Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137

A

L I N E Á R I S E G Y E N L E T R E N D S ZE R E K G A U S S - F É L E E LI MI N Á C I Ó V A L T Ö R T É N Ő M E G O L D Á S Á N A K S Z E R EP E A V I L L A MO S M É R N Ö K S Z A K O S H A L L G A T Ó K M A T E M A T I K A O K T A T Á S Á B A N

ELEKTROTECHNIKA-ELEKTRONIKA Kovács Judit A LINEÁRIS EGYENLETRENDSZEREK GAUSS-FÉLE ELIMINÁCIÓVAL TÖRTÉNŐ MEGOLDÁSÁNAK SZEREPE A VILLAMOSMÉRNÖK SZAKOS HALLGATÓK MATEMATIKA OKTATÁSÁBAN ON THE ROLE OF GAUSSIAN ELIMINATION USED FOR SOLVING SYSTEMS OF LINEAR EQUATIONS IN HIGHER MATHEMATICS FOR STUDENTS OF ELECTRICAL ENGINEERING A villamosmérnök szakos hallgatók oktatásában a matematika alapozó tárgy. A matematika tananyag struktúrálásánál a fő szempont, hogy olyan módszereket adjunk, amelyeket a hallgatók későbbi mérnöki tanulmányaikban és mérnöki munkájuk során is használni tudnak majd. Ilyen módszer például a lineáris egyenletrendszerek megoldásánál alkalmazott Gauss-féle elimináció, amelynek a főiskolai oktatásban több formája is megjelenik. Az alábbiakban a módszer fontosságáról és a különböző tanítási formák didaktikai összehasonlításáról lesz szó.

Mathematics is a basic subject for students of electrical engineering. Structuring the topics the goal is to teach useful methods for future engineers. Methods of simple application are essential for the studies and the future work for the students. One of those is the method of Gaussian elimination used for solving linear equation systems. Two forms of Gaussian elimination is used by teachers of mathematics in college. In this issue these two forms are compared and the need of the whole method is emphasized.

Az általános lineáris egyenletrendszerek megoldására az egyik legegyszerűbb és gyakorlati szempontból is jól alkalmazható módszer a Gauss-elimináció (Gauss-féle kiküszöbölés), amelynek számos elméleti következménye is van.

E LE K TR O TEC HN I KA -E LEK TR O N I KA

137

A


A villamosmérnök szakos hallgatók oktatásában szerepet kap még a Cramer szabály 1 , amely azonban csak speciális típusú lineáris egyenletrendszerek megoldására alkalmas, és determinánsok segítségével ad képletet a megoldásra. A Gauss-módszer a lineáris egyenletrendszerek megoldásán túl a megoldhatóság és a megoldások számának kérdésére is megkönnyíti a válaszadást, a hallgatók számára könnyen átlátható módon. A jól ismert módszer rövid összefoglalása: (részletesebben megtalálható például 2-ben) Adott az n ismeretlenes, k egyenletből álló lineáris egyenletrendszer általános alakja: a11 x1    a1n x n  b1  a k1 x1    a kn x n  bk ahol az aij együtthatók és a bi konstansok valós számok. Az egyenletrendszer egy megoldása valós számok olyan c1, c2, …, cn sorozata, amelyeket a megfelelő xi-k helyére beírva valamennyi egyenletben teljesül az egyenlőség. A Gauss- elimináció lényege, hogy bizonyos megengedett lépések segítségével, amelyek az eredetivel ekvivalens lineáris egyenletrendszerre vezetnek, kiküszöböljük az ismeretleneket az egyenletrendszerből. A megengedet t lépések a követ kezők: 1, Valamely egyenlet 0-tól különböző valós számmal (skalárral) való végigszorzása. 2, Valamely egyenlethez egy másik egyenlet skalárszorosának hozzáadása. 3, Több azonos egyenlet közül egy kivételével az összes elhagyása. 4, Az olyan egyenletek, ahol valamennyi együttható és minden jobboldali konstans is 0, elhagyása.

138


A


5, Valamely két egyenlet felcserélése. Az egyenletrendszert egyszerűen jellemezhetjük együttható mátrixa és kibővített mátrixa segítségével:  a11  a1n         a  a kn  Együttható mátrix:  k 1 .  a11     a kn Kibővített mátrix:: 

b1    bk 

.

Az egyenletekkel végezhető megengedett lépéseknek a kibővített mátrix soraival végzett hasonló változtatások felelnek meg. A módszer oktatásában két forma vált általánossá: az első esetben az együttható mátrixnak megfelelő rész „főátlója” alatti elemek kiküszöbölése a cél (lépcsős alak), majd az egyenletek visszaírása után a megoldás behelyettesítéssel adódik. A második esetben redukált lépcsős alakot hozunk létre, amelyből viszont kényelmesen leolvasható az egyenletrendszer összes megoldása. Most három példán keresztül mutatjuk be a két forma közti különbséget, rámutatva, hogy a redukált lépcsős alak használata a megoldásszám meghatározását is jelentősen megkönnyíti. PL 1. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert! x1 2 x1 8 x1

 

x2 x2 3 x2

 x3  3x 3  2 x3  6 x3

   

3 0 6 8


139

A


Az egyenletrendszer kibővített mátrixa: 1 1 1   2 1 3 0 3  2  8 0 6 

1 3 1 1   0 2 1 3   6 0 3 2     8 3 4 0

3  0 6  4 

Az első forma szerinti megoldás: 1 3  1 1 1    0  3 1  6 0  0 3  2 6    0    0  4  1  8   0   

1

1 1 1  3 0 1 7 0  3

3  2  0 0  

1  0  0 0 

1

1 1 1  3 0 1 0 1

3  2  0 0 

 1 1 1 3   1 0 1  2 3    0 0 1 0

Ezek alapján: x3  0 1 x2  x3  2 ; x 2  2 3 x1  x 2  x3  3 ; x1  1.

A megoldás tehát: x1=1; x2=2; x3=0. A második forma szerinti megoldás: 1 3  1 4 1 1    0  3 1  6 0  3  0 3  2 6   0  3    0  4 1  8 0  7   

0

9   1 6   0 6   0  14 

1 4  0  3 0 1  0 1 

0

9   1  6  0 2   0 2 

1 0 0 1   0 0 1 0 0 1 0 2  

A redukált lépcsős alakból közvetlenül leolvasható a megoldás: x1=1; x2=2; x3=0. A módszer alkalmazásánál a kétszer aláhúzott együttható azt mutatja meg, hogy az adott egyenletben melyik az az ismeretlen, amelyet a többi egyenletből kiküszöbölünk. Az aláhúzás (vagy helyette bekarikázás) és néhány egyszerűen megfogalmazható „szabály” (pl. egy sorban és egy oszlopban csak egy kétszeres aláhúzás lehet) segítségével a módszer könnyen áttekinthetővé válik a hallgatók számára.

140


A


Az első példában szereplő egyenletrendszernek egyértelmű megoldása volt. Nézzük meg egy másik példán keresztül, hogyan állapíthatjuk meg a Gauss-elimináció segítségével, hogy egy egyenletrendszernek nincs megoldása: PL 2. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert! x1  x1

x2

 2 x3

 1

2x2  x2

 x3  3x 3

 6  4



Az egyenletrendszer kibővített mátrixa:  1 1 2 1    0 2 1 6  1 1  3 4  

Az első forma szerinti megoldás: 1  1 1 2 1   1 1 2    1 3  0 2 1 6  0 1   0 2  1 5   0 0 02  1    

Visszaírva: 0=-1, ami ellentmondás, tehát az egyenletrendszernek nincs megoldása. A második forma szerinti megoldás: 2 1  1 1 2 1 1 1      0 2 1 6   0  2 1  6   0 2 1 5  0 2 1 5     

 1 5 0 13    0  2 1  6 0 0 0 1  

Mivel az utolsó sor ellentmondás, ezért megfogalmazhatjuk szabályként: ha a Gauss-elimináció alkalmazása során bármikor adódik olyan sor, ahol a baloldal csupa 0, a jobboldal pedig nem 0, akkor a kiküszöbölést nem folytatjuk tovább, és megállapítjuk, hogy az egyenletrendszernek nincs megoldása.


141

A


A valós számok halmazán megoldandó egyenletrendszerek esetén az is előfordulhat, hogy végtelen sok megoldás van. Lássunk erre is egy példát: PL 3. Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert! x1  2 x1 2 x1

 3x 2

 x3  x3  5 x3

 2 x4  5x4  2 x4

 1  4  3

Az egyenletrendszer kibővített mátrixa: 2  1  1 0 1    2 0 1  5 4   2 3 5 2 3  

Az első forma szerinti megoldás:  1 0 1 2  1  1 0 1 2   2 0 0 1 1 2   0 1 1  3  0 3 3  2 5   0 0 1  1   

 1 5  3 2 

Visszaírva: x3  x 4  2 2 5 x4  3 3 x1  x3  2 x 4  1 Tehát végtelen sok megoldás van. x 2  x3 

Az első forma szerinti felírás alapján a hallgatók számára nem feltétlenül nyilvánvaló, hogy mely ismeretlen(ek) választható(k) szabadon paraméternek. Egyszerűen leolvasható viszont a második forma szerinti megoldásnál a redukált lépcsős alakból:

142


A


  1 0 0 3  3   1 0 1 2  1  1 0 0 3  3   0 0 1  1 2         0 0 1  1 2   0 0 1 1 2    1 1    0 3 3  2 5   0 3 0 1  1  0 1 0      3 3

Mivel nem tudunk több együtthatót kétszeresen aláhúzni (már minden sorban van kétszeresen aláhúzott együttható), ezért az eliminációs módszer véget ért. Az x4 ismeretlen együtthatója minden egyenletben szerepel, ezért x4 szabadon választható paraméternek. Minden egyes egyenletből a kétszeresen aláhúzott együtthatójú ismeretlent fejezzük ki: x1  3  3 x 4 x3  2  x 4 1 1 x2    x4 . 3 3

Mivel x4 tetszőleges valós szám lehet, ezért végtelen sok megoldás van. A Gauss-elimináció elméletformáló szerepe abban rejlik, hogy az elimináció redukált lépcsős alakjának segítségével összefüggések fedezhetők fel az ismeretlenek és az egyenletek száma, valamint az egyenletrendszer megoldásszáma között. Nevezetesen: a redukált lépcsős alak minden esetben ilyen formájú táblázat: Kiválasztott oszlopok Kiválasztott sorok

1 0

0

0 1

0

Szabad változók

Kibővített mátrix jobboldala Konstansok

 0 0

Felesleges sorok vagy tilos sorok

0

1

0

Ha ezen a részen csupa 0 található, a sor elhagyható. Ha van nem 0 elem, akkor nincs megoldás.


143

A


Egyébként, ha nincs szabad változó, akkor egy megoldás van. Ha van szabad változó, akkor végtelen sok megoldás van. Jelölje most n az ismeretlenek számát, k az egyenletek számát, I azt, hogy egy adott eset előfordulhat, N pedig azt, hogy nem fordulhat elő. A Gauss-elimináció redukált lépcsős alakjának fenti táblázata segítségével a hallgatók könnyen felismerik az alábbi összefüggéseket: Nincs megoldás

1 megoldás van

Végtelen sok megoldás van

n=k

I

I

I

n
I

I

I

n>k

I

N (mindig marad szabad változó)

I

Az analó g t áblázat ho mogén lineár is egye nlet rendszer eset én: Nincs megoldás

1 megoldás van

Végtelen sok megoldás van

n=k

N

I

I

n
N

I

I

n>k

N

N (mindig marad szabad változó)

I

(A homogén esetben ugyanis nincs a jobboldalon nem 0 elem, az xi=0 mindig megoldás.) A redukált lépcsős alakra hozás tehát nagyon hasznos eljárás a lineáris egyenletrendszerek megoldásánál, szemléletes és a hallgatók számára könnyen érthető, valamint jelentős az elméletformáló hatása is. Azonban, mint más eljárások esetén is, a redukált lépcsős alakra hozás nem öncél. Ha más, egyszerűbb módon is megoldható egy adott egyenletrendszer, akkor nincs rá szükség.

144


A


Ezzel együtt is érdemes azonban a hallgatók kezébe adni a redukált lépcsős alakra hozást, mint egy olyan eszközt, amely kivétel nélkül minden esetben használható, és nem szükséges hozzá a mátrixok elméletének 3 mélyebb ismerete. Felhasznált irodalom

1

Scharnitzky Viktor: Vektorgeometria és lineáris algebra (Nemzeti Tankönyvkiadó 1985)

2 Freud Róbert: Lineáris algebra (ELTE Eötvös Kiadó 1996) 3 Fried Ervin: Lineáris algebra (Tankönyvkiadó 1986)


145

Kovács Judit ELEKTRO TEC HNIKA-ELEKTRONIKA 137

Recommend Documents