AGRARTUDOMANYI EGYETEM MEZ~GAZDASAGI GtPÉSZMtRNÖKI
KAR
ME C HAN I Z MUS OK
Gödöllo
1978.
AGRJí.RTUOOMANYI EGYETEM
Mez5gazdasági Gépészm~(nöki Kar
Irta: dr.Koltay egyetemi
Jenő
adjunktus
Véner István egyet.em!
adjunktus
- 3 ELOSZ Ö
A "Mechanizmusok" cimü tantárgy a világ valamennyi müszaki . felsőoktatási intézményének tantervében, szerepel. Hazánkban önálló tárgyként történo oktatása aránylag rövid multra tekint vissza. A korsze rU technikának a népgazdaság szinte valamennyi ágában végbemeno rohamos fejlodése tette szükségessé,hogy a technika egyik ala· pozó tudománya, a mechanizmusok elmélete a külföldi, elsosorban a s zav jet és német tapasztalatok alapján külön tárgyként bekerüljön a hazai gépészmérnöki karok tantervébe is. Nálunk elöszőr a budapesti Müszaki Egyetemen és a miskolci Nehézipari Müszaki Egyetemen vezették be, 1952-ben , Az Agrártudományi Egyetem Mg,-i Gépészmérnöki Karán Dr.Soós Pál vezette be,amely 1959-tol 1962-ig szorgalrni tárgy volt. A hatvanas évek elején végrehajtott tantervreform tette lehetové,hogy 1963-tól önálló alapozó tárgyként Karunkon is . bev~zessük a "Mechanizmusok" cimü féléves tárgyat, E tárgy tanany aga általában két fo részbol áll: analizisbol és szintézisböl, Az analizis keretében adott szerkezetek elemzésével foglalkoznak, a szintézis pedig adott feladat /mozgás/ elvégzésére alkalmas ezerkezetek -tervezését jelenti. A Karunkon oktatott "Mecha nizmusok" cimü tárgy anyaga,az egyes anyagrészek tárgyalásának sorrendje nagyjából megegyezik a hazai és ktilföldi egyetemeken kialakult gyakorlattal. Az anyag terjedelme és arányai azonban némileg eltérnek a más egyetemeken oktatott anyaghoz képest. Ez elsosorban a tárgy féléves jellegével és a képzési célban megfogalmazottakkal magyarázható. Egyes fejezeteket részlete sebben, másokat rövidebben: csak a legfontosabb összefüggéseket kiemelve tárgyaljuk: A rendelkezésre álló heti eloadási óra szám keretében a szintézisnek csak igen szük ismeretére szoritkozhatunk. Az anyaget azonban igyekeztünk ugy összeállitani,hogy az,az egyszerübb ezerkezetek tervezésénél is táropontul szolgálhasson. A jegyzet anyaga három fo részbOl áll, Az elso rész a me cha ni zmusok szerkezeti felépitését és osztályozását tartalmazza. A más odik részben a mechanizmusok kinematika!, a harmadikban pedig dinamikai vizsgálatának mödszereit ismertetjük.
- 4
A mechanizmusok kinematika! és dinamikai analizüfénél tekintettel az egyszerUbb megoldásra és a jobb áttekinthet<5ségre Altalában a grafikus megoldást részesitjUk előnyben. E tárgyban foglaltak elsajátitásához a megfelelo alaptárgyi i.smere'tek mellett szUkség vim bizonyos jártasságra a grafikus szer-: Resztési eljárásoRban is. Ennek megfelel5en a 11 MechanizmusoJt• cimU tárgyat amateinati~'a, a fizika, a mechanika és az ábrázoló geometriaután és a speciálls szaktárgyak elott oktatjuk, m~tegy épitve az el5bbiekre és megalapozva az utóbbiakat. A jegyzetben foglalt ismeretek és vizsgálati m6dszerek jól hasznos::tthatók a szaktárgyakban - elsosorban a Traktorok és motoroR:_, Me:z:5gazdaeág::t gépek, _. .K~rté_szeti gépek, .A.llattenyéáztés C]épei, . tlelmiszeripari gépek c. tárgyak során- oktatott szerkezetek és gépek kinematika! és dinamikai viszonyainak megismerésében. A jegyzet csak akkor érte el igazi célját, ha segiti a hall .. gat6kat a mérnöki szintU megismerés és elemzokészség kialakitásá• ban,
- 5 -
1. Mechanizmusok szerkezeti felépitése és osztályozása l.l A mechanizmus fogalma A mechanizmus az olyan mesterségesen kialakitott testek ~end szere, amely egy vagy töob testnek egy másik test testek( által eloirt mozgását l'Jiztosi:tja, A mechanizmust alkotó egymáshoz viszenyitva almozdithatóan Bsszekapcsolt merev testeket tagoknak nevezzük. A mechanizmus tagjai kö zül azt,amelyhez képest a többi tag mozgását. vizsgáljuk állványnak nevezzUk és mozclu-latlannak tekintjUk. Gépeknél rendszerint a gépkeret .falváz,gépalap, stb,/ képezi az állványt. Mi~den mechan~zmusban van egy vagy több olyan tag, amelynek mozgási törvényszerüsége adott és a többi tagot mozgatja, Az adott mozgástörvénnyel rendelkezo tagot vezeto vagy hajtó t~g ~ nak, az általa mozgásra kényszeritett tagokat pedig· haj"tott vagy vezetett tagoknak nevezzük, A mechanizmus tagjai elméletben egymással pont, vonal vagy felület mentén kapcsolódnak. Egy tagnak az a pontja, vonala vagy felUlete,amellyel a másik tag érintkezik: a kinematika! elem. Két kapcsolódó tag érintkeze kinematika! elemei képezik a kinernatikai párt . A sikban mozgó mechanizmusok leggyakoribb kinemati ka! párja!: a csap és csapágy, vagy a kulisszako és vezetéke, A kine ... matikai párok biztositják a mechanizmus tagjainak egymáshoz viszonyitott elmozdulását. A kinematika! párok utján ö~szekapcsolt tagok kinemattkai láncot képeznek. A kinematika! lánc lehet egyszerű és összetett, valamint nyitott és zárt, Egyszerü a kinematika! lánc,ha a tagok rnindegyike két másik~ kal képez elmozditható kapcsolatot, A kinematika! lán,c· öss·z e·t ett, ha a láncba kapcsolt tagok kettonél több másik taggal kapcsoltak. A nyitott kinematika! lánc egymást követo tagok sorozata az elso és az utolsó tagen kiképzett egy -egy szabad kinematika! párral. Az egyszerU nyitott kinemati Kai láncot ugy zárhatjuk,hogy az utolsó tagot az elsovel összekapcsoljuk , A mérnöki gyakorlatban alkalmazott mechanizmusok zárt kinernatikai láncot alkot.nak. Ennek megfeleleen a merev testekból felépitett
r
- 6 - .
mechanizmus az alábbiak szerint definiálható. Mechanizmusnak nevezzUk az olyan, e<jy mozdulatlan tagqal rendel-kezo zárt kinematika! láncot., amelyben a hajtó tag /tagok/ adott /állványhoz viszonyitott/ mozgásánál a hajtott tagok - az adott célnak meqfeleÚi - szabatosan -meghatározott mozgást végeznek. 1.2.
Kinematikái
párok és osztályozásuk
A kinematika! párok, vagyis a mechanizmus tagjainak kapcsolódási lehetoségei sokfélék lehetnek. Két tag mozqékony kapcsolatában a kiner.•tikai elemek kialak~tásától függoen a kinematika! párok különbözo . köt~ttségi feltételeRet valósithatnak meg. A kinematika! pár kötöttségének számán azt érjUk,hogy a mecha. nizmus két tagjának kapcsolódása hány szabad mozqási lehetoséget szüntet meg_ a két tag egy-m áshoz viszonyitott mozgásában. A kapcsolódó kinematika! elemek, vagyis a kinematika! párok minimálisan egy,de legfeljebb ö t kötöttséget valósithatnak me g . Mivel a térben egy mer ev testnek hat mozgási lehetosége van, ami egyben azt is jelenti ,hogy a merev test szabadságfoka a ' t érben hattal egyenlo-, nyilvánvaló,hogy nulla kötö ttség esetén a két tes t · nem kapcsol ódik, hat kötöttségnél pedig a Rét tag egymáshoz képest nem mozdul~ hat el, hiszen a kö t ött s éggel az összes mo z gá slehe toséget {szabadságfokot/ elvettük. Térbeli mozgásnál a szabadságfok -és a kötö ttség mindig 6-ra egé sziti ki egymást. A kinemattkai párok á ltal rnegvalósitott kötöttségek számát ugy határozhatjuk meg,hogy megvizsgáljuk a kapcsolódás mely koordiná ta-tengely irányában gát olja meg a h aladó rnozgást, illetve mely koordináta-tengely körül akadályozza meg a forgást. A kinematika! párokat a könnyebb vizsgálat kedvéért szabads á gfokuk , megvaló sitett kötö ttségük .és kinemati ka!. elemeik érint. kezé se alapján szokás osztályozn:t. · S'zabad·s agfokuJi:· :s'ze·r 'tn·t · -e·9Y·.,. L Rét- három-, négy- és öts zabadságfoku ki nematika! pArökat kUlö nböztetUnk rneq. Megval6sitott kötöttségtik szarint az elobbieknek megfelelo kinematika! párokat az V. 1 IV , 1 III., II, és I ,osztályba soroljuk.
.
·--·
- 7 A kinematika! elemek érintkezésének jellegétel függoen a kinematika! p~rok alsó és felsörendU kineBiatikai párokra oszJ.anak·, Az alsórendll kinematika! oárokhoz azok tartl!>znak, amelyek kinematika! elemei kölcsönösen felfekve felületek ".agy felület.részek. Felsor·e ndü kinematika! p·ároR:nak azokat nevezzük, amelyeknek elemei pont vagy vonal mentén érintkeznek. Fontos megjegyezni,-hogy ha a aikban· történo mozgást .meg~ngedö felsörendll kinematika! párok elemei között tiszta /csuszázmentes/ gördülés lép fel, akkor ötköttségü /egyszabadságfokuf a fels~rendü kinematika! pár. /pl. görgö és sik lap, bütyök görgős szelepszárral, · stb./. ·Ha a felsörendll kinematika! pár elemei csuszással gördülnek egymáson, akkor a felsörendll kinemattkai pár négyköt6ttségU {pl. fogaskérékpár; bütyök sik lappal kapc~olódó szelepzárral, stb,{. JegyzetUnkben a kinematika!' párokat a tagok viszonylagos mozgásában· meghagyott mozgáslehetöségeik, vagyis szabadságiokuk alapján osztályozzuk. Az egyszabadságtoku ·kinematika! pár /V.osztály/ a tagok viszonylagos mozgásában egy mozgáslehetoséget enged meg és öt kötöttséget valósit meg. A forgó-, a haladó mozgást megengedo és a csavarmenetes kapcsolatu kinematika! párok tartoznak ide, Ezek a leggyakrabban eloforduló sikban mozgó mechanizmusok legfontosabb kapcsolódási módjai. A forgómozgást megengedo kinematika! pár /1. ábra/ lényeges tulajdonsága, hogy csak egyetlen mozgást enged meg: az x tengely körüli forgó mozgást. A kinematika! elemek érintkezése alapján a kine/ <. matikai pár alsórendü,Az l.a. ábrán látható kinematika! pár geometriailag zárt, másszóval kétoldali kötöttaégü,Egyoldali kötöttségü az l.b. ábrán bemutatot.t kinematikai pár ,mert a csap a perselytol eltávolodhat, Hogy ne lépjen fel a párok azétkapcsolódása( a csapot /pl.rug67. ábra erovel/ hoz~á kell szeritani ~ perselyhez,A forgómozgást megen-
- 8 -
gedo kinematika! pár jelképes ábrázolását sikbeli mechanizmusoknál az l.c. ábrának, térbeli mechanizmusoknál az l,d. á b rán~k megfeleloen végezzük, számok_k al bejelöl ve a kinematika! párhoz tartozó tagokat is, . A.;...h~la:dó mozgás·t megengedi)· k:tnematik:ai P!r {2, ábra{ szintén csak egyetlen mozgást- enged meg: a kulisszakei és vezetéke közti haladó mozgást. Ez a kinematika! pár· is alsórendll, mi ve l a kinematika! ele-. mek érintkezése felül et mentén megy végbe. Jelképes jelölése sikban · mozgó mechanizmusoknál a 2,b,c,d., t~rbeli mechanizmu soknál a 2,e . á brák szerint t örténik, .
2. ábra
Csavarmenetes kapcsola tu kinematika! p·á r /3. ábra l es etén a csavarorsó tehgelye körüli elfordulás! szög és a t e ngely i r ányu • elmo zdulá s közö tt meghatározott összefüggés áll fenn, ezért ez a kinematika! pár is az egyszabadságtoku kinemattka i párokhoz t art ozik. Als6rendü geornetri'ailag zárt !<-inematiRa i pár. Jelképes ábrázol á sa a 3,b, és c, ábrákon l&tható.
@
@-e
·~ 1
l
3. abra z
4. ábra
· A' kétQzabadságfoku kinematika! pár t rv.os z tály{ a tagok vis zonyla gos mozgásában két szabadságfokkal é s négy kötö ttséggel jellemezhető, Ezek a kinematika! pá rok e gy forgó é s e gy haladó , . vagy két forgó relativ mo zgást engednek meg. Ide t a rtozik a 4. ábrán látható alsórendü hengeres kinematika! pár,ame l y x ten~ e ly körUli e l f ordulás t é s x t eng~ly irányu e lmozdulást biz t o sit a kapcsolódó tagok vi szonylagos mozgá sában.
- 9 -
Szintén kétszabadságfoku, de felsörendll kinematika! pár a két· prizmából létesitett kapcsolat is /5 ábra/, A megengedett relativ mozgáslehetőség: az x tengely irányu haladó és az x tengely körüli forgó mozgás. Geometriailag nyitott, ezért az elemek kapcsolódásáhozkUlso erő alkalmazása szUkséges.
z A tagok
5. ábra
@
~~. l
6. ábra z
7.
8. ábra
mozqásában két forgó mozgást enged meg a 6, ábrán bemutatott csapos gömbcsukló. Lehetséges mozgás: az x _é s az y tenge-. lyek körüli elfordulás. Háromszabadságtoku /III. osztály J kinematika! párokat l~tn~!unk a 7.8. és 9.ábrákon, A rneghagy~tt viszonylagos mozgások száma az..elso esetben/gömbcsukló/ három forgó mozgás, a másodikban két forgó· /y és z teng~lyek körUl/ és egy haladó /x tengely irányu[ mozgás,végUl a harmadik esetben/9.ábra/ két haladó /x és y tengely irányu/ és egy forgó rnozgás /z tengely körül/. Az itt bemutatott kinematika! párok közUl a 8.ábrán látható felsőrendU, a másik kettő alsórendll kinematika! pár. A 10. ábrán látható négyszabadságioku kinernetikai párnál /II.osztály/ egy haladó és egy forgó mozgást szüntettünk meg,igy a lehetséges relativ rnozgások száma négy /halad.ó mozgás x és y tengely irányában,forgó mozgás x és z tengely körül/. Minden n~gyszabadságfoku kinematika! pár fels5rendU. k~lcsönös
z
..,. lo -
Két gömbfelület érintkezésekor ötszabadságfoku kinematika! párt /I, osztály{ kapunk /ll,ábra/, mivel a
9. ábra
pontszerü érintkezés csak az egyik koordináta tengely /esetünkben z/ irányában akadályozza meg a haladó mozgást.
A másik két tengely irányá-
ban, illetve a három koordináta tengely körül szabad marad a mozgási lehet6ség~
Az ötszabadságfoku
kine~a
tikai párok is mindig felsorendüek,
10. ábra Az 1,,,11. ábrákon bemutatott kinematikai
párok egyszerüek, A kinema-
tikai párok képzésének lehet6sége ezekkel természetesen nem merül ki. Mi csak a legfontosabbak ismertetésére szoritkoztunk.
11. ábra 1.3. A kinematika! vázlat felépitése A kinematika! párokat és a mechanizmust alkotó tagokat jelképesen
ábrázoljuk. A fontosabb kinematika! párok jelképes ábrázolását a%1.2. fejezetben már ismertettük. A mechanizmusok tagjai a valóságban különbözo alakuak. Mivel a mechanizmus tagjait merevnek tételezzük fel,azaz a tag bármely két pontjának távolsága a tag elmozdulása és terhelése alatt állandó marad, ezért a tagot egyszertien egyenes vonallal ábrázoljuk, amelyet bonyolultabb esetben háromszöggé, négyszöggé, stb. egészithetünk ki. A mechanizmus jelképes rajzát kinematika! vázlatnak nevezzük. A kinematika! vázlat teljes képet ad a mechanizmus szerkezeti fel-
·-
- n épitésérol és egyértelmtien meghatározza annak kinematika! tulajdonságait, A kinematika! vázlat tulajdonképpen a mechanizmus mérethelyes vonalas rajza, amely tartalmazza a tagok és a ki nematika! párok egységes, egyértelrnü jelölését. A mechanizmus tagjait arab sz ámokkal, a kinematika! párokat az ABC nagy betUivel szisztematikusan jelöljük. A fe lsőrendű kinematika! párokat olyan görbékkel ábrázoljuk,amilyeneknek a valóságban megfelelnek . A kinematika! vázlaton az állványt vonalkázással jelöljük. A kinematika! vázlat felépítésénél az elso l épés az állványhoz /mozdulatlan taghoz/ tartozó kinematika! pár elemének felrajzolása. Ezt követi az állványhoz kapcsolódó hajtótag ábrázolása, majd a hajtott tagokból álló kinematika! lánc megrajzolása. A haj~ tótag mozgási irányát is be kell jelölni a kinematika! vázlaton, Itt jegyezzUk rneg,hogy azok a mechanizmusok, amelyeknek tagjai egymással párhuzamos sikokban mozognak egysikban mozgó mechanizmusként ábrázolhaták a .kinematika! vázlaton. A 1Z ••. l7. ábrákon a kinematika! vá zlat készítését mutatj uk be néhány egyszerU mechanizmus esetén.
(:~!2 8 ~ ~
.
A
c~
:J
" J
12. abra
13. Óbra
~
12 -
15. ábra
f
16. ábra
- 13 -
1
17. abra 1.4. Néhány fontosabb sikban mozgó mechanizmus A mechanizmusok sikban vagy
térben mozgó mechanizmusok lehetnek. A sikban mozgó mechanizmusokat az jellemzi ,hogy e·g yes tagjain l evő pontok pályagörbéi /pontgörbéifegy sikban,vagy párhuzamos . s ikokban helyezkednek el. Térben mozgó rnachanizmusoknak azo• kat nevezzUk,amelyeknél a tagokon levő pontok pályagörbéi egymást mets zo s ikokban fekszenek /a pályagörbe vagy pontgörbe a tag rnozgása sorá n valamely pontja által leirt görbe./ A továbbiakban néhány f ontosabb, gyakran eloforduló,sikban mozgó mec hanizmus t ismertetUnk. Karos mechani zmusoknak azokat a mechanizmusokat nevezzük, amelyekben cs ak forgó- és haladó rnozgást mege ngedo kinematika! párok találhatók, Ilyen mechanizmus például a harántgyalu, melynek ~inernatikai v ázlata a 18. á brán látham . Az ábra kapcsán megemlitjük,hogy a kinamatikai vázlatokon a kinematika! párokat jelölö bettik száma nem mindig egyezik meg a kinematika! párok számáv~l, mivel néha egy betUvel két kinematika! párt, VaCJ!f egy kinamatikai párt több betUvel is jel6lnek, ' A 18. ábrán például az A betüké t kinematika! párt jelöl: . aforgó mozgást megengedo kl nematikai párt" a2 és 3 jelü tag kapcsolódásánál és a haladó mozgást megenge do kinematika! párt a 3 és 4 jelU tag kapcso~ latában. Viszont a 6 jelü tag az 'á llvánnyal egy kinematlkai pár t képez /két tag kapcso latában egynél több kinematika! pár nem lehetséges/, mégis a kinamatikai vázlaton két betü /D és E/ jelöli,
-
- 14 -
....... 1
7
78.ábra Ha· a mechanizmusban csak forgó mozgást megengedo kinernatikai pár szerepel, akkor csuklós mechanizmusr61 beszélünk. A lengorasta csuklós mechanizmusának kinematika! vázlatát ábrázolja a 19,ábra, A karos mechanizmusnak azt ·a tagját,amely a mozdulatlan tag tenge:,; ;· lye körül teljesen körbe tud forogni forgattyunak nevezzük /a 18.és 19. ábrán a 2 jelü tag/. Ha a mozdulatlan tag tengelye körül a hozzákapcsolódó tag nem végezhet teljes körülfordulást,akkor lengotagról/him, báról/ beszélünk. Lengetag a 19 ,ábra mechanizmusának 5 és 6 jelü tagja. 7 A karos mechanizmusnak azt a tagját, 79.abra amely az állvánnyal n~m képez kinematika! párt,_ hajtárudnak /hajtó karnak/ nevezzük /a 18.ábrán az 5 )elü, a 19.ábrán pedig a 3 és 4 jelü tagok haj tó rudak l. A csuszóta~ /egyenesbe vezetett tag/ a karos mechanizmus azon tagja, amely az állvánnyal.haladó mozgást megengedo kinematika! párt kepez /a 18.ábrán a 6 jelü tag/. Az álló tengely körül forgó és egy másik mozgó taggal haladó moz-
-
- 15 gást megengedo kinernatikai párt képzo tag neve: kulisaza /a 18.ábra 4 jelil tagja/. Azokat a karos mechanizmusokat, amelyek kulisszát. is tartalmaznak kulisszás mechanizmusoknak nevezzük. A harántgyalu ennek megfeleloen Rul1sszás mechanizmus. A három mozgó és egy álló tagot tartalmazó csuklós mechanizmus a négycsuklós vagy néqytagu·csukl6.s mechantzmus/20,ábra/. A négytagu csuklós mechanizmusoknak az. állványhoz kapcsolódó tagok mozgásától függoen az alábbi három változatuk különböztetheto meg~
l .. egyforgattyus~lengőtagos,
2, kétforgattyus, 3, Rétlengetagas mechanizmus. ·'
A 20. ábra kinematika! vázlata ~ fo:rgattyus-leng6tagos négytagu csuklós rne·chanizmust ábrázol. A 2. jelü tag a forgattyu és o körül teljesen l körbe tud torogni /ez az A pont pálya20. Óbro görbéjéböl is látszik/, A 4 jelü tag s 1o2 és s 2o2 szélsö helyzetek között lengomozgást végez az álló o2 tengely körül. Amikor a lengőtag elfoglalja szélso helyzetét, a forgattyu és a hajtórud egy egyenesbe esik. A mechanizmus ezen helyzeteit ~ ponti helyzeteknek nevezzük, A holtponti helyzetek ~zerkesztésé nek módja: o 1-bo.). to 1A + AB/, illetve /'AB - o1 A/ távolságga.l kell B pont pályáját bemetszeni, A kapott B1 és B2 pontok tulajdonképpen fordulópontok, amelyek a rotiszaki irodalomban szokásos holtpontoktól fogalmilag csupán abban különböznek, hogy a fordulópontban - a holponttól eltéroen - a mozgásnak. határozott a további iránya. Kétforgattyus négytagu csuklós mechanizmust rnutatunk be a 2l.ábrán. A és B pontgörbéibol látható,hogy a 2 és 4 jelü tagok [forgattyuk/ az álló /0 , illetve 0 1 tengely körül teljes körfordulást végez2 1 hetnek. t
..
- 16 -
.........
" ','
l
\
l
'\ \
( l
l
l
J
\ \
''
_.... "'
/
l
co
oc ""
Ant!paralegramma a mechanizmus,ha a 2 és 4 jelU tagok forgásiránya ellentétes. Kétlengetagas négytagu csuklós mecha~ nizmus látható a 24,ábrán, A 2 jelU lengatag O( 1 a 4 jelU pedig /J szöggel fordulhat csak el. A mechanizmus holtponti helyzeteit szaggatott vo .. nallal rajzoltuk be /jobboldali holtponti helyzet: o 1A2 B2o 2 , a baloldali: o1A1B1 o 2f
/
21. ábra
22 .ábra
23. ábra
1
Gyakran alkalmazott kétforgattyus négytagu csuklós mechanizmus az u.n. para:lelograrn - {22 ,ábra{ .és anti.para .. ' lelogr•am rnechant·zmus {23 ábra/, Ezeknek a ~chanizrnusolqt!'lk fo jellemzoje, hogy. tJ3 = és' .AD,
7
Az olyan négytagu karos mechanizmust, amelyben forgattyu és csuszótag található, forgattyus mechanizmusnak nevezzük /25.ábra/. Kétfajta forgatytyus mechanizmust használnak: a centrikusat és az excentrikusat, más szóval dezaxiáltat. Ha a haladó mozgást megengedo kinematika! pár x-x tengelye keresztül megy.a forgattyu ol forgáspontján akkor a forgattyus hajtómU céntrikus /25,a.ábra/ ellenkező esetben dezax!ált /2S.b, ábra/. Az egyenesbevezetés iránya és a forgattyu forgásközéppontja k<5zöt,. ti .,e távolság a dezaxialitás. A karos mechanizmusok rnellett a rnüszaki gyakorlatban elterjedtek a bUtxkös méchahizmtisok,
- 17 Abütykös mechan izmu s egy változó görbületil tagot is tar talmazó mecha~ nizmus. A 26, a ábrán egy szelep-
A ~~~~~X
=""+~f-X
25 .abra
vezérlo bütykös mechanizmus látható , A 26.b. ábra ennek kinerne t ik ai vázlatAt mutatja be. A 3 jelU szelepszár a 2 jelü bütyökkel képez i a l
a,
1
26. ábra l. 5 . Sikba,n mozgó mechani zmusok szer'kez eti fe l épité se s:lkban mozgó mechanizmusok szerkeze tének elemzésekor meg kell határozni a tagok számát , a kinematika! párok fajtáját és számát,. majd kiszámi tan.i. a mechan~z mus szabadságfokát. A sikban mozgó mechanizmusok s zabadságfokát meghatározó szerkezeti képlet az a l ább:!. gondo l atmenetbel vezethete le. Le gyen valamely sikban rnozgó mechanizmus tagjainak száma n , az öt kötöttségU fegyszabadságfoku/ kinematika! pár ok száma p 1 a négy, 5 kötöttségüeké /kétszabadságfoku/ pedig p 4 , A kinematika! párokka l történo összekapcsolás elött minden tag - az áÜvány k ivétel ével; amelynek szabadság f oka nulla - három mozgáslehetoséggel, azaz sza~ badságfokkal rendelkezik, vagyis a mechanizmus tagjai összesen l\
- 18 -
3/n-1/- el. Ebből mlnden egy szabadságfoku kinematika! pár két. mozgáslehetoségét és ruinden kétszabadságfoku kinemat·i kai pár ecjy .· mozgáslehetoséget megszUntet, Emiek . rnegfelelöen a sikban mozgö mechanizmus szabadságfoka [s{:
Mechanizmusról csak akkor beszélünk, ha a szabadságfok leg~ alább egy vagy ennél több. A nulla szabadságfoku rendszert statikailag határozott szerkezetnek, a -1 szabadságfokut statikatlag egyszeresen, ? -z szabadságfokut pedig statikailag z - szeresen hatátozatlan szer,kezetnek nevezzük. A továbbiakban néhány példát mutatunk be a sikban mozgó mechanizmusok szabadságfokának meghatározására. Elemezzük a 26, ábrán lá:tnató bütykös ~cliantzmus·t, Mozgó ta~ gok száma: [n-1[ = 2 1 a 2 jelü bütyök forgó ... , a 3 jelU szelepszáihalad6 mozgást végez. A három kinernetikai pár. köztil ket to alsórendU {az A csukló és a~ haladó rnozgást megenC::Jedö kinematika! pár/ és egy felsörendü fa B l:"lütykös kapcsolat[, Igy az ötköttségü kinemati• kai párok száma Ps-~ {A és a négykötöttségUe~é pediC::J p4 l. Ennek megfeleU5en a mechanizmus sza.Oadságfoka:
cr,
s
=
3[n - l{ - 2p 5 - p 4
=
3,2 - 2,2 -1 ~ l
A 27 • . ábra bütykös mechanizmusánál a rodz-
gó ta9ok száma /n-1/ 3 /a bütyök, a görgö és a tolórud/. A négy kinematika! pár köz ül három alsórendü . l az o és a B pontokban egy-egy csukló, ·a C pontban pedig egy haladó mozgást megengedö _1<.i:nematikai pár f, egy p~~ig felsorendti {az. A jiüü kinernatt. . kai pár(. A felsörendü kinematilcai pá:r· ·is egyszabadságfoku, m;l.vel a görgö és a bügyBk kapcsolódásánál csuszásme~tes gördülé~ jön létre. A mec~anizin~sban tehát csak ötkötöttségü kinematilcai párok szerepelnek, ·. vac,Jyis p 5 = 4 és p 4 = o és igy szabadságfoka: 2
21. abra
- 19 -
2p 5 - p 4 = 3,3 - 2.4 = 1 A 28. ábrán látható csuklós háromszögnél a tagok száma n é s Ps = 3. Szabadságfoka:
s
= 3/n-1/
-
= 3 1'p 4=0
·csuklÓs háromszögnél a tagok egymáshoz képest nem tudnak elmozdulni. · A' ·c ·s uklös· három;.. · ·s z"ö·g· nenr mechanizmus, ·e~rt ·t agként· ke-11 · kezehü.
28.abra
6
29.ábra
A 29 . ábrán bernutatott belsoégésU motor kinematika! 'vázlatán a tagok száma hat. A 2 jelű forgattyu a rajta lev6 fogasker ékkel egy tagnak számit,mivel egymáshoz képest nem tudnak elfordulni. A 3 jelű hajtórud összetett, a_ ~_ jelü dugattyu egyenes vona ... lu alternáló mozgást végez. A~ jelü bütyök a tengelyére erasitett fogaskerékke l szin.,. tén egy tagnak számit. Az 5 jelü szelepszár haladó mozgást végez. Az l j e lü tag az állvány , A kinematika! párok s záma nyo l c. Ebbol hat a lsórendü · /négy csuk ló és két haladó mozgást megengedo kinematikai pár l és ketto fel sor endü .. l a fogaske rékpár és a bütykös kapcsolat/ ki nematika! pár. A f e ls orendü kinematika! párok négykötöt t ségüek , miv el elemeik relatív elmozdulása nem cs~szásmentes gördülésset megy vég~ be. Az elmondo ttaknak megfelelűe n p 5 = 6 és p4 = 2.
A mechanizmus szabadságfoka: s = 3/n-1/ - 2p 5 -' P 4
3/6-l/ - 2.6 - 2
l
- 2o -
A mechanizmusok némelyik:énél· felesl~ges s ·z abadságfokkal. és pass·z.!:Y kötöttségekkel is találkozhatunk. A felesleges szab~dságfok és a paa~;~ziv kötöttség egy példán tekinthetes át a legegys.zerUbben.
1 rwJ
7
1
1
30. ábra A 30. ábrán bemuta.tott ~_chanizmu~ az alább~ köve.!:._elményeket el~
giti ki: AB.= CD, Ao =EF= BC, AE= BE és OF'"'· FE. Ennek megfe1el öen az ABCD paralelogramát .képez és ezért az F és E pontok közöttl távolság mindig állandó marad és egyenlo nagyságu Kir illet .. . . l ve BC távolsággal, A mechanizmus szab ads ágfoka a szerkezeti ké plettel számolva nullá-
ra adódik /n - l
= 6;
Ps
~
9;
p
4 =Of;
s • 3/n-1/ - 2p ~ p = 1.6 - 2,9 = O 4 5 A valóságban ez a mechanizmus egy szabadsá gfoku, ugyanis mozgásá. nak jelle ge nem változik meg, ha a két passziv kötöttsé.ggel /E és F/ r endelkezo 5 jelü tagot eltávolitjuk, A továb~iakban v izsgáljuk meg a 6 jelü gö,r:g5t, KönnyU észrevenni, hogy ·a görg5 középpontja körüli szabad e lfordulása a mechanizmus egészének mozgására se-:milyen befolyással nincs . A ~z~badon ~lford~ló görgő felesleges s zabadságtpkat e redményez. A me~hani zmusok szabadságfpkának meghatározásánál a ·passziv kötötts é get .és a fele s leges szabadságiokot mindig e l kell hanyagolni. ,
•
o
- 21 Ritkán alkalmazott sikbeli mechanizmust mutat a 31. ábra. A· mec• hanizmus csak haladó rnozgást megengedo kinematika! párokat tartalmaz, vagyis meqszüntettük a si*ra meroleges tengely körüli fo~gás lehetoségét is.Ezért a szabadságfcket meghatározó szerke• zeti képlet: s
2{n~1[
= 2~2
- Ps
- 3
l
Sikban mozgó mechanizmusok szabad~ sagfokának meghatározására gyakorlásként oldjuk meg a 3.2 •.• 38. ábrákon bemutatott példákat. Valamennyi mechanizmus szabadságka egy.
31. abra
l. példá /32.ábra/: 2, példa /33.ábra/: 3'. példci /34,ábra/: 4. péTda /3S.ábra/: 5. :példa , /36.ábra/: 6. példa' /37.ábra/: 7. példa (38.ábra·f:
a
Ps =
= 4;
n n n n n
= =
n
= 10;
;
:=
6i
'
6; 8; 3;
n = 4;
= Ps =
Ps Ps
4 7 7 10
Ps 2; Ps 13 Ps = 3. l
p 4.
=l
p4 =
2
' l
A példák megoldás ánál nagy gondot kell ford i tan i a kineroa ti.k ai párok számának helyes megállapítására. Például kettőnél több tag kapcsolódásánál annyi kinematika! párral kell számolni, ahány a "csom6pontba" befutó tagok relatív elmozdulását lehetevé teszi. Igy három tag csuklóval történo összekapcselását a közös csomópontban két ö tkötC'lttségU kinematika! párral kell megvalősitani. Altalánositva : ha egy csomópontba z számu tag fut össze , akkor ott z-l számu kinematika! párt kell figyelembevenni.
- 22 -
33. Óbra
32. ábra
35. ábra ·
34. ábra
l l 36. ábra
37 ábra .
· 38.abra
-
23 -
szerkezeti képletek alkalmazása helyett az egyszerUbb sikban mozgó mechanizmusok szabadságfok.!i:t ugyis megállapithatjuk,hOc;JY a hajtó tagot {tagoRat{ lefogjuk és igyezek is állvánnyá válnak.
l\
Mivel a mechanizmus szabadság;foka megegyezik a ltivUlrol hajtott tagok szabadsagfokával, ezért a hajtó tagok lefogása után á hajtott kinematika! lánc önálló ~ozgást már nem végezhet. Ha tehát a vezeto tag /-ok{lefogasa után a hajtott R:tnematikai lánc. elmozdulni nem tud,ugy a mechanizmus szaoadságfokát a vezeto tag, tBbb vezeto tag esetén azok szabadságfokainak összege adja. l. 6, Térbeli mechanizmusok sze:rkez·etL
felépité·s~
A sikban mozgó mechanizmusok szabadságfokát meghatározó szerkezeti képlet levezetésének gondolatmenetével analóg, a térbeli mechanizmusokra is felirhatjuk szanadságfokuR kiszSmitására· szel"" gáló szerkezeti képleteket. mechanizmusok szabadságfokát ugy számithatjuk. ki,hogy az n-1 mozgó tag összesen 6/n-1/ mozgáslehetoségébol levonjuk a tagokat egymáshoz kapcsaló kinematika! párok kötöttségeinek számát, vagyis
l\ t~rbeli
'l
39.abra
~
24 -
Allapitsuk meg a 39. ábrán látható · térbeli_ mechanizmus szabadságfokát. A mechanizmusban a B és D ötkötöttségU, az A négykötöttségU /csukló/ a c pedig háromkötöttségU /gömcsukló/ kinematika! pár. A tagok száma /n{ né9y, p "' 2, p 4 "" l és p 3 = l, . igy a mecha5 nizmus s~abadságfoka : s • 6/n-1/ - 5p5 - 4p 4 - 3p 3 •
6/4-l/ -5.2-4.1-J . t=l
A térbeli mechanizmusokra felirt fenti szerkezeti képlet azonban csak akkor érvényes ,ha további; ugynevezett klegészi·t o· kötöttségek . . l ~ nem befolyásolják a mechanizmus müködését. A kie<Jészito kötöttség nagyságát azoknak a kizárt .mozgáslehetoségeknek · a száma hat ározza meg, amelyekkel a mechanizmus egyetlen tagja ' sem rendelkezik. A kie_Qészi't5 kö't öttsé9 Iriind a· 'ta9ok·, · tnind' a: Idneniatika:i· pát'ok mozgására né zve köz ös kötöttséget jelent, igy a térbi:ü.t mechani:zmu~ sok szabadságfokára felirt fenti képlet átalakul : s = /6-K/ /n- l/ - /5-K{p 5 -/4-K.p4 -(3-K/p3 -/2~K/p 2 képletté. · A kiegészit5 kötöttség többféle lehet . Ilyen, az egész mecha ... nizmusra vonatkozó kötötts~g lehet pl. az,hogy a mechanizmusban csak olyan ötkötöttségü kinematika! párok lehetnek , amelynek tengelyei párhuzamosak. A tengelyek párhuzamosságának el5irása azt jelenti,hogy a mechanizmus tagjai csak egymással párhuzamos sikokban mozdulhatnak el,vagyis a térbeli mozgáshoz képes t három kötöttséget jelent a mechanizmusra eteirt közös kötöttsé9, igy K = 3. Vizsgáljuk meg a 40.ábrán látható kardáncsuklóval kombinált csavarorsós állitószerkezetet • .A mechanizmus térbe li, annak ellenére, hogy csak ötkötöttségU kinematika! párokat tartalmaz, Az ötkötöttségU kinernatikai párok száma p • s, a tagoké 5 szintén öt . fri ./ 5/, A tagok mozgását vizsgálva megá~lapíthat6,hogy egyet 2 1 len tag sem mozoghat az x és a z tengely irányában.Ennek megfeleleen
- 25 -
a rnechanizm\lS kiegészito kötöttsége s = /6-2/,fn-lf-/5-2/ps
=
K == 2,
5,5
4,4
szabadságfoka:
=
l
A 4l.ábra olyan mechanizmust rnutat, amelynél a tagok tisz.,. tán csavarmenetes kapcsolatban állnak egymással /n ~ és p =3 l. 5 Ebben áz esetben két mozgáslehetoség marad: az x-x tengely körüli forgás és a tengely irányu haiadó mozgás. A kizárt mozgáslehetoségek száma négy, ennek megfeleleen a kiegészito kötöttség is négy /K 4/ és a mechanizmus szabadságfoka:
s
=
l. 3
/6-4/ /n-1/ - /5-4/p5
=
= 2.2
-
l
lS.ábra olyan sikban rnozgó mechanizmust ábrázol,arnelynél a sikra meroleges tengely körüli elfordulás lehetoségét is kizártuk, vagyis ·K =4. Mivel a tagok és az ötkötöttségü kinamatikai párok száma itt is három {n= 3, Ps= 3/ 1 a mechanizmus szabadságfoka: s = l. A kiegészito kötöttségeket is figye~ lernbevéve a mechanizmusok szabadA
x
ságfokát az alábbi: s
2
47. ábra
=
6/n-1/ - 5p 5 - 4p 4 - 3p 3 - 2p2
- pl + q képlettel is meghatározhatjuk,ahol q a kiegészito kötöttségek számát is szárnitásba vevo-tag. A kiegészito kötöttségeket figyelembeveve q nagyságának meghatározását megkönnyiti,na tudjuk,hogy ha két ötkötö_ttségü kinematika! pár ~engelye párhuzamos,vagy rnetszodik akkor q =l. Ha tengely~iR Ritéroe~ q= o. A· kinernatikai párok kölcsönös elhelyez• kedésének vizsgálatánál azonban csak az azonos jellegűeket szabad figye- .
- 26 lembe venni/például kUlön kell yizsgálni a csuklókat és k~lön a csavarmenetes kapcsolatokat, stb./. Tekintet~el arra,hogy két párhuzamos egyenes is metsze>dik /a végtelenben/, megá~lapithatjuk) hogy az ötkötöttségU kinemattkai . párok tengelyeinek · metszéspontjai q számát.adják. Két párhuzamos. tengely. egy, három kettő, négy párhuzamos tengely három /és igy tovább/ metszéspontot hozlétre. Ennek megfeleleen q értéke egy,kettő,három,stb, lesz, Az alábbiakban néhány példa segitségével megmutatjuk q nagyságának . ' és a mechanizmus szabadságfokának meghatározását, A 14 .ábrán bemutatott, ekéknél alkiümazott tarlókerék álli tÓ mechanizmusánál a tagok száma n= s, · A Ps= 5 darab ötkötöttségü kinematikai pár koz,~.il négy csukló egy pedig csavarmenetes kapcsolatu kinema-tikai pár. Három csukló tengelye párhuzamos, tehá·t két metszés .. pontot ad,igy q = 2. A mechanizmus szabads~gfoka: ;
·. Számi.tsuR kt a Rardáncsukló {l3.ábra{ szabadságfokát, Ta<;Jok. ·száma n = 4, A tagokat négy ötkötöttségU. csukló kapcsolja össze {p ·~4{, A csuklők tengelyei egy pontban metszodnek /négy tengely 5 fut össze, ami három metszéspontnak felel meg/, . vagyis q • · 3 és igy a kardáncsukló szabadságfoka: s
=
6/n-1/ -sp 5 +q= 6/4-1{ . - 5.4 +3= 1
A térbeli mechanizmusok szerkezeti képlete sikban mozgó mechanizmusokra is alkalmazható. A 42. ábrán láth~t6' szénaprés kinematika! vázlatán a tagok száma n = 6. A mechanizmus hét ötkötöttségü kinematika! párt tartalmaz /hat csuklót és egy haladó mozgást megengedo kinematika! párt/. A mechanizmus sikban mozgó, mert a kinematikai párok tengelyei párhuzamosak /a baladó mozgást végze> kinemattkat . pár is felfogható forq6 párnak ,ha a D pontot egy végtelen hosszu taggal kapcsoljuk az alaphoz. Ezt az ábrán szaggatott vonallal jeleztUk/. Az elmondottakból következik, hogy q= 6 és igy '
s = 6/n-1/ - sp 5 +q= 6/6-l/ - 5.7 +6= 1
-27 -
E
l
42. ábra
A meehaniz.musokat ~ kl~gészitö kötöttségek alapján családokba soroljuk.Ezen az alapon a mechanizmusok öt családját·k(.lH:inbCSztetjük meg. A család sorszámát a kiegé- · szi to kötö.ttségek s~áma /K/ ·határozza meg, · Ha a mechanizmusnál semmilyen kie~ gészitö kCStCSttséget nemirunk elo, akkor a mechanizmus · a . zérus jelzésü· családba tartozik. Az elso családnál K ~ 1, a másOdiknál K = 2, stb, és végül az ötödik csaladnál K = s. M!nden ötkötöttségü kinematika! pár a mechanizmusok ötödik családjába tartozik, ·
A zérus és az elso családba tartozó mechanizmusok igen bonyolultak, foleg nyomda- és szövolpari gépeken, vagy egyéb területeken alkalmazott automata gépsorokon találkozunk velük, A legelterjedtebb mechanizJnusok a harmadik családba tartoznak. GYakorlásként határozzuk meq a 12 ••. 17, ábrákon látható mechanizmusok családját. L 7. Sikban mozgó mechanizmusok osztályozása. Artobolevszkij osztályozása alapján azt a legegyszerUbb mechanizmust, amely · mindössze egy mozgó tagból áll és ötkötöttségü kinematikai párral kapcsolódik az állványhoz f 43 . ábra/_ I ,osztályu mecha~íz musnak nevezzük. Az ilyen mechanizmus szabadságfoka egy. Bármely más, kettenél több tagból álló bonyolultabb mechanizmus ugy alakitható ki,hogy a hajtó taghoz /tagokhoz/ és az állványhoz, vagy is az I.osztályu mechani zmushoz valamely több tagból 'és kinematika ! párből álló csoportot kapcso lunk. Ahhoz,hogy·a hajtótag /tagok/ által meghatározott szabadságfok ne változzon
f
- 28 -
meg, az I.osztályu mechanizmusokhoz csak nulla szabadságtoku csoport kapcsolható. Ebben az esethen a k ·tagból és p ötkötöttsé5 gU kinematika! párból álló csoport szabadságfoka B
=
3k - 2p
5
=0
és a-kinematika! párok·száma, valamint a csoportot képeze tagok száma között a következo összefúggés áll fennt 3
Ps ..
2k
Mivel a kinema-tikai párok száma csak egész szám lehet, ezért a csoport tagjainak száma mindig páros szám és a kinemaúkai párok száma a tagok számának másfélszerese. A fenti egyenletnek végtelen sok kinematika! láncot magába foglaló megoldása van. Ezeket a nulla szabadságioku kinematika! láncokat' Asszur csoportnak nevezik és ezek képezik a sikban mozgó "mechanizmusok Asszu.r-..féle osztályozásának alapelvét,
a
Az Asszur csoportokban fentieknek megfelel5en a következ~ számu t.:tgok és ötkötöttségU kinematika! párok szerepelhetnek: k
2
4
6
Ps
3
6
9
8 12
...... •.... .....
~
• • • •. t
s tb, stb.
1\z Asszur csoportok osztályokra, az OSi.!l:ályok rendekr.e bonthatök /44,ábra/. Ua az I.osztályu mechanizmushoz több Asszur csoport kapcsolódik, akkor az igy kialak:ttott mecha ni zmus osztá lyát és rendjét a benne található legmagasabb osztályu és rend(f csoport határozza_ meg. Azokat a kinematika! párokat, amelyek a csoport tagjait egymáshoz kapcsolják belso kinematika! pároknak, azokat, amelyeJt a csoportot a mechanizmushoz kapcsolják kUls5. kinematilcai pároknak nevezzUk, Az ugynevezett szabad csuklót nem tartalmazó tagnak központi tag a neve. Asszur a nulla szabadságtoku csoportokat II., III, /IV.; V., stb, osztályokba sorolta.
- 29 Asszcr
tO~z-1 aty ll
lll
IV
v
csoportok o~z!Óiyozása
féle
Rend 2
l
J
4
s.
1\ ~y ·~
Qó
v
VI
44. ábra A l egegyszerübb csopo rt /II.osztályu/ két tagból és három /egy belso és két külso / kine matikai párból áll /44.ábra/. Az egyes oszt ályok a .belso kinematikai párok által kialakitott zárt kantur /alak zat/ a l ap j á n különböztethetok meg egymástól. A belso kinematikai párok ennek me gfele l een a III. os ztályban hár omszöget /háromszöge ket/ 1 IV.osztályban négyszöget, az V , osz tályban ötszöget, s t b . zárnak körül. Az egyes o sztályokon belUl a cso~ portok a szabad k,lro k, illetve a szabad kinematika! párok száma szerint rendekre os zla na k, A mechani zmusok l egtöbbje. II.osztályu,vagyis I,osztályu
.m echaniz-
mus /hajtó tag é s állvány/ me lletf II . osztályu Asszur csoportokat tar t almaz. Jóval kisebb számban találhatók III.és IV.osztályu mechanizmusok és bonyolults á guk miatt szinte csak e l vé tve találka-
- · Jo-
zunk V. és VI.osztályuakkal. A leggyakrabban eloforduló_II.osztályu,- másodrendll csoi>ort néhány változatát a 45,ábrán mutatjuk be.
Három forgó pÓr
t
1/\.2_ ~x
. /.~
l' . ~ .
,
.
•
forgo (XJr ~s ~gy · kilsÖ hdadó pór
l
,)-y:J
'
K~t
'
H
1
1
·
Kt t küiSD forgo par is ~gj Mls$ hala· dÓ
l
pár b~ISÖ haladÓ
~s tgy b~lsó
fa--
gó pár
Egy külsó forga
ts
k~t
ldadó ,ilr
,5, ábra A fels15rendü kinematika! párokat tartalmazó mechanizmusokat a szerkezeti é~ a kinema tika! vÚsgálat egyszerUsitése.és . szemléletessé tétele érdekében célszerű alsórendll ötkötöttségU kinematika! párokat . tartalmazó mechanizmusokká átalakitani. Az igy átalakitott mechanizmus az eredetivel akkor egyenértékű, ha kinernatikája és szabadságfQka az eloz15vel azonos. Szerkesszük meg a két kört.árcsáb61 {I és II/ .álló mechanizmus /46.a .A.hra/egyenértékU változatát, Ha a I tárcsát o1 kl:>rtil elfordit-
- 31 -
juk, az mozgását átadja a II tárcsának,amely o2 forgáspontja körül elfordul. Forgáskor a I tárcsa A geometriai középpontja o<- oC iven mozog. Az o1 és az A pontok távolsága a mozgás f~lvamán változatlan marad. Hasonló a helyzet a B és o pontoknál 2 is, -\z A és B pontok távolsága sz:i:ntén állandó, nagysága a két tárcsa görbületi sugarainak összege, Az AB rud a mechanizmus müködésekor az A0 1 és a B0 1 tagokhoz képest elfordul. Ez azt jelenti, hogy az A és a B pontokba csukló helyezhet(). Az elmondottaknak megfeleleen az adott mechanizmus tehát o1 AB0 négytagu csuklós 2 mechanizmussal helyettesithet5.
-\
A t-.--
.......
(! ) _".,.
/
l
, j
l "' ....
J
l l
1,6. ábra
A 46.b ábrán az I és II karok az M pontban érintkeznek.
Az ernlitett tagok forgáspontja o 1 , illetve o . HelyettesitsUk a fel2 s5rendü kinematika! párokat alsörendüekkel. A megoldás a k5vetkez5, Meg kell rajzolni az M érintkezési pontban a kö2ös profilnormális t, majd ezen a görbületi középpentokban {A és B{ el kell helyezni a csuklókat, Ezeket a csuklókat összekapcsolva kialakit• juk az AB tagot. Ha az A és B csuklókat az o1 illetve o2 forgás~ pontokkal összekötjük, akkor az eredeti mechanizmust helyettesite négytagu csuklós mechanizmushoz jutunk, amelyekben már nincs fel ... sorendU kinematikai pár.
Altalános szabályként megfogalmazhatjuk,hogy a felsoreodU kinematikai párokn~k alsórendilekkel történo helyettesitésekor a profilgörbék érintkezési pontjában meg kell rajzolni a.közös profilnor ... málist.
- 32 A közös profilnormálison a görbületi középpentokban el kell helyezni a csuklókat, majd ezeket összekötve. kialakitani a feltételezett helyettesite tagot. A 47.ábra bütykös mechanizmusának átalakitásánál is az elso lépés a profilnormális megrajzolása a_B érintkezési ponton keresztül •. A profilnormálison, a bütyök A görbületi középpontjában kell elhelyezni a helyettesiHS mechanizmus csuklóját. A tolórud görbületi középpontja a végtelenben van,ezert a másik csukló helyett haladó mozgást megengedo kinematika! párt. {B[ kell alkalmazni, A helyette.. sito mechanizmus az o ABC mechanizmus két haladó és két forgó kine~ 1 matikai párral.
~8. abra
4 7. ábra Fogaskerekes kapcsolatnál l 4 B. ábra/' a két kapcsolódó fog közös profilnormálisa a P ér:itkezési ponton átmenö A és B görbüle-_ ti középpentokat összeköto egyenes. Az A és B pontokba helyezett csuklókat merev taggal összekötve az egyik helyettesita tagot, majd az A és B pontokat az o1 illetve o forgáspontokhoz kötve a helyet2 tesita o 1 AB0 2 négytagu csuklós mechaniz~ust kapjuk, .A fogaskerékpár tehát a II ,osztályu, másodrendll mechanizmusokhoz t,artozUt.• Az elmondottak alapján készitettük el a 49.és az so. ábrákon látható mechanizmusokat /a/ helyettesit5 egyenértékU mechanizmusokat /b/ is.
- 33 -
D
2
l
49. abro
l
50.abra
- 34 2.
Mecl,ani~musok
kinematika! vizsgálata qraf1kus in6dszerrel,
A mechanizmusok kinematikai vizsgálata a hajtott tagok mozgá~ sának meghatározásával foglalkozik, Kinematikai Vi:1;sgálattal hatá ... rozzuk meg a mechanizmus tagjainak mozgásállapotára jellemzo értékeket: az egyes tagok helyzetét, elmozdulását, szögelfordulását, az. egyes tagok pontjainak pontgörbéit, sebességét, gyorsulását, továbbá a tagok szögsebességét és szöggyorsulását, A vizsgálatokat matematikai módszerrel vagy grafikus uton végezhetjük, esetleg mindkét megoldás t alkalmazhatjuk. A matematikai módszerrel végzett vizs<jálat pontosabb, mint a szerkesztéses eljárás, az utóbbi viszont gyorsabban eredményre vezet. Jegyzetünkbe n a grafikus megoldást részesitjük elonyben.
2.1. A tagok helyzetének és az egyes pontok mozgáspályájának meghatározása . Pontgörbének /pá lyagörbénekl nevezzük azt a görbét, ame ly rnentén egy tag valamely pontja a mechani zmus müködése közben mozog. A pontgörbék megszerkesztése elsosorban az a lábbi két esetben válik szükségessé: af a rnunkav~gzo szerv müködésének vizsgálatánál és b/ annak a kérdésnek az eldöntésénél , hogy a vizsgált tag egyáltalá n tud-e az e loirt mozgáspályán mozogni. Ahhoz,hogy meg tudjuk szerkeszteni a z egyes pontok pályagörbéit, ismerni kell a mechanizmus mérethelyes r ajzát , Ehhez a kinernatikai vázlatra és a t agok ~éretére van szükség. A pontgörbék szerkesztését egy konkrét példán keres ztül mutatjuk be / 51. ábra{, A tagok méreteit ismertnek tételezzük fel. A klnematikai vázlat me grajzo l ásához eloször a rajzléptéket kell meghatároznunk. A l~pt ék nagysága a tagok méretétol és a rendelkezésre á lló rajzlap nagyságától fUgg. A rajzléptéket k 1 = Wm - ben 1 ke ll megadni..
-
35 -
o,
51. abra A mérethely'e s kinematika! vázlat meg~ajzolá.sa elott célszerű meghatározni a mechanizmus oszt.á lyát és rendjét. EsetUnkben a hajtó tag /az állvánnyal/ I.osztályu mechanizmus,
ameiyhez két / a 3-4
és az 5-6 je lU tagokból á ll ó/ II, osztályu másodrendű csoport kapcsolódik, A edntechanizmus tehát ennek megfelelöen I I . osztál yu és 2 . rendU , Ez után kövelkez h et csak a kinematikai párok középpontjának bej e iölése a rajzlapon.
Először
m.indig az állványho z kapcsolódó kinema-
tikai párok e lemeit az O és
o1
csuklók középpontjait é s a haladó
mozgást megengedo kinematika! pár x-x tengelyét rajzoljuk meg,a ~s
b léptékhü felhasználásával. t-1ost már
megrajzolhatjuk az OA
hajtótagot is. Mivet a hajtótag az O középpont kör ü l,. körben forog, helyzetét tetszőlegesen vehetjUk fel /az · ábrán függőleges/.
A haladó mozgást
. végző
B pont helyzetét megkapjuk, ha A-ból AB
távo ls ágga l bemets'lül< az x-x tenge l yt . A C pont helyzetét az
A
po ntból AC távulsággal, valamint a B pontból BC. t ávolsá ggal huzott körivek metszéspontja adja . Hasonló módon szerkeszthetj Uk meg D pont helyét is ,és ezzel az emlitett Asszur csoportokból összeáll! - . tot tuk a mechanizmus mé r ethelyes kinematika! vázlatát a forgattyu
els5
helyzetében.
36 -
A továbbiakban. szerkesszUk meg C és S pontok pontgörbéi:t {S pont a CD tag felez5pontja/. A rnechan~zmus második hely~etének megszerkesztéséhez a forgattyut 30°-kal elfordit(.-' tuk. Ennél a forgattyuállásnál ismét meg kell szerke·szteni a mechanizmus összes pontjának helyét. T~zenkét, esetleg ennél is több mechanizmus helyzet megszerkes~té se után az azonos jelü pontokat folyamatos görbével összekötve megkapjuk a keresett pontgörbéket. A rnechaniZmiJst Altalában csak egy helyzetben rajzolják meg. A többi helyzetben csak a pon!-okat fa kinamatikai párok ké>zéppontjait/ szerkesztik meg,de nem kötik össze öket/nem rajzoljá~ meg a tagokat minden helyzetben/, csak a pontgörbéket ábrázolják. A holtponti helyzetek szerkesztésérol az 1.4 fejezetben m~r beszéltünk.
2,2. Tagok pontjainak sebessége és gyorsulása,-Sebesség .... ~s gyor.,.
sulásterv A mechanizmusok grafikus módszerrel történo vizsgálatához tsmex:ni
kell a saoességek és gyorsulások vektoregyenletett. Eloször. vizsgáljuk azt az esetet, amikor· a· pontok egy· adott ta99n egymástól meghatározott távolságra helyezkednek.el. Tételezzük fel,hogy ismerjUk a 3-as jelU ABC tag A és B pontjának pályagörbéjét /~ -..<.és valamint az A pont VA sebességét és aA gyorsulását /52 .ábra/, Az adott pillanatban a merev test mozgása aM momentán·centrum lpillanatnyi forgáspont/ körüli forgásként fogható fel. A momentán centrumot. a pályagö~bék A és B pontjában megrajzolt normálisaina~metszéspontj~ adja, A B pont sebességére felirható,hogy
/J-,4 /,
v A VB
-
MA . vagy
iffi
-
VB
-MB -
"'V
A"f::C
- 37 -
o.,
b
@ VA
Ov
c
0 52. ábra Hasonló összefüggést irhatunk fel a c pont sebességére is,amely~ nek vektora meroleges a momentan centrumából a c ponthoz huzOtt sugárra /Me-re l. C pont sebessége: -
VC - VA ·-
MC
MA '
A tetszelegesen választott Ov pontból rajzoljuk fel A és B pontok sebességeit . A sebességek végpontjait fa és b/ kössUk össze ·,
- 38 A kapott aOvb háromszög az AMB háromszöggel hasonló. Ez a háromszögek megfelelo oldalinak arányából és az M, valamint az O csucsoknál lévo szögek azonosságából következik. v Az Ov pontból rajzoljuk fel c pont . még . ·. sebességét is és végpontját /c'/ kössük össze a és b piontokkal. Ekkor az ABC háromszöggel hasonló abc háromszöget kapjuk, rnivel
AB
CB
AC
'A·z ABC tas_ mozgását két mozsás eredejeként is elképzelhetjük, ugyanis a tag az ABC helyzetbal a pályagörbék által eloirt A B e helyzetbe ugy is elmozditható, hogy a tagot az A pont 1 l l . pályáján önmagával párhuzamosan el to.ljuk /A BÍCÍ helyzet/, majd 1
a Bí pontot Al körül ráforgatjuk B pályagörbéjére /Bi/• Ebbol következik, hogy B pont eredö mozgása az A pont mozgásának és a ·B pont A körül történo elfordulásából adódó mozgás ként
adódik. Mivel az A pont
összegezése~
mozgását az ABC tag minden pont-
ja felveszi,ezért azt szállitó rnozgásnak nevezzük. Az ábrán a könnyebb érthetöség kedvéért az A pont "pályagörbéjét" egye'nesnek adtuk meg /görbületi sugara
végt~len
nagy/. Természetesen a fen-
ti gondolatmenet akkor is érvényes,ha az A pont pályagörbéjének görbületi sugara véges 1 ugyanis a vizsgálat nagyon kicsi, eLmi idöre vonatkozik, Az elmondottaka t ál ta láno.si tv a
1
megfogalmazhatjuk ,hogy az abszo-
lut merev test valamely pontjának ered5 sebessége a szállitó sebesség és a relativ sebesség vektoriális összege. A vizsgált tagnál az A pont sebessége a· szállitó sebesség, a B pont A körüli /A-hoz viszonyitott/ mozgás~ból adódó sebesség pedig a relativ sebesség.
Az utóbbit vBA-val jélölve, a B pont
sebességének vektoregyenletet -
vB
=
VA
+ .tfBA
A C pont sebességére két, . az elobbivel analQg egyenlet irható fel, mivel C pont mozgása A pont mozgásától és A körüli elfordulásától, valamint B pont mozgásától és B körüli elfordulásától is függ.
- 39 ~c pont se~ességének. vektoregyenletetei r
és A vBAI VCA és VCB relativ s_e bességek a sebességsokszög ab, ac és bc metSZékei, amelyek az elmozduló tag alakzatával hasonló alakzatot zárnak körtll. Az a v· hac sokszöget. /52-.b.áhra / sebesséqte rvnekr .z Ov pontot a sebességterv p ól us ának ·n evezik.
-
Mivel a relativ mozgások körmozgások 1 ezért a VBA' VCA és VBC rel atiV sebességek faJ::,, ac, bc metszékek/ rnerolegesek az elmozduló ABC tag megfelelo AB,AC _és CB oldalira, vagyis az abc -és ABC háromszö gek hasonló háromszögek, Az elmondottak összegzéseként fel irhatjuk Burmeist el! tételét, mely szerint valamely test ktllönbözo pontjainak egy közös csomó"póntból fpólusból/ felrajzolt sebességvektorai a pontokat {A,B és C/ összekötő egyen.e sek által határolt, elmozduló /ABC/ idomhoz /sokszöghöt. / haso nló idornon /abc/ végzodnek . Az eredesebességek vektorainak végps:mtját öss.zeköto egyenesek által határolt sokszög 90 fokkal vanelfordulva a tag · szögsebe ségének irányába a mechanizmusban e lmozduló megfelelo tagho z ké pest. Burineister t é telének ismeretében könnyen rnegszerkeszthe tjük valamely tag bármely pontjának sebes ségét, ha a tag két pontjának sebessége már isme rt. ~ r e lativ seb e sségek és a tag szögsebessége között a. v BA =GD3 .AB, vCA =G0 3 . AC é s vCB ~úV3 . BC összefüggések állnak fenn. BA, CA és CB irány ából 3 iránya megha tározható . A megállapi t ás
v
v
v
w
forditva is igaz. Fontos annak felismerése,hogy i!Z összef:ett sikrnozgást végze test szögsebessége bármely .sikra meroleges tengely körül {()3 ;Azonban olyan teDgely,a~ely körül valarnely ·pont eredosebess~ge ugyanazt az(.c) 3 szögsebe sséget eredmé nye z i,csak egy van és e z a t ag mamentán centrumában található. Ennek az a magyarázata,hogy bár a ta9 a sikra merole ges bármely tengeiy körtl1CV3 szögsebességgel mozog, de a tengelyekkel együtt a szállitó moz~ás miatt még haladó mozgást is végez. Csak a momentán ce ntrumban leve tengely haladási sebessége null a /gyorsulása neml/,igy csak e körül végez tiszta forgó
- 4o -
rnozgást a test. Mivel a rnomentán centrum sebessége nulla,igy az . adott pillanatban az l jelU álló tag /állvány/ pontjakétit fogható fel,ezért az n. tag hozzá viszonyitott szögsebességét ~n 1 -el azokták jelölni /a momentán-centrum _jelölése ekkor Mn 1 /. Az 52. ábrán szereplo, 3 jelü ABC tag szögsebessége tehát: l
/
lc.o
3
=w.
31
=--= =---CB AB. AC VBA
VCA
-
VCB
VA AM
vc -VB =-BM
CM
l__~-~---------------.. összetett mozgás komponenseinek megfeleloen a B porit gyorsulásá-/az 52.ábrán az oa b' metszék/ a sebességgel analóg az alábbi
Az ra összefüggés irható fel:
.
A B pont BíBl iven történo relativ rnozgásának a~ gyorsulása l a 'b, l két kornponensbol áll; az a~ normális öss zetevobol l a 'hi, l , amely mindig a relativ forgásközépgont felé, vagyis B-bal A-ba mu~ az aBA t t angenc i'li /b'b 1''f,arnely -l eqes t a t es a s k arnponens b
alapján B pont gyorsulásának vektoregyenlete;
-n ~ - t Az aBA es aBA gyorsulás-komponensekre felirható összefüggés az alábbi; -2 VBA
AB \
és
-;;~ =.An • a 3-as tag s~·;s-~l~sa.
( ahol
6 31
-
631
)
A B pont eredő rnozgása az OB görbületi sugaru körlven történik. ( Ezért az a 9 eredö gyorsulás /az egyenlet bal oldala/ is két kompo-. Í nensbol áll/O felol vizsgálva/, vagyis: i ;f;
41 -
~
-n a BO
= OB
2
• Gr,) 21
oo;t
-
-2 VB
-~
....v~
ÖB
·~t.
és -t
aBO
-~--...
,.. OB •
____--- - -
é 21 ·-
összefUggésekbol határozhatók meg, Ahol: OB a B pont pályáján~k gö~bUleti sugara, O a görbUle~i középpont, Gű 21 és é 21 a B pont / ilietve 2-es tag/ szögsebes~ége, illetve szöggyorsulása az á1~6 görbUleti középponthoz képest. A B pont gyors~lását egyért~lrnüen meghatározó vektoregyenlet tehát a következo:
A C pont gyorsulására a sebességhez hasonlóan két egyenletet kell felirni:
és
Az aCA /a'c' l és az aCB /b'c'/ relativ gyorsulások normális és tangenciális komponenseire itt is fetirhat6, hogy
és ·
CA
2 w 31 =
CB
2 • "'31
-z
- 2 AC
v
= ~CA
VCA -
• (.c)31
~~'*VCB ·W31
rnetszék/ /a'c"/ l
/b'c 2" t me ts zék/
- 42 -
.
- ·t a CA
..
AC • é31
/c'ci
met:szék(
-t aC B
= BC .&31
/c'c'2
metszék/
· A vektoregyenletek alapján felrajzolt szoksz<5get /52.c és d ábra/ · gyorsulástervnek, az oa pontot a ~orsulásterv p61usának .nevezzük. Az egyszerUsités végett a sebesség és gyorsulástérvekben _a sebesség- és gyorsulásvektorok jelölés~it nem mindig irjuk fel,hanem a vektorok végpontjaira a kinemattkai párt jelzo nagybetUnek megfelel~ ki~ betUt/ a gyorsulásoknál ·egy vagy több vesszcs indexszel megk~lönbBztetve . 5ket/. A sebesség és a gyorsulástervekben az eredő vektó~ok mindig a p6lusból indulnak és ' végpontjai kat ö sszekötő egyenesek a relatív gyorsulásokat adják! Az aBA, aCA és aCB reJ.ativ gyorsulások az alábbi m6don is kifejez .... hatok: aBA
2 -=As"k~ 1 . +én
a CA
= A~~l
+
2
t31
ebbol következik, hogy
= aCB
aBA AB
AC
vagy a 'b' a'c'_ = AB A~
-
BC
-
~,
BC
A kapott egyen~o~ég arra utá l,hogy az a'b'c' /Sl.d ábra vonalká- . zott hár~mszöge/ és a z . ABC háromszög megfelelo oldalai arányosak, · tehát a két háromszög. . h~sonl6 . E~bol k<5v~tk~zik ,hogy B~rmeist.er tétele a gyorsulásokra · is érvényes, vagyis 'a közös pontból l a
- 43 -
gyorsulásterv pólusából/ felrajzolt ered5 gyorsutások a mechanizel11tozduló alakzathoz hasonló alak za ton végzadnek, A ha's on.!§. idomok egytnáshoz vis ·z onyi tett el·f ordulása azonban itt· nem· 90 foko·s. Most vizsgáljuk meg a második. esetet, amikor két pont két kUlönbözo, de gymással haladó mozqást megengedo kinamatikai párt képze tagon fed5pontokként helyezkedik el. Ennek értelmében adott a 2-es tagon levo A és a 3-as tagon elhelyezkedő B pont /53 • ábra/. A és B fedopontok, mivel B pont A pont felett helyezkedik el. Az ábrán a pontokat annak a tagnak a számával jelöltük, amelyikhez tartoznak, A 2 és 3 tagok ötkötöttségU haladó mozgást .megengedő kinematikai párral kapcsolódnak egymáshoz. A .könnyebb érthetőség kedvéért a 2-es tag forogjon az álló O pont körUl cv szög:sebességgel és g szöggyorsulással. Igy az 21 21 A pont sebessége és gyorsulása adott, vagyis: ~usban
---------- ---- - --- -A B pont sebessége a most vizsgált esetben is két komponensb()ll a szállitósebességool és a relativ sebességbol áll. Mivel a szállitó mozgás itt a 2 jelü tag mozgása, ezért a szállitó sebesség annak a 2 jelü tagon lévo pontnak a sebessége. lesz, amely. pont egybeesik R ponttal /vagyis az A pont sebessége/ . A relativ sebesség /vBA/ a 3-as tag 2-hez viszonyito tt seb es sége és igy iránya az~ - ~vezetékk~l párhuzamos. A B pont s ebességének Vektoregyenlete tehát: +
Ha i smerjUk a B pont DB görbületi sugaru /.3 -/3 pontgörbéjét, akkor a fenti egyenletnek megfeleleen a sebességterv is eikészithete / 5 3.b. ábra/. A vB er.edosebessé.g iránya ugyanis a pontgörbe B pontban huzott érintajének irányába esik, vagyis meroleges DB görbületi sugárra.
- 44 -
7
l
Yo
.1
~4
@
t
~D .
l l
c;b a
0
l
. /
/ p.,
/
OiA
o"
b
®
2veA é21 :: t31
a 1
w 11•w31. /
l
53. ábra
A B pont ered5 gyorsul ása három komponensb51 tev5dik az aA
l
b
~ssze :
szállító-, az aBA relatív- és az-;~ Coriol i s gyors ulás -
ból. A relativ mozgás min t már rámutattunk ot - ot irányu . A B pont ilyen mozgása esetén a re l ativ gyorsu l ás csak tangenciális,vagyis az ~ - ot vezetékkel párhuzamos lehet . Ezért a relativ gyorsulás t -;~- -v~i~jelöljük. . Az ~~A
Cori olis gyorsulás a szá l litó és a rel~tiv mozgások
k~lcsönhatása ként
jön lét re. A Cori o l is gyorsulás az alábbi
összefUggé sb51 hatarczható meg :
c:_BA
=
2 v""_~:
'"'::j·.
ahol 'vBA - a re l ativ mozgás sepessége
co 21 - annak a tagnak a szögsebessége, amel yen a szá llító
- 45 -
-
mozgást ad 6 pont l n l e 1helyeakeaik-.A Coriolis gyorsulás egy vektorszorzat eredménye. Ezért a Carlolis gyorsulás iránya ugy határozható meg,hogy a vBA rel ativ sebességet kezdepontja körUl az ~ 21 szögsebesség irányába 90 fokkal elforgatjuk. Az igy elforgatott v Á rela.tiv sebesség iránya a 13 Carlolis gyorsulás irányát adjaAz e lmondottak alapján B pont gyorsulásának Vektoregyenlete tehát:
Megemlitjük,hogy mivel a 2 és · 3 jelU tagok haladó mozgást megengedo kinematika! párral kapcsolódtiak egymáshoz ,ezért egymáshoz képe st elfordulni nem tudnak, vagyis ezek a tagok azonos szögsebességgel és szöggyorsulással mozognak: f:31
A ~orsulásterv /53.c,ábra/ elkészitéséhez a B kinematika! párhoz kapcsolódó tag /esetünkben a 4-es/ felöl is meg kell vizsgálni B pont mozgását. Ha például a kapcsolat az ábra szerinti,akkor B pont eredo gyorsulását egyértelmllen meghatározó v ektoregyenletek az alábbiak:
és aB
ahol Il
aBD
-n·
"" aBD
-2 VB
-BD
-t
+ aBD
és
-t aBD
= BD
E:ü
A bemutatott két esettel kapcsolatban fontosnak· tartjuk még megjegyezni,hogy a normális- és a .Coriolis gyorsulások számitással ' . és mint késobb látni fogjuk · s zerkes ztéssel nagyság és irány szerint egyaránt meghatározhatók. A tangenciális gyorsulásoknak azon-
- 46 pan csak az irányát ismerjük: azok mindig egybeesnek a pályáqörbe adott pontjában megrajzolt érintC'ível. Ezért mint az 52. és 53. ábrán bemutatott esetekbe_n is. láttuk, a vektoregyenl.e tek alapján megszerkesztett gyorsulástervekben a végso megoldást a tangenciális gyorsul~sok irányának metszéspontjai adják.
anOB
d
d
OBe.
B
A normális lrányu gyorsulás szerkeszt~sét az 54. ábrán mutatjuk be. Tételezzük fel,hogy valamely mechanizmusból kiemeltük az n jelU .t3D ,. tagot. Altalános ese tben az n jelü tag B pont körüli for-
gása változ6 szögsebességü, egy adott pillanatban tehát &nl szöggy orsulás is fellép. Ennek megfeleloen D pont gyorsulása B-hez _::iszony! tva két összetevőbel áll, mégpedig az -;;:~B normális és az a~B tangenciális összetevC'íbC'íl. Tételezzük fel,hogy , a beeségtervet elozoieg már megszerkesztettük és igy a v06 re_l ativ sebessége t . . . ismerjük. A relatj,v sebesség és ~ DB rud hosszának ismeretében az . . . . . a 06 szerkesztheto.Ha ugyanis a D pontban felrajzolt v06 végpontjából a M.,.te marolegest hu.zunk, akkor az a merolege~ ·,. .BD m~g.,. hosszabb.i tásából kimet~zi' a Dd'' hosszuságot. A hasonló háromszö.,. gek /BdDA,.,dd"D A l megfelelo oldalarányai egyenloségének fel1rá• sávál bizonyitható,hogy .. .
~
•.
-
·l
BD ugyanez az ere dmény adódik az.54.b. ábra. szerinti s~erkesztéssel is,amelynél D-hol a Bd-re bocsájtott mer5leges és d-b51 BD-vel párhuzamosan huzott egyenes d.' metszéspontja határozza meg · a (fc!'= ? DB gyorsulást. !éríUnk át a Coriolis gyorsulás szerkesztésére,Az 53, ábra vizsgálatánál a Coriolis gyorsulás meghatározására felirt összefüggés sikban mozgó mechanizmusoknál megengedi a következ5 irást is:
A fenti . összefüggés alapján~~ megszerkesztheto, Az 53, ábrából következik,hogy
tg
'f
és igy a Coriolis gyorsulást meghatározó képlet az alábbi alakba rendezhet5 át:
., ; .· '·
AO l
-
Ha tehát az 0Aa 1 háromszögben az OA oldalra 2v A-t mérünk fel, 8 ~kkor ennek végpontjában a vA- val párhuzamosan /AD-ra mer5lege sen/ éppen az ~~A nagyságot kapjuk meg. Bz azonban még csak a nagyság! · Irányát ugy határozzuk meg,hogy 1 megfelelo pontba /ábránkon B/ helyezzlik a vBA vi szonylagos :;ebességvek.tort és azt ~l szögsebesség irányába 90 fokkal elforgatjuk. Ne feledjük ,hogy a Coriolis gyorsulás mindig mero l~ Ies a relativ sebességrel
- 48 -
2.3. A momentán centrumole és a gyorsuláspólus meghatározása A mechanikából ismert, hogy a merev testek l a mechanizmus tagjai/ párhuzamos sikokban történo mozgásakor mozgásuk egy adott pillanatban a pillanatnyi forgáspont az u,n, momentán centrum körüli forgomozgásként fogható fel, A· mechanizmusoknál a tagok mozgását vizsgálhatjuk a mozgdulatlan á llványhoz képest, de vizsgálhatjuk a mechanizmus bármely tagjához viszenyitva is. Enne k megfelelöen ered5 mozgás és relativ mozgás momentán centruma kUlönböztethet5 meg, A momentán centrurnak meghatározásának menetét egy négytagu csuklós mechanizmus segitségével mutatjuk be/SS.ábra/. Első lépésként számozzuk bé a tagokat növekv5 sorrendü arab számok kal, majd azokat a csuklópontokat, ahol a kapcsolódó tagok egymáshoz képest elfordulnak jelöljük a két kapcsolódó tag csökkeno sorrendben felirt számaival. Az igy beszámozott csuklópontok már is megádnak néhány momentán centrumot. Igy pl, a 2 és 4 jelU tag állványhoz viszonyitott momentán centruma az A illetve a D pont.
55. ábra A hármas tag ketteshez viszonyitott pillanatnyi forgásp()ntja a B és végtil a 4-es tag 3-hoz. viszonyitott momentán centruma a C. •rovább i momentán centrumole /M 31 és M42 / meghatározásához célszerU a tagokat az alábbi módon uj jelöléssei ellátni. Egy-egy ta~ csuklópontjait jelöle számpárokból hagyjuk el a mindkét számpárban eloforduló számot és a megmaradt két szárnrnal, . azokat nagyság-
l
.
- 49 szerint csökkenő sorrendh.eri felirva jelöljUk meg a tagokat.Igy például a.3-as tag uj _ j~lölése 4.:.2, a 4-es tagé 3-l, stb. Két azonos jelölésil tag meghosszabbításának rnetszéspontja a jelöl é sben szereplo tagok egymáshoz viszonyitott mornentán centrurnát adja, Ilyen meggondolás alapjan kaptuk meg c~ {4 ... 2/ és AD /4-2/ egyenesek metszéspontjaként M42 -t és AB valarnint CD tagok rnetszéJ<eJcént M31-t. Az ernondottak · alapján bizonyitás nélkül közöljük ,hogy egy .: ·e9Yenesen mindig három olyan pont l rnomentán centrum/ helyezkedik el, amelynek számpárjai három számból ugy tevodnek . össze,hogy a három szám közül ketto mindig megtalálható valamelyik számpárban. Például az M32 , M21 és M31 momentán centrumok e9Y egyenesre esnek és indexeik az 1,2,3 számokbó"l tevoc!nek össze." E számok köztil kettőt valamelyik index mindig tartalmazza. A momentán cent.rurnok meghatározásának elobb ismertetett módja Ke nnedy angol tudóstól származik. Ismeretes,hogy a momentán centrum a tag pontjaiból a sebessé gekre merolegesen rojzolt egyenes ek metszéspontjában fekszik. Sok esethen ez a t~te l i s fe lhasznál hat6 1 igy példánknál ~z M31 meghatározásiinál is , Ugyanis Jl.B é s CD tagok· merolegesek B illetve C pont sebességére, ezért az emlite tt tagok meghosszabbitásának metszéspontja közvetl e nUl M31 -t adja. Az 56. ábr a szerint a dott az OAB f orgattyus mechanizmus . A csuklök meghatározzAk M21 , M32 és M43 momentán centi umokat is. Az M41 a B ponton átmeno, az x-x tengelyre meroleges egyenesen, a végte lenben van. t1 31 az A é s B pontokban a sebességekre merol eges 3-1 egyenesek metszéspontjában adódik. Az M42 -t az O pont_bá.n az x-x tenge lyre merőleges e gyenes /e z az egyik, 4~2 jelU egyenes , mivel M41 a végtelenben van/ és az AB tag/ a másik 4~2 j elU egyenes/·meghosszabbitásának metszéspontja ad ja.
- 50 -
x 1 55.Óbra · Az 57.;.59. ábrákon a módszer további alkalmazását rnutatjuk be. . . Az 58. ábrán l átható kulisszás mechanizmus M rnomentán cent:umá31
nak szerkesztés e a következo gondolatmenetbal látható be, B pont sebessége mer5leges AB-re. M31 -nek tehát az AB tagon vagy annak meghosszabbitásán kell lenni. Az M -be vezeto másik sugár helyét 31 ugy kapjuk meg,hogy a 3-as taghoz egy Q sikot erositünk. Ezen a aikon a c 3 pont legyen fedőpontja C-nek, Ekkor c pont sebességének 3 vektoregyenlete : M JI
57. Óbra
- 51
58 . ábra
59. ábra
Mivelvc= o, ezért vc =vc C' vagyis c 3 pont eredCSsebessége párhuzamos a 4-es tag~al. E~bol következ!k,hogy a z M31 -be vezeto másiksugárac pontban a 4-es tagra rnero legesen rajzolt egyenes. A két emlitett sugár metszéspontja M31 • A mozdulatlan taghoz v iszonyitott mörnentán centrurnak e l sosorban akkor használhatók elonyösen, amikor a hajtótagtól távol esc pontoknak csak a sebessé gét kell meghatáro znunk. Valamely tag pillanatnyi gyorsulás pólusának az t a pontot nevezzUk ,amelyne k gyorsul á sa az adott ido pillanatban nulla. A gyorsuláspólus tehát a momentán centrummal analóg fogalom l a · momentán centruriiban ugyanis a sebes. s ég nulla/ . . . A gyor - suláspólus t . Ga -val jelöljük és nem téves ztendo össze a .gyorsulásterv pólusával. · A 2.2 . f e jezetben· l áttuk,hogy ~a valamely tag két pontját összekötjük a momentán centrumrnal, akkor az igy kapott háromszö<;r hasonló a sebességterv ben a két pont e,red5sebessége ál ta l kialakitott . · hároms zögg~ l /lásd · 52 , ábrát, ahol AMB ~N aOvb ~./. Bizony itás né l kül közöljük ;hogy e megállapitás a gyorsuláspólus és a gyorsu'. l ás terv esetén is rérvényes ,vagyis a 'o b'~ ,.v AG B ~. a
a
- 52 Az eml i tet t hasonlóságokb91 következik, hogy a sebesség.térv, valamint a gyorsulásterv ismeretében a momentán-centrum,il.letve a gyorsuláspólus megszerkesztheto. A gyorsuláspólus megszerkesztését az 52, ábrán
mutatj~k
be,ott
ugyanis az A6C tag gyorsulásterve már adott. Nyilvánvaló,hogy a gyorsulásterv Oa pontjának a 3 jelü. tag azon pontja felel meg, amelynek gyorsulása nulla, vagyis a G láttuk,hogy a tagon lévo
AB
a gyorsuláspólus. Azt
is.
távolságnak a gyorsulástervben az
~távolság felel meg. Az el5bb emlitett hasonlóságot, vagyis: a'Oab~AGaB~,
is figyelembevéve kézenfekvő, hogy a gyorsulás-
tervben az eredo gyorsulásoknak a 3 tagen a gyorsuláspólusba vezeto sugarak felelnek meg. Az elmondottak ismeretében a gyorsuláspólus
sze~_kesztésének
A hármas t.ag A
menete a következo.
pontjából AB-re
felmérjük a gyorsulásterv
i"'b'
metszékét (á A/ majd erre a metszékre rárajzoljuk az a 'O ab' 8 háromszöggel egybevá<;ó a'G~b' három~zöget. Hosszabbitsuk meg a:z; a'G' egyenest és hozzuk metszésbe a B pontból a b'G'-val párhuzaa · a mosan huzott egyenessel. A kapott metszéspont a 3-as tag keresett gyorsuláspói usa. /A szerkesztésb51 látszik ,hogy AGaB~N a 'oab'~ /. A gvorsulásp~lus ismeretében most már az ABC tag bármely pontjánuk eredo gyorsulása megszerkesztheto, ls arányosak a
gyorsul~spólusból
a
Az erede gyorsulások ugyan
kérdése~
pontokhoz huzott su-
garakkal és a sugarakkal mlndig azonos ITI szöget zárnak be.
2.4. Elemi csoportokból felépitett II.osztályu mechanizmusok vizsgálata. 2.41, Két .tagból és három forgó mozgást mesengedo kinematika! párból
álló csoport.
Az 1.7. fejezetben láttuk,hogy egyszabadságroku mechanizmust kapunk, ha a hajtó taghoz /I.osztályu mechanizmus/ és az állványhoz nulla szabadságtoku Asszur csoportot kapcsolunk. Négytagu csuklós mechanizmusnál /60.ábra/ az ABC
pe~ig
az OA· tag a hajtó tag,·'
a II. osztályu, nulla szabadságfoku
c~oport.
Ezen a példán részletesenmutatjuk be az egyes pontok sebességének, és gyorsulásának szerkesztését. További példáinknál a jegyzet terjedelmének korlátozott volta miatt csak az ábrák könnyebb megét
\·
'
\
l
l
l
w"l
,.
1
b
0
- 54 téséhez legszükségesebb tudnivalókat közöljük. Tételezzük fel,hogy ismerjük a mechani~us mérethelyes kinematika! vázlatát /60.ábra/, valamint az adott helyzetben a hajtótag w21 szögsebességét és .. 21 szöggyorsulását. Az ábra hosszuság léptéke: kl l ~ . l . mnr
E
·Határozzuk meg A,B és D .pontok sebességét, gyorsulását, a tagok szögsebességét és szöggyorsulását·. AZ A pont sebességének nagysága: VA = lAO • cv21 l összefüggésből számithatö /lAO a 2-es tag valódi hossza/. vA meroleges OA-ra és (c> szö~~ .~besség irányába mutat. 21 Az A és B pöntok egy tagon helyezkednek el, ezért a B pont sebességének vektoregyenlete:
.
Az egye nletben egy vektor irány és nagyság,ketto pedi g csak irány szerint ismert.A vektoregyenletekben azt a vektort, amely irány és nagyásg szerint ismert kétszer, amelyik csak irány szerint ismert egyszer huzzuk alá. A vektoregyenletben a két ismeretlen nagy~ ságu, de ismert irányu vektor egy ismeretlennek felel meg,ezért az egye nlet egy határozott megoldást ad. A vB é s vBA sebes ségek a sebességterv segitségével szerkeszthetok meg. A sebességterv me grajzolásához fel kell venni /tetszőlege. s~n vehető fel!/ a sebe sségterv lépték~t, kv/ ~l -t. s.mm
A sebességterv léptékének ismeretében vA mm-ben ábrázolandó nagysága: o- v a = v A /mm l. . k
v
A vekt .o regyenletnek megfeleleen a sebességterv Ov pólusából /60. b . ·á bra l felraj zoljuk O a-t, majd az · "a" végpontjából merolev gest rajzolunk AB- re, 0,.-böl pedig CB-re raj~olunk merölegest. Az emÚte tt merölegesek metszéspontja kimetszi b paritot . OvQB .pont ·
- 55 -
ao
sebességét,
pedig a VBA sebességét ábrázolja. A sebességek
értékei:
v
B
k
v
O b
v
és
A 3-as és 4-es tagok szö gsebességei: :;: VBA .
és
l
AB ahol lAB = ·kl
AB
és lBC ~ k
1 . BC,vagyis a 3-as illetve
4-es
tag valódi hossza. ~Jl
irányának meghatározásához vBA-t B pontba kell helyezni és
meg kell nézni,hogy B pont A ponthoz képest milyen irányba forog. Igy példánknál azt kapjuk ,hogy w az óramutató járásával· ellen·31 tétes irányu. Hasonlóan határozható meg ~ iránya is: a B pontba
41
helyezett vB az óramutató járásával megegyeze
~
41
szögsebességet
eredményez Az A,B és D pontok egy tagon /a 3-on/ helyezkednek el. D pont sebességének megszerkesztéséhez Burmeister h asonlásági téte-
lét használjuk fel. Ennek értelmében az "a" ponton keresztül merelegest rejzolunk AD-re, b ponton keresztül pedig Bn-re. Metszéspontként d
adód~k.
Lernérve Ovd me tszékét v
0
nagysága kiszá-
rni that ó: v 0 = kv Ovd Ha nincs szüks égünk a relativ s e bességekre /például nem kell a gyorsulásokat !t!egszerkeszte ni/, akkor a pontok e redesebességeit a mome n tán centrurnak felhasználásával is rnegszerkeszthetjük. A továbbiakhan két olyan módsz e rt mutatunk be, a melyeknél az eredosebességek megszerkesztéséhez a momentán centrumot használjuk fel. Ha ismert valamely tag momentán centruma és egy pontjában az eEe-
do
sebessége, akkor a tag b&rmely pontjának erede sebessége az ugy-
nevezett beforgatásos módszerrel .megszerkeszthete, A szerkesztést a 60.a. ábrán a 3 jelü tagon mutatjuk be.Elso lépésként vA-t kell elfo rgatni 90 fokkal ~~~/. A~ elforgatás iránya tetszoleges. A v~ vé g pontjábó+ h uz zunk az AB taggal párhuzamos egyenest és ezzel
- 56 -
metszük a BM 31 rádiuszvetktort, illetve annak rneghosszabbitását. E metszéspont és a B pont közötti távolság a 90 fokkal elforgatott v 8 -t adja /v~/. Végtil v~-t ki kell forgatni aBC tagra meroleges irányba, A szerkesztés helyességének magyarázata az,hogy az ered5 sebességek 90 fokos elforgatásával azok a rnomentán centrumba vezeto rádiuszvektorokba esnek, az azonos irányu és egyenlo nagyságu rudirá nyu kornponenseik pedig a tagra mer5leges helyzetbe kerülnek, ezért .az igy elforgatott eredősebességek végpontjai az adott taggal párhuzamos egyenesen fekszenek. A vB sebesség megszerkesztéséhez felhasználhatjuk a
arányosságat is. vB
BM31
A VB sebesség arányossággal történő szerkesztése az 59. d ábra szerint végezheto el, Az ábrán M -bol az iM távalságat átköröz31 31 tUk BM -re, majd az igy nyert A" pontba a BM"3 -re merolegesen 1
31
felrajzoltuk vA abszolut értékét,lvAI -t. ~nnek végpontját összekötöttük M -el és az igy kapott egyenes a B pontba az M B-re 31 31 emelt merolegesbol kimetszette v -t, 8 Hasonlóan megszerkesztheto D pont eredosebess~ge is. Az eredősebességek a mornentán centrum ismeretében még a rudirányu komponensek esvenlosége alapján is megszerkeszthetok. Térjünk rá a gyorsulások szerkesztésére. Az A pont gyorsulásának vektoregyenlete;
2
ahol -n aA
1 0A .ú) 21 /AO-val párhuzamos
-t aA
l OA . '-'21 ~ /AO-ra meroleges/.
és A-ból O-ba mutat/
A 60.a ábrán -n aA ~~-ben á~rázolandá nagyságát a -vA sebességbol szerkesztettUk meg. Az ~i-t ki kell szárni ta,ni és a ka gyorsuláslépték figyelembevételével lehet csak ábrázolni.
- 57 Felhivjuk a figyelmet arra,hogy k a már nem vehető fel tetszolege. gyo rsulásokat szerkesztéssel határo ztuk meg !
sen, ha a normális
{A normális gyorsulások szerkesztésének menetét az 54, ábrán
mutattuk be/, A k
a
g'yorsuláslépték ilyenkor mindig a hosszuság léptékéből
/k / és a sebesség /kv/ 1
k2
~
k ""'
k
a
számitandó ki a
fl-j .
[
1
s
kifejezésb ö l,
.mm
Természetesen ugyanerre az eredményre - jutunk akkor is , ha a~ számit o tt /valóságos/ értékét elosztjuk a vA-ból lllegszerkesztett normális gyorsulás me ts zékén ek mm.:.ben mért értékéve l. A gyor su láslépték ismeretében -t aA
a 1 a"
=
a~
ábrázolandó nagysága:
k"" /rrun/ a
Az A pont eredo .gyorsulásának megszerkesztéséhez a g yorsulásterv Oaa"
o
pó lusából /60.c.ábr a/ fel kell mé rni az ~-nak megfele lo
~etszéket , majd
ehhez h0zzá kell adni az a ! - nak megfelelo
n 1a" metszékét. A tr.~n<jem: i á .lis k o mponens irányát az
me g. A két kornpo nt~ns 4, t·pdoj f! az A B pont gy o t: :.nt l á>~ <'i r·,,l t
aA-
·.·• •: t:Ot:l'9Y(" n l
n ak megfelelő
é 21
oa' a
határozza
metszék,
et e :
~ t·
1- ;1 .
liA
Mivel B p ont BC sugáron rno~ oq , ezér t aB két kornpo ne n sbol, az n b~ ] es ' " :=: l a' ll • Enne k megfe l eleen az elő bbi egyenlet a- 8o .. az -t a -,.)V 8 a k6vetkez5 alakba lrhatö :
ahol
- 58 -
A normális gyorsulások ábrázolandó metszékei a megfelelo sebességekbel szerkeszthetok. A 60.a. ábrán meg is szerkesztettük 8ket, -n
Az
aBA=
a normális gyorsulások számithatók is,majd k a ábrázolhatók. Gyorsabban eredményre vezet a szerkeszto eljárás, ezért mi a többi példáinknál azt részesitjük elonybe! Az elobb:! -. ,rektoregyenletnek megfelelűen az A pont gyorsulásának véqpontjáhól /vagyis a' -bo l/ felraj zoljuk ~-nak megf~lelo a 'b" metszéket, majd b"-bol merolegest huzun·k AB-re. A továbbiakban . o a -ból felmérjük oa b'''-t ,~nB l .és a b'''-bol merolegest bocsá~ · • tunk Bf:re. Az emlitett merolegesek ' /tangenciálisak / metszéspontja b'. Az Oab' a ka léptékü gyorsulást adja, Tényleges .értéke: ÖsszefüggésekhOl
figyel~nbevételével
a8
=
k
a
a;
on'. · a
.
A gyorsulástervból az aBA relativ gyorsulás is vel azt az a'b' mP.tszék ábr ázolja. A tagok szöggyorsulásai: ·c
c;.,
31
=
· meghatározh at~ ,mi -
-t aBA
és
l
AB Irányuka t a t angenciális komponensek megfelelo pontba történo áthelyezésével határozha tjuk meg. A D pont gyorsulásának meghatározásához ismét a Burme.~$t.!f!r tételt használjuk fel,amely szerint aD végpontjának az ~ metsz ék~ re /aBA relativ gyorsulásral ra)zolt ABD~-el hasonló a'b'd' ~ háromszög d'pontjára kell esni. a'b'-re két ilyen háromszög raj..zolható .Ezek-közül csak a vonalkázott háromszög ad helyes megoldást ,mivel annak körtiljárási , iránya ·megegyezik az ABD háromszögéveL Az ~metszék lernérése után a 0 kiszámitható: k
a
ocrr a
- 59 -
A 60.d. ábrán megszerkesztetttik a 3 jelü tag gyorsuláspólusát is. A szerkesztést a 2.3 pontban leirtak alapján végeztük,vagyis a hármas tag B pontjából az AB egyenesre felmértUk a gyorsulásterv arf>T mets zékét, majd erre r .á rajzoltuk az a'Oab' háromszöggel egybevágó a'G~g' háromszaget /az _ ~ gyorsuta.stervét/, Az A pontiJól pár· huzamost huzva a'G~-vel, a brG~ egyenesen kimetszetttik a GaJl gyorsuláspólust. · A 3-as tag gyorsuláspólusának ismere tében D pont gyorsulása megsz erkeszthet5. D pont gyorsulásának szerkesztésénél azt a tételt használjuk fel,mely szerint egy tag. különböz5 pontjainak gyorsulásai a gyorsuláspólusba vezeto rádiuszvektorok nagyságával aránya~ sak és a r ádiuszvektorokkal azonos s zöget l az ábrán T-val jelöltük/ zárnak be. A D pont gyorsuiásának szerkesztésénél els o lépésként D pontot összekötöttük Ga 31 -el, majd az igy kapott rádiuszvektorhozThajlásszögU egyenest rajzoltunk a D pontból /~értékét és a hozzátartozó rádiuszvektor határozza meg{. Ez utóbbi irányát adja. Második l épésként AGaJl távelságat Ga 31 -bol ráköröztük a DGaJl egyensre és a kapott A' pontba aD irányával párhuzamosan felmé rp tUk az aA abszolut értékét, Ez uróbbi végpontját Ga 31 -el összeköt~ ve metszettUk aD irányát /d 1 /.A Ddl metszék az 0ka léptékU vektorát adja .
aD
aA
a
A 3 jelü tag A,B és D pontjaiba berajzolva azok ered5 gyorsulásait ,majd végpOntjaikat összekötve az a 1 b d 1 háromszöget kapjuk, 1 amelyre az alábbi összefüggés érvényes:
Ha aA mellett ismerjük aB-t i s,akkor a fenti hasonlésági tétel is f elhasználható. aD megszerkesztéséhez • . A fenti hasonlóaági tétel természetesen a sebességekre is érvényes ! Ebbe a mechanizmus -csoportba tar tpzik a forgattyus mechanizmus is / 6 l.ábra/, ugyanis felfogható a B pontban BC 1 ~ 00 sugárral az á llványho:r. kapcso lt 0ABC . négytagu csuklós mechanizmusként. 1 Az OA forgattyu w21 = á llandó szögsebességgel forog 1 ezért
- 6o -
.
aA "'a~ Az A pont se J::ességét a forgattyusugárral azonos nagyságu vektorral ábrázoltuk. Ebben az esetben aA ábrázolt értéke a vA ábrázo lt értékével {mm-ben mérve/ azonos. Ilyen esetben a 2 sebességlépték kv = k . ~l, a gyorsuláslépték pedig ka "' 1<: 1 ~l. 1
SzerkesszUk meg B pont sebességét és gyorsulását. B pont vektoregyenletair
VB
= VA
~
= aA +
=-
+ VBA
és
-
-n +-;t aBA
=
BA
----
........
' '\
\
\
c
i
61. abra
' -n Az egyenletben szereplo értékek közUlvA és aA adott, aBA megszer~eszthe~5 /lásd az ábrát/; v 8 és aB párhuzamós /x~xf•el1 v A és a~ pedig meroleges AB-re. B pont sebessége é s gyorsulása 8
- 61
~
tehát megszerkes zthetö. Áz előbb ~mli tett léptékek betartása esetében más módon is megszerkeszthetö B pont sebessége. és gyorsulása. A szerkesztés menetét a 61. ábrán ismertet jUk, Az AB hajtórud meghosszabbitása a D pontban metszi az o-n átmenő x-x megvezetésre meröleges tengelyt. Az ÖÖ metszék l J l a B pont kv = k 1 • ti>21 léptékü sebessége l az OAD háromszög ugyanis egybevágó O AB háromsz8ggel(, de ahv hoz képest 90 fakkal elforditott helyzetU/. A B pont gyorsulásának megszerkesztéséhez As átméröjü félkört kell rajzolni a · hajtórudra és erre A-ból rá kell körözni AD távolságot J E pont/, majd az E pontból merolegest kell bocsátani a hajtórudra. Ez utóbbi az F pontban metszi az O-n átmenő /x-x/el párhuzamos tengelyt, OF metszék l fl l B pont ka = k 1 • 1 lépté kü gyorsÚlásvekto;ra. A vektor iránya mindig a forgattyu O középpontja felé mutat~
c:V;
2.42, Két csuklót és egy külsö haladó mozgást megengedo kinematika! párt tartalmazó-· csoport /62, ábra/. A eimben emlite tt csoportot a 3 és 4 jelü tag képez i . Az A a külso, a B a belso ötkötöttségti csukló , a D pedig a haladó mozgást megengedo külsö kinamatikai pár. E csoportból a 2 és az 5 jelü hajtótagok segitségével egy kétszabadságioku mechanizmust a lakitottunk ki. Adott tehát a mechanizmus mérethelyes vázlatamellett w21 , ci) 51 , g 21 , és é 51 • A sebességterv elkészités é t B pont se~ességének meghatározásával kezdjük, ugyan i s ez az a csukló, amely a csoportot alkotó tagokat összekapcsolja. B pont egyenlete a 2 jelü tag felöl vizsgálva: vB =vA + vBA; ahol v adott és vBA l. AB-re. = A A B pont sebességét meghatározó másik egyenletet abból kiindulva kell felirni,hogy a 4 jelti tag, amelynek B is pontja, haladó mozgást megengedo kinematika! párt képez az 5 jelü taggal. Az e l ozö-
- 62 -
o~
1
@ x
62. ábra ekben emlitettük,hogy valamely pont eredo mozgása a szállit6 és a relativ mozgásból tevedik össze, Esetünkben a 4 jelü tag relativ mozgása az 5 jelü tag x-x vezetéke menti mozgás,- a szállitó mozgás pedig a vezetékkel együtt végzett körüli körmozgás,
c5
mozgá!;!, vagyis F pont
pontot az 5 jelü tag pontjaként értelmezve
B pont sebességére felirhatjuk az alábbi vektoregyenietet~ vB = vc + vBC; ahol
vc
adott és vBC
ll
x-x- el
Hangsulyozzuk,hogy B és C pontok geometriailag csak az adott pilla .... natban fedik egymást,mivel
más~más
tagen szerepelnek.
- 63 -
A két sebesség-
egyenletből
felirható,hogy
J{a a kiindulási adatokból
kiszámitett vA és vc sebességeket elosztjuk a k sebességléptékkel, megkapjuk a sebességt.e rvben nekik megfe. _][ . lel<5 Ov a és 0 v c metszékeket, majd ezek felhasználásával a sebességterv megrajzolható,mivel a B pOnt Sebességegyenlete az alábbi ala~ba is irható: O a -v
+ ba
~ -
A fenti egyenletnek megfelel<5en a sebességterv megszerkesztése a J<övetkez5képpen t örténik. A sebességterv pólusából felrajzoljuk a vA-nak megfelelo metszév két,majd végpontjából meről e gest rajzolunk AB-re /62.~.ábra/ . Ezután ugyancsak az Ov pólusból felrajzoljuk Ov c 5 -t /vc -nek felel meg l és végpontjából párhuzamost rajzolunk .x-x-el, ~ ké_: isme r_: Í irányu egye nes metszéspontja b, amely meghatározza v 13 ; vBA és vBC k v léptékü vektorát /~; ba illetve bc 5 {. v
o-a
vB tényleges nagysága:
ov b A 3 j e lü tag Gc.> 31 s zöqsebességének me ghatározása az 52, ábrán · b emutatott példához haso nlóan történik. A 4 jelü tag W 4l szögsebessége az 5 jelü tag Cc) szögsebességével azonos, mivel az emli51 tett két tag haladó mozgást megengedő kinematikai párral kapcsoló- . dik egymáshoz,tehát: w41 = (.c)Sl' . A 4 jelü tag bármely más pontjának pl, H-nak Sebességegyenlete az alábbi alakba irható:
A vE vektor ismert, _mivel az E pont az 5 jelü tagen van. A vHE
64 -
szintén ismert,uqyanis; ; l
j
l
és i gy
vagy másként felirva:
~
aho l he
5
Véglll H pont sebességének tényleges nagysága: vH· = k
.öh.
v v A gyorsulásterv elkészitése a sebességtervhez hasonló gondolatmenet alapján történik. A B pont gyorsulását meghatározó két egyenlet:
aB
aB
-n
al\ +aBA
--
=
-c
= · ac + aBC
--
-t
+ a BA;
- -
-t +aBC
ahol
- t j_ a BA-ra BA -t
ahol aocJI x-x-el
~~ egyenletekben aA és aC iráJW é s nagyság szerint ismert, -n aBA és a 8 c szám ithatő, ill etve szerkesztheto . A 62,a. ábrán megszerkes2tet
tük
(ka~ ~~éptékU
Az al\
P.s
aC
vektoraikat is.
ka-val történo osztása után a gyorsulás-egyenleteket
az O a' + b»a' + b'b" =O c'
a
----
----
a 5
=====
+ k'c' -t b'k' 5
~
a l akba irva, a gyorsuláste rv / 62.c . ábra/ megsz e r keszthet3. A gyors ulás tervben o a' b"a', O c' a ' a 5
- 65 -
-c -t ac és aBC ka léptékU vektorai adottak, b'b" mer5leCBAtedig ---t · ~ g e s AB-re, továbbá b' k' a (kBC)parhuzamos a
a x-x-e l. Az ismert irányu vektorok metszéspontja adja ~j-t és ezzel - t
,
-t
8
a ~
ka léptékű gyorsulását .
aBA es aBC
D pont tényleges gyorsulása k
ov b'
a
A 3 jelü tag szöggyorsulása:
c -t C.31 = aBA
k a' b 1 b"
l·
BA A 4 jelU tag szöggyorsulása a haladó mozgást megenged5 D kinematikai pár miatt azonos az 5 jelU tagéval, vagyis:
0 -nak ad tuk meg l • A 4 jelU t ag valamelv pontjának pl. H-nak gyorsulására felirható az alábhi egyenlet:
Az E pont gyorsulása .t.smert,mivel -c Az aHE - ra felirhatjuk,hogy
az az 5 jelU h ajtótagon van .
= 2 ·'4.)5.1 '
-c
VBC :::_aBC
- 66 -
ugyanis vHE = vBC' A 4-es tag 5-höz viszonyitott mozgása háladó -t • -t mozgas, ezert aHE aBC~ Ezek utan aH vektoregyenlete az alábbi alakba is felirható:
=
=
=
Az aH tehát három vektor összegezéseként szerkeszthetö gyis es pontból
felmér~ük
a esk'
végpontjából a k'b' ck h'-t.
meg, va-
=esk" metszéket, majd ennek
.
Az Oah' ll.etszéknek ka . szorzása utján aH tényleges értékét kapjuk,
2,43. Elemi csoport két külso csuklóval és egy belso haladó mozgást megengedo kinematika! párral {63.a ábraL Az elemi csoportot a 3 és 4 jelil tagok alkotják_ az
A és
~
C
külsö csuklókkal és a B belsö, haladó mozgást megengedo kinernatikai párral. A 2 és 5 jelil hajtótagok felhasználásával kétszabadságtoku mechanizmust alakitottunk ki az elemi csoportból. Ennek megfeleloen adottnak tételezzük fel
vA;
vC;~ és aC vekto-
rokat. C pontnak a 3 jelü tagon fedöpontja a G pont.
c
pont sebességére felirhatjuk ,hogy
vc =
de
-
VG + VCG
VG =VA + VGli. ;;;;a
ezé rt vc. = VII. + VGA + VCG ==-
-
Az utóbbi egyenletból
vc
és vA lsmertek, vGA-nak és vCG-nek azon -
ban csak az irányát ismerjük. Az elöbbi meroleges GA-ra , az utóbbi
- 67 -
pedig párhuzamos /x-x/-_el. A sebességt.e rvböl /63.b. ábra/ eeek 0 agysá,ga
is meghatározható. Ehhez a sebességterv pólusából rajzol-
'uk fel vA. és vc sebességének megfelelo o a és
oc
J . . v v metszékeket, majd az a pontból bocsássunk merolegest AG-re, Ennek és a c -bol
a z /x-x/-el párhuzamosan huzo_t t egyenesnek a metszéspontja a g 3, amely
az adott irányokból kimetsz! vGA. és vCG
kv léptékü vekto-
rait. Ezek tényleges nagysága:
. vGA A
k
v
ag 3 és
VCG
kv
.
cg 3
3 jel U tag szögsebessége: ú) 31
VGA
k
v
. ag 3
1
kl
AG
AG
A 3 és 4 jelü tag szögsebessége azonos: A 4 jelü tag valamely t ets zőleges e n felvett E pontjának sebesség-
egyenlete :
VE
F pont a
= VF
+ VEF
=
3 jelü tagon van és fedőpontja E-nek . F pont sebessége
Burmeister téte llel meghatározható. AGF c,. .v ag f A-el. 3 3 Innen adódik f • 3 vCG ezért,ha t pontból felmérjük cg = ei távolságot 3 3 3 és a kapott e pontot ov-vel összekötjük, megkapjuk vE kv léptékü
Mivel vEF
vektorát . · Tény l eges értéke:
A sebeség-egye nletekhe z hasonlóan a gyorsutások egyenletei a követke z ők:
de
- 68 igy ac
=
-
-n aA + aGA
--
- t + aGA
2VcG
- c
-t
+ a CG
=
+ a CG
·WJ T
G
A
® c gJ 6 3 .. ábra -n - - c A 6 3 . e. ábrán megszerke~Fte tttik aGA es aCG ka léptékü vektorai - '· nak abszolut értékeit , A vektoregyenl et alapján megrajzolt gyorsu- ,: lásterv a 63 . c .ábrán l átható, A könnyebb ér thetőség kedvéé r t az a lábbiakban z árójelben kö zöljtik az egyes me t székeknek megfel elo g yorsulásokat: Oaa '
(;A/; g"a ' /-;~A/; 9)(3 /-;_~At;
c ." g'3
- 69 -
-c 'c" /\Z
ac vek t oregyenl e tének ésszerü felhasználásából követke zik , hogy
a gyo rsulásterv szerkes zt é séné l
/-;_~A
nagysá gu vektorok
és
az adot t
-;,_~G l
irányu, de ismeretlen
metszéspontjaként
először
pon t a d ódik, majd Burmeister tételének felhasználásával f Az aE g yorsulást az al ább i
a g
3
3,
egyenletekhol szerkeszthe tj ü k meg
/lásd a 63.d.ábrát/ :
de mivel
ezért
~ r l ~nyl eges
értéke:
-aE A J 6s 4
= k
a
jel.U tagok sz Hg. gyot rsulása:
.. 6
6 ll
o-
·1 l
'\;A
ka
l /\G
k l
_
-:-;-::-n
.g-3 g2._
____ _____
i\(;
• 'J. . 411.
f: le..!!!_!_~: s o por t: egy !!IOZ~st.
t'l'l.
H ós
c
meq e ngt1dÖ k.ine matika l párral/6 4 . a áb ra/_
(dern i. csoport.o t
kl m~n,at: i kai
be l s o csuklóval és ké t külsö ha l.adó
párokka L
a
3 és 4 jelt! ta gok J<é p ezi.k az A,
A 2 és 5 j elű tagok hajtótagok , teh át
i S HI ~ f' t· il '/.
MN J k td l ~; (• q (· ll c k
ha tin~ ozni
B pon t sebE>ssflgé t és gyor su l ásflt . B p on t s e bes-
k(' 1 f_.gy e nlet e :
- 7o-
és
vE és
ah?l
vF ismertek, mivel ismerjlik a mechanizmus mérethelyes c.v2i, valamint az w51 szögsebességeket. v 8 E és vBF relativ sebességeknek csak az iránya ismert, az eloze y-y, az utóbbi x-x vezetékkel párhuzamos . . A sebességlépték figyelembevételével a fenti két egyenlet az ala~ba irhat6: kinematik~ii vázlatát és az
®
•
6~.
ábra
ov b
=
O e + be 2 v 2
ovfs + bt 5
-==-
VE
o f v 5
--;
kv
párhuzamos.
-
-====
o v. b ahol: O e v 2
71
VF
"'E v
' · be2 /y-y/ -al és
bl5 tx-xrel
Az utóbbi egyenletekhol a sebességterv megszerkeszthetö. A kapott b metszéspont /64.b.ábra/ kijelöli vB kv léptékU
vá
nak végpontját. tényleges értéke: VB Az egyes tagok szögsebességei:
= kv'
vektorá~
Ovb'
B pont gyorsulásának e gyenletei: aB
-c -t aE + aBE + a BE ....,_
aB
-
és
-c
- -
+ aBF
aF
- t + aaF
-c
-c
-c
Az egyenletekben aE és aF' ismertek , aBE és a F az a E = 2, w • v 8 E; 21 8 8 -c valamint az a F = 2 .~ 51 . v 8 F összefüggésekbal megszerke s ztheto 8 / a 64.d, ábrán a~F k l éptékil vektorát megszerkesztettUk, Hason-
-c
~
a
lóan történik a E megszerkesztése is/ . Ismerjük tnvábbá á E és 8 8 a~ irány~t, a z elozo y-y, az utóbbi x-x vezetékke l párhuzamos.
-
~z
aE és aF gyor s u V i.soknál is figye l embevéve a gyorsulásléptéket,
a
v ekto r eg~ren letei
8
az alábbi alakba
oa b'
"'o a e'2
oa b'
-
====oa f'5
irhatök át:
- 72 -
Az el5z5 példához hasonlóan itt is zárójelben közöljük az egyes metszékeknek megfelelo gyorsulásokat:· Oab' (aB/,
öeT a 2 és
-c /aBE
/aE t, k3e:2
b'k4
-t b'k 3 /aBE l
l,
l
oa f'5
1~1 r
k4fs
-c
{aBFf
-t /aBF l.
-aB
aB tényleges értéke:
= k
a
o a b'
Az egyes tagok szöggyorsulásai:
és
é.
=
41
A 3
E
51'
jel U tag te ts zc51egesen felvett G pontjának vektoregyenletei; VG
= VH
-
+ -VBE
--
és aG
-c aH + aBE o:==s
-t + aBE
=
2,45 Elemi csoport egy küls5 csuklóval és két haladó mozgást megengedo kinematika! párral /65, a. ábra/. A csoport tagjai: a 3 és 4 jelü tagok, kinematika! párjai:
A, B és C, Hajtó tagok a 2 és az 5 jelüek, Ezért adott vA; aA és az 5 jelil tag minden pontjának sebessége és gyorsulása. Határozzuk meg a 4. jelü tag F pontjának sebességát és gyorsulását. Ha az A pontra !runk fel vektoregyenleteket, meghatározhatjuk F pont sebességát és gyorsulását is. Az A pont sebességére felirható,hogy
r l
- 73 -
@
® a
a
l
65. ábra vagyis
ahol vA és vE adottak, vFE-nek és vAF-nek pedig az iránya ismert /vFE
az x-x és vAF
az y-y vezetékkel párhuzamos/. Itt is figye-
lembevéve a sebességléptéket vA vel{tor egy enlete az alábbi alakba irható:
ava
Ove + t 4 e + af 4 5
=
=
A sebességt:·-rv /65 .b ábra/ e 5 pontjából az /x-x/-el párhuzamos
és a pontjábó.L "Z /y-y/-al párhuzamos egyenesek metszéspontja
/f 4 / meghatározza a vFE és vAF relativ sebességek kv léptékü nagyságát. Mivel
VF =
VE
+
VFEi az Ovf4 metszék vF-el arányos,
- 74 vF
tényleges nagysága: vF
Az elmondottak ismeretében a 3 jelü tag tetsz5legesen vilasztott H pontjAnak sebessigét már ismert vektorok asszegezéseként nyerllf!t.j Uk:
A 3, 4 és 5 jelil tagok halOldó mozgást párokkal kapcsolódnak
w 41
w 31
megengedo k.inematik.ai
eg~náshoz , ezért szögsebes sigü~ azonos:
= w~~ 1 •
A sebesséqeknél használt gondolatmenetet a gyorsulásokra is alkalmazva: az
A
pont gyorsulásának vektoregyenlete:
vagyis
= Az
-c
.:~,\f
-t AF
+ a
a E =
.
egyP.n l etuf_•n - c az aFE
-c
aAF ka léptékű vek-
t.o r· tinak abszr)J.ut úr t ó k (• t 1ne g
kes z thető (a~ E l
szerk l~szte ttük.
Js . 1\ Vt>k torok .irányának
lll<~ 1· J. s me r te t. ti.ik, i t t mo~; t erre . .. - -t . -:-t Isme rJ~k
is
Ugyanitt megszer-
me ghatározását korá bban
nem tér ünk ki.
tovabba aFE es aAF irányit, amelyek az x-x, illetve y-y
vezet.6kkel p 5 rhuzamosak . Az iA-ra felirt
vektoregyenlet~t
nálva ka ftgyelemb e véte .l.é v e l a gyo r su lásterv
f elhas z-
megs zet k eszth e tő
/65 . c . ilbra /. A könnyebb ~!Ug,;tzodás miatt az alábbiakban itt is ?.áró.ielbe ll k.özliljük az
l;
t f'
4
eqy~s metszékeknek
megfelelo gyorsulásokat:
- 75 -
AZ egyenlet megoldását az is meghatározza: ~ = ka •
f4
-
metszéspontja ·adja, amely aF értékét Oaf
4.
.
H pont gyorsulása - ·sebességéhez hasonlóan- márismert,illetve megszerkesztett vektorok összegezéseként adódik: A
-c -t aH = aG + ~E : aAF
......
A
3,4 és 5
jelű
-=-
~
-
tagok szöggyorsulásai azonosak:
2. 46. Sebesség_ek és gyor·s ulások meghatál:'ozása, ha a ve·z eto _!:ag a hajtórud vagy egy relativ mozgást veg·z o t'a2• A 66.ábrán egy karos állit6szerkezet mechanizmusának vázlata lát-· ható. Ez egy olyan DCBOA négytagu csuklós mechanizmusból áll, amelynek rnozgató /hajtó/ tagja a BC hajtórud, a mereven hozzáeros1" tett K jelű karral. Szerkesszük meg a sebesség és gyorsulástervet, ha a K jelű kart GV31 = állandó s zögsebességgel elfordítjuk C körül.
o•
o 66. ábra
- 76 A sebességterv szerkesztését a vEC
~GV
31 .
lBC sebesség felhaszná-
lásával kezdhetjük. Iránya meröleges BC-re. Rajzoljuk fel vBC vektor kv léptéku be mets2ékét, majd keressük meg a sebességterv pólusát. Ehhez éloször irjuk fel vB vektoregyenletét:
Az eredö sebességeknek az iránya ismert viszont irány és tül vB
/val. BO
és
vc .LCD/'
VBC
nagyság szerint adott, Ezért,ha b ponton keresz-
irányával, majd c ponton keresztül
vc
most huzunk, akkor a rnetszéspont a keresett
irányával párhuza-
ov
pólust jel511 ki.
Az A pont sebessége Burrneister hasonlásági tételének felhasználásával határozható meg. Az A pont sebességének tényleges értéke: vA ~ k , O a. , v v Az elobbi gondolatmenethez hasonlóan a gyorsulásterv szerkesztése-
kor az aBC relativ gyorsulásból kell kiindulni. Mivel ~31 = állandó,ezért aBC =a~, amely vBC-bol meghatározha~ tó /számitással és szerkesztéssel egyaránt[, Ir juk fel
9 pont gyorsulásának egyenletei t; aB
=
-n aBO
-t + aBO
és al3
ac + aBC
~
-t -n aCD + aco + aBC
A két egyenlethol irható,hogy ·-n -t aBO + aBO = a~D A fenti egyenlethol aBC
-t
+ aCD
+ aBC
~~C ismert, az a~ 0 és a~ 0
gyorsulás-
komponensek pedig VB illetve vc-bol rnegszerkeszthetok,tehát ezeket is ismertnek tételezzük fel. Tudjuk még 1 hogy
a~.l. BO-ra és a~ 0 .l
CD-re. Az elmondottak alapján a gyorsulásterv pólusa megszerkesztheto. Ehhez elso lépésként rajzoljuk fel
aBC
=a~ ka
léptékü
b'Ci
- 77 metszékét, majd mérjUk fel a b' pontba a~; a c pontba pedi9 a~D ka léptékű metszékét /b'b" illetve C'c"" /, Ezután b"-bol huzzunk merolegest 00-ra, c"-bol pedi9 CD-re, Az utóbbi két e9yenes metszéspontj a O ' a
Az A pont 9yorsulását Burmeister tételének felhasználásával szerkeszthetjük meg /AOBl':J.'va '0 b' A /. a Az A pont gyorsulásának tényleges értéke~ vA = k a a
.oa'.
t,
1
1
F
-- -- -6
\
d
®
\
G
@
n,
67. abra
Ha tároz z uk meg a 67. a ábrán látható hidraulikus kiernel5szerkezet G po ntjának s e bessé gé t é s gyorsul ását. A s z erJ,.ezetben az I. o s ztá lyu mechanizmus / 2- e s tag/ mellett két II, o sztályu csoport /3 és 4, valamint 5 é s 6/ található. Kiemeléskor a 2 hengerbe áramló olaj nyomása a hengerhez képest állandó. vBA sebességgel ~z ditja el a 3 dugatty ut, amely mUk-ödésbe hozza a kie melomechanizmust.
~
78 -
A sebességterv megszerkesztéséhez irjuk fel a B pont sebességének egyénletét: vagy
=bb+Ob
r
v r
Az egyenlet alapjAn tehát megkapjuk a · sebességterv pólusát,ha VBA /az ábrán brbf br kezdőpontjából so-ra, b végpontjából .pedig BC-re huzunk merolegest. A metszéspont kijelöli o helyét /67.b v . ábra/. B pont sebességének abszolut értéke · = k v • o-h v .. A D pont sebes. 8 sége a Burmeister hasonlóság! .tétel alkalmazásával szerkesztheto meg (v0 = kv • ovd/. Az E pont sebességének vektoregyenletei
v
A G pont sebességét szintén Burme ister tételének felhasználásával kaptuk /vG = k v . ov g/. Attérve a gyorsulásterv szerkesztésére , B pont gyorsulásának v etktoregyenletei:
ahol: a kétszer aláhuzott vektorok ismertek, illetve a megfelelo sebességekből meghatározhatók ~ Az a~ "'O, mivel a dugattyu a hengerhez képest állandó sebességgel !OOzog, a~.i BC és a~o..LBO~
- 79 -
A gyorsulásléptéket is figyelembevéve az alábbi alakba is irható: b 't
2 + t 2oa
= b'b"
=
utolsó egyenlet az
+ b"t l + t l o a
Az egyenletek alapján a gyorsulásterv pólusát a következoképpen szerkeszthetjUk meg /67~c.ábra/: tetszőleges helyre _rajzoljuk fel a~-t /b'b"/, majd b" kezdőpont jában adjuk hozzá a~-t /b"tt/ . . b' végpontjába pedig ütköztessük -n -t a 8 C-t /b' t 2/. Ezután t 1 pontban huzzunk merolegest OB-re /a 00 irá--t nya/, t 2 pontban pedig BC-re /aBC iránya/. Az két utóbbi egyenes metszéspontja Oa • A B pont gyorsulása tehát: . 8 c: b'Oa • ka
a
A D pont gyorsulásának megszerkesztésére itt is Burmeister téte-
lét használjuk fel /BC~'O a d'~
[ és
aD
= k a .oa d'
Az E pont gyorsulásának egyenlete:
vagy a k e'O
a a
léptéket is figyelembevéve: d'oa + n 2d'
+ e'n
2
G pont gyorsulásának me~szerkesztésére ismét Burmeister tételét alkalmaztuk. A keresett gyorsulás: =ka , Oag.
aG
2,47 III. osztálvu csop9rtot .tartalmaz6 mechanizmusok sebességének és gxorsulásának meghatározása. A III. osztályu csoportok .kinematika! vizagálatánál a sebesség és a gyorsulástervek felépitése az eddig követett l!IÓdszérrel nem sikerül közvetlenül, A korábban ismer-tetett szerkeszto eljárás bizonyos kiegészi·tésre szor~l. Vizsgáljuk meg a 68,ábrán látható mechanizmust. A mechanizmusban a
- 8o -
e'
@
7
7
f
o
68. ábra
.
III, osztályu csoportot a 3,4, 5 és 6 jelU-tagok képezik, A hajtótag a 2 jelU tag. A mechanizmus szabadságfoka egy,ennek ellenére a III.osztályu csoport bels5 kinematika! párjaira /D,E,F/ felirható vektoregyenletek nem vezetnek gyors megoldáshoz. III. osztályu csoportok kinematika! vizsgálatánál célszerU az u.n. Asszur pontokat felhasználni. Az Asszur pontok a központi taghoz /DEF~/ kapcsolódó tagok /3,5 és 6/ irányának rnetszéspontjai,III. osztályu csoportoknál három Asszur pont szerkesztheto meg.,mivel a központi tagho·z három tag kapcsolódik és ezek három met~zéspontot eredményeznek. Hangsulyozzuk,hogy.az Asszur pontokat mindig a központi taghoz mereven rögzitett pontként kell fiSyeletnbevennil VJ.zsgáljUk meg ,hogy pl. az 5 és 3 jelU tagok rnetszéseként kapot.t Asszur pont segit.ségével hogyan épithete fel a· sebesség és a gyorsulástery. Az Asszur pontok felhasználásával történ5 szerkesztésnél el5ször m imig ezet;: valamelyikének /példánkban az . S pontnak/ a sebességét és gyorsulását kell rnegha~ározni, ugyanis e~ek ismeretében már könnyen megszerkeszthet5 a központi tag többi pontjának sebessé ge és gyorsulása. S
- 81 -
Az S pont
sebesség~re
vs
=
vo
a kavetkezö vektoregyenletek irhat6k fel:
+ vSD
és
vs = vF
+ vSF
Az Asszur pont vektoregyenleteinek mindig tartalmazniok kell a központi tag megfelelo pontjainak sebességét [gyorsulását/. Ezután az Asszur pontot kimetsző tagoknak /AD és CF/ a központi taggal egybeeső pontjaira /D és F/"kell egyenletet felirni, a tag másik végpontja /A és C/ felől "megközelitve" azokat:
Ez utóbbiakat az e15zé'i egyenletekbe helyettesitve:
~s= vA + (voA + vso)
és
vs
=vc
+(vFc
+ vsF)
==
=Az egyenletek alapján vs megszerkeszthet5, rnivel vA és vc adott, fvc =O/, a VDA és VSD vektorok merolegesek AD-re, a VFC és VSF vektorok pedig FC-re, ezért ezek páronként egy adott irányu vektorral helyettesithet5k. A sebességterv /68.h ábra/ most már a korábban ismertetett rnódszer·rel felépithet5. Az Ov p6lusb61 fel kell mérni kv léptékű O a metszéké t, majd az Ha" pontból AD-re, az O -b51 pedig FC -re v v kell merolegest bocsájtani. Metszéspontjuk: s és igy = k .OS. 5 v v v8 ismeretében E .pont sebessége már könnyen meghatározható. Ehhez kössük össze E pontot S-e l é s irjuk fel vE vektoregyenletét:
vA
v
aho l v 8 o, vE 8 .LEs és vEBi EB. Ismerve vE-t D ésFpontok sebessége is szerkesztheto /lásd a 68,b. ábrát /. A gyorsulásterv szintén az S Asszur pont segitségével szerkeszt~ hető
meg.
El<Sször S pont g:y:orsulásának . vektore gyenleteit irjuk fel: -n
as = aD + aSD
-t
+ aSD
,
-
-
-
-t
es as = aF + aSF + aSF
- 82 -
behelyettesitve az
érték~it, a 5 -re kapjuk,hogy:
as = a A +
n -aDA
===
=
-t + aDA
-n
+ aSD
--
+ -t a SD
és
= A normális gyorsulások a sebességterv tameretében megszerkeszthetők. Az egyenletekben szereplő tengenciális gyorsulcispárok egy-t -t . -t irányuak, vagyis aDA és a merőleges AD-re, hasonlóan ~C és 50 -t . . a F merőleges FC-re. Példánknál ac = O. Az a -re felirt két egyen8 5 let alapján végzett szerkesztés a 68.c. ábrán j61 kBveth~to, Az E pont gyorsulása az alábbi egyenletekből szerkeszthető meg:
a és
as ==
E
-aE
ahol aB
-aB
=
-n
+ aES
-t + aES
===-
-t + -n aE B + a EB
--
-t -n aE B + aE B
--
o.
aE ismeretében D és F pontok gyorsulása a 2.41. fejezetben ismertetettek alapján már könnyen meghatározható, A 68.q. ábrán a0 -t és aF-t nem szerkesztettük meg. ~.gyorsuláster~ metszékeinek megfelelo gyorsulások. /zárójelben/ a következok:
O a' a
/;;_A/ i
-n -n l~c+asFI;
a'n l
-n -n /aDA +asDI;
-t s'n 2 l -..t aFC+aSr, l;
s'O
s'n l a (asi;
-t -t /aDA +aSD/;
n20a
-n -,S"ri3 /aESI; e n3
-t JaES/;
- 83 -
6
s 1 69. ábra
III. osztályu csoportot tartalmaz a 69.ábrán látható harántgyalu mechanizmusa is. Ennél a mechanizmusnál a III. osztályu csoportot a 3 ,4, 5 és 6 jelü tagok alkotják. A csoport központi tagja a 4 jelU tag. Ehhez kapcsolódik csuklóval a 6 és az 5 jelü, haladó mozgást megengedo kinematika! párral pedig a 3 jelU tag. A mechanizmusban a hajtó tag a 2 jelü. A kinematika! vizsgálatnál itt is Asszur pontot használunk fel. Ahirom Asszur pont /8,8 1 és Su/ közül az S jól felhasználható a sebesség és a gyorsulástervek felépitéséhez. A megoldás gondolatmenetét az alábbi vektoregyenletek adják: vs
vc
+
vsc
és
vs
és
v
"'VB
+
VSB
és
igy a
VCE
vs-t
meghatározó két vektoregyenlet a következo :
vs =vCE + vs :::: VA =-
vsc + VBA + VSB
B
VA
+ VBA
vc
- 84 -
v
v
ahol vCE és 5c ffieroleges C:E-re, továbbá vBA és 5c méroleges B$-re. v5 ismeretében,mivel S pont a központi tag /4/ pontj~ként fogható fel B,C és D pontok sebessége a további egyenletekbel már meghatározható /69,b ábra{:
B pont sebessége a VB
= kv
Cd:
CD ~
dbr DB
aránypárból számithatót
, 0 b,
v
A gyorsulásterv felépitése a sebességtervnél alkalmaZott gondolatmenettel azonos módon történik. A 69.ábrán a gyorsulástervet nem szerkesztettilk meg. Gyakorlásként azonban célszerli azt is megszerkesztenL Ehhez segitségill megadjuk 5 két vektoregyenletét:
a
as
- n
= aCE
-t + aCE
+
-n
asc
=-
===:Illi
+ a.t
sc
és
as
= aA
=
-c
+aBA
--
+-at
BA
+ a.n
SB
=--::aK
+ -t aSB
- 85 -
3. Sikban rnozqó mechanizmusok dinamikai· vizsgálata 3.1. A mechanizmusra ható
erők osztályozá~a
A mechanizmusok dinamikai vizsgálatának legfontosabb feladata a kinematika! párokban ébredő reakcióerek meghatározása, Ezeknek az ereknek az ismerete a szilárdsági számitásoknál, a csapágykivAlasztásnál, ~megfelelo kenési rendszer kialaki tásánál , a hajtó motor teljesitményének meghatározAsánál, stb. egyaránt szükséges. A mechanizmus milködése során annak tagj aira külso erök. hatnak. Ezek közé tartoznak a hajtóerő, a . hasznos vagy technológiai ellen. ' állás?k, a káros el lenállások, a tagok sulya és a tagok mozgásából. keletkeze tehetetlenségi er5k. A belso erők közé tartoznak a kine~ matikai párok elemein fellépo kapcsolás! reakcióerök, Hajtóere alatt; a vezeto l hajtó/ tagra ható, podtiv munkát végze ·erot értjük /pozitiv a munkavégzés , ha az ero iránya és támadás .. pontjának sebességiránya egybeesik, vagy hegyesszöget alkot/. A has znos ellenállás a zt az er5t j e lenti, amely a hajtott rend~ szer tagjaira hat és amelynek legyőzé sére a gépet szerkesztették . Ilyen ellenállás ál l elo például a sajtolás, a fémforgácsolás, stb . közbe n . A káros e llenállások közé e l sosorban a surlódó e ro és a közegellenállás tartozik. A káros e llenál l ások negativ munkát vége znek. A kinematika! párokban keletke zo sur lódó erok a reakcióe rek hatá~ sára lépnek fel ós i smeretlen belso e roknek számi~anak , A surlódó erők tangenciális /az . e redo r eakció-erore merole ges/ irányuak és a kinematika! elemek közti s urlódási tényezo, valamint az eredo reakci6~rö ismeretében számithatók, A tagok G sulyeroinek támadáspontja a tagok sulypontjában van. A sulyerok munkája a mechanikai munkaciklusban nullával egy enlo, mivel a tagok sulypontj a i .zárt görbepályákon mozognak és a sulyero iránya válto zatl a n. A mechanizmus rnunkac iklusán belül azonban a sulyerok munkája ·nullától k~lönbözik, ezér t a mechanizmusnak adott állásban tör téno dinamika i vizsgálat ánál nem ha nyagolhatök e l.
- 86 -
A tehetetlenségi vagv inercia er6k a mechanizmus tagjainak egyenlet• len mozgásából származnak, A tagok tömegének, sulypontjuk helyének és a hajtó tag eloirt mozgásának ismeretében kiszámithatók. A tehetetlenségi erek a tag sulypontjának gyorsulásával párhuzamosak, de irányuk azzalmindig ellentétes, . A reakcióerek a kinematika! párokban ébrede kapcsaló erök.• Reakcióerek alatt a ·mechanizmus egyik tagjáról a másik tagra átadódó erahatást értjük. Az egész mechanizmus egyensulyi helyzetének vizsgálatánál a reakcióerőket olyan bels5 ereknek tekintjUk,árnelyek párosan kölcsönösen kiegyensulyozzák egymást. A reakcióer5k a ki·nernatikai -."rOkban munkát nem végeznek.
3 . 2,·· E'lem;t csapörtok er5egyensulya. ·Kinematika i párokb'an ébrede reakcióerek meghatározása, A kinematika! párokban ébrede reakcióerek vizsgálatánál az elso lépés mindig a kUlso erek nagyságának, irányának és tá~dáspont jának meghatározása. Ha már ismerjük a kUls5 erekP-t /beleértve a tehetetlenségi eroket is/, akkor d' Alernbert elve alapján a mechanizmust, illetve az azt alkotó elemi csoportokat és azok minden egyes tagját egyensulvi állapotban lévonek tekinthetjUk és felhasználhatjuk a statikai egyenleteket. A reakcióerők meghatározásánál minden ötkötöttségU csuklóban és· haladó mozgást megengedo kinematika! párnál két ismeretlennel kell számolni. Az elso esetben a reakcióere nagysága és iránya, a má- · sodikban pedig a reakcióera nagysága és támadáspontja ismeretlen, Ebbol következik, hogy az ötkötöttségU kinematika! párokat tartalmazó mechanizmusokban az ismeretlenek száma 2p 5 • f.Z n tagot tartalmazó mechanizmusr~ viszont 3n számu statikai egyenlet irható fel. A feladat akkor megoldható, ha 2p = 3n vagy 5
3
2
n
- 87 -
Mivel ezt a feltételt az Asszur csoportok kielégitik, ezért a mechanizmusok erőtani vizsgálatát az öket alkotó Asszur csopor·tok vizsgálatával célszerU vég~zni. Felhivjuk a figyelme~ arra,hogy az Asszur csoportok vizsgálatának sorrendje mindig meg kell,hogy egyezzen azzal a sorremddel -,amelyet a szerkezeti analízisnél a csoportok elkUlönitésekor kialakitottunk. A ktilönbözo II.osztályu·elemi csoportok ki"nemat;l.kai párjaiban fellépo ismeretlen reakcióerők meghatározásának rn6dját az alábbiakban mutatjuk be. Kéttagu csoport három forgó kinematika! párral. A 70. ábrán látha~ tő l és 2 jelU tagokból álló csoportot ugy kell elképzelni,hogy azt a ráható F1 és F külso erekkel eqyUtt valamely mechanizmus2 ból kiérneltük és a mechanizmus elhagyott x és y részének a csoport~ ra kifejtett hatását Fx 1 és Fy 2 reakcióerőkkel helyettesitettük. . Bontsuk fel az ismeretlen Fxl és FY 2 reakcióereket normális [az adott tag csuklóinak középpontjait összeköte egyenesbe eso/ és tangenciális /a "normálisra rneroleges/ komponensekre, majd vizsgáljuk az egyes tagok és az egész csoport eroegyensulyát.
70. ábra
Az l jelti tag egyensulyából következik, hogy a tagfa ható erek B pontra vonatkoztatott nyomatéka nullá, vagyis~M 1 /B/ =O,
- 88 -t
ahonnan a Fxl tangenciális komponens számitható:
~
A 2 j el ü tag eroegyensulyábó l F2
M2 {B/
;
O és innen
• h2 BC
A csoport
-n Fxl
+'Ft xl
=
+ Fl +
-
F2
+'Ft + -n Fy2 y2
=
--
-n
-t
=o
-n -t egyensulyi feltételhol Fxl és Fy2 szerkesztéssel kiadódik. -n
-t
Az F xl = F xl + F xl és F y 2 = F y 2 + F y2. vektoregyenletek alapján azA és c kinematika! párokban ébrede reakcióerek szintén ~egszer keszthetok. A B pontban ható reakcióera az l jelű tag erCiegyensulyából: F xl + Fl + F 2.1 = O határozható 'iTi'eg. Jó ellenorzésül szolgál a Culmann-szerkesztés végeredménye, az az huzzunk párhuzamost A ponton át Fxl-el, B-n át Fl2-ve1 és c-n át Fy 2-vel. Az A és B ponton átmenő egyenesek F 1 -en, a B és C ponton átmenCiknek pedig F hatásvonalon kell rnetszodni, 2 A Culmann-szerkesztés a három forgó párt tartalmazó kéttagu csoportnál a reakcióerek meghatározására is felhasználható. Alkalmazá·· sának ismertetésére azonban nem térünk ki,rnivel azt a Mechanika c. tárgyból már ismertnek tételezzük fel. Elemi csoport két csuklóval és egy külso haladó mozgásu kinernatikai párral /7l.ábra/. A megoldás gondolatmenete a k5vetkezo: l. Az l je'lü tag egyensulyi feltételéhol ~M 1 /B/
F~l
~\ AB
hl
o,
ahonnan
- 89 -
y
71. obra
2. A viz s gált eRCpor t ban a keresett Fy
2
e r5 iránya ismert, merS l e -
ges az y - y ve zetékre . Az egész c s opor t
p0
+
xl
Ftx l
+
f
1
+ F
2
+
Fy2
O
cgyensu lyi feltét e l alapján F ~ 1 ; ixl ös Fy 2 az er5sokszögb5 l k önny en meg h rt t. fl co z ha t ó . J . A csupo r· t
taq ja l t:il ki.i.lcsönö:-;t! ll ha t ó r ea kciÓE!rÖkf!l.
/Fl:! _~-f;,n/
él
C:-lOpo t· t
e qy lk laqjának, pf>ldául a
2 tagnak
il
e gyens u lyj
4. Az do
=O
~ + ~ ~
+ F
t•rÖ 11e k ''
Jw l yét , vagy.is h
FY~,,
:":u lL fr:-ltet e l ébö l r'l ll a pit ju.k
erők B
ro~ha tj uk
meg .
y2
k arját a 2 je lü tagon mükö-
po ntra vonatkoztatott nyomat éka i n a k
összeg éből
h a tá -
mcg,vagyi s
Ké ttagn csoport h a ladó moz2_st vé gzö belso kinemat ik a ! párral /7 2. áb ra L·
-
9o -
.
. j
.
72 . abra
A Cpon~an ébredő FY 2 reakci~r~t·f~l kell bon~ani az AC .irányába eso Fyl és ~rre meroleges Fyl komponensekre. A feladat megoldása ezután a következo: 1. A k'étkaru csoport ~M
cs
/A/ "= O egyensulyi feltét.el~blSl j t
y2
számithat6:
P: 2h 2
+ i\h
1
AC
2. A 2 jelü tag eröegyensulyából F~2; Fy2 és Fl2 megszerkeszthet.O,mivel: ·.
-Fn + -Ft + -F + F ~ O yZ . y2 2 ·. 12
-=--
~
-- -·
3. F 12 ismeretében , annak C pöntból mért h 12 t .á vobágra: +évö t .á svonalÁt a L_M 2 /C l ;,. O egyensulyi fel téte·l bol adódó
na-
- 91 összefüggésből
számitjuk ki.
4. Végül a csoport eroegyensulyáb61 Fxl szerkeszthetö, ugyanis
!<ét ta g u csoport forgó mozgás t végző belso kinema ti kai párral
/7 3.
~bra /.
F..x!
/
/
/~2! '\. l Fi .. r-l
ry.?l l
l
l Fy2 l
l
73. ábra 1. A csopOrt eroegyensulyi feltételéba l F x l és FY 2 a z alábbi egyenlet alapján megszerke s ztet t erasokszöggel határozható meg :
o
Fxi + Fl + F2 + Fy2 = · """"" 2. Az l és 2
jelű
tagokra ható
erők
matékainak összegébo l, vagyis a~M 1 /B/ lyi feltételekbal Fxl tározzuk; Igy kapjuk; h
=
lx
.
B csuklóra vonatkoztatott nyo>=
2
O és ~M /B/ =O egyensu~
és Fy2 erők hxl illetve hy2 karját megha-
-
92 -
3. Végül, ha a csoport egyik, például 1 jelU tagjának egyensulyát vizsgáljuk,akkor az alábbi vektoregyenlet szerint megszerkesztett
erősokszög
alapján a B csuklóban
ébredő reakcióerőt
is
megállapithatjuk:
Kéttasu csoport esy forgó mozgást vésző külső kinematika! párral /74,ábral
7~.Óbra l. Az l
jelü tag alábbi ero egyensulyából Fxl és F 21 megszer-
kesztheto:
- o 2. Most már a 2 jelü tag
Fl2
e gyensulyi
3. Az F
12 tagra ható
+ F2 + Fy2
= egyenletéből F y =
2
=O
adódik.
és Fxl erők helyének meghatározásához először a 2 jelü erők
c
pontra vonatkoztatott nyornatékainak, azután
pedig a kétkaru csoportra hatö
erők
ugyanerre a pontra vonatkozta- .·
-
93 -
tott nyomatékainak ö sszegét kell venni 1 vagyis a ~M 2 {c{ ""O-t
és a ~t-1cs /C l ~ O-t. Ezekből az egyensu ly i fel tételekböl:
és
h x l "'
A haladó mozgást megvalósitó kinematika! párókkal kapcsolatban felhivjuk a figyelmet arra,hogy ha a reakciöerö nem a kinematika!
pár felületének középpontjában halad keresztUl,akkor mindig fenn áll a befeszUles v eszélye. ismeretében határozzuk meg a 75. ábrán b emu t 'a tott
Az e l mondottak
mechanizmus kinematika! párjaiban é bre dö reakci ó eroket , A mechaniz-
F3 ;F5
musra ható külso erők a
F6
és
adottak , A mechan izmus 3 és 4
jelü tagját még az M , illetve M ismert nyomaték is terheli, A ke3 4 resett r e akcióerök k öztil csak F iránya és támadás pontja isme rt 16 /merölege s x-x vezetékre é s átmegy az E ponto n/ .
A feladat mego ldásának go ndola t menete a köve tkezo : elöször képzeletbe n elkülöní t j ük: a ~~ l so h a ladó moz g ás u kinematl;
t a y o kbó:l \ :~'Í l ó cso po 1~ t ot .~s fllf~qvizsg á l j uk a csoport , vala -
mi n t a t a ge>k·· e gyen:Sul y i. f e lL éu~ l(-' í "
~··
..
t. •
,.
7\ c SOJ)Ort ~M ·' · / c/ · "" O egy~! nsul yi f r. ·l t.{~t elé b(il . . cs összefüggés ba l rögtö n ki s zárnith a t ó :
F16 a z a l á bbi
F6h6 - F'shs hl 6
-
-16 t
A 6 jelü ta g~ + F
F
ke sz té s utján adó~
56
=o
e gyensuly i felté telé hol f
=-F'
56
szer-
F35 reakció e ro az 5 jelU tag eraegyens ulya alapján szer53 keszthe t o ,mivel ·
rtz
F6 5 + F5 + F 35 -
=
O
- 94 -
1
l
75. abra ··~
Most vizsgáljuk a há.rom forg6 kinematikai párt tartalmazó 3 és 4 jeiU tagokból &116 csoportot. A kUlso ~ er.on és az M , M 3 4 nyo~ tékon ki vU l az el5zl5ekbol ismert már F is. A B pontban · .'
F';
53
ébredé')F reakcióeratBC irányu normális ·és rá mer~leges : 23 3 i~ tangenciális komponensekre bontva a 'l.M 3 /C/ ·":' O feltételpol; sz.im1that6 t . · 3
3 "Fi
.· •.
A.·
. ~_M 4 /C/ •
o
egyen~ulyi feltételb5l;
-t
A.
Fl4 "'
_-.·
·
ahol
1
oc
F.t14 merCSleges Cö-re.
- 95 .-
r 23
és F az egész csoport alábbi eróegyensulyi feltétele 14 alapján az erősokszögből határozható meg:
p-n23
+
p-t + 23
-t
F3 + F53 + Fl4
+ - n
Fl4
-- =
=0
4
4 jelü tagr-a a c pontban a 3 jelU '···."'f felol az F F erő 3 14 adódik át /a 4 jelü . tag F .+ F 34 ""O erőegyensulyából köVetkezik l • 14 Végül a c pontban a 3 jeli1 tagra átadódó teljes F' Cerő naqysága; 2 A
-
F2C
F43 + F53 ==-
-==-
\
A mechanizmus tagjaira ható összes tartása a forgattyun
erő
és nyomaték egyensulyban
Megy.- - 32 F · h 32 • k l
nagyságu nyomatékot kell kifejteni. A III. osztályu csopor·t ot tartalmazó mechanizmusok kinematika!
párjaiban ébredő reakcióerők meghatározása a kinematika! vizsgálathoz hasonlóan az Asszur pontok valamelyikének felhasználásával történik. A feladat megoldásához egyetlen Asszur pont szUkséges csak. Vizsgáljuk meg a 76, ábrán látható mechanizmust. A III. osztályu csoportot a 4 jelü központi tag és a csuklókkal hozzákapcsolt 3,5 és 6 jelU tagok képezik. A csoport min~en tagjára egy-egy killso erő hat. A csoport összes kinematika! párjában ismeretlen a reakció erő. A reakeióerők'meghatározásához elso lépésként szerkesszUk meg a 3 és 5 jelü tagok meghosszabbitásának· metszéspontjaként az. S Asszur pontot. A II .osztályu csuklós csoportnál alkalmazott m6 dszerhez hasonlóan itt is meghatározhatjuk a külso csuklóban /A,E és F/ ébredő reakcióerők tangenciális összetevőjét. A '2_M /B/ = O,~M /D/ =0 és ~M /C/ = Oegyensulyi feltételből 3 5 6 -Ft2 3,' -Ft • -Ft ki s zam ' ith a tó : ' 15' 16
- 96 -
1
~:,; i
76. abra F5
• h. -t ....;:::_ ___;;j,s_ és F 16 ED
Az ~ 6 a csoport s pontra felirt ~Mc 5 /S/ = o egyensulyi feltételébal kiszámitható,mivel F~ és F~ 5 nem ad nyomatékot az S pont~ 3 ra:
F~
6
-t --t ""F3h3s + F4h4s+F5h5s + F6h6s - F23' AS-FlS h -n
-n
Az F és F normális irRnyu reakcióerok a csoport álábbi era• 23 15 egyensulyi feltételébal grafikusan határozhatók meg~
A B, D és
c belso kinematikai pfi.rokban ébredo reakcióeraket a
3,· 5 és 6 jelü tagokra
felirható erCiegyensulyból határozhat....
juk meg, Ezek a következokt
+ F3 + F43
o
Fs + F45 F"1s + -====-
o
F 23
=
-=
r
- 97 -
f és
Ha a III.oszt.ilyu. csoport egy belso csuklóját haladó mozgást végzo kinematika! párral helyettesitjük /17.ábra/, akkor a kinematika!. párokban mtiködo rea<..cióerok szárnitása némileg eltére lesz. Az E csuklóban ébredo re.akc16erí5t ugyanis 'a haladó mozgást végzo kinematik<Ü pár vezetékére meroleges /F~ 5 / és a vezetékkel párhuzamos tF"i 5 t összetev15kre kell felbontani.
77 ábra t Ha a surlódáscö1 eltekintünk, F -re irható,hogy 15
-t
F lS == F S cos()( ahol - ~az F külso ero és a haladó mozgást végzo kinematika! 5 pár vezetéke között lévo szög. A számitás további menete semmiben nem különbözik a I!I.osztályu csoport kinematika! párjaiban ébredo reakcióerok meghatározásának fentebb leirt módjátóÍ,
- 98 -
3,3; r.osztályu mechanizmusok /hajtó tagok"feroegyensulyá . Az 1 jelű állványból és az A kinernetikai párral hozzá kapcsolt .2 jelű mozgö tagból álló I.osztályu mechanizmusnak /7B.ábra/ két válto za ta van: az eqyiknél forgó, a másiknál h;;ladó mozgást megengedő kinematika! pár kapc$olj;:t a rnozgó tagot az alaphoz. Mivel b~zonyos kUlönbség van a két megoldás között 1 vizsgáljuk oket külön..;.külön.
· 78. ábra A forgó kinematika! párt tartalmazó I.osztályu mechanizmus 2 jelU .
tagjára hasson isme rt nagyságu F2 külso ero és M2 ~ülso nyomaték, Ismertnek tételezzük f e l a. mechanizmus összes mozgó tagjának a 2 jelÜ tagra a B kinematikai páron keresztül átad6~F12 erohat ásá~ is. ~z zel a ~F'12 belso reakcióerővel helyettesithet<5 .a mechanizmus elhagyott része. Ezek után meg , kell határozn;l
- 99 -
Fy
FY ismeretében az F erősokszög
F2h2 +~i2
.hi2 + M2
h
12
reakció~r5
segitségével
a 2 jeltl tag eroegyensulyából az
megszerkeszthető:
Ha nem a hajtóerot, hanem az M hajtó nyomatékot /vagy egyensulyaY
zó nyomatékot/ kell meghatározni, akkor a fenti gondolatmenethez hasonlóan M -ra a következő összefüggés irhatót y
F'
A
12
reakcióerő az
.
!.., +~F 12
+ FÍ2
=
o
vektoregyenletbal szerkesztheta. Most vizsgáljuk azt az esetet,amikor az I.osztályu mechanizmus haladó mozgásu kinematika! párt tartalmaz /78.b. Abra/. Ekkor F
y
egyensulyozó era hatásvonala az m-m egyenes, nagysága az
F12 + F2 +~F'i2 -==
+
Fy
=
o
=
vektoregyenlet alapján szerkesztheto. Innen adódik az F
y
F 12
és ·
•
Az F l2 reakci.óer5 helyét a
zM /B/
számithatjuk ki és ez alapján a tott. karja: h
=
O egyensulyi fel tételből
reakcióerő
B pontra vonatkozta-
h2 + M2
A h kar B ponthoz viszonvitott helyét /tale jobbra,vagy balra
- loo aslk -e/ 4 rentl tört számlálójában lévö nyematekek naqysáqa és iránya határozza meg.
3.4.' Kinematika! eárckban· ébrede reakcióerek meghatározása a surl6dás figyelelnbevetelével. Vizsgáljuk meg,hogyan határozhatók meg a II. osztályu másodrendll csoport /79 . ábra/ kinematika! párjaiban ébredö reakcióerek, ha a csapsurlódásokat is figyelembe ves~zük. A csoport t~gja!t az F 2 és F 3 kÚlse erok terhelik. A surlódás miatt a három kinematika! párban M~ 2 ; M~ 3 ; M~ 2 ; M~ 3 nyomaték is keletkezik,
b
79 .abra· Ezeknek a nyomatékoknak a nagysága a következo:
[
- lol -
ii
r
!' '· !
ahol F12 ; F 23 és F 43 a B, C és D csapágyakban ébredo reakcióerok; ~ a surlódásí tényező a k!nernatikai párokban, r ; re és - r a 0 8 csapok sugara. A surlódási tényezöket az egyszerűség kedvéért azonosnak vettük fel, A·surlódás keltette nyomatékok iránya a megfelelo tagok relativ szögsebességeinek irányától függ és mindig ellentétes annak a tagnak a relatív szögsebességével, amelyre a nyomaték átadódik. Például ha a 2 jelű tag l-hez viszonyitotta> 21 szögsebessége az · óramutató járásával azonos irányu, akkor a M~ 2 nyomaték az óramutató járásával ellentétes értelmü. Ebbol az is következik,hogy r-1~ 2 = -M~ 1 ; mivel cv12 = -~ 1 . A relativ s zögsebességek a sebességterv ismeretében a tagok alapho z viszonyitott szögsebességének kUlönbségeként számíthatök ki. Például
A csoport
erőegyensulya
-n
Fl2
-t
-t
F 12 és F 43 feltételből
-t
a
-
következő:
-
- n
-t
+ F12 + F2 + F3 + F43 + F43 =O komponensekre~M /C/ =
O és ~M 3 /C/ = az alábbi összefüggés irható fel:
2
-
_F2h2
s
+ Ml2
O egyensulyi
s
+ M32
BC
-
s
s
F 3h3 + M43 + .r-123 CD
Ff
Ezekből az összefüggésekből azonban 2 és F~ 3 nem számitható ki, mivel a surlódás keltette ~yomatékok meghatározásához F12 ; F23 és F'43 reakcióerőkre is szUkség van, ezek pedig ismeretlenek. A féladat az egyensulyi feltételre felirható hat egyenlettel matematikai uton megoldható ugyan, ez azonban rendkivül munka- és időigényes. Ezért az alábbiakban egy olyan közelito eljárást ismertettünk,amely a gyakorlat számára ekgendo pontosságat ad .
- lo2 Elso lépésként tételezzük fel, hogy M~ 2
=o,
M! 3 = O,
M; 3
= -M~ 2
=O
és
Ebben az esetben a 70, ábra kapcsán ismertetettek alap. Jan és F~ 3 kiszámitható, majd az ereterv megszerkesztheto , 2 A surlódás .elhanyagolá:sával szerkesztett eretervben /abcd 0 f 0 e 0 a/ a B, c és D csukókban ébrede reakcióereket jelöljUk F~2; r~3 és -o · ·ö gben -o F 43 -al /az erosoksz, F 23 -t nem rajzoltuk beJ,
Fi
Ezekkel a reakcióerekkel számitattuk ki a surlódás keltette nyomatékokat:
/Ms12 t'
.
/Ms /' 23
=
Ezeket a nyomatékokat helyettesitsUk be az~M /C/ =0 és~M 3 /C/ 2 = O egyenletekbe, majd számitsuk ki a Ei és D csuklókban ébrede reakci~erok uj Jii 2 1' és ti~ 1' értékeit. Ezekke l szerkesszUnk · egy uj erösokszöget fabcd f e a/. Ebbol a második eresokszögbel 1 1 1 a B, C és D csuklókban ébrede reakcióerek F~ 2 ; F~ 3 és 3 uj értékei meghatáro z hatók.
3
F4
A kapott uj reakcióerőket felhas ználva az előbbi gondolatinenettel azonos módon szerkessz(lnk egy harmadik erete rvet /abcd 2 t e 2 a/ · 2 is, A kapott reakcióer9k: F~ ; F" 23 és 3 • A közelite szerkesztés tovább folytatl)ató 1 a gyakorla·t számára azonban a harmadik, sot az esetek többségében már a második erasokszög is kielégitő pontossággal adja a csapsurlódásokat is figyelembeveve reakció-
2
F4
erőket.
A reakcióerek hasonlóan hat-ározhatók meg akkor is ,ha egy vagy két · kinematikai pár haladó mozgást enged meg. A 80 . ábr!n látható II.osztályu csoportra az f és ~3 külso er.5 2 hat. I tt a D kinematika! páran keresztUl nem surlódó nyoma ték, h anem az -s F 43 surlódás1 ero adódik át a 3 jelU tagra, amelynek nagysága:
- lo3 -
Az F~
3
surlódási er5 ellentéte~ irányu a 3 jelU tag 4-hez viszo~
nyitott v34 sebességével. A csoport eroegyensulyának Vektoregyenlete a következo:
2
3
A 2 és 3 jelU tagok ~M /C/ .. 0 és ~M /C/ telei az alábbiakz
=O egyensuly1 felté .. ·
és
Elso közelitésnél itt is tételezzUk fel,hogy M~
s
1-1 32
·s
.
-s
"'o, M23 =O es F 43 "'O és a 71, ábra
a :EM 2 {C/
=o
2
= o,
gond~la~netét követe
nyomaték! egyenletboT számitsuk ki F -t, majd az 12 F -t és F 12 -t. 43
erőtervhol határozzuk meg
Az elso közelités eroterve: abcf e a sokszög, a kaPott reakció~ '· o o s erek pedig F~2; F~3 és F~3. Ez'ek ismeretében /M12 l,;
s , • -s . l M23 1 es /F 43 /'számitha! óz s
/Ml2 /'
-o
= Fl2f'rB
- lo4 A kapott értékeket al:Fcs o, l:M 2 [C/ =- O és ~M 3 [C[ =o· egyenletek~ be behelyettes!tve uj erőterv /abcg 1 f 1 e 1a{ szerkesztheto, amelyben a reakcióerők uj értéke: F'l2; Fb és F.b· A ao.b.ábrán a har~ madik erőtervet is megszerkesztettük.
F1
F2
'F4
Az ebbOl meghatározott 2 ; 3 és 3 reakcióerők a gyakorlat számára már elegendő ' pontossággal birnak. MegemlitjUk,hogy a surlódás figye'!embevétele. a kinematika! párokban ébrede reakcióerők meghatározásánál a surlódási körök és a surlódás! kupszögek felhasználásával is lehet~éges. Ez a szerkesztési eljárás ie kb. a harmadik közelitP-s után ad elfogadható eredményt.
' 80. ábra
- loS 3.5. Felsorendü kinematika! párokban
ébredő reakcióerők
meghatá-
rozása A felsorendü kinematika! párok legfontOsabb jellemzoje,hogy az okét alkotó tagok közötti érintkezés /kapcsolat/ pont vagy egyenes mentén valósul meg, Az ilyen kapcsolatoknál, ha a felsorendU kinematika! párt alkató tagok között fellépo surlódástól eltekintilnk, akkor az egyik tagról a másik tagra átadódó erohatás/reakctóero/ a profilgörbék érintkezési pontjában megrajzolt közös profilnormálisba esik. Ebbol következik,hogy a felsörendll kinematikai párokban ismert a reakc~óero támadáspontja és iránya, csupán nagysága ismeretlen. Vizsgáljuk ~g,hogyan hatnak a reakcióerok, ha a kinematika! elemek között fellépo surlódást is figyelembe vesszük. A sikban mozgó mechanizmusok felsorendü kinematika! párjaiban -az alsörendüekkel ellentétben .. két relativ mozgás játszódik le: a két kapcsolódó tag csuszik is és gördül is egymáson. Ennek megfeleleen két surlódás: a gördülő és a csuszó surlódás lép fel. Mivel a gördülő surlódás fékező hatása csekély, számitásainknál elhanyagolhatjuk. A mechanikából ismert,hogy a csuszósurlódá s hatására a két test között fellépo reakcióerő nem a felületek közös normálisába esik, hanem azzal g surlódá si szöget zár be ,de továbbra is átmegy az érintkezési ponton. A re akc ióerőnek a relativ sebességgel bezárt szöge 90°+ g /8l, ábra/. Az ábrán a 2 ejlü tag l-he z viszonyitott sebessége 21 ; az l-es tagról a 2-re átadódó reakcióera pedig F 12 . Ez az er5 felbonthat~ normális és tangenciális komponensre. A tangenciális komponens · mindig ellentétes a relativ sebeséggel /itt a v21-el/. Végül Newton 3. törvénye értelmében Fl 2= -F2l '
v
..; lo6 -
- __. ,
81. obro A felsőrendll kinematikai . párokban ébredő reakcióera meghatározásának gondolatiDenetét a 8.2 .ábrán láthat6 bütykÖs mechani2:mus segitségével mutatjuk be, A mechanizmus két r észbol: a 3 jelü lökőrudból és a bütyköt /2/, valamint az állványt /1/ magába foglaló l,osztályu mechanizmusból áll . Először vizsgáljuk a lökorudat. A lökárudra ha tó külsö erök a. következők ~ az FR rugóerő 1 a G3 su ly- és. az F 3 tehetetlenségi e .r o . Ezeket ismertnek tételezzük fel. Az ismeretlen belso erők a lökő rud és a bütyök, valamint a lök5rud és az állvány kapcsolódásánál lévo kineroa tik ai párokban ébredő reakcióerők /F23 és F13 1 • Az FR; • a G"3 és az .P 3 erők egy egyenesbe , a lökorud középvonalába esnek. Eredőjüket jelöljük F~-al /F~=FR+G 3+F 3 /. Az F reakcióerő támadáspontja a lökőrud és a bütyök érintkezési 23 pontjában van. Iránya is adott,~vel a v 32· relativ sebességgel 90°+ g szögetkal bezárnia és tangenciális komponensének ellentétes irányunak kell lenni v32 irányávaL Az F' reakcióerő egyenlőre még nagyság és i rány szer int is isme- . 13 retlen. A ·3 .jelü tag eroegyensul yának Vektoregyenlete a következő:
F
13
ir~nya
az alábbi gondo latme netböl
határo~hat6
meg .
- lo7 -
82. ábra
o3 ;F 3
és F közös metszéspontja a D pont. Egyensuly esetén 23 F -nak is át kell menni D ponton. Mivel D pont a vezetéken kivül13 re esik, ezért az F reakcióera az óramutató járásával azonos 23 irányba igyekszik elforditani a lökarudat. Ennek eredményeként az állványnak a lökarudra gyakorolt erehatása két reakcióera-komponenseként jelentkezik /F u és F v /. F'u és Fv erak a vezetéK szélén,ellen. tétes oldalon hatnak a 3 jelU tagra és irányuk 90°+~ szöget.zár be a v31 relativ sebességgel. Fu és FV eredaje F 13 ~igy F 13 reakcióeranek át kell mennie.két komponensének H metszéspontján is.
FR;
·--~-·
Az elmondottakból következik, hogy f 13 a D és a H pontokat ö~sze köto egyenesbe esik. Ezzel meghatározhatjuk i 31 irányát és most már a fenti vektoregyenlet alapján megszerkeszthetjilk az eratervet is,ahonnan megkapjuk a keresett i 23 és F'13 nagyságát. Felhasználva,hogy
Fu
és
FV is megszerkesztheto,
- loB A lökorud felfelé elmozdulva elfoglalhat egy olyan helyz.etet, ' amelynél a D pont a vezeték belsejébe kerül, Ebben a helyzetben az állványról a lökőrudra csak egy ero hat /fi\ 3 {, amely átmegy a D pon~ ton és a 31 sebességgel 90° + ~ szöget zár be. Ez azt is jelenti,hogy.a lökőrud csak egy oldalról feszUl neki a vezetéknek. Térjünk át a bütyök erőtani vizsgálatára. A bütyökre ható ismert kU1ső erők a következők G és F l 83.ábra/. Hat rá még az ismert 2 2 MF 2 nyomaték is. Ismerjük továbbá a 3 jeltl tag 2 bütyökre gyakorolt F"32 belso erohatását. Ezek után meg kell határozni az 'F12 reakcióerő t és a z M külső nyoma téka t. 2
v
Az ismeretlen 'F reakcióerő 12 a bütyök eroegyensulyának alábbi Vektoregyenlete alapján megszerkesztett erőtervhol határozható meg:
G2 + F2 + F32 + Fl2 =o
=
=
Az ismeretlen M2 nyomaték a ·2 jelU tagra ható erok A pontra vett nyomatékából számítható~
83. abra
Ha az A kinematikai párban a surlódást is figyelembe vesszük, akkor az F reakcióerő helyét a legegyszerűbben ugy határozhat12 juk meg,hogy azt az A pontban rajzolt surlódökör érintejeként fogjuk fel. Az F 12 erőt ugy kell érintőlegesen elhelyezni,hogy w21-el ellentétes értelemben foroghasson. A surlódási kör sugara; d
-p 2
ahol d az A kinemattkai l'ár hengeres csapjának
átmérője.
- lo9 3.6. A mechanizmus egy tagjára ható tehetetlenségi era. A mechanizmus sikban mozgó merev tagja haladó-, forgó- vagy .általános esetben forogva haladó mozgást végezhet, A haladó és forgó mozgás egymástól elválaszthatp, ami a vizsgálatot megkönnyiti. Hala~ó JR?·z 2ásnál a tag minden pontja azonos pályán mozog 1 azonos sebességgel, s ha van gyorsulás, akkor minden pontnak ugyanaz a gyorsulása is /84.a ábra/.
8
84. ábra tagra ható tehetetlenségi er5 ilyenkor a sulypontban keletkezik és a sulypont gyorsulásával ellentétes értelmü:
A
F.~
==
-
ma s
A tag egyenletes forgó mozg~sánál /84,b ábra/ a tehetetlenségi era párhuzamos AS-el és ellentétes irányu a suly pont gyorsulásával. A sulypont gyorsulása:
-a
s
-n as
Ennek megfeleleen a tehetetlenségi ere: -n .
ma s "'
- llo -
Változó sze5gse bességü f o rgó moz gás t végző me rev ta·g nál a tehetetlenségi erők eredője nem a rud sulypontján megy keresztül. Az erede tehetetlenségi erő helyének és nagyságának meghatározása a következő gondolatmenettel végezhető el /85. ábra/.
F.l·
®
®
85. ábra l
Az AB tagot az A tJOnt körül gyo rsulva f o rgatjuk. Sulypontja
a
. . s gyorsulá'ssal mozog. ua a tag tömegét a sulypontba koncentrál va képzeljük,akkor a sulypontban a gyor s ulással ellentétesen fellép egy F'1 = - ma 5 nagyságu tömegerő. Ezenkivill fell é p egy M1 reakciónyomaték is ,amely abból származik ,hogy a tag.o t AB helyzethol AB' helyzetbe .gyorsitva forgatjuk,s közben a rud sulypontja körlil
is gyorsulva forog, A gyorsitó forgás eredményeként tehát az F1 ~ -ma erö és az M1 8 nyomaték ·l ép fel. Ha az Mi nyomatékot E\; -'Fi erőpárral helyet,.. tesi~jUk, akkor eredöUl egy eltolt hatásvonalu erőt kapunk, amelynek nagysága: F1 .,; ·-ma5 és a KA pontban lép fel. A KA pontot J&n;;
-
lll -
gésközéppontnak nevezik. Mivel A pont körül forgatjuk a rudat,ezért á lengésközéppontot KA- val jelöljük. A lengésközéppont részletesebt megvilágitására irjuk fel a n~matékot A pontra: M
A
= r
es
s
· m. a s
.é, és .
a .
é=
sin
O(
_s::;....._~~-
rs
Ezeket behelyettesitve: ma sin oc. s
MA Mivel Fi
ma
/r
s
es m rs
+
l
s
igy i MA·= F.
~
. s in ex
l
e
rs
A KA pont helye ezek sze rin t a
.+ - s
m
r
s
sulyponttől
l
es k
m r
-el s
van e l tolva . A KA pOnt annak a fizikai ingának a lengésközéppontjaként fogható fel,ame lynek redukált hossza l r = r+ · s k· Erről könnyen meggyőződhetünk : a 85. ábrán vázolt AB tagot az A pontban felfllyge.sztett fizikai ingának tekinthet j tik, amely-n ek lengésidej e :
Ha összüvetjiik ezt a matematikai inga lengésidejével:
1' ~ 2:i'rr .
9
a kkor megállapithatjuk,hogy a fizikai inga egy : l
eA r
- 112 -
.hosszuságu matematikai ingával helyettesitheto, vagyis .az l r · hosszuságu matematikai inga lengésideje akkor lesz ugyanannyi, mint az A pontban felfüggesztett AB rudé, ha: r
s
m rs
·eA-ra rende.zve az egyenleteket, kapjuk,hogy:
eA
= m r
2
s
+es
amely a sulyponti tengellye l párhuzamos tengelyra vett tehetetlenségi nyomaték meghatározásának elve s zerint helyes, ha a két tengely egymástól r távolságra van. 5 Homogén és állandó keresztmetszetü rud esetén a KA pont helye a meghatározáshoz szükséges eA vagy E) 5 ismeretében számitható. Állandó keresztmetszetü, de inhomogén, vagy homogén, de változó ker e sztmetszetü rudnál a e s elemi részekre való bontással s zerkesz ... . tés utján határozható meg. · Az összetett azaz forogya haladó sikmozgást végzo tagnál a t~hetet l enségi erö nagysága változatlanul = -ma5 ; de sem a sulyponto n, sem a ~A ponton nem megy át, hanem további eltolódást szenved /86.ábra/.
F\
A mozgást bontsuk fel két részre: AB tag ugy tekinthetö, mintha minden pontja aA gyorsulással haladó mozgást végezne és ezzel egyidoben a B pont A körül aBA gyorsulással keringene. A haladó mozgásból származó tömegera az maA /86.c. ábra /, · a forgásból származó t ömegera az F" 1 -= -maSA. Az aS az 5 SUlyPOntnak az A körÜli keringéséböl származó gyorsu~ · lása,amely a gyorsulástervbal /86.b ábra{ meghatározható, Az elmondottakból következik,hogy az tehetetlenségi ere a tag . sulypontjában mUködik az AB tagnak haladó mozgása következtében és párhuzamos aA~val. Az era az A pont körüli viszonylagos maz~ gás követk~ztében ébred, támadáspontja a KA lengésközéppontban van A~
Fi; -
Fi
Fi
és párhuzamos aBA -val. A két ·ere eredoje:
- 113 -
@
B -F/• ~~~= - más F. ,- l j 86 . abra beh elyett:esitve:
Mive l :
Ezért
Fi= - ma 6 Az Fi erede tehetet l e nség i ere me,gha t ározásáná l a z FÍ és a;z; Fi_ nagyságára á l talába n nem vagyunk kiváncs iak, csuP.án azok irányár a . Irányuk ismeret ében a tagra hat6 eredo tehetetlens égi ero szerkes ztése az alábbi l é pésekre egyszer üsödi k , ha adva v a n a KA pont é s a
- 114 -
:-ud két pontjában a gyorsulás, valarnint az S sulypont: l. gyorsulásterv megrajzolása, 2. párhuzamost huzunk S-bol aA-val, · 3. párhuzamost huzunk KA-ból aBA -val, 4, az elobbi párhuzamosok rnetszéspontjában lép fel az 'F = -rna ·ero, 1
5
/a5 gyorsulással ellentétes irányban/.
87. obra
Határoz zuk meg a 87, ábrán vázolt forgattyus mechanizmus hajtórudjára ha tó tömegere helyét és nagyságát. Ha S és KA helye isrnert,akkor a szerkesztés menete a következo. Megrajzoljuk a gyorsulástervet, majd az S pontból az aA-val, a KA pontból .az aBA-val huzunk párhuzamost és ezek· rnetszéspontjá c-n át berajzoljuk az F.1 ~ -mas tehetetlenségi erőt. . . Az a a gyorsulá stervbel közvetlenUl meghatározható. 5 Ugyanezt az F.1 erőt nyerjük eredoUl, ha aKA helyett a K_-t -~ vagyis a B pontra vonatkozott lengésközpontot használjuk fe~ ér telemszerüen.
- 115 -
Határozzuk meg a 88, ábrán yázolt négytagu, csuklós mechanizmus 3, 4 tagjára ható ttlmegeroket is. K3A-t és K C-t ismertnek tételez4 tük fel, aA-t, valamint aB-t pedig a sebességek ismeretében szerkesztettük meg, Ezután megrajzoltuk a gyorsulástervet·, az s 3 ~b61 az aA-val, a K3A-ból aBA-val huztunk párhuzamost, A d rnetszéspontban a 53 -mal párhuzamosan, de azzal ellentétesen berajzoltuk a F13 erat.
Fi3
;=
-m3 •
as 3
~i3
7
88. abra A 4
jelű
tagra ható tehetetlenségiera eredoje a K4c ponton rnegy 54 vektorokkal. 8
át és párhuzamos a , illetve
a
3.7. Tehetetlenségi erök kiegyensulyozása 3,71 Forgó tömegek kiegyensulyozása E fejezetben a mozdulatlan tengely körül egy sikban, valamint a párhuzamos sikokban f.org6 tömegek kiegyensulyozásával foglalkozunk.
- 116 A gépek forgó alkatrészeinek fordulatszáma évr51-évre növekszik, A belseégésü rnotorok fordulatszáma ma már eléri a percenkénti 5000-es,egyes ipari centrifugáké pedig a 30,000-es fordulatszámot. A fordulatszám növelésének tendenciája érthető~ növelésével n5 a gépek teljesitrnénye, A fordulatszám növelésével azonban együtt jár az egyes gépalkatrészek gyorsulásának, k~vetkezésképpen tehetet~enségi erejének· növekedése is. A tehetetlenségi ere az alkatrész sulyának több százezerszerese is lehet. A kiegyensulyozatlan tehetetlenségi erek eros rezgést, a gépalkatrészekben járulékos feszültségeket, ido eletti kopást~ sot sok esetben törést is okoz· hatnak. Hogy ezeket elkerüljük, a tehetetlenségi ereket gondosan ki kell egyensulyozni. A kiegyensulyozatlan tehetetlenségi er5 statikus és dinamikus le~ het. Statikusan kiegyensulyozatlan tehetetlenségi er5 akkor keletkezik 1 ha a forgó tömegek sulypontja nem esik bele a forgástengelybe. Ha a forgó tömegek tengelymenti eloszlása egyenletlen dinamiku ~ san kiegyensulyozatlan tehetetlenségi er5 lép fel, még akkor is, ha a forg6 tömegek közös sulypontja a forgást~ngelybe esik. · A kiegyensulyozatlan tehetetlenségi er5 ké t változatának .megfelelc en statikus és dinamikus kiegyensul yozást különböztetünk meg. Az egy sikban forgó t ömegek kiegyensulyozásáná l a f el adat általános elvi vázlata a 89. a ábrán látható. Adva v ann ak az egy sikban fekvő m ,m ,m és m tömegek, A tömegre ndszer sul ypontja nem esik 1 2 3 4 bele az o forgásközéppontba. A t ömegek saját sul ypontjaiban az adott szögsebesség hatására F11 ; F12 ; F •.• tehetetlenségi erők 13 ébrednek. Az ado tt tömegrendszer eredo tömege:
és a tehetetlenségi erek. eredoje Fi ~Fil + Fi2 + Fi 3 +
amely
eredő
vektor körbe forog .
- 117 -
Fj a.
b. 89. ábra
A fenti egyenleteket az alábbi alakba is irhatjuk: Fi
.. c..:l
(...)2
g
g
-
--Gr
s
ahol G ; G ;G •. .. a kiegyensulyozatlan tömegek sulyai, 1 3 2 rl;r2;r3'''' & tömegek sulypontjainak rádiusvektorai, r
8
G~
a tömegrends ze r sulypont jának rádiuszvek to ra és
Gl + G + G ..... 3 2
A tömegkiegyensulyozásnak az a feltétele, hogy ta 4diJ Unk olyan
Gr sulyu tömege t, amelyne k den pillanatában ellensulyozza
tehetetlenségi ereje a
Fi
forg ~ s ~i n -
e rot. Ennek feltétele G G I
vagyis
ri
rI
és
r 5•
párhuzamos . Hamindkét tömeg sulya pozitiv , akkor '
negativ , ha G negativ /ami ·sulyelvételt jele~t/, akkor r 1 1 pozítiv e l o jelil, v agyi s me gegyezik irányával.
rs
- 118 A kiegyensulyozás tehát egyetlen tömeggel ugy végezheto .el,hogy Fi
hatásvonalában elhelyezzUk,vagy elvesszUk G sulyu tömeget, amely1 nek nagysága adott Gr esetén kizár6lag megvála$ztásától 5 függ. Az ábrán az ellensulyt kétszer vonalkáztuk. A vizsgált tömegrendszer kiegyensulyozása még más -eljárással is megvalósitható. Elofordulhat az az eset,hogy sem G ellensulyt nem 1 lehet felhelyezni,sem anyagot eltávolítani a megállapitott ri irányban, de az rÍ és r"r irányban mindez .lehetövé válik /89,b.ábra/. Ebben az esetben a G 1 vektort és irányu összetevokre'kell 1 b ontani és meg kell határozni G~rÍ és G" ri értékei t.
ri
r
rÍ
ri
1
rÍ
és Fj értékeit, akkor könnyen kiszámithatjuk a és ellensulyokat, vagy az ellenkező oldalról eltávolítandó anya9 sulyát. A mozdulatlan tenge ly körül párhuzamos sikokban forgó tömegek ki~yensulyozAsának vizsgálatánál tételezzUk fel, hogy a test. e~y 11\oz:dulatlan koordináta rendszer y tengelye körfll á llandó l c.c> l szögsebcsséggel forog /90.ábra/. Válasszunk ki egy dm elemi tömeget.,amely az xz sikkal pRrhuzamos sikban forog, ErrA a dm elemi tömegre az Ha felvesszlik az
Gf
Gi
Fi
=
r
dm
2 . G.)
tehetetlenségi ero hat, amelynek a koordináta rendszer tengelyeire vonatkoztatott nyomatókai a k6vetkez5k: Mz .
Fi' l· cosf =
Mx=
F"1 · l · sin 'f'=
2
dm·r·
W·
r·
Cc)·
dm·
l · cosf
2
l· sin
és
f
(ÚHmi tehetetlensé gi erönek az y tengelyre nincs vetUlete,igy nyomatéka sem. Az 0redó nyomaték naqysága: l\'?..
M -
K
+ M;
== dm • r
• l
•
c.i
- 1.... 9 -
90.Óbro
Az Fi er5 és az M nyomaték egymásra mer5legesek, Az ered5 ~ M az alábbi képletekbal számi that 6 ki:
2E'1
és
és
2 :::ú)
J
xz
ahol mrs - a tömegek statikai nyomatéka és Jxz
~
a tömegek centrifugális nyomat éka
Az e lmondottakból következik, hogy a forgó tömegek keltette tehe ~ tetlenségi erok teljesen kiegyensulyozottak, ha rs = o és J =o xz ' vagyis ha a forgástengely átmegy a sulyponton és a forgástenge ly fote hetetlenségi tengely. Ha rS ::: O és Jxz :f O akkor a tag csak statikusan ki:egyensulyozott. Ez azt jelenti,hogy a tag, mivel sulypontj a a f orgástengelyben helyezkedik e l, bármilye n helyzetben legyen is, önmagára hagyva egyensulyi helyzetben marad. Ha a másik feltételt /J = O/ i s telje~itjük, akkor a tag dinamixz kusan kiegyensulyozottá válik .
- l 2o Párhuzamos sikban mozdulatlan tengely körül forgó tömeg~k teljes kiegyensulyÓzását az alábbi példán mutatjuk be,· A 91, ábra szerint adva vannak az m1 ; m2 ; m3 ; m4 és m5 k.iegyensulyo" zandó tömegek. A tömegek ilyen elhel yezkedésénél a teljesen kiegyen· sulyozott rendszerne~ itt is két feltételt: a :[Fi = o és ~M= o-t kell kie;J,égi ten!, ezért az ell.ensulyok száma legalább ket to.
y 91. ábra A tehetetlenségi eraket és nyomatékokat egyensulyozzuk ki a I és II 9i kban elhe l yezett ellensulyakkal. Helyezzük a koordináta rendszer kezdiSpontját a I sik és az y tengel : A döféspontjába , majd írjuk fel az adott törnegli r endszer és aGI; G ellensul yok egyensu l yi feltételét bi ztosító egyenleteket: 11 G 2 GI G Gl . . . +W r +W2 .....!.! r II =o r 1 +w2 2g r-+ ~Fi = w 2 I g 2 g g és Gl ~
r_ _
Gl]\ +
a2r 2
'L-M=w2
rlal
1
2 ] +w 2 -G2 [ __ r2a2 + ... +U) g
Gil [ rii g
vagy + G/3+
Gir:r +GII r II
o
aJ
o
- 121 -
és G1
Itt
(r1 a1 ]
af; a2
.•.
+ G2
a5
(r2a2 ) + G3 p:3 a3 ]
+ ••• Gu [ :rna:] .. o
- a I sik távolsága azoktól a sikoktól, amelyek-
ben a megfelelo tömegek . sulypontjai forognak és a - kiegyensulyozási sikok közötti .távolság. A fenti egyensulyi egyenletek két ismeretlent /Girl és GIIrii/ tartalmaznak, amelyek szerkesztéssel meghatározhatók, AGi 1 1 ); G2 ( 2 2 ) stb. vektorálls szorzatok, a centrifugális erö nyomatékvektorai, amelyek merölegesek a megfelelo r -a ; stb. 1 1 sikokra, irányuk pedig a jobbqsavar-elv szerint határozható meg. Az ellensulyok .r 1 és ri! irányának könnyebb megállapitása céljából azonban általában eltérnek a jobbcsavar-elvtol és a nyomatékvektoro· kat 90°-al elforgatják. Az elforgatás eredménye az,hogy a redukálás sikjától jobb~a. elhe lyezett tömegek nyomat'ékvektorai ugyanolyan irányuak, mint a nekik megfelelo centrifugális erek. A balra elhelyezett tömegek nyomatékvektorai a tehetetlenségi eravel ellentétes irányba mutatnak. Ennek a szabálynak a betartásával a fenti második egyensulyi egyenlet alapján az ismeretleh G11 ( r 1 Ia)vektorszorzat az alábbimódon határozható meg: ~Hí~zör kiszárnit juk az összeq Gk ( rkak)vektorszorzatot ,majd az r k-ak sikra merőleges sikban egymás után felrajzoljuk /összegezzük/ őket /92. ábra/. A vektorsokszöget zár6 oldal /szaggatott vonallal jelöltük/ az ismeretlen G11 /r 11a/ vektorszorzatot adja. Mivel a kiegyensulyozási sikok közötti távolság /a/ adott,ezért a G11 ellensuly G1 Irrr statikai nyomatéka meghatározható. Ha még r 11 értékét is megadjuk, akkor a GII ellensuly is kiszámitható. A G e llensuly a redukálás sikjától jobbra helyezkedik el, 11 ezért a fenti szabálynak megfelelően iránya megesyezik Gn(riia 92 . ábrán me~szerkesztett irányával. Ezután a G1r ; G2r 2 ••. G11r 11 szorzatokat is kiszámitjuk és az 1 elso egyensulyi feltétel alapján megszerkesztjUk a vektorsokszöget. Az egyensulyt helyre állitó ,záró oldal a Girl szorzatot adja.~Ha felvesszük az ri sugár nagyságát,akko~ a G ellensuly 1 kiszámítható, Ennek sulypont)a a G r 1 vektorával párhuzamos irány1 ban fekszik.
(r a
ra
rii
- 122 -
92. abra
3.72. Sikban mozqö mechanizmusok tehetetlenségi erainek kiegyen-
sulyozása. A mechanizmusra ható erek ktszUl a kiegyensulyozatlan tehetetlenségi erok gyakorolják a legkárosabb hatást a gépvázra és azon keresztUl az alapozásr a. A kiegyensulyoza t l an tehetetlenségi erak ugyanis nagyság és irány szarint állandóan változnak és ezért igen komoly rázóhatást hozhatnak létre. E káros dinamikai erahatások megszUntetése, illetve csökkentése céljából a tehetetlensé2i eraket teljesen,vagy·részlegesen kíegyensulyozzák. Elaször a tehetetlenségi erok teljes kiegyensulyozását mutatjuk meg. A teljes kiegyensulyozást ellensulyok alkalmiizásával ugy val6sitjuk meg,hogy az összes tag tehetetlenségi erainek tssszege{beleértve az ellensulyok tehetetlenségi erait is/nulla legyen. Mivel a mechanizmus mozgó tagjainak erede tehetetlenségi ereje a mozgó tagok.ktszös sulypontjában hat, ezért a tehetetlenségi erok teljes kiegyensulyozottsága. csak akkor valósul meg, ha a közös sulypont as gyorsulása nulla.
- 123 -
Bármely pont gyorsulása vis~ont csak az alábbi két esetben lehet nulla: ha az adott pont mozdulatlan,vagy ha egyenesvonalu egyenletes rnozgást végez. A mechaniz~usokban azonban egyetlen egy pont sem végezhet folyamatosan egyenesvonalu egyenletes mozgást, ezért a tehetetlenségi er ok teljes "kiegyensulyozásának az a feltétele l . hogy a mozqó tagok közös sulypontjának mozdulatlannak kell lenni. A közös sulypont helyének meghatározását, majd az ered5 tehetetlenségi ero kiegyensulyozását legegyszerlibben az ugynevezett foponti m.ódszer,/Fischer módszer/ segitségével végezhetjük el, A foponti rnódszert a hosszadalmas és fárasztó képleteket igénylo n tagu általános mechanizmus helyett a gyakorlatban gyakran eloforduló négytagu csuklós mechanizmuS?n mutatjuk be /93 .ábra/.
93_ ábra sulypontjai t s ; s 2 és s3 -al, ezek .o pontra vonat1 ko~ rádiuszvektorait rl; r2 és r3-al jelöltük, A statikai nyomatékokra az alábbi összefüggés írható~ Az egyes tagok
rs
ahol m : ml + rn2 + m3 és a közös sulypont rádiuszvektora. A 93. ábrán az s ; s és s ~ulypontoknak a tag kiinduló csuklójá3 1 2 tól rnért távolságait s ;s és s -mal, az egyes tagok hosszát ll; 3 1 2
- 124 1 2 és 1 3 -mal jelöltük. Az s és l méretek ~llandó hosszu'ságu~ de
v.!ltozó helyzetü vektorokként foghatók .fel,ami -a közös sulypont méghatározásánál bizony~s egysze~üsitést jelent a számltásban, Az 5 vektorokat akkor · tekintjUk pozitivnak, ha a ke~tdo A pontból a rudak mentén a C felé haladás irányába mutatnak, az lmindig pozitiv. vektorok az és l vektorokkal kifejezhetők: ~ -= ~ ; , -= i + · ·as r ... i + I 2 + s
Az r
1
1
s
r2
1
s
2•
3
1
3
Ezeket behelyettesitve a statikai nyomaték képletébe:
majd irány szerint rendezve, rs-re a z alábbi kifejezést rs
=
~lml +ll/m2+m3/ m
+
kaptuk:
s2m2+i2m3 m
ahol az elso tört egy olyan h1 vektor, amely az OA tag O ponthoz viszonyitott sulypontját határozza meg abban az esetben ha felté· telezzUk,hogy az összes, OA tagot megeloz5 tag tömege az O pontban, az összes OA tag után következo tag tömege az A pontban van koncentrálva , magának a tagnak a tömege pedig az s pontban 1 ö sszpontosul /94,ábra~ Mivel az o elott mozgó tagok nincsenek, az o pontban összpontosuló tömeg jelenleg nulla. Az A pontban elhelyezkedő tömeg m + m 1 mi vel 2 3 az OA tag után a 2 és 3 tagok következnek. Véglll az s 1 pontban s, az m tömeg helyezkedik el. 1 A h vektor tehát egy fiktiv H1 t, 1 tömegközéppon_tot- határoz meg a ta gon, figyelembevéve a vizsgált ta94. ábra got megel5z5 es követo tagok hatá.sát.
o
- 125
~
Ha e gondolatmenet szerint az A pontban tételezzUk fel az m1 -et f95,ábra/, s -ben m2 -et és B pontban a még hátralévo m -at, akkor 3 2 az igy elrendezett modell H2 fiktiv tömegközéppontját kijelölő vektor:
h2 = ugyanis az m1 tömegnek az A pontra vett statikai nyomatéka nulla.
l
95. ábra Ezt az eljárás valamennyi tagra alkalmazva felirható:
A h1 ;h és h vektorokat, amelyek a megfelelo tagokkal párhuzarno3 2 sak, fovektoroknak, a H ;H 2 és H3 pontokat föpontoknak nevezzük, 1 ~
tagok füvektorainak vektoriális össze9e ·tehát a közös sulypontot jelöli ki. Ezt a sulypontrneghatározó elj~rást foponti módsze~nek nevezik • • Elonye,hogy bármilyen bonyolult mechanizmusnál alkalmazható és mivel a u1 ; H2 és u 3 fopontok a mechanizmus rnüködése közben a tagokhoz képest fix pontnak tekinthetok~ ezért_a rnódszer alkalmazásával a közös sulypont gyorsan ~eghatározható /96. ábra/. Az S sulypont pályája, sebessége,, gyorsulása és ezzel az S pontban keletkeze eredo tehetetlenségi era az eredeti mechanizmushoz a 97.ábra szerint hozzákapcsolt, sulytalannak képzelt paralelogramás mechanizmus segitségével határozható meg.
Mint már ernlitettük az eredő tehetetlenségi erő kiegyensulyozásának az a feltétele, hogy a tömeg~ középpont a helyét ne változtassa meg a mechanizmus müködése közben, vagyis:
96. ábra Ezt akkor érjlik el~ ha
B
h1 , h2 ,fi3
és rS
vektorsokszög hasonló a mechanizmus tagjai által meghatározott OABC alakzathoz /98 .ábra/. Ebben az,_.~setben S pont a c pontnak, r s pedig távolság mallett rs-nek is változatlannak kell lennie,A hasonlóság! feltételből követ· kezik,hogy
5c
BL ll CN ll OA
Fr,LII gJ§ ll AB
FifS ll LN ll
CB
N
97. ábra Ez a feltétel csak akkor jöhet
H2
C ;
/
98.ábra
létre, ha rajta van a OB egyenesen, S pedig az OC egyenesre esik". Mivel a h vektorok mindig párhuzamosak a megfelelo tagokkal, ezért a hl; h2 ;hJ és rs vektorsokszög minden pontj a a mechaniz-, musban neki megfelelo pont pályájához hasonló pályán mozog. A C pontnak az S pont felel meg, és mivel a C áll, az S pont is helyben marad.
- 127 -
Ha az
elozőek
hl
alapján meghatárqzott: ml sl + /m2 + m3/ ll m
-
m2s2 + m3 12 h2
m
m
értékeit behelyettesitjUk a hasonl6sági feltétel kifejezésébe, akkor a megfelelo átrendezés után kapjuk,hogy:
- s2 l
m2 52
m312 l 3
(i 3
-
s3/
Ha az OA = 11; AB 12 és Bc = 13 csuklők közötti távolságokat adottnak tekintjük, akkor az elo z o két egyenletben hat változó; ml' ·m2 ,m 3 , valamint s1 , s és 5 3 szerepel. Ezek köztil négyet tet2 szés szerint felvehetünk, a maradó kette a kétegyenletből meghatározható. A négy változó sok változatban vehető fel, tehát a tehetetlenségi ·erők teljes kiegyensulyozásának végtelen sok lehetcsége van. Ezekközüla célszerüség, gyorsaság, anyagtakarékosság szempontjainak figyelembevételével kell kiválasztani a lehetséges megoldásokat. A vizsgált négytagu csuklós mechanizmus törnegközéppontja tehát teljes kiegyensulyozottság esetén - vagyis, amikor a tömegközéppont áll -az OC .egyenesen bárhová kerülhet, az · O és C közé,az O pont elé, még a C pont után is,· azonban csak ugy, hogy a h 2 vektorok H2 végpontjai rajta.legyenek az OB egyenesen. A tehetetienségi erok kiegyensulyozásánál gyakran felhasználják
- 128 -
az rg =hl+ h 2_+ ·h 3 =O feltételt. Ez természetesen csák akkor teljesül, ha a h , ii ésh f5vektorok ·egyenként is nulla értékűek, 1 2 3 Ebben az esetben a mechanizmus közös sulypontja az O vagy a C pont• ba esik.
99. abra Hat ároz zuk meg a négytagu csuklós mechanizmus /99.ábra/ered5 tehete tlens égi erejé nek teljes kiegyensulyozásához szükséges ellensul yok, me 1 ;me 2 !:! "; meJ t ömegeit, ha OA = 11 = 1 20 mm, AB = I 2 = 400 mm, BC = I3 = 280 rnm, a tagok Sl;S2 · é s s) sulypontjának koordinátái: s = 75 mm, s = 200 mm, s = 130 mm, Az egyes tagok 2 1 3 t ömege i : m 0 ,1 kg, m = o,a kg és m = o,4 kg , Az ellensulyok 1 2 3 S ;s és S sulypontjainak koordiná.t ái: s 1 = -100 mrn, . e1 e 2 e3 · e · s92 = - 200 mrn és seJ = -130 mm. A feladatot ugy oldjuk meg,hogy a m o zgó tagok közös sulypontja az o csuklóba kerüljön . Ebbol }<övetke z ik, hogy ·a koordináta rendszer kezdőpontja az. O pont, továbbá hogy r s = hl + h2 + h 3 = o és hl = o, h 2 = o va~amint h3 = o. . . A kiegye nsulyozás után a tagok adott tömegei az ellensulyok tömegé .. vel m egnővekszenek, vagy~s az l jelü tag tömege _mÍ =~l+ me 1 ; a 2 jelUé m2 "' m2 + me 2 és a 3-as tagé m:J =m 3 +me 3 lesz, A megvál:.. tozott t ömegU tagok uj SÍ ;. SÍ é s S.J sulyporttjai nak koordinátái , . , , 1 k s , s es s 3 . eszne • 1
2
- 129 Mivel il = o, irható,hogy m:Js) 3 = o, ami csak akko~ lehet, ha 3
·=o.
De
= 0,4
kg
s'
m3 t
o,
ezér.t
ahonnan
me3
=-
130 - 0,4_~
53
m3
se 3
= o,B
tag tömege a kiegyensulyozás után: = O-ból következik, hogy
kg,
figyelernbevéve,hogy
kapjuk,hogy
ahonnan m
e2
0,8.200 + 400,0L8
=-
= -
2,4 kg.
-200
~
Az AB tag tömege a kiegyensulyozás után: m2 = m +me 2 2 végül a h
1
= O-ból
mÍsÍ
következik,hogy
+
I1t
m2 +
m31
~o
tekintettel arra,hogy
mÍsÍ = ml
91
+me!
5 el
az BA tagra felrakandó ellensuly ,tö~ege:
m =-mlsl+ll/m2+m3/ el
o,l.75+120/3,2+o,8/ - 100
= 4 , 875
kg
3,2 kg
- 13o -
A teljes kiegyensulyozás a f5ponti módszeren kivül a tömegek redu- · kálásának módszerével is elvégezhető. A két mödszer elvileg nem kUlönbözik egymástól. A módszer lényege a következo /loö.ábra/. Vizsgáljuk az ábrán vázolt négytagu csuklós mechanizmust, amel,ynél adott i ; i ;1 3 ;s ;s ; 1 2 1 2 5 3 és mi ;m 2 ;rn3" Azonnal megállapi that6 ,de az elozoekbol is következik,hogy ez a mechanizmus nincs kiegyensulyozva.
A
8
Gr
l
100. abro
Osszuk meg az m tömeget az o és az A csuklókba , ugy,hogy s 1 hel yben l maradjon, az m tömeget az A és a B csuklóba ugy,hogy s helyben 2 2 maradjon és az m3 tömeget a B és a C csuklóba, ugy,hogy Sj helyben maradjon. A csuklókba redukált tömegek a statikai nyomatékok felirásával meg~ határozhatók. Ezek szerint az O pontba redukált tömeg az A pontra felirt nyomatékból számitható: moll mo
= ml
= ml
/ll
Il
-
- sl/ sl
ll
Az A pontba redukált tömeg az m1 -bol: mAl ll .. ml mAl
= ml
~l
=ll
sl
- 131 -
Az A pontba redukált _tömeg az
2
m ~b51:
roA2 1 2 =- m2 (í2-s2/ l
mA2 == m2
2
- 52 12
Az A pontba reduká lt összes tömeg:
Hasonló elgondolás alapján határozha~ö meg a B pontba redukált összes tömeg is, A tömegek átcsoportositása után~ ami a közös sulypont helyét nem változtatja meg - a vizsgált mechanizmusan tömegek eloszlása olyan,hógy csak a csuklóban vannak tömegek.
~-
-
a
Ha az A pontba redukált tömegeket a meghosszabbitott 11 -en elhelyezett G1 ellensullyal, a B pontba redukált tömegeket a meghosszabbitett 1 3-on elhelyezett G ellensullyal o,illetve C pontra nézve 11 ellensulyoz zuk ki,akkor a mozgó részek törnegközéppontja - beleértve rnost már az ellen~ulyokat is - az OC egyenesre kerül az O és a c csuklők kö zé,ami az elozoek alapján a tömegerők telj es kiegyensulyoz á sának feltétele. Ez a rnódszer természetesen érte lemszerüen abban az esetben is alkalrnazható,amikor e loírjuk a közös sulypont he lyét, nagyságát és ebbol kell az előző gondolatmenet megfordításával a tagok sulypontjait, illetve az e llensulyakat meghatározni. Ezzel a módszerrel abban az esetben érheto el gyorsan eredmény, ha a közös sulypontot O és C kö zé, ~agy éppen O-ba, illetve C-be tesszt\k. Ha sulypont c-n tul, vagy O elé kerül, a módszer alkalmazása kissé bonyolult. Ez é rt mindig a feladat szabja rneg,hogy melyik kiegyensulyozási módszert célszerű alkalmazni. A gyakorlatban arra kell törekedni,hogy a mechanizmus tömegközéppontja az oc-n be'!ül helyezkedjél{ el,mert igy az ellensulyok l eszne k tul messze a csuklóktól,ezenkivUl az er~k eloszlása is egyenl e tesebb.
nem
. - 132 -
A 99. ábra adatait felhaszná lva, a tömegek redukálásának.módszerével végezzlik el a négytagu csuklós mechanizmus teljes kiegyensulyozását. A teljes kiegyensulyozási feltétel:
Itt a fovektoroknak nem kell nulla értékUnek lenni.
Osszuk meg a hajt6rud m tömegét az A és B csuklókba ugy,hogy 2 az eredeti helyén maradjon~ mA
= m.2
l 2 - 52
=
o,B
400
.2_ 12
o,S
~
200
o ,4 kg
400
12 mB = m2
-
s2
o,4 kg
400
Az mel és me 2 ellensulyakat helyezzük el az l jelü forgattyu és a 3 jelü lengetag meghosszabb!tásá ban /lOl.ábra/. Teljes kl egyensulyozáskor az mA;m 1 és mel tömegek közös sulypontjának a mozdulatlan O pontba kell kerülni. Ez ak~or teljesül,ha a statikai nyomatékok O pontra vonatkoztatott összege nulla,vagyis
o ahonnan 0 ,4 .12o + o ,l
75
.;;..t.,..;_..:..;=__;_-::.~.....;......;.= =
0 l 555 k g •
100
Hasonló
meggondolás alapján az me 3 ellensuly
tömege:
o ,4 . 280 +o,4/280-l30/ = l, 3 2 kg 130
A 99. ~s 10f.ábrák összehasonlit ásából megá llapitható, hogy a lDl. ábra s zerlnti megoldá s . kedvezobb, mivel ott a tehetetlenségi erok feljes kiegyensulyozásához kisebb és mindössze csak két ellensuly szükséges.
- 133 -
101. ábra -
Az előzőekben megismert kiegyensulyozási. elveket természetesen a forgattyus mechanizmusoknál is alkalmazhatjuk. A forgattyus mechanizmus sulypontja a foponti módszerr.el könnyen meghatározható /lo2.ábra/. MegemlitjUk , hogy van olyan forgattyus mechanizmus is,amelyiknél az s 3 egybee~ik B:vel. Ebben az esetben a közös sulypontot a h 1 + h jelöli ki, tehá t a 2 sulypont a HÍ pontba kerUl, Az ábra jelöléséivel a fovektorok :
-
ml s l + ll /m2 + m3/
rn
3
$3
m
A Hí pont egyébként az S ponttal azonos, csak h 3 áll. értékkel eltolt pályAt ir le. A HÍ és az S pont pályája az előzőkhöz hasonlóan a · mechanizmushoz kapcso.l t ~ulytalannak tekintett H1AH 2HÍ paralelogramás .szerkezet hozzákapcsolásával töbp pontban gyorsan . megszerkeszthető. A pálya egyes pontjaiban a sebesség- és gyorsulásterv elkészitésével a sulypont pillanatnyi sebessége, gyorsu~
- 134 -
lása és a ráható eredö tehetetlenségi ero meghatározható. Ez utóbbi az alapra átadódó Utések szempontjából ~ontos.
A forgattyus mechanizmusban fellépo tehetetlenségi erek egyensu+yozásának feltétele:
teljes ki-
Ebben az esetben a sulyPont:
m
távolságban helyezkedik el az O forgattyuközépponttöl és helyben marad a mechanizmus mUködése alatt is.
s 102. ábra Ez azt jelenti,hogy a tolattyu sulypontjának a tolattyun megszabott helye nem befolyásolja a kiegyensulyozást, vagyis a kiegyensulyo~ szempontiából teljesen mindegy,hogy a tolattyu sulypontja a B-en, vagy azon kivül helyezkedik el az egyenesbevezetésben l Pl. kaszáknál ~em B-ben van az S./ A teljes kiegyensulyozás csak akkor valósitható meg,haz
és
-
Ezekbcit:
-sl
135 -
m2 + m3 r=;
-
ll ml
s2
-l
m3 2 m 2
A negativ elojel azt jelenti,hogy a forgattyu sulypontját az o pont elott, a hajtórud sulypontját pedig a B pont elott kell elhelyezni /lo3. ábra l.
/ l ( t l<(<<
' 103. abra
" ' ' >);
Ha a tolattyu sulypontja egybeesik B ponttal, akkor a i1 3 = O, mert 5 3 = 0, Ilyenkor a hajtÓif\Ü sulypontja az O pontba kerül teljes kiegyensulyozás esetén, és ott helyben marad. A tömegerek teljes kiegyensulyozása helyett j6val kisebb méretekkel valósitható meg a tömeger5k részleges kiegyensulyozása . Részleges tömegere kiegyensulyoz ással a közös sulypont pályáját ugy lehet ~ialakltani, hogy ezzel a szerkezet rázkódása csökkenjen. A közös sulypont pályájának kedveze megválasztása gondos és kissé hosszadalmas szerkesztoi munkát igényel. Forgattyus mechanizmusnál példáu l előirás lehet az,hogy a közös sulypont pályája /lo4·.ábra/ az x-x vezetékkel párhuzamos legyen. Ennek feltétele,hogy
.... 136 -
~---
x---·~~
c 70~. ábra
Ebben az esetben ugyanis a h + h által kijel0lt Hí pont a szagga1 2 tott vizszintes vonalon mozog. Mivel a h. állandó nagyságu és viz3 szintes irányu vektort jelent, ezért a sulypont a ponttal együtt vizszintes pályán fog mozogni. Az ilyen mechanizmus függeleges irány ban teljesen kiegyensulyozott és a tehetetlenségi ero csak vizszintes irányban hat. Az elmondottak alapján irhat6,hogy
Hí
s2 ~
á
. 1/. helyettesitéssP-l ll
-
-
-_-/ctm 2 1 2 +1 2m3 t 12
EbbőJ:
Amint ).átjuk,a kifejezésben nem szerepel a tolattyu m sulya, ami 3 érthető i.s,hiszen a közös sulypontnak függeleges irányu elmozdulását csak a forgattyu és a hajtórud idézi elo. Egy példa segitségével vizsgáljuk meg,hogyan végezheto el a forgattyus mechanizmus részleges kiegyensulyozása. A 105. ábrán látható forgattyus mechanizmusnál a tagok hossza: 1 ~ 100 mm,1 :SOO mm. 1 2
- 137 -
5~1
105. ábra
A tagok s
1 1
m
s1 ;
S
2
és
s3
sulypontjainak koordinátái:
::: 7_5 mm, s · = 150 rnm és s ::: lOO mm. A tagok tömegei; 2 3 = 0 1 3 kg, m2 = 1 1 5 kg és m3 = 20 kg,
Meg kell határozni annak a forgattyura felrakandó ellensulynak az mel tömegét, mely a tagok eredo tehetetlenségi erejének függoleges komponensét kiegyensulyozza. Ehhez még megadjuk az ellensuly helyét: sel
Az adott
=
-
feltételb~l
6o mm. következik,hogy a
mozgó tagok közös sulypont-
ja csak vízszintesen mozoghat, vagyis kopiroznia kell B pont mozgását. Ez mint már láttuk az alábbi
l
hl
12
h2
feltétel megvalósitása esetén lehetséges csak. E 'reltételbol irhatjuk ,hogy
-1 ahol
m'=m
l
l
+m
1
/1 -CK./m ·OC=
el'
2
-= -100/1-0 1 3/· 1,5
~
=0,3 és
12
zott sulypontjának koordinátája •. Mivel m'l
s'l
s{
= -105
kg lr)Ill
a forgattyu megválto-
- 138 -
igy az ellensuly tömege: mel
+' m's' l l
=
-75
o
l
3 - 105-
2,125 kg
-60
A feladat a törnegek redukálásának rnódszerével is megoldható. Osszu meg az m2 tömeget az A és B csuklóba ugy ,.hogy s 2 helyben maradjon: mA = m2
12
- 52
= 1,5
l .
500 - 150 500
1,05 kg
2
52 mB
m2
= 1,5
12
llQ..
o,45 kg
500
A részleges kiegyensulyozásánál csak az mA és m1 forgó tömegek keltette tehetetlenségi eraket kell kiegyensulyozni, mivel mB vizszintes irányu mozgást végez. Ennek .megfelelaen az O pontra vonatkoztatott statikai nyornatékok összegének nullát kell . adni: mAl l + ml
s
l
- mel
o
s el
Innen az ellensuly tömege: mel
:=
mAl l + ml sl s el
= h,o5
.100 +
o, 3
. 75
2,125 kg
'60
A gyakor latban a tehetetlenségi eraket részben vagy egészben ugy egyensulyozzák ki,hogy két szimrnetrikusan elhelyezett tagok-· ból összeállitott mechanizmust egymással szemben mUködtetnek. Az A csuklón teljesen kiegyensulyozott tömegeröket a 106. ábrán és a 107. ábrán láthat~ elrendezések eredményezik. A 108. és a l09 .ábrák szerinti e lrende zések a tehetetlenségi erő ket az A csuklóban csak részben egyensu lyozzák ki. A 110, ábra s .z erint müködnek például a magtiszti tó . gépek egymással szemben mozgó rostaszekrényei, vagy a cséplögépeknél a nagy gyUjtöasztal és a vele ellentétesen mozgó. törekrostaszekrény, Mivel az utóbbi törnege a kisebb, ezért a rostaszekrény forgatyuját nagyobb~a készltik, mint a nagy gyüjt5aszta~t, hogy ezáltal is javuljon a kiegyensulyozottság .
- 139 -
,
106. abra
108. ábra 107.Óbra
109 . Óbra
' 110. abra
- 14o 3.8. A virtuális elmozdulások elvének alkalmazása az egyensulyt tartó
erők
és nyomatékök meghatározására. Zsukovsz·
kij segédemelos módszere.
Nagyon sok esetben csak a vezeto tagon müködo haj t ó nyomaté kot vagy.haj tóerot kell kiszámítani. Ha a hajtóerő vagy a ha jtó nyomaték meghatározására a kinematika! párokban ébredő reakcióeraket használjuk fel, akko r a számitás sok f e l esl eges munk ával mi vel a külso
erők
jár,
és nyomatékok hatása alatt álló tagok tól csak vezető
l épésrol -lé pésre jutunk e l a
tagig és igy a számi.tá s folya-
mán sok idot kell a kinematika! párokban müködo
reakcióerők
,megha-
táro zására 'ford í ta nunk, pedig ezeket a tovább i számításainknál már nem is használjuk fel.
A haj tóer a vagy a hajtóero nyomatékának közvetlen
meghatárqzásá~
ra felhasználható a virtuális /lehetséges/ elmozdul á s o k elve,amely szerint a rendsz erre ható és egyensulyi állapotban l évo
erők
elemi
munkájának ~sszege a rendszer virtuális e l moz dul ása alatt nullával egyenlo.· Amikor az egyensulyban lévo
erők
támadáspontjára felirható virtuá-
lis elmoz dul ás elvét a me c hanizmusoknál alkalmazzuk, akkor a tá madáspontok elmo zdulásai a
kezdőtagok
l)elyzeté nek függvényei és
a mechanizmus tagjain lévo pontok elmozdulásait azok a kötöttség!
feltételek határozzák me<J 1 ronelyeket a· tagok kapcsolásánál a kine -
matik aJ. p5rok mcgva l ósitanak .
- '-
a mech ani zm us tagjatra adott h elyeken az F ;F ;F ... Fn külso 1 2 3 erok és M ;M.,;M . . . M kü l so nyomatékok hatnak, ame l yek a tehetetn 1 , 3 .lensé gi eroket, nyomatékokat, továbbfi az ismeretlen hajtó nyomaté lia
koki'l. t ,
n. l et v·~ ha4t.óer6ket
i~
magukba fogla l ják; akkor a virtuális
.:_lmozdulások elv~ a lcr.pj.!ín irhatjuk : _ I<\ · 1 cos <X1 +F 2 · d s 2 cos ~ + . .. +Fn· d sncos O(n+M1
2
ds
+ .•• + "Mn·diD rn Itt
· - a mechanizmus uz
i\
dftM2 d'f;+
= o kezdőtagjának
ismert he l yzeténél
erő. támadáspontj final<. e l emi e lmozdu lása;
- 141 -
az Fk ero iránya és a
dsk elemi elmozdulása között
lévo szög; dfk
- annak a tagnak elemi elfordulásszöge, amelyre az Mk nyomaték hat .•
Amikor a fenti egyenlet alapján meghatározzuk a hajtó nyomatékot, figyelembe kell vennünk ,hogy kát, ha
OC'k
<
az
li\
er5 akkor végez pozitiv mun-
90° és akk.cr negativ rnunkát, ha
Az egyenlet gyakorlati
felhasznál~sra
O(k >90°.
alkalmatlan és ezért célsze-
rü azt számitásra alkalmasabbal felcserélni. Az egyenletet tárértékre
dt elemi idovel tagonként osztva, és áttérve a ha-
l Ót~ot olyan egtenletet kapunk, amelyet a hajtóerő
re könnyen megoldhatunk:
Itt v ; v ••• vn a 1 2
megfelelő
W 1; W 2 •· .
er5k támadáspontjainak sebességei,
ú) n
a tagok szögsebességei.
Mivel az utóbbi egyenlet tagjai az egyes erok és nyomatékok teljesit:ményét jelentik, ezért a virtuális e lmozdulások elvét a virtuális nhl
sebességek e l véve l helyettesithetjük, és ennek a mechan izmusok· történő
alkalmazását a
következőképpen
szövegezhetjük meg:
lliL
a mechanizmus egy.ensulyban van,akkor a mechanizmus tagjaira · ható kUlsi5 erök és nyomatékok pillanatnyi teljesítményének lával
összege ·· nul-
eg yenlő.
Az egyenletet az ismeretlen hajtóer5, vagy nyomaté k meghatározásánál közvetlenül alkalmazhatjuk, ha az erök támadpontjainak vk sebességeit vagy a tagok
GUk szögsebességeit a sebességtervek segit-
ségével már kiszámoltuk. VizsgAljuk meg
az
~
kifejezós
k~adik
tagra vonatkozó
r~sz~t;
- 112 ... ~z nem más, mint a k-adik tagot te~helo
ja
vK
Fk ·eronek és támadáspontsebességének skaláris szorzata, ·azaz a teljesitmény:
@ k
A
@
b
' 111. obra A 111. ábrán megrajzoltuk az Fk erővel terhelt k-adik tagot,és megszerkesztettük a k tag sebességtervét is. Forgassuk el 90°-al tetszeleges irányba a sebességtervet és helyezzük az ik erot a 90°-kal elforgatott sebességterv k pontjába /lll.c.ábra/, ekkor a z ábra jelöléseivel a meroleges szögek azonosságából·t· vagyis
Ez a kifejezés az Fk erőnek a 90°-kal elforgatott sebességterv · pólusára vett nyomatékát jelenti. Ha ezt az egy tagra vonatkozó megállapítást az egész mechanizmuara kiterjesztjük, akkor a következo eljárással kapjuk meg· a keresett
- 143 -
hajtóerőt, illetve hajtónyomatékot:
i. M~grajzoljuk a mechanizmus 90°-al elforgatott sebességtervét és a sebességterv megfelelo pontjaira, tets~oleges léptékben rárajzoljuk az erőket.
2. Az /O"'"/· sebességtervpólusra fel ir juk az összes erek nyomatékainak e lojelre helyes összegét. · Ezzel az összeggel tart egyensulyt a hajt6er5 nyomatéka: ... +h
F"
n n
h
, F
y
Ahol: h a vezetotag megfelelo sebességhelyére rakott F egyensulyaY zó vagy hajtóera karja. Az Fy era · irányát ismerni kell . .
·B
112. abra a tagra nyomaték is hat /112. ábra/, azt az A és B csuklóban ható &rőpárnak ke ll tek in teni. Az erőpárt alkotó erők nagyságát a
Ha
F' M
Mk 1AI'3
kifejezés i:ldj a. Ezeket az FH eraket a sebességterv megfe lelo pontjaiba kell felrakni /itt a- ~s b~be/. l\ f eladatot ugy is megoldhatjuk~tiogy az f\ . nyomatékot nem eropárr~l he lyettesi th~tiUk, hanem a sebességtervhez felvesszUk az alábbi e9yenlet által meghatározott M~ nyomatékot: ab ==M
k
- 144 Az~ nyomaték elojele megegyezik az Mk nyomatékával, ha a mecha-
nizmus kinematika! vázlatán AB iránya és a
90°-al elforgatott
sebességtervben ab iránya azonos. Ellenkezo esetben
M{
és Mk
nyomatékok különbözo elojelüekl Ha tehát a mechanizmus tagj aira erak és nyornat·ékok hatnak, akkor a.z egyensulyi fel tételbal az
Fy
hajtóerő
az
alábbi összefüggé.
bal határozható meg:
Az elmondottakból világosan kitünik, hogy a mechanizmus tagjaira külso erek és nyornatékok pillanatnyi teljesítménye a 90°-kal elforgatott sebességterv segitségével meretlen
összege~het5
és ezáltal az is
hajtóera vagy nyomaték meghatározható.
Mivel az elforgatott sebességterv tulajdonképpen az {O, { körül v forgó merev ernelonek tekinthető, a rnüszaki irodalom e módszert alkalmazój~ól Zsukovszkij-féle segédemelos módszernek nevezi. A sebességterv léptékének a szerkesztésénél nincs jelentősége. A pontos eredmények érdekében azonban célszerü a szerkesztési léptéket nagyra választani.
elso
113. ábra
- 145 Egy forgattyus mechanizmus /113.ábra/ segitségével vizsgáljuk meg, hogyan alkalmazható Zsukovszkij segéderneloje az M hajtó- . nyomaték meghatározására.·A külso erek és nyomatékok aykövetkez5k: a tolattyura ható kUlsö ero és a tolattyu tehetetlenségi ereJenek F ered5je, a hajtórudra ható tehetetlenségi erö és a 3 12 tehetetlenségi era M nyomatéka. 12
F
a
A feladat megoldásához egy tetszésszerinti v Pólusból tetszolege s méretarányban fel kell mérni az A pontnak 90o -al élforgatott sebességvektorát l végpontja: a/. B pont 90°-al elforgatott
sebességét az alábbi egyenletbal hatá-
ro z zuk meg:
aho]
v1 meroleges
v,B
v,A
+ v1
BA
/x-x/-re és ~1A párhuzamos AB-vel.
Ha t e hát az a ponton keresztül AB-vel p ár huzamos, majd az
o:
p61uson k eresztül a tol attyu tengelyére meroleges egyenest huzunk, akkor a b metszéspontban megkapjuk a v~ vektor végpontját. surtnelster tételének felhasználásával az megfelelo s
2
s 2 -nek
a sebe sségtervben
pontja meghatározható. A sebességtervet
o~ k örül
forgó merev erne lonek tekintjük. A tov ábbiakban F és F eröket 3 12 fe l visszük a 90°-al e l fo rgatot t sebe sségtgv megfel e lo pontjaiba /b és s /, majd ki szflmit: juk az 2
Mi 2
""Mi 2
ab 1
nyomatékot.
AB
M.i ve l ab és AB e ll ~ntétesek , ezért
Mi 2
az
M'12 -höz
viszonyi.tva
e llentétes é rtelmü. A sebességterv .a pontjában felvisszUk az F .irányá t isme rjük/, majd az erok
o,v -re
y
hajtóerat
vonatkoztatott
nyo111até k ainak összegébol kiszároltjuk az F
y
hajtóerőt:
/csak az
- 146 -
·F
y
= .-
F30~b - Fi2 hi2 + o, a
Ml2 .
v
Végiíl azM
y
hajtónyomaték nagysága: M
y
F
y
3,9. Mechanizmusok grafoanalitikus vizsgálata
A n,~chanizmusok grafoanalitikus vizsgálata a mechanizmusokra alkalmazott l ehetséges /virtuálisf · elrnozdulások elvét . inag~ ba fC)glaló Zsukovkszkij -féle segédemelos módszer geometriai felhasználásán alapszik. A grafoanalitikus vizsgfi.latnál a 90°-al elforqa~tt sebességtervet a mechanizmus kinematika! vázlatában rajzoljuk meg; Ennek megfelel een a 90°-al elforgatott sebességterv pólus~t nem. tetsző leges helyen, hanem a mec hanizmus valamelyik ·mozclulatlan pontjában, á ltalában a hajtó tag kezdöpontjában [esetleg egy összetett mozgást végző tag momentán centrumában/ vesszük .fel és az igy kijelölt pólusho z ·k özvetl enül csatlakozó .tag valamely ' pOntjánaK. 90°-al elforgatott sP.bességvektorát a pólustól . mért tli.volság•Ja l azonosnak t e k i.ntjllk és adot tnak tételezzük fei. r~ zt megtehetjük ,mivel a sebességterv léptékének és elforgatási .irányának a Z.Slko vszki.j - f éle. segédemelos m6dszer alkalmazásánál . n incs jel entősége. . A mechanizmus t ö bbi tagján lévo pontok 90°-al elforqatot:t sebess ég-vektorai a sebességek vektoregyenle.t ei alapján a megfelelo tagokkal tör.t énö párhuzamos egyenesek rajzolásávaL megszerkesztett, 90°- .al e fforgatott ·sebességtervbol · határozhat6k meg. . o . . .. . Az 1gy megszerkesztett 90 -al elforgatott sebességtervet hasz~ . náljuk fel a· Zsukovszkij-féle segédemelös m6dsz.er alkalmazásánál. A grafoanalitikus módszer e lonye,hogy segitségével . a killso erökkel és nyOm~ték okkal egyensulyt tartó era ,ilietve nyomaték ki- · s ebb munkáva l· határozható meg, m·i nt a külön megszerkesztett 90°kal elforgatott sebességtervvel .
147 Legyen adott például· az .ABCD négytagu csuklós mechanizmus /114. ábra/, amelyre az El .és E2 pontokban az Fl és F2 erek hatnak.
11'. ábra Határozzuk meg az F és F e rekkel az AB karon egyensulyt tartó 1 2 nyomaték /M l nagyságát. o .y : A 90 -al elfor gatott sebességte rv pólusának vá l
VCa
Az e lforgatott sebességtervbol: k
v
V'E
k
v
2
Az F l és F 2 ero ket h elyezztik át /irá ny és nagyság szerint/ a se• bességterv e ; illetve e pontjába, Az F er5 karja : 1 1 2
- 148 -
Hasonl óan meghatározható
~l
A kHlso az
és
«2 a
F'1 és F 2
Fy ~yornatéki
F2 ero
karja:
lll. ábra szer int értelmez endő .
erokkel e gye n s ulyt tartó
nyomaték nagysás
AB
egyenletbal meghatározható
összefüggésből
'My
Fy
i smeretébe n a z
kiszámi that.ó .
Határozzuk meg a függesz tő berendezés hidraulikus munkahe ngeré nek. dugattyuj ában ébredő e rő nagyságá t ~ ha a függeszte tt munka g ép kiemelt he lyzetbe n van/ 115 . á bra /.
K
l
r G-
o
- --tj
l-----i-- --h.. :. . . . . .g
715. ábra
G
- 149 Kiernelt helyzetben a munkaeszköz /G/ sulyával a munkahengerben lévo olaj ,nyomása tart egyensulyt. A dugattyurudban ébrede F ere a mechanizmus ~pontjában, a munkaeszköz sulya pedig az E pont~ ban hat, A 90°-al elforgatott sebességterv pólusának válasszuk a mechaniz-
mus D pontját. Rajzoljuk meg az elforgatott sebességtervet és szer~ kesszUk meg az F és G e rök támadáspontjának, az E és B' pontoknak e lforgatott sebességeit. Mive l a sulyero támadáspontja a KM taghoz tartozik, ezért D-böl a z NK-val párhuzamosan rajz o lt Dk egyenes és a KM tagnak a metszéspontjában kiadódó k pontmeghatározza az NKMD négytagu mechanizmus elforgatott Dkt-1 sebességtervét. A KME A rv kMe A alapján megkapjuk a sebességtervben az E pont sebességének végpontját, e-t. Hasonlóan megszerkeszthetjük a mechard.zmus B' pontjának a sebességtervben megfelelo b' pontját /Db n AB és ABB'A"-'Dbb'Ll. /. Az F és G ereket az elforgatott sebességterv e és b' pontjaiba helyezve irhatjuk:
G hg ahonnan
F h
=
h F
G" .....!L h
A következo pé ldábdn sz.1mi ts uk ki a tarlókerék csavarorsós ii. llit6 roech aniz mus ~nh l
sAnak nak a ségó t
a közikeréken kifejtendo er5 nagys Agá t. A 116. Jl\(~g rajz o l t>l k a vont atot t eke c sav.:'\rors ós iillitómecha.ni. zrnukinematika ! vázlntAt. Az elforgatott sebességterv pólusAD pontot választottuk. Ennek megfeleloen az M pont sebesaz e lforgatott sebességtervben DM-el ábrázoltu~ .
l gy
D ponthoz közve tlenin kapósolódó tagok hossza v égpo ntjuk
ábn'ín
il
90° -al e.l forgatott sebe ~;séq é t j s jelenti. E:'. azt eredményezi, hogy az e l forgatott ~seb~~sséqtervbe n csak a mechani zmus Ob pontjána k mey fe lel6j ót O~-t kell mags~erkeszteni. A szerke~zt~s rnenete az ftbrií bó l nyomonkövethC! t 5 /On U 'r·:N és DnOb ~;ov ENOb ó. J, JI;~ az e.d5J.': nyornat.ék ttt feliej uk a D pólu s ra, kiszámi th a.t j uk. a c~ avd r.'CH"SÖ ten~)~~ lyén ek
inín yá ba ható erö t
/F/:
- 150 - .
.
'
116. abra
.
F
Ahol ~t Fb
a tarlókerékre ható era; - a barázdakerékre ható er5; ht; hb és h a megfelelo ereknek a sebességterv pólusára
vett karjai. A kézikerék kerilletén kifejtend~ F'
Ahol
d
k
= F
d
+ dl
er5 /Fk/ nagysága:
tg
2 D
az or só küls5 menetátmér5je; . az orsó rnagátméroj e; D - a kézikerék .átmérőj e ; ~ - a surlódási félkups_ zög; ft'! f «- a meneteme lkedés szöge.
If+ o<
l
~
dl~
0,16 •• • p-,20 /
.
A 117. ·ábrán . bemutatott példa . kapcsán áll~pitsuk rneg ·_ a vontatott · eké telépite tt munka hengeréne k dugattyur~dj~ban ébr~do ,-erö /F/' nagyságát az . eke kiemelésekor. ~z ábrá~ _feltUntetttlk
a
' m~chailiz.,.
mus:ra ható erőket és megrajzoltuk a D pólusu EÜf~rgatoÚ sebességtervet. Az eke kieme lé sekor , miut án a tarlókerék és a farkerék mecha-
-
.1,51 -
117. abra
DM'
nizmusát összekapcsoló rud megfeszül, a karra az M' porttban a farkerék-mechanizmusról o ero adódik át. Az Fl nagy~ága a farkerékmechanizmus külön vizsgálatával meghatározható,
i\
Az erőknek a pólusra /D/ felirt nyomatékából kiszámithatjuk a dugattyurudban ébredő F era nagyságát: F
=
Ft ht + Fb hb+ Fl hl h
Ha a munkahelyzet és a szá llitási helyzet között a mechanizmus több helyzetében kiszároltjuk F ero nagyságát, akkor megkapjuk a z F = f l 6. h/ összefüggést, amelynek alapján meghatározhatjuk Fmax -t, következésképpen az eke kiemeléséhe z szükséges maximális . olajnyomást a munkahengerben. A liS. ábrán egy vetőgép cso~oszlyáinak hidraulikus kiemelomechanizmusát mutatjuk be. A kiemelőszerkezet a következo három n égytagu mechanizmusból áll: A-B-C-D, a o-E-F-H és H-K-L-M-bol. Kiemeléskor a hidraulikahenger dugattyuja az olaj nyomásának hatására jobbra mozdul el QS a kiemelomechanizmuson keresztü'l szállitási helyzetbe emeli a csoros zlyá~at. Elso feladat~ént határozzuk meg a dugattyuban kiemeléskor ébredő Fc e ro nagyságát. -
- 152 . -
c 1
' 118. abra
G
Az elforgatott sebességterv pólusának a H pontot célszerű választani . Az ábra alapján könnyen megszerkeszt:heto az F cero c támad áspontjának , valamint a G sulyero /csoroszlyák s ulya/ O támadáspontjának az elforgatott sebességtervben megfelelo c, i lletve o pont· ja. Ez utóbbi pontokba kell áthe l yezni az F ; illetve a G erőc ket. Az F
h
c
G
h
g
a csoroszlyák kiemelésekor a dugattyu rudban ero nagysága kiadó ik:
egyenletből
ébredő
h
F
c
G
_g__ h
Az alapho z közvetlenül kapcsolódó hajtott tagokra /forgattyu, illletve len.gotag / ható külso erőkkel és nyomatékokkal a hajtó tagon egyensulyt tartó ero, i l l etve nyomaték a mechanizmus át t é teli viszonyá nak isrner~tében is meghatározható.
- 153 Az áttételi viszonyt és alkalmazását
meghatároz ó áttételi pont megszerkesztését
a hajtó /egyensulyozó/ era, illetv~.nyomaték ki-
számítására az egyik legegyszerUbb, mégis leggyakrabban eloforduló . . mechanizmus, a négytagu csuklós mechanizmus segitségével mutatjuk be/ 119. ábra/.
E 119 . ábra Az &ttételi viszony alatt
Wu 1 42 = W21 értc~ ndo, ahol
hányados
w41
a h a j tot t,
(J 21 pedig a vezeto ,
vagy hajtótag pillanatnyi szögsebessége . Le gve n
tó.
v8
ú)2 1 <Í. ll a nd ó és ismert:. Ezzel VB Jsmen~tében
= 1 2 · w21
meghatáro~ha
a sebességterv megsze rkesztheto , amelyb51 Vc""
1 · c:V kladódik. . A 1 é's 1 tagok meghosszabbításának metszés4 41 2 4 pnntjn /M / a 3 jelU t.ag , vagyi s a hajtórtld momentán centruma. 31
t\ hajt:órud moz gását az M
körül{ 31 kMrmozgásnak fAlfogva irható ,hogy
w 31
szögsebességgel történ5
- 154 VB
= 12· Wn
= M31B
• w31 ,illetve vc =.14Q)4l=t:'3lc. 'Cc)31
amelybol;
12·y 14• M31B Az M31 BC ~ -ből
j3
éa
1
figyelembevételével:
sin
/180
-/61
sin
/180
-11
:=
sin~ •
sin
T
Ezt felhasználva, az áttételi viszonyra az alábbi összefUggés irható:
1 2 · Si'flf.> 1 4 • sinf
Az ábrából látható,hogy 1 2 • sin~ -
g2
· és
továbbá
Ezeket felhasználva az átté teli viszonyra
w41 142=
w2l
x
x
adódik. A fenti kifejezés ugy is fogalmaz_ható ,hogy a hajtórud hatásvon!l1a az AD-n átmeno egyenest olyan N pontban metszi,amE!lyhez tartozl
arány azonos a 4 jelU /vezetett/ és a 2 jelU /vezeto{ tag szögsebességének arányával. Az N pont a · négytagu csuklós áttételi pontja.
mechanizmus
- 155 -
Figyelembevéve, hogy P 2 = M2 CU 21 és P4 = M 4 ~ 41 továbbá 100 %-os mechanikai hatásfeket feltételezve, irhatjuk, hogy p2 p ; vagyis az áttételi viszony a nyomatékokkal is kifejezhető: 4
wu i42 =(c)21
M2
M. 4
=
x x + ll
Az elmondottakat értelemszerüen felhasználva, a 4 jelü tagra ható F erevel a 2 jelü hajtó tagon egyensulyt tartó nyomaték meghatározása az alábbi módon végezheto el. Kössük össze az F ere E támadáspontját az N -áttételi ponttal, majd a kapott NE egyenest metsszük az A-ból a DE-vel párhuzamosan huzott . egyenessel /a metszéspont e{. Helyezzük át az F eret irány és nag yság szerint az e pontba. Mivel az e pontba áthelyezett F _er5 karja az áttételi viszonynak megfeleleen módosul, az egyensulyozó nyomaték nagysága: My = - F . h • kl Nyomatékosan felhivjuk a figyelmet arra,hogy a fenti m6dsaer csak akkor alkalmazható,ha a ható és egyensulyozó erök, illetve nyomatékek lengótagon vagy forgattyun hatnak /ha a hajtórudon, akkor nemi/.
- 156 -
Felhasznált
forrásrnunkcik
l . Artobo1evszkij, I.I- Ede1'stejn, B.V.: Szbornik zadacs po
teorii
mr:hanizmov i masin ,· Moszkva, 1973, Nauka,
2. Artobolevszkij, I.I.: Teorija 1965 ·, Nauka,
menanizmov. Moszkva_
3, Baranov, G.G.: Kursz teorii mEhanizmov i masin, Moszkva, 1975. Masinosztroenie. 4. Gavrilenko, V.A,: Teorija Vüszsaja Skola.
mEtlanizmov. Moszkva, ·1973.
5. Kozsevnyikov, Sz,N- Jeszipenko, Ja,I. - Raszkin, Ja.M.: Mehanizmü, Hoszkva, 1976., Masinosztroenie 6. Kozsevnyikov, sz. N.: ·reor i ja mehanizmov 1973., Masinosz troe n i e
i
masin 1 Mosakva,
7. Koz s .e vnyi kov , Sz . N.: A mecha nizmusok és gépek elmélete. I-II. Budape s t, 19 52-195 3 . Tankönyvkiadó 8. Kra Rznic senkó, A. V. : Me zőgazdas ági Gépszerkesztok kézikönyve 1 Budapest, 1965., Müszaki Könyvkiadó 9. Maskov, A.A. : Teorija mehanizmov i masin, Minszk, 1971. Vüszsaja Skola lo. dr . Soós Pál - . Koltay Jenő -dr. Fábián Lajos: Mechanizmusok, Budapest, 1968 ·. ATE, Mg .Gm.Kar jegyzet ll. dr. Soós Pál: Mezogazdasági Gépek mec hanizmusai . Budapest, 1962. ATE. Mg . Gm.Kar. jégyzet
- 157 -
12. dr. Terplán Zénó: Mechanizmusok, Budapest, 1959, Tankönyvkiadó 13. Turbin, B.G. - Lur'e, A.B.- Grigor'ev, Sz.M. és tsai.: Szel' szkohozjajsztvennile masinü. Leningrad, 1967. Masinosztroenie
- 158 -
Tartalomjegyzék
Oldal
l. Mechanizmusok szerkezet! felé~itése és osztályozása 1 .1 . A mechanizmus fogalma 1.2. Kinematika! párok és osztályozásuk l . 3. A kinematikai vázlat fe l építése 1 .4. Néhány fontosabb sikban mozgó mechanizmus 1.5 . Sikban mozgó mechanizmusok szerkezet1 felépitése 1,6. Térbeli mechanizmusok szerkezeti felépitése 1 .7 . Sikban mozgó mechanizmusok osztályozása 2. Mechanizmusok kinematika! vizsgálata:
5
5 6 l
o
13
17 23 27
grafikus módszer-
r el
34
2 .1. A tagok helyzetének és az egyes pontok mozgáspá-
lyájának meghatározása 2 .2. Tagok pontjainak sebessége és gyorsulása , Sebesség - és gyorsulásterv. 2.3. A momentán centrurnak és a gyorsuláspólus meghatá~. rozása 2,4. Elemi csoportokból felépitett II . osztályu mechanizmusok vizsgá lata . 2.41. Két tagból és három forgó mozgást megenge do kinematika! párból álló csoport,
34 36
48 52 52
2 . 42. Ké t csuklót és egy kül so haladó mozgást megengedő
kinematikai párt tartalmazó cso-
port . 2.43. Elemi csoport két külso csuklóval és egy be lso ha lad ó mozgást megengedo kinem ati~ kai párral 2 . 44. Elemi csoport egy belso csukl6val é s . két külso haladó mozgást megengedo kinematika! párral 2 . 45. Elemi csoport egy külso csuklóval és két haladó mozgást megengedo kinematika! párral
61
66
69 72
- 159 -
Oldal 2.46. Sebességek és gyorsulások meghatározása ha a vezeto tag a hajtórud · vagy egy relativ mozgást végze tag,
75
2.47. III. osztályu csoportot tartalmazó mechanizmusok sebességének .és gyorsulásának meghatározása.
79
3. Sikban mozgó mechanizmusok dinamikai vizsgá lata. 3.1. A mechanizmusra ható erok . osztályozása
85
85
3.2. Elemi csoportok er5egyensulya . Kinematika! párokban ébrede reakcióerek meghatározása.
86
3.3. I.osztályu mechanizmusok /hajtótagok/ era-
98
egyensulya 3,4, Kinematika! párokban é brede
reakcióerők
megha-
tározása a surlódás figyelembevételével.
loo
3 , 5. Felsorendü kinematika! párokban ébrede reakcxerek meghatározá sa .
lo5.
3 .6. A mechanizmusok egy tagjá ra hat ó t e h e t e tl e n ségi era 3 . 7. Tehete tlensé gi
lo9 erők
ki egyen su l yozá sa
3 . 71. Forgó t ömeqek k ieg y e n s ulyoz á é a 3 .7 2 . Sikba n rno z g ó mecha n i z muso k tehet e tl enségi era inek ki e g ye nsulyo zása
115
115 122
3,8. A vlrtuális elmo zdulás ok elvéne k alkalmazása az egyensulyt tartó e rek és nyomatékol< meghatározására . Zsukovszkij segédeme los módszere. 3.9~
Mechanizmusok grafoanalitikus
F e lhasz nált forrásmunkák jegy z é ke
vizsg~lata
l4o 146
156
