LAPORAN TAHUNAN PENELITIAN FUNDAMENTAL

LAPORAN TAHUNAN PENELITIAN FUNDAMENTAL

KARAKTERISASI SEMIGRUP BENTUK BILINEAR TERURUT PARSIAL DALAM BATASAN SUBHIMPUNAN FUZZY

Tahun ke 1 dari rencana 2 tahun

TIM PENGUSUL Karyati, S.Si, M.Si Dr. Dhoriva Urwatul Wutsq

NIDN : 0022067205 NIDN : 0031036607

Dibiayai oleh: Direktorat Penelitian dan Pengabdian kepada Masyarakat Direktorat Jenderal Pendididkan Tinggi Kementrian Pendidikan dan Kebudayaan Sesuai dengan Surat Perjanjian Pelaksanaan Penugasan Penelitian Fundamental Nomor: 009/APID-BOPTN/UN34.21/2013, tanggal 18 Juni 2013

UNIVERSITAS NEGERI YOGYAKARTA November 2013

1

HALAMAN PENGESAHAN

Judul

: Karakterisasi Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial

Dalam Batasan Subhimpunan Fuzzy Peneliti/Pelaksana Nama Lengkap NIDN Jabatan Fungsional Program Studi Nomor HP Alamat surel (e-mail)

: Karyati, M.Si : 0022067205 : Lektor Kepala : Matematika : 085290093366 : [email protected]

Anggota (1) Nama Lengkap NIDN Perguruan Tinggi

: Dr. Dhoriva Urwatul Wutsqa, MS : 0031036607 : Universitas Negeri Yogyakarta

Institusi Mitra (jika ada) Nama Institusi Mitra Alamat Penanggung Jawab Tahun Pelaksanaan Biaya Tahun Berjalan Biaya Keseluruhan

:::: Tahun ke 1 dari rencana 2 tahun : Rp. 40.000.000,00 : Rp. Yogyakarta, 20 November 2013

Mengetahui, Dekan/Ketua

Ketua Peneliti,

(Dr. Hartono) NIP 196203291987021002

(Karyati, M.Si ) NIP 197206221998022001 Menyetujui, Ketua Lembaga Penelitian

Prof. Dr. Anik Ghufron NIP 196211111988031001

2

RINGKASAN Penelitian ini bertujuan untuk melahirkan teori baru tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan subhimpunan fuzzy-nya. Dalam hal ini yang dimaksud dengan subhimpunan fuzzy meliputi ideal (kiri/kanan) maupun quasi ideal (kiri/kanan) dari semigrup bentuk bilinear terurut parsial tersebut. Penelilitian ini merupakan penelitian tahap pertama atau tahun pertama dari rancangan dua tahapan selama dua tahun. Pada tahun pertama, penelitian ini dikonsentrasikan pada penyelidikan untuk mendapatkan teori baru tentang karakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan subhimpunan fuzzy dan ideal (kiri/kanan) fuzzy sebagai bentuk khusus dari subhimpunan fuzzy. Beberapa hasil telah diperoleh dan telah dipublikasikan. Publikasi pertama mempublikasikan hasil awal dari penelitian ini. Hasil tersebut meliputi karakteristik dari semigrup bentuk bilinear terurut parsial terkait dengan suatu subhimpunan fuzzy dari semigrup tersebut. Diperoleh hasil bahwa: Jika (S(B), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial yang memuat elemen satuan dan α , α , β , β subhimpunan fuzzy dari semigrup S(B) yang memenuhi sifat α ≼ β dan α ≼ β maka α ∘ α ≼ β ∘ β . Semigrup bentuk bilinear

terurut parsial (S(B), ≤) membentuk semigrup regular jika dan hanya jika untuk setiap ∈ ( ) berlaku 〈 〉 ∩ 〈 〉 = (〈 〉 〈 〉 ]. Jika ideal kanan fuzzy pada ( ) dan ideal kiri fuzzy pada ( ), maka ∘ ≼ ∧ dan berlaku ∧ ≼ ∘ . Selanjutnya setelah publikasi pertama dilanjutkan pada publikasi ke dua, yang merupakan lanjutan dari hasil penelitian sebelumnya. Hasil dari penelitian lanjutan tersebut diantaranya diperoleh sifat-sifat semigrup bentuk bilinear terurut parsial sebagai berikut: Semigrup bentuk bilinear terurut parsial ( ( ), ≤) membentuk semigrup reguler jika dan hanya jika setiap ideal kanan dan setiap ideal kiri fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤) berlaku ∧ ≼ ∘ , ekuivalen dengan, ∧ = ∘ . Semigrup bentuk bilinear terurut parsial ( ( ), ≤) membentuk semigrup reguler jika dan hanya jika setiap ideal kanan fuzzy dan setiap subhimpunan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤) berlaku ∧ ≼ ∘ . Misalkan ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen satuan “1”. Jika ideal kanan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤), maka berlaku ∘ 1 = . Jika ideal kanan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤), maka berlaku 1 ∘ = . Jika ideal kanan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤), maka ∘ ≼ . Jika ideal kiri fuzzy dari ( ( ), ≤), maka ∘ ≼ . Misalkan ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler. Jika ideal kanan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤), maka berlaku ≼ ∘ . Jika ideal kiri fuzzy dari ( ( ), ≤), maka ≼ ∘ . Jika ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler, maka ideal kanan fuzzy maupun ideal kiri fuzzy adalah idempoten.

3

PRAKATA

Puji syukur kami panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Kuasa atas selesainya penelitian dengan judul: “KARAKTERISASI SEMIGRUP BENTUK BILINEAR TERURUT PARSIAL DALAM BATASAN SUBHIMPUNAN FUZZY “ serta atas terselesaikannya penyusunan laporan ini. Laporan penelitian ini disusun sebagai bentuk tanggung jawab tim pelaksana kegiatan terhadap Universitas Negeri Yogyakarta, LPPM UNY dan Fakultas MIPA serta sebagai sarana untuk mempublikasikan hasil yang diperoleh dari kegiatan penelitian ini. Kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyelesaian kegiatan penelitian ini dan tersusunnya laporan penelitian ini disampaikan banyak terima kasih, terutama kepada: 1. Rektor Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberi kesempatan untuk melakukan penelitian ini. 2. Ketua LPPM yang telah memberikan kepercayaan, kesempatan dan fasilitas dalam melalukan penelitian ini terkait dengan hal dana dan administrasi. 3. Dekan FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta yang telah memberikan kepercayaan dan kesempatan dalam melalukan penelitian ini. 4. Bapak / Ibu peserta seminar Proposal, Instrumen maupun Laporan Penelitian, yang telah memberikan masukan kepada tim peneliti demi kesempurnaan hasil penelitian ini. 5. Semua pihak yang telah membantu dalam menyelesaikan penelitian ini.

Peneliti menyadari bahwa laporan penelitian ini masih jauh dari sempurna. Untuk itu kami sangat mengharapkan saran maupun kritik yang dapat menyempurnakan laporan ini.

Yogyakarta, November 2013 Peneliti 4

DAFTAR ISI

HALAMAN SAMPUL

1

HALAMAN PENGESAHAN

2

RINGKASAN

3

PRAKATA

4

DAFTAR ISI

5

DAFTAR LAMPIRAN

5

BAB 1. PENDAHULUAN

7

1.1. Latar Belakang

7

1.2. Batasan dan Rumusan Masalah

8

1.3. Target Hasil Penelitian

8

BAB 2. TINJAUAN PUSTAKA

9

2.1. Semigrup Terurut Parsial

9

2.2. Semigrup Bentuk Bilinear

10

2.3. Semigrup Fuzzy

11

BAB 3. TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN

13

BAB 4. METODE PENELITIAN

14

BAB 5. HASIL DAN PEMBAHASAN

16

BAB 6. RENCANA TAHAPAN BERIKUTNYA

26

BAB 7. KESIMPULAN DAN SARAN

28

7.1. Kesimpulan

28

7.2. Saran

29

DAFTAR PUSTAKA

30

5

DAFTAR LAMPIRAN

Personalia Tenaga Peneliti dan Kualifikasinya Publikasi: a. Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial dalam Batasan Subhimpunan Fuzzy b. Ordered Bilinear Form Semigroups in Term of Their Fuzzy Right and Left Ideals

6

BAB I PENDAHULUAN

1.1.Latar Belakang Istilah subhimpunan fuzzy dari suatu himpunan pertama kali diperkenalkan oleh Zadeh (1965). Rosenfeld adalah peneliti yang pertama kali memperkenalkan konsep struktur fuzzy. Banyak peneliti lain yang mengembangkan hasil penelitian dari Rosenfeld ini, termasukKuroki yang mendefinisikan tentang subsemigrup fuzzy. Beberapa penelitian terhadap struktur subsemigrup fuzzy telah dilakukan oleh Karyati, dkk. Di antara penelitiannya adalah tentang ideal kiri fuzzy, ideal kanan fuzzy dan ideal fuzzy pada semigrup beserta sifat-sifat yang melekat padanya. Semigrup bentuk bilinear adalah semigrup yang elemen-elemennya adalah pasangan adjoin relatif terhadap pemetaan . Karyati, dkk telah menyelidiki sifat dari semigrup bentuk bilinear ini baik terkait dengan relasi biasa sampai dengan relasi fuzzy yang didefinisikan kepadanya. Semigrup ( , . ) yang di dalamnya dilengkapi urutan parsial (partial order) ′ ≤ ′, sedemikian sehingga ( , ≤) membentuk poset dan untuk setiap , , ∈ dengan ≤ berlaku ≤ dan ≤ , maka ( , . ) disebut semigrup terurut parsial. Beberapa penelitian terkait dengan semigrup terurut parsial ini telah banyak dikembangkan oleh banyak peneliti. Pendefinisian urutan parsial ini sangat berpengaruh pada definisi-definisi ideal (kiri/kanan), quasi ideal (kiri/kanan), relasi, ideal (kiri/kanan) fuzzy, quasi ideal (kiri/kanan) fuzzy yang selanjutnya akan memunculkan sifat-sifat dan teori-teori yang baru. Dalam penelitian ini akan diperkenalkan dan dikembangkan teori baru tentang struktur aljabar fuzzy yang dilengkapi dengan

urutan parsial sebagai dasar dalam

mengembangkan penyelidikan selanjutnya pada bidang teknologi fuzzy seperti teknologi informasi (khususnya automata), (Kehayopulu; 2012). Dalam hal ini khususnya dalam mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan subhimpunan fuzzy. Penelitian ini dirancang untuk dilaksanakan dalam dua tahap (dua tahun). Pada tahun pertama, penelitian akan dikonsentrasikan pada penyelidikan dalam batasan subhimpunan fuzzy yang membentuk ideal kiri fuzzy maupun pada ideal kanan fuzzy. Sedangkan pada tahun ke dua, berdasarkan hasil penelitian pada tahun pertama, penelitian akan dilanjutkan dengan mendefinisikan quasi ideal fuzzy pada semigrup

7

bentuk bilinear. Berdasarkan hasil teori baru ini, selanjutnya diselidiki tentang karakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan quasi ideal (kiri/kanan) fuzzy.

1.2.Batasan dan Rumusan Masalah Untuk tahap pertama maka permasalahan dalam penelitian ini adalah: 1. Bagaimana mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan subhimpunan fuzzy? 2. Bagaimana mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan ideal kiri fuzzy? 3. Bagaimana mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan ideal kanan fuzzy?

1.3.Target Target penelitian untuk tahun pertama ini adalah: 1. Mendapatkan teori baru yang tentang karakterisasi pada semigrup bentuk bilinear terurut dalam batasan subhimpunan fuzzy. 2. Mendapatkan teori baru yang tentang karakterisasi pada semigrup bentuk bilinear terurut dalam batasan ideal (kiri/kanan) fuzzy. 3. Publikasi nasional pada Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika, yang diselenggarakan oleh Prodi Magister Pendidikan Matematika, Program Pascasarjana, Universitas Sebelas Maret, Surakarta, tanggal 3 Juli 2013. 4. Publikasi internasional yang direncanakan pada The South East Asian Conference on Mathematics and Its Application, yang diselenggarakan oleh Departemen Matematika, ITS, Surabaya, tanggal 14-15 November 2013.

8

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Penelitian mengenai semigrup fuzzy berkembang sangat pesat. Beberapa peneliti konsisten meneliti tentang struktur aljabar fuzzy ini. Mordeson, dkk terus menyelidiki tentang semigrup dalam versi fuzzy. Banyak sekali penelitian yang dihasilkan, antara lain: berbagai jenis ideal fuzzy, aplikasi fuzzy pada ilmu komputer, teori pengkodean fuzzy. Demikian halnya dengan Shabir, M dkk menghasilkan karya-karya yang menarik terkait dengan semigrup fuzzy teruatama terkait dengan pengembangan intuistik dari ideal semigrup fuzzy dan sejenisnya. Relasi fuzzy merupakan topik yang sangat penting dalam pembahasan tentang teori fuzzy. Relasi fuzzy mempunyai aplikasi yang sangat luas pada bidang pemodelan fuzzy, metode kontrol fuzzy maupun dalam hal diagnosis fuzzy. Murali adalah salah satu ilmuwan yang konsisten dalam pengembangan disiplin ilmu tentang relasi fuzzy ini, baik relasi ekuivalensi fuzzy maupun relasi kongruensi fuzzy. Beberapa peneliti juga melanjutkan apa yang telah dilakukan oleh Murali, di antanya adalah N. Kuroki.

1.1. Semigrup Terurut Parsial (po_semigrup) Semigrup merupakan struktur aljabar yang melibatkan satu operasi biner dan bersifat asosiatif. Definisi semigrup secara eksplisit diberikan sebagai berikut: Definisi 2.1. Misalkan suatu himpunan tak kosong. Himpunan biner ′. ′ disebut semigrup jika: i. (∀ , ∈ ) . ∈ ii. (∀ , , ∈ ) ( . ). = . ( . ) Misalkan terdapat

′∈

sedemikian sehingga

jika setiap elemen terdapat elemen

∈

adalah semigrup dan =

. Elemen

′∈

disebut elemen regular jika

′ . Semigrup

merupakan elemen regular. Elemen sedemikian sehingga

=

disebut semigrup regular lengkap jika setiap elemen

9

′

bersama operasi

disebut semigrup regular disebut regular lengkap jika

dan

′

= ′ . Semigrup

adalah regular lengkap.

Sebelum diberikan definisi tentang semigrup terurut parsial, maka diberikan definisi suatu himpunan terurut parsial sebagai berikut: Definisi 2.2. Himpunan tak kosong disebut terurut parsial ′ ≤ ′ jika memenuhi: i. Refleksif : (∀ ∈ ) ≤ ii. Antisimetri : (∀ , ∈ ) ≤ dan ≤ ⟹ = iii. Transitif : (∀ , , ∈ ) ≤ dan ≤ ⟹ ≤ Himpunan terurut parsial biasa disebut juga sebagai poset, yaitu singkatan dari Partial Ordered Set.. Berikut diberikan definisi selengkapnya. Definisi 2.3 . Misalkan suatu himpunan tak kosong. Himpunan biner ′. ′ dan ′ ≤ ′ disebut semigrup terurut parsial jika: i. ( , . ) membentuk semigrup ii. ( , ≤) membentuk himpunan terurut parsial (poset) iii. (∀ , , ∈ ) ≤ ⟹ ≤ dan ≤

bersama operasi

Berdasarkan definisi semigrup terurut parsial tersebut, maka definisi ideal dalam semigrup terurut parsial juga bertambah aksioma. Definisi selengkapnya adalah: Definisi 2.4. Misalkan ( , . , ≤) semigrup terurut parsial, maka Subhimpunan tak kosong disebut ideal dari semigrup jika: i. (∀ ∈ )(∀ ∈ ) ≤ ⟹ ∈ ii. ⊆ ⊆ 1.2. Semigrup Bentuk Bilinear Semigrup bentuk bilinear merupakan semigrup yang mempunyai elemen-elemen khusus. Secara lengkap, pembentukan semigrup bentuk bilinear ini dijelaskan sebagai berikut: Himpunan ℒ( ) dan ℒ( ) adalah himpunan semua operator linear ∈ ℒ( ), maka diperoleh subruang vektor ( )={ ∈ Elemen bentuk bilinear

| ( ) = 0} dan

dan

:

( ) = { ∈ | ( ) = , untuk suatu

∈ ℒ( ) dikatakan pasangan adjoin dari

∈ . Selanjutnya dinotasikan himpunan sebagai berikut: ∈ ℒ( )

( ∗) ⊆

10

( ),

∈

}

∈ ℒ( ) relatif terhadap

dan sebaliknya jika ( , ( )) = ( ( ), ) untuk semua

ℒ ( )=

. Jika

( ) ∩ ( ∗ ) = {0}

∈

dan

ℒ( )=

∈ ℒ( )

(

∗)

⊆

( ),

( )∩ (

∗)

= {0}

( ) = {( , ) ∈ ℒ ( ) × ℒ′( ) |( , ) pasangan adjoin } Karyati, dkk mebuktikan bahwa himpunan tersebut membentuk semigrup terhadap operasi biner berikut: ( , )( , ′) = (

, ′ ). Semigrup

( ) ini selanjutnya

disebut semigrup bentuk bilinear. Berbagai sifat terkait dengan semigrup bentuk bilinear ini telah diselidiki oleh Nambboripad dkk , yang dilanjutkan oleh Karyati dkk. Penelitian dilanjutkan dalam versi fuzzy pada semigrup bentuk bilinear juga telah banyak dilakukan oleh Karyati, dkk. Penelitian tersebut meliputi sifat keregularan fuzzy dari semigrup bentuk bilinear maupun pendefinisian relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear ini.

1.3. Semigrup Fuzzy Merujuk pada tulisan Asaad (1991), Kandasamy (2003), Mordeson & Malik (1998), Ajmal (1994), Shabir (2005) , maka yang dimaksud subhimpunan fuzzy pada himpunan

adalah suatu pemetaan dari

ke [0,1], yaitu

: → [0,1]. Berikut

diberikan definisi subsemigrup fuzzy.

Definisi 2.5. Misalkan adalah semigrup. Pemetaan : → [0,1] disebut subsemigrup { ( ), ( )} untuk setiap , ∈ . fuzzy jika berlaku ( ) ≥ Definisi 2.6. [Mohanraj,dkk, 2011] Misal adalah subsemigrup fuzzy pada semigrup , maka: (i) disebut ideal kiri fuzzy jika (∀ , ∈ ) ( ) ≥ ( ) (ii) disebut ideal kanan fuzzy jika (∀ , ∈ ) ( ) ≥ ( ) (iii) disebut ideal fuzzy jika merupakan ideal kiri fuzzy sekaligus ideal kanan fuzzy, yaitu: (∀ , ∈ ) ( ) ≥ { ( ), ( )} Apabila

merupakan semigrup terurut parsial, maka definisi ideal kiri fuzzy,

ideal kanan fuzzy dan ideal (dua sisi) fuzzy dari

11

didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.7. [Kehayopulu, Tsingelis, 2007] Misalkan ( , . , ≤) semigrup terurut parsial. Subhimpunan fuzzy dari disebut ideal kiri fuzzy jika : i. (∀ , ∈ ) ( ) ≥ ( ) ii. (∀ , ∈ ) ≤ ⟹ ( ) ≥ ( ) Definisi 2.8. [Kehayopulu, Tsingelis, 2007] Misalkan ( , . , ≤) semigrup terurut parsial. Subhimpunan fuzzy dari disebut ideal kanan fuzzy jika : i. (∀ , ∈ ) ( ) ≥ ( ) ii. (∀ , ∈ ) ≤ ⟹ ( ) ≥ ( ) Definisi 2.9. [Kehayopulu, Tsingelis, 2007] Misalkan ( , . , ≤) semigrup terurut parsial dan adalah subhimpunan fuzzy dengan sifat ( ) = 1 untuk setiap ∈ . Subhimpunan fuzzy dari disebut quasi ideal fuzzy jika: i. ( ∘ ) ∩ ( ∘ ) ⊆ ii. (∀ , ∈ ) ≤ ⟹ ( ) ≥ ( )

12

BAB 3 TUJUAN DAN MANFAAT PENELITIAN

3.1. Tujuan Penelitian Tujuan dari penelitian ini adalah : i. Menemukan teori baru semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan subhimpunan fuzzy. ii. Menemukan teori baru semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan ideal kiri (kanan) fuzzy.

3.2. Manfaat Penelitian Manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah: i. Memberikan kontribusi penemuan teori baru tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan subhimpunan fuzzy, sehingga dapat digunakan dan dikembangkan oleh peneliti-peneliti lain ii. Memberikan kontribusi penemuan teori baru tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan ideal kiri (kanan) fuzzy

13

BAB 4 METODE PENELITIAN

Penelitian ini merupakan penelitian research and development yaitu dimulai dari mengkaji dan meneliti teori-teori yang sudah ada, kemudian mengembangkan (mengeneralisasi). Diawali dengan mendefinisikan semigrup terurut parsial, yaitu dengan mengklasifikasi semigrup-semigrup bentuk bilinear dan menambahkan operasi urutan parsial ′ ≤ ′ . Sesuai dengan hasil penelitian yang telah dilakukan oleh peneliti-peneliti sebelumnya, terkait dengan sifat suatu struktur aljabar dalam batasan ideal kanan maupun ideal kirinya, maka langkah-langkah pentahapan penelitian ini adalah sebagai berikut: 1. Mempelajari hasil utama penelitian yang dilakukan oleh Ková cs yang bekerja pada ring regular dan Isé ki yang bekerja pada semigrup regular. 2. Mempelajari teori tentang semigrup terurut parsial 3. Mempelajari teori tentang semigrup bentuk bilinear 4. Mempelajari teori tentang semigrup fuzzy 5. Menyelidiki syarat cukup dan atau syarat perlu suatu komposisi dua subhimpunan fuzzy lebih kecil dari komposisi dua subhimpunan fuzzy pada semigrup bentuk bilinear terurut parsial. 6. Menyelidiki syarat cukup dan syarat perlu suatu semigrup bentuk bilinear terurut parsial membentuk semigrup regular terkait dengan ideal utama kanan dan ideal utama kiri-nya. 7. Menyelidiki syarat cukup dan syarat perlu suatu fungsi karakteristik dari subhimpunan semigrup bentuk bilinear terurut parsial membentuk ideal kanan (kiri) fuzzy. 8. Menyelidiki syarat cukup dan atau syarat perlu agar komposisi dua subhimpunan fuzzy lebih kecil dari nilai maksimum dari keduanya 9. Menyelidiki syarat cukup dan atau syarat perlu agar komposisi dua subhimpunan fuzzy lebih kecil dari nilai maksimum dari keduanya

14

10. Menyelidiki syarat cukup dan syarat perlu komposisi dua subhimpunan fuzzy dari semigrup bentuk bilinear terurut parsial sama dengan nilai maksimum dari keduanya, dan menyelidiki akibat-akibatnya. 11. Menyelidiki syarat perlu dan atau syarat cukup komposisi fungsi karakteristik dua subhimpunan semigrup bentuk bilinear terurut parsial sama dengan fungsi karakteristik dari hasil kali kedua himpunan tersebut. 12. Menyelidiki syarat perlu dan atau syarat cukup komposisi suatu subhimpunan fuzzy dengan pemetaan satuan dari semigrup bentuk bilinear terurut parsial lebih kecil dari subhimpunan fuzzy-nya 13. Menyelidiki syarat cukup dan atau syarat perlu suatu ideal kanan (kiri) fuzzy suatu semigrup bentuk bilinear terurut parsial merupakan idempoten. Tahap-tahap tersebut beserta indikatornya dapat diperlihatkan pada skema berikut: INDIKATOR: Tahap I: Membentuk dan menyelidiki sifat semigrup bentuk bilinear terurut

parsial

TAHUN I

Tahap II: Membentuk dan menyelidiki sifat ideal (kiri/kanan) fuzzy semigrup bentuk bilinear terurut

parsial

Diperoleh teori baru tentang definisi, lemma/ proposisi/ teorema tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial

INDIKATOR: Diperoleh teori baru tentang definisi, lemma/ proposisi/ teorema tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial

INDIKATOR: Tahap III: Mengarakterisasi semigrup bentuk bilinear

terurut parsial dalam batasan ideal kiri fuzy

15

Diperoleh teori baru lemma/ proposisi/ teorema tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial dlm batasan ideal ( kiri/kanan) fuzy

BAB 5 HASIL DAN PEMBAHASAN

Dalam tulisan ini notasi 〈 〉 dan 〈 〉 masing-masing menotasikan ideal kanan dan ideal kiri dari semigrup hunbungan bahwa 〈 〉 = ( ∪

] dan 〈 〉 = { } ∪ {

( , ≤) disebut regular jika untuk setiap elemen ≤

sehingga berlaku

∈ . Selalu dipenuhi

yang dibangun oleh elemen

}. Semigrup terurut parsial

∈

terdapat

memuat elemen terbesar . Dengan demikian berlaku semigrup ≤

, untuk setiap

dinotasikan ( ] = { ∈ | ≤ ℎ

( ∪

]. Untuk suatu himpunan fuzzy

}=( ∪

subhimpuna fuzzy dari semigrup

] dan ( ] = ( ].

] dan 〈 〉 = { } ∪ {

}=

pada semigrup terurut parsial ( , ≤),

= {( , ) ∈

didefinisikan suatu himpunan:

( ) ≤ ( ) untuk setiap

⊆ , maka

ℎ ∈ }. Dari definisi tersebut diperoleh

〈 〉 ={ }∪{

Dengan demikian dipenuhi

merupakan semigrup

∈ . Untuk suatu

⊆ , maka ( ] ⊆ ( ]. Berlaku juga ( ]( ] ⊆ (

⊆ ( ]. Jika

sedemikian

disebut poe-semigrup jika

. Semigrup terurut parsial

regular jika dan hanya jika

∈

, sehingga

× | ≤ ≼

}. Misalkan

,

adalah

jika dan hanya jika berlaku

∈ .

Proposisi 3.1. Jika ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial yang memuat elemen satuan dan , , , subhimpunan fuzzy dari semigrup ( ) yang memenuhi sifat ≼ dan ≼ maka ∘ ≼ ∘ .

Bukti: Ambil sebarang

∈ ( ), dengan

dibuktikan (

)( )≤ ( ° )( )

°

a. Untuk kasus

∈ ′( ) dan

= ∅, maka berlaku: (

Maka diperoleh

= ( , ),

∘

° ≼

)( )= 0 ≤ 0 = ( ° )( ) ∘

. 16

∈ ′( ). Selanjutnya

≠ ∅, maka berlaku:

b. Untuk kasus

(

)( ) =⋁(

, )∈

min{

( ),

( ̃ )}

( ° )( ) =⋁(

, )∈

min{ ( ),

( ̃ )}

°

dan

Akibatnya dimiliki: min{

( ̃ )} ≤ min{ ( ),

( ),

Selanjutnya, misalkan ( , ̃ ) ∈ dan

≼

sehingga berlaku

( ̃ )} untuk setiap ( , ̃ ) ∈ . Karena , ̃ ∈ ( ), ( )≤

( ) dan

(1)

≼

( ̃) ≤

( ̃ ),

maka berlaku: min{

( ),

( ̃ )} ≤ min{ ( ),

( ̃ )}

Berdasarkan Persamaan (1), berlaku: min{

( ),

( ̃ )} ≤

( , )∈

min{ ( ),

( ̃ )}

( , )∈

Akibatnya berlaku: (

)( )= ( ° )( ) untuk setiap

°

∈ ( )

Atau berlaku: ∘

≼

∘ ▄

Lemma 3.2. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial ( ( ), ≤) membentuk semigrup regular jika dan hanya jika untuk setiap ∈ ( ) berlaku 〈 〉 ∩ 〈 〉 = (〈 〉 〈 〉 ] Bukti: (⇒) Diketahui ( ) semigrup reguler, menurut sifat dari ideal semigrup berlaku untuk setiap ideal kanan

dan setiap subhimpunan ∩

Selanjutnya, misalkan

pada semigrup

⊆ ( ∩ ) ( ∩ ) ⊆ (

)

( ), maka :

⊆(

]

∈ ( ). Karena 〈 〉 ideal kanan dari ( ), maka dipenuhi:

〈 〉 ∩ 〈 〉 ⊆ (〈 〉 〈 〉 ]. 17

(⟸) Ambil sebarang

∈ ( ), maka diperoleh:

∈ 〈 〉 ∩ 〈 〉 ⊆ (〈 〉 〈 〉 ] = (( ∪ = ( ∪

)( ∪

Dengan demikian

) =(

≤

∪

∪

atau

]] ⊆ ( ( ∪

]( ∪ ]=(

∪

)( ∪

)]

]

∈ ( ). Jadi ( ) semigrup reguler.

untuk suatu

▄ Jika ( ( ), ≤) suatu semigrup terurut parsial yang mempunyai elemen satuan dan ⊆ ( ), subhimpunan fuzzy

( ) adalah fungsi karakterik dari

dari

didefinisikan sebqgqi berikut: : ⟶ [0,1] 1, 0,

( )=

∈ ∉

Misalkan ( ( ), ≤) semigrup terurut parsial yang mempunyai elemen satuan. Subhimpunan fuzzy (

pada semigrup

) ≥ ( ) untuk setiap ,

fuzzy

pada semigrup

setiap

,

semigrup

∈ , ii) Jika

disebut ideal kanan fuzzy pada

∈ , ii) Jika

≤ , maka ( ) ≥ ( ). Subhimpunan

disebut ideal kiri fuzzy pada ≤ , maka

( ) ≥ ( ).

disebut ideal (dua sisi) fuzzy pada

jika:i)

(

) ≥ ( ) untuk

Subhimpunan fuzzy

jika

untuk setiap , semigrup setiap

,

∈ , ii) Jika

jika dan hanya jika berlaku: i)

≤ , maka

∈ , ii) Jika

≤ , maka

pada semigrup (

)≥ ( )

( ) ≥ ( ). Subhimpunan fuzzy

disebut ideal kiri fuzzy pada

jika : i)

pada

membentuk ideal kanan fuzzy

sekaligus ideal kiri fuzzy pada . Hal ini ekuivalen dengan mengatakan disebut ideal (dua sisi) fuzzy pada

jika: i)

(

pada

) ≥ max{ ( ), ( )} untuk

( ) ≥ ( ). Berdasarkan definisi tersebut,

berlaku sifat sebagai berikut: Misalkan

adalah semigrup dengan elemen satuan.

Subhimpunan tak kosong

dari semigrup

merupakan ideal kiri dari

jika fungsi karakteristik

ideal kiri fuzzy pada . Secara sama juga dipenuhi sifat

berikut: Misalkan

jika dan hanya

adalah semigrup dengan elemen satuan. Subhimpunan tak kosong

18

dari semigrup

merupakan ideal kanan dari

jika dan hanya jika fungsi karakteristik

ideal kanan fuzzy pada . Proposisi 3.3. Misalkan ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan adalah ideal kanan fuzzy pada ( ) dan

elemen satuan. Jika pada ( ), maka

∘

≼

adalah ideal kiri fuzzy

∧

Bukti: ∈ ( ) selanjutnya dibuktikan ( ∘ )( ) ≤ ( ∧ )( ).

Ambil sebarang elemen Untuk kasus

=∅:

( ∘ )( ) = 0. Karena

∈ ( ) dan

semigrup bentuk bilinear

∧

merupakan subhimpunan fuzzy dari

( ), sehingga ( ∧ )( ) ≥ 0. Kondisi ini berakibat

( ∘ )( ) ≤ ( ∧ )( ). ≠ ∅,

Untuk kasus jika

( ∘ )( ) =

min{ ( ), ( ̃ )} ( , )∈

Selalu berlaku: min{ ( ), ( ̃ )} ≤ ( ∧ )( ), untuk setiap ( , ̃ ) ∈

Sehingga dipenuhi: min{ ( ), ( ̃ )} ≤ ( ∧ )( ) ( , )∈

maka akibatnya: ( ∘ )( ) ≤ ( ∧ )( ) Diketahui ( , ̃ ) ∈

, maka min{ ( ), ( ̃ )} ≤ ( ∧ )( ). Selanjutnya, karena

( , ̃) ∈

, ̃ ∈ ( ) dan

, dimiliki

≤

( ), sehingga berlaku

( )≥ (

̃ ), dan

( ), sehingga berlaku:

( )≥ (

̃ ) dan

( ̃ ). Dengan demikian diperoleh hasil:

19

̃. Diketahui ( (

ideal kanan fuzzy pada

̃ ) ≥ ( ). Karena

ideal kiri dari

̃ ) ≥ ( ̃ ). Akibatnya berlaku ( ) ≥

min{ ( ), ( )} ≥ min{ ( ̃ ), ( ̃ )} Sehingga berlaku: ( ∧ )( ) = min{ ( ), ( )} ≥ min{ ( ̃ ), ( ̃ )} ▄

Proposisi 3.4 Jika ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilininear terurut parsial, maka untuk setiap ideal kanan fuzzy ∧

berlaku

≼

dan setiap subhimpunan fuzzy

dari semigrup

( ),

∘ .

Bukti: Misalkan

ideal kanan fuzzy dan

subhimpunan

fuzzy dari semigrup

Selanjutnya dibuktikan ( ∧ )( ) ≼ ( ∘ )( ), untuk setiap untuk setiap (

∈ ( ) terdapat

) . Dengan demikian (

∈ ( ). Diketahui

∈ ( ) sedemikian sehinnga berlaku

, )∈

, yang berarti bahwa

( ∘ )( ) =

( ).

≤

=

≠ ∅, sehingga berlaku

min{ ( ), ( ̃ )} ( , )∈

Disamping juga berlaku ( ∧ )( )= min{ ( ), ( )}. Diketahui ( ),

dari

maka

(

berlaku:

) ≥ ( ).

Sehingga

ideal kanan fuzzy

diperoleh

hubungan

min{ (

), ( )} ≥ min{ ( ), ( )}. Dengan demikian berlaku : ( ∧ )( ) ≤

min{ (

), ( )}. Karena (

, )∈

min{ (

, sehingga berlaku:

), ( )} ≤

min{ ( ), ( ̃ )} ( , )∈

Sehingga dimiliki hubungan: ( ∘ )( ) = ⋁(

, )∈

min{ ( ), ( ̃ )} ≥ min{ (

Dengan demikian diperoleh

∧

≼

), ( )} ≥ ( ∧ )( ).

∘ . ▄

Sebagai akibat dari Proposisi 3.4 tersebut, diperoleh proposisi sebagai berikut:

20

Proposisi 3.5. Jika ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilininear terurut parsial, maka untuk setiap subhimpunsn fuzzy ∧

≼

dan setiap ideal kiri fuzzy

dari semigrup

( ), berlaku

∘ .

Bukti. Bukti dari proposisi ini sejalan dengan bukti pada Proposisi 3.4. ▄

Theorem 3.1. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial ( ( ), ≤) membentuk semigrup reguler jika dan hanya jika setiap ideal kanan


dari

semigrup ( ( ), ≤) berlaku: ∧

≼

∘ , ekuivalen dengan,

∧

=

∘

Bukti. (⟹) Misalkan ( ( ), ≤) semigrup regular,

ideal kanan fuzzy dan

fuzzy dari semigrup ( ). Berdasarkan Proposisi 3.4, Maka berlaku ∘

lain pihak berdasarkan Proposition 3.3 , berlaku berlaku

∧

=

≼

∧

ideal kiri ≼

∘ . Di

∧ . Dengan demikian

∘ .

(⟸) Misalkan berlaku

∧

≼

∘

untuk setiap ideal kanan fuzzy

dan setiap

dari semigrup ( ( ), ≤), sehingga berdasarkan on Lemma 2.1,

ideal kiri fuzzy berlaku:

〈 〉 ∩ 〈 〉 ⊆ (〈 〉 〈 〉 ], ∀ ∈ ( ) Untuk

∈ ( ),

∈ 〈 〉 ∩ 〈 〉 , maka berlaku

ideal kanan dari semigrup

( ), berdasarkan Lemma 2.3, fungsi karakteristik ( ).

membentuk ideal kanan dari semigrup karakteristik

∈ (〈 〉 〈 〉 ]. Diketahui 〈 〉

Berdasarka Lemma 2.2

mneggunakan hipotesanya, berlaku : 〈 〉

Diketahui

〈 〉

∧

( )≤

〈 〉

= min

〈 〉

min

∧

〈 〉

,

,

〈 〉

≤

〈 〉

21

∘

〈 〉

〈 〉

〈 〉

( )

, sehingga diperoleh:

〈 〉

∘

fungsi

( ). Sehingga dengan

membentuk ideal kiri dari semigrup

〈 〉

〈 〉

〈 〉

( )

∈〈 〉

Diketahui juga

∈ 〈 〉 , maka diperoleh 〈 〉

dan

Dengan demikian berlaku min

,

〈 〉

1≤ Jika

= ∅, maka

〈 〉

∘

∘

Misalkan ( , ̃ ) ∈ dipunyai

〈 〉

( ),

〈 〉

〈 〉

Dengan

〈 〉

berlaku

⋁(

(2)

( ) = 0. Karena

( ̃ ) ≥ 0. Dengan demikian diperoleh

Berdasarkan pada Persamaan (2),

̃∈〈 〉 .

∈ (〈 〉 〈 〉 ].

( ̃ ) = 0, ∀( , ̃ ) ∈

∉ 〈 〉 maka

, jika

∈ 〈 〉 dan

∉ 〈 〉 or ̃ ∉ 〈 〉 , sehingga:

dipunyai

min

(1)

sehingga berlaku

̃ ∈ 〈 〉 〈 〉 dan

Andaikan setiap ( , ̃ ) ∈

( )

≠ ∅.

Dibuktikan bahwa terdapat ( , ̃ ) ∈ ≤

〈 〉

= 0, yang tidak mungkin berdasarkan

〈 〉

persamaan (1). Sehingga diperoleh

Sehingga dipunyai

= 1.

= 1 dan

〈 〉

〈 〉

= 1 dan 〈 〉

, )∈

̃ ∈ ( ), maka

min

〈 〉

( ),

〈 〉

( ̃ ) = 0.

min

〈 〉

( ),

〈 〉

( ̃ ) = 0.

≠ ∅, maka berlaku: 〈 〉

∘

〈 〉

=

min

〈 〉

( ),

〈 〉

( ̃)

( , )∈

Sehingga berlaku

〈 〉

∘

= 0. Berdasarkan persamaan (1) , suatu hal yamg

〈 〉

tidak mungkin. ▄ Akibat 3.1. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial ( ( ), ≤) membentuk semigrup reguler jika dan hanya jika setiap ideal kanan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤) berlaku

∧

≼


∘ .

Bukti : Berdasarkan Proposisi 3.1. dan Teorema 3.1, maka terbukti Akkibat 3.1. ini. ▄

22

Akibat 3.2. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial ( ( ), ≤) membentuk semigrup reguler jika dan hanya jika setiap subhimpunan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤) berlaku

∧

≼


∘ .

Bukti : Berdasarkan Proposisi 3.2. dan Teorema 3.1, maka terbukti Akkibat 3.2. ini. ▄ Theorem 3.2. Misalkan ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen satuan “1”. Jika

ideal kanan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤), maka berlaku

∘1= .

Bukti. ideal kanan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤). Pertama dimiliki 1 ∈ ( ) ,

Misalkan

dengan 1 subhimpunan fuzzy dari ( ( ), ≤). Misalkan

∈ ( ), sehingga: ( ∘

1)( ) ≤ ( ), yaitu: Jika

= ∅, maka ( ∘ 1)( ) = 0. Diketahui

subhimpunan fuzzy dari

( ),

sehingga ( ) ≥ 0. Dengan demikian ( ∘ 1)( ) ≤ ( ). Jika

≠ ∅, maka ( ∘ 1)( ) = ⋁(

, )∈

min{ ( ), 1( ̃ )}. Sehingga dipunyai:

min{ ( ), 1( ̃ )} ≤ ( ), Misalkan ( , ̃ ) ∈ diperoleh

. Diketahui

( )≥ (

≤

̃ ) ≥ ( ) dan

̃ dan

∀( , ̃ ) ∈ ideal kanan fuzzy dari ( ), sehingga

( ) ≤ 1. Diketahui juga

min{ ( ), 1( ̃ )} = ( ) ≤ ( ). Dengan demikian diperoleh

( ̃ ) = 1, sehingga ( ∘ 1)( ) ≤ ( ). ▄

Akibat 3.3. Misalkan ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen satuan “1”. Jika 1∘


= .

Bukti: Bukti analog dengan bukti Teorema 3.2. ▄ 23

Teorema 3.3. Misalkan ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan ideal kanan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤), maka

elemen identitas “1”. Jika ∘

≼ .

Bukti: ideal kanan fuzzy dari semigrup ( ). Berlaku pula

Diketahui

Berdasarkan Proposition 3.1 berlaku

∘

≼

≼ .

∘ 1. Di pihak lain berdasarkan Teorema

∘ 1 = . Dengan demikian berlaku

3.2, berlaku

≼ 1 dan

∘

≼ . ▄

Akibat 3.4. Misalkan

( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan ideal kiri fuzzy dari ( ( ), ≤), maka

elemen identitas “1”. Jika

∘

≼ .

Bukti. Bukti Akibat 3.4 ini analog dengan bukti Teorema 3.3. ▄ Theorem 3.4. Misalkan ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler. ideal kanan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤), maka berlaku

Jika

≼

∘ .

Bukti: Misalkan

∈ ( ), selanjutnya dibuktikan ( ) ≤ ( ∘ )( ). Diketahui ( ) reguler

maka terdapat (

, )∈

∈ ( ) sedemikian sehingga berlaku

Diketahui

(

Diketahui pula dipenuhi:

min{ ( ), ( ̃ )} ≥ min{ ( ), ( ̃ )}, ∀( , ̃ ) ∈

, )∈

, )∈

, sehingga diperoleh

≤

dan

( ) ≥ ((

Selanjutnya diperoleh

. Dengan demikian

≠ ∅. Akibatnya berlaku:

, sehingga

( ∘ )( ) = ⋁(

≤

), ( )}.

ideal kanan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤), sehingga

) )≥ ( (

( ∘ )( ) ≥ min{ (

)≥ ( )

) = ( ), sehingga

min{ (

), ( )} = ( ) dan

( ) ≤ ( ∘ )( ). ▄

24

Akibat 3.5. Misalkan ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler. Jika ideal kiri fuzzy dari ( ( ), ≤)., maka

≼

∘ .

Bukti. Bukti Akibat 3.5 analog dengan pembuktian Teorema 3.4. ▄

Suatu subhimpunan fuzzy ∘

dari suatu semigrup disebut idempotent jika dan hanya jika

= .

Akibat 3.6. Jika ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler, maka ideal kanan fuzzy maupun ideal kiri fuzzy adalah idempoten.

Bukti: ideal kanan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤). Berdasarkan

Misalkan

sebarang

Teorema 3.3

berlaku

∘

∘

=

Sehingga diperoleh kiri fuzzy

≼ . Berdasarkan atau

Teorema 3.4.

berlaku

≼

∘ .

idempoten. Secara analog, untuk sebarang ideal

dari semigrup ( ( ), ≤), sehingga diperoleh

∘

= . ▄

25

BAB 6 RENCANA TAHAPAN BERIKUTNYA

Berdasarkan hasil dari penelitian tahun pertama ini, maka untuk tahapan berikutnya akan dilanjutkan penelitian selanjutnya

untuk memperoleh Teori Baru

dengan permasalahan yang diangkat sebagai berikut: 1. Bagaimana mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan quasi ideal kiri fuzzy? 2. Bagaimana mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan quasi ideal kanan fuzzy?

Berdasarkan pada permasalahan tersebut, maka target hasil penelitian tahun kedua direncanakan seperti berikut: 1. Mendapatkan teori baru yang tentang karakterisasi pada semigrup bentuk bilinear terurut dalam batasan quasi ideal kiri fuzzy. 2. Mendapatkan teori baru yang tentang karakterisasi pada semigrup bentuk bilinear terurut dalam batasan quasi ideal kanan fuzzy. 3. Publikasi Nasional pada Konferensi Nasional Matematika ke 17, ITS Surabaya, pada bulan Juni 2014. 4. Publikasi internasional direncanakan akan dilakukan pada

Quaterly of applied

Mathematics, Brown University , Volume 72, USA. Online ISSN 1552-4485; Print ISSN 0033-569X

Selanjutnya untuk mendapatkan teori baru karakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan quasi ideal kiri (kanan) fuzzy, akan ditempuh dengan cara sebagai berikut: 1. Membentuk dan menyelidiki quasi ideal kiri fuzzy pada semigrup bentuk bilinear terurut parsial

26

2. Membentuk dan menyelidiki quasi ideal kanan fuzzy maupun ideal fuzzy pada semigrup bentuk bilinear terurut parsial 3. Mengarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan quasi ideal kiri (kanan) fuzzy

Tahap-tahap tersebut beserta indikatornya dapat diperlihatkan pada skema berikut: INDIKATOR: Tahap I: Membentuk dan menyelidiki sifat quasi ideal fuzzy semigrup bentuk bilinear terurut TAHUN

Diperoleh teori baru tentang definisi, lemma/ proposisi/ teorema quasi ideal semigrup bentuk bilinear terurut parsial

parsial

II Tahap II: Mengarakterisasi semigrup bentuk bilinear

terurut parsial dalam batasan quasi ideal fuzy

27

INDIKATOR: Diperoleh teori baru lemma/ proposisi/ teorema tentang semigrup bentuk bilinear terurut parsial dlm batasan quasi ideal fuzy

BAB 7 KESIMPULAN DAN SARAN

7.1. KESIMPULAN Berdasarkan hasil penelitian yang telah dipaparkan pada Bab 5, maka dapat disimpulkan karakteristik dari semigrup bentuk bilinear terurut parsial ( ( ), ≤) dalam batasan subhimpunan fuzzy dari ( ( ), ≤) diberikan sebagai berikut: 1. Jika ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial yang memuat elemen satuan dan

,

≼

,

,

dan

subhimpunan fuzzy dari semigrup ≼

∘

maka

≼

∘

( ) yang memenuhi sifat

.

2. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial ( ( ), ≤) membentuk semigrup regular ∈ ( ) berlaku 〈 〉 ∩ 〈 〉 = (〈 〉 〈 〉 ]

jika dan hanya jika untuk setiap

3. Misalkan ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen satuan. Jika maka

adalah ideal kanan fuzzy pada ( ) dan ∘

≼

adalah ideal kiri fuzzy pada ( ),

∧

4. Jika ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilininear terurut parsial, maka untuk setiap ideal kanan fuzzy ∧

≼


dari semigrup

( ), berlaku

∘ .

5. Jika ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilininear terurut parsial, maka untuk setiap subhimpunsn fuzzy ∧

≼


dari semigrup

( ), berlaku

∘ .

6. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial ( ( ), ≤) membentuk semigrup reguler jika dan hanya jika setiap ideal kanan ( ( ), ≤) berlaku

∧

≼


∘ , ekuivalen dengan,

∧

=

dari semigrup

∘

7. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial ( ( ), ≤) membentuk semigrup reguler jika dan hanya jika setiap ideal kanan fuzzy semigrup ( ( ), ≤) berlaku

∧

≼

∘ .

28


dari

8. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial ( ( ), ≤) membentuk semigrup reguler jika dan hanya jika setiap subhimpunan fuzzy semigrup ( ( ), ≤) berlaku 9. Misalkan

( ( ), ≤)

satuan “1”. Jika

∧

≼


dari

∘ .

semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen


∘1= . 10. Misalkan ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen satuan “1”. Jika 11. Misalkan

ideal kanan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤), maka berlaku 1 ∘

( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen

identitas “1”. Jika 12. Misalkan

= .

ideal kanan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤), maka

∘

≼ .

( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen

identitas “1”. Jika

ideal kiri fuzzy dari ( ( ), ≤), maka

∘

≼ .

13. Misalkan ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler. Jika kanan fuzzy dari semigrup ( ( ), ≤), maka berlaku

≼

∘ .

14. Misalkan ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler. Jika kiri fuzzy dari ( ( ), ≤)., maka

≼

ideal

ideal

∘ .

15. Jika ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial reguler, maka ideal kanan fuzzy maupun ideal kiri fuzzy adalah idempoten.

7.2. SARAN Dalam penelitian ini baru diperhatikan untuk subsemigrup fuzzy

khusus yang

berupa ideal (kanan/kiri) fuzzy saja. Masih banyak terdapat subsemigrup fuzzy khusus yang lain, seperti quasi ideal. Sehingga diharapkan pada penelitian yang lain dapat diselidiki berdasarkan subhimpunan fuzzy khusus lainnya.

29

DAFTAR PUSTAKA

Asaad,M., 1999, Group and Fuzzy Subgroup, Fuzzy Sets and systems 39 , pp: 323 - 328. Howie, J.M, 1976, An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press. London Kandasamy, W.B.V, 2003, Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press and W.B. Vasantha Kandasamy Rehoboth. USA Karyati, 2002, Semigrup yang Dikonstruksikan dari Bentuk Bilinear. Tesis: Program Pascasarjana Universitas Gadjah Mad. Yogyakarta. Karyati, Wahyuni, S. 2003. The Properties of Non-degenerate Bilinear Form. Proceeding of SEAMS-GMU: International Conference on Mathematics and Its Applications.

Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, 2009, Beberapa Sifat Ideal Fuzzy Semigrup yang Dibangun oleh Subhimpunan Fuzzy, Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Negeri Jember. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, 2009, Quotient Semigroups Induced by Fuzzy Congruence Relations, Proceeding IndoMS International Conference on Mathematics and Its Application (IICMA) , GMU, Yogyakarta, pp: 102-111. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, 2009, Subsemigrup S(B) Fuzzy, Prosiding Seminar Nasional PIPM, Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, UNY. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, 2012, The Fuzzy Regularity of Bilinear Form Semigroups, Proceedings of ”The 6th SEAMS-UGM Conference 2011” Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, 2013, Membangun Suatu Relasi Fuzzy pada Semigrup Bentuk Bilinear, Prosiding Seminar Nasional Jurusan Matematika, Universitas Sebelas Maret. Kehayopulu, N, Ponizovskii, J.S and Tsingelis, M, 2002, Bi-ideals in Ordered Semigroups and Ordered Group. Journal of Mathematics Sciences, Volume 112, no 4, p 4353-4355. Kehayopulu, N, 2005, Ideals and Green Relations in Ordered Semigroups, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Volume 26, pp: 1-8. Kehayopulu, N, Tsingelis, M, 2007, Green’s Relation in Ordered Groupoids in Terms of Fuzzy Subsets, Soochow Journal of Mathematics, Volume 33, no.3, pp: 383-397. Kehayopulu, N, 2012, Left Regular Ordered Semigroups in which the Fuzzy Left Ideals are Two-Sided, International Journal of Algebra, Vol 6, no.10, pp:493-499. Klir, G.J, Clair, U.S, Yuan, B, 1997, Fuzzy Set Theory: Foundation and Applications. PrenticeHall, Inc. USA

30

Kuroki, N.,1992, Fuzzy Congruences and Fuzzy Normal Subgroup, Information Sciences, 60, 247-259. Mohanraj, G, Krishnaswamy, D and Hema, R, 2011, On Generalized Redefined Fuzzy Prime Ideals of Ordered Semigroups, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, Volume X, No 10, pp: 1- 9. Mordeson, J.N, Malik, D.S, 1998, Fuzzy Commutative Algebra. World Scientifics Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore Murali, V.,1998, Fuzzy Equivalence Relation. Fuzzy Sets and System 30 , pp: 155-163. Rajendran, D, Nambooripad, K.S.S, 2000, Bilinear Form and a Semigroup of Linear Transformations. Southeast Asian Bulletin of Mathematics 24, p: 609-616 Shabir, M, 2005, Fully Fuzzy Prime Semigroups. International Journal of Mathematics and Mathematical Science1 p:163-168 Shabir, M, Khan, A, 2010, Characterizations of Ordered Semigroups by the Properties of Their Fuzzy Ideals, Computers and Mathematics with Applications, Volume 59, pp: 539 – 549. Zimmermann, H.J, 1991, Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic Publishers. USA.

31

Lampiran 1.Personalia Tenaga Peneliti dan Kualifikasinya Susunan Organisasi Tim Peneliti/Pelaksana dan Pembagian Tugas:

No

Nama/NIDN

Instansi Asal

Bidang Ilmu

Alokasi Waktu (jam/

Uraian Tugas

minggu)

1

Karyati, S.Si, FMIPA, M.Si/ UNY 0022067205

Aljabar, Terapan

15

2

Dr. Dhoriva Urwatul Wutsqa/ 0031036607

Statistika, Analisis

10

FMIPA, UNY

32

1. Memimpin jalannya penelitian sehingga tercapai target 2. Melakukan analisis dan penyelidikan sebagai peneliti utama untuk mencapai target yang telah dicanangkan 3. Melakukan kegiatan publikasi nasional maupun internasional 4. Melakukan kegiatan administrasi keuangan 5. Menyusun materi untuk seminar proposal 6. Menyusun laporan kemajuan 7. Menyusunlaporan akhir Membantu Penulis utama dalam melakukan kegiatan penelitian ini: 1. Memimpin jalannya penelitian sehingga tercapai target 2. Melakukan analisis dan penyelidikan sebagai peneliti utama untuk mencapai target yang telah dicanangkan 3. Melakukan kegiatan publikasi nasional maupun internasional 4. Melakukan kegiatan administrasi keuangan 5. Menyusun materi untuk seminar proposal 6. Menyusun laporan kemajuan 7. Menyusun laporan akhir

Lampiran 2. Publikasi a. Seminar Nasional Matematika dan Pendidikan Matematika (SNMPM) Pasca Sarjana UNS

SEMIGRUP BENTUK BILINEAR TERURUT PARSIAL DALAM BATASAN SUBHIMPUNAN FUZZY Karyati1), Dhoriva UW2) 1) Jurusan Pendidikan Matematika , FMIPA, UNY Jl. Colombo No.1, Karangmalang, Yogyakarta, e-mail: [email protected] 2) Jurusan Pendidikan Matematika , FMIPA, UNY Jl. Colombo No.1, Karangmalang, Yogyakarta, e-mail: [email protected]

Abstrak Penelitian terkait dengan Semigrup Bentuk Bilinear telah dilakukan oleh Rajendran dan Nambooripad. Penelitian ini selanjutnya dikembangkan oleh Karyati dan Wahyuni. Karakteristik semigrup bentuk bilinear fuzzy juga telah dikembangkan oleh Karyati, dkk. Berbagai aspek penyelidikan juga telah dilakukan oleh Karyati, dkk terkait dengan ideal fuzzy, relasi fuzzy, relasi kongruensi fuzzy dan relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear. Diinspirasi oleh penelitian yang dilakukan oleh Kehayopulu dan Tsengelis yang bekerja pada srtuktur aljabar semigrup terurut parsial, maka dalam penelitian ini akan dibangun suatu urutan parsial pada semigrup bentuk bilinear fuzzy. Terkait dengan penambahan operasi urutan parsial pada semigrup bentuk bilinear dan sifat khusus dari semigrup bentuk bilinear ini diperoleh beberapa sifat semigrup bentuk bilinear dalam batasan subhimpunan fuzzy yang membentuk ideal (kiri/kanan) fuzzy dari semigrup bentuk bilinear tersebut. Kata Kunci: Semigrup bentuk bilinear, urutan parsial, semigrup terurut parsial, ideal

PENDAHULUAN Sejak teori subhimpunan fuzzy diperkenalkan oleh Zadeh, perkembangan teori struktur aljabar fuzzy juga berkembang sangat pesat. Rosenfeld telah mengembangkan teori subgrupoid fuzzy. Zimmerman (1991) juga telah banyak menyelidiki aplikasi subhimpunan fuzzy ini. Mordeson & Malik (1998) telah banyak menyelidiki pengembangan teori fuzzy pada struktur semigrup. Karyati, dkk (2012) telah

33

mengembangkan teori fuzzy ini pada semigrup khusus yang disebut dengan semigrup bentuk bilinear. Teori baru telah banyak dilahirkan terkait dengan semigrup ini, diantaranya adalah sifat regular fuzzy pada semigrup bentuk bilinear, ideal (kiri/ kanan) fuzzy , ideal utama (kiri/kanan) fuzzy, relasi fuzzy sampai dengan relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear. Kehayopulu, dkk (2012) juga melakukan penelitian tentang teori subhimpunan fuzzy yang didasarkan pada grupoid terurut parsial dan semigrup terurut parsial. Semigrup ( , . ) yang di dalamnya dilengkapi urutan parsial (partial order) ′ ≤ ′, sedemikian sehingga ( , ≤) membentuk poset dan untuk setiap , , ∈ berlaku

≤

dan

≤

dengan

≤

, maka ( , . ) disebut semigrup terurut parsial. Beberapa

penelitian terkait dengan semigrup terurut parsial ini telah banyak dikembangkan oleh banyak peneliti. Pendefinisian urutan parsial ini sangat berpengaruh pada definisi-definisi ideal (kiri/kanan), quasi ideal (kiri/kanan), relasi, ideal (kiri/kanan) fuzzy, quasi ideal (kiri/kanan) fuzzy yang selanjutnya akan memunculkan sifat-sifat dan teori-teori yang baru.

Aplikasi teknologi fuzzy dalam teknologi informasi sangat penting dan telah berkembang dengan cepat. Dalam penelitian ini akan diperkenalkan dan dikembangkan teori baru tentang struktur aljabar fuzzy yang dilengkapi dengan urutan parsial sebagai dasar dalam mengembangkan penyelidikan selanjutnya pada bidang teknologi fuzzy seperti teknologi informasi (khususnya automata), (Kehayopulu; 2012). Dalam hal ini khususnya dalam mengkarakterisasi semigrup bentuk bilinear terurut parsial dalam batasan subhimpunan fuzzy. Semigrup bentuk bilinear merupakan semigrup yang mempunyai elemen-elemen berupa pasangan adjoin relative terhadap bentuk bilinear. Selama ini Karyati, baik secara individu maupun berkelompok

telah melakukan penelitian terkait dengan

semigrup ini dalam versi fuzzy. Hasil penelitian dari Kehayopulu, dkk melahirkan teori yang dapat diaplikasikan pada teknologi informasi. Sedangkan hasil penelitian yang telah dilakukan oleh Karyati dkk mempunyai aplikasi pada automata yang menjadi teori mendasar pada ilmu komputer. Melihat kondisi demikian,

maka sangat perlu

dikembangkan teori baru tentang semigrup bentuk bilinear dan semigrup terurut parsial ini. Dalam hal ini, pada semigrup bentuk bilinear akan ditambahkan operasi urutan 34

parsial ‘≤’ sedemikian sehingga membentuk semigrup terurut parsial. Selanjutnya akan diselidiki karakteristik dari semigrup bentuk bilinier terurut parsial ini berdasarkan subhimpunan fuzzy yang membentuk ideal (kiri/kanan) fuzzy .

KAJIAN TEORI Pada bagian ini akan diberikan beberapa pengertian dan sifat yang mendasari dalam pembahasan makalah ini.

2.1 Semigrup Terurut Parsial (po_semigrup) Semigrup merupakan struktur aljabar yang melibatkan satu operasi biner dan bersifat asosiatif. Definisi semigrup secara eksplisit diberikan sebagai berikut: Definisi 2.1. Misalkan disebut semigrup jika:

suatu himpunan tak kosong. Himpunan

bersama operasi biner ′. ′

iii. (∀ , ∈ ) . ∈ iv. (∀ , , ∈ ) ( . ). = . ( . ) Misalkan terdapat

ʹ∈

setiap elemen elemen ʹ ∈

adalah semigrup dan =

sedemikian sehingga

∈

. Elemen

disebut elemen regular jika

ʹ . Semigrup

disebut semigrup regular jika

merupakan elemen regular. Elemen sedemikian sehingga

regular lengkap jika setiap elemen

=

ʹ dan

disebut regular lengkap jika terdapat ʹ

= ʹ . Semigrup

disebut semigrup

adalah regular lengkap.

Sebelum diberikan definisi tentang semigrup terurut parsial, maka diberikan definisi suatu himpunan terurut parsial sebagai berikut: Definisi 2.2. Himpunan tak kosong memenuhi:

disebut himpunan terurut parsial ′ ≤ ′ jika

iv. Refleksif : (∀ ∈ ) ≤ v. Antisimetri : (∀ , ∈ ) ≤ dan ≤ ⟹ = vi. Transitif : (∀ , , ∈ ) ≤ dan ≤ ⟹ ≤

35

Himpunan terurut parsial biasa disebut juga sebagai poset, yaitu singkatan dari Partial Ordered Set.. Berikut diberikan definisi selengkapnya. Definisi 2.3 . Misalkan suatu himpunan tak kosong. Himpunan biner ′. ′ dan ′ ≤ ′ disebut semigrup terurut parsial jika:

bersama operasi

iv. ( , . ) membentuk semigrup v. ( , ≤) membentuk himpunan terurut parsial (poset) vi. (∀ , , ∈ ) ≤ ⟹ ≤ dan ≤

Berdasarkan definisi semigrup terurut parsial tersebut, maka definisi ideal dalam semigrup terurut parsial juga bertambah aksioma. Definisi selengkapnya adalah: Definisi 2.4. Misalkan ( , . , ≤) semigrup terurut parsial, maka subhimpunan tak kosong disebut ideal dari semigrup jika: iii. (∀ ∈ )(∀ ∈ ) iv. ⊆ ⊆

≤

⟹

∈

2.2. Semigrup Bentuk Bilinear Semigrup bentuk bilinear merupakan semigrup yang mempunyai elemen-elemen khusus. Secara lengkap, pembentukan semigrup bentuk bilinear ini dijelaskan sebagai berikut: Himpunan ℒ( ) dan ℒ( ) adalah himpunan semua operator linear ∈ ℒ( ), maka diperoleh subruang vektor ( )={ ∈ Elemen bentuk bilinear

| ( ) = 0} dan

dan

:

( ) = { ∈ | ( ) = , untuk suatu

∈ ℒ( ) dikatakan pasangan adjoin dari

∈ . Selanjutnya dinotasikan himpunan sebagai berikut: ℒ ′( ) =

∈ ℒ( )

( ∗) ⊆

( ),

( ) ∩ ( ∗ ) = { 0}

ℒ′( ) =

∈ ℒ( )

(

∗)

( ),

( )∩ (

36

∈

}

∈ ℒ( ) relatif terhadap

dan sebaliknya jika ( , ( )) = ( ( ), ) untuk semua

⊆

. Jika

∗)

= {0}

∈

dan

( ) = {( , ) ∈ ℒ ′ ( ) × ℒ′( )

( , ) pasangan adjoin }

Karyati, dkk (2002) mebuktikan bahwa himpunan tersebut membentuk semigrup terhadap operasi biner berikut:

( , )( ′ , ′) = (

′

, ′ ). Semigrup

( )

ini

selanjutnya disebut semigrup bentuk bilinear. Berbagai sifat terkait dengan semigrup bentuk bilinear ini telah diselidiki oleh Nambboripad dkk , yang dilanjutkan oleh Karyati dkk. Penelitian dilanjutkan dalam versi fuzzy pada semigrup bentuk bilinear juga telah banyak dilakukan oleh Karyati, dkk. Penelitian tersebut meliputi sifat keregularan fuzzy dari semigrup bentuk bilinear maupun pendefinisian relasi Green fuzzy pada semigrup bentuk bilinear ini. 2.3.Semigrup Fuzzy Merujuk pada tulisan Asaad (1991), Kandasamy (2003), Mordeson & Malik (1998), Ajmal (1994), Shabir (2005), maka yang dimaksud subhimpunan fuzzy pada himpunan

ke [0,1], yaitu

adalah suatu pemetaan dari

: → [0,1]. Berikut

diberikan definisi subsemigrup fuzzy. Definisi 2.5. Misalkan adalah semigrup. Pemetaan : → [0,1] disebut subsemigrup { ( ), ( )} untuk setiap , ∈ . fuzzy jika berlaku ( ) ≥

Definisi 2.6. [Mohanraj dkk, 2011] Misal

adalah subsemigrup fuzzy pada semigrup ,

maka: (iii)

disebut ideal kiri fuzzy jika (∀ ,

(iv)

disebut ideal kanan fuzzy jika (∀ ,

(iii)

disebut ideal fuzzy jika merupakan ideal kiri fuzzy sekaligus ideal kanan fuzzy,

yaitu: (∀ ,

∈ ) (

Apabila

)≥

∈ ) (

)≥ ( )

∈ ) (

)≥ ( )

{ ( ), ( )}

merupakan semigrup terurut parsial, maka definisi ideal kiri fuzzy,

ideal kanan fuzzy dan ideal (dua sisi) fuzzy dari

37

didefinisikan sebagai berikut:

Definisi 2.7. [Kehayopulu, Tsingelis, 2007] Misalkan ( , . , ≤) semigrup terurut parsial. Subhimpunan fuzzy iii. (∀ ,

∈ ) (

iv. (∀ ,

∈ )

≤

dari

disebut ideal kiri fuzzy jika :

)≥ ( ) ⟹ ( )≥ ( )

Definisi 2.8. [Kehayopulu, Tsingelis, 2007] Misalkan ( , . , ≤) semigrup terurut parsial. Subhimpunan fuzzy dari disebut ideal kanan fuzzy jika : iii. (∀ , iv. (∀ ,

∈ ) ( )≥ ( ) ∈ ) ≤ ⟹ ( )≥ ( )

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN Dalam tulisan ini notasi 〈 〉 dan 〈 〉 masing-masing menotasikan ideal kanan dan ideal kiri dari semigrup

yang dibangun oleh elemen

hunbungan bahwa 〈 〉 = ( ∪

] dan 〈 〉 = { } ∪ {

( , ≤) disebut regular jika untuk setiap elemen sehingga berlaku

≤

}. Semigrup terurut parsial

∈

terdapat

memuat elemen terbesar . Dengan demikian berlaku semigrup ≤

, untuk setiap

dinotasikan ( ] = { ∈ | ≤ ℎ ⊆ ( ]. Jika

( ∪

]. Untuk suatu himpunan fuzzy

subhimpuna fuzzy dari semigrup ( ) ≤ ( ) untuk setiap

⊆ , maka

ℎ ∈ }. Dari definisi tersebut diperoleh

〈 〉 ={ }∪{

didefinisikan suatu himpunan:

sedemikian

merupakan semigrup

∈ . Untuk suatu

⊆ , maka ( ] ⊆ ( ]. Berlaku juga ( ]( ] ⊆ (

Dengan demikian dipenuhi

∈

disebut poe-semigrup jika

. Semigrup terurut parsial

regular jika dan hanya jika

∈ . Selalu dipenuhi

}=( ∪

, sehingga

38

] dan 〈 〉 = { } ∪ {

}=

pada semigrup terurut parsial ( , ≤),

= {( , ) ∈

∈ .

] dan ( ] = ( ].

× | ≤ ≼

}. Misalkan

,

adalah

jika dan hanya jika berlaku

Proposisi 3.1. Jika ( ( ), ≤) semigrup terurut parsial yang memuat elemen satuan dan , , , subhimpunan fuzzy dari semigrup ( ) yang memenuhi sifat ≼ dan ≼ maka ∘ ≼ ∘ . Bukti: Ambil sebarang

∈ ( ), dengan

dibuktikan (

)( )≤ ( ° )( )

°

= ( , ),

∈ ′( ) dan

∈ ′( ). Selanjutnya

= ∅, maka berlaku:

c. Untuk kasus

( ∘

Maka diperoleh

° ≼

)( )= 0 ≤ 0 = ( ° )( ) ∘

.

≠ ∅, maka berlaku:

d. Untuk kasus

(

°

)( ) =⋁(

, )∈

min{

( ),

)( ) =⋁(

, )∈

min{ ( ),

( ̃ )}

dan ( °

( ̃ )}

Akibatnya dimiliki: min{

( ),

( ̃ )} ≤ min{ ( ),

Selanjutnya, misalkan ( , ̃ ) ∈ dan

≼

sehingga berlaku

( ̃ )} untuk setiap ( , ̃ ) ∈ . Karena , ̃ ∈ ( ), ( )≤

( ) dan

(1)

≼

( ̃) ≤

( ̃ ),

maka berlaku: min{

( ),

( ̃ )} ≤ min{ ( ),

( ̃ )}

Berdasarkan Persamaan (1), berlaku: min{

( ),

( ̃ )} ≤

( , )∈

min{ ( ),

( ̃ )}

( , )∈

Akibatnya berlaku: (

°

)( )= ( ° )( ) untuk setiap

∈ ( )

Atau berlaku: ∘

≼

∘ ▄

39

Lemma 3.2. Semigrup bentuk bilinear terurut parsial ( ( ), ≤) membentuk semigrup regular jika dan hanya jika untuk setiap ∈ ( ) berlaku 〈 〉 ∩ 〈 〉 = (〈 〉 〈 〉 ]

Bukti: (⇒) Diketahui

( ) semigrup reguler, menurut sifat dari ideal semigrup berlaku untuk

setiap ideal kanan

dan setiap subhimpunan ∩

Selanjutnya, misalkan

pada semigrup

⊆ ( ∩ ) ( ∩ ) ⊆ (

)

( ), maka :

⊆(

]

∈ ( ). Karena 〈 〉 ideal kanan dari ( ), maka dipenuhi:

〈 〉 ∩ 〈 〉 ⊆ (〈 〉 〈 〉 ]. (⟸) Ambil sebarang

∈ ( ), maka diperoleh:

∈ 〈 〉 ∩ 〈 〉 ⊆ (〈 〉 〈 〉 ] = (( ∪ = ( ∪

)( ∪

Dengan demikian

) =(

≤

∪

∪

atau

]] ⊆ ( ( ∪

]( ∪ ]=(

untuk suatu

∪

)( ∪

)]

]

∈ ( ). Jadi ( ) semigrup reguler. ▄

Jika ( ( ), ≤) suatu semigrup terurut parsial yang mempunyai elemen satuan dan ⊆ ( ), subhimpunan fuzzy

( ) adalah fungsi karakterik dari

dari

didefinisikan sebqgqi berikut: : ⟶ [0,1] ( )=

1, 0,

∈ ∉

Misalkan ( ( ), ≤) semigrup terurut parsial yang mempunyai elemen satuan. Subhimpunan fuzzy (

pada semigrup

) ≥ ( ) untuk setiap ,

fuzzy

pada semigrup

disebut ideal kanan fuzzy pada

∈ , ii) Jika

≤ , maka ( ) ≥ ( ). Subhimpunan


40

jika: i)

jika:i)

(

) ≥ ( ) untuk

setiap

,

∈ , ii) Jika

semigrup

≤ , maka

( ) ≥ ( ).

disebut ideal (dua sisi) fuzzy pada

Subhimpunan fuzzy

jika

membentuk ideal kanan fuzzy

sekaligus ideal kiri fuzzy pada . Hal ini ekuivalen dengan mengatakan disebut ideal (dua sisi) fuzzy pada untuk setiap , semigrup setiap

,

∈ , ii) Jika

jika dan hanya jika berlaku: i)

≤ , maka

∈ , ii) Jika

≤ , maka

pada semigrup (

)≥ ( )

( ) ≥ ( ). Subhimpunan fuzzy


jika : i)

pada

(

pada

) ≥ max{ ( ), ( )} untuk

( ) ≥ ( ). Berdasarkan definisi tersebut,

berlaku sifat sebagai berikut: Misalkan

adalah semigrup dengan elemen satuan.

Subhimpunan tak kosong

dari semigrup

merupakan ideal kiri dari

jika fungsi karakteristik

ideal kiri fuzzy pada . Secara sama juga dipenuhi sifat

berikut: Misalkan dari semigrup

jika dan hanya

adalah semigrup dengan elemen satuan. Subhimpunan tak kosong

merupakan ideal kanan dari

jika dan hanya jika fungsi karakteristik

ideal kanan fuzzy pada .

Proposisi 3.3. Misalkan ( ( ), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen satuan. Jika adalah ideal kanan fuzzy pada ( ) dan adalah ideal kiri fuzzy pada ( ), maka ∘ ≼ ∧

Bukti: ∈ ( ) selanjutnya dibuktikan ( ∘ )( ) ≤ ( ∧ )( ).

Ambil sebarang elemen Untuk kasus

=∅:

( ∘ )( ) = 0. Karena semigrup bentuk bilinear

∈ ( ) dan

∧

merupakan subhimpunan fuzzy dari

( ), sehingga ( ∧ )( ) ≥ 0. Kondisi ini berakibat

( ∘ )( ) ≤ ( ∧ )( ).

Untuk kasus jika

≠ ∅, ( ∘ )( ) =

min{ ( ), ( ̃ )} ( , )∈

Selalu berlaku:

41

min{ ( ), ( ̃ )} ≤ ( ∧ )( ), untuk setiap ( , ̃ ) ∈

Sehingga dipenuhi: min{ ( ), ( ̃ )} ≤ ( ∧ )( ) ( , )∈

maka akibatnya: ( ∘ )( ) ≤ ( ∧ )( ) Diketahui ( , ̃ ) ∈

, maka min{ ( ), ( ̃ )} ≤ ( ∧ )( ). Selanjutnya, karena

( , ̃) ∈

, ̃ ∈ ( ) dan

, dimiliki

≤

( ), sehingga berlaku

( )≥ (

̃ ), dan

( ), sehingga berlaku:

( )≥ (

̃ ) dan

̃. Diketahui ( (

ideal kanan fuzzy pada

̃ ) ≥ ( ). Karena

ideal kiri dari

̃ ) ≥ ( ̃ ). Akibatnya berlaku ( ) ≥

( ̃ ). Dengan demikian diperoleh hasil: min{ ( ), ( )} ≥ min{ ( ̃ ), ( ̃ )} Sehingga berlaku: ( ∧ )( ) = min{ ( ), ( )} ≥ min{ ( ̃ ), ( ̃ )} ▄

SIMPULAN DAN SARAN Berdasarkan hasil pembahasan di atas maka disimpulkan sifat-sifat semigrup bentuk bilinear terurut parsial sebagai berikut: 1. Jika ( ( ), ≤) semigrup terurut parsial yang memuat elemen satuan dan , dan

,

, ≼

subhimpunan fuzzy dari semigrup ( ) yang memenuhi sifat maka

∘

≼

∘

≼

.

2. Semigrup bentuk bilinear (S(B), ≤) terurut parsial regular jika dan hanya jika untuk setiap a ∈ S(B) berlaku 〈 〉 ∩ 〈 〉 = (〈 〉 〈 〉 ]

42

3. Misalkan (S(B), ≤) semigrup bentuk bilinear terurut parsial dengan elemen satuan. Jika maka

adalah ideal kanan fuzzy pada ( ) dan ∘

≼

adalah ideal kiri fuzzy pada ( ),

∧

DAFTAR PUSTAKA Asaad,M. (1999). Group and Fuzzy Subgroup. Fuzzy Sets and systems 39 , pp: 323 328. Howie, J.M. (1976). An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press. London Kandasamy, W.B.V. (2003). Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press and W.B. Vasantha Kandasamy Rehoboth. USA Karyati. 2002. Semigrup yang Dikonstruksikan dari Bentuk Bilinear. Tesis: Program Pascasarjana Universitas Gadjah Mad. Yogyakarta. Karyati, Wahyuni, S. (2003). The Properties of Non-degenerate Bilinear Form. Proceeding of SEAMS-GMU: International Conference on Mathematics and Its Applications. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji, (2009). Beberapa Sifat Ideal Fuzzy Semigrup yang Dibangun oleh Subhimpunan Fuzzy, Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Negeri Jember. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. (2009). Quotient Semigroups Induced by Fuzzy Congruence Relations, Proceeding IndoMS International Conference on Mathematics and Its Application (IICMA) , GMU, Yogyakarta, pp: 102-111. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. (2009). Subsemigrup S(B) Fuzzy. Prosiding Seminar Nasional PIPM, Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, UNY. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. (2012). The Fuzzy Regularity of Bilinear Form Semigroups, Proceedings of ”The 6th SEAMS-UGM Conference 2011” Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. (2013). Membangun Suatu Relasi Fuzzy pada Semigrup Bentuk Bilinear. Prosiding Seminar Nasional Jurusan Matematika, Universitas Sebelas Maret. Kehayopulu, N. (2005). Ideals and Green Relations in Ordered Semigroups, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Volume 26, pp: 1-8.

43

Kehayopulu, N. (2012). Left Regular Ordered Semigroups in which the Fuzzy Left Ideals are Two-Sided, International Journal of Algebra, Vol 6, no.10, pp:493499. Klir, G.J, Clair, U.S, Yuan, B. (1997). Fuzzy Set Theory: Foundation and Applications. Prentice-Hall, Inc. USA Mohanraj, G, Krishnaswamy, D and Hema, R. (2011). On Generalized Redefined Fuzzy Prime Ideals of Ordered Semigroups, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, Volume X, No 10, pp: 1- 9. Mordeson, J.N, Malik, D.S, (1998,) Fuzzy Commutative Algebra. World Scientifics Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore Murali, V.,1998, Fuzzy Equivalence Relation. Fuzzy Sets and System 30 , pp: 155-163. Rajendran, D, Nambooripad, K.S.S,( 2000, Bilinear Form and a Semigroup of Linear Transformations. Southeast Asian Bulletin of Mathematics 24, p: 609-616 Shabir, M, Khan, A, (2010), Characterizations of Ordered Semigroups by the Properties of Their Fuzzy Ideals, Computers and Mathematics with Applications, Volume 59, pp: 539 – 549. Zimmermann, H.J, (1991,) Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic Publishers. USA.

44

b. South East Asian Conference on Mathematics and Its Applications, ITS

Partial Ordered Bilinear Form Semigroups in Term of Their Fuzzy Right and Fuzzy Left Ideals Karyati1 and Dhoriva Urwatul Wutsqa 2 1

Department of Mathematics Education [email protected] , [email protected] , 2 Department of Mathematics Education [email protected] Abstract. Research and development of Bilinear Form Semigroups have been introduced by Rajendran and Nambooripad. This research has been developed by Karyati and Wahyuni. The characteristics of the Fuzzy Bilinear Form Subsemigroup also has been developed by Karyati, at al. Many topics of research have been done by Karyati,at al. These are about fuzzy ideals, fuzzy relations, fuzzy congruences, fuzzy Green relation on Bilinear form semigroups. Inspired by the paper which is written by Kehayopulu and Tsengelis, who have studied about partial ordered semigroup, the aim of this research is to find the characteristics of the partial ordered bilinear form semigroup in term of their fuzzy right and fuzzy left ideals. We obtain some characteristics of the partial ordered bilinear form semigroup, i.e.: the necessary and sufficient condition an partial ordered bilinear form semigroup is a regular semigroup if and only if their fuzzy right and fuzzy left ideal, we have ∧ ≼ ∘ , equivalently, ∧ = ∘ , their fuzzy right and fuzzy left ideal, we have ∧ ≼ ∘ ; if and only if their fuzzy right ideal and fuzzy subset , we have ∧ ≼ ∘ ; if and only if their fuzzy subset and fuzzy left ideal, we have ∧ ≼ ∘ Keywords: partial ordered bilinear form semigroup, regular partial ordered semigroup, fuzzy right ideal, fuzzy left ideal

1.

Introduction and Prerequisites Theory of fuzzy subset has been established by Zadeh. The developing of this theory

has been done by many researchers. Rosenfeld has been developed this theory to the fuzzy subgroupoid theory. Zimmerman[20] has consider the application of the fuzzy subsets. Mordeson & Malik[16] has developed the fuzzy subset theory on fuzzy

45

semigroup. Karyati, at al[9] have been developed the theory of Subsemigroup fuzzy into the special semigroup called fuzzy bilinear form subsemigroup. The new theory has been establish, i.e.: the characteristics of fuzzy right/left ideal, the fuzzy principle ideal, fuzzy relation and Green relation on bilinear form semigroups. Kehayopulu, at al[13] have established the theory of the partial ordered semigroup and groupoid. A semigroup ( , . ) with a partial order operation ′ ≤ ′, such that ( , ≤) is a partial ordered set (poset) and for every , , ∈ ≤

, with

≤

, we have

≤

and

, then ( , . , ≤) is called partial ordered semigroup. Many researchers have

reseach about this

topic. Defining a partial order into a semigroup has many

consequences. These are related to the defining of (right/left) ideal, right/left) quasiideal, fuzzy (right/left) ideal and fuzzy (right/left) quasi-ideal. Based on these definitions, we can develope to get the new theories related to the partial ordered semigroups. In this paper, we will find the characteristics of the partial bilinear form semigroup in term their right and left ideals.

2. Theoretical Review On this section, we give many definitions, theorems, lemmas, propositions and corollaries to support this research.

2.2 Partial ordered Semigroup (po_semigrup) A semigroup is an algebra structure with an associative binary operation. Definition 1. Let

be a non empty set. The set

semigroup if: i. (∀ ,

∈ ) .

∈

ii. (∀ , , ∈ ) ( . ). = . ( . )

46

with a binary operation ′. ′ is called a

Let

∈

be a semigroup and

exist ′ ∈

=

such that

only if every element of

. The element

′ . A semigroup

is called a regular element if there is called a regular semigroup if and

is a regular element.

The following definition give a definition of the partial partial ordered. is called partial ordered ′ ≤ ′ if and only if:

Definition 2. A non empty set Reflective : (∀ ∈ ) ≤

i.

ii. Anti symmetry : (∀ ,

∈ )

iii. Transitive : (∀ , , ∈ )

≤

≤

and

≤

and

≤

⟹ ⟹

= ≤

The partial partial ordered set is called poset. The following definition give a definition about a partial ordered semigroup: be a non empty set. The set

Definition 3 . Let

with a binary operation ′. ′ and a

partial ordered ′ ≤ ′ is called a partial ordered semigroup if and only if: ( , . ) is a semigroup

i.

ii. ( , ≤) is a partial ordered set iii. (∀ , ,

∈ ) ≤

⟹

≤

and

≤

Definition 4. Let ( , . , ≤) be a partial ordered semigroup. Then a non empty subset is called an ideal of a semigroup

if :

i. (∀ ∈ )(∀ ∈ )

∈

ii.

⊆

≤

⟹

⊆

2.4. Bilinear Form Semigroups A bilinear form semigroup is a special semigroup. We give the following theory how to construct a bilinear form semigroup. Let ℒ( ) and ℒ( ) be a set of all linear operator

and , respectively. If ( )={ ∈

An element

| ( ) = 0} and

∈ ℒ( ), then we get a vector subspace of ( ) = { ∈ │ ( ) = , for any

∈ ℒ( ) is called an adjoin pair with

47

}

∈ ℒ( )with respect to the bilinear form

, and vice versa, if and only if ( , ( )) = ( ( ), ) for every we will denote the following sets:

∈

:

∈

and

∈ . The next,

ℒ′( ) =

∈ ℒ( )

( ∗) ⊆

( ),

( ) ∩ ( ∗ ) = {0}

ℒ ′( ) =

∈ ℒ( )

(

∗)

( ),

( )∩ (

⊆

( ) = ( , ) ∈ ℒ ′( ) × ℒ′( )

∗)

= {0}

( , ) an adjoin pair

Karyati at al, (2002) have proved that the set ( ) is a semigroup with respect to the binary ′

operation which is defined as ( , )

′

, ′ =

, ′

, [4]. This semigroup

( ) is called a

bilinear form semigroup. The properties of this semigroup has been establish by Rajendran & Nambboripad, [18]. Based on this properties, Karyati at al, [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11] have developed this theory included the fuzzy version. 2.5. Fuzzy Subsemigroups Refer to the papers which are written by Asaad [1], Kandasamy [3], Mordeson & Malik [16], Shabir [19], we have a definition of a fuzzy subset into [0,1],i.e.

mapping from

Definition 5. Let

Definition 6. [15] Let

ii.

is a fuzzy rigth idea lif (∀ ,

iii.

is a fuzzy ideal if

Let

,

∈ .

be a fuzzy subsemigrup of a semigroup . Then:

is a fuzzy left ideal if (∀ ,

)≥

: → [0,1]is called a fuzzy

{ ( ), ( )} for every

) ≥ min

i.

(

is a

: → [0,1].

be a semigroup. A mapping

subsemigroup if and only if (

of a semigroup

∈ ) (

)≥ ( )

∈ ) (

)≥ ( )

is a fuzzy left ideal and a fuzzy right ideal, i.e.:

(∀ ,

∈ )

{ ( ), ( )}

be a partial ordered semigroup. Then the definition of a fuzzy left ideal,

fuzzy right ideal and fuzzy ideal (two sided) of

are defined as follow:

Definition 7. [15] Let ( , . , ≤) be a partial ordered semigroup . Then a fuzzy suset the partial ordered semigroup i. (∀ ,

∈ ) (

ii. (∀ ,

∈ )

≤

is called fuzzy left ideal if :

)≥ ( ) ⟹ ( )≥ ( )

48

of

Definition 8. [15] Let ( , . , ≤) be a partial ordered semigroup . Then a fuzzy subset of the partial ordered semigroup

is called fuzzy right ideal if :

. (∀ , ii.(∀ ,

∈ )

≤

∈ ) (

)≥ ( )

⟹ ( )≥ ( )

2.6. Partial Ordered Bilinear Form Semigroup in Term of The Fuzzy Subset Based on the paper written by Calais [12], one of the characteristics of a regular semigroup : A semigroup of

is a regular semigroup if and only if the right and left ideals

are idempotent. Iseki [12] proved that a semigroup

every right ideal

and every left ideal

commutative semigroup then

,

∩

=

is regular if and only if for

. As a consequence, if

is a

is a regular semigroup if and only if every ideal of

is

idempotent. In this paper, 〈 〉

and 〈 〉

denote a right ideal and a left ideal of

∈ , respectively. We always have 〈 〉 = { } ∪ { {

}=( ∪

every

∈

}=( ∪

] and 〈 〉 = { } ∪

]. The partial ordered semigruop( , ≤) is called regular if and only if for ∈

there exist

such that

≤

. If

⊆ , then we denote ( ] =

{ ∈ | ≤ ℎ for any ℎ ∈ }. Based on this notation, so we have then ( ] ⊆ ( ], ( ]( ] ⊆ ( defined as a mapping

:

of a semigroup . Then and

≼

⊆ ( ]. If

] and ( ] = ( ]. A fuzzy subset of a semigroup ⟶ [0,1].

semigroup ( , ≤), we denote

subsets

generated by

For a fuzzy subset

= {( , ) ∈ if and only if

× | ≤

⊆ , is

of a partial ordered

}. Let ,

( ) ≤ ( ) for all

be fuzzy subsets

∈ . For two fuzzy

of a semigroup , we define: ( ∘ )( ) =

min{ ( ), ( )},

≠∅

( , )∈

0,

=∅

We denote by ( ) the set of all fuzzy set of all fuzzy subsets of . On ( ) we defined other binary operation ≼ defined as follow: For every ,

∈ ( ),

≼

if and only if ( ) ≤ ( ), for every

is a partial ordered set with respect to the operation ‘≼’.

49

∈ . The set ( )

The following propositions will be developed to establish many characteristics of the partial ordered bilinear form semigroups. Proposition 1. [11] If ( ( ), ≤) is a partial ordered groupoid and ( ) such that

fuzzy subsets of

≼

By Proposition 1, the set

≼

and

, then

∘

( ) of all fuzzy subsets of

≼

,

, ∘

,

are

.

endowed with the

multiplication “∘” and the order “≼” is a partial ordered groupoid. Lemma 1.[11] A partial ordered bilinear form semigruop ( ( ), ≤) is regular if and only if 〈 〉 ∩ 〈 〉 = (〈 〉 〈 〉 ], for every

∈ ( )

Let ( ( ), ≤) be an partial ordered bilinear form semigroup which have a unity element ⊆ ( ). Then a fuzzy subset

and

( ) is a characteristics function of

of

defined by: : ( ) ⟶ [0,1] ( )= A fuzzy subset every ,

of a semigroup

∈ , ii) If

(two sided) of

≤ , maka ( ) ≥ ( ). A fuzzy subset if: i) (

( ) ≥ ( ). A fuzzy subset if

∈ , ii) If

,

∈ , ii) If

is called fuzzy ideal

. This is is equivalence with

if and only if: i) (

is

is

) ≥ ( ), for every

≤ , then ( ) ≥ ( ).

Lemma 2.[6] Let subset

of a semigroup

) ≥ ( ), for

of a semigroup

) ≥ ( ) for every

is a fuzzy right and left ideal of

a fuzzy ideal (two sided) of a semigroup ,

∈ ∉

is called a fuzzy right ideal if: i) (

called a fuzzy left ideal of a semigroup ≤ , then

1, 0,

be a semigroup with an identity (unit) element. Then a non empty

of a semigroup

characteristics function

is a left ideal of a semigroup

is a fuzzy left ideal of

50

.

if and only if the

Lemma 3.[6] Let

be a semigroup with an identity element . Then a non empty subset

of a semigroup is a right ideal of right ideal of

if and only if the characteristics fungtion

is a

.

Proposition 2. [11] Let ( ( ), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with a unit element. If

is a right of

( ) and

( ), then

is a fuzzy left ideal of

∘

≼

∧ .

2. Main Results Based on Proposition 2, we can weak the condition for

become a fuzzy subset and

without a unit element. Then we get the following proposition: Proposition 3. Let ( ( ), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup. Then for every fuzzy right ideal

Proof. Let

of ( ), we have

and every fuzzy subset

be a fuzzy right ideal and

∈ ( ) such that

≤

=(

≼

∘ .

be a fuzzy left ideal of ( ). Then we must

prove that ( ∧ )( ) ≼ ( ∘ )( ), for every exist

∧

∈ ( ). Since

) . Then (

, )∈

( ) is a regular, there . Since

≠ ∅, we

have: ( ∘ )( ) = ⋁(

, )∈

min{ ( ), ( ̃ )}

Besides ( ∧ )( )= min{ ( ), ( )}. Since (

) ≥ ( ). Then min{ (

)( ) ≤ min{ (

), ( )} ≥ min{ ( ), ( )}. Thus we have: ( ∧

), ( )}. Since ( min{ (

is a fuzzy right ideal of ( ), we have:

, )∈

, we have:

), ( )} ≤

min{ ( ), ( ̃ )} ( , )∈

Hence we have: ( ∘ )( ) = ⋁( Therefore

∧

, )∈

≼

min{ ( ), ( ̃ )} ≥ min{ (

), ( )} ≥ ( ∧ )( ).

∘ . ▄

51

Proposition 4. Let ( ( ), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup. Then for every fuzzy subset

and every fuzzy left ideal

of

( ), we have

∧

≼

∘ .

Proof. The proof of this proposition is similar with the proof of the previous proposition. ▄

Theorem 1. A partial ordered bilinear form semigroup ( ( ), ≤) is regular if and only if for every fuzzy right ideal ∧

of ( ( ), ≤) , we have :

and every fuzzy left ideal ≼

∘ , equivalently,

∧

=

∘

Proof. (⟹) Let ( ( ), ≤) be a regular semigroup,

be a fuzzy right ideal and

ideal of ( ). Based on Proposition 3, we have ∘

on Proposition 2, we have

≼

∧

≼

be a fuzzy left

∘ . On the other hand, based

∧ . Then we have

∧

=

∘ .

(⟸) ∧

Suppose

≼

∘

for every fuzzy right ideal


of

( ( ), ≤). Based on Lemma 1, we have: 〈 〉 ∩ 〈 〉 ⊆ (〈 〉 〈 〉 ], ∀ ∈ ( ) Let

∈ ( ),

∈ 〈 〉 ∩ 〈 〉 . Then

∈ (〈 〉 〈 〉 ]. Since 〈 〉 is a right ideal of

( ), by Lemma 3, the characteristics function Based on Lemma 2, the characteristics function

〈 〉 〈 〉

is a fuzzy right ideal of ( ).

is a fuzzy left ideal of ( ). Then,

by hypothesis , we have: 〈 〉

Since

〈 〉

∧

∈ 〈 〉 and

min

〈 〉

,

〈 〉

〈 〉

( )≤

〈 〉

= min

〈 〉

min Since

∧

〈 〉

,

,

〈 〉 〈 〉

≤

〈 〉

∈ 〈 〉 , so we get 〈 〉 = 1 and

52

∘

〈 〉

( )

, so we have: 〈 〉

∘

〈 〉

= 1 and 〈 〉

( ) = 1, then we have

1≤ = ∅, then

If

∘

〈 〉

〈 〉

∘

( )

〈 〉

(1)

= 0, which is impossible by (1). So we have

〈 〉

≠

∅. We prove that there exist ( , ̃ ) ∈ have

̃ ∈ 〈 〉 〈 〉 and

≤

Suppose for each ( , ̃ ) ∈ min Let ( , ̃ ) ∈

, if

( ),

∉ 〈 〉 then

Hence we have min

〈 〉

∉ 〈 〉 or ̃ ∉ 〈 〉 . Then

( ),

〈 〉

〈 〉 〈 〉

( ̃ ) = 0, ∀( , ̃ ) ∈

min

〈 〉

( ),

〈 〉

( ̃ ) = 0. Since

⋁(

, )∈

min

〈 〉

( ),

〈 〉

( ̃)

∘

〈 〉

( ̃ ) ≥ 0.

〈 〉

( ̃ ) = 0. Based on the equation (2), we have

, )∈

〈 〉

(2)

( ) = 0. Since ̃ ∈ ( ), we have

⋁(

Then we have

∈ 〈 〉 and ̃ ∈ 〈 〉 . Then we

∈ (〈 〉 〈 〉 ]. we have

〈 〉

such that

≠ ∅, we have:

〈 〉

∘

=

〈 〉

= 0. Based on (1), it is impossible. ▄

Corollary 1. A partial ordered bilinear form semigroup ( ( ), ≤) is regular if and only if for every fuzzy right ideal

and every fuzzy subset

of ( ), we have:

∧

≼

∘ . Proof: Based on Proposition 3 and Theorem 1 we can prove this corollary. ▄

Corollary 2. A partial ordered bilinear form semigroup ( ( ), ≤) is regular if and only if for every fuzzy subset


of ( ), we have:

∧

≼

∘ .

Proof: Based on Proposition 4 and Theorem 1 we can prove this corollary ▄

53

In case of a partial ordered semigroup, a right or left ideal is called idempotent if =(

].

Theorem 2. Let ( ( ), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity element and

Proof. Let

a fuzzy right ideal of ( ( ), ≤). Then

be a right ideal of ( ( ), ≤). The first we have 1 ∈ ( ) i.e. 1 is a fuzzy

subset of ( ( ), ≤). Let

∈ ( ). Then ( ∘ 1)( ) ≤ ( ), i.e.:

= ∅, then ( ∘ 1)( ) = 0. Since

If

∘1= .

is a fuzzy subset of ( ), we have ( ) ≥ 0.

So ( ∘ 1)( ) ≤ ( ). ≠ ∅. Then ( ∘ 1)( ) = ⋁(

If

, )∈

min{ ( ), 1( ̃ )}. We have

min{ ( ), 1( ̃ )} ≤ ( ), Let ( , ̃ ) ∈ (

≤

. Since

̃ ) ≥ ( ). Since

̃ and

∀( , ̃ ) ∈

is a fuzzy right ideal of ( ), we have

( )≥

is a fuzzy subset in ( ), we have ( ) ≤ 1. Since ( ̃ ) = 1,

we have min{ ( ), 1( ̃ )} = ( ) ≤ ( ). Hence we have ( ∘ 1)( ) ≤ ( ) ▄

Corollary 3. Let ( ( ), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with identity element and

a fuzzy left ideal of ( ( ), ≤). Then 1 ∘

= .

Proof. The proof is similar with the proof of Theorem 2. ▄

Theorem 3. Let ( ( ), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity element and

a fuzzy right ideal of ( ( ), ≤). Then

Proof. Let

be a fuzzy right ideal of ( ). Since

Proposition 1, we have ∘ 1 = . Thus we have

∘

≼ ∘

∘

≼ . ≼ 1 and

≼

and based on

∘ 1. On the other hand, based on Theorem 2, we have

≼ . ▄

54

Corollary 4. Let ( ( ), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity element and

a fuzzy left ideal of ( ( ), ≤). Then

∘

≼ .

Proof. The proof is similar with the proof of Theorem 3. ▄ Theorem 4. Let ( ( ), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup and be a fuzzy right ideal of ( ( ), ≤). Then

Proof.

Let

≼

∘ .

∈ ( ), then we must prove that ∈ ( ) such that

regular, there exist

≤

( ) ≤ ( ∘ )( ). Since

. Then (

, )∈

. Since

( ) is ≠ ∅, we

have: ( ∘ )( ) = ⋁( Since (

, )∈

min{ ( ), ( ̃ )} ≥ min{ ( ), ( ̃ )}, ∀( , ̃ ) ∈

, we obtain ( ∘ )( ) ≥ min{ (

, )∈

), ( )}. Since

≤

and

is

a fuzzy right ideal of ( ( ), ≤), then we have: ( ) ≥ (( Hence we have

(

) )≥ (

) = ( ), so min{ (

)≥ ( )

), ( )} = ( ) and ( ) ≤ ( ∘ )( ). ▄

Corollary 5. Let ( ( ), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup and be a fuzzy left ideal of ( ( ), ≤). Then

≼

∘ .

Proof. The proof is similar with the proof of Theorem 5. ▄

A fuzzy subset

of a semigroup is called idempotent if and only if

∘

= .

Corollary 6. Let ( ( ), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup. Then the fuzzy right ideals and the fuzzy left ideals are idempotent.

55

Proof. Let have

∘

≼ . And based on Theorem 4 we have

proves that we get

be an arbitrary fuzzy right ideal of ( ( ), ≤). Based on Theorem 3, we

∘

≼

∘ . So we get

is idempotent. Similarly, for an arbitrary fuzzy left ideal

∘

=

or it

of ( ( ), ≤),

= ▄

3 Conclusion In this paper, we considered characterizations of

partial ordered bilinear form

semigroups in term their fuzzy right and left ideals. We obtained several properties of this semigroup. These properties are the following: i. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup. Then for every fuzzy right ideal α and every fuzzy subset β of S(B), we have α ∧ β ≼ α ∘ β. ii. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup. Then for every fuzzy subset α and every fuzzy left ideal β of S(B), we have α ∧ β ≼ α ∘ β. iii. A partial ordered bilinear form semigroup (S(B), ≤) is regular if and only if for every fuzzy right ideal α and every fuzzy subset β of S(B), we have: α ∧ β ≼ α ∘ β iv. A partial ordered bilinear form semigroup (S(B), ≤) is regular if and only if for every fuzzy right ideal α and every fuzzy left ideal β of (S(B), ≤) , we have : α ∧ β ≼ α ∘ β, equivalently, α ∧ β = α ∘ β v. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity element and α a fuzzy right ideal of (S(B), ≤). Then α ∘ 1 = α. vi. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with identity element and β a fuzzy left ideal of (S(B), ≤). Then 1 ∘ β = β vii. Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity element and α a fuzzy right ideal of (S(B), ≤). Then α ∘ α ≼ α viii.

Let (S(B), ≤) be a partial ordered bilinear form semigroup with an identity

element and β a fuzzy right ideal of (S(B), ≤). Then β ∘ β ≼ β ix. Let ( ( ), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup and α be a fuzzy right ideal of ( ( ), ≤). Then

≼

∘

56

x. Let (S(B), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup and β be a fuzzy right ideal of (S(B), ≤). Then β ≼ β ∘ β xi. Let (S(B), ≤) be a regular partial ordered bilinear form semigroup. Then the fuzzy right ideals and the fuzzy left ideals are idempotent.

References 1. Asaad,M.: Group and Fuzzy Subgroup. Fuzzy Sets and systems 39 , pp: 323 - 328. (1999). 2. Howie, J.M.: An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press. London(1976). 3. Kandasamy, W.B.V. : Smarandache Fuzzy Algebra. American Research Press and W.B. Vasantha Kandasamy Rehoboth. USA. (2003). 4. Karyati. :Semigrup yang Dikonstruksikan dari Bentuk Bilinear. Tesis: Program Pascasarjana Universitas Gadjah Mad. Yogyakarta. (2002) 5. Karyati, Wahyuni, S.: The Properties of Non-degenerate Bilinear Form. Proceeding of SEAMS-GMU: International Conference on Mathematics and Its Applications. (2003). 6. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji,: Beberapa Sifat Ideal Fuzzy Semigrup yang Dibangun oleh Subhimpunan Fuzzy, Prosiding Seminar Nasional Matematika, Universitas Negeri Jember. (2009). 7. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. : Quotient Semigroups Induced by Fuzzy Congruence

Relations,

Proceeding

IndoMS

International

Conference

on

Mathematics and Its Application (IICMA) , GMU, Yogyakarta, pp: 102-111. (2009). 8. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. : Subsemigrup S(B) Fuzzy. Prosiding Seminar Nasional PIPM, Jurusan Pendidikan Matematika, FMIPA, UNY. (2009). 9. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. :The Fuzzy Regularity of Bilinear Form Semigroups, Proceedings of ”The 6th SEAMS-UGM Conference 2011” (2012).

57

10. Karyati, Wahyuni, S, Surodjo, B, Setiadji. Membangun Suatu Relasi Fuzzy pada Semigrup Bentuk Bilinear. Prosiding Seminar Nasional Jurusan Matematika, Universitas Sebelas Maret. (2013). 11. Karyati, Dhoriva, U.W: Semigrup Bentuk Bilinear Terurut Parsial dalam Batasan Subhimpunan Fuzzy. Seminar Nasional MAtematika dan Pendidikan Matematika, PPs Universitas Sebelas Maret . (2013) 12. Kehayopulu, N : Ideals and Green Relations in Partial ordered Semigroups, International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, Volume 26, pp: 18. . (2005). 13. Kehayopulu, N.: Left Regular Partial ordered Semigroups in which the Fuzzy Left Ideals are Two-Sided, International Journal of Algebra, Vol 6, no.10, pp:493-499. (2012). 14. Klir, G.J, Clair, U.S, Yuan, B. :Fuzzy Set Theory: Foundation and Applications. Prentice-Hall, Inc. USA. (1997). 15. Mohanraj, G, Krishnaswamy, D and Hema, R. : On Generalized Redefined Fuzzy Prime Ideals of Partial ordered Semigroups, Annals of Fuzzy Mathematics and Informatics, Volume X, No 10, pp: 1- 9. (2011). 16. Mordeson, J.N, Malik, D.S. :Fuzzy Commutative Algebra. World Scientifics Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore, (1998,) 17. Murali, V.: Fuzzy Equivalence Relation. Fuzzy Sets and System 30 , pp: 155-163. (1998) 18. Rajendran, D, Nambooripad, K.S.S. :Bilinear Form and a Semigroup of Linear Transformations. Southeast Asian Bulletin of Mathematics 24, p: 609-616 . (2000) 19. Shabir, M, Khan, A :

Characterizations of Partial ordered Semigroups by the

Properties of Their Fuzzy Ideals, Computers and Mathematics with Applications, Volume 59, pp: 539 – 549. (2010) 20. Zimmermann, H.J. : Fuzzy Set Theory and Its Applications. Kluwer Academic Publishers. USA. (1991 )

58

LAPORAN TAHUNAN PENELITIAN FUNDAMENTAL

Recommend Documents