LAMPIRAN 1 INSTRUMEN PENELITIAN

LAMPIRAN 1 INSTRUMEN PENELITIAN

ANGKET VALIDASI Modul Pembelajaran Matematika Pada Materi Operasi Aljabar Untuk Siswa Kelas VIII SMP/MTs

Judul Penelitian

Validator

: .................................................

Instansi

: .................................................

Profesi

: .................................................

: Pengembangan Modul Pembelajaran Matematika Pada Materi Operasi Aljabar Untuk Siswa Kelas VIII SMP/MTs

Mata Pelajaran

: Matematika

Materi Pokok

: Operasi Aljabar

Sasaran Penelitian

: Siswa kelas VIII SMP/MTs

Penyusun

: Dina Ekasari

Pembimbing

: Drs. Sumaji, M.Pd

Instansi

: FKIP/ Pendidikan Matematika Universitas Muhammadiyah Ponorogo

Pendahuluan: Instrumen yang akan digunakan untuk memperoleh data serta penilaian dalam penelitian “Pengembangan Modul Pembelajaran Matematika Pada Materi Operasi Aljabar Untuk Siswa Kelas VIII SMP/MTs” adalah angket. Angket validasi modul ini dimaksudkan untuk mengetahui pendapat serta penilaian dari Bapak/Ibu. Pendapat, penilaian, saran, dan koreksi dari Bapak/Ibu akan digunakan sebagai pedoman untuk memperbaiki dan meningkatkan kualitas modul pembelajaran ini.

Petunjuk Pengisian: 1. Berikan penilaian sesuai dengan pendapat Bapak/Ibu dengan cara menuliskan tanda cek list “√” pada alternatif jawaban yang disediakan. 2. Sertakan alasan untuk setiap penilaian yang Bapak/ibu berikan jika diperlukan. 3. Tuliskan komentar secara umum pada bagian kritik dan saran.

Keterangan :

4 : Sangat Setuju 3 : Cukup Setuju 2 : Kurang Setuju 1 : Sangat Tidak Setuju

A. Aspek Penilaian

No

Skala Penilaian 4 3 2 1

Aspek Yang Dinilai Format

1.

2.

Judul materi dibuat dengan singkat, padat, dan jelas Judul materi sesuai dengan uraian materi dalam modul pembelajaran Kata pengantar memuat rasa syukur dan

3.

ucapan terima kasih terhadap pihak yang terkait

4.

5.

Daftar isi memuat kerangka isi modul yang disertai dengan nomor halaman Petunjuk

penggunaan

modul

disusun

secara jelas dan mudah dipahami siswa Urutan dan isi kompetensi inti dan

6.

kompetensi

dasar

sesuai

dengan

kurikulum yang berlaku 7.

Tujuan

pembelajaran

sesuai

dengan

sesuai

dengan

dan

mudah

indikator Materi

8.

9. 10. 11.

Materi

dalam

modul

kompetensi dasar Penyajian

materi

jelas

dipahami siswa Materi disajikan secara sistematis Materi

yang

disajikan

menggunakan

konsep dengan tepat dan jelas

Alasan

Terdapat 12.

soal

latihan/tes

yang

memungkinkan siswa untuk menguasai kompetensi yang diharapkan Contoh soal yang digunakan berkaitan

13.

dengan kehidupan sehari-hari dan sesuai dengan materi yang dibahas

14.

Contoh soal dan pembahasan jelas

15.

Kunci jawaban mudah dipahami siswa Umpan balik yang terdapat dalam modul

16.

dapat membantu siswa untuk mengetahui tingkat penguasaan materi Bahasa

17.

18.

19.

20.

21.

22.

Bahasa yang digunakan mudah untuk dipahami siswa Menggunakan bahasa yang sesuai dengan EYD Bahasa

yang

digunakan

bersifat

komunikatif Kalimat

yang

digunakan

tidak

mengandung arti ganda Penggunaan huruf serta tanda baca benar, jelas, dan tepat Ketepatan

penggunaan

istilah

sesuai

tampilan

yang

keilmuan Daya Tarik

23.

24.

Modul

menarik dan edukatif Modul

dapat

meningkatkan

motivasi

digunakan

untuk

belajar siswa Modul

25.

mempunyai

dapat

pembelajaran

mandiri

pembelajaran kelompok

maupun

B. Kritik dan Saran ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................ ........................................................................................................................................................

C. Kesimpulan Penilaian angket secara umum (lingkari yang sesuai) 1.

Sangat Tidak Baik

2.

Kurang Baik

3.

Cukup Baik

4.

Sangat Baik

Sehingga dinyatakan: 1.

Tidak valid/revisi total, belum dapat digunakan

2.

Kurang valid/dapat digunakan, banyak revisi

3.

Cukup valid/dapat digunakan , sedikit revisi

4.

Sangat valid/dapat digunakan, tanpa revisi

Demikian angket ini saya isi dengan sebenarnya, tanpa ada pengaruh dari pihak lain.

Ponorogo,

2015

Validator

...................................................

ANGKET RESPON SISWA Modul Pembelajaran Matematika Pada Materi Operasi Aljabar Untuk Siswa Kelas VIII SMP/MTs

Pendahuluan: Angket ini disusun untuk mengetahui respon Anda terhadap “Pengembangan Modul Pembelajaran Matematika Pada Materi Operasi Aljabar Untuk Siswa Kelas VIII SMP/MTs”. Pengisian angket ini tidak akan mempengaruhi nilai Anda dalam hal apapun. Diharapkan kesediaan Anda untuk memberikan jawaban pada salah satu alternatif jawaban sesuai dengan pemikiran Anda.

Petunjuk Pengisian: 1.

Bacalah pertanyaan-pertanyaan berikut ini dengan teliti sebelum Anda memberikan jawaban.

2.

Berilah tanda silang ( X ) pada salah satu alternatif jawaban yang tersedia sesuai dengan jawaban Anda.

3.

Tidak ada jawaban yang benar maupun salah, oleh karena itu jawablah setiap pertanyaan sesuai dengan pendapat Anda.

4.

Selamat mengerjakan!

Pertanyaan: 1.

2.

3.

Apakah modul pembelajaran dapat meningkatkan semangat belajar Anda? a. Sangat meningkatkan

c. Kurang meningkatkan

b. Cukup meningkatkan

d. Sangat tidak meningkatkan

Apakah Anda merasa senang ketika belajar menggunakan modul? a. Sangat senang

c. Kurang senang

b. Cukup senang

d. Sangat tidak senang

Apakah desain modul pembelajaran ini menarik? a. Sangat menarik

c. Kurang menarik

b. Cukup menarik

d. Sangat tidak menarik

4.

Apakah modul pembelajaran dapat membantu pemahaman Anda terhadap materi yang disampaikan?

5.

a. Sangat membantu

c. Kurang membantu

b. Cukup membantu

d. Sangat tidak membantu

Apakah penyelesaian contoh soal dan latihan dalam modul pembelajaran mudah untuk Anda pahami?

6.

c. Sangat mudah dipahami

c. Kurang mudah dipahami

d. Cukup mudah dipahami

d. Sangat tidak mudah dipahami

Apakah modul pembelajaran dapat membantu Anda dalam menyelesaikan soal yang berkaitan dengan operasi aljabar?

7.

8.

a. Sangat membantu

c. Kurang membantu

b. Cukup membantu

d. Sangat tidak membantu

Apakah bahasa yang digunakan dalam modul pembelajaran mudah untuk Anda pahami? a. Sangat mudah dipahami

c. Kurang mudah dipahami

b. Cukup mudah dipahami

d. Sangat tidak mudah dipahami

Apakah ukuran dan jenis huruf yang digunakan dalam modul pembelajaran mudah untuk Anda baca?

9.

a. Sangat mudah dibaca

c. Kurang mudah dibaca

b. Cukup mudah dibaca

d. Sangat tidak mudah dibaca

Apakah modul pembelajaran bisa Anda gunakan sebagai referensi belajar mandiri? a. Sangat bisa

c. Kurang bisa

b. Cukup bisa

d. Sangat tidak bisa

10. Apakah Anda bisa memahami seluruh isi modul ini dengan baik? a. Sangat bisa

c. Kurang bisa

b. Cukup bisa

d. Sangat tidak bisa

CATATAN LAPANGAN

Kamis, 23 Juli 2015 Ujicoba diikuti oleh tiga orang siswa dengan tingkatan kelas yang berbeda yaitu dua siswa kelas VII SMP dan satu siswa kelas VIII SMP. Ketiga siswa ini memiliki kemampuan yang berbeda, dengan masing-masing siswa telah mewakili siswa yang memiliki kemampuan kurang, sedang, dan tinggi. Ujicoba dilakukan di rumah peneliti, dengan masing-masing siswa diberi satu bendel bahan ajar yang berupa modul sebagai pegangan. Pada saat ujicoba terbatas modul, siswa diminta mempelajari modul secara mandiri, peneliti hanya bertindak sebagai pembimbing dan observer. Materi yang dipelajari dalam modul hanya sebatas materi pada kegiatan belajar 1. Masing-masing siswa mempelajari modul sesuai petunjuk penggunaan modul yang terdapat diawal modul. Ujicoba diawali dengan siswa mengerjakan soal cek kemampuan, kemudian mempelajari materi dalam modul, dan mengerjakan soal tes formatif diakhir kegiatan belajar. Selama ujicoba berlangsung ada siswa yang kesulitan dalam memahami kalimat pada salah satu soal cek kemampuan sehingga penyusunan kalimat pada soal tersebut perlu diperbaiki. Jum’at, 24 Juli 2015 Ujicoba diikuti oleh dua orang siswa kelas VIII SMP. Dua siswa ini memiliki kemampuan yang berbeda, yaitu memiliki kemampuan sedang dan kurang. Ujicoba dilakukan di rumah peneliti, dengan masing-masing siswa diberi satu bendel bahan ajar yang berupa modul sebagai pegangan. Pada saat ujicoba terbatas modul, siswa diminta mempelajari modul secara mandiri, peneliti hanya bertindak sebagai pembimbing dan observer. Materi yang dipelajari dalam modul hanya sebatas materi pada kegiatan belajar 1. Masing-masing siswa mempelajari modul sesuai petunjuk penggunaan modul yang terdapat diawal modul. Ujicoba diawali dengan siswa mengerjakan soal cek kemampuan, kemudian mempelajari materi dalam modul, dan mengerjakan soal tes formatif diakhir kegiatan belajar. Selama ujicoba berlangsung ada hal yang perlu diperbaiki yaitu pada penjelasan terkait variabel.

Sabtu, 25 Juli 2015 Ujicoba diikuti oleh satu orang siswa kelas VII MTs yang memiliki kemampuan tinggi. Ujicoba dilakukan di rumah siswa dengan memberikan satu bendel bahan ajar yang berupa modul sebagai pegangan. Pada saat ujicoba terbatas modul, siswa diminta mempelajari modul secara mandiri, peneliti hanya bertindak sebagai pembimbing dan observer. Materi yang dipelajari dalam

modul hanya sebatas materi pada kegiatan belajar 1. Siswa mempelajari modul sesuai petunjuk penggunaan modul yang terdapat diawal modul. Ujicoba diawali dengan siswa mengerjakan soal cek kemampuan, kemudian mempelajari materi dalam modul, dan mengerjakan soal tes formatif diakhir kegiatan belajar. Pada saat ujicoba, ketika siswa memberikan contoh bentuk aljabar suku dua, siswa memberikan contoh yang pada dasarnya contoh tersebut bukanlah suku dua melainkan suku satu. Siswa memberikan contoh yang hampir serupa dengan suku dua tetapi bentuk tersebut bisa disederhanakan menjadi suku satu. Sehingga definisi suku dua harus lebih diperjelas lagi.

LAMPIRAN 2 VALIDASI INSTRUMEN PENELITIAN

VALIDASI INSTRTTMENPENELITIAN Nama

: Dina Ekasari

NIM

:11321487

Judul Skripsi : "PENGEMBANGAN MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA PADA MATERI OPERASIALJABAR UNTUK SISWA KELAS VIII SMP/lvITs" ProgramStudi : PendidikanMatematika Pembimbing :Drs. Sumaji,M.Pd Jenisinstrumenyangdivalidasiyaitu angketvalidasimoduldanangketresponsiswa.

I

2

o6 J,lrti l.ot,

o7 J qnr eotE OB

3

TuoiFtreianaanti , s. Pd $ww /lendidt(

J uni

Sqaa.rutouh',S /d

6/-t/-t1//e-rdd', /

Hqa l^,[/er

h Lmuu /U'Fot Poerr

Po,*.ro

20t,

Ponorogo,n aqni

2015

Diketahui

003 1991031 19630303

LAMPIRAN 3 HASIL PENELITIAN

AITGKET VALIDASI Modul Pembelajaran Matematika Pada Materi Operasi Aljabar Untuk Siswa Kelas YItr SMPIVTTs

rnsrarsi , .S*il1.....e.....kr..,....(:.......... i proresi ,...Q.ut*.../...?..r.:C,tLih....... i t

JudulPenelitian

: Pengembangan ModulPembelajaran MatematikaPadaMateri OperasiAljabarUntukSiswaKelasVIII SMP/MTs

MataPelajaran

: Matematika

Ma# Pokok

: operasiAljabar

Penelitian Sasaran

: SiswakelasVIII SMPAvfTs

Penyusun

: DinaEkasari

Pembimbing

: Drs.Sumaji,M.Pd

Instansi

: FKIP/PendidikanMatematikaUniversitasMuhammadiyah Ponorogo

Pendahuluan: Insttrmen yang akan diguukan untuk memperolehdata s€fia penilaian dalam penelitian fPengembanganModul PembelaJarrnMatematikaPada Materl OperasiAljabar Untuk Siswa Kelas YIII SMP/MTs' adalahangket.Aryket validasimodul ini dimalaudkanuntuk pendapatsera penilaiandari Bapak/Ibu.Pendapatpenilaian,saran,dankoreksidari mengetahui Bapalc/Ibu akandigunakansebagaipedomanuntukmemperbaiki danmeningkatkan kualitasmodut pembelaiaran ini. Petunjuk Pengisian: l. Berikanpenitaiansesuaidenganpendapat Bapak/Ibudengancaramenuliskantandaceklist'{" padaalternatifjawaban yangdisediakan. 2. Sertakan alasanuntuksetiappenilaianyangBapak/ibuberikanjikadiperlukan. 3. Tuliskankomentars@araurnumpadabagiankritik dansaran-

Keterangan : 4:SangdSetuju 3 : CukupSetuju 2 : KurangSetuju 1 : SangatTidakSetuju A. Aspek Penilaian

AspekYang Dinilai

No

Slrala Penilaian

4

Fomrt I

a,

Judulmafieridibuatdengansingkatpadaf, danjelas

V

Judulmaterisesuaidenganuraianmateri dalammodulpernbelajaran Kata pengantarmemuatrasasyukurdan

J.

ucapanterimakasihterhadappihak yang terkait

4. 5.

Daftar isi memuatkerangkaisi modul yangdisertaidengannomorhalaman Petunjuk periggunaanmodul disusun jelasdanmudahdipahamisiswa secara Urutan dan isi kompetensi inti dan

6.

kompetensi dasar

sesuai dengan

kurikulumyug berlaku 7.

pembelajaran sesuai dengan

Tirjuan indilcaior

Mstori

t. 9.

Mal€ri

dalam modul sesuai dengan

konnpetensidasar Penyajian materi jelas

dan mudah

dipahamisiswa

10. Materi disajikan secarasistematis 1I

Materi

yang disajikan menggunakan

konsepdengantepat danjelas

V

3

2

t

Alasen

Terdapat

latihan/tes

soal

yang

12. memungkinkansiswa untuk merrguasai yangdiharapkan kompetensi Contoh soal yang digunakanb€rkaitan 1 3 . dengankehidupansehari-haridan sesuai denganmateriyangdibahas jelas 14. Contoh soal dan pernbalrasan

1 5 . Kuncijawabanmudahdipahamisiswa Umpanbalik yangt€rdapatdalammodul 16. dapatmembantusiswauntuk mengetahui tingkatp€nguasaan materi Bahasa

t7. 18. 19. 20.

2t. 22.

Bahasa yang digunakan mudah untuk dipaharnisiswa Me'nggunakanbahasayang sesuaidengan EYD Bahasa

yang

digunakan

bersifat

komunikaif Kalimat

yang

digunakan

tidak

mengandungarti ganda Penggunaanhuruf serta tanda baca be,nar, jelas, dan tepat KetEpatan penggunaan istilah

sesuai

keilmuan Ilaya Tarik

23. 24.

Modul

tampilan

yang

menarik dan edukatif

Modul dapat meningkatkan motivasi belajarsiswa Modul

dapat

25. pembelajaran

digunakan mandiri


untuk maupun

t-

B. Kritikdan Saran tetlufrl

dort

e.eh'n...Lgp.n..c(o.l

C. Kesimpulan Penilaianangketsecaraumum$ingkariyangsesuai) I.

SangatTidakBaik

2. KumngBaik CukunBaik Qr/ 4. SangatBaik '

$ehinggadinyaakan: l.

Tidakvalid/revisitotal,belumdapatdigunakan

2. Kurangvalid/dapatdigunakan" banyakrevisi Cuf*p valid/dapatdigunakan,sedikitrevisi f) \-/ 4. Sangatvahd/daptdigunakaatanparevisi Demikianangketini sayaisi dengansebenamya, tanpaadapengaruh daripihaklain.

Ponorogo,l2

Jttot

2015

Validator

Tun& Suglnao)att,S.Pct tog NrP. riTooJtf2oofor

AIYGKET VALIDASI Modul Pembelajaran Matematika Pada Materi Operasi Aljabdr Untuk Siswa Kelas VIII SMP/1VITs

Modul Perrbelajaran MatematikaPadaMateri Pengembangan

JudulPenelitian

OperasiAljabarUntukSiswaKelasVIII SMPlNdTs Maa t'ehjaran

Matematika

Materi Pokok

OperasiAljabar

SasaranPenelitian

SiswakelasVIII SMPAvITs

Penyusun

Dina Ekasari

Pembimbing

Drs.Sumaji,M.Pd

Instansi

Ponorogo MatematikaUniversitasMuhammadiyah FKIP/ Pendidilcan

Pendahuluan: data serta penilaiandalam penelitian Instnrmenyang akan digunakanuntuk memperoleh *Pengembangan Modul PembelaJaran Matematika Pada Materi Operasi AIJabar Untuk Siswa Kelas VIII

SMP/lVfTs" adalah angket. Angket validasi modul ini dimaksudkan untuk

mengetahui pendapat serta penilaian dari Bapal/Ibu. Pendapat,penilaian, saran, dan koreksi dari Bapak/lbu akan digunakan sebagaipedomanuntuk memperbaiki dan meningkatkan kualitas modul pembelajaranini.

Petunjuk Pengisian: 1. Berikan penilaian sesuaidenganpendapatBapaVlbu dengan cara menuliskan tanda cek list "{" pada altnnanf jawabanyang disediakan. 2. Sertakanalasanuntuk setiapporilaian yang Bapak/ibqberikan jika diperlukan. 3. Tutiskan komentar secaraumum pada bagian lcritik dan saran.

Keterangan: 4: SangatSetuju 3 : CukupSetuju 2 : KurangSetuju 1 : SangatTidak Setuju

A. Aspek Penilaian

Skala Penilaian

AspekYangDinilai

No

3

4

Format

t 2.

Judulmateridibuatdeirgansingkat,padat, danjelas

/

,Judul materi sesuaidenganuraian materi dalammodulpembelajaran

v

Kata pengantarmemuatrasa syrkur dan 3.

ucapanteima kasih terhadappihak yang

V

terkait 4. 5.

Daftar isi memuat kerangka isi modul yangdisertaidengannomorhalaman

v

Petuqiuk penggunaan modul disusun secarajelasdanmudahdipahamisiswa

\/

Urutan dan isi kompetensi inti dan 6.

kompetansi dasar

sesuai

dengan

v

kurilulum yangberlaku 7.

Tujuan

pembelajaran sesuai dengan

V

indikator

Materi 8.

9.

Materi

dalam modul

sesuai dengan

v

korrpetensi dasar Penyajian materi

jelas

dan

mudah

dipahami siswa

1 0 . Materi disajikan secarasistematis ll

Materi

yang disajikan

rl

v

menggunakan

konsep dengantepat dan jelas

{

2

I

Alasan

Terdapat

latihan/tes

soal

yang

12. memungkinkan siswa untuk menguasai

/

kompetensi yang diharapkan

Contoh soal yang digunakan berkaitan 1 3 . dengankehidupansehari-haridan sesuai

v

de'nganmateriyangdibahas 14. Contoh soal dan pembahasanjelas

{

1 5 . Kunci jawabanmudahdipahamisiswa

v

Umpanbalik yang terdapatdalammodul 1 6 . dapatmembantusiswauntuk mengetahui

4/

materi tingkatpengurnaan Bahasa

t7. 18. 19.

20. 21. 22.

Bahasa yang digunakan mudah untuk

J

dipahamisiswa Menggunakan bahasayang sesuai dengan

J

EYD yang

Bahasa

digunakan

bersifat ,/

komunikatif yang

Kdimat

digunakan

tidak

me,ngandungarti ganda

v

huruf sertatandabacabenar, Penggunaan

v

jelas,dantepat Ketepatan penggunaan istilah sezuai

\/

keilmuan DavaTsrik

23. 24.

Modul

mempunyai

tampilan

yang

v


dapat meningkatkan motivasi

belajarsiswa

Modul

dapat

25. pembelajaran

digunakan mandiri


v

untuk maupun

tt

B. Kritik dan Saran

(*r Lyt S.ar./ .,..a\s{A Q... f *.n.b.s,nf* n.....W..... c.J9u^

{*-Ln

/r-q

t,^+-Q-,\a^'-'(t

@;,(;;(*

kr..V.W!eD; laJ*",l^.... y ry ....:

C. l(ssimFulan umum(lingkariyangsesuai) angketsecara Penilaian l.

SangatTidak Baik

2.

Ktrang Baik

O 4.

CukupBaik SangatBaik

Sehinggadinyatakan: 1. Tidak valid/revisitotal,belumdapatdigunakan 2.

Kurangvalid/dapatdigunakan,banyakrevisi

A 4.

Cuhp valid/dapatdigunakan, sedikitrevisi tanparcvisi Sangatvalid/dapatdigunalcan,

Demikianangketini sayaisi dengansebenarnyqtanpaadapengaruhdari pihaklain.

Ponorogo, f .J uL' 2o1s Validator / I

K f/

Sa/"{,-,ovh'r /A/

N4i|q/;W

iq)fnti|&oa

ANIGKET VALIDASI Modul PembelajaranMatematika Pada Materi Operasi Aljabar Untuk SiswaKelas VItr SMP/I|{Ts

n

Proresi

r..Y..PJgh

MatematikaPadaMateri Modul Pembelajaran Pengembangan

JudulPenelitian

OperasiAljabar Untuk SiswaKelas MII SMP/lv{Ts

MataPelqiaran

Maternatika

tvtateriPokok

OperasiAljabar

Penelitian Sasaran

SiswakelasVIII SMP/MTs

Penyusun

Dina Ekasari

Pembimbing

Dn. Sumaji,M.Pd

Instansi

FKIP/ PendidikanMaternatikaUniversitasMuhammadiyahPonorogo

Pendahuluan: Instrumen yang akan digunakan untuk memperoleh data serta penilaian dalam penelitian -Pengembangen Modul Pembelajaran Matematika Pada Materl Operasi A{abar Untuk Siswe Kelas wII

SttIP/MTs' adalah angket. Angket validasi modul ini dimaksudkan untuk

mengetahuipendapatserta penilaian dari Bapak/Ibu. Pendapa! penilaian, saran,dan koreksi dari Bapat/Ibu akan digunakansebagaipedomanuntuk memperbaikidan meningkatkankualitas modul pembelaiaran ini.

Petunjuk Pengisian: *{" l. BerikanpenilaiansesuaidenganpendapatBapak/Ibudengancaramenuliskantandacek list padaalternatifjawabanyangdisediakan. alasanuntuk setiappenilaianyangBapak/ibuberikanjika diperlukan. 2. Sertalcan 3. Tuliskan komentarsecaraumum padabagiankritik dan saran-

Keterangan:

4: SangatSetuju 3 : CukuPS€tuju 2 : Kurang Setuju I : Sangd Tidak S*uju

AspekPenilaian

A.

Skala Penilaian

Aspek Yang Dinilei

No

4

3

Fornet t.

2.

J.

4.

5.

iudd mareridibuat deirgansingkat, padaf danjelas Judul materi sesuaidengan uraian mat€ri

(

dalam modul pernbelajaran

Kata pengantarmemuatrasasyukurdan ucapanterimakasihterhadappihak yang t/ terkait Daftar isi memuat kerangka isi modul

V

yang disertai dengannomor halamEt Petunjuk penggunaan modul disusun secarajelasdan mudahdipahamisiswa Urutan dan isi komPetensi inti

6.

V

kompetensi

dasar

sesuai

\1

dan

dengan

V

kurikulum yangberlaku

7.

Tujuan

pernbelajaran sesuai dengan

V

indikator Meteri

E.

Mat€ri dalam modul sesuai dengan kompetensidasar Penyajian materi jelas

9.

V

dan mudah

dipatramisiswa

1 0 . Materi disajikansecarasistematis

\/

v

Materi yang disajikan menggunakan ll

konsepdengantepatdanjelas

{

2

I

Alasan

Terdapat

soal

latihan/tes

Yang

an siswa untuk menguasai kompetensiyang diharaPkan Contoh soal yang digunakan Haitan dengan kehidupan sehari-hari dan sesuai denganmateri yang dibahas jelas Contoh soal dan pembalrasan Kunci jawabanmudahdipahamisiswa Umpan balik yang terdapat dalam modul dapat membantusiswa untuk mengetahui tingkat pengwutan materi

Battasa yang digunakan mudah untr'rk dipatramisiswa Menggunakanbahasayang sesuaidengan EYD Bahasa

Kalimat

yang

digunakan

bersifat

digunakan tidak

yang

mengandungarti ganda Penggunaanhuruf serta tandabaca benar, jelas, dan tepat Kctepatan p€nggmaan istilah sesuai

Modul

memprmyai

tamPilan

Yang


Modul

dapat meningkatkan motivasi

dapat

pembelajaran

digunakan mandiri


untuk mauPun

I Kritik dan Saran

,,-hlw :?.sr-b-Ch:....tztl*.,:5-...4?8.**i*{*.r:"..f;

C. Kesimpulan Penihianangkcts€camumum(lingkariyangssuai) l.

TidakBaik Sangat

2. KurangBaik @ cukup Baik 4. SangatBaik dinyatakan: Sehingga total,belumdapatdigunakan Tidakrnalid/revisi banyakrevisi digunakan, 2, Kurangvalid/dapat valid/dapatdigunakan, sedikitrevisi @ "*O tanparevisi 4. Sangatvalid/daptdigunakarL

. l.

dari pihaklain. tanpaadapengaruh Denrikianangketini sayaisi dengansebenarnya,

Ponorogo,J M

2015

Vslidator

H"'7^o..{..or..*..:.!!

ANGKET RESPONSISWA Modul PembelajaranMetematika Pada Materi Operasi Aljabar Untuk Siswa Kelas Wtr SMP/}ITs

Pendahuluan: Angket ini disusun untuk mangaahui respon Anda tertudap "PengembenganModul pembelajaran lwstematikr Pada Mrteri Opcrasi A[abar Untuk. Siswa Kelas VIII SMpMTs'. Potgisian angket ini tidak akan memporganrhinilai Anda dalam hal apapun. jawabanpadasalahsatualternatifjawabansesuai Andauntukmemberikan Diharapkankesediaan denganpemikiranAnda

Petuniuk Pensisian: jawaban. b€rikutini denganteliti sebelumAndamemberikan Bacalahpertanyaan-pertanyaan 2. ,Berilatrtandasilang( X ) padasatahsatualternatifjawabanyangtersediasesuaidengan jawabanAnda 3. Tidak 4ajawaban yangbenarmaupunsalah,oleh karenaitu jawablahsetiappertanyaan Anda sesuaidenganpendaPat l.

mangerjakan! 4. Selarnat Pertanvsan: belajarAnda? sernangat Apal€hmodulpembel{arandapatmeningkatkan c. Kurangmoringkatkan a Sangatmeningkatkan

, l. X

Cutup meningkatkan

d. Sangattidakmeningkatkan

modul? ketikabelajarmenggunakan senang 2. ApakahAndamerasa a- Sangatsenang ;(cutup 3.

senang

c. Kurang senang d. Sangattidak senang

ini menarik? Apakahdesainmodul pernb€lajaran

XSangat

menarik

b. Cukup menarik

c. Kurangmenarik d. Sangattidak menarik

4.

Apakah modul pembelajaran dapat membantu pemaharnan Anda terhadap materi yang disampaikan?

membantu )d-sangat b. Cukupmembantu

5.

c. Kurang membanfu d. Sangattidak membantu

Apakah p.enyelesaiancontoh soal dai latihan dalam modul pernbelajaranmudah untuk Anda pahami? a. Sangatmudah dipahami b. Cukup mudah dipahami

6.

mudahdipahami Xfurang d. Sangattidakmudahdipahami

Apakah modul pembelajarandapatmembantuAnda dalam menyelesaikansoal yang berkaitan

denganoperasialjabar? a. Sangatmembantu

Acukup 7.

membantu

d. Sangattidak membantu

Apakahbahasayang digunakandalammodul pembelajaranmudahuntuk Anda paltami? a. Sangatmudah dipahami

$Cutup 8.

c. Kurang membantu

mudahdipahami

c. Kurang mudahdipahanu d. Sangattidak mudahdipahami

Apakah ukuran dan jenis huruf yang digunakan dalam modul pembelajaranmudah untuk

Andabaca? fiSangat mudahdibaca b. Cukupmudahdibaca

9.

c. Kurang mudahilibaca d. Sangattidak mudahdibaca

Apakah modul pembelajaranbisa Anda gunakansebagaireferensibelajarmandiri? a. Sangatbisa

$cukup

bisa

c. Kurang bisa d. Sangattidak bisa

10. ApakahAnda bisa memahamiseluruhisi modul ini denganbaik? a. Sangatbisa b. Cukupbisa

6itu $(ur2pg ,/ d. Sangattidak bisa

ANGKET RESPONSISWA Modul PembelajaranMatematika Pada Materi Operasi Aljabrr Untuk Siswa Kelas VItr SMP/tvITs

Pendahuluan: 'Pmgembangan Modul AngkeJ ini disusun untuk mangaahui respon Anda terhadap pembetaJaranMatematikt Pada Msteri Operasi Aflabar Untuk Siswa Kelas VIII SMP/IltTs,. Purgisian angket ini tidak akan mempenganthinilai Anda dalam hal apapun. jawabanpadasalatrsatualternatifjawabansesuai Andauntukmemberikan Diharapkankesediaan denganpcmikiranAnda

Egtuniuk Peneisian: jawaban. berikutini denganteliti sebelumAndamemberikan t. Bacalahp€rtanyaan-pertanyaan yangtersediasesuaidengan 2. , Berilahtandasilurg ( X ) padasalahsatualternatifjawaban jawabanAnda 3.

Tidak ada jawaban yang brunarmaupun salah, oleh kaiena itu jawablah setisp pertanyssn sesuaidenganpendaPatAnda Selarnatmengerjakan!

4.

Pertrnvaal: Apaleh modul pembelajarandapatmeningkatkansernangatbetajarAnda?

l.

a Sangatmeningkatkan ;(C*W

meningkatkan

c. Kurang meningkatkan d. Sangattidak meningkatkan

ApaIGh Anda merasasenanglcetikabelajar menggunakanmodul?

2. {

s*g"t senang b. Cukup senang

c. Kurang s€,nang d. Sangattidak senang

ini menarik? Apakahdesainmodul pernbelajaran

3.

a Sangatmenarik {

cut up menarik


Apakah modul pembelajaran dapat membantu pemaharnan d4da terhadap materi yang

4.

disampaikan? {

Sangt membantu b. Cukupmembantu

c. Kurang membantu d. Sangattidak msrnbantu

Apakah p.enyelesaiancontoh soal dan latihan dalam modul pembelajaranmudah untuk Anda

5.

pahami? .)( Sangatmudahdipahami b. Culup mudahdipahami

c. Kurang mudahdipahami d. Sangattidak mudahdipahami


6.

denganoperasialjabar? {

Spngatmembantu b. Cukupmembantu

c. Kurang membantu d. Sangattidak membantu

Apakahbahasayang digunakandalammodul pembelajaranmudahuntuk Anda pahami?

7;(

Sangatmudahdipahami b. Cukup mudahdipahami


Apakah ukuran dan jenis huruf yang digunakan dalam modul pembelajaranmudah untuk

8.

Anda baca?

$

Saneatmudahdibaca b. Cukupmudahdibaca

c. Kurang mudahdibaca d. Sangattidak mudahdibaca

Apakah modul pembelajaranbisa Anda gunakansebagaireferensibelajarmandiri?

9.

a. Sangatbisa

{cump uiru

c. Kurangbisa d. Sangattidakbisa

10. ApakahAnda bisa memahamiseluruhisi modul ini denganbaik? {

Sangatbisa

b. Cukupbisa

c. Kurangbisa d. Sangattidak bisa

ANGKET RESPONSISWA Modul PembelajaranMatematika PadaMateri Operasi Aliabar Untuk SiswaKelas VItr SMP/IvfTs

Pendahuluan: 'Pengcmbengan Modul Angker ini disusun untrk mengeahui respon Anda tertradap pembclaJaranMatcmatika Psda Mrteri Operasi Aflabar Untuk Siswa Kelas VIII nilai Anda dalam hal apapun. SMp/MTs', pengisianasgket ini tidak akan mempengaruhi jawabanpadasalahsatualternatifjawabansesuai Andauntukmemberikan Diharapkankesediaan denganpemikirurAnda

Petuniu.kPensisian: l. ?.

jawaban. befikutini denganteliti sebelumAndamemberikan Bacalahpqtanyaan-pertanyaan Berilatrtandasilang( X ) padasalahsatualternatifjawabanyangtersediasesuaidengan jawabanAnda

3.

Tiddk ada jawrban yang benar rnaupun salah, oleh kerena itu jawablah setiap pertanyaan sesuaidenganPendaPatAnda

4.

Selarnatmangedakan!

Pertanvarn: l.

Apakah modul pernbel4iarandapatmeningkatkansemangatbelajar Anda? c. Kurang meningkatkan a Sangatmeningkatkan

llcurun 2.

meningkatkan

Apakah Anda merasasenangketika belajarmenggunakanmodul? a Sangatsenang

3i 3.

d. Sangattidak meningkatkan

cutunsenans

c. Kurang senang d. Sangattidak senang

ini menarik? Apakahdesainmodul pernbelajaran a Sangatmenarik

flcutuo

menarik


Apakah modul pembelajaran dapat membantu pemaharnan fuida terhadap materi yang

4.

disampaikan? a. Sangatmembantu

$C"t*p

membantu


Apakah penyelesaian contoh soal dan latihan dalam modul pembelajaranmudah untuk Anda

5.

pahami?

mudahdiPahami ;€s*c"t b. Culcupmudahdipahami


soal yang berkaitan Apakahmodul pembelajarandapatmembantuAnda dalam menyelesaikan

6.

deinganoperasi alj abar? Sangatmembantu

/

b. Cularp membantu

7.


Apakahbahasayang digunakandalam modul pembelajaranmudahuntuk Anda pahami? a. Sangatmudah dipahami b. Cukup mudah dipahami

8.

c. Kurang membantu

mudahdipahami {I(*ung /\ d. Sangattidak mudahdipahami

Apakah ukuran dan jenis huruf yang digunakan dalam modul pernbelajaranmudah untuk Anda baca?

X

Sangatmudahdibaca

b. Cukup mudah dibaca

9.


Apakahmodul pembelajaranbisa Anda gunakansebagaireferensibelajarmandiri? a. Sangatbisa

)(

CutunUit"


10. ApakahAnda bisa memahamiseluruhisi modul ini denganbaik? a. Sangatbisa b. Cukupbisa

bisa )dKurang \// d- Sangattidak bisa

AI\TGKETRESPONSISWA MatematikaPadaMateri OperesiAljabar Untuk SiswaKelas ModutPembelajaran VItr SMP/}ITs Pendahulurn: *Pengcmbangan Modul Angket ini disusun unnrk mengeahui respon Anda terhadap '

PembelaJaran Matematikt SMP/l!lTc'.

Prda Materi Operasi A[abar

Untuk. Siswa Kelas VIII

Pengisiur angket ini tidak akan mempenganrhi nilai Anda dalam hal apapun.

Diharapkankesediaal Anda untuk memberikanjawaban pada salatrsatu alternatifjawaban sesuai danganpemikiran Anda

Petuniuk Pengisian: Bacalahpqtanyaan-pertsnyaanberikut ini denganteliti sebelumAnda memberikanjawaban.

l.

2.,.Berilatr tanda silang ( X ) pada salah satu alternatifjawaban yang tersediasesuai dengan jawabanAnda Tidak dajawaban yang benar rnaupun salah, oleh karena itu jawablah setiap pertanyaan

3.

sesuaidenganpendapatAnda Selamatmengerjakan!

4.

Pertanvasn: l.

Apatcahmodul pembel4iarandapatmeningkatkansernangatbetajarAnda? ./ c. Kurang meningkatkan X S-e"t meningkatkan ,/\ d. Sangattidak meningkatkan / U. Cufup meningkatkan ApalcahAnda merasasenirngketika belajarmenggunakanmodul?

2.

y/

Sangatsenang

/ u) c*up s€nang

3.

c. Kurang s€nang d. Sangattidak senang

ini menarik? Apakahdesainmodul pernbelqiaran menarik {sangat ,/ b. Cukup menarik


Apakah modul pembelajaran dapat membantu pemaharnan Anda terhadap materi yang

4.

disampaikan? a. Sangatmembantu Cut*O membantu

X


/\ Apakah p.enyelesaiancontoh soal dan latihan dalam modul pernbelajaranmudah untuk Anda

5.

patnmi? a. Sangatmudah dipahami t

[Cut

un mudah dipahami


soal yang berkaitan Apakahmodul pembelajarandapatmembantuAnda dalam menyelesaikan

6.

danganoperasialjabar? a. $pngat membantu b. Cukup membantu

Apakahbahasayang digunakandalammodul pembelajaranmudahuntuk Anda pahami?

7.

Sangatmudahdipahami

!

/ b. Cukupmudahdipahami 8.

membantu {furang / d. Sangattidak membantu

c. Kurang mudahdipaharni d. Sangattidak mudahdipahami

Apakah ukuran dan jenis huruf yang digunakan dalam modul pernbelajaranmudah untuk Anda baca? V Saneatmudah dibaca /\ / b. Cukup mudahdibaca

g.


Apakahmodul pembelajaranbisa Anda gunakansebagaireferensibelajarmandiri? V Saneatbisa /\ ' b. Cukupbisa


10. ApakahAnda bisa memahamiseluruhisi modul ini denganbaik? a. Sangatbisa X ,/\

Cukuobitu


AI{GKET RESPONSISWA Modul PembelajaranMatematike Pada Materi Operasi Aliabar Untuk Siswa Kelas Vttr SMP/tfTs

Pendahuluan: Angket ini disusun untuk mengetahuirespon Anda terhadap(PengembanganModul PembelaJaranMstematiks Pada Msteri Operasi AIJabar Untuk Sisws Kelas VIII nilai Anda dalam hal @apun. SMP/lltTg'. Porgisianangket ini tidak akan mempengaruhi jawabanpadasalahsatualternatifjawabansesuai Diharapkankesediaan Andauntukmemberikan danganpanikiranAnda

Petuniuk Pensisian: l.

jawaban. berikutini denganteliti sebelumAndamemberikan Bacalahp€rtanyaan-pertanyaan

2.

yangtersediasesuaidengan tandasilang( X ) padasalahsatualternatifjawaban ,Berilah jawabanAnda

3.

Tida& ada jawaban yang benar rnaupunsalah,oleh karenaitu jawablah setiap pertanyaan sesuaidenganpendapatAnda

4.

Selarnatmengerjakan!

Pertrnvaan: . l.

2.

3.

Apal€h modul pembelajarandapatmeningkatkansemangatbelajar Anda? ff Sangatmeningkatkan

c. Kurang meningkatkan

b. Cukupmeningkatkan

d. Sangattidak meningkatkan

ApalcahAnda merasasenangketikabelajarmenggunakan modul? X Sangatsenang

c. Kurang s€nang

b. Cukups€nang

d. Sangattidaksenang

Apakahdesainmodul panbelajaranini menarik?

fr Sangatmenarik b. Cukupmenarik


,jl

4.

Apakah modul pembelajaran dapat membantu pemaharnan Anda terhadap materi yang disampaikan? g

Sangatmembantu

b. Cukup membantu

5.

c. Kurangmembantu d. Sangattidakmembantu

Apakah penyelesaian contoh soal dan latihan dalam modul pembelajaranmudah untuk Arida pahami?

6-

a. Sangatmudah dipahami

c. Kurang mudahdipahami

X Cukup mudah dipahami

d. Sangattidak mudahdipahami

Apaloh modul pembelajarandapatmembantuAnda dalam menyelesaikansoal yang berkaitan

denganoperasialjabar?

7.

( Sangatmembantu

c. Kurang membantu

b. Cularpmembantu


Apakahbahasayang digunakandalammodul pembelajaranmudahuntuk Anda pahami? a. Sangatmudah dipahami fi

8.

Cukup mudahdipahami


Apakah ukuran dan jenis huruf yang digunakan dalam modul ponbelajaran mudah untuk Anda baca? fi

Sangatmudahdibaca

b. Cukup mudahdibaca

9.

c. Kurang mudah ilibaca d. Sangattidak mudahdibaca

Apakah modul pembelajaranbisa Anda gunakansebagaireferensibetajarmandiri? 1( Sangatbisa

c. Kurang bisa

b. Cukup bisa

d. Sangattidak bisa

10. ApakahAnda bisa memahamiseluruhisi modul ini denganbaik? 3< Sangatbisa

c. Kurangbisa

b. Cukupbisa

d. Sangattidak bisa

ANGKET RESPONSISWA Modul PembelajaranMatematika PadaMateri Operasi Aliabar Untuk Siswa Kelas VItr SMP/IVITs

Pendahuluan: 'Pengembangan Modul Angket ini disusun untuk mengetalruirespon Anda terhadap PembcleJarrnMatematika Pada Meteri Operasi Afiabar Untuk Siswa Kelas VIII SMP/I||Ts'. Pengisianaryket ini tidak akan memporgaruhinilai Anda dalam hal apapun. jawabanpadasalahsatualtematifjawabansesuai Andauntukmemberikan Diharapkankesediaan denganpemikiranAnda

Petuniuk Peneisian: jawaban. b€f,ikutini denganteliti sebelumAndamemberikan Ba.alahpertanyaan-pertanyaan 2. Berilahtandasilang( X ) padasalahsatualternatifjawabanyangtersediasesuaidengan l.

jawabanAnda 3.

Tidak ada jawaban yang benar maupun salah,oleh karenaitu jawablah setisp pertanyssn sesuaidenganpendapatAnda

4.

Selarnatmengedakan!

Pertanvaan: . l.

Apakah modul pembelqiarandapatmeningkatkansernangatbel{ar Anda? X Sang* meningkatkan b. Cukup meningkatkan

2.

c. Kurangmeningkatkan d. Sangattidak meningkatkan

modul? ApatcahAnda merasasenangketikabelajarmenggunakan fi Sangatsenang b. Cukup s€nang

c. Kurang senang d. Sangattidaksenang

ini menarik? Apakahdesainmodulpernbelajaran

1.

a Sangatmenarik I

Cukup menarik


Apakah modul pembelajaran dapat membantu pemaharnanAnda terhadap materi yang

4.

disampaikan? Sangatmembantu

I

b. Cukupmembantu

5.


Apakah penyelesaian contoh soal dan latihan dalam modul pernbelajaranmudah untuk Anda pahami? Sangatmudah dipahami

f

b. Cutarp mudah dipahami

6.

c. Kurangmudahdipahami d. Sangattidakmudahdipahami


denguioperasialjabar? X $angutmembantu b. Cukupmembantu

7.

d. Sangattidakmembantu

Apakahbahasayang digunakandalam modul pembelajaranmudahuntuk Anda pahami? a. Sangatmudahdipahami Cutcupmudahdipahami

f

8.

c. Kurangmembantu


Apakah ukuran dan jenis huruf yang digunakan dalam modul pembelajaranmudah untuk Anda baca? a. Sangatmudahdibaca f,

9.

Cut up rnudahdibaca

c. Kurang mudahilibaca d. Sangattidak mudahdibaca

Apakah modul pembelajaranbisa Anda gunakansebagaireferensibelajarmandiri? Sangatbisa

!

b. Cukupbisa


10, ApakahAnda bisa memahamiseluruhisi modul ini denganbaik? {

Sangatbisa

b. Cukupbisa


LAMPIRAN 4 PEDOMAN OBSERVASI

PEDOMAN OBSERVASI Pada saat ujicoba terbatas modul, peneliti melakukan pengamatan (observasi). Dalam pengamatan (observasi) yang dilakukan adalah mengamati aktivitas siswa selama belajar menggunakan modul, yang meliputi: A. Tujuan: Untuk memperoleh informasi mengenai kesulitan-kesulitan yang dialami siswa pada saat belajar menggunakan modul sehingga dapat digunakan sebagai acuan dalam merevisi atau menyempurnakan modul. B.

Aspek yang diamati: Kegiatan siswa selama belajar menggunakan modul.

LAMPIRAN 5 Silabus Mata Pelajaran Matematika Materi Operasi Aljabar Kurikulum 2013

SILABUS MATA PELAJARAN MATEMATIKA SEKOLAH MENENGAH PERTAMA/MADRASAH TSANAWIYAH KELAS VIII KURIKULUM 2013

Satuan Pendidikan :

SMP/MTs

Kelas/Semester

:

VIII (Delapan)/1 (Satu)

Kompetensi Inti 1

:

Menghargai dan menghayati ajaran agama yang dianutnya

Kompetensi Inti 2

:

Menghargai dan menghayati perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (toleransi, gotongroyong), santun,

Kompetensi Inti

percaya diri, dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam dalam jangkauan pergaulan dan keberadaannya Kompetensi Inti 3

:

Memahami dan menerapkan pengetahuan (faktual, konseptual, dan prosedural) berdasarkan rasa ingin tahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata

Kompetensi Inti 4

:

Mengolah, menyaji, dan menalar dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, memodifikasi, dan membuat) dan ranah abstrak (menulis, membaca, menghitung, menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori

Kompetensi Dasar 1.1 Menghargai dan

Materi Pembelajaran

Kegiatan Pembelajaran

Penilaian

Pembelajaran KI 1 dan KI 2 dilakukan secara

Penilaian KI 1 dan

menghayati

tidak langsung (terintegrasi) dalam

KI 2 dilakukan

ajaran agama

pembelajaran KI 3 dan KI 4

melalui observasi,

yang dianutnya

penilaian diri, penilaian teman sejawat oleh peserta didik, dan jurnal

2.1 Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik, konsisten dan teliti, bertanggung jawab, responsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah.

Alokasi

Sumber

Waktu

Belajar

2.2 Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika serta memiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar. 2.3 Memiliki sikap terbuka, santun, objektif, menghargai pendapat dan karya teman

dalam interaksi kelompok maupun aktivitas seharihari. 3.1 Menerapkan operasi aljabar

Operasi Aljabar

Mengamati

Sikap:

 Mencermati bentuk aljabar dalam masalah

Observasi

matematika

 Mengamati

Kelas VIII

yang melibatkan

sehari- hari atau situasi yang berkaitan

bilangan

dengan penggunaan konsep

rasional

 Mencermati penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar yang disajikan  Mencermati cara pengalian bentuk aljabar dengan cara bersusun  Mencermati masalah mengenai pembagian bentuk aljabar  Mencermati cara menyederhanakan bentuk aljabar

10 JP

Buku teks

ketelitian dan

Kemdikbud,

rasa ingin tahu

Buku

dalam

Pengayaan

mengerjakan

yang berkaitan

tugas, menyimak

dengan operasi

penjelasan, atau

aljabar,

presentasi peserta

lingkungan,

didik mengenai

alat peraga

operasi aljabar

yang berkaitan denga operasi

Menanya  Menanya tentang berbagai bentuk aljabar dari masalah sehari-hari. Misal: apa

Pengetahuan: Penugasan

aljabar

kelebihan dan manfaat mengubah masalah

 Tugas terstruktur:

sehari-hari ke bentuk aljabar, bagaimana

mengerjakan

mengubah masalah atau bahasa sehari-hari

latihan soal-soal

ke dalam bentuk aljabar, atau apakah simbol

yang berkaitan

(variabel) yang boleh digunakan hanya x

dengan operasi

dan y?

aljabar

 Menanya tentang proses penjumlahan dan

 Tugas mandiri

pengurangan bentuk aljabar serta bentuk

tidak terstruktur:

aljabar yang bagaimana yang bisa

mencatat dan

dijumlahkan atau dikurangkan

mencari informasi

 Menanya tentang pengalian bentuk aljabar

penggunaan

dan apakah setiap bentuk aljabar bisa

operasi bentuk

dikalikan

aljabar dalam

 Menanya tentang pembagian bentuk aljabar.

keseharian

Misal: Bagaimana jika pada pembagian bentuk aljabar sisanya tidak nol atau apakah

Tes tertulis:

setiap bentuk aljabar bisa dibagi dengan

mengerjakan soal-

bentuk aljabar yang lain

soal berkaitan

 Menanya tentang cara-cara penyederhanaan bentuk aljabar. Misal: bagaimana menyederhanakan bentuk aljabar yang lebih

dengan operasi aljabar

rumit atau bagaimana kita bisa tahu langkah

Keterampilan:

demi langkah pada penyederhanaan bentuk

Portofolio

aljabar

Mengumpulkan bahan dan

Mengumpulkan informasi

literatur berkaitan

 Menggali informasi tentang masalah sehari-

dengan bentuk

hari yang dapat dinyatakan melalui kalimat

aljabar dalam

verbal, gambar atau diagram, dan

kehidupan sehari-

selanjutnya dalam bentuk atau ekspresi

hari kemudian

aljabar

disusun,

 Menggali informasi tentang masalah seharihari yang berkaitan dengan bentuk atau

didiskusikan dan direfleksikan

ekspresi aljabar tertentu  Menggali informasi tentang klasifikasi

Projek

bentuk aljabar berdasarkan suku, variabel,

Melakukan

koefisien, dan konstata

permainan mengenai

 Menggali informasi tentang penjumlahan

tanggal lahir dan

dan pengurangan bentuk aljabar. Informasi

menentukan cara

yang digali adalah tentang suku sejenis dan

menebak tanggal

contoh-contoh penjumlahan dan

lahir dengan tepat

pengurangan bentuk aljabar

 Menggali informasi tentang perkalian dan faktor tentang faktor dari bentuk aljabar. Digali juga mengenai sifat komutatif, asosiatif, dan distributif pada penjumlahan dan perkalian bentuk aljabar  Menggali informasi tentang dan pembagian bentuk aljabar. Misal: Pembagian bentuk aljabar hasil bagianya tidak selalu bersisa nol dan bagaimana pembagian bentuk aljabar yang sisanya bukan nol.  Menggali informasi tentang cara penyederhaan bentuk aljabar, membentuk ekspresi aljabar tertentu, atau menunjukkan/ membuktikan kesamaan antara bentuk aljabar

Menalar/Mengasosiasi  Menganalisis berbagai bentuk aljabar dari masalah sehari-hari  Menganalisis penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar dan membuat prosedur

penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar  Menganalisis hasil kali dan hasil bagi bentuk aljabar  Menganalisis bagaimana menyederhanakan bentuk aljabar dan bagaimana bentuk aljabar dikatakan sederhana  Menganalisis ketidaksamaan dua bentuk aljabar menggunakan contoh penyangkal

Mengomunikasikan  Menyajikan secara tertulis atau lisan hasil pembelajaran, apa yang telah dipelajari, keterampilan atau materi yang masih perlu ditingkatkan, atau strategi atau konsep baru yang ditemukan berdasarkan apa yang dipelajari mengenai pengenalan, penjumlahan dan pengurangan, perkalian dan pembagian, serta penyederhanaan bentuk aljabar  Memberikan tanggapan hasil presentasi

meliputi tanya jawab untuk mengkonfirmasi, sanggahan dan alasan, memberikan tambahan informasi, atau melengkapi informasi ataupun tanggapan lainnya  Membuat rangkuman materi dari kegiatan pembelajaran yang telah dilakukan

LAMPIRAN 6 MODUL

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA untuk SMP/MTs

VIII Dina Ekasari

MODUL PEMBELAJARAN MATEMATIKA

OPERASI ALJABAR Untuk SMP/MTs Kelas VIII Semester Ganjil

Penulis: Dina Ekasari

Pembimbing: Drs. Sumaji, M.Pd

Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Muhammadiyah Ponorogo 2015

i

KATA PENGANTAR

Puji syukur penulis panjatkan kehadirat Allah SWT, yang telah memberikan rahmat dan karunia-Nya kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan modul pembelajaran matematika untuk siswa SMP/MTs. Modul ini disusun dengan harapan dapat memberikan kemudahan bagi siswa dan guru dalam proses belajar mengajar dan sebagai penunjang agar apa yang diharapkan dalam Standar Isi tercapai, serta sebagai tugas akhir penulis. Adapun penyajian modul ini menggunakan bahasa yang sederhana sehingga mudah dipahami siswa. Selain itu, dalam modul ini juga diberikan latihan-latihan yang bervariasi beserta penjelasannya yang detail. Semoga dengan bantuan modul ini, siswa semakin memahami suatu teori tertentu dan termotivasi untuk belajar terus-menerus serta terlatih dalam memahami suatu soal. Akhirnya, penulis mengucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul pembelajaran ini. Kritik dan saran yang bersifat membangun dari pembaca sangat penulis harapkan untuk kesempurnaan modul ini. Semoga modul ini berguna bagi siswa maupun guru dalam meningkatkan mutu pendidikan di Indonesia.

Terima kasih, Penyusun

ii

Daftar Isi HALAMAN JUDUL ................................................................................... ..............

i

KATA PENGANTAR ................................................................................ ..............

ii

DAFTAR ISI ............................................................................................... ..............

iii

PENDAHULUAN ....................................................................................... ..............

vi

Deskripsi Modul ................................................................................... ..............

vi

Petunjuk Penggunaan Modul................................................................ ..............

vii

Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar ............................................... ..............

viii

Cek Kemampuan .................................................................................. ..............

ix

OPERASI ALJABAR ................................................................................. ..............

1

Peta Konsep .......................................................................................... ...............

2

Narasi Tokoh Aljabar ........................................................................... ...............

3

Kegiatan Belajar 1: Mengenal Bentuk Aljabar .................................... ..............

4

Cek Kemampuan 1 ........................................................................ ..............

5

Uraian dan Contoh......................................................................... ..............

6

A. Pengertian Bentuk Aljabar ..................................................... ..............

6

B. Istilah-istilah dalam Bentuk Aljabar ...................................... ..............

8

Latihan 1 ........................................................................................ ..............

12

Rangkuman .................................................................................... ..............

13

Tes Formatif 1 ............................................................................... ..............

13

Umpan Balik dan Tindak Lanjut ................................................... ..............

15

Kegiatan Belajar 2: Penjumlahan dan Pengurangan Bentuk Aljabar ... ..............

16

Cek Kemampuan 2 ........................................................................ ..............

17


17

Latihan 2 ........................................................................................ ..............

21

Rangkuman .................................................................................... ..............

22

Tes Formatif 2 ............................................................................... ..............

22


24

Kegiatan Belajar 3: Perkalian Bentuk Aljabar ..................................... ..............

25

Cek Kemampuan 3 ........................................................................ ..............

26


26

iii

A. Perkalian Suku Satu Dengan Suku Dua ................................. ..............

27

B. Perkalian Suku Dua Dengan Suku Dua.................................. ..............

30

Latihan 3 ........................................................................................ ..............

34

Rangkuman .................................................................................... ..............

35

Tes Formatif 3 ............................................................................... ..............

36


37

Kegiatan Belajar 4: Perpangkatan Bentuk Aljabar ............................... ..............

39

Cek Kemampuan 4 ........................................................................ ..............

40


40

A. Perpangkatan Suku Satu ......................................................... ..............

41

B. Perpangkatan Suku Dua ......................................................... ..............

42

Latihan 4 ........................................................................................ ..............

47

Rangkuman .................................................................................... ..............

48

Tes Formatif 4 ............................................................................... ..............

48


50

Kegiatan Belajar 5: Pembagian Bentuk Aljabar ................................... ..............

51

Cek Kemampuan 5 ........................................................................ ..............

52


52

A. Pembagian dengan Suku Tunggal .......................................... ..............

53

B. Pembagian dengan Suku Banyak ........................................... ..............

55

Latihan 5 ........................................................................................ ..............

59

Rangkuman .................................................................................... ..............

59

Tes Formatif 5 ............................................................................... ..............

60


62

Kegiatan Belajar 6: Pemfaktoran Bentuk Aljabar ................................ ..............

63

Cek Kemampuan 6 ........................................................................ ..............

64


64

A. Faktor-faktor Suku Aljabar .................................................... ..............

64

B. Pemfaktoran Bentuk 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 dan 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦........................... ..............

66

C. Pemfaktoran Bentuk 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 dan 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 ..... ..............

67

D. Pemfaktoran Bentuk Selisih Dua Kuadrat ............................. ..............

69

E. Pemfaktoran Bentuk 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 ........................................ ..............

70

Latihan 6 ........................................................................................ ..............

76

Rangkuman .................................................................................... ..............

77

iv

Tes Formatif 6 ............................................................................... ..............

78


79

Kegiatan Belajar 7: Penyederhanaan Bentuk Aljabar .......................... ..............

81

Cek Kemampuan 7 ........................................................................ ..............

82


82

Latihan 7 ........................................................................................ ..............

86

Rangkuman .................................................................................... ..............

87

Tes Formatif 7 ............................................................................... ..............

87


89

Evaluasi ................................................................................................ ..............

90

Tes Akhir ....................................................................................... ..............

90

Kunci Jawaban Cek Kemampuan......................................................... ..............

96

Kunci Jawaban Latihan ........................................................................ ..............

103

Kunci Jawaban Tes Formatif ................................................................ ..............

120

Kunci Jawaban Tes Akhir .................................................................... ..............

122

Glosarium ............................................................................................. ..............

125

Daftar Pustaka ...................................................................................... ..............

126

v

Pendahuluan

Deskripsi Modul

Modul ini disusun dengan harapan dapat memberikan penjelasan pada materi operasi aljabar yang dibutuhkan siswa kelas VIII SMP/MTs. Selain itu, diharapkan dapat mengembangkan kemampuan pemecahan masalah matematika siswa. Modul dapat digunakan secara kelompok maupun mandiri.

Tujuan penyusunan modul operasi aljabar ini, siswa dapat memahami konsep operasi aljabar dan menerapkannya dalam pemecahan masalah. Selain itu, diharapkan dengan adanya modul siswa dapat belajar sesuai dengan kemampuannya masing-masing, sehingga siswa tidak akan bergantung pada guru.

vi

Petunjuk Penggunaan Modul Modul ini dapat digunakan dalam pembelajaran kelompok ataupun pembelajaran individu, baik di dalam kelas maupun di luar kelas. Berikut diberikan beberapa tahapan yang harus dilalui dalam mempelajari modul ini.  Sebelum mempelajari modul, cek kemampuan kamu pada cek kemampuan.  Pahami materi dan ilustrasi pada setiap sub materi.  Ikutilah kegiatan belajar yang disajikan dalam modul, ulangi apabila kurang memahami materi tersebut.  Setelah melakukan kegiatan belajar, kerjakanlah semua tugas yang disediakan.  Periksa jawabanmu dengan petunjuk jawaban yang disediakan. Apabila tidak sesuai, ulangilah belajar dari bagian yang belum dikuasai.  Lanjutkan pada kegiatan belajar berikutnya apabila kamu telah menguasai materi.  Kerjakanlah evaluasi setelah kamu mempelajari semua kegiatan belajar.

vii

Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar

Kompetensi Inti 1.

2.

3.

Kompetensi Dasar

Menghargai dan menghayati ajaran 2.1

Menunjukkan

agama yang dianutnya.

analitik,

Menghargai dan menghayati perilaku

bertanggung jawab, responsif, dan

jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli

tidak

(toleransi,

memecahkan masalah.

gotongroyong),

santun,

sikap

konsisten

mudah

logis,

kritis,

dan

teliti,

menyerah

dalam

percaya diri, dalam berinteraksi secara 2.2

Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri,

efektif dengan lingkungan sosial dan

dan ketertarikan pada matematika

alam dalam jangkauan pergaulan dan

serta memiliki rasa percaya pada daya

keberadaannya.

dan

Memahami

pengetahuan

(faktual,

kegunaan

matematika,

yang

terbentuk melalui pengalaman belajar.

konseptual, dan prosedural) berdasarkan 3.1

Menerapkan operasi aljabar yang

rasa

melibatkan bilangan rasional.

ingin

tahunya

tentang

ilmu

pengetahuan, teknologi, seni, budaya terkait fenomena dan kejadian tampak mata. 4.

Mencoba,

mengolah,

dan

menyaji

dalam ranah konkret (menggunakan, mengurai, merangkai, dan

membuat)

(menulis,

dan

membaca,

memodifikasi, ranah

abstrak

menghitung,

menggambar, dan mengarang) sesuai dengan yang dipelajari di sekolah dan sumber lain yang sama dalam sudut pandang/teori.

viii

Cek Kemampuan

Sebelum mempelajari materi pada modul operasi aljabar, selesaikanlah soal/situasi yang terdapat pada cek kemampuan. Jawablah pertanyaan yang terdapat pada cek kemampuan dengan semaksimal mungkin menggunakan langkah-langkah yang kamu ketahui. Apabila kamu tidak dapat mengerjakan soal/pertanyaan pada cek kemampuan, maka pelajarilah kegiatan belajar 1 sampai dengan kegiatan belajar 7. Tetapi jika kamu dapat menguasai semua indikator atau dapat menjawab dengan benar, maka lanjutkan mengerjakan evaluasi dalam modul ini. Cek kunci jawaban dengan petunjuk jawaban pada lampiran.

SELAMAT BELAJAR

ix

OPERASI ALJABAR

Setiap hari, Ani menabung sebesar 𝑥 rupiah. Berapa besar tabungan anak tersebut setelah satu minggu? Berapa besar tabungannya setelah satu bulan? Setelah 10 hari, uang tabungan itu dibelikan

dua

buah

buku

yang

harganya 𝑦 rupiah, berapakah sisa uang tabungan Ani? Jika nilai 𝑥 adalah 𝑅𝑝 2.000,00 dan nilai 𝑦 adalah

𝑅𝑝 5.000,00,

carilah

penyelesaiannya. Saat kamu mencari penyelesaian dari permasalahan di atas, maka kamu sedang menggunakan konsep aljabar. Oleh karena itu, pelajarilah modul ini dengan baik.

Koefisien

Kata Kunci

Koefisien Variabel

Konstanta

Suku

Suku Sejenis Modul Pembelajaran Matematika

1

Peta Konsep Operasi Aljabar

Bentuk Verbal

Bentuk Simbolik

Pengurangan

Penjumlahan

Perpangkatan

Perkalian

Pemfaktoran

Pembagian

Penyederhanaan Bentuk Aljabar

Modul Pembelajaran Matematika

2



Muhammad bin Musa Al-Khwarizmi biasa disebut Al-Khwarizmi adalah seorang ahli matematika, astronomi, astrologi. Beliau lahir sekitar tahun 780 Masehi di Khwarizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850 Masehi di Baghdad Irak. Al-Khwarizmi adalah orang yang pertama kali memperkenalkan ilmu aljabar dalam suatu bentuk dasar yang dapat diterapkan dalam kehidupan sehari-hari. Karya Al-Khwarizmi berjudul Kitab al-Jabr w’al-muqabalah (The Book of Restoring and

Balancing) menjadi titik awal aljabar dalam dunia Islam. Kata aljabar ini digunakan di dunia Barat untuk obyek yang sama. Menurut Kasir (1931), kata aljabar berasal dari tulisan Al-Khwarizmi yang mencantumkan ’al-jab’ sebagai judulnya. Tulisan ini diterjemahkan (abad XII) ke dalam bahasa Latin oleh Gerhard Cremona dan Robert Chester, dimana buku ini digunakan sebagai buku wajib matematika dasar di Eropa hingga abad XVI. Karena pengaruhnya yang besar di bidang aljabar, Al Khwarizmi dijuluki sebagai Bapak Aljabar. Namun, julukan itu diberikan pula pada Diophantus, seorang ilmuwan dari Yunani kuno. Al-Khwarizmi diperkirakan meninggal sekitar 850 Masehi. Namun, karya-karya besarnya masih terus berkembang dan banyak dipelajari hingga saat ini.


3

Kegiatan Belajar 1

MENGENAL BENTUK ALJABAR Kompetensi Dasar 3.1

Menerapkan operasi aljabar yang melibatkan bilangan rasional.

2.2

Memiliki rasa ingin tahu, percaya diri, dan ketertarikan pada matematika serta memiliki rasa percaya pada daya dan kegunaan matematika, yang terbentuk melalui pengalaman belajar.

Tujuan Pembelajaran 3.1.1

Mengenal bentuk aljabar melalui pemodelan matematika dari suatu masalah nyata (bentuk verbal) yang berkaitan dengan operasi aljabar.

3.1.2

Mengenal istilah-istilah yang terdapat pada bentuk aljabar.

2.2.1

Mampu bersikap percaya diri dan memiliki rasa ingin tahu yang tinggi dalam pembelajaran pengenalan bentuk aljabar.

Indikator Pembelajaran 3.1.1.1

Siswa dapat mengetahui bentuk aljabar dan bukan bentuk aljabar.

3.1.2.1

Siswa dapat memahami istilah koefisien, variabel, konstanta, suku, suku sejenis, dan suku tidak sejenis.

2.2.1.1

Siswa dapat percaya diri dan mempunyai rasa ingin tahu yang tinggi dalam pembelajaran pengenalan bentuk aljabar.


4

Cek Kemampuan 1 1.

Tiga puluh tahun yang lalu umur Mira adalah

1 4

umurnya sekarang. Nyatakan

bentuk aljabar dari umur Mira tersebut!

2.

Suatu bilangan jika dikalikan 5 kemudian dikurangi 3, hasilnya adalah 12. Buatlah bentuk persamaannya!

3.

Tentukan suku, variabel, dan koefisien dari bentuk-bentuk aljabar berikut. a. 12𝑥 + 5 b. 5𝑥 − 9 c. 21𝑥 − 5𝑦 + 9

4.

Aku sebuah suku pada bentuk aljabar. Aku tidak mempunyai variabel. Aku hanya berupa suatu bilangan. Siapakah aku?

5.

Tentukan konstanta pada bentuk aljabar berikut. 4𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 5𝑥 − 𝑦 − 8


5

A. Pengertian Bentuk Aljabar Ayo Kita Amati Marilah kita bermain dengan benda-benda yang ada di sekitar kita!

Gambar

Kata-kata

Tiga apel

Simbol

3a

Dua jeruk dan

Empat tomat

Tiga apel, dua jeruk,

tiga tomat

dan satu apel

dan satu tomat

2j + 3t

4t + 1a

3a + 2j + 1t

= satu buah apel disimbolkan dengan huruf “a” = satu buah jeruk disimbolkan dengan huruf “j” Keterangan = satu buah tomat disimbolkan dengan huruf “t” Kata “dan” disimbolkan dengan “+”


6

Bentuk-bentuk :

3a 2j + 3t

dinamakan bentuk aljabar

4t + 1a 3a + 2j + 1t

Operasi yang digunakan untuk memecahkan permasalahan pada bentuk aljabar disebut operasi aljabar. Suku bentuk aljabar 1𝑎 dan 1𝑡 untuk selanjutnya cukup hanya ditulis 𝑎 dan 𝑡, karena 1𝑎 = 1 × 𝑎 = 𝑎 dan 1𝑡 = 1 × 𝑡 = 𝑡.

Contoh 1 1.

Pak Budi memiliki empat sapi dan sepuluh kambing. Kemudian, seluruh sapi dan kambing tersebut dijual kepada seorang pedagang ternak. Harga satu ekor sapi adalah 𝑥 rupiah dan harga satu ekor kambing adalah 𝑦 rupiah. Berapakah uang yang diperoleh Pak Budi?

2.

Jumlah dua bilangan ganjil berurutan adalah 20. Nyatakan bentuk aljabar dari pernyataan tersebut!

3.

Tentukan bentuk-bentuk di bawah ini yang merupakan bentuk aljabar dan bukan bentuk aljabar! a. 𝑥 = 5

d. 4 + 5 = 9

b. 6𝑎 + 7𝑏 − 2

e. 2𝑘 + 4𝑚 + 7𝑛

c. 4 × 3 − 8 = 2 × 2

Modul Pembelajaran Matematika 4.

7

Penyelesaian: 1.

Banyaknya sapi = 4 ekor Banyaknya kambing = 10 ekor Harga 1 ekor sapi = 𝑥 rupiah Harga 1 ekor kambing = 𝑦 rupiah Uang yang diperoleh Pak Budi adalah 4𝑥 + 10𝑦 rupiah. Misalkan bilangan ganjil yang pertama adalah 𝑥 maka bilangan ganjil kedua adalah

2.

𝑥 + 2 karena berurutan. Berarti bisa ditulis 𝑥 + 𝑥 + 2 = 20. 3.

a. 𝑥 = 5

→

bukan bentuk aljabar

b. 6𝑎 + 7𝑏 − 2

→

merupakan bentuk aljabar

c. 4 × 3 − 8 = 2 × 2

→


d. 4 + 5 = 9

→


e. 2𝑘 + 4𝑚 + 7𝑛

→

merupakan bentuk aljabar

Dalam bentuk aljabar, dikenal beberapa istilah seperti variabel, konstanta, koefisien, 5.

suku, suku sejenis, dan suku tidak sejenis. Untuk memahami istilah-istilah tersebut, perhatikan uraian berikut.

B. Istilah-istilah dalam Bentuk Aljabar 1.

Variabel Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ... , z. Modul Pembelajaran Matematika

8

Contoh 2 Tulislah setiap kalimat berikut dengan menggunakan variabel 𝑥 sebagai pengganti bilangan yang belum diketahui nilainya. a.

Umur Dian dan umur Putri berselisih lima tahun dan berjumlah tiga belas tahun.

b.

Suatu bilangan jika dikalikan dua kemudian ditambah tiga, dan dikuadratkan menghasilkan bilangan 225.

Penyelesaian: a.

Misalkan umur Dian adalah 𝑥 maka umur Putri adalah 𝑥 − 5. Sehingga bisa dituliskan 𝑥 + 𝑥 − 5 = 13.

b.

2.

Misalkan suatu bilangan tersebut adalah 𝑥 maka dapat dituliskan 2𝑥 + 3

2

= 225.

Konstanta Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel disebut konstanta.

Contoh 3 Tentukan konstanta pada bentuk aljabar berikut. a.

8𝑎 − 2

b.

3 − 4𝑥 2 − 𝑥

Penyelesaian: a.

Konstanta adalah suku yang tidak memuat variabel, sehingga konstanta dari 8𝑎 − 2 adalah −2.

b.

Konstanta dari 3 − 4𝑥 2 − 𝑥 adalah 3. c. Modul Pembelajaran Matematika

9

3.

Koefisien Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

Contoh 4 Tentukan koefisien 𝑥 pada bentuk aljabar berikut. a.

5𝑥 2 𝑦 + 3𝑥

b.

2𝑥 2 + 6𝑥 − 3

Penyelesaian: a.

Koefisien 𝑥 dari 5𝑥 2 𝑦 + 3𝑥 adalah 3.

b.

Koefisien 𝑥 dari 2𝑥 2 + 6𝑥 − 3 adalah 6.

Note Bentuk aljabar adalah bentuk penulisan yang merupakan kombinasi antara angka (koefisien, konstanta, pangkat) dan huruf (variabel).

4.

Suku Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih. a.

Suku satu atau monomial adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih. Contoh: 3𝑥, 4𝑎2 , −2𝑎𝑏, ...

b.

Suku dua atau binomial adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih dan ditulis dalam bentuk paling sederhana. Contoh: 𝑎2 + 2, 𝑥 + 2𝑦, 3𝑥 2 − 5𝑥, ... Modul Pembelajaran Matematika

10

c.

Suku tiga atau trinomial adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih dan ditulis dalam bentuk paling sederhana. Contoh: 3𝑥 2 + 4𝑥 − 5, 2𝑥 + 2𝑦 − 𝑥𝑦, ...

d.

Suku banyak atau polinomial adalah bentuk aljabar yang tersusun atas lebih dari tiga suku.

5.

Suku Sejenis

dan

Suku Tidak Sejenis

Bentuk 3𝑥 dan 0,5𝑥 , 6𝑎𝑥 dan −2𝑎 𝑥, 5𝑥 2 dan 7𝑥 2 disebut suku-suku sejenis dalam 𝑥, sedangkan 9𝑥 dan 3𝑦, 2𝑥 dan 11𝑥𝑦 bukan suku-suku sejenis, biasa disebut suku-suku tak sejenis. Untuk lebih memahami istilah di atas, coba kalian perhatikan penjelasan tabel di bawah ini. No.

Suku

Sejenis/Tak Sejenis

a.

8𝑥, 6𝑥, dan 9𝑥

Sejenis

b.

4𝑦 2 , 3𝑦 2 , dan 8𝑦 2

Sejenis

c.

2𝑥𝑦 2 , 5𝑥 2 𝑦, dan 6𝑥 3 𝑦

Tak Sejenis

d.

4𝑝𝑞, 8𝑥𝑦, dan 5𝑎𝑏

Tak Sejenis

e.

6𝑥 2 𝑦, 2𝑥𝑦 2 𝑧, dan 4𝑥𝑦𝑧 2

Tak Sejenis



Pada (a) suku-suku sejenis karena variabelnya sama.



Pada (b) suku-suku sejenis karena variabel dan pangkat pada variabelnya sama.



Pada (c) suku-sukunya tidak sejenis karena pangkat pada variabelnya berbeda.



Pada (d) suku-sukunya tidak sejenis karena variabelnya berbeda.



Pada (e) suku-sukunya tidak sejenis karena variabel dan

Ingat!! Pangkat Suatu nilai yang diletakkan disebelah kanan atas suatu bilangan atau peubah (variabel), contoh: 𝑥 𝑛 , dibaca 𝑥 pangkat n dan mempunyai arti, 𝑥 dikalikan dengan dirinya sendiri sampai n kali.

pangkat variabelnya berbeda.


11

Note Suku-suku yang sejenis adalah suku-suku yang berbeda pada koefisiennya sedangkan variabel beserta pangkatnya sama.

LATIHAN 1 1. Tentukan nama suku dan koefisien 𝑎 dari suku-suku di bawah ini. a. 6𝑎 − 6

b. 4𝑎3 − 2𝑎2 − 7𝑎 + 6

c. 3𝑎3 − 2𝑎2 − 4𝑎 + 7

d. 6𝑎2 + 3𝑎

2. Pak Joko membeli dua karung beras untuk kebutuhan resepsi di rumahnya. Setelah dibawa pulang, istri Pak Joko merasa beras yang dibeli kurang. Kemudian Pak Joko membeli lagi sebanyak 8 kg. Nyatakan bentuk aljabar dari beras yang dibeli Pak Joko. 3. Tentukanlah suku, variabel, dan koefisien dari bentuk-bentuk aljabar berikut! b. 4𝑥 3 + 2𝑥

a. 12𝑥

c. 2𝑦 + 10𝑦 2 + 4𝑦 3

4. Sebuah pecahan jika penyebutnya ditambah tiga dan pembilangnya dikurangi empat 1

sama dengan − 7. Nyatakan bentuk aljabar dari pernyataan tersebut. 5. Pertanyaan Terbuka Buatlah suatu cerita yang bermakna bentuk aljabar 3𝑥 + 5. Perjelas makna variabel dari cerita yang kalian buat. 6. Pertanyaan Terbuka Tulislah dua bentuk aljabar yang masing-masing terdiri atas dua variabel! 7. Pertanyaan Terbuka Cobalah kamu tulis satu contoh dan satu non-contoh dari suku satu, suku dua, dan suku tiga. Jelaskan mengapa disebut contoh dan mengapa non-contoh!


12

Rangkuman 1.

Bentuk aljabar adalah bentuk penulisan yang merupakan kombinasi antara angka (koefisien, konstanta, pangkat) dan huruf (variabel).

2.

Istilah-istilah yang terdapat pada bentuk aljabar diantaranya variabel, konstanta, koefisien, suku, suku sejenis dan suku tidak sejenis.

3.

Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas. Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil a, b, c, ... , z.

4.

Suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel disebut konstanta.

5.

Koefisien pada bentuk aljabar adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

6.

Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

7.

Suku pada bentuk aljabar dibedakan menjadi 4 yaitu suku satu atau monomial, suku dua atau binomial, suku tiga atau trinomial, dan suku banyak atau polinomial (ditulis dalam bentuk paling sederhana).

8.

Suku-suku yang sejenis adalah suku-suku yang berbeda pada koefisiennya sedangkan variabel beserta pangkatnya sama.

Tes Formatif 1 Berilah tanda silang (X) pada salah satu jawaban a, b, c, atau d yang Anda anggap paling benar. 1.

Koefisien 𝑥 dari 4𝑥 2 + 3𝑥 + 5𝑦 2 adalah . . . . a. 3

c. 5

b. 4

d. 6 Modul Pembelajaran Matematika

13

2.

3.

4.

Pada bentuk aljabar 2𝑥 2 + 3𝑥𝑦 − 𝑦 2 terdapat . . . variabel. a. 1

c. 3

b. 2

d. 4

Suku dua terdapat pada bentuk aljabar . . . . a. 2𝑥 2 + 4𝑥 − 2

c. 4𝑥 2 − 𝑦 2

b. 3𝑥 2 − 𝑦 2 + 𝑥𝑦 − 5

d. 2𝑥 2

Pada bentuk aljabar 5𝑚2 𝑛 + 4𝑚2 − 5𝑛 + 8𝑚𝑛 − 6𝑚2 + 4𝑚2 𝑛2 , suku sejenisnya adalah. . . .

5.

6.

a. 8𝑚𝑛 dan 4𝑚2 𝑛2

c. 5𝑚2 𝑛 dan 8𝑚𝑛

b. 4𝑚2 dan −6𝑚2

d. −5𝑛 dan 8𝑚𝑛

Pada bentuk aljabar 4𝑝2 + 𝑞𝑟 − 5, yang merupakan konstanta adalah . . . . a. 𝑞

c. −5

b. 4

d. 2

Jumlah dua bilangan dua kurangnya dari hasil kalinya. Jika bilangan itu 𝑥 dan 𝑦, maka kalimat itu dapat ditulis dengan . . . .

7.

8.

9.

a. 𝑥 + 𝑦 − 2 = 𝑥. 𝑦

c. 𝑥 + 𝑦 = 𝑥. 𝑦 − 2

b. 𝑥 + 𝑦 − 2 = 𝑥. 𝑦 + 2

d. 𝑥 + 𝑦 + 2 = 𝑥. 𝑦

Bentuk aljabar 2𝑥 dan 2𝑥 2 + 𝑥 − 1 mempunyai suku . . . . a. 1 dan 2

c. 2 dan 3

b. 1 dan 3

d. 3 dan 4

Pada bentuk-bentuk aljabar berikut, yang memiliki dua suku sejenis adalah . . . . a. 3𝑎2 + 3𝑎𝑏 − 8𝑎𝑏 + 𝑏 2

c. 𝑎2 + 𝑎2 𝑏 − 𝑎𝑏 2 + 𝑏 2

b. 8𝑎2 + 8𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 2

d. 𝑎2 − 5𝑎2 𝑏 − 𝑎𝑏 2 + 𝑎2 𝑏 2 − 𝑏 2

Bentuk-bentuk aljabar berikut ini yang terdiri dari dua variabel adalah . . . . a. 2𝑥 2 + 3

c. 5𝑥 3 + 4𝑥

b. 8𝑦 + 11𝑦 2 + 3𝑦 3

d. 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8 Modul Pembelajaran Matematika

14

10. Anita membeli lima bungkus kue yang masing-masing seharga Rp 𝑥 rupiah. Kemudian Anita membeli permen seharga Rp 1.500,00 dan kerupuk seharga Rp 5.000,00. Jumlah uang yang harus dibayar Anita dapat ditulis dengan . . . . a. 5 + 𝑥 + 1500 + 5000

c. 5𝑥 + 1500 + 5000

b. 5 + 1500 + 5000

d. 5 − 𝑥 + 1500 + 5000

Umpan Balik dan Tindak Lanjut

Koreksi jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir modul pembelajaran ini. Hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1. Rumus: 𝐓𝐢𝐧𝐠𝐤𝐚𝐭 𝐏𝐞𝐧𝐠𝐮𝐚𝐬𝐚𝐚𝐧 =

𝐉𝐮𝐦𝐥𝐚𝐡 𝐣𝐚𝐰𝐚𝐛𝐚𝐧 𝐀𝐧𝐝𝐚 𝐲𝐚𝐧𝐠 𝐛𝐞𝐧𝐚𝐫 × 𝟏𝟎𝟎% 𝟏𝟎

90% - 100%

= baik sekali

80% - 89%

= baik

70% - 79%

= cukup

0% - 69%

= kurang

Jika Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, maka Anda dapat melanjutkan dengan Kegiatan Belajar 2. Bagus! Tetapi jika tingkat penguasaan Anda kurang dari 80%, maka Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 1, terutama pada bagian yang belum Anda kuasai.


15

Kegiatan Belajar 2

PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BENTUK ALJABAR Kompetensi Dasar 3.1


2.1

Menunjukkan sikap logis, kritis, analitik, konsisten dan teliti, bertanggung jawab, responsif, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah.


Mengenal sifat-sifat yang berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar.

3.1.2

Menentukan hasil operasi penjumlahan bentuk aljabar.

3.1.3

Menentukan hasil operasi pengurangan bentuk aljabar.

2.1.1

Mampu bersikap kritis, bertanggung jawab, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar.


Siswa dapat mengetahui sifat-sifat yang berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar.

3.1.2.1

Siswa dapat menentukan hasil operasi penjumlahan bentuk aljabar.

3.1.3.1

Siswa dapat menentukan hasil operasi pengurangan bentuk aljabar.

2.2.1.1

Siswa dapat bersikap kritis, bertanggung jawab, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar.


16

Cek Kemampuan 2 1.

Kurangkanlah 2𝑦 2 + 11𝑦 dari 𝑥 2 − 8𝑦 2 + 7!

2.

Hitunglah bentuk-bentuk aljabar di bawah ini. a. 3𝑥 − 4𝑦 + 8𝑥 a. 12𝑎 + 3𝑏 − 4𝑎 + 11𝑏 + 6

3. Lakukan operasi penjumlahan berikut. 3𝑥 2 − 3𝑦 2 dan 3𝑥𝑦 − 5𝑦 2 + 8𝑥 4.

Jika 𝐴 = −2𝑥 + 𝑦 dan 𝐵 = 3𝑥 − 4𝑦, tentukan 𝐴 − 𝐵 !

Langkah-langkah penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar adalah sebagai berikut.



Perhatikan suku-suku sejenis yang ada dalam bentuk aljabar.



Kumpulkan suku-suku sejenis.



Jumlahkan atau kurangkan koefisien dari suku yang sejenis.

Pada bagian ini, kamu akan mempelajari cara menjumlahkan dan mengurangkan suku-suku sejenis pada bentuk aljabar. Pada dasarnya, sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan yang berlaku pada bilangan riil, berlaku juga untuk penjumlahan dan pengurangan pada bentuk-bentuk aljabar, sebagai berikut.


17

a.

Sifat Komutatif 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 , dengan a dan b merupakan bentuk aljabar. Contoh 1: 2𝑥 + 3𝑥 = 3𝑥 + 2𝑥 5𝑥 = 5𝑥

sifat komutatif operasikan

b. Sifat Asosiatif 𝑎 + 𝑏 + 𝒄 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 , dengan a, b, dan c merupakan bentuk aljabar. Contoh 2: 3𝑥 + 4𝑥 + 2𝑥 = 3𝑥 + 4𝑥 + 2𝑥

c.

sifat asosiatif

7𝑥 + 2𝑥 = 3𝑥 + 6𝑥

operasikan

9𝑥 = 9𝑥

operasikan

Sifat Distributif i.

Sifat Distributif Penjumlahan 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 , dengan a, b, dan c merupakan bentuk aljabar. Contoh 3: 𝑥 3𝑥 + 4𝑥 = 𝑥. 3𝑥 + 𝑥. 4𝑥 𝑥. 7𝑥 = 3𝑥 2 + 4𝑥 2 7𝑥 2 = 7𝑥 2

ii.

sifat distributif penjumlahan operasikan operasikan

Sifat Distributif Pengurangan 𝑎 𝑏 − 𝑐 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 , dengan a, b, dan c merupakan bentuk aljabar. Contoh 4: 𝑥 3𝑥 − 4𝑥 = 𝑥. 3𝑥 − 𝑥. 4𝑥 𝑥. −𝑥 = 3𝑥 2 − 4𝑥 2 −𝑥 2 = −𝑥 2

sifat distributif pengurangan operasikan operasikan


18

d. Sifat Identitas 𝑎 + 0 = 𝑎 , dengan a merupakan bentuk aljabar dan 0 dikatakan sebagai identitas penjumlahan. Contoh 5: 2𝑥 + 0 = 2𝑥 e.

sifat identitas

Sifat Lawan Mengurangkan b dari a sama dengan menjumlahkan a dengan lawan dari b, ditulis 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏 , dengan a dan b merupakan bentuk aljabar. Contoh 6: 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 + −𝑦 karena + −𝑦 = −𝑦 8𝑥 − 2𝑥 = 8𝑥 + −2𝑥 karena + −2𝑥 = −2𝑥

Ingat !!!    

Perkalian antara positif dengan positif hasilnya positif. Perkalian antara positif dengan negatif hasilnya negatif. Perkalian antara negatif dengan positif hasilnya negatif. Perkalian antara negatif dengan negatif hasilnya positif.

Tas milik Ani berisi dua pensil dan enam buku. Temannya datang kemudian memasukkan satu pensil dan mengambil dua buku dari dalam tas Ani. Bagaimana keadaan isi tas Ani sekarang? Anda pasti menjawab: isi tas Ani sekarang adalah tiga pensil dan empat buku.


19

Dari permasalahan di atas dapat diperjelas sebagai berikut: Isi tas Ani semula

: 2 pensil + 6 buku

Setelah temannya datang

: 1 pensil – 2 buku

Isi tas Ani sekarang

: 3 pensil + 4 buku

Secara aljabar dapat ditulis

: 2𝑝 + 6𝑏 + 𝑝 − 2𝑏 = 3𝑝 + 4𝑏

Contoh 7: 1.

Selesaikan bentuk aljabar berikut! a.

9𝑚 + 2𝑚

b.

7𝑘 − 2𝑘

c.

−2𝑗 − 5ℎ + ℎ + 4𝑗

2.

Tentukan jumlah dari 3𝑥 + 4𝑦 dan 5𝑥 − 6𝑦 !

3.

Kurangkan 2𝑝 − 3𝑞 + 4𝑟 dari 3𝑞 + 4𝑟

Penyelesaian:

1.

a.

9𝑚 + 2𝑚 = 9 + 2 𝑚 = 11𝑚

b.

7𝑘 − 2𝑘 = 7 − 2 𝑘 = 5𝑘

c.

−2𝑗 − 5ℎ + ℎ + 4𝑗 = −2𝑗 + 4𝑗 − 5ℎ + ℎ

kumpulkan suku sejenis

= −2 + 4 𝑗 + −5 + 1 ℎ

kumpulkan koefisien suku sejenis

= 2𝑗 + −4 h

operasikan suku sejenis

= 2𝑗 − 4ℎ

sederhanakan Modul Pembelajaran Matematika

20

2.

3.

3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑥 − 6𝑦 = 3𝑥 + 4𝑦 + 5𝑥 − 6𝑦

jabarkan

= 3𝑥 + 5𝑥 + 4𝑦 − 6𝑦

kumpulkan suku sejenis

= 3+5 𝑥+ 4−6 𝑦


= 8𝑥 − 2𝑦


3𝑞 + 4𝑟 − 2𝑝 − 3𝑞 + 4𝑟 = 3𝑞 + 4𝑟 − 2𝑝 + 3𝑞 − 4𝑟 = −2𝑝 + 3𝑞 + 3𝑞 + 4𝑟 − 4𝑟

jabarkan kumpulkan suku sejenis

= −2𝑝 + 3 + 3 𝑞 + 4 − 4 𝑟


= −2𝑝 + 6𝑞


LATIHAN 2 1.

Tentukan hasil penjumlahan: a.

4𝑝 + 8 dan 5𝑝 − 6

b. (4𝑦 3 + 5𝑦 + 6) dan 7𝑦 3 − 5𝑦 2 − 3𝑦 + 1 2.

3.

Kurangkanlah: a.

4𝑤 − 6 dari 7𝑦 − 3

b.

−4𝑟𝑡 + 5𝑟𝑤 oleh (8𝑟𝑡 − 3𝑟𝑤)

Jika 𝐴 = −2𝑥 + 𝑦 dan 𝐵 = 3𝑥 − 4𝑦, tentukan: a.

A+B

b.

B–A

4.

Tentukanlah hasil dari 6𝑎5 𝑏 − 2𝑎 − 4𝑎5 𝑏 + 4𝑎𝑏 3 − 3𝑎2 𝑏 2 + 9𝑎𝑏 3 − 2𝑎𝑏 !

5.

Sederhanakan bentuk aljabar di bawah ini. a. b.

6.

3𝑥 2 − 2𝑥 + 5 + 𝑥 2 + 4𝑥 − 3 10𝑦 2 − 6 − 4𝑦 2 + 3𝑦 − 2

Pertanyaan Terbuka Coba temukan dua bentuk aljabar yang hasil penjumlahan atau pengurangannya adalah 3𝑥 − 8 . Modul Pembelajaran Matematika

21

Rangkuman 1.

Langkah-langkah penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar yaitu: a. Perhatikan suku-suku sejenis yang ada dalam bentuk aljabar. b. Kumpulkan suku-suku sejenis. c. Jumlahkan atau kurangkan koefisien dari suku yang sejenis.

2.

Sifat-sifat yang berlaku pada operasi penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar: a. Sifat Komutatif 𝑎 + 𝑏 = 𝑏 + 𝑎 , dengan a dan b merupakan bentuk aljabar. b. Sifat Asosiatif 𝑎 + 𝑏 + 𝒄 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 , dengan a, b, dan c merupakan bentuk aljabar. c. Sifat Distributif  Sifat Distributif Penjumlahan 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 , dengan a, b, dan c merupakan bentuk aljabar.  Sifat Distributif Pengurangan 𝑎 𝑏 − 𝑐 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐 , dengan a, b, dan c merupakan bentuk aljabar. d. Sifat Identitas 𝑎 + 0 = 𝑎 , dengan a merupakan bentuk aljabar dan 0 dikatakan sebagai identitas penjumlahan. e.

Sifat Lawan Mengurangkan b dari a sama dengan menjumlahkan a dengan lawan dari b, ditulis 𝑎 − 𝑏 = 𝑎 + −𝑏 , dengan a dan b merupakan bentuk aljabar.


Jumlah dari 3𝑎 − 2𝑏 + 5𝑐 dengan 4𝑎 − 5𝑏 + 7𝑐 adalah . . . . a. 7𝑎 − 3𝑏 + 12𝑐

c. 7𝑎 − 2𝑏 + 12𝑐

b. 7𝑎 − 7𝑏 + 12𝑐

d. 7𝑎 − 7𝑏 − 12𝑐 Modul Pembelajaran Matematika

22

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Hasil pengurangan 2𝑎 + 3𝑏 − 𝑐 dari 3𝑎 − 2𝑏 + 𝑐 adalah . . . . a. −𝑎 + 5𝑏 − 2𝑐

c. 𝑎 − 5𝑏 + 2𝑐

b. −𝑎 − 5𝑏 + 2𝑐

d. 𝑎 − 𝑏 − 2𝑐

Jika 𝐴 = 𝑎2 − 2𝑎 dan 𝐵 = 2 − 3𝑎2 , tentukan A - B . . . . a. −4𝑎 + 2𝑎 + 2

c. 2𝑎2 + 2𝑎 − 2

b. 4𝑎2 − 2𝑎 − 2

d. 𝑎2 − 2𝑎 + 2

Bentuk sederhana dari 2𝑝 − 3𝑝2 + 2𝑞 − 5𝑞 2 + 3𝑝 adalah . . . . a. 3𝑝2 + 5𝑝 − 5𝑞 2 + 2𝑞

c. 3𝑝2 + 5𝑝 + 5𝑞 2 − 2𝑞

b. −3𝑝2 − 5𝑝 − 5𝑞 2 + 2𝑞

d. −3𝑝2 + 5𝑝 − 5𝑞 2 + 2𝑞

9𝑝 + 8𝑞 − 𝑟 + 12𝑝 − 3𝑞 + 5𝑟 = . . . . a. 21𝑝 + 11𝑞 + 6𝑟

c. 21𝑝 + 11𝑞 + 4𝑟

b. 21𝑝 + 5𝑞 + 4𝑟

d. 21𝑝 + 5𝑞 + 6𝑟

11𝑥 − 13𝑦 + 𝑧 − 10𝑥 − 13𝑦 − 𝑧 = . . . . a. 𝑥 − 26𝑦 + 2𝑧

c. 𝑥 + 2𝑧

b. 𝑥 − 26𝑦

d. 𝑥

Hasil penyederhanaan dari 3𝑥 2 + 4𝑥 − 2𝑥𝑦 − 2𝑥 2 − 𝑥 + 2𝑥𝑦 adalah . . . . a. 𝑥 2 + 3𝑥

c. 5𝑥 2 − 5𝑥

b. 𝑥 2 − 3𝑥

d. 5𝑥 2 + 5𝑥

Jika 𝑎 = 5 dan 𝑏 = −2, nilai dari 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 adalah . . . . a. −30

c. −20

b. 30

d. 20

Jika 𝑎 = 2𝑥 + 3𝑦 , 𝑏 = 7𝑦 − 𝑥, dan 𝑐 = −9𝑧 maka tentukan nilai dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 . . . . a. −𝑥 + 10𝑦 + 9𝑧

c. 𝑥 + 10𝑦 − 9𝑧

b. −𝑥 − 10𝑦 + 9𝑧

d. 𝑥 + 10𝑦 + 9𝑧


23

10. Jumlah dari 2𝑝 + 3𝑞 − 4 dan 𝑝 − 3𝑞 + 2 adalah . . . . a. 3𝑝 − 2

c. 3𝑝 − 6

b. 2𝑝 − 6

d. 2𝑝 − 2

Umpan Balik dan Tindak Lanjut Koreksi jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir modul pembelajaran ini. Hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2. Rumus: 𝐓𝐢𝐧𝐠𝐤𝐚𝐭 𝐏𝐞𝐧𝐠𝐮𝐚𝐬𝐚𝐚𝐧 =


90% - 100%

= baik sekali

80% - 89%

= baik

70% - 79%

= cukup

0% - 69%

= kurang



24

Kegiatan Belajar 3

PERKALIAN BENTUK ALJABAR Kompetensi Dasar 3.1


2.1



Mengenal sifat-sifat yang berlaku pada operasi perkalian bentuk aljabar.

3.1.2

Menentukan hasil operasi perkalian bentuk aljabar.

2.1.1

Mampu bersikap kritis, bertanggung jawab, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan operasi perkalian bentuk aljabar.


Siswa dapat mengetahui sifat-sifat yang berlaku pada operasi perkalian bentuk aljabar.

3.1.2.1

Siswa dapat menentukan hasil operasi perkalian bentuk aljabar.

2.1.1.1

Siswa dapat bersikap kritis, bertanggung jawab, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan operasi perkalian bentuk aljabar.


25

Cek Kemampuan 3 1.

Selesaikan perkalian berikut. a. 2 𝑥 + 1 b. 3𝑥 𝑥 − 2 c.

𝑥+2 𝑥−1

d. 5𝑥𝑦 𝑥 − 3𝑦 + 5 Panjang sisi suatu persegi adalah 𝑥 + 4 cm. Tentukan keliling dan luas persegi

2.

tersebut dalam variabel 𝑥. 3.

Jabarkan bentuk perkalian berikut. a.

𝑎−8 𝑎+3

b. 3 𝑥 + 5 + 5 𝑥 − 3

Sifat-sifat Yang Berlaku Pada Operasi Perkalian Bentuk Aljabar 1.

Sifat Komutatif 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎 , dimana 𝑎 dan 𝑏 merupakan bentuk aljabar.

2.

Sifat Asosiatif 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 , dimana 𝑎, 𝑏, dan c merupakan bentuk aljabar.

3.

Sifat Distributif 𝑎 × 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 + 𝑎 × 𝑐 , dimana 𝑎, 𝑏, dan c merupakan bentuk aljabar. 𝑎 × 𝑏 − 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 − 𝑎 × 𝑐 , dimana 𝑎, 𝑏, dan c merupakan bentuk aljabar. Hasil perkalian bilangan: 

positif × positif = positif



positif × negatif = negatif



negatif × positif = negatif



negatif × negatif = positif Modul Pembelajaran Matematika

26

A. Perkalian Suku Satu Dengan Suku Dua Perkalian suku satu dengan suku dua dapat diselesaikan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan atau pengurangan. Coba kalian ingat kembali sifat distributif pada bilangan bulat. Jika 𝑎, 𝑏, dan 𝑐 bilangan bulat maka berlaku 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 atau 𝑎 𝑏 − 𝑐 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐. Sifat distributif ini dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan operasi perkalian pada bentuk aljabar. Untuk memudahkan memahami perkalian suku satu dengan suku dua kerjakan dahulu Lab Mini berikut ini.

Lab Mini Perkalian Suku Satu Dengan Suku Dua Bahan: Ubin Aljabar

Ubin aljabar dinamai berdasarkan luas suatu persegi atau persegi panjang. Luas suatu persegi panjang merupakan hasil kali dari panjang dan lebarnya.

𝒙

𝒙𝟐

𝒙

𝒙 𝟏

𝒙

𝟏

𝟏 𝟏

Kamu dapat menggunakan ubin aljabar untuk memodelkan persegi panjang yang lebih kompleks. Persegi panjang ini akan membantu kamu memahami bagaimana menentukan hasil kali suku dua yang bentuknya sederhana. Panjang dan lebar masing-masing menyatakan faktor yang dikalikan.


27

Lab Mini Lanjutan Tugasmu! Bagaimana menentukan 𝑥 𝑥 + 2 . Caranya adalah seperti berikut. 

Buatlah sebuah persegi panjang dengan panjang 𝑥 + 2 dan lebar 𝑥. Gunakan ubin aljabar untuk menandai faktor yang dikalikan.



Gunakan tanda itu sebagai pedoman untuk mengisi persegi panjang dengan ubin aljabar. 𝒙

𝟏

𝟏

𝒙

Tentukan luas persegi panjang itu dengan menggunakan dua cara. Cara I Menjumlahkan luas ubin-ubin aljabar yang menutupi persegi panjang. Cara II Menggunakan rumus luas suatu persegi panjang dan menerapkan sifat ditributif perkalian terhadap penjumlahan. Bandingkan jawaban yang kamu peroleh dari kedua cara di atas.


28

Perkalian suku satu dengan suku dua dapat dimodelkan sebagai suatu persegi panjang yang di bentuk dengan menggunakan ubin aljabar. 

Bentuk aljabar 𝑥 𝑥 + 2

dimodelkan sebagai persegi panjang yang

panjangnya 𝑥 + 2, dan lebarnya 𝑥. 

Hasil dari 𝑥 𝑥 + 2 menyatakan luas persegi panjang dan dapat ditentukan dengan dua cara. Cara I Jumlahkan luas ubin-ubin aljabar pembentuk persegi panjang. Yaitu: 𝑥 2 + 𝑥 + 𝑥 = 𝑥 2 + 2𝑥 Cara II Menerapkan sifat distributif: 𝑥 𝑥 + 2 = 𝑥 𝑥 + 𝑥 2 = 𝑥 2 + 2𝑥

𝒙

𝒙

𝟏

𝟏

𝒙𝟐

𝒙

𝒙

𝒙+𝟐

𝒙

𝒙𝟐

𝒙

𝒙

Contoh 1: 1.

Agus mempunyai sebuah taman yang ukuran panjang setiap sisinya 𝑥 meter. Jika Agus bermaksud memperluas taman itu dengan panjang menjadi dua kali dari ukuran semula dan lebarnya ditambah 3 meter. Berapakah luas taman yang baru tersebut?

2.

Selesaikan bentuk perkalian berikut! a.

2 3𝑥 − 5

b.

3 𝑥+5 +5 𝑥−3 Modul Pembelajaran Matematika

29

Penyelesaian: 1.

Taman Agus awalnya berbentuk persegi karena mempunyai panjang sisi yang sama yaitu 𝑥 meter. Setelah diperluas, panjangnya menjadi dua kali dari ukuran semula yaitu 𝑥 × 2 = 2𝑥, dan lebarnya ditambah 3 meter yaitu 𝑥 + 3. Maka luas taman Agus yang baru sama dengan luas persegi panjang. Luas = panjang x lebar = 2𝑥 𝑥 + 3 = 2𝑥 𝑥 + 2𝑥 3 = (2𝑥 2 + 6𝑥) satuan luas Selain dengan cara tersebut, kita bisa menentukan luas taman Agus dengan cara perkalian bersusun seperti berikut. 𝑥+3 2𝑥

×

2𝑥 2 + 6𝑥 Jadi, luas taman Agus yang baru adalah 2𝑥 2 + 6𝑥 satuan luas 2.

a.

2 3𝑥 − 5 = 2 3𝑥 − 2 5 = 6𝑥 − 10

b.

3 𝑥+5 +5 𝑥−3 =3 𝑥 +3 5 +5 𝑥 −5 3 = 3𝑥 + 15 + 5𝑥 − 15 = 3𝑥 + 5𝑥 + 15 − 15 = 8𝑥

B. Perkalian Suku Dua Dengan Suku Dua Perkalian suku dua dengan suku dua dapat dijabarkan sebagai berikut. 1.

Skema

𝒂 + 𝒃 × 𝒄 + 𝒅 = 𝒂𝒄 + 𝒂𝒅 + 𝒃𝒄 + 𝒃𝒅 Modul Pembelajaran Matematika

30

2.

Sifat Distributif

𝒂+𝒃 × 𝒄+𝒅 =𝒂 𝒄+𝒅 +𝒃 𝒄+𝒅 Sifat-sifat distributif dapat digunakan untuk menjabarkan perkalian suku dua, yakni sebagai berikut. 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 =𝑎 𝑎+𝑏 +𝑏 𝑎+𝑏 = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑎+𝑏 𝑎−𝑏 =𝑎 𝑎−𝑏 +𝑏 𝑎−𝑏

Catatan: Bentuk penjabaran perkalian suku dua dengan suku tiga

= 𝑎2 − 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 − 𝑏 2 = 𝑎2 − 𝑏 2 𝑎−𝑏 𝑎−𝑏 =𝑎 𝑎−𝑏 −𝑏 𝑎−𝑏

atau

lebih,

dilakukan

dapat dengan

juga sifat

distributif.

= 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

Contoh 2: 1.

2.

Tentukan hasil perkalian bentuk aljabar berikut. a.

𝑥+2 𝑥+3

b.

2𝑥 + 3 𝑥 2 + 2𝑥 − 5

Kebun Pak Ahmad berbentuk persegi panjang dengan panjang 5𝑥 + 4 m dan lebar 2𝑥 + 1 m. Tentukan keliling dan luas dari kebun Pak Ahmad dalam variabel 𝑥.


31

Penyelesaian: 1.

a. Cara ( i ) dengan sifat distributif. 𝑥+2 𝑥+3 =𝑥 𝑥+3 +2 𝑥+3 =𝑥 𝑥 +𝑥 3 +2 𝑥 +2 3 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 2𝑥 + 6 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 Cara ( ii ) dengan skema. 𝑥 + 2 𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 2𝑥 + 6 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 Cara ( iii ) dengan ubin aljabar yaitu peragaan mencari luas persegi panjang dengan panjang 𝑝 = 𝑥 + 3 dan 𝑙 = 𝑥 + 2 .

𝒙

𝒙

𝟑

𝒙+𝟐 𝒙+𝟑

𝟐

𝒙

𝟑

𝒙

𝒙𝟐

𝟑𝒙

𝟐

𝟐𝒙

𝟔

=

𝑥 + 2 𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 2𝑥 + 6 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 6 b.

Cara ( i ) dengan sifat distributif. 2𝑥 + 3 𝑥 2 + 2𝑥 − 5 = 2𝑥 𝑥 2 + 2𝑥 − 5 + 3 𝑥 2 + 2𝑥 − 5 = 2𝑥 3 + 4𝑥 2 − 10𝑥 + 3𝑥 2 + 6𝑥 − 15 = 2𝑥 3 + 4𝑥 2 + 3𝑥 2 − 10𝑥 + 6𝑥 − 15 = 2𝑥 3 + 7𝑥 2 − 4𝑥 − 15


32

Cara ( ii ) dengan skema.

2𝑥 + 3 𝑥 2 + 2𝑥 − 5 = 2𝑥 3 + 4𝑥 2 − 10𝑥 + 3𝑥 2 + 6𝑥 − 15 = 2𝑥 3 + 4𝑥 2 + 3𝑥 2 − 10𝑥 + 6𝑥 − 15 = 2𝑥 3 + 7𝑥 2 − 4𝑥 − 15 2.

Kebun Pak Ahmad berbentuk persegi panjang dengan panjang 5𝑥 + 4 m dan lebar 2𝑥 + 1 m. Keliling = 2𝑝 + 2𝑙 = 2 5𝑥 + 4 + 2 2𝑥 + 1 = 2 5𝑥 + 2 4 + 2 2𝑥 + 2 1 = 10𝑥 + 8 + 4𝑥 + 2 = 10𝑥 + 4𝑥 + 8 + 2 = 14𝑥 + 10 m Luas

=𝑝×𝑙 = 5𝑥 + 4 2𝑥 + 1 = 5𝑥 2𝑥 + 1 + 4 2𝑥 + 1 = 5𝑥 2𝑥 + 5𝑥 1 + 4 2𝑥 + 4 1 = 10𝑥 2 + 5𝑥 + 8𝑥 + 4 = 10𝑥 2 + 13𝑥 + 4 m2

Jadi, keliling dan luas dari kebun Pak Ahmad adalah 14𝑥 + 10 dan 10𝑥 2 + 13𝑥 + 4 satuan.


33

LATIHAN 3 1.

Nyatakan luas bangun datar berikut dalam bentuk aljabar. a.

b. 𝒂

𝟑𝒂

𝒂

𝒂 𝟑𝒃 𝒂 c. 𝟐𝒔

𝒕

𝟑𝒔

2.

Tentukan nilai 𝑟 pada persamaan bentuk aljabar 3𝑎 + 6 2𝑎 − 6 = 𝑟𝑎2 − 6𝑎 − 36.

3.

Tentukan hasil kali dari bentuk-bentuk aljabar berikut. a. 6 2𝑦 − 10

4.

b.

𝑥 + 5 5𝑥 − 1

c.

7 − 2𝑥 2𝑥 − 7

Pertanyaan Terbuka Kebun Pak Anto berbentuk persegi panjang dengan luas 6𝑥 2 + 6𝑥 cm2. Tulislah bentuk aljabar yang menyatakan panjang dan lebar dari kebun Pak Anto!

5.

Jika 𝐴 = 2𝑎 + 3𝑏 + 4𝑐 , 𝐵 = 4𝑎 − 3𝑏 − 𝑐 . Hitunglah 2𝐴 + 𝐵!


34

Rangkuman 1.

Sifat-sifat yang berlaku pada operasi perkalian bentuk aljabar yaitu: a.

Sifat Komutatif 𝑎 × 𝑏 = 𝑏 × 𝑎 , dimana 𝑎 dan 𝑏 merupakan bentuk aljabar.

c.

Sifat Asosiatif 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 × 𝑐 , dimana 𝑎, 𝑏, dan c merupakan bentuk aljabar.

c.

Sifat Distributif 𝑎 × 𝑏 + 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 + 𝑎 × 𝑐 , dimana 𝑎, 𝑏, dan c merupakan bentuk aljabar. 𝑎 × 𝑏 − 𝑐 = 𝑎 × 𝑏 − 𝑎 × 𝑐 , dimana 𝑎, 𝑏, dan c merupakan bentuk aljabar.

2.

3.

Hasil perkalian bilangan: 

positif × positif = positif



positif × negatif = negatif



negatif × positif = negatif



negatif × negatif = positif

Perkalian suku satu dengan suku dua dapat diselesaikan menggunakan sifat distributif sebagai berikut. 𝑎 𝑏 + 𝑐 = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑐 atau 𝑎 𝑏 − 𝑐 = 𝑎𝑏 − 𝑎𝑐.

4.

Perkalian suku dua dengan suku dua dapat diselesaikan dengan skema atau sifat distributif.

5.

Skema

: 𝑎 + 𝑏 × 𝑐 + 𝑑 = 𝑎𝑐 + 𝑎𝑑 + 𝑏𝑐 + 𝑏𝑑

Distributif

: 𝑎+𝑏 × 𝑐+𝑑 =𝑎 𝑐+𝑑 +𝑏 𝑐+𝑑

Bentuk penjabaran perkalian suku dua dengan suku tiga atau lebih, dapat dilakukan dengan sifat distributif.


35


2.

3.

4.

5.

6.

7.

Bentuk paling sederhana dari 4 2𝑥 − 5𝑦 − 5 𝑥 + 3𝑦 adalah . . . . a. 3𝑥 − 2𝑦

c. 3𝑥 − 17𝑦

b. 3𝑥 − 5𝑦

d. 3𝑥 − 35𝑦

Jika 𝑝 = 4𝑥 2 + 3𝑥 dan 𝑞 = 5𝑥 − 𝑥 2 maka 𝑝 − 2𝑞 = . . . . a. 2𝑥 2 − 7𝑥

c. 4𝑥 2 − 7𝑥

b. 3𝑥 2 − 7𝑥

d. 6𝑥 2 − 7𝑥

Bentuk sederhana dari −𝑎 5𝑎 + 3𝑏 + 15 adalah . . . . a. 5𝑎2 − 3𝑎𝑏 + 15𝑎

c. −5𝑎2 − 3𝑎𝑏 − 15𝑎

b. 5𝑎2 + 3𝑎𝑏 − 15𝑎

d. −5𝑎2 − 3𝑎𝑏 + 15𝑎

Hasil dari 2𝑥 + 3 3𝑥 − 5 adalah . . . . a. 6𝑥 2 − 𝑥 − 15

c. 6𝑥 2 − 19𝑥 − 15

b. 6𝑥 2 + 𝑥 − 15

d. 6𝑥 2 + 11𝑥 − 15

Bentuk 3𝑥 𝑥 − 3 − 2𝑥 𝑥 + 1 + 2𝑥 − 2 dapat disederhanakan menjadi . . . . a. 𝑥 2 − 9𝑥 − 2

c. −3𝑥 2 − 9𝑥 − 2

b. 𝑥 2 − 3𝑥 − 2

d. −5𝑥 2 − 3𝑥 − 2

Jika −3 𝑦 − 2𝑥 + 9 𝑦 + 2𝑥 = 𝑏𝑦 + 𝑎𝑥 , maka nilai dari 𝑎 + 𝑏 = . . . . a. 24

c. 30

b. 28

d. 34

Bentuk sederhana dari 7𝑚𝑛2 × 8𝑚2 𝑛4 adalah . . . . a. 40 𝑚2 𝑛3

c. 46 𝑚3 𝑛6

b. 36 𝑚2 𝑛3

d. 56 𝑚3 𝑛6 Modul Pembelajaran Matematika

36

8.

Perhatikan gambar persegi panjang di bawah ini! 𝑥 cm

2𝑥 + 1 cm Jika 𝑥 = 3 , maka luasnya adalah . . . cm2

9.

a. 10

c. 20

b. 15

d. 21

Panjang suatu persegi panjang adalah 2𝑥 + 4 cm dan lebarnya 2𝑥 − 1 cm. Jika kelilingnya 70 cm, maka tentukan nilai 𝑥 . . . . a. 6

c. 7

b. 8

d. 9

10. Jika 𝐴 = 2𝑎 + 3𝑏 + 4𝑐 , 𝐵 = 4𝑎 − 3𝑏 − 𝑐, dan 𝐶 = 2𝑎 − 𝑏 − 𝑐 , maka hitunglah 2𝐴 + 3𝐵 − 𝐶 . . . . a. −14𝑎 − 2𝑏 + 6𝑐

c. −14𝑎 + 2𝑏 + 6𝑐

b. 14𝑎 − 2𝑏 + 6𝑐

d. 14𝑎 + 2𝑏 − 6𝑐


Koreksi jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 3 yang terdapat di bagian akhir modul pembelajaran ini. Hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus berikut ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 3.


37

Rumus: 𝐓𝐢𝐧𝐠𝐤𝐚𝐭 𝐏𝐞𝐧𝐠𝐮𝐚𝐬𝐚𝐚𝐧 =


90% - 100%

= baik sekali

80% - 89%

= baik

70% - 79%

= cukup

0% - 69%

= kurang



38

Kegiatan Belajar 4

PERPANGKATAN BENTUK ALJABAR Kompetensi Dasar 3.1


2.1



Mengenal sifat-sifat yang berlaku pada operasi perpangkatan bentuk aljabar.

3.1.2

Menentukan hasil operasi perpangkatan bentuk aljabar.

2.1.1

Mampu bersikap kritis, bertanggung jawab, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan operasi perpangkatan bentuk aljabar.


Siswa dapat mengetahui sifat-sifat yang berlaku pada operasi perpangkatan bentuk aljabar.

3.1.2.1

Siswa dapat menentukan hasil operasi perpangkatan bentuk aljabar.

2.1.1.1

Siswa dapat bersikap kritis, bertanggung jawab, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan operasi perpangkatan bentuk aljabar.


39

Cek Kemampuan 4 1.

Jika 𝑝 = 3 , 𝑞 = 2, dan 𝑟 = −6 , maka nilai dari 𝑝2 − 𝑞𝑟

2.

Tentukan hasil pemangkatan berikut ini.

2

adalah . . .

2

a.

2𝑎 + 𝑏

b.

𝑎−𝑏

2

c.

𝑎+𝑏

3

3.

Bentuk sederhana dari −3𝑥 − 𝑦

4.

Jika 𝑥 + 𝑦

2

2

− 2𝑦 + 2𝑥

2

adalah . . .

= 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦 2 , maka nilai dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

5

adalah . . .

Sifat-sifat Perpangkatan Bentuk Aljabar Operasi perpangkatan merupakan hasil perkalian berulang dari bilangan yang dipangkatkan. 𝒂𝟐 = 𝒂 × 𝒂 𝒂𝒏 = 𝒂 × 𝒂 × 𝒂 × ⋯ × 𝒂 n faktor 𝒂𝟐 × 𝒂𝟑 = 𝒂𝟐+𝟑 𝒂𝒎 × 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒏 𝒂𝟐 𝒂𝒎

𝟑

= 𝒂𝟐×𝟑

𝒏

= 𝒂𝒎×𝒏

𝒂𝒎 : 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎−𝒏 𝒂𝒃

𝟐

= 𝒂𝒃 × 𝒂𝒃

𝒂+𝒃

𝟐

= 𝒂+𝒃 𝒂+𝒃

𝒂−𝒃

𝟐

= 𝒂−𝒃 𝒂−𝒃


40

A. Perpangkatan Suku Satu Coba kalian ingat kembali operasi perpangkatan pada bilangan bulat. Operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalian berulang dengan unsur yang sama. Untuk sebarang bilangan bulat 𝑎, berlaku: 𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × ⋯ × 𝑎 Sebanyak 𝑛 faktor

Sekarang kalian akan mempelajari operasi perpangkatan pada bentuk aljabar. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku satu, perlu diperhatikan perbedaan antara 3𝑥 2 , 3𝑥 − 3𝑥

2

, dan −3𝑥

2

2

,

sebagai berikut.

a.

3𝑥 2

= 3 × 𝑥 × 𝑥 = 3𝑥 2

b.

3𝑥

c.

− 3𝑥

2

= − 3𝑥 × 3𝑥

d.

−3𝑥

2

= −3𝑥 −3𝑥 = 9𝑥 2

2

= 3𝑥 × 3𝑥 = 9𝑥 2 = −9𝑥 2

Contoh 1 Tentukan: a. 8𝑎 2 b.

b. c.

−9𝑎𝑏

2

2

4𝑝 𝑞

d. − 3𝑝𝑞

−9𝑎𝑏

2

= −9𝑎𝑏 × −9𝑎𝑏

2

= 81𝑎2 𝑏 2

4

c.

4𝑝2 𝑞

2

= 4𝑝2 𝑞 × 4𝑝2 𝑞 = 16𝑝4 𝑞 2

Penyelesaian: a.

8𝑎

2

= 8𝑎 × 8𝑎 = 64𝑎

2

d. − 3𝑝𝑞

3

= − 3𝑝𝑞 × 3𝑝𝑞 × 3𝑝𝑞 = −27𝑝3 𝑞 3


41

B. Perpangkatan Suku Dua Untuk menentukan perpangkatan pada bentuk aljabar suku dua, perhatikan uraian berikut. 𝑎+𝑏

1

=

𝑎+𝑏

koefisien 𝑎 dan 𝑏 adalah 1 1 𝑎+𝑏

2

=

𝑎+𝑏 𝑎+𝑏

=

𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏 2

=

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

koefisien 𝑎2 , 𝑎𝑏, dan 𝑏 2 adalah 1 2 1 𝑎+𝑏

3

=

𝑎+𝑏 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏

=

𝑎 + 𝑏 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

=

𝑎3 + 2𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 + 𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏 2 + 𝑏 3

=

𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3

koefisien 𝑎3 , 𝑎2 𝑏 , 𝑎𝑏 2 , dan 𝑏 3 adalah 1 3 3 1 𝑎+𝑏

4

2

𝑎+𝑏

2

=

𝑎+𝑏

=

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

=

𝑎4 + 2𝑎3 𝑏 + 𝑎2 𝑏 2 + 2𝑎3 𝑏 + 4𝑎2 𝑏 2 + 2𝑎𝑏 3 + 𝑎2 𝑏 2 + 2𝑎𝑏 3 + 𝑏 4

=

𝑎4 + 4𝑎3 𝑏 + 6𝑎2 𝑏 2 + 4𝑎𝑏 3 + 𝑏 4

koefisien 𝑎4 , 𝑎3 𝑏 , 𝑎2 𝑏 2 , 𝑎𝑏 3 , dan 𝑏 4 adalah 1 4 6 4 1 Demikian seterusnya untuk 𝑎 + 𝑏

𝑛

dengan 𝑛 bilangan asli. Berdasarkan uraian tersebut,

dapat disimpulkan koefisien-koefisien 𝑎 + 𝑏

𝑛

membentuk barisan segitiga pascal seperti

berikut. Modul Pembelajaran Matematika

42

𝟏

Merupakan penjumlahan

𝟏

+

+ Merupakan

𝟏

penjumlahan 1 dan 3

𝟏

𝟏

+

𝟓

+ 𝟔

+

+

1 dan 1

𝟏

+ 𝟑

+

𝟒

+

+

+

𝟑

+

𝟏

𝟐

+

+

𝟏

+

𝟏𝟎

+

+ 𝟏𝟎

𝟏

+ 𝟒 +

+

𝟏

𝟓

𝟏

Hubungan antara segitiga pascal dengan perpangkatan suku dua bentuk aljabar adalah sebagai berikut. 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏

𝟐 𝟑

𝟒 𝟓

𝟏 𝟏 𝟑 𝟔

𝟏𝟎

𝟏 𝟒

𝟏𝟎

𝟏 𝟓

𝟏

Sebelumnya, kamu telah mengetahui bahwa bentuk aljabar 𝑎 + 𝑏

koefisien 𝑎 + 𝑏

0


1


2


3


4


5

2

dapat di uraikan menjadi

𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 . Jika koefisien-koefisiennya dibandingkan dengan baris ketiga pola segitiga pascal, hasilnya pasti sama, yaitu 1, 2, 1. Ini berarti, bentuk aljabar 𝑎 + 𝑏

2

mengikuti pola

segitiga pascal. Sekarang, perhatikan variabel pada bentuk 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 . Semakin ke kanan, pangkat 𝑎 semakin berkurang (𝑎2 kemudian 𝑎). Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat 𝑏 semakin bertambah (𝑏 kemudian 𝑏 2 ).


43

𝑛

Perpangkatan bentuk aljabar 𝑎 − 𝑏

dengan 𝑛 bilangan asli juga mengikuti pola segitiga

pascal. Akan tetapi, tanda setiap koefisiennya selalu berganti dari (−) ke (+), begitu seterusnya. Pelajarilah uraian berikut. 𝑎−𝑏

2

= 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

𝑎−𝑏

3

= 𝑎3 − 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 − 𝑏 3

𝑎−𝑏

4

= 𝑎4 − 4𝑎3 𝑏 + 6𝑎2 𝑏 2 − 4𝑎𝑏 3 + 𝑏 4

𝑎−𝑏

5

= 𝑎5 − 5𝑎4 𝑏 + 10𝑎3 𝑏 2 − 10𝑎2 𝑏 3 + 5𝑎𝑏 4 − 𝑏 5

Contoh 2 Uraikan perpangkatan bentuk-bentuk aljabar berikut. 2

a.

𝑥+5

b.

2𝑥 + 3

4

4

c.

𝑥−2

d.

𝑥 + 4𝑦

3

Penyelesaian: a.

Dengan ( i ) sifat distributif perkalian. 𝑥+5

2

= 𝑥+5 𝑥+5 =𝑥 𝑥+5 +5 𝑥+5 =𝑥 𝑥 +𝑥 5 +5 𝑥 +5 5 = 𝑥 2 + 5𝑥 + 5𝑥 + 25 = 𝑥 2 + 10𝑥 + 25

Dengan ( ii ) penerapan segitiga pascal. Bilangan yang digunakan pada segitiga pascal adalah 1, 2, 1 karena pangkat dua. Kalikan bilangan 1, 2, dan 1 dengan suku-suku pada bentuk aljabar 𝑥 + 5. 𝑥+5

2

=1 𝑥

2

5

0

+2 𝑥

1

5

1

+1 𝑥

0

5

2

= 1 𝑥 2 1 + 2 𝑥 5 + 1 1 52 = 𝑥 2 + 10𝑥 + 25 Semakin ke kanan, pangkat 𝑥 semakin berkurang. Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat dari 5 semakin bertambah. Pangkat terbesarnya dua, dan pangkat terkecilnya nol.


44

lanjutan contoh 2 Penyelesaian: b.

Dengan ( i ) sifat distributif perkalian 2𝑥 + 3

4

= 2𝑥 + 3

2

× 2𝑥 + 3

2

= 4𝑥 2 + 12𝑥 + 9 × 4𝑥 2 + 12𝑥 + 9 = 16𝑥 4 + 48𝑥 3 + 36𝑥 2 + 48𝑥 3 + 144𝑥 2 + 108𝑥 + 36𝑥 2 + 108𝑥 + 81 = 16𝑥 4 + 96𝑥 3 + 216𝑥 2 + 216𝑥 + 81 Dengan ( ii ) penerapan segitiga pascal. Bilangan yang digunakan pada segitiga pascal adalah 1, 4, 6, 4, 1 karena pangkat empat. Kalikan bilangan 1, 4, 6, 4, dan 1 dengan suku-suku pada bentuk aljabar 2𝑥 + 3. 2𝑥 + 3

4

= 1 2𝑥

4

30 + 4 2𝑥

3

31 + 6 2𝑥

2

32 + 4 2𝑥

1

33 + 1 2𝑥

0

34

= 1 16𝑥 4 1 + 4 8𝑥 3 3 + 6 4𝑥 2 9 + 4 2𝑥 27 + 1 1 81 = 16𝑥 4 + 96𝑥 3 + 216𝑥 2 + 216𝑥 + 81 Semakin ke kanan, pangkat 2𝑥 semakin berkurang. Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat dari 3 semakin bertambah. Pangkat terbesarnya empat, dan pangkat terkecilnya nol. c.

Dengan ( i ) sifat distributif perkalian 𝑥−2

4

= 𝑥−2

2

× 𝑥−2

2

= 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 × 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 𝑥 4 − 4𝑥 3 + 4𝑥 2 − 4𝑥 3 + 16𝑥 2 − 16𝑥 + 4𝑥 2 − 16𝑥 + 16 = 𝑥 4 − 8𝑥 3 + 24𝑥 2 − 32𝑥 + 16 Dengan ( ii ) penerapan segitiga pascal. Bilangan yang digunakan pada segitiga pascal adalah 1, 4, 6, 4, 1 karena pangkat empat. Kalikan bilangan 1, 4, 6, 4, dan 1 dengan suku-suku pada bentuk aljabar 𝑥 − 2.


45

lanjutan contoh 2 Penyelesaian: 𝑥−2

4

=1 𝑥

4

2

0

−4 𝑥

3

2

1

+6 𝑥

2

2

2

−4 𝑥

1

2

3

+1 𝑥

0

2

4

= 1 𝑥 4 1 − 4 𝑥 3 2 + 6 𝑥 2 4 − 4 𝑥 8 + 1 1 16 = 𝑥 4 − 8𝑥 3 + 24𝑥 2 − 32𝑥 + 16 Semakin ke kanan, pangkat 𝑥 semakin berkurang. Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat dari 2 semakin bertambah. Pangkat terbesarnya empat, dan pangkat terkecilnya nol. d.

Dengan ( i ) sifat distributif perkalian 𝑥 + 4𝑦

3

= 𝑥 + 4𝑦 × 𝑥 + 4𝑦

2

= 𝑥 + 4𝑦 × 𝑥 2 + 8𝑥𝑦 + 16𝑦 2 = 𝑥 3 + 8𝑥 2 𝑦 + 16𝑥𝑦 2 + 4𝑥 2 𝑦 + 32𝑥𝑦 2 + 64𝑦 3 = 𝑥 3 + 12𝑥 2 𝑦 + 48𝑥𝑦 2 + 64𝑦 3 Dengan ( ii ) penerapan segitiga pascal Bilangan yang digunakan dari segitiga pascal adalah 1, 3, 3, 1 karena pangkat tiga. Kalikan bilangan 1, 3, 3, dan 1 dengan suku-suku pada bentuk aljabar 𝑥 + 4𝑦. 𝑥 + 4𝑦

3

=1 𝑥

3

4𝑦

0

+3 𝑥

2

4𝑦

1

+3 𝑥

1

4𝑦

2

+1 𝑥

0

4𝑦

3

= 1 𝑥 3 1 + 3 𝑥 2 4𝑦 + 3 𝑥 16𝑦 2 + 1 1 64𝑦 3 = 𝑥 3 + 12𝑥 2 𝑦 + 48𝑥𝑦 2 + 64𝑦 3 Semakin ke kanan, pangkat 𝑥 semakin berkurang. Sebaliknya, semakin ke kanan pangkat dari 4𝑦 semakin bertambah. Pangkat terbesarnya tiga, dan pangkat terkecilnya nol.


46

LATIHAN 4 1.

2.

Tentukan hasil perpangkatan pada bentuk-bentuk aljabar berikut! 2

a.

𝑥−𝑦−𝑧

b.

3𝑎 + 𝑏 + 2𝑐

2

Tentukan koefisien 𝑥 2 dari bentuk perpangkatan berikut! 3

a.

𝑥+2

b.

2𝑥 − 3

3

3.

Jika 3𝑥 − 𝑦

2

4.

Jabarkan bentuk aljabar berikut, kemudian sederhanakan!

5.

6.

a.

2𝑥 − 1

2

b.

3 + 5𝑥

2

c.

3𝑥 + 1

2

= 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦 2 , maka nilai dari 𝑎 + 𝑏 + 𝑐

− 3𝑥 − 1

5

adalah . . .

2

Selesaikan bentuk perpangkatan berikut! 3

a.

5𝑎

b.

2𝑥𝑦

2

c.

−3𝑥

3

d.

4𝑝2 𝑞

e.

−5𝑥𝑦 3

𝑎+𝑖

5

2 4

= 𝑎5 + 𝑝𝑎4 𝑏 + 𝑞𝑎3 𝑏 2 + 𝑟𝑎2 𝑏 3 + 𝑠𝑎𝑏 4 + 𝑏 5

Nilai dari 5𝑝 − 4𝑞 = . . . .


47

Rangkuman 1.

Operasi perpangkatan diartikan sebagai operasi perkalian berulang dengan unsur yang sama.

2.

Sifat-sifat yang berlaku pada operasi perpangkatan bentuk aljabar: 

𝑎𝑛 = 𝑎 × 𝑎 × 𝑎 × ⋯ × 𝑎 n faktor

  

7.

𝑎𝑚 × 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚 +𝑛 𝑎𝑚

𝑛

= 𝑎𝑚 ×𝑛

𝑎𝑚 : 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚 −𝑛



𝑎𝑏



𝑎+𝑏

2

= 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏



𝑎−𝑏

2

= 𝑎−𝑏 𝑎−𝑏

2

= 𝑎𝑏 × 𝑎𝑏

Bilangan-bilangan yang disusun menggunakan pola segitiga pascal memiliki pola yang unik karena selalu diawali dan diakhiri oleh angka 1.

8.

Bilangan yang bukan angka satu pada pola bilangan segitiga pascal, merupakan jumlah berurutan dua bilangan di atasnya.


Hasil dari 3𝑢2 𝑣

3

=....

a. 3𝑢5 𝑣 3

c. 27𝑢5 𝑣 3

b. 27𝑢6 𝑣 3

d. 3𝑢6 𝑣 3 Modul Pembelajaran Matematika

48

2.

3.

4.

5.

6.

7.

8.

9.

Bentuk 5𝑥 − 2

2

dapat disederhanakan menjadi . . . .

a. 25𝑥 2 + 20𝑥 + 4

c. 25𝑥 2 − 20𝑥 − 4

b. 25𝑥 2 − 20𝑥 + 4

d. 25𝑥 2 + 20𝑥 − 4

Hasil dari 𝑥 + 3𝑏𝑦

2

adalah . . . .

a. 𝑥 2 + 3𝑏𝑦𝑥 − 9𝑏 2 𝑦 2

c. 𝑥 2 + 6𝑏𝑦𝑥 + 9𝑏 2 𝑦 2

b. 𝑥 2 − 3𝑏𝑦𝑥 − 9𝑏 2 𝑦 2

d. 𝑥 2 − 6𝑏𝑦𝑥 + 9𝑏 2 𝑦 2

Bentuk sederhana dari −3𝑥 − 𝑦

2

− 2𝑦 + 2𝑥

2

adalah . . . .

a. −5𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 3𝑦 2

c. 5𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 3𝑦 2

b. 5𝑥 2 + 2𝑥𝑦 − 3𝑦 2

d. 5𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 3𝑦 2

Jika 𝑘 = −7 , 𝑙 = 3, dan 𝑚 = −2 , maka nilai dari 𝑘 𝑙 a. 153

c. −279

b. −225

d. 279

Jika −2𝑥 + 3𝑦

2

c. −625

b. 1

d. 625 4

− 𝑙𝑚

3

adalah . . . .

= 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦 2 , maka nilai dari 𝑎 − 𝑏 + 𝑐

a. 289

3𝑎 − 2

2

2

adalah . . . .

=....

a. −81𝑎4 − 216𝑎3 + 216𝑎2 − 96𝑎 + 16

c. 81𝑎4 − 216𝑎3 + 216𝑎2 − 96𝑎 + 16

b. 81𝑎4 + 216𝑎3 − 216𝑎2 + 96𝑎 − 16

d. 81𝑎4 + 216𝑎3 + 216𝑎2 + 96𝑎 + 16

Hasil perpangkatan bentuk aljabar − 𝑎 + 2𝑏 − 3𝑐

2

adalah . . . .

a. −𝑎2 − 4𝑎𝑏 + 6𝑎𝑐 − 4𝑏 2 + 12𝑏𝑐 − 9𝑐 2

c. 𝑎2 − 4𝑎𝑏 + 6𝑎𝑐 + 4𝑏 2 + 12𝑏𝑐 − 9𝑐 2

b. 𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 6𝑎𝑐 + 4𝑏 2 + 12𝑏𝑐 + 9𝑐 2

d. −𝑎2 − 4𝑎𝑏 + 6𝑎𝑐 + 4𝑏 2 + 12𝑏𝑐 + 9𝑐 2

Koefisien dari 𝑥 5 pada bentuk perpangkatan 2𝑥 + 𝑦 a. 1

c. 80

b. 32

d. 40

5

adalah . . . .


49

10. Bentuk sederhana dari 2 −3𝑎 − 6

2

− 3𝑎 + 5

2

adalah . . . .

a. −9𝑎2 + 42𝑎 + 47

c. 9𝑎2 + 42𝑎 + 47

b. 9𝑎2 − 42𝑎 + 47

d. 9𝑎2 + 42𝑎 − 47





90% - 100%

= baik sekali

80% - 89%

= baik

70% - 79%

= cukup

0% - 69%

= kurang



50

Kegiatan Belajar 5

PEMBAGIAN BENTUK ALJABAR Kompetensi Dasar 3.1


2.1



Mengenal sifat-sifat yang berlaku pada operasi pembagian bentuk aljabar.

3.1.2

Menentukan hasil operasi pembagian bentuk aljabar.

2.1.1

Mampu bersikap kritis, bertanggung jawab, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan operasi pembagian bentuk aljabar.


Siswa dapat mengetahui sifat-sifat yang berlaku pada operasi pembagian bentuk aljabar.

3.1.2.1

Siswa dapat menentukan hasil operasi pembagian bentuk aljabar.

2.1.1.1

Siswa dapat bersikap kritis, bertanggung jawab, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan operasi pembagian bentuk aljabar.


51

Cek Kemampuan 5 1.

Sederhanakan bentuk aljabar berikut! 5𝑥𝑦 ∶ 2𝑥

a.

𝑝2 𝑞 × 𝑝𝑞 ∶ 𝑝2 𝑞 2

b. 2.

Tentukanlah bentuk paling sederhana dari pembagian berikut! 3 𝑎+𝑏

a.

2 𝑎+𝑏 −2𝑎 3

b.

𝑏

3.

Tentukan hasil bagi 𝑥𝑦 4 + 3𝑥 2 𝑦 − 𝑥𝑦 3 oleh 𝑥!

4.

2𝑥 2 − 2𝑥 − 12 apabila dibagi dengan suatu bentuk aljabar hasilnya adalah 2𝑥 − 6. Berapakah bentuk aljabar tersebut?

Kalian telah mempelajari penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan perpangkatan pada bentuk aljabar. Sekarang kalian akan mempelajari pembagian pada bentuk aljabar.

Operasi pembagian merupakan hasil penyederhanaan dengan cara menghilangkan faktor-faktor perkalian dari koefisien atau konstanta dan variabel yang sama.

Berikut ini sifat-sifat yang berlaku pada pembagian bentuk aljabar. Untuk 𝑎 dan 𝑏 bilangan bulat positif berlaku: 1.

𝑎𝑥 𝑎𝑦

= 𝑎 𝑥−𝑦 1

dan

𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥 +𝑦

2.

𝑎𝑥 ∶

3.

Sifat distributif pemangkatan terhadap pembagian. 𝑎 𝑥 𝑏

𝑎𝑦

= 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦

=

𝑎𝑥 𝑏𝑥

dan

𝑎𝑘 𝑏𝑘

𝑥

=

𝑎 𝑘𝑥 𝑏 𝑘𝑥


52

A. Pembagian dengan Suku Tunggal Pada pembagian bentuk aljabar dikenal dua istilah, yaitu pembagian dengan suku sejenis dan pembagian dengan suku tidak sejenis. Pembagian suku-suku sejenis dan tidak sejenis pada bentuk aljabar memiliki aturan yang sama dengan operasi pembagian bilangan bulat. Pembagian pada bentuk aljabar akan lebih mudah dilakukan dengan mencari faktorfaktor persekutuan dari suku yang dibagi dan suku pembaginya. Contoh pembagian dengan suku sejenis misalnya 2𝑥 : 𝑥. Adapun contoh pembagian dengan suku tidak sejenis misalnya 𝑥 2 : 𝑥.

Bagaimanakah cara melakukan pembagian bentuk aljabar?

Perhatikan contoh berikut!

Contoh 1 Tentukanlah hasil pembagian bentuk-bentuk aljabar berikut! a.

𝑥𝑦 4 + 3𝑥 2 𝑦 − 𝑥𝑦 3 : 𝑦

c.

b.

𝑥𝑦 4 + 3𝑥 2 𝑦 − 𝑥𝑦 3 : 𝑥𝑦

d.

𝑥 2 + 2𝑥 : 𝑥 3𝑥 3 : 𝑥


53

lanjutan contoh 1 Penyelesaian: a.

𝑥𝑦 4 + 3𝑥 2 𝑦 − 𝑥𝑦 3 : 𝑦 = =

b.

4

2

𝑥𝑦 + 3𝑥 𝑦 − 𝑥𝑦

3

𝑥𝑦 4 +3𝑥 2 𝑦−𝑥𝑦 3 𝑥𝑦 4

𝑥 2 + 2𝑥 : 𝑥 = =

d.

3𝑥 3 : 𝑥 =

𝑦

𝑥𝑦 3

jabarkan

𝑦

operasikan

𝑥𝑦 4 +3𝑥 2 𝑦−𝑥𝑦 3 𝑥𝑦 𝑥𝑦 4 𝑥𝑦

+

3𝑥 2 𝑦 𝑥𝑦

−

ubah dalam bentuk pecahan

𝑥𝑦 3

jabarkan

𝑥𝑦

= 𝑥1−1 𝑦 4−1 + 3𝑥 2−1 𝑦 1−1 − 𝑥1−1 𝑦 3−1

gunakan sifat 1

= 𝑦 3 + 3𝑥 − 𝑦 2

operasikan

𝑥 𝑥

𝑦

−

= 𝑥𝑦 3 + 3𝑥 2 − 𝑥𝑦 2

: 𝑥𝑦 =

+

3𝑥 2 𝑦

gunakan sifat 1

𝑥 2 +2𝑥 𝑥2

+

= 𝑥𝑦 4−1 + 3𝑥 2 𝑦1−1 − 𝑥𝑦 3−1

=

c.


𝑦

2𝑥 𝑥

ubah dalam bentuk pecahan jabarkan

= 𝑥 2−1 + 2𝑥1−1

gunakan sifat 1

=𝑥+2

operasikan

3𝑥 3 𝑥


= 3𝑥 3−1

gunakan sifat 1

= 3𝑥 2

operasikan


54

B. Pembagian dengan Suku Banyak Selain dengan suku tunggal, pembagian bentuk aljabar dapat pula dilakukan dengan suku 𝑛2 − 5𝑛 − 24 : 𝑛 + 3 , 𝑥 3 + 2𝑥 2 − 5𝑥 − 6 : 𝑥 + 3 , dan 𝑥 2 − 16 :

banyak, seperti

𝑥 − 4 . Bagaimanakah melakukan pembagian dengan suku banyak? Perhatikan contoh berikut!

Contoh 2 Berapakah hasil dari 𝑛2 − 5𝑛 − 24 : 𝑛 + 3 ? Penyelesaian: 1.

Tulislah pembagian 𝑛2 − 5𝑛 − 24 : 𝑛 + 3 dalam bentuk berikut.

𝑛+3 2.

𝑛2 − 5𝑛 − 24

Lakukan pembagian 𝑛2 dengan 𝑛. 𝑛

𝑛+3 𝑛2 𝑛

3.

𝑛2 − 5𝑛 − 24 =𝑛

Lakukan perkalian antara 𝑛 dan 𝑛 + 3. Kemudian, kurangkan hasil perkalian tersebut dari 𝑛2 − 5𝑛 − 24. 𝑛 × 𝑛 + 3 = 𝑛2 + 3𝑛

𝑛

𝑛+ 3

𝑛2 − 5𝑛 − 24 𝑛2 + 3𝑛 −8𝑛 − 24 Modul Pembelajaran Matematika

55

lanjutan . . . 4.

Lakukan pembagian – 8𝑛 dengan 𝑛.

𝑛 −8 𝑛2 − 5𝑛 − 24

𝑛+3

𝑛2 + 3𝑛 −8𝑛 − 24 −8𝑛 𝑛

5.

= −8

Lakukan perkalian antara – 8 dan 𝑛 + 3 . Kemudian, kurangkan hasilnya dari −8𝑛 − 24. −8 × 𝑛 + 3 = −8𝑛 − 24

𝑛 −8 𝑛+ 3

𝑛2 − 5𝑛 − 24 𝑛2 + 3𝑛 −8𝑛 − 24 −8𝑛 − 24 0

Jadi, hasil dari 𝑛2 − 5𝑛 − 24 : 𝑛 + 3 adalah 𝑛 − 8.


56

Contoh 3 Luas kebun Pak Ahmad yang berbentuk persegi panjang adalah (𝑥 2 + 13𝑥 + 30) satuan luas. Jika diketahui panjang kebun (𝑥 + 10) satuan panjang, berapakah lebar kebun Pak Ahmad? Penyelesaian: Seperti yang kita ketahui, Luas = panjang x lebar. Dapat kita tulis:

Lebar =

Luas Panjang

Lebar kebun Pak Ahmad dapat ditentukan dengan membagi bentuk aljabar dari luas kebun dengan bentuk aljabar dari panjang. Lebar =

𝑥 2 + 13𝑥 + 30 𝑥 + 10

Berikut alternatif penyelesaiannya yang disajikan dalam bentuk pembagian bersusun langkah demi langkah. 1.

Tulislah pembagian 𝑥 2 + 13𝑥 + 30 : 𝑥 + 10 dalam bentuk berikut. 𝑥 2 + 13𝑥 + 30

𝑥 + 10 2.

Lakukan pembagian 𝑥 2 dengan 𝑥.

𝑥 𝑥 + 10 𝑥2 𝑥

𝑥 2 + 13𝑥 + 30

=𝑥


57

lanjutan . . . 3.

Lakukan perkalian antara 𝑥 dan 𝑥 + 10. Kemudian, kurangkan hasil perkalian tersebut dari 𝑥 2 + 13𝑥 + 30. 𝑥 × 𝑥 + 10 = 𝑥 2 + 10𝑥

𝑥 𝑥 + 10

𝑥 2 + 13𝑥 + 30 𝑥 2 + 10𝑥 3𝑥 + 30

4.

Lakukan pembagian 3𝑥 dengan 𝑥.

𝑥+3 𝑥 + 10

𝑥 2 + 13𝑥 + 30 𝑥 2 + 10𝑥 3𝑥 + 30

3𝑥 𝑥

5.

=3

Lakukan perkalian antara 3 dan 𝑥 + 10 . Kemudian, kurangkan hasilnya dari 3𝑥 + 30. 3 × 𝑥 + 10 = 3𝑥 + 30

𝑥+3 𝑥 + 10

𝑥 2 + 13𝑥 + 30 𝑥 2 + 10𝑥 3𝑥 + 30 3𝑥 + 30 0

Jadi, lebar kebun Pak Ahmad adalah (𝑥 + 3) satuan lebar.


58

LATIHAN 5 1.

Tentukanlah hasil dari 6𝑥 3 + 19𝑥 2 + 31𝑥 + 24 : 2𝑥 + 3 !

2.

Tentukanlah hasil pembagian bentuk-bentuk aljabar berikut!

3.

a. 16𝑝𝑞 : 4𝑞

c. 15𝑟𝑠 3 : 5𝑟𝑠

b. 18𝑎4 : 3𝑎2

d. 12𝑎𝑏 2 : 4𝑎𝑏

Sebuah persegi panjang mempunyai luas (6𝑥 2 − 7𝑥 − 24) satuan luas, jika diketahui panjang persegi panjang tersebut adalah (3𝑥 − 8) satuan panjang, tentukan keliling persegi panjang tersebut!

4.

2𝑥 2 + 7𝑥 − 15 apabila dibagi dengan suatu bentuk aljabar hasilnya adalah 𝑥 + 5. Berapakah bentuk aljabar tersebut?

5.

Pertanyaan Terbuka Tentukan suatu bentuk aljabar yang menurut kamu bisa dibagi oleh 3𝑥 − 1. Kemudian tentukan hasil baginya!

6.

Nilai rata-rata ujian 5 orang siswa adalah 80. Andi yang kemudian menyusul ikut ujian mengatakan bahwa “Nilai rata-rata ujian kita berenam sekarang menjadi 85”. Apakah ucapan Andi itu masuk akal kalau maksimal nilai ujian yang mungkin dicapai adalah 100? Mengapa?

Rangkuman 1.

Operasi pembagian merupakan hasil penyederhanaan dengan cara menghilangkan faktorfaktor perkalian dari koefisien atau konstanta dan variabel yang sama.

2.

Sifat-sifat yang berlaku pada pembagian bentuk aljabar untuk 𝑎 dan 𝑏 bilangan bulat positif yaitu: a.

𝑎𝑥 𝑎𝑦

= 𝑎 𝑥−𝑦

b. 𝑎 𝑥 ∶

c.

1 𝑎𝑦

𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦

= 𝑎 𝑥 × 𝑎 𝑦 = 𝑎 𝑥+𝑦

Sifat distributif pemangkatan terhadap pembagian. 𝑎 𝑥 𝑏

3.

dan

=

𝑎𝑥 𝑏𝑥

dan

𝑎𝑘 𝑏𝑘

𝑥

=

𝑎 𝑘𝑥 𝑏 𝑘𝑥

Pada pembagian bentuk aljabar dikenal dua istilah, yaitu pembagian dengan suku sejenis dan pembagian dengan suku tidak sejenis


59


2.

Hasil pembagian 27𝑝𝑞 2 𝑟 : 9𝑝𝑞 = . . . . a. 3𝑝𝑞𝑟

c. 3𝑝2 𝑞 3 𝑟

b. 3𝑞𝑟

d. 3𝑟

Hasil dari a. b.

3.

4.

5𝑥𝑦 2 4𝑧

:

15𝑥 2 8𝑦𝑧

=....

75𝑥 3 𝑦

c.

32𝑧 2 75𝑥 3

d.

32𝑧 2

Bentuk sederhana dari

12𝑥+18 −3

2𝑦 3 3𝑥 2𝑦 3 3

adalah . . . .

a. −4𝑥 + 6

c. 4𝑥 + 6

b. 4𝑥 − 6

d. −4𝑥 − 6

Luas sebuah persegi panjang adalah 4𝑥 2 − 9 cm2 dan panjang sisinya 4𝑥 + 6 cm. Lebar persegi panjang itu adalah . . . cm a. 2 𝑥 + 3 b.

5.

3 4

𝑥+3

c. d.

1 4 1 2

2𝑥 − 3 2𝑥 − 3

Diketahui suatu segitiga dengan alas 𝑥 + 2 cm dan luasnya 𝑥 2 + 𝑥 − 2 cm2. Tinggi segitiga dalam variabel 𝑥 adalah . . . . a. 𝑥 − 2

c. 2𝑥 + 2

b. 2𝑥 − 2

d. −2𝑥 − 2


60

6.

8𝑥 2 + 2𝑥 : 2𝑦 2 − 2𝑦 = . . . . a. b.

7.

8.

c.

𝑦 2 −𝑦 4𝑥2 +𝑥 − 𝑦2 −𝑦

d.

𝑦 2 −𝑦 4𝑥 2 +𝑥 4𝑥 2 +𝑥 𝑦 2 −𝑦

Jika 𝑎 = 16𝑎2 𝑏 dan 𝑏 = 2𝑎𝑏, nilai dari 𝑎 ∶ 𝑏 a. 8𝑎

c. 64𝑎2

b. 64𝑎2 𝑏

d. 64𝑎

Bentuk sederhana dari a. b.

9.

2𝑥 2 +𝑥

12𝑎 2 𝑏𝑐 4𝑎𝑏 2

2

adalah . . . .

2

adalah . . . .

18𝑎 2 𝑏 2 𝑐2 9𝑎 2 𝑐 2 𝑏2

c. d.

18𝑎 2 𝑐 2 𝑏2 9𝑎 2 𝑏 2 𝑐2

Hasil dari −20𝑚4 : −5𝑚2 adalah . . . . a. 4𝑚2

c. 5𝑚4

b. −4𝑚2

d. −5𝑚2

10. Jika 𝑎 = 2𝑥, 𝑏 = 7𝑦, dan 𝑐 = −9𝑧, maka tentukan nilai dari 𝑎2 𝑏 2 𝑐 2 : 3 𝑎2 . . . . a. 1323𝑥𝑦𝑧

c. 1323𝑥𝑦 2 𝑧 2

b. −1323𝑦 2 𝑧 2

d. 1323𝑦 2 𝑧 2


61





90% - 100%

= baik sekali

80% - 89%

= baik

70% - 79%

= cukup

0% - 69%

= kurang



62

Kegiatan Belajar 6

PEMFAKTORAN BENTUK ALJABAR Kompetensi Dasar 3.1


2.1



Mengenal langkah-langkah pemfaktoran bentuk aljabar.

3.1.2

Menentukan hasil pemfaktoran bentuk aljabar.

2.1.1

Mampu bersikap kritis, bertanggung jawab, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan pemfaktoran bentuk aljabar.


Siswa dapat mengetahui langkah-langkah pemfaktoran bentuk aljabar.

3.1.2.1

Siswa dapat menentukan hasil pemfaktoran bentuk aljabar.

2.1.1.1

Siswa dapat bersikap kritis, bertanggung jawab, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan pemfaktoran bentuk aljabar.


63

Cek Kemampuan 6 Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut! a.

8𝑎 − 2

b.

𝑥 2 + 10𝑥

c.

𝑥 2 + 10𝑥 + 25

d.

2𝑥 2 𝑦 + 6𝑥 2 𝑦 2 − 10𝑥𝑦 2

e.

𝑥4 − 𝑦4

f. −15𝑝2 𝑞 2 + 10𝑝𝑞 g.

3𝑥 + 3

h.

8𝑎2 𝑏 2 + 𝑎𝑏

i. 4𝑎𝑥 + 2𝑎𝑦

Setelah kamu mengetahui berbagai operasi yang dapat dilakukan pada bentuk aljabar, kali ini kita akan mengenali langkah-langkah untuk melakukan pemfaktoran suku aljabar.

Memfaktorkan suatu bilangan artinya menyatakan bilangan itu sebagai perkalian beberapa bilangan.

A. Faktor-faktor Suku Aljabar Dapatkah kamu menyebutkan faktor-faktor dari enam? Faktor-faktor dari enam antara lain 1, 2, 3, dan 6. Mengapa? Karena enam dapat ditulis dalam bentuk perkalian 1 × 6, 2 × 3, 3 × 2, dan 6 × 1. Adapun faktor-faktor dari delapan antara lain 1, 2, 4, dan 8. Mengapa? Coba kamu jelaskan. Sekarang, berapakah faktor persekutuan dari 6 dan 8? Faktor-faktor 6 :

1 ,

2 , 3 , 6

Faktor-faktor 8 :

1 ,

2 , 4 , 8 Modul Pembelajaran Matematika

64

Kamu melihat bahwa faktor persekutuan dari 6 dan 8 adalah 1 dan 2. Oleh karena 1 < 2 maka 2 dikatakan sebagai faktor persekutuan terbesar (FPB) dari 6 dan 8. Bagaimanakah cara melakukan pemfaktoran pada bentuk aljabar, misalnya 𝑥 2 + 2𝑥? Cara untuk memfaktorkan suatu bentuk aljabar adalah sebagai berikut. a.

Carilah faktor persekutuan setiap suku.

b.

Bagilah bentuk aljabar tersebut dengan faktor persekutuan setiap suku.

Contoh 1 Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut! a. 6𝑏 + 8

b.

𝑥 2 + 2𝑥

Penyelesaian: a.

Carilah faktor persekutuan dari 6b dan 8. Kamu telah mengetahui bahwa FPB dari 6 dan 8 adalah 2, kemudian bagilah setiap suku dengan FPB tersebut. 6𝑏 2

6𝑏 2

8

= 3𝑏

2

8

= 3𝑏

2

2

=4

=

4

3𝑏 + 4

Dengan demikian, pemfaktoran dari 6𝑏 + 8 adalah 2 3𝑏 + 4 . Jadi, 6𝑏 + 8 = 2 3𝑏 + 4 . b.

Carilah FPB dari 𝑥 2 dan 2𝑥 terlebih dahulu. Kemudian dapat dituliskan 𝑥 2 = 𝑥. 𝑥 dan 2𝑥 = 2. 𝑥. Dengan demikian, FPB dari 𝑥 2 dan 2𝑥 adalah 𝑥. Kemudian, bagilah bentuk aljabar 𝑥 2 + 2𝑥 dengan FPB-nya , yaitu 𝑥. Kamu peroleh

𝑥2 𝑥

= 𝑥 dan

2𝑥 𝑥

= 2.

Dengan demikian, pemfaktoran dari 𝑥 2 + 2𝑥 adalah 𝑥 𝑥 + 2 . Jadi, 𝑥 2 + 2𝑥 = 𝑥 𝑥 + 2 .


65

B. Pemfaktoran Bentuk

𝒂𝒙 + 𝒂𝒚

dan

𝒂𝒙 − 𝒂𝒚

Pemfaktoran bentuk 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 dapat dilakukan dengan menggunakan

sifat

distributif

perkalian

penjumlahan, sedangkan bentuk 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 dapat dilakukan dengan menggunakan sifat distributif perkalian terhadap pengurangan. Suku-suku yang memiliki faktor yang sama dapat difaktorkan dengan menggunakan sifat distributif sebagai berikut.

Catatan

terhadap

Faktor dari suatu bilangan adalah bilangan lain yang positif,

yang

dapat

membagi habis bilangan tersebut.

𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑦 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑦

Contoh 2 Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar di bawah ini! a. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 b. 5𝑎𝑏 + 10𝑏 c. 2𝑥 − 8𝑥 2 𝑦 d.

1

1

𝑎3 𝑏 2 + 4 𝑎2 𝑏 3 2

Penyelesaian: a. 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏𝑥 + 𝑎𝑦 + 𝑏𝑦 = 𝑥 𝑎+𝑏 +𝑦 𝑎+𝑏 = 𝑥+𝑦 𝑎+𝑏 (Gunakan sifat distributif)


66

Lanjutan contoh 2 Penyelesaian: b. 5𝑎𝑏 + 10𝑏 Untuk memfaktorkan 5𝑎𝑏 + 10𝑏, tentukan faktor persekutuan dari 5 dan 10, kemudian dari 𝑎𝑏 dan 𝑏. Faktor persekutuan dari 5 dan 10 adalah 5. Faktor persekutuan dari 𝑎𝑏 dan 𝑏 adalah 𝑏. Jadi, 5𝑎𝑏 + 10𝑏 difaktorkan menjadi 5𝑏 𝑎 + 2 . c. 2𝑥 − 8𝑥 2 𝑦 Faktor persekutuan dari 2 dan −8 adalah 2. Faktor persekutuan dari 𝑥 dan 𝑥 2 𝑦 adalah 𝑥. Jadi, 2𝑥 − 8𝑥 2 𝑦 = 2𝑥 1 − 4𝑥𝑦 . d.

1 2

1

𝑎3 𝑏 2 + 4 𝑎2 𝑏 3 1

1

1

Faktor persekutuan dari 2 dan 4 adalah 4. Faktor persekutuan dari 𝑎3 𝑏 2 dan 𝑎2 𝑏 3 adalah 𝑎2 𝑏 2 . 1

1

1

Jadi, 2 𝑎3 𝑏 2 + 4 𝑎2 𝑏 3 = 4 𝑎2 𝑏 2 2𝑎 + 𝑏

C. Pemfaktoran Bentuk

𝒙𝟐 + 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐 dan 𝒙𝟐 − 𝟐𝒙𝒚 + 𝒚𝟐

Pemfaktoran bentuk x 2 + 2xy + y 2 dan x 2 − 2xy + y 2 akan menghasilkan suatu bentuk kuadrat. Cara pemfaktoran dari bentuk-bentuk di atas dapat kalian pahami pada uraian berikut ini. x 2 + 2xy + y 2 = x 2 + xy + xy + y 2

x 2 − 2xy + y 2 = x 2 − xy − xy + y 2

= x 2 + xy + xy + y 2

= x 2 − xy − xy + y 2

=𝑥 𝑥+𝑦 +𝑦 𝑥+𝑦

= x 2 − xy − xy − y 2

= 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦

=𝑥 𝑥−𝑦 −𝑦 𝑥−𝑦

= 𝑥+𝑦

2

= 𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 = 𝑥−𝑦

2


67

Berdasarkan uraian tersebut, dapat disimpulkan sebagai berikut. x 2 + 2xy + y 2 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦 = 𝑥 + 𝑦

2

x 2 − 2xy + y 2 = 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦 = 𝑥 − 𝑦

2

Contoh 3 Dengan menggunakan rumus di atas, faktorkanlah bentuk aljabar di bawah ini! a. 𝑝2 + 2𝑝𝑞 + 𝑞 2

c.

𝑥 2 + 6𝑥 + 9

b. 𝑥 2 − 4𝑥 + 4

d.

𝑥 2 − 2𝑥 + 1

Penyelesaian: a. 𝑝2 + 2𝑝𝑞 + 𝑞 2 = 𝑝2 + 𝑝𝑞 + 𝑝𝑞 + 𝑞 2

c.

𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 2 + 3𝑥 + 3𝑥 + 9

= 𝑝2 + 𝑝𝑞 + 𝑝𝑞 + 𝑞 2

= 𝑥 2 + 3𝑥 + 3𝑥 + 9

=𝑝 𝑝+𝑞 +𝑞 𝑝+𝑞

=𝑥 𝑥+3 +3 𝑥+3

= 𝑝+𝑞 𝑝+𝑞

= 𝑥+3 𝑥+3

= 𝑝+𝑞

2

b. 𝑥 2 − 4𝑥 + 4 = 𝑥 2 − 2𝑥 − 2𝑥 + 4

= 𝑥+3

d.

2

𝑥 2 − 2𝑥 + 1 = 𝑥 2 − 𝑥 − 𝑥 + 1

= 𝑥 2 − 2𝑥 − 2𝑥 + 4

= 𝑥2 − 𝑥 − 𝑥 + 1

= 𝑥 2 − 2𝑥 − 2𝑥 − 4

= 𝑥2 − 𝑥 − 𝑥 − 1

=𝑥 𝑥−2 −2 𝑥−2

=𝑥 𝑥−1 −1 𝑥−1

= 𝑥−2 𝑥−2

= 𝑥−1 𝑥−1

= 𝑥−2

2

= 𝑥−1

2


68

D. Pemfaktoran Bentuk Selisih Dua Kuadrat Dapatkah kamu menguraikan bentuk aljabar 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 ? Bentuk aljabar 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 dapat diuraikan sebagai berikut. 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦 =𝑥 𝑥−𝑦 +𝑦 𝑥−𝑦 = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 − 𝑦 2 = 𝑥2 − 𝑦2 Ternyata bentuk aljabar 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 dapat kamu tulis sebagai 𝑥 2 − 𝑦 2 . Bentuk 𝑥 2 − 𝑦 2 dinamakan bentuk selisih dua kuadrat. 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦

Contoh 4 Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut! a. 25𝑥 2 − 𝑦 2

c.

20𝑝2 − 5𝑞 2

b. 9𝑥 2 − 25𝑦 2

d.

3𝑎3 − 27𝑎𝑏 2

Penyelesaian: a. 25𝑥 2 − 𝑦 2 = 5𝑥

2

− 𝑦2

c.

= 5𝑥 + 𝑦 5𝑥 − 𝑦 b. 9𝑥 2 − 25𝑦 2 = 3𝑥

2

− 5𝑦

2

= 3𝑥 + 5𝑦 3𝑥 − 5𝑦

20𝑝2 − 5𝑞 2 = 5 4𝑝2 − 𝑞 2 = 5 2𝑝 + 𝑞 2𝑝 − 𝑞

d.

3𝑎3 − 27𝑎𝑏 2 = 3𝑎 𝑎2 − 9𝑏 2 = 3𝑎 𝑎2 − 3𝑏

2

= 3𝑎 𝑎 + 3𝑏 𝑎 − 3𝑏


69

E. Pemfaktoran Bentuk 1.

𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄

Pemfaktoran Bentuk 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 dengan 𝒂 = 𝟏 Untuk mengetahui cara memfaktorkan bentuk 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan 𝑎 = 1, coba kalian amati perkalian berikut. 𝑥+8 𝑥+5 = 𝑥 𝑥+5 +8 𝑥+5 Coba kalian amati proses

= 𝑥 2 + 5𝑥 + 8𝑥 + 40

pemfaktoran dari salah satu

= 𝑥 2 + 13𝑥 + 40

contoh bentuk 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan 𝑎 = 1, yaitu 𝑥 2 +

5 + 8 5 x 8

13𝑥 + 40 menjadi perkalian

faktor-faktornya di ruas kiri.

Dengan kalimat dan kata-katamu sendiri, tuliskan secara jelas cara pemfaktoran dari bentuk 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan membalik tahapan perkalian di atas. Bandingkan cara kalian dengan cara pada uraian berikut. Misalkan 𝑝, 𝑞 ∈ 𝑅 dengan 𝑎 = 1, 𝑏 = 𝑝 + 𝑞, dan 𝑐 = 𝑝 × 𝑞 maka 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 2 + 𝑝 + 𝑞 𝑥 + 𝑝 × 𝑞 = 𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑝𝑞 =𝑥 𝑥+𝑝 +𝑞 𝑥+𝑝 = 𝑥+𝑞 𝑥+𝑝 Dari uraian di atas, diperoleh rumus pemfaktoran bentuk 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan 𝑎 = 1 sebagai berikut. 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 + 𝑞 𝑥 + 𝑝 dengan syarat 𝑎 = 1, 𝑏 = 𝑝 + 𝑞, dan 𝑐 = 𝑝𝑞

Ini berarti untuk memfaktorkan bentuk 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dapat dilakukan dengan mencari dua bilangan yang merupakan faktor-faktor dari 𝑐, tetapi jumlah dari kedua bilangan tersebut harus sama dengan 𝑏. Modul Pembelajaran Matematika

70

Contoh 5 Faktorkanlah! a. 𝑥 2 + 6𝑥 + 8 b. 𝑥 2 − 𝑥 − 2 Penyelesaian: a. 𝑝 + 𝑞 = 6

𝑝=2

𝑝×𝑞 = 8

𝑞=4

𝑥 2 + 6𝑥 + 8 = 𝑥 + 𝑝 𝑥 + 𝑞 = 𝑥+2 𝑥+4 Atau dapat diselesaikan dengan cara 𝑥 2 + 6𝑥 + 8 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 4𝑥 + 8 = 𝑥 2 + 2𝑥 4𝑥 + 8 =𝑥 𝑥+2 +4 𝑥+2 = 𝑥+4 𝑥+2 b. 𝑝 + 𝑞 = −1 𝑝 × 𝑞 = −2

𝑝=1 𝑞 = −2

𝑥2 − 𝑥 − 2 = 𝑥 + 𝑝 𝑥 + 𝑞 = 𝑥+1 𝑥−2 Atau dapat diselesaikan dengan cara 𝑥 2 − 𝑥 − 2 = 𝑥 2 + 𝑥 − 2𝑥 − 2 = 𝑥 2 + 𝑥 −2𝑥 − 2 =𝑥 𝑥+1 −2 𝑥+1 = 𝑥+1 𝑥−2


71

2.

Pemfaktoran Bentuk 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 dengan 𝒂 ≠ 𝟏 dan 𝒂 ≠ 𝟎 Kalian telah mempelajari perkalian antara suku dua dengan suku dua menjadi bentuk penjumlahan seperti berikut. 12 × 6 = 72 9 × 8 = 72 9 + 8 = 17

3𝑥 + 2 4𝑥 + 3 = 12𝑥 2 + 9𝑥 + 8𝑥 + 6 = 12𝑥 2 + 17𝑥 + 6 Perhatikan bahwa 9 + 8 = 17 dan 9 × 8 = 12 × 6. Berdasarkan uraian di atas dapat dikatakan bahwa bentuk 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan 𝑎 ≠ 1 dan 𝑎 ≠ 0 dapat difaktorkan dengan cara berikut. 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑐 dengan 𝑝 × 𝑞 = 𝑎 × 𝑐 𝑝+𝑞 =𝑏 Selain dengan menggunakan sifat distributif, terdapat rumus yang dapat digunakan untuk memfaktorkan bentuk aljabar 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan

𝑎 ≠ 1.

Perhatikan uraian berikut! 1

Misalkan 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑎𝑥 + 𝑚 𝑎𝑥 + 𝑛 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 =

𝑎𝑥 + 𝑚 𝑎𝑥 + 𝑛 𝑎

↔ 𝑎 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎𝑚𝑥 + 𝑎𝑛𝑥 + 𝑚𝑛 ↔ 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎𝑏𝑥 + 𝑎𝑐 = 𝑎2 𝑥 2 + 𝑎 𝑚 + 𝑛 𝑥 + 𝑚𝑛

Dengan demikian, dapat dikatakan bahwa 𝑚 × 𝑛 = 𝑎 × 𝑐 dan 𝑚 + 𝑛 = 𝑏. Modul Pembelajaran Matematika

72

Dari uraian di atas dapat disimpulkan bahwa ada dua cara untuk memfaktorkan bentuk aljabar 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan 𝑎 ≠ 1 sebagai berikut. a.

Menggunakan sifat distributif 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑐 dengan 𝑝 × 𝑞 = 𝑎 × 𝑐 dan 𝑝+𝑞 =𝑏

b. Menggunakan rumus 1

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑎𝑥 + 𝑚 𝑎𝑥 + 𝑛 dengan 𝑚 × 𝑛 = 𝑎 × 𝑐 dan 𝑚+𝑛 =𝑏

Contoh 6 Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut! a. 3𝑥 2 + 14𝑥 + 15 b. 8𝑥 2 + 2𝑥 − 3 Penyelesaian: a.

Memfaktorkan 3𝑥 2 + 14𝑥 + 15. Langkah-langkah pemfaktoran 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 1 untuk 𝑐 positif sebagai berikut.  Jabarkan 𝑎 × 𝑐 menjadi perkalian faktor-faktornya.  Tentukan pasangan bilangan yang berjumlah b. 3𝑥 2 + 14𝑥 + 15 ; 𝑎 = 3, 𝑏 = 14, 𝑐 = 15.


73

Lanjutan contoh 6 Penyelesaian: Cara 1 Dengan menggunakan sifat distributif. 𝑎𝑐 = 45

Jumlah

1

45

46

3

15

18

5

9

14

Dua bilangan yang hasil kalinya 𝑎𝑐 = 3 × 15 = 45 dan jumlahnya 14 adalah 5 dan 9, sehingga: 3𝑥 2 + 14𝑥 + 15 = 3𝑥 2 + 5𝑥 + 9𝑥 + 15 = 𝑥 3𝑥 + 5 + 3 3𝑥 + 5 = 𝑥 + 3 3𝑥 + 5 Cara 2 Dengan menggunakan rumus. 1 3𝑥 + 5 3𝑥 + 9 3 1 = 3𝑥 + 9 3𝑥 + 5 3 1 = × 3 𝑥 + 3 3𝑥 + 5 3

3𝑥 2 + 14𝑥 + 15 =

= 𝑥 + 3 3𝑥 + 5 Jadi, 3𝑥 2 + 14𝑥 + 15 = 𝑥 + 3 3𝑥 + 5 b.

Memfaktorkan 8𝑥 2 + 2𝑥 − 3. Langkah-langkah pemfaktoran 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐, 𝑎 ≠ 1 dengan 𝑐 negatif sebagai berikut.


74

Lanjutan contoh 6 Penyelesaian:  Jabarkan 𝑎 × 𝑐 menjadi perkalian faktor-faktornya.  Tentukan pasangan bilangan yang selisihnya 𝑏.  Bilangan yang bernilai lebih besar sama tandanya dengan 𝑏, sedangkan bilangan yang bernilai lebih kecil bertanda sebaliknya. Cara 1 Dengan menggunakan sifat distributif. 𝑎𝑐 = 24

Selisih

1

24

23

2

12

10

3

8

5

4

6

2

Dua bilangan yang hasil kalinya 𝑎𝑐 = 8 × 3 = 24 dan selisihnya 2 adalah 4 dan 6, sehingga: 8𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 8𝑥 2 − 4𝑥 + 6𝑥 − 3 = 4𝑥 2𝑥 − 1 + 3 2𝑥 − 1 = 4𝑥 + 3 2𝑥 − 1 Cara 2 Dengan menggunakan rumus. 1 8𝑥 − 4 8𝑥 + 6 8 1 1 = × 8𝑥 − 4 8𝑥 + 6 4 2 1 1 = 8𝑥 − 4 × 8𝑥 + 6 4 2 1 1 = × 4 2𝑥 − 1 × × 2 4𝑥 + 3 4 2

8𝑥 2 + 2𝑥 − 3 =

= 2𝑥 − 1 4𝑥 + 3 Jadi, 8𝑥 2 + 2𝑥 − 3 = 2𝑥 − 1 4𝑥 + 3 . Modul Pembelajaran Matematika

75

LATIHAN 6 1.

2.

Faktorkanlah bentuk-bentuk aljabar berikut! a.

15𝑝2 + 5𝑝

b.

𝑥 2 + 6𝑥 + 9

a.

Bentuk aljabar 2𝑥 + 4

b.

Cobalah kamu melengkapi pernyataan berikut. 3𝑥 + 4

3.

2

2

sama dengan 4𝑥 2 + ⋯ + 16. Berapakah suku tengahnya?

= 9𝑥 2 + ⋯ + 16.

Jika tiap bentuk aljabar berikut menyatakan luas persegi panjang, nyatakan panjang dan lebarnya dalam bentuk suku dua (binomial). a. 𝑥 2 + 4𝑥 + 3

c.

𝑥 2 + 3𝑥 − 4

𝑥 2 − 3𝑥 + 2

d.

𝑥 2 + 5𝑥 + 6

b. 4.

5.

Lengkapilah pernyataan berikut! a.

𝑥 2 − 6𝑥 − 7 = 𝑥 + 1 𝑥 − ⋯

b.

𝑘 2 − 4𝑘 − 12 = 𝑘 − 6 𝑘 + ⋯

c.

𝑡 2 + 7𝑡 + 10 = 𝑡 + 2 𝑡 + ⋯

d.

𝑐2 + 𝑐 − 2 = 𝑐 + 2 𝑐 − ⋯

Pertanyaan Terbuka Untuk setiap soal berikut, tentukan masing-masing sebuah bilangan yang berbeda untuk melengkapi setiap bentuk aljabar berikut sehingga dapat difaktorkan sebagai perkalian dua buah suku dua. Tunjukkan faktor-faktornya!

6.

a.

𝑥 2 − 3𝑥 − ⋯

b.

𝑥2 + 𝑥 + ⋯

c.

𝑥2 + 𝑥 + ⋯

Perhatikan bentuk pemfaktoran berikut! a. 4𝑥 2 − 36 = 2𝑥 − 6 2𝑥 + 6 b.

4𝑥 2 − 7𝑥 − 2 = 2𝑥 − 1 2𝑥 + 2

c.

𝑥2 − 4 = 𝑥 + 2 𝑥 − 2

d.

𝑥 2 − 4𝑥 = 2𝑥 𝑥 − 2

yang benar adalah . . . .


76

Rangkuman 1.

Memfaktorkan suatu bilangan artinya menyatakan bilangan itu sebagai perkalian beberapa bilangan.

2.

3.

Cara untuk memfaktorkan suatu bentuk aljabar yaitu: 

Carilah faktor persekutuan setiap suku.



Bagilah bentuk aljabar tersebut dengan faktor persekutuan setiap suku.

Faktor dari suatu bilangan adalah bilangan lain yang positif, yang dapat membagi habis bilangan tersebut.

4.

5.

6.

Pemfaktoran bentuk 𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 dan 𝑎𝑥 − 𝑎𝑦. 

𝑎𝑥 + 𝑎𝑦 = 𝑎 𝑥 + 𝑦



𝑎𝑥 − 𝑎𝑦 = 𝑎 𝑥 − 𝑦

Pemfaktoran bentuk 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 dan 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 . 

𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 + 𝑦



𝑥 2 − 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 𝑥 − 𝑦 𝑥 − 𝑦

Pemfaktoran Bentuk Selisih Dua Kuadrat. 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦

7.

Pemfaktoran Bentuk 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan 𝑎 = 1 𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑥 + 𝑞 𝑥 + 𝑝 dengan syarat 𝑎 = 1 , 𝑏 = 𝑝 + 𝑞 , dan 𝑐 = 𝑝𝑞

8.

Pemfaktoran Bentuk 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 dengan 𝑎 ≠ 1 dan 𝑎 ≠ 0 

Menggunakan sifat distributif 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎𝑥 2 + 𝑝𝑥 + 𝑞𝑥 + 𝑐 dengan 𝑝 × 𝑞 = 𝑎 × 𝑐 dan 𝑝 + 𝑞 = 𝑏



Menggunakan rumus 1

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 𝑎 𝑎𝑥 + 𝑚 𝑎𝑥 + 𝑛 dengan 𝑚 × 𝑛 = 𝑎 × 𝑐 dan 𝑚 + 𝑛 = 𝑏


77


2.

3.

4.

5.

Bentuk 𝑥 2 − 25 dapat difaktorkan menjadi . . . . a. 𝑥 − 25 𝑥 − 1

c. 𝑥 − 5 𝑥 − 5

b. 𝑥 − 25 𝑥 + 1

d. 𝑥 − 5 𝑥 + 5

Pemfaktoran dari 𝑥 3 − 𝑥 2 + 𝑥 − 1 adalah . . . . a. 𝑥 2 − 1 𝑥 − 1

c. 𝑥 2 + 1 𝑥 − 1

b. 𝑥 2 − 1 𝑥 + 1

d. 𝑥 2 + 1 𝑥 + 1

Faktorisasi dari 12𝑥 2 − 43𝑥 + 35 adalah . . . . a. 2𝑥 − 7 6𝑥 − 5

c. 3𝑥 − 5 4𝑥 − 7

b. 4𝑥 − 5 3𝑥 − 7

d. 6𝑥 − 7 2𝑥 − 5

𝑡 2 − 𝑡 − 12 = . . . . a. 𝑡 + 4 𝑡 − 3

c. 𝑡 + 4 𝑡 + 3

b. 𝑡 − 4 𝑡 − 3

d. 𝑡 − 4 𝑡 + 3

Jika bentuk aljabar 3𝑥 2 − 𝑥 − 24 menyatakan luas persegi panjang, nyatakan panjang dan lebarnya dalam bentuk suku dua (binomial)!

6.

a. 𝑥 + 3 3𝑥 − 8

c. 𝑥 − 6 3𝑥 + 4

b. 𝑥 − 3 3𝑥 + 8

d. 𝑥 + 6 3𝑥 − 4

Bentuk aljabar −3𝑥 − 8

2


a. 12𝑥

c. 24𝑥

b. 10𝑥

d. 48𝑥


78

7.

Lengkapilah pernyataan berikut! −10𝑘 2 − 16𝑘 + 8 = 5𝑘 − 2 −2𝑘 − ⋯

8.

9.

a. 4

c. 2

b. −4

d. −2

Hasil pemfaktoran dari 𝑥 2 − 19𝑥 − 20 adalah . . . . a. 𝑥 − 4 𝑥 + 5

c. 𝑥 + 1 𝑥 − 20

b. 𝑥 − 2 𝑥 − 10

d. 𝑥 + 2 𝑥 − 10

−6𝑝2 + 16𝑝 − 8 = . . . . a. 3𝑝 + 2 2𝑝 − 4

c. −3𝑝 + 2 −2𝑝 − 4

b. −3𝑝 + 2 2𝑝 − 4

d. −3𝑝 + 2 2𝑝 + 4

10. Bentuk aljabar 25𝑎2 − 16𝑏 2 jika difaktorkan hasilnya . . . . a. 5𝑎 − 𝑏 5𝑎 − 𝑏

c. 5𝑎 − 4𝑏 5𝑎 − 4𝑏

b. 𝑎 + 4𝑏 𝑎 − 4𝑏

d. 5𝑎 − 4𝑏 5𝑎 + 4𝑏






79

90% - 100%

= baik sekali

80% - 89%

= baik

70% - 79%

= cukup

0% - 69%

= kurang



80

Kegiatan Belajar 7

PENYEDERHANAAN BENTUK ALJABAR Kompetensi Dasar 3.1


2.1



Menentukan hasil penyederhanaan bentuk aljabar.

2.1.1

Mampu bersikap kritis, bertanggung jawab, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan penyederhanaan bentuk aljabar.


Siswa dapat menentukan hasil penyederhanaan bentuk aljabar.

2.1.1.1

Siswa dapat bersikap kritis, bertanggung jawab, dan tidak mudah menyerah dalam memecahkan masalah yang berkaitan dengan penyederhanaan bentuk aljabar.


81

Cek Kemampuan 7 Sederhanakan bentuk-bentuk aljabar berikut! a.

2𝑥 − 5 − 3𝑥 + 1

b.

5𝑘 + 4𝑗 − 2ℎ − 8𝑘 + 6 − 7ℎ

c.

2𝑥 3 − 3𝑥 − 𝑥 2 + 2𝑥 + 5

d.

7𝑦 2 − 3𝑦 + 4𝑦 + 8𝑦 2 + 4𝑦

e. f. g.

𝑥 2 −𝑥−12 𝑥−4 𝑥 4 −9 𝑥 2 −3 𝑥+1 𝑥 2 +3𝑥+2

Dalam bentuk aljabar juga terdapat bentuk aljabar pecahan. Ketika kalian membagi dua buah bentuk aljabar, hasil baginya bisa disajikan dalam bentuk aljabar pecahan. Bentuk aljabar

2𝑎 𝑎

dapat disederhanakan menjadi 2, demikian juga dengan bentuk

dapat disederhanakan menjadi 3. Bentuk

2𝑎 𝑎

dan

3 𝑎 +2 𝑎+2

3 𝑎+2 𝑎 +2

dapat disederhanakan karena

mempunyai faktor-faktor yang sama. Seringkali bentuk-bentuk aljabar tersebut tidak mempunyai faktor yang sama, sehingga tidak dapat disederhanakan atau dibagi. Biasanya bentuk-bentuk yang tidak dapat dibagi atau disederhanakan tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu. Bentuk 2 dan 3 dikatakan lebih sederhana karena mengandung bilangan-bilangan yang lebih sederhana dari bentuk sebelumnya namun memiliki nilai yang sama dengan bentuk awal. Selain itu, suatu bentuk aljabar dikatakan lebih sederhana jika mengandung operasi yang lebih sedikit. Untuk memahami penyederhanaan bentuk aljabar, mari kita amati beberapa penyederhanaan bentuk aljabar berikut.


82

Ayo Kita Amati Perhatikan beberapa contoh penyederhanaan bentuk aljabar berikut. Untuk memahami proses penyederhanaan berikut, sebaiknya ingat kembali sifat-sifat penjumlahan dan perkalian bentuk aljabar.

Contoh 1 Sederhanakan bentuk aljabar

3𝑥+6𝑦 9𝑥+12

Penyelesaian: 3𝑥+6𝑦 9𝑥+12

3 𝑥+2𝑦

=

3 3𝑥 +4 𝑥+2𝑦

=

3𝑥+4

faktorkan pembilang dan penyebut

sederhanakan (pembilang dan penyebut dibagi 3)


2𝑥 4𝑥+2

Penyelesaian: 2𝑥 4𝑥+2

=

=

2 𝑥 2 2𝑥 +1 𝑥 2𝑥+1


sederhanakan (pembilang dan penyebut dibagi 2)


83


𝑎 2 +𝑎𝑏 4𝑎+4𝑏

Penyelesaian: 𝑎 2 +𝑎𝑏

𝑎 𝑎+𝑏

=

4𝑎+4𝑏

4 𝑎+𝑏 𝑎

=


sederhanakan (pembilang dan

4

penyebut dibagi 𝑎 + 𝑏 dengan syarat 𝑎 + 𝑏 ≠ 0)

Contoh 4 Sederhanakan bentuk aljabar 3 𝑥 − 2 − 2 𝑥 − 4 Penyelesaian: 3 𝑥−2 −2 𝑥−4

=

3𝑥 + 3 −2 + −2 𝑥 + −2 −4

=

3𝑥 − 6 − 2𝑥 + 8

jabarkan

=

𝑥+2

sederhanakan

distributif


10 3𝑥

+

8 3𝑥

Penyelesaian: 10 3𝑥

+

8 3𝑥

= = =

18 3𝑥 3×6 3×𝑥 6 𝑥

jumlahkan pembilang (karena penyebutnya sudah sama) faktorkan penyebut dan pembilang sederhanakan


84


𝑥 2 −9 𝑥

×

2 𝑥−3

Penyelesaian: 𝑥 2 −9 𝑥

×

2 𝑥−3

𝑥2 −9

=

𝑥

2

× 𝑥−3

kalikan antar pembilang dan antar penyebut

𝑥+3 × 𝑥−3 ×2

=

𝑥× 𝑥−3 𝑥+3 ×2

=

sederhanakan, syarat 𝑥 − 3 ≠ 0

𝑥 2𝑥+6

=

faktorkan 𝑥 2 − 9

distributif

𝑥


8 𝑥 2 −4

×

2 2−3

Penyelesaian: 8 𝑥 2 −4

×

2 2−3

= = = = = =

8 𝑥+2 𝑥−2 8−2 𝑥+2 𝑥+2 𝑥−2 8−2𝑥−4 𝑥+2 𝑥−2 −2𝑥+4 𝑥+2 𝑥−2 −2 𝑥−2 𝑥+2 𝑥−2 −2 𝑥+2

−

2 𝑥−2

memfaktorkan bentuk 𝑥 2 − 4

menyamakan penyebut distributif mengoperasikan suku sejenis

memfaktorkan pembilang sederhanakan, syarat 𝑥 − 2 ≠ 0


85

LATIHAN 7 1.

Tuliskan bentuk-bentuk aljabar berikut dalam bentuk yang paling sederhana. a.

4𝑥 − 2𝑥

e.

𝑥 2 +3𝑥+2 𝑥+1

b. 8 + 3𝑥 − 𝑥 − 6 c.

3

2𝑥 − 3𝑥 − 𝑥 + 2𝑥 + 5 𝑥 2 −16 𝑥+4

d. 2.

2

:

𝑥

f.

𝑎 +𝑏 𝑎 +𝑏 − 𝑎 𝑏 𝑎 −𝑏 𝑎 +𝑏

3𝑥

Tiga orang siswa menyederhanakan 3𝑝 − 4𝑝. Masing-masing memperoleh hasil −1, −𝑝, dan −1𝑝. Tulislah jawaban manakah yang benar dan jelaskan alasanmu!

3.

Pertanyaan Terbuka Tulislah bentuk aljabar yang memuat 4 suku dan dapat disederhanakan menjadi bentukbentuk berikut! a. b. c. d.

4.

𝑥 2

−5 𝑎𝑏 𝑐

3𝑥 2 + 4𝑥 − 2 𝟐𝒙 − 𝟐 °

Ukuran dari dua sudut suatu segitiga ditunjukkan pada gambar disamping. Sederhanakan jumlah dari ukuran kedua sudut tersebut!

5.

𝒙 + 𝟏𝟎 °

Manakah pernyataan berikut ini yang benar? a. b. c.

6 18𝑦

=

17𝑥 2 𝑥𝑦 2

1 3𝑦

=

𝑚 𝑚𝑛 +2𝑚

17𝑥 𝑦

=

1 𝑛+1


86

Rangkuman 1.

Bentuk aljabar dapat disederhanakan karena mempunyai faktor-faktor yang sama. Jika bentuk-bentuk tersebut tidak mempunyai faktor yang sama, maka tidak dapat disederhanakan atau dibagi. Sehingga bentuk-bentuk yang tidak dapat dibagi atau disederhanakan tersebut harus difaktorkan terlebih dahulu.

2.

Bentuk aljabar dikatakan lebih sederhana jika mengandung bilangan-bilangan yang lebih sederhana dari bentuk sebelumnya namun memiliki nilai yang sama dengan bentuk awal. Selain itu, suatu bentuk aljabar dikatakan lebih sederhana jika mengandung operasi yang lebih sedikit.



2.

3.

𝑥 2 −𝑦 2 𝑥 2 +2𝑥𝑦 +𝑦 2

adalah . . . .

𝑥 2 −𝑦 2

c.

𝑥 2 +2𝑥𝑦 +𝑦 2 𝑥−𝑦

d.

𝑥+𝑦

𝑥−𝑦 𝑥−𝑦 1 2𝑥𝑦

Bentuk sederhana dari 2 𝑥 − 3𝑦 + 𝑥𝑦 − 2𝑥𝑦 + 3𝑥 adalah . . . . a. 4𝑥 − 𝑥𝑦 − 3𝑦

c. 4𝑥 − 6𝑦 + 𝑥𝑦

b. 5𝑥 − 𝑥𝑦 − 4𝑦

d. 5𝑥 − 6𝑦


4−9𝑎 2 2+3𝑎

=....

a. 4 − 6𝑎

c. 2 + 3𝑎

b. 4 + 6𝑎

d. 2 − 3𝑎 Modul Pembelajaran Matematika

87

4.


5.

6.

2𝑥−1

c.

2𝑥+1 2𝑥+1

d.

2𝑥−1

𝑥−2 𝑥+2 𝑥+2 𝑥−2

c. 4𝑥 + 3𝑦 − 4

b. 4𝑥 + 4𝑦

d. 4𝑥 + 4𝑦 − 4

3 𝑥+2

+

𝑥+3 𝑥 2 +3𝑥+2


4𝑥+6

c.

𝑥 2 +3𝑥+2 3𝑥+6

d.

𝑥 2 +3𝑥+2

Bentuk paling sederhana dari a. b.

9.

=....

a. 4𝑥 + 3𝑦

b.

8.

4𝑥 2 −1

Bentuk paling sederhana dari 5𝑥 + 3𝑦 − 2 − 𝑥 + 𝑦 + 2 adalah . . . .

a.

7.

4𝑥 2 −4𝑥+1

6𝑥 2 +13𝑥−5 4𝑥 2 −25

3𝑥−1

c.

2𝑥−5 3𝑥+1

d.

2𝑥+5


𝑥−1 1−𝑥

3𝑥+3 𝑥 2 +3𝑥+2 2𝑥+4 𝑥 2 +3𝑥+2

adalah . . . . 3𝑥−1 2𝑥+5 3𝑥+1 2𝑥−5

adalah . . . .

a. −𝑥

c. −1

b. 𝑥

d. 1

Bentuk paling sederhana dari a. b.

𝑥 𝑥−5 1 𝑥−5

𝑥 2 −𝑥 𝑥 2 +4𝑥−5

....

c. d.

𝑥 𝑥+5 1 𝑥+5


88

10. Bentuk sederhana dari: 3𝑥 + 5

2

− 5 2𝑥 2 + 6𝑥 + 3𝑥 + 5 3𝑥 − 5 adalah . . . .

a. 8𝑥 2 + 23𝑥

c. 12𝑥 2 − 24𝑥

b. 8𝑥 2

d. 12𝑥 2


Koreksi jawaban Anda dengan Kunci Jawaban Tes Formatif 7 yang terdapat di bagian akhir modul pembelajaran ini. Hitunglah jumlah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus berikut ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 7. Rumus: 𝐓𝐢𝐧𝐠𝐤𝐚𝐭 𝐏𝐞𝐧𝐠𝐮𝐚𝐬𝐚𝐚𝐧 =


90% - 100%

= baik sekali

80% - 89%

= baik

70% - 79%

= cukup

0% - 69%

= kurang

Jika Anda mencapai tingkat penguasaan 80% atau lebih, maka Anda telah berhasil menguasai seluruh materi disetiap kegiatan belajar dalam modul ini. Bagus! Tetapi jika tingkat penguasaan Anda kurang dari 80%, maka Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 7, terutama pada bagian yang belum Anda kuasai.


89

Evaluasi Tes Akhir

A Pilihan ganda Berilah tanda silang (x) pada huruf a, b, c, atau d pada jawaban yang benar. 1.

Panjang dua sisi sebuah segitiga berturut-turut adalah 𝑥 + 𝑎 cm dan 3𝑥 − 2𝑎 cm. Keliling segitiga tersebut adalah 2 2𝑥 + 𝑎 cm. Panjang sisi ketiga segitiga tersebut adalah....

2.

3.

4.

5.

6.

7.

a.

3𝑥 cm

c.

3𝑥 − 𝑎 cm

b.

3𝑎 cm

d.

𝑥 − 3𝑎 cm

Bentuk faktor dari 2𝑎2 + 4𝑎 + 2 adalah . . . . 2

a.

2 𝑎+1

b.

2 𝑎+1 𝑎+2

c.

2𝑎 + 1 2𝑎 + 2

d.

𝑎 + 1 2𝑎 + 1

Koefisien 𝑥 2 dan konstanta dari persamaan 𝑥 3 −3𝑥 2 + 𝑥 − 5 adalah . . . . a.

−3 dan −5

c.

3 dan −5

b.

−3 dan 5

d.

3 dan 5

Jumlah dari 6𝑥𝑦 + 3𝑦𝑧 + 4𝑧 dan 3𝑦𝑧 + 4𝑦𝑥 − 4𝑧 adalah . . . . a.

6𝑥𝑦 + 9𝑦𝑧

c.

8𝑥𝑦 + 7𝑦𝑧 − 8𝑥

b.

10𝑥𝑦 + 6𝑦𝑧

d.

6𝑥𝑦 + 8𝑦𝑧 + 8𝑧

Hasil pengurangan dari −3 2𝑝 + 1 dari 𝑝 + 5 adalah . . . . a.

−5𝑝 − 4

c.

7𝑝 + 6

b.

−5𝑝 + 2

d.

7𝑝 + 8

Hasil dari 𝑝 − 3𝑞 2𝑝 + 5𝑞 = . . . . a.

2𝑝2 − 𝑝𝑞 − 15𝑞 2

c.

2𝑝2 − 11𝑝𝑞 − 15𝑞 2

b.

2𝑝2 + 𝑝𝑞 − 15𝑞 2

d.

2𝑝2 + 11𝑝𝑞 − 15𝑞 2

Pemfaktoran dari 25𝑥 2 − 49𝑦 2 adalah . . . . a.

2𝑝2 − 𝑝𝑞 − 15𝑞 2

c.

2𝑝2 − 11𝑝𝑞 − 15𝑞 2

b.

2𝑝2 + 𝑝𝑞 − 15𝑞 2

d.

2𝑝2 + 11𝑝𝑞 − 15𝑞 2 Modul Pembelajaran Matematika

90

8.

Bentuk a. b.

9.

6𝑥 2 −22𝑥+20 4𝑥 2 −16


3𝑥−5 𝑥+2 3𝑥−5 𝑥−2

c. d.

3𝑥−5 2𝑥+4 3𝑥−5 2𝑥−4

Bentuk sederhana dari 3𝑥 − 5𝑦 + 4𝑥 − 6𝑦 adalah . . . . a.

7𝑥 − 11𝑦

c.

−𝑥 − 𝑦

b.

7𝑥 − 𝑦

d.

−𝑥 − 11𝑦

10. Hasil dari 3𝑥 + 7 2𝑥 − 5 = . . . . a.

6𝑥 2 − 29𝑥 − 35

c.

6𝑥 2 + 𝑥 − 35

b.

6𝑥 2 − 𝑥 − 35

d.

6𝑥 2 + 29𝑥 + 35

11. Salah satu faktor dari 6𝑥 2 − 7𝑥 − 20 adalah . . . . a.

3𝑥 − 4

c.

6𝑥 − 5

b.

3𝑥 + 4

d.

6𝑥 + 5

12. Suku-suku yang sejenis dari 4𝑚2 + 3𝑚 − 6𝑚2 + 4𝑚 adalah . . . . a.

4𝑚2 dan −6𝑚2 , 3𝑚 dan 4𝑚

c.

4𝑚2 dan −3𝑚 , 3𝑚 dan 4𝑚

b.


d.


13. Jika 𝑥 = 𝑎 − 𝑏 + 𝑐 dan 𝑦 = 2𝑎 + 𝑏 − 𝑐 maka nilai dari 2𝑥 − 3𝑦 adalah . . . . a.

4𝑎 + 5𝑏 − 5𝑐

c.

4𝑎 − 5𝑏 + 5𝑐

b.

−4𝑎 + 5𝑏 − 5𝑐

d.

−4𝑎 − 5𝑏 + 5𝑐

14. Diketahui 𝐴 = −7𝑥 + 5 dan 𝐵 = 2𝑥 − 3. Nilai 𝐴 − 𝐵 adalah . . . . a.

−9𝑥 + 2

c.

−5𝑥 + 2

b.

−9𝑥 + 8

d.

−5𝑥 + 8

15. Diketahui 𝑀 = 4𝑦 3 − 2𝑦 2 . Nilai M jika 𝑦 = 3 adalah . . . . a.

306

c.

108

b.

180

d.

−180 Modul Pembelajaran Matematika

91

16. Suatu persegi panjang mempunyai ukuran panjang 3𝑥 cm dan lebar 2𝑥 + 3 cm. Jika keliling persegi panjang tersebut adalah K, maka K = . . . . a.

5𝑥 + 3 cm

c.

10𝑥 + 6 cm

b.

6𝑥 + 3 cm

d.

12𝑥 + 6 cm

17. Bentuk paling sederhana dari 5𝑥 2 𝑦 − 3𝑥𝑦 2 − 7𝑥 2 𝑦 + 6𝑥𝑦 2 adalah . . . . a.

3𝑥𝑦 2 − 12𝑥 2 𝑦

c.

3𝑥𝑦 2 − 2𝑥 2 𝑦

b.

9𝑥𝑦 2 − 12𝑥 2 𝑦

d.

9𝑥𝑦 2 − 12𝑥 2 𝑦

18. Jumlah dari 4𝑥 + 5𝑦 − 8𝑧 dan 𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 adalah . . . . a.

5𝑥 + 3𝑦 − 11𝑧

c.

5𝑥 − 3𝑦 − 11𝑧

b.

4𝑥 + 3𝑦 − 11𝑧

d.

4𝑥 − 3𝑦 − 11𝑧

19. −2𝑥 + 3𝑦 dikurangkan dari 2𝑥 + 3𝑦, hasilnya . . . . a.

6𝑦

c.

4𝑥

b.

6𝑦 2

d.

−4𝑥

20. Apabila −5 𝑦 − 2 dikurangkan dari 7 𝑦 + 1 , hasilnya adalah . . . . a.

2𝑦 − 3

c.

12𝑦 + 17

b.

2𝑦 + 17

d.

12𝑦 − 3

21. 3𝑔 − 5ℎ

2

sama dengan . . . .

a.

9𝑔2 − 15𝑔ℎ + 25ℎ2

c.

9𝑔2 − 30𝑔ℎ − 25ℎ2

b.

9𝑔2 − 15𝑔ℎ − 25ℎ2

d.

9𝑔2 − 30𝑔ℎ + 25ℎ2

22. Bentuk sederhana dari a. b.

𝑥+3 3𝑥−2 𝑥−3 3𝑥−2

2𝑥 2 −5𝑥−3 6𝑥 2 −𝑥−2

adalah . . . . c. d.

𝑥−3 3𝑥+2 𝑥+3 3𝑥+2


92

23. Jika 3𝑥 − 𝑦

2

= 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦 2 , maka nilai dari 𝑎 + 𝑏

a.

226

c.

225

b.

10

d.

25

24. Hasil dari a. b.

𝑥 2 −𝑥−6 2𝑥−6 6𝑥−3

:

4𝑥−2

2

+ 𝑐5 = . . . .

adalah . . . .

3

c.

𝑥+3 2

d.

𝑥+3

𝑥+2 3 𝑥+3 2

25. Diketahui 𝑥 = −2, 𝑦 = 4, 𝑧 = −3, dan 𝑤 = −5. Nilai dari −2𝑥 2 − 𝑦𝑤 + 𝑧 2 adalah . . . . a.

−37

c.

21

b.

−17

d.

45

26. Hasil kali 2𝑥 + 3 𝑥 − 5 adalah . . . . a.

2𝑥 2 + 7𝑥 − 15

c.

2𝑥 2 − 7𝑥 − 15

b.

2𝑥 2 + 13𝑥 − 15

d.

2𝑥 2 − 13𝑥 − 15

27. Jika 5 𝑥 − 6 = 2 𝑥 − 3 , maka nilai dari 𝑥 + 3 adalah . . . . a.

19

c.

7

b.

11

d.

−9

28. Koefisien 𝑥 dari 12𝑥 2 − 43𝑥 + 35 adalah . . . . a.

43

c.

12

b.

−43

d.

35

29. Hasil dari 2𝑎 − 3𝑏 + 𝑐

2

=....

a.

4𝑎2 + 9𝑏 2 + 𝑐 2 − 12𝑎𝑏 + 4𝑎𝑐 − 6𝑏𝑐 c.

4𝑎2 + 9𝑏 2 + 𝑐 2 − 12𝑎𝑏 − 4𝑎𝑐 + 6𝑏𝑐

b.

4𝑎2 + 9𝑏 2 + 𝑐 2 + 12𝑎𝑏 − 4𝑎𝑐 + 6𝑏𝑐 d.

4𝑎2 + 9𝑏 2 + 𝑐 2 − 12𝑎𝑏 + 4𝑎𝑐 + 6𝑏𝑐

30. Hasil dari 9822 − 182 adalah . . . . a.

96.400

c.

964.000

b.

98.400

d.

984.000 Modul Pembelajaran Matematika

93

B Esai Selesaikanlah soal-soal di bawah ini. 1.

2.

3.

4.

5.

Tentukan hasil penjumlahan bentuk aljabar: a.

2𝑥 − 4𝑦 − 3𝑧 dengan −7𝑥 + 2𝑦 + 9𝑧

b.

3 2𝑥 2 − 4𝑥 + 5 dengan 2 4𝑥 2 + 3𝑥 − 7

Tentukan hasil pengurangan bentuk aljabar: a.

5𝑥 − 9𝑦 dari 7𝑥 + 15𝑦

b.

−𝑥 2 + 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 dari 5𝑥 2 − 9𝑥𝑦 − 4𝑦 2

Tentukan hasil perkalian dari: a.

3𝑥 − 3 𝑥 + 2

b.

𝑥 − 5 𝑥 2 − 4𝑥 + 20

Tentukan hasil bagi: a.

4𝑥 2 + 16𝑥 + 15 oleh 2𝑥 + 5

b.

𝑥 2 + 4𝑥 − 5 oleh 𝑥 − 1

Sederhanakan bentuk aljabar berikut. a. b.

6.

3𝑥 2 + 2𝑥 − 2𝑥 2 + 3 2𝑥 2 −8 𝑥 2 +𝑥−6

Tuliskan bentuk aljabar yang hilang di setiap lingkaran kosong berikut.

7 − 5𝑚

−8 + 15𝑚

10 − 6𝑚


94

7.

8.

Faktorkanlah: a.

𝑥 2 − 19𝑥 + 18

b.

𝑥 2 − 9𝑥 + 14

Tentukan keliling daerah berikut, jika diketahui 𝑥 + 𝑦 = 12. 𝒙 𝒙

𝒚

𝒚

𝒙

𝒚

𝒚 𝒙

𝒚

𝒚

𝒙

𝒙 9.

Tentukan hasil perpangkatan berikut. 2

a.

𝑝−3

b.

2𝑥 − 1

2

10. Jika 𝑎 = 2𝑥, 𝑏 = 7𝑦, dan 𝑐 = −9𝑧, maka tentukan nilai dari: a.

𝑎2 + 2𝑏 − 𝑐 2

b.

𝑎2 𝑏 2 𝑐 2 : 7𝑎 − 𝑏


95

Kunci Jawaban Cek Kemampuan

Cek Kemampuan 1 1

1.

Misalkan umur mira sekarang 𝑥, berarti 𝑥 − 30 = 4 𝑥.

2.

Misalkan bilangan tersebut 𝑥, berarti 5𝑥 − 3 = 12

3.

a. Bentuk aljabar 12𝑥 + 5 merupakan bentuk aljabar suku dua (binomial). Sukusukunya adalah 12𝑥 dan 5. Variabel bentuk aljabar 12𝑥 + 5 adalah 𝑥. Adapun koefisien dari 12𝑥 adalah 12. b. Bentuk aljabar 5𝑥 − 9 merupakan bentuk aljabar suku dua (binomial). Sukusukunya adalah 5𝑥 dan −9. Variabel bentuk aljabar 5𝑥 − 9 adalah 𝑥. Adapun koefisien dari 5𝑥 adalah 5. c. Bentuk aljabar 21𝑥 − 5𝑦 + 9 merupakan bentuk aljabar suku tiga (trinomial). Sukusukunya adalah 21𝑥, −5𝑦, dan 9. Variabel bentuk aljabar 21𝑥 − 5𝑦 + 9 adalah 𝑥 dan 𝑦. Adapun koefisien dari 21𝑥 adalah 21 dan koefisien dari −5𝑦 adalah −5.

4.

Aku adalah konstanta.

5.

Konstanta pada bentuk aljabar 4𝑥 2 + 4𝑥𝑦 + 5𝑥 − 𝑦 − 8 adalah −8.

Cek Kemampuan 2 1.

Kalimat “kurangkanlah 2𝑦 2 + 11𝑦 dari 𝑥 2 − 8𝑦 2 + 7” bermakna bahwa kamu harus melakukan operasi pengurangan (𝑥 2 − 8𝑦 2 + 7) − ( 2𝑦 2 + 11𝑦). Dengan demikian, (𝑥 2 − 8𝑦 2 + 7) − ( 2𝑦 2 + 11𝑦 ) = 𝑥 2 − 8𝑦 2 + 7−2𝑦 2 − 11𝑦 = 𝑥 2 − 8𝑦 2 −2𝑦 2 − 11𝑦 + 7 = 𝑥 2 − 10𝑦 2 − 11𝑦 + 7 Dapat juga diselesaikan dengan cara berikut. 𝑥 2 − 8𝑦 2 + 7 2𝑦 2 + 11𝑦 𝑥 2 − 10𝑦 2 − 11𝑦 + 7 Modul Pembelajaran Matematika

96

2.

a. 3𝑥 − 4𝑦 + 8𝑥 = 3𝑥 + 8𝑥 − 4𝑦 = 11𝑥 − 4𝑦 b. 12𝑎 + 3𝑏 − 4𝑎 + 11𝑏 + 6 = 12𝑎 − 4𝑎 + 3𝑏 + 11𝑏 + 6 = 8𝑎 + 14𝑏 + 6

3.

(3𝑥 2 − 3𝑦 2 ) + (3𝑥𝑦 − 5𝑦 2 + 8𝑥) = 3𝑥 2 − 3𝑦 2 + 3𝑥𝑦 − 5𝑦 2 + 8𝑥 = 3𝑥 2 − 3𝑦 2 − 5𝑦 2 + 3𝑥𝑦 + 8𝑥 = 3𝑥 2 − 8𝑦 2 + 3𝑥𝑦 + 8𝑥

4. Diketahui 𝐴 = −2𝑥 + 𝑦 dan 𝐵 = 3𝑥 − 4𝑦, 𝐴 − 𝐵 = (−2𝑥 + 𝑦) − (3𝑥 − 4𝑦) = −2𝑥 + 𝑦 − 3𝑥 + 4𝑦 = −2𝑥 − 3𝑥 + 𝑦 + 4𝑦 = −5𝑥 + 𝑦 + 4𝑦

Cek Kemampuan 3 1.

a. 2 𝑥 + 1 = 2 𝑥 + 2 1 = 2𝑥 + 2 b. 3𝑥 𝑥 − 2 = 3𝑥 𝑥 − 3𝑥 2 = 3𝑥 2 − 6𝑥 c.

𝑥+2 𝑥−1

=𝑥 𝑥 −𝑥 1 +2 𝑥 −2 1 = 𝑥 2 − 𝑥 + 2𝑥 − 2 = 𝑥2 + 𝑥 − 2

d.

5𝑥𝑦 𝑥 − 3𝑦 + 5 = 5𝑥𝑦 𝑥 − 5𝑥𝑦 3𝑦 + 5𝑥𝑦 5 = 5𝑥 2 𝑦 − 15𝑥𝑦 2 + 25𝑥𝑦

2.

Diketahui: Panjang sisi persegi = 𝑥 + 4 cm Ditanyakan: Keliling dan luas persegi. Jawab: Keliling persegi = 4 × sisi = 4 𝑥 + 4 = 4𝑥 + 16 Luas persegi = sisi × sisi = 𝑥 + 4 𝑥 + 4 =𝑥 𝑥 +𝑥 4 +4 𝑥 +4 4


97

= 𝑥 2 + 4𝑥 + 4𝑥 + 16 = 𝑥 2 + 8𝑥 + 16 Jadi keliling persegi adalah 4𝑥 + 16 cm dan luas persegi adalah 𝑥 2 + 8𝑥 + 16 cm2 3.

a.

𝑎−8 𝑎+3 =𝑎 𝑎 +𝑎 3 −8 𝑎 −8 3 = 𝑎2 + 3𝑎 − 8𝑎 − 24 = 𝑎2 − 5𝑎 − 24

b. 3 𝑥 + 5 + 5 𝑥 − 3 = 3 𝑥 + 3 5 + 5 𝑥 − 5 3 = 3𝑥 + 15 + 5𝑥 − 15 = 3𝑥 + 5𝑥 + 15 − 15 = 8𝑥

Cek Kemampuan 4 1.

𝑝 = 3 , 𝑞 = 2, dan 𝑟 = −6 𝑝2 − 𝑞𝑟

2

= 32 − 2 −6 = 9 − −12

2

2

= 9 − 144 = −135 2.

a.

2𝑎 + 𝑏

2

= 2𝑎 + 𝑏 2𝑎 + 𝑏 = 2𝑎 2𝑎 + 𝑏 + 𝑏 2𝑎 + 𝑏 = 2𝑎 2𝑎 + 2𝑎 𝑏 + 𝑏 2𝑎 + 𝑏 𝑏 = 4𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 4𝑎2 + 4𝑎𝑏 + 𝑏 2

b.

𝑎−𝑏

2

= 𝑎−𝑏 𝑎−𝑏 =𝑎 𝑎−𝑏 −𝑏 𝑎−𝑏 = 𝑎 𝑎 − 𝑎 𝑏 + −𝑏 𝑎 − −𝑏 𝑏 = 𝑎2 − 𝑎𝑏 − 𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏 2

c.

𝑎+𝑏

3

= 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏

2

= 𝑎 + 𝑏 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2


98

= 𝑎 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 + 𝑏 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏 2 = 𝑎3 + 2𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 + 𝑎2 𝑏 + 2𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 2𝑎2 𝑏 + 𝑎2 𝑏 + 𝑎𝑏 2 + 2𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 = 𝑎3 + 3𝑎2 𝑏 + 3𝑎𝑏 2 + 𝑏 3 3.

−3𝑥 − 𝑦

2

− 2𝑦 + 2𝑥

2

= −3𝑥 − 𝑦 −3𝑥 − 𝑦 − 2𝑦 + 2𝑥 2𝑦 + 2𝑥 = −3𝑥 −3𝑥 − 𝑦 − 𝑦 −3𝑥 − 𝑦

− 2𝑦 2𝑦 + 2𝑥 + 2𝑥 2𝑦 + 2𝑥

= 9𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 − 4𝑦 2 + 4𝑥𝑦 + 4𝑥𝑦 + 4𝑥 2 = 9𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 −4𝑦 2 − 4𝑥𝑦 − 4𝑥𝑦 − 4𝑥 2 = 9𝑥 2 − 4𝑥 2 + 3𝑥𝑦 + 3𝑥𝑦 − 4𝑥𝑦 − 4𝑥𝑦 + 𝑦 2 −4𝑦 2 = 5𝑥 2 − 2𝑥𝑦−3𝑦 2 4.

𝑥+𝑦

2

= 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦 2

𝑥+𝑦

2

= 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦 =𝑥 𝑥+𝑦 +𝑦 𝑥+𝑦 =𝑥 𝑥 +𝑥 𝑦 +𝑦 𝑥 +𝑦 𝑦 = 𝑥 2 + 𝑥𝑦 + 𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2

𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦 2 = 𝑥 2 + 2𝑥𝑦 + 𝑦 2 Sehingga diperoleh nilai 𝑎 = 1 , 𝑏 = 2 , dan 𝑐 = 1. 𝑎+𝑏+𝑐

5

= 1+2+1

5

= 45 = 4 × 4 × 4 × 4 × 4 = 1024

Cek Kemampuan 5 1.

a.

5𝑥𝑦 : 2𝑥 =

= =

5𝑥𝑦 2𝑥 5𝑦 ×𝑥 2×𝑥 5𝑦 2 5

= 𝑦 2

ubah ke dalam bentuk pecahan jabarkan sederhanakan ubah ke dalam bentuk lain


99

b.

𝑝 2 𝑞×𝑝𝑞

𝑝2 𝑞 × 𝑝𝑞 : 𝑝2 𝑞 2 =

𝑝3𝑞2

= =

ubah ke dalam bentuk pecahan

𝑝2𝑞2

operasikan pembilangnya

𝑝2𝑞2 𝑝 2 𝑞 2 ×𝑝

jabarkan

𝑝2𝑞2

=𝑝 2.

a.

b.

3 𝑎+𝑏 2 𝑎+𝑏 −2𝑎 3 𝑏

= =

sederhanakan

3 2

−2 3 𝑎 3 𝑏3

=

3. 𝑥𝑦 4 + 3𝑥 2 𝑦 − 𝑥𝑦 3 : 𝑥 = =

−8𝑎 3 𝑏3

𝑥𝑦 4 +3𝑥 2 𝑦 −𝑥𝑦 3 𝑥 𝑥𝑦 4 𝑥

+

3𝑥 2 𝑦 𝑥

−

𝑥𝑦 3 𝑥

= 𝑦 4 + 3𝑥𝑦 − 𝑦 3 4.

Untuk mencari bentuk aljabar tersebut dapat dilakukan dengan cara membagi 2𝑥 2 − 2𝑥 − 12 oleh 2𝑥 − 6 sebagai berikut. 𝑥+2 2𝑥 − 6

2𝑥 2 − 2𝑥 − 12 2𝑥 2 − 6𝑥 4𝑥 − 12 4𝑥 − 12 0

Jadi, bentuk aljabar tersebut adalah 𝑥 + 2.

Cek Kemampuan 6 a.

8𝑎 − 2 Carilah faktor persekutuan dari 8𝑎 dan −2. FPB dari 8 dan −2 adalah 2, kemudian bagilah setiap suku dengan FPB tersebut. 8𝑎 2

= 4𝑎 dan

−2 2

= −1

Jadi, 8𝑎 − 2 = 2 4𝑎 − 1 Modul Pembelajaran Matematika

100

b.

𝑥 2 + 10𝑥 Carilah FPB dari 𝑥 2 dan 10𝑥. 𝑥2 = 𝑥 × 𝑥 10𝑥 = 2 × 5 × 𝑥 Dengan demikian FPB dari 𝑥 2 dan 10𝑥 adalah 𝑥. 𝑥2 𝑥

= 𝑥 dan

10𝑥 𝑥

= 10

Jadi, 𝑥 2 + 10𝑥 = 𝑥 𝑥 + 10 c.

𝑥 2 + 10𝑥 + 25 𝑎 + 𝑏 = 10

𝑎=5

𝑎 × 𝑏 = 25

𝑏=5

𝑥 2 + 10𝑥 + 25 = 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥+5 𝑥+5 d.

2𝑥 2 𝑦 + 6𝑥 2 𝑦 2 − 10𝑥𝑦 2 = 2𝑥𝑦 𝑥 + 2𝑥𝑦 3𝑥𝑦 − 2𝑥𝑦 5𝑦 = 2𝑥𝑦 𝑥 + 3𝑥𝑦 − 5𝑦 (Pisahkan faktor yang sama)

e.

𝑥4 − 𝑦4 = 𝑥2

2

− 𝑦2

2

= 𝑥2 + 𝑦2 𝑥2 − 𝑦2 = 𝑥2 + 𝑦2 𝑥 + 𝑦 𝑥 − 𝑦 f.

−15𝑝2 𝑞 2 + 10𝑝𝑞 Faktor persekutuan dari −15 dan 10 adalah 5. Faktor persekutuan dari 𝑝2 𝑞 2 dan 𝑝𝑞 adalah 𝑝𝑞. Jadi, −15𝑝2 𝑞 2 + 10𝑝𝑞 = 5𝑝𝑞 −3𝑝𝑞 + 2

g.

3𝑥 + 3 = 3 𝑥 + 1

h.

8𝑎2 𝑏 2 + 𝑎𝑏 = 𝑎𝑏 8𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 1 = 𝑎𝑏 8𝑎𝑏 + 1 (Pisahkan faktor yang sama)

i.

4𝑎𝑥 + 2𝑎𝑦 = 2𝑎 2𝑥 + 𝑦 (Gunakan sifat distributif)


101

Cek Kemampuan 7 a. 2𝑥 − 5 − 3𝑥 + 1 = 2𝑥 − 3𝑥 − 5 + 1 = −𝑥 − 4 b. 5𝑘 + 4𝑗 − 2ℎ − 8𝑘 + 6 − 7ℎ = 5𝑘 − 8𝑘 + 4𝑗 − 2ℎ − 7ℎ + 6 = −3𝑘 + 4𝑗 − 9ℎ + 6 c. 2𝑥 3 − 3𝑥 − 𝑥 2 + 2𝑥 + 5 = 2𝑥 3 − 𝑥 2 − 3𝑥 + 2𝑥 + 5 = 2𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 + 5 d. 7𝑦 2 − 3𝑦 + 4𝑦 + 8𝑦 2 + 4𝑦 = 7𝑦 2 + 8𝑦 2 − 3𝑦 + 4𝑦 + 4𝑦 = 15𝑦 2 + 5𝑦 e. f. g.

𝑥 2 −𝑥−12 𝑥−4 𝑥 4 −9 𝑥 2 −3

=

𝑥+1 𝑥 2 +3𝑥+2

=

𝑥−4 𝑥+3 𝑥−4

𝑥 2 −3 𝑥 2 +3 𝑥 2 −3

=

= 𝑥+3

= 𝑥2 + 3

𝑥+1 𝑥+1 𝑥+2

=

1 𝑥+2


102

Kunci Jawaban Latihan

Latihan 1 1.

a. Bentuk aljabar 6𝑎 − 6 merupakan bentuk aljabar suku dua (binomial). Koefisien 𝑎 pada bentuk aljabar 6𝑎 − 6 adalah 6. b. Bentuk aljabar 4𝑎3 − 2𝑎2 − 7𝑎 + 6 merupakan bentuk aljabar suku banyak (polinomial) karena lebih dari tiga suku. Koefisien 𝑎 pada bentuk aljabar 4𝑎3 − 2𝑎2 − 7𝑎 + 6 adalah −7. c. Bentuk aljabar 3𝑎3 − 2𝑎2 − 4𝑎 + 7 merupakan bentuk aljabar suku banyak (polinomial) karena lebih dari tiga suku. Koefisien 𝑎 pada bentuk aljabar 3𝑎3 − 2𝑎2 − 4𝑎 + 7 adalah −4. d. Bentuk aljabar 6𝑎2 + 3𝑎 merupakan bentuk aljabar suku dua (binomial). Koefisien 𝑎 pada bentuk aljabar 6𝑎2 + 3𝑎 adalah 3.

2.

Misalkan satu karung beras adalah 𝑥, sehingga diperoleh bentuk aljabar 2𝑥 + 8.

3.

a. Bentuk aljabar 12𝑥 merupakan suku tunggal (monomial). Variabelnya adalah 𝑥. Koefisien dari 12𝑥 adalah 12. b. Bentuk aljabar 4𝑥 3 + 2𝑥 merupakan suku dua (binomial). Variabelnya adalah 𝑥. Koefisien dari 4𝑥 3 adalah 4, dan koefisien dari 2𝑥 adalah 2. c. Bentuk aljabar 2𝑦 + 10𝑦 2 + 4𝑦 3 merupakan suku tiga (trinomial). Variabelnya adalah 𝑦. Koefisien dari 2𝑦 adalah 2, koefisien dari 10𝑦 2 adalah 10, dan koefisien dari 4𝑦 3 adalah 4. 𝑥

𝑥−4

1

4.

Misalkan sebuah pecahan tersebut adalah 𝑦 , berarti 𝑦+3 = − 7 .

5.

Pak Joko membeli buah apel sebanyak tiga keranjang. Sedangkan Pak Hadi membeli buah apel sebanyak 5 buah. Jumlah buah apel yang dibeli Pak Joko dan Pak Hadi dapat ditulis dalam bentuk aljabar 3𝑥 + 5. Variabel 𝑥 menyatakan banyaknya apel yang ada dalam satu keranjang. Kalian dapat memberikan contoh lain yang sesuai dengan ketentuan.

6.

Contoh bentuk aljabar yang terdiri dari dua variabel:  𝑎 + 2𝑏 = 16  2𝑥 − 𝑦 = 5 Kamu juga dapat memberikan contoh bentuk aljabar lainnya. Modul Pembelajaran Matematika

103

7.

Contoh dan non-contoh suku satu, suku dua, dan suku tiga.  Contoh o 3𝑥

“suku satu”

Karena hanya terdiri dari satu suku dan tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.. o 2𝑎 + 𝑏

“suku dua”

Karena terdiri dari dua suku dan dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih. o 3𝑥 − 𝑦 − 5𝑧

“suku tiga”

Karena terdiri dari tiga suku dan dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.  Non-contoh o 4𝑥 + 2

“bukan suku satu”

Karena terdiri dari dua suku. o 4𝑎 + 5𝑎

“bukan suku dua”

Karena 4𝑎 + 5𝑎 = 9𝑎 dan merupakan suku satu. o 𝑦=5

“bukan suku tiga”

Karena bukan bentuk aljabar dan merupakan sebuah persamaan. Kamu juga dapat memberikan contoh lain yang sesuai dengan ketentuan pada soal.

Latihan 2 1.

a.

4𝑝 + 8 + 5𝑝 − 6 = 4𝑝 + 8 + 5𝑝 − 6 = 4𝑝 + 5𝑝 + 8 − 6 = 9𝑝 + 2

b. (4𝑦 3 + 5𝑦 + 6) + 7𝑦 3 − 5𝑦 2 − 3𝑦 + 1 = 4𝑦 3 + 5𝑦 + 6 + 7𝑦 3 − 5𝑦 2 − 3𝑦 + 1 = 4𝑦 3 + 7𝑦 3 − 5𝑦 2 + 5𝑦 − 3𝑦 + 6 + 1 = 11𝑦 3 − 5𝑦 2 + 2𝑦 + 7


104

2.

a. Kurangkanlah 4𝑤 − 6 dari 7𝑦 − 3 berarti kita harus menghitung 7𝑦 − 3 − 4𝑤 − 6 . 7𝑦 − 3 − 4𝑤 − 6 = 7𝑦 − 3 − 4𝑤 + 6 = 7𝑦 − 4𝑤 − 3 + 6 = 7𝑦 − 4𝑤 + 3 b. Kurangkanlah −4𝑟𝑡 + 5𝑟𝑤 oleh (8𝑟𝑡 − 3𝑟𝑤) berarti kita harus menghitung −4𝑟𝑡 + 5𝑟𝑤 − (8𝑟𝑡 − 3𝑟𝑤). −4𝑟𝑡 + 5𝑟𝑤 − (8𝑟𝑡 − 3𝑟𝑤) = −4𝑟𝑡 + 5𝑟𝑤 − 8𝑟𝑡 + 3𝑟𝑤 = −4𝑟𝑡 − 8𝑟𝑡 + 5𝑟𝑤 + 3𝑟𝑤 = −12𝑟𝑡 + 8𝑟𝑤

3.

𝐴 = −2𝑥 + 𝑦 dan 𝐵 = 3𝑥 − 4𝑦 a. A + B (−2𝑥 + 𝑦) + (3𝑥 − 4𝑦) = −2𝑥 + 𝑦 + 3𝑥 − 4𝑦 = −2𝑥 + 3𝑥 + 𝑦 − 4𝑦 = 𝑥 − 3𝑦 b. B – A 3𝑥 − 4𝑦 − −2𝑥 + 𝑦 = 3𝑥 − 4𝑦 + 2𝑥 − 𝑦 = 3𝑥 + 2𝑥 − 4𝑦 − 𝑦 = 5𝑥 − 5𝑦

4.

6𝑎5 𝑏 − 2𝑎 − 4𝑎5 𝑏 + 4𝑎𝑏 3 − 3𝑎2 𝑏 2 + 9𝑎𝑏 3 − 2𝑎𝑏 = 6𝑎5 𝑏 − 2𝑎 − 4𝑎5 𝑏 − 4𝑎𝑏 3 + 3𝑎2 𝑏 2 + 9𝑎𝑏 3 − 2𝑎𝑏 = 6𝑎5 𝑏 − 4𝑎5 𝑏 + 3𝑎2 𝑏 2 − 4𝑎𝑏 3 + 9𝑎𝑏 3 − 2𝑎𝑏 − 2𝑎 = 2𝑎5 𝑏 + 3𝑎2 𝑏 2 + 5𝑎𝑏 3 − 2𝑎𝑏 − 2𝑎

5.

a.

3𝑥 2 − 2𝑥 + 5 + 𝑥 2 + 4𝑥 − 3 = 3𝑥 2 − 2𝑥 + 5 + 𝑥 2 + 4𝑥 − 3 = 3𝑥 2 + 𝑥 2 − 2𝑥 + 4𝑥 + 5 − 3 = 4𝑥 2 + 2𝑥 + 2

b. 10𝑦 2 − 6 − 4𝑦 2 + 3𝑦 − 2 = 10𝑦 2 − 4𝑦 2 + 3𝑦 − 6 − 2 = 6𝑦 2 + 3𝑦 − 8


105

6.

Contoh dua bentuk aljabar yang hasil penjumlahannya 3𝑥 − 8. 𝑥 + 5 + 2𝑥 − 13 = 𝑥 + 2𝑥 + 5 − 13 = 3𝑥 − 8 Contoh dua bentuk aljabar yang hasil pengurangannya 3𝑥 − 8. 4𝑥 − 10 − 𝑥 − 2 = 4𝑥 − 10 − 𝑥 + 2 = 3𝑥 − 8 Kalian bisa memberikan contoh bentuk aljabar yang lainnya.

Latihan 3 1.

a.

𝒂

𝒂

𝒂

𝒂𝟐

𝒂𝟐

𝒂

𝒂𝟐

𝒂𝟐

Cara ( i ) dengan sifat distributif Luas = 𝑠 × 𝑠 = 2𝑎 × 2𝑎 = 4𝑎2 Cara ( ii ) dengan ubin aljabar yaitu peragaan mencari luas persegi dengan panjang sisi 𝑠 = 2𝑎. Luas = 𝑎2 + 𝑎2 + 𝑎2 + 𝑎2 = 4𝑎2 Jadi, luas bangun datar adalah 4𝑎2 satuan luas. b. 𝟑𝒂 𝒂𝒃

𝒂𝒃

𝒂𝒃

𝒂𝒃

𝒂𝒃

𝒂𝒃

𝒂𝒃

𝒂𝒃

𝒂𝒃

𝟑𝒃

Cara ( i ) dengan sifat distributif Luas = 𝑝 × 𝑙 = 3𝑎 × 3𝑏 = 9𝑎𝑏 Modul Pembelajaran Matematika

106

Cara ( ii ) dengan ubin aljabar yaitu peragaan mencari luas persegi panjang dengan 𝑝 = 3𝑎 dan 𝑙 = 3𝑏. Luas = 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 = 9𝑎𝑏 Jadi, luas bangun datar adalah 9𝑎𝑏 satuan luas. 𝟐𝒔

c.

𝟑𝒔

𝒕

𝒔𝟐

𝒔𝟐

𝒔𝟐

𝒔𝟐

𝒔𝟐

𝒔𝟐

3st

Cara ( i ) dengan sifat distributif Luas = 𝑝 × 𝑙 = 3𝑠 2𝑠 + 𝑡 = 3𝑠 2𝑠 + 3𝑠 𝑡 = 6𝑠 2 + 3𝑠𝑡 Cara ( ii ) dengan ubin aljabar yaitu peragaan mencari luas persegi panjang dengan 𝑝 = 3𝑠 dan 𝑙 = 2𝑠 + 𝑡 . Luas = 𝑠 2 + 𝑠 2 + 𝑠 2 + 𝑠 2 + 𝑠 2 + 𝑠 2 + 3𝑠𝑡 = 6𝑠 2 + 3𝑠𝑡 Jadi, luas bangun datar adalah 6𝑠 2 + 3𝑠𝑡 satuan luas. 2.

3𝑎 + 6 2𝑎 − 6 = 𝑟𝑎2 − 6𝑎 − 36 3𝑎 + 6 2𝑎 − 6 = 3𝑎 2𝑎 − 6 + 6 2𝑎 − 6 = 3𝑎 2𝑎 − 3𝑎 6 + 6 2𝑎 − 6 6 = 6𝑎2 − 18𝑎 + 12𝑎 − 36 = 6𝑎2 − 6𝑎 − 36 𝑟𝑎2 − 6𝑎 − 36 = 6𝑎2 − 6𝑎 − 36 Jadi, nilai 𝑟 = 6


107

3.

a.

6 2𝑦 − 10 = 6 2𝑦 − 6 10 = 12𝑦 − 60

b.

𝑥 + 5 5𝑥 − 1 = 𝑥 5𝑥 − 1 + 5 5𝑥 − 1 = 𝑥 5𝑥 − 𝑥 1 + 5 5𝑥 − 5 1 = 5𝑥 2 − 𝑥 + 25𝑥 − 5 = 5𝑥 2 + 24𝑥 − 5

c.

7 − 2𝑥 2𝑥 − 7 = 7 2𝑥 − 7 − 2𝑥 2𝑥 − 7 = 7 2𝑥 − 7 7 + −2𝑥 2𝑥 − −2𝑥 7 = 14𝑥 − 49 − 4𝑥 2 + 14𝑥 = −4𝑥 2 + 28𝑥 − 49

4.

Luas kebun = 6𝑥 2 + 6𝑥 cm2 Contoh ukuran panjang dan lebar kebun yang sesuai yaitu: 2𝑥 cm dan 3𝑥 + 3 cm atau 6𝑥 cm dan 𝑥 + 1 cm Temukan bentuk aljabar lain yang menyatakan ukuran panjang dan lebar kebun tersebut, sehingga memenuhi luas kebun yaitu 6𝑥 2 + 6𝑥 cm2.

5.

𝐴 = 2𝑎 + 3𝑏 + 4𝑐 dan 𝐵 = 4𝑎 − 3𝑏 − 𝑐 2𝐴 + 𝐵 = 2 2𝑎 + 3𝑏 + 4𝑐 + 4𝑎 − 3𝑏 − 𝑐 = 2 2𝑎 + 2 3𝑏 + 2 4𝑐 + 4𝑎 − 3𝑏 − 𝑐 = 4𝑎 + 6𝑏 + 8𝑐 + 4𝑎 − 3𝑏 − 𝑐 = 4𝑎 + 4𝑎 + 6𝑏 − 3𝑏 + 8𝑐 − 𝑐 = 8𝑎 + 3𝑏 + 7𝑐

Latihan 4 1.

a.

𝑥−𝑦−𝑧

2

= 𝑥−𝑦−𝑧 𝑥−𝑦−𝑧 = 𝑥 𝑥−𝑦−𝑧 −𝑦 𝑥−𝑦−𝑧 −𝑧 𝑥−𝑦−𝑧 = 𝑥 2 − 𝑥𝑦 − 𝑥𝑧 − 𝑥𝑦 + 𝑦 2 + 𝑦𝑧 − 𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 + 𝑧 2 = 𝑥 2 − 2𝑥𝑦 − 2𝑥𝑧 + 𝑦 2 + 2𝑦𝑧 + 𝑧 2 = 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝑧 2 − 2𝑥𝑦 − 2𝑥𝑧 + 2𝑦𝑧 Modul Pembelajaran Matematika

108

b.

3𝑎 + 𝑏 + 2𝑐

2

= 3𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 3𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 3𝑎 3𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 + 𝑏 3𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 + 2𝑐 3𝑎 + 𝑏 + 2𝑐 = 9𝑎2 + 3𝑎𝑏 + 6𝑎𝑐 + 3𝑎𝑏 + 𝑏 2 + 2𝑏𝑐 + 6𝑎𝑐 + 2𝑏𝑐 + 4𝑐 2 = 9𝑎2 + 6𝑎𝑏 + 12𝑎𝑐 + 𝑏 2 + 4𝑏𝑐 + 4𝑐 2 = 9𝑎2 + 𝑏 2 + 4𝑐 2 + 6𝑎𝑏 + 12𝑎𝑐 + 4𝑏𝑐

2.

a.

𝑥+2

3

= 𝑥+2 𝑥+2

2

= 𝑥 + 2 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 𝑥 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 + 2 𝑥 2 + 4𝑥 + 4 = 𝑥 3 + 4𝑥 2 + 4𝑥 + 2𝑥 2 + 8𝑥 + 8 = 𝑥 3 + 6𝑥 2 + 12𝑥 + 8 Jadi, koefisien dari 𝑥 2 pada bentuk aljabar 𝑥 + 2 b.

2𝑥 − 3

3

= 2𝑥 − 3 2𝑥 − 3

3

adalah 6.

2

= 2𝑥 − 3 4𝑥 2 − 12𝑥 + 9 = 2𝑥 4𝑥 2 − 12𝑥 + 9 − 3 4𝑥 2 − 12𝑥 + 9 = 8𝑥 3 − 24𝑥 2 + 18𝑥 − 12𝑥 2 + 36𝑥 − 27 = 8𝑥 3 − 36𝑥 2 + 54𝑥 − 27 Jadi, koefisien dari 𝑥 2 pada bentuk aljabar 2𝑥 − 3 3.

3𝑥 − 𝑦

2

= 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦 2

3𝑥 − 𝑦

2

= 3𝑥 − 𝑦 3𝑥 − 𝑦

3

adalah −36.

= 3𝑥 3𝑥 − 𝑦 − 𝑦 3𝑥 − 𝑦 = 9𝑥 2 − 3𝑥𝑦 − 3𝑥𝑦 + 𝑦 2 = 9𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 𝑦 2 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥𝑦 + 𝑐𝑦 2 = 9𝑥 2 − 6𝑥𝑦 + 𝑦 2 Diperoleh nilai 𝑎 = 9 , 𝑏 = −6 , dan 𝑐 = 1. 𝑎+𝑏+𝑐 4.

5

= 9−6+1

5

= 45 = 1024

a. Dengan ( i ) menerapkan segitiga pascal 2𝑥 − 1

2

= 1 2𝑥

2

1

0

− 2 2𝑥

1

1

1

+ 1 2𝑥

0

1

2

= 1 4𝑥 2 1 − 2 2𝑥 1 + 1 1 1 = 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1


109

Dengan ( ii ) sifat distributif perkalian 2

2𝑥 − 1

= 2𝑥 − 1 2𝑥 − 1 = 2𝑥 2𝑥 − 1 − 1 2𝑥 − 1 = 4𝑥 2 − 2𝑥 − 2𝑥 + 1 = 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1

b. Dengan ( i ) menerapkan segitiga pascal 3 + 5𝑥

2

=1 3

2

5𝑥

0

+2 3

1

5𝑥

1

+1 3

0

5𝑥

2

= 1 9 1 + 2 3 5𝑥 + 1 1 25𝑥 2 = 9 + 30𝑥 + 25𝑥 2 = 25𝑥 2 + 30𝑥 + 9 Dengan ( ii ) sifat distributif perkalian 2

3 + 5𝑥

= 3 + 5𝑥 3 + 5𝑥

= 3 3 + 5𝑥 + 5𝑥 3 + 5𝑥 = 9 + 15𝑥 + 15𝑥 + 25𝑥 2 = 25𝑥 2 + 30𝑥 + 9 c.

2

3𝑥 + 1

− 3𝑥 − 1

2

=

3𝑥 + 1 3𝑥 + 1 − 3𝑥 − 1 3𝑥 − 1

= 9𝑥 2 + 6𝑥 + 1 −

9𝑥 2 − 6𝑥 + 1

= 9𝑥 2 − 9𝑥 2 + 6𝑥 + 6𝑥 + 1 − 1 = 12𝑥 5.

6.

3

= 5𝑎 × 5𝑎 × 5𝑎 = 125𝑎3

a.

5𝑎

b.

2𝑥𝑦

2

= 2𝑥𝑦 × 2𝑥𝑦 = 4𝑥 2 𝑦 2

c.

−3𝑥

3

= −3𝑥 × −3𝑥 × −3𝑥 = −27𝑥 3

d.

4𝑝2 𝑞

e.

−5𝑥𝑦 3

2

= 4𝑝2 𝑞 × 4𝑝2 𝑞 = 16𝑝4 𝑞 2 4

= −5𝑥𝑦 3 × −5𝑥𝑦 3 × −5𝑥𝑦 3 × −5𝑥𝑦 3 = 625𝑥 4 𝑦12

Gunakan segitiga pascal 𝑎+𝑖

5

= 𝑎5 + 5𝑎4 𝑏 + 10𝑎3 𝑏 2 + 10𝑎2 𝑏 3 + 5𝑎𝑏 4 + 𝑏 5

𝑎+𝑖

5

= 𝑎5 + 𝑝𝑎4 𝑏 + 𝑞𝑎3 𝑏 2 + 𝑟𝑎2 𝑏 3 + 𝑠𝑎𝑏 4 + 𝑏 5

Sehingga nilai 𝑝 = 5, 𝑞 = 10, 𝑟 = 10, dan 𝑠 = 5 5𝑝 − 4𝑞 = 5 5 − 4 10 = 25 − 40 = −15


110

Latihan 5 1.

6𝑥 3 + 19𝑥 2 + 31𝑥 + 24 : 2𝑥 + 3 dapat diselesaikan dengan cara sebagai berikut. 3𝑥 2 + 5𝑥 + 8 2𝑥 + 3

6𝑥 3 + 19𝑥 2 + 31𝑥 + 24 6𝑥 3 + 9𝑥 2 10𝑥 2 + 31𝑥 + 24 10𝑥 2 + 15𝑥 16𝑥 + 24 16𝑥 + 24 0

2.

a.

16𝑝𝑞 : 4𝑞 16𝑝𝑞 4𝑝 × 4𝑞 = = 4𝑝 4𝑞 4𝑞

b.

18𝑎4 : 3𝑎2 18𝑎4 6𝑎2 × 3𝑎2 = = 6𝑎2 3𝑎2 3𝑎2

c.

15𝑟𝑠 3 : 5𝑟𝑠 15𝑟𝑠 3 3𝑠 2 × 5𝑟𝑠 = = 3𝑠 2 5𝑟𝑠 5𝑟𝑠

d.

12𝑎𝑏 2 : 4𝑎𝑏 12𝑎𝑏 2 3𝑏 × 4𝑎𝑏 = = 3𝑏 4𝑎𝑏 4𝑎𝑏

3.

Diketahui: Luas persegi panjang = 6𝑥 2 − 7𝑥 − 24 satuan luas panjang persegi panjang = 3𝑥 − 8 satuan panjang Ditanyakan: Keliling persegi panjang ? Modul Pembelajaran Matematika

111

Jawab: Langkah pertama kita harus mencari lebar persegi panjang tersebut. Luas = panjang x lebar Lebar = Luas : Panjang Lebar =

6𝑥 2 −7𝑥−24 3𝑥−8

2𝑥 + 3 3𝑥 − 8 6𝑥 2 − 7𝑥 − 24 6𝑥 2 − 16𝑥 9𝑥 − 24 9𝑥 − 24 0 Sehingga diperoleh lebar persegi panjang tersebut adalah 2𝑥 + 3 satuan lebar. Keliling = 2 𝑝 + 𝑙 = 2 3𝑥 − 8 + 2𝑥 + 3 = 2 3𝑥 − 8 + 2𝑥 + 3 = 2 3𝑥 + 2𝑥 − 8 + 3 = 2 5𝑥 − 5 = 10𝑥 − 10 Jadi, keliling persegi panjang adalah 10𝑥 − 10 satuan keliling 4.

Untuk mencari bentuk aljabar tersebut dapat dilakukan dengan membagi 2𝑥 2 + 7𝑥 − 15 oleh 𝑥 + 5 sebagai berikut. 2𝑥 − 3 𝑥+5

2𝑥 2 + 7𝑥 − 15 2𝑥 2 + 10𝑥 −3𝑥 − 15 −3𝑥 − 15 0

Jadi, bentuk aljabar tersebut adalah 2𝑥 − 3. Modul Pembelajaran Matematika

112

5.

Salah satu contoh bentuk aljabar yang bisa dibagi oleh 3𝑥 − 1 adalah 15𝑥 2 − 26𝑥 + 7. Hasil baginya bisa dilihat pada penyelesaian berikut. 5𝑥 − 7 3𝑥 − 1 15𝑥 2 − 26𝑥 + 7 15𝑥 2 − 5𝑥 −21𝑥 + 7 −21𝑥 + 7 0 Diperoleh hasil bagi 5𝑥 − 7. Kalian dapat mencari contoh bentuk aljabar lainnya dengan syarat dapat dibagi 3𝑥 − 1, kemudian tentukan hasil baginya.

6.

jumlah nilai

Nilai rata-rata = banyak 80 =

siswa

jumlah nilai 5

Maka jumlah nilai = 80 × 5 = 400 Jika Andi menyusul mengikuti ujian dan memperoleh nilai maksimal yaitu 100, maka nilai rata-ratanya menjadi: jumlah nilai

Nilai rata-rata = banyak Nilai rata − rata =

siswa

400+100 6

=

500 6

= 83,3

Jadi, ucapan Andi bahwa nilai rata-rata ujian menjadi 85 sangat tidak masuk akal dan tidak mungkin dicapai.

Latihan 6 1. a.

15𝑝2 + 5𝑝 Faktor persekutuan dari 15 dan 5 adalah 5. Faktor persekutuan dari 𝑝2 dan 𝑝 adalah 𝑝. Jadi, 15𝑝2 + 5𝑝 = 5𝑝 3𝑝 + 1


113

b.

𝑥 2 + 6𝑥 + 9 𝑎+𝑏 =6

𝑎=3

𝑎×𝑏 =9

𝑏=3

𝑥 2 + 6𝑥 + 9 = 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥+3 𝑥+3 2.

a.

Bentuk aljabar 2𝑥 + 4 2𝑥 + 4

2

2


= 2𝑥 + 4 2𝑥 + 4 = 2𝑥 2𝑥 + 4 + 4 2𝑥 + 4 = 4𝑥 2 + 8𝑥 + 8𝑥 + 16 = 4𝑥 2 + 16𝑥 + 16

Jadi, suku tengahnya adalah 16𝑥. b.

Cobalah kamu melengkapi pernyataan berikut. 3𝑥 + 4 3𝑥 + 4

2 2

= 9𝑥 2 + ⋯ + 16. = 3𝑥 + 4 3𝑥 + 4 = 3𝑥 3𝑥 + 4 + 4 3𝑥 + 4 = 9𝑥 2 + 12𝑥 + 12𝑥 + 16 = 9𝑥 2 + 24𝑥 + 16

Jadi, 3𝑥 + 4 3.

2

= 9𝑥 2 + 24𝑥 + 16.

Untuk mengetahui panjang dan lebar masing-masing persegi panjang dalam bentuk suku dua, maka setiap bentuk aljabar yang menyatakan luas harus difaktorkan terlebih dahulu. a.

𝑥 2 + 4𝑥 + 3 𝑎+𝑏 =4

𝑎=1

𝑎×𝑏 =3

𝑏=3

𝑥 2 + 4𝑥 + 3 = 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥+1 𝑥+3 Jadi, panjang dan lebar dari persegi panjang tersebut adalah 𝑥 + 1 dan 𝑥 + 3 atau sebaliknya.


114

b.

𝑥 2 − 3𝑥 + 2 𝑎 + 𝑏 = −3

𝑎 = −1

𝑎×𝑏 =2

𝑏 = −2

𝑥 2 − 3𝑥 + 2 = 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥−1 𝑥−2 Jadi, panjang dan lebar dari persegi panjang tersebut adalah 𝑥 − 1 dan 𝑥 − 2 atau sebaliknya. c.

𝑥 2 + 3𝑥 − 4 𝑎+𝑏 =3

𝑎 = −1

𝑎 × 𝑏 = −4

𝑏=4

𝑥 2 + 3𝑥 − 4 = 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥−1 𝑥+4 Jadi, panjang dan lebar dari persegi panjang tersebut adalah 𝑥 − 1 dan 𝑥 + 4 atau sebaliknya. d.

𝑥 2 + 5𝑥 + 6 𝑎+𝑏 =5

𝑎=2

𝑎×𝑏 =6

𝑏=3

𝑥 2 + 5𝑥 + 6 = 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥+2 𝑥+3 Jadi, panjang dan lebar dari persegi panjang tersebut adalah 𝑥 + 2 dan 𝑥 + 3 atau sebaliknya. 4.

Lengkapilah pernyataan berikut! a.

𝑥 2 − 6𝑥 − 7 = 𝑥 + 1 𝑥 − ⋯ 𝑎 + 𝑏 = −6

𝑎=1

𝑎 × 𝑏 = −7

𝑏 = −7

Jadi, 𝑥 2 − 6𝑥 − 7 = 𝑥 + 1 𝑥 − 7 b.

𝑘 2 − 4𝑘 − 12 = 𝑘 − 6 𝑘 + ⋯ 𝑎 + 𝑏 = −4

𝑎 = −6

𝑎 × 𝑏 = −12

𝑏=2

Jadi, 𝑘 2 − 4𝑘 − 12 = 𝑘 − 6 𝑘 + 2 Modul Pembelajaran Matematika

115

c.

𝑡 2 + 7𝑡 + 10 = 𝑡 + 2 𝑡 + ⋯ 𝑎+𝑏 =7

𝑎=2

𝑎 × 𝑏 = 10

𝑏=5

Jadi, 𝑡 2 + 7𝑡 + 10 = 𝑡 + 2 𝑡 + 5 d.

𝑐2 + 𝑐 − 2 = 𝑐 + 2 𝑐 − ⋯ 𝑎+𝑏 =1

𝑎=2

𝑎 × 𝑏 = −2

𝑏 = −1

Jadi, 𝑐 2 + 𝑐 − 2 = 𝑐 + 2 𝑐 − 1 5.

Pertanyaan Terbuka a.

𝑥 2 − 3𝑥 − ⋯ 𝑥 2 − 3𝑥 − 4 = 𝑥 − 4 𝑥 + 1 Kalian bisa memberikan contoh lain yang sesuai.

b.

𝑥2 + 𝑥 + ⋯ 𝑥2 + 𝑥 +

1 1 = 𝑥+ 4 2

𝑥+

1 2

Kalian bisa memberikan contoh lain yang sesuai. c.

𝑥2 + 𝑥 + ⋯ 𝑥2 + 𝑥 + 2 = 𝑥

𝑥+1+

2 𝑥

Kalian bisa memberikan contoh lain yang sesuai. 6.

a.

4𝑥 2 − 36 = 2𝑥 − 6 2𝑥 + 6

b.

4𝑥 2 − 7𝑥 − 2 = 4𝑥 − 1 𝑥 − 2

c.

𝑥2 − 4 = 𝑥 + 2 𝑥 − 2

d.

𝑥 2 − 4𝑥 = 𝑥 𝑥 − 4

Bentuk pemfaktoran yang benar adalah 1 dan 3.

Latihan 7 1.

a.

4𝑥 − 2𝑥 = 2𝑥

b.

8 + 3𝑥 − 𝑥 − 6 = 2𝑥 + 2

c.

2𝑥 3 − 3𝑥 − 𝑥 2 + 2𝑥 + 5 = 2𝑥 3 − 𝑥 2 − 𝑥 + 5 Modul Pembelajaran Matematika

116

d.

𝑥 2 −16 𝑥+4 𝑥

:

3𝑥

=

𝑥 2 −16 𝑥

×

3𝑥

=

𝑥+4

3𝑥 𝑥 2 −16 𝑥 𝑥+4

=

3𝑥 𝑥+4 𝑥−4 𝑥 𝑥+4

=3 𝑥−4 = 3𝑥 − 12

e.

𝑥 2 +3𝑥+2

=

𝑥+1

𝑥+1 𝑥+2

faktorkan pembilang

𝑥+1

=𝑥+2

f.

𝑎 +𝑏 𝑎 +𝑏 − 𝑏 𝑎 𝑎 −𝑏 𝑎 +𝑏

sederhanakan, syarat 𝑥 + 2 ≠ 0

=

𝑏 𝑎 +𝑏 −𝑎 𝑎 +𝑏 𝑎𝑏 𝑎 −𝑏 𝑎 +𝑏

menyamakan penyebut dari bentuk pembilang

=

𝑏 −𝑎 𝑎 +𝑏 𝑎𝑏 𝑎 −𝑏 𝑎 +𝑏

distributif

= =

𝑏−𝑎 𝑎+𝑏 𝑎𝑏

×

𝑎+𝑏 𝑎−𝑏

𝑏−𝑎 𝑎+𝑏 𝑎+𝑏

mengubah pembagian menjadi perkalian

mengalikan antar pembilang dan antar

𝑎𝑏 𝑎−𝑏

penyebut

= =

− 𝑎 −𝑏 𝑎 +𝑏 𝑎𝑏 − 𝑎 +𝑏 𝑎 +𝑏 𝑎𝑏

×

𝑎 +𝑏 𝑎 −𝑏

memfaktorkan bentuk 𝑏 − 𝑎 pembilang dan penyebut dibagi 𝑎 − 𝑏 , syarat 𝑎 − 𝑏 ≠ 0

2.

Jawaban yang benar adalah −𝑝 dan −1𝑝. Karena 3𝑝 − 4𝑝 = −1𝑝 dan −1𝑝 dapat juga ditulis – 𝑝.

3.

Pertanyaan Terbuka Tulislah bentuk aljabar yang memuat 4 suku dan dapat disederhanakan menjadi bentukbentuk berikut!


117

a.

𝑥 2

Bentuk aljabarnya adalah 9𝑥 2 +24𝑥+16−16 18𝑥+48

=

9𝑥 2 +24𝑥+16−16 18𝑥+48

9𝑥 2 +24𝑥 18𝑥+48

=

.

𝑥 9𝑥+24 2 9𝑥+24

=

𝑥 2

Kalian bisa memberikan contoh lain yang sesuai dengan ketentuan pada soal. b.

−5 Bentuk aljabarnya adalah 2𝑥 3 + 𝑥 3 − 3𝑥 3 − 5. 2𝑥 3 + 𝑥 3 − 3𝑥 3 − 5 = −5 Kalian bisa memberikan contoh lain yang sesuai dengan ketentuan pada soal.

c.

𝑎𝑏 𝑐

Bentuk aljabarnya adalah 𝑎𝑏 4 +3𝑎 2 𝑏−𝑎𝑏 3 −𝑎 2 𝑏 𝑏 3 𝑐+2𝑎𝑐 −𝑏 2 𝑐

=

𝑎𝑏 4 +3𝑎 2 𝑏−𝑎𝑏 3 −𝑎 2 𝑏 𝑏 3 𝑐+2𝑎𝑐 −𝑏 2 𝑐

𝑎𝑏 4 +2𝑎 2 𝑏−𝑎𝑏 3 𝑏 3 𝑐+2𝑎𝑐 −𝑏 2 𝑐

=

.

𝑎𝑏 𝑏 3 +2𝑎−𝑏 2 𝑐

𝑏 3 +2𝑎−𝑏 2

=

𝑎𝑏 𝑐

Kalian bisa memberikan contoh lain yang sesuai dengan ketentuan pada soal. d.

3𝑥 2 + 4𝑥 − 2 Bentuk aljabarnya adalah 3𝑥 2 − 3𝑥 + 7𝑥 − 2. 3𝑥 2 − 3𝑥 + 7𝑥 − 2 = 3𝑥 2 + 4𝑥 − 2 Kalian bisa memberikan contoh lain yang sesuai dengan ketentuan pada soal.

4.

Bentuk sederhana dari jumlah dua sudut dalam

𝟐𝒙 − 𝟐 °

segitiga di samping adalah sebagai berikut. 2𝑥 − 2 + 𝑥 + 10 = 2𝑥 − 2 + 𝑥 + 10

𝒙 + 𝟏𝟎 °

= 2𝑥 + 𝑥 − 2 + 10 = 3𝑥 + 8 5.

Manakah pernyataan berikut ini yang benar? a.

6 18𝑦

=

1 3𝑦

“benar”


118

Bukti: Faktor persekutuan dari 6 dan 18 adalah 6. 6 18𝑦

b.

=

17𝑥 2 𝑥𝑦 2

6 1

=

6 3𝑦

=

1 3𝑦

17𝑥

“salah”

𝑦

Bukti: Faktor persekutuan dari 17𝑥 2 dan 𝑥𝑦 2 adalah 𝑥. 17𝑥 2 𝑥𝑦 2

c.

=

𝑚 𝑚𝑛 +2𝑚

𝑥 17𝑥 𝑥

=

𝑦2

=

1 𝑛+1

17𝑥 𝑦2

“salah”

Bukti: 𝑚 𝑚𝑛 +2𝑚

=

𝑚 1 𝑚 𝑛 +2

=

1 𝑛 +2


119

Kunci Jawaban Tes Formatif

Tes Formatif 1 1.

A

6.

C

2.

B

7.

B

3.

C

8.

A

4.

B

9.

D

5.

C

10. C

Tes Formatif 2 1.

B

6.

C

2.

C

7.

A

3.

B

8.

A

4.

D

9.

C

5.

B

10. A

Tes Formatif 3 1.

D

6.

C

2.

D

7.

D

3.

C

8.

D

4.

A

9.

B

5.

A

10. B

Tes Formatif 4 1.

B

6.

D

2.

B

7.

C

3.

C

8.

A

4.

D

9.

B

5.

A

10. C Modul Pembelajaran Matematika

120

Tes Formatif 5 1.

B

6.

D

2.

C

7.

C

3.

D

8.

B

4.

D

9.

A

5.

B

10. D

Tes Formatif 6 1.

D

6. D

2.

C

7. A

3.

B

8. C

4.

D

9. B

5.

B

10. D

Tes Formatif 7 1.

B

6.

A

2.

D

7.

A

3.

D

8.

C

4.

A

9.

C

5.

B

10. B


121

Kunci Jawaban Tes Akhir

A Pilihan Ganda 1.

B

6.

A

11. B

16. C

21. D

26. C

2.

A

7.

D

12. A

17. C

22. B

27. B

3.

A

8.

C

13. D

18. A

23. B

28. B

4.

B

9.

A

14. B

19. C

24. C

29. A

5.

D

10. B

15. D

20. D

25. C

30. C

B Esai 1.

a.

2𝑥 − 4𝑦 − 3𝑧 + −7𝑥 + 2𝑦 + 9𝑧 = 2𝑥 − 4𝑦 − 3𝑧 − 7𝑥 + 2𝑦 + 9𝑧 = 2𝑥 − 7𝑥 − 4𝑦 + 2𝑦 − 3𝑧 + 9𝑧 = −5𝑥 − 2𝑦 + 6𝑧

b.

3 2𝑥 2 − 4𝑥 + 5

+ 2 4𝑥 2 + 3𝑥 − 7

= 6𝑥 2 − 12𝑥 + 15 + 8𝑥 2 + 6𝑥 − 14 = 6𝑥 2 − 12𝑥 + 15 + 8𝑥 2 + 6𝑥 − 14 = 6𝑥 2 + 8𝑥 2 − 12𝑥 + 6𝑥 + 15 − 14 = 14𝑥 2 − 6𝑥 + 1

2.

a.

7𝑥 + 15𝑦 − 5𝑥 − 9𝑦 = 7𝑥 + 15𝑦 − 5𝑥 + 9𝑦 = 7𝑥 − 5𝑥 + 15𝑦 + 9𝑦 = 2𝑥 + 24𝑦

b.

5𝑥 2 − 9𝑥𝑦 − 4𝑦 2 − −𝑥 2 + 6𝑥𝑦 + 3𝑦 2 = 5𝑥 2 − 9𝑥𝑦 − 4𝑦 2 + 𝑥 2 − 6𝑥𝑦 − 3𝑦 2 = 5𝑥 2 + 𝑥 2 − 9𝑥𝑦 − 6𝑥𝑦 − 4𝑦 2 − 3𝑦 2 = 6𝑥 2 − 15𝑥𝑦 − 7𝑦 2

3.

a.

3𝑥 − 3 𝑥 + 2 = 3𝑥 𝑥 + 2 − 3 𝑥 + 2 = 3𝑥 2 + 6𝑥 − 3𝑥 − 6 = 3𝑥 2 + 3𝑥 − 6

b.

𝑥 − 5 𝑥 2 − 4𝑥 + 20 = 𝑥 𝑥 2 − 4𝑥 + 20 − 5 𝑥 2 − 4𝑥 + 20 = 𝑥 3 − 4𝑥 2 + 20𝑥 − 5𝑥 2 + 4𝑥 − 20 = 𝑥 3 − 4𝑥 2 − 5𝑥 2 + 20𝑥 + 4𝑥 − 20 = 𝑥 3 − 9𝑥 2 + 24𝑥 − 20 Modul Pembelajaran Matematika

122

4.

a. b.

5.

a. b.

4𝑥 2 +16𝑥+15

=

2𝑥+5 𝑥 2 +4𝑥−5 𝑥−1

2𝑥 +5 2𝑥+3 2𝑥+5

𝑥−1 𝑥+5

=

𝑥−1

= 2𝑥 + 3

=𝑥+5

3𝑥 2 + 2𝑥 − 2𝑥 2 + 3 = 3𝑥 2 − 2𝑥 2 + 2𝑥 + 3 = 𝑥 2 + 2𝑥 + 3 2𝑥 2 −8 𝑥 2 +𝑥−6

=

2𝑥+4 𝑥−2 𝑥+3 𝑥−2

=

2𝑥+4 𝑥+3

6. 7 − 5𝑚

18 − 21𝑚

−8 + 15𝑚

−1 + 10𝑚

10 − 6𝑚

9 + 4𝑚

7.

a.

𝑥 2 − 19𝑥 + 18 𝑎 + 𝑏 = −19

𝑎 = −1

𝑎 × 𝑏 = 18

𝑏 = −18

𝑥 2 − 19𝑥 + 18 = 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥 − 1 𝑥 − 18 b.

𝑥 2 − 9𝑥 + 14 𝑎 + 𝑏 = −9

𝑎 = −2

𝑎 × 𝑏 = 14

𝑏 = −7

𝑥 2 − 9𝑥 + 14 = 𝑥 + 𝑎 𝑥 + 𝑏 = 𝑥−2 𝑥−7 Modul Pembelajaran Matematika

123

8.

diketahui 𝑥 + 𝑦 = 12. Jika kita mencari keliling, maka kita harus menjumlahkan panjang semua sisi pada daerah tersebut. Keliling = 6 × 𝑥 + 6 × 𝑦 = 6𝑥 + 6𝑦 atau Keliling = 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑥 + 𝑦 + 𝑦 + 𝑦 + 𝑦 + 𝑦 + 𝑦 = 6𝑥 + 6𝑦 Dapat kita tulis: 6𝑥 + 6𝑦 = 6 𝑥 + 𝑦

sifat distributif

Karena diketahui 𝑥 + 𝑦 = 12, maka: Keliling = 6 𝑥 + 𝑦 = 6 12 = 72 Jadi, keliling daerah tersebut adalah 72 satuan keliling. 9.

a.

𝑝−3

2

= 𝑝−3 𝑝−3 =𝑝 𝑝−3 −3 𝑝−3 = 𝑝2 − 3𝑝 − 3𝑝 + 9 = 𝑝2 − 6𝑝 + 9

b.

2𝑥 − 1

2

= 2𝑥 − 1 2𝑥 − 1 = 2𝑥 2𝑥 − 1 − 1 2𝑥 − 1 = 4𝑥 2 − 2𝑥 − 2𝑥 + 1 = 4𝑥 2 − 4𝑥 + 1

10. Diketahui 𝑎 = 2𝑥, 𝑏 = 7𝑦, dan 𝑐 = −9𝑧. a.

𝑎2 + 2𝑏 − 𝑐 2 = 2𝑥

2

+ 2 × 7𝑦 − −9𝑧

2

= 4𝑥 2 + 14𝑦 − 81𝑧 2 b.

𝑎2 𝑏 2 𝑐 2 : 7𝑎 − 𝑏 =

2𝑥

2

× 7𝑦

2

× −9𝑧

2

: 7 2𝑥 − 7𝑦

= 4𝑥 2 × 49𝑦 2 × 81𝑧 2 : 14𝑥 − 7𝑦 = 15876𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 : 14𝑥 − 7𝑦 = 15876𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 : 7 2𝑥 − 𝑦 = 2268𝑥 2 𝑦 2 𝑧 2 : 2𝑥 − 𝑦


124

GLOSARIUM

Bentuk aljabar

: bentuk penulisan yang merupakan kombinasi antara angka (koefisien, konstanta, pangkat) dan huruf (variabel).

Binomial

: bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih dan ditulis dalam bentuk paling sederhana.

Koefisien

: faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

Konstanta

: suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak memuat variabel.

Monomial

: bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Polinomial

: bentuk aljabar yang tersusun atas lebih dari tiga suku.

Suku

: variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

Trinomial

: bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih dan ditulis dalam bentuk paling sederhana.

Variabel

: lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya dengan jelas.


125

Daftar Pustaka

Avianti, Nuniek, dan Agus. 2007. Mudah Belajar Matematika 2. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Dris, J, dan Tasari. 2011. Matematika 2 Untuk SMP dan MTs Kelas VIII. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementerian Pendidikan Nasional. Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan. 2014. Matematika. Jakarta: Kemendikbud. Marsigit, dkk. 2011. Matematika 2 Untuk SMP/MTs Kelas VIII. Jakarta: Pusat Kurikulum dan Perbukuan Kementerian Pendidikan Nasional. Nuharini, Dewi, dan Tri Wahyuni. 2008. Matematika Konsep dan Aplikasinya 2. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional. Rahaju, Endah Budi, dkk. 2008. Contextual Teaching and Learning Matematika Sekolah Menengah Pertama. Jakarta: Pusat Perbukuan Departemen Pendidikan Nasional.


126

LAMPIRAN 7 SURAT-SURAT PENTING

UNIVERSITASMUHAN{MADIYAH PONOROGO FAKULTASKEGURUAI.IDAN ILMU PENDIDIKAN

Jl. BudiUtomoNo. l0 po'orogo6347l.lawa Timurlndonesia (0352) Telp 481124,Fax.(0352)461796. e-mail: [email protected] Websitc : www.unlDo.ac.id

F O R MP E N G A J U A BN I M B I N G AS NK R I P S I

PRODI PENDIDIKRX MATEMATIKA NAMAMAHASISWA

2I . D!N4 FYfl'.f. llbet4x+

NIM NO.TELP I

JUDUL TUGAS AKliflR :

,4" v

M.Pd

DOSENPEMBIMBING

Ponorogo, Mhs

H e r n a dM i ,. S i

Lampiran: TranskripNilaiTerbaru

pemhavaran

20.|h

UNIVERSITASMUT{AMMADIYAH PONOROGO FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN TimurIndonesia 63471Jawa Jl. BudiUtomoNo. 10Ponorogo e-mail: akademik@,umpo.ac.id Fax.(0352)461796, Telp(0352)481124. Website: www.umpo.ac.id

Nomor Lamp. Hal

: 4104II.3/PN/2015 : IJIN PENELITIAN

Kepada: Yth. Kepala SMP N 2#lv{iM diTEMPAT

Ponorogo

Assalamu'alaikum Wr. Wb. Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan (FKIP) Muhammadiyah Ponorogo,menerangkan : N am a

: Dina Ekasari

Nomor Induk

: 11321487

Angkatan/SMT

: 2011/VIll

Jurusan

: Pendidikan Matematika

Dalam rangka menyusun Skripsi yang berjudul '.

"Pengembangan Modul Pembelaiaran Matematika pada Materi Operasi Aljabar untuk Sisws Kelas VIII SMP/MTs" Yang bersangkutanmemerlukan data - data yang berhubungan dengan Judul tersebut,untuk itu kami mohon bantuan Saudara. Demikian atasbantuannyakami mengucapkanterima kasih. Wassalamu'alaikum Wr. Wb. Ponorogo,4Juni 2015 An. Dekan

D ISRO' 8022r 199310 14

T]NIVERSITASMUTIAMMADIYAH PONOROGO FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN TimurIndonesia 63471Jawa Jl. BudiLltomoNo. 10Ponorogo e-mail: [email protected] Fax.(0352)461796. Telp(0352)481124, Website: www.umpo.ac.id

Nomor Lamp. Hal

: 410/III.3/PN/2015 : IJIN PENELITIAN

Kepada: Yth. KepalaS'lvtrfF2:& SMP N. 6 Ponorogo diTEMPAT Assalamu'alaikum Wr. Wb. Dekan Fakultas Keguruan dan llmu Pendidikan (FKIP) Muhammadiyah Ponorogo,menerangkan : N am a

: Dina Ekasari

Nomor Induk

: 1t321487

Angkatan/SMT

: 2011/Vr il

Jurusan

Pendidikan Matematika

Dalam rangka menyusun Skripsi yang berjudul

"Pengembangan Modul Pembelajaran Matemntika pada Materi Operasi Aljabar untuk Sisws Kelas VIII SMP/MTs" Yang bersangkutanmemerlukan data - data yang berhubungan dengan Judul tersebut,untuk itu kami mohon bantuan Saudara. Demikian atasbantuannyakami mengucapkanterima kasih. Wassalamu'alaikumWr. Wb.

Ponorogo,4Juni 2015 An. Dekan

:196802211993i0 14

PEMERINTAHKABUPATENPONOROGO DINAS PENDIDIKAN

SEKOLAHMENENGAHPERTAMANEGERI2 (SMPN2) KECAMATANPONOROGO Jl. Jendral Basuki RachmadNo. 44 PonoroooTelp. (0352) 481258 Kode Pos 63419

SURATKETERANGANPENELITIAN Nomor: O70174,b1405.08.002 1201 5 Yangbertandatangan di bawahini: Nama

: Dra.SY.CHRISTINE SUALA,M.Pd.

NIP

: 19560701 198003 2 009

PangkaUgolongan

: PembinaTk.l,lv/b

Jabatan

: KepalaSMPNegeri2 Ponorogo

ndengansesungguhnya Denganini menerangka bahWa: Nama

: DINAEKASARI

NIM

:11321487

ProgramStudi

: Pendidikan Matematika

Fakultas

: Keguruan danllmuPendidikan

PerguruanTinggi

: Universitas Muhammadiyah Ponorogo

Penelitian Telahmengadakan di SMPNegeri2 Ponorogopada6 Juni 2015sampai datayangdipergunakan dengan9 Juli2015gunamemperoleh dalamrangka skripsitentang: menyelesaikan MODULPEMBELAJARAN MATEMATIKA PADAMATERI "PENGEMBANGAN OPERASIALJABARUNTUKSISWAKELASVIII SMP/MTS" ini dibuatuntukdigunakan mestinya Demikiansuratketerangan sebagaimana

KP!" 'E'f------g'

M

PEMERINTAH KABUPATEN PONOROGO DINAS PENDIDIKAN

SEKOLAHMENENGAIIPERTAMANEGERI6 (SMPN6) KECAMATANPONOROGO e-mail : smP6Jo@Yahoo'com qgzaoz PonorogoKode Pos 63419 Jl. Soekarno- HattaNo @

SURAT KETERANGAN I5 NO. 422117 40s.08.006/20 .61 Ponorogo yang bertanda tangan di bawah ini , Kepala sMP Negeri 6 Kecamatan denganini menerangkanbahwa : Nama

DINA EKA SARI

NIM

11321487

Jenjang

Sarjana/ S I

ProgramStudi

PendidikanMatematika

Fakultas

: FKIP UniversitasMuhammadiyahPonorogo'

PenytrsunanSkripsi dengan judul Telah melalarkan penelitian dalam rangka Aljabar Untuk ,. Pengembangan Modul PembelajaranMatematikaPadaMateri Operasi -di sMp Negeri 6 Kecamatanponorogopadatanggal4 siswa Kelas VIII SMp / MTs " Juni 2015sampaidengan9 Juli 2015' mestinya' dipergunakansebagaimana Demikian surat Keteranganini dibuatuntuk dapat

ffi

z! p,

.rl 1 ar\

No-

Ponorogo,3 Agustus 2015

;:b,,ry3

bina Tk. I 198601 NIP.19630531

5^u;#

LAMPIRAN 1 INSTRUMEN PENELITIAN

Recommend Documents