Matice ve středoškolské matematice
P a t r i k
M e n d e l o v o
K a v e c k ý
g y m n á z i u m
v
O p a v ě
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
2/29
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Jak tento studijní materiál používat? Název tohoto studijního materiálu je Matice ve středoškolské matematice. Jak už je z názvu zřejmé, obsah odpovídá látce matematického semináře, popř. volitelného semináře z programování. Osobně jsem jej použil v semináři a cvičení z matematiky pro 2. ročník a ve volitelném semináři z programování při deklaracích dvourozměrných polí. Uvědomuji si, že maticový počet není standardně probíranou látkou středoškolské matematiky, což jsem se snažil vykompenzovat závěrečnou sekcí Užití determinantů ve vektorové algebře a analytické geometrii. Úsporným způsobem zde definuji základní teorii maticového počtu, abych ji mohl následně aplikovat na vybrané kapitoly vektorové algebry a analytické geometrie. Praxe ukázala, že studenti třetího ročníku nemají s takto omezenou teorií maticového počtu výraznější problémy. Početní operace s maticemi (vyšších řádů) jsou numericky velmi náročné, a proto podmínkou – nikoli postačující, ale nutnou – je používat tabulkový procesor. Při popisu potřebných funkcí s maticemi jsem se zaměřil na dva nejznámější – MS Excel a O.o Calc. Vše naleznete v kapitolách Využití tabulkového procesoru Excel resp. Calc při počítání s maticemi a determinanty. I zde praxe přinesla pozitivní výsledky. Studenti jsou ušetřeni zdlouhavých výpočtu a mohou se tak více soustředit na jádro problému. Doporučuji s poodhalením možností tabulkových procesoru počkat, dokud si student neosmělí základní dovednosti maticové teorie s papírem a tužkou v ruce. Vtisknout mu návyk, že počítač je spíše kontrolním prostředkem. K materiálu přikládám soubor matice_a_determinanty.xls. Můžete si jej stáhnout z www.mendlak.cz/ftp/kav/ Zde naleznete příklady i s řešením. První list obsahuje zadání, druhý řešení a třetí je určen pro samotný výpočet. Matice ze zadání kopírujte přes schránku. Přál bych si, aby tato práce našla využití při výuce maticového počtu. Případné ohlasy (pozitivní i negativní) můžete posílat na mailto:
[email protected]. Další inspiraci můžete čerpat na http://www.mendlak.cz/ftp/kav autor
3/29
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Obsah: Jak tento studijní materiál používat? .............................................................................................................3 1 Matice ....................................................................................................................................................6 2 Typy matic .............................................................................................................................................6 3 Operace s maticemi................................................................................................................................6 3.1 Porovnávání matic .........................................................................................................................6 3.2 Sčítání matic ..................................................................................................................................6 3.3 Násobek matice..............................................................................................................................7 3.4 Násobení matic ..............................................................................................................................7 4 Hodnost matice ......................................................................................................................................7 4.1 Řešení soustav rovnic maticovou metodou ...................................................................................7 5 Inverzní matice ......................................................................................................................................8 5.1 Jak určíme inverzní matici? ...........................................................................................................8 6 Determinanty .......................................................................................................................................11 6.1 Definice determinantu .................................................................................................................11 6.2 Výpočet determinantu..................................................................................................................12 Druhého řádu .......................................................................................................................................12 Třetího řádu .........................................................................................................................................12 Výpočet determinantu vyšších řádů.....................................................................................................12 6.3 Vlastnosti determinantů ...............................................................................................................12 7 Metody řešení soustav lineárních rovnic .............................................................................................14 7.1 Gaussova eliminační metoda .......................................................................................................14 7.2 Cramerovo pravidlo .....................................................................................................................14 7.3 Řešení soustavy rovnic v maticovém tvaru .................................................................................15 8 Využití tabulkového procesoru Excel při počítání s maticemi a determinanty ...................................17 8.1 Součet matic.................................................................................................................................17 8.2 Součin matic ................................................................................................................................17 8.3 k–násobek matice.........................................................................................................................18 8.4 Inverzní matice ............................................................................................................................18 8.5 Determinant .................................................................................................................................19 9 Využití tabulkového procesoru Open.Office.org Calc při počítání s maticemi a determinanty..........20 9.1 Součin matic ................................................................................................................................20 9.2 Další funkce pro počítání s maticemi a determinanty v Open.Office.Org Calc ..........................22 10 Užití determinantu ve vektorové algebře a analytické geometrii ........................................................24 10.1 Vektorový součin.........................................................................................................................24 Geometrický význam vektorového součinu ........................................................................................25 10.2 Smíšený součin ............................................................................................................................26 11 Hledání obecné rovnice roviny s použitím determinantu ....................................................................27 12 Vzájemná poloha dvou přímek............................................................................................................28 12.1 V rovině (E2)................................................................................................................................28 12.2 V prostoru (E3).............................................................................................................................28
4/29
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
5/29
St u d ijn í
1
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Matice
V úvodní kapitole si zadefinujeme matici a několik souvisejících pojmů. Upozorníme na důležité typy matic a ukážeme si postup pro hledání inverzní matice. Dále pak početní operace s maticemi (porovnávání, sčítání, k-násobek a součin matic). V závěrečné části této kapitoly si vysvětlíme, co je to hodnost matice pro účely dalších kapitol. Maticí A typu (m, n ) nad R rozumíme tabulku
a11 a 21 A= . . am1
a12 a22 . . am 2
. . . . .
. a1n . a2 n . . . . . amn
sestavenou z m ⋅ n realných čísel.
2
n-tice (ai1 , ai 2 ,..., ain ) se nazývá i-tým řádkem matice A, n-tice (a1 j , a2 j ,..., amj ) se nazývá j-tým sloupcem matice A, k-tici čísel (a11 , a 22 ,..., akk ) hlavní diagonálou matice A.
Typy matic
Matice A typu (n, n ) se nazývá čtvercová matice stupně n, Jednotková matice stupně n je čtvercová matice, jejíž každý prvek hlavní diagonály je roven 1 a všechny ostatní jsou rovny 0 (budeme označovat E); tzn. E = (eij ) , kde eii = 1 , pro i = 1,2,...n a eij = 0 pro i ≠ j , kde i, j = 1,2,...n .
3
Matice, jejímiž prvky jsou samé nuly je nulová matice a označuje se symbolem O. Čtvercová matice, která má mimo hlavní diagonálu samé nuly, se nazývá diagonální. Regulární čtvercová matice má determinant různý od 0.
Operace s maticemi 3.1 Porovnávání matic
Matice A = (aij ) , B = (bij ) se rovnají, jsou–li téhož typu
(m, n )
a když aij = bij , pro i = 1,2,..., m
a j = 1,2,..., n .
3.2 Sčítání matic Součtem dvou matic téhož typu (m, n ) , tzn. matic a11 a 21 A= . . am1
a12 a 22 . . am 2
. . a1n . . a2 n . . . . . . . . amn
b11 b12 b 21 b22 B= . . . . bm1 bm 2
. . b1n . . b2 n . . . . . . . . bmn
rozumíme matici A + B , která je také typu (m, n ) , přičemž 6/29
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
a11 + b11 a + b 21 21 A+ B = . . am1 + bm1
v e
st řed o šk o l sk é
a12 + b12
. .
a22 + b22 . . am 2 + bm 2
. . . .
. . . .
ma t e ma t i ce
a1n + b1n a2 n + b2 n . . amn + bmn
3.3 Násobek matice Je – li r ∈ R , pak r-násobkem matice A rozumíme matici ra11 ra 21 rA = . . ram1
ra12 ra22 . . ram 2
. . ra1n . . ra2 n . . . . . . . . ramn
Poznámka: Matici (− 1)A budeme označovat − A a nazývat matici opačnou k matici A.
3.4 Násobení matic Nechť A je matice typu (m, n ) a B matice (n, p ) . Pak součinem matic A, B (v tomto pořadí) rozumíme matici AB = C = (cij ) typu (m, p ) , kde ci , j = ai1b1 j + ai 2 b2 j + ... + ain bnj pro i = 1,2,..., m a j = 1,2,..., p . Poznámka: Pozor – násobení matic není komutativní. Pro sčítání matic platí jak komutativní tak i asociativní zákon.
4
Hodnost matice
Hodnost h( A) matice A je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice A . Algoritmus pro určení hodnosti matice: 1. Matici upravíme tak, aby prvek a11 ≠ 0 . 2. „Vynulujeme“ 1. sloupec postupným přičítáním resp. odečítáním násobku 1. řádku. 3. Matici upravíme tak, aby prvek a22 ≠ 0 . 4. „Vynulujeme“ 2. sloupec postupným přičítáním resp. odečítáním násobku 2. řádku. 5. Tento postup opakujeme dokud nezískáme trojúhelníkovou matici s nenulovými prvky na diagonále.
4.1 Řešení soustav rovnic maticovou metodou1 Př: Řešte soustavu: x+ y+z =6
x− y−z =0 − x + y + 2z = 1
1 1 1 6 A = 1 − 1 − 1 0 − 1 1 2 1
A se nazývá (rozšířenou) maticí soustavy. S touto maticí můžeme provádět následující elementární operace: vzájemná záměna dvou řádků, vynásobení některého řádku nenulovým číslem, připočítání libovolného násobku některého řádku k jinému řádku matice.
Matici A budeme upravovat na dolní trojúhelníkovou matici (trojúhelníkový tvar). Tzn.,že matici upravujeme tak, aby všechny prvky pod hlavní diagonálou byly nulové. Tento způsob řešení soustavy se nazývá Gaussova eliminační metoda (podrobněji viz. kapitola Řešení soustav rovnic).
1
Příklad uvedený v kapitole 6 je motivační. O metodách řešení soustav rovnic se více dočtete v kapitole 9. 7/29
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
1 1 6 1 1 6 1 1 1 6 1 1 1 1 1 6 A = 1 − 1 − 1 0 ⇔ 0 − 2 − 2 − 6 ⇔ 0 − 2 − 2 − 6 ⇔ 0 1 1 3 = B − 1 1 2 1 0 0 0 0 1 1 2 3 7 0 1 1 1. řádek opíšeme. K 2. řádku přičteme -1násobek 1. řádku. K 3. řádku přičteme 1. řádek.
Dále řešíme: x+ y+z =6 y+z =3 z =1
5
1. a 2. řádek opíšeme. K 3. řádku přičteme 2. řádek.
2. řádek vydělíme číslem –2.
Matice A a B jsou ekvivalentní, proto můžeme původní soustavu přepsat na trojúhelníkový tvar.
⇒ x=3 ⇒ y=2 Řešením soustavy je uspořádaná trojice: P = { [3,2,1] }.
Inverzní matice
Jestliže ke čtvercové matici A stupně n nad R existuje čtvercová matice A −1 stupně n tak, že platí A ⋅ A −1 = E , kde E je jednotková matice stupně n, nazývá se matice A −1 inverzní maticí k matici A . Poznámka: Ke každé čtvercové matici existuje nejvýše jedna matice inverzní. Nutnou a postačující podmínkou existence inverzní matice k matici A je, aby determinant matice A byl různý od 0.
5.1 Jak určíme inverzní matici? Nalezení inverzní matice je numericky dosti náročné2, zvláště u matic vyšších řádů. Způsob hledání inverzní matice porovnáváním matic ( A ⋅ A −1 a E ) vede k řešení n ⋅ n rovnic o n proměnných, takže například u čtvercové matice 3. řádu by to znamenalo řešit soustavu devíti rovnic o devíti proměnných.
Ukážeme si následující způsob: vedle sebe sepíšeme matici A (k níž máme hledat inverzní matici) a jednotkovou matici E . postupnými řádkovými úpravami, které aplikujeme na obě matice, „přetváříme“ matici A na matici jednotkou. z původní jednotková matice takto vznikne matice inverzní. Vše vysvětluje následující příklad:
Sepíšeme matici A , k níž hledáme matici inverzní, a matici jednotkou E . 1 − 4 − 3 1 0 0 A = 1 − 5 − 3 E = 0 1 0 − 1 0 0 1 6 4 „Nulujeme“ 1. sloupec pod hlavní diagonálou, tzn. (− 1) násobek 1. řádku přičteme k 2. řádku a zároveň 1. řádek sečteme s 3. řádkem. 1 − 4 − 3 1 0 0 A = 0 − 1 0 E = − 1 1 0 0 1 0 2 1 1 „Nulujeme“ 2. sloupec pod hlavní diagonálou, tzn. (2 ) násobek 2. řádku přičteme k 3.
2
Nikoli však v Excelu ☺ 8/29
St u d ijn í
1 − 4 − 3 A = 0 − 1 0 0 0 1
ma t er i á l
1 E = − 1 − 1
0 1 2
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
0 0 1
Nyní je třeba „vynulovat“ prvky na pozicích (1, 2 ) a (1, 3) , tzn. (− 4 ) násobek 2. řádku přičteme k 1. řádku a zároveň (3) násobek 3. řádku přičteme k 1. řádku. 3 1 0 0 2 2 A = 0 − 1 0 E = − 1 1 0 0 0 − 1 2 1 1 Na závěr vynásobíme 2. řádek (− 1) .
1 0 0 A = 0 1 0 0 0 1
2 2 E = 1 − 1 − 1 2
3 0 = A−1 1
Matice E se „přetvořila“ v matici inverzní.
9/29
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Příklady: 1. Jsou dány matice A(3, 4 ) , B(4, 2 ) , C (4, 3) . Vytvořte všechny možné součiny těchto matic. 2. Jsou dány matice:
1 − 1 0 1 B= 1 − 1 1 0
0 1 1 −1 A = 0 1 −2 3 2 0 1 − 1
1 0 0 1 C= 2 − 1 1 0
2 0 1 0
Určete součiny A ⋅ B , B ⋅ A , A ⋅ C , C ⋅ A 3. Určete f ( A) pro danou matici A a polynom: f (x ) = 2 x − x + 3x − 1 3
2
1 −1 A = 2 1 0 3
0 1 0
4. Najděte inverzní matici k matici: 1 − 4 − 3 A = 1 − 5 − 3 − 1 6 4 5. Určete hodnost matice: 3 5 − 4 2 3 −2 1 2 A = −1 3 5 6 2 −3 1 − 4 2 1 0 − 2
1 3 6. Najděte všechny matice, které s maticí A = komutují. 2 4 7. Řešte maticové rovnice:
3 − 1 5 − 2 ⋅ X
5 6 14 16 ⋅ = 7 8 9 10
1 3 2
2 − 3 1 −3 2 − 4 ⋅ X = 10 2 10 −1 0 7
0 7 8
10/29
St u d ijn í
6
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Determinanty
Determinant je jistá hodnota přiřazena čtvercové matici. Předmětem tohoto studijního materiálu je seznámit čtenáře s tím, jak vypočítat determinant 2. řádu, 3. řádu a postupně i vyššího řádu rozvojem podle prvků r-tého řádku resp. s-tého sloupce. K výpočtu determinantů vyšších řádů budeme využívat i některých vlastností determinantů. Úvodem se však budeme věnovat formální definici a k tomu je zapotřebí definovat následující pojmy.
6.1 Definice determinantu Definice Permutace na n-prvkové množině je zobrazení π této množiny na sebe; π : {1,2,..., n } → {1,2,..., n }. Počet všech permutací na n-prvkové množině je n! Zapisujeme: 1 2 3 4 π = 2 1 4 3 Příklad:Nalezněte všechny permutace na množině {1,2,3 } a určete, které z nich jsou sudé resp. liché. 1 2 3 1 2 3 1 2 3 π 1 = + π 2 = π 3 = 1 2 3 1 3 2 2 1 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3 π 4 = + π 5 = + π 6 = 2 3 1 3 1 2 3 2 1 Definice Řekneme, že dvojice (k i , k j ) tvoří inverzi v dané permutaci, jestliže k i > k j ∧ i < j . Permutaci π pak nazveme sudou (+) resp. lichou (-) , má–li sudý resp. lichý počet inverzí. Příklad: Určete, které z daných permutací jsou sudé resp. liché. 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 7 π 1 = π 2 = 4 6 1 5 3 2 3 7 6 2 4 1 5 (4, 1) ; (4, 3) ; (4, 2) ; (6, 1) ; (6, 5) ; (6, 3) ; (6, 2) ; (3, 2) ; (3, 1) ; (7, 6) ; (7, 2) ; (7, 4) ; (7, 1) ; (7, 5) ; (5, 3) ; (5, 2) ; (3, 2) (6, 2) ; (6, 4) ; (6, 1) ; (6, 5) ; (2, 1) ; (4, 1) Počet inverzí je 10, tzn. Permutace je sudá (+). Počet inverzí je 13, tzn. Permutace je lichá (-). Utvořme nyní součin všech prvků čtvercové matice, jejichž indexy tvoří permutace. pro n = 2 jsou to: a11 ⋅ a 22 pro n = 3 jsou to: a11 ⋅ a 22 ⋅ a33 , a11 ⋅ a 23 ⋅ a32
a12 ⋅ a21
a12 ⋅ a 21 ⋅ a33 , a12 ⋅ a 23 ⋅ a31 a13 ⋅ a 21 ⋅ a32 , a13 ⋅ a 22 ⋅ a31
Předchozí součin (včetně znaménka), neboli člen determinantu se obecně vypočítá ze vztahu: n
sgn π ∏ aiπ i , kde π je libovolná permutace. Dále platí, že sgn π = 1 ⇔ je–li π sudá permutace, i =1
sgn π = −1 ⇔ je–li π lichá permutace.
Slovy: Člen determinantu je součin n prvků vybraných právě z jednoho řádku a právě jednoho sloupce. Znaménko členu je znaménko permutace tvořené indexy příslušné permutace. Determinant A čtvercové matice typu n je číslo vzniklé součtem všech členů determinantu. Určíme jej ze vztahu: n
A = ∑ sgn π ∏ aiπ i i =1
.
Číslo n se nazývá řádem determinantu. 11/29
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
6.2 Výpočet determinantu Druhého řádu
provádíme dle následujícího schématu: a11 a12 a 21
a 22
A=
a11 a21
a12 = a11a 22 − a12 a21 . a22
Třetího řádu
Pro urychlení výpočtu můžeme použít tzv. Sarrusovo pravidlo. Pod poslední řádek opíšeme 1. a 2. řádek matice a vynásobíme prvky ve směru hlavní diagonály podle tohoto schématu: a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
a31
a32
a33
a11
a12
a13
a 21
a 22
a 23
A = a11a 22 a33 + a21a32 a13 + a31a12 a 23 − a13 a 22 a31 − a23 a32 a11 − a33 a12 a 21 Výpočet determinantu vyšších řádů
Věta o rozvoji determinantu Nechť je dána čtvercová matice typu n. Pak platí: r +1 r +2 r +n 1. A = (− 1) a r1 Ar1 + (− 1) a r 2 Ar 2 + ... + (− 1) a rn Arn , 2.
A = (− 1) a1s A1s + (− 1) 1+ s
2+ s
a 2 s A2 s + ... + (− 1)
n+ s
a ns Ans ,
(1) (2)
kde 1 ≤ r , s ≤ n , determinanty Aij nazýváme subdeterminanty, nebo také minory příslušné prvkům aij . Subdeterminanty jsou determinanty matic, které dostaneme z matice A vynecháním i–tého řádku a j-tého sloupce. Vztahu (1) resp. (2) se říká rozvoj determinantu podle prvků r-tého řádku, resp. s-tého sloupce.
6.3 Vlastnosti determinantů Pro výpočet determinantů vyšších řádů využíváme některých vlastností: 1. Determinant čtvercové matice, která má v jednom řádku (sloupci) samé nuly, je roven nule. 2. Determinant čtvercové matice, která má stejné dva řádky (sloupce) je roven nule. 3. Determinant matice, v níž jeden řádek (sloupec) je násobkem jiného řádku (sloupce) této matice, je roven nule. 4. Zaměníme–li pořadí dvou řádků (sloupců) dané matice, pak determinant nově vzniklé matice se od determinantu původní matice liší pouze znaménkem. 5. Determinant součinu dvou matic je roven součinu determinantů těchto matic. Podobné tvrzení pro determinant součtu matic neplatí. 6. Determinant matice se nezmění, jestliže k libovolnému řádku (sloupci) této matice přičteme knásobek jiného řádku (sloupce) této matice. a11 a12 . . a1n a11 a12 . . a1n
a 21 a 22 . . a 2 n a 21 a 22 . . a 2 n 7. kai1 kai 2 . . kain = k ⋅ ai1 ai 2 . . . ain . . . . . . . . . . a n1 a n 2 . . a nn a n1 a n 2 . . a nn 8. Determinant matice, jež má kromě prvků na hlavní diagonále všechny zbývající rovny nule, je roven součinů prvků na hlavní diagonále. 12/29
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Příklady: 1. Jsou následující permutace π 1 , π 2 sudé nebo liché? 1 2 3 4 5 6 π 1 = 4 6 1 5 3 2 2. Určete hodnoty determinantů: 3 2 2 −5 a−b a −c b) c) a) 5 4 11 − 27 a+c a+b 3. Vypočtěte neznámou x z rovnice: x −1 − 3 x−a b =3 =0 2− x 5 a x−a
d)
1 2 3 4 5 6 7
π 2 = 3 7 6 2 4 1 5
3 3 + 2x 1
x−2
7 x − 6 6x − 7 x −1
1− x
=0
e)
sin x
cos x
− cos x
sin x
6x + 1 2
f)
2 cos x
0
1
sin x
x +1 = 2 x − 15 1
13/29
St u d ijn í
7
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Metody řešení soustav lineárních rovnic 7.1 Gaussova eliminační metoda
Soustavou m lineárních rovnic o n neznámých x1 , x2 ,…, xn je systém rovnic ve tvaru a11 x1 + a12 x 2 + ... + a1n xn = b1 ,
kde aij ∈ R , bi ∈ R ; i = 1,..., m , j = 1,..., n jsou koeficienty této rovnice. Jestliže b1 = b2 = ... = bn = 0 , pak soustavu nezveme homogenní, v opačném případě nehomogenní.
a 21 x1 + a 22 x 2 + ... + a 2 n x n = b2 , a31 x1 + a32 x2 + ... + a3n x n = b3 , (1) ... a m1 x1 + a m 2 x2 + ... + a mn x n = bm , Definujme: Matice soustavy (1) a11 a A = 21 .. a m1
a12 a 22 .. am 2
Rozšířená matice soustavy (1) a11 a12 ... a1n a 21 a 22 ... a 2 n + A = .. .. ... .. a m1 a m 2 ... a mn
... a1n ... a 2 n ... .. ... a mn
b1 b2 .. bn
Frobeniova věta Soustava (1) má řešení tehdy, je –li h( A) = h A + . Dále platí:
( )
( ) Je–li h( A) = h(A ) = h < n , má soustava nekonečně mnoho řešení; v tomto případě můžeme za (n − h ) Je–li h( A) = h A = n , má soustava právě jedno řešení. + +
neznámých volit libovolné prvky z R (tzv. parametry), zbývajících h neznámých je touto volbou určeno jednoznačně (vyjádřeno pomocí parametrů).
7.2
Cramerovo pravidlo
Lze použít za předpokladu, že daná soustava je soustavou n rovnic a n neznámých a determinant matice soustavy je různý od nuly, tzn. A ≠ 0 . Pak tato soustava má jediné řešení A1 A2 An , , ,..., A A A kde Ai (i = 1,2,..., n ) je matice, kterou dostaneme z matice A tak, že v ní i-tý sloupec nahradíme sloupcem pravých stran naší soustavy.
Poznámka: Cramerova pravidla lze s výhodou použít při řešení soustav rovnic pomocí tabulkového procesoru Excel3.
3
Viz. kapitola Využití tabulkového procesoru při počítání s maticemi a determinanty 14/29
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
7.3 Řešení soustavy rovnic v maticovém tvaru Na obohacení výpočetních metod si ukažme elegantní řešení soustavy n × n lineárních rovnic v R n v tzv. maticovém tvaru Pravé strany rovnic soustavy Nechť je dána čtvercová Dále sestavíme matici X regulární matice A typu n × n , z proměnných x1 , x2 , x3 , ... , xn označíme b1 , b2 , b3 , ... , bn tzn. A ≠ 0 . a sestavíme z nich matici B .
a11 a 21 A = a 31 ... a n1
a12 a 22 a 32 ... a n2
a13 a 23 a 33 ... a n3
a1n a 2 n a 3n ... a nn
... ... ... ... ...
x1 x 2 X = x3 ... xn
b1 b 2 B = b3 ... bn
Podle definice pro součin dvou matic a pro rovnost dvou matic pak lze zapsat soustavu n lineárních rovnic o n proměnných. a11 x1
+
a21 x1
+ a 22 x2
a31 x1
+
a32 x2
...
+
...
an1 x1
+
a12 x2
+ an 2 x2
a1n xn
= b1
+ a23 x3
+ ... + a2 n xn
= b2
+ a33 x3
+ ... + a3n xn
= b3 v maticovém tvaru takto: A ⋅ X = B
+
+ ... +
=
a13 x3
...
+ a n3 x3
+ ... +
...
+ ... + ann xn
(1)
...
= bn
Matice A je typu (n, n ) , matice X je typu (n, 1) , takže výsledná matice A ⋅ X je typu (n, 1) , stejně jako matice B . Porovnáním obou stran (1) tedy vznikne výše zmíněná soustava. Protože A je regulární čtvercová matice, existuje k ní inverzní matice A−1 . Nechť řešením soustavy (1) je vektor (uspořádaná n-tice) k = [k1 , k 2 , k 3 ,..., k n ] . Napíšeme-li toto řešení ve tvaru (2),
k1 k 2 K = k3 můžeme pak zapsat, že K je řešením soustavy (1) takto: A ⋅ K = B . ... kn
(3)
Násobíme-li (3) matici A−1 zleva, dostaneme: A−1 ⋅ ( A ⋅ K ) = A−1 ⋅ B Vzhledem k platnosti asociativního zákona pro násobení matic pak platí dále:
(A
−1
)
⋅ A ⋅ K = A −1 ⋅ B
(
)
Protože A−1 ⋅ A = E (jednotková matice, která má charakter neutrálního prvku vzhledem k operaci násobení matic), platí dále: E ⋅ K = A−1 ⋅ B a tedy K = A−1 ⋅ B
(4)
Řešení soustavy (1) je tady dáno vzorcem (4). Dosadíme-li (4) do (1), dostaneme po úpravě pravdivý výrok. Toto řešení soustavy (1) je dáno vzorcem (4) jediné a jednoznačné.
15/29
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
A na závěr jedna pikantní úloha pro pilného čtenáře a dobrého programátora: Do čtvercové tabulky 4 x 4 vepište všechna čísla od 1 do 16 tak, aby součty ve všech řádcích, sloupcích, diagonálách a souvislých čtvercích 2 x 2 se sobě rovnaly. Až sestavíte soustavu 15 x 15, zkontrolujte si, jestli ji máte stejnou jako v nápovědě.
A=
1
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
34
0
0
0
0
1
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
20
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
0
0
0
0
34
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
1
1
34
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
34
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
34
0
0
1
0
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
20
1
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
0
1
34
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1
0
0
0
34
B=
34
1
1
0
0
1
1
0
0
0
0
0
0
0
0
0
34
0
0
1
1
0
0
1
0
0
0
0
0
0
0
0
20
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
0
0
34
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
1
0
0
1
1
34
0
0
0
0
0
1
1
0
1
1
0
0
0
0
0
34
Přeji mnoho řešitelských úspěchů.
16/29
St u d ijn í
8
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Využití tabulkového procesoru Excel při počítání s maticemi a determinanty 8.1
Součet matic
Součet matic, získáme tak, že do buňky odpovídající pozici (1, 1) 4 výsledné matice vložíme vzorec pro součet prvků z prvního řádku a prvního sloupce sčítaných matic (a11 + b11 ) .
Tento vzorec nakopírujeme (potažením za ouško) do ostatních buněk výsledné matice.
8.2
Součin matic Pro výpočet součinu matic je v Excelu funkce SOUČIN.MATIC(mat1;mat2). Máme-li zadané matice, které chceme násobit, nejdříve vybereme oblast výsledné matice. Například násobíme-li matice typu (2, 3) a (3, 2) , vyselektujeme souvislou oblast 2x2. Buňka odpovídající prvnímu řádku a prvnímu sloupci výsledné matice je aktuální. Do této buňky vložíme vzorec =Součin.matic(mat1;mat2). Zadání vzorce ukončíme současným stiskem kláves Ctrl+Shift+Enter. Zadáváme-li vzorec prostřednictvím průvodce funkcí, pak při závěrečném
4
(1, 1) prvek na pozici prvního řádku a prvního sloupce 17/29
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
potvrzení tlačítkem OK rovněž musíme podržet na klávesnici Ctrl+Shift.
8.3
k–násobek matice
k –násobek matice získáme tak, že do buňky odpovídající prvnímu řádku a prvnímu sloupci výsledné matice vložíme vzorec pro součin prvku k a prvku matice na pozici (1, 1) , tedy prvku a11 . Abychom při následném kopírování vzorce do zbývajících buněk výsledné matice docílili toho, že půjde vždy o součin prvku (a ij ) s k, musíme buňku obsahující k (v našem př. A2) adresovat absolutně. Toho docílíme tak, že ve vzorci umístíme před tuto buňku kurzor a stiskneme klávesu F4. Před sloupec a řádek udávající pozici buňky se doplní symbol „dolarovky“ (v našem př. $A$2). Tento vzorec nakopírujeme (potažením za ouško) do ostatních buněk výsledné matice.
8.4
Inverzní matice Pro výpočet inverzní matice existuje v Excelu funkce INVERZE(matice). Mámeli matici, jejíž inverzní matici hledáme, označíme celou oblast výsledné matice. Přitom buňka odpovídající prvnímu řádku a prvnímu sloupci výsledné matice je aktuální. Do této buňky vložíme vzorec =INVERZE(matice). Zadání vzorce ukončíme současným stiskem kláves Ctrl+Shift+Enter. Zadáváme-li vzorec prostřednictvím průvodce funkcí, pak při závěrečném potvrzení tlačítkem OK rovněž musíme podržet na klávesnici Ctrl+Shift.
18/29
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
8.5 Determinant Determinant počítáme pomocí funkce DETERMINANT. Najdeme ji v sekci matematické, nejdříve však vybereme buňku, do níž chceme hodnotu determinantu vložit. Argumentem funkce je oblast odpovídající matice. Nezapomeňte, že determinant lze počítat pouze u matic čtvercových. Vše ostatní je patrné z obrázku.
19/29
St u d ijn í
9
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Využití tabulkového procesoru Open.Office.org Calc při počítání s maticemi a determinanty
Tato kapitola je určena především pro ty čtenáře, kteří preferují nekomerční balík kancelářských programů Open.Office. Ten si můžete zdarma stáhnout z http://www.openoffice.cz/stahnout. Osobně jej také upřednostňuji. Nebudu se zabývat součtem matic a k-násobkem matice, protože způsob výpočtu je stejný jako v konkurenčním Excelu. Přejděme hned k násobení matic.
9.1 Součin matic Průvodce funkcemi nejrychleji vyvoláte tlačítkem mezi editačním řádkem a polem názvů. Druhou možností, jak jej vyvoláte je Vložit/Funkce (Ctrl+F2). V Calc jsou funkce kategorizovány obdobně jako v Excelu., s tím rozdílem, že zde najdete speciálně kategorii Matice (viz. obr).
Zvolíme tuto kategorii a nabídne se nám výčet funkcí nad maticemi a determinanty. Násobení matic odpovídá funkce MMULT(matice,matice). Již zde si můžete všimnout, že v levém dolním rohu je checkbox (zaškrtávací políčko) Matice. Toto zvýhodňuje ty, kteří neumějí určit typ výsledné matice. Připomínám, že v Excelu musíte nejdříve vybrat oblast odpovídající vynásobené matici a teprve potom vyvolat průvodce funkcí. Další „excelackou zradou“ je ona již zmiňovaná klávesová zkratka Ctrl+Shift5. Toho všeho jste v Calc ušetřeni. Stačí jen zaškrtnout checkbox Matice.
5
Viz. strana 18 vpravo dole. 20/29
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
V prvním dialogovém okně klikneme na tlačítko Další, abychom přešli do druhého, kde do polí matice vybereme matice, které násobíme (shora dolů v pořadí, jak matice násobíme). Pokud by matice byly skryty dialogovým oknem, pomůžeme si tlačítkem . Pokud ne, postačí okno přesunout potažením za titulkovou lištu a následně vybrat jednu a pak druhou matici.
Následující obrázek názorně demonstruje, jak vybrat matice, které chceme násobit. Všimněte si, jak se funkce zapisuje do editačního řádku MMULT(B3:E5, H3:I6). Máme-li obě matice vybrané, stačí potvrdit kliknutím na tlačítko OK. Prvek (1,1) výsledné matice se vloží do vybrané buňky. V našem případě je to buňka C8.
21/29
St u d ijn í
9.2
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Další funkce pro počítání s maticemi a determinanty v Open.Office.Org Calc
V předchozí kapitole jste mohli názorně vidět, jak maticové funkce fungují. Ty zbyle již ponechám na čtenáři. Připomínám jen, že pokud má být výsledkem matice, je třeba zaškrtnout checkbox v levém dolním rohu průvodce funkcemi. Na závěr přikládám popis těch nejdůležitějších maticových funkcí: Název funkce
Syntaxe
Popis
MDETERM
MDETERM(matice)
Vrací determinant matice.
MINVERSE
MINVERSE(matice)
Vrací inverzní matici k zadané.
MMULT
MMULT(matice,matice)
Vrací součin matic.
MUNIT
MUNIT(rozměry)
TRANSPOSE
TRANSPOSE(matice)
Vrací jednotkou matici určeného rozměru. Provede záměnu řádků a sloupců matice.
Příklady: Řešte v tabulkovém procesoru. Zkuste Excel i Calc, ať se můžete rozhodnout, který Vám bude více vyhovovat. 1. Zopakujte si všechny důležité typy matic. Dále určete matice inverzní k těmto maticím.
1 − 4 − 3 A = 1 − 5 − 3 − 1 6 4
− 18 − 16 − 11 −6 −6 −4 B= − 11 − 10 − 7 −1 −1 − 14
12 5 8 1
2. Pojďme se nyní zabývat početními operacemi s maticemi. Nejdříve si ukážeme, jak se matice v Excelu sčítají. Sečtěte matice A, B a matice C, D.
1 − 4 − 3 A = 1 − 5 − 3 − 1 6 4 11 −5 C = − 23 74 − 52
− 10 6 − 18 − 41 − 32
2 9 53 85 10
3 B = 0 5
3 6 4
− 4 1 2
2 25 − 32 − 22 − 6 − 9 C = 15 61 − 20 42 − 83 − 74 − 51 30 − 13
3. Vypočtěte k násobek matice A, jestliže k ∈ {− 3, − 2, 0, 5} . Využijte k tomu absolutní adresace buňky.
22/29
St u d ijn í
A=
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
3 − 4 − 3 6 1 1 4 2 1 3 3 2
3 0 5 2
4. Na maticích A, B z třetího příkladu ověřte, zda je operace násobení matic komutativní. 5. Vynásobte matice z prvního příkladu s příslušnou inverzní maticí. Co byste řekli o výsledné matici? 6. Určete Q( A) pro danou matici A a polynom Q( X ) . Číslo 1 v kvadratickém trojčlenu považujte za jednotkovou matici E . 1 1 2 A= 3 1 2 Q( X ) = x 2 − x − 1 1 − 1 0 7. Vypočtěte determinanty matic A, B . Řešte dvěma způsoby - vzorcem a přes průvodce funkcí. 2 3 4 1 5 3 7 10 4 −3 2 1 4 8 C= 3 A= B = 3 −2 5 11 16 3 5 1 − 7 − 5 7 7 2 −7 1 4 5 3
5 13 21 2 10
8. Vypočtěte determinanty následujících matic a pozorujte jejich hodnoty v závislosti na řádcích, popř. prvcích na hlavní diagonále.
0 0 0 A= 3 −2 8 1 − 7 − 5
3 −2 B = 1 3 3 − 2
4 2 4
3 −2 D = 1 3 2 − 4
2 −4 E = 1 3 3 − 2
6 2 4
4 2 6
9. Řešte následující soustavu užitím: a) Cramerova pravidla, b) Maticovou metodou. x1 + x2 + x3 =
3 C = 1 − 9
−2
4 3 2 6 − 12
0 0 1 F = 0 −3 0 0 0 − 5
6
x1
−
x2
−
x3
=
0
− x1
+
x2
+
2 x3
=
1
23/29
St u d ijn í
10
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Užití determinantu ve vektorové algebře a analytické geometrii
Užití determinantu ve vektorové algebře a analytické geometrii je značné a dle mého soudu nezbytně nutné. V mnoha případech usnadňuje složité numerické výpočty a eliminuje vykonstruované algoritmy známé z mnoha středoškolských učebnic matematiky. Ano, zasvěcený čtenář by mohl namítnout, že maticový počet není standardní náplní gymnaziální látky, avšak řešení je nasnadě. V úvodní sekci vektorové algebry stačí zavést pojem matice, jakožto schéma vzniknuvší „organizací“ čísel do řádků a sloupců. Následně definovat determinant, jakožto číslo příslušející pouze čtvercovým maticím. Omezil bych se pouze na determinant druhého a třetího řádu. Pro výpočet determinantu druhého řádu doporučuji aplikovat Sarrusovo pravidlo6, determinant matice třetího řádu je vhodné počítat rozvojem prvního7 řádku. Obecný vzorec může zůstat studentům utajen. Tento „matematický aparát“ je pro naše kapitoly naprosto dostačující. A jaké kapitoly mám vlastně na mysli? Jsou jimi: vektorový součin, smíšený součin, obecná rovnice roviny vzájemná poloha dvou přímek v prostoru. Podrobný výklad výše zmiňovaných kapitol by jistě vystačil na další studijní materiál, a proto se jimi budu zabývat jen okrajově a spíše zdůrazním aplikace maticového počtu – konkrétně determinantu. Ostatně tento je předmětem našeho studia, ne?
10.1
Vektorový součin
Vektorový součin je v matematice označení binární operace mezi dvěma nenulovými vektory v trojrozměrném vektorovém prostoru. Výsledkem této operace je vektor (na rozdíl od součinu skalárního, jehož výsledkem je při součinu dvou vektorů skalár = číslo). Definice: r r r Nechť u , v ≠ o a ϕ je úhel, jež tyto dva vektory r r svírají. Pak vektorovým součinem vektorů u , v r (v tomto pořadí) rozumíme vektor t , který má tyto vlastnosti: 1. směr vektoru je kolmý na rovinu, do níž lze r r vektory u , v umístit, r r r r 2. velikost vektoru t se vypočítá t = u ⋅ v ⋅ sin ϕ , r 3. orientace vektoru t se řídí pravidlem pravé ruky8. r r r r Vektorovým součinem vektorů u , v označíme u × v
6
Viz. kapitola 7.2 Výpočet determinantu Výhradně prvního řádku (důvody budou vysvětleny v následující kapitole) r r r 8 Tj. umístíme-li malíkovou hranu pravé ruky do roviny určené vektory u , v tak, že prsty ukazují směr natočení vektoru u r r k vektoru v , pak vztyčený palec určuje orientaci vektoru t . 24/29 7
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
r A nyní, jak určíme souřadnice vektoru t . r r r r r r r Nechť je u = (u1 , u 2 , u3 ) , v = (v1 , v2 , v3 ) a t = (t1 , t 2 , t 3 ) = u × v . Vektorový součin vektorů u , v lze určit pomocí determinantu takto:
r t t1 t 2 r u = u1 u 2 r v v1 v2
t1 = t3
u2
u3
v2 v3 u1 u3
= u 2 v3 − u3v2
u3 ⇒ t 2 = − = −(u1v3 − u3v1 ) v1 v3 v3 u1 u 2 t3 = = u1v2 − u 2 v1 v1 v2 r t = (t1 , t 2 , t 3 ) = (u 2 v3 − u3v2 , u3v1 − u1v3 , u1v2 − u 2 v1 )
Jednotlivé souřadnice získáme ze subdeterminantů vyskytujících se ve vzorci pro výpočet determinantu podle prvků 1. řádku. Jednoduše řečeno „škrtneme“ řádek a sloupec, v němž leží prvek a11 , a tak získáme subdeterminant pro výpočet první souřadnice vektorového součinu. U zbylých souřadnic postupujeme analogicky, jen u druhé souřadnice musíme subdeterminantu předřadit záporné znaménko9. Geometrický význam vektorového součinu
Věta: r r Nechť je dán rovnoběžník ABDC v prostoru. Považujeme-li strany AB a AC za umístění vektorů u , v , r r pak obsah S rovnoběžníku ABDC lze vyjádřit rovností S = u × v , obsah trojúhelníku ABC S=
1 r r u ×v 2
Důkaz: Vzorec pro výpočet obsahu trojúhelníku 1 S = c ⋅ vc (1) 2 Z pravoúhlého trojúhelníku APC lze výšku na stranu c určit ze vztahu: vc = b ⋅ sin α (2) (2) → (1) 1 S = c ⋅ b ⋅ sin α 2 dále pak r u = B− A⇒ r v =C − A⇒
(3)
r u =c r v =b
(4) (5)
(4) (5) → (3) a α nahradíme ϕ 1 r r S = u ⋅ v ⋅ sin ϕ (6) 2 r r r r Z definice vektorového součinu u × v víme, že jeho velikost je rovna u ⋅ v ⋅ sin ϕ , proto platí dokázaný vztah pro obsah trojúhelníku ABC . Obsah rovnoběžníku ABDC už je pouhým dvojnásobkem. S ABC =
9
1 r r u×v 2
r r S ABDC = u × v
A proč? Vše je zřejmé ze vzorce pro výpočet determinantu podle prvků r-tého řádku (viz. kapitola 7.2 „Výpočet determinantu“) 25/29
St u d ijn í
10.2
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Smíšený součin
Věta: Nechť je dán rovnoběžnostěn ABCDA´B´C´D´ . Považujeme-li r r r hrany AB , AD , AA´ za umístění vektorů u , v , w , pak pro objem rovnoběžnostěnu platí: r r r V = (u × v ) ⋅ w Důkaz: Z předchozí kapitoly víme, že obsah S rovnoběžníku ABCD lze vyjádřit vektorovým součinem. Pro obsah podstavy rovnoběžnostěnu platí: r r S = u ×v . Na obrázku je přímka AP kolmá k oběma stěnám ABCD a A´B´C´D´ , tzn., že úsečka AP je výškou rovnoběžnostěnu ( v ). Budeme ji počítat z pravoúhlého trojúhelníku ∆AA´P : AP r r r r v cos ϕ = = r ⇒ v = w ⋅ cos ϕ 10, kde ϕ je odchylka vektorů u × v , w . AA´ w Pak pro objem rovnoběžnostěnu platí: r r r r r r V = S ⋅ v = u × v ⋅ w ⋅ cos ϕ = (u × v ) ⋅ w ⋅ cos ϕ r r r Výraz v absolutní hodnotě vyjadřuje velikost skalárního součinu11 vektorů (u × v ) , w . Pak tedy: r r r V = (u × v ) ⋅ w Poznámka: r r r r r r Součin (u × v ) ⋅ w se nazývá smíšený součin vektorů u , v , w . (v tomto pořadí). Z geometrického významu je zřejmé, že platí: (ur × vr ) ⋅ wr = (vr × wr ) ⋅ ur = (ur × wr ) ⋅ vr
A jak využíváme determinantu při výpočtu smíšeného součinu? Takto: r u u1 u 2 u3 r r r r (u × v ) ⋅ w = v = v1 v2 v3 , r w w1 w2 w3 Dále platí:
Vrovnoběžnostěnu
r u u1 r r r r = (u × v ) ⋅ w = v = v1 r w w1
u2
u3
v2 w2
v3 w3
Závěr: r r r Objem rovnoběžnostěnu , jehož hrany reprezentují vektory u , v , w vypočítáme jako absolutní hodnotu z determinantu sestaveného z těchto vektorů.
10
Počítáme výšku. Ta musí být kladné R-číslo, a proto je výraz
cos ϕ v absolutní hodnotě. Pro případ, že by ϕ ∈ π , π . 2
11
r r n Skalární součin dvou vektorů: u ⋅ v = ui vi Σ i =1
26/29
St u d ijn í
11
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Hledání obecné rovnice roviny s použitím determinantu
Problematiku této kapitoly si vysvětlíme na konkrétním příkladu. Rovina je dána třemi body A[2; − 1; 0] , B[− 1; 2; − 3] , C [− 2; − 3; 1] . Určete obecnou rovnici této roviny.
r r Vektory u , v jsou dány symbolickými rovnicemi: r u = B − A = (− 3; 3; − 3) r v = C − A = (− 4; − 2; 1) Pro každý bod X roviny α platí: r r ∀X ∈ α : X ∈ α ⇔ X − A = k u + l v
r Jinak řečeno: Bod X je prvkem roviny α právě tehdy, je-li vektor X − A lineární kombinací vektorů u , r r r v . Je-li tomu tak, pak determinant vzniknuvší z vektorů X − A , u , v musí být roven nule. A právě na skladě této podmínky získáme obecnou rovnici roviny.
Řešíme rovnici:
X −A r u =0 r v x−2
y +1
−3 −4
3 −2
z
−3 = 0 1
Determinant vypočítáme rozvojem 1. řádku:
(x − 2)
3 −3
−2
1
− ( y + 1)
−3 −3 −4
1
+z
−3
3
−4 −2
=0
Nyní vypočteme subdeterminanty 2. řádu:
− 3( x − 2) + 15( y + 1) + 18 z = 0 Provedeme naznačené početní:
− 3 x + 6 + 15 y + 15 + 18 z = 0 − 3 x + 15 y + 18 z + 21 = 0
/ : (− 3)
x − 5 y − 6z − 7 = 0 Obecná rovnice roviny tedy je:
α:
x − 5 y − 6z − 7 = 0
27/29
St u d ijn í
12
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Vzájemná poloha dvou přímek 12.1
V rovině (E2)
Mohou nastat tyto situace: a) a b ⇔ (a ∩ b ) = {P} ........................různoběžné přímky, b) a b ⇔ (a ∩ b ) = ∅ ..........................rovnoběžné přímky, c) a = b ⇔ (a ∩ b ) = a ..........................totožné (splývající) přímky.
vz. Poloha ⇐ průnik Vzájemnou polohu dvou přímek v E2 určujeme na základě průniku. Průnik určíme řešením soustav rovnic.
12.2
V prostoru (E3)
Mohou nastat tyto situace: a) a b ⇔ (a ∩ b ) = ∅ ..........................mimoběžné přímky; ...................... a, b jsou nekomplanární ...................................... b) a b ⇔ (a ∩ b ) = {P} ........................různoběžné přímky, c) a b ⇔ (a ∩ b ) = ∅ ..........................rovnoběžné přímky, a, b jsou komplanární (ležící v jedné rovině) d) a = b ⇔ (a ∩ b ) = a ..........................totožné (splývající) přímky.
vz. Poloha ⇒
průnik 1. Nejdříve zjišťujeme závislost vektorů a, b . 2. Jsou – li vektory a, b závislé a vektory a, c také, přímky a, b jsou totožné. Jsou – li vektory a, b
závislé a vektory a, c nezávislé, přímky a, b jsou rovnoběžné. 3. Jsou - li vektory a, b nezávislé, zjišťujeme jejich komplanárnost, tzn. Leží-li v jedné rovině. Je-li vektor c lineární kombinací vektorů a, b , pak a, b jsou různoběžné. Průsečík získáme řešením soustavy.
c= B− A
28/29
St u d ijn í
ma t er i á l
-
Ma t i c e
v e
st řed o šk o l sk é
ma t e ma t i ce
Příklady: 1. Určete vzájemnou polohu přímek p, q s parametrickými vyjádřeními. a) p : x = 8 − 4t , y = 4 + 8t , z = −12t ; t ∈ R b) p : x = 1 − t , y = 2 + t , z = −6 − 2t ; t ∈ R q : x = 3 + 3s, y = 1 − 6 s, z = −2 + 9 s; s ∈ R q : x = 4 + s, y = −1 − s, z = 2 s; s ∈ R c)
p : x = 3 − t , y = −2 + 2t , z = 3t ; t ∈ R q : x = 2 + s , y = 1 − s , z = 2 + 3s ; s ∈ R
d) p : x = 3 − t , y = −2 + 2t , z = 3t ; t ∈ R q : x = 2 + s , y = 1 − s , z = 9 + 3s ; s ∈ R
2. Zjistěte, zda vektor w je lineární kombinací vektorů u a v . Ověřte determinantem. a) w = (− 2; 4; − 6) , u = (1; 3; − 2) , v = (2; 1; 1) ,
b) w = (1; 1; 2) , u = (− 1; 0; 1) , v = (2; 2; 3) .
3. Vypočítejte vektorový součin vektorů u = (2; 1; 3) , v = (− 1; 4; 2) 4. Vypočítejte obsah trojúhelníku zadaného body A, B, C užitím vektorového součinu. A[5; 1; 4] , B[− 1; − 2; 6] , C [2; 3; − 2] . 5. Body A[3; 1] , B[− 1; 1] , C [1; 6] tvoří vrcholy trojúhelníku. Spočítejte jeho obsah a) užitím trigonometrických znalosti (v E2), b) užitím vektorového součinu (v E3). 6. Vypočítejte obsah rovnoběžníku KLMN, jestliže znáte souřadnice K [2; 0; 1], L[1; − 1; 3], M [4; 2; 1] . Vypočítejte také souřadnice bodu N. 7. Na ose y určete bod Y tak, aby obsah trojúhelníku XYZ byl 10. Souřadnice bodu X, Z jsou X [2; 1; 0] a Z [2; 2; 3] . 8. V rovnoběžnostěnu ABCDA1 B1C1 D1 známe souřadnice vrcholů A[1; 0; 2] , B[3; 4; 3] , D[− 1; 4; 6] , A1 [2; 1; − 5] . a) vypočítejte souřadnice vrcholů C , B1 , C1 , D1 . b) vypočítejte objem rovnoběžnostěnu ABCDA1 B1C1 D1 . 9. Jsou dány body K [2; 3; − 1] , L[8; 4; − 2], M [0; 6; 0] , O[2; 1; 4] . a) vypočítejte objem rovnoběžnostěnu KLMNOPQR , b) vypočítejte objem rovnoběžnostěnu KLNMOPQR c) Porovnejte výsledky úloh a), b) a zdůvodněte. 10. Vypočítejte objem čtyřbokého jehlanu ABCDV , znáte – li souřadnice bodu A[2; 3; 4], B[− 1; 4; − 2] , D[0; 2; − 5] , V [3; 2; 1] . 11. Na ose z určete bod Z tak, aby objem čtyřstěnu ABCZ , kde A[2; − 3; 1] , B[1; 0; 3] , C [3; 1; − 1] , byl 14.
29/29
