LEIDSE MOLENS. Fotoreportage. Mechanische metamaterialen. Graveringen van Homo erectus. Majority judgment: a better way to vote

Fotoreportage

LEIDSE MOLENS

Jaargang 12 –juni 2015

Nummer 49

Eureka! is een uitgave van de studievereniging De Leidsche Flesch in samenwerking met de Faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen van de Universiteit Leiden. De Leidsche Flesch is de studievereniging van de opleidingen Natuurkunde, Sterrenkunde, Wiskunde, Informatica en Informatica & Economie.

Mechanische metamaterialen

Graveringen van Homo erectus

Majority judgment: a better way to vote

Redactioneel

Lieve lezer, Op het moment dat ik dit schrijf ligt een aanzienlijk deel van de leden van De Leidsche Flesch te slapen. Niet omdat ik dit midden in de nacht schrijf, maar omdat ze op studiereis zijn naar Boston en New York, waar ik stiekem (of misschien toch niet zo heel stiekem) ontzettend jaloers op ben. De andere achterblijvers roepen dan wel dat ze blij zijn dat ze niet mee zijn gegaan, want ze hebben nog veel te veel te doen aan huiswerk en commissiewerk, maar ik geloof niet dat zij niet een beetje spijt hebben als ze horen over de lezingen bij Harvard en MIT. Gelukkig valt er ook in Nederland genoeg te doen en leren, zoals bijvoorbeeld bij het lezen van deze Eureka!. In deze editie heb je de mogelijkheid om iets te leren over de wiskunde achter stemsystemen (is onze democratie eigenlijk wel de eerlijkste?), over de connectie tussen de landing op de maan en Duitsland in de Tweede Wereldoorlog, over de rek- en buigeigenschappen van metamaterialen, over een bijzondere schelp die in Naturalis ligt en nog veel meer. Ik denk dat deze editie weer een mooi voorbeeld is van hoe de Eureka!, met de vier studies die het blad representeert, ontzettend veelzijdig is, met artikelen die een groot scala aan onderwerpen bestrijken. De fotoreportage beslaat vaak weer een totaal ander onderwerp dan de andere, wetenschappelijke, artikelen, en ook deze keer hebben we een leuk onderwerp gevonden. Ik fiets zelf regelmatig langs verschillende molens en neem me elke keer voor om eens af te stappen en de molens beter te bekijken en het bordje, dat er vaak bijstaat, te lezen. Tot nu toe is dat er nooit van gekomen, maar door de fotoreportage over Leidse molens in deze Eureka! heb ik een hoop bijgeleerd. Iedereen die regelmatig in Leiden en omgeving komt, zal wel een aantal molens herkennen. Ik kijk al uit naar mijn fietstocht naar huis, waarbij ik langs maar liefst drie molens uit de fotoreportage (de Kikkermolen, de Maredijkmolen en de Herder) kom.

Inhoud

5 Mechanische metamaterialen Mechanische metamaterialen zijn kunstmatig ontworpen materialen die mechanisch gedrag kunnen vertonen dat niet of nauwelijks met natuurlijke materialen kan worden gerealiseerd. De laatste jaren zien we een explosie van werk aan akoestische, thermische en ook mechanische metamaterialen.

Lees verder op pagina 5



8

Veel leesplezier!


Ellen

Ellen Schlebusch

Hoofdredacteur Eureka! Masterstudent wiskunde

De meeste mensen kennen Naturalis van de loopbrug en de Camarasaurus, maar achter de publieke zalen van het museum doemt de Toren van Naturalis Biodiversity Centre op. Daar ligt ook de Dubois-collectie, waar nog altijd interessante ontdekkingen in worden gedaan, bijvoorbeeld aan de Trinil-schelp. Lees verder op pagina 8



✉ 2

[email protected]

Eureka! nummer 49 – juni 2015

Nieuws

4

Mechanische metamaterialen

5

12


8


Fotoreportage Leidse Molens 16


Van wapenrace tot ruimterace –

From electing national leaders and parliaments to selecting a group leader of a collaboration project, we use voting as a solution to many problems. But how do we decide on the result, and what voting system do we use to select a winner? Different competitions require different ways of voting, but are all possible ways equally good? Lees verder op pagina 12



16 Fotoreportage – Leidse Molens De windmolen is onlosmakelijk verbonden met Nederland. Iedere tweede zaterdag van mei wordt daarom de Nationale Molendag gevierd. Deze fotoreportage neemt voor de gelegenheid een kijkje in Leiden en omstreken. Lees verder op pagina 16



12

de ontwikkeling van de V2-raket

18

Tegeltjeswijsheden

20

Interview

24

De Leidsche Flesch

27

Puzzel

31

Oproep oude nummers De Gorlaeus-bibliotheek is op zoek naar de nummers 2, 8 en 10 van Eureka! om haar collectie compleet te maken. Deze nummers zijn in de loop der jaren helaas uit de bibliotheek verdwenen, waardoor we de jaargangen niet kunnen inbinden. Heb jij een of meerdere van deze edities en wil je deze doneren? Neem dan contact op met vakreferent Rutger de Jong ([email protected]) of kom langs bij de vestiging in het Gorlaeus-gebouw. Met jouw hulp kunnen we ervoor zorgen dat Eureka! als gedrukte uitgave ook in de toekomst beschikbaar blijft voor studenten en medewerkers.

Eureka! is een uitgave van de studievereniging De Leidsche Flesch in samenwerking met de Faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen van de Universiteit Leiden. De Leidsche Flesch is de studievereniging van de opleidingen Natuurkunde, Sterrenkunde, Wiskunde, Informatica en Informatica & Economie.


3

nieuws

Studenten vereniging Lugus voor ondernemers Leiden heeft er sinds kort een studentenvereniging bij. Lugus wil ondernemende studenten van HBO en Universiteit helpen bij het opstarten van hun bedrijf, door werkplekken te bieden, workshops te geven en nog veel meer. De vereniging komt voort uit de ‘Vrijplaats’, en heeft nu een eigen pand: het oude kantoor van de Kamer van Koophandel aan de Stationsweg. Op het moment van schrijven waren er 41 deelnemende bedrijven, misschien zijn het er inmiddels meer. Meer informatie is te vinden op lugus.nu.

Faculty of Science neemt voortouw in het delen van onderzoeksapparatuur Universiteit Leiden maakt haar publiek gefinancierde onderzoeksapparatuur toegankelijk voor andere universiteiten en bedrijven middels het ‘Open Access Research Infrastructure’ (OARI) portaal, opgezet door de Faculty of Science. Dit stimuleert het gebruik, verhoogt de bezettingsgraad en voorkomt dat apparaten onnodig worden aangekocht. De site is gelanceerd op 29 april en te vinden op oari.science.leidenuniv.nl.

Betere, snellere en eerdere diagnose met de nieuwe Metabolomics Faciliteit Op vrijdag 17 april opende de burgemeester van Leiden, de heer Lenferink, de Metabolomics Faciliteit van de Universiteit Leiden. Metabolomics-onderzoek maakt veranderingen in de stofwisseling zichtbaar waardoor in de toekomst een diagnose beter,

Actieplan Diversiteit en Inclusiviteit gelanceerd tijdens symposium Op 14 april vond het symposium Diversiteit en Inclusiviteit plaats op de faculteit der Wiskunde en Natuurwetenschappen. Tijdens het symposium lanceerde de decaan van de faculteit, Prof. Dr. Geert de Snoo, het actieplan 'Diversiteit en Inclusiviteit'. In het actieplan zijn de stappen beschreven die de faculteit tot 2016 zet om de diversiteit en inclusiviteit van de faculteit te versterken en bijvoorbeeld het aantal vrouwen in topposities te vergroten. Afbeelding: symposium diversiteit

4


sneller en eerder kan worden gesteld en het effect van behandelingswijzen kan worden voorspeld. Het ultieme doel is om ziektes te voorkomen en de gezondheid van de mens te verbeteren, ook tijdens het verouderingsproces.

Studenten ontmoeten bedrijfsleven: Bètabanenmarkt 2015 Zo’n 650 bèta-studenten van de Universiteit Leiden en de Hogeschool Leiden ontmoetten hun potentiële werkgevers tijdens de 31e editie van de Bètabanenmarkt. De bezoekers konden zich inschrijven voor verschillende workshops waaronder een workshop entrepreneurship en een workshop over een goed CV. Meer dan 30 bedrijven hadden hun stand opgezet op de bedrijvenmarkt in de Gorlaeus Laboratoria. Later op de dag waren er ook speeddate-sessies en er werd afgesloten met een netwerkborrel.

WETENSCHAP

Programmeerbare Mechanische Metamaterialen.

Door Martin van Hecke en Bastiaan Florijn

Mechanische metamaterialen zijn kunstmatig ontworpen materialen die mechanisch gedrag kunnen vertonen dat niet of nauwelijks met natuurlijke materialen kan worden gerealiseerd. De term ‘metamateriaal’ is in eerste instantie populair geworden in de optica. Optische metamaterialen bestaan uit vele resonatoren, kleiner dan de golflengte van licht, die zich in de buurt van hun resonantie collectief gedragen als een effectief materiaal met bijzondere eigenschappen zoals een negatieve brekingsindex. Dit leidt tot allerlei fantastische mogelijkheden, zoals perfecte lenzen en onzichtbaarheidsmantels. Het idee om de microstructuur van een systeem te gebruiken om bijzondere macroscopische eigenschappen te creëren is natuurlijk breder dan alleen in de optica; de laatste jaren zien we een explosie van werk aan akoestische, thermische en ook mechanische metamaterialen [1]. Voor de meeste materialen is hun compositie doorslaggevend - staal is bijvoorbeeld sterker dan ijzer door het toevoegen van een beetje koolstof. Metamaterialen danken hun eigenschappen voornamelijk aan hun structuur op een mesoschaal. Ze bevinden zich ergens in het spectrum tussen homogene materialen (bijv. een blok metaal) en structuren (zoals de Eiffeltoren); de kunst is nieuwe vormen van materie te maken door op zoek te gaan naar precies die structuren die tot bijzonder collectief gedrag leiden. De mechanische metamaterialen waar we hier op zullen focussen zijn gemaakt van zachte siliconen rubbers, een materiaal dat ook bij grote vervormingen elastisch blijft. We bouwen metamaterialen van deze rubbers door ze een soort gatenkaasstructuur te geven. De keuze van de vorm en grootte van deze gaten en hun ordening in het materiaal, bepaalt nu het gedrag van het aldus ontstane metamateriaal. Hoe kan structuur voor nieuw gedrag zorgen? Als het metamateriaal Figuur 1 (a-b) Een voorbeeld van een structuur met een negatieve Poissonratio. Wanneer je dit materiaal in de horizontale richting uitrekt zie je dat het materiaal ook in de verticale richting uitzet. Materialen die zich op deze manier gedragen noemen we ‘auxetic’. (c) Door de bijzondere buig eigenschappen van auxetic materialen kun je deze makkelijk om bolvormige objecten vouwen zonder dat er kreukels ontstaan.

wordt ingeduwd, zorgt de gatenstructuur ervoor dat lokaal het rubber op sommige plaatsten wordt ingeduwd, op andere plaatsen wordt gebogen, en misschien weer ergens anders wordt uitgerekt. Collectief is de response van het metamateriaal op induwen dus mogelijk heel anders dan als er geen gaten waren geweest. Auxetics zijn al wat langer bekende voorbeelden van mechanische metamaterialen. Een voorbeeld is een postelastiek dat wordt uitgerekt - in de dwarsrichting zal het materiaal krimpen. De verhouding tussen rek en dwarskrimp wordt de Poissonratio genoemd. Voor bijna alle natuurlijke materialen is deze positief. Dit is eenvoudig te begrijpen uit de observatie dat op het microniveau de rek veel meer energie kost dan de buiging. Een uitzondering is kurk, wat bij induwen of uitrekken bijna geen verandering in de dwarsrichting laat zien (Poissonratio nul); daarom is kurk beter geschikt dan rubber als flessenstop. Net als onze metamaterialen is kurk niet homogeen en kan dan ook worden gezien als een natuurlijk voorkomend metamateriaal! Metamaterialen die een negatieve Poissonratio hebben, zijn pas eind jaren '80 geconstrueerd [2]. In Figuur 1a is een voorbeeld van zo’n auxetic materiaal afgebeeld. Dit materiaal zet juist uit in de dwarsrichting als er aan getrokken wordt en trekt samen in de dwarsrichting als er op geduwd wordt (Figuur 1b). Dit soort materialen zijn goed bestand tegen impact (als je er in prikt, wordt het materiaal lokaal snel stijver) en hebben wonderlijke buigeigenschappen: terwijl een gewoon blaadje papier wel om een cilinder maar niet om een bolvormige object kan worden gebogen, vormen auxetics zich uitstekend rond bolvormige opperEureka! nummer 49 – juni 2015

5

wetenschap

vlakken (Figuur 1c), wat ze nuttig maakt in bijvoorbeeld kleding en schoeisel. Programmeerbare metamaterialen

Er zijn talloze verschillende metastructuren mogelijk. Het goede nieuws hierbij is dat ze allemaal een verschillende mechanica hebben - het slechte nieuws is dat elke nieuwe eigenschap weer een nieuw patroon behoeft [3]! Daarom hebben wij een metamateriaal gemaakt waarvan je de mechanica eenvoudig kan veranderen en programmeren [4]. Een zwak gebroken symmetrie speelt hier de sleutelrol. Beschouw het ‘biholair’ metamateriaal dat ontstaat door gaten van twee verschillende diameters in een dikke laag rubber te maken, waarbij de grote en kleine gaten elkaar afwisselen zoals op een schaakbord (Figuur 2a). Bij indrukking vervormen de gaten in ellipsen. Voor een vergelijkbaar patroon waarbij alle gaten even groot zijn [3] is het onmogelijk te voorspellen of na indrukking een bepaald gat een verticale of horizontale ellips wordt - het enige wat we weten is dat buren precies tegengesteld zullen zijn. De keuze tussen de twee mogelijke patronen is een voorbeeld van spontane symmetriebreking waarbij je niet kan controleren welk van de twee patronen het materiaal kiest. Maar voor een patroon met twee verschillende gaten is de rotatiesymmetrie (onder een hoek van 90 graden) al gebroken. Als gevolg hiervan is de oriëntatie van de gaten niet spontaan, maar hangt af van de duwrichting. Horizontale (X) of verticale (Y) indrukking geeft systematisch een X- of Y-patroon (Figuur 2bc). Als je van allebei de kanten tegelijk duwt, ontstaat er een soort competitie tussen patronen X en Y en deze leidt tot complex gedrag - het is bijvoorbeeld niet altijd zo dat patroon X ontstaat als de kracht in de X-richting groter is! Programmeerbaar metamateriaal

We hebben de competitie tussen de twee patronen gebruikt om een programmeerbaar metamateriaal te maken. We klemmen eerst een 'biholair' metamateriaal over een afstand ux in de x-richting in - dit is

Figuur 3 De witte klemmetjes geven het metamateriaal een vaste samendrukking in de x-richting. Vervolgens meten wij de kracht die nodig is om het materiaal in de y-richting in te drukken. (a) Wanneer de klemmetjes het materiaal amper indrukken zien we een gewone monotone krachten curve. (b) Wanneer we meer klemmen zien we een regime van negatieve stijfheid! De piek valt samen met het moment waar het patroon schakelt van X naar Y. (c) Nog meer klemmen levert een krachtcurve met hysterese op. Na het doorlopen van de hysterese lus is de hoeveelheid gedissipeerde energie evenredig met de oppervlakte onder de curve.

het ‘programmeren’. We meten dan de relatie tussen de indrukking uy en de kracht F in de y-richting. De relatie F(uy) is de eigenschap van het materiaal die we dan kunnen programmeren. Zoals in Figuur 3 te zien is, verandert deze relatie, en daarmee het gedrag van het metamateriaal, kwalitatief als functie van ux. Bij kleine ux blijft de relatie tussen F en uy monotoon (Figuur 3a). Het metamateriaal blijft elastisch en wordt alleen minder stijf na omklapping van het patroon. Vergroten we ux en herhalen we dit experiment, dan gebeurt er iets verrassends: de relatie tussen F en uy vertoont een gebiedje met negatieve helling (Figuur 3b). Hier neemt de kracht dus af terwijl het materiaal verder wordt ingeduwd. Dit soort negatieve stijfheid is een wonderlijke mechanische eigenschap! Bij een nóg iets grotere ux treedt er een derde soort gedrag op (Figuur 3c): nu vertoont de krachtcurve een abrupte overgang wanneer het materiaal omklapt van patroon X naar Y. Het materiaal is nu een mechanische schakelaar! In dit geval is er ook hysterese: afhankelijk van het pad dat je gevolgd hebt is het materiaal in patroon X of Y, en als we deze hystereselus doorlopen, dissipeert het materiaal energie. Dit behoeft enige uitleg: als het rubber perfect elastisch zou zijn, is dissipatie onmogelijk, maar het is zwak visco-elastisch, zodat snelle bewegingen gedempt worden. Het metamateriaal zet trage externe deformaties om in een hele snelle omklapping van patroon, wat op zijn beurt tot dissipatie leidt. De details van de dissipatie maken niet uit voor de hystereselus! In veel praktische toepassingen is het dempen van lage frequenties lastig, maar hier kan dat eenvoudig. Omdat het materiaal elastisch is, Figuur 2 (a) Voorbeeld van een biholair metamateriaal, een stuk rubber met twee verschillende gaten. (b) Wanneer we dit materiaal in de x-richting samendrukken ontstaat er een patroon van ellipsen waarbij de langste as van grootste ellips in de y-richting wijst . (c) Drukken we in de y-richting dan staat de langste as van de grootste ellips in de x-richting. Wat zou er gebeuren als we in beide richtingen tegelijkertijd drukken?

6


Figuur 4 (a) Een metakubus. (b) Wanneer we dit materiaal van boven indrukken zien we dat de zijkanten ook naar binnen bewegen – dit 3D materiaal heeft een negatieve Poissonratio!

kan het materiaal bovendien weer in zijn oorspronkelijke vorm worden teruggebracht nadat de energie gedissipeerd is - iets wat bij een autobumper heel wat lastiger is! 3D

Kunnen we zulk soort materialen ook in drie dimensies bouwen? Dit is minder eenvoudig dan het lijkt een metamateriaal met daarin bolvormige holtes op een kubusvormig rooster vertoont bijvoorbeeld geen collectieve patroontransformatie. Dit heeft te maken met het verschillende karakter van rotaties in twee en drie dimensies. De patroonformatie die we in Figuur 1 zagen heeft te maken met het draaien van de rubbereilandjes tussen de gaten, waarbij buureilandjes precies tegen elkaar indraaien. In drie dimensies is het veel lastiger om draaiingen in alle drie richtingen aan elkaar te verknopen. Het zal niet verbazen dat er tot nu toe veel minder mechanische metamaterialen in 3D dan in 2D bekend zijn. Figuur 4 laat een metakubus zien waar alle eenheidscellen parallel liggen. Onder compressie wordt een patroon van ellipsvormige gaten gevormd. De crux is de eenheidscel: als je op de bovenkant van deze eenheidscel drukt, zetten de zijkanten allemaal uit, en vice-versa. Behalve de simpele metakubus uit Figuur 4 zijn er ook allerlei aperiodieke stapelingen waarbij de eenheidscellen niet parallel liggen, maar waarbij er toch een precies passend patroon ontstaat. De regel dat alle ‘in’- en ‘uit’-richtingen precies op elkaar aansluiten, kan vertaald worden naar een zogenaamd spinijsprobleem op een kubisch rooster. Voor een metamateriaal bestaande uit 7x7x7 kubusjes, zijn er precies 17.234.732.991.509.112.246 mogelijkheden waar alles precies past - en nog veel meer mogelijkheden waar het systeem gefrustreerd is. Met een enkele eenheidscel kan je nu een ongelimiteerd aantal verschillende soorten materialen maken.

maken, waarbij de grenzen tussen materiaal, structuur en machine vervagen. Als dat als sciencefiction klinkt, bedenk dan dat levende materie laat zien dat dit wel degelijk mogelijk is. De huidige explosie in de mogelijkheden om materie op alle schalen te controleren, van supramoleculaire chemie tot zelfassemblage en 3D-printing, gekoppeld aan ons steeds grotere begrip van complexe systemen zal leiden tot designer matter met nu nog totaal onvoorstelbare functionaliteiten. Wilde ideeën zijn welkom! ! Referenties [1] M. Kadic, T. Bückmann, R. Schittny, and M. Wegener. Metamaterials beyond electromagnetism. Rep. Prog. Phys, 76, 126501 (2013). [2] R. Lakes. “Foam structures with a negative poisson’s ratio”, Science 235, 1038 (1987) [3] T. Mullin, S. Dechanel, K. Bertoldi, and M.C. Boyce. “Pattern transformation triggered by deformation”, Physical Review Letters 99, 084301 (2007) [4] B.Florijn, C. Coulais and M. van Hecke.“Programmable mechanical metamaterials”, Physical Review Letters 113, 175503 (2014)

Over de auteurs Bastiaan Florijn haalde zijn vwodiploma op de Vrije School in Zutphen en zijn Masterdiploma Natuurkunde cum laude aan de Universiteit Leiden. Hij deed een studieproject aan MIT in de Verenigde Staten en begon in 2012 met het onderzoek naar mechanische metamaterialen. Buiten het onderzoek om mag hij graag windsurfen, hardlopen en lezen. Zijn muzieksmaak, 100%NL, is onderwerp van veel discussie op het lab.

✉

[email protected]

Designer Matter

Mechanische metamaterialen zijn hybride objecten die zich ergens in het spectrum tussen structuren en materialen begeven. Er zijn zeer veel open vragen: bijvoorbeeld, hoe kies je een gatenpatroon als je een bepaalde krachtrespons wil hebben (het inverse probleem)? Wat is het gedrag van aperiodieke en gefrustreerde metamaterialen? Kun je metamaterialen ontwerpen die zichzelf herprogrammeren en zich aanpassen aan hun omgeving? We hebben het hier over simpele passieve materialen gehad, maar je kunt je voorstellen dat je metamaterialen ook actief kunt

Martin van Hecke haalde zijn PhD in Leiden in 1996 en kwam na postdocs in Kopenhagen en Dresden terug naar Leiden om aan wanordelijke zachte materie te werken. Sinds een paar jaar werkt hij voornamelijk aan mechanische metamaterialen en sinds eind 2014 is hij in deeltijd verbonden aan AMOLF, als onderdeel van de nieuwe onderzoeksrichting ‘Designer Matter’.

✉

[email protected] Eureka! nummer 49 – juni 2015

7

CULTUREEL

Graveringen van Homo erectus Door Lotte Konings

De meeste mensen kennen Naturalis van de loopbrug en de Camarasaurus, maar achter de publieke zalen van het museum doemt de Toren van Naturalis Biodiversity Centre op, met daarin ruim 15 miljoen dode organismen en honderdduizenden gesteenten, mineralen en fossielen. Tussen al deze opgezette dieren en lades vol fossielen ligt ook de Dubois-collectie, waar nog altijd interessante ontdekkingen in worden gedaan. Eugene Dubois was een Nederlander die tussen 1887 en 1900 een poging waagde om Darwins evolutietheorie te bewijzen door de `Missing Link’ te vinden. Hij ging hiernaar op zoek in het toenmalig NederlandsIndië. Op Java, bij het plaatsje Trinil en met de hulp van Indische dwangarbeiders vond hij de overblijfselen van een mensachtige met een grote maar primitieve schedel en een groot, sterk dijbeen. Dubois concludeerde dat het om een rechtop lopende mensaap ging en gaf het de naam Pithecanthropus erectus. Alhoewel hij in zijn tijd sterk bekritiseerd werd, weten we tegenwoordig dat hij overblijfselen had gevonden van de voorloper van de moderne mens, de Homo erectus, die van 1,9 miljoen tot 400.000 jaar geleden leefde. [1] Dubois nam echter nog veel meer mee uit Java: in 1894 werden 400 kratten met fossielen naar Nederland verscheept. Er wordt na honderd jaar nog steeds onderzoek gedaan naar onderdelen van de collectie en dit leverde recentelijk weer nieuwe inzichten in het gedrag van Homo erectus op.

schelpen uit de Dubois-collectie bekeken: hij fotografeerde de grote collectie in één dag in Leiden en kwam er bij nadere inspectie terug in Australië achter dat een van de schelpen bekrast was met een geometrisch patroon. Allereerst werd gedacht dat het een foutje was. Maar onderzoeksleider Jose Joordens in Naturalis heeft het object er zelf bij gepakt en kwam al snel tot de conclusie dat ze een bijzondere vondst te pakken hadden.

Wetenschappelijk onderzoek is zelden een kwestie van gericht zoeken en vinden, maar veelal van toevalstreffers en opmerkzaamheid

Wetenschappelijk onderzoek is zelden een kwestie van gericht zoeken en vinden, maar veelal van toevalstreffers en opmerkzaamheid, zo ook bij de Trinil-schelp. De Australische PhD-student Steven Munroe heeft in 2007 de verzameling opgegraven 8


Zeven jaar later konden Munroe, Joordens en de andere onderzoekers in het team concluderen dat de schelp met gravering 500.00 jaar oud was en dat de gravering was gemaakt door Homo erectus. Als dit klopt, is het een grote doorbraak voor de archeologie. De vondst vertelt ons veel over de intelligentie van Homo erectus en over de werktuigen die deze soort gebruikte. De hiervoor oudst bekende

opzettelijke gravering was 100.000 jaar oud en gemaakt door een moderne mens, Homo sapiens, de enige soort waarvan men dacht dat hij abstracte tekeningen maakte. [2] Dit artikel gaat in op het verloop van een onderzoek als hierboven. Waarom duurde het zeven jaar voordat de vondst bekend gemaakt werd, welk onderzoek heeft in die tijd plaats gevonden en wat was de rol van de bètawetenschappen daarin? Frank Wesselingh, geoloog en onderzoeker aan Naturalis, karakteriseert die zeven jaar voornamelijk aan de hand van de samenwerking tussen de leden van het onderzoeksteam en de verschillende betrokken instanties.

was mogelijk doordat de schelpen, tweekleppige zoetwaterparelmossels in dit geval, nog intact waren. De kleppen zitten nog aan elkaar en zijn maar gedeeltelijk open. Dit maakte de doubletten een soort tijdscapsules. Het zand dat hier in gespoeld is voor de schelpen bedolven werden heeft 0,43±0,05 miljoen jaar geleden voor het laatst het licht gezien. [3]

De schelpen zijn dus zo’n half miljoen jaar geleden geopend

De datering van zowel de schelp als de krassen erin, is met verschillende technieken en door verschillende instanties uitgevoerd. De fossielen zelf waren gevonden in de Trinil Haupknochenschicht, gedateerd op Vroeg tot Midden Pleistoceen, op basis van correlatie met een ander gebied op Java. Voor een preciezere datering werd de hulp van de Universiteit Wageningen ingeroepen. Daar werd naar de schelp gekeken met Optically Stimulated Luminescence (OSL). Die methode gaat na hoe lang geleden het is dat materiaal, in dit geval zandkorrels, is blootgesteld aan (meestal zon-) licht en geeft daarmee een ondergrens voor de ouderdom. Het gebruik van deze methode

Vervolgens is aan de VU in Amsterdam gekeken naar de ouderdom van vulkanische mineralen in het zand; dit geeft een bovengrens voor de ouderdom van de schelp. Met radiometrische methoden onderzocht men hetzelfde zand in de schelpen en kon men vaststellen dat materiaal van drie verschillende vulkaanuitbarstingen aanwezig was in de schelpen, gedateerd op 1,65±0,04, 1,12±0,04 en 0,64±0,06 miljoen jaar geleden. Deze laatste uitbarsting is cruciaal voor de maximale ouderdom. Aangepast middels de isochron-methode geeft dit een datering van 0,54±0,10 miljoen jaar geleden. [3]

Deze boven- en ondergrenzen wijzen op datering in het midden van het pleistoceen en de schelpen zijn dus zo’n half miljoen jaar geleden geopend. Homo erectus deed dat met behulp van haaientanden. Met een schroefbeweging boorde hij een gaatje in de schelp, precies daar waar de spier van het schelpdier vastzat dat de kleppen dicht hield. Dergelijke gaatjes zijn in verschillende schelpen steeds op dezelfde plek aangetroffen en duiden op zich al op intelligent gedrag Dezelfde haaientanden zouden ook gebruikt zijn om het krassenpatroon in de schelp te zetten. [2] De mens is echter in die half miljoen jaar niet zodanig veranderd dat ze zich niet meer vermaakt met het bekrassen van voorwerpen en de vraag die opkomt Eureka! nummer 49 – juni 2015

9

CULTUREEL

Zouden de graveringen niet gewoon op natuurlijke wijze in de schelp gekrast kunnen zijn?

is of het wel Homo erectus zelf was die de krassen maakte, en niet een verveelde onderzoeker uit het team van Dubois rond 1900. Sterker nog: zouden de graveringen niet gewoon op natuurlijke wijze in de schelp gekrast kunnen zijn? Dit laatste bleek zeker niet het geval. Archeoloog Francesco d’Errico van de Universiteit van Bordeaux heeft ze geanalyseerd en zag duidelijk rondingen in de keerpunten die er op wijzen dat iemand bewust en in één keer het patroon in de schelp heeft gezet. [2] Voor de datering van het krassenpatroon is beroep gedaan op een archeoloog uit Exeter, Robin Dennell, die naar de verwering van de krassen heeft gekeken. Deze zijn bijna weggesleten in de zachtere lagen in de schelp en zijn glad en rond in de hardere gedeelten. Ook hebben onderzoekers zelf krassen gezet in vergelijkbare schelpen en dat gaf veel hardere, kartelige graveringen. Dit alles wijst op langdurige verwering. [2] Een toevalstreffer en zeven jaar samenwerking tussen verschillende instituten met elk hun specialisaties hebben samen geleid tot een artikel dat in grote wetenschappelijke bladen als Science en Nature gepubliceerd werd. Homo erectus was de moderne mens voor in het gebruiken van werktuigen om schelpen te openen en in het maken van abstracte tekeningen. Tegenwoordig zijn we weer een stapje verder in het evolutieproces. Samenwerking -in dit geval zowel tussen universiteiten en andere onderzoekscentra als tussen wetenschappers uit verschillende onderzoeksgebieden- is van groot belang bij de complexere krassenpatronen die we de moderne wetenschap noemen. !

10


Referenties [1]

http://www.naturalis.nl/nl/kennis/collectie/ Duboiscollectie

h t t p: //n e w s .s c i en cem a g .o r g /a r c h a e o -

[2]

logy/2014/12/etchings-500000-year-oldshell-appear-have-been-made-humanancestor http://www.nature.com.ezproxy.leidenuniv.

[3]

nl:2048/nature/journal/v518/n7538/full/ nature13962.html

Over de auteur: Lotte Konings Lotte Konings is een tweedejaars dubbele bachelor student Geschiedenis en Wiskunde aan de Universiteit Leiden en is geïnteresseerd in interdisciplinair onderzoek. Dit artikel is tot stand gekomen met speciale dank aan Dr. Frank Wesselingh, geoloog en onderzoeker bij het Naturalis Biodiversity Center met een specialisatie op het gebied van fossiele weekdieren.

✉

[email protected]

Advertentie

Interview met TOPdesk-werknemers Wietske Visser en Elmer Jacobs TOPdesk is een IT-bedrijf gevestigd in Delft dat een service management tool maakt voor haar ruim 5000 klanten. De software vergemakkelijkt de organisatie van ondersteunende functies binnen een bedrijf - denk hierbij aan de catering of facilitaire IT-afdeling. Het maakt een einde aan bergen post-it’s en verloren takenlijstjes. Meldingen komen binnen in het systeem en werknemers kunnen daar precies opschrijven wat het probleem is, wat ze er aan hebben gedaan om het op te lossen, wie dat gedaan heeft en hoelang dat dan geduurd heeft: het wordt allemaal automatisch bijgehouden. Op de afdeling development werken Wietske Visser en Elmer Jacobs. Er wordt daar in teams gewerkt aan de nieuwe functionaliteiten die de klanten graag gebouwd willen hebben. Zo hebben Wietske en Elmer net een project afgerond waarbij ze een mobiele versie, een web-app, hebben gebouwd met de basisfuncties van het grotere TOPdesk.

De sfeer bij TOPdesk is erg open: de gemiddelde leeftijd ligt rond de dertig en het effect daarvan is dat iedereen openstaat voor nieuwe uitdagingen en dat het makkelijk is om naar elkaar toe te stappen en om hulp te vragen. Er is weinig hiërarchie: binnen de teams heeft iedereen zijn eigen taak, maar er is niemand die zegt: `Je moet nu dit doen, je moet zo laat binnen zijn en zo laat weer weg.’ De teams zijn gebaseerd op vertrouwen, verantwoordelijkheid, geven en nemen. Wietske: “Mensen voelen zich ook verantwoordelijk. Men denkt eerder: ‘maar dit kunnen we zo toch niet opleveren?’, dan: ‘net voldoende en dan is het wel goed genoeg’.” Die verantwoordelijkheid komt ook terug in de apenkooitijd, de tien procent van je tijd die je zelf mag besteden aan aanvullende activiteiten die relevant zijn voor je werk of persoonlijke ontwikkeling: als je een nieuwe techniek wil leren, of je wil

Wietske Visser is ontwikkelaar bij TOPdesk en heeft een bachelor Taalwetenschap in Leiden en een master Kunstmatige Intelligentie in Utrecht gedaan. Ze is gepromoveerd in Delft, waarna ze de praktische kant op is gegaan met programmeren.

gewoon eens wat uitproberen wat je hebt gezien, dan kan dat in deze tijd. Wietske geeft bijvoorbeeld cursussen `Programmeren kun je leren’ voor de niet-IT medewerkers van TOPdesk en Elmer is met collega’s uit andere teams een nieuw project voor TOPdesk begonnen. Elke zomer is er bij TOPdesk het Summer Internship, waar studenten twee maanden lang stage komen lopen bij het bedrijf. “Welke achtergrond qua studie je hebt maakt daarbij eigenlijk niet uit: zolang je een beetje programmeerervaring hebt, ben je van harte welkom.” Ook is er altijd wel plek voor zeer getalenteerde developers die als afgestudeerden een baan zoeken. Elmer: “Het is geen bètabedrijf, bepaald niet.”

Elmer Jacobs is ontwikkelaar bij TOPdesk en na een bachelor en master Werktuigbouwkunde en een master Informatica in Delft is hij via het Summer Internship bij TOPdesk terecht gekomen.


11

wetenschap

Majority judgment: a better way to vote By Bob Sleeuwenhoek, mathematics student

Voting is incorporated into our daily lives in more ways that we usually realise. From electing national leaders and parliaments to selecting a group leader of a collaboration project and from electing the winner of an Olympic sport event to choosing the best date for a group meeting, we use voting as a solution of many problems, some of which are daily, some of which only turn up every few years. But how do we decide on the result, and what voting system do we use to select a winner? Different competitions require different ways of voting, but are all possible ways equally good? As Kenneth Arrow states in his classic, Social Choice and Individual Values, “The methods of voting and the market…are methods of amalgamating the tastes of many individuals in the making of social choices… Any individual can be rational in his choices. Can such consistency be attributed to collective modes of choice, where the wills of many people are involved?”. A few years ago, French mathematicians Rida Laraki and Michel Balinski developed a new way of voting and counting votes, the majority judgment, which they believed to be superior to all other traditional ways of voting. But does that statement hold?

voter to cast one vote for their favorite candidate. The winner would be the candidate that received the highest number of votes. This system is most often used within small groups and in informal settings, but the national elections of the United Kingdom and Canada also apply this system. A modified version of this system is the two-past-the-post system in which voting takes place in the same way, but the winner requires to have received an absolute majority of the votes. If no such winner exists, the two top competitors face off in a second round. This second system is used in the French presidential election. The problem with these systems is that, although the winner might receive a majority of the votes, if the number of competitors is large enough it is possible that a large majority of the population actually wished another competitor to win. Let us assume there are 10 competitors and the winner receives 11 percent of the votes. In the case of the two-past-the-post system, let us assume he won the second round. This would mean that even though the winner received the highest per-

Different competitions require different ways of voting

Traditional voting systems

First, let us look at some of the more traditional ways of voting. The most often used variant would be the first-past-the-post system, which simply allows each 12


centage of votes, 89 percent of the voters did not want him to win. One of the problems with these systems lies in the fact that the voting system only takes a small part of a voter’s preferences into account. This problem has been addressed in some voting systems by allowing voters to cast multiple votes in the form of a ranking list. Now there are once again a number of ways we can use to determine the winner. One of the simplest methods is the one conceived by Thomas Hare (18061891), a British political scholar, which is also known as the Single Transferable vote. In elections with only one winner, this method involves removing the candidate that appeared at the top of the lists the least number of times, and moving the other candidates up the list, filling the gaps. This is repeated until a single candidate remains. Another popular method of finding a winner is the Borda count, named after French politician and mathematician Jean-Charles de Borda (1733-1799). His method involves allocating a number of points to each rank and then summing the number of points per candidate. The winner would be the candidate with the most points. There are a number of different methods (e.g. the Condorcet method, the approval vote) that will not be elaborated upon. But what makes a voting system a good voting system? There are a number of requirements that a good voting system should abide to: 1) Non dictatorship: there is no one voter whose vote determines the end result of the competition. 2) Unanimity: if every voter prefers a certain competitor to another, the end result should also show this. 3) Transivity: all possible preferences of all voters are allowed, and the system should always have the same result if the preferences are presented the same way. 4) Independence of irrelevant alternatives: if a competitor is added or removed from the competition, this should not influence the order-offinish of any two other competitors. 5) Guaranteed winner: every possible voting result should yield at least one winner. 6) Strategy-proof: for voters the dominant strategy should be simply to vote honestly.

At first glance, these seem like reasonable requirements for a good voting system. However, it is not possible for a voting system to abide to all requirements. Kenneth Arrow (1921) proved in his famous Impossibility Theorem that no voting system with three or more competitors can follow the first four rules, or, any system that respects transivity, unanimity and independence of irrelevant alternatives has to be a dictatorship. Improving the system

Now this is where the majority judgment comes in. This system, developed by Laraki and Balinski, has been proven superior to all other known systems. The difference between the majority judgment and most other systems is that the competitors do not have to be compared to one another. The system works by allowing every voter to grade each of the competitors, given predetermined possible grades. Next, all of the grades a competitor received will be ordered. The winner of the competition is the competitor that has the highest median grade; if the winner is not unique, than the median grade will be removed from the ranked grades and we look at the new median, given that if there is an even number of grades, the lowest of the middle two will be used. This process can be repeated until a single competitor has a higher median than his fellow competitors. The term

It is not possible for a voting system to abide to all requirements


13

Wetenschap

Competitor

1

Competitor

2

Competitor

3

Competitor 1 Competitor 2 Competitor 3

majority in the system’s name corresponds with the fact that a majority of the voters agrees that a competitor should at least receive the grade the majority V oter 1 oter 2 V oter 4 V oter 5 judgmentV ascribes it.V oter 3 very good good good mediocre good For example, let us assume there are three competitors excellent very good good poor very good and five judges, who give the following grades to the mediocre excellent poor good bad competitors: Voter 1

Voter 2

Voter 3

Voter 4

Voter 5

very good excellent mediocre

good very good excellent

good good poor

mediocre poor good

good very good bad

These votes would result in competitor 3 having the lowest initial median, so its mediocre grade would make it the loser. Competitors 1 and 2 have the same median, good, so their median grades are removed from the others and upon investigating the new median, we see that competitor 2’s very good ensures he takes first place over competitor 1’s good. The strength of the majority judgment lies also within its resistance to strategic voting. More and more countries these days tend to eventually develop a political system with two major parties, which makes it difficult for third parties to enter the competition. More often than not, third parties have a

negative effect to their cause: since they usually have a stronger connection to one of the two major parties, the likely result will be that the third party ends up stealing some of the votes from the side they felt the strongest towards, leading to a win for the opposing party. This, among other problems leads to strategic voting: voting for a party that would not be the voter’s first choice, but they judge it to be the best choice to thwart the party they do not want to win. At first glance, strategic voting might also be a big problem in the majority judgment, since a voter could give the highest possible grade to the competitor they would like to win and the lowest possible grade to all others. However, since the winner is determined by using the median instead of the mean, these votes on either side of the grading spectrum will have a significantly smaller influence. And since there is no disadvantage to any other party by voting for a smaller party, people will be able to actually vote for the competitor they feel strongest towards. A problem that still persists with the majority judgment however, is that it cannot yet be applied to elections which involve a seat distribution. Seeing how many national elections work by distributing parliament seats, the system is not yet ready for national implementation. Laraki is currently working with a PhD student to adapt the majority judgment system to see if it can be used to distribute parliament seats. Until this time however, we will have to deal with the current voting systems. Despite its flaws, the majority judgment is still one of the voting systems that actually forces the voters to consider every competitor and is able to use this additional information to represent the voters’ opinion more in its result. However, as journalist Walter Lippmann put it, “The effort to calculate exactly what the voters want at each particular moment leaves out of account the fact that when they are troubled the thing the voters most want is to be told what to want.” !

The thing the voters most want is to be told what to want

About the author: Bob Sleeuwenhoek Bob Sleeuwenhoek is studying mathematics at Leiden University. He is currently finishing his bachelor thesis about voting systems under supervision of Floske Spieksma. Bob has been a board member of study association De Leidsche Flesch and is still active in various parts of student life.

✉ 14

[email protected]


Advertentie

Na een master wiskunde de IT in. Menno Bootsveld vertelt erover! Ik ben Menno Bootsveld en nu bijna twee jaar werkzaam als consultant bij Keylane|Quinity. Na mijn master Applied Mathematics aan de Universiteit Twente zocht ik naar een baan bij een bedrijf die uitdaging, doorgroeimogelijkheden en een gezellige werksfeer combineert. Dit vond ik bij Keylane|Quinity. Keylane|Quinity is een softwarebedrijf dat zich specialiseert in het ontwikkelen van verzekeringssoftware. Ons belangrijkste product is de Quinity Insurance Solution, kortweg QIS. Verzekeraars gebruiken QIS als standaardpakket voor hun polis- en schadeadministratie. Consultant Als consultant kun je bij Keylane|Quinity in aanraking komen met meerdere rollen: functioneel ontwerper (denk aan het leiden van ontwerpsessies en uitwerken van nieuwe gewenste functionaliteiten), docent, inrichten van systemen, tester en meer. Ik ben de afgelopen voornamelijk actief geweest in de rol van systeemtester. Ervaring leert dat de meesten een nogal eenzijdig beeld hebben van de werkzaamheden van een tester. Testen is echter veel meer dan op een knopje klikken en controleren of het systeem de juiste handeling uitvoert. Als tester ben je de eindredacteur van het systeem: als je vindt dat de kwaliteit niet op peil is wordt er niet opgeleverd. Je hebt contact met ontwerpers, testers en de klant en bent dus eigenlijk de spin in het web van het softwareontwikkelproces. Detachering bij Reaal Keylane|Quinity is als software leverancier Nederlands marktleider of het gebied van schadeverzekeringen. Een van onze klanten is Reaal, een grote Nederlandse verzekeraar. Vanuit Reaal kwam het verzoek binnen of wij een tester konden leveren die mee kon helpen bij het uitvoeren van de acceptatietest, de laatste test van het systeem die bij de klant wordt uitgevoerd. Aangezien ik inmiddels een klein jaartje ervaring als tester meedroeg en ik een avontuurtje wel zag zitten ben ik de uitdaging aangegaan. Gedurende negen maanden werd ik gedetacheerd en werkte ik op locatie bij de klant mee aan het verzorgen van acceptatietests. Het komt overigens niet vaak voor bij Keylane|Quinity dat consultants gedetacheerd worden. De meesten werken vanaf onze vestiging in hartje Utrecht. Bij Reaal draaide ik mee in het testteam dat speciaal was opgezet om QIS af te testen. Dit was een leuke en leerzame ervaring omdat je als Keylane|Quinity-medewerker een kijkje in de keuken van de klant krijgt. Zo krijg je pas echt door wat er leeft bij klanten, welke wensen en ergernissen ze hebben en hoe zij ons softwarepakket gebruiken. Mijn focus lag op het testen van productinrichting die aangeleverd werd door andere consultants bij Keylane|Quinity. De productinrichting is het vertalen van een verzekeringsproduct van een klant naar dialogen en polisdefinities. Denk bijvoorbeeld aan het ontwerpen van een aanvraagdialoog van een autoverzekering. Ik had wekelijks contact met de teamleider bij Keylane|Quinity om de kwaliteit van de productinrichting door te spreken. Tijdens deze meetings was het mijn verantwoordelijkheid om de wensen van Reaal kenbaar te maken aan Keylane|Quinity. Dit was erg uitdagend werk omdat het deels mijn verantwoordelijkheid was dat Reaal de functionaliteit kreeg waar ze om gevraagd hadden, en uiteraard dat het foutloos werkt. Inmiddels ligt mijn detacheringsperiode bij Reaal alweer achter me en heb ik het werk overgedragen aan een collega consultant. Nu zit ik op een interne testafdeling bij Keylane|Quinity en komt de volgende detacheringsklus er alweer aan: bij onze klant Ennia op Curaçao! De tropische bestemming, mooi weer en witte stranden incluis, is zeker geen vervelende bijkomstigheid. Keylane|Quinity ontwikkelt flexibele standaard software voor kernprocessen van leven- en schadeverzekeraars. Onze oplossing omvat een complete polis- en schadeadministratie voor verzekeraars, volmachten en intermediairs. Nu we al enige tijd Nederlands marktleider zijn, hebben we onze pijlen gericht op Europa. We zijn een informele, collegiale en platte organisatie. We hebben veel hoogopgeleide, jonge en enthousiaste medewerkers in dienst. De gemiddelde leeftijd ligt rond de 32 jaar. Contact Kijk voor meer informatie op www.werkenbijkeylanequinity.nl of neem contact op met Tessa van Rijnsoever of Fleur Aalbersberg via telefoonnummer 030-2335999 of stuur een e-mail naar [email protected]. Volg ons op Twitter of Facebook en blijf op de hoogte van onze vacatures en activiteiten.

www.werkenbijkeylanequinity.nl Eureka! nummer 49 – juni 2015 Inhoudelijk artikel A4 2015.indd 1

15

11-2-2015 13:29:53

fotoreportage

LEIDSE MOLENS

Tekst en foto’s: Alex van Vorstenbosch

De windmolen is onlosmakelijk verbonden met Nederland. Gezien de enorme rol die de windmolen heeft gespeeld in de Nederlandse Geschiedenis is dat niet verrassend. Nederland bouwde windmolens, maar in zekere zin bouwden de windmolens ook Nederland. Ze maalden de polders droog, ze maalden de granen voor ons brood en legden de grondslag van onze hedendaagse industrie. Iedere tweede zaterdag van mei wordt daarom de Nationale Molendag gevierd. Deze fotoreportage neemt voor de gelegenheid een kijkje in Leiden en omstreken.

Deze replica van de standerdmolen van Jan Jansenzoon Put, is in 1987 gebouwd. In 1619 werd de oorspronkelijke molen gebouwd, maar over de jaren heen hebben er verschillende molens gestaan. Standerdmolens zijn het oudste type windmolens dat Nederland gekend heeft.

Molen De Valk Deze korenmolen in het centrum van Leiden behoort met ruim 29 meter tot de hoogste molens van Nederland. Omdat de molen zo hoog is, is halverwege een stelling(omloop) gebouwd om de molen te bedienen. Dit soort molen wordt daarom ook wel een stellingmolen genoemd. Van de negentien molens die de Leidse stadswallen ooit sierden, is alleen Molen De Valk nog over. 16


Molen De Put

Kikkermolen e Herder D & n e ol m ijk d re a M e D (op de achtergrond) Dit is de oudste nog bestaande molen in de gemeente Leiden, gebouwd in 1735 om de maredijkpolder droog te malen. Daarachter is de Herder te zien, een stellingmolen gebouwd ten behoeve van de houtzagerij in 1835.

De Kikkermolen is een van de kleinste wipmolens in Nederland. Een wipmolen is te herkennen aan de piramidevormige basis. Hij is in 1752 gebouwd om een in 1747 afgebrande molen te vervangen. In de tussentijd nam de Maredijkmolen het bemalen van de polder over.

t door de h c o k e g n le o deze m rste in 1960 werdMolenstichting als hun ee ting Rijnlandse els gaat de Molenstich ns! molen. Inmidd et behouden van 46 mole h Rijnland over

Molen ’t Poeltje De wieken van deze grondzeiler draaien rakelings boven de grond waardoor de molen gemakkelijk vanaf de grond te bedienen is. Een van de diepste polders van het Rijnland is drooggemalen met behulp van deze molen.

Zwanburgermolen Eureka! nummer 49 – juni 2015

17

Geschiedenis

t o t e c a r n e p a w e d n a v g n n i l e k k i a w t n V – de o Door Marius Cammel

Op 21 juli 1969 sprak Neil Armstrong de wereldberoemde woorden: “That’s one small step for man, one giant leap for mankind.” De maanlanding is een van de meest bekende gebeurtenissen uit de geschiedenis van de 20e eeuw. Een gebeurtenis waarvan veel mensen zich de bekende televisiebeelden nog voor de geest kunnen halen. Wat minder mensen weten, is dat het succes van NASA afgeleid is van Duitse wetenschappers uit de jaren ’30 en ’40. Zo was één van de hoofdwetenschappers die aan de Apollo 11 werkte, Wernher von Braun, voor en tijdens de Tweede Wereldoorlog in Duitse dienst. Daar werkte hij aan de V2-raket, wat de voorloper zou worden van de raketten van NASA. Tot de ontwikkeling van de V2-raket, ook wel Aggregat 4 genoemd, werd opdracht gegeven aan het einde van 1938. De V2-raket werd ontwikkeld in het militaire onderzoekscentrum in Peenemünde, in NoordDuitsland vlak bij de grens met Polen. De volgende vier jaar werd er gewerkt aan de raket. Het doel van dit project was om de eerste bestuurbare langeafstandsraket te creëren, om uiteindelijk geallieerde steden te treffen. De ‘V’ staat immers ook voor Vergeltung. Het was letterlijk bedoeld als een manier om de Duitse verliezen te vergelden tegen de Geallieerden, en dan met name de Britten. Tijdens de ontwikkelingsfase werd duidelijk dat er veel mankementen waren aan het originele ontwerp. Zo waren er problemen met het gewicht en de druk van de tank van de V2, met de koeling van de raket, en met het besturen van de raket bij zeer hoge snelheden. Maar het grootste probleem was het uit elkaar vallen van de raket bij het terugkomen in de atmosfeer. Door al deze problemen werd de start van de productie steeds verder uitgesteld: hoewel de eerste ontwerpen in 1939 werden gemaakt en de eerste testvlucht in oktober 1942 was, kwamen de eerste V2-raketten pas aan het einde van 1944 van de lopende band. Op dat moment was al duidelijk dat Duitsland aan de verliezende hand was in de oorlog en nam de hoop op een zogenaamd 18


That’s one small step for man, one giant leap for mankind.

Wunderwaffe toe, als laatste redmiddel om de oorlog nog te winnen. Om deze reden nam Hitler in september 1944 het besluit om de V2 in te zetten. Er zijn ruim 3000 raketten gelanceerd in het laatste jaar van de oorlog. Bijna alle raketten waren gericht op Londen, maar ook Antwerpen, dat op dat moment al was ingenomen door de Geallieerde troepen, was een doelwit. Na lancering bereikte een raket een hoogte van ongeveer 80 km. Hierna werd de motor uitgezet en vloog de raket verder, gebruikmakende van een vrije val. De koers van de raket werd zo nodig aangepast door de computer die aan boord was. In het kleine jaar dat de V2-raket in gebruik was vielen er ongeveer 6000, voor het grootste deel burger-, slachtoffers. Gezien de naam van de raket is het misschien niet verwonderlijk dat er voornamelijk burgerdoelen werden getroffen, in tegenstelling tot strategische doelen. Bovendien liet de nauwkeurigheid te wensen over en was het simpelweg niet mogelijk om verscheidene strategische doelen te raken, aangezien er gericht werd op Londen en Antwerpen en het apparaat dat gebruikt werd om de raket te sturen niet makkelijk aangepast kon worden. De Leihstrahl(guide beam)-apparatus, die wel via radiocommunicatie bijgesteld kon worden, werd maar op een beperkt aantal raketten gebruikt. Dat de V2-raketten maar een relatief gering aantal doden hebben veroorzaakt is vooral te danken aan een combinatie van Britse spionage en het falen van de Duitse

ruimterace V2-raket techniek. Ten eerste raakten veel van de raketten hun doel niet maar explodeerden onderweg, of kwamen terecht in een weiland. Zo kwamen amper 600 van de 1600 raketten die richting Antwerpen werden gelanceerd aan, ondanks het feit dat de nauwkeurigheid toenam hoe verder de oorlog vorderde. Ten tweede werd er door de Britten geprobeerd om de raketten te stoppen, maar doordat de raketten bijna 80 km hoog vlogen na de lancering en de kruissnelheid meer dan 3000 kilometer per uur was, had luchtafweergeschut geen nut. Daarom werd er gezocht naar een alternatieve manier om deze raketten te bestrijden. Die manier werd gevonden in spionage. Britse rapporten werden gelekt naar het Duitse spionagenetwerk waarin werd gemeld dat de V2-raketten te ver landen. Hierdoor kwamen aan het einde van de oorlog de meeste raketten terecht in Kent, ten oosten van Londen. De effectiviteit van de V2-raket zat niet in het aantal doden; doordat de raket nog in zijn kinderschoenen stond was de accuraatheid verre van optimaal. Hoewel het dodenaantal dus meeviel, was de materiële schade enorm, met als gevolg een enorm huizentekort in Zuid-Engeland aan het einde van en na de oorlog. Daarnaast was de V2-raket vooral een psychologisch wapen. Doordat het bijna onmogelijk was om een raket te stoppen, en er voornamelijk burgerslachtoffers werden getroffen, leefden de inwoners van Londen en omstreken in grote angst. Hoewel de V2-raketten in tegenstelling tot andere Duitse wapens zoals de V1 en de Junkers Ju 87 zelden

De V2-raket was een revolutionair wapen en een grote stap vooruit richting de moderne ruimtevaart. Maar de invloed op de oorlog was minimaal.

gezien of gehoord werden, was de dreiging van deze raket in de nadagen van de oorlog altijd aanwezig. De V2-raket was een revolutionair wapen en een grote stap vooruit richting de moderne ruimtevaart. Maar de invloed op de oorlog was minimaal. Het wapen kwam simpelweg te laat om het tij te keren, er werden er te weinig geproduceerd om effectief te zijn, de nauwkeurigheid en effectiviteit waren voornamelijk in het begin laag en bovenal kostte het project enorm veel geld en grondstoffen. Eén raket kostte bijna 100.000 Reichsmark, wat omgerekend bijna twee miljoen euro is. Ter vergelijking, een Panzer-tank kostte bijna hetzelfde, maar natuurlijk kon de tank, in tegenstelling tot de V2, meer dan één keer gebruikt worden. Daarnaast werden steeds kostbaardere grondstoffen gebruikt voor de productie, grondstoffen die ook gebruikt konden worden voor tanks, vliegtuigen en wapens. De echte waarde van de V2-raket kwam pas naar voren door ‘Operation Paperclip’ waarbij wetenschappers die in de Tweede Wereldoorlog voor NaziDuitsland werkten naar de V.S. vertrokken om daar verder te werken aan hun projecten. Onder hen was Wernher von Braun, één van de hoofdontwikkelaars van de V2-raket. In 1960 werd Von Braun directeur bij NASA, waar hij in 1969 meewerkte aan de ontwikkeling van Apollo 11. Zo leidde de ontwikkeling van een wapen tijdens de Tweede Wereldoorlog uiteindelijk tot de eerste maanlanding. !

Over de Auteur: Marius Cammel Marius Cammel is derdejaars bachelorstudent Geschiedenis aan de Universiteit Leiden. Hij is voornamelijk geïnteresseerd in het nationalisme, met een specifieke interesse in nationalisme ten tijde van het derde rijk in Nazi-Duitsland.

✉

[email protected]


19

wetenschap

TegeltjesBetegelingen kom je overal tegen. Denk bijvoorbeeld aan een betegelde badkamermuur, een houten vloer of het patroon op het behang van je oma, maar ook aan tetris, Marokkaanse mozaiëken of tekeningen van Escher. Een betegeling bedekt de onderliggende ruimte volledig onder verschoven en gedraaide kopieën van een aantal basistegels, op zo’n manier dat de tegels mooi op elkaar aansluiten. Dit betekent dat alle punten die niet op de rand van een tegel liggen door precies één tegel bedekt worden. Voor de punten op de randen gaan we ervan uit dat ze in meerdere tegels tegelijk liggen (we zien de tegels als gesloten verzamelingen die naadloos op elkaar aansluiten). De badkamerbetegeling uit Figuur 1(a) heeft één basistegel en Escher’s Engel-duivel in Figuur 1(b) gebruikt twee verschillende. Sinds de jaren 60 is veel onderzoek gedaan naar betegelingen met bijzondere wiskundige eigenschappen, zoals periodiciteit. Als we de badkamerbetegeling uit Figuur 1(a) horizontaal of verticaal één tegel opschuiven, dan krijgen we dezelfde betegeling terug.

De betegeling uit Figuur 1(b) kunnen we vier tegels opschuiven in horizontale of verticale richting voor hetzelfde effect. Een betegeling met deze vorm van regelmatigheid heet periodiek. Hao Wang ([Wan61]) bekeek in 1961 verzamelingen van basistegels die niet-periodieke betegelingen geven. Hij deed dit in relatie met beslissingsproblemen in de logica. Wang bekeek eindige verzamelingen van vierkante tegels met gekleurde ribben. De kleuren van de ribben gaven aan welke vierkanten met elkaar gecombineerd mochten worden Hij dacht dat als het vlak met een dergelijke verzameling basistegels betegeld kon worden, dat er dan altijd ook een periodieke betegeling met deze tegels zou bestaan. In 1966 werd dit vermoeden door zijn student Robert Berger weerlegd. Berger gaf een verzameling van 20.426 basistegels die alleen niet-periodieke betegelingen kunnen voortbrengen ([Ber66]). Een dergelijke verzameling basistegels heet aperiodiek. In de jaren daarna werden steeds kleinere aperiodieke verzamelingen gevonden en in 1971 heeft Rafael Robinson dit aantal teruggebracht tot zes ([Rob71]). Deze tegels zijn te zien in Figuur 2(a) met een bijbehorend stuk betegeling. In 1973 bedacht Roger Penrose een andere aperiodieke verzameling van zes basistegels en niet veel later reduceerde hij dit aantal zelf tot twee: zijn beroemde ‘kites’ en ‘darts’ ([Pen79]). In Figuur 2(b) is een voorbeeld te

Figuur 1. In (a) zien we een periodieke badkamerbetegeling met één basistegel en (b) laat de betegeling Engel-duivel van Escher zien.

(a) Een badkamerbetegeling 20


(b) Engel-duivel

Figuur 2. In (a) zien we de aperiodieke verzameling van zes basistegels van Robinson met een stuk van een mogelijke betegeling. (b) laat een stuk Penrosebetegeling met ‘kites’ en ‘darts’ zien. (a) Een Robinsonbetegeling

zien van een Penrosebetegeling met deze basistegels. Omdat dit soort tegels en betegelingen erg geschikt zijn om mooie puzzels mee te maken, duurde het even voordat Penrose zijn resultaten publiceerde. Dit deed hij pas nadat het patent dat hij op de tegels had aangevraagd in de Verenigde Staten, het Verenigd Koninkrijk en Japan was goedgekeurd. Penrosebetegelingen zijn niet periodiek, maar wel repetitief. Dit bekent dat je ieder eindig patroon over de hele betegeling op begrensde afstand steeds weer terug kunt vinden.

(b) Een Penrosebetegeling

bijzondere aan de pinwheelbetegelingen is dat de basistegel op oneindig veel verschillende manieren gedraaid voorkomt.

De pinwheelbetegelingen waren niet de eerste bekende zelfvoortbrengende betegelingen. Ook de Penrosebetegelingen hebben een soortgelijke structuur. Een ander voorbeeld werd in 1982 door Gérard Rauzy geïntroduceerd in [Rau82]. Zijn centrale tegel wordt gedefinieerd aan de hand van twee ingrediënten. Ten eerste gebruikt hij de oplossingen van de vergelijking x 3 − x 2 − x − 1 = 0. In de jaren 90 definieerde Charles Radin (zie bijvoorDeze vergelijking heeft één reële oplossing  > 1. Deze  heet het tribonaccigetal, vanwege de overeenkomst met beeld [Rad94]) een nieuw soort nietperiodieke betegede gulden snede die een oplossing is van de vergelijking lingen, de pinwheelbetegelingen. Deze betegelingen x 2 − x − 1 = 0 en de relatie daarvan met de Fibonaccigezijn gebaseerd op een constructie van John Conway 3 en hebben maar één basistegel. Pinwheelbetegelingen tallen. Er geldt TEGELTJESWIJSHEDEN ≈ 1.83929. De vergelijking heeft verder zijn voorbeelden van zichzelf voortbrengende betegetwee complexe oplossingen, die binnen de eenheidscirtwee ingrediënten. Ten eerste gebruikt hij de oplossingen van de vergelijking x3 − x2 − x − 1 = 0. lingen. De basis hiervan is een cluster basistegels, die kel liggen. Noem ze  en ¯. Het andere ingrediënt is een Deze vergelijking heeft één reële oplossing β > 1. Deze β heet het tribonaccigetal, vanwege de samen de centrale tegel genoemd worden, en die overeenkomst de bijbepaalde verzameling oneindige met nullen met de gulden snede die een van oplossing is van rijen de vergelijking x2 en − x − 1 = 0 en de enen, namelijk die rijen waarin nergens drie enen achter zondere eigenschap hebben dat als ze met een bepaalde relatie daarvan met de Fibonaccigetallen. Er geldt β ≈ 1.83929. De vergelijking heeft verder twee die binnen de eenheidscirkel liggen. en γ¯ . gedeHet andere ingrediënt elkaar voorkomen. De centrale tegel Noem wordtze alsγ volgt factor vergroot worden, het resultaat vervolgenscomplexe weer oplossingen, is een van oneindige rijen met nullen en enen, namelijk die rijen waarin opgesplitst kan worden in een aantal verschoven en bepaalde verzameling finieerd: nergens drie enen achter elkaar voorkomen. De centrale tegel wordt als volgt gedefinieerd: gedraaide kopieën van de basistegels. In het geval van Tc = bn γ n : ∀n ≥ 0, bn ∈ {0, 1} en bn bn+1 bn+2 = 0 . (1) de pinwheelbetegeling is de centrale tegel een (1) rechtn≥0 hoekige driehoek met verhouding 2:1 voor de rechte Met andere woorden, de rijen drie (b opeenvolgende enen worden afgebeeld naar n )n≥0 zonder zijdes. Als deze driehoek met een factor √5 vergroot Metandere (bwoorden, de rijen n)n≥0 zonder drie opeenn b γ en T is de verzameling van al deze punten. complexe getallen n c n≥0 wordt, dan valt hij uiteen in vijf driehoeken die de gelijkvolgende enen worden afgebeeld naar de complexe getal-Merk op dat de oneindige sommen convergeren omdat γ binnen de eenheidscirkel ligt. n vormig zijn met de centrale tegel, zie Figuur 3(a). Door len  n≥0 bn  en Tc is de verzameling van al deze punten. manier uiteen in sommen drie deelverzamelingen de basistegels van de het proces van vergroten en opdelen te herhalen, Tc valt op een natuurlijke Merk op dat de oneindige convergeren die omdat  Rauzybetegeling geven: ontstaat een steeds groter wordend stuk betegeling. In binnen de eenheidscirkel ligt. • T (0) is het beeld van alle rijtjes die met 0 beginnen (b0 = 0). Dit is de paarse verzameling Figuur 3(b) is een stuk pinwheelbetegelingte zien. Het in Figuur 4(a). Tc valt op een natuurlijke manier uiteen in drie deelverFiguur 3. In (a) zijn de eerste paar stappen van het vergroting-opdelingsproces van de pinwheelbetegeling te zien en (b) laat een stuk pinwheelbetegeling zien.

• T (10) is het beeld van alle rijtjes die met 10 beginnen (b0 b1 = 10). Dit is de rode verzameling in Figuur 4(a). • T (11) is het beeld van alle rijtjes die met 11 beginnen (b0 b1 = 11). Dit is de gele verzameling in Figuur 4(a).

(a) De vergroting-opdelingsstappen voor de pinwheelbetegeling

(b) De pinwheelbetegeling

(a) Tc met de onderverdeling in basistegels.

(b) De betegeling van Rauzy

Figuur 4. In (a) zien we de centrale tegel Tc van Rauzy met de onderverdeling Eureka! nummer 49 – juni 2015 in basistegels en in (b) een stuk van de bijbehorende zelfvoortbrengende betege- 21 ling.

wetenschap

DOOR CHARLENE KALLE

4 4

DOOR CHARLENE KALLE

De zelfvoortbrengende betegeling van Rauzy heeft een aantal bijzondere eigenschappen. Zo is hij niet periodiek, wel repetitief en hebben de basistegels een fractale rand. is ook eeneen verrassende De zelfvoortbrengende betegeling vanEr Rauzy heeft aantal bijzondere eigenschappen. Zo is hij 4 DOOR CHARLENE KALLE relatie met een bepaalde manier van getallen schrijven. Getallen worden meestal weergegeven door zamelingen die de basistegels van de Rauzybetegeling 0.375 interpreteren werand. als het niet periodiek, wel repetitief enontwikkeling: hebben de basistegels een fractale Er getal is ook een verrassende 3 7 5 3 hun decimale ontwikkeling: 0.375relatie interpreteren we als het getal + + = . Dit is niet geven: is niet dedeworden enige manier om weergegeven door met een bepaalde manier10van 100 getallen schrijven. meestal 1000 8 DitGetallen 3 7 5 3 zelfvoortbrengende betegeling van Rauzy heeft een aantal bijzondere eigenschappen. Zo enige manier• Tom te schrijven. DeDe binaire bijvoorbeeld heeft het getal 2 als (0)getallen is het beeld vanCHARLENE alle decimale rijtjes die met 0ontwikkeling beginnen0.375 getallen te schrijven. ontwikkeling bijvoorhun ontwikkeling: interpreteren weDe alsbinaire het getal DOOR KALLE 10 + 100 + 1000 = 8 . Dit is niet de 0 1 3 niet1 periodiek, wel repetitief en hebben de basistegels een fractale rand. Er is ook een verras = + + . In plaats van een geheel getal, kunnen we ook basis en de cijfers kunnen 0 of 1 zijn: (b 0 = 0). Dit is de paarse verzameling in Figuur 4(a).te schrijven. beeld heeftDe hetbinaire getal 2 als basis en de cijfers kunnen 0heeft of enige ontwikkeling bijvoorbeeld het getal 2 als 2 4om 8getallen 8 manier 1getallen 3 van relatie met een bepaalde manier Getallen worden meestal weergegeven een niet-geheel getal als beeld basis nemen. Stel dat β 10 een reëel tussen 1 en 20 is. Er een • T (10) is het alle heeft rijtjes die met beginnen zijn: Inbestaat plaats getal, + 18is .schrijven. plaatsvan vaneen eengeheel geheel getal, kunnen we ook basis en de cijfers kunnen 0getal of 11eigenschappen. zijn: De zelfvoortbrengende betegeling van van Rauzy een aantal bijzondere hij 8 = 2 + 4 Zo 3 7 5 3 hun decimale ontwikkeling: 0.375 interpreteren we als het getal + + = is n algoritme dat voor iedere x tussen 0 en 1 een oneindige rij van nullen en enen (b ) produceert (b kunnen we ook een niet-geheel getal als basis nemen. Dit is de in Figuur 4(a). een verzameling niet-geheel getal alsrand. basisEr nemen. dat nβ n≥0 een reëel getal tussen Er bestaat 10 1 en 1002 is.1000 8 . Dit een t periodiek, wel repetitief en10). hebben derode basistegels een fractale is ook Stel een verrassende 0 b1 = enige manier om getallen te schrijven. De binaire ontwikkeling bijvoorbeeld heeft het getal waarvoor geldt dat algoritme dat voor iedere x tussen 0 en 1 een oneindige rij van nullen en enen (b ) produceert Stel dat  een reëel getal tussen 1 en 2 is. Er bestaat een • T (11) is het beeld van alle rijtjes die met 11 beginnen atie met een bepaalde manier van getallen schrijven. Getallen worden meestal weergegeven door n n≥0 4 DOOR KALLE 1CHARLENE 3 3 b3kunnen 7 3 = niet + 04de+x18tussen . In plaats van een geheel getal, kunnen w en in de 05 of = 1 zijn: bFiguur bhet b0basis 1 2cijfers waarvoor geldt dat algoritme dat voor 0 en 1 een onein(b 0 b1 0.375 = 11). Dit is de gele verzameling 4(a). 2iedere 8 is n decimale ontwikkeling: interpreteren we als getal + + . Dit 10 100 1000 8 + niet-geheel + 3 + getal + · · · .basis nemen. Stel dat β een reëel getal tussen 1 en 2 is. Er bestaa x = een b3n)n≥0 produceert waarvoor bgetal b0 nullen β ontwikkeling β 2zelfvoortbrengende β β 4 als dige 1 enbenen rij (b ge manier om getallen te schrijven. De binaire bijvoorbeeld heeft 22 als De betegeling van Rauzy bijzondere eigenschappen. Z +0DOOR + +heeft +een ·KALLE · rij · aantal . van nullen xtussen = vanhet 1 β-ontwikkeling 0 1 3 een algoritme dat voor iedere x en 1 een oneindige en enen (bn )n≥0 produ 2 3 4 CHARLENE Deze laatste uitdrukking heet van het getal x. Het algoritme lijkt sprekend opfractale β β β β De centrale tegel T geldt dat de basistegels zijn van zelfvoort. Inperiodiek, plaats eenrepetitief geheel getal, kunnendewebasistegels ook 4 is en de cijfers kunnen 0 of 1 zijn: 8 =c en wel en hebben een rand. Er is ook een verra 2 + 4 + 8niet 1 geldt dat −1 waarvoor de manier waarop binaire cijfers bepaald worden en gaat als volgt: Schrijf x = x. Als x ≤ , Deze laatste uitdrukking heet een β-ontwikkeling van het getal x. Het algoritme lijkt sprekend op brengend met een factor  .βNeem bijvoorbeeld T (0). 1 en niet-geheel getal als basis nemen. Stel dat een reëel tussen 2 is. van Er getallen bestaat een 0 0 β relatie metgetal een bepaalde manier worden meestal weergegeve b2 eenbGetallen b1schrijven. b0 Rauzy 1Zo 3aantal bijzondere De zelfvoortbrengende betegeling van heeft eigenschappen. 3 7 5 3 de manier waarop binaire cijfers bepaald worden en gaat als volgt: Schrijf x = x. Als x ≤ schrijf dan bOmdat = 0 en anders b = 1. Dan geldt 0 ≤ βx − b ≤ 1. Schrijf x = βx − b en herhaal. oritme dat voor iedere x tussen 0 en 1 een oneindige rij van nullen en enen (b ) produceert b van alleontwikkeling: 0 = 0, is  T0(0) de verzameling +0 2 1+we3als + het + · · · . + 0+ 0Dit is 0 0punten 1 1= n n≥0 hun decimale 0.375 interpreteren getal = . β ,n 4 10 100 1000 8 β de β βx − βb ≤ β1. fractale wel repetitief hebben een Er is ook een verras arvoor geldt dat schrijf niet dan periodiek, b0manier = 0 enom anders b = te 1. en Dan geldt 0 ≤basistegels Schrijfbijvoorbeeld xrand. 0 1 1 = βx0 − bheeft 1 en herhaal. enige schrijven. ontwikkeling het geta Dit algoritme produceert2b voorbiedere 14 < laatste βmet < 2een en x ∈getallen [0, 1]0 manier een cijferrij (bnDe )n≥0binaire .schrijven. We bekijken 3 Deze uitdrukking heet een β-ontwikkeling van het getal x. Het algoritme lijkt spreke relatie bepaalde van getallen Getallen worden meestal weergegeven b b 3 1 0 1 0 1 2 3 b  + b  + b  + · · · , Deze laatste uitdrukking heet een -ontwikkeling van 1 2 3 = + + . In plaats van een geheel getal, kunnen w basis en de cijfers kunnen 0 of 1 zijn: + 2het + tribonaccigetal +decimale + produceert · · · ontwikkeling: .en xbinaire = 3 7 n )n≥0 5x. We 3x. een voorbeeld. Neem βxgelijk aan = voor 1. Dan geeft het Dit algoritme iedere 1< <worden x∈ [0,gaat 1] een cijferrij (b bekijken 8β algoritme: 22 en 4 we 8en = Als waarop cijfers bepaald alsop volgt: Schrijf 3 manier 4 hun 0.375 interpreteren als het getal + + = . Dit isx0n 0 β β βde β het getal x. Het algoritme lijkt sprekend de manier 10tussen 100 1 1000 8 Er besta een niet-geheel getal als basis nemen. Stel dat β een reëel getal en 2 is. 1 Neem β0 getallen gelijk aan tribonaccigetal x =0 − 1. bDan het xalgoritme: schrijf dan b0 om = en nanders bschrijven. 1. Dan geldt 0en ≤ βx ≤gaat 1.geeft Schrijf = heeft βx −het b1 en he enige manier te het De binaire ontwikkeling bijvoorbeeld geta x1een =van 1voorbeeld. >alle dus balgoritme 1, 0 = 1 = ze laatste uitdrukking heet de eenverzameling β-ontwikkeling van het getal x. lijkt op waarop binaire cijfers bepaald worden als volgt: oftewel,  bHet β ,punten n  algoritme dat voor iedere x tussen 0sprekend en rij1en van nullen en 1enen (b0n )n≥0 prod n≥0 3 1 1een 0oneindige 1 1 1 1 = + + . In plaats van een geheel getal, kunnen w basis en de cijfers kunnen 0 of 1 zijn: x = 1 > , dus b = 1, = β − 1 > , dus b = 1, x 1 1 manier waarop binaire bepaald worden en gaat als volgt: Schrijf x = x. Als x ≤ , Schrijf x met bcijfers Voor T (10) enβalgoritme T (11) geldt het- 2 Als1x02< ,schrijf b 0 =1]0een en anders 0 = 0 en b1 = 0. 2 0 = 0 ≤β4β< 0voor β x. 8 Dit produceert iedere 28 en xdan ∈ [0, cijferrij (bn )n≥0 . We be waarvoor geldt dat 1Stel dat β een reëel getal tussen 1 en 2 1 2 een niet-geheel getal als basis nemen. is. Er bestaa = β − 1 > , dus b = 1, x , dus b = 0, = β − β − 1 = x b zelfde: b0T=(10) is hetgeldt beeld alle beginnen = βx 1. aan Dan ≤ bx x1 = x0geeft − b1 het algoritme: rijf dan b0 = 0 en anders 1. Dan 0van ≤een βxvoorbeeld. − b1 die ≤ Schrijfβ3xgelijk bgeldt 2Schrijf b3x = 1. bβtribonaccigetal 3 0rijen 1 02= 0 − het 1 en 00herhaal. 1 0 − bb12≤ 1.en Neem Dan β 1. +dus3 +b rij +van · · ·nullen . 1 2oneindige 2 x 0=en 1+ 1van alle rijen datdie voor iedere x1.herhaal. tussen een en enen (bn )n≥0 prod 4 0, met 010 en  T (11) isxhet beeld beginen , = = β − β − 1 = x β · algoritme − 0 = 1, dus b = 3 3 4 = 4 1 β β β β β β en x ∈ [0, 1] een cijferrij (bn )x Dit algoritme produceert voor iedere 1 < β < 2waarvoor . We 1 > bekijken , dus b1 = 1, n≥0 1 1= geldt dat β nen met 011. Hieruit volgt dat Deze laatste uitdrukkingx4heet = algoritme: βeen · − 0 = 1, 1 dus bhet 1. x. Het algoritme lijkt spreke 4 =getal voorbeeld. Neem β dat gelijk aanvolgende het tribonaccigetal en x = 1. Dan heeft: geeft het Dit betekent 1 de periodieke β-ontwikkeling bvan b31 < b<2 2= b−0 1 >b1β ,voor βproduceert dus 1, x2 β=β-ontwikkeling 2iedere Ditcijfers algoritme en 1] + + + + · · ·volgt: . x ∈ [0, x = de manier waarop binaire bepaald worden en gaat als Schrijf x0 = x. Als x0 13 heeft: 2 2 4 1 1 Dit betekent dat 1 de volgende periodieke β-ontwikkeling 1 0 1 1 0 β β β β = β − β − 1 = , dus b = 0, x xT1 (0) = 1= > , dus b = 1, 3 3 1 een cijferrij (b  (T (0) ∪ T (10) ∪ T (11)). We bekijken voorbeeld. Neemx = βx − b en he β βxeen n)n≥0 . geldt + + + + + · · · . 1 =β + schrijf dan b = 0 en anders b = 1. Dan 0 ≤ − b ≤ 1. Schrijf 00 1 1 0 3laatste 1 0een Het algoritme lijkt 1spreke βb420uitdrukking β 6 heet β 1 , β 2Dezeβdus β0· β1 −10 = 1,1vanenhet dus=getal b =x.1. x14 =β-ontwikkeling = β1,5 x2 = β − 1 > 1. β + aan +het3tribonaccigetal + 4 + 5 + 6x + · ·4Dan · . geeft het 1 = gelijk 2 1 Dit de binaire worden Schrijf (b x0n )=n≥0 x.. Als algoritme voor iedere < β <β 2enengaat [0, 1]volgt: een cijferrij We x be0 β bepaald β 1β βx ∈ als βcijfers Op dezelfde afleiden dat algoritme: = β 2 −kunnen β − 1 =we , manier dus bwaarop = 0,1produceert x manier 3 dat betekent de volgende periodieke β-ontwikkeling heeft: βen Niet alle mogelijke3 rijen van nullenDit enen worden geproduceerd door het algoritme. De een voorbeeld. Neem β gelijk aan het tribonaccigetal en x = 1. Dan geeft het algoritme: 1 schrijf dan b = 0 en anders b = 1. Dan geldt 0 ≤ βx − b ≤ 1. Schrijf x = βx − b en he 0 0 0 1 1 0 1 0= 1, algoritme bproduceert 4 = β · β −die 4 = 1.rijen van 0worden 1 geproduceerd 1 0 verzameling van allexcijferrijen het hangt af 1van en1 de bijbehorende Niet alledus mogelijke nullen en β1enen door het algoritme. De +1 > + , 3β+< 24 en + dus + 16 = + · · ·cijferrij . =x1 iedere T (10) =  T (0) + 1 en T (11)Dit = algoritme T (10) + 1. produceert1voor = 1, een (bnbijbehorende )n≥0 . We be 5∈ β-ontwikkeling van 1.periodieke In het geval dat β het bijvoorbeeld alleenx de[0,βb1] verzameling vantribonaccigetal alle cijferrijenis, dieworden hetβ algoritme hangt af van β en de β 2 1β < βproduceert β β betekent dat 1 de volgende β-ontwikkeling heeft: 1 = β − 1 > , dus b = 1, x een voorbeeld. Neem β gelijk aan het tribonaccigetal en x = 1. Dan geeft het algoritme: 2 2 rijen zonder drie opeenvolgende enen geproduceerd. DitInis−1het de reden de tribonaccigetal centrale tegel Tis, β β-ontwikkeling van 1. geval waarom dat β het c worden bijvoorbeeld alleen de 1 0 1 1 met 0 factor 1 2 1 Dus, als een1 basistegel wordt opblazen , rijen van Niet alle mogelijke en enen geproduceerd door het algoritme + Het + is + relatie + + opeenvolgende +en· ·de ·. gebruikte 1= , de dus = 1, 0, = 1β − β, − 1Dit = worden x 3 nullen gedefinieerd is zoals inβ (1). de tussen γ rijen (b ) . rijen zonder drie enen geproduceerd. is reden waarom de centrale tegel Tc n n≥0 β 2 3 4 5 6 x = > dus bb13 = β een β eindige βverzameling β β van β dan is het resultaat vereniging vanalle ver-cijferrijenx1die=het 1 algoritme produceert hangt af van β en de bijbeho 1γ=en β− · β1 − 0 1, dus b = 1. gedefinieerd is zoals in (1). Het is de xrelatie tussen de gebruikte rijen (b ) . 4= β 4 n n≥0 > β , zijn reële dus b2 = 1, 2 Pisot-getallen Het tribonaccigetal is een specifiek voorbeeld van dat eendit schoven basistegels. Rauzy bewees in [Rau82] β-ontwikkeling van 1.Pisot-getal. In hethet geval dat β het tribonaccigetal is, worden bijvoorbeeld alle 1 2 d Niet alle mogelijke rijen van nullen en enen zijn worden geproduceerd door algoritme. De d−1 = β − β − 1 = , dus b3 = 0,Pisot-getallen x Dit betekent dat 1 de volgende periodieke β-ontwikkeling getallen groter danvan 1 opblazen die de oplossing een vergelijking van de vorm x + a x + · · · +isheeft: 3 Hetrijen tribonaccigetal is een specifiek voorbeeld van een Pisot-getal. zijn reële proces en opdelen ookvan daadwerkelijk een 1 β Dit zonder drie opeenvolgende enen geproduceerd. de reden waarom de centrale te zameling van alle diewat hetextra algoritme produceert hangt af van β aenx de=bijbehorende 1 d d−1 x+ ad cijferrijen = 0 die aan eisende voldoet. Alle coëfficienten moeten gehele getallen zijn, ad−1 β · − 0 = 1, dus b = 1. groter dan 1 die de oplossing zijn van een vergelijking van de vorm x + a x 1 1 1 0 1 betegeling geeft van ℂ,getallen d.w.z. verschoven tegels die Dit Het 1 de γ volgende ibetekent 4is de relatie 4 periodieke 1)n≥0 . + · · · + βdat tussen gedefinieerd is zoals in (1). en de gebruikte rijen (b n ntwikkeling van 1. In het geval dat β mag het tribonaccigetal is, worden bijvoorbeeld alleen de +twee +polynomen + 5 + 6 + ··· . 1product = + van de polynoom in krijgt, de vergelijking als het + adte =schrijven 0 die dat aanzijn wat extra eisenperiodieke Alle a ad−1 je zo sluiten netjes opxniet elkaar aan. -ontwikkeling β 2heeft: β 3 T coëfficienten β4 β heeft: βi moeten gehele getallen zijn, βvoldoet. Dit betekent 1 de volgende β-ontwikkeling n zonder drie opeenvolgende enen geproduceerd. Dit is de reden waarom de centrale tegel c Het van tribonaccigetal is een voorbeeld vanalseen zijn van kleinere graad en alle anderede oplossingen de vergelijking moeten de eenheidscirkel polynoom in de magspecifiek nietbinnen te schrijven zijn hetPisot-getal. product vanPisot-getallen twee polynomen d d−1 1 .nullen 1zijn 0tribonaccigetal 1worden 1 geproduceerd 0 van de vorm definieerd is zoals (1). Het is de relatie tussen γNiet enheet de gebruikte rijen (bnoplossing )van n≥0 getallen groter dan 1 die de van een vergelijking x + a x + alle mogelijke rijen en enen door het algoritme 1 | = 1, dan het getal een Pisot-eenheid. Het liggen. Alsinbovendien geldt dat |avan kleinere graad en alle andere oplossingen van de vergelijking moeten binnen de eenheidscirkel De zelfvoortbrengende betegeling van Rauzy heeft d 1 = + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + ··· . β β β β β β x + a = 0 die aan wat extra eisen voldoet. Alle coëfficienten a moeten gehele getallen a alle cijferrijen diedan hetheet algoritme produceert hangti af van en de bijbeho d−1 dPisot-getal. is dus ook een Inliggen. 1989 verzameling breidde William Thurston constructie vangetal Rauzy = 1, het eenuit Pisot-eenheid. Het β tribonaccigetal Als geldt dat |ad |de Het tribonaccigetal is Pisot-eenheid. een specifiek voorbeeld vanbovendien eenZo Pisot-getallen zijn reële een aantal bijzondere eigenschappen. isvan hij niet d geval d−1 de polynoom in deeen vergelijking mag niet te schrijven zijn als het product van twee polyn β-ontwikkeling van 1.([Thu89]). In het dat β het tribonaccigetal is, worden bijvoorbeeld alle van het Pisot-eenheden in het algemeen De centrale tegel uit deze is dus ook een Pisot-eenheid. In 1989 breidde William Thurston de constructie van uit allen groter dantribonaccigetal 1 die de oplossing zijn van een vergelijking van de vorm x + a x + · · · + periodiek, welnaar repetitief en hebben de basistegels Niet van alle mogelijke vanworden nullen geproduceerd en enen wordendoor hetRauzy 1 Niet alle graad mogelijke rijen nullen enrijen enen algoritme van kleinere en alle andere oplossingen van de vergelijking moeten binnen de eenheids rijen zonder drie opeenvolgende enen geproduceerd. Dit is de reden waarom de centrale te constructie geeft informatie over de β-ontwikkelingen van de bijbehorende Pisot-eenheid. Er is van het tribonaccigetal naar Pisot-eenheden in het algemeen ([Thu89]). De centrale tegel uit deze x + a = 0 die aan wat extra eisen voldoet. Alle coëfficienten a moeten gehele getallen zijn, fractale rand. Er is ook een verrassende relatie met geproduceerd door het algoritme. De verzameling van −1 d i cijferrijen die het algoritme produceert hangt af van β en de bijbeho verzameling van alle |de =polynomen 1, dan heet het getal Pisot-eenheid. liggen. Alsals bovendien dat |a gedefinieerd ishet zoals ingeldt (1). Het isdopzichte relatie tussen γ de en deeen gebruikte rijen (bnHet )n≥0tribonacc . Er is bijvoorbeeld eenbepaalde sterkmag verband de positie van de oorsprong ten van de centrale constructie geeft informatie over de β-ontwikkelingen van bijbehorende Pisot-eenheid. polynoom in de vergelijking niet tussen te zijn product van twee een manier vanschrijven getallen schrijven. Getalalle cijferrijen die het algoritme produceert hangt af β-ontwikkeling van 1. In het geval datbreidde β het tribonaccigetal is, worden bijvoorbeeld alle dus ook een Pisot-eenheid. In 1989 William Thurston de constructie van Rau tegel en de van getallen dieis periodieke β-ontwikkeling hebben. bijvoorbeeld een sterk verband tussen deeenheidscirkel positie van-ontwikkeling de oorsprong ten vandede centrale n kleinere graad en verzameling alle andere meestal oplossingen van deeen vergelijking moeten binnen de van  enspecifiek de bijbehorende van 1.opzichte Inwaarom het len worden weergegeven door hun decimale Het tribonaccigetal is een voorbeeld van een Pisot-getal. Pisot-getallen zijn rijen zonder drie opeenvolgende enen geproduceerd. Dit is de reden centrale te van tribonaccigetal naar Pisot-eenheden in hetβ-ontwikkeling algemeen ([Thu89]). De centrale tegel d d−1ui tegel en dehet verzameling van1ingetallen die een periodieke hebben. | = 1, dan heet het getal een Pisot-eenheid. Het tribonaccigetal gen. Als bovendien geldt dat |a d getallen groter dan die de oplossing zijn van een vergelijking van de vorm x + a x + gedefinieerd is zoals (1). Het is de relatie tussen γ en de gebruikte rijen (b ) . Het is bekend dat de constructie van Thurston voor iedere Pisot-eenheid een meervoudige n n≥0 1 constructie geeft informatie over van de β-ontwikkelingen van de bijbehorende Pisot-eenheid. dus ookbetegeling een Pisot-eenheid. In 1989 breidde William Thurston de constructie Rauzy uit x + a = 0 die aan wat extra eisen voldoet. Alle coëfficienten a moeten gehele getalle a d dat i geeft: De punten die nietHet op bijvoorbeeld deisd−1 rand van een liggen worden allemaal door hetzelfde bekend de constructie van Thurston voor iedere Pisot-eenheid een meervoudige eentegel sterk verband tussen de van de ten opzichte van dezijn ce Het tribonaccigetal is een specifiek voorbeeld van eenoorsprong Pisot-getal. Pisot-getallen n het tribonaccigetal naar Pisot-eenheden inals hetde algemeen ([Thu89]). De centrale tegel uitpositie deze Figuur 4. In bedekt. (a) zien polynoom in de vergelijking mag niet te schrijven zijn als het product van polyn aantal tegels Dit kun je zien meerdere betegelingen die over elkaar heen liggen. Hoeveel betegeling geeft: De punten die niet op de rand van een tegel liggen worden allemaal door hetzelfde d twee d−1 tegel en de verzameling van getallen die een periodieke β-ontwikkeling hebben. getallen groter dan 1 die dePisot-eenheid. oplossing zijn van vergelijking van de vorm x + a1 x + nstructiedit geeft informatie overalgemeen de β-ontwikkelingen van de graad bijbehorende Er van iseen we de zijn, centrale tegel van kleinere en alle andere oplossingen deaantal vergelijking moeten binnen deHoeveel eenheid er is in het niet bekend en kan mogelijk afhangen van β.voldoet. Voor een aantal tegels bedekt. Dit kun je zien als meerdere betegelingen die over elkaar heen liggen. x + a = 0 die aan wat extra eisen Alle coëfficienten a moeten gehele getallen a d−1 d i voorbeeld een sterk verband tussen de positie van de oorsprong ten opzichte van de centrale T met de c van Rauzy Hetis isAls bekend dat geldt de constructie Thurston iedere Pisot-eenheid eentribonacc meervo 1, heet hetvoor getal een Pisot-eenheid. Het liggen. bovendien datbekend |ad | = van specifieke gevallen is bewezen datdit de er constructie Thurston een (enkelvoudige) betegeling geeft zijn, invan het niet endan kan mogelijk afhangen β. Voor aantal de polynoom inalgemeen de vergelijking magopniet te schrijven zijn als hetvan product van een twee polyn el en deenverzameling van getallen die een periodieke β-ontwikkeling hebben. onderverdeling in dat betegeling geeft: De punten die niet de rand van een tegel liggen worden allemaal door het is dus ook een Pisot-eenheid. In 1989 breidde William Thurston de constructie van Rau men vermoedt hetzelfde geldt voor alle Pisot-getallen. Dit heet het Pisot-vermoeden. specifieke gevallen is bewezen dat de constructie van Thurston een (enkelvoudige) betegeling geeft van kleinere graad en alle andere oplossingen van de vergelijking moeten binnen de eenheids basistegels en in (b) aantal tegels bedekt. Dit kun je zien als meerdere betegelingen die over elkaar heen liggen. H van het tribonaccigetal naar Pisot-eenheden in het algemeen ([Thu89]). De centrale tegel ui en menliggen. vermoedt dat hetzelfde geldt alle Pisot-getallen. Diteen heetPisot-eenheid. het Pisot-vermoeden. Het is bekend de constructie Thurston voor iedere Pisot-eenheid een meervoudige = 1,veel danverder heetkan het getal HetVoor tribonacc Als bovendien geldt dat voor |a In stuk de dat afgelopen decennia van is gebleken dater dezijn, constructie van Thurston gegened |nog een van de bijdit is in het algemeen niet bekend en mogelijk afhangen van β. een a constructie geeft informatie over de β-ontwikkelingen van de bijbehorende Pisot-eenheid. egeling raliseerd geeft: Dekan punten die niet rand van tegel liggen worden allemaal door hetzelfde is een dus ookgevallen een Pisot-eenheid. Inte 1989 breidde William de constructie van Rau worden. Hetop is de bijvoorbeeld mogelijk om β-ontwikkelingen gebruiken dievan voortgeIn de afgelopen decennia isverband gebleken dat dede constructie van Thurston nog veel verderbetegeling gegenebehorende zelfvoortspecifieke is bewezen dat de constructie Thurston een (enkelvoudige) bijvoorbeeld een sterk tussen positie van de oorsprong ten opzichte van de ce ntal tegels bedekt. Dit kun zienander als meerdere betegelingen die over elkaar liggen. Hoeveel vankan hetworden. tribonaccigetal naarheen Pisot-eenheden in het algemeen De Pisot-vermoeden centrale tegel ui bracht worden doorjeeen algoritme, voor βde>verzameling 2 of met andere cijfers dan alleen 0β-ontwikkelingen en 1. β-ontwikkeling In ([Thu89]). raliseerd Het bijvoorbeeld mogelijk om gebruiken die voortgebrengende en men datis hetzelfde geldt voor alle Pisot-getallen. Dit te heet het tegel envermoedt vanβ.getallen die een periodieke hebben. er zijn,[KS12] is in hebben het betegeling. algemeen niet bekend en kan mogelijk afhangen van Voor een aantal geeft over devoor β-ontwikkelingen de cijfers bijbehorende Pisot-eenheid. we deze mogelijkheden opconstructie een heeldoor algemene manier onderzocht voor Pisot-eenheden bracht worden eeninformatie ander algoritme, β> 2 of met van andere dan alleen 0 en 1. In cifieke gevallen is bewezen dat de constructie van Thurston een (enkelvoudige) betegeling geeft In deis afgelopen decennia is gebleken datalgemene de constructie van Thurston nog veel verder ge Het bekend dat de constructie van Thurston voor iedere Pisot-eenheid een meervo bijvoorbeeld een sterk verband tussen de positie van de oorsprong tenvoor opzichte van de ce en we hebben laten zien de constructie in al deze gevallen een meervoudige, zelfvoortbrengende, [KS12] hebben we mogelijkheden op een heel manier onderzocht Pisot-eenheden (a)dat Tc met onderverdeling in deze basistegels. (b) De betegeling van Rauzy men vermoedt dat hetzelfde geldt voordealle Pisot-getallen. Dit heet het Pisot-vermoeden. raliseerd kan worden. Het is bijvoorbeeld mogelijk om β-ontwikkelingen te gebruiken die vo betegeling geeft: De punten die niet op de rand van een tegel liggen worden allemaal door het tegel enlaten de verzameling van getallenindie een periodieke β-ontwikkeling en we hebben zien dat de constructie al deze gevallen een meervoudige, hebben. zelfvoortbrengende, bracht worden door een ander algoritme, voor β betegelingen > 2 of met andere cijfers dan alleen 0 en aantal tegels bedekt. Dit kun je zien als meerdere die over elkaar heen liggen. H In de afgelopen decennia is gebleken dat de constructie van Thurston nog veel verder gegene22 Eureka! nummer 49 – juni 2015 Het hebben is bekend dat mogelijkheden de constructie op van Thurston voor manier iedere onderzocht Pisot-eenheid een meervo [KS12] we deze een heel algemene voor Pisot-een dit er zijn, is in het algemeen niet bekend en kan mogelijk afhangen van β. Voor een seerd kan worden. Het is bijvoorbeeld mogelijkbetegeling om β-ontwikkelingen te gebruiken diede voortgegeeft: Dezien punten dieconstructie niet op rand van een tegel een liggen worden allemaal door het we hebben laten datdan de in1.alIn deze meervoudige, zelfvoortbreng specifieke gevallen iscijfers bewezen dat de constructie vangevallen Thurston een (enkelvoudige) betegeling cht worden door een ander algoritme, voor β en > 2 of met andere alleen 0 en aantal tegels bedekt. Dit kun je zien als meerdere betegelingen die over elkaar heen liggen. H

Figuur 5. De tweevoudige betegeling die hoort bij een algoritme dat -ontwikkelingen produceert met cijfers 0, 1 en -1. cijfers 0, 1 en -1 en met  gelijk aan het tribonaccigetal. De tweevoudige betegeling is te zien in Figuur 5. De rode lijnen geven de tegels aan van één betegeling en de zwarte lijnen markeren de andere betegeling. Dit laat zien dat het Pisot-vermoeden niet waar is als het achterliggende algoritme iets wordt aangepast. Als het Pisot-vermoeden klopt, zal het antwoord waarschijnlijk gezocht moeten worden in de specifieke eigenschappen van het oorspronkelijke algoritme.

geval dat  het tribonaccigetal is, worden bijvoorbeeld alleen de rijen zonder drie opeenvolgende enen geproduceerd. Dit is de reden waarom de centrale tegel Tc gedefinieerd is zoals in (1). Het is de relatie tussen en de gebruikte rijen (bn)n≥0 . Het tribonaccigetal is een specifiek voorbeeld van een Pisot-getal. Pisot-getallen zijn reële getallen groter dan 1 die de oplossing zijn van een vergelijking van de vorm xd + a1xd−1 + · · · + ad−1x + ad = 0 die aan wat extra eisen voldoet. Alle coëfficienten ai moeten gehele getallen zijn, de polynoom in de vergelijking mag niet te schrijven zijn als het product van twee zulke polynomen van kleinere graad en alle andere oplossingen van de vergelijking moeten binnen de eenheidscirkel liggen. Als bovendien geldt dat |ad| = 1, dan heet het getal een Pisot-eenheid. Het tribonaccigetal is dus ook een Pisot-eenheid. In 1989 breidde William Thurston de constructie van Rauzy uit van het tribonaccigetal naar Pisot-eenheden in het algemeen ([Thu89]). De centrale tegel uit deze constructie geeft informatie over de -ontwikkelingen van de bijbehorende Pisoteenheid. Er is bijvoorbeeld een sterk verband tussen de positie van de oorsprong ten opzichte van de centrale tegel en de verzameling van getallen die een periodieke -ontwikkeling hebben.

Veel informatie over betegelingen met bijbehorende plaatjes kun je vinden op de Tilings Encyclopedia: tilings.math.uni-bielefeld.de. ! Referenties [Ber66] R. Berger, The undecidability of the domino problem. Mem. Amer. Math. Soc. No., 66: 72, 1966. [KS12] C. Kalle en W. Steiner, Beta-expansions, natural extensions and multiple tilings associated with Pisot units. Trans. Amer. Math. Soc., 364(5): 2281–2318, 2012. [Pen79] R. Penrose, Pentaplexity: a class of nonperiodic tilings of the plane. Math. Intelligencer, 2(1): 32–37, 1979/80. [Rad94] C. Radin, The pinwheel tilings of the plane. Ann. of Math., 139(3): 661–702, 1994. [Rau82] G. Rauzy, Nombres algébriques et substitutions. Bull. Soc. Math. France, 110(2): 147–178, 1982. [Rob71] R. Robinson, Undecidability and nonperiodicity for

Het is bekend dat de constructie van Thurston voor iedere Pisot-eenheid een meervoudige betegeling geeft: De punten die niet op de rand van een tegel liggen worden allemaal door hetzelfde aantal tegels bedekt. Dit kun je zien als meerdere betegelingen die over elkaar heen liggen. Hoeveel dit er zijn, is in het algemeen niet bekend en kan mogelijk afhangen van . Voor een aantal specifieke gevallen is bewezen dat de constructie van Thurston een (enkelvoudige) betegeling geeft en men vermoedt dat hetzelfde geldt voor alle Pisot-getallen. Dit heet het Pisot-vermoeden.

Lecture notes distributed in conjunction with the Colloquium Series, in AMS Colloquium lectures, 1989. [Wan61] H. Wang, Proving theorems by pattern recognition – II. Bell System Technical Journal, 40(1): 1–41, 1961.

Over de auteur – Charlene Kalle Dr. Charlene Kalle is in 2009 gepromoveerd aan de Universiteit Utrecht. Daarna heeft ze als postdoc gewerkt in Warwick en Wenen. In 2011 is ze met een NWO Venibeurs naar Leiden gekomen, waar ze nu als universitair docent verbonden is aan het Mathematisch Instituut. Ze doet onderzoek naar stochastische eigenschappen van dynamische systemen, in het bijzonder in relatie tot getalsontwikkelingen.

✉

Foto: Pim Rusch

In de afgelopen decennia is gebleken dat de constructie van Thurston nog veel verder gegeneraliseerd kan worden. Het is bijvoorbeeld mogelijk om -ontwikkelingen te gebruiken die voortgebracht worden door een ander algoritme, voor  > 2 of met andere cijfers dan alleen 0 en 1. In [KS12] hebben we deze mogelijkheden op een heel algemene manier onderzocht voor Pisot-eenheden en we hebben laten zien dat de constructie in al deze gevallen een meervoudige, zelfvoortbrengende, repetitieve betegeling geeft. Ook hebben we een voorbeeld gevonden van een algoritme dat een tweevoudige betegeling oplevert. Hiervoor hebben we -ontwikkelingen genomen met

tilings of the plane. Invent. Math., 12: 177–209, 1971. [Thu89] W. Thurston, Groups, tilings and finite state automata.

[email protected]


23

interview

Hoe Jaap van den Herik het Leiden Centre for Data Science oprichtte Door Simone Cammel, bachelorstudent informatica. Foto’s door Pim Overgaauw, masterstudent sterrenkunde

24

Jaap van den Herik is sinds september 2014 werkzaam bij het LIACS. Hij is hier aangesteld om het Leiden Centre for Data Science (LCDS) op te zetten. Om een idee te krijgen van de redenen waarom Jaap de stap heeft gemaakt om naar Leiden te komen, is een achtergrond van zijn carrière noodzakelijk. Hij is in Amsterdam wiskunde gaan studeren aan de VU en heeft vervolgens een promotie gedaan in Delft. Toen hij gevraagd werd om Kunstmatige Intelligentie te komen doceren aan de Universiteit Leiden, heeft hij die kans met beide handen aangegrepen. Jaap is dus een oude bekende van het LIACS: hij heeft hier van 1984 tot 1988 één dag in de week gewerkt.


Tijdens zijn afstudeeronderzoek in de numerieke analyse kwam hij in aanraking met de informatica. Hier wist hij zijn hobby met zijn onderzoek te combineren door zich af te vragen ‘kunnen computers schaken? En hoe goed dan?’ Schaken, zijn grote hobby, loopt als een rode draad door zijn carrière. Uiteindelijk werd hij in 1987 gevraagd in Maastricht te werken. Tegelijkertijd kwam de rechtenfaculteit van de Universiteit Leiden met de vraag om daar een vak te geven. Zij vroegen Jaap toen: ‘Als Computers kunnen schaken, kunnen ze dan ook rechtspreken?’ Aangezien hij daar nog nooit eerder over had nagedacht, besloot hij op het voorstel in te gaan. Eenentwintig jaar lang heeft hij vier dagen in de week in Maastricht gewoond en gewerkt, waarna hij de vrijdag en het weekend in Leiden spendeerde als hoogleraar aan de faculteit der Rechtsgeleerdheid en bij zijn gezin in Pijnacker. In Maastricht woonde hij samen met de corpschef van de politie. Die vroeg hem of hij zijn ‘interessante dingen’ misschien ook voor de politie zou kunnen doen. In Limburg-Zuid is toen het eerste Intranet van Nederland aangelegd. Vervolgens hebben de korpschef en Jaap ook de drugslijn uitgerold tussen Parijs en Rotterdam door met sensors te registreren wat er aan de hand was en dat in kaart te brengen. Hier werd dus opnieuw gebruikgemaakt van de kunstmatige intelligentie. In 2008 is Jaap met zijn onderzoeksgroep overgegaan naar de Universiteit van Tilburg om het TICC op te zetten: het Tilburg center for Cognition and Communication. Big Data lab

“Vervolgens pikte ik het idee op een Big Data lab te starten. Dit wilde niet vlotten in Tilburg en toen was daar gelukkig Joost Kok die het naar Leiden wilde halen. Opnieuw ben ik met een deel van mijn onderzoeksgroep overgegaan naar een andere locatie. In januari 2014 begon ik hier. Het ging in eerste instantie vrij soepel om ook wiskunde betrokken te krijgen, maar toen ik in maart een gesprek had met Geert de Snoo (decaan faculteit W&N), noemde hij dat het zeker niet daarbij gelaten moest worden, maar dat ook de hele faculteit met het LCDS zou moeten samenwerken. Dus vanaf maart 2014 is het bereik verlegd en ben ik gaan praten met de rest van de faculteit. Nu zijn alle instituten enthousiast en doen ze samen mee aan dit grote project.”

Ik ben een ziener. Ik kijk wat er aan de hand is en wat ervoor nodig is dat beter te maken.

“Ik ben een ziener. Ik kijk wat er aan de hand is en wat ervoor nodig is dat beter te maken. Ik pas kunstmatige intelligentie toe op het dagelijks leven, de spelletjes doe ik ernaast. In Tilburg zag ik dat er een nieuwe fase in de wetenschap aan het opkomen was. De wikileaks kwamen eraan. Er waren supercomputers, die snel konden rekenen, maar er moest ook iets komen om al die grote hoeveelheden data op te slaan. In 2007 hebben NCF, NIKHEF en NBiC het concept Big Grid geïntroduceerd om superopslag te kunnen bieden. Voor 28,8 miljoen euro is er toen een project gestart om Big Grid over heel Nederland uit te rollen. Het doel was om het NIKHEF te ondersteunen in hun samenwerking met CERN op zoek naar het Higgs-deeltje. Dat is uiteindelijk op 4 juli 2012 met succes gevonden.

De Verenigde Naties

Data-analyse heeft impact op verschillende punten. Niet alleen ‘voor de lol’, bij spelletjes, maar ook bij serieuze toepassingen als gezondheidszorg en bijvoorbeeld koopkracht en omgang met financiële stromen. Het kan op veel gebieden worden toegepast. Zo is er contact ontstaan met de Verenigde Naties. Zij hebben natuurlijk ook Big Data, maar wisten nog niet goed hoe ze hiermee om moesten gaan. Het openen van een Big Data center voor zo'n instantie is niet gemakkelijk. Er zijn natuurlijk een hele hoop landen die zich hier graag mee willen bemoeien, zoals China en Rusland. Uiteindelijk hebben ze een Big Data center geopend dat puur van de VN is, met Ban Ki-Moon als baas. Dit project heet United Nations Global Pulse en is gestart in 2014.


25

interview

Tegelijkertijd werkte Jaap in Den Haag samen met Big Data for Peace om door data uit te wisselen de vrede te kunnen bewaren. Er werd verteld over Global Pulse en zo is er een samenwerking ontstaan tussen Den Haag, het LCDS en de Verenigde Naties. Gezamenlijk wordt er gewerkt met Big Data om daarmee bijvoorbeeld de Ebola-uitbraak te beteugelen en hopelijk oorlogen te voorkomen. Met data science kan vooraf worden geanalyseerd wat er dreigt te gebeuren en daarop kunnen strategische beslissingen worden afgestemd. Louis van Gaal

robots: ik beweer dat in 2050 robots beter kunnen voetballen dan mensen. Zo komen er ook computers die beter kunnen rechtspreken dan juristen. De computer zal dus taken gaan overnemen van de mens. In 2080 zullen er computers zijn die ethische beslissingen kunnen nemen over bijvoorbeeld euthanasie en wetenschappelijke integriteit en in 2100 zullen er computers zijn die slimmer zijn dan mensen.”

'Data science is het vak van de toekomst.'

Tegenwoordig wordt Big Data veelal gebruikt om te voorspellen. Bij voetbal zijn er ontzettend veel geregistreerde beelden en uitslagen bekend die je kunt gebruiken om een voorspelling te maken. Een leuk voorbeeld is Louis van Gaal. Hij gebruikte vorig jaar Big Data Analytics. Je kunt bijvoorbeeld bepalen vanaf welke afstand het statistisch gezien het meeste resultaat brengt om op doel te schieten, vanaf welk punt het het beste is om een bal in te gooien (je ziet spelers altijd luttele meters stelen bij het ingooien) en op welk moment in het spel een wissel het meeste effect heeft. Hij heeft deze data science dus gebruikt om een strategie te bepalen bij het wereldkampioenschap voetbal. Data science in de toekomst

“In 1950 gingen we over denkende computers praten, bijvoorbeeld schakende programma’s. In 2000 ging dit over op perceptie: kunnen computers kijken en begrijpen wat ze doen? Neem bijvoorbeeld voetballende

“Sommige mensen zijn bang dat we de controle kwijtraken. Daar ben ik niet bang voor. Er zijn mensen die beter zijn in leiding geven dan ik, bijvoorbeeld Rutte. Daar heb ik geen probleem mee, dat vind ik prima. Stel dat er ooit een computerprogramma komt dat betere beslissingen kan nemen dan Rutte, dan nemen we dat programma toch als premier? Ik zou niet weten waarom je moeite zou moeten hebben met computers die slimmer zijn dan wij. Ik ben al mijn hele leven bezig met het slimmer maken van computers. Als dat eindelijk is gelukt, dan ben ik toch blij!”

“De afgelopen tien jaar hebben we ervoor gezorgd dat computers zichzelf kunnen aanpassen. De komende jaren zullen we dit combineren met deep learning. Dan kunnen computers zichzelf aanpassen en slimmer worden. De jaren daarna zal de computer steeds meer autonomie krijgen. Dat betekent dat computers zelf mogen beslissen welke adaptatie ze zullen aannemen en dus hoe ze zichzelf zullen gaan ontwikkelen.” !

Over de geïnterviewde – Jaap van den Herik Jaap van den Herik studeerde wiskunde in Amsterdam en is gepromoveerd aan de TU Delft. Sinds september 2014 is hij werkzaam bij het LIACS in Leiden om daar het LCDS op te zetten. Het Leiden Center for Data Science bundelt datagerelateerd onderzoek en onderwijs binnen de Universiteit Leiden.

✉

26


[email protected]

De Leidsche flesch

Bijna zomer! Lieve lezer, In de vorige editie van Eureka! vertelde ik over de het open podium en een groots eindfeest op het Meerdaagse Excursie en de start van het tweede programma. Genoeg om van te genieten dus. semester. Inmiddels is dat tweede semester weer een tijdje bezig en staat de laatste verre reis van dit Verder zijn er in de afgelopen maand ook nog jaar op het punt om te beginnen. Over een week activiteiten voor net iets andere doelgroepen zitten we met een groep van 45 Flesschers en 2 dan de normale georganiseerd. Zo hebben we docenten in de Verenigde Staten. Daar gaan we in achtereenvolgende weekenden een alumniBoston en New York bezoeken, twee grote steden dag en een ouderdag gehad die beide een groot met hoog aangeschreven universiteiten waarin succes waren. Er zijn lezingen gehouden waar we iets meer dan een week gaan rondlopen en bijvoorbeeld verteld werd hoe het er vroeger aan universiteiten gaan bezoeken. Dit is hét evene- toeging, zowel bij De Leidsche Flesch als in de ment waar ik al maanden naartoe leef. Naast het natuurwetenschappen. bezoeken van de universiteiten zullen we natuurlijk ook de cultuur in deze twee prachtige steden Na de studiereis hebben nog maar ongeveer een gaan proeven. Voor mij persoonlijk is de cultuur maand van activiteiten te gaan en dan beginnen van de Verenigde Staten – en dan met name het de tentamens weer. In de zomermaanden zulhonkbal – iets waar ik ook erg van zal genieten. len sporadisch nog activiteiten georganiseerd worden, maar men is logischerwijs voornamelijk Naast de reis zijn er natuurlijk nog veel meer bezig met leren en genieten van het lekkere weer. activiteiten die georganiseerd worden. Op dit Ik wil iedereen alvast veel succes wensen met de moment zijn we druk bezig met onze diesweek, tentamens en ik hoop iedereen na de zomer weer waarin we de verjaardag van De Leidsche Flesch te zien! vieren. Vorige week is al een aantal geweldige activiteiten georganiseerd, waaronder een bar- Veel leesplezier! becue, sportmiddag en een luxe lunchlezing. Deze week staan er nog een almanakuitreiking Erik Weenk – de almanak is trouwens heel mooi geworden – h.t. Praeses


27

De Leidsche flesch

Interview met de Excursiecommissie Binnen de vakgebieden van De Leidsche Flesch wordt nog altijd heel veel baanbrekend onderzoek gedaan. Om op de hoogte te blijven van de nieuwste ontwikkelingen organiseert de Excursiecommissie door het jaar heen verscheidene excursies. Hoe was de excursie naar Gent?

De commissieleden vertellen enthousiast dat de excursie vooral werd getekend doordat ieder commissielid iets fout had gedaan. Naor was zijn tas met fotocamera vergeten in de trein, Eva was haar id-kaart vergeten en daarnaast lag haar commissiekleding nog thuis. Ellen, de Praeses van de commissie had volgens Eva een woede-aanval en Mussé's fout was vooral dat hij er niet was. Lieuwe, die de functie van Quaestor heeft in de Excursiecommissie, zakte bij aankomst door zijn bed en Larissa, de Ab-actis, had bij nader inzien toch niets fout gedaan. Gelukkig heeft de commissie ook veel positieve herinneringen aan de excursie. Ellen vertelt dat een van de hoogtepunten van de excursie de rondleiding door Gent was op vrijdagavond, waarbij Naor de aanwezige studenten op de hoogte bracht van interessante weetjes over de toeristische trekpleisters. Vooral aan de eerste dag hield de commissie een goed gevoel over. De tweede dag was voor hen wat gestrest, hoewel alles uiteindelijk gelukkig soepel verliep. Lieuwe vond de excursie als geheel gewoon een groot hoogtepunt. 28


Hoe was de excursie naar ESTEC?

Naor, een van de Assessoren van de commissie, was erg onder de indruk van de rover die ze daar aan het testen waren. Eva vond het vooral opmerkelijk dat de gids de kamer met een enorm televisiescherm het indrukwekkendst vond, terwijl men dat juist niet zo spectaculair vond in verhouding met alle ruimteapparatuur waar we in de rondleiding langskwamen. Larissa vertelt trots dat ze zelfs met haar teen op mars heeft gestaan. Eva voegt daaraan toe dat het onderzoekslab met de raket erg gaaf was om te zien en dat het ook heel bijzonder was om zo dicht bij een capsule te staan die daadwerkelijk in de ruimte geweest was. Wat staat er nog op de plan ning?

De commissie vertelt dat er nog een hoop op de planning staat. Zo zal de commissie een excursie naar Felix in Nijmegen organiseren, wordt er een bezoek aan de marine gebracht en staat er nog een excursie naar de luchtverkeersleiding van Schiphol op de planning. Na de zomer zal de commissie tot slot nog een excursie naar Differ organiseren. Eva vertelt

dat we bij de marine ook zelf mogen varen. We zullen de hele dag op de boot zijn waar we uitleg zullen krijgen over wat voor banen er voor bèta's zijn bij de marine. Vooral de wiskunde- en sterrenkundestudenten zijn populair bij de marine, want zij kunnen goed helpen met navigeren. Hebben jullie nog een leuke anekdote over de voorberei ding op een van de activitei ten?

Larissa vertelt dat de commissie eerst van plan was met de bus naar Gent te gaan. Mussé had nog bedacht om liedjes voor te bereiden om te zingen in de bus, maar dat kon helaas niet doorgaan, omdat we uiteindelijk met de trein gingen. Hoe hebben jullie jullie mooie logo ontworpen?

Naor vertelt dat hij zich hierover heeft ontfermd. Het idee erachter was dat je bij excursies vaak met de trein gaat. Daarnaast kon het Fleschlogo mooi als schoorsteen gebruikt worden, dus daarom werd het logo een stroomtrein. Hebben jullie nog een mooie oneliner?

Ja, nog meer dan bij de Universiteit Leiden geldt voor onze commissie ‘met ons leer je de wereld kennen!’.

Koken met

RON Ingrediënten:: 1 reep pure chocolade met koffiesmaak (Cafe noir, 100 g)

Brownies Bereiden

150 g zelfrijzend bakmeel

• De pure chocolade (fijn gehakt) met boter in een pannetje (au bain-marie) laten smelten en laten afkoelen. Butterscotchchocolade fijn hakken. • De eieren met een snuf zout in een grote kom met een garde (of mixer) luchtig kloppen. Al kloppende de suiker geleidelijk toevoegen. Dan met een houten lepel (i) chocolademengsel, (ii) meel, (iii) butterscotch er goed doorheen roeren. • In het bakblik doen, de bovenkant gladstrijken en 30 minuten in de voorverwarmde oven bakken. • In het blik helemaal laten afkoelen. In een afgesloten plastic zak bewaren (maximaal 2 dagen). • Voor gebruik in 24 hapklare brokken snijden.

laag (rechthoekig) bakblik, ingevet, bakpapier op bodem (20-30 cm)

Eet smakelijk!

100 g zachte ongezouten boter 75 g butterscotchchocolade 4 medium eieren snuf zout 300 g lichtbruine basterdsuiker

oven op 175°C

Juni 8 juni

Excursie naar Nikhef 26 juni

Lustrumfeest Universiteit Leiden 30 juni

Algemene Ledenvergadering Juli 2 juli

RandomCie Waterfestijn 3 juli

Monopolyrace Augustus 2 augustus

200e verjaardag van de faculteit Wiskunde en Natuurwetenschappen 10-14 augustus

El CID-week

31 augustus

Opening academisch jaar September 1 september

Algemene Ledenvergadering

leidenscience-200.nl Eureka! nummer 49 – juni 2015

29

De Leidsche flesch

Ontspannen en Uitblinken Door Colin Meulblok

Sport en studentenleven, dat is waarschijnlijk één van de moeilijkste combinaties. Hoewel je je studie natuurlijk goed wilt doen, wil je ook lekker een avondje kunnen stappen of gezellig met een paar vrienden iets leuks doen. Dan valt het vaak niet mee om tijd vrij te maken om te sporten. Toch willen de meesten fit zijn en er goed uitzien, maar tegelijkertijd toch niet te veel sporten, want uitgaan is leuker. Daarbij komt ook nog dat gezond eten duurder is en niet zo snel te maken, wat het voor degenen die zelf koken extra lastig maakt om er een gezonde levensstijl op na te houden. Toch lukt het een enkeling om op hoog niveau te sporten en soms wel vijf of zes keer per week te trainen, tegelijkertijd goed te presteren op hun studie en ook nog tijd over te houden voor gekke avonden. Deze mensen zijn volgens mij wel de uitzondering op de regel, omdat op hoog niveau sporten en met goede resultaten collegejaren afsluiten niet of nauwelijks samengaan. Dit is erg jammer, want je studententijd moet een tijd zijn waarin je jezelf kan ontwikkelen op meer dan één vlak, niet een tijd die je zo snel mogelijk achter je moet laten omdat je

Colofon Eureka! jaargang 11, nummer 49, juni 2015 Eureka! is een uitgave van een samenwerkingsverband tussen de Faculteit Wiskunde en Natuurwetenschappen aan de Universiteit Leiden en studievereniging De Leidsche Flesch en wordt ieder kwartaal gratis verspreid onder studenten en wetenschappelijk personeel van de opleidingen Natuurkunde, Wiskunde, Sterrenkunde en Informatica aan de Universiteit Leiden. De redactie behoudt zich het recht artikelen te wijzigen of niet te plaatsen. Anonieme artikelen worden in principe niet geplaatst. Oplage ongeveer 2500

30


anders het geld niet meer hebt om door te gaan. Hobby's uitoefenen en stappen als student moeten beide gewoon kunnen zonder te veel stress over deadlines van verslagen en opdrachten en zonder de gedachte "als ik dit niet haal moet ik iets anders gaan doen". Het is raar dat het voor studenten, die niet weten wat ze later willen doen, zo lastig wordt gemaakt om erachter te komen wat ze daadwerkelijk interesseert en wat ze uit hun leven willen halen. Sport beoefenen, hobby's uitoefenen, reizen en interessante plekken bezoeken, om gedachten te verzetten, omdat je er later verder mee wilt of gewoon ter ontspanning, moet naar mijn mening kunnen. Maar door het huidige beleid wordt dit onnodig moeilijk gemaakt en dat is iets wat moet veranderen.

Redactieadres Eureka! Magazine p/a De Leidsche Flesch Niels Bohrweg 1 2333 CA Leiden [email protected] Hoofdredactie Ellen Schlebusch Eindredactie Annette Mense, Lotte Konings, Simon Klaver, Tobias de Jong en Tom Warmerdam Rubrieksredactie Alex van Vorstenbosch, Annette Mense, Ellen Riefel, Ellen Schlebusch, Heleen Otten, Lotte Konings, Pim Overgaauw, Simon Klaver, Simone Cammel, Stefanie Brackenhoff, Suzanne van Anten, Tobias de Jong en Tom Warmerdam

Deze column wordt iedere editie door een ander lid van De Leidsche Flesch geschreven. Zou je je eigen column hier willen zien? Stuur dan een e-mail naar [email protected].

Ontwerp en vormgeving Balyon, Zoeterwoude Druk UFB, Universiteit Leiden Aan deze editie werkten verder mee: Anne Hommelberg, Martin van Hecke, Bastiaan Florijn, Bob Sleeuwenhoek, Jaap van den Herik, Charlene Kalle, Marius Cammel, Erik Weenk, Ron van Veen en Colin Meulblok. Referenties Het is helaas niet altijd mogelijk referenties naar andere publicaties op te nemen. Wilt u meer weten, neemt u dan contact op met de redactie.

Adverteren Adverteren in de Eureka! is mogelijk door schriftelijk contact op te nemen met studievereniging De Leidsche Flesch, door te mailen naar bestuur@ deleidscheflesch.nl. Abonnement Het is voor € 8,- per jaar mogelijk een abonnement te nemen op Eureka!. Neemt u hiervoor contact op met de redactie. Deadline Eureka! 50: 1 juli 2015 Copyright Eureka! en al haar inhoud © studievereniging De Leidsche Flesch. Alle rechten voorbehouden. ISSN 2214-4072

PUZZEL

Puzzel Wat is de samenhang in de onderstaande rijtjes en wat hoort er dus op de puntjes?

Het inzien van verbanden en het correct aanvullen van rijtjes is bèta’s eigen. Wij hopen dan ook op grootschalige respons op onderstaande puzzel. Maar kennis van enkel wiskundige rijen is onvoldoende: deze rijen vereisen een bredere interesse. Heb jij deze in huis? Stuur een zo compleet mogelijke lijst van jouw antwoorden in vóór 1 augustus 2015.

XIII, XXI, XXXIV, LV,… s, …, d, f, g,h 3 ,7 ,9 ,… Den Haag, Leiden, …, Den Bosch, …, Zaanstad. … - … - Connor- Edward- Arno Thorne, …, Penrose, Sachdev, Stanley Gross, … 2 Farthings, 2 Ha'penny, …, 2 Thrupences, 2 Sixpence, 2 Bob, 1 Florin + 1 Sixpence, 4 Half Crowns, … Sean, David, George, Roger, …, …, Daniel Penryn - … - Westmere - … - Ivybridge - … Pb, Sn, Ge, Si, … Lorelei, Bruno, Agatha,... ““” - “#” - “$” - “%” - … - “’” - … 6, …, 496, 8128, … Jory Cassel, … , Viserys Targaryen, Robert Baratheon, Khal Drogo, Qotho, …

Winnaar Prijsvraag

#48

Bij de prijsvraag uit vorige editie was het doel om een getal in te zenden dat zo dicht mogelijk bij tweederde van het gemiddelde van de inzendingen lag. De prijsvraag is gewonnen door Michel Zoeteman met de inzending A(G^G,G^G) / 10000, waarbij A voor de Ackermann-Peter-functie en G voor het getal van Graham staat. De andere inzendingen waren getallen tussen de 3 en de A(G^G,G^G). Michel kan zijn prijs op komen halen bij het bestuur in de Flesschekamer (Snellius lokaal 301).


31

Eigenzinnig? Applicaties bouwen wij zelf. Gewoon, omdat we vinden dat we dat zelf het beste kunnen.

werkenbijdsw.nl

LEIDSE MOLENS. Fotoreportage. Mechanische metamaterialen. Graveringen van Homo erectus. Majority judgment: a better way to vote

Recommend Documents