Střední průmyslová škola elektrotechnická a Vyšší odborná škola, Pardubice, Karla IV. 13
LABORATORNÍ CVIČENÍ Střední průmyslová škola elektrotechnická
Příjmení:
Hladěna
Číslo úlohy:
13
Jméno:
Jan
Datum měření:
16. BŘEZNA 2007
Školní rok:
2006 / 07
Datum odevzdání 13. DUBNA 2007
Třída / Skupina:
4.B / 2
Klasifikace:
NÁZEV ÚLOHY
MODELOVÁNÍ RO NA POČÍTAČI
Počet stran
11
Počet grafických příloh
3
ZADÁNÍ 1. 2. 3. 4. 5. 6.
Namodelujte v prostředí Analox soustavu 3. řádu. Zobrazte její h(t), odečtěte Tu, Tn. Vypočtěte kritické zesílení kkrit regulátoru P (Fr(p) = kR) pro mez stability RO s danou soustavou. Namodelujte navržený RO a ověřte regulační pochod průběhem y(t) a e(t). Určete regulační odchylku ∆y(t) v procentech pro kR = 0.5 kkrit a ověřte ji výpočtem. Určete kR pro aperiodický regulační pochod. Body zadání 1 až 3 zopakujte pro danou soustavu a regulátor PI s FR(p) = kR + 1/TI.p. Určete vliv zesílení kR a integrační časové konstanty na stabilitu a přesnost regulačního pochodu.
ÚVOD Pro studium složitých jevů ve vědě a technice využíváme modelů těchto jevů. Model musí vyjadřovat ty stránky daného jevu, které jsou z hlediska studia a zkoumání důležité. Využívá se přitom vzájemné analogie. Vytvoříme-li umělý systém, jehož chováni bude podobné chováni původního systému, potom umělý systém je modelem původního systému. Proces tvorby modelu se nazývá modelování; při tvorbě modelu dochází z hlediska přesnosti k redukci vzhledem k původnímu systému (obr. 1). Definování systému
Objekt (proces)
REDUKCE
Obr. 1 – Modelování systému
Systém
REDUKCE
Model systému
Modelování systému
Modelování soustav a regulačních obvodů vychází z tzv. teorie podobnosti, podle níž dva objekty se stejným matematickým modelem musí vykazovat stejné dynamické vlastnosti. Matematickým modelem se rozumí matematický výraz, kterým jsou objekty popsány. Pod tímto pojmem se tedy rozumí přenos nebo diferenciální rovnice (popisy přenosem a diferenciální rovnicí jsou rovnocenné). Při sestavování počítačového modelu regulované soustavy se z matematického modelu sestaví tzv. analogové schéma. Nejčastěji se využívá metoda postupného snižování řádu derivace. Z diferenciální rovnice nebo přenosu se vyjádří výraz pro nejvyšší derivaci regulované veličiny. Postupnou integrací se řád derivace snižuje až na nulu. Na výstupu posledního integrátoru tohoto analogového modelu obdržíme simulovanou skutečnou regulovanou veličinu. Předností modelování regulovaných soustav na počítači je okamžitá možnost posouzení jejich dynamických vlastností, parametrů, prověření stability. Tato metoda je účinná
především při analýze soustav vyšších řádů, kdy klasické testy stability představují značné pracné postupy se zvýšeným nebezpečím vzniku chyby při výpočtech. Regulační pochod je průběh regulované veličiny při změnách řídících a poruchových veličin a při současném působení regulátoru. Průběh regulačního pochodu závisí především na vlastnostech regulované soustavy a regulátoru. Vzhledem k tomu, že existuje velké množství regulovaných soustav a k dispozici máme několik typů regulátorů, jejichž vlastnosti můžeme měnit nastavením jejich charakteristických veličin, může mít regulační pochod velmi rozmanitý průběh. Každý regulační pochod pro praxi použitelný musí být stabilní, musí splňovat požadavky přesnosti a kvality. Pro volbu typu regulátoru jsou rozhodující především požadavky na kvalitu regulačního pochodu - musíme vědět, zda lze připustit regulační pochod s trvalou regulační odchylkou. V případě,že trvalou regulační odchylku připustit nemůžeme, musíme volit typ regulátoru obsahující integrační složku, v opačném případě tuto složku regulátor obsahovat nemusí. Optimální seřízení regulátoru spočívá ve vhodném nastavení charakteristických veličin pp, TI, TD tak, aby získaný regulační pochod probíhal co nejpříznivěji. V praxi se používají různé metody nastavení těchto konstant.
POPIS MĚŘENÍ 1.
Z přenosu soustavy byla zpětnou Laplaceovou transformací získána lineární diferenciální rovnice, podle které bylo možné namodelovat analogové schéma soustavy v prostředí Analox.
2.
Pomocí Routhova-Shurova kritéria bylo stanoveno kritické zesílení regulátoru P. Použitím regulátoru P s hodnotou kkrit byl vytvořen regulační obvod nacházející se na mezi stability.
3.
Z přechodové charakteristiky takto vytvořeného RO byla odečtena hodnota Tkrit.
4.
Metodou Ziegler-Nicholse byly nastaveny optimální hodnoty kr pro regulátor P a kr a TI pro regulátor PI.
VYPOČTENÉ HODNOTY Zadaný přenos soustavy 3. řádu: Fs ( p ) =
1 1 p + ⋅ ( p + 1) ⋅ ( p + 3) 2
Získání tvaru přenosu vhodného pro zpětnou Laplaceovu transformaci:
Y ( p) 1 = 1 X ( p) p + ⋅ ( p + 1) ⋅ ( p + 3) 2 1 Y ( p ) ⋅ p + ⋅ ( p + 1) ⋅ ( p + 3) = 1 ⋅ X ( p ) 2 Fs ( p ) =
9 3 Y ( p) ⋅ p 3 + p 2 + 5 p + = X ( p) 2 2 9 3 p 3 ⋅ Y ( p) + p 2 ⋅ Y ( p) + 5 p ⋅ Y ( p) + ⋅ Y ( p) = X ( p ) 2 2 Zpětnou Laplaceovou transformací byla získána diferenciální rovnice: y ′′′(t ) +
9 3 ⋅ y ′′(t ) + 5 ⋅ y ′(t ) + ⋅ y (t ) = x(t ) 2 2
Vyjádření nejvyššího řádu derivace: y ′′′(t ) = x(t ) −
9 3 ⋅ y ′′(t ) − 5 ⋅ y ′(t ) − ⋅ y (t ) 2 2
Výsledný model soustavy:
x(t) y(t)
*
1 -9
*
*
-3
*
-5 2
2
+
+
Výpočet konstanty regulátoru P:
FR = k r N ( p ) = 1 + FR ⋅ FS 1
N ( p) = 1 + k r ⋅
1 p + ⋅ ( p + 1) ⋅ ( p + 3) 2 9 3 p3 + p 2 + 5 p + + kr = 0 2 2
9 2 3 p + 5 p + + kr 2 2 =0 9 3 p3 + p2 + 5 p + 2 2
p3 + =
Routh-Shurovo kritérium – výpočet kkrit: 1
9 5 2
3 + kr 2
−1 0
9 2
2 3 ⋅ + kr = 5 9 2
2 3 2 ⋅ + ⋅ kr = 5 9 2 9 9 1 kr = ⋅ 5 − 2 3 45 3 kr = − 2 2 k krit = 21
P: k r = 0,5 ⋅ k krit k r = 0,5 ⋅ 21 = 10,5 Výsledný model RO s regulátorem P (FR = kkrit):
PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA RO A ODEČTENÍ TKrit
16.3. 2007
Jan Hladěna, 4.B
PŘECHODOVÁ CHARAKETRISTIKA RO S REGULÁTORM P
16.3. 2007
Jan Hladěna, 4.B
Hodnota Tkrit odečtená z h(t): Tkrit = 3 s Nastavení regulátoru PI: k r = 0,45 ⋅ k krit k r = 0,45 ⋅ 21 = 9,45 TI = 0,85 ⋅ Tkrit TI = 0,85 ⋅ 3 = 2,49 Výsledný model RO s regulátorem PI:
PŘECHODOVÁ CHARAKTERISTIKA RO S REGULÁTOREM PI
16.3. 2007
Jan Hladěna, 4.B
lim y (t ) = lim p ⋅ Y ( p ) t →∞
p →0
lim y (t ) = lim p ⋅ Y ( p ) t →0
p →∞
∆w(t) = 0,5(t) W(p) = 0,5p FR = 10,5
Y ( p) = W ( p ) ⋅
FS ⋅ FR 1 + FS ⋅ FR 10,5
1 p + ⋅ ( p + 1) ⋅ ( p + 3) 0,5 0,5 ⋅ 10,5 0,5 ⋅ 10,5 2 y (t ) = lim p ⋅ ⋅ = lim = = 0,4375 p→0 p → 0 9 2 3 3 1 p 3 p + p + 5 p + + 10 , 5 + 10 , 5 p + ⋅ ( p + 1) ⋅ ( p + 3) + 10,5 2 2 2 2 1 p + ⋅ ( p + 1) ⋅ ( p + 3) 2
e(t ) = w(t ) − y (t ) e(t ) = 0,5 − 0,4375 = 0,0625 ⇒ 6,25 %
∆w(t) = 0,25(t) W(p) = 0,25p FR = 10,5 E ( p) = W ( p) ⋅
e(∞ ) = lim p ⋅ p →0
1 1 + FS ⋅ FR
0,25 ⋅ p
1+
1 10,5 p3 +
9 2 3 p + 5p + 2 2
3 = 8 = 0,03125 ⇒ 3,125 % 12
ZÁVĚR Během měření bylo dokázáno, že lze bez problémů vytvořit model celého regulačního obvodu. Přestože je prostředí Analox velmi jednoduché, umožňuje získat velice důležité poznatky jak o modelované soustavě, tak i o celém (navrhovaném) regulačním obvodu. V grafických přílohách je na první pohled patrný rozdíl mezi regulátory P a PI – regulátor PI dokáže jemně nastavit regulovanou veličinu na požadovanou hodnotu. Z hlediska charakteru této práce nedocházelo během měření k žádným významným potížím. Negativní stránkou celého měření je fakt, že prostředí Analox neumožňuje vytvoření modelu pro regulátor PID, a to proto, že chybí blok s funkcí derivace. Přesto mají zkušenosti získané při práci velkou hodnotu a celé měření lze tedy shledat velmi cenným v případě návrhu RO s neznámou soustavou.
