LAPORAN TAHUNAN PENELITIAN UNGGULAN PERGURUAN TINGGI
PENGEMBANGAN BAHAN AJAR MATEMATIKA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK PEMBELAJARAN DI SMK Tahun ke-1 dari Rencana 2 Tahun Ketua Dr. Ali Mahmudi (NIDN: 0023067305) Anggota Dr. Sugiman (NIDN 0028026505) Himmawati Puji Lestari, M.Si. (NIDN 0010017503) Kuswari Hernawati, M.Kom. (NIDN. 0014047606)
UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA NOVEMBER, TAHUN 2015
ii
PENGEMBANGAN BAHAN AJAR MATEMATIKA DENGAN PENDEKATAN KONTEKSTUAL UNTUK PEMBELAJARAN DI SMK Ali Mahmudi, Sugiman, Himmawati Puji Lestari, Kuswari Hernawati
RINGKASAN Matematika merupakan salah satu mata pelajaran wajib di setiap jenjang sekolah, termasuk di Sekolah Menengah Kejuruan (SMK). Matematika mempunyai peranan penting dalam upaya penguasaan ilmu dan pengembangan teknologi. Dengan demikian, penguasaan matematika yang baik akan mendorong kemajuan IPTEK. Kompetensi yang harus dikuasai siswa diharapkan dapat dicapai melalui proses pembelajaran yang dirancang dengan baik. Salah satu faktor yang mempengaruhi proses pembelajaran adalah bahan ajar. Salah satu kriteria yang digunakan untuk menilai kualitas bahan ajar adalah jika bahan ajar tersebut memenuhi kriteria tertentu, yaitu valid, praktis, dan efektif. Aspek validitas berkaitan dengan kesesuaian bahan ajar yang dikembangkan dengan teori-teori yang mendukung. Aspek kepraktisan berkaitan dengan kemudahan bahan ajar dipraktikkan dalam kegiatan pembelajaran di kelas. Sedangkan aspek efektivitas berkaitan dengan ketercapaian tujuan pembelajaran. Penelitian ini bertujuan untuk mengembangkan buku ajar matematika dengan pendekatan kontekstual untuk pembelajaran di SMK kelompok teknologi. Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan dengan model pengembangan ADDIE, yaitu Analysis (Analisis), Design (Perancangan), Development (Pengembangan), Implementation (Implementasi), dan Evaluation (Evaluasi). Instrumen penelitian yang digunakan adalah lembar penilaian buku ajar, angket respon siswa terhadap buku ajar, dan angket kepraktisan penggunaan buku ajar oleh guru, dan tes hasil belajar. Hasil penelitian berupa buku ajar matematika dengan pendekatan kontekstual untuk pembelajaran di SMK kelas X yang memenuhi kriteria valid, efektif, dan praktis. Kata kunci : buku ajar, pendekatan kontekstual, matematika, SMK
iii
DEVELOPING MATHEMATICS TECAHING AND LEARNING MATERIALS FOR SMK STUDENTS Ali Mahmudi, Sugiman, Himmawati Puji Lestari, Kuswari Hernawati
SUMMARY
Mathematics is a compulsory subject in all levels of schools, including vocational schools (SMK). Mathematics has an important role in efforts mastery of science and technology development. Thus, a good mastery of mathematics will encourage the advancement of science and technology Competencies that must be mastered students are expected to be achieved through a learning process that is designed well. One of the factors that affect the learning process is learning materials. One of the criteria used to assess the quality of teaching materials is if the instructional materials to meet certain criteria, are valid, practical, and effective. Validity relating to the suitability of teaching materials developed by the theories that support. Practicality associated with the practiced ease of teaching materials in classroom learning activities. While the effectiveness of aspects relating to the achievement of learning objectives. This research aims to develop a textbook of mathematics with a contextual approach to learning in vocational technology group. This research is the development of the ADDIE development model, namely Analysis (Analysis), Design (Design), Development (development), Implementation (Implementation), and Evaluation (Evaluation). The research instrument used is the assessment sheet textbook, student questionnaire responses to the textbook, and questionnaires practicality of use textbooks by teachers and achievement test Results of this research is the textbook of mathematics with a contextual approach to learning mathematics in class X SMK that valid, effective, and practical Keywords: teaching materials, a contextual approach, mathematics, vocational
iv
PRAKATA Alhamdulillahirobbil ‘alamin. Segala puji bagi Alloh SWT atas karunia yang luar biasa diberikan kepada kami, penelitian dengan judul “Pengembangan Bahan Ajar Matematika dengan Pendekatan Kontekstual untuk Pembelajaran di SMK” dapat diselesaikan dengan baik. Produk atau luaran utama dari penelitian ini adalah Buku Ajar Matematika untuk Siswa SMK. Buku ini digunakan sebagai salah satu sumber belajar bagi siswa SMK untuk mata pelajaran matematika, terutama untuk mengeksplorasi dan mengkaji konsep-konsep matematika. Buku ini secara lengkap dan rinci membahas dan mengeksplorasi konsep-konsep matematika yang diawali dengan penyajian konteks yang relevan dan sejarah terkait topik itu untuk memotivasi siswa. Buku ini juga memberikan aktivitas, contoh, dan soal latihan yang bersifat konseptual maupun aplikatif atau kontekstual untuk memperkuat pemahaman siswa. Buku ini sangat penting dipelajari siswa sehingga memperoleh pemahaman yang baik mengenai konsepkonsep matematika. Penulis mengucapkan terima kasih kepada reviewer atau validator buku ini yang telah memvalidasi dan memberikan saran untuk melengkapi dan menyempurnakan buku ini. Peneliti berharap, buku ini bermanfaat untuk memperkaya pembelajaran matematika di SMK sehingga menjadi pembelajaran yang lebih bermakna.
Yogyakarta, 10 November 2015. Tim Peneliti
v
DAFTAR ISI HALAMAN JUDUL …………………………………………………………
i
HALAMAN PENGESAHAN ……………………………………………….
ii
RINGKASAN ………………………………………………………………..
iii
PRAKATA …………………………………………………………………..
V
DAFTAR ISI …………………………………………………………………
Vi
DAFTAR LAMPIRAN ………………………………………………………
Ii
BAB I PENDAHULUAN
1
A. Latar Belakang ……………………………………………………….
1
B. Pembatasan Masalah ……………...…………………………………
3
C. Rumusan Masalah ...............................................................................
3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA A. Buku Ajar ……………………………………………….....................
4
B. Pendidikan Kejuruan ………………………………….......................
5
C. Pendekatan Kontekstual ……………………………………………..
8
D. Road Map Penelitian
10
BAB III TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN A. Tujuan Penelitian ……………………………………………………..
12
B. Manfaat Penelitian ……………………………………………………
12
BAB IV METODE PENELITIAN A. Jenis Penelitian ………………………………………………………
13
B. Subjek Penelitian ……………………………………………………..
13
C. Instrumen Penelitian ………………………………………………….
13
D. Rancangan Penelitian .......…………………………………………....
13
E. Teknik Analisis Data ...........................................................................
16
BAB V HASIL DAN PEMBAHASAN ……………………………………..
17
BAB VI RENCANA TAHAPAN BERIKUTNYA ………………………….
28
BAB VII KESIMPULAN DAN SARAN
29
DAFTAR PUSTAKA
30
vi
DAFTAR LAMPIRAN Lampiran 1. RPP …………………………………………………………......
31
Lampiran 2 Lembar Validasi Bahan Ajar ...………………………………….
36
Lampiran 3 Angket Tanggapan Siswa terhadap Bahan Ajar .....................…..
38
Lampiran 4. Angket Kepraktisan Penggunaan Bahan Ajar ...………………..
40
Lampiran 5 Kisi-kisi Tes Hasil Belajar ......................………..………………
41
Lampiran 6 Tes Hasil Belajar .......……………………………………………
42
Lampiran 7 Contoh Materi dalam Buku Ajar
49
vii
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Pembelajaran matematika di sekolah biasanya dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: guru menjelaskan materi, guru memberi contoh soal dan cara menyelesaikannya, dan siswa mengerjakan soal latihan. Kegiatan pembelajaran yang didominasi oleh aktivitas guru ini membuat siswa menjadi pasif. Keingintahuan siswa terhadap matematika menjadi kurang dan siswa enggan bertanya ketika mengalami kesulitan. Dalam penyampaian materi, guru hanya menjelaskan pengetahuan secara langsung dan siswa tidak diberi kesempatan untuk menemukan sendiri konsep matematika. Di samping itu, guru jarang mengaitkan konsep matematika dengan masalah nyata yang terkait ataupun aplikasi konsep matematika tersebut dalam bidang lain. Hal ini dapat mengakibatkan motivasi siswa dalam mempelajari matematika menjadi kurang karena siswa tidak melihat adanya manfaat mempelajari matematika dan siswa memandang bahwa matematika terlepas dari ilmu yang lain. Siswa juga menjadi tidak terbiasa mencari hubungan antar berbagai konsep matematika dan hubungan antara konsep matematika dengan konsep dalam mata pelajaran lainnya. Paradigma pembelajaran di sekolah menengah kejuruan sebaiknya mempertimbangkan kebutuhan dunia kerja, mengacu pada standar kompetensi dunia kerja atau dunia industri (SKKNI). Menurut Career Center Maine Department of Labor (2004), beberapa karakteristik individu yang dikehendaki dunia kerja adalah: (1) mempunyai kepercayaan diri, (2) mempunyai motivasi untuk berprestasi, (3) menguasai keterampilan-keterampilan dasar seperti membaca, menulis, mendengarkan, berbicara, dan melek komputer (computer literacy), (4) menguasai keterampilan berpikir, seperti memecahkan masalah (problem solving), membuat soal (problem posing), mengambil keputusan (decision making), berpikir analitis (analythical thinking), dan berpikir kreatif (creative thinking), dan (5) menguasai keterampilan interpersonal, seperti kemampuan berkerja dalam tim dan melakukan negosiasi. Kemampuan pemecahan masalah juga merupakan kemampuan yang dituntut dunia bisnis sebagaimana dikemukakan Business in the Community/BITC (McGregor, 2007) bahwa dunia bisnis memerlukan individu-individu dengan kemampuan komunikasi baik, kemampuan bekerja dalam tim, dan kemampuan pemecahan masalah. Matematika sebagai salah satu mata pelajaran yang diajarkan di SMK, termasuk di SMK kelompok teknologi hendaknya mampu mendukung kemampuan dan keterampilan
1
siswa yang akan dibutuhkan di dunia kerja. Banyak konsep, teori, dan aplikasi yang dibutuhkan untuk menyelesaikan permasalahan di dunia kerja sehari-hari. Proses pembelajaran seyogyanya dilaksanakan dengan pendekatan pembelajaran yang tepat. Pendekatan pembelajaran yang digunakan seharusnya berorientasi pada siswa yaitu siswa belajar secara aktif, interaktif, dan memberikan kesempatan kepada siswa untuk mengeksplorasi materi. Guru hendaknya memberikan siswa masalah-masalah yang bermakna, masalah yang terkait dengan kehidupan sehari-hari, dan masalah yang menantang dan memotivasi mereka. Salah satu pendekatan pembelajaran yang dipandang tepat adalah pembelajaran kontekstual (Contextual Teaching and Learning/CTL). Pembelajaran kontekstual merupakan pendekatan pembelajaran yang menekankan pada keterkaitan antara materi yang diajarkan dengan situasi dunia nyata dan mendorong siswa membuat hubungan antara materi yang diajarkan dengan penerapannya/konteks dalam kehidupan sehingga siswa memiliki pengetahuan/keterampilan yang secara fleksibel dapat diterapkan dari satu permasalahan ke permasalahan lainnya. Pembelajaran kontekstual merupakan pembelajaran yang terdiri dari 7 komponen, yaitu konstruktivisme, inkuiri, bertanya, masyarakat belajar, pemodelan, refleksi, dan penilaian nyata. Guru berperan sebagai fasilitator, mendorong siswa untuk mengkonstruksi pengetahuan dan keterampilan melalui penemuan (inkuiri), mendorong siswa untuk membentuk masyarakat belajar, memberikan kesempatan kepada siswa untuk aktif bertanya. Menurut Mann (2005), saat ini, lebih dari sebelumnya, tuntutan kepada institusi pendidikan untuk mempersiapkan lulusannya agar mampu mengembangkan kreativitasnya semakin mengemuka. Pengembangan kreativitas oleh institusi pendidian juga dikemukakan oleh United States Department of Labor (Berg, 1999) yang menghendaki agar institusi pendidikan memberikan kesempatan kepada siswa untuk mengkonstruksi pengetahuan mereka melalui aktivitas pemecahan masalah kreatif terkait masalah nyata. Secara tegas, McBeath (McGregor, 2007) juga menyatakan bahwa hendaknya institusi pendidikan menekankan pada penguasaan siswa mengenai berbagai keterampilan berpikir seperti berpikir kritis, berpikir kreatif, dan kemampuan pemecahan masalah. Tujuan pembelajaran matematika yang ideal tersebut diharapkan dapat dicapai melalui proses pembelajaran matematika yang dirancang dengan baik. Hal ini sesuai dengan pendapat Park (2004) bahwa pendidikan atau proses pembelajaran dapat diartikan sebagai proses untuk mengembangkan potensi siswa. Berdasarkan paradigma student-centered learning, peran guru dalam pembelajaran adalah sebagai motivator dan fasilitator. Sebagai fasilitator, seorang guru harus merancang pembelajaran yang dapat memberikan kesempatan seluas-luasnya 2
kepada siswa untuk beraktifitas. Siswa diberikan kesempatan untuk melakukan berbagai aktivitas matematis yang bermakna, seperti menemukan, eksplorasi, menganalisis, dan mengekspresikan pemikirannya. Proses pembelajaran yang baik akan terwujud jika didukung oleh sumber belajar yang baik, sumber belajar yang dapat memfasilitasi kegiatan belajar yang berpusat pada siswa dan mampu menjembatani kesenjangan antara materi dan konteksnya dalam kehidupan sehari-hari. Saat ini, ketersediaan buku ajar yang dapat mendukung siswa melakukan aktivitas yang bermakna dan mampu menjembatani kesejanjangan antara teori dan praktik, materi dan konteks masih sedikit bahkan jarang ditemukan. Mengingat karakteristik matematika yang objek kajiannya bersifat abstrak, maka pengaitan kosep dan materi matematika dengan konteks menjadi hal yang penting dan mutlak. Oleh sebab itulah penelitian ini menjadi sangat penting karena akan menghasilkan suatu produk riil berupa buku ajar dengan pendekatan kontekstual. Buku ajar yang seperti ini menghasilkan suatu kebaruan, baik dalam tataran paradigma maupun praktis, terkait dengan pengembangan model pembelajaran berpusat pada siswa. B. Pembatasan Masalah Berdasarkan uraian di atas, perlu dilakukan pengembangan buku ajar matematika dengan pendekatan kontekstual untuk pembelajaran di SMK yang berkualitas yang memenuhi kriteria valid, praktis, dan efektif. Selain itu perlu pula diungkap berbagai kendala yang dihadapi dalam mengembangkan bahan ajar ini. C. Rumusan Masalah Berdasarkan uraian tersebut, masalah dalam penelitian ini dirumuskan sebagai berikut. 1. Bagaimana kualitas buku ajar matematika dengan pendekatan kontekstual untuk pembelajaran di SMK dilihat dari aspek kevalidan, kepraktisan, dan keefektifan? 2. Kendala apa yang dihadapi dalam mengembangkan buku ajar matematika dengan pendekatan kontekstual untuk pembelajaran di SMK?
3
BAB II TINJAUAN PUSTAKA
A. Buku Ajar Buku ajar merupakan salah satu sumber belajar yang penting dalam kegiatan pembelajaran. Buku ajar merupakan buku panduan bagi siswa dalam kegiatan pembelajaran yang memuat materi pelajaran, kegiatan penyelidikan berdasarkan konsep, dan contoh-contoh penerapan dalam kehidupan sehari-hari (Trianto, 2007). Menurut Hendro Darmojo dan Jenny R.E. Kaligis (2003), buku ajar harus memenuhi kriteria sebagai berikut. 1. Syarat didaktik, artinya buku ajar harus mengikuti azas-azas pembelajaran efektif, yaitu sebagai berikut. a. Harus memperhatikan adanya perbedaan individu, sehingga dapat digunakan oleh seluruh siswa yang memiliki kemampuan berbeda. b. Menekankan pada proses untuk menempatkan konsep-konsep sehingga berfungsi sebagai penunjuk bagi siswa untuk mencari informasi. c. Memiliki variasi stimulus melalui berbagai media dan kegiatan siswa sehingga dapat memberikan kesempatan pada siswa untuk menulis, bereksperimen, praktikum, dan sebagainya. 2. Syarat konstruksi, artinya syarat-syarat yang berkenaan dengan penggunaan bahasa, susunan kalimat, kosakata, tingkat kesukaran, dan kejelasan dalam buku siswa, yaitu sebagai berikut. a.
Menggunakan bahasa yang sesuai dengan tingkat kedewasaan anak
b.
Menggunakan struktur kalimat yang jelas
c.
Memiliki tata urutan pelajaran yang sesuai dengan tingkat kemampuan siswa, artinya halhal sederhana menuju hal-hal yang lebih kompleks.
d.
Menghindari pertanyaan yang terlalu terbuka
e.
Tidak mengacu pada sumber yang di luar kemampuan keterbacaan siswa
f.
Menyediakan ruang yang cukup untuk memberi keluasan pada siswa untuk menulis maupun menggambarkan hal-hal yang ingin siswa sampaikan
g.
Menggunakan kalimat yang sederhana dan pendek
h.
Dapat digunakan untuk anak-anak baik yang lambat maupun cepat dalam hal penguasaan materi
i.
Memiliki tujuan belajar yang jelas
j.
Memiliki identitas untuk memudahkan administrasinya. Menurut Nur (Sudarso, 2009), kriteria yang harus dipenuhi untuk pengembangan buku ajar
antara lain adalah sebagai berikut.
4
1.
Materi a. Kebenaran konten (fakta, konsep, prinsip, hukum, teori dan proses ilmiah); b. Memperhatikan keterkaitan sains, teknologi dan masyarakat; c. Sistematis, sesuai struktur kurikulum.
2.
Kebahasaan a. Keterbacaan bahasa atau bahasa yang digunakan sesuai dengan usia siswa; b. Menggunakan bahasa Indonesia yang baik dan benar; c. Istilah yang digunakan tepat dan dapat dipahami; d. Menggunakan istilah dan simbol secara ajeg.
3.
Penyajian a. Membangkitkan motivasi/ minat/ rasa ingin tahu; b. Format buku (ukuran, kualitas seni grafik dan gambar, dan sebagainya); c. Mendorong siswa terlibat aktif; d. Sistematika isi buku (tata letak); e. Memperhatikan siswa dengan kemampuan/ gaya belajar yang berbeda; f. Sesuai dengan taraf berpikir dan kemampuan membaca siswa.
Adapun manfaat dari buku ajar antara lain adalah sebagai berikut. 1.
Memudahkan guru mengelola proses belajar, misalnya mengubah kondisi belajar dari suasana teacher centered menjadi student centered.
2.
Membantu guru mengarahkan siswanya untuk dapat menemukan konsep-konsep melalui aktivitasnya sendiri atau dalam kelompok kerja
3.
Mengembangkan keterampilan proses, mengembangkan sikap ilmiah, serta membangkitkan minat siswa terhadap alam sekitarnya
4.
Memudahkan guru memantau keberhasilan siswa untuk mencapai sasaran belajar.
B. Pendidikan Kejuruan Pendidikan kejuruan dapat diartikan dari berbagai segi. Bila seseorang belajar cara bekerja, maka orang tersebut mendapatkan pendidikan kejuruan. Byram & Wenrich (1956: 50) menyatakan bahwa dari sudut pandang sekolah, pendidikan kejuruan mengajarkan orang cara bekerja secara efektif. Dengan demikian, pendidikan kejuruan berlangsung apabila individu atau sejumlah individu mendapatkan informasi, pemahaman, kemampuan, keterampilan, apresiasi, minat dan/atau sikap, yang memungkinkan dia untuk memulai atau melanjutkan suatu aktivitas yang produktif. Menurut Evans (Muliaty, 2007: 7), pendidikan kejuruan merupakan bagian dari sistem pendidikan yang mempersiapkan seseorang agar lebih mampu bekerja pada satu kelompok
5
pekerjaan atau satu bidang pekerjaan daripada bidang-bidang pekerjaan lain. Oemar Hamalik (2001:24) menyatakan bahwa pendidikan kejuruan adalah suatu bentuk pengembangan bakat, pendidikan dasar keterampilan dan kebiasaan-kebiasaan yang mengarah pada dunia kerja yang dipandang sebagai latihan keterampilan. Lebih lanjut, Djohar (2007:1285) mengemukakan bahwa pendidikan kejuruan adalah suatu program pendidikan yang menyiapkan individu peserta didik menjadi tenaga kerja profesional dan siap untuk melanjutkan pendidikan ke jenjang yang lebih tinggi. Karakteristik pendidikan kejuruan menurut Djohar (2007:1295-1297) adalah sebagai berikut. 1. Pendidikan kejuruan merupakan pendidikan yang memiliki sifat untuk menyiapkan penyediaan tenaga kerja. Oleh karena itu orientasi pendidikan kejuruan tersebut mengarah pada lulusan yang dapat dipasarkan di dunia kerja. 2. Justifikasi pendidikan kejuruan mengacu pada kebutuhan nyata tenaga kerja di dunia usaha dan industri. 3. Pengalaman belajar yang didapatkan melalui pendidikan kejuruan meliputi aspek afektif, kognitif, dan psikomotorik yang diterapkan baik pada situasi simulasi kerja melalui proses belajar mengajar, maupun situasi kerja yang nyata dan sebenarnya. 4. Keberhasilan pendidikan kejuruan diukur dari dua kriteria, yaitu keberhasilan siswa di sekolah (in-school success), dan keberhasilan siswa di luar sekolah (out-of school success. Kriteria pertama meliputi keberhasilan siswa dalam memenuhi persyaratan kurikuler, sedangkan kriteria kedua ditunjukkan oleh keberhasilan atau kinerja lulusan setelah berada di dunia kerja yang nyata dan sebenarnya. 5. Pendidikan
kejuruan
memiliki
kepekaan/daya
suai
(responsiveness)
terhadap
perkembangan dunia kerja. Oleh karena itu pendidikan kejuruan harus dapat responsif dan proaktif terhadap perkembangan ilmu dan teknologi, dengan menekankan pada upaya adaptabilitas dan fleksibilitas untuk menghadapi prospek karir anak didik dalam jangka panjang. 6. Bengkel kerja dan laboratorium merupakan kelengkapan utama dalam pendidikan kejuruan, untuk dapat mewujudkan situasi belajar yang dapat mencerminkan situasi dunia kerja secara realistis dan edukatif. 7. Hubungan kerjasama antara lembaga pendidikan kejuruan dengan dunia usaha dan industri merupakan suatu keharusan, seiring dengan tingginya tuntutan relevansi program pendidikan kejuruan dengan tuntutan dunia usaha dan industri. Djojonegoro (Sudira, 2009) menjelaskan pendidikan kejuruan memiliki multi-fungsi yang jika dilaksanakan dengan baik akan memberikan kontribusi yang besar terhadap pencapaian
6
tujuan pembangunan nasional. Fungsi-fungsi tersebut mencakup: (a) Sosialisasi yaitu transmisi dan konkritisasi nilai-nilai ekonomi, solidaritas, religi, seni, dan jasa; (b) kontrol sosial yaitu kontrol perilaku dengan norma-norma kerjasama, keteraturan, kebersihan, kedisiplinan, kejujuran, keterbukaan; (c) Seleksi dan alokasi yaitu mempersiapkan, memilih, dan menempatkan calon tenaga kerja sesuai dengan permintaan pasar kerja; (d) Asimilasi dan Konservasi budaya yaitu absorbsi antar budaya masyarakat serta pemeliharaan budaya lokal; (e) Mempromosikan perubahan demi perbaikan. Pendidikan kejuruan tidak hanya mendidik dan melatih keterampilan yang ada, tetapi juga harus berfungsi sebagai pendorong perubahan. Pendidikan kejuruan berfungsi sebagai proses akulturasi atau penyesuaian diri dengan perubahan dan enkulturasi atau pembawa perubahan bagi masyarakat. Oleh karena itu, pendidikan kejuruan diharapkan tidak hanya adaptif tetapi juga harus antisipatif. Selain fungsi di atas, Sudira (2009) juga mengemukakan bahwa pendidikan kejuruan juga memiliki tiga manfaat utama yaitu: (a) bagi peserta didik, manfaat yang didapatkan adalah sebagai peningkatan kualitas diri, peningkatan peluang mendapatkan pekerjaan, peningkatan peluang berwirausaha, peningkatan penghasilan, penyiapan bekal pendidikan lebih lanjut, penyiapan diri bermasyarakat, berbangsa, bernegara, penyesuaian diri terhadap perubahan dan lingkungan; (b) bagi dunia kerja, mereka dapat memperoleh tenaga kerja berkualitas tinggi, meringankan biaya usaha, membantu memajukan dan mengembangkan usaha; (c) bagi masyarakat secara keseluruhan dapat meningkatkan kesejahteraan masyarakat, meningkatkan produktivitas nasional, meningkatkan penghasilan negara, mengurangi pengangguran. Terdapat tiga model penyelenggaraan pendidikan kejuruan, sebagaimana dikemukakan oleh Hadi (Muliaty, 2007:8-9). 1.
Model 1. Dalam model 1 ini, pemerintah tidak memiliki peran, atau perannya hanya bersifat marginal dalam proses kualifikasi pendidikan kejuruan. Model ini sifatnya liberal, namun model ini juga berorientasi pada pasar (market-oriented model) permintaan tenaga kerja. Perusahaan-perusahaan sebagai pemeran utama juga dapat menciptakan desain pendidikan kejuruan yang tidak harus berdasarkan pada prinsip pendidikan yang bersifat umum, dan pemerintah dalam hal ini tidak memiliki pengaruh kuat dalam melakukan intervensi terhadap perusahaan karena dalam hal ini perusahaan adalah sebagai sponsor dan pendukung dana. Negara-negara yang menganut model ini adalah Inggris, Amerika Serikat dan Jepang.
2.
Model 2. Model ini sifatnya birokrat, pemerintah dalam hal ini yang menentukan jenis pendidikan apa yang harus dilaksanakan di perusahaan, bagaimana desain silabusnya, begitu pula dalam hal pendanaan dan pelatihan yang harus dilaksanakan oleh perusahaan tidak selalu berdasarkan permintaan kebutuhan tenaga kerja ataupun jenis pekerjaan saat itu. Dalam hal ini, pemerintah sendiri yang melakukan perencanaan, pengorganisasian, dan pengendalian pendidikan kejuruan. Walaupun model ini disebut juga model sekolah (school model),
7
pelatihan dapat dilaksanakan sepenuhnya di perusahaan. Beberapa negara seperti Perancis, Italia, Swedia serta banyak dunia ketiga juga melaksanakan model ini. 3.
Model 3. Pemerintah menyiapkan dan memberikan kondisi yang relatif terpadu dalam pendidikan kejuruan bagi perusahaan-perusahaan swasta dan sponsor swasta lainnya. Model ini disebut juga model pasar dikontrol pemerintah (state controlled market). model ini disebut model sistem ganda (dual system) yang sistem pembelajarannya dilaksanakan di dua lokasi, yaitu di sekolah kejuruan dan di mitra kerja (dunia usaha dan industri) yang keduanya saling membantu dalam menciptakan kemampuan kerja lulusan yang handal. Negara yang menggunakan sistem ini diantaranya Swiss, Austria, Jerman dan Indonesia. Kecenderungan yang digunakan di Indonesia adalah “Model 3”, yang pelaksanaan
pendidikan sistem ganda tersebut dilaksanakan di dua lokasi yaitu di sekolah dan di industri sebagai mitra kerja sekolah kejuruan. Menurut Djojonegoro (Muliaty, 2007:9) pendidikan sistem ganda merupakan bentuk penyelenggaraan pendidikan dan pelatihan keahlian kejuruan yang secara sistematik dan sinkron antara program pendidikan di sekolah dengan program penguasaan keahlian yang diperoleh. C. Pembelajaran Kontekstual (Contextual Teaching and Learning) Suatu proses pembelajaran akan semakin bermakna pada siswa apabila siswa dapat mengetahui tujuan dan penerapan dari pembelajaran tersebut dalam konteks kehidupan seharihari. Oleh karena itu, diperlukan suatu pembelajaran dengan pendekatan kontekstual. Menurut Wina Sanjaya (2006:109), pembelajaran kontekstual merupakan suatu pendekatan pembelajaran yang menekankan proses keterlibatan siswa untuk menemukan materi yang dipelajari dan menghubungkannya dengan situasi kehidupan nyata sehingga siswa dapat menerapkannya dalam kehidupan mereka. Saat siswa mengetahui relasi materi yang dipelajarinya dengan kehidupan nyata maka materi tersebut akan bermakna secara fungsional dan tertanam erat dalam memori siswa. Pendekatan kontekstual adalah sebuah pendekatan belajar yang dirancang untuk dapat membantu siswa memecahkan masalah dengan cara menghubungkan antara materi yang dipelajari dengan konteks kehidupan sehari-hari. Pendekatan kontekstual merupakan konsep belajar yang membantu guru mengaitkan antara materi pembelajaran dengan situasi dunia nyata siswa dan mendorong siswa membuat hubungan antara pengetahuan yang dimilikinya dengan penerapannya dalam kehidupan mereka sehari-hari. Menurut Wina Sanjaya (2006:118), kontekstual sebagai suatu pendekatan pembelajaran memiliki tujuh asas yang melandasi pelaksanaan proses pembelajaran, yaitu: konstruktivisme, inkuiri, bertanya, masyarakat belajar, pemodelan, refleksi, dan penilaian nyata. Komponen pertama adalah konstruktivisme (constructivism). Konstruktivisme adalah proses membangun atau menyusun pengetahuan baru dalam struktur kognitif siswa berdasarkan
8
pengalaman. Menurut pandangan konstruktivisme, pengetahuan tidak diberikan secara instan kepada siswa, melainkan harus dikonstruksi sendiri oleh siswa melalui keterlibatannya secara aktif dalam kegiatan pembelajaran. Dalam kegiatan pembelajaran, siswa membangun pengetahuannya setahap demi setahap, melalui langkah-langkah pembelajaran yang dirancang dengan baik oleh guru. Oleh karena itu, dalam pembelajaran dengan pendekatan kontekstual pada dasarnya mendorong siswa agar dapat mengkonstruksi pengetahuannya melalui proses pengamatan dan pengalaman. Komponen inkuiri berarti bahwa proses pembelajaran didasarkan pada pencarian dan penemuan melalui proses berpikir secara sistematis. Proses inkuiri menekankan pada proses berpikir secara sistematis dengan diawali adanya kesadaran siswa akan adanya suatu masalah serta batasan-batasannya, selanjutnya siswa mengajukan hipotesis atau jawaban sementara, observasi dalam pengumpulan data, pengujian hipotesis, serta diakhiri dengan penarikan kesimpulan.Pembelajaran dirancang sedemikian sehingga memberikan kesempatan kepada siswa untuk menemukan konsep atau pengetahuannya dengan bimbingan guru. Peran guru dalam asas ini adalah merancang pembelajaran yang memungkinkan siswa dapat menemukan sendiri materi yang harus dipahaminya. Penemuan merupakan bagian inti dari kegiatan pembelajaran berbasis CTL. Pengetahuan dan keterampilan yang diperoleh siswa diharapkan bukan hasil proses mengingat atau menghafal, melainkan diperoleh siswa melalui proses penemuan terbimbing. Komponen ketiga CTL adalah bertanya (questioning). Bertanya dapat menggambarkan keingintahuan seseorang akan suatu hal sehingga mendapatkan pengetahuan yang baru. Menjawab pertanyaan menggambarkan kemampuan seseorang dalam berpikir. Oleh karena itu, dalam pembelajaran dengan pendekatan kontekstual guru tidak menyampaikan informasi begitu saja, tetapi memancing siswa agar berpikir dan mampu menemukan sendiri. Bertanya merupakan salah satu proses bagi siswa untuk mengkonstruksi konsep atau pengetahuan. Bagi siswa, bertanya merupakan bagian penting dalam pembelajaran berbasis inquiry, yakni menggali informasi, mengkonfirmasikan apa yang sudah diketahui, dan mengarahkan perhatian pada aspek yang belum diketahui. Guru hendaknya merancang suatu pertanyaan berkualitas yang dapat merangsang kreativitas siswa dalam upaya membangun pengetahuannya. Sebaliknya, siswa harus diberikan kesempatan secara bebas untuk mengemukakan pertanyaan-pertanyaan yang akan memungkinkan mereka lebih dapat memahami konsep dengan baik. Komponen keempat adalah masyarakat belajar (learning community). Manusia tercipta sebagai makhluk sosial yang akan saling membutuhkan dan bekerjasama. Demikian halnya dengan siswa yang saling bekerjasama dalam pemecahan suatu persoalan. Konsep masyarakat belajar dalam pendekatan kontekstual menyarankan agar hasil pembelajaran diperoleh melalui kerjasama dengan orang lain dengan saling berbagi pengalaman dan ide. Berdasarkan konsep ini, siswa dapat mengkonstruksi pengetahuannya dengan baik melalui interaksi sosial. Melalui
9
interaksi sosial, seperti diskusi kelompok, pengetahuan siswa akan dimantapkan melalui proses diskusi. Komponen kelima dari CTL adalah pemodelan (modeling). Asas permodelan berarti bahwa dalam proses pembelajaran memerlukan suatu peragaan atau model sebagai contoh yang dapat ditiru oleh setiap siswa. Permodelan tidak harus dilakukan oleh guru, tetapi dapat juga oleh siswa yang dianggap memiliki kemampuan. Sebagai misal, guru berperan sebagai model yang memberikan contoh cara mengoperasikan sesuatu, menyelesaikan masalah dengan metode tertentu, dan sebagainya. Dalam pembelajaran, siswa juga dapat berperan sebagai model yang memberikan contoh kepada teman sekelasnya, yakni ketika siswa berusaha memaparkan ide atau hasil diskusinya kepada teman sekelas. Komponen keenam adalah refleksi (reflection). Refleksi adalah cara berpikir mengenai apa yang baru dipelajari. Refleksi merupakan suatu proses pengendapan pengalaman yang dipelajari dengan cara mengurutkannya kembali. Refleksi merupakan respon siswa terhadap kejadian, aktivitas, atau pengetahuan yang telah dipelajari atau dikuasai siswa. Guru mengimplementasikan komponen ini dengan cara mereview (merangkum) bersama siswa mengenai materi pembelajaran yang telah dipelajari, juga mengenai apa yang telah dipahami maupun yang belum dipahami siswa. Refleksi dilakukan pada setiap akhir pembelajaran oleh siswa dengan bimbingan dari guru. Komponen terakhir, ketujuh, adalah penilaian yang sebenarnya (authentic assesment), yakni proses pengumpulan berbagai data yang dapat memberikan gambaran perkembangan belajar siswa. Data ini diambil selama kegiatan pembelajaran berlangsung, tidak hanya ketika pembelajaran selesai.Proses penilaian nyata tidak hanya menitikberatkan pada hasil belajar siswa saja, tetapi juga meliputi aspek lain yaitu suatu proses dalam pembelajaran. D. D. Road Map dan Sistematika Beberapa penelitian dari peneliti, yang relevan dengan penelitian yang diusulkan dalam proposal ini, diantaranya adalah: (1) sebagai peneliti pada Hibah RG I-MHERE (2009) yang berjudul Pengembangan Media Pembelajaran Matematika Sekolah Berbasis Multimedia Interaktif, (2) sebagai peneliti pada Hibah RG PHK-A2 (2005) dengan judul: Pengembangan Media Pembelajaran Matematika SMP Berbasis Edutainment (3) sebagai peneliti dalam Hibah TG-PHK A2(2006) dengan judul: Upaya Peningkatan Kemampuan Mahasiswa dalam Penguasaan Teknologi Pembelajaran melalui tugas Pembuatan Media berbasis Komputer dalam Perkuliahan Pemrograman Komputer, (4) sebagai peneliti dalam Hibah RG I-MHERE (2012) dengan judul: Pengembangan Media Pembelajaran Berbasis Metode Inquiry dalam Materi Geometri Ruang menggunakan Cabri 3D untuk Siswa SMP.(5) sebagai peneliti dalam Hibah bersaing (2013) dengan judul Pengembangan Perangkat Pembelajaran Geometri Berbasis ICT Untuk Meningkatkan Kemampuan Komunikasi Matematis Mahasiswa, (6) sebagai peneliti dalam
10
Hibah Bersaing (2013) dengan judul Pengembangan Interactive Student’s Book untuk Mendukung Aktivitas Eksplorasi Konsep-Konsep Geometri. Beberapa penelitian lainnya yang relevan diantaranya adalah penelitian dari (1) Dhoriva UW, Hibah RG I-MHERE(2010) dengan judul : Pengembangan Student Worksheet berbahasa Inggris pada pelajaran Matematika SMP dengan Pendekatan Konstruktivisme dan pemecahan masalah, (2) Heri Retnowati, Hibah RG I-MHERE(2010) dengan judul: Mengembangkan bahan ajar untuk materi sulit pada pembelajaran matematika di Sekolah Menengah Pertama, (3) Sugiyono, Hibah RG I-MHERE(2010) dengan judul: Pengembangan Media menggunakan program CABRI untuk menunjang pembelajaran geometri di SMP dengan metode penemuan terbimbing, (4) Rusgianto HS, Hibah RG I-MHERE(2010) dengan judul: Pengembangan Worksheet Pembelajaran matematika SMP Berbasis Pendidikan Matematika Realistik. (5) Jailani Hibah RG I-MHERE(2010), pengembangan Perangkat Pembelajaran. Berdasarkan beberapa hasil penelitian di atas, maka dalam penelitian Hibah Bersaing ini akan mengkolaborasikan dari penelitian pengembangan buku siswa, perangkat pembelajaran dan pengembangan Worksheet untuk memperoleh hasil yang lebih optimal, yaitu Pengembangan Bahan ajar pengembangan bahan ajar matematika dengan pendekatan kontekstual yang dikhususkan untuk pembelajaran matematika di SMK. Hasil dari penelitian ini sangat bermanfaat untuk diaplikasikan, dideseminasikan dan disosialisasikan sebagai sebuah metode pembelajaran yang sesuai dengan perkembangan jaman, memberikan aktifitas dan mampu menggali kreatifitas mahasiswa dalam belajar matematika. Nantinya buku ajar yang dihasilkan sangat layak untuk dipublikasikan dalam skala nasional.
Gambar 1. Road Map Penelitian
11
BAB III TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN
A. Tujuan Penelitian Secara umum tujuan penelitian ini adalah untuk mengembangkan buku ajar matematika dengan pendekatan kontekstual untuk pembelajaran di SMK. Secara rinci, penelitian ini bertujuan sebagai berikut. 1. Untuk mendeskripsikan kualitas buku ajar matematika dengan pendekatan kontekstual untuk pembelajaran di SMK dilihat dari aspek kevalidan, kepraktisan, dan keefektifan. 2. Untuk mendeskripsikan kendala yang dihadapi dalam mengembangkan buku ajar matematika dengan pendekatan kontekstual untuk pembelajaran di SMK. B. Manfaat Penelitian Manfaat yang dapat diperoleh dari penelitian ini adalah sebagai berikut. 1. Tersedianya bahan ajar matematika dengan pendekatan kontekstual untuk siswa SMK yang dapat mendukung aktivitas eksplorasi siswa terhadap konsep-konsep matematika. 2. Diperolehnya model perangkat pembelajaran matematika yang dapat memfasilitasi siswa melakukan eksplorasi konsep-konsep matematka 3. Temuan tentang kendala dalam pengembangan dan pemanfaatan bahan ajar matematika dengan pendekatan kontekstual 4. Mendorong guru matematika untuk mengembangkan dan memanfaatkan bahan ajar matematika dengan pendekatan kontekstual sehingga pembelajaran lebih bervariasi, inovatif dan bermakna.
12
BAB IV METODE PENELITIAN
A. Jenis Penelitian Jenis penelitian ini adalah penelitian pengembangan yang dimaksudkan untuk mengembangkan buku ajar matematika dengan pendekatan kontekstual untuk pembelajaran kelas X SMK kelompok teknologi. B. Subjek Penelitian Subjek penelitian ini adalah siswa kelas X SMK kelompok teknologi di Yogyakarta. Pemilihan sekolah ini didasarkan pada kesedian guru di sekolah tersebut sebagai mitra dalam kegiatan pengembangan buku ajar ini. C. Instrumen Penelitian Instrumen penelitian ini adalah format penilaian atau bahan ajar matematika dengan pendekatan kontekstual untuk pembelajaran di SMK yang terdiri aspek-aspek (1) materi/konsep, (2) aspek konstruksi, (3) aspek didaktis, dan (4) aspek teknis. Aspek materi/konsep terdiri atas subaspek kebenaran/keakuratan materi, ketercakupan materi, dan kesesuaian materi dengan standar kompetensi dan kompetensi dasar. Aspek konstruksi berkaitan dengan kejelasan dan kekomunikatifan bahasa yang digunakan, kejelasan tujuan pembelajaran setiap bab maupun tujuan setiap kegiatan, keberadaan dan kejelasan identitas buku ajar, kejelasan petunjuk dan langkah-langkah setiap kegiatan dalam buku ajar.. Aspek didaktis terdiri atas subaspek: ketersediaan aktivitas atau tugas yang memfasilitas siswa untuk mengeksplorasi konsep-konsep geometri, ketersediaan aktivitas atau tugas yang mendorong siswa untuk berinteraksi secara aktif dalam kegiatan pembelajaran, dan ketersediaan contoh soal dan soal latihan yang memfasilitasi siswa untuk memperluas pemahamannya dan mengembangkan kemampuan pemecahan masalah matematis. Aspek teknis terdiri atas subaspek kesesuaian jenis dan ukuran huruf, kesesuaian dan ketepatan ukuran penempatan gambar, tabel, diagram, atau ilustrasi, dan kemenarikan tampilan atau penyajian. D. Rancangan Penelitian Penelitian ini dilaksanakan selama dua tahun yang setiap tahunnya terdiri atas 3 tahap, yakni tahap persiapan, tahap pengembangan bahan ajar, dan tahap akhir. Tahapan-tahapan tersebut diuraikan sebagai berikut.
13
1.
Tahap Persiapan Tahap ini terdiri atas beberapa kegiatan sebagai berikut. a. Orientasi tentang pengembangan buku ajar dan pembelajaran dengan pendekatan kontekstual. b. Pemilihan dan koordinasi dengan sekolah yang akan dijadikan sebagai mitra pengembangan buku ajar. c. Penyusunan instrumen penelitian.
2.
Tahap Pengembangan Bahan Ajar Tahap pengembangan bahan ajar dalam penelitian ini mengacu pada model
pengembangan ADDIE sebagai berikut 1.
Analysis Pada langkah ini akan dilakukan analisis kebutuhan, analisis kurikulum, dan analisis
karakteristik siswa. Analisis kebutuhan dan analisis kurikulum dilakukan untuk mengetahui pada semester berapa buku ajar merupakan hal yang urgen dan sesuai untuk pembelajaran kontekstual, dan selanjutnya dilakukan analisis kurikulum untuk menyusun kompetensi inti, kompetensi dasar, dan indikator pencapaian. Analisis karakteristik siswa dilakukan untuk mendeskripsikan karakteristik siswa SMK sebagai pertimbangan penyusunan isi buku ajar. 2.
Design Pada langkah ini dilakukan penyusunan peta materi sesuai dengan kompetensi inti,
merancang format dan komponen buku ajar yang sesuai dengan karakteristik pendekatan kontekstual, sekaligus menyusun kerangka isi buku ajar. Buku ajar ini sekaligus dilengkapi dengan Rancangan Pembelajaran sebagai panduan melaksanakan pembelajaran kontekstuan. 3.
Development Pada langkah ini, dilakukan penyusunan dan penulisan draft atau prototipe buku ajar
sesuai dengan rancangan yang telah dibuat pada langkah design. Prototipe buku ajar yang telah dikembangkan dinilai oleh ahli untuk mengetahui apakah prototipe ini layak untuk diujicobakan. Selanjutnya, prototipe ini direvisi sesuai saran dari validator. 4.
Implementation Setelah prototipe direvisi sesuai saran validator, langkah selanjutnya adalah
mengimplementasikan atau uji coba buku ajar dalam pembelajaran di kelas. 5.
Evaluation Berdasarkan hasil observasi pada langkah implementasi dilakukan evaluasi untuk
mendeskripsikan kendala dan kesulitan yang dijumpai dalam penggunaan buku ajar tersebut. Pada langkah ini juga dilakukan revisi prototipe berdasarkan hasil observasi.
14
4.
Tahap akhir Pada tahap ini dilakukan analisis data dan penyusunan laporan penelitian dan artikel.
Pada tahap ini juga dilakukan publikasi buku dan pengajuan ISSN. Data yang diperoleh dalam penelitian ini akan dianalisis secara kuantitatif dan kualitatif, dan deskriptif. Teknik kuantitatif dan kualitatif digunakan untuk mendeskripsikan kualitas buku ajar yang dikembangkan dilihat dari aspek kevalidan, keefektivan, dan kepraktisan. Sementara, teknik deskriptif dilakukan untuk menganalisis kendala yang dijumpai dalam mengembangkan buku ajar. Hasil penelitian pada tahun pertama dijadikan bahan pertimbangan untuk pengembangan di tahun kedua. Analisis kebutuhan Analisis kurikulum Analisis karakteristik siswa SMK
Analisis kebutuhan Analisis kurikulum Analisis karakteristik siswa SMK
Tahap Persiapan
Tahap Analysis
Tahap Design
Penyusunan prototipe buku ajar Validasi prototipe buku ajar Revisi prototipe buku ajar
Tahap Development
Ujicoba prototipe buku ajar
Tahap Implementation
Revisi buku ajar
Tahap Evaluation
Tahap Akhir
Analisis Data Penyusunan Laporan Penyusunan Artikel Publikasi Buku Pengajuan ISSN
TAHAP ADDIE
Penyusunan peta materi Perancangan format dan Komponen buku Penyusunan rancangan pembelajaran
Gambar 2. Tahapan Penelitian
15
E. Teknik Analisis Data Data yang diperoleh dalam penelitian ini akan dianalisis secara kuantitatif dan kualitatif. Teknik kuantitatif digunakan untuk menganalisis hasil validasi buku ajar dan analisis kualitatif digunakan untuk menganalisis kendala-kendala dalam pengembangan buku ajar. Analisis data yang dilakukan meliputi kegiatan klasifikasi data, penyajian data, dan penilaian keberhasilan tindakan. Kegiatan klasifikasi dilakukan dengan cara mengelompokkan data sesuai dengan jenis datanya. Data yang diperoleh dari pegamatan atau observasi dan tes dilakukan analisis kuantitatif melalui: 1) penyekoran data, 2) menganalisis data, 3) penyimpulan. Penyekoran data dilakukan dengan memberi skor pada angket dan nilai tes. Analisis data dilakukan dengan mengolah data dalam uji statistik. Adapun penyimpulan adalah proses mengambil makna dari angka uji statistik. Teknik analisis data dilakukan untuk mendapatkan buku ajar berkualitas yang memenuhi aspek kevalidan, kepraktisan, dan keefektifan. Langkah-langkah dalam menganalisis kriteria kualitas produk yang dikembangkan adalah sebagai berikut. 1.
Analisis Kevalidan Buku Ajar Penilaian kevalidan dilakukan oleh empat validator yang terdiri atas dua dosen prodi pendidikan matematika dan dua guru SMK. Penilaian kevalidan meliputi aspek-aspek kesederhanaan, keterpaduan, keseimbangan, format, isi, dan bahasa. Buku ajar dikatakan valid apabila skor rata-rata penilaian dari empat validator tersebut lebih dari 75% dari skor maksimal ideal.
2.
Analisis Keefektifan Buku Ajar Keefektifan buku ajar didasarkan pada data hasil belajar. Buku ajar dikatakan efektif apabila rata-rata tes hasil belajar lebih dari atau sama dengan Kriteria Ketuntasan Minimal (KKM), yaitu 65.
3.
Analisis Kepraktisan Buku Ajar Untuk menentukan kepraktisan buku ajar yang dikembangkan didasarkan pada hasil angket respon siswa terhadap buku ajar dan hasil angket kepraktisan penggunaan buku ajar oleh guru. Buku ajar ini dikatakan praktis apabila persentase jumlah persentase banyaknya siswa yang memberikan respon setuju dan sangat setuju lebih dari 75%.
16
BAB V HASIL DAN PEMBAHASAN Penelitian ini merupakan penelitian pengembangan yang mengacu pada model ADDIE (Analysis, Design, Development, Implementation, Evaluation). Pada tahap analisis, dilakukan analisis kebutuhan, analisis kurikulum, dan analisis karakteristik siswa SMK. Beberapa permasalahan yang dapat teridentifikasi di antaranya adalah sebagai berikut. 1. Buku ajar yang ada sebagian besar bersifat text-oriented 2. Buku ajar yang mengaitkan materi matematika dan materi pelajaran lain di SMK masih jarang 3. Pembelajaran masih sedikit yang mengaitkan antara materi dan masalah nyata 4. Penerapan matematika pada masalah nyata masih sedikit dipahami oleh siswa 5. Aktivitas siswa masih terbatas pada penyelesaian soal-soal matematika biasa 6. Perlu dirancang pembelajaran yang lebih mengaktifkan siswa Oleh karena itu perlu disusun buku ajar yang mengaitkan matematika dengan masalah nyata, keterkaitan antarmateri, dan keterkaitan dengan mata pelajaran lain di SMK dan rancangan pembelajaran yang mengaktifkan siswa. Berikut disajikan tahapan pengembangan buku ajar sesuai dengan model ADDIE. 1.
Tahap Analisis Pada tahap pertama dilakukan analisis kurikulum. Pada penelitian ini disusun bahan ajar
untuk pembelajaran matematika SMK kelas X. Buku ajar yang dikembangkan digunakan untuk kelas X SMK kelompok Teknologi, Kesehatan, dan Pertanian yang sesuai dengan Standar Isi 2006. Adapun Kompetensi Dasar dan materi ajar pada kelas X sebagai berikut. Pada tahap ini dianalisis kurikulum, yaitu mengidentifikasi materi atau standar kompetensi pada pembelajara matematika SMK kelas 10, yaitu (1) memecahkan masalah berkaitan dengan konsep operasi bilangan real, memecahkan masalah berkaitan dengan konsep aproksimasi
kesalahan,
memecahkan
masalah
berkaitan
sistem
persamaan
dan
pertidaksamaan linear dan kuadrat, memecahkan masalah berkaitan dengan konsep matriks, menyelesaikan masalah program linear, dan menerapkan logika matematika dalam pemecahan masalah yang berkaitan dengan pernyataan majemuk dan pernyataan berkuantor. Pada tahap analisis juga dilakukan analisis karakteristik siswa SMK sebagai pengguna buku yang akan dikembangkan. Siswa SMK, menurut tahap perkembangan kognitif Piaget, berada tahap formal. Dengan demikian siswa dipandang telah memiliki kemampuan untuk 17
berpikir abstrak dan formal. Meski demikian, tidak menutup kemungkinan siswa masih memerlukan visualiasi konsep-konsep yang bersifat abstrak. 2.
Tahap Desain Pada tahap desain, dilakukan perancangan fitur-fitur, komponen, dan karakteristik buku
ajar. Fitur-fitur dan komponen buku disesuaikan dengan komponen dan karakteristik pembelajaran dengan pendekatan kontekstual. Pada tahap ini disusun juga peta materi dan mengidentifikasi keterkaitan antar materi. Berikut adalah peta garis besar materi. Untuk setiap materi, dibuat juga peta materi. Selain masalah kontekstual di awal bab, buku ini juga dilengkapi dengan history, yang berisi kisah tokoh ilmuwan/penemu yang terkait dengan materi; solusi math, yang berisi contoh soal dan penyelesaiannya, kaji latih, yang berisi soalsoal latihan tiap subbab, rangkuman, dan kaji latih bab. 3.
Tahap Pengembangan Pada tahap pengembangan, dikembangkan buku ajar sesuai dengan desain yang telah
disusun. Secara umum penyajian buku ajar diawali dengan penyajian konteks atau situasi yang sesuai dengan substansi materi. Misalnya pada penyajian materi bilangan berpangkat atau eksponen diawali dengan ilustrasi mengenai Galaksi Bima Sakti sebagai berikut.
Gambar 3. Konteks Terkait dengan Bilangan Berpangkat 18
Penyajian konteks ini dimaksudkan agar siswa mengetahui keterkaitkan antara materi yang dipelajari dengan situasi dan masalah sehari-hari. Dengan demikian siswa mengetahui kebermanfaatan materi yang akan dipelajari. Hal demikian menjadikan pembelajaran lebih bermakna dan sekaligus dapat memotivasi siswa untuk belajar. Selanjutnya, disajikan rumusan kompetensi dasar dan materi pembelajaran yang akan dibahas. Berikut adalah contoh penyajian rumusan kompetensi dasar dan materi pembelajaran bilangan berpangkat atau eksponen.
Menggunakan sifat dan aturan pangkat, akar, dan logaritma dalam pemecahan masalah. Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan pangkat, akar, dan logaritma
Apa yang dipelajari? Eksponen (Bentuk Pangkat) Notasi Ilmiah Pangkat Rasional dan Bentuk Akar Logaritma
Gambar 4. Rumusan Kompetensi Dasar dan Materi Pembelajaran Bilangan Berpangkat/Eksponen Selanjutnya disajikan sejarah terkait dengan materi yang akan dipelajari siswa. Misalnya bentuk pangkat (eksponen) dikenalkan pertama kali oleh matematikawan Perancis, yang bernama Rene Descartes (1596 – 1650). Bentuk pangkat pada mulanya diperkenalkan ke dalam matematika sebagai suatu cara efisien/ringkas untuk menuliskan perkalian bilangan berulang. Penyajian sejarah terkait materi ini dapat memotivasi siswa untuk mempelajari materi tersebut.
Berikutnya disajikan konteks lain yang terkait dengan materi yang dipelajari. Misalnya, pada penyajian materi bentuk pangkat, disajikan konteksnya besarnya tabugan setelah sekian waktu dengan bunga majemuk tertentu. Konteks atau masalah tersebut dapat diselesaikan dengan materi bentuk pangkat atau eksponen. Untuk meningkatkan pemahaman siswa, disajikan contoh-contoh soal yang bervariasi beserta penyelesainnya. Di bagian akhir, untuk mengetahui pemahaman siswa mengenai materi pelajaran, disajikan soal-soal latihan yang bervariasi. Pada tahap ini juga disusun instrumen penelitian, yaitu lembar validasi buku ajar, lembar observasi kegiatan pembelajaran, angket respon siswa terhadap buku ajar dan kegiatan pembelajaran, angket kepraktisan buku ajar oleh guru, dan tes hasil belajar. Selengkapnya instrumen-instrumen tersebut disajikan terlampir.
19
Tabel 2. Hasil Validasi Buku Ajar
1
Penialai/ Reiver 2 3
4
4 3 4 3
4 4 4 3
4 3 4 4
4 3 4 4
3 3
3 4
4 4
4 4
3
4
4
4
3
3
4
4
4
4
4
4
4
3
4
4
3 2
3 3
4 4
4 4
2
3
4
3
2
3
3
4
2 3
3 3
4 3
4 3
2
3
4
4
4
3
4
4
2
3
4
4
3
3
4
4
55 2,75
66 3,3
Aspek A. Materi/Konsep 1. Kebenaran/keakuratan materi 2. Kelengkapan materi 3. Kesesuaian materi dengan kompetensi dasar 4. Keruntutan penyajian materi B. Aspek Konstruksi 1. Kejelasan dan kekomunikatifan bahasa yang digunakan 2. Keberadaan dan kejelasan tujuan pembelajaran setiap bab 3. Keberadaan dan kejelasan identitas buku ajar C. Aspek Didaktis 1. Ketersediaan konteks atau situasi yang digunakan untuk mengawali dan memfasilitasi peserta didik menemukan/membangun konsep matematika 2. Kesesuaian materi dengan karakteristik dan perkembangan peserta didik 3. Ketersediaan contoh soal kontekstual dan soal latihan yang memfasilitasi siswa untuk memperluas pemahamannya dan mengembangkan kemampuan pemecahan masalah matematis D. Aspek Teknis 1. Kesesuaian jenis dan ukuran huruf 2. Kesesuaian dan ketepatan ukuran penempatan gambar, tabel, diagram, atau ilustrasi 3. Kemenarikan tampilan atau penyajian E. Aspek CTL 1. Memberi kesempatan siswa mengkonstruksi/ membangun pemahaman mereka sendiri dari pengalaman baru berdasar pada pengetahuan awal 2. Memberi kesempatan siswa melakukan penyelidikan 3. Adanya pertanyaan untuk mendorong, membimbing dan menilai kemampuan berpikir siswa 4. Memberi kesempatan siswa untuk terlibat dalam kegiatan belajar, tukar pengalaman, dan berbagi pengalaman. 5. Adanya proses penampilan suatu contoh agar siswa meniru, berlatih, menerapkan pada situasi lain, dan mengembangkannya. 6. Adanya proses mengukur dan membuat keputusan tentang pengetahuan dan keterampilan siswa yang autentik (senyatanya). 7. Memberi kesempatan siswa berpikir tentang apa yang telah dipikir atau dipelajari Jumlah Rata-rata Rata-rata total
77 3,85 3,44
77 3,85
20
Buku ajar yang telah disusun divalidasi oleh ahli yang terdiri atas dua dosen, yaitu Sahid, M.Sc. dan Dr. Agus Maman Abadi, dosen Jurusan Pendidikan Matematika, masingmasing sebagai reviewer 1 dan reviewer 2 serta dua guru mata pelajaran matematika SMK N 2 Yogyakarta, yaitu Sumiyati, S.Pd. dan Retno Hartininsih, S.Pd. masing-masing sebagai reviewer 3 dan 4. Hasil validasi disajikan pada Tabel 2. Dari hasil validasi tersebut diperoleh hasil bahwa rata-rata skor total dari empat reviewer adalah 3,44, lebih dari 3, sehingga berdasarkan kriteria yang telah ditentukan, buku ajar yang telah dikembangkan memenuhi krteria valid. Selanjutnya dilakukan evaluasi terhadap buku ajar yang telah disusun. Validasi tersebut dapat dipandang pula sebagai tahap evaluasi. Terdapat beberapa masukan yang diberikan oleh para reviewer tersebut. Masukan-masukan tersebut diantaranya terkait dengan kejelasan gambar, sistematika, konsistensi penggunaan istilah, dan tata tulis. Masukan tersebut dijadikan dasar untuk memperbaiki buku ajar. 4.
Tahap Implementasi Buku ajar yang telah diperbaiki selanjutnya diujicobakan dalam kegiatan pembelajaran.
Uji coba tersebut dilaksanakan di dua kelas 10 SMK N 2 Yogyakarta, yaitu kelas 10 Teknik Permesinan 4 dan Teknik Sipil. Berikut adalah situasi pembelajaran di kelas.
Gambar 5. Pelaksanaan Diksusi Kelompok dalam Kegiatan Pembelajaran
21
Gambar 6. Bimbingan Guru terhadap Siswa dalam Diskusi Kelompok
Gambar 7. Penyajian Hasil Diskusi Kelompok Secara
umum,
siswa
terlibat
aktif
dalam
kegiatan
pembelajaran.
Guru cerdik dalam memanfaatkan power point yang ditayangkan di papan tulis dan menggunakannya dalam
memberikan peribahan dengan kaidah “Bagiamana jika tidak.” 22
Sebagai contoh manakala mendiskusikan matrisks diagonal, guru mengubah angka nol menjadi angka 4 pada sel kanan atas dan menanyakannya apakah sekarang masih berupa matriks diagonal? Siswa menjawab dengan “bukan, sekarang berubah menjadi matriks segitiga atas” Usaha guru dalam memfasilitasi diri sangat bagus, misalnya guru tersebut menyiapkan sendiri LCD yang portable untuk pindah kelas. Kenyataannya waktu proses pembelajaran menjadi lebih efektif dan efisien. Kemampuan siswa dalam menjelaskan hasil pekerjan kelompok sangat baik. Penyaji mampu menjelaskan secara baik dan benar. Karena penjelsaan sudah kelas maka tidak ada pertanyaan dari kelompok lain. Kelompok berikutnya menyajikan pembiatan matriks berordo tertentu. Kelompok tersebut memberikan dua contoh. Yang pertama adalah mtatriks dengan entri angka dan yang kedua entrinya berupa huruf, a b, dan sebagainya. Pola pemanfatan waktu mengajar oleh guru adalah: lima menit pertama pendahuluan, 15 menit kemudian menjelaskan, diskuisi, dan tanya jawab perihal konten materi, dan sisanya siswa bekerja dalam kelompok dengan mengerjakan LKS (soal dlm LKS diambil dari buku yang dikembangkan), dan prsentasi, penarikan simpulan. Pola guru dalam mengjar adalah menyajikan, membahas, dan disertai dengan tanya jawab perihal materi yang diajarkan. Setelah diskusi kelas, siswa diminta untuk mengerjakan Kaji Latih 2 secara mandiri untuk dikupulkan pada akhir kegiatan pelajaran. Pelaksanaan pembelajaran dalam rangka uji coba penerapan buku ajar yang dilaksanakan di SMK 2 Yogyakarta berjalan dengan baik. Berikut disajikan hasil observasi terhadap kegiatan pembelajaran. Tabel 3. Hasil Observasi Kegiatan Pembelajaran Kegiatan Pendahuluan
Inti
Pelaksanaan Deskripsi (ya/tidak) 1. Penyampaian apersepsi Ya Pengertian baris dan kolom 2. Penginformasian Tujuan Ya Pengertian dan jenis-jenis matriks Pembelajaran dan Kompetensi Dasar 3. Pemberian motivasi siswa Ya Menggunakan konteks skor sepakbola dengan menyajikan permasalahan sehari-hari yang terkait 1. Pemberian arahan pada siswa Ya untuk membentuk pengetahuan dengan mengamati masalah kontekstual pada Pengantar dalam buku siswa 2. Pembimbingan pada siswa Ya Memberikan contoh dan non contoh Kegiatan
23
untuk menemukan konsep
Penutup
kpnsep matriks
3. Pemberian kesempatan kepada siswa untuk mengajukan pertanyaan jika siswa merasa kesulitan 4. Pembagian kelompok
Ya
Siswa mengajukan pertanyaan pada saat diskusi kelompok
Ya
Tiap kelompok terdiri atas 3-4 siswa
5. Eksplorasi konsep oleh siswa melalui diskusi kelompok
Ya
6. Penerapan konsep yang diperoleh siswa dengan menyelesaikan permasalahan melalui diskusi kelompok 7. Penilaian kinerja kelompok oleh guru
Ya
Siswa menemukannya dengan cara membaca buku , berdisjusi dalam kelompok, dan dalam diskusi klasikal. Ssiswa mengerjakn soal latihan yg disediakan dalam buku yang telah dipilihkan oleh guru.
Ya
Guru mencatat aktivitas siswa pada saat kerja kelompok pada lembar observasi.
8. Presentasi hasil diskusi di depan kelas oleh perwakilan kelompok
Ya
Dua kelompok menyajikan penyelesaian masalah yg berbeda.
9. Pengarahan dan penguatan oleh guru ketika presentasi
Ya
10. Penyusunan laporan diskusi kelompok
ya
Guru menegaskan kembali dan mengekplorasi dengan mengajukan contoh yg berbeda. Berupa isian lks yg dikerjakan siswa
hasil
11. Pengerjaan kuis secara individu
ya
1. Penyimpulan materi oleh guru bersama siswa 2. Pemberian kesempatan kepada siswa untuk bertanya 3. Pemberian tugas PR untuk siswa sebagai tugas individu
ya
4. Penginformasian materi untuk pertemuan berikutnya
ya
Guru terlihat belum menyiapkan kuis individual. Siswa diminta memverjakan secara mandiri dn menyajikannya di depan kelas.
ya ya
Latihan dari buku yg dibuat dan dari sumber lain. Namun pr tidak merujuk nomer tertentu. Utk persiapan hari jumat dg cara membaca buku secara mandiri. Yang dibaca mulai dari peju,lahan matriks.
Setelah semua rangkaian kegiatan pembelajaran selesai, siswa diberikan angket untuk respon siswa terhadap buku ajar maupun terhadap kegiatan pembelajaran. Berikut rangkuman hasil angket respon siswa tersebut. 5.
dua
Tahap Evaluasi Berdasarkan hasil ujicoba dilaksanakan evaluasi untuk menyempurnakan buku ajar.
24
Berikut dideskripsikan hasil analisis kepraktisan dan keefektifan buku ajar. Keefektifan buku ajar didasarkan pada hasil angket respon siswa terhadap penggunaan ajar dan angket kepraktisan buku ajar oleh guru. Hasil analisis angket respon siswa disajikan pada Tabel 3. Tabel 4. Hasil Angket Respon Siswa terhadap Penggunaan Buku Ajar No
Pernyataan
1
Pembelajaran dengan menggunakan buku ini menyenangkan Penggunaan masalah sehari-hari memotivasi saya untuk mempelajari materi pelajaran Saya senang dengan pembelajaran yang mengaitkan materi dengan masalah nyata Saya senang mengikuti diskusi kelompok Saya lebih termotivasi untuk belajar dengan menemukan/memahami sendiri materi pelajaran Saya senang mengikuti pembelajaran yang membantu saya memahami sendiri materi pelajaran Saya senang mengerjakan soal yang terkait masalah sehari-hari Saya menyampaikan pendapat saya dalam diskusi kelompok Saya senang mengetahui manfaat mempelajari materi yang ada di buku Buku ini lebih membantu saya menemukan/memahami sendiri materi pelajaran Buku ini membantu saya memahami keterkaitan antar materi/konsep dalam pelajaran matematika Buku ini membantu saya memahami keterkaitan materi pelajaran matematika dengan masalah seharihari Masalah sehari-hari yang disajikan di buku ini menarik Gambar, tabel, dan ilustrasi di buku ini membantu saya memahami materi Soal latihan di buku membantu saya mengetahui tingkat pemahaman materi saya Buku ini membantu saya memahami materi matematika Materi dalam buku ini disusun mulai dari yang sederhana sehingga mudah dipahami Gambar dan ilustrasi yang ada di buku menarik Bahasa yang digunakan dalam buku ini mudah dipahami Uraian materi di buku mendorong keingintahuan saya untuk mempelajari materi lebih lanjut Rata-rata
2
3
4 5
6
7 8 9 10
11
12
13 14 15
16 17
18 19 20
STS 1
Respon Siswa TS S 1 16
SS 4
STS 5
Persentase TS S 5 80
SS 20
1
3
14
2
5
15
70
10
1
3
14
2
5
15
70
10
0
5
8
7
0
25
40
35
0
8
10
2
0
40
50
10
0
3
15
2
0
15
75
10
0
4
14
2
0
20
70
10
1
3
10
6
5
15
50
30
1
1
12
6
5
5
60
30
1
3
12
4
5
15
60
20
1
3
14
2
5
15
70
10
1
4
15
0
5
20
75
0
2
4
11
3
10
20
55
15
0
1
13
6
0
5
65
30
2
3
12
3
10
15
60
15
1
3
13
3
5
15
65
15
0
1
12
7
0
5
60
35
0
2
13
4
0
10.5
68.4
21
0
1
12
7
0
5
60
35
1
2
12
5
5
10
60
25
3,42
15,28
61,94
19,26
25
No
Pernyataan
1
Pembelajaran dengan menggunakan buku ini menyenangkan Penggunaan masalah sehari-hari memotivasi saya untuk mempelajari materi pelajaran Saya senang dengan pembelajaran yang mengaitkan materi dengan masalah nyata Jumlah
2
3
STS 1
Respon Siswa TS S 1 16
SS 4
STS 5
Persentase TS S 5 80
SS 20
1
3
14
2
5
15
70
10
1
3
14
2
5
15
70
10
18,70
81,30
Hasil angket respon siswa tersebut digunakan untuk menentukan kepraktisan penggunaan buku ajar. Dari hasil angket tersebut diketahui bahwa jumlah persentase siswa yang memberikan tanggapan positif, yaitu setuju dan sangat setuju, adalah 81,30 %, lebih dari 75%. Berdasarkan kriteria yang telah ditentukan, buku ini memenuhi krieria praktis bagi siswa. Data kepraktisan penggunaan buku ajar juga didasarkan hasil angket kepraktisan penggunaan buku ajar oleh guru. Berikut disajikan hasil angket kepraktisan buku ajar oleh guru. Tabel 5. Hasil Angket Kepraktisan Buku Ajar oleh Guru No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pernyataan Kesesuaian bahasa dengan tingkat kedewasaan siswa Kejelasan struktur kalimat Keterbacaan dan kejelasan tulisan Kesesuaian gambar pendukung dan konsep Kesederhanaan kalimat yang digunakan Kecukupan ilustrasi pendukung Interaktifitas kegiatan Kekomunikativan bahasa Kebermanfaatan buku dalam pengaitan materi dan masalah sehari-hari Kemudahan pelaksanaan aktivitas siswa Rata-rata Rata-rata
Skor Penilaian Guru 1 Guru 2 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 3 3 3 4 4 4 4 4 3,9
4 3,8 3,85
Tampak bahwa skor rata-rata kepraktisan penggunaan buku ajar adalah 3,85, lebih dari 3. Berdasarkan kriteria yang telah ditentukan, buku ini memenuhi kriteria praktis bagi guru. Karena ditinjau dari siswa maupun guru, buku ajar memenuhi kriteria praktis, dapat disimpulkan bahwa buku ini memenuhi kriteria praktis atau mudah digunakan dalam kegiatan pembelajaran.
26
Keefektifan buku ajar didasarkan pada data hasil belajar. Berikut disajikan hasil belajar siswa setelah mengikuti kegiatan pembelajaran dengan buku ajar dengan pendekatan kontekstual
Tabel 6. Data Hasil Belajar Matematika Siswa Kelas X Teknik Sipil
Kelas X Teknik Permesinan
Rata-rata
66,62
65,33
Standar Deviasi
14,74
10,17
Skor minimum
30
35
Skor maksimum
90
80
Rata-rata hasil belajar secara keseluruhan adalah 65,89. Berdasarkan kriteria yang telah ditentukan, buku ajar memenuhi kriteria valid. Dalam pengembangan buku ajar ini tidak terdapat kendala yang berarti. Sekolah tempat uji coba implementasi buku ajar, yaitu SMK N 2 Yogyakarta bersikap kooperatif dan memfasilitasi pelaksanaan penelitian ini dengan baik.
27
BAB VI RENCANA TAHAPAN BERIKUTNYA Hasil penelitian pada tahap pertama akan ditindaklanjuti pada tahap berikutnya atau tahun kedua. Pada tahun kedua akan dilanjutkan mengembangkan buku ajar dengan pendekatan kontekstual untuk materi matematika kelas 11 SMK. Secara rinci, tahapan penelitian tersebut adalah sebagai berikut.
Tabel 7. Rencana Penelitian Tahapan Berikutnya No
Kegiatan
1
Penyusunan buku ajar matematika dengan pendekatan kontekstual kelas 11 Validasi buku ajar Revisi buku ajar Uji coba atau implementasi buku ajar Revisi buku ajar Seminar hasil penelitian Penyusunan laporan tahun ke-2
2 3 4 5 4 5
1 2 3
Bulan ke4 5 6 7 8 9
10
11
12
28
BAB VII KESIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil penelitian disimpulkan bahwa buku ajar yang dikembangkan memenuhi kriteria valid, praktis, dan efektif. Diasarankan guru dapat menggunakan buku ajar ini atau mengembangkan buku ajar serupa yang berbasis pembelajaran konstekstual untuk meningkatkan pemahaman matematika siswa.
29
DAFTAR PUSTAKA Berg, R. A. (1999). Social Constructions of Creativity in a Middle School Math Classroom. Tersedia: http://www.jrrb.com/examples/ Social_Const_Creativity.pdf. [9 Mei 2008]. Byram, H.M. & Wenrich, R.C. 1956. Vocational Education and Practical Arts in the Community School. New York: The Macmillan Company Career Center Maine Departmeny of Labor (2001). Today’s Work Comepetence in Maine. [Online]. Tersedia: http://mainegov-images.informe.org/labor/lmis/ pdf/EssentialWorkCompetencies.pdf. [9 Mei 2008] Hendro Darmojo & Jenny R.E Kaligis. (1993). Pendidikan IPA II. Jakarta: UI Mann, E. L. (2005). Mathematical Creativity and School Mathematics: Indicators of Mathematical Creativity in Middle School Students. Disertasi University of Connectitut. [Online]. Tersedia: http://www.gifted.uconn.edu/siegle/ Dissertations/Eric%20Mann.pdf". [15 November 2007] McGregor, D. (2007). Developing Thinking Developing Learning. Poland: Open University Press. Nieveen, Nienke, 1999, Prototyping to Reach Product Quality. In Jan Van den Akker, R.M Branch, K. Gustafson, N. Nieveen, & Tj. Plomp. Design Approaches and Tools in Education and Training. Dordrecht, The Netherlands: Kluwer Academic Publisher. Park, H. (2004). The Effects of Divergent Production Activities With Math Inquiry and Think Aloud of Students With Math Difficulty. Disertasi. [Online] Tersedia: http://txspace.tamu.edu/bitstream/1969.1/2228/1/etd-tamu-2004. [15 November 2007] Trianto. 2007. Model Pembelajaran Terpadu dalam Teori dan Praktek. Surabaya: Prestasi Pustaka. Wina Sanjaya. (2006). Pembelajaran Dalam Implementasi Kurikulum Berbasis Kompetensi. Jakarta: Kencana.
30
Lampiran 1. Rencana Pelaksanaan Pembelajaran
RENCANA PELAKSANAAN PEMBELAJARAN No : 5.MAT/X.2.2015/2016 Satuan Pendidikan Paket Keahlian Mata Pelajaran Tahun Pelajaran Kelas/Semester Materi Pokok Alokasi Waktu Pertemuan ke
: : : : : : : :
SMK Negeri 2 Yogyakarta Teknik Kendaraan Ringan Matematika 2015/2016 X/1 Matriks 2 x 45 menit 1
A. Kompetensi Inti KI 1 : Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya. KI 2 : Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggung jawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian darisolusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia. KI3 :Memahami, menerapkan, dan menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural, dan metakognitif berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan,dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah. KI 4 : Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, bertindak secara efektif dan kreatif, serta mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan. B. Kompetensi Dasar a. KD pada KI-1 Mensyukuri anugerah Tuhan akan keberadaan matematika dan menggunakannya sebagai sarana memahami, dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah. b. KD pada KI-2 2.2 Mampu mentransformasi diri dalam berperilaku jujur, tangguh mengadapi masalah, kritis dan disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika c. KD pada KI-3 3.4 Mendeskripsi kan konsep matriks sebagai representasi numerik dalam kaitannya dengan konteks nyata. d. KD pada KI-4 4.6 Menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata yang berkitan dengan matriks. C. Indikator Pencapaian Kompetensi a. Indikator KD Pada KI-2 2.2.1 Toleran 31
b.
c.
2.2.3 Disiplin 2.2.3 Bertanggung Jawab Indikator KD pada KI-3 a. 3.4.1 Mendiskripsikan konsep matriks b. 3.4.2 Memahami jenis-jenis matriks Indikator KD pada KI-4 4.6.1 Terampil menyajikan model matematika dari suatu masalah nyata yang berkaitan dengan matriks.
D. Tujuan Pembelajaran Dengan proses mengamati, menanya, mengumpulkan informasi, mengasosiasi, dan mengkomunikasikan melalui kegiatan di dalam kelas atau di luar kelas, siswa dapat: 1. Toleran dalam perbedaan srategi berpikir dalam memilih proses pemecahan masalah. 2. Disiplin dalam melakukan tugas belajar matematika. 3. Bertanggung jawab dalam menyampaikan pendapat, menjawab pertanyaan, dan menyelesaikan masalah. 4. Mendeskripsikan konsep matriks 5. Menentukan Ordo Matriks 6. Menyebutkan jenis-jenis Matriks 7. Menentukan transpos Matriks E. Materi Pembelajaran 1. Menemukan Konsep Matriks Dalam kehidupan sehari-hari, banyak informasi atau data yang ditampilkan dalam bentuk tabel, seperti data rekening listrik atau telpon, klasemen akhir Liga Super Indonesia, data perolehan nilai dan absensi siswa, maupun brosur harga jual sepeda motor. Perhatikan tabel hasil penjualan tiket penerbangan tujuan Medan dan Surabaya, dari sebuah agen selama empat hari bertutut-turut sebagai berikut:
Tabel 4.1. Keterangan situasi tiket penerbangan ke Medan dan Surabaya Tujuan
Hari ke I
II
III
IV
Medan
3
4
2
5
Surabaya
7
1
3
2
Data tersebut dapat kita sederhanakan menjadi bentuk matriks seperti berikut 2. Jenis-jenis Matriks a. Matriks baris 32
b. Matriks kolom c. Matriks persegipanjang d. Matriks persegi e. Matriks segitiga f. Matriks diagonal g. Matriks nol 3. Transpos Matriks Transpos matriks A ditulis AT. Matriks AT adalah suatu matriks yang elemenelemennya diperoleh dari matriks A dengan mengubah elemen baris pada matriks A menjadi elemen kolom pada matriks AT. 4. Kesamaan Dua Matriks Dua matriks dikatakan sama jika memenuhi sifat berikut ini: i. Ordo matriks A sama dengan ordo matriks B ii. Setiap elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama. F. Kegiatan Pembelajaran Pertemuan 1 : ( 2 x 45 Menit) Kegiatan Pendahuluan 4. 5.
6.
Inti
Deskripsi Kegiatan
Waktu
Guru melakukan apersepsi dengan tanya jawab tentang 10 penyelesaian sistem persamaan linier. menit Guru menyampaikan Tujuan Pembelajaran dan Kompetensi Dasar yang akan dicapai pada Materi Matriks. Guru memotivasi siswa dengan menyajikan permasalahan sehari-hari yang terkait dengan matriks.
Dengan Pendekatan Saintific dan Pendekatan Kontekstual 75 Konstruktivisme (mengamati) menit Siswa diarahkan untuk membentuk pengetahuan tentang Konsep Matriks dengan mengamati masalah kontekstual pada pengantar dalam buku siswa Siswa dibimbing untuk memahami ordo, jenis-jenis, dan transpose matriks dan kesamaan matriks Bertanya (menanya) Guru memberi kesempatan kepada siswa untuk mengajukan pertanyaan jika siswa merasa kesulitan dalam memahami materi matriks Masyarakat Belajar, inkuiri, pemodelan, penilaian nyata (mengumpulkan informasi, mengasosiasi, mengkomunikasikan ) - Siswa dibagi menjadi 8 kelompok - Dengan diskusi kelompok, siswa mengeksplorasi konsep matriks, jenis-jenis matriks dan transpos matriks dan kesamaan matriks yang ada Lembar Diskusi. - Dengan diskusi kelompok, siswa menerapkan konsep 33
yang diperolehnya dengan menyelesaikan permasalahan yang diberikan - Perwakilan dari kelompok diminta untuk menampilkan hasil diskusi di depan kelas, dengan tanya jawab guru mengarahkan dan memberi penguatan siswa yang sedang presentasi jika diperlukan. Siswa dari kelompok lain diberikan kesempatan untuk memberikan tanggapan jika mempunyai pendapat yang berbeda - Selama siswa bekerja di dalam kelompok, guru memperhatikan dan mendorong siswa semua untuk terlibat aktif dalam diskusi. Guru melakukan penilaian kerja kelompok.
Penutup
Refleksi, penilaian nyata - Siswa menyempurnakan hasil diskusinya dan membuat laporan/kesimpulan hasil diskusi untuk dikumpulkan. - Siswa mengerjakan kuis individu 5 menit Kegiatan Penutup - Guru bersama siswa menyimpulkan materi tentang konsep matriks, jenis-jenis matriks dan transpos matriks dan kesamaan matriks - Memberikan kesempatan kepada siswa untuk bertanya - Guru memberikan tugas PR untuk dikerjakan tiap siswa sebagai tugas individu. - Guru mengakhiri kegiatan belajar dengan menginformasikan materi pada pertemuan berikutnya adalah operasi hitung pada matriks dan meminta siswa untuk mempelajarinya terlebih dahulu.
G. Penilaian, Pembelajaran Remedial dan Pengayaan 1. Teknik penilaian a. Tes Tertulis (kuis) b. Penilaian Sikap dan Ketrampilan(Pengamatan kegiatan kelompok) c. Penilaian Tugas (PR) 2. Instrumen penilaian a. Pertemuan Pertama a. Bentuk Instrumen: Tes Pengetahuan, Lembar Pengamatan Sikap, Lembar Pengamatan Ketrampilan b. Instrumen Penilaian: Tes Pengetahuan (kuis), Pengamatan Ketrampilan, Pengamatan Sikap 3. Pembelajaran Remedial dan Pengayaan Pembelajaran remedial dilakukan segera setelah kegiatan penilaian - Siswa diberikan Tugas belajar kelompok di rumah untuk (Siswa yang pandai diberi tugas untuk mengajari teman yang belum tuntas dalam memahami konsep matriks, jenis-jenis matriks dan transpos matriks dan kesamaan matriks - Guru memantau dengan memberikan Tes Lesan pada siswa yang belum tuntas - Guru memberikan Tes Ulang kepada siswa yang belum tuntas
34
H. Media/alat, Bahan, dan Sumber Belajar 1. Media/alat a. Papan tulis b. Spidol c. LCD d. Laptop 2. Bahan 3. Sumber Belajar a. Buku Ajar Matematika dengan Pendekatan Kontekstual Kelas X b. Buku Matematika yang relevan
Mengetahui Kepala SMKN 2 Yogyakarta
Yogyakarta, 29 Agustus 2015 Guru Mata Pelajaran
Drs. Sentot, MM. NIP.19600819 198603 1 010
Sumiyati, S.Pd. 196609191990012001
35
Lampiran 2. Lembar Validasi Bahan Ajar
Lembar Validasi Buku Ajar Matematika Kontekstual untuk SMK Nama Penilai Jabatan/Institusi
: …………………………………………… : ……………………………………………
A. Penilaian Khusus Mohon Bapak/Ibu memberikan penilaian terhadap buku ajar ini dengan membubuhkan tanda cek () pada kolom yang sesuai dengan ketentuan: (4) sangat baik, (3) baik, (2) kurang baik, dan (1) tidak baik. Mohon Bapak/Ibu memberikan keterangan atau catatan terkait masing-masing aspek yang dinilai. Aspek
Nilai 1 2 3 4
Keterangan
A. Materi/Konsep 1. Kebenaran/keakuratan materi 2. Kelengkapan materi 3. Kesesuaian materi dengan kompetensi dasar 4. Keruntutan penyajian materi F. Aspek Konstruksi 5. Kejelasan dan kekomunikatifan bahasa yang digunakan 6. Keberadaan dan kejelasan tujuan pembelajaran setiap bab 7. Keberadaan dan kejelasan identitas buku ajar G. Aspek Didaktis 8. Ketersediaan konteks atau situasi yang digunakan untuk mengawali dan memfasilitasi peserta didik menemukan/membangun konsep matematika 9. Kesesuaian materi dengan karakteristik dan perkembangan peserta didik 10. Ketersediaan contoh soal kontekstual dan soal latihan yang memfasilitasi siswa untuk memperluas pemahamannya dan mengembangkan kemampuan pemecahan masalah matematis H. Aspek Teknis 11. Kesesuaian jenis dan ukuran huruf 12. Kesesuaian dan ketepatan ukuran penempatan gambar, tabel, diagram, atau ilustrasi 13. Kemenarikan tampilan atau penyajian I. Aspek CTL 14. Memberi kesempatan siswa mengkonstruksi/ membangun pemahaman mereka sendiri dari pengalaman baru berdasar pada pengetahuan awal 15. Memberi kesempatan siswa melakukan 36
16.
17.
18.
19.
20.
penyelidikan Adanya pertanyaan untuk mendorong, membimbing dan menilai kemampuan berpikir siswa Memberi kesempatan siswa untuk terlibat dalam kegiatan belajar, tukar pengalaman, dan berbagi pengalaman. Adanya proses penampilan suatu contoh agar siswa meniru, berlatih, menerapkan pada situasi lain, dan mengembangkannya. Adanya proses mengukur dan membuat keputusan tentang pengetahuan dan keterampilan siswa yang autentik (senyatanya). Memberi kesempatan siswa berpikir tentang apa yang telah dipikir atau dipelajari
B. Penilaian Umum Mohon Bapak/Ibu memberikan penilaian umum terhadap buku ajar ini dengan cara membubuhkan tanda centang () pada bagian berikut. (.....) Dapat digunakan tanpa revisi (.....) Dapat digunkan dengan revisi kecil *) (.....) Dapat digunakan dengan revisi besar *) (.....) Tidak dapat digunakan C. Komentar atau Saran Umum Yogyakarta, ........................... 2015 Penilai
(........................................)
37
Lampiran 3. Angket Tanggapan Sisw terhadap Bahan Ajar
Angket Tanggapan Siswa terhadap Penggunaan Buku Ajar Petunjuk Berilah tanggapanmu terhadap pernyataan-pernyataan berikut dengan cara memberikan tanda cek (√ ) pada salah satu tanggapan yang sesuai. Keterangan: SS(sangat setuju), S (setuju), TS (tidak setuju), dan STS (Sangat Tidak Setuju) No 1 2 3 4 5
6
7 8 9 10
11
12
13 14 15 16 17 18
Pernyataan Pembelajaran dengan menggunakan buku ini menyenangkan Penggunaan masalah sehari-hari memotivasi saya untuk mempelajari materi pelajaran Saya senang dengan pembelajaran yang mengaitkan materi dengan masalah nyata Saya senang mengikuti diskusi kelompok Saya lebih termotivasi untuk belajar dengan menemukan/memahami sendiri materi pelajaran Saya senang mengikuti pembelajaran yang membantu saya memahami sendiri materi pelajaran Saya senang mengerjakan soal yang terkait masalah sehari-hari Saya menyampaikan pendapat saya dalam diskusi kelompok Saya senang mengetahui manfaat mempelajari materi yang ada di buku Buku ini lebih membantu saya menemukan/memahami sendiri materi pelajaran Buku ini membantu saya memahami keterkaitan antar materi/konsep dalam pelajaran matematika Buku ini membantu saya memahami keterkaitan materi pelajaran matematika dengan masalah sehari-hari Masalah sehari-hari yang disajikan di buku ini menarik Gambar, tabel, dan ilustrasi di buku ini membantu saya memahami materi Soal latihan di buku membantu saya mengetahui tingkat pemahaman materi saya Buku ini membantu saya memahami materi matematika Materi dalam buku ini disusun mulai dari yang sederhana sehingga mudah dipahami Gambar dan ilustrasi yang ada di buku menarik
STS
TS
S
SS
38
No 1 2 3 19 20
Pernyataan Pembelajaran dengan menggunakan buku ini menyenangkan Penggunaan masalah sehari-hari memotivasi saya untuk mempelajari materi pelajaran Saya senang dengan pembelajaran yang mengaitkan materi dengan masalah nyata Bahasa yang digunakan dalam buku ini mudah dipahami Uraian materi di buku mendorong keingintahuan saya untuk mempelajari materi lebih lanjut
STS
TS
S
SS
39
Lampiran 4. Angket Kepraktisan Penggunaan Buku Ajar Angket Kepraktisan Penggunaan Buku Ajar oleh Guru Petunjuk Berilah tanggapan Bapak/Ibu terhadap pernyataan-pernyataan berikut dengan cara memberikan tanda cek (√ ) pada salah satu tanggapan yang sesuai. Keterangan: TB (Tidak Baik), S (Sedang), B (Baik), SB (Sangat Baik) No 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
Pernyataan
TB
S
B
SB
Kesesuaian bahasa dengan tingkat kedewasaan siswa Kejelasan struktur kalimat Keterbacaan dan kejelasan tulisan Kesesuaian gambar pendukung dan konsep Kesederhanaan kalimat yang digunakan Kecukupan ilustrasi pendukung Interaktifitas kegiatan Kekomunikativan bahasa Kebermanfaatan buku dalam pengaitan materi dan masalah sehari-hari Kemudahan pelaksanaan aktivitas siswa
Komentar/masukan Umum
40
Lampiran 5. Kisi-kisi tes Hasil Belajar
Nomor No Topik butir soal 1 Menemukan konsep matriks 1, 2, 3 2 Jenis-jenis matriks 4, 5, 6 3 Transpos matriks 7, 8, 9 4 Kesamaan matriks 10, 11 5 Memahami operasi sederhana matriks serta menerapkannya dalam pemecahan masalah a. Operasi hitung pada matriks 1) Penjumlahan dua matriks 12, 13, 14 2) Pengurangan dua matriks 15, 16, 17 3) Perkalian suatu bilangan real 18, 19, dengan matriks 20 4) Perkalian dua matriks 20,21 Jumlah
Jumlah soal
Tingkat kesukaran Mudah Sedang Sukar
3 3 3 2
√ √ √
√ √ √ √
√ √ √ √
3
√
√
√
3
√
√
√
3
√
√
√
6
√ 8
√ 8
2 22
41
Lampiran 6. Tes Hasil Belajar Topik Matriks Nama No. Absen Kelas
: : :
Petunjuk umum: 1. Isikan identitas Anda pada lembar soal di tempat yang telah disediakan. 2. Periksa dan bacalah soal dengan seksama sebelum Anda mengerjakannya. 3. Kerjakan dari yang paling Anda anggap mudah. 4. Periksalah kembali pekerjaan Anda sebelum diserahkan kepada pengawas. Petunjuk khusus: Pilihlah salah satu jawaban yang paling Anda anggap tepat dengan cara memberikan tanda silang (X) pada pilihan jawaban yang disediakan pada lembar soal ini. 1. Dalam suatu kelas dilakukan pengukuran berat badan dan tinggi badan siswa pada masingmasing kelompok belajar. Hasil dari pengukuran kelompok belajar A adalah Penulisan hasil pengukuran kelompok A dalam bentuk matriks adalah ... Nama Adi Bima Carla Dina Eva
Berat badan (kg) 51 55 48 46 50
2. Diketahui matriks
Tinggi badan (cm) 163 162 158 153 159
A.
C.
B.
D.
E.
. Ordo dari matriks B adalah ...
A. 2x2 B. 2x3 C. 2(1x3) D. 3x2 E. 3x3
42
3. Diketahui matriks
. Nilai dari penjumlahan dua elemen y12 dan y33 = ...
A. -6 B. -2 C. 0 D. 2 E. 6 4. Jenis-jenis matriks dan contohnya yang benar di bawah ini adalah ... A. Matriks skalar, B. Matriks baris, C. Matriks kolom, D. Matriks simetri,
E. Matriks identitas,
5. Jenis matriks
adalah ...
A. Matriks segitiga B. Matriks diagonal C. Matriks simetri D. Matriks identitas E. Matriks skalar 6. Jika matriks
merupakan matriks identitas, maka a-b = ...
A. 0 B. C. D. E.
43
7. Diketahui
dan
. Jika AT merupakan transpose dari
matriks A, dan jika AT=B, maka nilai x dan y secara berurutan adalah ... A. -2 dan 5 B. -2 dan 1 C. 1 dan 2 D. 2 dan 1 E. 5 dan -2 8. Diketahui
;
matriks K. Jika M= L, maka A. -6 B. -2
dan matriks M merupakan transpose dari ....
C. D. 0 E. 2 9. Diketahui
,
dan M+N = OT. Maka O = ...
A. B. C.
D.
E. 10. Diketahui matriks
. Jika A = B, maka selisih nilai m
dan n adalah ... A. 0 B. 2 C. 3 D. 5 E. 7
44
11. Diketahui
dan
. Jika A = B maka nilai b adalah ....
A. -6 B. C. 5 D. 6 E. 7 12. Data berikut merupakan hasil skor Vina dan Hasan yang menjadi calon siswa teladan suatu SMK. Nama Kognitif Afektif
Semester1 Vina Hasan 87 80 81 85
Semester 2 Vina Hasan 89 88 89 87
Jika jumlah data semester pertama dan kedua disajikan dalam matriks, maka hasilnya adalah ... A. B. C. D. E. 13. Jika matriks
,
, dan
maka A+B = C. Nilai
p+q+s+t = ... A. B. C. D. E.
-1 1 3 5 6
14. Diketahui
. Nilai a adalah ...
A. B. C. D. 1 E. 2 45
15. Seorang pedagang memiliki persediaan 3 jenis kain, yaitu: sutera, katun, dan dril dengan 3 jenis warna (merah, biru, dan putih). Banyak persediaan kain (dalam meter) pada awal bulan merah biru putih 70 73 125 sutera diberikan dalam matriks: A katun 150 175 135 180 175 108 dril
Jika penjualan (dalam meter) setiap minggu ditunjukkan oleh matriks merah 10 B 25 40
biru putih 13 20 sutera . 35 25 katun 35 28 dril
inventaris pedagang tersebut pada awal minggu ke tiga adalah…. A.
C.
B.
D.
16. Diketahui A. B. C. D. E.
E.
. Nilia x dan y secara berurutan adalah ...
-9 dan -1 -1 dan -9 -1 dan 7 1 dan -9 7 dan -1
17. Jika
. Maka hasil dari A-B-C adalah ...
A. B. C. D. E.
46
18. Diketahui
, dan
A.
C.
B.
D.
19. Jika
….
. Hasil dari
, maka nilai dari
E.
=….
A. B. C. D. E.
20. Diketahui matriks
, dan m, n adalah bilangan Real. Jika hasil
perkalian m dengan matriks M menghasilkan matriks identitas, maka nilai m dan n berturutturut adalah…. A. dan 6 B. 6 dan C.
dan
D.
dan
E.
dan
21. Hasil dari
….
A. B. C.
47
D. E. 22. Diketahui
. Maka matriks
….
A. B. C. D. E.
….Selamat Bekerja….
48
Lampiran 7. Contoh Materi dalam Buku
49
Liga Indonesia adalah kompetisi sepak bola antarklub di Indonesia. Liga Indonesia diselenggarakan pertama kali pada tahun 1994 dan merupakan penggabungan dari 2 kompetisi sebelumnya, Liga Sepak Bola Utama (Galatama) dan Perserikatan. Liga Indonesia berada di bawah naungan Persatuan Sepak Bola Seluruh Indonesia (PSSI). Pengurutan peringkat dalam klasemen sistem kompetisi dilakukan dengan cara mengurutkan perolehan poin kumulatif setiap peserta. Menang poin +3, Seri poin +1, Kalah poin +0 jika ada lebih dari satu peserta yang memperoleh poin kumulatif sama besar, maka selisih perolehan skor menjadi penentu Perhatikan cara penulisan urutan peringkat dalam klasemen Liga Indonesia. Dalam hal ini kita telah menggunakan bentuk matriks. Lebih mudah terbaca kan? Kalian akan mempelajari hal yang terkait dengan matriks.
Apa yang akan dipelajari pada bab ini? Macam-macam Matriks Operasi matriks Determinan dan invers
Kompetensi Dasar Mendeskripsikan macam-macam matriks Menyelesaikan operasi matriks Menentukan determinan dan invers dari matriks persegi
50
A. Pengertian Matriks
Sebelum mendefinisikan pengertian matriks, terlebih dahulu perhatikan contoh-contoh berikut.
Bahan
Jumlah
Gula
1 sdt
Tepung
100 gr
Susu cair
200 ml
Garam
½ sdt
Contoh-contoh tersebut merupakan hal yang sering kita lihat dalam keseharian kita. Penulisan bentuk-bentuk seperti pada contoh telah menggunakan matriks, tapi seringkali kita tidak menyadarinya. Definisi 1
kumpulan bilangan yang diatur dalam baris dan kolom yang berbentuk persegi panjang Matriks adalah
Perhatikan pula informasi berikut ini.
Daftar belanjaan Roti 2 Loyang Susu Cair 1 kotak Telur 6 butir Keju 1 buah
Inventaris Perabot Kursi
Meja
Tempat tidur
Rumah A
6
1
2
Rumah B
9
2
3
Rumah C
10
3
4
Daftar belanjaan dan inventaris perabot di atas dapat dituliskan sebagai berikut. Banyak Kursi Meja Tempat Tidur Roti A dan Susu B Telur C Keju atau secara sederhana dapat ditulis dengan
dan
Ukuran suatu matriks dinyatakan dalam istilah orde yang terdiri dari banyak baris dan kolom. 51
baris 1 baris 2 baris 3 baris 4
Dikatakan bahwa matriks ini mempunyai 4 baris dan 1 kolom, atau mempunyai orde 4×1. Karena hanya terdiri atas satu kolom maka matriks ini bisa disebut sebagai Matriks Kolom 4 × 1.
kolom 1 Perhatikan matriks berikut. Baris 1 Baris 2
Dikatakan bahwa matriks ini mempunyai 2 baris dan 3 kolom, atau mempunyai orde 2×3.
Kolom 1 Kolom 3 Kolom 2
Merupakan matriks berorde 3×3. Karena banyak baris dan kolom sama maka disebut sebagai Matriks Persegi 3×3. [ 3 0 -1 2 ]
Merupakan mariks berorde 1×4. Karena hanya terdiri atas satu baris maka disebut Matriks Baris 1×4.
Matriks mempunyai elemen sebanyak hasil kali banyak baris dan kolom. Sebagai contoh, matriks yang berorde 3×3 mempunyai elemen sebanyak 9. Posisi suatu elemen ditentukan oleh nomer baris dan kolom dimana elemen tersebut berada. Perhatikan contoh berikut. Bilangan 9 merupakan elemen matriks yang berada pada baris ke-2 dan kolom ke-1. Bilangan 5 merupakan elemen matriks yang berada pada baris ke-3 dan kolom ke-2
Catatan : (1) Matriks berorde m × n mempunyai baris sebanyak m dan kolom sebanyak n (2) m × n menunjukkan ukuran atau orde dari matriks KAJI LATIH 1. Penulisan Matriks Selesaikan soal-soal berikut. 1. Sebuah daftar belanja keperluan sekolah terdiri dari 3 buah pensil, 10 buku tulis, 2 penggaris, dan 5 pulpen. Masing-masing satuan barang berturut-turut seharga Rp1.500, Rp3.500, Rp2.500, dan Rp3,000. a. Susun matriks baris yang menunjukkan banyaknya barang! b. Susun matriks kolom yang menunjukkan harga barang! c. Apa makna dari (3 ×1500) + (10 × 3500) + (2 × 2500) + (5 × 3000)?
52
2. Untuk persiapan pembuatan parcel lebaran, pengusaha roti kering mengemas kue dalam 3 ukuran, yaitu 200 gr, 300 gr ,dan 500 gr. Dalam bulan Mei, banyak produksi untuk ukuran 200 gr, 300 gr ,dan 500 gr adalah:
a. Pada minggu pertama berturut-turut sebanyak 1000 kemasan, 1500 kemasan, dan 1250 kemasan. b. Pada minggu kedua berturut-turut sebanyak 1500 kemasan, 1000 kemasan, dan 1000 kemasan. c. Pada minggu ketiga berturut-turut sebanyak 800 kemasan, 2300 kemasan dan 1300 kemasan. d. Pada minggu keempat menghasilkan 1200 kemasan untuk masing-masing ukuran. Susunlah matriks untuk menggambarkan tingkat produksi pada bulan Mei. 3. Pada periode liburan, sebuah toko roti memproduksi item makanan berikut. Hari Jumat membuat 40 dos pie, 50 bolu, 55 black forest, dan 40 brownies. Hari Sabtu membuat 25 dos pie, 65 bolu, 30 black forest, dan 44 brownies. Hari Minggu membuat 35 dos pie, 35 bolu, 40 black forest, dan 50 brownies. Nyatakan informasi itu dalam bentuk matriks. 4. Berilah 2 contoh matriks berorde 2×4. 5. Berilah 2 contoh matriks persegi. 6. Berilah 2 contoh matriks baris. 7. Berilah 2 contoh matriks kolom. 8. Elemen suatu matriks dapat dinyatakan dengan memakai indeks ganda. Misalkan elemen
menunjukkan berada pada baris ke-2 dan kolom ke-3. Perhatikan matriks
berikut.
Di antara keenam elemen
pada matriks di atas, mana yang benar dan mana yang
salah dalam penulisan indeksnya.
53
B. Macam-macam Matriks Matriks ada bermacam-macam jenis yaitu matriks nol, matriks kolom, matriks baris, matriks persegi, matriks identitas, matriks segitiga, matriks diagonal dan matriks identitas. 1. Matriks Nol Matriks nol adalah matriks yang semua elemennya bernilai nol. Contoh:
Elemen pada matriks A, B, C semua bernilai nol, sehingga A, B, C disebut matriks nol. 2. Matriks kolom Matriks kolom adalah matriks yang elemen-elemennya membentuk satu kolom. Contoh:
3. Matriks baris Matriks baris adalah matriks yang elemen-elemennya membentuk satu baris. Contoh:
4. Matriks persegi Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama. Contoh:
Matriks H mempunyai ukuran baris = ukuran kolom = 2, H berordo 2 × 2 dan Matriks J mempunyai ukuran baris = ukuran kolom = 4, J berordo 4 × 4. 5. Matriks diagonal Matriks diagonal adalah matriks persegi yang elemen-elemennya bernilai nol, kecuali pada diagonal utamanya.
54
Contoh:
Diagonal utama
6. Matriks segitiga Matriks segitiga dibagi menjadi dua, yaitu matriks segitiga atas dan matriks segitiga bawah a. Matriks segitiga atas adalah matriks persegi yang elemen dibawah diagonal utama bernilai nol
Contoh:
b. Matriks segitiga bawah adalah matriks persegi yang elemen diatas diagonal utama bernilai nol
Contoh:
7. Matriks identitas Matriks identitas adalah matriks skalar yang elemen-elemen pada diagonal utamanya bernilai 1 Contoh:
55
C. Transpos Matriks
Dalam sebuah matriks A dimana A =
, setiap baris dari matriks
A dapat diubah menjadi kolom dan juga sebaliknya setiap kolom dari matriks A menjadi baris dari suatu matriks yang baru misalnya matriks B, maka matriks B disebut transpos dari matriks A, ditulis: B = AT B= Contoh : maka maka
D. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks Sebelum melakukan penjumlahan dan pengurangan matriks, terlebih dahulu kita ketahui definisi dari kesamaan matriks.
Kesamaan Matriks Definisi 2 Dua matriks dikatakan setara jika keduanya memiliki bentuk (orde) yang sama persis dan elemen di posisi yang sesuai adalah sama. Contoh : maka a = w, b = x, c = y dan d = z
56
Penjumlahan Matriks
Adi mempunyai tiga toko alat tulis (A,B dan C). Stok dagangan berupa buku tulis, pulpen dan penggaris dinyatakan dalam matriks sebagai berikut
Toko A
B
C
Adi memesan lagi barang untuk tambahan stok dagangan, berupa 20 buku tulis, 30 pulpen dan 50 penggaris untuk masing-masing toko, dalam bentuk matriks sebagai berikut
Sehingga persedian barang Adi menjadi
atau
sehingga, untuk menjumlahkan dua matriks, maka keduanya harus mempunyai orde yang sama, dan kita hanya menambahkan elemen pada posisi yang sesuai. Solusi Math 1
Jika
,
, dan
, tentukan
a. A + B b. A + C Jawab : a.
b. A + C tidak bisa ditemukan, karena ukuran matrika A dan C tidak sama (orde 57 berbeda)
Pengurangan Matriks
Adi mempunyai tiga toko alat tulis (A,B dan C). Stok dagangan
berupa buku tulis, pulpen dan
penggaris
dinyatakan dalam matriks sebagai berikut Toko A
B
C
Dalam minggu ini Adi menjual dagangannya yang dinyatakan
Sumber: cliparts101.com
dalam matriks berikut
Berapa sisa stok dagangan buku tulis, pulpen dan penggaris? Untuk menjawabnya, maka perlu melakukan pengurangan dari stok awal dikurangi dengan barang yang laku terjual yaitu
untuk melakukan pengurangan matriks, maka harus dari orde yang sama dan pengurangan elemen pada posisi yang besesuaian.
Solusi Math 2
Jika
dan
tentukan A-B
Penyelesaian:
58 KAJI LATIH 2. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks
Selesaikan soal-soal berikut. 1. Jika
, tentukan
a. A + B b. A + B + C c. B + C d. C + B - A 2. Jika
, tentukan
a. P + Q b. P - Q c. Q - P 3. Sebuah restoran melayani pelanggan sebanyak 85 pria, 92 wanita, dan 52 anak-anak pada hari jumat. Pada hari Sabtu melayani 102 pria, 137 wanita dan 49 anak-anak. a. Nyatakan informasi tersebut dalam bentuk matriks dua kolom b. Gunakan matriks untuk menemukan total pria, wanita dan anak-anak yang dilayani pada hari jumat-sabtu.
Sumber: clipartpanda.com
4. Pada hari Senin, Santi membeli barang untuk dijual kembali pada hari Jumat. Detail harga pada tabel berikut. Harga beli
Harga Jual
A
1250
1600
B
26000
33000
C
1000
1250
D
6000
7500
E
10000
14000
a. Tuliskan harga beli dalam matriks kolom b. Tuliskan harga jual dalam matriks kolom c. Operasi matriks apakah yang diperlukan untuk menentukan untung/rugi? d. Tentukan keuntungan/kerugian David?
59
5. Dalam bulan Januari Rudi menjual 23 TV, 17 kompor dan 31 microwave. Temannya, Lusi menjual 19 TV, 29 kompor dan 24 microwave. Dalam bulan Februari Rudi menjual 18 TV, 7 kompor dan 36 microwave, dan Lusi menjual 25 TV, 13 kompor dan 19 microwave. Sumber: shutterstock.com
a. Tuliskan penjualan pada bulan Januari dalam matriks 3 x 2 b. Tuliskan penjualan pada bulan Februari dalam matriks 3 x 2 c. Tuliskan penjualan pada bulan Januari dan Februari dalam matriks 3 x 2 6. Tentukan x dan y jika a. b. 7. Jika
, tentukan A + B dan B + A
Jelaskan mengapa A + B = B + A, untuk matriks 2 x 2 8. a. Jika
dan
,
tentukan (A + B)+C dan A+(B +C) b. Buktikan bahwa jika A, B dan C sebarang matriks 2x 2maka (A + B)+C= A+(B +C) (Petunjuk: misalkan
dan
,
D. KELIPATAN MATRIKS
Sita membeli buah untuk persediaan di rumah berupa 6 buah jeruk, 4 buah apel dan 8 buah pear. Informasi ini dapat diwakili oleh vektor kolom C=
Jika banyaknya buah digandakan maka kita akan memiliki
yang merupakan nilai dari C
+C Selanjutnya, jika kita tulis C + C menjadi 2C, terlihat bahwa untuk mendapatkan 2C dari matriks C adalah dengan cara mengalikan semua elemen matriks dengan 2.
60
Tiga kali banyaknya buah, ditulis 3C=
Setengah dari banyaknya buah, ditulis C=
Secara umum, jika skalar t dikalikan dengan matriks A hasilnya adalah matriks tA diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dari A dengan t. Solusi Math 3
Jika Tentukan : a. 3A b. Penyelesaian: a. = b.
KAJI LATIH 3. Kelipatan Matriks
Selesaikan soal-soal berikut. 1. Jika B=
, tentukan
a. 2B b. c. d. 61
2. Jika
, tentukan
a. A + B b. A - B c. 2A + B d. 3A - B 3. Sebuah perusahaan konveksi menjual pakaian pada 4 toko pakaian A, B, C dan D, setiap bulannya, yang dinyatakan dalam matriks berikut A
B
C
D
Tentukan banyaknya pakaian yang dijual a. Jika perusahaan tersebut menurunkan jumlahnya
Sumber: www.dreamstime.com
sebanyak 15% b. Jika perusahaan tersebut menaikkan jumlahnya sebanyak 15% 4. Selama hari-hari biasa, sebuah toko penjualan video menghitung rata-rata penjualan, yaitu 75 keping DVD film, 27 keping CD film, 102 CD permainan. Di akhir pekan, rata-rata penjualan 43 keping DVD film, 136 keping CD film, 129 CD permainan a. Nyatakan data tersebut menggunakan matriks 2 kolom b. Tentukan jumlah dari matriks di soal a c. Apa makna dari jumlah matriks yang dinyatakan dalam soal b
5. Seorang pemborong bangunan, membangun 12 kamar yang sama persis dalam sebuah apartemen. Masing-masing kamar memiliki 1 meja, 4 kursi, 2 tempat tidur dan 1 lemari pakaian. Jika F =
menyatakan banyaknya perabotan dalam sebuah kamar,
nyatakan banyaknya perabotan dari semua kamar dalam F.
62
Matriks Nol
Ingat !! Sebelumnya ingat kembali bahwa untuk semua bilangan real, berlaku : a+0=0+a=a
Untuk selanjutnya, pertanyaannya adalah apakah ada matriks O sehingga berlaku A+O=O+A=A? Perhatikan contoh di bawah ini
pada penjumlahan matriks diatas, semua elemen matriks O terdiri dari 0. Definisi 3 Matriks Nol adalah matriks yang semua elemennya 0.
Matriks nol 2x2 adalah
dan matriks nol 2 x 3 adalah
Sifat dari matriks nol adalah
Jika A adalah matriks dengan orde sebarang dan O matriks nol dengan orde yang sama, maka A+O=O+A=A Matriks Negatif Negatif dari matriks A, dinyatakan dengan -A atau -1A, sehingga jika
, maka
Penjumlahan dari matriks A dan negatifnya akan menghasilkan matriks nol. Misalnya :
sehingga secara umum A + (-A) = (-A) + A = O
63
Aljabar matriks untuk penjumlahan Perbandingan aljabar biasa dan aljabar Matriks Aljabar Biasa
Aljabar Matriks
Jika a dan b bilangan real maka a + b Jika A dan B matriks, maka A + B juga juga bilangan real
matriks
a+b=b+a
A+B=B+A
(a + b) + c = a + (b + c)
(A + B) + C = A + (B + C)
a+0=0+a=a
A+0=0+A=A
a + ( - a) = (-a) + a = 0
A + ( - A) = (-A) + A = 0
Setengah dari a adalah
Setengan dari A adalah
bukan
(Pembagian dengan bilangan real, dalam aljabar matriks tidak mempunyai arti)
Ingat !! Notasi matriks menggunakan huruf kapital, sedangkan untuk skalar menggunakan huruf kecil. Penjumlahan dan pengurangan matriks hanya bisa dilakukan untuk matriks yang berorde sama. Solusi Math 4 Buktikan bahwa a. Jika X + A = B maka X = B -A b. JIka 3X = A maka X = Penyelesaian. a. Jika X + A = B, maka X + A + (-A) = B + (-A) jadi
X+O=B-A X=B-A
b. Jika 3X = A maka
64
KAJI LATIH 4. Aljabar Matriks
Selesaikan soal-soal berikut. 1. Sederhanakan a. A + 2A
f. - (A + B)
b. 3B - 3B
g. -(2A - C)
c. C - 2C
h. 3A - (B - A)
d. -B + B
i. A + 2B - (A - B)
e. 2(A + B)
2. Tentukan X dalam bentuk A, B dan C jika a. X + B = A
f. A - X = B
b. B + X = C
g.
c. 4B + X = 2C
X=C
h. 2 (X + A) = B
d. 2X = A
i. A - 4X = C
e. 3X = B
3. a. Jika
, tentukan X jika X = M
b. Jika
, tentukan X jika 4X = N
c. Jika
, dan
, tentukan X jika A -2X = 3B
E. Perkalian Matriks
Edo pergi ke supermarket untuk membeli 3 kaleng minuman, 4 batang coklat dan 2 es krim, dengan harga berturut turut Rp 7500, Rp 12000 dan Rp 5000. Barang belanjaan dan harga masing-masing bisa dinyatakan dalam bentuk matriks berikut dan B= Sumber: www.cliparthut.com
untuk menghitung total harga, dapat dicari dengan melakukan perkalian 65
= (7500 x 3) + (12000 x 4) + (5000 x 2) = 22500 + 48000 +10000 = 80500 sehingga diperoleh harga total Rp 80500 Ingat!! Matriks yang pertama adalah matriks baris dan matriks kedua adalah matriks kolom. KAJI LATIH 5. Perkalian Matriks
Selesaikan soal-soal berikut. 1. Tentukan a.
b.
c. 2. Lusi membeli 4 kaos, 2 celana panjang dan 2 kemeja, dengan harga berturut-turut Rp 85.000, Rp175.000, dan Rp. 95000 a. Tuliskan matiks Q yang menyatakan jumlah barang dan matriks P sebagai matriks yang menyatakan harga b. Tunjukkan bagaimana menggunakan matriks P dan Q untuk menentukan total harga yang harus dibayarkan. 3. Pada
pertandingan
olahraga
Pekan
Olahraga
Nasional, perhitungan nilai dihitung sebagai berikut. Juara 1 memperoleh 10 poin, juara 2 memperoleh 6 point, juara 3 memperoleh 3 poin dan juara 4 memperoleh 1 poin. Propinsi DIY memenangkan 3 pertandingan sebagai juara 1, 2 pertandingan juara 2, 4 pertandingan juara 3 dan 2 pertandingan sebagai Sumber: www.clipartsheep.com
66
juara ke 4. a. Tuliskan informasi tersebut dalam bentuk matriks, matriks P menyatakan poin, dan matriks N menyatakan kemenangan b. Tunjukkan bagaimana menggunakan P dan N untuk menghitung perolehan poin. Berikutnya, kita akan mempelajari perkalian matriks yang lebih kompleks Perhatikan contoh berikut. Lisa membeli barang berupa 2 buku tulis, 3 penggaris, 1 tempat pensil. di toko A. Masing-masing seharga Rp 5000, Rp 4000, Rp 20.000. Dalam bentuk matriks, dapat dinyatakan dengan Barang yang dibeli Sumber: www.clipartbest.com
buku tulis penggaris
tempat pensil
Matriks harga Total harga yang harus dibayar di toko A adalah = (2 x Rp 5.000) + (3 x Rp 4.000) + (1 x Rp 20.000) = Rp 10.000 + Rp 12.000 + Rp 20.000 = Rp 42.000
Lisa juga membeli barang yang sama dengan jumlah yang sama di toko B, tetapi dengan harga yang berbeda, yaitu Rp 4500, Rp 3750, dan 21000. Dalam bentuk matriks, dapat dinyatakan dengan Barang yang dibeli buku tulis penggaris
tempat pensil
Matriks harga
Total harga yang harus dibayar di toko B adalah = (2 x Rp 4.500) + (3 x Rp 3.750) + (1 x Rp 21.000) 67
= Rp 9.000 + Rp 11.250 + Rp 21.000 = Rp 41.250 Total harga yang harus dibayarkan di toko A dan B dalam bentuk matriks dapat ditulis sebagai berikut
orde :
1 x 3
3 x 2
1 x 2
harus sama orde matriks yang dihasilkan
Selanjutnya, misalnya teman Lisa yaitu Budi juga membeli 1 buku tulis, 2 penggaris dan 2 tempat pensil di toko A dan Toko B, maka banyaknya barang yang dibeli Lisa dan Budi dalam bentuk matriks adalah sebagai berikut Lisa Barang yang dibeli
buku tulis
Budi
penggaris
tempat pensil
Total harga yang harus dibayarkan Lisa di Toko A adalah Rp 42.000 dan di Toko B Rp 41.250 Total harga yang harus dibayarkan Budi di Toko A adalah = (1 x Rp 5.000) + (2 x Rp 4.000) + (2 x Rp 20.000) = Rp 48.500 Total harga yang harus dibayarkan Budi di Toko B adalah = (1 x Rp 4.500) + (2 x Rp 3.750) + (2 x Rp 21.000) = Rp 53.000 Dengan menggunakan matriks, harga yang harus dibayarkan Lisa dan Budi dapat dituliskan sebagai berikut
=
68
Perhatikan ordenya :
orde :
2 x 3
3 x 2
2 x 2
harus sama orde matriks yang dihasilkan
Dari penjelasan di atas, maka didefinisikan bahwa Definisi 4 Hasil Perkalian matriks A orde m × n dengan matriks B orde n × p, adalah matriks m x p, dimana elemen dari baris ke r dan kolom ke c adalah jumlah perkalian dari elemen-elemen di baris r yang bersesuaian dengan elemen kolom ke c dari matriks B,. Jika
orde :
dan
, maka
2 x 2
2 x 2
2 x 2
harus sama orde matriks yang dihasilkan
dan jika
orde
dan D
2 x 3
, maka
3 x 1
2 x 1
harus sama orde matriks yang dihasilkan
Ingat !! Jika kolom matriks A tidak sama dengan baris matriks B, maka perkalian matriks AB tidak bisa dilakukan.
69
Solusi Math 5
Jika
,
dan
Tentukan a. AB b. AC Penyelesaian a. Orde dari matriks A adalah 1 × 3 dan Matriks B 3 × 1. Kolom A = baris B, sehingga perkalian AB dapat dilakukan, dan akan menghasilkan matriks 1 × 1. AB = = [1×2 + 3×4 + 5×7] = [49] b. Orde matriks A 1 × 3 dan matriks C 3 × 2, perkalian AC akan menghasilkan matriks orde 1 × 2 AC = = = KAJI LATIH 6. Perkalian Matriks
1. Jelaskan mengapa AB tidak bisa ditemukan jika
2. Jika A adalah matriks 2
n dan B matriks m
3
a. Kapan perkalian matriks AB bisa dilakukan? b. Jika perkalian AB bisa dicari, berapa ordenya? c. Mengapa perkalian BA tidak bisa ditemukan? 3. a Jika b. Jika
, dan dan B=
, tentukan BA , tentukan i) AB ii)BA
70
4. Tentukan hasil perkalian a.
b. 5. Pada sebuah pertunjukan, tiket masuk untuk dewasa adalah Rp 150.000, sedangkan untuk anak-anak Rp. 100.000. Di hari pertama, pengunjung dewasa sejumlah 523 dan anak-anak 75. Di hari kedua banyaknya pengunjung 642 dewasa dan 98 anak-anak. a. Tuliskan matriks C yang menyatakan harga sebagai matriks 2 x 1 matriks N yang menyatakan
Sumber: www.fotosearch.com
banyaknya pengunjung sebaga matriks 2 x 2 b. Tentukan perkalian NC dan nyatakan hasilnya dalam matriks c. Tentukan banyaknya pendapatan selama dua hari. 6. Adi dan Totok pergi ke toko bangunan A dan B untuk membandingkan harganya. Adi akan membeli 1 palu, 1 obeng dan 2 kaleng cat putih. Totok akan membeli 1 palu, 2 obeng dan 3 kaleng cat putih. Perbandingan harga dinyatakan dalam tabel berikut Palu
Obeng
Cat
Toko A
Rp 80.000
Rp 32.000
Rp 200.000
Toko B
Rp 75.000
Rp 26.000
Rp. 250.000
a. Tuliskan matriks R berorde 2 x 3 yang menyatakan barang kebutuhan b. Tuliskan matriks P berorde 2 x3 yang menyatakan harga barang c. Tentukan PR d. Berapa yang harus dibayarkan Adi jika membeli di Toko A dan Totok jika membeli di Toko B? e. Di toko mana sebaiknya Adi membeli barang?
71
F. SIFAT-SIFAT PERKALIAN MATRIKS KAJI LATIH 7. Sifat-sifat Perkalian Matriks
Selesaikan soal-soal berikut. 1. Dalam aritmatika 2 x 3 = 3 x 2, dan dalam aljabar ab = ba. Jika deterapkan pada matriks apakah selalu berlaku AB = BA? (Petunjuk; coba gunakan matriks A= 2. Jika A=
dan O=
dan B=
)
, tentukan AO dan OA
3. Untuk semua bilangan real a, b, dan c, berlaku a(b+c) = ab + ac, disebut sebagai sifat distributif. a. Terapkan pada sebarang matriks 2 x 2, apakah berlaku A(B + C) = AB + AC b. Ambil matriks A=
, B=
dan C=
. Buktikan secara umum
bahwa A(B + C) = AB + AC c. Gunakan matriks yang dibuat pada soal a, untuk melihat apakah (AB)C = A(BC) d. Gumakan matriks seperti pada soal b, untuk menunjuukan bahwa secara umum berlaku (AB)C = A(BC) 4. a. Jika
=
, yaitu AX = X, tunjukkan bahwa w= z = 1 dan
x=y=0 b. Untuk sebarang bilangan real a, berlaku a x 1 = 1 x a = a. Apakah ada matriks I, sehingga berlaku AI = IA = A untuk semua matriks A 2 x 2? (petunjuk: gunakan hasil dari soal a) 5. Misalkan A2 = AA (A dikalikan dengan A), dan A3 = AAA. a. Tentukan A2 jika A= I=
disebut
3
b. Tentukan A jika A= 6. a. Jika A=
Matriks Identitas
, cobalah untuk mencari A2
b. Kapan A2 dapat dicari? Kondisi apa yang harus dipenuhi? 7. Tunjukkan bahwa jika I=
, maka I 2 = I dan I 3 = I
72
Dari latihan yang sudah kalian kerjakan diatas, maka akan ditemukan sifat-sifat berikut Aljabar biasa
Aljabar Matriks
Jika a dan b bilangan real maka ab juga Jika A dan B matriks yang bisa dikalikan, bilangan real
maka AB juga matriks (sifat tertutup)
ab=ba, untuk semua a,b
Secara umum AB ≠ BA (tidak komutatif)
a0 = 0a = 0 untuk semua a
Jika O matriks nol maka AO = OA = O untuk semua A
a(b+c) = ab + ac
A(B + C) = AB + AC (sifat distributif)
a x 1 = 1 x a =a
Jika I =
, maka AI = IA =A untuk
semua matiks A 2 x 2 (sifat identitas) an ada untuk semua a ≥ 0
An untuk semua n≥ 2 dapat dicari jika A matriks bujur sangkar dan n integer.
Solusi Math 6
Jabarkan dan sederhanakan jika mungkin a. (A + 2I)2 b. (A - B)2 Penyelesaian a. (A + 2I)2 =(A + 2I) (A + 2I) {X2=XX, definisi} =(A + 2I)A + (A + 2I)2I {B(C + D) = BC + BD} 2 = A + 2 IA + 2AI + 4I { B(C + D) = BC + BD} 2 = A + 2A + 2A + 4I {AI = IA = A dan I2 = I} = A2 + 4A + 4I b. (A - B)2 =(A - B) (A - B) { X2=XX, definisi} =(A - B)A - (A - B)B {C(D - E) = CD - CE} 2 2 =A - BA - AB + B (tidak bisa disederhanakan lagi karena AB≠BA)
8. Untuk semua matriks 2 × 2 dan I adalah matriks identitas jabarkan dan sederhanakan a. A(A + I) f. (A + B)2 b. (B + 2I)B
g. (A + B)(A - B)
c. A(A2 - 2A + I)
h. (A + I)2
d. A(A2 + A - 2I)
i. (A + B)2
e. (A + B)(C + D)
73
Solusi Math 7
Jika A2 = 2A + 3I, tentukan A3 dan A4 dalam bentuk kA + lI (k dan l adalah skalar) Penyelesaian A2 = 2A + 3 I A3 = A + A2 = A (2A + 3 I) = 2 A2 + 3AI = 2(2A + 3I) + 3AI = 7A + 6I A4 = A × A3 = A(7A + 6I) = 7A2 + 6AI = 7(2A + 3I) + 6A = 20A + 21I 9. a. Jika A2 = 2A - I, tentukan A3 dan A4 dalam bentuk linier, kA dan lI (k dan l adalah skalar) b. Jika B2 = 2I - B, tentukan B3, B4 dan B5 dalam bentuk linier c. Jika C2 = 4C - 3I, tentukan C3 dan C5 dalam bentuk linier 10. a. Jika A2 = I, sederhanakan: i. A(A + 2I)
ii. (A-I)2
iii. A(A + 3I)2
b. Jika A3 =I, sederhanakan A2(A + I)2 c. Jika A2 = O, sederhanakan: i. A(2A - 3I)
ii. A(A+2I)(A-I)
iii. A(A + I)3
11. Jika ab = 0 maka a = 0 atau b = 0 untuk bilangan real, tidak berlaku untuk matriks. a. Jika A=
dan B=
, tentukan AB
(soal ini membuktikan bahwa pernyataan jika AB = 0 maka A = O atau
B=
O adalah salah) , tentukan A2
b. Jika A=
c. Tentukan semua matriks A 2x2 , dimana berlaku A2 = A (petunjuk: misalkan A=
)
12. Berikan satu contoh yang menunjukkan bahwa pernyataan "Jika A2 = O maka
A=
O" adalah pernyataan yang salah. 74
Solusi Math 8
Tentukan konstanta a dan b sedemikian hingga berlaku A2 = aA + bI untuk ) Penyelesaian: A2 = aA + bI
sehingga a+b = 7 dan 2a = 10 a = 5 dan b = 2 13. Tentukan konstanta a dan b sedemikian hingga A2 = aA + bI untuk A a. b. 14. Jika A =
, tentukan konstanta p dan q sedemikian hingga A2 = pA + qI
a. Tuliskan A3 dalam bentuk linear, rA dan sI dimana r dan s skalar b. Tuliskan A4 dalam bentuk linier.
G. INVERS MATRIKS 2 x 2
Perhatikan persamaan berikut
secara aljabar kita bisa menemukan bahwa x = 5 dan y=-2. Sistem persamaan diatas dapat ditulis dalam bentuk persamaan matriks, sebagai berikut
hasil dari perhitungan aljabar, yaitu x = 5 dan y=-2 dapat dengan mudah diperiksa dalam perkalian matriks sebagai berikut hasil sesuai 75
A=
persamaan matriks mempunyai bentuk AX = B , dimana A adalah matriks dari koefisien persamaan dan X adalah matriks konstanta. Pertanyaan : Jika AX = B, bagaimana kita menemukan X hanya dengan menggunakan matriks? Untuk menjawabnya, kita misalkan ada matriks C sedemikian hingga CA=I kita kalikan bentuk AX = B dengan C di kedua sisinya C(AX)
= CB
(CA)X = CB IX
= CB
jadi X = CB
selanjutnya lihat kembali C sedemikian hingga CA = I. C adalah invers perkalian dari A, dan dinotasikan C = A-1. Secara umum, invers dari matriks A (jika ada) harus memenuhi A-1A=AA-1=I. Perhatikan bahwa =I perhatikan pula
dan
perhatikan bahwa semua jawaban diatas merupakan skalar dikalikan dengan I, dalam bentuk umum, dihasilkan = I, untuk sebarang skalar k jika dijabarkan menjadi
ad-bc (ad-bc)I = kI sehingga k = ad - bc
76
akibatnya
sehingga diperoleh A=
maka
A-1 ada jika ad-bc ≠ 0. Jika tidak, ad - bc = 0, maka
tak terdefinisi.
jika ad - bc ≠ 0, maka dikatakan bahwa A adalah invertible atau non singular. Sehingga nilai ad - bc menentukan (detemines) apakah matriks 2 x 2 mempunyai invers. Akibatnya untuk A=
, nilai ad - bc disebut sebagai deteminan dari A, dinyatakan
dengan |A| atau det(A) Definisi 5 A mempunyai invers jika |A|≠0, yaitu A non singular, akibatnya jika A= maka
dimana |A|= ad-bc
KAJI LATIH 8. Determinan & Invers Matriks 2x2
Selesaikan soal-soal berikut. 1. a. Carilah hasil dari
dan cari invers dari
b. Carilah hasil dari
dan cari invers dari
2. Cari |A| untuk A a. b. c. d.
77
e. 3. Untuk
, carilah
a. |a| b. |a|2 c. |2A| 4. Buktikan bahwa jika A adalah sebarang matriks 2 x 2 dan k konstanta, maka |kA| = k2|A| 5. Dengan mengambil
dan
a. Hitunglah |A| dan |B| b. Hitunglah AB dan |AB| c. Tunjukkan bahwa |AB| = |A||B| untuk semua matriks A dan B 2x2 6.
dan a. Gunakan hasil yang diperoleh pada soal 4 dan 5 untuk menghitung i. |A|
ii. |2A|
iii. |-A|
iv. |-3B|
v. |AB|
b. Bandingkan jawabanmu tanpa menggunakan hasil dari soal no 4 dan 5 diatas 7. Hitunglah (jika ada), invers dari matriks berikut: a. b. c. d. e. f. g. h.
78
G. MENYELESAIKAN SISTEM PERSAMAAN LINIER Perhatikan contoh-contoh berikut Solusi Math 9
a. Jika A=
, hitunglah |A|
b. Apakah
mempunyai penyelesaian tunggal
Penyelesaian: a. |A| = 2(4) - 1(3) =8-3 =5 b. Sistem persamaan linier dalam bentuk matriks
selanjutnya dicari |A| = 2.4 - 3.1 = 5 ≠ 0, A-1 ada sehingga x dan y dapat dicari, dan mempunyai penyelesaian tunggal. Solusi Math 10 , carilah A-1 , selanjutkan selesaikan
Jika A= Penyelesaian.
Sistem persamaan linier dalam bentuk matriks
A A-1 A I
X = B
|A| = 2.4 - 3.5= 8 - 15 = -7
X = A-1 B X = X = X =
79
KAJI LATIH 9. Menyelesaikan SPL dengan Matriks
Selesaikan soal-soal berikut 1. Konversikan dalam bentuk matriks a. 3x - y = 8 2x + 3y = 6 b. 4x - 3y = 11 3x + 2y = -5 c. 3a - b = 6 2a + 7b = -4 2. Gunakan aljabar matriks untuk menyelesaiakan sistem persamaan linier berikut a. 2x - y = 6
d. 3x + 5y = 4
x + 3y= 14
2x - y = 11
b. 5x - 4y = 5
e. 4x - 7y = 8
2x + 3y= -13
3x - 5y= 0
c. x - 2y = 7
f. 7x + 11y = 18
5x + 3y= -2
11x - 7y = -11
3. a. Tunjukkan bahwa jika AX = B maka X = A-1B dan jika XA = B maka X=BA-1 b. Tentukan X jika i. X
=
ii.
X=
4. Tentukan nilai k agar matriks A singular dan cari A-1 jika A non singular a. A= b. c. A = 5. Diberikan matriks A =
,B=
, dan C=
, tentukan X jika AXB = C
6. Berdasarkan persamaan a. Tuliskan persamaan dalam bentuk AX = B dan cari | A | b. Apakan sistem persamaan linier tersebut mempunyai penyelesaian tunggal? jika ya, berapa hasilnya? 80
7.
Berdasarkan persamaan a. Tuliskan persamaan dalam bentuk AX = B dan cari | A | b. Berapa
nilai
k,
agar
sistem
mempunyai
penyelesaian
tunggal?
tentukan
penyelesaiannya. c. Tentukan k sehingga sistem tidak mempunyai penyelesaian tunggal. Berapa banyak penyelesaiannya dalam kasus ini?. 8. Jika matriks A mempunyai invers yang sama dengan A, sedemikian hingga A = A-1 , maka A-1 =
Misalnya, jika A =
=
=A
a. Tunjukkan bahwa jika A = A-1, maka A2 = I b. Jika matriks A =A-1 = 9. a. Jika A =
, carilah 4 matriks yang memenuhi kondisi tersebut
, carilah A-1 dan (A-1)-1
b. Jika A adalah sebarang matriks bujur sangkar yang mempunyai invers A-1, sederhanakan (A-1)-1(A-1) dengan mengganti A-1 dengan B c. Apa yang dapat disimpulkan dari soal b 10. a. Jika A = i. A-1
dan B = ii. B-1
iii. (AB)-1
, carilah bentuk paling sederhana dari iv. (BA)-1
v. A-1B-1
vi. B-1A-1
b. Cari dua sebarang matriks yang mempunyai invers, ulangi pertanyaan a c. Apa yang dapat disimpulkan dari soal a dan b d. Sederhanakan (AB)(B-1A-1) dan (B-1A-1) (AB) dengan syarat A-1 dan B-1 ada. Apa yang dapat anda simpulkan? 11. Jika k ≠ 0, dan A-1 ada, sederhanakan (kA) ( A-1) dan ( A-1) (kA) Apa yang dapat anda simpulkan? 12. Jika A = AY dan Y = BZ, dimana A dan B mempunyai invers. a. Tentukan X dalam Z b. Tentukan X dalam Y (X, Y dan Z adalah matriks 2 x 1 dan A, B adalah matriks 2 x 2)
81
Solusi Math 12
Jika A2 = 2A + 3I, carilah A-1dalam bentuk linier rA dan sI, dimana r dan s skalar. Penyelesaian: A2 = 2A + 3I A-1A2 = A-1(2A + 3I)
{kalikan kedua sisi dengan A-1}
A-1AA = 2A-1A + 3A-1I IA = 2I + 3A-1 A-1 = (A - 2I) A-1 = A - I 13. Tentukan A-1 dalam bentuk linier dari soal berikut a. A2 = 4A - I b. 5A = I - A-2 c. 2I = 3A2 - 4A 14. Jika A=
, tuliskan A2 dalam bentuk pA + qI dimana p dan q skalar. Nyatakan
juga A-1 dalam bentuk rA + sI, dimana r dan s skalar 15. Jika diketahui AB = A dan BA = B, dimana matriks A dan B tidak perlu mempunyai invers, buktikan bahwa A2 = A. [Catatan : Dari AB = A, tidak dapat disimpulkan bahwa B = I. Mengapa?] 16. Apa yang harus dipenuhi agar pernyataan " Jika AB = AC, maka B = C"? 17. Jika X = P-1AP dan A3 = I, buktikan bahwa X3 = I 18. Jika aX2 + bA +cI = O dan X = P-1AP, buktikan bahwa aX2 + bX +cI =O
H. DETERMINAN MATRIKS 3 x 3 Sebelum mempelajari determinan, akan kita pelajari terlebih dahulu tentang matriks minor, kofaktor dan adjoint
a. Matriks minor Matriks minor Mij diperoleh dengan cara menghilangkan elemen-elemen pada baris ke-i dan kolom ke-j matriks A berorde 3 x 3, sehingga diperoleh matriks baru dengan orde 2 x 2. Determinan dari matriks Mij disebut sebagai minor dari determinan matriks A, ditulis dengan |Mij| 82
Misalkan matriks A = Minor-minor dari matriks A adalah sebagai berikut. |M11| =
|M21| =
|M31| =
|M12| =
|M22| =
|M32| =
|M13| =
|M23| =
|M33| =
b. Kofaktor
Kofaktor dari baris ke-i dan kolom ke-j dituliskan dengan Aij, didefinisikan sebagai Aij = (-1)i + j |Mij| Kofaktor - kofaktor dari matriks A adalahan sebagai berikut A11 = (-1)1 +1 |M11| = |M11| A12 = (-1)1 +2 |M12| = - |M12| A13 = (-1)1 +3 |M13| = |M13| A21 = (-1)2 +1 |M21| = - |M21| A22 = (-1)2 +2 |M22| = |M22| A23 = (-1)2 +3 |M23| = - |M23| A31 = (-1)3 +1 |M31| = |M31| A32 = (-1)3 +2 |M32| = - |M32| A33 = (-1)3 +3 |M33| = |M33| c. Adjoint Adjoint Matriks A adalah transpos dari matriks Kofaktor A. Misalkan suatu matriks A berorde 3 x 3, maka Adj A = Secara umum, untuk matriks A berorde n x n, dengan Aij kofaktor dari matriks A, maka
83
Adj A =
Selanjutnya, untuk menentukan determinan dari matriks 3 x 3 dapat dicari dengan tiga cara yaitu 1. Determinan dari matriks A =
|A| = a1
+ b1
didefinisikan sebagai
+ c1
Solusi Math 13 Tentukan |A| untuk Penyelesaian: |A|=1 = 1 (0 - (-1)) + 2 (3 - 4) + 4 (-2 -0) =1-2-8 =-9 2. Dengan menggunakan Minor & kofaktor Menghitung determinan suatu matriks menggunakan salah satu baris matriks. Jika diketahui suatu matriks A berukuran n×n: A= Maka determinan matriks A : det ( A) = |A| = det ( A) = |A| =
j = indeks kolom
atau det (A) = k = salah satu baris matriks
84
Solusi Math 14
a. Tentukan determinan matriks A menggunakan minor dan kofaktor pada baris ke-1 b. Tentukan determinan matriks A menggunakan minor dan kofaktor pada baris ke-2
Penyelesaian : a. DetA= |A| = = = (1 )( 1 )( 0 + 1 ) + (2) ( - 1)( 4 - 3 ) + (4) (1)(-2 - 0) = 1 -2 - 8 = - 9 b. det A = |A|= = = (2 )(-1)(4+4) + (0)( 1)(2-12) + (1)(-1)(-1 - 6) = -16 + 7 = -9 3. Dengan mengunakan Metode Sarrus Perhitungan determinan matriks dengan metode sarrus hanya dapat diterapkan pada matriks ukuran 2x2 atau 3x3. Determinan matriks yang ukurannya lebih besar dari 3x3 tidak bisa dihitung menggunakan metode sarrus. Metode sarrus menggunakan perkalian elemen matriks secara diagonal. Perkalian elemen matriks pada diagonal turun (dari kiri atas ke kanan bawah) diberi tanda positif (+) sedangkan perkalian elemen matriks pada diagonal naik (dari kiri bawah ke kanan atas) diberi tanda negatif (-). Misalnya A=
Determinan matriks orde 3 x 3 menggunakan metode Sarrus A=
85
_
_
_
det A=|A| =
=
Solusi Math 15 Tentukan |A| untuk
Penyelesaian : -
- -
|A| =
= 1.0.2 + 2.1.3+4.2.-1 - 4.0.3 - 1.1.-1 - 2.2.2 = 0 + 6 -8 - 0 + 1 - 8 = -9
KAJI LATIH 10. Determinan Matriks 3 x 3
Selesaikan soal-soal berikut 1. Hitunglah a.
d.
b.
c.
e.
f.
2. a. Tentukan nilai x pada matriks
agar singular
b. Apa arti dari jawaban a? 3. Hitunglah a.
b.
c.
4. Berapa nilai k agar persamaan berikut mempunyai penyelesaian tunggal. a.
b.
86
5. Carilah nilai k, jika a.
b.
6. Jika Ari membeli
1 jeruk, 2 apel, 1 pear, 1 pepaya dan 1 nanas seharga Rp 63.000.
2 Jeruk, 1 apel, 2 pear, 1 pepaya dan 1 nanas seharga Rp. 67.000.
1 jeruk, 2 apel, 3 pear, 1 pepaya dan 1 nanas seharga Rp. 77.000
Sumber: www.123rf.com
2 jeruk, 3 apel, 5 pear, 2 pepaya dan 2 nanas seharga Rp. 98.000
3 jeruk, 3 apel, 5 pear, 2 pepaya dan 2 nanas seharga Rp. 109.000
a. Tuliskan informasi tersebut dalam bentuk AX = B, dimana A adalah matriks banyaknya barang, X adalah matriks harga per item, dan B adalah matriks kolom total harga. b. Jelaskan mengapa X tidak bisa ditemukan dari informasi yang diberikan c. Jika informasi terakhir diganti dengan 3 jeruk, 1 apel, 2 pear, 2 pepaya dan 1 nanas seharga Rp. 92.000, dapatkah sistem diselesaikan sekarang, bagaimana penyelesaiannya? (Catatan : Penyelesaian bisa ditemukan dengan menggunakan A-1)
I. INVERS MATRIKS 3 x 3 Invers dari matriks berorde 3 x 3 Misalkan A=
merupakan matriks yang mempunyai invers, dengan
detA ≠ 0, maka invers dari A, yaitu A-1 dinyatakan
87
Solusi Math 16
Carilah Invers dari matriks A= Penyelesaian : 1. Cari kofaktor dari matriks A, dengan cara
Kof A =
= 2. Cari adjoint matriks A (transpose dari Kofaktor A) Adj A = 3. Cari determinan matriks A -
-
-
|A| =
= 3.1.2 + 1.1.6+ 0.2.2 - 6.1.0 - 2.1.3 - 2.2.1 +
+
+
=6+6+0-0-6-4 =2
4.
=
88
Selesaikan soal-soal berikut 1. Tentukan invers dari matriks A=
2. Tentukan invers dari matriks B=
3. Tentukan invers dari matriks B=
89
90
