Kvantum-soktestprobléma ultrahideg atomokkal optikai rezonátorban. Szakdolgozat

Kvantum-soktestprobl´ ema ultrahideg atomokkal optikai rezon´ atorban K´ onya G´ abor Fizika Bsc. III.

Szakdolgozat

Témavezet˝o: Domokos P´ eter Szilárdtestfizikai és Optikai Kutatóintézet Kvantumoptikai és Kvantuminformatikai Osztály

Bels˝o konzulens: Csord´ as Andr´ as Eötvös Loránd Tudományegyetem, Természettudományi Kar Komplex Rendszerek Fizikája Tanszék

Budapest, 2010. m´ ajus

Tartalomjegyz´ ek 1. Bevezet´ es

2

2. Bose-Einstein kondenz´ atum ´ atlagt´ er-elm´ elete 2.1. Kölcsönhatás nélk¨ uli atomok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. Az atomok közötti kölcsönhatás figyelembevétele . . . . . . . . . . . . .

4 4 5

3. M´ asodkvant´ al´ as 3.1. Bozonok másodkvantált formalizmusának alapjai . . . . . . . . . . . . 3.2. Módusf¨ uggvények szerinti kifejtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6 6 7

4. Bose-Einstein kondenz´ atum optikai rezon´ atorban 4.1. A modell alapjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2. Módusok szerinti kifejtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10 12

5. K´ et m´ odusos k¨ ozel´ıt˝ o modell 5.1. Spin-reprezentáció . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2. Analógia a Dicke-modellel . . . . . . . . . . . . 5.3. Holstein-Primakoff reprezentáció . . . . . . . . . 5.4. Felbontás a´tlagtérre és akör¨ uli kis fluktuációkra 5.5. Taylor-sorfejtés . . . . . . . . . . . . . . . . . . ´ 5.6. Atlagterek meghatározása . . . . . . . . . . . . 5.7. A fluktuációk vizsgálata . . . . . . . . . . . . . 5.8. Heisenberg-képbeli dinamika . . . . . . . . . . . 5.9. Sajátfrekvenciák meghatározása . . . . . . . . . 5.10. A környezet visszahatása a rendszerre . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

15 15 16 17 18 19 21 23 25 26 27

6. Az o ¨sszes m´ odust figyelembe vev˝ o modell 6.1. Felbontás a´tlagtérre és fluktuációkra . . . . . . . . . . . 6.2. Az átlagterek meghatározása . . . . . . . . . . . . . . . . 6.3. A fluktuációk vizsgálata . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.4. Gerjesztési spektrum: kvázirészecskék . . . . . . . . . . . 6.5. A normál fázisban fellép˝o fluktuációk vizsgálata . . . . . 6.6. A modell alapállapotának vizsgálata tetsz˝oleges fázisban ¨ 6.7. Osszefon´ odási mértékek . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

. . . . . . .

30 31 33 35 38 41 42 47

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

. . . . . . . . . .

¨ 7. Osszefoglal´ as

52

8. K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as

53

1

1.

Bevezet´ es ”It would indeed be remarkable if Nature fortified herself against further advances in knowledge behind the analytical difficulties of the many-body problem.” Max Born, 1960

A hideg atomok és molekulák lézerfénnyel történ˝o manipulációja manapság gyorsan fejl˝od˝o ter¨ ulet és alkalmas tereppé vált a fizika fundamentális jelenségeinek mind elméleti, mind k´ısérleti tanulmányozására. Az utóbbi id˝okben megjelent a gyengén kölcsönható atomok körében fellép˝o soktest-effektusok tanulmányozásának igénye. Szabad térben mozgó atomok esetén az elektromágneses mez˝o mechanikai hatása ritkán produkál ilyen effektusokat. Egy atomfelh˝o törésmutatóját általában jó közel´ıtéssel az egyatomos polarizálhatóság és az optikai s˝ ur˝ uség szorzata adja. Egészen megváltozik a helyzet, ha az atomokat egy u ¨regrezonátor belsejében helyezz¨ uk el és ez az elrendezés rengeteg érdekes jelenséghez vezet. Ennek az alapvet˝o oka az, hogy a rezonátor belsejében a fotonok jó pár körutat megtesznek a két t¨ ukör között és minden u ´t során kölcsönhatnak a bentlév˝o atomokkal. Így az atomok visszahatása a térre jelent˝ossé válik. A lézerek a´ltal kifejtett k¨ uls˝o er˝okkel szemben az u ¨reg belsejében az atomokra ható er˝o er˝osen f¨ ugg a rezonátor módus dinamikájától, amit viszont az atomok befolyásolnak jelent˝osen. Mivel az összes atom ugyanahhoz a rezonátor módushoz csatolódik, ezért ebben az elrendezésben akkor is felléphetnek kollekt´ıv jelenségek, ha az atomfelh˝o s˝ ur˝ usége kicsi, vagyis az atomok egymás közötti kölcsönhatása elhanyagolható. Az elméleti érdekesség¨ uk mellett a kollekt´ıv jelenségek k´ısérletileg is jól vizsgálhatók: ezek a k´ısérletek ma a kvantumoptika frontvonalának részét képezik [1–7]. Numerikus szimulációk alapján elméletileg megjósolt [8,9] és k´ısérletileg is ellen˝orzött [10] tény, hogy optikai rezonátorba helyezett hideg atomok termális felh˝oje fázisátalakuláson megy kereszt¨ ul, ha az atomokat oldalról, az u ¨reg tengelyére mer˝oleges irányból egy lézerrel pumpáljuk. A fázisátalakulás a gerjeszt˝o lézerfény intenzitásának változtatása közben figyelhet˝o meg. A kritikus pumpaer˝osség alatt az atomok homogén eloszlásban töltik ki a rezonátor beljesét és az a´ltaluk a rezonátorba szórt lézerfotonok destrukt´ıvan interferálnak, ami az átlagos optikai mez˝oer˝osséget zérussá teszi. A kritikus pont felett az el˝obbi a´llapot instabillá válik és az atomok maguktól egy periodikus rácsba rendez˝odnek, aminek periódushosszát az u ¨regmódus hullámhossza szabja meg. Ebben az elrendez˝odésben a rezonátorba szórt fotonok konstrukt´ıv módon interferálnak és er˝os elektromágneses mez˝ot hoznak létre benne. A sugárzási mez˝o egy periodikus potenciált hoz létre a rezonátorban: ez a periodikus potenciál felel az atomok alkotta rács egybentartásáért. Ugyanez a jelenség játszódhat le Bose-Einstein kondenzációt szenvedett ultrahideg atomokkal is [11] és ezt az effektust tanulmányozzuk a jelen dolgozatban, zérus h˝omérsékleten. Megjegyezz¨ uk, hogy az elrendezés k´ısérletileg is megvalós´ıtható [12], továbbá más pumpálási mechanizmus esetén további érdekes jelenségek, például optikai bistabilitás is létrehozható benne [13, 14]. A dolgozat felép´ıtése a következ˝o: a 2. fejezetben a´ttekintj¨ uk az átlagtér-elmélet keretében a kondenzátum le´ırásához használt eszköztárat. A 3. fejezetben indukt´ıvan 2

felép´ıtj¨ uk a másodkvantálás formalizmusát, amivel az a´tlagtér kör¨ uli kvantumos fluktuációk le´ırhatóak. A dolgozat tárgyát képez˝o modell a 4. fejezetben ker¨ ul definiálásra, valamint néhány általános következtetés is levonásra ker¨ ul. Az 5. fejezet az általunk nemrég publikált [15]-ös cikk gondolatmenetét követi. A fázisátalakulásnak egy minimum-modelljét adjuk, amiben csak két kondenzátummódust vesz¨ unk figyelembe. Megmutatjuk, hogy ez a modell analóg a kvantumoptika szakirodalmában jól ismert Dicke-modellel [26], amiben szintén egy fázisátalakulás figyelhet˝o meg [16]. Ebben a közel´ıtésben egzakt analitikus formulát tudunk adni a stacionáris a´llapotban a rezonátor-módust és a kondenzátumot le´ıró a´tlagterekre. Meghatározzuk továbbá az átlagtér kör¨ uli kvantumos fluktuációk sajátfrekvenciáit is és le´ırjuk a Heisenberg-képbeli dinamikát. Vég¨ ul azt is megvizsgáljuk, hogy a rezonátor veszteségessége miatt a környezettel való csatolás milyen visszahatást eredményez a rendszer dinamikájára. A 6. fejezetben kiterjesztj¨ uk vizsgálatainkat az o¨sszes kondenzátum-módusra. Egyszer˝ u iterációs algoritmust adunk az átlagterek meghatározására. A fluktuációk sajátfrekvenciáinak meghatározása és a gerjesztési spektrumot le´ıró kvázirészecskék bevezetése után figyelm¨ unket a rendszer alapállapotára ford´ıtjuk. Kiszámoljuk az alapállapot korrelációs mátrixát és seg´ıtségével mennyiségi jellemezést adunk a az atomok és a rezonátor között fellép˝o o¨sszefonódásra. Az elméleti eredményeket numerikus szimulációkból származó ábrákkal szemléltetj¨ uk.

3

2. 2.1.

Bose-Einstein kondenz´ atum ´ atlagt´ er-elm´ elete K¨ olcs¨ onhat´ as n´ elk¨ uli atomok

Vizsgáljunk N >> 1 db nemrelativisztikus bozont, amik egy k¨ uls˝o V (r) potenciálban mozognak. A bozonok alkotta gáz legyen elég h´ıg ahhoz, hogy a részecskék közötti kölcsönhatást elhanyagolhassuk. A rendszer h˝omérséklete legyen T = 0 K Jól ismert, hogy ekkor rendszer¨ unkben egy Bose-Einstein kondenzátum fog létrejönni: Az atomok mindannyian ugyanazt a ψ(r, t) egyrészecske-kvantumállapotot fogják elfoglalni. Ez az állapot kielég´ıti az egyrészecskés Schrödinger-egyenletet: ~2 ∂ψ (r, t) = − 4 + V (r) ψ(r, t) (2.1) i~ ∂t 2m A hullámf¨ uggvényt célszer˝ u a teljes részecskeszámra normálni: Z |ψ(r, t)|2 d3 r = N

(2.2)

V

Most ρ = |ψ|2 jelentése tehát részecskeszám-s˝ ur˝ uség. A (2.1)-es egyenlet megoldását a következ˝o alakban kereshetj¨ uk: i (2.3) ψ(r, t) = ψ(r) exp − µ t ~ Az egyrészecskés kvantummechanikában megszokottól a (2.3)-as egyenlet annyiban tér el, hogy az energia helyét a µ kémiai potenciál foglalta el. Ennek szemléletes jelentése: egyetlen részecske energiája. Természetesen kiszámolhatjuk a rendszer o¨sszenergiáját is: ehhez az egyetlen részecskét le´ıró Hamilton-operátort ”szendvicseln¨ unk” kell ψvel. Az egyrészecske-kvantummechanikában ez a formula a részecskénk energiájának várható értékét adta, most azonban a normálás átdefiniálása (2.2) miatt a rendszer o¨sszenergiáját kapjuk: Z ~2 ∗ ∗ 4 + V (r) ψ(r, t) d3 r (2.4) E[ψ , ψ] = ψ (r, t) − 2m V Egy parciális integrálás elvégzése után az energiát szimmetrikusabb alakban is fel´ırhatjuk: Z 2 ~ 2 2 ∗ E[ψ , ψ] = |∇ψ(r, t)| + V (r) |ψ(r, t)| d3 r (2.5) 2m V A (2.5)-ös egyenletb˝ol leolvasható a kinetikus és a potenciális energias˝ ur˝ uség formulája. A potenciális energia s˝ ur˝ uségét láthatóan a részecskeszám-s˝ ur˝ uség és a potenciálf¨ uggvény szorzata adja. δE Az energia ψ ∗ és ψ funkcionáljaként állt el˝o. Számoljuk ki a δE és δψ alis ∗ funkcion´ δψ deriváltakat. Ehhez vizsgáljuk meg, hogy ψ egy kis δψ megváltoztatása mekkora δE változást okoz az energiában. A funkcionális deriváltak defin´ıcióját a következ˝o o¨sszef¨ uggés adja: Z δE δE ∗ ∗ δE[ψ , ψ] = δψ + δψ d3 r (2.6) ∗ δψ δψ V 4

(2.5)-t megvariálva: Z ~2 (∇δψ ∗ ∇ψ + ∇ψ ∗ ∇δψ) + V (r) (δψ ∗ ψ + ψ ∗ δψ) d3 r δE = 2m V Két darab parciális integrálás elvégzése után: Z ~2 ~2 ∗ ∗ ∗ − δE = 4ψ + V (r) ψ δψ + − 4ψ + V (r)ψ δψ d3 r , 2m 2m V

(2.7)

(2.8)

amit (2.6)-al o¨sszevetve leolvashatjuk a funkcionális deriváltakat. Vegy¨ uk észre, hogy a ψ ∗ szerinti derivált épp a Schrödinger-egyenlet jobb oldalát adja. A mozgásegyenletet tehát a következ˝o általános formában, a rendszer energiájából származtatva ´ırhatjuk föl: ∂ψ δE i~ (r, t) = (r, t) (2.9) ∂t δψ ∗

2.2.

Az atomok k¨ oz¨ otti k¨ olcs¨ onhat´ as figyelembev´ etele

Most vizsgáljuk meg, hogy hogyan tudnánk kiterjeszteni a Bose-Einstein kondenzátumot le´ıró elméletet az egymással u ¨tköz˝o atomok esetére. Az u ¨tközést rövid hatótávolság´ u, u ń. kontakt kölcsönhatásként ´ırhatjuk le, amit a kvantummechanikában s-hullám´ u szórással kezel¨ unk. Mivel a kölcsönhatás azonos helyen lév˝o részecskepárok között jön létre, a kölcsönhatási energias˝ ur˝ uségnek arányosnak kell lennie a részecskeszám-s˝ ur˝ uség négyzetével. (2.5)-t tehát a következ˝oképpen a´ltalános´ıthatjuk: Z 2 g ~ 2 2 4 ∗ |∇ψ(r, t)| + V (r) |ψ(r, t)| + |ψ(r, t)| d3 r , (2.10) E[ψ , ψ] = 2m 2 V ahol g a kölcsönhatás er˝osségét jellemz˝o a´llandó. (2.9) felhasználásával könnyen fel´ırhatjuk a rendszer mozgásegyenletét is: ∂ψ ~2 2 i~ (r, t) = − 4 + V (r) + g |ψ(r, t)| ψ(r, t) (2.11) ∂t 2m (2.11) a szakirodalomban Gross-Pitaevskii egyenlet néven ismert. A dolgozat további részében nem foglalkozom az atomok közötti kölcsönhatással, de az itt le´ırtakhoz hasonló módon azt a kés˝obbi modellekbe is be lehetne ép´ıteni.

5

3.

M´ asodkvant´ al´ as

A jelen fejezetben egy indukt´ıv módszert adunk a másodkvantált formalizmus, vagyis a nemrelativisztikus kvantumtérelmélet felép´ıtésére. A részletes dedukt´ıv tárgyaláshoz a [17]-es jegyzethez irány´ıtjuk az olvasót. Fotonokra a nemrelativisztikus elmélet természetesen nem alkalmazható: az elektromágneses mez˝o kvantálásához lásd [19,20].

3.1.

Bozonok m´ asodkvant´ alt formalizmus´ anak alapjai

Az eddigiekben az atomokat egy ψ(r, t) egyrészecske-hullámf¨ uggvénnyel ´ırtuk le. Els˝o pillantásra azt gondolnánk, hogy az ´ıgy adott le´ırás kvantumos, mivel formuláink nagymérték˝ u analógiát mutatnak az egyrészecskés kvantummechanika megfelel˝o képleteivel. A valóság azonban az, hogy az egyrészecskés esetben kvantumos le´ırás a sokrészecskés esetben klasszikus hullámként való le´ırásnak felel meg. Mivel |ψ|2 jelentése most részecskeszám-s˝ ur˝ uség, az elmélet¨ unk teljesen determinisztikus, kvantum-fluktuációk aligha szerepelhetnek benne. Az is nyilvánvaló, hogy a (2.2)-es egyenletben N helyébe tetsz˝oleges valós számot is ´ırhatunk: a matematikai modellben sehol sem t¨ ukröz˝odik az a megkötés, hogy N-nek egész számnak kell lennie. Vagyis az eddigi modell¨ unk csak az atomok hullámtulajdonságait ´ırja le, a részecskék számának kvantáltságát nem tartalmazza. A klasszikus elmélet¨ unket tehát kvantálni kell. A kés˝obbiekben látni fogjuk, hogy a másodkvantált térelmélet¨ unkkel nemcsak a Bose-Einstein kondenzátumot tudjuk tárgyalni, ahol az o¨sszes atom egyetlen a´llapotban van. Ehelyett tetsz˝oleges k¨ ulönböz˝o a´llapotokban lév˝o atomokat, s˝ot változó részecskeszám´ u rendszereket is le´ırhatunk vele. A kvantálás u ´gy történik, hogy a dinamikai változót egy Hilbert-téren ható operátorral ˆ t) elt¨ ˆ † (r, t) helyettes´ıtj¨ uk. ψ(r, t) helyébe a Ψ(r, untet˝o-, ψ ∗ (r, t) helyébe pedig a Ψ kelt˝o-operátor lép. Mivel az operátorok f¨ uggenek az id˝ot˝ol, ezért a Heisenberg-képben vagyunk. Egy unitér transzformációval az id˝ofejl˝odést leválaszthatjuk az operátorokról. A Schrödingerˆ képben tehát egyszer˝ uen Ψ(r)-t ´ırhatunk. † ˆ A Ψ (r) operátor egy r helyen lév˝o atomot tud létrehozni. Nézz¨ unk erre egy példát. ˆ † (r1 )Ψ ˆ † (r2 ) |0i Jelölje |0i a rendszer vákuum-állapotát. Tekints¨ uk a |ψ(r1 , r2 )i = Ψ a´llapotot. Ez két db atomot ´ır le, melyek köz¨ ul az egyik az r1 , a másik az r2 helyen ˆ tartózkodik. Hasonlóan értelmezhet˝o a Ψ(r) elt¨ untet˝o-operátor hatása is. Az imént bevezetett operátorokra bozonok esetén kommutátor-relációkat kell el˝o´ırnunk. Ehhez idézz¨ uk fel a harmonikus oszcillátor kvantálásánál látott hasonló relációkat. Az a ˆ elt¨ untet˝o- és az a ˆ† kelt˝o-operátorra ott a következ˝o relációkat kaptuk: [ˆ a, a ˆ† ] = 1

(3.1a)

[ˆ a, a ˆ] = 0

(3.1b)

[ˆ a† , a ˆ† ] = 0

(3.1c)

6

ˆ Ezen relációk természetes a´ltalános´ıtását posztuláljuk most Ψ(r)-re: ˆ ˆ † (r0 )] = δ (3) (r − r0 ) [Ψ(r) ,Ψ

(3.2a)

ˆ ˆ 0 )] = 0 [Ψ(r) , Ψ(r

(3.2b)

ˆ † (r) , Ψ ˆ † (r0 )] = 0 [Ψ

(3.2c)

(3.2c)-t alkalmazva a fenti példánkra: ˆ † (r1 )Ψ ˆ † (r2 ) |0i = Ψ ˆ † (r2 )Ψ ˆ † (r1 ) |0i = |ψ(r2 , r1 )i , |ψ(r1 , r2 )i = Ψ

(3.3)

ami világosan mutatja, hogy az általunk le´ırt részecskék bozonok. A teljes részecskeszám operátorát a (2.2)-es formula a´ltalános´ıtása adja: Z ˆ ˆ † (r) Ψ(r) ˆ N= Ψ d3 r (3.4) V

ˆ † (r) Ψ(r) ˆ Vagyis Ψ a részecskeszám-s˝ ur˝ uség operátora. A rendszer Hamilton-operátorát a (2.4)-es egyenlet általános´ıtásával kaphatjuk meg: Z ~2 † ˆ ˆ ˆ d3 r (3.5) Ψ (r) − 4 + V (r) Ψ(r) H= 2m V ˆ t) operátor Heisenberg-képbeli A (2.9)-es klasszikus mozgásegyenlet helyébe a Ψ(r, mozgásegyenlete lép: ˆ ∂Ψ i ˆ ˆ (r, t) = [H, Ψ(r, t)] (3.6) ∂t ~ (3.5)-öt behelyettes´ıtve: ˆ ∂Ψ i (r, t) = ∂t ~

~2 † 0 0 ˆ ˆ ˆ 0 , t) d3 r0 [Ψ (r , t) , Ψ(r, t)] − 4 + V (r ) Ψ(r 2m V

Z

(3.7)

(3.2a) felhasználásával egyszer˝ uen kiadódik a jobboldal: ˆ ∂Ψ i~ (r, t) = ∂t

~2 ˆ t) , − 4 + V (r) Ψ(r, 2m

(3.8)

ami az (2.1)-es egyenlet operátoros megfelel˝oje.

3.2.

M´ odusf¨ uggv´ enyek szerinti kifejt´ es

A V → C négyzetesen integrálható f¨ uggvények terén (V ⊂ R3 ) vegy¨ unk egy teljes ortonormált rendszert. A f¨ uggvényeket jelölje uk (r). Ezek a f¨ uggvények adják meg a lehetséges egyrészecske-állapotokat. Az ortonormáltságot kifejez˝o reláció: Z u∗k (r) ul (r) d3 r = δkl (3.9) V

7

A teljességi reláció pedig: X

uk (r) u∗k (r0 ) = δ (3) (r − r0 )

(3.10)

k

ˆ Fejts¨ uk ki Ψ(r) -t az imént bevezetett módusf¨ uggvények szerint: X ˆ Ψ(r) = cˆk uk (r)

(3.11)

k

A kifejtési egy¨ utthatóként definiált cˆk operátor az uk (r) egyrészecske-hullámf¨ uggvénnyel jellemzett a´llapotban lév˝o atomot t¨ untet el, adjungáltja pedig egy ilyen a´llapot´ u atomot kelt. Ezek az operátorok egymástól f¨ uggetlen kvantumos harmonikus oszcillátorokat ´ırnak le. Ezért a következ˝o kommutátor-relációknak kell eleget tenni¨ uk: [ˆ ck , cˆ†l ] = δkl

(3.12a)

[ˆ ck , cˆl ] = 0

(3.12b)

[ˆ c†k , cˆ†l ] = 0

(3.12c)

Ezek a relációk fejezik ki azt a tényt, hogy az egyes módusokban elhelyezett részecskék bozonok. A kvantumtérelmélet¨ unk Hilbert-terét a harmonikus oszcillátorok Hilberttereinek direkt szorzata adja. Ezt a teret Fock-térnek nevezz¨ uk. A (3.2a) kommutátor-reláció (3.12a)-tól természetesen nem f¨ uggetlen: le kell ellen˝orizn¨ unk a két posztulátum konzisztenciáját. Ehhez helyettes´ıts¨ uk be a (3.11)-es kifejtést (3.2a)ba: X X ˆ ˆ † (r0 )] = uk (r) u∗k (r0 ) [Ψ(r), Ψ uk (r)u∗l (r0 ) [ˆ ck , cˆ†l ] = | {z } k k,l δkl (3.13) = δ (3) (r − r0 ) A két kifejezés egyenl˝oségét tehát a (3.10)-es teljességi reláció biztos´ıtja. A másik ´ két kommutátor-reláció konzisztenciája hasonló módon ellen˝orizhet˝o. Erdemes kihangs´ ulyozni az imént felmer¨ ult kérdés tipikus voltát: a kés˝obbiekben gyakran fogjuk majd azt vizsgálni, hogy bizonyos transzformációk milyen hatással vannak a kommutátor-relációkra. Az uk (r) módusban lév˝o atomok számát a cˆ†k cˆk operátor adja meg. A teljes részecskeszámot a (3.11) kifejtésnek a (3.4)-es egyenletbe való behelyettes´ıtésével kaphatjuk meg: Z X † X † Z † 3 ˆ ˆ ˆ cˆk cˆk (3.14) N= Ψ (r) Ψ(r) d r = cˆk cˆl u∗k (r) ul (r) d3 r = V V k k,l | {z } δkl

A teljes részecskeszámot tehát az egyes módusokban lév˝o részecskék számának o¨sszege adja, ahogy a fizikai szemlélet alapján várhattuk. Hasonló számolással kapjuk (3.5)-b˝ol a rendszer Hamilton-operátorát: X † Z ~2 ∗ ˆ H= cˆk cˆl uk (r) − 4 + V (r) ul (r) d3 r (3.15) 2m V k,l 8

Az uk (r) f¨ uggvényeket célszer˝ u az egyrészecskés Hamilton-operátor sajátf¨ uggvényeinek választani. ~2 4 + V (r) uk (r) = k uk (r) , (3.16) − 2m ahol az k energiaszintek monoton növ˝o sorozatot alkotnak. (3.16)-ot a fenti formulába helyettes´ıtve és (3.9)-et kihasználva kapjuk a végeredményt: X ˆ = H k cˆ†k cˆk (3.17) k

A (3.17)-es egyenlet fizikai tartalma nyilvánvaló: az k energiáj´ u módusban lév˝o atomok † száma cˆk cˆk . A (3.17)-es egyenlet tehát azt fejezi ki, hogy a rendszer teljes energiája az o˝t alkotó egyes atomok energiáinak o¨sszegeként áll el˝o. Ez az áll´ıtás azért igaz, mert az atomok közötti kölcsönhatást elhanyagoltuk. A T = 0K h˝omérséklet˝ u Bose-Einstein kondenzátum esetében természetesen az o¨sszes atom a legkisebb energiáj´ u u0 (r) módusban tartózkodik. Most igazolódott azon korábbi kijelentés¨ unk, hogy a másodkvantált formalizmusban tetsz˝oleges k¨ ulönböz˝o a´llapotban lév˝o atomok is le´ırhatók, a Bose-Einstein-kondenzátum le´ırása a formalizmusnak csupán speciális esete.

9

4.

Bose-Einstein kondenz´ atum optikai rezon´ atorban ”The whole is more than the sum of its parts.” Arisztotelész: Metafizika

4.1.

A modell alapjai

A dolgozat további részében egy optikai rezonátorba helyezett, N atomból álló, zérus h˝omérséklet˝ u Bose-Einstein kondenzátum kölcsönhatását vizsgáljuk a rezonátorbeli elektromágneses mez˝ovel. Az EM mez˝onek csak egyetlen, kvázi-rezonáns módusával foglalkozunk, aminek a körfrekvenciája ωC . ( A jelölés az angol cavity szóból származik, ami magyarul u ¨reget jelent. ) A kondenzátum atomjait oldalról koherensen pumpáljuk egy ω körfrekvenciáj´ u lézerfénnyel (1. a´bra). Az atomok lehetséges bels˝o a´llapotai köz¨ ul csak kett˝ot vesz¨ unk figyelembe, egy alap- és egy gerjesztett a´llapotot. Jelölje ωA az atomi a´tmeneti frekvenciát a két állapot között. Az u ¨reg rezonanciafrekvenciáját és az atomi átmeneti frekvenciát célszer˝ u a gerjeszt˝o lézerfény frekvenciájára vonatkoztatni. Ezért vezess¨ uk be a ∆C = ω − ωC és ∆A = ω − ωA elhangolásokat. Alkalmazzunk az atomokhoz képest nagy vörös elhangolást, vagyis ω-t válasszuk 1. ábra. A k´ısérleti elrendezés. ωA -nál jóval kisebbre. Ekkor ∆A abszol´ ut értékben jóval nagyobb lesz a spontán emisszióból származó természetes vonalszélességnél. Ebben az esetben az atomok nem tudják tartósan elnyelni a lézerb˝ol érkez˝o fotonokat. (2. ábra) Az energia-id˝o határozatlansági reláció miatt egy nagyon rövid id˝otartamra az energia bizonytalansága mégis elég nagy lehet ahhoz, hogy az atom elnyelje a fotont, de a kis id˝otartam letelte után u ´jra ki kell bocsájtania azt. Végeredményben tehát az atom elnyelni nem, szórni viszont tudja a fotonokat. A lézerfotonok tehát az atomokon történ˝o szóródással beker¨ ulhetnek a rezonátorba. Természetesen az u ¨regben tartózkodó fotonok is kölcsönhatnak az atomokkal. Ez a kölcsönhatás diszperz´ıv: az atomok megváltoztatják a rezonátorban körbe-körbe rohanó fotonok optikai u ´thosszát, vagyis eltolják a frekvenciájukat. A diszperz´ıv kölcsön2 hatás er˝osségét modell¨ unkben az U0 = gRabi /∆A paraméter jellemzi. Itt gRabi az u ń. egyfotonos Rabi-frekvencia, ami egy atom és az u ¨regbeli EM mez˝o kölcsönhatásának er˝osségét adja meg frekvencia egységekben. A vörös elhangolás miatt ∆A < 0 és ´ıgy U0 < 0. Az atomokon való szóródás seg´ıtségével megvalós´ıtott transzverz pumpálás er˝osségét pedig az ηt = ΩRabi · gRabi /∆A paraméter méri. Itt ΩRabi a lézerfényhez tartozó Rabi-frekvencia. A képletekb˝ol látható, hogy mind U0 , mind ηt frekvencia dimenziój´ u.

10

Az egyszer˝ uség kedvéért csak az u ¨regrezonátor tengelyének irányába mutató x térdimenziót vessz¨ uk figyelembe a modellben. Az u ¨reg hosszát jelölje L. Az u ¨reg módusf¨ uggvénye ebben az esetben cos(kx), ahol k · L egész szám´ u többszöröse π-nek. A másodkvantált formalizmusnak megfelel˝oen az atomokat a ˆ Ψ(x), a vizsgált rezonátor-módust pedig az a ˆ elt¨ untet˝o-operátorral, illetve adjungáltjaikkal ´ırjuk le. A valóságban az u ¨regrezonátorból irreverzibilis módon fotonok léphetnek ki, ami a rendszert ny´ılttá teszi. Ezzel az effektussal itt az (5.10) alfejezetet leszám´ıtva nem foglalkozunk, a rendszert zártnak tekintj¨ uk és a Hamilton2. ábra. A paraméterek. operátorának az alapállapotát keress¨ uk. M´ ert´ ekegys´ eg-rendszer: Mostantól ~ = 1 egységrendszert használok az egész dolgozatban. Ez lehet˝ové teszi a körfrekvencia és az energia szavak szinon´ımaként való használatát. A sokrészecskés Hamilton-operátor az ω pumpafrekvenciával egy¨ utt oszcilláló vonatkoztatási rendszerben: Z +L 2 2 1 d † † 2 † † ˆ (x) − ˆ ˆ = −∆C a Ψ dx + U0 a ˆ a ˆ cos (kx) + ηt cos(kx) a ˆ +a ˆ Ψ(x) H ˆ a ˆ+ 2 2m dx −L 2 (4.1) (4.1) els˝o tagja a rezonátorban lév˝o fotonok o¨sszenergiáját adja meg: −∆C = ωC − ω a fotonok energiája az u ´j vonatkoztatási rendszerben, a ˆ† a ˆ pedig a fotonok számát megadó operátor. A második tag az atomok mozgási energiája: ezt a tagot már a korábbiakban is láttuk. A harmadik tag ´ırja le az atomok és az u ¨reg közötti kölcsönhatást. A kölcsönhatási energia s˝ u r˝ u s´ e ge l´ a that´ o m´ o don ar´ a nyos a fotonszámnak és az atomszám ˆ † (x) Ψ(x) ˆ s˝ ur˝ uségnek Ψ a szorzatával. Ezen tag hatása kétféleképpen is interpretálható: egyrészt az atomokra nézve egy U0 a ˆ† a ˆ cos2 (kx) effekt´ıv potenciált jelent, aminek a mélysége arányos a fotonszámmal. Másrészt a ˆ† a ˆ kiemelése után ez a tag (4.1) els˝o tagjával is o¨sszevonható: innen látszik, hogy a kölcsönhatási tag a fotonok szempontjából a −∆C frekvencia eltolását eredményezi. Vég¨ ul a negyedik tag ´ırja le a pumpáló lézerfény hatását: az a ˆ† + a ˆ résznek köszönhet˝oen a rezonátorba fotonok léphetnek be és ki. Az atomok szerepe a pumpálásnál abból látható, hogy ebben a tagban is megjelenik az atomszám-s˝ ur˝ uség: minél több atom van egy adott helyen, a be- és kiszórás annál nagyobb mérték˝ u ott. Vég¨ ul megjegyzem, hogy az atomok szempontjából ez a tag is egy effekt´ıv potenciálként jelentkezik.

11

4.2.

M´ odusok szerinti kifejt´ es

A (4.1) harmadik és negyedik tagjában fellép˝o cos2 (kx) és cos(kx) f¨ uggvények miatt célszer˝ u az (r )∞ )∞ ) (r (r 1 2 2 , cos(nkx) sin(nkx) , (4.2) L L L n=1

n=1

ˆ teljes ortonormált rendszert használni Ψ(x) kifejtéséhez. Mivel a két effekt´ıv potenciálban csak a hely páros f¨ uggvényei szerepelnek, ezért a paritásszimmetria miatt a páros és a páratlan módusf¨ uggvényekkel jellemzett módusok nem csatolódnak egymáshoz. Ez matematikailag onnan látható, hogy az ilyen csatolásoknál páratlan f¨ uggvények origóra szimmetrikus intervallumra vett integráljai jelennek meg, amik mindig 0-t adnak. Tudjuk, hogy U0 = ηt = 0 esetén az összes atom a legalacsonyabb (nulla) mozgási energiáj´ u homogén módusban van. Azt akarjuk majd vizsgálni, hogy U0 és ηt értékét változtatva miként megy a´t az atomok egy része a magasabban fekv˝o módusokba. Az el˝obbiekb˝ol következik, hogy legalulról a´tmenet csak a páros ˆ f¨ uggvényekkel jellemzett módusokba lehetséges. Tehát Ψ(x) kifejtésénél a páratlan f¨ uggvényekkel nem is kell foglalkoznunk: r ∞ r X 1 2 ˆ cˆ0 + cos(nkx) cˆn (4.3) Ψ(x) = L L n=1 Helyettes´ıts¨ uk be a (4.3)-as kifejtést (4.1)-be. A fellép˝o integrálok könnyen kiszámolhatók és a következ˝o eredmények adódnak: A teljes részecskeszám: Z +L ∞ X 2 † ˆ ˆ ˆ N= Ψ (x) Ψ(x) dx = cˆ†n cˆn (4.4) −L 2

n=0

A mozgási energiában fellép˝o tag: Z +L ∞ X 2 d2 ˆ † 2 ˆ Ψ (x) − 2 Ψ(x) dx = k n2 cˆ†n cˆn L dx −2 n=1 A pumpálásnál fellép˝o tag: √ Z +L 2 2 † † ˆ (x) cos(kx) Ψ(x) ˆ Ψ dx = cˆ0 cˆ1 + cˆ†1 cˆ0 + 2 −L 2 ∞ 1X † + cˆn cˆn+1 + cˆ†n+1 cˆn 2 n=1

A diszperz´ıv kölcsönhatást le´ıró tagnál: Z +L ∞ 2 1 3 1 X † ˆ † (x) cos2 (kx) Ψ(x) ˆ Ψ dx = cˆ†0 cˆ0 + cˆ†1 cˆ1 + cˆn cˆn + 2 4 2 −L n=2 2 √ ∞ 1X 2 † + cˆ0 cˆ2 + cˆ†2 cˆ0 + cˆ†n cˆn+2 + cˆ†n+2 cˆn 4 4 n=1 12

(4.5)

(4.6)

(4.7)

A fenti formulákat (4.1)-be visszahelyettes´ıtve megkapjuk a teljes Hamilton-operátor módusok szerint kifejtett alakját: ˆ = −∆C a H ˆ† a ˆ + ωR

∞ X

n2 cˆ†n cˆn

n=1

! √ ∞ X 1 2 † † † ηt a ˆ† + a ˆ cˆ0 cˆ1 + cˆ1 cˆ0 + √ cˆ†n cˆn+1 + cˆn+1 cˆn + 2 2 n=1 ( ) ∞ ∞ X X √ 1 + U0 a ˆ† a ˆ 2 cˆ†0 cˆ0 + 3 cˆ†1 cˆ1 + 2 cˆ†n cˆn + 2 cˆ†0 cˆ2 + cˆ†2 cˆ0 + cˆ†n cˆn+2 + cˆ†n+2 cˆn 4 n=2 n=1 (4.8) A (4.8)-as egyenlet láthatóan igen bonyolult lett. Az értelmezéshez ezért koncentráljunk a benne szerepl˝o cˆ†j cˆn t´ıpus´ u tagokra. A j = n esetben már tudjuk, hogy a cˆ†n cˆn tag az n. módusban lév˝o atomok számát adja, szorzótényez˝oje pedig az ebben a módusban helyet foglaló egyetlen atom energiáját mondja meg. Például az els˝o sor második tagjából leolvashatjuk, hogy az n. módushoz tartozó mozgási energia n2 ωR , ahol bevezettem az k2 ωR = 2m jelölést. Ennek szemléletes jelentése a következ˝o: ha egy atom kibocsájt egy k hullámszám´ u fotont, akkor az impulzusmegmaradás miatt az atom visszalök˝odik és éppen ωR energiára tesz szert. A jelölés az angol recoil energy szóból ered, ami magyarul visszalök˝odési energiát jelent. A lézerfénnyel lökdösött ultrahideg atomok mozgási energiájának ez a természetes alapegysége. A j 6= n esetben a cˆ†j cˆn tag egy átmenetet ´ır le a két módus között: (az operátor hatását jobbról balra kiértékelve) az el˝obb elt¨ untet egy atomot az n. módusból, majd kelt egyet a j. módusban. Az is láthat´ o, hogy ezek a tagok mindig párban, a cˆ†j cˆn + cˆ†n cˆj o¨sszeg alakjában lépnek fel. Az n → j ˆ és a j → n a´tmenetek s´ ulya H-ban tehát ˆ azonos. Erre azért van sz¨ ukség, hogy H o¨nadjungáltsága biztos´ıtott legyen, ami unitér id˝ofejl˝odést, vagyis id˝oben reverzibilis dinamikát eredményez. (4.8)-b˝ol azt is leolvashatjuk, hogy az ηt -s tagokra j = n + 1, az U0 -as tagokra pedig j = n + 2. Tehát a pumpálás a szomszédos módusok között lépteti az 3. ábra. A módusok alkotta létra. atomokat, a diszperz´ıv kölcsönhatás pedig a kett˝o távolságra lev˝ok között. A ”módusok alkotta létrát” szemlélteti a 3. a´bra. Természetesen mer¨ ul fel az a kérdés, hogy a fenti ”létrán” a kölcsönhatási tagok milyen magasra tudják felléptetni az egyes atomokat? Ezért vizsgáljuk meg a szomszédos módusok mozgási energiában mért távolságát: ((n + 1)2 − n2 ) ωR = (2n + 1) ωR , vagyis 13

fölfelé haladva a szomszédos módusok távolsága folyamatosan n˝o. Következésképpen tetsz˝olegesen nagy kölcsönhatási paraméterértékek esetén is csak véges sok módus fog részt venni a dinamikában és egy bizonyos határ felett az összes módus betöltetlen marad. A rendszer¨ unk tehát egy effekt´ıv levágást tartalmaz.

14

5.

K´ et m´ odusos k¨ ozel´ıt˝ o modell

Mivel a (4.8)-as Hamilton-operátor igen bonyolult strukt´ uráj´ u, ezért vizsgálatainkat célszer˝ u néhány egyszer˝ us´ıt˝o föltevés mellett végezni. Tegy¨ uk fel, hogy U0 értéke elég kicsi. Ebben az esetben csak a szomszédos módusok között jöhet létre átmenet. Amennyiben ηt értéke sem t´ ul nagy, átmenet csak a 0. és az 1. módus lesz. A fázisátalakulásnak egy minimum-modelljét kaphatjuk tehát azáltal, ha csak a cˆ0 és cˆ1 módusokat vessz¨ uk figyelembe. A (4.3)-as Fourier-kifejtés ezzel a következ˝oképpen egyszer˝ usödik: r r 1 2 ˆ cˆ0 + cos(kx) cˆ1 (5.1) Ψ(x) = L L ˆ = cˆ†0 cˆ0 + cˆ†1 cˆ1 operátor adja meg, a HamiltonA teljes részecskeszámot ekkor a N operátor pedig: o n 1 ˆ = − ∆C a H ˆ† a ˆ + ωR cˆ†1 cˆ1 + U0 a ˆ† a ˆ 2 cˆ†0 cˆ0 + 3 cˆ†1 cˆ1 4 (5.2) √ † 2 † † + ηt a ˆ +a ˆ cˆ0 cˆ1 + cˆ1 cˆ0 2

5.1.

Spin-reprezent´ aci´ o

Rögz´ıts¨ uk le a rendszerben lév˝o atomok számát N -re: cˆ†0 cˆ0 + cˆ†1 cˆ1 = N

(5.3)

Matematikailag ez a feltétel azt jelenti, hogy vizsgálódásainkat a teljes Hilbert-térr˝ol ˆ operátor felveszi az N sajátértéket. Az N lesz˝ uk´ıtj¨ uk egy olyan altérre, amelyen az N db atomunk mindegyike a cˆ0 vagy a cˆ1 a´ltal le´ırt módusok valamelyikében van. Alkalmazzuk most a Schwinger-reprezentációt [25]. Rendelj¨ unk hozzá a rendszerhez egy N/2-es spint: Sz értéke legyen −N/2, ha az o¨sszes atom az alap-, illetve +N/2, ha mindegyik¨ uk a gerjesztett a´llapotban foglal helyet. A két széls˝oérték között Sz értéke ±1 -enként változhat, ami egy atom a´tmenetelének felel meg az egyik módusból a másikba. Vezess¨ uk be a következ˝o spin-operátorokat: 1 † cˆ1 cˆ1 − cˆ†0 cˆ0 (5.4a) Sˆz = 2 Sˆ+ = cˆ†1 cˆ0 (5.4b) Sˆ− = cˆ†0 cˆ1

(5.4c)

Az Sˆz operátor a gerjesztett és az alapállapotban lév˝o atomok számának k¨ ulönbségét˝ol ˆ f¨ ugg: ez eleget tesz a fenti tulajdonságoknak. Az S± operátorok pedig léptet˝ooperátorok, amelyek egy atom átugrását ´ırják le egyik módusból a másikba. (5.3) és (5.4a) seg´ıtségével a két módus betöltési számai is megadhatóak: N cˆ†0 cˆ0 = − Sˆz (5.5a) 2 N cˆ†1 cˆ1 = + Sˆz (5.5b) 2 15

A defin´ıciók alapján könnyen ellen˝orizhet˝o a következ˝o kommutátor-relációk teljes¨ ulése: [Sˆ− , Sˆ+ ] = −2Sˆz

(5.6a)

[Sˆz , Sˆ+ ] = +Sˆ+

(5.6b)

[Sˆz , Sˆ− ] = −Sˆ−

(5.6c)

Vég¨ ul a Hamilton-operátort is fel´ırhatjuk a spinváltozókkal: 5 N 1 † † ˆ ˆ ˆ + U0 a ˆ a ˆ Sz + N H = − ∆C a ˆ a ˆ + ωR Sz + 2 4 2 √ 2 † ˆ ˆ + ηt a ˆ +a ˆ S+ + S− 2

(5.7)

A további vizsgálatokat megkönny´ıti majd, ha a (∆C , ωR , U0 , ηt ) paraméterek használatáról a´ttér¨ unk a (δC , ωR , u , y) paraméternégyesre. A defin´ıciók: 1 δC = ∆C − N U0 2 1 u = N U0 4 √ y = 2N ηt A Hamilton-operátor az u ´j paraméterekkel kifejezve: N N u † † ˆ ˆ ˆ H = − δC a ˆ a ˆ + ωR Sz + + a ˆ a ˆ Sz + 2 N 2 1 y + √ a ˆ† + a ˆ Sˆ+ + Sˆ− 2 N

5.2.

(5.8a) (5.8b) (5.8c)

(5.9)

Anal´ ogia a Dicke-modellel

A kvantumoptika szakirodalmában behatóan tanulmányozott Dicke-modell N db optikai rezonátorba helyezett, rögz´ıtett, kétállapot´ u atom kölcsönhatását ´ırja le a rezonátor egy módusával [26]. Az atomi a´tmeneti frekvenciát jelölje ωA , a vizsgált u ¨regmódusét ωC . A csatolási állandó legyen σ. A Dicke-modellt le´ıró Hamilton-operátor: N † ˆ ˆ HDicke = ωC a ˆ a ˆ + ωA Sz + 2 (5.10) 1 σ † ˆ ˆ + √ a ˆ +a ˆ S+ + S− 2 N Azonnal észrevehetj¨ uk, hogy u = 0 esetén a paraméterek közötti (−δC , ωR , y) ↔ (ωC , ωA , σ) leképezés analógiát teremt a két modell között. Ugyanakkor jól ismert, hogy az N → ∞ termodinamikai határesetben és zérus h˝omérsékleten a Dicke-modellben 16

egy kvantum-fázisátalakulás megy végbe [16]. A fázisátalakulás kritikus pontját a √ uggés határozza meg. A σ < σcrit esetben a rendszer az efσcrit = ωC ωA o¨sszef¨ fekt´ıve gerjesztetlen normál fázisban tartózkodik. σ > σcrit esetén viszont átmegy egy kollekt´ıv és makroszk´ opikusan gerjesztett, u ń. ”szuper-radiáns fázisba”. Az analógia √ szerint mi az ycrit = −δC ωR pontban (δC < 0) várjuk a fázisátalakulást. Látni fogjuk, hogy a kritikus pont u 6= 0 esetén sem mozdul el, s˝ot akkor sem, hogyha minden kondenzátum-módust figyelembe vesz¨ unk. Bár elméleti szempontból a két modell ekvialens, k´ısérleti néz˝opontból korántsem az. A Dicke-modellnél a fázisátalakulási pontot az optikai tartományban várjuk, ami a k¨ uszöböt dipól-csatolással elérhetetlenné teszi. A kondenzátum esetében viszont az atomok bels˝o dinamikáját jellemz˝o ωA helyébe a k¨ uls˝o térbeli mozgásukat le´ıró ωR visszalök˝odési frekvencia ker¨ ul, ami kHz-es tartományba esik. Következésképpen a fázisátalakulási pont is lejjebb ker¨ ul és ez lehet˝ové teszi a k´ısérleti megvalós´ıtást. A Dicke-modell véges N esetén a kvantumkáosz jegyeit hordja magán. Mi ezekkel a jegyekkel a továbbiakban nem foglalkozunk, csak a termodinamikai határesetet vizsgáljuk, ahol a modell egzaktul megoldható. Jelölje az u ¨regrezonátor belsejének térfogatát V . A termodinamikai határesetet az N → ∞ és V → ∞ limesszel értelmezz¨ uk, miközben az N/V részecskeszám-s˝ ur˝ uséget a´llandóan √ tartjuk. A Rabi-frekvencia (itt nem √ közölt) defin´ıciójából következik, hogy U0 ∼ 1/V és ηt ∼ 1/ V . Az u ´jonnan bevezett paraméterekre gRabi ∼ 1/ V . Emiatt p ez az u ∼ N/V és y ∼ N/V arányosságokat eredményezi. Következésképpen ezek a paraméterek a termodinamikai határesetben a´llandóak.

5.3.

Holstein-Primakoff reprezent´ aci´ o

Vegy¨ unk egy bozonikus ˆb operátort a szokásos kommutátor-relációkkal: [ˆb , ˆb† ] = 1

(5.11a)

[ˆb , ˆb] = 0

(5.11b)

[ˆb† , ˆb† ] = 0

(5.11c)

A Holstein-Primakoff reprezentáció az Sˆz és Sˆ± operátorok (5.6)-ban megadott kommutátor-algebráját az (5.11)-es algebra felhasználásával a´ll´ıtja el˝o [27]. A leképezés a következ˝o: N Sˆz = ˆb† ˆb − 2 q Sˆ+ = ˆb† N − ˆb† ˆb q Sˆ− = N − ˆb† ˆb ˆb

(5.12a) (5.12b) (5.12c)

Egyszer˝ u számolással ellen˝orizhet˝o, hogy az (5.6)-os relációk valóban kielég¨ ulnek. Az † ˆ (5.11)-es relációkból tudjuk, hogy b egy kelt˝o-operátor. De mit kelt? A gerjesztési kvantumok száma: ˆb† ˆb = Sˆz + N = cˆ† cˆ1 , (5.13) 1 2 17

ahol a második lépésben (5.5b)-t használtuk. Innen látjuk, hogy ˆb gerjesztési kvantumai a gerjesztett módusban lév˝o atomok. A hˆb† ˆbi ≤ N feltétel miatt ˆb Hilbert-terének nem minden a´llapota értelmes fizikailag. A fizikai a´llapotok egy véges dimenziós alteret alkotnak, melynek bázisa: {|0i , |1i , ... , |N i} A termodinamikai határesetben ez az altér a´tmegy a teljes Hilbert-térbe. A Holstein-Primakoff reprezentáció seg´ıtségével fel´ırt Hamilton-operátor: u † ˆ† ˆ ˆ = − δC a ˆ a ˆb b H ˆ† a ˆ + ωR ˆb† ˆb + a N s  s  (5.14) † † ˆ ˆ ˆ ˆ † 1 b b b b † ˆb + y a ˆ +a ˆ ˆb + 1− 1− 2 N N

5.4.

Felbont´ as ´ atlagt´ erre ´ es ak¨ or¨ uli kis fluktu´ aci´ okra

ˆ két csatolt harmonikus oszcillátort ´ır le. A csatolás bonyolult alakja Az (5.14)-es H miatt az egzakt kvantumos megoldást nem tudjuk meghatározni. Ezért egy átlagtér közel´ıtést alkalmazunk. Az a ˆ és ˆb operátorokat felbontjuk a várható érték¨ ukre és az akör¨ uli kvantumos oszcillációkat le´ıró tagokra. A várható értékekr˝ol feltételezz¨ uk, hogy id˝oben a´llandóak. A fluktuációkat kis mennyiségként kezelj¨ uk. A módszer a termodinamikai határesetben egzakt eredm´ e nyre vezet. √ √ √ u bedefiniálni, Legyen hˆ ai = N α és hˆbi = N β. A N szorzót itt azért célszer˝ hogy majd kés˝obb N → ∞-re α és β konstans legyen. Az α és β számokról feltessz¨ uk, hogy valósak. A kés˝obbiekben látni fogjuk, hogy ez a feltevés önkonzisztens: olyan egyenleteket fogunk kapni rájuk, amelyeknek valós gyökeik lesznek. Hajtsunk végre egy eltolási transzformációt az operátorokon: √ ˆ (5.15a) a ˆ → Nα+a √ ˆb → N β + ˆb (5.15b) Konvenci´ o: Komplex szám és operátor összegét u ´gy értelmezz¨ uk, hogy a számot egy egységoperátorral megszorozva beágyazzuk az operátorok terébe. Mivel az egységoperátor mindennnel kommutál, ´ıgy a transzformáció a kommutátorrelációkon nem változtat. Az eltolás után hˆ ai = 0 és hˆbi = 0, az u ´j operátorok tehát a kvantum-fluktuációkat ´ırják le. A teljes fotonszám operátora a következ˝oképpen transzformálódik: √ † √ √ † a ˆ a ˆ→ Nα + a ˆ Nα + a ˆ = N α2 + N α a ˆ† + a ˆ +a ˆ† a ˆ (5.16) Ennek várható értéke: hˆ a† a ˆ i → N α2 +

√

N α hˆ a† i + hˆ ai +hˆ a† a î | {z }

(5.17)

0

Vagyis a teljes fotonszám egy koherens, klasszikus részb˝ol és az ahhoz járuló inkoherens kvantum-korrekcióból a´ll össze. Ugyanez igaz a gerjesztett atomok számára is: √ hˆb† ˆbi → N β 2 + N β hˆb† i + hˆbi +hˆb† ˆbi (5.18) | {z } 0

18

Mivel a gerjesztett atomok maximális száma N és hˆb† ˆbi ≥ 0, ezért β 2 ∈ [0, 1] A teljesség kedvéért megjegyezz¨ uk, hogy az eltolás egy unitér hasonlósági transzformációként is felfogható. Vezess¨ uk be a ˆ aˆ (α) = exp α a D ˆ † − α∗ a ˆ (5.19) unitér eltolási operátort [19, 21]. Igazolható, hogy: √ √ √ † ˆ ˆ Nα a ˆ Daˆ Nα = Nα+a ˆ Daˆ

(5.20)

és ˆb-re is hasonló transzformációt végezhet¨ unk. A Hamilton-operátor az eltolás hatására √ √ √ √ † † ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ N β Daˆ N α H Daˆ N α Dˆb Nβ (5.21) H → Dˆb ˆ spektrumán nem változtat. módon transzformálódik. A hasonlósági transzformáció H

5.5.

Taylor-sorfejt´ es

Az eltolás utáni Hamilton-operátor: √ ˆ = − δC N α 2 + N α a H ˆ† + a ˆ +a ˆ† a ˆ √ 2 † †ˆ ˆ ˆ ˆ + ωR N β + N β b + b + b b √ √ u N α2 + N α a ˆ† + a ˆ +a ˆ† a ˆ N β 2 + N β ˆb† + ˆb + ˆb† ˆb + N   v u √ u 2 † †  √ t N β + N β ˆb + ˆb + ˆb ˆb  1 √ ˆb†  ˆ† + a ˆ  N β + 1 − + adj. + y 2 Nα+a   2 N (5.22) Ezt a formulát most az a ˆ , ˆb (kicsinynek tekintett) változópárban másodrendig sor√ bafejtj¨ uk. A gyökös kifejezés sorfejtését a 1 − ≈ 1− 12 − 18 2 Taylor-sor seg´ıtségével végezhetj¨ uk: v v u √  u √ u † † † u ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆb† ˆb Nβ b +b +b b p N β b + b + t u  1 − β2 − = 1 − β 2 t1 −  N N (1 − β 2 )  √ 2  † †ˆ † †ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Nβ b +b +b b Nβ b +b +b b p 1  − 1    ≈ 1 − β 2 1 −   , 2 2 2 N (1 − β ) 8 N (1 − β ) 

√

(5.23) 19

amib˝ol a másodnál magasabb rend˝ u tagok elhagyhatóak. A sorfejtés innent˝ol csak polinomokkal való egyszer˝ u manipulációt jelent: fel kell bontanunk a zárójeleket és egymás mellé kell csoportos´ıtanunk az azonos rend˝ u tagokat. Vég¨ ul egy rendenkénti kifejtéshez jutunk: ˆ =H ˆ (0) + H ˆ (1) + H ˆ (2) + ... H (5.24) A nulladrend˝ u tag: p ˆ (0) = E0 (α, β) = N −δc α2 + ωR β 2 + u α2 β 2 + 2y α β 1 − β 2 H

(5.25)

Az els˝orend˝ u tag: p √ ˆ (1) = N −δc + u β 2 α + y β 1 − β 2 a H ˆ† + a ˆ ! 2 √ 1 − 2β ˆb† + ˆb + N ωR + u α2 β + y α p 1 − β2

(5.26)

A másodrend˝ u tag: † ˆ (2) = −δC + u β 2 a H ˆ a ˆ αβ

+ ωR + u α2 − y p 1 − β2

! ˆb† ˆb

(5.27) 1 αβ 2 − β 2 ˆ† ˆ2 1 b + b + yp − y αβ 2 (1 − β 2 )3/2 1 − β2 4 ! y 1 − 2β 2 + uαβ + p a ˆ† + a ˆ ˆb† + ˆb 2 1 − β2 √ Azonnal észrevehetj¨ uk, hogy a rendek N csökken˝ √ o hatványai szerint haladnak. Ez a t´ıpus´ u összegb˝o√ l a kifejtésnél egyszer˝ uen annak a következménye, hogyha egy N α+ˆ a második tagot választjuk, az eggyel nagyobb rendet, viszont kevesebb N tényez˝ot √ (3) ˆ fog eredményezni. A harmadik rendnél már H ∼ 1/ N , ami N → ∞ esetén 0hoz tart. A sorfejtés¨ unk tehát a termodinamikai határesetben egzakt. Gyan´ us lehet, ˆ hogy (5.27) harmadik sorában szerepel egy nulladrend˝ unek látszó tag. Ez a [b , ˆb† ] = 1 reláció kihasználásával keletkezett. Viszont nem tartalmaz N -t, ami mutatja, hogy ˆ (2) -höz tartozik. H Tiszt´ azzukaz egyes rendek fizikai jelentését. Ehhez képzelj¨ uk el, hogy fel´ırjuk az † ˆ ˆ† a ˆ, a ˆ , b, b operátor-négyes mozgásegyenleteit Heisenberg-képben. Ezek: d ˆ,a a ˆ(t) = i[H ˆ(t)] (5.28a) dt d ˆ ˆ , ˆb(t)] b(t) = i[H (5.28b) dt és adjungáltjaik. A kommutátor-relációk alapján könnyen meggondolható o¨kölszabály, ˆ hogy a H-ban fellép˝o n-edrend˝ u tagok a mozgásegyenletekben (n − 1)-ed rend˝ u ta(0) ˆ ˆ gokként jelentkeznek. A nulladrend˝ u H = E0 (α, β) I tag mindenkivel kommutál, ´ıgy 20

kiesik a mozgásegyenletekb˝ol. Az E0 (α, β) tényez˝o az energia nullszintjét tolja csak el: a sorfejtésnél viszony´ıtási alapnak tekintett, (α, β) párral jellemzett koherens a´llapot energiáját adja. A fluktuációk energiája erre az energiára tev˝odik rá. ˆ (2) a mozgásegyenletekben lineáris tagokat eredményez. Ezek a tagok határozzák H ˆ (1) pedig konsmajd meg a klasszikus állapot kör¨ uli fluktuációk sajátfrekvenciáit. H tans tagok megjelenéséhez vezet. Tehát a következ˝o alak´ u lineáris egyenletrendszerre szám´ıtunk:        a ˆ(t) a ˆ(t) · · · · · † †        ˆ (t)   · · · ·   a ˆ (t)   ·  d  a  (5.29) = + dt  ˆb(t)   · · · ·   ˆb(t)   ·  ˆb† (t) ˆb† (t) · · · · · {z } | | {z } ˆ (2) H

ˆ (1) H

Vegy¨ uk az egyenletrendszer mindkét oldalának várható értékét. Az eltolás óta hˆ ai = hˆ a† i = hˆbi = hˆb† i = 0, ´ıgy az egyenletrendszer baloldala és jobbolˆ (1) -b˝ol származó konstans vektor dalának els˝o fele is azonosan 0. Következésképpen a H nem léphet fel. Csak akkor nem jutunkellentmond´ asra, ha az (α, β) párt u ´gy választjuk † † ˆ ˆ utthatóit kinullázzuk. Ez meg, hogy (5.26)-ban az a ˆ +a ˆ és b + b tényez˝ok egy¨ ˆ (1) = 0 -t eredményez. A sorfejtés tehát megadja nek¨ ugyanis H unk azt a pontot is, ami kör¨ ul sorfejten¨ unk kell.

5.6.

´ Atlagterek meghat´ aroz´ asa

(5.26)-ban a 2 tényez˝o kinullázásával a következ˝o egyenletrendszert kapjuk (α, β) -ra: p −δc + uβ 2 α = −y β 1 − β 2 (5.30a) 1 − 2β 2 ωR + uα2 β = −y α p 1 − β2

(5.30b)

Most látjuk igazolódni két korábban tett kijelentés¨ unket. Egyrészt α-ra és β-ra valós egyenletrendszert adódott, másrészt ez az egyenletrendszer csak olyan paramétereket tartalmaz, amelyek a termodinamikai határesetben állandóak. Ezek a tulajdonságok pedig az (α, β) párra is a´t fognak o¨rökl˝odni. Az egyenletrendszer triviális megoldása α = β = 0, ami a normál fázist ´ırja le. Tegy¨ uk fel, hogy α 6= 0 és β 6= 0. A két egyenlet szorzatából a következ˝ot kapjuk: −δc + u β 2 ωR + u α2 = y 2 1 − 2β 2 (5.31) α2 -et kifejezhetj¨ uk (5.30a)-ból: α2 = y 2

β 2 (1 − β 2 ) (−δC + u β 2 )2

(5.32)

Ezt (5.31)-be helyettes´ıtve rendezés után egy másodfok´ u egyenletet kapunk β 2 -re: u 4 ωR δC + y 2 β − 2β 2 + =0, δC ωR u + y 2 21

(5.33)

4. a´bra. A koherens fotonok száma N -re vonatkoztatva (α2 ), a pumpálás er˝osségének (y) f¨ uggvényében. A paraméterek: ωR = 1, δC = −100, u = −0, 1, ycrit = 10. ahol ωR u + y 2 6= 0-t feltételezt¨ unk. Az egyenletb˝ol els˝oként a fázisátalakulási pontot, vagyis a kritikus ycrit értéket határozzuk meg. Tudjuk, hogy a fázisátalakulási pontban β értéke folytonosan változik. Ezért y → ycrit + esetén β 2 → 0, ´ıgy (5.33)-ból: 2 ycrit = −δC ωR

(5.34)

A Dicke-modellel való analógia alapján u = 0 esetén éppen ezt vártuk. Most azt is beláttuk, hogy a kritikus pont helye u 6= 0 esetén is ezzel a formulával adható meg. (5.33)-ban célszer˝ u ωR -et ycrit -tel kifejezni: 2 y 2 − ycrit u 4 β − 2β 2 + 2 =0 2 δC y − δuC ycrit

(5.35)

Ennek az egyenletnek keress¨ uk β 2 ∈ [0, 1] intervallumba es˝o megoldását a δC < 0, u ≤ 0, ωR > 0, y ≥ ycrit paramétertartományban. u = 0 esetén a megoldás azonnal föl´ırható: 2 ycrit 1 2 1− 2 (5.36) β = 2 y Most tegy¨ uk föl, hogy u 6= 0. Az egyenlet diszkriminánsa: ! 2 u y 2 − ycrit ≥0 D =4 1− 2 δC y 2 − δuC ycrit

(5.37)

Egyszer˝ uen meggy˝oz˝odhet¨ unk arról, hogy ez kétféleképpen lehetséges: 2 • 1. eset: δC ≤ u < 0 és ycrit ≤ y2 2 • 2. eset: u < δC < 0 és ycrit ≤ y2 <

u 2 y δC crit

Számunkra az 1. eset az érdekes, mivel u értékér˝ol a kétmódusos modell megalkotásánál feltett¨ uk, hogy kicsi. A [0, 1] intervallumba es˝o megoldást a megoldóképletb˝ol a − el˝ojel választásával kapjuk: ! s 2 − y2 δ u y C crit 1− 1− (5.38) β2 = 2 u δc y 2 − δuC ycrit 22

5. a´bra. A koherensen gerjesztett atomok aránya (β 2 ) a pumpálás er˝osségének (y) f¨ uggvényében. Az ábráról leolvasható, hogy y → ∞ esetén az atomok fele lesz a gerjesztett állapotban. A paraméterek: ωR = 1, δC = −100, u = −0, 1, ycrit = 10.

5.7.

A fluktu´ aci´ ok vizsg´ alata

Az átlagtér kör¨ uli fluktuációkat a teljes Hamilton-operátor másodrend˝ u tagjai ´ırják le. (0) (2) ˆ ˆ ˆ Mivel H = E0 (α, β) I és a H -ben szerepl˝o konstans tag a dinamikára nincs hatással, ˆ ol. Ez az energia nullpontjának a´tdefiniálását ezért a továbbiakban ˝oket elhagyjuk H-b´ jelenti, amivel a kés˝obbiekben is élni fogunk. Tehát a használni k´ıvánt Hamilton-operátor: † ˆ = −δC + u β 2 a H ˆ a ˆ ! αβ 2 ˆb† ˆb + ωR + u α − y p 2 1−β 1 2 − β 2 ˆ† ˆ2 − y αβ b +b 4 (1 − β 2 )3/2 ! y 1 − 2β 2 a ˆ† + a ˆ ˆb† + ˆb + uαβ + p 2 1 − β2

(5.39)

Az operátor vizsgálatához célszer˝ u bevezetni az u ń. kvadrat´ ura-amplit´ udókat. Ezek defin´ıciója: â = 1 a X ˆ+a ˆ† 2 ˆ b = 1 ˆb + ˆb† X 2

1 Yâ = a ˆ−a ˆ† 2i 1 ˆ ˆ† Yˆb = b−b 2i

(5.40a) (5.40b)

A kvadrat´ ura amplit´ udók o¨nadjungált operátorok. Pongyol´ ˆ és ˆb an szólva ezek az a operátorok ”valós” és ”képzetes” részei. Ez jól látható az a ˆ, a ˆ† , ˆb, ˆb† négyest megadó

23

inverz-relációkból: ˆ a + i Yâ a ˆ=X

ˆ a − i Yâ a ˆ† = X

(5.41a)

ˆb = X ˆ b + i Yˆb

ˆb† = X ˆ b − i Yˆb

(5.41b)

[ˆ a, a ˆ† ] = 1 -b˝ol és [ˆb, ˆb† ] = 1 -b˝ol (5.40) alapján adódnak a kommutátor-relációk: ˆ a , Yâ ] = i [X 2 ˆ b , Yˆb ] = i [X 2

(5.42a) (5.42b)

és az összes többi kommutátor zérus. A fotonok, valamint a gerjesztett atomok számának inkoherens részét megadó operátoroknak a kvadrat´ ura-amplit´ udókkal kifejezett alakja: ˆ 2 + Yˆ 2 − 1 a ˆ† a ˆ=X a a 2 ˆb† ˆb = X ˆ 2 + Yˆ 2 − 1 b b 2

(5.43a) (5.43b)

Vég¨ ul pedig az u ´j változókkal kifejezett Hamilton-operátor: ˆ = M0 X ˆ 2 + Yˆ 2 + MX X ˆ 2 + MY Yˆ 2 + 2MC X â X ˆb , H a a b b

(5.44)

ahol az Mj paramétereket a következ˝o összef¨ uggések definiálják: M0 = −δC + u β 2 MX = ωR + u α2 − y αβ

(5.45a)

3 − 2β 2 (1 − β 2 )3/2

MY = ωR + u α2 − y αβ p

1 1 − β2

1 − 2β 2 MC = 2u α β + y p 1 − β2

(5.45b) (5.45c) (5.45d)

Vizsgáljuk meg az(5.44)-es operátor egyes tagjainak fizikai jelentését. 2 2 ˆ ˆ ˆ ˆ Az M0 Xa + Ya -es tag szintfel¨ uletei (az a´llandó energiáj´ u fel¨ uletek) az Xa , Ya ˆ 2 + MY Yˆ 2 tagnál a szintfel¨ ˆ b , Yˆb s´ıkban körök. Ezzel szemben az MX X u letek az X b b s´ıkban lév˝o ellipszisek. Ez pedig arra vezet, hogy a rendszer alapállapota az utóbbi s´ıkban nem egy koherens, hanem egy u ń. összenyomott (angolul squeezed ) a´llapot lesz. A koherens és az o¨sszenyomott a´llapotok prec´ız matematikai tárgyalásához lásd [19, 21]. Itt most elégedj¨ unk meg azzal a szemléletes képpel, hogy a koherens állapot a fázistérben egy ”kis” körként, az o¨sszenyomott a´llapot pedig egy ”kis” ellipszisként

24

jelenik meg. A ”kis” szó itt azt a tulajdonságot takarja, hogy az ellipszis féltengelyeinek szorzata minimalizálja a 1 D ˆ ˆ E 1 (5.46) ∆Xb ∆Yb ≥ [X b , Yb ] = 2 4 Heisenberg-féle határozatlansági relációt. â X ˆ b tag kölcsönhatást teremt a két Vég¨ ul az (5.44)-ben utolsóként szerepl˝o 2MC X harmonikus oszcillátor között. Ez a tag az alapállapotban egy két-módusos o¨sszenyomódást (angolul two-mode squeezing) okoz, ami az oszcillátorok o¨sszefonódásához vezet. A normál fázisban, vagyis a kritikus pont alatt α = β = 0 és ´ıgy MX = MY = ωR . Ebben az esetben az egy-módusos o¨sszenyomódás effektusa nem lép fel. Az alapállapot itt a két-módusosan o¨sszenyomott vákuuma lesz a ˆ-nak és ˆb-nek. Ez valóban egy o¨sszefonódott a´llapot [28, 29]. Az alapállapotot mi a két módusos modellnél részleteiben nem vizsgáljuk, helyette a dinamikára helyezz¨ uk a hangs´ ulyt. Az alapállapotban fellép˝o kvantumos korrelációk számolására majd az összest módus figyelembe vev˝o modellnél tér¨ unk vissza.

5.8.

Heisenberg-k´ epbeli dinamika

ˆ = Vezess¨ uk be a v Heisenberg-képben:

ˆ a , Yâ , X ˆ b , Yˆb X

T

oszlopvektort és ´ırjuk fel a mozgásegyenletét

d ˆ , vˆj (t)] , vˆj (t) = i[H (5.47) dt ahol j ∈ {1, 2, 3, 4}. Az (5.42)-es kommutátor-relációk felhasználásával egy lineáris differenciálegyenlet-rendszerre jutunk: d ˆ (t) = M v ˆ (t) v dt

(5.48)

 0 M0 0 0  −M0 0 −MC 0   M=  0 0 0 MY  −MC 0 −MX 0

(5.49)

Az itt megjelen˝o M mátrix: 

´ Erdemes most egy rövid lineáris algebrai kitér˝ot tenn¨ unk. Az A mátrixot norm´ alis mátrixnak nevezz¨ uk, ha A és A† a szorzásra nézve felcserélhet˝o. Ez a defin´ıció az adjungált értelmezésén kereszt¨ ul természetesen f¨ ugg a skalárszorzat választásától. Megmutatható, hogy egy mátrix pontosan akkor normális, ha sajátvektoraiból ortonormált 4 bázis kész´ıthet˝o az adott skalárszorzatra nézve. [30] Mi a C -en értelmezett standard † T ∗ skalárszorzatot használjuk, ami M = M -nak felel meg. Könnyen ellen˝orizhet˝o, hogy eset¨ unkben M, M† 6= 0. Az ilyen, nem normális mátrixokkal le´ırt lineáris rendszerek a naivan vártnál általában jóval gazdagabb viselkedést mutatnak. [31] (5.48) megoldásához M sajátérték-problémáját kell felhasználnunk. M sajátértékeit jelölje λk , a megfelel˝o jobb- és baloldali sajátvektorokat pedig r(k) és l(k) . A jelölés az 25

˝ angol left és right szavakra utal. Mindkét vektort oszlopvektornak tekintj¨ uk. Oket a következ˝o egyenletek definiálják: M r(k) = λk r(k)

(5.50a)

M† l(k) = λ∗k l(k)

(5.50b)

†

†

és az (5.50b) egyenletb˝ol következ˝oen: l(k) M = λk l(k) A baloldali sajátvektorok a jobboldaliakra nézve reciprok-bázist alkotnak: †

l(k) · r(n) = δkn

(5.51)

ˆ (t)-t normálmódusok szerint: Fejts¨ uk ki v ˆ (t) = v

4 X

ρˆk (t) r(k) ,

(5.52)

k=1 †

†

ahol ρˆk (t) = l(k) ·ˆ v(t). Ezt a kifejtést (5.48)-be helyettes´ıtj¨ uk, majd l(n) -al beszorozzuk balról. (5.50a) és (5.51) kihasználásával a következ˝o adódik: d ρˆn (t) = λn ρˆn (t) dt

(5.53)

A normálmódusok tehát egymástól f¨ uggetlen¨ ul fejl˝odnek id˝oben.

5.9.

Saj´ atfrekvenci´ ak meghat´ aroz´ asa

Mivel hamiltoni dinamikát vizsgálunk, ezért a stabil fázisban tisztán képzetes sajátértékeket várunk: λn = −i ωn ,ahol ωn ∈ R jelöli a rendszer n-edik sajátfrekvenciáját. A sajátfrekvenciákat a det (M − λ I) = det (M + iω I) = 0 (5.54) sajátérték-egyenlet határozza meg. A 4×4-es determináns kifejtése után ω 2 -re másodfok´ u egyenletet kapunk: ω 4 − M02 + MX MY ω 2 + M02 MX MY − MC2 M0 MY = 0 (5.55) Az egyenlet megoldásai ω 2 -re: M 2 + MX MY 2 ± ω± = 0 2

s

M02 − MX MY 2

2 + MC2 M0 MY

(5.56)

A 4 db ωn érték az ω± ≥ 0 feltevés mellett: (ω1 , ω2 ) = (−ω+ , +ω+ ) és (ω3 , ω4 ) = (−ω− , +ω− ) , vagyis a sajátfrekvenciák párokban bukkannak fel és a párokon bel¨ ul az értékek egymás ellentettjei. Ez az id˝ot¨ ukrözési szimmetria következménye. Az id˝ot¨ ukrözés ugyanis minden frekvenciát a −1 szeresére változtat: a párok tehát kicserél˝odnek. 26

Vizsgáljuk meg, hogy mit kapunk ω± -ra a normál fázisban. Ekkor α = β = 0-ból és (5.45)-b˝ol következ˝oen M0 = −δC , MX = MY = ωR és MC = y. Így: s 2 2 2 δC2 − ωR2 δ + ω y2 C R 2 ± + δC2 ωR2 2 , (5.57) ω± = 2 2 ycrit 2 ahol az ycrit = −δC ωR o¨sszef¨ uggés is felhasználásra ker¨ ult. Rögtön látjuk, hogy u mindenhonnan kiesett, a normál fázisban tehát nincs hatással a dinamikára. Ezért nem tudja u nem zérus értéke elmozd´ıtani a kritikus pontot. Az (5.57)-es formulának két fontos speciális esetét vizsgálhatjuk:

• y = 0 esetén ω+ = |δC | és ω− = ωR . Ebben az esetben az atomok és az elektromágneses mez˝o között nincs kölcsönhatás, ´ıgy mindketten a saját frekvenciájukkal rezegnek. p δC2 + ωR2 és ω− = 0. A kritikus pontban a kisebb • y = ycrit esetén ω+ = sajátfrekvencia zérussá válik. Ez az u ń. kritikus lelassulás a fázisátalakulási pontok a´ltalános jellemz˝oje. A kritikus pont felett ω− képzetessé válik: a normál fázis instabil lesz. √ A kritikus pont közelében (5.57) alapján belátható, hogy ω− ∼ ycrit − y, az elt˝ unését jellemz˝o kritikus kitev˝o tehát 1/2. Ezt az értéket azonban nem szabad komolyan venn¨ unk, ugyanis egy a´tlagtér-elméletb˝ol vezett¨ uk le. Az átlagtér-elmélet azonban a kritikus pont kis környezetében elromlik, mivel a fluktuációk lényeges szerephez jutnak. Az alapállapotra számolt hˆ a† a î és hˆb† ˆbi inkoherens gerjesztések a fázisátalakulási pontban divergálnak, ´ıgy hatásuk ott tetsz˝olegesen nagy N esetén sem hanyagolható el.

5.10.

A k¨ ornyezet visszahat´ asa a rendszerre

A rendszer¨ unket mindeddig zártnak tekintett¨ uk, a valóságban azonban ny´ılt: a rezonátor veszteségessége miatt a környezetbe 2κ rátával fotonok lépnek ki. A környezet ´ıgy egy folytonos, gyenge kvantummérést hajt végre a rendszeren, ami visszahat ˆ fehérzaj formájában jelentkezik, ami az utóbbi a´llapotára. Ez a visszahatás egy ξ(t) diff´ uziós folyamatban igyekszik kivinni a rendszert a kezd˝oa´llapotból. Az a ˆ operátor mozgásegyenlete tehát a következ˝oképen módosul: d ˆ ˆ,a a ˆ(t) = i[H ˆ(t)] − κ a ˆ(t) + ξ(t) dt

(5.58)

Magát a fotonveszteséget le´ıró −κ a ˆ tagot a továbbiakban elhanyagoljuk. Ezt az indokolja, hogy az alapállapotból kiviv˝o tranziens dinamikára, nem pedig a rendszer stacionárius egyens´ ulyi a´llapotára vagyunk kiváncsiak. Kezdetben pedig a domináns ˆ fehérzajt a effektust a kvantumos zaj okozza. A ξ(t) ˆ hξ(t)i =0

(5.59a)

ˆ ξ(t ˆ 0 )† i = 2κ δ(t − t0 ) hξ(t)

(5.59b)

ˆ ξ(t ˆ 0 )i = hξˆ† (t) ξˆ† (t0 )i = hξˆ† (t) ξ(t ˆ 0 )i = 0 hξ(t)

(5.59c)

27

formulák definiálják. A zaj várható értéke tehát 0, a ξˆ és ξˆ† k¨ ulönböz˝o id˝opontokban felvett értékei pedig Dirac-delta szer˝ uen korreláltak. Az összes többi korrelációs egy¨ uttható zérus. A kvadrat´ ura-amplit´ udókat ér˝o zaj:   1 ˆ + ξˆ† ) ( ξ 2  1 (ξˆ − ξˆ† )    ˆ =  2i (5.60) q  0 0 ˆ vektor komponensei közötti korrelációk (5.59) alapján: Aq hˆ qi (t) qˆj (t0 )i = Dij δ(t − t0 )

(5.61)

,ahol a D diff´ uziós mátrix: 

i κ 2

1 κ 2

  i  − κ 2 D=    0 0

0 0



  0 0     0 0  0 0

1 κ 2

0 0

(5.62)

A megoldandó differenciálegyenlet (5.48)-hoz képest u ´gy módosul, hogy a jobboldalhoz ˆ (t)-t. hozzá kell adnunk q d ˆ (t) = M v ˆ (t) + q ˆ (t) , v (5.63) dt tehát egy lineáris, sztochasztikus differenciálegyenletet kell megoldanunk. Az ilyen egyenletek a szakirodalomban Langevin-egyenlet néven ismertek. A megoldást most is normálmódusok szerinti kifejtéssel áll´ıthatjuk el˝o. Helyettes´ıts¨ uk be az (5.52)-es (n)† kifejtést (5.63)-ba, majd szorozzuk végig az egyenletet l -al balról. Az eredmény az n-edik normálmódus differenciálegyenlete lesz: d ˆ n (t) , ρˆn (t) = λn ρˆn (t) + Q dt

(5.64)

†

ˆ n (t) = l(n) q(t) az n-edik normálmódust gerjeszt˝o zaj. Ezek korrelációs egy¨ ahol Q utthatói: D E X ∗ (k) (n)∗ ˆ k (t) Q ˆ n (t0 ) = Q li lj Dij δ(t − t0 ) (5.65) i,j

A (5.64)-es egyenlet megoldása egyszer˝ uen el˝oáll´ıtható az állandó variálásának módszerével: Z t λn t ˆ n (t0 ) eλn (t−t0 ) , (5.66) ρˆn (t) = ρˆn (0) e + dt0 Q 0

ami alapján kiszámolhatjuk a normálmódusok korrelációs egy¨ utthatóinak id˝of¨ uggését: Z t Z t D E ˆ k (t0 ) Q ˆ n (t00 ) eλk (t−t0 )+λn (t−t00 ) hˆ ρk (t) ρˆn (t)i = hˆ ρk (0) ρˆn (0)i e(λk +λn )t + dt0 dt00 Q 0

0

(5.67) 28

ˆ ˆ ρˆn (0)i = 0, ha t > 0. (5.65)-öt behelyetItt kihasználtuk, hogy hˆ ρn (0) Q(t)i = hQ(t) tes´ıtve kapjuk a normálmódusok id˝of¨ uggését le´ıró egyenlet végleges alakját: hˆ ρk (t) ρˆn (t)i = hˆ ρk (0) ρˆn (0)i e(λk +λn )t +

X

(k)∗ (n)∗ lj

li

Dij

i,j

e(λk +λn )t − 1 λk + λn

(5.68)

A normálmódusok és a kvadrat´ ura-amplit´ udók korrelációit (5.52) alapján a következ˝o képletek kapcsolják o¨ssze: X (5.69a) hˆ vp (t) vˆq (t)i = hˆ ρk (t) ρˆn (t)i rp(k) rq(n) k,n

hˆ ρk (0) ρˆn (0)i =

X

(k)∗ (n)∗ lj

li

hˆ vi (0) vˆj (0)i

(5.69b)

i,j

Vég¨ ul fel´ırhatjuk a kvadrat´ ura-amplit´ udók korrelációinak id˝of¨ uggését meghatározó egyenletet: X X (k)∗ (n)∗ e(λk +λn )t − 1 (k) (n) (λk +λn )t li lj hˆ vp (t) vˆq (t)i = hˆ vi (0) vˆj (0)i e + Dij rp rq λ + λ k n i,j k,n (5.70) Ezen egyenlet alapján tanulmányozhatjuk a korrelációk id˝obeli növekedését. A további részletekért lásd a [15]-ös cikket. Itt még annyit jegyz¨ unk meg, hogy a kezdeti korrelációkra vonatkozó és kézenfekv˝onek t˝ un˝o hˆ vi (0) vˆj (0)i = 0 feltevés bajokhoz vezet, ugyanis ellentmond a határozatlansági relációnak. Kezd˝oállapotnak nem muszáj (5.44) alapállapotát választanunk, viszont fizikailag értelmes állapotot kell használnunk, ha jó eredményeket akarunk kapni. Egy célszer˝ u választás lehet például az a ˆ és ˆb operátorok vákuumállapotainak direkt szorzata: |ψkezdeti i = |0ia ⊗ |0ib 6= |ψalap i Ezzel a választással a kezdeti korrelációk mátrixa:  1 + 4 + 4i   i  − +1 4  4 hˆ vi (0) vˆj (0)i =    0 0   0 0

0 0 + 14 − 4i

0

(5.71)



  0    ,  + 4i    1 +4

(5.72)

amit az (5.70)-es egyenletbe helyettes´ıtve megkapjuk a korrelációk id˝obeli növekedését le´ıró formulát.

29

6.

Az ¨ osszes m´ odust figyelembe vev˝ o modell ”The fundamental laws necessary for the mathematical treatment of a large part of physics and the whole of chemistry are thus completely known, and the difficulty lies only in the fact that application of these laws leads to equations that are too complex to be solved.” Paul Dirac, 1929

A továbbiakban célunk a teljes, (4.8)-as egyenlettel adott Hamilton-operátor alapállapotának és gerjesztési spektrumának vizsgálata. A kompaktabb kezelhet˝oség érdekében bevezet¨ unk néhány lineáris algebrai jelölést. Legyen cˆ = (ˆ c0 , cˆ1 , cˆ2 , ...)T oszlop-, és cˆ† = cˆ†0 , cˆ†1 , cˆ†2 , ... sorvektor. A teljes ˆ = cˆ† cˆ, a Hamilton-operátor pedig kvadratikus formákb´ részecskeszám operátora N ol a´ll´ıtható össze: † (0) † ˆ H = − ∆C a ˆ a ˆ + ωR cˆ M cˆ √ (6.1) † (1) 1 2 † (2) † † + ηt a ˆ +a ˆ cˆ M cˆ + U0 a ˆ a ˆ cˆ M + 2 I cˆ , 2 4 ahol I az egységmátrix, az M(j) magmátrixokat pedig a következ˝o formulák adják meg:   2 0   12   2   2 (0)   (6.2) M = 2  3     · ·   0 1  1 0 √1    2 1 1   √ √ 0   (1) 2 2 M = (6.3)  1 1 √ √ 0   2 2   √1  0 ·  2 · ·  M(2)

   =   

0 0 0 √ 1 2 0 1

√ 2 0 0 0 1

 1 0 0 0 ·

   1  0 ·   · ·  · ·

(6.4)

Az M(j) mátrixról érdemes megjegyezni, hogy valós, szimmetrikus, továbbá sávdiagonális: a sáv szélességét éppen a j index adja meg. Innen könnyen leolvashatjuk azt a 30

már korábban megállap´ıtott tulajdonságot is, hogy ηt egy, U0 pedig kett˝o távolságra léptet a módusok között. Következ˝o lépésként be kell áll´ıtanunk a részecskeszámot a rendszerben. Ezt a legkönnyebben a nagykanonikus sokaság alkalmazásával tudjuk elérni. Vezess¨ uk be az u ń. nagykanonikus Hamilton-operátort [17]: ˆ =H ˆ − µN ˆ, K

(6.5)

ˆ ahol µ a kémiai potenciál. A Heisenberg-féle mozgásegyenletet is definiáljuk a´t K-val: d ˆ ˆ , Fˆ (t)] , F (t) = i [K dt

(6.6)

ahol Fˆ egy tetsz˝oleges fizikai mennyiség operátora. Az imént történtekre többféle interpretációt is adhatunk. Egyrészt gondolhatunk µ-re Lagrange-multiplikátorként, amellyel a részecskeszám rögz´ıtéséb˝ol adódó kényszerfeltételt ˆ figyelembe vessz¨ uk a dinamikában. Másrészt az áttérést u ´gy is felfoghatjuk, hogy a H u tag egy¨ utthatóját lecsökkentett¨ uk µ-vel, vagyis egy -ban szerepl˝o összes cˆ†n cˆn t´ıpus´ tetsz˝oleges módusban tartózkodó atom energiája=körfrekvenciája ennyivel kisebb lett. Tehát egy µ körfrekvenciával forgó vonatkoztatási rendszerbe u ¨lt¨ unk be a módustérben. Ez azért hasznos, mert a (2.3)-as egyenletb˝ol tudjuk, hogy a kondenzátumot le´ıró ˆ t)i = ψ(r, t) hullámf¨ hΨ(r, uggvény éppen µ körfrekvenciával oszcillál. Ez az oszcilláció a (4.3)-as kifejtésen kereszt¨ ul a´ttev˝odik hˆc(t)i-re is. Így a forgó vonatkoztatási rendszerben a kondenzátumot jellemz˝o hˆc(t)i vektor id˝oben a´llandó lesz.

6.1.

Felbont´ as ´ atlagt´ erre ´ es fluktu´ aci´ okra

A következ˝okben a két módusos modellnél már látott közel´ıtést használjuk. Az a ˆ és cˆ operátorokat felbontjuk a várható érték¨ ukre és az akör¨ uli fluktuációkat le´ ır´ o √ ˆ operátorokra, majd a fluktuációkban Taylor-sorba fejtj¨ uk K-t. Legyen hˆ ai = N α és √ hˆci = N γ. Ezek a várható értékek id˝oben állandóak és a két módusos modellhez hasonlóan most is√ feltessz¨ uk azt, hogy valósak. Ezt a feltevést kés˝obb önkonzisztensnek fogjuk találni. A N szorzókat most is azért érdemes bedefiniálni, hogy a termodinamikai határesetben konstans mennyiségeket kapjunk. Hajtsuk végre az √ a ˆ → Nα+a ˆ (6.7a) √ cˆ → N γ + cˆ (6.7b) eltolási transzformációt az operátorokon. Az eltolás után hˆ ai = 0 és hˆci = 0, az u ´j operátorok a kvantum-fluktuációkat ´ırják le. A teljes fotonszám és a teljes atomszám operátora a következ˝oképpen transzformálódik: √ √ √ a ˆ† a ˆ→ Nα + a ˆ† Nα + a ˆ = N α2 + N α a ˆ† + a ˆ +a ˆ† a ˆ (6.8a) √ √ √ cˆ† cˆ → N γ T + cˆ† N γ + cˆ = N + N cˆ† γ + γ T cˆ + cˆ† cˆ , (6.8b)

31

ahol el˝o´ırtuk a γ T γ = 1 normálási feltételt. A lineáris tagok várható értéke 0, ´ıgy: hˆ a† a î → N α2 + hˆ a† a î

(6.9a)

hˆc† cî → N + hˆc† cî

(6.9b)

(6.9a) mutatja, hogy a teljes fotonszám a két módusos modellhez hasonlóan most is egy koherens, klasszikus és egy inkoherens részb˝ol tev˝odik o¨ssze. (6.8b) és (6.9b) értelmezése azonban némileg eltér˝o az el˝oz˝o modellnél látottól. Ott a gerjesztett atomok száma tev˝odött o¨ssze két részb˝ol, a teljes atomszám viszont fixen N volt. Most azonban a teljes atomszám operátorában N csak a nulladrend˝ u tagot képviseli, vagyis a kondenzátumban lév˝o atomok számát adja meg. A nagykanonikus sokaság az atomok egy része számára lehet˝ové teszi, hogy a kondenzátumon k´ıv¨ ul foglaljanak helyet. Ezen atomok várható számát (6.9b) szerint az eltolás utáni hˆc† cî adja meg. Ez az ˆ megérték a kritikus pont kis környezetét leszám´ıtva természetesen kicsi. Az eltolt K határozásához fel kell ´ırnunk a benne szerepl˝o kvadratikus formák eltoltjait is: √ √ N γ T + cˆ† M(j) N γ + cˆ cˆ† M(j) cˆ → (6.10) √ † (j) † (j) (j) (j) T T =N γ M γ + N cˆ M γ + γ M cˆ + cˆ M cˆ Az eltolás utáni nagykanonikus Hamilton-operátor: √ 2 † † ˆ K = −∆C N α + N α a ˆ +a ˆ +a ˆ a ˆ √ + ωR N γ T M(0) γ + N cˆ† M(0) γ + γ T M(0) cˆ + cˆ† M(0) cˆ √ 2 √ + ηt 2 N α + a ˆ† + a ˆ · 2 √ · N γ T M(1) γ + N cˆ† M(1) γ + γ T M(1) cˆ + cˆ† M(1) cˆ √ 1 ˆ† + a ˆ +a ˆ† a ˆ · + U0 N α2 + N α a 4 √ n o · N γ T M(2) γ + 2 + N cˆ† M(2) + 2I γ + γ T M(2) + 2I cˆ + cˆ† M(2) + 2I cˆ √ † † T ˆ ˆ ˆ ˆ −µ N + N c γ+γ c +c c (6.11) ˆ A K-ban szerepl˝o tagokat a ˆ és cˆ hatványai szerint kell csoportos´ıtanunk. A két módusos modellt˝ol eltér˝oen itt nincs sz¨ ukség¨ unk Taylor-sorfejtésre, mert negyedrend˝ unél naˆ tehát a következ˝o alakban ´ırjuk fel: gyobb tagok (6.11)-ben nem szerepelnek. K-t ˆ =K ˆ0 + K ˆ1 + K ˆ 2 + ... K (6.12) Az egyes tagok fel´ırásánál célszer˝ u a (5.8)-ban bevezetett u ´j paraméterezést használni. A nulladrend˝ u tagban nincs operátor, a kalapot tehát le is hagyhatjuk: K (0) = N −δC α2 + ωR γ T M(0) γ + y α γ T M(1) γ + u α2 γ T M(2) γ − µ (6.13) 32

Ez a tag nincs hatással a dinamikára, ezért a továbbiakban elhagyjuk. Vezess¨ uk be a következ˝o f¨ uggvényeket: Ω(γ) = −δC + u γ T M(2) γ (0) (1) (2) 2 M(α) = ωR M + y α M + u α M + 2 I

(6.14a) (6.14b)

Az M(α) valós, szimmetrikus mátrixf¨ uggvény α másodfok´ u polinomja, amiben a j(j) edik fokszám´ u tag egy¨ utthatóját lényegében M adja. Jelölje továbbá M0 (α) ennek a f¨ uggvénynek az α szerinti deriváltját. Ezen jelölésekkel igen kompakt alakban fel tudjuk ´ırni az els˝o- és másodrend˝ u tagokat: √ 1 (1) † T (1) ˆ ˆ +a ˆ Ω(γ) α + y γ M γ K = N a 2 (6.15) √ + N cˆ† (M(α) − µ I) γ + γ T (M(α) − µ I) cˆ és ˆ (2) = Ω(γ) a K ˆ† a ˆ + cˆ† (M(α) − µ I) cˆ (6.16) 1 † a ˆ +a ˆ cˆ† M0 (α) γ + γ T M0 (α) cˆ . 2 √ A harmad- és negyedrend˝ u tagokra K (3) ∼ 1/ N és K (4) ∼ 1/N , ´ıgy ezek a termodinamikai határesetben elt˝ unnek. A két módusos modellhez hasonlóan α-t és γˆ (1) = 0 teljes¨ t most is u ´gy kell megválasztani, hogy K uljön. Az a´tlagterek kör¨ uli (2) ˆ fluktuációkat pedig K ´ırja le. Bel˝ole azonnal le is olvashatjuk Ω(γ) fizikai jelentését: a ˆ† a ˆ egy¨ utthatójaként o˝ adja meg a rezonátorbeli fotonok effekt´ıv körfrekvenciáját (a lézerfényéhez képest). A γ-tól való f¨ uggés arra utal, hogy ez a frekvencia f¨ ugg a kondenzátum állapotától. Ez az a jelenség, aminek a felléptére már a 4.1-es fejezetben is szám´ıtottunk. +

6.2.

Az ´ atlagterek meghat´ aroz´ asa

ˆ (1) = 0 feltételb˝ol a következ˝o egyenletrendszert kapjuk: AK Ω(γ) α +

1 y γ T M(1) γ = 0 2

M(α) γ = µ γ

(6.17a) (6.17b)

A (6.17)-es egyenletrendszer egy u ń. kvázi-sajátértékprobléma: a kondenzátumot jellemz˝o γ az M(α) mátrix sajátvektora, a sajátérték pedig a kémiai potenciál. Mivel a mátrix szimmetrikus, ezért µ valós szám lesz. α értékét viszont az els˝o egyenleten kereszt¨ ul γ határozza meg, ´ıgy maga a mátrix is változik a sajátvektortól f¨ ugg˝oen: erre utal a ”kvázi” szócska. Az ilyen egyenletrendszerek megoldására természetes módszerként adódik egy egyszer˝ u iterációs algoritmus. Választunk egy kezdeti α értéket és kiszámoljuk az M(α) 33

6. ábra. A koherens mez˝oamplit´ udó (α) a pumpálás er˝osségének (y) f¨ uggvényében. Látható, hogy a fázisátalakulási pont helye cm-t˝ol f¨ uggetlen. A paraméterek: ωR = 1, δC = −100, u = −20, ycrit = 10. mátrix sajátértékeit és sajátvektorait. Bár matematikai néz˝opontból bármelyik sajátértéket választhatnánk, a fizikai képb˝ol nyilvánvaló, hogy a kémiai potenciál a legkisebb sajátérték kell legyen, ugyanis az átlagterek a rendszer alapállapotát jellemz˝o mennyiségek. Tehát a legkisebb sajátértéket választjuk µ-nek és a hozzá tartozó sajátvektort γ-nak. Az ´ıgy kapott vektort a (6.17a)-es egyenletbe helyettes´ıtj¨ uk és kiszámoljuk bel˝ole az u ´j α-t. Ezután mindezt megismételj¨ uk, am´ıg az eljárás be nem konvergál. A numerikus számolás azt mutatja, hogy a kritikus pont kis környezetét leszám´ıtva a konvergencia igen gyorsan végbemegy. Próbáljuk ki, hogy mit kapunk, ha az iterációt az α = 0 értékr˝ol ind´ıtjuk. Ekkor M(α = 0) = ωR M(0) diagonális mátrix, a legkisebb sajátértéke µ = 0. A megfelel˝o normált sajátvektor γ = (1 , 0 , 0 , ...)T . Ekkor Ω(γ) = −δC és γ T M(1) γ = 0. Az (6.17a) egyenletb˝ol ´ıgy α = 0 kapunk. Tehát találtunk is egy megoldást (6.17)re. Ez a triviális megoldás, ami a rendszer¨ unk normál fázisát ´ırja le: a rezonátorban nincs foton és a teljes kondenzátum a homogén módusban foglal helyet. Látjuk, hogy ez a megoldás mindig létezik, azonban a kritikus pont felett instabillá fog válni. A ´ ehhez C többi megoldás megkeresése általában csak numerikusan végezhet˝o el. En programnyelvet és a LAPACK lineáris algebra csomagot használtam: az eredmények ezen fejezet a´bráin láthatóak. A numerikus számolásnál természetesen nem tudjuk az összes kondenzátum módust kezelni, a végtelen nagy vektorokat és mátrixokat csonkolnunk kell. Az a´bráknál a figyelembe vett módusok számát cm jelöli. A 4.2-es alfejezetben eml´ıtett levágás azonban sokat seg´ıt: a cm = 10 eset már teljesen egzaktnak tekinthet˝o. mivel a vizsgált paramétertartományban k ≥ 10-re γk ≈ 0 négy tizedesjegy pontossággal.

34

7. a´bra. Az u-val jellemzett kölcsönhatási tag hatása α-ra. y értéke kicsivel a fázisátalakulási pont fölé lett rögz´ıtve. Az a´brán látható, hogy |u| növelése α-ban divergenciához vezet. A két módusos esetben a divergencia u = δC -nél következik be. A numerikus szimuláció azt is megmutatja, hogy a divergenciához tartozó pontban az u ¨reg effekt´ıv körfrekvenciája (Ω) nullához tart, vagyis a végtelen sok foton keltéséhez nem kell energiát befektetni: ezért lehetséges a divergencia. Ha |u|-et tovább növelj¨ uk, az Ω < 0 -hoz és ahhoz vezet, hogy a fluktuációkat le´ıró Hamilton-operátor (6.18) nem lesz alulról korlátos, vagyis megsz˝ unik az alapállapot. A paraméterek: ωR = 1, δC = −100, ycrit = 10, y = 11.

6.3.

A fluktu´ aci´ ok vizsg´ alata

Mostantól α és γ értékét ismertnek tekintj¨ uk. Az a´tlagtér kör¨ uli fluktuációkat le´ıró nagykanonikus Hamilton-operátor: ˆ = Ω(γ) a K ˆ† a ˆ + cˆ† (M(α) − µ I) cˆ +

1 † a ˆ +a ˆ cˆ† M0 (α) γ + γ T M0 (α) cˆ . 2

(6.18)

Az egyenlet kétféle csatolási tagot tartalmaz: az els˝o sor második tagja ´ırja le a kondenzátum-módusok egymás közötti csatolását, a második sorban lév˝o tagok pedig az u ¨reg és a kondenzátum közötti csatolást. Els˝o feladatunk az atomi módusok szétcsatolása. Ehhez a cˆ† M(α) cˆ bilineáris formában szerepl˝o M(α) mátrixot kell diagonalizálnunk. Mivel a sajátvektorokat már az a´tlagterek szám´ıtásánál numerikusan meghatároztuk, ezért a diagonalizálást most könnyen elvégezhetj¨ uk. Jelölje M(α) sajátértékeit λj , a megfelel˝o sajátvektorokat v(j) : M(α) v(j) = λj v(j) ,

(6.19)

ahol j ∈ {0, 1, 2, ...} A mátrix szimmetrikus, ´ıgy a sajátértékek valósak és azt is föltehetj¨ uk róluk, hogy növekv˝o sorba rendezettek. A szintén valós sajátvektorok ortonormált bázist alkotnak: T v(i) · v(j) = δij (6.20) A legkisebb sajátérték λ0 = µ, a hozzá tartozó sajátvektor pedig v(0) = γ. 35

8. a´bra. A kondenzátum atomjainak eloszlása (γj2 ) a módusok között. A fázisátalakulás jól látható módon a cˆ0 és a cˆ1 módusok között jön létre, de kés˝obb a többi módus is bekapcsolódik a dinamikába. A paraméterek: ωR = 1, δC = −100, u = −20, ycrit = 10, cm = 10. Rakjuk be a sajátvektorokat egy mátrix oszlopaiba:   O =  v(0) v(1) v(2) · · ·  ,

(6.21)

´ıgy (6.20)-nak köszönhet˝oen egy ortogonális mátrixot kapunk: OT · O = O · OT = I Hajtsunk végre O-val egy ortogonális transzformációt cˆ-on: ˆ † · OT cˆ† = b

ˆ cˆ = O · b

(6.22)

ˆ operátorral jellemzett atomi módusoktól is elvárjuk, hogy bozonikus komAz u ´j, b mutátor-relációkat elég´ıtsenek ki: [ˆbk , ˆb†l ] = δkl

(6.23a)

[ˆbk , ˆbl ] = 0

(6.23b)

[ˆb†k , ˆb†l ] = 0

(6.23c)

Els˝o feladatunk a (3.12) és (6.23) relációk konzisztenciájának ellen˝orzése. Egyed¨ ul (3.12a) és (6.23a) konzintenciája nem triviális. A következ˝o számolás mutatja, hogy ez a transzformáció ortogonalitásán m´ ulik: " # X X X δkl = [ˆ ck , cˆ†l ] = Oki ˆbi , Olj ˆb†j = Oki Olj [ˆbi , ˆb†j ] = | {z } i j i,j δij (6.24) X X = Oki Oli = Oki OT il = O · OT kl = δkl i

i

36

´ Megjegyezz¨ uk, hogy (6.22) egy speciális Bogoljubov transzformációt jelent. Altal´ aban ´ıgy nevezz¨ uk a kelt˝o- és elt¨ untet˝o operátorokat összekever˝o olyan lineáris transzformációkat, amelyek megtartják a kommutátor-relációkat [21]. A mi tanszformációnk specialitása abban rejlik, hogy az elt¨ untet˝o operátorokat csak más elt¨ untet˝o operátorokkal keveri, kelt˝okkel nem. Az interpretációhoz ´ırjuk ki a (6.22)-es transzformációt részletesen a sajátvektorokkal: ˆ = v(0) · ˆb0 + v(1) · ˆb1 + v(2) · ˆb2 + ... cˆ = O · b

(6.25)

Tudjuk, hogy v(0) = γ, ´ıgy a ˆb0 -as módus a kondenzátum irányába es˝o gerjesztéseit ´ırja le az atomoknak. A többi sajátvektor v(0) -ra mer˝oleges. Következésképpen a ˆb1 , ˆb2 , ... módusok a kondenzátum irányára mer˝oleges gerjesztéseket ´ırnak le. Írjuk fel most már a transzformáció hatását a K-ban ˆ az atomi módusokat o¨sszecsatoló tagra: ˆ † · OT (M(α) − µ I) O · b ˆ=b ˆ † (Λ − µ I) b ˆ, cˆ† (M(α) − µ I) cˆ = b

(6.26)

ˆ operátorral le´ırt módusok ahol Λ = OT · M(α) · O = diag (λ0 , λ1 , λ2 , ...) . A b tehát egymáshoz már nem csatolódnak. A teljes nagykanonikus Hamilton-operátor a következ˝oképpen ´ırható: † ˆ · g + gT · b ˆ , ˆ † (Λ − µ I) b ˆ+1 a ˆ = Ω(γ) a (6.27) ˆ† + a ˆ b K ˆ† a ˆ+b 2 ahol g = OT ·M0 (α) γ . Ez az alak már elég egyszer˝ u ahhoz, hogy a´ttérhess¨ unk indexes ´ırásmódra: ˆ = Ω(γ) a K ˆ† a ˆ+

∞ X j=0

∞

1X (λj − µ) ˆb†j ˆbj + gj a ˆ† + a ˆ ˆb†j + ˆbj 2 j=0

(6.28)

Ez a Hamilton-operátor a kvantumoptikában jól ismert: egy harmonikus oszcillátorok f¨ urd˝ojébe helyezett harmonikus oszcillátort ´ır le. A formulából leolvashatjuk, hogy a ˆbj módus körfrekvenciája λj − µ és ez a módus a ˆ-hoz a gj csatolási a´llandóval csatolódik. Vegy¨ uk észre, hogy λ0 = µ miatt a kondenzátum irány´ u gerjesztéseket le´ıró ˆb0 módus †ˆ ˆ ˆ körfrekvenciája zérus, a b0 b0 tag K-ból kiesik. A kondenzátum irány´ u gerjesztéseknek tehát nincs saját dinamikájuk, azok csak a kondenzátumban lév˝o atomok N számát ˆ operátorát perturbálják meg. Hogy ezt lássuk, ahhoz ´ırjuk fel a teljes atomszám N ˆ (6.8b) a b módusokkal: √ ˆ = N + N cˆ† γ + γ T cˆ + cˆ† cˆ N √ † (6.29) T T ˆ ˆ ˆ † · OT O ·b ˆ =N + N b ·O γ+γ O·b +b | {z } I

A sajátvektorok ortonormáltsága (6.20) miatt γ T O = (1, 0, 0, ...). Vagyis: √ † ˆ† b ˆ ˆ ˆ ˆ N = N + N b0 + b0 + b

37

(6.30)

ˆb0 ˆ Tehát a ˆb†0 + ˆb0 operátor felel˝os N perturbációjáért. Vegy¨ uk észre, hogy K-ban † ˆ ˆ egyed¨ ul ebben a b0 + b0 kombinációban jelenik meg. Ez a tag viszont o¨nmagával kommutál, tehát: ˆ , ˆb†0 + ˆb0 ] = 0 , [K (6.31) ami azt jelenti, hogy ˆb†0 + ˆb0 megmaradó mennyiség a (6.6)-os mozgásegyenlet szerint. Mivel egymással kommutáló operátoroknak létezik közös sajátf¨ uggvény-rendszere, ezért ˆ diagonalizálását elég ˆb†0 + ˆb0 sajátalterein k¨ K ulön-k¨ ulön elvégezni. Egy sajátaltéren bel¨ ul ˆb†0 + ˆb0 helyettes´ıthet˝o a megfelel˝o sajátértékével. ˆ = 0 szintén. Ebb˝ol következ˝oen Másrészt viszont tudjuk, hogy hˆci = 0, ´ıgy hbi † ˆ ˆ hb0 + b0 i = 0, tehát az egyetlen releváns sajátaltér az, amelyikhez zérus sajátérték tartozik. Vagyis a fizikai a´llapotok alterén ˆb† + ˆb0 = 0 , (6.32) 0

ˆ ol. Gondolatmenet¨ ami ahhoz vezet, hogy a ˆb0 operátor kiesik K-b´ unk eredményét u ´gy foglalhatjuk o¨ssze, hogy a kondenzátum-irány´ u gerjesztéseket ki kell zárni a Hamiltonoperátorból. (6.28) értelmezéséhez vég¨ ul még gondoljuk meg, hogy mi történne, ha µ értékének nem a legkisebb sajátértéket választottuk volna. Ekkor a λj − µ sajátfrekvenciák között negat´ıv értékek is el˝ofordulnának. Egy negat´ıv energiáj´ u gerjesztési kvantum behelyezése a rendszer o¨sszenergiáját csökkenti, ezért egyre több atom ker¨ ulne ebbe a negat´ıv energiás módusba: az a´tlagtér-megoldást a fluktuációk instabillá tennék. Egy fizikailag értelmes Hamilton-operátor spektrumának alulról mindig korlátosnak kell lennie. ( Kitekintésként megjegyzem, hogyha a Dirac-egyenletet bozonikus kommutátor-relációkkal próbáljuk kvantálni, akkor éppen ebbe a problémába u ¨tköz¨ unk bele. )

6.4.

Gerjeszt´ esi spektrum: kv´ azir´ eszecsk´ ek

A kondenzátum-irány´ u gerjesztések kizárása után a nagykanonikus Hamilton-operátor: ∞ ∞ X 1X †ˆ † ˆ ˆ (6.33) gj a ˆ† + a ˆ ˆb†j + ˆbj K = Ω(γ) a ˆ a ˆ + (λj − µ) bj bj + 2 j=1 j=1 Célunk ezen operátor diagonalizálása a kölcsönhatási tag kitranszformálásával. Vezess¨ unk be kvadrat´ ura amplit´ udókat a következ˝o defin´ıciókkal: r 1 Ω † † xˆ0 = √ a ˆ +a ˆ pˆ0 = i a ˆ −a ˆ (6.34a) 2 2Ω r 1 λj − µ ˆ† ˆ † ˆ ˆ xˆj = p bj + bj bj − bj , (6.34b) pˆj = i 2 2(λj − µ) ahol j ∈ {1, 2, 3, ...}. A kelt˝o és elt¨ untet˝o operátorokat megadó inverz relációk: r r Ω i Ω i pˆ0 a ˆ† = pˆ0 (6.35a) a ˆ= xˆ0 + √ xˆ0 − √ 2 2 2Ω 2Ω r r λ − µ i j ˆbj = ˆb† = λj − µ xˆj − p i pˆj pˆj (6.35b) xˆj + p j 2 2 2(λj − µ) 2(λj − µ) 38

A kvadrat´ ura-amplit´ udókat szándékosan u ´gy vezett¨ uk be, hogy azok egy egységnyi t¨ o meg˝ u mechanikus oszcill´ a tor koordin´ a ta ´ e s impulzus változóira emlékeztessenek. A √ ω t´ıpus´ u szorzók a defin´ıcióban kés˝obb hasznosnak fognak bizonyulni. Hangs´ ulyozzuk, hogy az (ˆ x0 , pˆ0 ) kvadrat´ urák a ˆ-hoz tartoznak, nem pedig ˆb0 -hoz, amivel már nem kell foglalkoznunk. A kommutátor-relációk a defin´ıcióból egyszer˝ uen adódnak: [ˆ xk , pˆl ] = i δkl

(6.36a)

[ˆ xk , xˆl ] = 0

(6.36b)

[ˆ pk , pˆl ] = 0

(6.36c)

Itt k, l ∈ {0, 1, 2, 3, ...}. Ezek éppen a Heisenberg-féle kanonikus csererelációk a ~ = 1 egységrendszerben. A részecskeszámokat megadó operátorok: 1 1 1 2 pˆ0 + Ω xˆ20 − 2Ω 2 2 1 1 1 ˆb† ˆbj = pˆ2j + (λj − µ) xˆ2j − j 2(λj − µ) 2 2 a ˆ† a ˆ=

(6.37a) (6.37b)

Vég¨ ul a teljes nagykanonikus Hamilton-operátor a kvadrat´ ura-amplit´ udókkal kifejezve: ∞ ∞ X 1 2 1X 2 2 2 2 2 ˆ K= pˆ + Ω xˆ0 + pˆ + (λj − µ) xˆj + g˜j · xˆ0 xˆj , 2 0 2 j=1 j j=1

(6.38)

p ahol g˜j = gj · Ω(λj − µ). ( A dinamikát nem befolyásoló addit´ıv konstansokat elhagytuk. ) ˆ = (ˆ ˆ = (ˆ Vezess¨ unk be vektorjelöléseket: x x0 , xˆ1 , xˆ2 , ...)T és p p0 , pˆ1 , pˆ2 , ...)T . (6.38)-at két darab kvadratikus forma összegévé tömör´ıthetj¨ uk: 1 T ˆ =1p ˆT p ˆ + x ˆ Sx ˆ, K 2 2

(6.39)

ahol az S magmátrix:    S=  

g˜1 g˜2 · · Ω2 2 g˜1 (λ1 − µ) g˜2 (λ2 − µ)2 · · · ·

     

(6.40)

ˆ -t tartalmazó kvadratikus Most élvezz¨ uk a (6.34)-es defin´ıció azon el˝onyét, hogy az p √ forma magmátrixa az egységmátrix. Ez a defin´ıciónál beillesztett ω-s szorzóknak köszönhet˝o. Így elegend˝o az S valós, szimmetrikus mátrixot diagonalizálnunk egy ortogonális transzformációval. Rakjuk be a mátrix sajátvektorait az U ortogonális mátrixba: UT · U = U · UT = I Hajtsuk végre U-val a koordináta- és az impulzusoperátorokon is ugyanazt az ortogonális transzformációt: ˆ ˆ =U·X x

ˆ ˆ =U·P p 39

(6.41)

ˆ , P) ˆ kvadrat´ Az u ´j (X uráktól is elvárjuk, hogy elég´ıtsék ki a (6.36)-os csererelációkat: ˆ k , Pˆl ] = i δkl [X

(6.42a)

ˆk , X ˆl] = 0 [X

(6.42b)

[Pˆk , Pˆl ] = 0

(6.42c)

(6.36) és (6.42) konzisztenciáját a következ˝o számolás igazolja: X ˆ , Pˆ ] = i δkl = [ˆ xk , pˆl ] = Ukm Uln [X | m{z n} m,n

=i

i δmn

X

(6.43) T

Ukm Ulm = i U · U

kl

= i δkl ,

m

a másik két relációpár konzisztenciája triviális. (6.41) hatása a nagykanonikus Hamilton-operátorra: ˆ T · UT U ·P ˆ + 1X ˆ T · UT S U ·X ˆ , ˆ =1P K | {z } | {z } 2 2 I

(6.44)

D

ahol D = diag (ω02 , ω12 , ω22 , ...) diagonális mátrix, ami a rendszer sajátfrekvenciáit adja meg. Indexesen ki´ırva: ∞ 1 X ˆ2 2 ˆ2 ˆ K= Pj + ωj Xj 2 j=0

(6.45)

Ez a Hamilton-operátor f¨ uggetlen harmonikus oszcillátorokat ´ır le, amit u ´j kelt˝o- és elt¨ untet˝o-operátorok bevezetésével könnyen diagonalizálhatunk. Legyen: r r ω i ωj ˆ i j † ˆj + p X Pˆj dˆj = Xj − p Pˆj , (6.46) dˆj = 2 2 2 ωj 2 ωj ahol most j ∈ {0, 1, 2, ...}. A kvadrat´ urákat megadó inverz-relációk: r 1 ωj ˆ† ˆ † ˆj = p X dj − dj dˆj + dˆj Pˆj = i 2 2 ωj

(6.47)

Az u ´j kelt˝o és elt¨ untet˝o-operátorok kommutátor-relációi (6.42)-b˝ol adódnak: [dˆk , dˆl† ] = δkl

(6.48a)

[dˆk , dˆl ] = 0

(6.48b)

[dˆk† , dˆl† ] = 0

(6.48c)

Vég¨ ul a Hamilton-operátor: ˆ = K

∞ X

ωj dˆj† dˆj ,

j=0

40

(6.49)

9. ábra. A rendszer ωj sajátfrekvenciái. Látható, hogy y = 0 esetén ωj = j 2 · ωR . A kritikus lelassulás jelensége is megfigyelhet˝o: a fázisátalakulási pontban a legkisebb sajátfrekvencia zérussá válik. A paraméterek: ωR = 1, δC = −100, u = −20, ycrit = 10, cm = 10. ami az |n1 idˆ1 ⊗ |n2 idˆ2 ⊗ |n3 idˆ3 ⊗ ... bázison diagonális. Már csak a fizikai interpretációt kell megadnunk. Az eddigi lineáris transzformációk ˆ, b ˆ †) egy több lépésben elvégzett Bogoljubov transzformációt eredményeznek, ami (ˆ a, a ˆ† , b ˆ, d ˆ † ) elemeibe. Ez azt jelenti, hogy a dˆ† operátor egy elemeit o¨sszekeveri és átviszi (d j kvázirészecske keltését ´ırja le, ami az atomok és az elektromágneses mez˝o összecsatolt gerjesztéseib˝ol a´ll. A gerjesztési spektrumot tehát csak u ´gy tudjuk értelmezni, ha a rendszert nem az atomokból és a t˝ol¨ uk k¨ ulönálló rezonátorból o¨sszerakottnak, hanem a kett˝ot o¨sszekapcsoló, de egymástól f¨ uggetlen kvázirészecskék ”gázának” tekintj¨ uk. ( A ”gáz” szó itt a k¨ ulönböz˝o kvázirészecskék közötti kölcs¨ onhatás hiányára utal. ) ˆ Az |n1 idˆ1 ⊗ |n2 idˆ2 ⊗ |n3 idˆ3 ⊗ ... bázisvektor, ami K-nak sajátvektora, megadja az egyes módusokban lév˝o kvázirészecskék számát. A j-edik módus minden részecskéjéhez ωj energia tartozik. (6.49)-ben az energia nullpontját u ´gy választottuk, hogy az egyetlen kvázirészecskét sem tartalmazó alapállapothoz zérus energia tartozzék.

6.5.

A norm´ al f´ azisban fell´ ep˝ o fluktu´ aci´ ok vizsg´ alata

Alkalmazzuk az eddigiekben le´ırtakat a normál fázis esetére. A 6.2-es alfejezetb˝ol tudjuk, hogy a normál fázisban α = 0 és γ = (1 , 0 , 0 , ...)T , vagyis nincsenek koherens fotonok a rezonátorban, a kondenzátum pedig homogén módon tölti ki a teret. Ekkor Ω(γ) = −δC és M(α = 0) = ωR M(0) . Ez a mátrix már diagonális: leolvashatjuk bel˝ole, hogy µ = 0 és λn = n2 · ωR . Mivel k¨ ulön diagonalizálásra nem volt sz¨ ukség¨ unk, T 0 ˆ ezért O = I és cˆ = b. Az a ˆ és cˆ közötti csatolási állandók vektora: g = O · M (α) γ. 0 (1) Itt M (α = 0) = y M , ´ıgy g = y · M(1) γ = y · (0 , 1 , 0 , 0 , ...)T . Tehát egyed¨ ul az a ˆ és cˆ1 módusok csatolódnak, méghozzá a g1 = y csatolási a´llandóval. A (6.33)-as

41

Hamilton-operátor explicit módon ki´ırva a következ˝oképpen néz ki: ˆ = −δC a K ˆ† a ˆ + ωR

∞ X

n2 cˆ†n cˆn +

n=1

1 y a ˆ† + a ˆ cˆ†1 + cˆ1 2

(6.50)

√ Az S mátrixban szerepl˝o módos´ıtott csatolási a´llandó: g˜1 = y · −δC ωR = y · ycrit , ahol felhasználtuk a két módusos modellnél (5.34)-el bevezetett ycrit jelölést. Azt még nem tudjuk, hogy a fázisátalakulási pont helyét az o¨sszes módust figyelembe vev˝o modellben is ycrit adja-e, de hamarosan ki fog der¨ ulni, hogy igen. Írjuk fel az S mátrixot:   δC2 y · ycrit  y · ycrit  ωR2   2  4 ωR S= (6.51)   2   9 ωR · Ez a mátrix blokkdiagonális és a teljes diagonalizáláshoz elegend˝o a fels˝o 2×2-es blokkal foglalkozni. Ennek a sajátérték-egyenlete (ω 2 a sajátérték): 2 ω 4 − δC2 + ωR2 · ω 2 + δC2 · ωR2 − y 2 · ycrit =0 (6.52) Az egyenlet megoldása: δ 2 + ωR2 2 ± ω± = C 2

s

δC2 − ωR2 2

2 + δC2 ωR2

y2 , 2 ycrit

(6.53)

2 = −δC ωR o¨sszef¨ uggés is felhasználásra ker¨ ult. Ezek a frekvenciák egahol az ycrit zaktul megegyeznek a két módusos modellnél az (5.57)-es formulából kapottal. Ez amiatt nem t´ ul meglep˝o, hogy már (6.50)-b˝ol tudjuk, hogy a normál fázisban csak a cˆ1 módus csatolódik a ˆ-hoz, ezt a csatolást pedig a két módusos modell egzaktul le´ırja. Viszont (5.57) azon következményét is láttuk, hogy y = ycrit esetén ω− = 0 és ez a kritikus lelassulás jelzi a fázisátalakulást ycrit -nél. Ugyanezek a következtetések most is érvényben maradnak, tehát a kritikus pontnak most is ugyanott kell lennie! Ezzel beláttuk korábbi áll´ıtásunkat.

6.6.

A modell alap´ allapot´ anak vizsg´ alata tetsz˝ oleges f´ azisban

Térj¨ unk vissza az a´ltalános vizsgálódásokra. A (6.49)-es Hamilton-operátor alapállapotát egyszer˝ uen u ´gy kaphatjuk meg, hogy egyetlen kvázirészecskét sem rakunk be a rendszerbe: |ψalap i = |0idˆ1 ⊗ |0idˆ2 ⊗ |0idˆ3 ⊗ ... (6.54) Ha a rendszer Hilbert-terét a dˆj operátorok Hilbert-tereinek direkt szorzataként ép´ıtj¨ uk fel, akkor a fenti a´llapot szeparálható: a kvázirészecske-módusok között az alapállapotban nincs összefonódás. Más a helyzet azonban, ha ezeket az operátorokat visszatranszˆ operátorokba. Ha a rendszer formáljuk a rezonátort és az atomokat le´ıró eredeti a ˆ és b Hilbert-terét ezen régi operátorok Hilbert-tereib˝ol ép´ıtj¨ uk fel, akkor a fenti a´llapotot 42

csak több direkt szorzat lineáris kombinációjaként ´ırhatjuk fel, vagyis az alapállapotban a rezonátor és az atomok között összefonódás jön létre. Az alapállapot teljes jellemzésére célszer˝ u valamelyik kvázivalósz´ın˝ uség-eloszlást felhasználni. A legegyszer˝ ubb választás a Wigner-f¨ uggvény használata [20–22]. Belátható, hogy bilineáris Hamilton-operátorok alapállapotának Wigner-f¨ uggvénye mindig egy többdimenziós Gauss-eloszlással adható meg. Ez egyszer˝ uen annak a következménye, hogy az ilyen Hamilton-operátorok csatolt harmonikus oszcillátorokat ´ırnak le. Ezek az oszcillátorok egy u ¨gyesen választott Bogoljubov transzformációval szétcsatolhatók, a szétcsatolás után pedig az alapállapot az u ´j oszcillátorok vákuum-állapotainak direkt szorzataként ´ırható fel. Az pedig jól ismert, hogy egyetlen harmonikus oszcillátor vákuumállapotának Wigner-f¨ uggvénye egy Gauss-eloszlás. Szintén közismert, hogy a többdimenziós Gauss-eloszlásokat teljesen meghatározza a korrelációs mátrixuk: az exponenciális f¨ uggvény argumentumában egy kvadratikus forma szerepel, aminek a magmátrixa éppen a korrelációs mátrix inverze [21]. Ezért a továbbiakban nek¨ unk elegend˝o a korrelációs mátrix meghatározásával tör˝odn¨ unk. Wigner-f¨ uggvény használata esetén a Weyl korrespondenciának [21, 22] megfelel˝oen a korrelációs mátrixban az operátorok szorzatait szimmetrikusan kell rendezn¨ unk. ˆ ˆ El˝oször a (X, P) kvadrat´ urák korrelációit számoljuk ki, aztán az eredményeket ˆ ) kvadrat´ a´ttranszformáljuk a (ˆ x, p urákra. Kezdj¨ uk a koordináták szorzatainak várható értékével. Mivel a koordinátaoperátorok egymással felcserélhet˝ok, ezért nem kell tör˝odn¨ unk a rendezéssel. (6.47)-et felhasználva: D E E D ˆk X ˆl = 1 √ 1 dˆk† + dˆk dˆl† + dˆl = X 2 ωk ωl (6.55) D E 1 Dh iE 1 1 1 1 † † dˆk dˆl = √ dˆk , dˆl = = √ δkl 2 ωk ωl 2 ωk ωl 2 ωk A dˆl operátor jobbról, a dˆk† operátor pedig balról t¨ unteti el a vákuumot, ezért a 4 tagból csak 1 marad meg. Ugyanez a tulajdonság teszi lehet˝ové, hogy dˆk dˆl† -t kiegész´ıthess¨ uk kommutátorrá, ugyanis a második tag várható értéke zérus. Vég¨ ul a (6.48a) reláció adja a Dirac-deltát. Ugyan´ıgy járunk el az impulzusok szorzatainak várható értékével is: √ D E ωk ωl D ˆ† ˆ ˆ† ˆ E ˆ ˆ Pk P l = − dk − dk dl − dl = 2 (6.56) √ √ ωk ωl D ˆ ˆ† E ωk ωl Dh ˆ ˆ† iE ωk = dk dl = dk , dl = δkl 2 2 2 Vég¨ ul vizsgáljuk a koordináta- és impulzusoperátor szorzatokat tartalmazó vegyes tagokat. Ezek az operátorok már nem mindig kommutálnak, ezért u ¨gyeln¨ unk kell a szimmetrikus rendezés biztos´ıtására: Dn o E 1D E ˆ k Pˆl ˆ k Pˆl + Pˆl X ˆk = X = X 2 s r D E i ωl † † † † ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ = dk + dk dl − dl + dl − dl dk + dk = (6.57) 4 ω k

i = 4

r

r ωl D ˆ ˆ† ˆ ˆ† E i ωl dk dl − dl dk = (δkl − δlk ) = 0 , ωk 4 ωk 43

ahol {...}s jelöli a szimmetrikus rendezést. ¨ Osszefoglalva a következ˝o korrelációs egy¨ utthatókat kaptuk: ˆk X ˆ l i = 1 δkl hX 2 ωk ωk δkl hPˆk Pˆl i = 2 ˆ k Pˆl }s i = 0 h{X

(6.58a) (6.58b) (6.58c)

ˆ ) kvadHajtsuk most végre ezeken a (6.41)-es transzformációt, hogy megkapjuk az (ˆ x, p rat´ urák korrelációit: ∞ ∞ X 1X 1 ˆ ˆ hˆ xk xˆl i = Uki Ulj hXi Xj i = (6.59a) Ukj Ulj · | {z } 2 ω j i,j=0 j=0 1 2 ωj

δij

∞ X

∞

1X hˆ pk pˆl i = Uki Ulj hPî Pˆj i = Ukj Ulj · ωj | {z } 2 j=0 i,j=0 ωj 2

h{ˆ xk pˆl }s i =

∞ X

(6.59b)

δij

ˆ i Pˆj }s i = 0 Uki Ulj h{X

(6.59c)

i,j=0

Mátrixhatványok seg´ıtségével ezeket a korrelációkat igen tömör alakba ´ırhatjuk. A (6.59a)-ban szerepl˝o 1/ωj sajátfrekvencia a D−1/2 diagonális mátrix f˝oa´tlójában lév˝o j-edik elem. Így: ∞ ∞ X X 1 U · D−1/2 · UT hˆ xk xˆl i = Uki Ulj D−1/2 = Uki D−1/2 U T jl = 2 kl ij ij i,j=0 i,j=0 (6.60) Az S mátrix spektrálfelbontása: S = U · D · U , tehát a mátrixhatvány defin´ıciója szerint: S−1/2 = U · D−1/2 · UT . (6.59b)-vel hasonlóan bánhatunk el, ott S+1/2 jelenik meg. Vég¨ ul a korrelációkra a következ˝ot kapjuk: 1 −1/2 hˆ xk xˆl i = S (6.61a) 2 kl 1 +1/2 (6.61b) hˆ pk pˆl i = S 2 kl T

h{ˆ xk pˆl }s i = 0

(6.61c)

Ez természetesen nem több egy kompakt jelölésnél, a konkrét számolásokhoz a (6.59)-es formulákat kell használnunk. Az eddigiek alkalmazásaként számoljuk ki a rezonátorban lév˝o inkoherens fotonok hˆ a† a î számát. (6.37a)-ból, (6.59a)-ból és (6.59b)-b˝ol következ˝oen: 1 1 1 hˆ a† a î = hˆ p20 i + Ω hˆ x20 i − = 2Ω 2 2 (6.62) ∞ ∞ 1 X 2 1 X 2 1 1 = U ωj + Ω U − 4 Ω j=0 0j 4 j=0 0j ωj 2 44

10. ábra. A rendszerben lév˝o inkoherens fotonok várható száma (hˆ a† a î) a fázisátalakulási pont közelében. A paraméterek: ωR = 1, δC = −100, u = −20, ycrit = 10, cm = 3. Használjuk ki, hogy ∞ X

2 U0j =

j=0

∞ X

T U0j Uj0 =

U · UT

00

=1

(6.63)

j=0

Ha ezt az összeget oda´ırjuk a jobboldal utolsó tagjának végéhez, akkor a 3 tagot egy közös szummába vonhatjuk o¨ssze: ∞ Ω 1 X 2 ωj U + −2 hˆ a a î = 4 j=0 0j Ω ωj †

(6.64)

Hasonlóan kaphatjuk meg a ˆbk módusban lév˝o, kondenzátumon k´ıv¨ uli atomok számát is. Képlet¨ unkben csak a 0 → k és Ω → λk − µ cseréket kell végrehajtanunk: hˆb†k ˆbk i

∞ 1 X 2 λk − µ ωj = U + −2 , 4 j=0 kj λk − µ ωj

(6.65)

ahol k ∈ {1, 2, 3, ...}. k-ra összegezve megkaphatjuk a kondenzátumon k´ıv¨ uli atomok teljes számát is: †

ˆ bi ˆ = hˆc cî = hb †

∞ X k=1

hˆb†k ˆbk i

∞ ∞ 1 XX 2 ωj λk − µ U = + −2 , 4 k=1 j=0 kj λk − µ ωj

(6.66)

Itt u ¨gyeln¨ unk kell arra, hogy a ˆbk -hoz kapcsolódó szumma nem 0-tól, hanem csak 1-t˝ol indul. Vég¨ ul számoljuk ki a cˆk módusban lév˝o, kondenzátumon k´ıv¨ uli atomok számát is.

45

Ehhez az (6.22)-es transzformációt és a (6.35)-ös formulákat kell felhasználnunk: hˆ c†n cˆn i

=

∞ X

Onk Onl hˆb†k ˆbl i =

k,l=1

* r ·

∞ X

Onk Onl ·

k,l=1

λk − µ i xˆk − p pˆk 2 2(λk − µ)

∞ 1 X = Onk Onl 2 k,l=1 ∞ 1 X + Onk Onl 2 k,l=1

! r

λl − µ i xˆl + p pˆl 2 2(λl − µ)

!+

! p 1 hˆ pk pˆl i (λk − µ)(λl − µ) hˆ xk xˆl i + p (λk − µ)(λl − µ) s s ! (λk − µ) (λl − µ) hˆ xk pˆl i − i hˆ pk xˆl i i (λl − µ) (λk − µ) (6.67)

´ mielött Most a korrelációs mátrix (6.59)-el adott elemeit kell behelyettes´ıten¨ unk. Am ezt megtehetnénk, hˆ xk pˆl i-t és hˆ pk xˆl i-t szimmetrikusan rendezett alakra kell hoznunk. Ezt u ´gy tehetj¨ uk meg, hogy a mennyiségeket szimmetrikus és antiszimmetrikus rész¨ uk o¨sszegére bontjuk föl és az antiszimmetrikus részben kihasználjuk a (6.36)-os kommutátor-relációkat: hˆ xk pˆl i + hˆ pl xˆk i hˆ xk pˆl i − hˆ pl xˆk i + 2 2 1 i xk , pˆl ]i = δkl = h{ˆ xk pˆl }s i + h[ˆ | {z } 2 | {z } 2

hˆ xk pˆl i =

0

(6.68)

i δkl

és hasonlóan adódik, hogy hˆ pk xˆl i = − 2i δkl . Helyettes´ıts¨ uk vissza ezeket a fenti képletbe: ! ∞ X p 1 hˆ p p ˆ i k l hˆ c†n cˆn i = Onk Onl (λk − µ)(λl − µ) hˆ xk xˆl i + p 2 k,l=1 (λk − µ)(λl − µ) (6.69) s s ! ∞ 1 X (λk − µ) (λl − µ) − Onk Onl + δkl 4 k,l=1 (λl − µ) (λk − µ) Írjuk be most már (6.59a)-t és (6.59b)-t. δkl -t az összevonhatóság érdekében a következ˝ovel helyettes´ıts¨ uk : ∞ X Ukj Ulj = U · UT kl = δkl (6.70) j=0

46

11. a´bra. A kondenzátumon k´ıv¨ uli atomok teljes számának várható értéke (hˆc† cî) a fázisátalakulási pont közelében. A paraméterek: ωR = 1, δC = −100, u = −20, ycrit = 10, cm = 3. Vég¨ ul a következ˝o formulát kapjuk: hˆ c†n cˆn i

·

∞ ∞ 1 X X Onk Onl Ukj Ulj · = 4 k,l=1 j=0

s

p (λk − µ)(λl − µ) ωj + p − ωj (λk − µ)(λl − µ)

(λk − µ) + (λl − µ)

s

(λl − µ) (λk − µ)

!!

(6.71) A képlet elég bonyolultnak adódott, ezért célszer˝ u valamilyen módon meggy˝oz˝odn¨ unk a helyességér˝ol. Ezt u ´gy tesztelhetj¨ uk le a legkönnyebben, hogy kiszámoljuk u ´jra a kondenz´ atumon k´ıv¨ uli teljes atomszámot és az eredményt o¨sszevetj¨ uk (6.66)-al. Ehhez P∞ † c ˆ i-t kell ki´ e rt´ e keln¨ u nk. Vegy¨ u k ´ e szre, hogy az n index csak az O mátrixoknál hˆ c n n n=0 szerepel, ´ıgy a rá vonatkozó összegzés elvégezhet˝o: ∞ X

Onk Onl = OT · O

kl

= δkl

(6.72)

n=0

A k-t és l-t egyenl˝ové téve: ∞ X n=0

hˆ c†n cˆn i

∞ ∞ 1 XX 2 λk − µ ωj = U + −2 4 k=1 j=0 kj ωj λk − µ

(6.73)

és ez a formula valóban megegyezik (6.66)-al.

6.7.

¨ Osszefon´ od´ asi m´ ert´ ekek

Tegy¨ uk fel, hogy van egy A részrendszerb˝ol és annak B környezetéb˝ol álló o¨sszetett rendszer¨ unk. A teljes rendszer legyen a |ψalap i hullámf¨ uggvénnyel jellemzett alapállapotban. A rendszer s˝ ur˝ uségoperátora: ρˆ = |ψalap ihψalap |, ami egy tiszta a´llapotot ´ır le. A 47

részrendszer redukált s˝ ur˝ uségoperátora: ρÂ = T rB (ˆ ρ). Mivel a teljes rendszer a´llapota tiszta, A és B pontosan abban az esetben van o¨sszefonódva, ha a ρÂ a´llapot kevert. Ennek eldöntésére u ń. összefonódási mértékeket használunk. A legelterjedtebb ilyen mérték az összefonódási entrópia, amely nem más, mint a részrendszer Neumannentrópiája: SA = −T rA (ˆ ρA · lnˆ ρA ) (6.74) Egy másik lehetséges o¨sszefonódási mérték az u ń. lineáris entrópia: SA, lin = 1 − T rA ρˆ2A

(6.75)

Mindkét mennyiségr˝ol megmutatható, hogy érték¨ uk zérus, amennyiben ρÂ tiszta. Kevert a´llapot esetén mindkét entrópia pozit´ıv értéket vesz föl. Egy k¨ ulönbség azonban a két mennyiség között, hogy SA tetsz˝olegesen nagy értéket felvehet, m´ıg SA, lin ≤ 1 lehet csak. A mi konkrét rendszer¨ unkben A az u ¨regrezonátor és B a kondenzátum. Vezess¨ uk be a r D ED E χ=

− (ˆ a† + a ˆ)2

(ˆ a† − a ˆ)2

(6.76)

paramétert. Seg´ıtségével a fent értelmezett két o¨sszefonódási mértéket a következ˝o képletekkel ( levezetés: [23, 24] ) adhatjuk meg: χ+1 χ−1 χ−1 χ+1 · ln · ln − (6.77a) SA = 2 2 2 2 SA, lin = 1 −

1 χ

(6.77b)

Egyszer˝ u f¨ uggvényanal´ızissel belátható, hogy a χ ∈ (+1, +∞) értelmezési tartományon mindkét f¨ uggvény pozit´ıv és szigor´ uan monoton növ˝o. χ → 1 esetén SA → 0 és SA, lin → 0. Továbbá χ → +∞ esetén SA → +∞ és SA, lin → 1. A két f¨ uggvényt a 12-es ábra szemlélteti. Mindez azt jelenti, hogy magát χ-t is használhatjuk összefonódási mértéknek: χ = 1 esetén a részrendszer a´llapota tiszta, χ > 1 esetén pedig egyre kevertebb. Végezz¨ unk el egy egyszer˝ u próbát a (6.77)-es formulák tesztelésére. Tegy¨ uk fel, hogy y = u = 0, tehát se pumpálás, se kölcsönhatás nincs a rendszerben. Ekkor az u ¨regrezonátor alapállapota egyszer˝ uen az a ˆ-hoz rendelt vákuumállapot, vagyis: ρÂ = |0ih0|. Ez egy tiszta állapot, ´ıgy az el˝obbiek alapján elvárjuk, hogy χ = 1 legyen. Egyszer˝ u számolással igazolhatjuk, hogy ez teljes¨ ul is: † h0| a ˆ† + a ˆ a ˆ +a ˆ |0i = h0| a â ˆ† |0i = 1 (6.78a) † h0| a ˆ† − a ˆ a ˆ −a ˆ |0i = −h0| a â ˆ† |0i = −1 , (6.78b) ´ıgy χ = 1 valóban fennáll. Térj¨ unk vissza az általános esetre. Mivel mi a kvadrat´ ura amplit´ udók korrelációs egy¨ utthatóit ismerj¨ uk, ezért célszer˝ u χ-t ezekkel a mennyiségekkel is kifejezni. A (6.34)es defin´ıciót felhasználva: q x20 i hˆ p20 i (6.79) χ = 2 · hˆ 48

12. ábra. Az SA o¨sszefonódási és az SA, lin lineáris entrópia χ f¨ uggvényében (6.77). hˆ x0 i = hˆ p0 i = 0 miatt ezt a ∆x0 = fel´ırhatjuk:

p p ura-szórásokkal is hˆ x20 i és ∆p0 = hˆ p20 i kvadrat´ χ = 2 · ∆x0 ∆p0

(6.80)

Másrészt az [ˆ x0 , pˆ0 ] = i kommutátorból következ˝o határozatlansági-reláció szerint: ∆x0 · ∆p0 ≥

1 1 |h[ˆ x0 , pˆ0 ]i| = , 2 2

(6.81)

ami a χ ≥ 1 egyenl˝otlenségre vezet. A χ = 1-el jellemzett tiszta a´llapot´ u részrendszer egyben a határozatlansági reláció minimalizálását eredményezi. Ez annak a következménye, hogy a teljes rendszer az alapállapotban van. Kimondhatjuk tehát azt a tételmondatot, hogy az alapállapotban lév˝o teljes rendszer A részrendszere pontosan akkor o¨sszefonódott, ha χ > 1, vagyis a részrendszer a rá vonatkozó határozatlansági relációt nem tudja minimalizálni. Vég¨ ul megk´ısérelj¨ uk a (6.77)-es formulák egy, a fent citált cikkekben szerepl˝ot˝ol eltér˝o levezetését adni a Wigner-f¨ uggvény seg´ıtségével. Ehhez el˝oször az u ¨reg korrelációs mátrixát ´ırjuk föl:     hˆ x20 i h{ˆ x0 pˆ0 }s i ∆x20 0 =  , CA =  (6.82) 2 2 0 ∆p0 h{ˆ x0 pˆ0 }s i hˆ p0 i ahol kihasználtuk, hogy (6.59c) szerint h{ˆ x0 pˆ0 }s i = 0. Legyen v = (x0 , p0 )T . A részrendszer Wigner-f¨ uggvénye egy két dimenziós Gauss-eloszlás, ami a korrelációs mátrix alapján [21] ´ırható föl: 2 x0 p20 1 T −1 + (6.83) WA (x0 , p0 ) = N · exp − v C v = N · exp − 2 2 ∆x20 2 ∆p20 Az N normálási tényez˝ot a Z WA (x0 , p0 ) dΓ = 1

49

(6.84)

13. a´bra. Az SA o¨sszefonódási és az SA, lin lineáris entrópia a fázisátalakulási pont közelében. A paraméterek: ωR = 1, δC = −100, u = −20, ycrit = 10, cm = 3. normálási feltétel határozza meg, ahol az integrálási mérték: dΓ =

dx0 dp0 dx0 dp0 = h 2π

(6.85)

Itt kihasználtuk, hogy a ~ = 1 egységrendszerben az elemi fáziscella ter¨ ulete: h = 2π. A következ˝okben jónéhány Gauss-integrált ki kell majd számolnunk. A számolások alapja a r Z +∞ π 2 (6.86) e−a x dx = a −∞ formula. Kezdj¨ uk a normálási feltétellel: Z Z +∞ Z +∞ N x20 p20 WA (x0 , p0 ) dΓ = exp − dx0 exp − dp0 2π −∞ 2 ∆x20 2 ∆p20 −∞ (6.87) q q N 2π∆x20 2π∆p20 = N · ∆x0 · ∆p0 = 1 = 2π Tehát a normálási tényez˝o: N =

1 ∆x0 ∆p0

(6.88)

A megfelel˝o módon lenormált Wigner-f¨ uggvényt szimmetrikusan rendezett operátorok várható értékeinek kiszámolására használhatjuk. Legyen FÂ (ˆ x0 , pˆ0 ) egy tetsz˝oleges An értelmezett fizikai mennyiség szimmetrikusan rendezett operátora. Legyen továbbá FA (x0 , p0 ) a fenti mennyiség klasszikus megfelel˝oje. A korábban már emlegetett Weyl korrespondencia [21, 22] szerint FÂ várható értéke: D E Z FÂ = T rA FÂ ρÂ = FA (x0 , p0 ) WA (x0 , p0 ) dΓ (6.89) Ezt az o¨sszef¨ uggést alkalmazzuk most a (6.75)-el definiált lineáris entrópia kiszámolására. Mivel ρÂ és WA (x0 , p0 ) között is a szimmetrikus rendezés teremt kapcsolatot, ezért 50

élhet¨ unk az FÂ = ρÂ választással. (P vagy Q f¨ uggvény használata esetén ezt nem tehetnénk meg!) Így: Z 2 (6.90) SA, lin = 1 − T rA ρÂ = 1 − WA2 (x0 , p0 ) dΓ Már csak az integrált kell kiszámolnunk: Z +∞ Z Z +∞ p20 N2 x20 2 exp − 2 dp0 WA (x0 , p0 ) dΓ = exp − 2 dx0 2π −∞ ∆x0 ∆p0 −∞ (6.91) q q 1 1 1 = π∆x20 π∆p20 = = , 2π · ∆x20 ∆p20 2 · ∆x0 ∆p0 χ tehát SA, lin = 1 − 1/χ , ahogy azt vártuk. Hasonló módszerrel számolhatjuk ki az o¨sszefonódási entrópiát is: Z (6.92) SA = −T rA (ˆ ρA · lnˆ ρA ) = − WA (x0 , p0 ) · ln WA (x0 , p0 ) dΓ Az integrál elvégzését az érdekl˝od˝o olvasóra b´ızzuk.

51

7.

¨ Osszefoglal´ as

A jelen dolgozatban egy optikai rezonátorba helyezett, lézerrel pumpált Bose-Einstein kondenzátum kvantum fázisátalakulását vizsgáltuk, ami a pumpalézer intenzitásának változtatása közben megy végbe. Ez egy k´ısérletileg is vizsgálható, kurrens probléma [12]. A sz¨ ukséges módszerek ismertetése (2, 3) után a modell a 4. fejezetben ker¨ ult definiálásra. Itt megmutattuk, hogy a kondenzátum le´ırását célszer˝ u a Fourier-módusokkal végezni, mert a kölcsönhatási tagok csak az els˝o- és másodszomszéd módusok között tudják léptetni az atomokat. Az 5. fejezetben megadtuk a fázisátalakulás két kondenzátum módust használó minimum-modelljét, amir˝ol megmutattuk, hogy elméletileg ekvialens a kvantumoptikában jól ismert Dicke-modellel. Az u ´j modell viszont k´ısérletileg is megvalós´ıtható, ami annak köszönhet˝o, hogy a´ttért¨ unk az atomok bels˝o dinamikájáról a k¨ uls˝o térben lezajlóra, ´ıgy a kritikus pontot siker¨ ult lehozni az optikai tartományból kHz-es nagyságrendbe. Modell¨ unket a´tlagtér-közel´ıtésben egzaktul megoldottuk: analitikus formulákat adtunk az a´tlagterekre és a rendszer sajátfrekvenciáira. Vég¨ ul megvizsgáltuk a Heisenberg-képbeli dinamikát és a környezet visszahatását a rendszerre: ez az alapállapotból való kif˝ ut˝odést eredményez. Tárgyalásunkban az a´ltalunk publikált [15]-ös cikk gondolatmenetét követt¨ uk. A 6. fejezetben kiterjesztett¨ uk vizsgálódásainkat a kondenzátum összes módusára. Az a´tlagterek meghatározására egy kvázi-sajátértékegyenletet vezett¨ unk le, aminek megoldására egyszer˝ u, a fázisátalakulási pont kis környezetének kivételével gyorsan konvergáló iterációs algoritmust adtunk. Ezután részletesen megvizsgáltuk az a´tlagterek kör¨ uli kvantumos fluktuációkat: a bilineáris Hamilton-operátort több lépésben elvégzett Bogoljubov transzformációkkal diagonalizáltuk, ´ıgy megkaptuk a gerjesztési spektrumot megadó kvázirészecskék frekvenciáit. Ezt követ˝oen részletesen elemezt¨ uk az egyetlen kvázirészecskét sem tartalmazó alapállapot kvantumkorrelációt és levezett¨ uk az inkoherens fotonok, valamint a kondenzátumon k´ıv¨ uli atomok számait megadó formulákat. Vég¨ ul a [23, 24]-es cikkekben kifejtett elmélet felhasználásával mennyiségi ¨ jellemzést adtunk az atomok és az elektromágneses mez˝o összefonódására. Osszefonódási mértéknek az u ¨reg Neumann-entrópiáját és a lineáris entrópiát használtuk. Seg´ıtség¨ ukkel megmutattuk, hogyha a teljes rendszer az alapállapotban van, akkor részrendszerei pontosan akkor összefonódottak, ha az egyik részrendszer a rá vonatkozó határozatlansági-relációt nem képes minimalizálni. Vég¨ ul a 6. fejezetben megadott formulákat numerikus szimulációkkal ki is értékelt¨ uk, amikhez a C programnyelvet és a LAPACK lineáris algebra csomagot használtuk. A numerikus eredményeket a dolgozatban ábrákon foglaltuk össze.

52

8.

K¨ osz¨ onetnyilv´ an´ıt´ as

Els˝oként témavezet˝omnek, Domokos Péternek szeretnék köszönetet mondani, aki az igen érdekes problémakörrel megismertetett és a diszkussziók során tanácsaival, magyarázataival végig seg´ıtette munkámat. Köszönettel tartozom továbbá a 2009. évi balatoni Nyári Iskola szervez˝oinek és el˝oadóinak, akik lehet˝ové tették, hogy a kvantumoptika szakter¨ uletének alapjaival megismerkedjek. Ezent´ ul köszönetet mondok Dávid Gyulának, akinek a fizika Bsc 3 éve alatt elhangzott el˝oadásai nagyban hozzájárultak a fizikai világképem kialak´ıtásához és az alkalmazott szám´ıtási módszerek elsaját´ıtásához. Vég¨ ul szeretnék családomnak, barátaimnak is köszönetet mondani, akik a szellemi támogatás mellett a dolgozat átolvasásával, a helyes´ırási hibák kijav´ıtásával, vagy a témáról való beszélgetéssel is seg´ıtettek.

53

Hivatkoz´ asok ¨ [1] A. Ottl, S. Ritter, M. Köhl, and T. Esslinger, Correlations and Counting Statistics of an Atom Laser, Phys. Rev. Lett. 95, 090404 (2005). [2] S. Slama, G. Krenz, S. Bux, C. Zimmermann, and P. W. Cavity-enhanced superradiant Rayleigh scattering with ultracold and Bose-Einstein condensed atoms, Courteille, Phys. Rev. A 75, 063620 (2007). [3] F. Brennecke, T. Donner, S. Ritter, T. Bourdel, M. Köhl, and T. Esslinger, Cavity QED with a Bose-Einstein condensate, Nature 450, 268 (2008). [4] F. Brennecke, S. Ritter, T. Donner, and T. Esslinger, Cavity optomechanics with a Bose-Einstein condensate, Science 322, 235 (2008). [5] J. Klinner, M. Lindholdt, B. Nagorny, and A. Hemmerich, Normal Mode Splitting and Mechanical Effects of an Optical Lattice in a Ring Cavity, Phys. Rev. Lett. 96, 023002 (2006). [6] Y. Colombe, T. Steinmetz, G. Dubois, F. Linke, and J. Reichel, Strong atom-field coupling for Bose-Einstein condensates in an optical cavity on a chip, Nature 450, 272 (2007). [7] K. W. Murch and K. L. Moore, and S. Gupta, and D. M. Stamper-Kurn, Observation of quantum-measurement backaction with an ultracold atomic gas, Nature Physics 4, 561 (2008). [8] P. Domokos and H. Ritsch, Collective Cooling and Self-Organization of Atoms in a Cavity, Phys. Rev. Lett. 89, 253003 (2002). [9] J. K. Asbóth, P. Domokos, H. Ritsch, and A. Vukics, Self-organization of atoms in a cavity field: Threshold, bistability, and scaling laws, Phys. Rev. A 72, 053417 (2005). [10] Adam T. Black, Hilton W. Chan, and Vladan Vuletić, Observation of Collective Friction Forces due to Spatial Self-Organization of Atoms: From Rayleigh to Bragg Scattering, Phys. Rev. Lett. 91, 203001 (2003). [11] D. Nagy, G. Szirmai, and P. Domokos, Self-organization of a Bose-Einstein condensate in an optical cavity, Eur. Phys. J. D 48, 127-137 (2008). [12] Kristian Baumann, Christine Guerlin, Ferdinand Brennecke, and Tilman Esslinger, Dicke quantum phase transition with a superfluid gas in an optical cavity, Nature 464, 1301-1306 (2010). [13] D. Nagy, P. Domokos, A. Vukics and H. Ritsch, Nonlinear quantum dynamics of two BEC modes dispersively coupled by an optical cavity, Eur. Phys. J. D 55, 659-668 (2009).

54

[14] G. Szirmai, D. Nagy, and P. Domokos, Quantum noise of a Bose-Einstein condensate in an optical cavity, correlations and entanglement, Phys. Rev. A 81, 043639 (2010). [15] D. Nagy, G. Kónya, G. Szirmai, and P. Domokos, Dicke-Model Phase Transition in the Quantum Motion of a Bose-Einstein Condensate in an Optical Cavity, Phys. Rev. Lett. 104, 130401 (2010). [16] C. Emary and T. Brandes, Chaos and quantum phase transition in the Dicke model, Phys. Rev. E 67, 066203 (2003). [17] Szépfalusy Péter és Szirmai Gergely, Véges-h˝omérsékleti soktestprobléma, kézirat (2006), http://optics.szfki.kfki.hu/ szirmai/. [18] Geszti Tamás, Kvantummechanika, Typotex, 2007. [19] D. F. Walls and Gerard J. Milburn, Quantum Optics, 2nd Edition, Springer (2008). [20] Mark Hillery, An Introduction to the Quantum Theory of Nonlinear Optics, Acta Physica Slovaca 59, 1-80 (2009). [21] Samuel L. Braunstein and Peter van Loock, Quantum information with continuous variables, Reviews of Modern Physics 77 (2005). [22] M. Hillery, R. F. O’Connell, M. Scully, and E. Wigner, Distribution Functions in Physics: Fundamentals, Phys. Rep. 106, 121-167 (1984). [23] Julien Vidal, Sébastien Dusuel and Thomas Barthel, Entanglement entropy in collective models, J. Stat. Mech. P01015 (2007). [24] T. Barthel, M.-C. Chung, and U. Schollwöck, Entanglement scaling in critical two-dimensional fermionic and bosonic systems, Phys. Rev. A 74, 022329 (2006). [25] J. Schwinger, Quantum theory of angular momentum, Academic Press, New York (1965). [26] R. H. Dicke, Coherence in Spontaneous Radiation Processes, Phys. Rev. 93, 99 (1954). [27] T. Holstein and H. Primakoff, Field Dependence of the Intrinsic Domain Magnetization of a Ferromagnet, Phys. Rev. 58 1098 - 1113 (1940). [28] N. Lambert, C. Emary, and T. Brandes, Entanglement and the Phase Transition in Single-Mode Superradiance, Phys. Rev. Lett. 92, 073602 (2004). [29] V. Buzek, M. Orszag, and M. Rosko, Instability and Entanglement of the Ground State of the Dicke Model, Phys. Rev. Lett. 94, 163601 (2005). [30] V.V. Praszolov, Lineáris algebra, Typotex (2005). [31] Brian F. Farrell and Petros J. Ioannou, Generalized Stability Theory. Part I: Autonomous Operators, Journal of the Atmospheric Sciences 53 2025-2040 (1996).

55

Kvantum-soktestprobléma ultrahideg atomokkal optikai rezonátorban. Szakdolgozat

Recommend Documents