´ MOG ¨ OTTI ¨ ˝ HULLAMOK ´ HAJO BELSO ´ ´ NUMERIKUS MODELLEZESE VERTIKALIS ¨ ´ITESBEN ´ 2D SZELET KOZEL
Lancz D´ avid BSc szakdolgozat Fizika szak, meteorol´ ogus szakir´ any
T´ emavezet˝ o: Dr J´ anosi Imre, egyetemi docens Komplex rendszerek fizik´ aja tansz´ ek
E¨ otv¨ os Lor´ and Tudom´ anyegyetem Term´ eszettudom´ anyi Kar 2011
Tartalomjegyz´ ek 1. Bevezet´ es
1
2. A ,,holt v´ız” effektus
3
2.1. Kialakul´as´anak helye . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3
2.2. Els˝o le´ır´as . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.3. Tov´abbi kutat´asok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4. Stacion´arius eset vizsg´alata
7
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3. A jelens´ eg modellez´ ese
9
3.1. A Froude-sz´am . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
3.2. Laborm´er´esek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 3.3. Numerikus szimul´aci´ok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4. Eredm´ enyek
21
4.1. A szimul´aci´o hib´ai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 4.2. K´ıs´erletsorozat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ¨ enyek kimutat´asa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 4.3. Orv´ Irodalomjegy´ ek
29
II
1. fejezet Bevezet´ es A term´eszetben egy gyakran el˝ofordul´o helyzet az, amikor a k¨ornyezet¨ unket kit¨olt˝o k¨ozeg (a leveg˝o vagy az ´oce´anok, tengerek vize) r´etegzett s˝ ur˝ us´eg˝ u. Ez el˝ofordulhat p´eld´aul a l´egk¨or magass´ag szerinti h˝om´ers´eklet-eloszl´as´aval vagy az elt´er˝o s´okoncentr´aci´oj´ u tengerv´ız ´es ´edesv´ız egym´asra foly´as´anak k¨ovetkezt´eben. Ilyenkor a r´etegek hat´ar´an bels˝o hull´amok keletkezhetnek, amihez egy sor k¨ ul¨onb¨oz˝o jelens´eg kapcsol´odik, mint p´eld´aul a bels˝o t´oleng´es vagy a ,,dead-water” effektus. A ,,dead-water”, vagy magyarul ,,holt v´ız” effektus egy a tenger´eszek a´ltal tapasztalt ´es elnevezett jelens´eg. L´enyege, hogy ha r´etegzett s˝ ur˝ us´eg˝ u v´ızen halad egy haj´o, akkor a halad´as´ara sz´ant energia egy r´esze bels˝o hull´amokat gerjeszt, ami a haj´o hirtelen lelassul´as´ahoz vezet. A haj´o leg´enys´ege ilyenkor hi´aba kereste a z´atonyt vagy m´as akad´alyt, a sz´amukra l´athatatlan bels˝o hull´amokat csak a v´ızfelsz´ınen nehezen ´eszrevehet˝o kapill´aris hull´amok jelezt´ek. A jelens´eg sok´aig megmagyar´azatlan maradt, ´es a mai napig b˝oven akadnak m´eg tiszt´azand´o k´erd´esek a bels˝o hull´amokat illet˝oen. A bels˝o hull´amokat t¨obbf´ele m´odon vizsg´alhatjuk. Lehet k´ıs´erleteken kereszt¨ ul, laborat´oriumi k¨or¨ ulm´enyek k¨ozt, de lehet sz´am´ıt´og´epes modellek haszn´alat´aval is. A tapasztalat azt mutatja, hogy a modellekkel val´o tesztel´eseket el˝obb mindenk´epp labork´ıs´erletekkel kell al´at´amasztani, hogy az eredm´enyeink hitelesek maradjanak. Ezut´an m´ar kis elt´er´eseket is megengedhet¨ unk magunknak ´es k¨ ul¨onb¨oz˝o param´eterek mellett futtathatjuk a szimul´aci´oinkat. Ezen dolgozat a haj´ok keltette bels˝o hull´amokat igyekszik vizsg´alni egy k´etdimenzi´os sz´am´ıt´og´epes modell seg´ıts´eg´evel. A laborm´er´esek m´ar megt¨ort´entek az ELTE K´arm´an Laborj´aban, ezekb˝ol nyert tapasztalatok alapj´an pr´ob´altunk egy eredetileg nem pont erre a c´elra tervezett programcsomagot u ´ gy a´talak´ıtani, hogy az megfelel˝oen szimul´alja a ,,holt v´ız” effektust. C´elunk k¨ozt szerepelt m´eg a laborm´er´esek alapj´an kimutatott, a haj´ot k¨ovet˝o bels˝o hull´amok maximum ´es minimum pont-
1
jaiban keletkez˝o ¨orv´enyek kimutat´asa, tov´abb´a az ´alland´o sebess´eg˝ u haj´ok m¨og¨ott l´etrej¨ov˝o stacion´arius hull´amok vizsg´alata a modell seg´ıts´eg´evel. A szimul´aci´okb´ol nyert adatokat ´abr´azoltuk ´es .gif anim´aci´okat k´esz´ıtett¨ unk, melyekb˝ol n´eh´any a szakdolgozathoz csatolt DVD-n is megtal´alhat´o.
2
2. fejezet A ,,holt v´ız” effektus 2.1.
Kialakul´ as´ anak helye
A ,,holt v´ız” effektus kialakul´as´ahoz r´etegzett s˝ ur˝ us´eg˝ u v´ızre van sz¨ uks´eg. Ez l´etrej¨ohet u ´ gy is, hogy a fels˝o r´eteg sokkal melegebb az als´on´al, de az a´ltalunk vizsg´alt helyzet az, amikor az als´o, nagyobb s˝ ur˝ us´eg˝ u s´os tengerv´ızre r´afolyik egy gyeng´en s´os vagy s´otlan, kisebb s˝ ur˝ us´eg˝ u ´edesv´ız ´es k¨ozben nem keverednek o¨ssze. Ez a r´etegzetts´eg a term´eszetben megfigyelhet˝o p´eld´aul a norv´eg fjordokn´al, ahol a gleccserekb˝ol le´araml´o olvadt ´edesv´ız tal´alkozik a tengerrel. El˝ofordulhat az is, hogy a k´et r´eteg ¨osszekeveredik, de csak a hat´arr´eteg k¨orny´ek´en. Ilyenkor keletkezik egy k¨oztes harmadik r´eteg, melynek s˝ ur˝ us´ege az eredeti k´et r´eteg k¨ozti lesz. Ebben az esetben is jelentkezik a ,,holt v´ız” effektus, de mi a k´etr´eteg˝ u helyzetet szimul´altuk.
2.1. ´abra. A ,,holt v´ız” effektus. forr´as: [1]
3
2.2.
Els˝ o le´ır´ as
A ,,holt v´ız” jelens´eg´et el˝osz¨or a norv´eg sarkkutat´o, Fridtj¨of Nansen, ´ırta le 1893 augusztus´aban, amikor a Fram nev˝ u haj´oval (jelent´ese: el˝ore) a Nordeski¨old szigetekn´el j´art. A haj´oval (akkor m´eg) ´erthetetlen dolgok t¨ort´entek. A Fram nyugodt v´ızen ´es k¨onny˝ u rakom´annyal 11,1 – 13,0 km/h-val volt k´epes haladni, m´ıg a holt v´ızben 2,8 km/h-sem.
2.2. ´abra. Az Ekman (1904) ´altal megadott haj´ora hat´o ellen´all´as-sebess´eg f¨ uggv´eny ρ1 = 1, 000 g/cm3 , ρ2 = 1, 030 g/cm3 s˝ ur˝ us´egek ´es h1 = 2, 0cm, h1 << h2 ¨ r´etegvastags´agok mellett. Osszehasonl´ ıt´as k´epen l´athat´o m´eg a homog´en m´elyv´ızi ´es sek´elyv´ızi hull´amok ellen´all´as-sebess´eg f¨ uggv´enye (m´elyv´ız: 23 cm (1), sek´elyv´ız: 5 (2) ´es 2,5 cm (3)). A keresztek a k´ıs´erleti eredm´enyeket mutatj´ak (5), m´ıg a folytonos vonalak (1)-(4) modellek. forr´as: [4]
Vagn Walfrid Ekman volt az els˝o tud´os, aki r´eszletesen kutatta a ,,holt v´ız” effektus ok´at 1904-ben ´ırt On dead water. Norwegian North Polar Expedition 1893-1896 c´ım˝ u doktori disszert´aci´oj´aban, amelyet Nansen feljegyz´esei motiv´altak. T¨obb szempontb´ol is vizsg´alta a jelens´eget ´es k¨ ul¨onb¨oz˝o haj´ot´ıpusokkal v´egzett k´ıs´erleteket. Meg´allap´ıtotta, hogy a r´etegzett v´ızen halad´o haj´o nagyobb ellen´all´asnak van kit´eve mint a homog´en ¨osszet´etel˝ u v´ızen halad´o haj´o. Ennek oka az, hogy a r´eteghat´aron hull´amok keletkeznek, melyek l´etrej¨ott¨ ukh¨oz energi´at vonnak el a haj´ot´ol. Ez a hat´as akkor a legnagyobb ha a haj´o sebess´ege kisebb, mint a maxim´alis hull´amsebess´eg [8]: cm φ =
s
g
ρ2 − ρ1 h1 h2 , ρ2 h1 + h2
(2.1)
ahol g a gravit´aci´os gyorsul´as, ρ1 ´es h1 a fels˝o r´eteg s˝ ur˝ us´ege ´es magass´aga, ρ2 ´es 4
h2 pedig az als´o r´eteg s˝ ur˝ us´ege ´es magass´aga. A cm ert´ek´et a k¨or jel¨oli a 2.2 a´br´an. φ ´ Tov´abb´a l´athat´o m´eg rajta az Ekman ´altal kapott ellen´all´as k¨ ul¨onb¨oz˝o sebess´egekre. ¨ A keresztek a k´ıs´erleti eredm´enyeket mutatj´ak. Osszehasonl´ ıt´ask´eppen rajta vannak az elm´eleti g¨orb´ek is a viszk´ozus ellen´all´asr´ol stacion´arius esetben (folytonos vonalak). A r´etegzett folyad´ek ellen´all´as´anak maximuma a cm el kicsivel kisebb sebesφ -n´ el nagyobb sebess´egekn´el pedig az ellen´all´as azonos a hos´eg´ert´ekn´el van. A cm φ -n´ mog´en folyad´ekok ellen´all´as´anak kvadratikus t¨orv´eny´evel, ahol a viszk´ozus s´ url´od´as domin´al. Ezeket a k´ıs´erleteket Ekman ´ota u ´ jb´ol elv´egezt´ek ´es azonos viselked´est figyeltek meg [9] [10]. Ekman m´asik megfigyel´ese a hat´arfel¨ uleti hull´amok voltak, melyek a haj´o v´eg´en´el keletkeznek. K´etf´ele hull´am jelenik meg: transzverz´alis ´es divergens. Megjegyezz¨ uk, csak a hat´arfel¨ uleti hull´amok l´atszanak j´ol, mivel a v´ızfelsz´ınen megjelen˝o hull´amok amplit´ ud´oja kicsi, a kapill´aris hull´amok nagys´agrendj´ebe tartoznak. A felsz´ıni hull´amok amplit´ ud´oja ar´anyos (ρa − ρ1 )/(ρ2 − ρ1 ) ≃ 1/500-al, ahol ρa a leveg˝o s˝ ur˝ us´ege. Ezek a hull´amok a laborat´oriumi k´ıs´erletekn´el ´eszrevehetetlenek, gyakorlatilag sima
marad a v´ızfelsz´ın, a val´odi haj´ok eset´eben pedig csak ritk´an ´eszrevehet˝oek (2.3. ´abra).
2.3. ´abra. A haj´ok keltette bels˝o nagy hull´amokat a v´ızfelsz´ınen csak a kapill´aris hull´amok jelzik. forr´as: [7]
A hat´arfel¨ uleti hull´amok a mozg´o haj´o v´eg´en´el l´etrej¨ov˝o depresszi´o okozza. A transzverz´alis hull´amok hatalmas amplit´ ud´oj´ uakra n˝ohetnek, de ha a haj´o sebess´ege meghaladja a cm eget, elt˝ unnek ´es csak a divergens hull´amok maradnak. J´ol φ sebess´ l´athat´oak ezek a hull´amok a numerikus szimul´aci´okon is [9] [11]. Megfigyelhet˝o m´eg tov´abb´a a haj´o orra alatt egy mag´anyos hull´am is, ami eml´ekeztet a Korteweg-de Vries (KdV) egyenlet megold´as´ara, vagyis egy szolitonra. K´epes szabadon tov´abbhaladni, meg˝orizve alakj´at, amikor a haj´o meg´all, egy´ebk´ent 5
pedig k¨oveti a haj´o elej´et. Ezen megfigyel´esek alapj´an Ekman arra jutott, hogy a ,,holt v´ızben” halad´o haj´o mozg´as´at, a 2.2. ´abr´an l´athat´o, line´aris t¨orv´enyb˝ol levezetett ellen´all´as-sebess´eg ¨osszef¨ ugg´es magyar´azza. Ha a haj´ot mozgat´o er˝o fokozatosan a´ll´o helyzetb˝ol gyors´ıtja azt, a sebess´ege 6 cm/s-r˝ol hirtelen 15 cm/s-ra fog megn˝oni, amikor is a haj´o t´ ull´epi a maxim´alis ellen´all´ast. Hasonl´ok´eppen, amikor a haj´o lass´ıt egy cm el naφ -n´ gyobb sebess´egr˝ol, 11 cm/s-r´ol hirtelen 4 cm/s-ra cs¨okken a sebess´ege a haj´ora hat´o ellen´all´as szokatlan v´altoz´asa miatt. A 6-11 cm/s-os sebess´egtartom´any instabil ´es ´ıgy el´erhetetlen a rendszer sz´am´ara a ,,holt v´ız” effektusnak k¨osz¨onhet˝oen.
2.4. ´abra. Ekman rajza a haj´ok keltette bels˝o hull´amokr´ol (1904). forr´as: [2]
Fontos megjegyezni, hogy ezekhez a megfigyel´esekhez v´altoz´o nagys´ag´ u mozgat´o er˝ore volt sz¨ uks´ege. Egy m´asik k´ıs´erletben, ahol kifejezetten a haj´o l´atsz´olagos instabil viselked´es´et vizsg´alta, viszont m´ar konstans er˝ot haszn´alt. Oszcill´al´o sebess´eget figyelt meg a haj´on´al, aminek amplit´ ud´oja viszonylag nagy lehet az a´tlaghoz k´epest. Le´ır´asa szerint ezek akkor jelenek meg, amikor a haj´o sebess´ege a cm el kisebb, φ -n´ mik¨ozben az oszcill´aci´o amplit´ ud´oja ´es frekvenci´aja az er˝ot˝ol ´es a r´etegzetts´eg para´ m´etereit˝ol f¨ uggenek. Erdekes, hogy ezeket a tulajdons´agokat nem tartalmazz´ak az analitikus megk¨ozel´ıt´esek [6] [9] [11], pedig l´athat´oan ez egy fontos tulajdons´aga a ,,holt v´ız” effektusnak.
2.3.
Tov´ abbi kutat´ asok
1978-ban Hughes ´es Grant foglalkoztak a ,,holt v´ız” effektussal, mik¨ozben a bels˝o hat´arfel¨ uleti hull´amok hat´as´at kutatt´ak a hull´am keltette felsz´ıni hull´amokra [12]. A felsz´ıni hull´amok statisztikai tulajdons´agai ´es a bels˝o hull´amok a´ramlatai k¨ozti kapcsolatot tanulm´anyozt´ak. 6
2006-ban Maas ´es van Haren azt vizsg´alt´ak, hogy ´eszlelhet˝o-e a ,,holt v´ız” effektus az u ´ sz´ok ´altal egy h˝om´ers´ekletileg r´etegzett medenc´eben, ami esetleg magyar´azatot ny´ ujthatna a tapasztalt u ´ sz´ok v´aratlan fullad´as´ahoz a tavakban a ny´ari szezonban, de nem siker¨ ult kimutatni a hat´ast [13]. Persze lehet vitatkozni a fel˝ol, hogy a r´etegzetts´eg nem volt megfelel˝o az u ´ sz´ok sz´am´ara a bels˝o hull´amok kelt´es´ere, f˝oleg miut´an azt u ´ sz´as k¨ozben a´tkevert´ek. 2009-ben egy r´eszletesebb ´es idealiz´altabb munk´aban Ganzevles ´es t´arsai egy energetikai b¨ udzs´et is k´esz´ıtettek, tov´abb´a a szerz˝ok ´eszleltek n´emi lass´ıt´o hat´ast is az u ´ sz´okon [14]. M´eg 1995-ben egy kicsit m´as szemsz¨ogb˝ol, Nicolaou ´es t´arsai demonstr´alt´ak, hogy egy r´etegzett s˝ ur˝ us´eg˝ u folyad´ekban egy gyorsul´o t´argy ferde ´es transzverz´alis hull´amokat gener´al, az ut´obbi pedig felbonthat´o bels˝ohull´am-m´odusok o¨sszeg´ere, melyek k¨oz¨ ul a legalacsonyabb m´odus mindig jelen van [15]. 2002-ben peidg Shishkina k´ıs´erleteken kereszt¨ ul megmutatta, hogy a hull´amok dinamikus fejl˝od´ese sor´an a keletkezett baroklin m´odusok egym´ast´ol f¨ uggetlen¨ ul terjednek, b´ar a nemline´aris effektusok akkor v´alnak l´enyegess´e, amikor a bels˝o hull´amok amplit´ ud´oja n¨ovekszik [16].
2.4.
Stacion´ arius eset vizsg´ alata
Rengeteg tanulm´any k´esz¨ ult arr´ol az esetr˝ol is, amikor ´alland´o sebess´eg˝ u test halad r´etegzett folyad´ekon bel¨ ul. Ezek az eredm´enyek k¨ozelebb visznek minket a ,,holt v´ız” effektus k´ıs´erleti eredm´enyeinek meg´ert´eshez, k¨ ul¨on¨osk´eppen a haj´o v´eg´en´el keletkez˝o bels˝o hull´amokat ´es a haj´ora hat´o ellen´all´ast illet˝oen. Megjegyezz¨ uk, hogy a laborm´er´esek sor´an is, amik alapj´an ez a dolgozat k´esz¨ ult, a´lland´o sebess´eg˝ u haj´omodellt haszn´altak, ´es hogy a numerikus szimul´aci´oinkban is ilyen peremfelt´etelt igyekezt¨ unk el´erni. K´etr´eteg˝ u folyad´ek eset´eben a legnagyobb ellen´all´as akkor l´ep fel, amikor a Froude-sz´am, ami a haj´o U sebess´eg´enek ´es a maxim´alis hull´am sebess´egnek az ar´any´at adja meg (3.1), valamivel kisebb mint 1,0 [9] [17] – ez a szubkritikus tartom´any. A keletkez˝o bels˝o hull´amok strukt´ ur´aja ´es az ehhez tartoz´o felsz´ıni hull´amok azt igazolj´ak, hogy a ,,holt v´ız” rendszert csak baroklin hull´amok alkotj´ak [11]. Ezek a line´aris esetben kapott eredm´enyek kib˝ov´ıthet˝ok gyeng´en nemline´aris esetekre is [18]. Teljesen nemline´aris sz´am´ıt´asokra akkor van sz¨ uks´eg, amikor a hull´amok amplit´ ud´oja el´eri a 0,4-szeres´et a v´ekonyabb r´eteg vastags´ag´anak [19] [20]. Folytonos r´etegzetts´eg eset´eben az ellen´all´as megint csak a Froude-sz´am gyeng´en szubkritikus ´ert´ekein´el ´all be [21]. Mindazon´altal a keletkez˝o hull´amok nagyon sokf´el´ek lehetnek, f¨ uggnek a Froude-sz´amt´ol [22] ´es att´ol is, hogy a hull´amkelt˝o t´argy a 7
´ v´ız felsz´ın´en van [23] vagy m´elyen elmer¨ ulve [24] [25]. Erdemes megjegyezni, hogy az ´alland´o sebess´eg˝ u k´ıs´erletekben sokszor gondot okoz a stacion´arius eset el´er´ese [10]. A term´eszetben ugyan szokatlan, hogy a ,,holt v´ız” effektus jelenl´et´eben konstans sebess´eggel haladna a haj´o, hisz ´epp az a jelens´eg l´enyege, hogy a haj´o sebess´ege hirtelen v´altozik. A matematikai le´ır´as elk´esz´ıt´es´ehez viszont elengedhetetlen a stacion´arius ´allapot vizsg´alata ´es meg´ert´ese.
8
3. fejezet A jelens´ eg modellez´ ese 3.1.
A Froude-sz´ am
A bels˝o hull´amok tulajdons´agai jellemezhet˝oek a dimenzi´otlan Froude-sz´ammal, amely a haj´ora vonatkoz´o karakterisztikus U sebess´eget hasonl´ıtja o¨ssze a cm φ sebess´eggel: Fr =
U U =q . m ρ −ρ h2 cφ g 2ρ2 1 hh11+h 2
(3.1)
Ahogy az 2.1. ´abr´an is l´athat´o, a term´eszetben a fels˝o ´edesv´ızr´eteg magass´aga ´altal´aban elhanyagolhat´oan kicsi a m´ely tengerv´ız r´eteg´ehez k´epest: h1 << h2 , ´ıgy a r´etegek harmonikus ´atlaga megk¨ozel´ıt˝oleg egyenl˝o az ´edesv´ızr´eteg magass´ag´aval h′ = h1 h2 /(h1 + h2 ) ≈ h1 . Tov´abb´a, ha bevezetj¨ uk m´eg a szint´en haszn´alatos
r´eteghat´art jellemz˝o reduk´alt neh´ezs´egi gyorsul´ast: g ′ = ∆ρ/ρ0 (ahol ρ0 = ρ2 ,
∆ρ = ρ2 − ρ1 ), akkor a Froude-sz´am k´eplete a k¨ovetkez˝ore m´odosul: U Fr = √ ′ ′. gh
(3.2)
A Froude-sz´am a k¨ovetkez˝ok´eppen jellemzi a k´etr´eteg˝ u folyad´ekban haj´oval keltett bels˝o hull´amokat: • Ha F r < 1, a haj´o lassabban halad
√
g ′h′ -n´al, vagyis az a´ltala keltett line´aris,
kis amplit´ ud´oj´ u hull´amok a k¨onnyed´en elhagyj´ak a haj´ot.
• Ha F r ≥ 1, a haj´o nem halad lassabban
√
g ′ h′ -n´al, ´ıgy az a´ltala keltett zavar
nem tudja elhagyni a haj´ot. Ilyenkor a haj´ot´ol elvont energia felgy¨ ulemlik a haj´o v´eg´en´el ´es hatalmas nemline´aris hull´amot gener´al, ami k¨ovetni fogja a haj´ot.
9
3.2.
Laborm´ er´ esek
A r´etegzett s˝ ur˝ us´eg˝ u folyad´ek r´eteghat´ar´an keletkez˝o hull´amok vizsg´alat´ara t¨obbf´ele laborat´oriumi m´odszer is l´etezik. A m´er´esekhez sz¨ uks´eg van egy kell˝o nagys´ag´ u plexi- vagy u ¨ vegk´adra. Ezt a m´er´esnek megfelel˝oen adott szintig megt¨oltj¨ uk a nagyobb s˝ ur˝ us´eg˝ u folyad´ekkal, amit el˝otte megfestett¨ unk. Erre azt´an o´vatosan r´aengedj¨ uk a kisebb s˝ ur˝ us´eg˝ u folyad´ekot. Annak ´erdek´eben, hogy ne keveredjenek o¨ssze ´es a r´eteghat´ar min´el ´elesebb legyen a k´et r´eteg k¨ozt, ´erdemes egy szivacson kereszt¨ ul t¨olteni a m´asodik folyad´ekot. A s˝ ur˝ us´egek ´es a r´etegvastags´agok megv´alaszt´as´an´al u ¨ gyelni kell arra, hogy olyan Froude-sz´amot kapjunk, amilyet a modellezni k´ıv´ant val´os´agos esetben is kapn´ank. Ha elk´esz¨ ult¨ unk a m´er´esi ¨ossze´all´ıt´assal, r´ahelyez¨ unk egy haj´omodellt a folyad´ek felsz´ın´ere, amit egy r´ak¨ot¨ott zsin´orral vontathatunk. A haj´o konstans sebess´eg´et egy elektromos motorral ´erhetj¨ uk el k¨onnyed´en, amit ´alland´o fesz¨ ults´eggel m˝ uk¨odtet¨ unk. Megjegyezz¨ uk, hogy a konstans er˝ovel h´ uzott haj´o peremfelt´etele is egyszer˝ uen el´erhet˝o u ´ gy, hogy a zsin´or m´asik v´eg´et egy s´ ulyhoz k¨otj¨ uk hozz´a ´es hagyjuk leesni. A mozg´o haj´ot ´es a keletkez˝o hull´amokat ezut´an lefilmezz¨ uk, lef´enyk´epezz¨ uk, majd digit´alis ut´omunk´aval ´es ki´ert´ekel˝oprogramokkal sz´amszer˝ u adatokhoz jutunk a felv´etelekb˝ol.
3.1. ´abra. A laborm´er´es sor´an k´esz¨ ult felv´etel a modell haj´or´ol ´es az a´ltala keltett hull´amokr´ol.
A le´ırt m´odszerrel az ELTE K´arm´an Laborj´aban t¨obb m´er´essorozat is k´esz¨ ult. Ezen m´er´esek eredm´enyeinek grafikus ´abr´azol´asa l´athat´o a 3.2. ´es 3.3. a´br´akon. 10
3.2. ´abra. A haj´o m¨og¨ott kialakul´o els˝o hull´am f´elhull´amhossza a v haj´osebess´eg f¨ uggv´eny´eben a laborban m´ert adatok alapj´an. A fels˝o ´edesv´ızr´eteg vastags´aga h1 = 8, 1 ± 0, 1 cm, az asl´o s´os v´ızr´eteg vastags´aga h2 = 7, 6 ± 0, 1 cm. Az egyes
sz´ınek az als´o r´eteg s˝ ur˝ us´eg´et jelentik: fekete 1017 g/l, piros 1026 g/l, lila 1038 g/l, k´ek 1067 g/l, z¨old 1126 g/l. A fels˝o r´eteg s˝ ur˝ us´ege minden m´er´esn´el 998, 5 ± 0, 3 g/l volt. forr´as: [2]
3.3. ´abra. A haj´o m¨og¨ott kialakul´o els˝o hull´am amplit´ ud´oja a v haj´osebess´eg f¨ uggv´eny´eben a laborban m´ert adatok alapj´an. A fels˝o ´edesv´ızr´eteg vastags´aga h1 = 8, 1 ± 0, 1 cm, az asl´o s´os v´ızr´eteg vastags´aga h2 = 7, 6 ± 0, 1 cm. Az egyes
sz´ınek az als´o r´eteg s˝ ur˝ us´eg´et jelentik: fekete 1017 g/l, piros 1026 g/l, lila 1038 g/l, k´ek 1067 g/l, z¨old 1126 g/l. A fels˝o r´eteg s˝ ur˝ us´ege minden m´er´esn´el 998, 5 ± 0, 3 g/l volt. forr´as: [2]
11
Ezekn´el a m´er´esekn´el a haj´o m¨og¨ott kialakul´o els˝o hull´amok f´elhull´amhossz´at ´es amplit´ ud´oj´at m´ert´ek le k¨ ul¨onb¨oz˝o sebess´egek ´es k¨ ul¨onb¨oz˝o s˝ ur˝ us´egeloszl´asok mellett. Azt az eredm´enyt kapt´ak, hogy a f´elhull´amhosszak monoton n¨ovekszenek az amplit´ ud´oknak pedig egy maximummal rendelkez˝o rezonanci´ajuk van a haj´o sebess´eg´enek f¨ uggv´eny´eben. Az ´abr´akon ´eszrevehet˝o m´eg az is, hogy a g¨orb´ek a sebess´eg tengely´enek ir´any´aban megny´ ulnak ha n¨ovelj¨ uk a s˝ ur˝ us´egk¨ ul¨onbs´eget. Az als´o r´eteg s˝ ur˝ us´eg´enek n¨ovel´es´evel, mik¨ozben a fels˝o r´eteg s˝ ur˝ us´ege v´altozatlan marad, n¨ovelj¨ uk a g ′ re√ duk´alt neh´ezs´egi gyorsul´ast is. A c = g ′h′ ¨osszef¨ ugg´es ´ertelm´eben n˝o a bels˝o hull´amok terjed´esi sebess´ege ´es ´ıgy az amplit´ ud´o rezonanci´aj´anak a maximuma is eltol´odik jobbra. A hull´amhosszn´al nem jelentkezik rezon´ans viselked´es, a g¨orb´ek eltol´od´asa megfelel a reduk´alt neh´ezs´egi gyorsul´as v´altoz´as´anak. Egy m´asik m´er´essorozatban egy viszonylag u ´ j m´er´estechnik´aval az u ´ n. ,,PIV m´er´essel” (Particle image velocimetry) vizsg´alt´ak a bels˝o hull´amok dinamik´aj´at. A PIV m´er´es l´enyege, hogy a vizsg´alt folyad´ekba nyomjelz˝o r´eszecsk´eket kever¨ unk, melyek a folyad´ek ´araml´as´at k¨ovetik. Megjegyezz¨ uk, hogy a j´o m´er´eshez ezeknek a nyomjelz˝oknek egyenletesen kell eloszlaniuk a folyad´ekban, amit heterog´en s˝ ur˝ us´egeloszl´asn´al el´eg neh´ez el´erni mert a nyomjelz˝ok vagy les¨ ullyednek vagy fel´ usznak a felsz´ınre ott ahol nem egyezik a s˝ ur˝ us´eg¨ uk a folyad´ekkal. Tov´abbi probl´em´at jelentenek m´eg a k´ad fal´an k´epz˝od˝o kis bubor´ekok elt´avol´ıt´asa is. A vizsg´alt jelens´eg k¨ozben ezeket a r´eszecsk´eket l´ezerf´ennyel egy s´ıkban megvil´ag´ıtjuk, majd oldalr´ol k´etszer gyorsan egym´as ut´an lef´enyk´epezz¨ uk (3.4. ´abra). Ezut´an a sz´am´ıt´og´ep a k´et k´epen megkeresi ugyanazt a nyomjelz˝ot ´es az elmozdul´as´ab´ol tesz egy becsl´est a pillanatnyi sebess´eg´enek ir´any´ara ´es nagys´ag´ara. Ezt minden nyomjelz˝ore megteszi ´es ezzel elk´esz´ıti a megvil´ag´ıtott s´ık ´araml´asi k´ep´et.
3.4. ´abra. A PIV m´er´es sematikus rajza. forr´as: [2]
12
A m´er´es sor´an a l´ezernyal´abbal a f¨ ugg˝oleges s´ıkot vil´ag´ıtott´ak meg ott, ahol a haj´ot vontatt´ak. Mivel a k´epet erre a s´ıkra mer˝olegesen r¨ogz´ıtett kamer´aval k´esz´ıtett´ek, az eredm´eny¨ ul kapott sebess´egt´er is az ´all´o v´ızhez k´epest nyugv´o vonatkoztat´asi rendszerben ´ertend˝o.
3.5. ´abra. Fel¨ ul: homog´en s˝ ur˝ us´eg˝ u m´er´esn´el k´esz´ıtett PIV k´ep. Alul: r´etegzett s˝ ur˝ us´eg˝ u m´er´esn´el k´esz´ıtett PIV k´ep. forr´as: [2]
A 3.5. ´abr´an fel¨ ul egy olyan m´er´es l´athat´o, melyn´el nincs r´etegzett s˝ ur˝ us´eg. Az ´eszlelt ´araml´as visszaadja a v´art sebess´egteret, vagyis a folyad´ek a haj´o alj´at megker¨ ulve ´aramlik. Bels˝o hull´amok nem alakulnak ki, a haj´o sebess´eg´enek n¨ovel´es´evel csak az ´erhet˝o el, hogy megjelennek a haj´o m¨og¨ott a turbulens o¨rv´enyek. Az ´abr´an alul l´athat´o az als´o r´etegzett s˝ ur˝ us´eg˝ u k¨ozeg, melyben viszont m´ar megjelennek a bels˝o hull´amok. Az als´o, s´os r´etegb˝ol a r´eteghat´arra fel´ uszott nyomjelz˝ok egy feh´erebb ´arnyalat´ u s´avot alkotnak, ami a s˝ ur˝ us´egugr´as hely´et mutatja. Ezen l´atszik, hogy hol helyezkedik el a hull´am, de az igaz´an ´erdekes a k¨or¨ ul¨otte kialakul´o ´araml´asi k´ep. A homog´en esetben kialakul´o ´araml´asi k´ep itt is jelen van, csak ´epp az als´o hat´ara nem a k´ad alja, hanem a r´eteghat´ar. A haj´o bemer¨ ul´ese k¨ovetkezt´eben l´etrej¨ov˝o ¨osszesz˝ uk¨ol˝o ´araml´as ´es a keletkez˝o nyom´asi t´er okozta deform´alt v´ızfelsz´ın (homog´en folyad´eks˝ ur˝ us´eg eset´eben) a 3.6. ´abr´an l´athat´o. Ez a deform´aci´o jelenik meg a hat´arfel¨ uleten u ´ gy, hogy megemelkedik ´es ezzel f¨ ugg˝oleges ´araml´ast hoz l´etre. Ez a f¨ ugg˝oleges ´araml´as j´ol l´atszik a PIV k´epeken, mint ahogy az is, hogy hatalmas nemline´aris hull´amokat hoz l´etre a haj´o m¨og¨ott. A haj´o mozg´asa folyamatosan gerjeszti a hull´amz´ast, ´ıgy a hull´amok a haj´oval egy¨ utt mozognak ´es a haj´o k¨or¨ uli ´araml´as karakterisztik´ai meghat´arozz´ak a hull´amok geometri´aj´at. 13
3.6. ´abra. Az u ´ sz´o haj´otest k¨or¨ ul l´etrej¨ov˝o nyom´asi t´er ´es er˝ohat´asok m´ely- (1) ´es sek´elyv´ız (2) eset´eben. forr´as: [2]
A PIV k´epekb˝ol kivehet˝o m´eg tov´abb´a, hogy a maximumhelyek alatt a haj´o halad´as´anak ir´any´aval megegyez˝o ´araml´as tal´alhat´o. Az eg´esz a´raml´ask´epet n´ezve egy v´ızszintes tengely˝ u ¨orv´enyt l´athatunk, melynek k¨ozepe a bels˝o hull´am maximum´aban van. Tov´abb´a egy m´asik szint´en v´ızszintes tengely˝ u, de ellent´etes ir´any´ u, kisebb ´es gyeng´ebb ¨orv´enyt tal´alunk a minimumhely k¨or¨ ul. Ezek az o¨rv´enyp´arok azt´an periodikusan ism´etlik magukat a haj´o m¨og¨ott mindig a hull´am maximumok ´es a minimumok k¨or¨ ul, ahogy az a 3.7. ´abr´an is l´athat´o. A 3.7. ´abr´an egy m´er´essorozat eredm´enyei vannak, ahol a k¨ ul¨onb¨oz˝o sebess´egekn´el k´esz´ıtettek PIV k´epet, majd sebess´eg szerint n¨ovekv˝o sorrendben o¨sszeillesztett´ek a k´epeket u ´ gy, hogy a haj´otest k´epei egy vonalban legyenek. Megfigyelhet˝o, hogy a nagyobb sebess´egekhez nagyobb hull´amhossz ´es ´ıgy nagyobb o¨rv´enyek k¨ozti t´avols´ag t´arsul. Ugyanakkor megfigyelhet˝o az is, hogy mint ahogy az amplit´ ud´oknak is egy rezonanci´aja van, az ¨orv´enyek maxim´alis er˝oss´ege is egy bizonyos sebess´eghez t´arsul. L´athat´o ez az ¨orv´enyk¨oz´eppontok tangenci´alis sebess´egvektorainak nagys´ag´ab´ol ´es utal a bels˝o hull´amokkal val´o kapcsolat´ara. Ezeket az ¨orv´enyeket sok´aig nem siker¨ ult kimutatni, nem volt ugyanis ehhez megfelel˝o m´er´esi m´odszer. Az irodalomb´ol ismert numerikus modellek sem h´ıvj´ak fel a figyelmet erre a jelens´egre, igaz, azok ink´abb a haj´oval egy¨ utt mozg´o vonatkoztat´asi rendszerben dolgoztak. Dolgozatunkban c´elul t˝ uzt¨ uk ki ezen o¨rv´enyek kimutat´as´at numerikus modell¨ unk eredm´enyeib˝ol.
14
3.7. ´abra. Balr´ol jobbra halad´o haj´o m¨og¨ott l´etrej¨ov˝o ¨orv´enyek PIV k´epei k¨ ul¨onb¨oz˝o sebess´egekn´el. A haj´otest k´epenk´ent a feh´er vonalak k¨ozt helyezkedik el, ehhez vannak igaz´ıtva a k´epek. A vontat´as sebess´ege 5-t˝ol 9 cm/s-ig n¨ovekszik (a k´epeken f¨ontr˝ol lefel´e). A fekete t¨ort vonalak a hull´amok maximum helyeit, a k´ek t¨ort vonalak a minimum helyeit k¨otik ¨ossze. forr´as: [2]
15
3.3.
Numerikus szimul´ aci´ ok
A numerikus modell¨ unket Jochen K¨ampf Advanced Ocean Modelling c´ım˝ u k¨onyve ´es a hozz´a tartoz´o k´esz forr´ask´odok alapj´an k´esz´ıtett¨ uk el [3]. Ebben a m˝ uben a szerz˝o oktat´o jelleggel k¨ ul¨onb¨oz˝o hidrodinamikai jelens´egeket mutat be ´es azokat numerikus modellekkel szimul´alja is. A modellek forr´ask´odjait FORTRAN 95-ben ´ırta meg ´es a hozz´ajuk tartoz´o grafikus megjelen´ıt´est SciLab scriptekkel oldotta meg. A 7. gyakorlatban egy tenger alatti hegy m¨og¨ott, a r´etegzett s˝ ur˝ us´eg˝ u tengerben l´etrej¨ov˝o bels˝o hull´amokat szimul´alta f¨ ugg˝oleges, k´etdimenzi´os szelet k¨ozel´ıt´esben. A vertik´alis s´ıkot Arakawa C-r´acsh´al´ozattal reprezent´alta (3.8. a´bra), ahol mindegyik r´acspontnak peremfelt´etelk´ent megadta, hogy vizet tartalmaz vagy akad´alyt k´epez. A ,,vizes” r´acspontokhoz kezd˝ofelt´etelk´ent hozz´arendelte a benne l´ev˝o v´ız tulajdons´agait: dinamikus nyom´ast (q), s˝ ur˝ us´eget (ρ) ´es a sebess´eg horizont´alis ´es vertik´alis komponenseit (u, w).
3.8. ´abra. A vertik´als szelet Arakawa C-r´acsa. forr´as: [3]
A numerikus szimul´aci´o keret´eben minden egyes r´acspontra a Navier-Stokes ´es a kontinuit´asi egyenlet erre az esetre vonatkoz´o parci´alis differenci´alegyenleteit kellett megoldani: ∂u ∂u ∂u 1 ∂(p + q) +u +w =− , ∂t ∂x ∂z ρ0 ∂x
(3.3)
∂w ∂w ∂w 1 ∂q +u +w =− , ∂t ∂x ∂z ρ0 ∂z
(3.4)
16
∂ρ ∂ρ ∂ρ ∂ +u +w = ∂t ∂x ∂z ∂x
∂ρ ∂ ∂ρ Kh + Kz , ∂x ∂z ∂z
(3.5)
∂u ∂w + = 0, (3.6) ∂x ∂z ahol x ´es z a horizont´alis ´es vertik´alis koordin´at´ak, ρ0 a k¨oz´eps˝ ur˝ us´eg, p a hidrosztatikus nyom´as ´es Kh ´es Kz a s˝ ur˝ us´eg horizont´alis ´es vertik´alis diff´ uzi´os egy¨ utthat´oi. Ezt a parci´alis differenci´al-egyenletrendszert nem lehet expliciten megoldani, mivel a mozg´asegyenletek jobb oldal´an ott van a dinamikus nyom´as. Ez´ert a numerikus megold´asukn´al a S.O.R. (Successive Over-Relaxation) iter´aci´os m´odszert alkalmazta, amin´el el˝obb a nyom´asi mez˝ob˝ol egy k¨oztes ´ert´eket sz´amol ki a sebess´egekre, majd u ´ gy korrig´alja a nyom´asi ´es sebess´eg ´ert´ekeket, hogy azok megfeleljenek a kontinuit´asi egyenletnek. A k¨onyvben r´eszletesebben el van magyar´azva az eg´esz forr´ask´od algoritmusa, itt nem t´er¨ unk ki r´a b˝ovebben. Ennek a gyakorlatnak a forr´ask´odj´at ´es SciLab szkriptj´et haszn´altuk fel ´es m´odos´ıtottuk u ´ gy, hogy a ,,holt v´ız” effektus k¨ozben fell´ep˝o bels˝o hull´amokat szimul´aljuk ´es az eredm´enyeket ki´ert´ekelj¨ uk vel¨ uk. Az eredeti program nx = 101 r´acspont sz´eles ´es nz = 51 r´acspont magas s´ıkot szimul´alt (gyakorlatilag 100 x 50 r´acspontot, ugyanis az utols´o ´es a nulladik sor ´es oszlop nem volt ,,vizes”). Mivel a sz´am´ıt´og´ep fut´asi idej´et nem akartuk t´ uls´agosan megn¨ovelni, szimul´aci´oink sor´an az nz-et nem v´altoztattuk meg, az nx-re pedig a 101, 151 ´es 201-es ´ert´ekeket haszn´altuk. A programcsomagban tal´alhat´o numerikus modellekr˝ol tapasztalatb´ol tudtuk, hogy nem v´altoztathatjuk meg tetsz˝olegesen a r´acspontok ∆x ´es ∆z, v´ızszintes ´es f¨ ugg˝oleges nagys´ag´at, ugyanis ahhoz hogy a szimul´aci´onk stabil maradjon meg kellett hogy feleljen a CFL (Courant-Friedrichs-Lewy) krit´eriumnak, ami ebben az esetben: ∆t ≤ min
∆x ∆z , u w
,
(3.7)
ahol ∆t a numerikus szimul´aci´o l´eptet˝o ideje. Mivel teh´at a laborm´ereteket nem lehetett a ∆t l´enyeges lecs¨okkent´ese ´es ezzel a fut´asi id˝o drasztikus megn¨oveked´ese n´elk¨ ul szimul´alni, ez´ert csak vele ar´anyos elrendez´est igyekezt¨ unk modellezni. Az eredeti programban a ∆x = 5m ´es ∆z = 2m voltak a r´acspontt´avols´agok. A ∆z-t nem v´altoztattuk meg, de a ∆x-et dupl´aj´ara, vagyis 10 m-re n¨ovelt¨ uk, hogy min´el t¨obb hull´am megfigyelhet˝o legyen a szimul´alt ter¨ uleten. Teh´at a teljes modellezett v´ızr´eteg m´elys´ege 100 m, hossza pedig nx-t˝ol f¨ ugg˝oen 1000, 1500 illetve 2000 m. A ∆t ´ert´ek´et v´altozatlanul az eredeti 1 m´asodperces ´ert´eken hagytuk, mivel ´ıgy a modell fut´asi ideje, a teljes szimul´aci´o hossz´at´ol f¨ ugg˝oen (∼ 720 perc), csak 1-2 napig tartott.
17
A szimul´aci´o vonatkoztat´asi rendszere a haj´otesthez k¨ot¨ott, mivel numerikusan sokkal k¨onnyebb egy ´all´o akad´aly k¨or¨ uli ´araml´ast modellezni, mint egy mozg´o akad´aly keltette ´araml´ast, m´eg ha az ugyan az a jelens´eg is. Megv´altoztattuk teh´at az eredeti peremfelt´eteleket: a v´ızt¨omeg alj´an l´ev˝o hegyet elt¨ untett¨ uk ´es a fels˝o perem al´a a haj´o v´ızbe mer¨ ult r´esz´et mint ,,sz´araz” akad´alyt raktuk. A kezd˝ofelt´etelek be´all´ıt´as´an´al el˝osz¨or mindegyik r´acspont nulla sebess´eget, dinamikus nyom´ast ´es ρ0 = 1018kg/m3 s˝ ur˝ us´eget kapott, majd a ,,vizes” r´acspontok fels˝o fel´enek s˝ ur˝ us´eg´et lecs¨okkentett¨ uk, az als´onak pedig megn¨ovelt¨ uk 15kg/m3 -el, vagyis a ∆ρ = 30kg/m3 -es r´eteghat´ar a modellezett v´ızr´eteg k¨ozep´en, 50 m m´elyen helyezkedett el. Mivel a haj´otest ,,sz´araz” r´acspontokb´ol ´allt, s˝ ur˝ us´ege nem v´altozott a szimul´aci´o sor´an ´es ´ıgy v´egig j´ol l´athat´o maradt (3.9. ´abra).
3.9. ´abra. S˝ ur˝ us´egeloszl´as a szimul´aci´o kezdet´en. J´ol kivehet˝o a haj´o k¨orvonala, melynek ρo a s˝ ur˝ us´ege. A fesl˝o v´ızr´etegnek ρo − 15kg/m3 , az als´onak ρo + 15kg/m3 a s˝ ur˝ us´ege.
Ha a haj´otestet r¨ogz´ıtett¨ uk, a v´ızt¨omeget kell hogy meghajtsuk. Az eredeti programban ez u ´ gy volt megoldva, hogy az u sebess´egkomponens sz´am´ıt´as´an´al egy ´alland´o ´ert´eket (f orce) adott hozz´a az u k¨oztes ´ert´ek´ehez, miel˝ott m´eg elkezdte a S.O.R. iter´aci´ot. Ezt fejlesztett¨ uk tov´abb u ´ gy, hogy a f orce ´ert´eke att´ol f¨ uggj¨on, hogy mekkora az uref ´es az uatl k¨ozti k¨ ul¨onbs´eg. Az uref egy param´eter, melynek ´ert´ek´et mi adjuk meg a forr´ask´odban. Az uatl a v´ızszintes a´raml´as illetve a haj´o k´epzeletbeli ´atlagos sebess´eg´et jellemz˝o mennyis´eg, melyet minden l´ep´esn´el kisz´amol ´ ek´et u a program. Ert´ ´ gy kapjuk meg, hogy ¨osszeadjuk az ¨osszes ,,vizes” r´acspont u sebess´eg´ert´ek´et ´es elosztjuk azok sz´am´aval. Felh´ıvjuk a figyelmet arra, hogy ez j´ol k¨ozel´ıti a haj´o sebess´eg´et, de nem azonos a haj´o pontos sebess´eg´evel, mert nem vessz¨ uk figyelembe a ,,sz´araz” r´acspontokat, amik a haj´ot alkotj´ak. Ha uref > uatl , a f orce gyors´ıtja, ha uref < uatl , lass´ıtja a v´ızszintes ´araml´ast, ezzel negat´ıv vissza18
csatol´ask´ent stabiliz´alja azt a k´ıv´ant uref ´ert´ekre (3.10. ´abra).
3.10. ´abra. Az uatl alakul´asa id˝oben uref = 3 m/s eset´en.
A modellezett v´ızr´eteg als´o ´es fels˝o pereme fal, vagyis ,,sz´araz” r´acspontok alkotj´ak. Az oldalfalakn´al viszont ez a megold´as nem alkalmazhat´o az er˝os v´ızszintes ´araml´as miatt, ez´ert ezek periodikus hat´arfelt´etellel vannak ell´atva (vagyis ami az egyik oldalon kimegy, a m´asikon bej¨on). Az eredeti program c´elja hull´amok kimutat´asa volt, amik viszonylag gyorsan megjelennek, ´ıgy a szimul´aci´o nem tartott annyi ideig, hogy probl´em´at jelentettek volna a keletkezett hull´amok visszat´er´ese a gerjeszt´es helysz´ın´ere. A mi est¨ unkben ez nem ´ıgy volt. A szimul´aci´oink j´oval tov´abb tartottak, mivel minket a stacion´arius hull´amok ´erdekeltek, amik kialakul´as´ahoz t¨obb id˝ore volt sz¨ uks´eg. ´Igy a r´egi hull´amok folyton bezavartak az u ´ jonnan gerjesztettekbe. Ilyen esetben persze nem alakulhattak ki stacion´arius hull´amok, az eg´esz r´eteghat´ar mozg´asa ink´abb egy hangolatlan oszcilloszk´opra eml´ekeztetett (3.11. a´bra). A probl´ema megold´as´anak ´erdek´eben megv´altoztattuk a periodikus hat´arfelt´etelt u ´ gy, hogy a jobb oldalon bej¨ov˝o v´ızt¨omeg vertik´alis sebess´egkomponens´et (w-t) lenull´aztuk, a dinamikus nyom´as´at ´at´ırtuk a m´asodik r´acsoszlopb´ol (itt ugyanis m´eg nincsenek r´a hat´assal a m´asik oldalon kimen˝o hull´amok) ´es s˝ ur˝ us´egeloszl´ast helyre´all´ıtottuk a kezd˝ofelt´etelben megadott ´allapotra. Ez viszont egy m´asik probl´em´at vont maga ut´an. A modellezett ter¨ ulet k´et oldal´an ´eles elt´er´eseket gener´alt a vertik´alis sebess´egek k¨ozt, amik mint zavar´o hull´amok jelentek meg a szimul´aci´oban. Ezt egy mesters´eges csillap´ıt´assal pr´ob´altuk orvosolni. Miel˝ott a v´ızt¨omeg elt˝ unne a bal oldalon, az utols´o 20 r´acsponton egy f¨ ugg˝oleges lass´ıt´asnak van kit´eve. A lass´ıt´as mechanizmusa hasonl´ıt a v´ızszintes meghajt´ashoz, vagyis a sz´am´ıt´asba be´ep´ıtett 19
3.11. ´abra. Hull´amok keletkez´ese periodikus hat´arfelt´etel mellett uref = 1, 5 m/s eset´en a 200. percben. A nyilak a v´ızt¨omeghez r¨ogz´ıtett ´araml´asi mez˝ot szeml´eltetik.
plusz tag nagys´aga ar´anyos az elt´er´essel, csak itt a 0 m/s az el´erni k´ıv´ant sebess´eg (3.12. ´abra).
3.12. ´abra. Hull´amok csillap´ıt´asa az utols´o 20 r´acsponton.
A csillap´ıt´as sajnos nem jelentett t¨ok´eletes megold´ast a probl´em´ara, de jobbat nem tal´altunk, ´es b´ar a stacion´arius hull´amok el´er´ese nem volt probl´emamentes, a nemline´aris hull´amokat siker¨ ult megjelen´ıten¨ unk. Ezek a m´odos´ıt´asok megtal´alhat´ok a forr´ask´odokban a szimul´aci´ok ´es az egy´eb adatok mellett a mell´ekelt DVD-n.
20
4. fejezet Eredm´ enyek 4.1.
A szimul´ aci´ o hib´ ai
Dolgozatunk els˝odleges c´elja az volt, hogy numerikusan modellezz¨ uk a laborat´oriumi k¨or¨ ulm´enyek k¨oz¨ott m´ar vizsg´alt ,,holt v´ız” effektust. A szimul´aci´oinkban a haj´otest v´eg´enek alja alatt stacion´arius nemline´aris hull´amok megjelen´es´et v´artuk, ami siker¨ ult is, csak ´epp nem t¨ok´eletesen. T¨obbf´ele hiba is felt˝ unik: • P´eld´aul, miut´an kialakultak a v´art hull´amok, azok nem maradtak teljesen stacion´ariusak, hanem elkezdtek lassan zsugorodni (4.1. a´bra).
4.1. ´abra. Egyazon szimul´aci´o a 100. ´es 600. percben (nx = 101, uref = 2, 9 m/s). A k´et hull´am lassan ¨osszezsugorodott.
21
• Egy m´asik esetben a haj´o m¨og¨otti els˝o hull´am hosszan elny´ ulik ´es u ´ gy marad vagy csak nagyon lassan h´ uz´odik ¨ossze (4.2. ´abra). Ilyen hossz´ u nemline´aris
hull´am egy´ebk´ent megfigyelhet˝o az olyan labork´ıs´erletekn´el, ahol a´lland´o er˝ovel h´ uzz´ak a haj´ot, de mi nem ilyen peremfelt´etelt haszn´altunk a szimul´aci´oinkn´al.
4.2. ´abra. Hosszan elny´ ul´o els˝o hull´am (nx = 201, uref = 3, 1 m/s).
• K¨ovetkez˝o hib´aja a programnak, hogy a nemline´aris hull´amok mellet megjelennek kis amplit´ ud´oj´ u zavar´o hull´amok is (4.3. ´arba). Egyik fajt´aja a csillap´ıt´as kezdet´en´el figyelhet˝o meg, ahonnan ´atterjedhet az utols´o p´ar nemline´aris ´ t˝ hull´amra is. Ugy unik, az er˝os csillap´ıt´as mint fal m˝ uk¨odik ebben az esetben, viszont ha nem lenne csillap´ıt´as, akkor a ciklikus peremfelt´etel hely´en (vagyis az ´abra jobb oldal´an) m´eg nagyobb hull´amok gerjeszt˝odn´enek. M´asik fajt´aja az id˝onk´ent megfigyelhet˝o gyors, az ´araml´as ir´any´aban terjed˝o zavar, ami v´egigfut a r´eteghat´aron.
4.3. ´abra. A szimul´aci´o sor´an megjelen˝o zavarok (nx = 201, uref = 3, 1 m/s).
• A program tov´abb´a valami´ert rosszul kezeli azt, ha megn¨ovelj¨ uk az nx-et. A 4.4. ´abr´an h´arom ugyan olyan szimul´aci´o pillanatk´epe l´athat´o (ugyanabban 22
az id˝oben), melyek csak abban k¨ ul¨onb¨oznek, hogy az els˝on´el nx = 101, a m´asodikn´al nx = 151 ´es a harmadikn´al nx = 201. Az els˝on l´atszik, hogy a k´et hull´am pont belef´er a haj´o ´es a csillap´ıt´as k¨oz´e, ami csak 800 m´eter, m´ıg a m´asodikn´al az els˝o k´et hull´am 1000 m´etern´el t´avolabb v´egz˝odik ´es a harmadikn´al m´ar az elny´ ul´o els˝o hull´am is hosszabb 800 m´etern´el.
4.4. ´abra. K¨ ul¨onb¨oz˝o eredm´enyek azonos uref = 3, 0 m/s-n´el, de elt´er˝o nx-n´el. Fel¨ ulr˝ol lefel´e: nx = 101, nx = 151 ´es nx = 201.
Ezeknek a hib´aknak val´osz´ın˝ uleg a nem t¨ok´eletes ciklikus peremfelt´etel az oka. M´egis, a hib´ak ellen´ere a nemline´aris hull´amok megjelentek ´es n´emely esetben sz´epen visszaadt´ak a laborban tapasztaltakat (4.5. ´abra), teh´at tudtunk a numerikus modell¨ unkkel k´ıs´erletsorozatot v´egezni ´es ¨ossze tudtuk hasonl´ıtani a kialakult a´raml´asteret a laborban k´esz¨ ult PIV k´epekkel. 23
4.5. ´abra. A v´art hull´amok a haj´o m¨og¨ott (nx = 151, uref = 2, 7 m/s).
4.2.
K´ıs´ erletsorozat
K´ıs´erletsorozatunkban nx = 101, nx = 151 ´es nx = 201 v´ızszintes r´acspontsz´amok mellett k¨ ul¨onb¨oz˝o uref sebess´egekre v´egezt¨ unk szimul´aci´okat. Mivel u ´ gy tapasztaltuk, hogy ´altal´aban 3 m/s k¨or¨ ul keletkeznek a legnagyobb hull´amok, az uref ´ert´ekei 2,3 m/s-t´ol 3,4 m/s-ig mozogtak. Az eredm´enyekb˝ol .gif anim´aci´okat k´esz´ıtett¨ unk. Ezek a m´er´esek azt voltak hivatottak kimutatni, hogy egy bizonyos sebess´eghez tartozik a legnagyobb amplit´ ud´oj´ u hull´am. Az adatokat teh´at tov´abb feldogoztuk egy C++-ban ´ır´odott ki´ert´ekel˝o programmal, ami abb´ol ´allt, hogy megkereste a legnagyobb hull´amot a szimul´aci´o alatt ´es megadta annak hely´et, idej´et ´es amplit´ ud´oj´at. Mindezt u ´ gy, hogy a f¨ ugg˝oleges r´acsoszlopokban ¨osszeadta a s˝ ur˝ us´eg´ert´ekeket ´es ahol a legnagyobb volt az ¨osszeg, ott volt a legnagyobb hull´am cs´ ucsa. A cs´ ucsot pedig az oszlopon bel¨ uli legnagyobb s˝ ur˝ us´eggradiens azonos´ıt´as´aval kereste meg. A legnagyobb hull´am ideje a hozz´a tartoz´o pillanatk´ep ideje, ami percben van megadva, helye a v´ızszintes r´acskoordin´at´aja ´es az amplit´ ud´oja pedig a magass´aga f¨ ugg˝oleges r´acspontokban megadva. A ki´ert´ekel˝o program eredm´enyei a 4.1. 4.2. ´es 4.3. t´abl´azatban tal´alhat´ok. A szimul´aci´ok sor´an gyakran el˝ofordult, hogy az el˝oz˝oekben m´ar eml´ıtett megjelen˝o zavarok felhalmoz´odtak ´es hatalmass´a n˝ottek. Ilyenkor hamis ´ert´eket adhatott eredm´eny¨ ul a ki´ert´ekel˝o program. Ezek elker¨ ul´ese v´egett ellen˝orizni kellett a gyan´ us helyen vagy gyan´ us id˝oben megjelen˝o legnagyobb hull´amokat. Felh´ıvjuk a figyelmet arra, hogy a t´abl´azatban szerepl˝o uref sebess´egeket fokozatosan ´eri el az ´araml´as sebess´ege (alacsony sebess´egekn´el ak´ar 100 percig is eltarthat, am´ıg 5%-on bel¨ ul lesz), s˝ot az ´araml´asban fell´ep˝o ellen´all´as (haj´otest) miatt, az ´alland´osult sebess´eg p´ar sz´azad m/s-al az uref alatt marad. A t´ ul kor´an el´ert legnagyobb hull´amok azt jelzik, hogy az ´araml´as sebess´ege az uref el´er´ese k¨ozben 24
nx = 101 uref [m/s]
amplit´ ud´o [2 m]
x koordin´ata [10 m]
id˝o [min]
2,3
5
13
154
2,4
7
35
51
2,5
8
36
91
2,6
9
21
80
2,7
8
22
60
2,8
8
23
53
2,9
8
25
120
3,0
8
24
364
3,1
7
25
36
3,2
7
26
34
3,3
7
29
36
3,4
7
24
26
4.1. t´abl´azat. Az nx = 101-es szimul´aci´okb´ol nyert adatok: a legnagyobb hull´am amplit´ ud´oja, helye ´es ideje.
nx = 151 uref [m/s]
amplit´ ud´o [2 m]
x koordin´ata [10 m]
id˝o [min]
2,3
8
34
156
2,4
8
20
108
2,5
9
20
160
2,6
8
22
52
2,7
9
23
116
2,8
9
27
87
2,9
9
28
151
3,0
8
31
53
3,1
8
34
50
3,2
7
28
34
3,3
7
30
33
3,4
7
27
28
4.2. t´abl´azat. Az nx = 151-es szimul´aci´okb´ol nyert adatok: a legnagyobb hull´am amplit´ ud´oja, helye ´es ideje.
25
nx = 201 uref [m/s]
amplit´ ud´o [2 m]
x koordin´ata [10 m]
id˝o [min]
2,3
9
20
138
2,4
9
19
225
2,5
9
21
102
2,6
10
22
141
2,7
9
26
129
2,8
10
29
249
2,9
9
36
147
3,0
8
50
314
3,1
8
53
474
3,2
7
33
38
3,3
7
25
26
3,4
7
24
23
4.3. t´abl´azat. Az nx = 201-es szimul´aci´okb´ol nyert adatok: a legnagyobb hull´am amplit´ ud´oja, helye ´es ideje.
´athaladt a maxim´alis hull´amnagys´ag sebess´eg´en. Az ilyen korai maxim´alis hull´amok teh´at mutat´oi annak, hogy m´ar t´ ul vagyunk azon a sebess´egen, amihez a legnagyobb hull´am tartozik. Sajnos a hull´amok amplit´ ud´oj´anak nagyon rossz a felbont´asa (nz = 2m), ´ıgy nem el´eg pontos arra, hogy elfogathat´o bizony´ıt´ekot adjon az egy maximummal ren´ delkez˝o amplit´ ud´o-sebess´eg f¨ uggv´enyre. Ugy t˝ unik a numerikus modell¨ unk ink´abb csak kvalitat´ıv vizsg´alatokra el´eg, kvantitat´ıvakra nem.
4.3.
¨ enyek kimutat´ Orv´ asa
A k´ıs´erletsorozat elk´esz´ıt´es´en k´ıv¨ ul feladatul t˝ uzt¨ uk ki m´eg a laborm´er´esekn´el felfedezett ¨orv´enyek kimutat´as´at a szimul´aci´onkban. Vett¨ unk teh´at egy olyat, amelyn´el j´ol kivehet˝ok a nemline´aris hull´amok ´es a zavar´o hull´amok m´eg nem jelentek meg (nx = 151, uref = 2, 7m/s, 100. perc) ´es az egyik pillanatk´ep´et o¨sszehasonl´ıtottuk egy PIV felv´etellel. Ez l´athat´o a 4.6. ´abr´an. Megjegyezz¨ uk, hogy az el˝oz˝o k´epekkel ellent´etben, itt a f¨ ugg˝oleges tengely szerint t¨ ukr¨ozt¨ uk a szimul´aci´o felv´etel´et, hogy k¨onnyebb legyen ¨osszehasonl´ıtani ˝oket, ´ıgy ugyanis a haj´o mindk´et k´epen jobb fel´e halad a v´ızhez k´epest. A v´ızt¨omeghez r¨ogz´ıtett ´araml´ask´epet u ´ gy ´ert¨ uk el, hogy az el˝oz˝o k´epekhez hasonl´oan, az u ´ert´ekekb˝ol kivontuk az uatl -ot. 26
Mindk´et k´epen fel´araml´as figyelhet˝o meg k¨ozvetlen¨ ul a haj´o m¨og¨ott a r´eteghat´ar szintj´en, majd ebb˝ol egy er˝os pozit´ıv ir´any´ u ¨orv´eny fejl˝odik, aminek az els˝o hull´am maximum´aban van a k¨ozepe. Ennek az ¨orv´enynek a le´araml´o a´g´ab´ol pedig egy gyeng´ebb, ellent´etes ir´any´ u ¨orv´eny keletkezik ´es ezt tov´abbi o¨rv´enyp´arok k¨ovetik. A t¨obbi ¨orv´eny szint´en mindk´et k´epen l´athat´o, b´ar a kisebbek k¨ozepei a PIV k´epen pont a minimumban vannak, a szimul´aci´o felv´etel´en viszont egy kicsivel lejjebb. Ennek a legval´osz´ın˝ ubb oka a k´ıs´erletek ´es a numerikus sz´amol´asok k¨ozti legl´enyegesebb k¨ ul¨onbs´eg, m´egpedig a hajt´asi mechanizmus (a k´ıs´erletekn´el nyugv´o k¨ozegben mozog a haj´o, m´ıg a szimul´aci´okn´al a k¨ozeg teljes m´elys´eg´eben ´araml´asi k´enyszer m˝ uk¨odik). Ehhez m´eg hozz´aj´arulhat az elt´er˝o peremfelt´etel hat´asa is (a modellben nincsen tapad´asi hat´arfelt´etel).
¨ enyek a hull´amok maximum ´es minimum pontjaiban az nx = 151, 4.6. ´abra. Orv´ uref = 2, 7 m/s-es szimul´aci´o 100. perc´eben (fel¨ ul) ´es a laborban k´esz¨ ult PIV felv´etelen (alul).
¨ Osszes´ ıt´esk´ent elmondhatjuk, hogy a szembeforg´o ¨orv´eny p´arokat siker¨ ult kimutatni, teh´at a szimul´aci´oban haszn´alt fizikai t¨orv´enyekb˝ol k¨ovetkeznek ´es le´ır´asukhoz elegend˝onek kell lenni¨ uk.
27
K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as Ez´ uton mondan´ek k¨osz¨onetet Dr. J´anosi Imr´enek, akinek t´emavezet´ese, tan´acsai ´es a munkafolyamat elej´et˝ol a v´eg´eig tart´o fel¨ ugyelete n´elk¨ ul nem j¨ohetett volna l´etre ez a dolgozat. Tov´abb´a k¨osz¨onet illeti m´eg Vincze Mikl´ost a programcsomaggal kapcsolatos tapasztalatainak megoszt´as´a´ert, rendk´ıv¨ uli seg´ıt˝ok´eszs´eg´e´ert ´es f˝oleg a programok ´altal termelt adatok ki´ert´ekel´es´eben ny´ ujtott seg´ıts´eg´e´ert. Az programok futtat´as´ahoz ´es adatkezel´eshez sz¨ uks´eges informatikai h´att´er´ert St´eger J´ozsefnek mondan´ek k¨osz¨onetet.
28
Irodalomjegyz´ ek [1] T´el T., K¨ ornyezeti ´ araml´ asok, jegyzet-k´ezirat, ELTE Elm´eleti Fizikai Tansz´ek, 2003 [2] Gy¨ ure Bal´azs, S˝ ur˝ us´egk¨ ul¨ onbs´eg hat´ as´ ara kialakul´ o ´araml´ asok laborat´ oriumi ´ vizsg´alata, ELTE, K¨ ornyezeti Araml´ asok Laborat´ orium, Ph.D. dolgozat, 2009. [3] K¨ ampf, J.: Advanced Ocean Modelling, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010. [4] M. J. Mercier, R. Vasseur and T. Dauxois: Resurrecting dead-water phenomenon, Nonlin. Processes Geophys., 18, 193–208, 2011. [5] V´arai, A., Barsy, E. A s˝ ur˝ us´eghajtotta ´oce´ani v´ızk¨orz´es ´es m´elys´egi konvekci´o nu´ merikus ´es laborat´ oriumi modellez´ese, ELTE, K¨ ornyezeti Araml´ asok Laborat´ orium, TDK dolgozat, 2010. [6] Ekman, V. W.: On dead water, Norw. N. Polar Exped. 1893–1896: Sci. Results, XV, Christiana, Ph.D. dolgozat, 1904. [7] Leo R.M. Maas en Hans van Haren, Worden mooi-weer verdrinkingen door dood-water veroorzaakt?, Nederlands Instituut voor Onderzoek der Zee (NIOZ), Postbus 59 Texel [8] Gill, A. E.: Atmosphere-Ocean Dynamics, in: Atmosphere-Ocean Dynamics, Academic Press (London), 128 o., 1982. [9] Miloh, T., Tulin, M. P., and Zilman, G.: Dead-Water Effects of a ship moving in stratified seas, J. Offshore Mech. Art., 115, 105–110, 1993. [10] Vosper, S. B., Castro, L. P., Snyder, W. H., and Mobbs, S. D.: Experimental studies of strongly stratified flow past three-dimensional orography, J. Fluid Mech., 390, 223–249, 1999. [11] Yeung, R. W. and Nguyen, T. C.: Waves generated by a moving source in a two-layer ocean of finite depth, J. Eng. Math., 35, 85–107, 1999. [12] Hughes, B. A. and Grant, H. L.: The effects of internal waves on surface wind waves. 1. Experimental measurements, J. Geophys. Res., 83, 443–454, 1978. [13] Maas, L. R. M. and van Haren, H.: Worden mooi-weer verdrinkingen door dood-water veroorzaakt?, Meteorologica, 15, 211–216, 2006.
29
[14] Ganzevles, S. P. M., van Nuland, F. S. W., Maas, L. R. M., and Toussaint, H. M.: Swimming obstructed by dead-water, Naturwissenschaften, 96, 449–456, 2009. [15] Nicolaou, D., Garman, J. F. R., and Stevenson, T. N.: Internal waves from a body accelerating in a thermocline, Appl. Sci. Res., 55, 171–186, 1995. [16] Shishkina, O. D.: Experimental investigation of the generation of internal waves by a vertical cylinder in a near-surface pycnocline, Fluid Dyn., 37, 931–938, 2002. [17] Motygin, O. V. and Kuznetsov, N. G.: The wave resistance of a two-dimensional body moving forward in a two-layer fluid, J. Eng. Math., 32, 53–72, 1997. [18] Baines, P. G.: Topographic Effects in Stratified Flows, Cambridge University Press, 1995. [19] Grue, J., Friis, H. A., Palm, E., and Rus˚ as, P. O.: A method for computing unsteady fully nonlinear interfacial waves, J. Fluid Mech., 351, 223–252, 1997. [20] Grue, J., Jensen, A., Rus˚ as, P. O., and Sveen, J. K.: Properties of large-amplitude internal waves, J. Fluid Mech., 380, 257–278, 1999. [21] Greenslade, M. D.: Drag on a sphere moving horizontally in a stratified fluid, J. Fluid Mech., 418, 339–350, 2000. [22] Chomaz, J. M., Bonneton, P., and Hopfinger, E. J.: The structure of the near wake of a sphere moving horizontally in a stratified fluid, J. Fluid Mech., 254, 1–21, 1993. [23] Rottman, J., Broutman, D., Spedding, G., and Meunier, P.: The Internal Wave Field Generated by the Body and Wake of a Horizontally Moving Sphere in a Stratified Fluid, APS Meeting Abstracts, D6+ o., 2004. [24] Hopfinger, E. J., Fl`or J.-B., Chomaz, J.-M., and Bonneton, P.: Internal waves generated by a moving sphere and its wake in a stratified fluid, Exp. Fluids, 11, 255–261, 1991. [25] Meunier, P., Diamessis, P. J., and Spedding, G. R.: Self-preservation in stratified momentum wakes, Phys. Fluids, 18, 106601, doi:10.1063/1.2361294, 2006.
30
