M58 Když je peněz nadbytek (pracovní list - učitel)

M58 Když je peněz nadbytek (pracovní list - učitel)

Autor: Mgr. Jiří Kadlec

Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy

Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika, základy společenských věd, ekonomie

Ročník: 3. - 6. (1. - 4. ročník vyššího gymnázia)

Tématický celek: Finanční gramotnost

Anotace: Student se seznámí s investičními produkty a dozví se, na co si dát při investování pozor.

Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech ‒ inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ.2.17/3.1.00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.

Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti

M58 Když je peněz nadbytek UČITEL - 1

M58 Když je peněz nadbytek - OBSAH Úvod Investiční trojúhelník Spořící a investiční produkty Stavební spoření Spořicí účet Termínovaný vklad Vkladní knížka Penzijní připojištění Úrok (základní pojmy) Jednoduché úročení Složené úročení Efektivní úroková míra Dlouhodobé spoření Splátka a důchod Výše úvěru a úspor Použité zdroje - literatura, internet, multimédia

Metodický pokyn pro práci s pracovním listem Veškeré matematické operace a vzorce, které jsou použity při řešení příkladů v tomto pracovním listu, je možno nalézt, včetně příslušné teorie, v samostatné publikaci Kadlec - Finanční matematika (jednotlivé kapitoly jsou k dispozici na níže uvedené internetové stránce Finanční gramotnost na GJN) nebo v titulu č. 19 Radová, Dvořák, Málek - Finanční matematika pro každého ze seznamu literatury. Pracovní listy je možno využít při výuce na hodinách matematiky a v předmětech, v nichž se vyučuje ekonomická tématika. Dále jich mohou využít studenti a ostatní zájemci o příslušnou problematiku k samostatné přípravě a procvičování daného tématu. Aktualizované verze pracovních listů a chystaná rozšíření o řešené příklady a ilustrační úlohy je možno také nalézt na internetové stránce

Finanční gramotnost na GJN

http://fig.gjn.cz



Úvod Snahou každé hospodařící jednotky, ať už člověka, domácnosti nebo velké společnosti, je takové počínání, které vede k přebytkovému rozpočtu. To znamená, že příjmy převyšují výdaje. Co však s penězi, které nám každý měsíc zbydou? Pokud bychom je ukládali jenom do šuplíku nebo na bankovní účty se zhodnocením nižším, než je míra inflace, ztrácely by naše úspory na hodnotě. Inflace je všeobecné zvyšování cenové hladiny v čase. O inflaci pojednává samostatný pracovní list M59 „Inflace a deflace“. Co tedy s penězi navíc? Musíme je investovat! Jak se však můžeme stát investory, když jsme celým školským systémem vychováváni jako budoucí zaměstnanci? A navíc, člověk, který hledá existenční jistotu, není ochoten riskovat. A investice jsou přece spojeny s rizikem, nebo ne? Problematika bezpečnosti investic přesahuje rámec tohoto pracovního listu. Zájemce odkazuji na doporučenou literaturu. Dále bych rád upozornil na strategickou simulační hru „Finanční svoboda“, kterou pravidelně hrajeme na Gymnáziu Jana Nerudy formou Game Session. Hráči získají třicet let finančních zkušeností v průběhu jedné herní hodiny a následné diskuse s moderátorem hry. Více na facebooku nebo na „www.financnisvoboda.cz“. Nestačilo by prostě spořit? Spoření, neboli odkládání volných finančních prostředků na pozdější použití, je rozhodně lepší, než je nepromyšleně utratit za věci či požitky. Spoření samo o sobě však nemusí ani uchovat reálnou hodnotu peněz. Od investice naopak očekáváme růst reálné hodnoty finančních prostředků v čase.

Tři investiční preference Finanční rozhodování patří k velmi důležitým procesům, jejichž podstatu je možno charakterizovat pomocí následujících tří investičních preferencí: • • •

Každý investor preferuje více peněz než méně. Každý investor preferuje méně rizika než více. Každý investor preferuje stejné množství peněz dnes spíše než zítra.

Třetí z uvedených možností je spojena s problematikou časové hodnoty peněz. To je finanční metoda, která slouží k porovnání dvou či více peněžních částek v různých časových obdobích. Důležitými finančními pojmy této metody jsou úroková míra a úrok.



Investiční trojúhelník

Výnos

Investiční trojúhelník

Bezpečnost

• • •

Likvidita

Výnos - chceme co nejvíce vydělat Bezpečnost - chceme mít „jistotu“, že neproděláme Likvidita - chceme mít své finanční prostředky rychle dostupné

Tato tři hlediska jdou proti sobě a nelze je v praxi současně splnit. Nelze mít vysoký výnos s vysokou mírou bezpečnosti a ještě navíc mít investované prostředky v případě potřeby rychle k dispozici. Je tedy na nás, jakou investiční strategii zvolíme. K zjištění, jakým jsme typem investora v závislosti na investičním horizontu, míře, s jakou snášíme riziko apod. nám mohou pomoci dotazníky investičních společností. Na základě tohoto zjištění pak volíme příslušný investiční produkt.



Spořicí a investiční produkty Stavební spoření Stavební spoření je účelový druh spoření, při kterém vkladatel dlouhodobě ukládá prostředky u specializované banky za účelem zajištění úspor primárně pro účely bydlení. Po určité době po splnění dalších podmínek získává nárok na úvěr ze stavebního spoření. Jedná se tedy o kombinaci spoření a účelového úvěru na bydlení. V první fázi klient stavební spořitelny pouze spoří. K jeho vkladům je obvykle připisována tzv. státní podpora (roční příspěvek státu, jehož výše se odvíjí od výše pravidelně vkládaných peněz) a vklady jsou spolu s ní úročeny pevně stanovenou úrokovou sazbou. Díky tomu bývá stavební spoření mnohými občany využíváno pouze ke spořícím účelům. Jedná se totiž o výhodnou kombinaci bezpečného vkladu (minimální investiční riziko díky přísným podmínkám, jež musí stavební spořitelny splnit a omezením jejich investičních aktivit, kterých se musí držet) a relativně vysokého zhodnocení (díky státní podpoře). Úvěr ze stavebního spoření Pro poskytnutí řádného úvěru ze stavebního spoření musí klient splnit určité podmínky. Hlavními jsou především: • • •

čekací lhůta (v řádech let) naspoření určitého procenta cílové částky prokázat účelovost poskytnutých prostředků (např. koupě bytu, rekonstrukce koupelny…)

Klient tedy musí nejprve spořit a až po určité době mu je přidělen úvěr, jenž potom postupně splácí. Za vypůjčení peněz si spořitelna samozřejmě účtuje úrok (daný úrokovou sazbou). Cílová částka Při sjednávání stavebního spoření si klient volí tzv. cílovou částku. Tato cílová částka je součet naspořených a vypůjčených peněz, jedná se tedy o celkovou částku, kterou bude mít klient k dispozici. Příklad: Úvěr ze stavebního spoření Viktor chce rekonstruovat dům (= účel) a potřebuje na to 500 000 Kč (= cílová částka). Založí si tedy stavební spoření a po dvou letech (= čekací lhůta) má naspořeno 250 000 Kč (= 50 % cílové částky). Jelikož splňuje všechny podmínky dané stavební spořitelnou i zákonem, může zažádat o úvěr ze stavebního spoření. Spořitelna mu přidělí úvěr ve výši 250 000 Kč. (Konec příkladu) Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti


Překlenovací úvěr ze stavebního spoření Chceme-li financovat naše potřeby bydlení ihned, nebo je-li výše naší cílové částky velká a pro přidělení úvěru bychom museli spořit velmi dlouho, využijeme tzv. překlenovací úvěr. Jak už jeho název napovídá, tento úvěr slouží k překlenutí doby, kdy spořitelna může klientovi poskytnout řádný úvěr ze stavebního spoření. Jak funguje překlenovací úvěr? Klient si uzavře stavební spoření. Stavební spořitelna mu (po doložení účelovosti a splnění dalších běžných úvěrových podmínek) ihned poskytne překlenovací úvěr ve výši cílové částky. Klient z něj splácí pouze úroky (nesplácí jistinu = vypůjčené peníze) a pokračuje dále ve stavebním spoření. Po dosažení podmínek pro přidělení řádného úvěru se překlenovací úvěr změní v úvěr řádný, klient už neplatí pouze úroky, ale postupně také začíná splácet jistinu úvěru. Při změně překlenovacího úvěru v úvěr řádný může (ale nemusí) dojít ke změně úrokové sazby. Překlenovací úvěry vznikly jako konkurence hypotečním úvěrům a pokud se rozhodujeme mezi hypotečním úvěrem a úvěrem překlenovacím, měli bychom vzít v potaz nejen úrokové sazby, ale i celkové náklady na tyto úvěry, nechat si spočítat, kolik peněz ve skutečnosti za úvěr zaplatíme, zvážit všechny podmínky a až poté se rozhodnout.

Spořicí účet Spořicí účet je dobrým kompromisem mezi běžným účtem a termínovaným vkladem. Je úročen vyšší úrokovou sazbou než běžný účet a zároveň je možné mít prostředky na něm uložené rychle k dispozici. Určitou nevýhodou spořicího účtu je nedostatečná ochrana uložených peněz „před námi samými“. Při nedostatečné osobní finanční disciplíně toho na dobře likvidním spořícím produktu moc nenašetříme.

Termínovaný vklad Termínovaný vklad je poměrně výhodně úročený spořící produkt, pokud bezpečně víte, že prostředky na něm uložené nebudete po dobu výpovědní lhůty potřebovat. Platí, že čím delší je výpovědní lhůta a vyšší objem peněz, tím vyšší je výnos. Pozor na automaticky se obnovující (revolvingové) vklady. U těchto vkladů je možno peněžní prostředky vybírat pouze v den, kdy skončí doba, na kterou byl vklad uložen. Vklady bez automatického obnovování lze vybírat kdykoli po skončení této doby. V případě předčasného výběru si banka účtuje sankční poplatky. V konečném důsledku přijdeme o většinu úroků a u některých bank můžeme dokonce ztratit i část vložené částky. Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti


Vkladní knížka Vkladní knížka je dalším, především v minulosti oblíbeným a často jediným spořícím nástrojem. Klient neuzavírá s bankou smlouvu, jako v případě účtů, ale banka mu vydává vkladní knížku „na jméno“. Dřívější vkladní knížky „na doručitele“ byly novou legislativou zrušeny. Vkladní knížky mohou být s výpovědní lhůtou, kdy jsou v podstatě alternativou k termínovanému vkladu (na začátku peníze vložíte a na konci výpovědní lhůty je vyberete). Tento typ vkladních knížek nejčastěji funguje podobně jako revolvingový (automaticky se obnovující) termínovaný vklad. Podobně se nastavuje úročení a stejně je tomu s předčasnými výběry - podléhají relativně vysokým sankcím. Nejvýznamnější skupinu ale tvoří vkladní knížky bez výpovědní lhůty, kdy můžeme libovolně vybírat prostředky bez omezení až do výše zůstatku.

Penzijní připojištění Penzijní připojištění znamená, že si pravidelně, po dobu, kdy patříme mezi tzv. ekonomicky aktivní část obyvatelstva, tzn. že pracujeme a dostáváme mzdu nebo vyděláváme jako osoba podnikající s čistým ziskem (po zaplacení všech povinných odpočtů, jimiž jsou zdravotní pojištění, důchodové pojištění, pojištění zaměstnanosti, daň z příjmu a popř. nemocenské pojištění) vyšším, než jsou běžné výdaje, spoříme na dobu, kdy již nebudeme ekonomicky aktivní a odejdeme tzv. do důchodu. Penzijní připojištění podporuje stát tzv. státním příspěvkem, jehož výše je odvozena od výše našeho měsíčního vkladu (při námi měsíčně spořené částce 1 000 Kč činí výše státního příspěvku 230 Kč). Dále nám na penzijní připojištění může přispívat náš zaměstnavatel. Nárok na výplatu penze z penzijního připojištění vzniká po dožití věku 60 let a při minimální době spoření 5 let (60 příspěvkových měsíců). Při předčasném ukončení penzijního připojištění je klientovi vyplaceno tzv. odbytné, což je úhrn zaplacených prostředků včetně příspěvků zaměstnavatele a zdaněný podíl na výnosech hospodaření penzijního fondu. O státní příspěvky a jejich zhodnocení penzijním fondem přijdeme. Musíme také dodanit slevu na dani, pokud jsme ji jako účastníci penzijního připojištění uplatňovali. V případě, že účastník nestojí o pravidelné vyplácení penze, může zvolit formu tzv. jednorázového vyrovnání, které se skládá z příspěvků zaplacených účastníkem, z příspěvků třetích stran, státních příspěvků a podílů na výnosech hospodaření fondu (výnosů z vkladů, dá se říct úroků).



Základní pojmy Úrok je finančně vyjádřená odměna za dočasné poskytnutí kapitálu někomu jinému. Věřitel (ten, kdo půjčil) získává tedy úrok za to, že dočasně poskytl své peníze někomu jinému. Z pohledu dlužníka (toho, kdo si půjčil) je úrok cena, kterou platí za získání úvěru. Když si naopak ukládáte peníze vy (např. v bance), je úrok odměna pro vás. Tato odměna je obvykle zdaněna 15 % daní z úroků.

Velikost úroku je odvozena od rizik spojených s dočasnou ztrátou kapitálu, a těmi jsou: • •

změny hodnoty tohoto kapitálu v čase vlivem inflace nejistota, zda bude půjčený kapitál v dané lhůtě a výši splacen

Úroková míra (úroková sazba) je procentní hodnota podílu úroku k hodnotě půjčeného kapitálu. Úroková míra se vždy vztahuje k témuž období, ke kterému se vztahuje úrok.

Úroková míra (sazba) může být: • • • • • •

roční p.a. (per annum) pololetní p.s. (per semestrum) čtvrtletní p.q. (per quartale) měsíční p.m. (per mensem) denní p.d. (per diem) dále např. hodinová, minutová, sekundová a spojitá úroková sazba

Příklad: Výpočet úrokové sazby (jednoduché úročení) Půjčili jsme si 10 000 Kč na 1 rok, věřitel chce úrok 1 000 Kč. Kolik činí úroková sazba? Řešení: Podíl úroku k hodnotě půjčeného kapitálu je ଵ ଴଴଴

ଵ଴ ଴଴଴

= 0,1

vyjádřeno v procentech 0,1 ∗ 100 = 10 % p.a. (roční) Odpověď: Úroková sazba činí 10 % p.a.. (Konec příkladu)



Úrokové období je doba, za kterou se pravidelně připisují úroky. V případě úvěru se jedná o dobu, ke které se úroky vztahují. V souvislosti s úrokovým obdobím někdy také hovoříme o četnosti připisování úroků neboli frekvenční úročení. Doba splatnosti (úroková doba, doba existence smluvního vztahu) je doba, po kterou je peněžní částka (kapitál) uložena či zapůjčena, tedy doba, za kterou se počítá úrok.

Nominální úroková míra (sazba) je úroková míra sjednaná mezi vypůjčovatelem a poskytovatelem kapitálu. Je uvedena v úvěrové smlouvě. Nejdůležitějšími znaky nominální úrokové míry jsou: • délka časového období, za které je poměřována • četnost skládání úroků

Reálná úroková míra (sazba) určuje skutečné zhodnocení uloženého kapitálu (tj. přírůstek kupní síly vkladatele v důsledku odložení spotřeby na pozdější dobu) s ohledem na inflaci. (Inflace = snížení kupní síly peněz z důvodu nárůstu všeobecné cenové hladiny.) POZOR (!) • U spořicích i úvěrových produktů je nutno pozorně sledovat, k jakému období se vztahuje uváděná úroková sazba. Proč? • Některé (nejčastěji nebankovní) společnosti uvádějí u svých půjček úrok, který se sice zdá poměrně nízký, ale je například měsíční. Vynásobíme-li jej dvanácti, získáme teprve roční (p.a.) hodnotu úroku. A ta může být hodně vysoká. NEZNALOST NEOMLOUVÁ (!) • V případě podpisu smlouvy o půjčce, kde je stanovena sazba 5 % p.m., budete muset zaplatit úroky ve výši 5 % měsíčně, což je 60 % ročně! • Rovněž není výjimečné, že u spořicího produktu je uváděn velmi zajímavý a vysoký úrok. Při bližším pohledu však zjistíme, že se jedná o úrok za celé období. Po vydělení danými roky, kdy se dostáváme na požadované roční (p.a.) zhodnocení našeho vkladu, jde často o nezajímavou nízkou částku. • Při ukládání peněz na termínovaný vklad na rok a více je rovněž vhodné se podívat, jak se úroky připisují. Připisují-li se např. měsíčně, je to výhodnější než čtvrtletně, pololetně či ročně, neboť takto připsané úroky se dále úročí - viz dále efektivní úroková míra. Poznámka: ௣ Úroková sazba i vyjádřená desetinným číslem ݅ = ଵ଴଴ vyjadřuje úrok z 1 Kč za jedno úrokové období.



Typy nominální úrokové míry (příklad): • • • • •

roční (p.a.) nominální úroková míra (údaj 3 % p.a. znamená, že z každé stokoruny dostaneme na konci každého roku úrok 3 Kč) pololetní (p.s.) nominální úroková míra (údaj 3 % p.a. znamená, že z každé stokoruny dostaneme na konci každého pololetí úrok 3 Kč) čtvrtletní (p.s.) nominální úroková míra (údaj 3 % p.a. znamená, že z každé stokoruny dostaneme na konci každého čtvrtletí úrok 3 Kč) měsíční (p.m.) nominální úroková míra (údaj 3 % p.a. znamená, že z každé stokoruny dostaneme na konci každého měsíce úrok 3 Kč) denní (p.d.) nominální úroková míra (údaj 3 % p.a. znamená, že z každé stokoruny dostaneme na konci každého dne úrok 3 Kč)

Platí, že roční nominální úroková míra: = 2 x pololetní nominální úroková míra = 4 x čtvrtletní nominální úroková míra = 12 x měsíční nominální úroková míra = 365 (366) x denní nominální úroková míra

Počet dnů t se stanovuje podle následujících kódů: • • •

ACT - započítává se skutečný počet dnů smluvního vztahu a obvykle se neuvažuje první den 30E - celé měsíce se započítávají bez ohledu na skutečný počet dnů jako 30 dnů 30A - liší se od 30E maximálně o jeden den, který je započten pouze v případě, že konec smluvního vztahu připadne na 31. den v měsíci a současně začátek smluvního vztahu není 30. nebo 31. den v měsíci

Délka roku bývá uvedena: • •

rok jako 365 (resp. 366) dnů rok jako 360 dnů

Standardy pro stanovení doby splatnosti v letech: • •

•

standard ACT/365 (anglická metoda) je založen na skutečném počtu dnů úrokového období (čitatel) a délce roku (jmenovatel) 365 (resp. 366) dnů standard ACT/360 (francouzská či mezinárodní metoda) je založen opět na skutečném počtu dnů v čitateli zlomku, ale délka roku (ve jmenovateli) se započítává jako 360 dnů standard 30E/360 (německá či obchodní metoda) je založen na kombinaci započítávání celých měsíců jako 30 dnů (v čitateli) a délky roku (ve jmenovateli) jako 360 dnů

V dále uváděných příkladech budeme nejčastěji využívat, zejména pro jednoduchost, standard 30E/360. Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti


Existují dva typy úročení: •

Jednoduché úročení - úroky se počítají ze stále stejné, na počátku vložené častky. Vyplácené (připisované) úroky se tedy k původnímu kapitálu nepřičítají a dále se neúročí.

Příklad: Jednoduché úročení 50 000 Kč do banky na 3 roky, úroková sazba 5 % p.a., jednoduché úročení. Úrokové období (rok)

1 2 3

Vklad na začátku úrokového období 50 000 50 000 50 000

Úrok připsaný na konci úrokového období 2 500 2 500 2 500

Výše vkladu na konci úrokového období 52 500 55 000 57 500

Výnos

2 500 5 000 7 500 (Konec příkladu)

•

Složené úročení - úroky se postupně připisují k základní vložené částce, ta se o tyto úroky navýší a úroky se v dalším úrokovém období počítají z této, o připsaný úrok zvýšené, částky. Říkáme, že při složeném úročení se počítají úroky z úroků.

Příklad: Složené úročení 50 000 Kč do banky na 3 roky, úroková sazba 5 % p.a., složené úročení. Úrokové období (rok)

1 2 3

Vklad na začátku úrokového období 50 000 52 500 55 125

Úrok připsaný na konci úrokového období 2 500 2 625 2 756

Výše vkladu na konci úrokového období 52 500 55 125 57 881

Výnos

2 500 5 125 7 881 (Konec příkladu)

Z ukázkových příkladů vyplývá, že díky složenému úročení nám banka na úrocích vyplatí o 381 Kč více než v případě jednoduchého úročení (7 881 - 7 500 = 381). Rozdíl je způsoben efektem úroky z úroků. Evropský sociální fond Praha a EU – Investujeme do vaší budoucnosti


Jednoduché úročení Hlavním znakem jednoduchého úročení je způsob připisování úroků - úroky jsou sice na konci každého úrokového období připisovány, ale dále se neúročí. Prakticky si můžeme jednoduché úročení představit tak, že na jednom účtu vedeme jistinu (vložený kapitál) a na jiném účtu úroky, přičemž úroky nepřevádíme na účet jistiny. A úroky počítáme ze stále stejného základu - z jistiny. Při dalších úvahách budeme mít na mysli tzv. polhůtní úročení, kdy jsou úroky z vložené (půjčené) částky počítány po uplynutí úrokového období, ke kterému se vztahují.

Základní rovnice pro jednoduché úročení --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Úrok u z kapitálu K0 při úrokové sazbě p po n úrokových obdobích při jednoduchém úročení:

‫ܭ = ݑ‬଴ ∗ ݅ ∗ ݊, kde ݅ =

௣

Rovnice J-UR

ଵ଴଴

u ... úrok K0 ... počáteční kapitál ௣ i ... úroková sazba (interest rate), cena peněz vyjádřená desetinným číslem; ݅ = ଵ଴଴ n ... počet úrokových období p ... úroková sazba za jedno úrokové období --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Příklad: Výpočet úroku po n úrokových obdobích při jednoduchém úročení Půjčka 100 000 Kč, úroková sazba p = 15 % p.a. Kolik bude činit úrok za 5 let? Řešení:

‫ܭ = ݑ‬଴ ∗ ݅ ∗ ݊, kde ݅ =

௣

ଵ଴଴

=

ଵହ

ଵ଴଴

= 0,15; ݊ = 5

‫ = ݑ‬100 000 ∗ 0,15 ∗ 5 = 75 000 Kč Odpověď: Úrok za 5 let bude činit 75 000 Kč. (Konec příkladu)



Složené úročení Při složeném úročení jsou úroky na konci úrokového období připisovány k původnímu kapitálu (peněžní jistině) a dále se úročí. V následujícím úrokovém období se jako základ pro výpočet úroku bere již hodnota kapitálu zvýšená o tento úrok. Úročí se tedy již zúročený kapitál. Při dalších úvahách budeme mít na mysli pouze polhůtní úročení, kdy jsou úroky z vložené (půjčené) částky počítány po uplynutí úrokového období, ke kterému se vztahují.

Základní rovnice pro složené úročení Budoucí hodnota Kn počátečního kapitálu K0 po n úrokových obdobích při složeném úročení (vzrůst hodnoty):

‫ܭ‬௡ = ‫ܭ‬଴ ∗ ሺ1 + ݅ሻ௡ Kn K0 i n p

... ... ... ... ...

Rovnice ZHODNOCOVÁNÍ (Tab. 8)

budoucí hodnota kapitálu K0 po n úrokových obdobích současná hodnota neboli počáteční (základní) kapitál ௣ úroková sazba (interest rate), cena peněz vyjádřená desetinným číslem; ݅ = ଵ଴଴ počet úrokových období procentní zhodnocení (úroková sazba) za jedno úrokové období

Příklad: Budoucí hodnota kapitálu při ročním připisování úroků (složené úročení) Uložili jsme částku 120 000 Kč. Jaká bude výše kapitálu za 5 let při složeném úročení, jestliže úrokové období je roční a úroková sazba činí 1,5 % p.a.? Řešení: ݅ = 0,015 ݊=5

‫ܭ‬௡ = ‫ܭ‬଴ ∗ ሺ1 + ݅ሻ௡ = 120 000 ∗ 1,015ହ 1,0772840039 =129 274,08 Kč Tabulky anuit č. 8 ZHODNOCOVÁNÍ .. průměr 1 % a 2 % na řádku 5 [let] .. 1,077545 1,077545 ∗ 120 000 =129 305,40 Kč

ଵ,଴ହଵ଴ଵାଵ,ଵ଴ସ଴଼ ଶ

=

Odpověď: Za 5 let bude výše kapitálu přibližně 129 300 Kč. (Konec příkladu)



V praxi se často setkáme s případy, kdy úrokové období je kratší než jeden rok. Hovoříme pak o tzv. področním úročení. Připisování úroků probíhá tedy častěji než jedenkrát ročně (např. pololetně, čtvrtletně, měsíčně, denně). Tím zobecníme předchozí úvahy a rovnici S-BH. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Budoucí hodnota Kn počátečního kapitálu K0 po n letech při složeném úročení při področním úročení: ௠∗௡

௜

‫ܭ‬௡ = ‫ܭ‬଴ ∗ ቀ1 + ቁ ௠

, kde ݅ =

௣

Rovnice S-P-BH

ଵ଴଴

budoucí hodnota kapitálu K0 po n letech současná hodnota neboli počáteční (základní) kapitál ௣ roční úroková sazba (interest rate) vyjádřená desetinným číslem; ݅ = ଵ଴଴ frekvence úročení (kolikrát jsou úroky připisovány do roka); jsou-li úroky připisovány vícekrát do roka (m > 1), hovoříme o tzv. področním úročení n ... počet let p ... roční procentní zhodnocení (úroková sazba) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Kn K0 i m

... ... ... ...

Příklad: Budoucí hodnota kapitálu při pololetním připisování úroků (složené úročení) Uložili jsme částku 120 000 Kč. Jaká bude výše kapitálu za 5 let při složeném úročení, jestliže úrokové období je pololetní a roční úroková sazba činí 1,5 % p.a.? Řešení: ݅ = 0,015 ݉ = 2 ሺúroky jsou připisovány pololetněሻ ݊ = 5 ሺdoba uložení je 5 letሻ ௜

௠∗௡

‫ܭ‬௡ = ‫ܭ‬଴ ∗ ቀ1 + ቁ ௠

= 120 000 ∗ ቀ1 +

଴,଴ଵହ ଶ∗ହ ଶ

ቁ

= 129 309,91 Kč

Odpověď: Za 5 let bude výše kapitálu 129 309,91 Kč. (Konec příkladu)



Úroková intenzita a spojité úročení Úroková intenzita odpovídá takové úrokové míře, kdy počet úrokových období ࢓ se blíží k nekonečnu ݉ → ∞ (úročí se v každém okamžiku). Délka úrokového období ࢚ se se blíží k nule ‫ → ݐ‬0.

Úroková intenzita je maximální možná výnosnost při dané úrokové míře ݅. Na stejném principu je založeno tzv. spojité úročení. Praktický význam spojitého úročení spočívá hlavně v oblasti ohodnocení cenných papírů a kapitálových investic pomocí matematických modelů. --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Budoucí hodnota Kn počátečního kapitálu K0 po n letech při spojitém úročení:

‫ܭ‬௡ = ‫ܭ‬଴ ∗ ݁ ௜∗௡ , kde ݅ =

௣

ଵ଴଴

Rovnice S-SU-BH

Kn ... budoucí hodnota kapitálu K0 po n letech K0 ... současná hodnota neboli počáteční (základní) kapitál e ... Eulerovo číslo, neboli základ přirozených logaritmů; e = 2,718... ௣ i ... roční úroková sazba (interest rate) vyjádřená desetinným číslem; ݅ = ଵ଴଴ n ... počet let p ... roční procentní zhodnocení (úroková sazba) ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Příklad: Budoucí hodnota akcie při spojitém úročení Akcie má kurz 4 500 Kč. Jaký bude její kurz za 7 let, předpokládáme-li, že roční průměrná míra růstu jejího kurzu bude odpovídat úrokové intenzitě 8 % p.a.? Řešení: ‫ܭ‬௡ = ‫ܭ‬଴ ∗ ݁ ௜∗௡ = 4 500 ∗ ݁ ଴,଴଼∗଻ = 4 500 ∗ 1,7506725003 = 7 878,026251 =ሶ 7 878 Kč Odpověď: Kurz akcie za 7 let by měl být přibližně 7 878 Kč. (Konec příkladu)



Při výpočtech jsme dosud pro zjednodušení nebrali v úvahu srážkovou daň z úroků 15 %. Pokud bychom ji do výpočtu chtěli zahrnout, upravíme předchozí rovnici S-P-BH takto: --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Budoucí hodnota Kn počátečního kapitálu K0 po n letech při složeném úročení při področním úročení a danění úroků srážkovou daní 15 %:

‫ܭ‬௡ = ‫ܭ‬଴ ∗ ቀ1 + Kn ... K0 ... i ...

௜ሺଵିௗሻ ௠∗௡ ௠

ቁ

, kde ݅ =

௣

Rovnice S-P-D-BH

ଵ଴଴

budoucí hodnota kapitálu K0 po n letech současná hodnota neboli počáteční (základní) kapitál ௣ roční úroková sazba (interest rate) vyjádřená desetinným číslem; ݅ = ଵ଴଴ ଵହ

srážková daň z úroků (15 %) vyjádřená desetinným číslem; ݀ = ଵ଴଴ = 0,15 frekvence úročení (kolikrát jsou úroky připisovány do roka); jsou-li úroky připisovány vícekrát do roka (m > 1), hovoříme o tzv. področním úročení n ... počet let p ... roční procentní zhodnocení (úroková sazba) --------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------d ... m ...

Příklad: Budoucí hodnota kapitálu při pololetním připisování úroků při započítání srážkové daně z úroků (složené úročení) Na tříletý termínovaný vklad jsme uložili 10 000 Kč. Úroky jsou připisovány pololetně. Kolik budeme moci vybrat za 3 roky, jestliže úroková sazba na tento vklad je 4 % p.a. a daň z úroků je 15 %? Řešení: ݅ = 0,04 ݉ = 2 ሺúroky jsou připisovány pololetněሻ ; ݊ = 3 ሺdoba uložení jsou 3 rokyሻ ݀ = 0,15

‫ܭ‬௡ = ‫ܭ‬଴ ∗ ቀ1 +

௜∗ሺଵିௗሻ ௠∗௡ ௠

ቁ

= 10 000 ∗ ቀ1 +

଴,଴ସ∗଴,଼ହ ଶ∗ଷ ଶ

ቁ

= 11 064,35 Kč

Odpověď: Za 3 roky při pololetním připisování úroků si budeme moci vybrat 11 064,35 Kč. (Konec příkladu)



--------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Současná hodnota K0 neboli základní kapitál. Současnou hodnotu K0 při složeném úročení získáme vyjádřením z rovnice S-BH: ௄

೙ ‫ܭ‬଴ = ሺଵା௜ሻ , kde ݅ = ೙

௣

ଵ଴଴

Rovnice S-SH

K0 ... současná hodnota neboli počáteční (základní) kapitál Kn ... budoucí hodnota kapitálu K0 po n úrokových obdobích ௣ i ... úroková sazba (interest rate), cena peněz vyjádřená desetinným číslem; ݅ = ଵ଴଴ n ... počet úrokových období p ... úroková sazba za jedno úrokové období ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Počáteční kapitál K0 představuje současnou hodnotu budoucího kapitálu Kn. Současná hodnota kapitálu nám říká, jak velký kapitál musíme dnes uložit, abychom po čase n při úrokové sazbě i a za předpokladu reinvestování (kapitalizace) úroků, tj. při složeném úročení, dosáhli hodnoty kapitálu Kn.

Velký význam současné hodnoty tkví v tom, že nám umožňuje navzájem porovnat peněžní částky v čase. Nesmíme totiž zapomenout, že obnos získaný dnes má pro nás větší cenu než tentýž obnos získaný za n let. Čím dříve máme kapitál, tím dříve jej můžeme investovat a tím dříve nám přináší i úroky.

Příklad: Současná hodnota budoucího kapitálu (složené úročení) Kolik musíme uložit na termínovaný vklad, abychom na konci pátého roku měli naspořeno 10 000 Kč při složeném úročení roční úrokovou sazbou 15 % p.m.? Řešení: ݊ = 5; ‫ܭ‬௡ = 10 000; ݅ = 0,15 ௄

ଵ଴ ଴଴଴

೙ ‫ܭ‬଴ = ሺଵା௜ሻ = ሺଵା଴,ଵହሻఱ = 4 971,77 Kč ೙

Odpověď: Musíme uložit 4 971,77 Kč. (Konec příkladu)



Efektivní úroková míra Dosud jsme pracovali s nominálními úrokovými měrami. Při stejné nominální úrokové míře je pro střadatele výhodnější, připisují-li se úroky vícekrát ročně, protože se opět zúročují.

Efektivní úroková míra ࢏ࢋ je roční úroková sazba, která dává za rok při ročním úrokovém

období stejnou budoucí hodnotu jako roční úroková sazba ݅ s kratším úrokovým obdobím (pololetním, čtvrtletním, měsíčním, denním) a tím i častějším připisováním úroků.

Efektivní úroková míra nám umožňuje porovnat různé úrokové míry za stejné časové období, avšak s různou četností připisování úroků. Můžeme ji tak použít například pro porovnání výhodnosti uložení kapitálu u různých bank. Vzhledem k tomu, že výše kapitálu má být na konci roku při obou způsobech úročení stejná, musí pro efektivní úrokovou sazbu platit: výše kapitálu na konci roku při jednorázovém připsání úroku na konci roku roční úrokovou mírou ࢏ࢋ

‫ܭ‬଴ ∗ ሺ1 + ݅௘ ሻ K0 ... ie ... i ... p ... m ...

=

=

výše kapitálu na konci roku při vícenásobném (݉ − krát) připisování úroků během roku roční úrokovou mírou ࢏

݅ ௠ ‫ܭ‬଴ ∗ ൬1 + ൰ ݉

počáteční kapitál ௣ efektivní úroková míra vyjádřená desetinným číslem; ݅௘ = ଵ଴଴ ௣

roční úroková sazba vyjádřená desetinným číslem; ݅ = ଵ଴଴ roční úroková sazba frekvence úročení (kolikrát jsou úroky připisovány do roka)

Efektivní úroková míra ࢏ࢋ se vyjádří z předchozí rovnice: ௜

௠

݅௘ = ቀ1 + ቁ − 1 resp. pro spojité úročení ݅௘ = ݁ ௜ − 1 ௠ ie

...

i e p m

... ... ... ...

Rovnice EUM ௣

efektivní úroková míra vyjádřená desetinným číslem; ݅௘ = ଵ଴଴ ௣

roční úroková sazba vyjádřená desetinným číslem; ݅ = ଵ଴଴ Eulerovo číslo, neboli základ přirozených logaritmů; e = 2,718... roční úroková sazba frekvence úročení (kolikrát jsou úroky připisovány do roka)



Příklad: Výpočet efektivní úrokové míry Najděte efektivní úrokovou míru, která odpovídá roční úrokové míře 4 % p.a., jsou-li úroky připisovány: a) pololetně, b) čtvrtletně, c) měsíčně. Řešení:

௜

௠

Do rovnice ݅௘ = ቀ1 + ௠ቁ − 1 dosadíme a vypočteme: Varianta

Dosadíme

Výpočet

a) b) c)

m = 2, i = 0,04 m = 4, i = 0,04 m = 12, i = 0,04

ie = 1,022 - 1 = 0,0404 ie = 1,014 - 1 = 0,0406 ie = 1,003312 - 1 = 0,0407

Efektivní úroková míra ࢏ࢋ 4,04 % 4,06 % 4,07 % (Konec příkladu)

Příklad: Porovnání nabídky bank pomocí efektivní úrokové míry Chcete si uložit peníze a máte možnost zvolit si ze čtyř bank: banka A ... 13 % p.a. ... denní připisování úroků banka B ... 13,5 % p.a. ... půlroční úročení banka C ... 14 % p.a. ... roční úročení banka D ... 12,8 % p.a. ... spojité úročení Kterou banku si vyberete? Řešení:

௜

௠

Do rovnice ݅௘ = ቀ1 + ௠ቁ − 1, resp. ݅௘ = ݁ ௜ − 1 pro spojité úročení, dosadíme a vypočteme: Banka

Dosadíme

Výpočet

A B C D

m = 360, i = 0,13 m = 2, i = 0,135 m = 1, i = 0,14 i = 0,128

ie = 1,0003611360 - 1 = 0,1388 ie = 1,06752 - 1 = 0,1396 ie = 1,141 - 1 = 0,14 ie = e0,128 - 1 = 0,1366

Efektivní úroková míra ࢏ࢋ 13,88 % 13,96 % 14,00 % 13,66 %

Odpověď: Vybereme si banku C, u které, ač připisuje úroky pouze 1x ročně, dosáhneme nejvyššího zhodnocení (nejvyšší budoucí hodnoty) uloženého kapitálu. (Konec příkladu)



Poznámky k efektivní úrokové míře ࢏ࢋ Efektivní úroková míra ie s počtem úrokových období za rok roste. Jinak řečeno, čím častěji se během roku úroky připisují, tím je to pro vkladatele výhodnější (protože se počítají úroky z úroků). Tento růst má však svou hranici. Nárůst efektivní úrokové míry ie (a tím i splatné částky) s počtem úrokových období za rok má postupně snižující se nárůst (viz první příklad na předchozí straně). Z grafu níže je patrné, že nejvyšší rozdíl budoucích hodnot nastává v případě, že změníme roční úrokové období na pololetní. Změníme-li však týdenní úrokové období na denní, není rozdíl budoucích hodnot už tak patrný. Budoucí hodnota je omezena, nezvyšuje se tedy s počtem úrokových období do nekonečna. Horní hranice je dána vzorcem pro spojité úročení ‫ܭ‬௡ = ‫ܭ‬଴ ∗ ݁ ௜∗௡ .

Graf: Závislost budoucí hodnoty kapitálu za 1 rok na počtu úrokových období během roku Zdroj: Radová, Jarmila - Dvořák, Petr - Málek, Jiří: Finanční matematika pro každého (příklady), s. 54



Příklad: Porovnání nabídek dvou bank pomocí efektivní úrokové míry Banka A nabízí 10 % p.a. s denním připisováním úroků (rok má pro banku 365 dní). Banka B nabízí 10,5 % p.a. Která nabídka je pro klienta výhodnější? Řešení: Nabídky obou bank porovnáme pomocí efektivní úrokové míry: ଴,ଵ ଷ଺ହ

Banka A: ݅௘ = ቀ1 + ଷ଺ହቁ Banka B: ݅௘ = ቀ1 +

଴,ଵ଴ହ ଵ ଵ

− 1 = 0,1051557805 =ሶ 10,52 %

ቁ − 1 = 0,105 = 10,50 % (zde nebylo nutno ݅௘ počítat)

Odpověď: Výhodnější je nabídka banky A, protože efektivní úroková míra její nabídky je vyšší. (Konec příkladu)

Příklad: Porovnání nabídek dvou bank pomocí efektivní úrokové míry Banka A nabízí 13,1 % p.a. s pololetním úročením, banka B nabízí 12,8 % p.a. s měsíčním úročením. Která nabídka je výhodnější? Řešení: Nabídky obou bank porovnáme pomocí efektivní úrokové míry. Banka A: ݅௘ = ቀ1 + Banka B: ݅௘ = ቀ1 +

଴,ଵଷଵ ଶ

ቁ − 1 = 0,13529025 =ሶ 13,53 %

ଶ ଴,ଵଶ଼ ଵଶ ଵଶ

ቁ

− 1 = 0,13578285 =ሶ 13,58 %

Odpověď: Výhodnější je nabídka banky B. (Konec příkladu)



Spoření (střádání) Spoření (střádání) O spoření (střádání) hovoříme tehdy, jde-li o ukládání stejné částky po několik úrokových období. Předpokládejme, že spořená částka S bude ukládána na počátku úrokového období (spoření předlhůtní).

‫ܭ‬௡ = ܵ ∗ ሺ1 + ݅ሻ ∗ Kn S n i p

... ... ... ... ...

ሺଵା௜ሻ೙ ିଵ

Rovnice STŘÁDÁNÍ (Tab. 1 a 2)

௜

hodnota naspořené částky po n úrokových obdobích spořící úložka na počátku každého úrokového období počet úrokových období (doba spoření) ௣ úroková sazba (interest rate), cena peněz vyjádřená desetinným číslem; ݅ = ଵ଴଴ úroková sazba za jedno úrokové období

Příklad: Naspořená částka za více úrokových období (střádání) Kolik uspoříme za 3 roky, budeme-li ukládat na počátku každého roku 12 000 Kč při roční úrokové sazbě 2,5 % p.a. a při ročním připisování úroků? Řešení:

‫ܭ‬௡ = ‫ ∗ ܭ‬ሺ1 + ݅ሻ ∗

ሺଵା௜ሻ೙ ିଵ ௜

‫ = ܭ‬12 000 ‫ܭ‬č; ݅ = 0,025; ݊ = 3

‫ܭ‬ଷ = 12 000 ∗ 1,025 ∗

ଵ,଴ଶହయ ିଵ ଴,଴ଶହ

= 12 000 ∗ 37 830,19 ‫ܭ‬č

Odpověď: Za tři roky naspoříme 37 830,19 Kč. (Konec příkladu)



Splátka a důchod (konstantní anuita) Splátka a důchod (konstantní anuita) Anuitní splácení úvěru K nebo čerpání důchodu (renty) z naspořené částky K pravidelnými splátkami S ve stejné výši v každém úrokovém období: ௜

ܵ = ‫ ∗ ܭ‬ሺ1 + ݅ሻ௡ ∗ ሺଵା௜ሻ೙ S K n i p

... ... ... ... ...

Rovnice SPLATKA (Tab. 3 a 4)

ିଵ

pravidelná splátka velikost půjčky (úvěru) či naspořené částky počet úrokových období splácení půjčky nebo čerpání důchodu (renty) ௣ úroková sazba (interest rate), cena peněz vyjádřená desetinným číslem; ݅ = ଵ଴଴ úroková sazba za jedno úrokové období

Příklad: Výpočet konstantní splátky Dlužím 1 000 Kč. Chci splatit za 3 roky. Úroková míra je 10 % p.a. Jaká bude roční splátka? Řešení - výpočet: K = 1 000 Kč p = 10 % p.a. n = 3 roky ௜ ଴,ଵ ܵ = ‫ ∗ ܭ‬ሺ1 + ݅ሻ௡ ∗ ሺଵା௜ሻ೙ ିଵ = 1 000 ∗ 1,1ଷ ∗ ଵ,ଵయ ିଵ = 1 000 ∗

0,40211480362537764350453172205438 = 402,1148 Kč ܵ =ሶ 402 Kč Jinak - tabulky anuit: Tabulka č. 4 SPLÁTKA a DŮCHOD roční sloupec 10 %; řádek 3 roky .. 402,1148 Ještě jinak - kalkulačka pro FG: karta 3 + 4 splátka a důchod Odpověď: Roční splátka bude 402 Kč. (Konec příkladu)



Výše úvěru a úspor Výše úvěru a úspor 1. 2.

Jak velký úvěr K si vezmeme, můžeme-li v každém úrokovém období splácet částku S. Kolik kapitálu K musíme mít naspořeno, abychom při dané úrokové míře i mohli v každém úrokovém období čerpat rentu ve výši S. ௌ

‫ = ܭ‬ሺଵା௜ሻ೙ ∗ K S n i p

... ... ... ... ...

ሺଵା௜ሻ೙ ିଵ

Rovnice ÚVĚR A ÚSPORY (Tab. 5 a 6)

௜

velikost půjčky (úvěru) či naspořené částky pravidelná splátka úvěru či výše důchodu (renty) počet úrokových období splácení půjčky nebo čerpání důchodu (renty) ௣ úroková sazba (interest rate), cena peněz vyjádřená desetinným číslem; ݅ = ଵ଴଴ úroková sazba za jedno úrokové období

Příklad: Výše úspor Počátkem každého roku mohu splácet úvěr částkou 402,1148 Kč. Roční úroková sazba je 10 % p.a. Úvěr mám v úmyslu splatit za 3 roky. Jak velký úvěr si mohu vzít? Řešení - výpočet: S = 402,1148 Kč p = 10 % p.a. n = 3 roky ௌ

‫ = ܭ‬ሺଵା௜ሻ೙ ∗

ሺଵା௜ሻ೙ ିଵ ௜

=

ସ଴ଶ,ଵଵସ଼ ଵ,ଵయ

∗

ଵ,ଵయ ିଵ ଴,ଵ

= 402,1148 ∗

2,4868519909842223891810668670173 = 999,999 Kč ‫ = ܭ‬1 000 Kč

Jinak - tabulky anuit: Tabulka č. 6 Výše úvěru a úspor roční sloupec 10 %; řádek 3 roky .. 2,4869 splátka 1 Kč výše úvěru 2,4869 Kč splátka 402,1148 Kč výše úvěru x Kč ସ଴ଶ,ଵଵସ଼∗ଶ,ସ଼଺ଽ ‫=ݔ‬ = 1000,01929612 Kč ଵ Ještě jinak - kalkulačka pro FG: karta 5 + 6 Výše úvěru a úspor Odpověď: Mohu si vzít úvěr 1 000 Kč.

(Konec příkladu)



ZDROJE – literatura a multimédia: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21) 22) 23) 24) 25) 26) 27) 28) 29) 30) 31) 32) 33)

Allen, Robert, G.: Mnohonásobný zdroj příjmů, PRAGMA, 2000 Boyle, Mark: Muž, který se zřekl peněz a přežil, CPress Brno, 2014 Canfield, Jack - Switzer, Janet: Pravidla úspěchu, PRAGMA, 2006 Clason, George, S.: Nejbohatší muž v Babylóně, PRAGMA, 2013 Covey, Stephen, R.: 7 návyků skutečně efektivních lidí, Management Press, 2009 Dnešní finanční svět, TERRA-KLUB, o.p.s., 2011 Dvořáková, Zuzana - Smrčka, Luboš a kol.: Finanční vzdělávání pro střední školy, C. H. BECK, Praha, 2011 Eker, Harv T.: Jak myslí milionáři, Práh, 2006 Gage, Randy: Proč jste tak hloupí, nemocní a bez peněz, PRAGMA, 2006 Gladwell, Malcolm: Bod zlomu, DOKOŘÁN, 2006 Kadlec, Jiří: Finanční matematika, GJN 2015 KFP ... cesta k fin. nezávislosti, vzděl. spol.: Metodické listy pro učitele www.kfp.cz Kiyosaki, Robert, T.: Bohatý táta, chudý táta, PRAGMA, 2001 Kiyosaki, Robert, T.: Cashflow kvadrant, PRAGMA, 1998 Kiyosaki, Robert, T.: Proč jedničkářipracují pro trojkaře a dvojkaři pro státní správu, PRAGMA, 2001 Kociánová, Helena: Finanční gramotnost v kostce, ANAG, 2012 Kohout, Pavel: Ďáblův slovník ekonomie a financí, HPAP, London, 2014 Kohout, Pavel: Finance po krizi, Evropa na cestě do neznáma, GRADA, 2011 Kořený, Karel: Finanční svoboda, hraní deskové hry, školení pro učitele, http://www.financnisvoboda.cz Maloney, Michael: Investujeme do zlata a stříbra, PRAGMA, 2010 Mandino, Og: Největší obchodník na světě, PRAGMA, 1994 Navrátilová, Petra: FINANČNÍ GRAMOTNOST, Computer Media, s.r.o., 2012 Pacovský, Petr: Člověk a čas, time management IV. generace, GRADA, 2006 Radová, Jarmila - Dvořák, Petr - Málek, Jiří: Finanční matematika pro každého, 7. aktualizované vydání, GRADA, 2009 Radová, Jarmila - Dvořák, Petr - Málek, Jiří: Finanční matematika pro každého (příklady), 2. přepracované vydání, GRADA, 2011 Smrčka, Luboš: Rodinné finance. Ekonomická krize a krach optimismu, C. H. Beck, Praha, 2010 Stanley, Thomas J., Danko, William, D.: Váš soused je milionář, PRAGMA, 1996 Slabikář finanční gramotnosti, 2. aktualizované vydání, COFET, a.s., 2011 Syrový, Petr - Tyl, Tomáš: Osobní finance - řízení financí pro každého, GRADA, 2014 Tyl, Tomáš: 10 způsobů, jak se (ne)nechat připravit o peníze, GRADA, 2013 Vorel, Petr: Od českého tolaru ke světovému dolaru, Rybka Publishers, 2003 Výchova k finanční gramotnosti, učebnice pro 2. stupeň ZŠ a odpovídající ročníky víceletých gymnázií, Fraus, 2012 Televizní pořad Osobní finance, Česká televize, 2010 http://www.ceskatelevize.cz/porady/a-z/



ZDROJE – internet: 1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9) 10) 11) 12) 13) 14) 15) 16) 17) 18) 19) 20) 21)

Asociace občanských poraden http://www.obcanskeporadny.cz/ Bankovní poplatky http://www.bankovnipoplatky.com/ Česká národní banka http://www.cnb.cz/ Český statistický úřad http://www.czso.cz Euroskop https://www.euroskop.cz/ Eurostat http://ec.europa.eu/eurostat/home Evropská centrální banka https://www.ecb.europa.eu/ Evropská komise http://ec.europa.eu/index_cs.htm Federal Reserve System (FED) http://www.federalreserve.gov/ Finanční gramotnost na GJN http://fig.gjn.cz Finanční gramotnost do škol http://www.financnigramotnostdoskol.cz Fincentrum http://www.fincentrum.com/ Komplexní servis pro spotřebitele https://www.dtest.cz/ Ministerstvo práce a sociálních věcí http://www.mpsv.cz/ Měšec.cz http://www.mesec.cz Mezinárodní měnový fond http://www.imf.org/ Organizace spojených národů (OSN) http://www.un.org/ Peníze.cz http://www.penize.cz Sdružení obrany spotřebitelů http://www.asociace-sos.cz/ Světová banka http://www.worldbank.org/ Veřejný dluh České republiky http://www.verejnydluh.cz/



M58 Když je peněz nadbytek (pracovní list - učitel)

Recommend Documents