 ). x→x0

Pozn´ amka 5.1.2. Nˇekdy se vynechává podm´ınka v hranaté závorce. Jej´ı ponechán´ı rozˇsiˇruje spojitost i do izolovan´ ych bod˚ u D(f ) a umoˇzn ˇuje jednoduˇsˇs´ı formulaci nˇekter´ ych vˇet. ´ Uloha 5.1.3. Definujte spojitost v bodˇe x0 zleva a spojitost zprava. ´ Uloha 5.1.4. Naˇcrtnˇete graf funkce f tak, aby nastaly tyto jevy: 1. v bodˇe x1 ∈ / D(f ) má funkce vlastn´ı limitu, 2. v bodˇe x2 ∈ / D(f ) limita zleva je menˇs´ı neˇz limita zprava, obˇe jsou vlastn´ı, 3. v bodˇe x3 je funkce spojitá zleva, limita zprava je menˇs´ı neˇz limita zleva, 56

4. v bodˇe x4 je funkce spojitá zprava a limita zprava je vˇetˇs´ı neˇz limita zleva, 5. v bodˇe x5 ∈ D(f ) má vlastn´ı limitu, kter´ a je vˇsak menˇs´ı neˇz funkˇcn´ı hodnota, 6. v bodˇe x6 ∈ D(f ), limita zleva je menˇs´ı neˇz f (x6 ), limita zprava je vˇetˇs´ı neˇz f (x6 ), 7. v bodˇe x7 ∈ / D(f ) je limita zleva −∞, limita zprava +∞, 8. v bodˇe x8 ∈ D(f ) je limita zleva +∞, vlastn´ı limita zprava je menˇs´ı neˇz f (x8 ), 9. v bodˇe x9 ∈ D(f ) má funkce nevlastn´ı limitu +∞. Definice 5.1.5. Hromadn´ y bod x0 definiˇcn´ıho oboru D(f ), v nˇemˇz funkce f nen´ı spojitá, se naz´ yvá bod nespojitosti funkce f . Definice 5.1.6 (druhy nespojitosti). Nespojitost v bodˇe x0 se naz´ yvá - odstraniteln´ a ⇐⇒ – f má v bodˇe x0 vlastn´ı limitu, – ale funkˇcn´ı hodnota f (x0 ) ∗ bud’ nen´ı definována ∗ nebo nen´ı rovna limitˇe; - neodstraniteln´ a ve vˇsech ostatn´ıch pˇr´ıpadech nespojitosti. Neodstranitelnou nespojitost nazveme - 1. druhu ⇐⇒ – v bodˇe x0 existuj´ı obˇe jednostranné vlastn´ı limity, – ale jsou r˚ uzné; – rozd´ıl limit f (x0 +) − f (x0 −) (nˇekdy jen absolutn´ı hodnotu tohoto rozd´ılu) naz´ yváme skok; - 2. druhu ve vˇsech ostatn´ıch pˇr´ıpadech. Pozn´ amka 5.1.7. Odstranitelnou nespojitost lze odstranit tak, ˇze funkci f v bodˇe x0 dodefinujeme nebo pˇredefinujeme tak, aby se funkˇcn´ı hodnota rovnala limitˇe funkce v bodˇe x0 . ´ Uloha 5.1.8. Rozhodnˇete, jakou nespojitost má funkce f z u ´lohy 5.1.4 v bodech x1 aˇz x9 . ´ Uloha 5.1.9. Dokaˇzte, ˇze Dirichletova funkce je nespojitá pro kaˇzdé x ∈ R. Jaká je to nespojitost?

57

x1

x

´ n´ım Obrázek 5.1: V bodˇe x1 ∈ / D(f ) má funkce vlastn´ı limitu (dodefinova ´ nespojitost). odstranitelna

x2

x

Obrázek 5.2: V bodˇe x2 ∈ / D(f ) limita zleva je menˇs´ı neˇz limita zprava, obˇe jsou ´ nespojitost prvn´ıho druhu – skok). vlastn´ı (neodstranitelna

x3

x

Obrázek 5.3: V bodˇe x3 je funkce spojitá zleva, limita zprava je menˇs´ı neˇz limita ´ nespojitost prvn´ıho druhu – skok). zleva (neodstranitelna

x4

x

Obrázek 5.4: V bodˇe x4 je funkce spojitá zprava a limita zprava je vˇetˇs´ı neˇz limita ´ nespojitost prvn´ıho druhu – skok). zleva (neodstranitelna

x5

x

Obrázek 5.5: V bodˇe x5 ∈ D(f ) má vlastn´ı limitu, která je vˇsak menˇs´ı neˇz funkˇcn´ı ˇedefinova ´ n´ım odstranitelna ´ nespojitost). hodnota (pr 58

x6

x

Obrázek 5.6: V bodˇe x6 ∈ D(f ), limita zleva je menˇs´ı neˇz f (x6 ), limita zprava je ´ nespojitost prvn´ıho druhu – skok). vˇetˇs´ı neˇz f (x6 ) (neodstranitelna

x7

x

Obrázek 5.7: V bodˇe x7 ∈ / D(f ) je limita zleva −∞, limita zprava +∞ (neod´ ´ho druhu). stranitelna nespojitost druhe

x8

x

Obrázek 5.8: V bodˇe x8 ∈ D(f ) je limita zleva +∞, vlastn´ı limita zprava je menˇs´ı ´ nespojitost druhe ´ho druhu). neˇz f (x8 ) (neodstranitelna 59

x9

x

Obrázek 5.9: V bodˇe x9 ∈ D(f ) má funkce nevlastn´ı limitu +∞ (neodstrani´ nespojitost druhe ´ho druhu). telna D´ ale uv´ ad´ıme pˇ rehled z´ akladn´ıch vˇ et o spojitosti v bodˇ e x0 V pˇr´ıpadˇe, ˇze tento bod je hromadn´ ym bodem D(f ), plynou tyto vˇety z vˇet o limitách. Vˇ eta 5.1.10. Jsou-li funkce • f , g spojité v bodˇe x0 a c ∈ R, pak jsou v tomto bodˇe spojité téˇz funkce • f + g, • f − g, • c · f, • f · g, • |f | • a pro g(x0 ) 6= 0 i

f . g

(Pro souˇcty, rozd´ıly a souˇciny plat´ı tato vlastnost pˇri libovolném koneˇcném poˇctu ˇclen˚ u resp. ˇcinitel˚ u.) Vˇ eta 5.1.11. Je-li funkce ϕ spojitá v bodˇe x0 , funkce f spojitá v bodˇe a = ϕ(x0 ), pak sloˇzen´ a funkce f ◦ ϕ je spojitá v bodˇe x0 . Vˇ eta 5.1.12. Je-li funkce f spojitá v bodˇe x0 , pak existuje okol´ı U (x0 ) tak, ˇze na D(f ) ∩ U (x0 ) je f omezen´ a (je to tzv. lokáln´ı omezenost spojité funkce). 60

Vˇ eta 5.1.13. Necht’ x0 je hromadným bodem D(f ), funkce f je spojitá v x0 a f (x0 ) 6= 0. Pak existuje okol´ı U (x0 ) tak, ˇze ∀x ∈ R plat´ı x ∈ U (x0 ) ∩ D(f )

=⇒

sgn f (x) = sgn f (x0 ).

Vˇ eta 5.1.14. Necht’ x0 je oboustranný hromadný bod D(f ). Funkce f je spojitá v bodˇe x0 ⇐⇒ je v nˇem spojitá zleva i zprava. Vˇ eta 5.1.15 (Pravidlo ε– δ). Necht’ x0 je hromadným bodem D(f ). Funkce f je spojitá v bodˇe x0 ⇐⇒

∀ε > 0 ∃δ > 0 tak, ˇze ∀x ∈ R plat´ı

x ∈ U (x0 , δ) ∩ D(f ) =⇒ f (x) ∈ (f (x0 ), ε). Pozn´ amka 5.1.16. • Tato vlastnost se téˇz naz´ yvá Cauchyova definice spojitosti; tedy takto lze definovat spojitost funkce v hromadném bodˇe D(f ) bez pouˇzit´ı pojmu limita. • V uvedeném pravidle ε– δ je ovˇsem pojem limity fakticky obsaˇzen, viz pravidlo ε– δ pro limitu funkce. • Podobnˇe následuj´ıc´ı vˇetu lze chápat jako Heineho definici spojitosti. Vˇ eta 5.1.17. Necht’ x0 je hromadným bodem D(f ). Funkce f je spojitá v bodˇe x0 ⇐⇒ ∀xn , xn ∈ D(f ), xn → x0 plat´ı f (xn ) → f (x0 ). ´ kladn´ı elementa ´ rn´ı funkce jsou spojite ´ ve vˇ Vˇ eta 5.1.18. Za sech boˇ ´ dech, v nichz jsou definovany. ´ Uloha 5.1.19. Pro které funkce naleznete d˚ ukaz vˇety 5.1.18 v pˇr´ıkladech pˇredchoz´ı kapitoly?

5.2

Funkce spojit´ e na mnoˇ zinˇ e

Spojitost funkce na mnoˇzinˇe je globáln´ı vlastnost´ı funkce. ˇ ıkáme, ˇze funkce f je spojit´ Definice 5.2.1. R´ a na mnoˇ zinˇ e M ⊂ D(f ) ⇐⇒ je spojitá v kaˇzdém bodˇe mnoˇziny M . Zápis: f ∈ C(M ). ˇ ıkáme, ˇze funkce f je spojit´ R´ a ⇐⇒ f je spojitá na D(f ). 61

Pozn´ amka 5.2.2. Je tˇreba rozliˇsovat spojitost na D(f ) a spojitost na uzávˇeru D(f ). Napˇr´ıklad funkce f : y = 1/x je podle v´ yˇse uvedené definice spojitá, nebot’ je spojitá na D(f ) = (−∞, 0) ∪ (0, +∞), ale nen´ı spojitá na mnoˇzinˇe R = D(f ).

Nˇekdy lze poˇzadavek na spojitost funkce ponˇekud oslabit“ a uvaˇzovat funkce ” jen po ˇcástech spojité“ (viz napˇr´ıklad Newton˚ uv vzorec v kapitole Riemann˚ uv ” urˇcit´ y integrál). Definice 5.2.3. Funkce f se naz´ yvá po ˇ ca ´stech spojit´ a na M ⇐⇒ • je spojitá ve vˇsech bodech mnoˇziny M • s v´ yjimkou koneˇcného poˇctu bod˚ u M, – v nichˇz je definovaná – a má zde nespojitost 1. druhu – nebo nespojitost odstranitelnou.

K tomu, abychom mohli spojitosti prakticky vyuˇz´ıvat, je tˇreba se pˇresvˇedˇcit, které z bˇeˇznˇe pouˇz´ıvan´ ych funkc´ı jsou spojité. Pˇredevˇs´ım i zde pˇrirozenˇe plat´ı: ´ kladn´ı elementa ´ rn´ı funkce jsou spojite ´. Vˇ eta 5.2.4. Vˇ sechny za • Z vlastnost´ı spojitosti (vˇety 5.1.10, 5.1.11 a 5.1.18) plyne, ˇze jsou spojité i vˇsechny funkce, které ze základn´ıch elementárn´ıch funkc´ı dostaneme koneˇcn´ ym poˇctem aritmetick´ ych operac´ı a skládán´ı funkc´ı. • Nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım zvláˇstn´ım pˇr´ıpadem spojitosti na M je spojitost na intervalu. Pˇritom spojitost na uzavˇreném intervalu ha, bi znamená, ˇze – f je spojitá na (a, b), – v levém krajn´ım bodˇe a je spojitá zprava – a v pravém krajn´ım bodˇe b je spojitá zleva.

5.3

Vlastnosti funkc´ı spojit´ ych na intervalu

Vˇ eta 5.3.1 (1. Weierstrassova vˇeta). Je-li funkce spojitá na intervalu ha, bi, pak je na tomto intervalu omezen´ a. D˚ ukaz (sporem).

• Kdyby funkce f nebyla omezená na ha, bi (napˇr´ıklad shora),

pak by ke kaˇzdému n ∈ N existoval bod xn ∈ ha, bi tak, ˇze f (xn ) > n.

62

• Posloupnost {xn } ⊂ ha, bi je omezená, takˇze podle Bolzano–Weierstrassovy vˇety existuje vybraná konvergentn´ı podposloupnost {x′n } s limitou x0 , pro niˇz téˇz f (x′n ) > n. • Proto f (x0 ) je (podle Heineho definice spojitosti a podle vˇety o limitˇe nerovnosti) – jednak +∞ – a jednak reálné ˇc´ıslo vzhledem ke spojitosti f v kaˇzdém bodˇe ha, bi, tedy i v x0 , a to je spor. ´ Uloha 5.3.2. Na pˇr´ıkladech ukaˇzte, ˇze oba pˇredpoklady 1. Weierstrassovy vˇety (spojitost funkce a uzavˇrenost intervalu) jsou podstatné pro platnost tvrzen´ı vˇety. Tedy pˇri naruˇsen´ı nˇekterého z tˇechto pˇredpoklad˚ u nen´ı nutnˇe splnˇeno ani tvrzen´ı. Vˇ eta 5.3.3 (2. Weierstrassova vˇeta). Je-li funkce f spojitá na intervalu ha, bi, pak na tomto intervalu nabýv´ a své nejvˇetˇs´ı i nejmenˇs´ı hodnoty. Tedy existuj´ı body c1 , c2 ∈ ha, bi tak, ˇze f (c1 ) = max f (x),

f (c2 ) = min f (x).

x∈ha,bi

x∈ha,bi

D˚ ukaz (ˇcásti o maximu). • Podle 1.Weierstrassovy vˇety je f shora omezená, takˇze existuje koneˇcné sup f (x) = M. x∈ha,bi

• Staˇc´ı tedy dokázat, ˇze existuje c1 ∈ ha, bi tak, ˇze f (c1 ) = M . • Kdyby takov´ y bod c1 neexistoval, byla by funkce g(x) = M − f (x) na ha, bi spojitá a kladná. • Proto i funkce

1 by byla na ha, bi spojitá, g(x)

• tedy podle 1. Weierstrassovy vˇety omezená kladnou konstantou L:

1 1 1 < L =⇒ g(x) > =⇒ f (x) < M − ; g(x) L L

• dostali jsme spor se 2. vlastnost´ı suprema, 63

• takˇze g(x) nem˚ uˇze b´ yt stále kladná, • tedy uvaˇzovan´ y bod c1 existuje. ´ Uloha 5.3.4. Na pˇr´ıkladech ukaˇzte, ˇze oba pˇredpoklady 2. Weierstrassovy vˇety (spojitost funkce a uzavˇrenost intervalu) jsou podstatné pro platnost tvrzen´ı vˇety. Tedy pˇri naruˇsen´ı nˇekterého z tˇechto pˇredpoklad˚ u nen´ı nutnˇe splnˇeno ani tvrzen´ı. (Napˇr´ıklad uvaˇzte funkci y = x na intervalu (−1, 1).) Vˇ eta 5.3.5 (Bolzano-Cauchyova). Je-li funkce f spojitá na ha, bi a plat´ı-li f (a) · f (b) < 0, pak existuje bod ξ ∈ ha, bi tak, ˇze f (ξ) = 0. D˚ ukaz (Bolzanovou metodou p˚ ulen´ı interval˚ u). dem c1 .

• Interval ha, bi rozp˚ ul´ıme bo-

– Pokud f (c1 ) = 0, je ξ = c1 . – Jinak oznaˇc´ıme ha1 , b1 i tu polovinu, kde f (a1 ) · f (b1 ) < 0. • Interval ha1 , b1 i rozp˚ ul´ıme bodem c2 . . . . • Bud’ ∃n ∈ N tak, ˇze ξ = cn • nebo dostáváme posloupnost vloˇzen´ ych interval˚ u, které maj´ı podle vˇety o vloˇzen´ ych intervalech jedin´ y spoleˇcn´ y bod ξ; o nˇem se dokáˇze f (ξ) = 0. – Nem˚ uˇze b´ yt f (ξ) > 0, nebot’ by existovalo okol´ı U (ξ) tak, ˇze ∀x ∈ U (ξ) by bylo f (x) > 0 – a to je spor (pro dosti velké n by bylo han , bn i ⊂ U (ξ)).

– Stejnˇe tak nem˚ uˇze platit, ˇze f (ξ) < 0, proto f (ξ) = 0.

Této vˇety se uˇz´ıvá napˇr. pˇri ˇreˇsen´ı rovnic k d˚ ukazu existence ˇreˇsen´ı. ´ Uloha 5.3.6. Dokaˇzte, ˇze rovnice x + sin(x − 1) = 0 má alespoˇ n jeden koˇren. ˇ sen´ı. Uvaˇzujeme napˇr´ıklad a = −2, b = 2 (najdˇete menˇs´ı interval!) Reˇ Vˇ eta 5.3.7 (vˇeta o mezihodnotˇe). Necht’ funkce f je spojitá na ha, bi, f (a) 6= f (b). Pak funkce f nabýv´ a kaˇzdé hodnoty q mezi f (a) a f (b). 64

Princip d˚ ukazu. Bolzano-Cauchyovu vˇetu pouˇzijeme na funkci g(x) = f (x) − q.

D˚ usledek 5.3.8. Je-li funkce f spojitá na intervalu J, pak f (J) je interval nebo jednobodov´ a mnoˇzina. Vˇ eta 5.3.9 (vztah mezi monotónnost´ı a prostotou u funkc´ı spojit´ ych na intervalu). Je-li funkce f spojitá na intervalu J, pak f je prost´ a pr´ avˇe tehdy, kdyˇz je monot´ onn´ı. Princip d˚ ukazu. • Vztah ryze monotónn´ı“ ⇒ prostá“ plat´ı zˇrejmˇe i pro ” ” nespojité funkce. • Vztah prostá“ ⇒ ryze monotónn´ı“ se dokáˇze sporem. ” ” – Kdyby (prostá) funkce nebyla ryze monotónn´ı, existovaly by tˇri body c1 , c2 , c3 tak, ˇze f (c2 ) by bylo vˇetˇs´ı (nebo menˇs´ı) neˇz f (c1 ) a f (c3 ). – Z vˇety o mezihodnotˇe plyne existence bod˚ u x1 ∈ (c1 , c2 ), x2 ∈ (c2 , c3 ) tak, ˇze f (x1 ) = f (x2 ), – a to je spor s vlastnost´ı prostoty. ´ Uloha 5.3.10. Sestrojte n´ aˇcrtek k posledn´ı ˇcásti d˚ ukazu pˇredchoz´ı vˇety. Vˇ eta 5.3.11 (o spojitosti inverzn´ı funkce). Je-li funkce f na intervalu J spojitá a prost´ a, pak inverzn´ı funkce f je téˇz spojitá. D˚ ukaz. Pouˇz´ıvá se ryz´ı monotónnost funkce f a d˚ usledek vˇety o mezihodnotˇe. −∗−

65

Kapitola 6 Derivace funkce Derivace funkce patˇr´ı mezi nejpouˇz´ıvanˇejˇs´ı pojmy matematické analýzy. Derivace vyjadˇruje rychlost zmˇeny a stoj´ı proto i v z´ akladu ˇcetného praktického pouˇzit´ı matematické analýzy.

6.1

Pojem derivace funkce

Mˇejme funkci f , která je definována v nˇejakém okol´ı U (x0 ) bodu x0 . • Postoup´ıme-li z bodu x0 o nˇejaké ∆x (∆x je pˇr´ır˚ ustek nez´ avisle promˇenné), dostaneme novou hodnotu nezávisle promˇenné x0 + ∆x (∈ U (x0 )); – pro ∆x < 0 je tato hodnota vlevo – a pro ∆x > 0 je vpravo od x0 .

∆x < 0 x0 + ∆x

∆x > 0 x0

x0

x0 + ∆x

Obrázek 6.1: Pˇr´ır˚ ustky nezávisle promˇenné. • Funkˇcn´ı hodnota se pˇritom zmˇen´ı z hodnoty f (x0 ) na hodnotu f (x0 +∆x) o rozd´ıl ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0 ). – ∆y je tzv. pˇr´ır˚ ustek funkce. ∆y je tzv. diferenci´ aln´ı pod´ıl; – Pod´ıl ∆x – jeho geometrick´ ym v´ yznamem je smˇernice seˇcny ke grafu funkce, 66

– tj. tg α, kde α je u ´hel, kter´ y sv´ırá seˇcna M0 M s osou x. ´ Uloha 6.1.1. Doplˇ nte do obr´ azku 6.2 oznaˇcen´ı: α, ∆x, a ∆y.

y M M0

x0

x

x0 + ∆x

Obrázek 6.2: Seˇcna grafu. Pro spojitou funkci f plat´ı ∆x → 0 =⇒ ∆y → 0, takˇze pro ∆x → 0 je diferenciáln´ı pod´ıl

∆y v´ yraz typu ∆x

0 . 0

ˇ ıkáme, ˇze funkce f m´ Definice 6.1.2. R´ a v bodˇ e x0 derivaci, právˇe kdyˇz je f definována na nˇejakém okol´ı bodu x0 a existuje (vlastn´ı) limita lim

∆x→0

f (x0 + ∆x) − f (x0 ) ∆x

Tuto limitu naz´ yváme derivace funkce f v bodˇ e x0 a znaˇc´ıme ji f ′ (x0 ). Derivace v bodˇe je tedy nˇejaké ˇc´ıslo. Geometrick´ y v´ yznam derivace funkce v bodˇ e: f ′ (x0 ) znamená smˇernici teˇcny grafu funkce v bodˇe M0 , tj. tg ϕ, kde ϕ je u ´hel kter´ y sv´ırá teˇcna v bodˇe M0 s osou x. ´ Uloha 6.1.3. Naˇcrtnˇete dle obr´ azku 6.2 obr´ azek, v nˇemˇz vyznaˇc´ıte geometrický význam derivace funkce v bodˇe.

67

Fyzik´ aln´ı v´ yznam derivace v bodˇ e: ∆s Je-li zákon dráhy s = s(t), pak diferenciáln´ı pod´ıl znamená pr˚ umˇernou ∆t ∆s rychlost a lim = v(t) znamená okamˇzitou rychlost. ∆t→0 ∆t ´ Uloha 6.1.4. Podle definice vypoˇctˇete derivaci funkce y = x2 v bodˇe x0 = 3. Jestliˇze v definici derivace nahrad´ıme limitu jednostrannou limitou, dostaneme definice jednostrann´ ych derivac´ı (derivace zleva, zprava), které oznaˇcujeme ′ ′ f (x0 −) a f (x0 +).

Je-li f ′ (x0 ) = k, pak existuj´ı obˇe jednostranné derivace a jsou rovny ˇc´ıslu k; také naopak, existuj´ı-li obˇe jednostranné derivace funkce f v bodˇe x0 a rovnaj´ı se témuˇz ˇc´ıslu k, pak existuje derivace funkce f v bodˇe x0 a je rovna k, jak plyne z vˇet o limitách. ´ Uloha 6.1.5. Vypoˇctˇete obˇe jednostranné derivace funkce f : y = |x| v bodˇe x0 = 0. Z v´ ypoˇctu plyne, ˇze funkce y = |x| nemá v bodˇe 0 derivaci.

∆y je pro ∆x → 0 rovna +∞ nebo ∆x −∞, pak mluv´ıme o nevlastn´ıch derivac´ıch (téˇz zleva, zprava). V´ yrok existuje derivace“ vˇsak bude vˇzdy znamenat existuje vlastn´ı deri” ” vace“. Jestliˇze limita diferenciáln´ıho pod´ılu

´ Uloha 6.1.6. Je dána funkce f : y =

√

1 − x2 . Ovˇeˇrte, ˇze f ′ (1−) = +∞.

´ Uloha 6.1.7. Urˇcete derivaci funkce y = x2 v bodˇe x. Derivace jako funkce Definice 6.1.8. Má-li funkce f derivaci v kaˇzdém bodˇe x nˇejaké mnoˇziny M , ˇr´ıkáme, ˇze m´ a derivaci na mnoˇ zinˇ e M ; znaˇc´ıme ji f ′ nebo f ′ (x). • Vid´ıme, ˇze derivace funkce na mnoˇzinˇe M je opˇet funkce. • Napˇr´ıklad dle u ´lohy 6.1.7 derivac´ı funkce y = x2 na R je funkce y = 2x. • Chceme-li pak zjistit derivaci f ′ (x0 ) v nˇejakém bodˇe x0 , staˇc´ı do f ′ (x) dosadit x0 za x. • Napˇr´ıklad pro f z u ´lohy 6.1.7 je f ′ (3) = (2x)x=3 = 6 (srovnej s u ´lohou 6.1.4). 68

Pˇ rehled oznaˇ cen´ı derivac´ı:

v bodˇe:

jako funkce:

p˚ uvod oznaˇcen´ı:

f ′ (x0 )

y ′ , f ′ , f ′ (x)

Lagrange

dy df (x) d f (x) , , dx dx dx

Leibniz

Dy, Df (x)

Cauchy

df (x0 ) , dx Df (x0 )

df (x) dx

!

x=x0

• Kaˇzdé z tˇechto oznaˇcen´ı má své v´ yhody. • Napˇr´ıklad v Leibnizovˇe je dobˇre vidˇet, podle které promˇenné se derivuje, takˇze se dobˇre uplatˇ nuje napˇr´ıklad pˇri manipulac´ıch s funkcemi sloˇzen´ ymi a inverzn´ımi; • Cauchyovo oznaˇcován´ı je vhodné napˇr´ıklad pˇri ˇreˇsen´ı diferenciáln´ıch rovnic operátorovou metodou; • operaci definovanou operátorem D naz´ yváme zpravidla derivován´ı (podle dané promˇenné). • Chceme-li v Lagrangeovˇe oznaˇcen´ı zd˚ uraznit promˇennou, podle n´ıˇz se derivuje, nap´ıˇseme tuto promˇennou jako index, napˇr´ıklad fu′ . Vˇ eta 6.1.9 (vztah mezi derivac´ı a spojitost´ı). Má-li funkce f v bodˇe x0 derivaci, je v nˇem spojitá.

Princip d˚ ukazu. Dokáˇzeme, ˇze plat´ı lim f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = 0. ∆x→0

´ Uloha 6.1.10. Dle definice derivace stanovte derivace funkce y = xn pro n ∈ N. ´ Uloha 6.1.11. Dle definice derivace stanovte derivace funkce y = sin x [pozor na to, jak se pˇritom vyuˇzije spojitosti funkce kosinus].

6.2

Vlastnosti derivac´ı

Vˇ eta 6.2.1 (základn´ı vlastnosti derivac´ı). Necht’ funkce u = f (x), v = g(x) maj´ı na mnoˇzinˇe M derivace u′ = f ′ (x), v ′ = g ′ (x) a c ∈ R. Pak funkce c · f , f + g, f − g, f · g a pro g(x) 6= 0 i

plat´ı:

69

f maj´ı na M derivace a g

1. (c · f )′ = c · f ′ , 2. (u + v)′ = u′ + v ′ ,

(u − v)′ = u′ − v ′ ,

3. (u · v)′ = u′ · v + u · v ′ , 4.

′

u v

=

u′ · v − u · v ′ . v2

D˚ ukaz. Provád´ı se podle definice derivace, u souˇcinu a pod´ılu se pˇridá a odeˇcte urˇcitá pomocná funkce, vyuˇz´ıvá se tu téˇz spojitosti. Pravidla pro sˇc´ıtán´ı a pro násoben´ı lze matematickou indukc´ı rozˇs´ıˇrit na n ˇclen˚ u (ˇcinitel˚ u), n ∈ N. Pro násoben´ı tˇr´ı funkc´ı tak napˇr´ıklad máme (u · v · w)′ = u′ · v · w + u · v ′ · w + u · v · w′ .

Vˇ eta 6.2.2 (derivace sloˇzené funkce). Necht’ existuje sloˇzen´ a funkce f ◦ϕ a necht’ 1) funkce u = ϕ(x) má v bodˇe x derivaci ϕ′ (x), 2) funkce y = f (u) má v odpov´ıdaj´ıc´ım bodˇe u (= ϕ(x)) derivaci f ′ (u). Pak funkce f ◦ ϕ má v bodˇe x derivaci

(f ◦ ϕ)′ (x) = (f ′ (u) · ϕ′ (x) =)(f ◦ ϕ)′u (x) · ϕ′ (x).

´ Uloha 6.2.3. Uˇzit´ım vˇety o derivaci sloˇzené funkce máme naj´ıt derivaci funkce y = sin2 x. Pˇri oznaˇcen´ı podle Leibnize má pravidlo pro derivaci sloˇzené funkce tvar, jako dy du dy = . u ´prava zlomk˚ u: dx du dx Vˇ eta 6.2.4 (derivace inverzn´ı funkce). Necht’ f je ryze monot´ onn´ı na intervalu ′ −1 J a má tu derivaci f . Pak inverzn´ı funkce f má derivaci na f (J) a plat´ı

′

f −1 (x) =

1 . f ′ (y)

D˚ ukaz. U obou vˇet se provád´ı dle definice derivace a pouˇz´ıvá se faktu, ˇze ∆y → 0

⇐⇒

∆x → 0.

´ Uloha 6.2.5. Uˇzit´ım pˇredchoz´ı vˇety zjistˇete derivaci funkce y = arcsin x. Pˇri oznaˇcen´ı podle Leibnize má pravidlo pro derivaci inverzn´ı funkce tvar, jako u ´prava zlomku: dy 1 = dx . dx dy 70

6.3

Derivace element´ arn´ıch funkc´ı

Vˇ eta 6.3.1 (pˇrehled vzorc˚ u pro derivace elementárn´ıch funkc´ı). • (c)′ = 0

(derivace konstanty);

• (xm )′ = mxm−1

(plat´ı pro libovolné m 6= 0);

• (ax )′ = ax · ln a;

zejména

• (loga x)′ =

1 ; x ln a

• (sin x)′ = cos x,

• (arctg x)′ =

1 ; cos2 x

1 ; 1 − x2

1 ; 1 + x2

1 ; x

(cotg x)′ = −(1 + cotg2 x) =

(arccos x)′ = √ (arccotg x)′ =

−1 ; sin2 x

−1 ; 1 − x2

−1 ; 1 + x2

(ch x)′ = sh x;

1 ; ch2 x

• (argsh x)′ = √

(ln x)′ =

(cos x)′ = − sin x;

• (sh x)′ = ch x; • (th x)′ =

(x)′ = 1;

(ex )′ = ex ;

zejména

• (tg x)′ = 1 + tg2 x = • (arcsin x)′ = √

zvl´ aˇstˇe

(coth x)′ = 1

x2

+1

;

−1 ; sh2 x

(argth x)′ =

1 . 1 − x2

D˚ ukaz. Provád´ı se uˇzit´ım definice derivace (nˇekde i s uˇzit´ım speciáln´ıch limit), vlastnost´ı derivac´ı, vˇet o derivaci sloˇzené funkce a inverzn´ı funkce. ´ Uloha 6.3.2. Urˇcete derivaci funkce

6.4

y = (cos x)sin x pro x v 1. kvadrantu.

Diferenci´ al funkce

ˇ s´ıme problém: funkci f v okol´ı bodu x0 aproximovat lineárn´ı funkc´ı g, tj. Reˇ nalézt takovou lineárn´ı funkci g, aby platila podm´ınka lim

x→x0

f (x) − g(x) = 0. x − x0

Oznaˇcme x = x0 + h; zˇrejmˇe g(x) = f (x0 ) + ah, takˇze ˇcitatel posledn´ıho zlomku lze zapsat jako ω(h) = f (x0 + h) − f (x0 ) − ah. 71

V´ yˇse uvedenou podm´ınku lze tak zapsat jako ω(h) = 0. h→0 h Z definice funkce ω(h) plyne, ˇze pˇr´ır˚ ustek funkce ∆f (x0 ) lze vyjádˇrit ve tvaru lim

∆f (x0 )(= f (x0 + h) − f (x0 )) = ah + ω(h). Definice 6.4.1. Lineárn´ı ˇcást pˇr´ır˚ ustku funkce, tedy funkci ah, naz´ yváme diferenci´ al funkce f v bodˇ e x0 , oznaˇcujeme jej df (x0 ) a funkci, která má diferenciál v bodˇe x0 , naz´ yváme diferencovatelnou v bodˇ e x0 . Funkci, která má diferenciál v kaˇzdém bodˇe mnoˇziny M , naz´ yváme diferencovatelnou na mnoˇ zinˇ e M. Vˇ eta 6.4.2 (existence a jednoznaˇcnost diferenciálu). Funkce f je diferencovatelná v bodˇe x0 ⇐⇒ má v bodˇe x0 vlastn´ı derivaci. Diferenci´ al df (x0 ) funkce f v bodˇe x0 je pak jednoznaˇcnˇe urˇcen vzorcem df (x0 ) = f ′ (x0 ) · h, kde h ∈ R je pˇr´ır˚ ustek nez´ avisle promˇenné.

Pˇredchoz´ı vˇeta tedy ˇr´ıká, ˇze v´ yroky f má v bodˇe x0 (vlastn´ı) derivaci“ a f ” ” je v bodˇe x0 diferencovatelná“ jsou ekvivalentn´ı, znamenaj´ı totéˇz. (U funkc´ı v´ıce promˇenn´ ych je tomu jinak.) M´ısto h pouˇz´ıváme pro pˇr´ır˚ ustek nezávisle promˇenné téˇz oznaˇcen´ı ∆x nebo dx a název diferenci´ al nez´ avisle promˇenné. Je to motivováno skuteˇcnost´ı, ˇze diferenciál lineárn´ı funkce y = x je dx = 1 · h(= 1 · ∆x). Diferenciál funkce pak téˇz zapisujeme df (x0 ) = f ′ (x0 ) · dx. V´ yˇse uvedené poznatky nám umoˇzn ˇuj´ı definovat diferenciál funkce pˇr´ımo uveden´ ym vzorcem. Definice 6.4.3. Diferenci´ alem funkce f v bodˇ e x0 naz´ yváme v´ yraz df (x0 ) = f ′ (x0 ) · dx, kde dx(= ∆x) je konstantn´ı pˇr´ır˚ ustek (diferenciál) nezávisle promˇenné. Diferenci´ alem funkce f na mnoˇ zinˇ e M naz´ yváme funkci dy = f ′ (x) · dx, kde x ∈ M .

dy pro derivaci funkce dx je skuteˇcn´ ym zlomkem — pod´ılem diferenciálu funkce a diferenciálu nezávisle promˇenné. Také vzorce pro derivaci sloˇzené funkce a inverzn´ı funkce (viz 6.2) lze chápat jako operace se skuteˇcn´ ymi zlomky. ´ Uloha 6.4.4. Doplˇ nte obr´ azek 6.3, který zn´ azorˇ nuje geometrický význam diferenci´ alu funkce jako pˇribliˇzné hodnoty pˇr´ır˚ ustku funkce stanovené na teˇcnˇe ke grafu funkce. Ze vztahu dy = f ′ (x) · dx vid´ıme, ˇze Leibniz˚ uv symbol

72

y

ω(h)

dy

O

x

Obrázek 6.3: Geometrick´ y v´ yznam diferenciálu funkce. Uˇ zit´ı diferenci´ alu Uˇzit´ı diferenciálu v pˇribliˇzných výpoˇctech je zaloˇzeno na pˇribliˇzné rovnosti f (x0 + ∆x) = f (x0 ) + ∆y ≈ f (x0 ) + dy = f (x0 ) + f ′ (x0 )∆x.

√ ´ Uloha 6.4.5. Pomoc´ı diferenci´ alu funkce vypoˇctˇete pˇribliˇznou hodnotu 0, 982. ˇ sen´ı. Reˇ √ 0, 982 = f (0, 982) = f (1 − 0, 018) = f (x0 + ∆x) ≈ f (x0 ) + f ′ (x0 )∆x, √ √ 1 0, 018 = 0, 991. 0, 982 ≈ f (1) + f ′ (1) · (−0, 018) = 1 + √ (−0, 018) = 1 − 2 2 1 Uˇzit´ı diferenciálu pˇri odhadu chyb je zaloˇzeno na tom, ˇze kdyˇz h (tedy dx) poloˇz´ıme rovno absolutn´ı chybˇe mˇeˇren´ı, udává df pˇribliˇznou hodnotu absolutn´ı chyby vypoˇctené hodnoty y = f (x). ´ Uloha 6.4.6. Poˇc´ıt´ ame objem koule, jej´ıˇz pr˚ umˇer x jsme zmˇeˇrili s chybou δx. Urˇcete chybu výsledku. ˇ sen´ı. Vzorec pro objem koule o polomˇeru r, resp. pr˚ Reˇ umˇeru x: 3

4 4 x V = πr3 = π 3 3 2

1 = πx3 . 6

Pokud x mˇeˇr´ıme s chybou δx, dostaneme pˇri oznaˇcen´ı xˆ = x + δx: ′ 1 1 1 3 1 1 x = π(x + δx)3 ≈ πx3 + πx3 · δx = V + πx2 · δx = V + δV. Vˆ = πˆ 6 6 6 6 2

73

1 Pˇribliˇzná chyba v´ ysledku je tedy δV = πx2 δx, pˇriˇcemˇz pˇribliˇzná relativn´ı chyba 2 v´ ysledku je 1 πx2 δx δV δx = 21 3 = 3 , V x πx 6 a tedy relativn´ı chyba v´ ysledku je rovna trojnásobku relativn´ı chyby mˇeˇren´ı pr˚ umˇeru. Diferenci´ al sloˇ zen´ e funkce Mˇejme funkci y = f (u), kde u je nezávisle promˇenná. Pak jej´ı diferenciál je df (= dy) = f ′ (u) · du. Urˇceme nyn´ı df v pˇr´ıpadˇe, ˇze u nen´ı nezávisle promˇenná, ale u = ϕ(x). Pak df = [f ◦ ϕ(x)]′ · dx = f ′ (ϕ(x)) · ϕ′ (x) dx = f ′ (u) · du,

nebot’ du = ϕ′ (x) dx. Vid´ıme, ˇze diferenciál funkce je invariantn´ı pˇri pˇrechodu na sloˇzenou funkci. (Tuto vlastnost má pouze 1. diferenciál, viz 6.5, a pouˇz´ıváme ji zejména pˇri v´ ypoˇctu neurˇcit´ ych integrál˚ u, viz 9.)

6.5

Derivace vyˇ sˇ s´ıch ˇ r´ ad˚ u

Funkce y = sin x má derivaci y ′ = cos x. Toto je opˇet funkce, která má derivaci a plat´ı (y ′ )′ = −sinx.

Definice 6.5.1. Má-li funkce f ′ v bodˇe x (na mnoˇzinˇe M ) derivaci (f ′ )′ , oznaˇc´ıme tuto derivaci f ′′ a nazveme derivace druh´ eho ˇ ra ´du (druh´ a derivace) funkce (n) f . Podobnˇ e derivaci n-t´ eho ˇ ra ´du (n-tou derivaci) f definujeme vztahem ′ (n) (n−1) f = f . Oznaˇcen´ı podle Leibnize: d2 dn f , (f (x)), dxn dx2

dn f dxn

!

d2 f d2 f (ˇ c ti d dvˇ e f podle dx na druhou“), , ” dx2 dy 2

, apod. x=x0

Oznaˇcen´ı podle Cauchyho: D2 f , Dn y, apod. ´ Uloha 6.5.2. Urˇcete vˇsechny derivace funkce y = 3x2 − 2x − 1. ´ Uloha 6.5.3. Urˇcete 2. derivaci funkce y = sin x v bodˇe x0 = π2 . Derivace y ′′ , . . . , y (n) , n ∈ N, k ≥ 2, naz´ yváme derivace vyˇsˇs´ıch ˇrád˚ u. Upotˇreb´ıme je napˇr. pˇri vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce (viz kapitolu 8) nebo pˇri urˇcován´ı koeficient˚ u Taylorova rozvoje (viz kapitolu 7). Má proto smysl uvaˇzovat o vzorc´ıch, které usnadn´ı v´ ypoˇcet n-té derivace. 74

Nˇ ekter´ e vzorce pro n-tou derivaci element´ arn´ıch funkc´ı 1) Funkce ex : ∀n ∈ N je (ex )(n) = ex ;

podobnˇe pro funkci ax máme (ax )(n) = ax (ln a)n .

2) Funkce sin x, cos x. Plat´ı: f (n+4) = f (n) , takˇzetakto lze zjistit derivaci libovolného ˇrádu. Plat´ı π a podobn´ y pro (cos x)(n) . téˇz vzorec (sin x)(n) = sin x + n 2 3) Funkce sh x, ch x. Zde f (n+2) = f (n) . 4) Funkce xn , n ∈ N. Zde (xn )(n) = n!, (xn )(m) = 0, ∀m ∈ N, m > n. Leibnizovo pravidlo pro n-tou derivaci souˇ cinu: (uv)(n)

!

!

!

n n (n−2) ′′ n (n−1) ′ u′ v (n−1) + uv (n) . u v + ··· + u v + = u(n) v + n−1 2 1

´ Uloha 6.5.4. Urˇcete 120. derivaci funkce y = x2 ex . ˇ sen´ı. Reˇ ex (x2 + 240x + 14280).

6.6

Derivace r˚ uzn´ ych typ˚ u funkc´ı

1) Funkce v´ıce promˇ enn´ ych Derivujeme vˇzdy podle jedné promˇenné a ostatn´ı povaˇzujeme za konstantu; dostáváme tzv. parciáln´ı derivace s oznaˇcen´ım (napˇr´ıklad pro funkci z = f (x, y)) ∂f ∂f ∂ 2 f ∂ 2 f , , , , atd. ∂x ∂y ∂x2 ∂x∂y ´ Uloha 6.6.1. Vypoˇctˇete vˇsechny parciáln´ı derivace 2. ˇrádu pro funkci z = x sin xy. 2) Funkce dan´ e parametricky Nezávisle promˇenná x i hodnota funkce y jsou vyjádˇreny soustavou x = ϕ(t), dy urˇc´ıme pomoc´ı diferenciál˚ u (uˇzit´ım uvey = ψ(t), kde t ∈ (α, β). Derivaci dx ψ ′ (t) dt ψ ′ (t) dy = = (tedy derivace je téˇz funkc´ı deného Leibnizova symbolu): dx ϕ(t) dt ϕ(t) parametru). 75

´ Uloha 6.6.2. Odvod’te vzorec pro derivaci 2. ˇrádu funkce dané parametricky. d2 y d ˇ Reˇsen´ı. 2 = dx dx

dy dx

!

ψ ′′ (t)ϕ′ (t) − ψ ′ (t)ϕ′′ (t) = . (ϕ′ (t))3

x = 2 cos t, ´ t ∈ h0, πi. Uloha 6.6.3. Funkce f je dána parametricky: y = 2 sin t, d2 y dy a . Vypoˇctˇete dx dx2 3) Funkce dan´ e implicitnˇ e Funkce y = y(x) necht’ je dána implicitn´ı rovnic´ı f (x, y) = 0 pro x ∈ (a, b). Na daném intervalu tedy plat´ı identicky f (x, y(x)) = 0. Proto také derivace levé ∂f ∂f dy strany podle x je identicky rovna nule, tj. + = 0 a z toho vypoˇcteme ∂x ∂y dx d2 y dy . Derivaci vypoˇcteme, kdyˇz tuto rovnost znovu derivujeme podle x s t´ım, dx dx2 ˇze y = y(x). ´ Uloha 6.6.4. Vypoˇctˇete 1. a 2. derivace funkce dané implicitn´ı rovnic´ı x2 + y 2 − 25 = 0. 2 2 ˇ sen´ı. y ′ = − x , y ′′ = − x + y . Reˇ y y3

−∗−

76

Kapitola 7 Z´ akladn´ı vˇ ety diferenci´ aln´ıho poˇ ctu 7.1

´ Uvod

Vˇ eta 7.1.1 (Fermatova). Necht’ funkce f je definov´ ana na M a nabýv´ a v nˇekterém vnitˇrn´ım bodˇe x0 ∈ M své nejvˇetˇs´ı nebo nejmenˇs´ı hodnoty. Má-li f v bodˇe x0 derivaci, pak f ′ (x0 ) = 0. f (x) − f (x0 ) v levém a x − x0 pravém okol´ı bodu x0 , v nˇemˇz nab´ yvá své nejvˇetˇs´ı (nejmenˇs´ı) hodnoty. Z vˇety o limitˇe nerovnosti pak plyne f ′ (x0 ) = x→x lim d(x) = 0.

Princip d˚ ukazu. Uvaˇzujeme znaménko pod´ılu d(x) =

0

Fermatovu vˇetu lze vztáhnout na lokáln´ı extrém a jeho okol´ı, tato vˇeta má tedy lokáln´ı charakter a lze ji formulovat takto: má-li funkce f v bodˇe x0 lokáln´ı extrém a má v nˇem derivaci, pak se tato derivace rovná nule. Tedy: Vˇ eta 7.1.2. Nutnou podm´ınkou existence lokáln´ıho extrému funkce f v bodˇe x0 je, ˇze v nˇem derivace f ′ (x0 ) bud’ neexistuje nebo je rovna nule. Pro diferencovatelnou funkci f je nutnou podm´ınkou rovnost f ′ (x0 ) = 0.

7.2

Vˇ ety o stˇ redn´ı hodnotˇ e

Uvedeme zde trojici vˇet (Rolleova, Lagrangeova, Cauchyova), které jsou obvykle nazýv´ any vˇetami o stˇredn´ı hodnotˇe diferenci´ aln´ıho poˇctu. J´ adrem je vˇeta Lagrangeova. Vˇ eta 7.2.1 (Rolleova). Necht’ funkce f 1) je spojitá na intervalu ha, bi, 77

2) má derivaci na intervalu (a, b), 3) splˇ nuje rovnost f (a) = f (b). Pak v intervalu (a, b) existuje bod ξ tak, ˇze f ′ (ξ) = 0. D˚ ukaz. Podle 2. Weierstrassovy vˇety nab´ yvá funkce f v nˇejakém bodˇe c1 ∈ ha, bi své nejmenˇs´ı hodnoty a v nˇejakém bodˇe c2 ∈ ha, bi své nejvˇetˇs´ı hodnoty. Kdyby c1 i c2 byly oba krajn´ımi body intervalu ha, bi, platilo by f (x) = konst., takˇze za ξ bychom mohli vz´ıt libovoln´ y bod intervalu (a, b). Je-li jeden z bod˚ u c1 , c2 vnitˇrn´ım bodem intervalu (a, b) (oznaˇcme jej c), pak tvrzen´ı plyne z Fermatovy vˇety, kde ξ = c. Takov´ ych bod˚ u, v nichˇz je derivace funkce f rovna 0, m˚ uˇze b´ yt i v´ıce; napˇr´ıklad funkce sin x na h0, 2πi splˇ nuje pˇredpoklady Rolleovy vˇety a jej´ı derivace je nulová π 3π v bodech a . 2 2 ´ Uloha 7.2.2. Proved’te grafickou ilustraci Rolleovy vˇety. ´ Uloha 7.2.3. Formou protipˇr´ıklad˚ u ukaˇzte, ˇze vˇsechny tˇri pˇredpoklady Rolleovy vˇety jsou nutné. Uved’te tedy pˇr´ıklady tˇr´ı funkc´ı f1 , f2 , f3 , pro nˇeˇz neplat´ı tvrzen´ı Rolleovy vˇety, a to tak, ˇze 1) funkce f1 je nespojitá v jediném bodˇe intervalu ha, bi, ale pˇredpoklady 2 a 3 jsou splnˇeny; 2) funkce f2 nemá derivaci v jediném bodˇe intervalu (a, b), ale pˇredpoklady 1 a 3 jsou splnˇeny; 3) pro funkci f3 plat´ı f3 (a) 6= f3 (b), ale pˇredpoklady 1 a 2 jsou splnˇeny. Vˇ eta 7.2.4 (Lagrangeova). Necht’ funkce f 1) je spojitá na intervalu ha, bi, 2) má derivaci na intervalu (a, b), Pak v intervalu (a, b) existuje bod ξ tak, ˇze plat´ı

f (b) − f (a) = f ′ (ξ). b−a

f (b) − f (a) (x − a) a b−a ovˇeˇr´ıme, ˇze jsou pro ni splnˇeny pˇredpoklady Rolleovy vˇety. Z tvrzen´ı Rolleovy vˇety pro funkci F pak plyne tvrzen´ı vˇety Lagrangeovy. D˚ ukaz. Zavedeme pomocnou funkci F (x) = f (x) − f (a) −

´ Uloha 7.2.5. Proved’te grafickou ilustraci Lagrangeovy vˇety.

78

´ Uloha 7.2.6. Formou proti pˇr´ıklad˚ u (dle 7.2.3) ukaˇzte, ˇze oba pˇredpoklady Lagrangeovy vˇety jsou nutné. Lagrangeova vˇeta se pouˇz´ıvá v r˚ uzn´ ych tvarech; nˇekteré uvedeme. Poloˇz´ıme-li a = x0 , b = x0 + ∆x a oznaˇc´ıme-li θ ˇc´ıslo z intervalu (0, 1), lze tvrzen´ı upravit takto: Pak existuje θ ∈ (0, 1) tak, ˇze plat´ı f (x0 + ∆x) = f (x0 ) + f ′ (x0 + θ∆x) · ∆x. Oznaˇc´ıme-li x = x0 + ∆x, lze vztah z Lagrangeovy vˇety zapsat ve tvaru f (x) = f (x0 ) + (x − x0 ) · f ′ (x0 + θ(x − x0 )). Jin´ y zápis: ∆y = f ′ (x0 + θ∆x) · ∆x, ukazuje, proˇc se Lagrangeovˇe vˇetˇe ˇr´ıká téˇz vˇeta o pˇr´ır˚ ustku funkce. Lagrangeova vˇeta má ˇcetné d˚ usledky, z nichˇz nˇekteré lze posuzovat jako samostatné a v´ yznamné v´ ysledky matematické anal´ yzy (viz 7.3). Vˇ eta 7.2.7 (Cauchyho vˇeta, zvaná téˇz zobecnˇen´ a vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe). Necht’ funkce f , g 1) jsou spojité na intervalu ha, bi, 2) maj´ı derivace na intervalu (a, b), 3) g ′ (x) 6= 0 na intervalu (a, b). Pak v intervalu (a, b) existuje bod ξ tak, ˇze plat´ı f (b) − f (a) f ′ (ξ) = ′ . g(b) − g(a) g (ξ) D˚ ukaz. Pˇrednˇe g(a) 6= g(b), nebot’ jinak by podle Rolleovy vˇety existoval bod ξr ∈ (a, b) tak, ˇze by g ′ (ξr ) = 0, coˇz by bylo ve sporu s pˇredpokladem 3. Zavedeme pomocnou funkci F (x) = [f (b) − f (a)] · [g(x) − g(a)] − [f (x) − f (a)] · [g(b) − g(a)] a ovˇeˇr´ıme, ˇze jsou pro F na ha, bi splnˇeny pˇredpoklady Rolleovy vˇety. V (a, b) tedy existuje ξ tak, ˇze F ′ (ξ) = 0, tedy [f (b) − f (a)] · g ′ (ξ) − f ′ (ξ) · [g(b) − g(a)] = 0, z ˇcehoˇz plyne tvrzen´ı. 79

Cauchyova vˇeta se pouˇz´ıvá napˇr´ıklad k d˚ ukazu l’Hospitalova pravidla (viz 7.3). Vˇsimnˇeme si jeˇstˇe vztahu uveden´ ych tˇr´ı vˇet o stˇredn´ı hodnotˇe: implikace (R) =⇒ (L),

(R) =⇒ (C)

znázorˇ nuj´ı, ˇze pomoc´ı Rolleovy vˇety jsme dokázali zb´ yvaj´ıc´ı dvˇe. Avˇsak také je (L) ⇒ (R), nebot’ tvrzen´ı Rolleovy vˇety lze chápat jako zvláˇstn´ı pˇr´ıpad tvrzen´ı vˇety Lagrangeovy, kdyˇz plat´ı f (a) = f (b). Stejnˇe tak lze ukázat, ˇze Lagrangeova vˇeta je zvláˇstn´ım pˇr´ıpadem vˇety Cauchyovy, tj. (C) ⇒ (L), jestliˇze g(x) = x. Jsou tedy vˇsechny tˇri vˇety o stˇredn´ı hodnotˇe navzájem ekvivalentn´ı.

7.3

Nˇ ekter´ e d˚ usledky vˇ et o stˇ redn´ı hodnotˇ e

Nejprve uvedeme dva typické d˚ usledky vˇet o stˇredn´ı hodnotˇe; na jednom je zaloˇzen pojem neurˇcitého integrálu, druh´ y umoˇzn ˇuje jednoduch´ y v´ ypoˇcet limit funkc´ı. Vˇ eta 7.3.1 (o konstantn´ı funkci). Funkce f je na intervalu (a, b) konstantn´ı ⇐⇒ má na (a, b) derivaci a ∀x ∈ (a, b) plat´ı f ′ (x) = 0. D˚ ukaz. Z definice derivace plyne, ˇze funkce konstantn´ı na (a, b) má na (a, b) derivaci rovnu 0. Naopak necht’ na (a, b) je f ′ (x) = 0. Dokáˇzeme, ˇze pro kaˇzdé dva body x1 , x2 ∈ (a, b) plat´ı f (x1 ) = f (x2 ). Zvolme oznaˇcen´ı tak, aby x1 < x2 . Pak na intervalu hx1 , x2 i jsou splnˇeny pˇredpoklady Lagrangeovy vˇety, tedy existuje bod ξ ∈ hx1 , x2 i tak, ˇze je f (x2 ) = f (x1 ) + (x2 − x1 ) · f ′ (ξ). Rovnost f (x2 ) = f (x1 ) plyne z toho, ˇze derivace ve v´ yˇse uvedeném vztahu je nulová. D˚ usledek 7.3.2. Maj´ı-li dvˇe funkce f , g na (a, b) stejné derivace, tj. f ′ (x) = ′ g (x), pak se na tomto intervalu liˇs´ı jen o konstantu, tj. ∃C ∈ R tak, ˇze na (a, b) je f (x) = g(x) + C. T´ımto d˚ usledkem jsou vytvoˇreny pˇredpoklady k definici pojmu neurˇcit´ y integrál. Tedy primitivn´ı funkc´ı napˇr´ıklad k funkci cos x je nejen funkce sin x, ale také kaˇzdá funkce tvaru sin x + C, kde C ∈ R. Neurˇcitý integrál jako mnoˇzina vˇsech primitivn´ıch funkc´ı k funkci f je podle d˚ usledku Lagrangeovy vˇety mnoˇzinou vˇsech funkc´ı tvaru F (x) + C, kde F je jedna z primitivn´ıch funkc´ı k funkci f a C je libovolná (integraˇcn´ı) konstanta (viz 10). 0 Následuj´ıc´ı vˇeta se t´ yká v´ ypoˇctu limit typu . Podobnou vˇetu lze vyslovit 0 ∞ a obˇe pak pouˇz´ıt k v´ ypoˇctu nˇekolika dalˇs´ıch typ˚ u limit. i pro limity typu ∞ 80

Vˇ eta 7.3.3 (L’Hospitalovo pravidlo). Necht’ 1) funkce f , g maj´ı derivace v P (a), kde a ∈ R∗ , 2) x→a lim f (x) = 0, x→a lim g(x) = 0, f ′ (x) 3) existuje vlastn´ı nebo nevlastn´ı lim ′ = K. x→a g (x) Pak existuje i x→a lim

f (x) a rovná se K. g(x)

Princip d˚ ukazu (pro a ∈ R, x → a+. Podle 2) lze doplnit definici funkc´ı f , g tak, aby byly spojité v U (a), kdyˇz poloˇz´ıme f (a) = g(a) = 0. Existuje pak interval ha, bi ⊂ U (a+) tak, ˇze obˇe funkce f , g jsou na nˇem spojité a na (a, b) maj´ı derivaci. Pˇredpoklady Cauchyovy vˇety jsou tak splnˇeny nejen na intervalu ha, bi, ale na kaˇzdém podintervalu ha, xi ⊂ ha, bi. Podle Cauchyovy vˇety pak na kaˇzdém intervalu ha, xi existuje bod ξ tak, ˇze f (x) − f (a) f ′ (ξ) f (x) = = ′ . g(x) g(x) − g(a) g (ξ)

f ′ (ξ) = K a ξ→a+ g ′ (ξ)

Pro x → a+ je téˇz ξ → a+. Podle pˇredpokladu existuje lim vzhledem k rovnosti levé stranˇe.

f (x) f ′ (ξ) = ′ má stejnou limitu pro x → a+ i pod´ıl na jej´ı g(x) g (ξ)

arctg(x − 2) ´ Uloha 7.3.4. Vypoˇctˇete lim . x→2 x2 − 4 ln x ´ . [1] Uloha 7.3.5. Vypoˇctˇete lim x→1 x − 1

h i 1 4

6x2 + 5x + 4 ´ Uloha 7.3.6. Vypoˇctˇete lim . [2] x→+∞ 3x3 + 2x2 + 1 Z d˚ ukazu vˇety je zˇrejmé, ˇze l’Hospitalovo pravidlo plat´ı i pro jednostranné limity, coˇz uˇz jsme mˇeli i v u ´loze 7.3.6. ´ Uloha 7.3.7. Vypoˇctˇete lim

x→0+

ln x . cotg x

[0]

L’Hospitalovo pravidlo neplat´ı naopak a to v tomto smyslu: z existence limity pod´ılu funkc´ı neplyne existence limity pod´ılu jejich derivac´ı nebo, coˇz je totéˇz, z neexistence limity pod´ılu derivac´ı jeˇstˇe neplyne neexistence limity pod´ılu funkc´ı. sin |x| Napˇr´ıklad lim = 1. x→0 |x| Nˇekdy je potˇrebné pouˇz´ıt l’Hospitalovo pravidlo i v´ıcekrát, pˇr´ıpadnˇe provádˇet pˇri v´ ypoˇctu u ´pravy, které postup zjednoduˇs´ı. 81

1 − cos 3x h 9 i ´ . 2 Uloha 7.3.8. Vypoˇctˇete lim x→0 sin2 x Pˇri v´ ypoˇctu limit typu [0 · ∞] souˇcinu funkc´ı f · g uprav´ıme souˇcin funkc´ı na pod´ıl f /(1/g) nebo naopak g/(1/f ) tak, aby to bylo vhodné pro pouˇzit´ı l’Hospitalova pravidla (tedy napˇr´ıklad funkci logaritmickou je zpravidla nejvhodnˇejˇs´ı nechat v ˇcitateli). ´ Uloha 7.3.9. Vypoˇctˇete lim x ln x.

[0]

x→0+

Poˇc´ıtáme-li limitu typu [∞ − ∞] rozd´ılu funkc´ı f − g, uprav´ıme rozd´ıl funkc´ı na pod´ıl: 1 − f1 1 1 g f −g = 1 − 1 = 1 . f

g

fg

1 ´ Uloha 7.3.10. Vypoˇctˇete lim cotg2 x − 2 . x→0 x

ˇ sen´ı. − 2 ; pˇred pouˇzit´ım l’Hospitalova pravidla nejprve z´ıskan´ Reˇ y zlomek vhodnˇe 3 rozloˇz´ıme na souˇcin funkc´ı. U limit typu [00 ], [∞0 ] a [1∞ ] pro funkce f g postupujeme tak, ˇze tuto funkci nejprve uprav´ıme na tvar eg·ln f (x) , limitu pˇreneseme do exponentu (podle vˇety o limitˇe sloˇzené funkce) a v exponentu dostaneme limitu typu [0 · ∞]. ´ Uloha 7.3.11. Vypoˇctˇete lim xsin x . x→0+

[1] −∗−

82

Kapitola 8 Uˇ zit´ı diferenci´ aln´ıho poˇ ctu 8.1

Monot´ onnost funkce

Pˇri vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce se mimo jiné zjiˇst’uje, zda je daná funkce v nˇekterém intervalu (resp. v nˇekterém bodˇe) monotónn´ı (definice viz v kap. 2). Velmi vhodn´ ym nástrojem pro zjiˇst’ován´ı monotónnosti funkce je derivace funkce. Vˇ eta 8.1.1. Jestliˇze existuje okol´ı U (x0 ) ⊂ D(f ) a f ′ (x0 ) > 0, pak f je rostouc´ı v bodˇe x0 . Princip d˚ ukazu. Jeˇzto f ′ (x0 ) > 0, má v jistém okol´ı U (x0 ) stejné znaménko i diferenciáln´ı pod´ıl a z toho plyne i tvrzen´ı vˇety.

2

2

1

1

−1 −1

−1 −1

1

1

Obrázek 8.1: Grafy funkc´ı y = x3 a y = 2x + |x|. Tato vˇeta vyjadˇruje jen postaˇcuj´ıc´ı podm´ınku, neplat´ı obrácenˇe. Funkce rostouc´ı v bodˇe m˚ uˇze m´ıt i nulovou derivaci (nebo derivaci nem´ıt). Napˇr. funkce y = x3 je v bodˇe 0 rostouc´ı, ale má zde nulovou derivaci. Funkce y = 2x + |x| je v bodˇe 0 rostouc´ı, ale derivaci v tomto bodˇe nemá. Podobné v´ ysledky plat´ı i pro funkce klesaj´ıc´ı v bodˇe a pro zápornou derivaci. 83

ˇ ıkáme, ˇze x0 je stacionárn´ım bodem funkce f , právˇe kdyˇz Definice 8.1.2. R´ ′ f (x0 ) = 0. Ve stacionárn´ım bodˇe m˚ uˇze b´ yt funkce rostouc´ı, klesaj´ıc´ı nebo v nˇem nemus´ı b´ yt monotónn´ı. Vˇ eta 8.1.3 (o monotónnosti na intervalu). Má-li funkce f derivaci na (a, b), pak plat´ı: 1) Funkce f je na (a, b) neklesaj´ıc´ı [nerostouc´ı], pr´ avˇe kdyˇz ∀x ∈ (a, b) je ′ f (x) ≥ 0 [≤ 0]. 2) Funkce f je na (a, b) rostouc´ı [klesaj´ıc´ı], pr´ avˇe kdyˇz ∀x ∈ (a, b) je f ′ (x) ≥ 0 [≤ 0], pˇriˇcemˇz neexistuje interval (α, β) ⊂ (a, b) tak, aby ∀x ∈ (α, β) f ′ (x) = 0. Princip d˚ ukazu (pro funkce neklesaj´ıc´ı, resp. rostouc´ı). (1)/1 Je-li f neklesaj´ıc´ı na (a, b), je v kaˇzdém bodˇe intervalu (a, b) diferenciáln´ı pod´ıl nezáporn´ y, tedy i f ′ (x) ≥ 0. (1)/2 Je-li f ′ (x) ≥ 0 na (a, b), x1 < x2 , jsou na hx1 , x2 i splnˇeny pˇredpoklady Lagrangeovy vˇety, tedy f (x2 )−f (x1 ) = (x2 −x1 )f ′ (ξ), odkud plyne f (x1 ) ≤ f (x2 ). (2)/1 Je-li f rostouc´ı, je podle (1)/1 f ′ (x) ≥ 0. Kdyby na nˇejakém (α, β) platilo f ′ (x) = 0, bylo by zde f (x) = konst., coˇz by byl spor. (2)/2 Necht’ f ′ (x) ≥ 0 na (a, b), x1 < x2 a neexistuje (α, β) . . . Podle (1)/1 je f (x1 ) ≤ f (x2 ) a podle pˇredpokladu o (α, β) existuje mezi x1 , x2 bod x′ tak, ˇze f ′ (x′ ) > 0, tj funkce f roste v x′ , a z toho se pomoc´ı okol´ı bodu x′ a definice funkce rostouc´ı v bodˇe vyvod´ı, ˇze f (x1 ) < f (x2 ). Tuto vˇetu lze rozˇs´ıˇrit na uzavˇren´ y interval tak, ˇze pro f pˇredpokládáme derivaci na (a, b) a spojitost na ha, bi. ´ Uloha 8.1.4. Vyˇsetˇrete intervaly monot´ onnosti funkce f : y = x2 e−x . ˇ sen´ı. D(f ) = R. Máme y ′ = (2x−x2 ) e−x = x(2−x) e−x ; jeˇzto e−x > 0, rozdˇel´ı Reˇ se ˇc´ıselná osa body 0 a 2 na intervaly: (1) na intervalu (−∞, 0i je y ′ ≤ 0, pˇriˇcemˇz y ′ je nulová v jediném bodˇe, f je klesaj´ıc´ı, (2) na intervalu h0, 2i je y ′ ≥ 0, pˇriˇcemˇz y ′ je nulová ve dvou bodech, f je rostouc´ı, (3) na intervalu h2, +∞) je y ′ ≤ 0, f je klesaj´ıc´ı (viz obrázek 8.2 na stranˇe 85).

84

2

1

−1

1

2

3

−1 Obrázek 8.2: Grafy funkc´ı y = x2 e−x a y ′ = x(2 − x) e−x z u ´lohy 8.1.4.

8.2

Lok´ aln´ı extr´ emy

V kap. 2 jsou definovány pojmy (ostré) lokáln´ı maximum, (ostré) lokáln´ı minimum — se souhrnn´ ym názvem (ostré) lokáln´ı extrémy. V kap. 7 byla odvozena nutná podm´ınka existence lokáln´ıho extrému: Má-li funkce f v bodˇe x0 lokáln´ı extrém a existuje-li f ′ (x0 ), pak f ′ (x0 ) = 0. Funkce tedy m˚ uˇze m´ıt extrém jen ve stacionárn´ım bodˇe nebo v bodˇe, v nˇemˇz nemá derivaci (jako tomu je napˇr. u funkce y = |x|). Zjiˇst’ován´ı lokáln´ıch extrém˚ u funkc´ı má velk´ y v´ yznam teoretick´ y i praktick´ y, proto je d˚ uleˇzité znát správn´ y postup. Máme nˇekolik základn´ıch moˇznost´ı.

Postup pˇ ri urˇ cov´ an´ı lok´ aln´ıch extr´ em˚ u Najdeme body, v nichˇz m˚ uˇze nastat extrém, tj. body, v nichˇz je derivace funkce rovna nule (body stacionárn´ı) nebo v nichˇz derivace neexistuje; dále takov´ y bod oznaˇc´ıme x0 . (1) Uˇ zit´ı monot´ onnosti v okol´ı bodu x0 Necht’ f je spojitá v x0 a existuje okol´ı U (x0 ) ⊂ D(f ). Je-li f rostouc´ı v P (x0 -) a klesaj´ıc´ı v P (x0 +), má funkce f v bodˇe x0 (ostré) lokáln´ı maximum. Podobnˇe lze formulovat dalˇs´ı pˇr´ıpady: ostré lokáln´ı minimum, neostré extrémy a pˇr´ıpad, kdy extrém neexistuje. 85

(2) Uˇ zit´ı 1. derivace v okol´ı bodu x0 Necht’ f je spojitá v x0 a existuje okol´ı P (x0 ) ⊂ D(f ), v nˇemˇz má funkce f derivaci. Je-li f ′ (x) > 0 v P (x0 −) a f ′ (x) < 0 v P (x0 +), má funkce f v bodˇe x0 (ostré) lokáln´ı maximum. Podobnˇe lze formulovat dalˇs´ı pˇr´ıpady. (3) Uˇ zit´ı 2. derivace v bodˇ e x0 Necht’ f má derivaci v nˇejakém okol´ı U (x0 ) ⊂ D(f ) a existuje f ′′ (x0 ). Je-li f (x0 ) < 0, má funkce f v bodˇe x0 (ostré) lokáln´ı maximum, je-li f ′′ (x0 ) > 0, má funkce f v bodˇe x0 (ostré) lokáln´ı minimum. Pozor: Pokud f ′′ (x0 ) = 0, neznamená to, ˇze extrém neexistuje, ale ˇze mus´ıme rozhodnout podle jiného pravidla. Odvozen´ı postupu dle (1) plyne z definice extrému, (2) plyne z (1) uˇzit´ım vztahu mezi monotónnost´ı a znaménkem derivace, (3) plyne z (2) uváˇz´ıme-li, ˇze napˇr. vlastnost f ′′ (x0 ) < 0 ˇr´ıká, ˇze funkce f ′ je klesaj´ıc´ı v bodˇe x0 , a protoˇze f ′ (x0 ) = 0, plat´ı v nˇejakém P (x0 −), ˇze f ′ (x) > 0 a v P (x0 +), ˇze f ′ (x0 ) < 0. ′′

´ Uloha 8.2.1. Zjistˇete extrém funkce f : y = x e−x . ˇ sen´ı. Vypoˇcteme derivaci y ′ = (1 − x) e−x a poloˇz´ıme ji rovnu 0; dostáváme Reˇ stacionárn´ı bod x0 = 1. Dále vypoˇcteme y ′′ = (x−2) e−x . Jeˇzto y ′′ (1) = − e−1 < 0, má funkce f v bodˇe 1 lokáln´ı maximum. (4) Uˇ zit´ı Taylorova vzorce Jestliˇze funkce f má derivace v U (x0 ) a plat´ı (n > 1) f ′ (x0 ) = f ′′ (x0 ) = · · · = f (n−1) (x0 ) = 0, f (n) (x0 ) 6= 0, pak (1) pro n sudé existuje v bodˇe x0 extrém: – lokáln´ı maximum pro f (n) (x0 ) < 0, – lokáln´ı minimum pro f (n) (x0 ) > 0. (2) pro n liché extrém v bodˇe x0 neexistuje. Tvrzen´ı plyne z toho, ˇze z Taylorova vzorce máme za dan´ ych pˇredpoklad˚ u f (n) (x0 +θ∆x) n ∆x , pˇriˇcemˇz okol´ı bodu x0 , tedy U (x0 ), lze volit f (x0 + ∆x) − f (0 ) = n! (n) tak malé, ˇze f (x0 + θ∆x) má stejné znaménko jako f (n) (x0 ). ´ Uloha 8.2.2. Vyˇsetˇrete extrém funkce f : y = x5 . ˇ sen´ı. Máme y ′ = 5x4 , stacionárn´ı bod 0. Dále pak y ′′ = 20x3 , y ′′ (0) = 0, Reˇ y ′′′ = 60x2 , y ′′′ (0) = 0, y (4) = 120x, y (4) (0) = 0, y (5) = 120 > 0. Prvn´ı nenulová derivace je lichého ˇrádu, tedy extrém neexistuje.

86

8.3

Nejvˇ etˇ s´ı a nejmenˇ s´ı hodnota funkce na intervalu

Mˇejme funkci f definovanou a spojitou na intervalu ha, bi. Podle 2.Weierstrassovy vˇety nab´ yvá funkce f v nˇekterém bodˇe c1 své nejvˇetˇs´ı hodnoty a v nˇekterém bodˇe c2 své nejmenˇs´ı hodnoty. Jiné názvy: absolutn´ı extrémy, globáln´ı extrémy. Kaˇzd´ y z bod˚ u c1 , c2 pˇritom m˚ uˇze b´ yt vnitˇrn´ım nebo krajn´ım bodem intervalu ha, bi, viz obr. 9.3.1. Pokud je ci vnitˇrn´ım bodem, je to souˇcasnˇe bod, v nˇemˇz nastává lokán´ı extrém, tedy stacionárn´ı bod nebo bod, v nˇemˇz neexistuje derivace. Z toho pak plyne: obr. 9.3.1.

Postup pˇ ri urˇ cov´ an´ı nejvˇ etˇ s´ı a nejmenˇ s´ı hodnoty funkce na uzavˇ ren´ em intervalu ha, bi

(1) Urˇc´ıme vˇsechny stacionárn´ı body a body, v nichˇz neexistuje derivace a vypoˇcteme v nich funkˇcn´ı hodnoty. (2) Vypoˇcteme funkˇcn´ı hodnoty v bodech a, b. (3) Maximum mnoˇziny vˇsech tˇechto hodnot funkce z (1) a (2) je nejvˇetˇs´ı hodnotou funkce na ha, bi, (4) minimum mnoˇziny vˇsech tˇechto hodnot funkce z (1) a (2) je nejmenˇs´ı hodnotou funkce na ha, bi. Tedy: nen´ı tˇreba urˇcovat lokáln´ı extrémy dle 9.2.

´ Uloha 8.3.1. Máme urˇcit nejvˇetˇs´ı a nejmenˇs´ı hodnotu funkce f : y = x3 − 3x + 1 na intervalu h0, 2i.

ˇ sen´ı. y ′ = 3x2 − 3; f má na h0, 2i jedin´ Reˇ y stacionárn´ı bod 1. Vypoˇcteme f (1) = −1 a dále f (0) = 1, f (2) = 3. Funkce f tedy nab´ yvá nejvˇetˇs´ı hodnoty 3 v bodˇe 2 a nejmenˇs´ı hodnoty −1 v bodˇe 1.

8.4

Konvexnost a konk´ avnost

(u) Oznaˇcme k(u, v) = f (v)−f ; je-li f funkce spojitá, je pro u 6= v také funkce v−u k(u, v) spojitá vzhledem k u i vzhledem k v. Geometrick´ y v´ yznam: k(u, v) je smˇernice seˇcny grafu funkce f .

Definice 8.4.1. Funkce f se naz´ yvá konvexn´ı (konk´ avn´ı) na intervalu (a, b) ⇔ pro kaˇzdé tˇri body x1 , x, x2 ∈ (a, b), kde x1 < x < x2 , plat´ı k(x1 , x) < k(x, x2 ) (k(x1 , x) > k(x, x2 )). 87

Funkce dle této definice je ryze konvexn´ı nebo konkávn´ı, pˇri neostr´ ych nerovnostech jde o neryz´ı vlastnosti. ´ Uloha 8.4.2. Doplˇ nte obr´ azek 9.4.1 (9.4.2), tak aby ilustroval definici funkce konvexn´ı (konkávn´ı). Vˇ eta 8.4.3 (1.vˇeta o konvexnosti a konkávnosti). Necht’ funkce f má na intervalu (a, b) derivaci f ′ . Pak funkce f je na (a, b) konvexn´ı (konkávn´ı) ⇔ je f ′ na (a, b) rostouc´ı (klesaj´ıc´ı). D˚ ukaz. 1) Necht’ f je konvexn´ı. Zvolme libovolné x1 , x2 ∈ (a, b) , x1 < x2 ; dokáˇzeme, ˇze f ′ (x1 ) < f ′ (x2 ). Mezi x1 a x2 zvolme dalˇs´ı 3 body tak, aby platilo x1 < x¯1 < x0 < x¯2 < x2 . Pak plat´ı k(x1 , x0 ) < k(x0 , x2 ) a téˇz k(x1 , x¯1 ) < k(¯ x1 , x0 ), k(x0 , x¯2 ) < k(x0 , x¯2 ). Pˇrejdeme k limitám: limx¯1 →x1 + k(x1 , x¯1 ) = f ′ (x1 +) = f ′ (x1 ), limx¯2 →x2 − k(¯ x2 , x2 ) = f ′ (x2 −) = ′ f (x2 ), limx¯1 →x1 + k(¯ x1 , x0 ) = k(x1 , x0 ), limx¯2 →x2 − k(x0 , x¯2 ) = k(x0 , x¯2 ) = k(x0 , x2 ) a z toho f ′ (x1 ) ≤ k(x1 , x0 ) < k(x0 , x2 ) < f ′ (x2 ). 2) Naopak necht’ f ′ je rostouc´ı na (a, b) . Uvaˇzujme libovolné dva body x1 , x2 ∈ (a, b) a necht’ x ∈ (x1 , x2 ). Dokáˇzeme, ˇze k(x1 , x) < k(x, x2 ) a to tak, ˇze najdeme taková ξ1 < ξ2 , ˇze f ′ (ξ1 ) = k(x1 , x), f ′ (ξ2 ) = k(x, x2 ). K tomu pouˇzijeme Lagrangeovu vˇetu, podle n´ıˇz existuje bod ξ1 ∈ hx1 , xi tak, ˇze f ′ (ξ1 ) = k(x1 , x), a podobnˇe existuje ξ2 ∈ hx, x2 i tak, ˇze f ′ (ξ2 ) = k(x, x2 ), pˇriˇcemˇz x1 < x < x2 . Proto k(x1 , x) = f ′ (ξ1 ) < f ′ (ξ2 ) = k(x, x2 ), funkce je konvexn´ı. Na funkci f ′ lze nyn´ı pouˇz´ıt vˇetu o monotónnosti na intervalu (viz 9.1). Podle n´ı plat´ı: Vˇ eta 8.4.4 (2. vˇeta o konvexnosti a konkávnosti). Má-li funkce f druhou derivaci na (a, b), pak tato funkce je na (a, b) konvexn´ı [konkávn´ı], pr´ avˇe kdyˇz ∀x ∈ (a, b) ′′ je f (x) ≥ 0 [≤ 0], pˇriˇcemˇz neexistuje interval (α, β) ⊂ (a, b) tak, aby ∀x ∈ (α, β) bylo f ′′ (x) = 0.

8.5

Inflexe a inflexn´ı body

ˇ ıkáme, ˇze funkce f má v bodˇe x0 inflexi ⇔ má derivaci f ′ (x0 ) Definice 8.5.1. R´ a je v levém okol´ı U (x0 −) konvexn´ı [konkávn´ı] a v pravém okol´ı U (x0 +) konkávn´ı [konvexn´ı]. Bod [x0 , f (x0 )] roviny se naz´ yvá inflexn´ı bod funkce f resp. grafu funkce f . 88

Tedy v inflexn´ım bodˇe pˇrecház´ı funkce z konvexn´ıho pr˚ ubˇehu na konkávn´ı nebo naopak. Inflexn´ı teˇcna, tj. teˇcna ke grafu funkce f v inflexn´ım bodˇe, má tu vlastnost, ˇze v bodˇe dotyku graf pˇrecház´ı z jedné poloroviny do druhé. Napˇr. osa x je inflexn´ı teˇcnou ke grafu funkce y = x3 . T´ım se inflexn´ı teˇcna liˇs´ı od teˇcen v bodech, které nejsou inflexn´ı. Vˇ eta 8.5.2. (vztah inflexe a derivace): Má-li funkce f v nˇejakém okol´ı U (x0 ) derivaci f ′ , pak má v bodˇe x0 inflexi ⇔ má f ′ v bodˇe x0 lokáln´ı extrém. D˚ ukaz.

1) Necht’ f má v bodˇe x0 inflexi. Pak nastává jedna z tˇechto moˇznost´ı: a) f je v U (x0 −) konvexn´ı (tj. f ′ je rostouc´ı) a v U (x0 +) konkávn´ı (tj, f ′ je klesaj´ıc´ı), takˇze f ′ má v bodˇe x0 lokáln´ı maximum; b) f je v U (x0 −) konkávn´ı (tj. f ′ je klesaj´ıc´ı) a v U (x0 +) konvexn´ı (tj, f ′ je rostouc´ı), takˇze f ′ má v bodˇe x0 lokáln´ı minimum.

2) Má-li f ′ lokáln´ı extrém v bodˇe x0 , je to bud’ lokáln´ı maximum nebo lokáln´ı minimum a podobn´ ymi u ´vahami (proved’te je!) pro levé a pravé okol´ı dojdeme k existenci inflexe. Vˇ eta 8.5.3 (nutná podm´ınka existence inflexe). Má-li funkce f v bodˇe x0 inflexi a existuje f ′′ (x0 ), je f ′′ (x0 ) = 0. D˚ ukaz. Plyne z nutné podm´ınky existence extrému funkce f ′ . Vztah inflexe a derivace lze dalˇs´ımi vˇetami specifikovat pro pˇr´ıpad existence druhé resp. i tˇret´ı derivace. Vˇ eta 8.5.4 ((vztah inflexe a druhé derivace). Má-li funkce f v nˇejakém okol´ı bodu x0 derivaci f ′′ a má-li tato derivace v P (x0 −) a P (x0 +) r˚ uzn´ a znaménka, ′′ má funkce f v bodˇe x0 inflexi. Má-li f stejné znaménko v P (x0 −) a P (x0 +), pak funkce f v bodˇe x0 inflexi nemá. Vˇ eta 8.5.5 (vztah inflexe a 3. derivace). Má-li funkce f v nˇejakém okol´ı bodu x0 derivaci f ′′ , plat´ı f ′′ (x0 ) = 0 a f ′′′ (x0 ) 6= 0, pak funkce f má v bodˇe x0 inflexi. Tuto vˇetu bychom mohli rozˇs´ıˇrit (podobnˇe jako odpov´ıdaj´ıc´ı pravidlo pro urˇcován´ı lokáln´ıho extrému) i na pˇr´ıpad, kdy f ′′ (x0 ) = f ′′′ (x0 ) = · · · = f (k−1) (x0 ) = 0, f (k) (x0 ) 6= 0. Pro k liché existuje v bodˇe x0 inflexe, pro k sudé nikoli. ´ Uloha 8.5.6. Stanovte konvexnost, konkávnost a inflexi funkce y = x e−x . ˇ sen´ı. Tato funkce má potˇrebné derivace, vypoˇcteme Reˇ y ′ = (1 − x) e−x , y ′′ = (x − 2) e−x , kde e−x > 0. Pro x < 2 je y ′′ < 0, funkce je konkávn´ı, pro x > 2 je y ′′ > 0, funkce je konvexn´ı. Pro x = 2 má funkce inflexi, inflexn´ı bod je [2; 2 e−2 ]. 89

8.6

Asymptoty

Asymptoty jsou pˇr´ımky a pˇredstavujeme si je jako teˇcny ke grafu funkce v nekoneˇcnu. Napˇr. souˇradnicové osy jsou asymptotami grafu funkce y = 1/x. Máme asymptoty dvou druh˚ u a vyslov´ıme pro nˇe dvˇe r˚ uzné definice, protoˇze to je praktické, i kdyˇz z hlediska geometrického jde o tent´ yˇz jev. Definice 8.6.1. Pˇr´ımka x = c se naz´ yvá vertik´ aln´ı asymptota grafu funkce f ⇔ funkce f má v bodˇe c alespoˇ n jednu jednostrannou limitu nevlastn´ı. Takov´ ych asymptot m˚ uˇze m´ıt funkce nekoneˇcnˇe mnoho, pˇr´ıkladem je funkce tangens. Kromˇe toho mohou pro danou funkci existovat jeˇstˇe nejv´ yˇse dvˇe asymptoty s rovnicemi tvaru y = kx + q. Definice 8.6.2. Pˇr´ımka y = kx + q se naz´ yvá asymptota (se smˇ ernic´ı) grafu funkce f ⇔ pro x → −∞ nebo pro x → +∞ je lim[f (x) − kx + q] = 0. Asymptoty se smˇernic´ı se zpravidla zjiˇst’uj´ı podle následuj´ıc´ı vˇety. Vˇ eta 8.6.3 (o v´ ypoˇctu asymptot). Pˇr´ımka y = kx + q je asymptotou grafu = k a funkce f ⇔ existuj´ı limity (pro x → −∞ nebo pro x → +∞ ) lim f (x) x lim[f (x) − kx] = q. D˚ ukaz. Vˇsechny dále uvedené limity bereme pro x → −∞ nebo pro x → +∞. 1) Necht’ pˇr´ımka y = kx + q je asymptotou. Pak lim[f (x) − (kx + q)] = 0, tedy = 0. Jeˇzto xq → 0, plat´ı lim f (x) − k = 0, tedy lim f (x) = k. téˇz lim f (x)−kx−q x x x Druhá rovnost je zˇrejmá, nebot’ ve vztahu lim[f (x) − (kx + q)] = 0 lze provést rozdˇelen´ı na dvˇe limity lim[f (x) − kx] − q = 0. 2) Existuj´ı-li naopak limity pro k a pro q, plyne ze vztahu lim[f (x) − kx] = q definiˇcn´ı vztah lim[f (x) − (kx + q)] = 0.

Praktick´ y postup v bˇ eˇ zn´ ych pˇ r´ıpadech 1) Vyˇsetˇr´ıme okol´ı tˇech hromadn´ ych bod˚ u D(f ), které leˇz´ı v R − D(f ) (body nespojitosti - zejména izolované body mnoˇziny R − D(f ) nebo krajn´ı body interval˚ u, jeˇz jsou souˇcást´ı D(f )). Zjist´ıme ve kterém z tˇechto bod˚ u existuj´ı alespoˇ n jednostranné nevlastn´ı limity. 2) Je-li +∞ nebo −∞ hromadn´ ym bodem D(f ), hledáme lim f (x)/x. Jestliˇze tato limita (nebo obˇe) existuje, je to smˇernice k asymptot, pokud asymptoty existuj´ı. Dále jeˇstˇe hledáme lim[f (x) − kx] s on´ım k, jeˇz bylo vypoˇcteno v pˇredchoz´ı limitˇe. Existuje-li tato limita, je to q a asymptota existuje. 90

Pˇri v´ ypoˇctu k = lim f (x) lze pouˇz´ıt l’Hospitalova pravidla, z nˇehoˇz k = x lim f ′ (x). Také tento vztah se ˇcasto vyuˇz´ıvá k v´ ypoˇctu smˇernice asymptot (ovˇsem ′ neexistuje-li lim f (x), neznamená to neexistenci asymptot). ´ Uloha 8.6.4. Urˇcete asymptoty pro funkci y = 2x + arctg x. ˇ sen´ı. k = lim f (x) = lim 2 + arctg x = 2, nebot’ v posledn´ım zlomku je funkce Reˇ x x v ˇcitateli omezená, takˇze tento zlomek konverguje k 0. Dále q = lim(2x+arctg x− 2x) = Existuj´ı tedy 2 asymptoty: y = 2x − π/2 pro x → −∞ a y = 2x + π/2 pro x → +∞. √ ´ Uloha 8.6.5. Urˇcete asymptoty pro funkci y = x + x.

ˇ sen´ı. Zde je nevlastn´ım hromadn´ Reˇ ym bodem D(f ) jen +∞. Poˇc´ıtáme k = √ √ f (x) x lim x = 1+lim x = 1, q = lim (x + x − x) = +∞, asymptota neexistuje.

8.7

Pr˚ ubˇ eh funkce

O vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce lze pojednat dvˇema zp˚ usoby: - uvést vˇecnˇe, ze kter´ ych ˇcinnost´ı se vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce skládá, - popsat praktick´ y postup pˇri vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce. Dle 1. hlediska uvaˇzujeme tyto sloˇzky: 1) Definiˇcn´ı obor, body nespojitosti. 2) Funkˇcn´ı obor, omezenost; nulové body funkce; intervaly, kde je funkce kladná, kde je záporná. 3) Funkˇcn´ı vlastnosti funkce: parita, periodiˇcnost. 4) Limity (jednostranné) v bodech nespojitosti funkce, v krajn´ıch bodech definiˇcn´ıho oboru, resp. v −∞, +∞. 5) Intervaly monotonnosti (kde funkce roste, kde klesá) nebo konstantnosti. 6) Lokáln´ı extrémy funkce. 7) Intervaly konvexnosti a konkávnosti. 8) Inflexe, inflexn´ı body grafu funkce. 9) Asymptoty grafu funkce. 10) Sestrojen´ı grafu funkce. 91

Praktick´ y postup pˇri vyˇsetˇrován´ı pr˚ ubˇehu funkce sleduje v bˇeˇzném pˇr´ıpadˇe i myˇslenku správného a pˇrehledného záznamu v´ ysledk˚ u a meziv´ ysledk˚ u do tabulky. Proto postupujeme takto: A. Zjist´ıme u ´daje potˇrebné pro sestaven´ı tabulky, sestav´ıme tabulku a zaznamenáme do n´ı dosud známé u ´daje o funkci, B. postupnˇe zjiˇst’ujeme dalˇs´ı vlastnosti funkce a zaznamenáváme je do tabulky, C. dopln´ıme u ´daje potˇrebné pro sestrojen´ı grafu a sestroj´ıme graf funkce. Lze tak doporuˇcit toto poˇrad´ı prac´ı: A1. Provedeme 1 (urˇc´ıme D(f ) a body nespojitosti). A2. Provedeme 3 (stanoven´ı parity a periodiˇcnosti), tj. zjist´ıme, zda bychom mohli zmenˇsit rozsah vyˇsetˇrován´ı funkce t´ım, ˇze se omez´ıme napˇr. jen na interval h0, +∞) nebo jen na jednu periodu u funkce periodické. A3. Vypoˇcteme 1.derivaci, poloˇz´ıme ji rovnu 0 a ˇreˇsen´ım z´ıskáme stacionárn´ı body. K nim pˇridáme ty body z D(f ), v nichˇz 1. derivace neexistuje. Má-li funkce lokáln´ı extrém, pak nastane v nˇekterém z tˇechto bod˚ u. A4. Vypoˇcteme 2. derivaci, poloˇz´ıme ji rovnu 0 a ˇreˇsen´ım z´ıskáme body, v nichˇz m˚ uˇze m´ıt funkce inflexi. K nim pˇridáme ty body z D(f ′ ), v nichˇz 2. derivace neexistuje. A5. Sestav´ıme tabulku, kde v horizontáln´ım záhlav´ı zaznamenáme rozˇclenˇen´ı ˇc´ıselné osy s ohledem na A1, A2, A3, A4; ve vertikáln´ım záhlav´ı jsou ˇrádky pro x, y, y ′ , y ′′ , a pro záznam vlastnost´ı funkce f . Do tabulky pˇreneseme u ´daje jiˇz zjiˇstˇené. B1. Uˇzit´ım znaménka 1. derivace urˇc´ıme 5 (intervaly monotonnosti). B2. Na základˇe B1 zjist´ıme 6 (lokáln´ı extrémy), vˇcetnˇe funkˇcn´ıch hodnot v tˇechto bodech. B3. Uˇzit´ım znaménka 2. derivace urˇc´ıme 7 (konvexnost a konkávnost). B4. Na základˇe B3 zjist´ıme 8 (inflexi), vˇcetnˇe funkˇcn´ıch hodnot v tˇechto bodech a hodnot 1. derivac´ı. B5. Urˇc´ıme 9 (asymptoty). B6. Urˇc´ıme 4 (limity), pokud je to po B5 jeˇstˇe tˇreba.

92

B7. Urˇc´ıme 2 (funkˇcn´ı obor, nulové body, znaménka funkce). C1. Podle potˇreby dopln´ıme napˇr. pr˚ useˇc´ık grafu funkce s osou y, hodnoty funkce v dalˇs´ıch bodech D(f ), pˇr´ıpadnˇe i hodnoty derivac´ı (pˇripoj´ıme k tabulce jako dodatek). C2. Provedeme bod 10 (sestroj´ıme graf funkce). ´ Uloha 8.7.1. Sestavte tabulku pro vyˇsetˇren´ı pr˚ ubˇehu funkce y = x + x1 . ˇ sen´ı. D(f ) = (−∞, 0) ∪ (0, +∞), funkce je lichá, tj. graf bude soumˇern´ Reˇ y podle poˇcátku. y ′ = 1 − x12 ; y ′ = 0 ⇒ x ∈ {−1; 1} (stacionárn´ı body); y ′′ = x23 6= 0. Sestav´ıme tabulku (napˇr. jen) pro interval h0, +∞). x y y′ y ′′

0 n.d. n.d. n.d. n.d.

funkce

→ 0+ → +∞ → −∞ — → +∞ asymptota x = 0

(0, 1) 1 (1, +∞) → +∞ — 2 — → +∞ <0 0 >0 → +∞ >0 >0 >0 — klesá lok.min. roste → +∞ konvexn´ı asymptota y = x

Inflexn´ı body neexistuj´ı.

8.8

Uˇ zit´ı extr´ em˚ u funkc´ı

Na v´ ypoˇcet extrém˚ u vede ˇrada praktick´ ych u ´loh. ´ Uloha 8.8.1. Ze ˇctvercového listu pap´ıru o stranˇe a má být po vystˇriˇzen´ı ˇctvereˇck˚ u v roz´ıch sloˇzena krabice o maxim´ aln´ım objemu. Vypoˇctˇete stranu ˇctvereˇck˚ u, jeˇz maj´ı být v roz´ıch vystˇriˇzeny a rozmˇery výsledné krabice (obr. 9.8.1). ˇ sen´ı. V = (a − 2x)2 x, V ′ = 12x2 − 8ax + a2 ⇒ x1 = a , x2 = a (nevyhovuje Reˇ 6 2 yˇska je rovna ˇctvrtinˇe ˇs´ıˇrky praktické u ´loze) ; rozmˇery krabice jsou 23 a× 23 a× 61 a, v´ ˇctvercového dna. ´ Uloha 8.8.2. Pracoviˇstˇe je v konstantn´ı vzdálenosti a od pr˚ umˇetu svˇetla na vodorovnou rovinu. Pˇri jaké výˇsce h svˇetla (viz obr. 9.8.2) je osvˇetlen´ı pracoviˇstˇe maxim´ aln´ı? ˇ sen´ı. Intenzita osvˇetlen´ı závis´ı na vstupn´ıch podm´ınkách takto: I = c sin2ϕ , Reˇ r √ kde sin ϕ = hr a r = h2 + a2 , takˇze I = I(h); po dosazen´ı I = c 2 h 2 3 . (h +a ) 2

′

I =c

a2 −2h2

3

(h2 +a2 ) 2

(= 0) ⇒ h =

√a 2

≈ 0, 7a. 93

´ Uloha 8.8.3. Výkon Peltonova kola je P = k · u · (v − u), kde u je obvodov´ a rychlost Peltonova kola a v je rychlost vodn´ıho paprsku. Pˇri jaké rychlosti u je výkon Peltonovy turbiny maxim´ aln´ı? ˇ sen´ı. P = P (u), P ′ = kv − 2ku(= 0) ⇒ u = v . Reˇ 2 ´ Uloha 8.8.4. Urˇcete rozmˇery konzerv tvaru rotaˇcn´ıho válce o daném objemu V tak, aby se pˇri jejich výrobˇe spotˇrebovalo co nejmenˇs´ı mnoˇzstv´ı plechu. ˇ sen´ı. Hledá se minimum funkce S = 2πxv + 2πx2 , kde x je polomˇer dna konReˇ zervy a v v´ yˇska konzervy, za podm´ınky, ˇze V = πx2 v je zadané (tedy konstantn´ı). + 2πx2 , odkudqS ′ = − 2V + 4πx. Po dosazen´ı za v z této podm´q ınky máme S = 2V x x2

V . Odsud je v0 = Z rovnice S ′ = 0 máme x0 = 3 2π konzervy je rovna pr˚ umˇeru dna.

−∗−

94

V πx20

= ··· = 2 3

V 2π

= 2x0 : v´ yˇska

Kapitola 9 Metody integrace pro funkce jedn´ e promˇ enn´ e 9.1

Z´ akladn´ı vzorce

Základn´ı problém: k dané funkci f stanovit mnoˇzinu vˇsech jej´ıch primitivn´ıch funkc´ı F , tedy neurˇcit´ y integrál“ F + C funkce f . ” Chceme-li zjistit primitivn´ı funkci k dané (elementárn´ı) funkci f , máme dva problémy: 1) zda pro danou funkci f primitivn´ı funkce v˚ ubec existuje, 2) pokud ano, zda ji lze vyjádˇrit koneˇcn´ ym vzorcem pomoc´ı elementárn´ıch funkc´ı. Existence: V následuj´ıc´ı kapitole 10 uvid´ıme, ˇze kaˇzdá funkce f spojitá na intervalu J má zde primitivn´ı funkci. Vyj´ adˇren´ı primitivn´ı funkce element´ arn´ımi funkcemi: Je moˇzné jen pro vybrané typy integrovan´ ych funkc´ı, z nichˇz nˇekteré jsou probrány v této kapitole spolu s pˇr´ısluˇsn´ ymi metodami v´ ypoˇctu primitivn´ıch funkc´ı. Je-li tedy f funkce elementárn´ı, pak primitivn´ı funkce nen´ı nutnˇe také elementárn´ ı; pˇritom funkce f m˚ uZˇze m´ıt i pomˇ ernˇe jednoduché analytické vyjádˇren´ı. Z Z Z sin x dx −x2 2 Napˇr. e dx, dx, sin x dx, nejsou funkce elementárn´ı, tj. x ln x nelze je vyjádˇrit koneˇcn´ ym vzorcem pomoc´ı elementárn´ıch funkc´ı. (Vyjadˇrujeme je zpravidla pomoc´ı mocninn´ ych ˇrad.) V kapitole 6 jsme se setkali se sadou základn´ıch vzorc˚ u pro derivace elementárn´ıch funkc´ı. K nim dostáváme ihned odpov´ıdaj´ıc´ı vzorce pro stanoven´ı primitivn´ıch funkc´ı. Napˇr. sin x je primitivn´ı funkce k funkci cos x, nebot’ (sin x)′ = cos x, neurˇcit´ ym integrálem k funkci cos x je mnoˇzina funkc´ı sin x + C, kde C je (libovolná) integraˇcn´ı konstanta. Zapisujeme Z

cos x dx = sin x + C,

obecnˇe 95

Z

f (x) dx = F (x) + C,

kde F je jedna z primitivn´ıch funkc´ı k funkci f . Operaci, pˇri n´ıˇz k dané funkci stanovujeme primitivn´ı funkci nebo neurˇcit´ y integrál, nazveme integrace. V´ yraz f (x) dx za znakem integrace se naz´ yvá integrand, ˇr´ıkáme, ˇze danou funkci f integrujeme. Ze vzorc˚ u pro derivace plynou tyto vzorce pro integraci: Funkce: xm

Funkce primitivn´ı: Funkce: Funkce primitivn´ı: xm+1 m+1

1 x

ln x

ex

ex

ax

ax ln a

cos x

sin x

sin x

− cos x

1 cos2 x

tg x

1 sin2 x

cotg x

ch x

sh x

1 ch2 x

th x

−

1 1 + x2

arctg x

√

(m ∈ R, m 6= −1)

−

sh x

ch x

1 sh2 x

coth x

1 1 − x2

arcsin x

Z vˇety o derivaci souˇctu (rozd´ılu) plyne: Je-li F primitivn´ı funkce k funkci f a G primitivn´ı funkce k funkci g, je F + G (F − G) primitivn´ı funkce k funkci f + g (f − g). Podobnˇe plat´ı: Je-li F primitivn´ı funkce k funkci f , pak kF (kde k je konstanta) je primitivn´ı funkce k funkci kf .

9.2

Integrace uˇ zit´ım substituc´ı

Základem jsou dvˇe vˇety o substituc´ıch; v obou pˇr´ıpadech necht’ je funkce f (u) definována na intervalu J a funkce ϕ (u = ϕ(x)) necht’ je definována na intervalu I, kde ϕ(I) ⊂ J, pˇriˇcemˇz existuje ϕ′ . Vˇ eta 9.2.1 (1.vˇeta o substituci). Je-li F primitivn´ı funkc´ı k funkci f na J, pak sloˇzen´ a funkce F ◦ ϕ je primitivn´ı funkc´ı k funkci (f ◦ ϕ) · ϕ′ na I. D˚ ukaz. [(F ◦ ϕ)(x)]′ = Fu′ (u) · ϕ′ (x) = f (u) · ϕ′ (x) = (f ◦ ϕ)(x) · ϕ′ (x). 96

V pˇr´ıkladech na pouˇzit´ı 1. vˇety o substituci má tedy integrovaná funkce tvar souˇcinu sloˇzené funkce a derivace vnitˇrn´ı funkce. R ´ Uloha 9.2.2. Vypoˇctˇete I = sin x cos x dx.

ˇ sen´ı. I = Reˇ

"

#

sin x = u = cos x dx = du

Z

u du =

u2 1 + C = sin2 x + C. 2 2

Zde bylo f (u) = u , ϕ(x) = sin x. ´ Uloha 9.2.3. Vypoˇctˇete I =

Z

sin3 x dx.

ˇ sen´ı. Reˇ 2

I = sin x sin x dx =

Z

2

(1−cos x) sin x dx =

Z

Z

sin x dx− cos2 x sin x dx = · · · .

Prvn´ı z integrál˚ u je tabulkov´ y, ve druhém poloˇz´ıme cos x = u. Vybrané typické pˇr´ıklady na pouˇzit´ı 1. vˇety o substituci: I=

Z

sinm x cos x dx,

Z

lnm x dx, x

Z

arctgm x dx, 1 + x2

Z

etg x dx, . . . cos2 x

´ Uloha 9.2.4. Vyˇreˇste speciáln´ı pˇr´ıpad integrace sloˇzené funkce, kde vnitˇrn´ı funkce je line´ arn´ı. ˇ sen´ı. Je-li vnitˇrn´ı funkce lineárn´ı, dostáváme z 1. vˇety o substituci Reˇ Z

1 f (ax + b) dx = F (ax + b) + C, a

takˇze napˇr´ıklad Z

e2x+3 dx =

1 2x+3 e +C, 2

Z

cos

x x dx = 3 sin + C. 3 3

´ Uloha 9.2.5. Vyˇreˇste speciáln´ı pˇr´ıpad integrace sloˇzené funkce ve tvaru zlomku, kde ˇcitatel je derivac´ı jmenovatele. f ′ (x) dx = ln |f (x)| + C, takˇze napˇr´ıklad f (x) Z Z 2x − 1 tg x dx = − ln | cos x| + C, dx = ln(x2 − x + 3) + C, atd. 2 x −x+3

ˇ sen´ı. Pro f (x) 6= 0: Reˇ

Z

Vˇ eta 9.2.6 (2. vˇeta o substituci). Necht’ ϕ′ 6= 0 na I, ϕ(I) = J. Je-li funkce F funkc´ı primitivn´ı k funkci f ◦ ϕ · ϕ′ na I, pak funkce F ◦ ϕ−1 je funkce primitivn´ı k funkci f na J (kde ϕ−1 je funkce inverzn´ı k ϕ). 97

D˚ ukaz. Necht’ x = ϕ(t), tj. t = ϕ−1 (x). Pak [(F ◦ ϕ−1 )(x)]′ = [(F (ϕ−1 (x))]′ = Ft′ (t) · [ϕ−1 (x)]′ = f [ϕ(t)] · ϕ′ (t) · (1/ϕ′ (t)) = f (x). √ ´ Uloha 9.2.7. Uˇzit´ım 2. vˇety o substituci poˇc´ıtejte I = sin x dx. ˇ sen´ı. I = Reˇ

"

x = t2 dx = 2t dt

#

= 2

partes dle 9.3.

Z

t sin t dt, a dále se postupuje metodou per

Podle 2. vˇety o substituci se postupuje v mnoha speciáln´ıch pˇr´ıpadech, napˇr. pˇri integraci nˇekter´ ych iracionáln´ıch funkc´ı (D.2) nebo u goniometrick´ ych a hyperbolick´ ych substituc´ı (D.5).

9.3

Metoda per partes

Vˇ eta 9.3.1. Necht’ funkce f , g jsou definov´ any a maj´ı derivaci na intervalu J. ′ Jestliˇze Ψ je funkce primitivn´ı k f · g na J, pak Φ = f · g − Ψ je primitivn´ı funkc´ı k funkci f ′ · g na J. D˚ ukaz. Vˇeta o per partes plyne ze vzorce pro derivaci souˇcinu: Φ′ = (f · g − Ψ)′ = f ′ · g + f · g ′ − Ψ′ = f ′ · g. ′ ′ ′ ′ ′ ′ Jin´ r´ıstup: Pro u = Zy pˇ Z f (x), v = g(x) je (uv) = u v + uv , tj. u v = (uv) − uv ,

takˇze

u′ v dx = uv −

uv ′ dx.

´ Uloha 9.3.2. Vypoˇctˇete I = ˇ sen´ı. I = Reˇ

"

Z

x cos x dx.

u=x u′ = 1 v ′ = cos x v = sin x

#

= x sin x −

C. ´ Uloha 9.3.3. Vypoˇctˇete I =

Z

Z

sin x dx = x sin x + cos x +

x2 sin x dx.

"

#

u = x2 u′ = 2x ˇ sen´ı. I = Reˇ = −x2 cos x + 2 ′ v = sin x v = − cos x se pouˇzije metoda per partes, viz pˇredchoz´ı pˇr´ıklad.

Z

x cos x dx = · · · znovu

Typické pˇr´ıklady na metodu per partes: Z

xn cos x dx,

Z

xn sin x dx,

Z

xn ex dx,

98

Z

xn ln x dx,

Z

xn arctg x dx, . . .

Zvl´ aˇ stn´ı pˇ r´ıpady pouˇ zit´ı metody per partes (1) Výpoˇcet integrál˚ u Ic =

Z

ax

e cos bx dx,

Is =

Z

eax sin bx dx

(budeme poˇc´ıtat primitivn´ı funkce pro C = 0). ˇ sen´ı. V integrálu Ic se pouˇzije dvˇema zp˚ Reˇ usoby metoda per partes: pro u′ = eax , v = cos bx a pak pro u′ = cos bx, v = eax . T´ım dostaneme soustavu Ic =

1 ax a e sin bx − Is , b b

Ic =

1 ax b e cos bx + Is , a a

Is =

a sin bx − b cos bx ax e . a2 + b 2

jej´ımˇz ˇreˇsen´ım vyjde Ic =

b sin bx + a cos bx ax e , a2 + b 2

(2) Rekurentn´ı vzorec pro integrál In =

Z

(a2

dx , n ≥ 2. + x2 )n

1 ˇ sen´ı. V integrálu Im , kde m ≥ 1, poloˇz´ıme u = , v′ = 1 a Reˇ 2 (a + x2 )n x 2 dostaneme Im = 2 adˇr´ıme Im+1 . m + 2mIm − 2ma Im+1 , odkud vyj´ 2 (a + x ) Poloˇz´ıme-li pak m = n − 1, dostaneme In =

1 x 2n − 3 In−1 . + n−1 2(n − 1)a2 (a2 + x2 ) 2(n − 1)a2

−∗−

99

Kapitola 10 Riemann˚ uv urˇ cit´ y integr´ al 10.1

Definice Riemannova integr´ alu

Riemann˚ uv integrál lze definovat v podstatˇe dvoj´ım zp˚ usobem: uˇzit´ım (Cauchyov´ ych) integráln´ıch souˇct˚ u nebo pomoc´ı doln´ıch a horn´ıch integrál˚ u.

Uˇ zit´ı integr´ aln´ıch souˇ ct˚ u Uvaˇzujeme funkci f omezenou na intervalu ha, bi, kde a < b. Dále uvedeme pojmy pouˇz´ıvané pˇri definici integrálu: • Dˇelen´ı intervalu (oznaˇc´ıme D) — kaˇzdá koneˇcná posloupnost bod˚ u x0 , x1 , . . . , xn (zvan´ ych dˇelic´ı), kde a = x0 < x1 < · · · < xn = b. • Element dˇelen´ı ∆i = hxi−1 , xi i, i = 1, . . . , n, jeho délka je ∆xi = xi − xi−1 . • Norma dˇelen´ı

ν(D) = max ∆xi ,

struˇcné oznaˇcen´ı

ν.

Definice 10.1.1 (Riemannova urˇcitého integrálu). Necht’ f je funkce omezená na ha, bi. Ke kaˇzdému dˇelen´ı D vytvoˇr´ıme integráln´ı souˇcet σ(f, D) =

n X

f (ξi )∆xi ,

kde ξi

je libovoln´ y bod z elementu

∆i .

i=1

ˇ Rekneme, ˇze ˇc´ıslo I je Riemannov´ ym (urˇcit´ ym) integrálem funkce f na ha, bi, právˇe kdyˇz ∀ε > 0∃δ > 0 tak, ˇze pro vˇsechna dˇelen´ı D, pro nˇeˇz ν(D) < δ, a pro libovolnou volbu bod˚ u ξi v elementech ∆i dˇelen´ı, plat´ı |σ(f, D) − I| < ε. Rb

Oznaˇcen´ı: I = f (x) dx. a

Funkce f se pak naz´ yvá Riemannovsky integrovatelná, ha, bi je obor integrace, ˇc´ısla a, b doln´ı resp. horn´ı mez integrace, x integraˇcn´ı promˇenn´ a. 100

Znak

Rb a

je symbol pro souˇcet od a do b, f (x) pro f (ξi ), dx pro ∆xi . Název

Riemann˚ uv integrál pouˇz´ıváme hlavnˇe pro jeho odliˇsen´ı od jin´ ych typ˚ u integrál˚ u. Nen´ı-li tˇreba zd˚ urazˇ novat (Riemannovu) metodu definice integrálu, lze pouˇz´ıvat jen historick´ y název urˇcitý integrál. Vedle funkce Riemannovsky integrovatelná ˇr´ıkáme téˇz integrovatelná (integrace schopn´ a ) podle Riemanna. Mnoˇzinu vˇsech funkc´ı integrovateln´ ych na ha, bi oznaˇc´ıme R(ha, bi), a proto m˚ uˇzeme pouˇz´ıvat struˇcn´ y zápis f ∈ R(ha, bi). Zvláˇstˇe si uvˇedom´ıme, ˇze Riemann˚ uv integrál funkce f ∈ R(ha, bi) je nˇejaké reálné ˇc´ıslo. Geometrick´ y v´ yznam souˇ cinu f (ξi ) · ∆xi pro f > 0: – obsah obdéln´ıku o stranách ∆xi , f (ξi ). y M M2 m 2 = M1 m = m1 y = f (x) ∆x1

∆x2

a = x0 x1

∆x3 x2

∆x4 x3

∆x5 x4

x5 = b

x

Obrázek 10.1: Geometrick´ y v´ yznam integr´ aln´ıho souˇ ctu σ(f, D): – pˇribliˇzn´ y obsah tzv. z´ akladn´ıho obrazce, tj. kˇrivoˇcarého lichobˇeˇzn´ıku, jehoˇz hranice leˇz´ı na pˇr´ımkách x = a, x = b, na ose x a na grafu funkce f . Geometrick´ y v´ yznam urˇ cit´ eho integr´ alu: – obsah základn´ıho obrazce. Uvedenou definici Riemannova integrálu lze vyslovit i pomoc´ı pojmu limita. Nejprve vˇsak pojednejme o zjemnˇen´ı dˇelen´ı. Definice 10.1.2. Dˇelen´ı D′ nazveme zjemnˇen´ı dˇelen´ı D, právˇe kdyˇz kaˇzd´ y dˇelic´ı bod dˇelen´ı D je dˇelic´ım bodem i dˇelen´ı D′ . 101

Pozn´ amka 10.1.3. (1) Ke kaˇzd´ ym dvˇema dˇelen´ım existuje jejich spoleˇcné zjemnˇen´ı, i nejhrubˇs´ı“ spoleˇcné zjemnˇen´ı. Mnoˇzina vˇsech dˇelen´ı intervalu ha, bi tvoˇr´ı ” svaz. (2) Jestliˇze postupnˇe zjemˇ nujeme dˇelen´ı, tak z toho neplyne, ˇze ν(D) → 0, dokonce se pˇritom ν nemus´ı ani zmenˇsovat (proˇc?). Druhou ˇcást v´ yˇse uvedené definice lze pak vyslovit takto: ˇ Definice 10.1.4. Rekneme, ˇze integráln´ı souˇcty σ(f, D) maj´ı limitu I ∈ R a p´ıˇseme lim σ(f, D) = I, právˇe kdyˇz ∀ε > 0 ∃ dˇelen´ı D0 tak, ˇze pro vˇsechna ν(D)→0

jeho zjemnˇen´ı D a pro libovolnou volbu bod˚ u ξi v elementech ∆i plat´ı |σ(f, D) − ˇ I| < ε. C´ıslo I pak naz´ yváme Riemann˚ uv integrál funkce f , funkce f se naz´ yvá Riemannovsky integrovatelná, atd.

Doln´ı a horn´ı integr´ al Mˇejme funkci f omezenou na ha, bi a libovolné dˇelen´ı D. Oznaˇcme pro x ∈ hxi−1 , xi i: mi = inf f (x), Mi = sup f (x). Vytvoˇr´ıme souˇcty: s(f, D) =

n X

mi ∆xi ,

S(f, D) =

n X

Mi ∆xi ,

i=1

i=1

které nazveme doln´ı resp. horn´ı integráln´ı souˇcet pˇr´ısluˇsn´ y k funkci f a dˇelen´ı D. Vlastnosti: (1) Libovoln´ y doln´ı integráln´ı souˇcet nen´ı vˇetˇs´ı neˇz libovoln´ y horn´ı integráln´ı souˇcet (pˇr´ısluˇsn´ y tˇreba i k jinému dˇelen´ı). (2) Mnoˇzina vˇsech doln´ıch integráln´ıch souˇct˚ u je (shora) omezená, mnoˇzina vˇsech horn´ıch integráln´ıch souˇct˚ u je (zdola) omezená: Jestliˇze pro x ∈ ha, bi oznaˇc´ıme m = inf f (x), M = sup f (x), plat´ı m(b − a) ≤ s(f, D) ≤ S(f, D) ≤ M (b − a). Proto existuje supremum mnoˇziny vˇsech doln´ıch a infimum mnoˇziny vˇsech horn´ıch integráln´ıch souˇct˚ u. ˇ ıslo I∗ f = sup s(f, D) ( I∗ f = inf S(f, D)) naz´ Definice 10.1.5. C´ yváme doln´ı D

D

(horn´ı) Riemann˚ uv integrál. Zˇrejmˇe plat´ı s(f, D) ≤ I∗ f ≤ I∗ f ≤ S(f, D). 102

´ Uloha 10.1.6. Najdˇete doln´ı i horn´ı integrál Dirichletovy funkce na intervalu h0, 1i. ˇ sen´ı. Máme Reˇ s(χ, D) =

n X

mi ∆xi =

n X

Mi ∆xi =

0 · ∆xi = 0,

I∗ χ = 0,

n X

1 · ∆xi = 1,

I∗ χ = 1.

i=1

i=1

S(χ, D) =

n X

i=1

i=1

ˇ ıkáme, ˇze funkce f je Definice 10.1.7. Necht’ f je funkce omezená na ha, bi. R´ na ha, bi Riemannovsky integrovatelná, právˇe kdyˇz I∗ f = I∗ f . Spoleˇcnou hodnotu If doln´ıho a horn´ıho integrálu nazveme Riemann˚ uv integrál funkce f na ha, bi a p´ıˇseme If =

Z

b

a

f (x) dx.

Dá se dokázat ekvivalence obou definic Riemannova integrálu. Geometrick´ y v´ yznam doln´ıho souˇ ctu – obsah jistého mnoho´ uheln´ıku vepsaného do základn´ıho obrazce, geometrick´ y v´ yznam horn´ıho souˇ ctu – obsah jistého mnoho´ uheln´ıku, do nˇejˇz je základn´ı obrazec vepsán (nakreslete obrázek). V souladu s definic´ı m´ıry rovinného obrazce je geometrick´ ym v´ yznamem Riemannova integrálu obsah (m´ıra) základn´ıho obrazce. I v tomto pˇr´ıpadˇe lze vyuˇz´ıt pojmu limita. K tomu si uvˇedom´ıme jeˇstˇe jednu vlastnost horn´ıch a doln´ıch souˇct˚ u: (3) Zjemn´ıme-li dˇelen´ı, pak doln´ı integráln´ı souˇcet se nezmenˇs´ı a horn´ı integráln´ı souˇcet se nezvˇetˇs´ı. D˚ usledek 10.1.8. Pro kaˇzdou norm´ aln´ı posloupnost {Dn } dˇelen´ı, tj. kde ν(Dn ) → 0 a pˇritom kaˇzdý dalˇs´ı ˇclen je zjemnˇen´ım pˇredchoz´ıho, je odpov´ıdaj´ıc´ı posloupnost {s(f, Dn )} neklesaj´ıc´ı a {S(f, Dn )} nerostouc´ı.

103

Integrovatelnost funkc´ı Z teoretick´ ych d˚ uvod˚ u (tj. pro pouˇzit´ı v d˚ ukazech vlastnost´ı funkc´ı integrovateln´ ych) se formuluje následuj´ıc´ı nutná a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka integrovatelnosti, v n´ıˇz se vyskytuje pojem oscilace funkce f na intervalu hxi−1 , xi i : ωi = Mi − mi . Vˇ eta 10.1.9 (Nutná a postaˇcuj´ıc´ı podm´ınka integrovatelnosti podle Riemanna). Funkce f ∈ R(ha, bi), pr´ avˇe kdyˇz je lim

ν(D)→0

ˇze ∀D plat´ı: ν(D) < δ

n X i=1

ωi ∆xi = 0, tj. ∀ε > 0 ∃δ > 0 tak,

n X ω i ∆xi < ε.

=⇒

i=1

Princip d˚ ukazu. Dá se ukázat, ˇze I∗ f = lim s(f, D), ν(D)→0

I∗ f = lim S(f, D) ν(D)→0

(definujte pomoc´ı ε a δ) a dále, ˇze s(f, D) = inf σ(f, D), ξ

S(f, D) = sup σ(f, D). ξ

D˚ ukaz pak spoˇc´ıvá na vztahu n X i=1

ωi ∆xi = S(f, D) − s(f, D).

Z praktick´ ych d˚ uvod˚ u byla formulována kritéria (tj. jednoduché postaˇcuj´ıc´ı podm´ınky) integrovatelnosti podle Riemanna. Dá se dokázat, ˇze do mnoˇziny R(ha, bi) patˇr´ı tyto tˇr´ıdy funkc´ı: – tˇr´ıda vˇsech funkc´ı spojitých na ha, bi, – tˇr´ıda vˇsech funkc´ı spojitých po ˇcástech na ha, bi, – tˇr´ıda vˇsech funkc´ı monot´ onn´ıch a omezených na ha, bi. V mnoˇzinˇe R(ha, bi) vˇsak existuj´ı i funkce, které nesplˇ nuj´ı ˇzádnou z uveden´ ych podm´ınek. Jestliˇze se funkce g liˇs´ı od funkce f ∈ R(ha, bi) v koneˇcném poˇctu bod˚ u a nab´ yvá v nich koneˇcn´ ych hodnot, pak i g ∈ R(ha, bi) a oba integrály jsou si rovny.

104

10.2

Newton˚ uv vzorec

Vˇ eta 10.2.1 (Newton˚ uv vzorec). Necht’ funkce f je integrovatelná na ha, bi a má tu (zobecnˇenou) primitivn´ı funkci F . Pak plat´ı Z

b

a

ib

h

f (x) dx = F (x)

x=a

= F (b) − F (a).

Princip d˚ ukazu. Vol´ıme takové dˇelen´ı D intervalu ha, bi, aby uvnitˇr kaˇzdého elementu (xi−1 , xi ) mˇela funkce F derivaci. Plat´ı: F (b) − F (a) =

n h X i=1

i

F (xi ) − f (xi−1 .

Na rozd´ıly F (xi ) − F (xi−1 ) pouˇzijeme Lagrangeovu vˇetu, podle n´ıˇz na kaˇzdém intervalu (xi−1 , xi ) existuje takov´ y bod ξi , ˇze F (xi ) − F (xi−1 ) = F ′ (ξi ) · (xi − xi−1 ) = f (ξi ) · ∆xi . Jeˇzto f je integrovatelná, m˚ uˇzeme v integráln´ıch souˇctech vz´ıt právˇe tato ξi a tvrzen´ı plyne z definice Riemannova integrálu. Newton˚ uv vzorec je základn´ı metodou v´ ypoˇctu Riemannova integrálu. ´ Uloha 10.2.2. Vypoˇctˇete I = ˇ sen´ı. I = sin x Reˇ h

iπ 2

− π2

Z

π 2

− π2

cos x dx.

π π = sin − sin − 2 2

´ Uloha 10.2.3. Vypoˇctˇete I =

Z

e

e2

dx . x ln2 x

ˇ sen´ı. Nejprve urˇc´ıme primitivn´ı funkci: Reˇ 1 Pak I = − ln x

10.3

e2 e

= 1 − (−1) = 2.

1 1 1 = . =− − 2 1 2

Z

1 dx = (substituc´ı) = − + C. 2 ln x x ln x

Z´ akladn´ı vlastnosti urˇ cit´ eho integr´ alu

Hodnota integrálu závis´ı jednak na integrované funkci (integrandu) a jednak na intervalu integrován´ı. Dostáváme tak nˇekolik skupin vlastnost´ı integrovateln´ ych funkc´ı a integrálu.

105

Vlastnosti z´ avisl´ e na integrovan´ e funkci Vˇ eta 10.3.1 (lineárn´ı vlastnosti). (1) Je-li f ∈ R(ha, bi), k ∈ R, pak kf ∈ R(ha, bi) a plat´ı Z

b

a

kf (x) dx = k

b

Z

a

f (x) dx.

(2) Je-li f, g ∈ R(ha, bi), pak (f + g) ∈ R(ha, bi) a plat´ı Z bh a

i

f (x) + g(x) dx =

Z

b

a

f (x) dx +

Z

b

a

g(x) dx.

Princip d˚ ukazu. Pouˇzij´ı se vlastnosti integráln´ıch souˇct˚ u. Vˇ eta 10.3.2 (vlastnosti vyjádˇrené nerovnostmi). Necht’ f, g ∈ R(ha, bi). (3) Je-li f (x) ≥ 0 na ha, bi, pak

Z

b

a

f (x) dx ≥ 0. Z

(4) Je-li f (x) ≤ g(x) na ha, bi, pak

b

a

f (x) dx ≤

Z

b

a

g(x) dx.

Z Z b b (5) |f (x)| ∈ R(ha, bi) a plat´ı f (x) dx ≤ |f (x)| dx. a a

Princip d˚ ukazu. (3) plyne z definice, (4) ze (3) a (5) ze (4), nebot’ −|f (x)| ≤ f (x) ≤ |f (x)|. Vˇ eta 10.3.3 (o souˇcinu funkc´ı). Je-li f, g ∈ R(ha, bi), pak i f g ∈ R(ha, bi). Princip d˚ ukazu. D˚ ukaz je zaloˇzen na odhadu |f (x′′ )g(x′′ ) − f (x′ )g(x′ )| ≤ |f (x′′ ) − f (x′ )| · L + |g(x′′ ) − g(x′ )| · K, kde K, L jsou konstanty, pro nˇeˇz |f (x)| ≤ K, |g(x)| ≤ L.

Vlastnosti z´ avisl´ e na intervalu integrov´ an´ı Vˇ eta 10.3.4 (aditivita integrálu). Necht’ a < c < b. Pak f ∈ R(ha, bi), pr´ avˇe kdyˇz f ∈ R(ha, ci) ∧ f ∈ R(hc, bi). Pˇritom plat´ı Z

b

a

f (x) dx =

Z

c

a

f (x) dx

Z

c

b

f (x) dx.

Princip d˚ ukazu. Plyne z vlastnost´ı integráln´ıch souˇct˚ u, kdyˇz bod c vezmeme za dˇelic´ı bod.

106

Tuto vlastnost lze rozˇs´ıˇrit na koneˇcn´ y poˇcet bod˚ u a = c0 < c1 < · · · < cn = b: b

Z

a

f (x) dx =


Z

2

3


Z

0

(2 − x) dx +

n Z X

Z

3

0

ci

i=1 ci−1

f (x) dx.

|x − 2| dx.

= ···

2

Rozˇ s´ıˇ ren´ı definice Riemannova integr´ alu pro pˇ r´ıpad, ˇ ze a ≥ b: Pro a = b definujeme Pro a > b definujeme

Z

a

Zab a

f (x) dx = 0.

f (x) dx = −

Z

a b

f (x) dx.

Pak pro libovolné uspoˇrádán´ı bod˚ u a, b, c plat´ı Z

b

Z

b

a

f (x) dx =

Z

c

a

f (x) dx +

f (x) dx, pokud je funkce f integrovatelná v nejˇsirˇs´ım intervalu urˇceném body a, b, c. c

10.4

V´ ypoˇ cet urˇ cit´ ych integr´ al˚ u

K v´ ypoˇctu pouˇz´ıváme zpravidla Newtonova vzorce, tj. najdeme primitivn´ı funkci a pak pouˇzijeme Newton˚ uv vzorec, viz u ´lohy 1 a 2 v kapitole 10.2.

V´ ypoˇ cet uˇ zit´ım substituce nebo per partes Máme-li pˇri v´ ypoˇctu primitivn´ı funkce pouˇz´ıt substituci, pak m˚ uˇzeme postupovat pˇr´ımo jako v 10.2, u ´loha 2, nebo m˚ uˇzeme provést transformaci mez´ı. Vˇ eta 10.4.1. Je-li f ∈ R(ha, bi), ϕ má spojitou derivaci na hα, βi, pˇriˇcemˇz ϕ(α) = a, ϕ(β) = b, pak plat´ı Z

b

a

f (x) dx =


Z

0

1

√

Z

β

α

h

i

f ϕ(t) ϕ′ (t) dt.

1 − x2 dx.

"

x = sin t x = 0 ⇒ t = 0 ˇ sen´ı. I = Reˇ dx = cos t dt x = 1 ⇒ t = π2 π 2 1 π t + sin 2t = . 2 4 t=0 107

#

=

Z

0

π 2

q

2

1 − sin t cos t dt =

Z

0

π 2

cos2 t dt =

Podobnˇe pro per partes plat´ı Vˇ eta 10.4.3. Jsou-li u′ , v ′ spojité na ha, bi, pak Z

b

a

[u(x)v(x)]bx=a

′

u(x)v (x) dx =


Z

π

−

Z

b

a

u′ (x)v(x) dx.

x sin x dx.

0

ˇ sen´ı. Reˇ #

"

u=x u′ = 1 = [− cos x]πx=0 + I= ′ v = sin x v = − cos x

Z

0

π

cos x dx = · · · = π.

Integr´ al komplexn´ı funkce re´ aln´ e promˇ enn´ e Pojem urˇcitého integrálu lze jednoduˇse rozˇs´ıˇrit i na komplexn´ı funkce reálné promˇenné. Necht’ f1 , f2 ∈ R(ha, bi) a f = f1 + if2 . Pak definujeme Z

β

α

f (t) dt =

Z

β

α

f1 (t) dt + i

Z

β

α

f2 (t) dt.

´ Uloha 10.4.5. Rozhodnˇete, které vlastnosti integrál˚ u reálných funkc´ı z˚ ust´ avaj´ı zachovány i pro integrály komplexn´ıch funkc´ı. ´ Uloha 10.4.6. Vypoˇctˇete I = ˇ sen´ı. I = Reˇ

Z

0

π 2

Z

0

π 2

eit dt. π

2 cos t + i sin t dt = [sin t − i cos t]t=0 = 1 + i.

−∗−

108

Kapitola 11 Uˇ zit´ı Riemannova integr´ alu 11.1

Pˇ ribliˇ zn´ e metody v´ ypoˇ ctu Riemannova integr´ alu

Existuje v´ıce pˇribliˇzn´ ych metod, kter´ ymi lze provádˇet v´ ypoˇcet Riemannova integrálu. Oznaˇcen´ı pˇribliˇzná metoda“ nen´ı ˇzádnou degradac´ı pˇr´ısluˇsné metody, ” nebot’ zejména s vyuˇzit´ım v´ ypoˇcetn´ı techniky lze takto provádˇet v´ ypoˇcet Riemannova integrálu prakticky s libovolnou pˇresnost´ı. Takˇze v aplikac´ıch má tento postup stejnou hodnotu a rozsáhlejˇs´ı uplatnˇen´ı neˇz klasick´ y v´ ypoˇcet uˇzit´ım Newtonova vzorce, protoˇze — jak bylo naznaˇceno jiˇz v kapitole ?? — primitivn´ı funkc´ı ve tvaru pro pouˇzit´ı Newtonova vzorce lze z´ıskat jen v nˇekter´ ych speciáln´ıch pˇr´ıpadech. Pˇredpokládáme-li f (x) ≥ 0 na ha, bi, jde pˇri v´ ypoˇctu Riemannova integrálu o v´ ypoˇcet obsahu základn´ıho obrazce, viz ??

Metoda obd´ eln´ıkov´ a Princip této metody spoˇc´ıvá v tom, ˇze urˇcit´ y integrál nahrad´ıme vhodn´ ym integráln´ım souˇctem (tj. s dostateˇcnˇe jemn´ ym dˇelen´ım a s vhodn´ ymi body ξi v elementech dˇelen´ı, viz obr. 11.1). Zpravidla vol´ıme dˇelen´ı na n stejn´ ych element˚ u, tedy délka jednoho elementu (tzv. krok h) je b−a h = ∆xi = , n za ξi vol´ıme stˇredy element˚ u. Obsah základn´ıho obrazce pokládáme pˇribliˇznˇe roven integráln´ımu souˇctu, tedy souˇctu obsah˚ u obdéln´ık˚ u o stranách f (ξi ) a h. Pro obdéln´ıkovou metodu tak máme vzorec Zb a

f (x) dx ≈

n b−a X f (ξi ). n i=1

109

a

b Obrázek 11.1: Obdéln´ıková metoda

Chybu metody lze stanovit napˇr. uˇzit´ım horn´ıch souˇct˚ u a doln´ıch souˇct˚ u (viz 11.1) coˇz je zvláˇst’ jednoduché pro monotónn´ı funkce.

Metoda lichobˇ eˇ zn´ıkov´ a

a

b Obrázek 11.2: Lichobˇeˇzn´ıková metoda

Princip této metody spoˇc´ıvá v tom, interval ha, bi rozdˇel´ıme na n stejn´ ych element˚ u a funkci nahrad´ıme lomenou ˇcarou (viz obr. 11.2). Obsah základn´ıho obrazce pak pˇribliˇznˇe nahrad´ıme souˇctem obsah˚ u elementárn´ıch lichobˇeˇzn´ık˚ u se

110

základnami f (xi−1 ), f (xi ) a s v´ yˇskou h = Zb

b−a . Tedy n

n−1 n h i X h X f (xn ) f (x0 ) f (x) dx ≈ . f (xi ) + + f (xi−1 ) + f (xi ) = h 2 i=1 2 2 i=1

#

"

a

Metoda Simpsonova b−a , z nichˇz Interval ha, bi rozdˇel´ıme na sud´ y poˇcet 2n element˚ u o ˇs´ıˇrce 2n b−a . V kaˇzdé dvojici pak funkci f navytvoˇr´ıme dvojice element˚ u o ˇs´ıˇrce h = n hrad´ıme kvadratickou funkc´ı (která je dané funkci f rovna na kraj´ıch a uprostˇred tˇechto dvojelement˚ u“), takˇze k v´ ypoˇctu obsahu vznikl´ ych kˇrivoˇcar´ ych lichobˇeˇzn´ık˚ u“ ” ” lze vyuˇz´ıt Simpsonova vzorce. P =

X 1 n−1 (x2i+2 − x2i ) f (x2i ) + 4f (x2i+1 ) + f (x2i+2 ) . 6 i=0

Provedeme-li sˇc´ıtán´ı pˇres vˇsechny elementy, dostaneme v´ yslednou formuli pro Simpsonovu metodu: Z

b

a

f (x) dx ≈

i h i h h f (x0 ) + f (x2n ) + 2 f (x2 ) + f (x4 ) + · · · + f (x2n−2 ) + 3 h

i

+4 f (x1 ) + f (x3 ) + · · · + f (x2n−1 )

11.2

.

Uˇ zit´ı urˇ cit´ eho integr´ alu v geometrii

Obsah rovinn´ eho obrazce Uvaˇzujme dále jen spojité funkce. Z geometrického v´ yznamu Riemannova integrálu plyne, ˇze pro funkci f (x) ≥ 0 definovanou na ha, bi je obsah kˇrivoˇcarého lichobˇeˇzn´ıku (základn´ıho obrazce) roven P =

Z

b

a

f (x) dx.

Pozor! Je-li f (x) < 0 (tato ˇcást grafu funkce je pod osou x), dostaneme obsah se záporn´ ym znaménkem. Pokud bychom pouˇzili pˇredchoz´ı vzorec na funkci, která na ha, bi stˇr´ıdá znaménka, dostaneme rozd´ıl obsah˚ u ˇcást´ı základn´ıho obrazce nad osou x a pod osou x,Z tedy v´ ysledek, kter´ y nás zpravidla nezaj´ımá. (Interpretujte

takto napˇr. fakt, ˇze

2π

0

sin x dx = 0.)

111

Obrázek 11.3: Obsah rovinného obrazce — kˇrivoˇcar´ y lichobˇeˇzn´ık

Obrázek 11.4: Obsah rovinného obrazce — normalita vzhledem k x.

112

Plat´ı-li na intervalu ha, bi vztah 0 ≤ g(x) ≤ f (x), je pˇr´ımkami x = a, x = b a grafy obou funkc´ı ohraniˇcena oblast norm´ aln´ı vzhledem k x a jej´ı obsah se vypoˇcte vzorcem Z b f (x) − g(x) dx. P = a

Je-li rovinn´ y obrazec ohraniˇcen kˇrivkou danou parametricky x = ϕ(t), y = ψ(t), t ∈ hα, βi, pak Z β ′ P = ψ(t)ϕ (t) dt . α

Obsah obrazce ohraniˇceného kˇrivkami v polárn´ıch souˇradnic´ıch ρ = ρ(ϕ) od ϕ1 do ϕ2 je dán vzorcem 1 Z ϕ2 2 P = ρ (ϕ) dϕ. 2 ϕ1 K tomuto vzorci dojdeme vyuˇzit´ım vztahu 1 ∆P = ρ(ϕ)ρ(ϕ + ∆ϕ)∆ϕ. 2 ´ Uloha 11.2.1. Vypoˇctˇete obsah kruhu o polomˇeru r. ˇ sen´ı. Reˇ

a) Z rovnice kruˇznice x2 + y 2 = r 2

vyjádˇr´ıme horn´ı polokruˇznici f (x) = y =

√

r 2 − x2 ,

x ∈ h−r, ri,

doln´ı polokruˇznici √ g(x) = y = − r2 − x2 ,

x ∈ h−r, ri,

a pouˇzijeme je do druhého z v´ yˇse uveden´ ych vzorc˚ u: √

P =

Z

r

=

Z

π/2

−r

−π/2

r2

−

x2

√

− −

r2

−

x2

2r| cos ϕ|r cos ϕ dϕ = r

= r2 ϕ +

1 sin 2ϕ 2

π/2

2

Z

dx = π/2

−π/2

"

#

x = r sin ϕ = dx = r cos ϕ dϕ

1 + cos 2ϕ dϕ =

= πr2 .

ϕ=−π/2

b) V parametrickém vyjádˇren´ı máme x = r cos t, y = r sin t, t ∈ h0, 2πi a odsud Z 2π 2 2 P = − r sin t dt = · · · . 0

113

c) Nejjednoduˇsˇs´ı je zde v´ ypoˇcet uˇzit´ım polárn´ıch souˇradnic, nebot’ kruˇznice o stˇredu O a polomˇeru r má rovnici ρ = r pro ϕ ∈ h0, 2πi. Proto 1 Z 2π 2 r dϕ = · · · = πr2 . 2 0

P =

Objem tˇ elesa Pomoc´ı Riemannova integrálu funkce jedné promˇenné lze poˇc´ıtat objemy ve dvou pˇr´ıpadech. a) Tˇeleso leˇz´ı mezi rovinami x = a, x = b a známe funkci P (x), jej´ıˇz hodnoty znamenaj´ı obsah ˇrezu tˇelesa rovinou kolmou k ose x. Element objemu je ∆V = P (x) · ∆x,

tj.

a objem tˇelesa je V =

b

Z

a

dV = P (x) · dx,

P (x) dx.

b) Rotaˇcn´ı tˇeleso, kde osou rotace je osa x a které vznikne rotac´ı kˇrivoˇcarého lichobˇeˇzn´ıku ohraniˇceného grafem funkce f na intervalu ha, bi. Zde je ˇrezem kruh o obsahu π[f (x)]2 a plat´ı V =π

2

Z b a

f (x)

dx = π

Z

b

a

y 2 dx.

´ Uloha 11.2.2. Urˇcete objem koule o polomˇeru r. √ ˇ sen´ı. Koule vznikne rotac´ı grafu funkce y = r2 − x2 kolem osy x a proto Reˇ V =π

Z

r

−r

4 r2 − x2 dx = · · · = πr3 . 3

D´ elka kˇ rivky Necht’ je kˇrivka l dána parametricky: x = ϕ(t), y = ψ(t), z = χ(t),

t ∈ hα, βi,

114

kde ϕ′ (t), ψ ′ (t), χ′ (t) jsou spojité a ∀t ∈ hα, βi plat´ı [ϕ′ (t)]2 + [ψ ′ (t)]2 + [χ′ (t)]2 > 0. Kˇrivka l je prostorová nebo rovinná (to kdyˇz je nˇekterá z funkc´ı ϕ, ψ, χ konstantn´ı). Uvaˇzujme libovolné dˇelen´ı D intervalu hα, βi: α = t0 < t1 < t2 < · · · < tn = β, oznaˇcme dˇelic´ı body kˇrivky l: Xi = [ϕ(ti ), ψ(ti ), χ(ti )],

i = 0, 1, 2, . . . , n

a dále délku lomené ˇcáry X0 X1 . . . Xn oznaˇcme n X σ(l, D) = Xi−1 Xi . i=1

Délka kˇrivky l se pak definuje:

Obrázek 11.5: Délka kˇrivky s(l) = sup σ(l, D). D

Uvaˇzujme dále rovinnou kˇrivku. Délka jedné strany lomené ˇcáry je ∆s =

q

∆x2

+

∆y 2

takˇze ∆s = ∆t

=

v ! u u ∆x 2 t

v ! u u ∆x 2 t

∆t

115

∆t

∆y + ∆t

∆y + ∆t

!2

.

!2

∆t,

Pro ∆t → 0 pak máme ds = dt

r

h

i2

ϕ′ (t)

i2

h

+ ψ ′ (t) ,

tedy ds = Jeˇzto σ(l, D) =

n X

r

i2

h

ϕ′ (t)

i2

h

+ ψ ′ (t) dt =

∆si , dá se vyvodit, ˇze s(l) =

i=1

s(l) =

β

Z

α

r

h

i2

ϕ′ (t)

q

dx2 + dy 2 .

β

Z

ds. Odsud

α

i2

h

+ ψ ′ (t) dt.

´ Uloha 11.2.3. Vypoˇctˇete délku kruˇznice o polomˇeru r. ˇ sen´ı. Kruˇznici vyjádˇr´ıme v parametrickém tvaru Reˇ x = r cos t, y = r sin t,

t ∈ h0, 2πi.

Vypoˇcteme ds = · · · = r dt,

takˇze s(l) =

Z

2π

0

r dt = 2πr.

Je-li kˇrivka dána explicitnˇe rovnic´ı y = f (x), je to vlastnˇe zvláˇstn´ı pˇr´ıpad parametrického zadán´ı x = x, y = f (x), x ∈ ha, bi. Z toho plyne ds =

r

1+

h

i2

f ′ (x)

dt,

takˇze s(l) =

Z br a

h

i2

1 + f ′ (x) dt.

Je-li kˇrivka dána v polárn´ıch souˇradnic´ıch ρ = ρ(ϕ), ϕ ∈ hϕ1 , ϕ2 i, plat´ı x = ρ cos ϕ, y = ρ sin ϕ, odkud dx = (ρ′ cos ϕ − ρ sin ϕ) dϕ, takˇze ds = Nakonec tedy

q

s(l) =

Z

2

dy = (ρ′ sin ϕ + ρ cos ϕ) dϕ, 2

dx + dy = ϕ2

ϕ1

r

h

i2

ρ(ϕ)

q

ρ2 + ρ′2 dϕ.

h

i2

+ ρ′ (ϕ) dϕ.

Pro prostorovou kˇrivku zadanou parametricky máme s(l) =

Z

β

α

r

h

i2

ϕ′ (t)

h

i2

+ ψ ′ (t) 116

h

i2

+ χ′ (t) dt.

Povrch rotaˇ cn´ı plochy Jde o plochy vzniklé rotac´ı kˇrivky l kolem osy x. Element povrchu plochy je ∆S = 2πy∆s, takˇze diferenciál povrchu plochy je dS = 2πy ds. Je-li kˇrivka l dána parametricky: x = ϕ(t), y = ψ(t),

t ∈ hα, βi,

je S = 2π

Z

β

α

r h

ψ(t)

je-li kˇrivka l dána explicitnˇe:

i2

ϕ′ (t)

i2

h

+ ψ ′ (t) dt,

x ∈ ha, bi,

y = f (x), je S = 2π

11.3

Z

b

a

r

h

i2

f (x) 1 + f ′ (x) dx.

Uˇ zit´ı urˇ cit´ eho integr´ alu ve fyzice

Hmotnost rovinn´ e desky Mˇejme spojitou kladnou funkci f a uvaˇzujme rovinnou desku ve tvaru základn´ıho obrazce (kˇrivoˇcarého lichobˇeˇzn´ıku) pro x ∈ ha, bi; necht’ σ je ploˇsná konstantn´ı hustota materiálu. Je-li deska homogenn´ı, tj. σ = konst., je hmotnost této desky rovna m=σ

Z

b

a

f (x) dx.

Je-li hustota desky funkc´ı x, je Z

b

a

σ(x)f (x) dx.

117

Tˇ eˇ ziˇ stˇ e rovinn´ e desky Nyn´ı uvaˇzujme jeden element desky, kter´ y má ˇs´ıˇrku ∆x(= dx). Statick´ y moment tohoto elementu vzhledem k ose x je 1 dM x = (y dx) · σ · y 2 (hmotnost elementu násobená ramenem s´ıly), podobnˇe dM y = (y dx) · σ · x. Statick´ y moment celé (homogenn´ı) desky vzhledem k osám je 1 Zb Mx = σ y 2 dx, 2 a

My = σ

Z

b

a

xy dx.

Tˇeˇziˇstˇe T [ξ, η] rovinné desky je bod, kter´ y má vzhledem k souˇradnicov´ ym osám stejn´ y statick´ y moment jako celá deska, pokud za jeho hmotnost povaˇzujeme hmotnost m celé desky. Proto mξ = My , mη = Mx a z toho (po zkrácen´ı σ) Z

1Z b 2 y dx η = 2Z ab . y dx

b

xy dx , ξ = Za b y dx a

a

Pokud má deska tvar oblasti normáln´ı vzhledem k ose x, tj. je-li a ≤ x ≤ b,

y 1 ≤ y ≤ y2 ,

pak lze podobnˇe odvodit vzorce pro souˇradnice tˇeˇziˇstˇe; dostaneme je z pˇredchoz´ıch zámˇenou y2 − y1 za y (ve jmenovatel´ıch obou zlomk˚ u a v ˇcitateli prvn´ıho zlomku) 2 2 2 a y2 − y1 za y (v ˇcitateli druhého zlomku).

Hmotnost kˇ rivky Uvaˇzujme rovinnou homogenn´ı kˇrivku danou parametricky s konstantn´ı délkovou hustotou σ. Pak Z r m=σ

β

α

h

i2

ϕ′ (t)

118

h

i2

+ ψ ′ (t) dt.

Tˇ eˇ ziˇ stˇ e kˇ rivky Pˇri odvozen´ı vzorc˚ u se postupuje podobnˇe jako u tˇeˇziˇstˇe rovinné desky. Je zde dM x = σy ds,

dM y = σx ds,

tedy Mx = σ

Z

β

My = σ

Z

β

α

α

r h

i2

+ ψ ′ (t) dt,

r

i2

+ ψ ′ (t) dt.

ϕ′ (t)

ψ(t) ϕ(t)

h

ϕ′ (t)

h

i2

h

i2

Z rovnost´ı mξ = My ,

mη = Mx

pak plyne, ˇze rovinná homogenn´ı kˇrivka zadaná parametricky má tˇeˇziˇstˇe T [ξ, η], kde

ξ=

Z

β

α

Z

r h

i2

ϕ(t)

ϕ′ (t)

r

i2

β

α

h

ϕ′ (t)

+

+ h

h

i2

ψ ′ (t) i2

ψ ′ (t)

dt ,

η=

dt

Z

β

r h

ψ(t)

α

Z

β

α

r

h

i2

ϕ′ (t) i2

ϕ′ (t)

+

h

i2

+ ψ ′ (t) dt h

i2

ψ ′ (t)

.

dt

Vid´ıme, ˇze tˇeˇziˇstˇe homogenn´ı rovinné desky ani tˇeˇziˇstˇe homogenn´ı kˇrivky nezávis´ı na hustotˇe. −∗−

119

Pˇ r´ıloha A ˇ ıseln´ C´ a osa, supremum a infimum A.1

Z´ akladn´ı ˇ c´ıseln´ e mnoˇ ziny

Uvedeme si pˇrehled základn´ıch ˇc´ıseln´ ych mnoˇzin a jejich oznaˇcen´ı. Uvaˇzuj´ı se zejména tyto ˇc´ıselné mnoˇziny: • N = {1, 2, 3, . . . , n, . . . } je mnoˇzina vˇsech pˇrirozených ˇc´ısel.

Pˇrirozená ˇc´ısla se pouˇz´ıvaj´ı napˇr. jako poˇradová ˇc´ısla, tˇreba pˇri zápisu ˇclen˚ u posloupnosti: {an } = a1 , a2 , a3 , . . . , an , . . . .

• N0 = {0, 1, 2, 3, . . . , n, ...} = N ∪ {0}

je pro nˇekteré autory také mnoˇzinou vˇsech pˇrirozených ˇc´ısel a zapisuje se jimi pˇredevˇs´ım poˇcet prvk˚ u neprázdn´ ych mnoˇzin.

• Z = {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . . } je mnoˇzina vˇsech celých ˇc´ısel.

Celá ˇc´ısla se pouˇz´ıvaj´ı napˇr. pro zápisy vztahuj´ıc´ı se k periodiˇcnosti funkc´ı; napˇr. funkce y = cotg x nen´ı definována pro x = kπ, kde k ∈ Z je libovolné (celé) ˇc´ıslo.

• Q — mnoˇzina vˇsech zlomk˚ u ˇc´ısel racion´ aln´ıch.

n

k , n

o

kde k ∈ Z a n ∈ N

je mnoˇzinou vˇsech

Pouˇz´ıvá se napˇr. pˇri konstrukci nˇekter´ ych ménˇe obvykl´ ych matematick´ ych objekt˚ u (viz dále). Mnoˇzina Q je na ˇc´ıselné ose hustˇe uspoˇrádána, mezi kaˇzd´ ymi dvˇema racionáln´ımi ˇc´ısly leˇz´ı dalˇs´ı racionáln´ı ˇc´ıslo (napˇr. jejich aritmeticky pr˚ umˇer); téˇz mezi kaˇzd´ ymi dvˇema reáln´ ymi ˇc´ısly leˇz´ı racionáln´ı ˇc´ıslo. Desetinn´ y rozvoj racionáln´ıch ˇc´ısel je ukonˇcen´ y nebo periodick´ y, dostaneme jej ze zlomku k/n dˇelen´ım. Obrácen´ y postup je jiˇz nároˇcnˇejˇs´ı. ˇ ıslo a = 1, 572 pˇreved’te na obyˇcejný zlomek. ´ Uloha A.1.1. C´

120

Prvn´ı zp˚ usob ˇreˇsen´ı. Periodická ˇcást desetinného rozvoje ˇc´ısla a je vlastnˇe geometrická ˇrada, tedy: a = 1, 5 +

1 72 72 72 72 173 + 5 + 7 + · · · = 1, 5 + 3 . 1 = ··· = 3 10 10 10 10 1 − 100 110

Druhý zp˚ usob ˇreˇsen´ı. Vyuˇzijeme nekoneˇcného periodického opakován´ı: a = 1, 572, 100a = 157, 272, odkud po odeˇcten´ı je 100a − a = 99a = 157, 272 − 1, 572 = 155, 7, tedy a =

1557 990

=

173 . 110

• R — mnoˇzina vˇsech ˇc´ısel reálných, je pro základn´ı kurs matematické anal´ yzy základn´ı ˇc´ıselnou mnoˇzinou (pokud nen´ı ˇreˇceno jinak, budeme rozumˇet pod pojmem ˇc´ıslo vˇzdy ˇc´ıslo reálné). Dostaneme ji tak, ˇze vhodn´ ym zp˚ usobem zavedeme iracionáln´ı ˇc´ısla. Reálná ˇc´ısla zobrazujeme na ˇc´ıselné (reálné) ose: je to pˇr´ımka, na n´ıˇz zvol´ıme bod O jako obraz ˇc´ısla 0 (poˇcátek ˇc´ıselné osy) a bod J jako obraz ˇc´ısla 1, a pomoc´ı tˇechto dvou bod˚ u pak na n´ı zobrazujeme vˇsechna reálná ˇc´ısla; body na ˇc´ıselné ose oznaˇcujeme zpravidla pˇr´ımo zobrazovan´ ymi ˇc´ısly. Pˇri rozˇsiˇrován´ı pojmu ˇc´ıslo z Q na R vznikaj´ı dvˇe otázky: - zda existuje potˇreba iracionáln´ıch ˇc´ısel (a jak je zavést), - zda zobrazen´ı mnoˇziny R na ˇc´ıselnou osu je bijekce, tj. zda i kaˇzd´ y bod ˇc´ıselné osy je obrazem nˇejakého reálného ˇc´ısla. Vˇ eta A.1.2. Neexistuje racion´ aln´ı ˇc´ıslo, jehoˇz druhá mocnina by byla rovna 2. D˚ ukaz (sporem). Pˇredpokládejme, ˇze nen´ı splnˇeno tvrzen´ı vˇety, ˇze tedy existuje ˇ ıslo r je zˇrejmˇe kladné; vyjádˇr´ıme je jako zlomek v základn´ım r ∈ Q : r2 = 2. C´ p tvaru r = q , tedy p, q jsou ˇc´ısla nesoudˇelná a plat´ı rq = p. Tuto rovnost umocn´ıme: r2 q 2 = p2 , tj. 2q 2 = p2 ⇒ p2 je sudé, tedy i p je sudé, coˇz zap´ıˇseme p = 2k ⇒ 2q 2 = 4k 2 ⇒ q 2 = 2k 2 ⇒ q 2 je sudé ⇒ q je sudé ⇒ zlomek pq lze krátit dvˇema, a to je spor s pˇredpokladem, ˇze tento zlomek je v základn´ım tvaru.

121

Bez iracionáln´ıch ˇc´ısel (tj. v mnoˇzinˇe Q) bychom tak napˇr. nedovedli zmˇeˇrit u ´hlopˇr´ıˇcku jednotkového ˇctverce (nemˇela by délku). Existuje tedy potˇreba ˇc´ısel, která nejsou racionáln´ı a která jsme nazvali iracionáln´ı. Logika rozˇsiˇrován´ı ˇc´ıseln´ ych obor˚ u ˇr´ıká, ˇze nov´ y druh ˇc´ısel zavád´ıme pomoc´ı ˇc´ısel jiˇz dˇr´ıve definovan´ ych. Pˇri zavádˇen´ı ˇc´ısel reáln´ ych (tedy vlastnˇe iracionáln´ıch, jen ta jsou nová) lze postupovat tak, ˇze definujeme tzv. ˇrez v mnoˇzinˇe Q jako kaˇzd´ y rozklad mnoˇziny Q na dvˇe tˇr´ıdy, doln´ı a horn´ı, kde tedy kaˇzdé racionáln´ı ˇc´ıslo patˇr´ı právˇe do jedné z tˇechto tˇr´ıd a kaˇzdé ˇc´ıslo z horn´ı tˇr´ıdy je vˇetˇs´ı neˇz kaˇzdé ˇc´ıslo z doln´ı tˇr´ıdy. Iracionáln´ı ˇc´ıslo pak ztotoˇzn´ıme s takov´ ym ˇrezem, kde v doln´ ı tˇ r ´ ıdˇ e nen´ ı nejvˇ e tˇ s ´ ı prvek a v horn´ ı tˇ r ´ ıdˇ e nen´ ı prvek nejmenˇ s´ı. Napˇr. ˇc´ıslo √ 2 je dáno ˇrezem v Q, kde do doln´ı tˇr´ıdy patˇr´ı vˇsechna ˇc´ısla záporná a ta x z nezáporn´ ych, pro nˇeˇz je x2 < 2, do horn´ı tˇr´ıdy patˇr´ı vˇsechny zb´ yvaj´ıc´ı racionáln´ı ˇc´ısla. • Mnoˇzinu vˇsech iracion´ aln´ıch ˇc´ısel oznaˇc´ıme Q′ . Plat´ı:

Q ∩ Q′ = ∅

a

R = Q ∪ Q′ .

Vˇsimnˇeme si dekadického rozvoje: racionáln´ı ˇc´ısla maj´ı dekadick´ y rozvoj ukonˇcen´ y nebo periodick´ y, iracionáln´ı ˇc´ısla maj´ı sv˚ uj dekadick´ y rozvoj neukonˇcen´ y a neperiodick´ y (pro iracionáln´ı ˇc´ısla ˇcasto známe jen koneˇcn´ y poˇcet m´ıst jejich dekadického rozvoje (napˇr. pro ˇc´ıslo π)), ale nen´ı to pravidlo. ´ Uloha A.1.3. Napiˇste dekadický rozvoj takového iracion´ aln´ıho ˇc´ısla, u nˇehoˇz dovedeme jednoduˇse urˇcit ˇc´ıslici na libovolném m´ıstˇe rozvoje. Pozn´ amka A.1.4. D˚ uleˇzitá cesta k poznán´ı mnoˇziny Q′ vede pˇres mohutnosti mnoˇzin. V´ıme, ˇze mnoˇziny N, Z, a Q jsou spoˇcetné (prvky tˇechto mnoˇzin lze uspoˇrádat do posloupnosti), zat´ımco mnoˇzina R (a tedy i Q′ ) spoˇcetná nen´ı; ˇr´ıkáme, ˇze R má mohutnost kontinua. • C — mnoˇzina vˇsech ˇc´ısel komplexn´ıch; komplexn´ı ˇc´ısla zobrazujeme v Gaussovˇe rovinˇe. Pro uvedené ˇc´ıselné mnoˇziny plat´ı: N ⊂ N0 ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R ⊂ C.

A.2

Vlastnosti ˇ c´ıseln´ ych mnoˇ zin

O relac´ıch a operac´ıch v ˇc´ıseln´ ych mnoˇzinách a o jejich pˇrirozeném uspoˇrádán´ı pojednává podrobnˇe algebra. Avˇsak i v matematické anal´ yze se zab´ yváme mnoha v´ yznamn´ ymi ˇc´ıseln´ ymi mnoˇzinami. Pˇri vyˇsetˇrován´ı ˇc´ıseln´ ych mnoˇzin se zab´ yváme jejich vlastnostmi, o nichˇz dále pojednáme. 122

Definice A.2.1. Mnoˇzina M se naz´ yvá shora omezen´ a ⇔ ∃L ∈ R tak, ˇze ∀x ∈ M plat´ı x ≤ L. Toto ˇc´ıslo L se naz´ yvá horn´ı odhad (resp. horn´ı závora). Mnoˇzina M se naz´ yvá zdola omezen´ a ⇔ ∃K ∈ Rtak, ˇze ∀x ∈ M plat´ı x ≥ K. Toto ˇc´ıslo K se naz´ yvá doln´ı odhad (resp. doln´ı závora). Mnoˇzina M se naz´ yvá omezen´ a ⇔ je omezená shora i zdola. ´ Uloha A.2.2. Kolik horn´ıch (doln´ıch) odhad˚ u má ˇc´ıselná mnoˇzina? Vyj´ adˇrete, co znamená, ˇze dan´ a mnoˇzina M nen´ı omezen´ a shora, zdola, ˇze nen´ı omezen´ a.Co znamená, ˇze ˇc´ıslo B nen´ı horn´ım odhadem dané mnoˇziny? Pokud nˇekter´ y horn´ı odhad mnoˇziny M patˇr´ı do mnoˇziny M , pak jej naz´ yváme nejvˇetˇs´ı prvek mnoˇziny M a oznaˇcujeme jej max M . Podobnˇe nejmenˇs´ı prvek mnoˇziny M (definujte) oznaˇcujeme min M . ´ Uloha A.2.3. Urˇcete nejvˇetˇs´ı a nejmenˇs´ı prvek mnoˇziny 1 1 1 M1 = 1, , , , . . . , 2 4 8

M2 =

1 1 2 2 3 3 ,− , ,− , ,− ,... , 2 2 3 3 4 4

1 1 1 M3 = 0, 1, , , , . . . . 2 3 4

ˇ sen´ı. Mnoˇzina M1 má nejvˇetˇs´ı a nemá nejmenˇs´ı prvek, M2 nemá nejvˇetˇs´ı ani Reˇ nejmenˇs´ı prvek, M3 má prvek nejvˇetˇs´ı i nejmenˇs´ı. K nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım ˇc´ıseln´ ym mnoˇzinám patˇr´ı intervaly. Definice A.2.4. ∀a, b ∈ R, a < b, definujeme uzavˇ ren´ y interval ha, bi = {x ∈ R; a ≤ x ≤ b}, otevˇ ren´ y interval (a, b) = {x ∈ R; a < x < b}, a podobnˇe ha, b) a (a, bi. Vˇsechny tyto intervaly maj´ı délku b − a. Definice A.2.5. Mnoˇzinu ha, +∞) = {x ∈ R; x ≥ a} naz´ yváme neomezen´ y interval. Podobnˇe (a, +∞), (−∞, bi, (−∞, b). Mnoˇzinu R zapisujeme téˇz jako (−∞, +∞). Nˇekdy uvaˇzujeme téˇz degenerované intervaly: ha, ai = {a}, (a, a) = ∅ (prázdná mnoˇzina). Pojmem interval budeme vˇsak dále vˇzdy rozumˇet nedegenerovan´ y interval. Definice A.2.6. Absolutn´ı hodnota ˇc´ısla a ∈ R se oznaˇcuje |a| a je definována takto:  a pro a ≥ 0, ∀a ∈ R : |a| =  −a pro a < 0.

Vˇ eta A.2.7 (vlastnosti absolutn´ı hodnoty). ∀a, b ∈ R plat´ı 123

1. |a| ≥ 0, pˇriˇcemˇz |a| = 0 ⇔ a = 0, 2. | − a| = |a|, 3. |a + b| ≤ |a| + |b| (troj´ uheln´ıkovou nerovnost), 4. |a − b| ≥ |a| − |b|, 5. |ab| = |a| · |b|, a |a| . 6. pro b = 6 0 je =

b

|b|

Vlastnost 3 m˚ uˇzeme zobecnit (d˚ ukaz matematickou indukc´ı): (3’) ∀n ∈ N ∀ai ∈ R : |a1 + a2 + · · · + an | ≤ |a1 | + |a2 | + · · · + |an |, nebo zkrácenˇe n n X X |ai |. ai ≤ i=1

i=1

Geometrický význam absolutn´ı hodnoty: |a| znaˇc´ı vzdálenost obrazu ˇc´ısla a od poˇcátku ˇc´ıselné osy, |a − b| (= |b − a|) vzdálenost obraz˚ u ˇc´ısel a,b na ˇc´ıselné ose. ˇ ste nerovnice a rovnici: ´ Uloha A.2.8. Reˇ a) |x − 3| < 2, b) 2|x + 2| − 3|x| − 2x ≥ 4, 5 3 3 c) −3 − x + |x + 1| − |x − 2| = 0. 4 2 4

A.3

Supremum a infimum

ˇ ıslo β ∈ R naz´ Definice A.3.1. Necht’ M ⊂ R, M 6= ∅. C´ yváme supremum mnoˇziny M a p´ıˇseme β = sup M , právˇe kdyˇz má tyto dvˇe vlastnosti: (1) ∀x ∈ M : x ≤ β, (2) ∀β′ < β∃x′ ∈ M : x′ > β′. Vlastnost (1) znamená, ˇze β je horn´ı odhad, vlastnost (2) ˇr´ıká, ˇze β je ze vˇsech horn´ıch odhad˚ u nejmenˇs´ı, tedy: sup M je nejmenˇs´ı horn´ı odhad (závora) mnoˇziny M . Z definice ovˇsem nijak neplyne, ˇze takov´ y nejmenˇs´ı horn´ı odhad existuje. ˇ ıslo α ∈ R naz´ Definice A.3.2. Necht’ M ⊂ R, M 6= ∅. C´ yváme infimum mnoˇziny M a p´ıˇseme α = inf M , právˇe kdyˇz má tyto dvˇe vlastnosti: (1) ∀x ∈ M : x ≥ α, 124

(2) ∀α′ > α∃x′ ∈ M : x′ < α′. Vlastnost (1) znamená, ˇze α je doln´ı odhad, vlastnost (2) ˇr´ıká, ˇze α je ze vˇsech doln´ıch odhad˚ u nejvˇetˇs´ı, tedy: inf M je nejvˇetˇs´ı doln´ı odhad (závora) mnoˇziny M . Z definice opˇet nijak neplyne, ˇze takov´ y nejvˇetˇs´ı doln´ı odhad existuje. ´ Uloha A.3.3. Urˇcete sup M a inf M pro mnoˇzinu M =

1 2 3 , , ,... . 2 3 4

D˚ ukaz. Plat´ı sup M = 1, nebot’ vˇsechny prvky mnoˇziny M jsou pravé zlomky a jsou tedy menˇs´ı neˇz 1; jestliˇze vˇsak vezmeme libovolné ˇc´ıslo r < 1, existuje vˇzdy n v M prvek n+1 , kter´ y je vˇetˇs´ı neˇz r. Dále inf M = 12 , nebot’ ˇzádn´ y prvek M nen´ı 1 1 menˇs´ı neˇz 2 , a kdyˇz zvol´ıme libovolné ˇc´ıslo s > 2 , pak vˇzdy právˇe pro prvek 12 plat´ı 21 < s. Pˇritom sup M nen´ı a inf M je prvkem zadané mnoˇziny M . Tedy: supremum a infimum mnoˇziny mohou, ale nemus´ı b´ yt prvky této mnoˇziny. Pokud sup M je prvkem mnoˇziny M , je jej´ım nejvˇetˇs´ım prvkem; podobnˇe pro inf M . Také naopak, pokud má M nejvˇetˇs´ı prvek, je to souˇcasnˇe sup M ; podobnˇe pro nejmenˇs´ı prvek. Vˇ eta A.3.4 (o existenci suprema a infima). 1) Kaˇzdá neprázdná shora omezen´ a mnoˇzina reálných ˇc´ısel má supremum. 2) Kaˇzdá neprázdná zdola omezen´ a mnoˇzina reálných ˇc´ısel má infimum. Tuto vˇetu budeme povaˇzovat za axiom vyjadˇruj´ıc´ı základn´ı vlastnost ˇc´ıselné osy. Tedy: existuje bijekce mnoˇziny R na ˇc´ıselnou osu — kaˇzdé reálné ˇc´ıslo lze zobrazit na ˇc´ıselné ose a kaˇzd´ y bod ˇc´ıselné osy je obrazem nˇejakého reálného ˇc´ısla. ˇ ıkáme téˇz: ˇc´ıselná osa je spojitá. Pojmy ˇc´ıslo“ a bod ˇc´ıselné osy“ povaˇzujeme R´ ” ” za synonyma a ˇr´ıkáme napˇr. bod x0“ m´ısto ˇc´ıslo x0“ apod. ” ” Pojmy supremum a infimum a vˇeta o existenci suprema a infima jsou pro matematickou anal´ yzu velmi d˚ uleˇzité. Hraj´ı podstatnou roli v ˇradˇe d˚ ukaz˚ u (viz napˇr. d˚ ukaz Vˇety A.4.5 o vloˇzen´ ych intervalech) a pˇri definici dalˇs´ıch d˚ uleˇzit´ ych matematick´ ych pojm˚ u. Re´ aln´ aˇ c´ısla a realita Matematika sv´ ymi prostˇredky modeluje realitu a pˇritom pouˇz´ıvá metody abstrakce: abstrahuje od mnoha vlastnost´ı reáln´ ych objekt˚ u (které mohou b´ yt pro realitu velmi v´ yznamné) a ponechává jen ty, které upotˇreb´ı pˇri vytváˇren´ı matematick´ ych model˚ u. Vytváˇr´ı tak r˚ uzné abstraktn´ı objekty, jako je bod, ˇctverec, ˇc´ıslo, funkce, ˇrada ad. Tyto abstraktn´ı modely jsou velmi vhodné pro popis a studium reality, ale pˇresto nesm´ıme zamˇen ˇovat model a realitu. V urˇcit´ ych pˇr´ıpadech se naˇse reálné pˇredstavy a zkuˇsenosti dostávaj´ı do rozporu s nˇekter´ ymi matematicky zcela pˇresnˇe definovan´ ymi pojmy a vlastnostmi. Napˇr. v reálném ˇzivotˇe nen´ı nekoneˇcno, takˇze nˇekteré jeho vlastnosti odporuj´ı naˇsim praktick´ ym zkuˇsenostem, 125

tˇreba to, ˇze nekoneˇcná mnoˇzina je ekvivalentn´ı s nˇekterou svou pravou ˇcást´ı; napˇr. mnoˇzina vˇsech lich´ ych pˇrirozen´ ych ˇc´ısel má t´ yˇz poˇcet prvk˚ u“ (tj. stejnou ” mohutnost) jako mnoˇzina N. Podobnˇe na základˇe zkuˇsenost´ı z reálného svˇeta je nepˇredstavitelné, ˇze Q′ má vˇetˇs´ı mohutnost neˇz Q (ˇze iracionáln´ıch ˇc´ısel je ” v´ıce“ neˇz ˇc´ısel racionáln´ıch. Naˇse zkuˇsenost ˇr´ıká, ˇze kdyˇz vedle sebe jsou um´ıstˇeny nˇejaké objekty, tak mezer mezi nimi je tak nˇejak stejnˇe jako objekt˚ u (plaˇ nkov´ y plot), ale u ˇc´ısel racionáln´ıch a iracionáln´ıch je to u ´plnˇe a nepˇredstavitelnˇe jinak. Mezi kaˇzd´ ymi dvˇema ˇc´ısly racionáln´ımi je alespoˇ n jedno ˇc´ıslo iracionáln´ı a mezi kaˇzd´ ymi dvˇema ˇc´ısly iracionáln´ımi je alespoˇ n jedno ˇc´ıslo racionáln´ı, pˇriˇcemˇz tˇech iracionáln´ıch mezi dvˇema racionáln´ımi je mnoˇzina mohutnosti kontinua, zat´ımco racionáln´ıch mezi dvˇema iracionáln´ımi je jen spoˇcetná mnoˇzina. Definice iracionáln´ıch ˇc´ısel, at’ uˇz pouˇzijeme jakoukoli metodu, vytváˇr´ı jen matematick´ y model a nikoli realitu. Spojitost ˇc´ıselné osy, která se skládá z racionáln´ıch a iracionáln´ıch bod˚ u, si nelze pˇredstavit; snad i proto, ˇze v reálném svˇetˇe je to jinak, tam neexistuje ˇzádná pˇr´ımka a pohodu ˇc´ıselné osy jako dobˇre funguj´ıc´ıho matematického modelu naruˇsuj´ı r˚ uzné fyzikáln´ı ˇcástice.

A.4

Nˇ ekolik vˇ et o re´ aln´ ych ˇ c´ıslech a ˇ c´ıseln´ ych mnoˇ zin´ ach

Vˇ eta A.4.1 (o aritmetickém a geometrickém pr˚ umˇeru). Jsou-li a, b libovolná reáln´ a nez´ aporná ˇc´ısla, pak jejich aritmetický pr˚ umˇer ( a+b ) je vˇetˇs´ı nebo roven 2 √ umˇer˚ u nast´ av´ a pr´ avˇe jejich pr˚ umˇeru geometrickému ( ab), pˇriˇcemˇz rovnost pr˚ pˇri rovnosti obou ˇc´ısel a, b. Princip d˚ ukazu. Je y d˚ ukaz pˇr´ımý syntetický, pˇriˇcemˇz se vyjde z platné √ tu vhodn´ √ nerovnosti a − b ≥ 0, jej´ıˇz u ´pravou dostaneme tvrzen´ı. ´ Uloha A.4.2. Vˇsimnˇete si slovn´ı formulace vˇety. Pˇrepiˇste ji do formy pˇreváˇznˇe symbolické a do formy zcela symbolické. Vˇ eta A.4.3 (Bernoulliova nerovnost). ∀h ∈ R , h > −1, h 6= 0, ∀n ∈ N, n ≥ 2 plat´ı V (n) : (1 + h)n > 1 + nh. Princip d˚ ukazu. Matematickou indukc´ı v 1. kroku dokazujeme V (2) : (1 + h)2 = 1 + 2h + h2 > 1 + 2h, a ve druhém kroku dokazujeme implikaci V (n) ⇒ V (n + 1) a to tak, ˇze ve V (n) násob´ıme obˇe strany nerovnosti v´ yrazem (1 + h) a pak na 2 pravé stranˇe vynecháme ˇclen nh . Bernoulliova nerovnost se pouˇz´ıvá napˇr. pˇri nˇekter´ ych d˚ ukazech vlastnost´ı posloupnost´ı.

126

Vˇ eta A.4.4 (o rovnosti reáln´ ych ˇc´ısel). Necht’ p, q ∈ R. Jestliˇze ∀ε > 0 plat´ı |p − q| < ε, pak p = q. D˚ ukaz (sporem). Kdyby p 6= q, bylo by |p − q| > 0. Zvol´ıme-li ε = |p − q|, dostáváme, ˇze |p − q| < ε a souˇcasnˇe |p − q| = ε, coˇz dává spor. Proto p = q. Tato jednoduchá vˇeta usnadˇ nuje nˇekteré d˚ ukazy, napˇr. d˚ ukaz následuj´ıc´ı vˇety. Vˇ eta A.4.5 (o vloˇzen´ ych intervalech). Necht’ {Jn } je posloupnost omezených uzavˇrených interval˚ u Jn = han , bn i takových, ˇze J1 ⊃ J2 ⊃ J3 ⊃ · · · . Pak existuje bod x0 , který leˇz´ı ve vˇsech intervalech Jn , n ∈ N. Jestliˇze nav´ıc ∀ε > 0∃n ∈ N tak, ˇze |Jn | < ε, je takový bod x0 jediný. Princip d˚ ukazu. Uvaˇzujeme mnoˇzinu A vˇsech lev´ ych krajn´ıch bod˚ u an interval˚ u Jn a mnoˇzinu B jejich prav´ ych krajn´ıch bod˚ u bm ; pro vˇsechna m, n ∈ N plat´ı an < bm . Podle vˇety o existenci suprema tedy existuje α = sup A, pro nˇeˇz α ≤ bm ; podobnˇe existuje β = inf B a pro vˇsechna n ∈ N plat´ı an ≤ α ≤ β ≤ bn , tedy ∀n ∈ N : hα, βi ⊂ han , bn i. Pro d˚ ukaz tvrzen´ı vˇety staˇc´ı volit x0 ∈ hα, βi. Je-li interval hα, βi degenerovan´ y, dostáváme x0 jednoznaˇcnˇe. To nastává právˇe tehdy, kdyˇz je splnˇena druhá podm´ınka vˇety, tedy kdyˇz ∀ε > 0 ∃n ∈ N tak, ˇze bn − an < ε. Jelikoˇz je β − α ≤ bn − an < ε, je podle vˇety o rovnosti reáln´ ych ˇc´ısel α = β. Podm´ınka vˇety, zajiˇst’uj´ıc´ı jednoznaˇcnost spoleˇcného bodu x0 m˚ uˇze b´ yt formulována i takto: Jestliˇze posloupnost {|Jn |} délek interval˚ u Jn je nulová . . .“ ” Vˇetu o vloˇzen´ ych intervalech pouˇz´ıváme pˇri d˚ ukazech nˇekter´ ych d˚ uleˇzit´ ych vlastnost´ı posloupnost´ı a funkc´ı, zejména ve spojen´ı s tzv. Bolzanovou metodou d˚ ukazu.

A.5

Klasifikace bod˚ u vzhledem k mnoˇ zinˇ e

Definice A.5.1. Okol´ım bodu a nazveme kaˇzd´ y otevˇren´ y interval (c, d) koneˇcné délky, kter´ y obsahuje bod a (tj. kde a ∈ (c, d)); oznaˇcen´ı okol´ı bodu a: U (a). Tato definice je formulována ve smyslu topologickém. Vˇ eta A.5.2 (vlastnosti okol´ı). Okol´ı bodu a má tyto vlastnosti: (1) Pro kaˇzdé U (a) je a ∈ U (a). (2) Ke kaˇzdým dvˇema okol´ım U1 (a), U2 (a) existuje okol´ı U (a) tak, ˇze U (a) ⊂ U1 (a) ∩ U2 (a). (3) Je-li b ∈ U (a), pak existuje U1 (b) tak, ˇze U1 (b) ⊂ U (a). (4) Pro libovolná a 6= b existuj´ı U1 (a), U2 (b) tak, ˇze U1 (a) ∩ U2 (b) = ∅. 127

Pro d˚ ukazy nˇekter´ ych vˇet je vhodnˇejˇs´ı definovat okol´ı bodu a ve smyslu metrickém. Definice A.5.3. ε-okol´ım bodu a, kde ε ∈ R, ε > 0, naz´ yváme interval (a − ε, a + ε); oznaˇcen´ı: U (a, ε) nebo téˇz U (a). Lehce ovˇeˇr´ıme, ˇze ε-okol´ı má vˇsechny uvedené vlastnosti okol´ı. M´ısto x ∈ U (a, ε) lze rovnˇeˇz psát |x − a| < ε. Definice A.5.4. Prstencov´ ym (redukovan´ ym) okol´ım bodu a naz´ yváme mnoˇzinu P (a) = U (a) \ {a}. Podobnˇe P (a, ε) = U (a, ε) \ {a}. Dále se definuje levé resp. pravé okol´ı bodu a jako interval (c, ai nebo (a − ε, ai resp. ha, d) nebo ha, a + ε); jsou to tzv. jednostrann´ a okol´ı. Jeˇstˇe uvaˇzujeme jednostrann´ a prstencov´ a (redukovaná ) okol´ı — to kdyˇz z jednostranného okol´ı vypust´ıme bod a. Uˇzit´ım pojmu okol´ı bodu lze klasifikovat body z R vzhledem k dané ˇc´ıselné mnoˇzinˇe M . Uvedeme si nyn´ı zkrácené definice nˇekter´ ych d˚ uleˇzit´ ych pojm˚ u, pouˇz´ıvan´ ych v matematické anal´ yze. • Vnitˇ rn´ı bod mnoˇ ziny M : Bod mnoˇziny M , kter´ y do M patˇr´ı i s nˇekter´ ym sv´ ym okol´ım. • Vnitˇ rek mnoˇ ziny M : Mnoˇzina vˇsech vnitˇrn´ıch bod˚ u mnoˇziny M . • Hraniˇ cn´ı bod mnoˇ ziny M : V kaˇzdém jeho okol´ı existuje bod mnoˇziny M a téˇz bod, kter´ y do M nepatˇr´ı. (Hraniˇcn´ı bod m˚ uˇze, ale nemus´ı patˇrit do M .) • Hranice mnoˇ ziny M : Mnoˇzina vˇsech hraniˇcn´ıch bod˚ u mnoˇziny M . • Vnˇ ejˇ s´ı bod mnoˇ ziny (vzhledem k mnoˇzinˇe) M : Bod ˇc´ıselné osy, kter´ y nen´ı vnitˇrn´ım ani hraniˇcn´ım bodem mnoˇziny M . • Vnˇ ejˇ sek mnoˇ ziny M : Mnoˇzina vˇsech vnˇejˇs´ıch bod˚ u mnoˇziny M . • Mnoˇzina M je otevˇ ren´ a : Kaˇzd´ y jej´ı bod je jej´ım vnitˇrn´ım bodem. • Mnoˇzina M je uzavˇ ren´ a : Obsahuje svou hranici. • Uz´ avˇ er M mnoˇ ziny M : Sjednocen´ı mnoˇziny M a jej´ı hranice. • Hromadn´ y bod a mnoˇ ziny M : V kaˇzdém jeho prstencovém okol´ı leˇz´ı alespoˇ n jeden bod mnoˇziny M . • Izolovan´ y bod mnoˇ ziny M : Bod mnoˇziny M , kter´ y nen´ı jej´ım hromadn´ ym bodem. 128

• Diskr´ etn´ı mnoˇ zina: Vˇsechny jej´ı body jsou izolované. • Derivace M ′ mnoˇ ziny M : Mnoˇzina vˇsech hromadn´ ych bod˚ u mnoˇziny M . Jelikoˇz vˇsechny tyto pojmy jsou zaloˇzeny vlastnˇe jen na pojmu okol´ı, setkáváme se s nimi ve vˇsech prostorech, kde se pracuje s okol´ım. Na ˇc´ıselné ose (na rozd´ıl napˇr. od roviny) vˇsak pracujeme i s pojmy levé okol´ı“ a pravé okol´ı“ a m˚ uˇzeme ” ” tedy napˇr. definovat i levý hromadný bod a pravý hromadný bod a tˇechto pojm˚ u skuteˇcnˇe vyuˇz´ıváme pˇri definován´ı jednostrann´ ych limit funkce. ´ Uloha A.5.5. Vˇsechny uvedené pojmy pouˇzijte pro mnoˇzinu M = h−1, 0) ∪ o n 1 2 3 , , ,... 2 3 4

A.6

.

Rozˇ s´ıˇ ren´ a re´ aln´ a osa

Je to model ˇc´ıselné osy, kterou rozˇs´ıˇr´ıme o dva nové prvky: nevlastn´ı ˇc´ıslo +∞ a nevlastn´ı ˇc´ıslo −∞. Oznaˇcen´ı rozˇs´ıˇrené reálné osy: R∗ = R ∪ {−∞, +∞}. Zaveden´ı nevlastn´ıch ˇc´ısel nám umoˇzn ˇuje hloubˇeji, lépe a jednoduˇseji formulovat mnohé poznatky matematické anal´ yzy. Vlastnosti nevlastn´ıch ˇ c´ısel Na rozˇs´ıˇrené reálné ose definujeme pˇrirozené uspoˇrádán´ı a poˇcetn´ı operace tak, ˇze rozˇs´ıˇr´ıme pˇr´ısluˇsná pravidla platná na R. • Uspoˇrád´ an´ı: ∀x ∈ R: -∞ < x < +∞, zvláˇstˇe -∞ < +∞ ; -(-∞) = +∞ , -(+∞ ) = -∞ , | + ∞| = | − ∞| = +∞. • Okol´ı: U (+∞) toto oznaˇcen´ı budeme pouˇz´ıvat pro kaˇzd´ y interval hc, +∞i ⊂ ∗ R , ale pokud budeme pracovat na R, pouˇzijeme toto oznaˇcen´ı (pro zjednoduˇsen´ı vyjadˇrován´ı) téˇz pro intervaly (c, +∞) ⊂ R, coˇz jsou vlastnˇe prstencová okol´ı P (+∞) na R∗ . Podobnˇe pro U (−∞) a P (−∞). • Supremum a infimum: Pro mnoˇzinu M , která nen´ı shora omezená, je sup M = +∞, pro mnoˇzinu M , která nen´ı zdola omezená, je inf M = −∞. • Hromadné body: Definice je formálnˇe stejná, tedy +∞ nazveme hromadn´ ym bodem mnoˇziny M ⊂ R∗ ⇔ v kaˇzdém jeho okol´ı P (+∞) leˇz´ı alespoˇ n jeden bod mnoˇziny M . Podobnˇe pro −∞. Napˇr. mnoˇzina Z vˇsech cel´ ych ˇc´ısel má hromadné body +∞ a −∞, sup Z = +∞, inf Z = −∞, ale samozˇrejmˇe +∞ ∈ / Z, −∞ ∈ / Z.

129

Poˇ cetn´ı operace s nevlastn´ımi ˇ c´ısly • Sˇc´ıt´ an´ı a odˇc´ıt´ an´ı: ∀x ∈ R definujeme ±x+(+∞) = (+∞)±x = ±x−(−∞) = (+∞)+(+∞) = (+∞)−(−∞) = +∞, ±x+(−∞) = (−∞)±x = ±x−(+∞) = (−∞)+(−∞) = (−∞)−(+∞) = −∞. • Nedefinujeme (+∞) − (+∞),

(+∞) + (−∞),

(−∞) − (−∞).

(−∞) + (+∞),

• Násoben´ı: ∀x ∈ R, x > 0 definujeme x · (+∞) = (+∞) · x = (+∞) · (+∞) = (−∞) · (−∞) = +∞, x · (−∞) = (−∞) · x = (+∞) · (−∞) = (−∞) · (+∞) = −∞. Podobnˇe pro x < 0. • Nedefinujeme 0 · (+∞),

(+∞) · 0,

• Dˇelen´ı: ∀x ∈ R definujeme

Pro x > 0 je pro x < 0 je

0 · (−∞),

(−∞) · 0.

x x = = 0. (+∞) (−∞)

+∞ = +∞, x

−∞ = −∞, x

+∞ = −∞, x

−∞ = +∞. x

• Nedefinujeme +∞ , +∞

+∞ , −∞

atd.,

x 0

pro ˇzádné x ∈ R, tj. ani

0 0

nebo

• Mocniny: ∀n ∈ N definujeme (+∞)n = +∞, • Nedefinujeme

(+∞)0 ,

(+∞)−n = 0,

(−∞)0 , 130

00 ,

(−∞)n = (−1)n · (+∞). 1+∞ ,

1−∞ .

±∞ . 0

Pozn´ amka A.6.1. Z praktick´ ych d˚ uvod˚ u se nˇekdy p´ıˇse m´ısto +∞ jen ∞, takˇze napˇr. m´ısto v´ yrazu (+∞) + (+∞) lze napsat jen ∞ + ∞. Jestliˇze vˇsak pracujeme v komplexn´ım oboru, kde se zavád´ı jediné komplexn´ı nekoneˇcno oznaˇcované ∞, mus´ıme dát pozor na jeho odliˇsen´ı od +∞ z rozˇs´ıˇrené reálné osy R∗ . ´ Uloha A.6.2. Vypoˇctˇete a = +∞ · 5 −

(−∞) 1200! + (−∞)3 · (100 − ∞) − . 3 +∞

−∗−

131

Pˇ r´ıloha B ˇ ıseln´ C´ e posloupnosti B.1

Nˇ ekter´ e v´ yznamn´ e limity

Vˇ eta B.1.1. ∀a > 0 : lim

n→+∞

√ n

a = 1.

Princip d˚ ukazu. Pro a > 1 poloˇz´ıme

√ n

a = 1 + un , tedy un > 0. Podle Bernoullia−n ovy nerovnosti je a = (1 + un )n > 1 + n · un , odkud 0 < un < a podle vˇety n 1 o tˇrech limitách je un → 0. Pro a < 1 pouˇzijeme pˇredchoz´ı v´ ysledek na ˇc´ıslo , a pro a = 1 je v´ ysledek zˇrejm´ y. Podobnˇe lze uˇzit´ım vhodn´ ych odhad˚ u odvodit následuj´ıc´ı limity: √ Vˇ eta B.1.2. lim n n = 1. n→+∞

an = +∞. n→+∞ nk ˇ ıkáme, ˇze exponenciála an roste k +∞ rychleji neˇz mocnina nk .) (R´

Vˇ eta B.1.3. ∀a > 1, ∀k > 0 : lim

loga n ´ = 0. Uloha B.1.4. Dokaˇzte, ˇze ∀a > 1 : lim n→+∞ n n ˇ sen´ı. Pro ∀ε > 0 je aε > 1, takˇze pro skoro vˇsechna n plat´ı 1 < √ Reˇ n < aε , odkud po zlogaritmován´ı nerovnosti pˇri základu a plyne uvedené tvrzen´ı. n ´ Uloha B.1.5. Vypoˇctˇete limn→+∞ q , kde q > 0. n!

ˇ sen´ı. Pro q ≤ 1 je tato limita rovna 0. Pro q > 1 má ˇcitatel i jmenovatel limitu Reˇ +∞, takˇze nelze pouˇz´ıt vˇetu o limitˇe pod´ılu. Uveden´ y v´ yraz oznaˇcme an ; pak q an , (∗) an+1 = n+1 proto pro skoro vˇsechna n je posloupnost {an } klesaj´ıc´ı a zdola omezená (nulou), takˇze má limitu; oznaˇcme ji a. Pˇrejdeme-li v rovnosti (*) k limitˇe, máme a = 0. ˇ ıkáme, ˇze faktoriál roste k +∞ rychleji neˇz exponenciála q n . R´ 132

´ Uloha B.1.6. Ukaˇzte, ˇze kaˇzdé iracion´ aln´ı ˇc´ıslo je limitou neklesaj´ √ ıc´ı posloupnosti racion´ aln´ıch ˇc´ısel; najdˇete tyto posloupnosti pro r = π, s = 2. ˇ sen´ı. Lze uvaˇzovat napˇr´ıklad posloupnost doln´ıch desetinn´ Reˇ ych aproximac´ı. Pozn´ amka B.1.7. Kromˇe ˇc´ıseln´ ych posloupnost´ı pracujeme v matematické anal´ yze i s dalˇs´ımi typy posloupnost´ı; uvaˇzuj´ı se tˇreba posloupnosti mnoˇzin (napˇr. interval˚ u), posloupnosti funkc´ı, ad. Definice tˇechto posloupnost´ı vytvoˇr´ıme podle stejného schématu. Napˇr. posloupnost funkc´ı definujeme jako zobrazen´ı mnoˇziny N do mnoˇziny vˇsech funkc´ı. Pracujeme-li s jin´ ymi posloupnostmi neˇz s posloupnostmi ˇc´ıseln´ ymi, je tˇreba dbát na korektnost definice posloupnosti, pˇr´ıpadnˇe jej´ı limity.

B.2

ˇ ıslo e C´ Funkce y = ex a funkce y = ln x (= loge x) patˇr´ı k nejd˚ uleˇzitˇejˇs´ım funkc´ım v matematické anal´ yze; v obou pˇr´ıpadech je základem Eulerovo ˇc´ıslo e.

1 n . Abychom tuto 1+ n definici mohli povaˇzovat za korektn´ı, je tˇreba dokázat, ˇze uvedená posloupnost je konvergentn´ı; jej´ı ˇcleny oznaˇcujme dále an . D˚ ukaz existence limity posloupnosti {an } lze provést ve dvou kroc´ıch: ˇ ıslo e je definováno jako limita posloupnosti C´

1. dokáˇzeme, ˇze tato posloupnost je rostouc´ı, 2. dokáˇzeme, ˇze je shora omezená. Existence koneˇcné limity pak plyne z vˇety o limitˇe monotónn´ı posloupnosti. ad 1) Podle binomické vˇety je 1 an = 1 + n

n

!

!

!

n 1 n 1 n 1 + + ··· + =1+ 2 2 n n nn 1 n

Prvn´ı dva ˇcleny souˇctu na pravé stranˇe jsou rovny 1, pro kaˇzd´ y dalˇs´ı ˇclen provedeme u ´pravu !

n! 1 n(n − 1) · · · (n − k + 1) 1 n 1 = · k = · = k k n k!(n − k)! n nk k! 1 = 1− n

2 k−1 1− ··· 1 − n n

!

1 . k!

Pro posloupnost {an } tak plat´ı, ˇze kaˇzd´ yjej´ı ˇclen an je souˇctem n + 1 j . Jestliˇze nyn´ı pˇrejdeme kladn´ ych v´ yraz˚ u, v nichˇz jsou ˇcinitelé tvaru 1 − n 133

j od n k n + 1, je an+1 souˇctem n + 2 v´ yraz˚ u s ˇciniteli tvaru 1 − . n+1 j j > 1− a nav´ıc v an+1 je o jeden kladn´ y sˇc´ıtanec Jelikoˇz 1 − n+1 n v´ıc, je an+1 > an , posloupnost {an } je rostouc´ı.

j ad 2) Ve v´ yrazu pro an nahrad´ıme vˇsechny závorky“ 1 − ˇc´ıslem 1, takˇze ” n+1 plat´ı

an < bn = 1 + 1 +

1 1 1 1 1 1 + + ··· + < 1 + 1 + + 2 + · · · + n−1 < 3. 2! 3! n! 2 2 2

Závˇer: Podle vˇety o limitˇe monotónn´ı posloupnosti existuje limita posloupnosti {an }; naz´ yváme ji Eulerovo ˇc´ıslo a oznaˇcujeme ji e; z pˇredchoz´ıho plyne, ˇze 2 < e < 3. V´ ypoˇ cet ˇ c´ısla e Hodnotu ˇc´ısla e lze vcelku snadno urˇcit jako souˇcet ˇc´ıselné ˇrady. Vid´ıme, ˇze pro konstantn´ı k < n plat´ı 1 1 1 an > 2 + 1 − + ··· + 1 − n 2! n

2 k−1 1− ··· 1 − n n

!

1 . k!

Odsud pro n → +∞ máme e ≥ bk , takˇze plat´ı an < bn ≤ e; podle vˇety o tˇrech limitách pak je limn→+∞ bn = e. Pˇritom bn je podle své definice tzv. n-t´ ym ˇcásteˇcn´ ym souˇctem ˇrady, takˇze e = lim

n→+∞

1+

1 n

n

=1+

1 1 + + · · · = 2, 718 281 828 459 0 . . . 1! 2!

Tato ˇrada dosti rychle“ konverguje a má jednoduch´ y algoritmus v´ ypoˇctu ˇclen˚ u, ” takˇze v´ ypoˇcet hodnoty ˇc´ısla e na zadan´ y poˇcet desetinn´ ych m´ıst lze provést vcelku rychle.

134

Pˇ r´ıloha C Spojitost funkce C.1

Stejnomˇ ern´ a spojitost

Jako jsme vlastnost spojitosti zm´ırnili“ spojitost´ı po ˇcástech, m˚ uˇzeme tuto ” vlastnost zase zpˇr´ısˇ novat“. ” Definice C.1.1. Funkce f se naz´ yvá stejnomˇ ernˇ e spojit´ a na mnoˇzinˇe M ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃δ > 0 tak, ˇze pro kaˇzdé dva body x′ , x′′ ∈ M plat´ı: |x′ − x′′ | < δ

=⇒

|f (x′ ) − f (x′′ )| < ε.

Pˇrednˇe uváˇz´ıme, ˇze stejnomˇerná spojitost má smysl jen na mnoˇzinˇe (zejména na intervalu), neexistuje nˇejaká stejnomˇerná spojitost v bodˇe. Je to tedy vlastnost globáln´ı. V definici si dále uvˇedom´ıme, ˇze δ závis´ı pouze na ε, tj. nezávis´ı na poloze bod˚ u x′ , x′′ v M ; u spojitosti na mnoˇzinˇe M obecnˇe δ závis´ı také na bodu x0 , tedy i kdyˇz je funkce spojitá v kaˇzdém bodˇe mnoˇziny M , nelze obecnˇe k danému ε > 0 naj´ıt takové δ > 0, které by bylo stejn´ e, at’ zvol´ıme x0 kdekoli na M . π π Napˇr´ıklad u funkce y = tg x na − 2 , 2 , kdyˇz vol´ıme x0 stále bl´ıˇze“ k π2 , pak ” pro dané ε (tˇreba = 1) mus´ıme volit δ stále menˇs´ı a menˇs´ı, aby pro x ∈ U (x0 , δ) z˚ ustaly funkˇcn´ı hodnoty f (x) v ε-okol´ı hodnoty f (x0 ). Stejnomˇernou spojitost lze charakterizovat také jeˇstˇe pomoc´ı tzv. oscilace funkce. ˇ ıslo Definice C.1.2. Necht’ funkce f je definovaná a omezená na mnoˇzinˇe M . C´ ω = sup f (x) − inf f (x) x∈M

x∈M

se naz´ yvá oscilace funkce f na mnoˇzinˇe M . Je-li funkce spojitá na uzavˇreném intervalu, pak m´ısto rozd´ılu suprema a infima m˚ uˇzeme vz´ıt rozd´ıl maxima a minima. 135

Vˇ eta C.1.3 (o oscilaci stejnomˇernˇe spojité funkce). Funkce f je stejnomˇernˇe spojitá na intervalu J, pr´ avˇe kdyˇz ∀ε > 0 ∃δ > 0 tak, ˇze na kaˇzdém podintervalu I ⊂ J délky menˇs´ı neˇz δ je oscilace funkce menˇs´ı neˇz ε. Vztah spojitosti a stejnomˇerné spojitosti ˇreˇs´ı následuj´ıc´ı dvˇe vˇety. Vˇ eta C.1.4 (vztah stejnomˇerné spojitosti a spojitosti na mnoˇzinˇe M ). Je-li funkce f stejnomˇernˇe spojitá na M , pak je na M spojitá. Princip d˚ ukazu. Ze stejnomˇerné spojitosti plyne spojitost v libovolném bodˇe x0 , nebot’ ∀ε > 0 ∃δ > 0 tak, ˇze ∀x ∈ D(f ) plat´ı: |x − x0 | < δ

=⇒

|f (x) − f (x0 )| < ε.

Vˇ eta C.1.5 (Cantorova vˇeta). Je-li funkce f spojitá na intervalu ha, bi, pak je na tomto intervalu stejnomˇernˇe spojitá. D˚ ukaz se provád´ı uˇzit´ım Borelovy vˇety o pokryt´ı: Je-li uzavˇren´ y interval ha, bi pokryt systémem Sν otevˇren´ ych interval˚ u, pak existuje koneˇcn´ y podsystém Sk ⊂ Sν , kter´ y také pokr´ yvá interval ha,bi.

136

Pˇ r´ıloha D Metody integrace pro funkce jedn´ e promˇ enn´ e D.1

Integrace racion´ aln´ıch funkc´ı

Z´ akladn´ı typy racion´ aln´ıch funkc´ı a jejich integrace: (1)

(2)

Z

dx = ln |x − k| + C, x−k

´ Uloha D.1.1.

Z

2 dx = 2 ln |x + 3| + C. x+3

´ Uloha D.1.2.

Z

5 5 dx = ln |3x + 2| + C. 3x + 2 3

Z

dx 1 1 = + C, s (x − k) 1 − s (x − k)s−1

´ Uloha D.1.3.

(3)

Z

kde s 6= 1.

1 dx = + C. (x + 2)3 −2(x + 2)2

dx , kde ve jmenovateli je nerozloˇziteln´ y kvadratick´ y polynom, + px + q vede po u ´pravˇe jmenovatele na funkci arctg x. Z

x2

´ Uloha D.1.4.

Z

1 x+3 arctg + C. 2 2

Z dx dx 1Z dx = = = x2 + 6x + 13 (x + 3)2 + 4 4 1 + x+3 2 2

137

(4)

dx , kde ve jmenovateli je nerozloˇziteln´ y kvadratick´ y po+ px + q)s lynom a s 6= 1, vede na pouˇzit´ı rekurentn´ıho vzorce, viz 9.3(2). Z

(x2

#

"

Z dx dx x+3 = z ´ = = Uloha D.1.5. 2 = 2 dx = dz (x2 + 6x + 13)2 [(x + 3) + 4] Z dz z 1 1 Z dz = + . 2 2 2 2 2 2 (z + 2 ) 2·4z +2 2 · 4 z + 22 Podle (3) vede tento integrál na funkci arctg x a pak se vrát´ıme k p˚ uvodn´ı promˇenné x dosazen´ım z = x + 3. Z

Racion´ aln´ı funkce P (x)/Q(x), kde P (x), Q(x) jsou polynomy: Pˇri jejich integrován´ı pˇrevád´ıme racionáln´ı funkci na uvedené základn´ı typy, pˇriˇcemˇz vyuˇz´ıváme poznatk˚ u z algebry. Algoritmus: (1) Je-li stupeˇ n ˇcitatele menˇs´ı neˇz stupeˇ n jmenovatele, pˇrejdeme na krok (2). Jinak uˇzit´ım dˇelen´ı uprav´ıme funkci na tvar P (x) R(x) = A(x) + , Q(x) Q(x) kde A(x) je polynom, kter´ y jiˇz dovedeme integrovat a R(x) (zbytek dˇelen´ı) je polynom stupnˇe niˇzˇs´ıho neˇz Q(x); tedy: sn´ıˇz´ıme stupeˇ n ˇcitatele pod stupeˇ n jmenovatele. (2) Je-li jmenovatel rozloˇzen na lineárn´ı koˇrenové ˇcinitele a nerozloˇzitelné kvadratické polynomy, pˇrejdeme na bod (3), jinak tento rozklad jmenovatele provedeme. (3) Je-li ve jmenovateli jen jeden koˇrenov´ y ˇcinitel nebo jeho mocnina nebo jen jeden nerozloˇziteln´ y kvadratick´ y polynom nebo jeho mocnina, pˇrejdeme na bod (4); jinak provedeme rozklad zlomku R(x)/Q(x) na parciáln´ı zlomky. (4) Integrujeme vˇsechny komponenty rozkladu funkce y = P (x)/Q(x). ´ Uloha D.1.6. Upravte integrál ˇ sen´ı. Reˇ =

Z

Z

3x − 2 dx na z´ akladn´ı typ (3). +x+3

x2

3 Z 2x − 43 3 Z 2x + 1 − 1 − 3x − 2 dx = dx = x2 + x + 3 2 x2 + x + 3 2 x2 + x + 3

3 Z 2x + 1 − 73 3 Z 2x + 1 3 7Z dx dx = dx − · = 2 x2 + x + 3 2 x2 + x + 3 2 3 x2 + x + 3

7Z dx 3 2 . = ln(x + x + 3) − 2 2 2 x +x+3 138

4 3

dx =

4x + 3 dx na z´ akladn´ı typ (4) a dvojn´ asobným − x + 3)3 pouˇzit´ım rekurentn´ıho vzorce 9.3 (2) pak na z´ akladn´ı typ (3).

´ Uloha D.1.7. Upravte integrál

ˇ sen´ı. Reˇ

Z

Z

(x2

Z 2x − 1 + 1 + 32 4x + 3 dx = 2 dx = (x2 − x + 3)3 (x2 − x + 3)3

Z dx 1 +5 = ··· =− 2 2 2 (x − x + 3) (x − x + 3)3

Na integraci racionáln´ıch funkc´ı vede v´ ypoˇcet integrál˚ u mnoha dalˇs´ıch typ˚ u funkc´ı, viz dále.

D.2 (1)

Z

Integrace nˇ ekter´ ych iracion´ aln´ıch funkc´ı 

R x,



s

ax + b  dx, cx + d

m

q

Substituc´ı viz D.1.

m

ax+b cx+d

kde

a b 6= 0 c d

a

R(x, y) je racionáln´ı funkce.

= t se integrál pˇrevede na integrál z funkce racionáln´ı, Z √

2x − 1 dx na integrál z racion´ aln´ı funkce. 2x + 7  √  2x − 1 = t Z √ Z t 2x − 1  1 2 ˇ sen´ı. x = (t + 1) dx =  t dt = · · · . Reˇ =   2 2x + 7 t2 + 1 + 7 dx = t dt ´ Uloha D.2.1. Pˇreved’te

(2)

Z

p1 q1

R x, x , . . . , x n

pm qm

dx,

kde

R(x, y1 , y2 , . . . , ym ) je racionáln´ı funkce.

Substituc´ı x = t , kde n = n(q1 , q2 , . . . , qm ) je nejmenˇs´ı spoleˇcn´ y násobek, se dan´ y integrál pˇrevede na integrál z funkce racionáln´ı. ´ Uloha D.2.2. Pˇreved’te ˇ sen´ı. Reˇ

D.3

Z

x dx √ √ = x+ 3x

"

Z

√

x dx √ na integrál z racion´ aln´ı funkce. x+ 3x #

x = t6 = dx = 6t5 dt

Z

t6 · 6t5 dt = ··· . t3 + t2

Eulerovy substituce

√ Pouˇz´ıvaj´ı se pro v´ ypoˇcet integrál˚ u typu R x, ax2 + bx + c dx, kde R ´ celem substituce je pˇrevést integrován´ı je racionáln´ı funkce dvou promˇenn´ ych. Uˇ iracionáln´ı funkce na integrován´ı funkce racionáln´ı. Eulerovy substituce jsou tˇri: Z

139

√

√ ax2 + bx + c = ax + t [pro a > 0]; hlavn´ı myˇslenka: po umocnˇen´ı se na obou stranách rovnosti ruˇs´ı ˇcleny ax2 . √ √ (2) ax2 + bx + c = xt + c [pro c > 0]; hlavn´ı myˇslenka: po umocnˇen´ı se na obou stranách rovnosti ruˇs´ı ˇcleny c a rovnost lze dˇelit x. √ y koˇren]; hlavn´ı myˇslenka: po (3) ax2 + bx + c = t(x − λ) [kde λ je reáln´ umocnˇen´ı lze rovnost dˇelit koˇrenov´ ym ˇcinitelem (x − λ).

(1)

Z √ ´ Uloha D.3.1. Ovˇeˇrte, ˇze pˇri výpoˇctu x 4x2 + 5x + 1 dx lze pouˇz´ıt vˇsechny tˇri substituce. Ve vˇsech pˇr´ıpadech pˇreved’te integrál na integrál z funkce racion´ aln´ı.

ˇ sen´ı. Je a = 4 > 0, c = 1 > 0, a uveden´ Reˇ y trojˇclen má reálné koˇreny. √ Pˇri pouˇzit´ı 1. substituce √ máme 4x2 + 5x + 1 = 2x + t, pˇri pouˇzit´ı 2. substituce 4x2√+ 5x + 1 = xt + 1 a pˇri pouˇzit´ı 3. substituce je 4x2 + 5x + 1 = t(x + 1). V tomto pˇr´ıpadˇe po umocnˇen´ı rovnosti a zkrácen´ı koˇrenového ˇcinitele (x + 1) dostáváme 4x + 1 = t2 (x + 1) a z toho t2 − 1 3t 6t dt, . . . x= , t(x + 1) = , dx = 4 − t2 4 − t2 (4 − t2 )2 Po nalezen´ı integrálu z pˇr´ısluˇsné racion´ aln´ı funkce se vrac´ uvodn´ı √ √ ıme k p˚ 2 c − ax, pˇri 2. substipromˇenné, tj. √ dosad´ıme pˇri 1. substituci t = ax + bx + √ √ ax2 + bx + c − c ax2 + bx + c tuci to je t = , a pˇri 3. dosad´ıme t = . x x−λ

D.4

Integrace goniometrick´ ych a hyperbolick´ ych funkc´ı Z

Pˇ rehled substituc´ı pro R(cos x, sin x) dx, kde R je racionáln´ı funkce dvou promˇenn´ ych: (1) sin x = t, pokud R(− cos x, sin x) = −R(cos x, sin x), (2) cos x = t, pokud R(cos x, − sin x) = −R(cos x, sin x), (3) tg x = t, pokud R(− cos x, − sin x) = R(cos x, sin x),

x (4) tg = t lze pouˇz´ıt vˇzdy (univerzáln´ı substituce). Univerzáln´ı substituce 2 pˇrináˇs´ı zpravidla sloˇzitˇejˇs´ı v´ ypoˇcty, proto se dává pˇrednost substituc´ım pˇredchoz´ım, pokud je lze pouˇz´ıt. ´ celem substituc´ı je pˇrevést integrován´ı goniometrick´ Uˇ ych funkc´ı na integrován´ı funkc´ı racionáln´ıch. 140

´ Uloha D.4.1. Vhodnou substituc´ı pˇreved’te racion´ aln´ı.

Z

tg x sin x dx na integrál z funkce

sin2 x sin2 x sin2 x tg x sin x dx = dx; =− , takˇze provedeme cos xZ − cos x cos x " # Z sin2 x sin2 x sin x = t substituci sin x = t; I = dx = cos x dx = = cos x dx = dt cos x 1 − sin2 x Z t2 dt = · · · . 1 − t2


Z

Z

´ Uloha D.4.2. Vhodnou substituc´ı pˇreved’te racion´ aln´ı.

Z

tg2 x sin x dx na integrál z funkce

(− sin x)3 sin3 x sin3 x dx; jeˇ z to = − , pouˇzijeme 2x 2x 2x cos cos cos # " Z (1 − cos2 x cos x = t substituci cos x = t, takˇze I = = sin x dx = sin x dx = − dt cos2 x Z 1 − t2 dt = · · · . − t2


Z

tg2 x sin x dx =

Z

´ Uloha D.4.3. Vhodnou substituc´ı pˇreved’te cionáln´ı.

Z

tg2 x dx na integrál z funkce racos4 x

Z (− sin x)2 sin2 x sin2 x tg2 x dx = dx; plat´ ı , takˇze pouˇzijeme = cos4 x cos6 x cos6 x (− cos x)6 1 substituci tg x = t; pˇri u ´pravách pouˇz´ıváme ˇcasto vztah 1 + tg2 x = . cos2 x # " Z Z dx tg x = t = t2 (1 + t2 ) dt = · · · . = I = tg2 x 1 + tg2 x dx 2 = dt cos x cos2 x


Z

x Pˇri pouˇzit´ı univerzáln´ı substituce tg = t je tˇreba znát ˇci umˇet odvodit, 2 ˇcemu jsou rovny sin x, cos x, tg x, dx. 2 dt . Pˇrednˇe plat´ı x = 2 arctg t, odkud dx = 1 + t2 x x u mezi goniometrick´ ymi funkcemi plyne Ze vztahu sin x = 2 sin cos a vztah˚ 2 2 2t 1 − t2 2t sin x = , cos x = , tg x = . 2 2 1+t 1+t 1 − t2 Integrace souˇ cinu goniometrick´ ych funkc´ı Pouˇz´ıvá se vzorc˚ u 1 sin nx sin mx = [cos(n − m)x − cos(n + m)x, 2 1 sin nx cos mx = [sin(n − m)x + sin(n + m)x], 2 1 cos nx cos mx = [cos(n − m)x + cos(n + m)x], 2 141

sin2 x =

1 + cos 2x 1 − cos 2x , cos2 x = . 2 2

´ Uloha D.4.4. Vypoˇctˇete ˇ sen´ı. Reˇ C

Z

Z

sin 5x cos 4x dx.

sin 5x cos 4x dx =

1 2

Z

1 1 (sin x + sin 9x) dx = − cos x − cos 9x + 2 18

Integrace hyperbolick´ ych funkc´ı Postupujeme podle analogick´ ych vzorc˚ u jako pro funkce goniometrické. ´ Uloha D.4.5. Vypoˇctˇete

Z

ch2 x + 1 dx. ch4 x

Z Z 1 ch2 x + 1 dx 1+ 2 dx = = ch4 x ch x ch2 x " # Z 1 th x = t = 2 − t2 dt = 2t − t3 + C = 2 th x − dx = dt 3 ch2 x


D.5

Z

1 + 1 − th2 x

1 3 th x + C. 3

dx = ch2 x

Goniometrick´ e a hyperbolick´ e substituce

Pˇ rehled substituc´ı: Z √ (1) R x, a2 − x2 dx, substituce x = a sin t (nebo x = a th t), (2)

Z

R x,

(3)

Z

R x,

√

√

a2 + x2 dx, substituce x = a tg t (nebo x = a sh t),

x2 − a2 dx, substituce x =

´ Uloha D.5.1. Vypoˇctˇete I = ˇ sen´ı. I = Reˇ "

#

Z √

x+2=u = dx = du

D.6

x2

Z √

Z √

+ 4x dx =

a (nebo x = a ch t). cos t

x2 + 4x dx.

Z √

x2

+ 4x + 4 − 4 dx =

Z q

(x + 2)2 − 22 dx =

u2 − 22 du a dále se provede v´ yˇse uvedená substituce (3).

Uˇ zit´ı Eulerov´ ych vzorc˚ u pro v´ ypoˇ cet nˇ ekter´ ych integr´ al˚ u

Pro komplexn´ı funkci w(x) reálné promˇenné x se derivace a integrál definuj´ı stejnˇe jako pro reálné funkce s t´ım, ˇze imaginárn´ı jednotka a jako konZ i se chov´ 1 stanta. Je-li a 6= 0 komplexn´ı ˇc´ıslo, je napˇr. (eax )′ = a eax , eax dx = eax +C. a 142

Elementárn´ı funkce ez , cos z, sin z se definuj´ı i pro komplexn´ı promˇennou z; jejich vzájemn´ y vztah je vyjádˇren Eulerovými vzorci, podle nichˇz je cos x =

1 i e x + e−ix , 2

sin x =

1 ix e − e−ix . 2i

Tˇechto vzorc˚ u lze vyuˇz´ıt pro v´ ypoˇcet nˇekter´ ych integrál˚ u. ´ Uloha D.6.1. Vypoˇctˇete I =

Z

sin4 x dx.

1 Z 1 ix −ix 4 e −e dx = sin x dx = (2i)4 16 1 1 4ix 1 1 3 ··· = e − e−4ix − e2ix − e−2ix + x + C = 32 2i 4 2i 8 3 x + C. 8


Z

4

Z

´ Uloha D.6.2. Vypoˇctˇete (uˇzit´ım Eulerových vzorc˚ u) I =

1 1 sin 4x − sin 2x + 32 4

Z

ex cos x dx.

Z Z Z ˇ sen´ı. I = ex cos x dx = ex 1 eix + e−ix dx = 1 e(1+i)x + e(1−i)x dx = Reˇ 2 2 1 (1+i)x 1 x 1 (1−i)x 1 + C = · · · = e (cos x + sin x) + C. (Srovnej s e + e 2 1+i 1−i 2 v´ ysledkem dle vzorce pro Ic , viz 9.3.)

143

e4ix −4 e2ix +6 − 4 e−2ix + e−4ix dx =

Pˇ r´ıloha E Riemann˚ uv urˇ cit´ y integr´ al E.1

Dalˇ s´ı vlastnosti urˇ cit´ eho integr´ alu

Vˇ ety o stˇ redn´ı hodnotˇ e Vˇ eta E.1.1 (o stˇredn´ı hodnotˇe integráln´ıho poˇctu). Necht’ f ∈ R(ha, bi) a plat´ı m ≤ f (x) ≤ M . Pak existuje ˇc´ıslo µ ∈ hm, M i tak, ˇze Z

b

a

f (x) dx = µ(b − a).

Je-li f spojitá, pak existuje ˇc´ıslo ξ ∈ ha, bi tak, ˇze Z

b

a

f (x) dx = (b − a)f (ξ).

1 Zb f (x) dx b−a a oznaˇc´ıme µ. Je-li m, M minimum a maximum funkce f spojité na ha, bi, pak podle vˇety o mezihodnotˇe nab´ yvá f hodnoty µ ∈ hm, M i v nˇejakém bodu ξ ∈ ha, bi. Princip d˚ ukazu. Nerovnost m ≤ f (x) ≤ M integrujeme na ha, bi a v´ yraz

Vˇ eta E.1.2 (zobecnˇená vˇeta o stˇredn´ı hodnotˇe integráln´ıho poˇctu). Necht’ f, g ∈ R(ha, bi), g(x) ≥ 0, m ≤ f (x) ≤ M . Pak plat´ı m

Z

b

a

g(x) dx ≤

Z

b

a

f (x)g(x) dx ≤ M

Z

b

a

g(x) dx

a existuje ˇc´ıslo µ ∈ hm, M i tak, ˇze plat´ı Z

b

a

f (x)g(x) dx = µ

b

Z

a

g(x) dx.

Je-li f spojitá, pak existuje ˇc´ıslo ξ ∈ ha, bi tak, ˇze Z

b

a

Z

f (x)g(x) dx = f (ξ) 144

b

a

g(x) dx.

Integr´ al jako funkce horn´ı meze Je-li f ∈ R(ha, bi), pak pro kaˇzdé x ∈ ha, bi je f ∈ R(ha, xi) a ax f (t) dt = Φ(x) je integrál, kter´ y je funkc´ı své horn´ı meze x. Vzhledem k rozˇs´ıˇrené definici integrálu lze za doln´ı mez zvolit libovolné ˇc´ıslo c ∈ ha, bi. R

Vˇ eta E.1.3. Necht’ funkce f ∈ R(ha, bi), c ∈ ha, bi. Pak funkce Φ(x) =

Z

x

a

f (t) dt

je spojitá na ha, bi a v kaˇzdém bodˇe x0 ∈ ha, bi, v nˇemˇz je f spojitá, má Φ derivaci (v krajn´ıch bodech a, b jednostrannou), pro niˇz Φ′ (x0 ) = f (x0 ). Princip d˚ ukazu. Φ(x0 + h) − Φ(x0 ) =

Z

c

x0 +h

f (t) dt −

Z

x0

c

f (t) dt =

Z

x0 +h

x0

f (t) dt = µh,

kde µ ∈ hm, M i je stˇredn´ı hodnota, odkud plyne spojitost funkce Φ. Ve druhém pˇr´ıpadˇe se odvod´ı, ˇze ∀ε > 0 ∃U (x0 ) tak, ˇze ∀x ∈ U (x0 ) plat´ı (t je mezi x a x0 ): Φ(x) − Φ(x ) 1 0 − f (x 0 ) ≤ x − x0 |x − x0 |

Z

x

x0

|f (t) − f (x0 )| dt <

Z x 1 ε dt < · · · < ε. < |x − x0 | x0

D˚ usledky: (1) Kaˇzdá funkce f spojitá na ha, bi má na tomto intervalu primitivn´ı funkci Φ. (2) Kaˇzdá funkce omezená a po ˇcástech spojitá na ha, bi má na tomto intervalu zobecnˇenou primitivn´ı funkci; jednou z nich je funkce Φ (integrál jako funkce horn´ı meze).

145

Pˇ r´ıloha F Technick´ e kˇ rivky Dále uvád´ıme pˇr´ıklady technick´ ych kˇrivek, které se ˇcasto vyskytuj´ı ve v´ ypoˇctech s vyuˇzit´ım integrálu. Kuˇzeloseˇcky v tomto pˇrehledu neuvád´ıme.

ˇ ezovka Retˇ ˇ ezovku vytváˇr´ı nepruˇzná nit (ˇretˇez) zavˇeˇsená ve dvou bodech. Je to graf Retˇ funkce: x y = a ch , kde a > 0. a Plat´ı x ds = ch dx. a

Kot´ alnice Pˇri kotálen´ı kˇrivky h (tzv. tvoˇr´ıc´ı kˇrivky nebo hybné polodie) bez skluzu po pevné kˇrivce p (tzv. základn´ı kˇrivce nebo pevné polodii) op´ıˇse kaˇzd´ y bod roviny kˇrivku, kterou naz´ yváme kotálnice. D˚ uleˇzité jsou pˇr´ıpady, kdy hybná polodie je kruˇznice a pevná polodie pˇr´ımka nebo kruˇznice.

Cykloidy Jestliˇze se kruˇznice h o polomˇeru a kotál´ı po pˇr´ımce p, pak kaˇzd´ y (vnˇejˇs´ı, vnitˇrn´ı) bod kruˇznice h (vzdálen´ y o r od stˇredu kruˇznice h) pevnˇe spojen´ y s touto kruˇznic´ı vytváˇr´ı tzv. prostou (prodlouˇzenou, zkr´ acenou) cykloidu. Prost´ a cykloida Parametrické rovnice:

x = a(t − sin t),

y = a(1 − cos t); 146

prodlouˇzená cykloida prostá cykloida zkrácená cykloida

Obrázek F.1: Cykloidy jednu vˇetev dostaneme pro t ∈ h0, 2πi. Plat´ı t ds = 2a sin dt. 2 Prodlouˇ zen´ a (zkr´ acen´ a) cykloida Parametrické rovnice:

x = at − r sin t, y = a − r cos t.

Plat´ı ds =

√

a2 + r2 − 2ar cos t dt.

Epicykloidy a hypocykloidy Jestliˇze se kruˇznice h o polomˇeru a kotál´ı po vnˇejˇs´ım resp. vnitˇrn´ım obvodu kruˇznice p o polomˇeru A, pak kaˇzd´ y (vnˇejˇs´ı, vnitˇrn´ı) bod kruˇznice h (vzdálen´ y o r od stˇredu kruˇznice h) pevnˇe spojen´ y s touto kruˇznic´ı vytváˇr´ı tzv. prostou (prodlouˇzenou, zkr´ acenou) epicykloidu resp. hypocykloidu. Parametrické rovnice prosté epicykloidy (plat´ı horn´ı znaménko) a hypocykloidy (plat´ı doln´ı znaménko): A±a t, a A±a t. y = (A ± a) sin t − a sin a

x = (A ± a) cos t ∓ a cos

Asteroida Zvaná téˇz astroida patˇr´ı mezi kotálnice; asteroidu opisuje kaˇzd´ y bod kruˇznice a o polomˇeru , která se bez smyku kotál´ı zevnitˇr po kruˇznici o polomˇeru a. 4 a Je to tedy prostá hypocykloida, kde A = . 4

147

Parametrické rovnice: x = a cos3 t, y = a sin3 t,

t ∈ h0, 2πi.

Plat´ı ds = 3a sin t cos t dt.

Obrázek F.2: Kardioida a asteroida

Kardioida Patˇr´ı mezi kotálnice; kardioidu opisuje kaˇzd´ y bod kruˇznice o polomˇeru a, která se bez smyku kotál´ı vnˇe po kruˇznici o polomˇeru a. Je to tedy prostá epicykloida, kde A = a. Rovnice v polárn´ı soustavˇe: ρ = a(1 + cos ϕ), Plat´ı ds = 2 cos

ϕ ∈ h0, 2πi. ϕ dϕ. 2

Evolventa kruˇ znice Lze ji zaˇradit mezi kotálnice (kde h je pˇr´ımka a p je kruˇznice) i mezi spirály. Jako kaˇzdá evolventa kˇrivky vznikne tak, ˇze poˇc´ınaje poˇcáteˇcn´ım bodem nanáˇs´ıme na teˇcnu délku oblouku mezi poˇcáteˇcn´ım bodem a bodem dotyku teˇcny s kˇrivkou. (Evolventu kruˇznice tedy vytváˇr´ı konec napjaté niti odmotávané z kruhové c´ıvky.)

148

Parametrické rovnice: x = a(t sin t + cos t), y = a(sin t − t cos t). Plat´ı ds = at dt.

Archim´ edova spir´ ala Je to spirála s konstantn´ı ˇs´ıˇrkou jednotliv´ ych závit˚ u. Je vytvoˇrena rovnomˇern´ ym pohybem bodu po pr˚ uvodiˇci, kter´ y se rovnomˇernˇe otáˇc´ı kolem pólu. Rovnice v polárn´ı soustavˇe: r = aϕ. Plat´ı

q

ds = a 1 + ϕ2 dϕ.

Logaritmick´ a spir´ ala Rovnice v polárn´ı soustavˇe: ρ = a emϕ . Vyskytuje se napˇr. v kresbˇe ulit plˇz˚ u. Plat´ı √ ds = a 1 + m2 emϕ dϕ.

Lemnisk´ ata Je to mnoˇzina bod˚ u které maj´ı od dvou dan´ ych pevn´ ych bod˚ u stál´ y souˇcin vzdálenost´ı. Rovnice v polárn´ı soustavˇe: ρ2 = 2a2 cos 2ϕ. Délku nelze vyjádˇrit uˇzit´ım elementárn´ıch funkc´ı.

ˇ Sroubovice ˇ Je to pˇr´ıklad prostorové kˇrivky. Sroubovice leˇz´ı na válcové ploˇse x 2 + y 2 = a2 . Rozvinut´ım válcové plochy pˇrejde kaˇzd´ y závit ˇsroubovice v u ´seˇcku. 149

Obrázek F.3: Lemniskáta Parametrické rovnice: x = a cos t, y = a sin t, z = ct,

jeden závit pro t ∈ h0, 2πi.

Plat´ı ds =

√

a2 + c2 dt.

150

MA2AA. Matematika 2

Recommend Documents