KOTA TAHUN 2006

OLIMPIADE MATEMATIKA NASIONAL SELEKSI TINGKAT KABUPATEN/KOTA TAHUN 2006 BAGIAN PERTAMA Pilih satu jawaban yang paling benar. Dalam hal lebih dari satu jawaban yang benar, pilih jawaban yang paling baik. 1.

Jumlah tiga bilang prima yang lebih besar dari 50 adalah….. A. 169 B. 171 C. 173 D. 175 E. 177

2.

Dalam sebuah kotak terdapat 5 bola merah dan 10 bola putih. Jika diambil dua bola secara bersamamaan, peluang memperoleh dua bola berwarna sama adalah ….. 1 1 2 10 11 B. C. D. E. A. 2 4 21 21 21 1 , maka X = …… Jika X = 1 2+ 1 2+ 2 2 5 4 9 12 B. C. D. E. A. 9 12 9 4 5

3.

4.

Pada segitiga ABC, jika titik F membagi sisi AC dalam perbandingan 1:2. Misalkan G titik tengah BF dan E titik perpotongan antara sisi BC dengan AG. Maka titik E membagi sisi BC dalam perbandingan ….. A. 1 : 4 B. 1 : 3 C. 2 : 5 D. 4 : 11 E. 3 : 8

5.

Dalam suatu pertemuan terjadi 28 jabat tangan (salaman). Setiap dua orang saling berjabat tangan paling banyak sekali. Banyaknya orang yang hadir dalam pertemuan tersebut paling sedikit adalah….. A. 28 B. 27 C. 14 D. 8 E. 7

6.

Gaji David lebih banyak 20% daripada gaji Andika. Ketika Andika memperoleh kenaikan gaji, gajinya menjadi lebih banyak 20% daripada gaji David. Persentase kenaikan gaji Andika adalah…. A. 0,44 B. 20 C. 44 D. 144 E. tidak dapat ditentukan dengan pasti.

JAFAR/SMAN 1 BONTOA/MAROS

7

7.

Misalkan T adalah himpunan semua titik pada bidang-xy yang memenuhi x + y ≤ 4 . Luas daerah T adalah ….. A. 4

B. 8

C. 12

D. 16

E. 32

8.

Didefinisikan a * b = a + b +1, untuk semus bilalangan bulat a, b. Jika p memenuhi a*p = a, untuk semua bilangan bulat a, maka p adalah….. A. – 1 B. 0 C. 1 D. 2 E. Tidak ada yang memenuhi

9.

Setiap dong adalah ding, dan beberapa dung juga dong. X : Terdapat dong yang ding sekaligus dung. Y : Beberapa ding adalah dung. Z : Terdapat dong yang bukan ding. A. Hanya X yang benar B. Hanya Y yang benar C. Hanya Z yang benar D. X dan Y keduanya benar E. X, Y, dan Z semuanya salah.

10.

Banyaknya solusi pasangan bilangan persamaan 3x+5y=501 adalah…… A. 33 B. 34 C. 35 D. 36

bulat

positif

E. 37

BAGIAN KEDUA Isikan hanya jawaban saja pada tempat yang disediakan. 11.

Diketahui a + ( a+1) + ( a + 2 ) + …..+ 50 = 1139. Jika a bilangan positif, maka a = ……

12.

Diantara lima orang gadis, Arinta, Elsi, Putri, Rita, dan Venny, dua orang memakai rok dan tiga orang memekai celana panjang. Arinta dan Putri menggunakan jenis pakaian yang sama. Jenis pakaian Putri dan Elsi berbeda, demikian pula dengan Elsi dan Rita. Kedua gadis yang memakai rok adalah……

13.

Barisan 2,3,5,6,7,10,11,…. terdiri dari semua bilangan yang asli yang bukan kuadrat atau pangkat tiga bilangan bulat. Suku ke-250 barisan adalah …..

14.

Jika f(xy) = f(x + y) dan f(7) = 7, maka f(49) = ….


8

15.

Pada sebuah barisan aritmetika, nilai suku ke-25 tiga kali suku ke-5. Suku yang berniali dua kali nilai suku pertama adalah….

16.

Dimas memebeli majalah setiap 5 hari sekali, sedangkan Andre membeli majalah setiap 8 hari sekali. Kemarin Dimas membeli majalah. Andre membeli majalah hari ini. Keduanya paling cepat akan membeli majalah pada hari yang sama …. hari lagi. Nanang mencari semua bilangan empat-angka yang selisihnya dengan jumlah keempat angkanya adalah 2007. Banyaknya bilangan yang ditemukan Nanang tidak akan lebih dari…..

17.

18.

Parabola y = ax2 + bx + c memiliki puncak dengan koordinat (4,2). Jika titik (2,0) terletak pada parabola, maka abc = ….

19.

Sebua garis l1 mempunyai kemiringan – 2 dan melalui titik (p,-3). Sebuah garis lainnya, l2 tegak lurus terhadap l1 di titik (a,b) dan melalui titik (6,p). Bila dinyatakan dalam p , maka a = …..

20.

Pada segitiga ABC yang tumpul di C, titik M adalah titik tengah AB. Melalui C dibuat garis tegak lurus pada BC yang memotong AB di E. Dari M tarik garis memotong BC tegak lurus di D. Jika luas segitiga ABC adalah 54 satuan luas, maka luas segitiga BED adalah…


9

PEMBAHASAN OLIMPIADE MATEMATIKA TINGKAT KABUPATEN KOTA TAHUN 2006 OLEH: Drs JAFAR (SMAN 1 BONTOA MAROS) BAGIAN PERTAMA 1.

2.

Tiga bilangan prima yang lebih besar dari 50 adalah 53, 59, 61 Jumlahnya = 53 + 59 + 61 = 173 Jawab C

c c

5

2 15

Peluang dua bola berwarna merah sama : P(2m) =

=

2

10

Peluang dua bola berwarna putih sama : P(2p) =

c c

2 15 2

=

2 21

3 7

Jadi peluang memperoleh dua bola berwarna sama adalah 2 3 11 P(2m) + P(2p) = + = 21 7 21 Jawab E 3.

1

X=

1

2+

2+

1

=

1 2

2+

1 5 2

=

1 2+

2 5

=

1 5 = 12 12 5

Jawab B

4.

Perhatikan gambar segitiga ABC berikut: C Titik F membagi AC dalam perbandingan AF : FC = 1 : 2 dan FG : GB = 1:1

E F

G

E titik potong sisi BC dengan AG A

Teorema Menelaos: JAFAR/SMAN 1 BONTOA/MAROS

10

B

CA AG BE x x =1 FA GF EC 3 1 BE ⇔ x x =1 1 1 EC BE 1 ⇔ = EC 3 ⇔ BE : EC = 1 : 3 Jawab B 5.

Dalam suatu pertemuan terjadi 28 jabat tangan (salaman). Setiap dua orang saling berjabat tangan paling banyak sekali, sehingga: n c2 = 28, n = banyaknya orang yang bersalaman

n! = 28 (n − 2)!.2! n.(n − 1)(n − 2)! ⇔ = 28 (n − 2)!.2.1 n.(n − 1) ⇔ = 28 2 ⇔ n 2 − n = 56

⇔

⇔ n 2 − n − 56 = 0 ⇔ (n − 8)(n + 7) = 0 ∴ n = 8 ∨ n = −7 Untuk n = - 7 tidak memenuhi, jadi banyaknya orang yang hadir dalam pertemuan tersebut adalah 8 orang. Jawab D 6.

7.

Gaji David lebih banyak 20% dari pada gaji Andika. Misalkan gaji Andika = Rp X Gaji David (D) = X + 20% x X = X + 0,2X = 1,2X ……(*) Ketika Andika memperoleh kenaikan gaji, gajinya lebih banyak 20% daripada gaji david atau: Gaji Andika = D + 20%D = 1,2D = 1,2 . 1,2X = 1,44X sehingga kenaikan gaji Andika = 1,44X – X = 0,44X. 0,44 X Jadi persentase kenaikan gaji Andika = x100% = 44% Jawab C X x + y ≤ 4 , andaikan x + y = 4 , sehingga untuk x = 0, maka y = 4 ⇔ y = ±4 untuk y = 0, maka x = 4 ⇔ x = ±4 dengan demikian persamaan x + y = 4 memotong sumbu X di titik (4,0) dan (- 4,0) serta memotong sumbu Y di titik (0,4) dan (0,-4).


11

Grafiknya: Y 4

-4

0

4

X

-4

T adalah himpunan semua titik pada bidang –XY yang memenuhi x + y ≤ 4 . Daerah T berbentuk persegi dengan panjang sisi: p = 42 + 42 = 4 2 ∴ Luas daerah T = 4 2 × 4 2 = 32 satuan luas Jawab: E 8.

a*b = a + b + 1, untuk semua bilangan bulat a,b. Jika p memenuhi untuk a*p=a, untuk semua bilangan bulat p, maka: a*p = a ⇔a+p+1=a ∴ p = -1 Jawab A

9.

Setiap dong adalah ding, dan beberapa dung juga dong Untuk menjawab soal ini gunakan diagram ven.

10.

Jawab : X : Terdapat dong yang ding sekaligus dung. ( benar) Y : Beberapa ding adalah dung. (benar) Z : Terdapat dong yang bukan ding. ( salah) Jawab D. X dan Y keduanya benar. Persamaan 3x + 5y = 501 Mencari GCD(3,5) dengan Algoritma Euclide: 5=1x3+2 3=1x2+1 2=2x1+0 Jadi GCD(3,5) = 1. Karena 1 501 maka persamaan diatas mempunyai penyelesaian. Menentuka 1 sebagai kombinasi 3 dan 5. 1=3–1x2 = 3 – 1 x (5 – 1 x 3) =2x3–1x5


12

Kalikan kedua ruas dengan 501 501 = 1002 x 3 -501 x 5 Sehingga didapat x0 = 1002 , y 0 = −501 diperoleh penyelesaian umum: 5 x = 1002 + k ⇔ x = 1002 + 5k 1 3 y = -501 - k ⇔ y = - 501 – 3k, dengan k parameter bilangan bulat. 1 Untuk k = 168 diperoleh x = 162, y = 3 Untuk k = 169 diperoleh x = 157, y = 6 Untuk k = 170 diperoleh x = 152, y = 9 . . . Untuk k = 200 diperoleh x = 2 , y = 99 Ternyata nilai x dan y untuk bulat positif membentuk barisan aritmetika. Barisan nilai y mempunyai suku pertama 3, beda 3 dan suku terakhir 99, sehingga: U n = U 1 + (n − 1)b ⇔ 99 = 3 + (n − 1)3 ⇔ 3n = 99 ∴ n = 33 Jadi banyaknya solusi bilangan bulat positif persamaan 3x + 5y = 501 adalah 33. Cara lain: x = 1002 + 5k ⇔ 1002 + 5k > 0 ⇔ k > −200,4 y = − 501 − 3k ⇔ −501 − 3k > 0 ⇔ k < −167 sehingga: − 200,4 < k < −167 , dengan k parameter bilangan bulat. nilai k yang memenuhi sebanyak 33, yaitu -200,-199,…,-168. Jadi banyaknya solusi bilangan bulat persamaan itu adalah 33. Jawab A

BAGIAN KEDUA 11.

a + (a + 1) + (a + 2) + ….. + 50 = 1139 sehingga : U n = 50 ⇔ a + (n − 1)b = 50 ⇔ a + n = 51 ⇔ n = 51 − a . (b=1) S n = 1139 1 ⇔ n(a + 50) = 1139 2 1 ⇔ (51 − a )(a + 50) = 1139 2 ⇔ 51a − 50a − a 2 + 2550 = 2278 ⇔ a 2 − a − 272 = 0


13

⇔ (a − 17)(a + 16) = 0 ⇔ a = 17 atau a = −16 oleh karena a bilangan positif, jadi a = 17. 12.

Ada lima gadis Anita, Elsi, Putri, Rita dan Venny. Dua orang memekai rok dan tiga orang memakai celana panjang. Anita dan Putri mengggunakan jenis pakaian yang sama: A = P Jenis pakaian Putri dan Elsi berbeda : P ≠ E demikian juga Elsi dan Rita berbeda: E ≠ R Sehingga: A=P P ≠ E E ≠R ∴A= P = R Pakaian Anita, Putri , dan Rita sama yaitu celana panjang. Jadi gadis yang memakai rok adalah Elsi dan Venny.

13.

Barisan 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11…. terdiri dari semua bilangan asli yang bukan kuadat atau pangkat tiga bilangan bulat. Barisan kuadrat bilangan bulat: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, …. Barisan pangkat tiga bilangan bulat: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, … Suku ke- 250 bariasan bilangan asli yang bukan kuadrat atau pangkat tiga bilangan bulat adalah: U 250 = 251 + 15 + 4 = 270

14.

Diketahui f(xy) = f(x + y) dan f(7) = 7 f(xy) = f(x +y) ⇔ f(7.1) = f(7 + 1) ⇔ f(7) = f(8) ⇔ f(8.1) = f(8 + 1) ⇔ f(8) = f(9) ⇔ f(9.1) = f(9 + 1) ⇔ f(9) = f(10) ……f(48) = f(49) = 7. Pada sebuah barisan aritmetika, nilai suku ke-25 tiga kali suku ke-5 dapat ditulis U 25 = 3U 5 ⇔ U 1 + 24b = 3(U 1 + 4b) ⇔ U 1 = 6b , sehingga barisan aritmetika tersebut” 6b,7b,8b,...., (n + 5)b Jadi suku yang bernilai dua kali nilai suku pertama atau 2U 1 = 12b ⇔ 2U 1 = (7 + 5)b ⇔ 2U 1 = U 7 , suku ke-7 dua kali suku pertama. U n = 2U 1 ⇔ (n + 5)b = 12b ⇔ n + 5 = 12

15.

∴n = 7 16.

Dimas membeli majalah setiap 5 hari sekali. Kemarin Dimas membeli majalah, sehingga Dimas beli lagi setelaha hari ke : 4, 9, 14, 19, 24, …..


14

Andre membeli majalah setiap 8 hari sekali, Andre membeli majalah hari ini, berikutnya Andre beli lagi setelah hari ke : 8,16, 24, … Jadi keduanya akan beli majalah pada hari yang sama 24 hari lagi. 17.

Bilangan empat angka yang selisihnya dengan jumlah keempat angkanya adalah 2007 adalah 2010, 2011, 2012, 2013, 2014, 2015, 2016, 2017, 2018, 2019. Jadi banyaknya bilangan yang ditemukan Nanang tidak akan lebih dari 5.

18.

Parabola y = ax 2 + bx + c memiliki puncak dengan kordinat (4,2), sehingga persamaannya: y = a( x − 4) 2 + 2 …….(*) Titik (2,0) terletak pada parabola, memenuhi persamaan (*): 1 0 = a(2 − 4) 2 + 2 ⇔ a = − 2 1 Substitusi a = − ke persamaan (*): 2 1 1 y = − ( x − 4) 2 + 2 ⇔ y = − ( x 2 − 8 x + 16) + 2 2 2 1 2 y = − x + 4x − 6 2 1 Sehingga nilai a = − , b = 4, dan c = - 6 2 1 Jadi abc = − x 4 x(−6) = 12 2 Garis l1 mempunyai kemiringan – 2 dan melalui titik (p,-3). Garis l 2 tegak lurus terhadap l1 di titik (a,b) dan melalui (6,p), sehingga: b+3 = −2 ⇔ b + 3 = −2a + 2 p ⇔ b = −2a + 2 p − 3 …….(1) a− p 1 p−b 1 l 2 ⊥ l1 ⇔ ml1 .ml2 = −1 ⇔ ml2 = ⇔ = 2 6−a 2 ⇔ 2 p − 2b = 6 − a ……..(2) Substitusi persamaan (1) ke (2): 2 p − 2(−2a + 2 p − 3) = 6 − a

19.

⇔ 5a = 2 p 2 p 5 Perhatikan gambar segitiga ABC yang tumpul di C, titik M adalah titik tengah AB. Melalui C dibuat garis tegak lurus pada BC yang memotong AB di titik E. Dari M tarik garis memotong BC tegak lurus di D. ∴a =

20.


15

C D α

A

E

M

B

Luas segitiga ABC = 54 satuan luas 1 BM = AB …………………………………………..(1) 2 Perhatikan: ∆ BEC ≈ ∆ ABC, sehingga: BD BM = ⇔ BD.BE = BM .BC …………….(2) BC BE Substitusi persamaan (1) ke persamaan (2): 1 BD.BE = AB.BC ⇔ 2 BD.BE = AB.BC ……(3) 2 1 L∆ ABC = AB.BC. sin α 2 1 108 …………………..(4) ⇔ 54 = AB.BC. sin α ⇔ sin α = 2 AB.BC Substitusi persamaan (3) ke-(4), diperoleh: 108 54 sin α = ⇔ sin α = …………………………..(5) 2 BD.BE BD.BE Jadi luas segitiga BED adalah: 1 54 1 L∆ BED = BD.BE. sin α = BD.BE. 2 BD.BE 2 = 27 satuan luas


16


17

KOTA TAHUN 2006

Recommend Documents