´ LINEARIS EGYENLETRENDSZEREK 2004. okt´ ober 12.
Irodalom A fogalmakat, defin´ıci´ okat illet˝ oen k´et forr´ asra t´ amaszkodhatnak: ezek egyr´eszt elhangzanak az el˝ oad´ ason, m´ asr´eszt megtal´ alj´ ak a jegyzetben: Szab´ o L´ aszl´ o: Bevezet´es a line´ aris algebr´ aba, Polygon Kiad´ o, Szeged, 2003, 5. fejezet (Line´ aris egyenletrendszerek); tov´ abbi aj´ anlott irodalom: Hajnal Imre – dr. Nemetz Tibor – dr. Pint´er Lajos: Matematika III. (fakultat´ıv B v´ altozat), (gimn´ aziumi tank¨ onyv); VIII. fejezet (366. oldalt´ ol - 377. oldalig, feladatok is!) D. K. Fagyejev–I. Sz. Szominszkij: Fels˝ ofok´ u algebrai feladatok , M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 1973, illetve Typotex Kiad´ o, 2000; 3. fejezet, 1. szakasz (A Cramer-szab´ aly): 335. - 354. feladat 3. fejezet, 4. szakasz (Line´ aris egyenletrendszerek): 398. - 420. feladat K¨ ul¨ on¨ osen aj´ anlott feladatok: 335., 342., 346., 353., 398., 400.-401., 403.-404., 406.-407., 411., 416. Scharnitzky Viktor: M´ atrixsz´ am´ıt´ as (p´eldat´ ar, Bolyai-k¨ onyvek sorozat), M˝ uszaki K¨ onyvkiad´ o, Budapest, 2000; A Line´ aris egyenletrendszerek vizsg´ alata c. fejezetben (a 212. oldalt´ ol): 1. - 3., 7. - 8. A M´ atrixok c. fejezetben a N´egyzetes m´ atrix adjung´ altja ´es inverze c. szakaszban (a 167. oldalt´ ol, feladatok a 178. oldalt´ ol): 17. - 20. feladat ´k P´ elda 1. P´ elda. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszereket: (a) x1 + 2x2 + 5x3 = −9 x1 − x2 + 3x3 = 2 3x1 − 6x2 − x3 = 25 (b) 4x1 + 4x2 + 5x3 = 6 x1 + x2 + 2x3 = 3 7x1 + 7x2 + 8x3 = 10 Typeset by AMS-TEX
(c) x1 − x2 − 2x3 + 4x4 − x5 = 2 −3x1 + 5x2 + 4x3 − 10x4 + 3x5 = −8 2x1 − x2 − 5x3 + 9x4 − 2x5 = 3 −x1 + 3x3 − 5x4 + x5 = −1 Megold´ as: ´Irjuk fel az egyenletrendszer b˝ ov´ıtett m´ atrix´ at, majd a jegyzetben (ill. az el˝ oad´ ason) ismertetett m´ o dszer* seg´ıts´eg´evel alak´ıtsuk l´epcs˝ os alak´ ura. A l´epcs˝ os alakr´ ol a megoldhat´ os´ ag ´es, amennyiben az egyenletrendszer megoldhat´ o, a megold´ asok leolvashat´ ok. (a) Els˝ o megold´ as: Az egyenletrendszer b˝ ov´ıtett m´ atrixa: 1 2 5 −9 1 −1 3 2 3 −6 −1 25 Adjuk hozz´ a az els˝ o sor (−1)-szeres´et a m´ asodik sorhoz, majd az els˝ o sor (−3)-szoros´ at a harmadik sorhoz: 1 2 5 −9 0 −3 −2 11 0 −12 −16 52 at Adjuk hozz´ a a m´ asodik sor (−4)-szeres´et a harmadikhoz, valamint a m´ asodik sor 32 -szoros´ az els˝ o sorhoz: 1 0 11 − 53 3 0 −3 −2 11 0 0 −8 8 Szorozzuk meg a m´ asodik sort − 13 -dal, a harmadikat pedig − 18 -dal: 5 1 0 11 − 3 3 2 11 − 0 1 3 3 0 0 1 −1 V´eg¨ ul adjuk hozz´ a a harmadik sor − 23 -szoros´ at a m´ asodik sorhoz, illetve − 11 at 3 -szoros´ az els˝ o sorhoz: 1 0 0 2 0 1 0 −3 0 0 1 −1 A m´ atrixnak megfelel˝ o egyenletrendszer ´es egyben a megold´ as: x1 = 2,
x2 = −3
x3 = −1 .
M´ asik megold´ as:** Kevesebbet kell a m´ atrixszal sz´ amolni (viszont a v´eg´en nem ad´ odnak k¨ ozvetlen¨ ul a megold´ asok), ha az al´ abbi m´ odszert k¨ ovetj¨ uk: adjuk hozz´ a az els˝ o sor (−1)szeres´et a m´ asodik sorhoz, majd az els˝ o sor (−3)-szoros´ at a harmadik sorhoz: 1 2 5 −9 0 −3 −2 11 0 −12 −16 52 *Gauss-elimin´ aci´ onak, vagy gyakran Gauss-Jordan-elimin´ aci´ onak is nevezik. **A jegyzettel ellent´ etben a matematikai irodalomban ezt szok´ as Gauss-elimin´ aci´ onak nevezni.
Adjuk hozz´ a a m´ asodik sor (−4)-szeres´et a harmadikhoz:
1 0 0
2 −3 0
5 −2 −8
−9 11 8
A kapott m´ atrixnak megfelel˝ o egyenletrendszer: x1 + 2x2 + 5x3 = −9 −3x2 − 2x3 = 11 −8x3 = 8 Az utols´ o egyenletb˝ ol x3 = −1 ad´ o dik. A m´ asodik egyenletb˝ ol kifejezhet˝ o x2 az x3 seg´ıts´eg´evel: 11 + 2x3 x2 = −3 Ebbe behelyettes´ıtve x3 im´ent kapott ´ert´ek´et: x2 = −3. Az els˝ o egyenletb˝ ol pedig x1 fejezhet˝ o ki x2 -vel ´es x3 -mal: x1 = −9 − 2x2 − 5x3 Kapjuk, hogy x1 = 2. (b) Az egyenletrendszer b˝ ov´ıtett m´ atrixa:
4 4 1 1 7 7
5 6 2 3 8 10
A Gauss-elimin´ aci´ o l´ep´esei:
1 1 4 4 7 7
2 3 1 1 5 6 −→ 0 0 8 10 0 0
2 −3 −6
3 1 −6 −→ 0 −11 0
1 2 3 0 −3 −6 0 0 1
A kapott m´ atrixhoz tartoz´ o egyenletrendszer utols´ o egyenlete 0 = 1, ´ıgy az egyenletrendszer ellentmond´ o (nincs megold´ asa). (c) Hajtsunk v´egre egy Gauss-Jordan-elimin´ aci´ ot a rendszer m´ atrix´ an: 1 −3 2 −1
−→ −→
1 0 0 0
−1 −2 4 −1 2 5 4 −10 3 −8 −→ −1 −5 9 −2 3 0 3 −5 1 −1 −1 −2 4 −1 2 1 −1 1 0 −1 −→ 1 −1 1 0 −1 −1 1 −1 0 1 1 −1 −2 4 −1 2 −→ 0 1 −1 1 0 −1
1 0 0 0 1 0 0 0 1 0
2 −2 −→ −1 1 −1 −2 4 −1 2 1 −1 1 0 −1 −→ 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 −3 5 −1 1 1 −1 1 0 −1 −1 2 1 −1
−2 −2 −1 1
4 2 1 −1
−1 0 0 0
A kapott m´ atrix l´epcs˝ os alak´ u ´es leolvashat´ o r´ ola, hogy az egyenletrendszer megoldhat´ o. Az ismeretlenek k¨ oz¨ ul x1 ´es x2 k¨ ot¨ ott, m´ıg a m´ asik h´ arom szabad; mivel van szabad ismeretlen, a megold´ asok sz´ ama v´egtelen. Ilyen esetben a megold´ asok megad´ asa nem m´ as, mint a k¨ ot¨ ott ismeretlenek kifejez´ese a szabadokkal: x1 = 1 + 3x3 − 5x4 + x5 x2 = −1 + x3 − x4 ahol x3 , x4 , x5 tetsz˝ oleges val´ os sz´ amok. Alkalmaz´ as. Valamely A m´ atrix inverz´enek megkeres´ese az AX = E m´ atrixegyenlet megold´ as´ at jelenti, ahol E az A-val azonos t´ıpus´ u egys´egm´ atrix. Egyszer˝ uen bel´ athat´ o, hogy ez ekvivalens az al´ abbi egyenletrendszerekkel: Axi = ei ,
(i = 1, 2, . . . , n)
ahol xi a keresett X m´ atrix i-edik oszlopvektora, ei pedig az E m´ atrix i-edik oszlopvektora. Az A-nak pontosan akkor van inverze, ha determin´ ansa nem nulla, ebben az esetben viszont a Cramer-szab´ aly alapj´ an a f¨ onti egyenletrendszerek mindegyike megoldhat´ o. A megold´ ashoz azonban nem ´erdemes a Cramer-szab´ alyt alkalmazni. Mivel ezen egyenletrendszerek egy¨ utthat´ om´ atrixa azonos (ti. A), ez´ert ezeket egyszerre is megoldhatjuk. C´elszer˝ u Gauss-Jordan elimin´ aci´ oval dolgozni, akkor ugyanis — amennyiben van megold´ as — a jobboldali konstans-oszlopok hely´en kirajzol´ odik” az A m´ atrix inverze. ” A m´ odszert egy p´eld´ an mutatjuk be: 2. P´ elda. Gauss-Jordan elimin´ aci´ o seg´ıts´eg´evel 1 2 1 2 2 4 3 0 10 4 2 11
sz´ am´ıtsa ki a k¨ ovetkez˝ o m´ atrix inverz´et: 1 0 0 3
Megold´ as ´Irjuk fel a m´ atrixot ´es a vele azonos t´ıpus´ u egys´egm´ atrixot egym´ as mell´e (a jobb a ´ttekinthet˝ os´eg ´erdek´eben f¨ ugg˝ oleges vonallal elv´ alasztva). Gauss-Jordan elimin´ aci´ oval alak´ıtsuk ki a bal oldalon (a m´ atrixunk hely´en) az egys´egm´ atrixot (term´eszetesen minden elemi a ´talak´ıt´ ast a vonalt´ ol jobbra is elv´egz¨ unk). Amennyiben ez siker¨ ul, akkor a m´ atrixnak van inverze ´es a jobb oldalon megjelenik a m´ atrix inverze. 1 2 3 4 1 0 0 0 1 0 0 0
2 2 0 2 0 −2 0 0 0 1 0 0
1 4 10 11
1 0 0 3
3 −1 2 −2 1 3 1 5 0 −10 0 4 1 3 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 1 2 1 0 0 −2 2 −→ 0 0 −6 7 1 0 −6 7 1 0 −1 1 0 0 0 −2 −2 1 0 0 → 0 0 3 −3 1 0 0 0 2 −3 0 1 −10 10 −3 0 1 7 1 0 4 −2 0 −→ 0 3 −3 1 0 1 1 1 −2 0 −2 2 0
1 −2 −3 −4
1 −2 −3 −1
0 −10 0 −8 1 3 0 2 0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 −→ 0 1
−10 10 −3 −8 7 −2 3 −3 1 −1 0 −1
0 0 → 0 1 −15 10 −8 5 3 −2 6 − 72 9 5 3 −3 −2 2 2 1 1 1 −2 0 −2 2
A baloldalon E4 a ´ll, a m´ atrixnak teh´ at van inverze, m´egpedig:
−15
10
−8
6
− 27
3
9 2 1 −2
−3 0
5 2 1 −2
5
−2 3 −2 1 2
´bbi aja ´nlott feladatok Tova 1. Feladat. Oldja meg a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszereket:
(a)
2 3 5 1 + + = x y z 12 1 4 5 2 − − =− x y z 3 5 2 9 3 + − =− x y z 4
x y z + + = 36, 5 2 3 4 x y z + + = 27 3 4 5 x y z + + = 18 5 6 7
(b)
x − 2y + 3z − u = 5 (c)
x2 + x 3 + x 4 = 1
y − 2z + 3u − x = 0 z − 2u + 3x − y = 0 u − 2x + 3y − z = 5
x1 + x 3 + x 4 = 3 x1 + x 2 + x 4 = 5 x1 + x 2 + x 3 = 7
(d)
2. Feladat. Mutassa meg, hogy az 1 1 x2 + 2 x 3 − x4 3 2 5 x1 − x2 + 9 x 3 − 4 x 4 3 x1 + 2 x 2 + 6 x 3 − 7 x 4 3 3 x 1 − x 2 + 6 x 3 − x4 2 x1 −
=1 =1 = 11 =2
egyenletrendszernek nincs megold´ asa. M´ odos´ıtsuk a negyedik egyenlet jobboldal´ at olyk´eppen, hogy az egyenletrendszernek v´egtelen sok megold´ asa legyen. 3. Feladat. Hat´ arozza meg az a ´ert´ek´et u ´gy, hogy a k¨ ovetkez˝ o egyenletrendszereknek egyetlen megold´ asa legyen: x + 2y = 8
2x − y = 5 (a)
x + 3y = 4 x+y = a
(b)
(a + 1)x + y = 2 2x + 3y = 10
4. Feladat. Oldja meg az al´ abbi egyenletrendszert, ha a val´ os param´eter: x+y−z =1 2x + 3y + az = 3 x + ay + 3z = 2
5. Feladat. Az a, b val´ os param´eter mely ´ert´ekeire szab´ alyos az al´ abbi egyenletrendszer? Ezen ´ert´ekekre oldja meg a rendszert a Cramer-szab´ aly seg´ıts´eg´evel. A t¨ obbi esetben pedig Gauss-elimin´ aci´ oval hat´ arozza meg a megold´ ast. ax + y + z = 4 x + by + z = 3 x + 2by + z = 4 6. Feladat. Oldjuk meg az al´ abbi egyenletrendszert, ha d val´ os param´eter: dx + (2d − 1)y + (d + 2)z = 1 (d − 1)y + (d − 3)z = 1 + d dx + (3d − 2)y + (3d + 1)z = 2 − d 7. Feladat. A 2. P´eld´ aban bemutatott m´ odszer seg´ıts´eg´evel (is) sz´ am´ıtsa ki az Inverz m´ atrix c. feladatsor 1. feladat´ aban szerepl˝ o m´ atrixok inverzeit.
