KOORDINÁTAGEOMETRIAI MÓDSZEREK ÖSSZEHASONLÍTÓ ELEMZÉSE ÉS KÜLÖNBÖZİ SZÍNTŐ ALKALMAZÁSAIK. Doktori (PhD) értekezés. Szerzı: Kiss Sándor

KOORDINÁTAGEOMETRIAI MÓDSZEREK ÖSSZEHASONLÍTÓ ELEMZÉSE ÉS KÜLÖNBÖZİ SZÍNTŐ ALKALMAZÁSAIK Doktori (PhD) értekezés

Szerzı: Kiss Sándor Témavezetı: Kovács Zoltán Debreceni Egyetem Természettudományi Doktori Tanács Matematika- és számítástudományok Doktori Iskola Debrecen, 2010

Ezen értekezést a Debreceni Egyetem Természettudományi Doktori Tanács Matematika- és számítástudományi Doktori Iskola Matematika-Didaktika programja keretében készítettem a Debreceni Egyetem természettudományi doktori (PhD) fokozatának elnyerése céljából. Debrecen, 2010. . . . . . . . . . .

a jelölt aláírása

Tanúsítom, hogy Kiss Sándor doktorjelölt 2001-2009 között a fent megnevezett Doktori Iskola Matematika-Didaktika programjának keretében irányításommal végezte munkáját. Az értekezésben foglalt eredményekhez a jelölt önálló alkotó tevékenységével meghatározóan hozzájárult. Az értekezés elfogadását javasolom.

Debrecen, 2010. . . . . . . . . . .

a témavezetı aláírása

KOORDINÁTAGEOMETRIAI MÓDSZEREK ÖSSZEHASONLÍTÓ ELEMZÉSE ÉS KÜLÖNBÖZİ SZÍNTŐ ALKALMAZÁSAIK

Értekezés a doktori (Ph.D.) fokozat megszerzése érdekében a matematika tudományágban

Írta: Kiss Sándor okleveles matematikus Készült a Debreceni Egyetem Matematika- és számítástudományok doktori iskolája (Matematika-Didaktika programja) keretében Témavezetı: Dr. Kovács Zoltán

A doktori szigorlati bizottság: elnök: Dr. Páles Zsolt tagok: Dr. Ambrus András Dr. Kántor Sándorné

…………..……… …………..……… …………..………

A doktori szigorlat idıpontja: 2009. október 21.

Az értekezés bírálói: Dr. …………………… Dr. …………………… Dr. ……………………

A bírálóbizottság: elnök: tagok:

Dr. …………………… Dr. …………………… Dr. …………………… Dr. …………………… Dr. ……………………

…………………….. …………………….. …………………….. …………………….. ……………………..

Az értekezés védésének idıpontja: 2010. ……………… … .

Tartalomjegyzék Jelölések 0. Bevezetés ..................................................................................................... 1 0.1. A témaválasztás indoklása .................................................................... 1 0.2. Az értekezés célkitőzései ...................................................................... 3 0.3. Az értekezés szerkezete ........................................................................ 4 0.4. Az értekezés eredményei ...................................................................... 5 0.5. The Results of the Dissertation ............................................................. 6 0.6. Az értekezés fogalmi kerete és a szükséges háttér-ismeretek............... 8 a) Vektortér .............................................................................................. 8 b) Báziscsere ............................................................................................ 9 c) Az affin tér Weyl-féle axiómarendszere .............................................. 9 d) Affin koordinátarendszer ................................................................... 10 e) Skaláris szorzat .................................................................................. 11 f) Euklideszi tér...................................................................................... 11 1. fejezet Koordinátarendszerek és koordináták az euklideszi síkon...... 13 1.1. Vonatkoztatási rendszerek a síkon ...................................................... 13 1.2. Derékszögő koordinátarendszerek és koordináták.............................. 15 1.3. Ferdeszögő koordinátarendszerek és koordináták .............................. 15 1.4. Kontravariáns és kovariáns koordináták ............................................. 16 1.5. Valódi trilineáris koordináták ............................................................. 18 1.6. Trilineáris koordináták........................................................................ 21 1.7. Baricentrikus koordináták ................................................................... 22 1.8. Normált baricentrikus koordináták ..................................................... 25 1.9. Areális vagy területi koordináták ........................................................ 26 2. fejezet Koordinátatranszformációk........................................................ 27 2.1. A derékszögő és kontravariáns koordináták közötti összefüggések ... 30 2.2. A kontravariáns és kovariáns koordináták közötti összefüggések...... 32 2.3. A derékszögő és kovariáns koordináták közötti összefüggések ......... 33 2.4. A valódi trilineáris és kontravariáns koordináták közötti összefüggések .................................................................................................................... 34 2.5. A valódi trilineáris és kovariáns koordináták közötti összefüggések . 35 2.6. A trilineáris és kontravariáns koordináták közötti összefüggések ...... 37 2.7. A trilineáris és kovariáns koordináták közötti összefüggések ............ 37 2.8. A baricentrikus és kontravariáns koordináták közötti összefüggések 38 2.9. A normált baricentrikus és kontravariáns koordináták közötti összefüggések............................................................................................. 39 2.10. A baricentrikus és kovariáns koordináták közötti összefüggések..... 40

2.11. A normált baricentrikus és kovariáns koordináták közötti összefüggések ............................................................................................ 41 2.12. A normált baricentrikus és valódi trilineáris koordináták közötti összefüggések ............................................................................................ 41 2.13. A baricentrikus és valódi trilineáris koordináták közötti összefüggések ............................................................................................ 42 2.14. A derékszögő és valódi trilineáris koordináták közötti összefüggések ................................................................................................................... 42 2.15. A derékszögő és trilineáris koordináták közötti összefüggések ....... 44 2.17. A derékszögő és baricentrikus koordináták közötti összefüggések.. 45 3. fejezet Síkmértani alakzatok és a közöttük levı kapcsolatok algebrai jellemzése különbözı koordináta-fajtákban ............................................. 47 3.1. Két pont távolsága. Szakasz hossza.................................................... 47 3.2. Szakaszt adott arányban osztó pont koordinátái................................. 50 3.3. Két pont által meghatározott egyenes egyenlete ................................ 51 3.4. Három pont kollinearitási feltétele ..................................................... 51 3.5. Három egyenes összefutási feltétele................................................... 52 3.6. A háromszög területe.......................................................................... 53 3.7. Két egyenes párhuzamossági feltétele................................................ 56 3.8. Adott ponton átmenı adott egyenessel párhuzamos egyenes egyenlete ................................................................................................................... 58 3.9. Két egyenes merılegességi feltétele................................................... 60 3.10. Adott ponton átmenı adott egyenesre merıleges egyenes egyenlete61 3.11. Pontnak egyenestıl mért távolsága................................................... 64 3.12. Két egyenes hajlásszöge ................................................................... 67 3.13. A Conway-féle képletek ................................................................... 69 4. fejezet Alkalmazások............................................................................... 74 4.1. A kúpszeletek egyenletei derékszögő és polárkoordinátákban .......... 74 a) A kúpszeletek fokális egyenletei ....................................................... 74 b) A kúpszeletek fokális egyenletei polárkoordinátákban..................... 76 4.2. A kúpszeletek egyenletei ferdeszögő koordinátarendszerekben ........ 77 a) Az ellipszis egyenlete a konjugált irányok koordinátarendszerében. 77 b) A hiperbola egyenlete a konjugált irányok koordinátarendszerében 80 c) A parabola egyenlete egy érintıirány és a tengelyirány koordinátarendszerében ......................................................................... 82 d) A hiperbola egyenlete aszimptotáinak koordinátarendszerében ....... 85 e) A kúpszeletek érintıinek egyenletei ferdeszögő koordinátarendszerekben ....................................................................... 86 f) A hiperbola érintıinek egyenlete az aszimptoták koordinátarendszerében ......................................................................... 88 g) Kúpszeletekkel kapcsolatos tulajdonságok bizonyítása.................... 88 4.3. Az egyenlı szárú hiperbola egyenleteirıl .......................................... 94

a) Konjugált hiperbolák ......................................................................... 96 b) Az egyenlı szárú hiperbola, mint racionális függvény grafikus képe ................................................................................................................ 97 c) Módszertani javaslatok a kúpszeletek tanításához........................... 100 4.4. Az általánosított Fermat-pontok metrikus jellemzése....................... 105 I. A háromszög elsı általánosított Fermat-pontja .................................... 107 a) Az AD, BE és CF szakaszok hossza ............................................... 108 b) Az elsı általánosított Fermat-pont távolsága a vonatkoztatási háromszög csúcsaitól ........................................................................... 109 c) Az AK, BK és CK szakaszokra vonatkozó összefüggések ............... 110 II. A háromszög második általánosított Fermat-pontja............................ 111 a) Az AL, BM és CN szakaszok hossza.............................................. 112 b) A második általánosított Fermat-pont távolsága a vonatkoztatási háromszög csúcsaitól ........................................................................... 112 c) Az AT, BT és CT szakaszokra vonatkozó összefüggések ............... 112 III. Sajátos eset......................................................................................... 113 IV. Módszertani elemzések és a témához kapcsolódó más eredmények . 115 4.5. A Kimberling-féle sejtés igazolása kontravariáns koordináták alkalmazásával ......................................................................................... 116 Irodalomjegyzék......................................................................................... 126 A szerzınek az értekezéssel kapcsolatos publikációi .............................. 128 A szerzı elıadásai........................................................................................ 130 1. Függelék. Koordinátatranszformációk (Összefoglalás)...................... 133 Köszönetnyilvánítás ................................................................................... 137

Jelölések Az ABC háromszög oldalhosszait jelölje a=BC, b=CA, c=AB, szögeinek mértékét A, B, C, területét pedig σ : σ = TABC . Értekezésemben, a hagyományosak mellett, a John H. Conway által bevezetett alábbi jelöléseket is fogom használni. Az ABC háromszög területének készeresét jelölje S: S = 2σ = 2TABC . Tehát a háromszög területképletei alapján: S = bc sin A = ca sin B = ab sin C = abc = 4 R 2 sin A sin B sin C = 2 sr = ( a + b + c ) r , 2R ahol s az ABC háromszög félkerülete, R a körülírt, r pedig a beírt kör sugara. Ha θ egy valós szám, akkor legyen Sθ = S ⋅ ctgθ , ahol θ ≠ kπ , k ∈ ℤ . Következésképpen: b2 + c2 − a2 S A = bc cos A = , 2 c2 + a 2 − b2 S B = ca cos B = , 2 a2 + b2 − c 2 SC = ab cos C = . 2 Ha θ , ϕ ∈ ℝ , akkor legyen Sθϕ = Sθ ⋅ Sϕ = S 2 ctgθ ⋅ ctgϕ . Tehát =

S BC = S B ⋅ SC = a 2bc cos B cos C , SCA = SC ⋅ S A = ab 2 c cos C cos A S AB = S A ⋅ S B = abc 2 cos A cos B . Fennállnak az alábbi összefüggések: (1) S B + SC = a 2 , SC + S A = b 2 , S A + S B = c 2 (2) S B − SC = c 2 − b 2 , SC − S A = a 2 − c 2 , S A − S B = b 2 − a 2 a2 + b2 + c2 2 + SCA + S AB = S 2

(3) S A + S B + SC = (4) S BC

(5) bS B + cSC = − ( b + c )( S A − bc ) , cSC + aS A = − ( c + a )( S B − ca ) ,

aS A + bS B = − ( a + b )( SC − ab )

(6) bS B − cSC = − ( b − c )( S A + bc ) , cSC − aS A = − ( c − a )( S B + ca ) ,

aS A − bS B = − ( a − b )( SC + ab )

(7) a 2 S A + b 2 S B + c 2 SC = 2 S 2

(8) a 2 S A + S BC = b 2 S B + SCA = c 2 SC + S AB = S 2 Az elsı három összefüggés ellenırzéssel azonnal igazolható. A (4) egyenlıség bizonyítása: S BC + SCA + S AB = abc ( a cos B cos C + b cos C cos A + c cos A cos B ) = = a 2bc ( cos A + cos B cos C ) = a 2bc sin B sin C = ( 2σ ) = S 2 . Az (5) elsı egyenlıségét bizonyítjuk: 1 bS B + cSC = abc ( cos B + cos C ) = ( bc 2 + ba 2 − b3 + ca 2 + cb 2 − c 3 ) = 2 1 = ( b + c ) ( a 2 + 2bc − b 2 − c 2 ) = − ( b + c )( S A − bc ) . 2 A (6) összefüggések bizonyítása a fentihez hasonló módon történik. A (7) egyenlıség bizonyítása: 2σ a 2 S A + b 2 S B + c 2 SC = abc ( a cos A + b cos B + c cos C ) = abc = 8σ 2 = 2 S 2 . R A (8) egyenlıségsor bizonyítása: a 2 S A + S BC = a 2bc ( cos A + cos B cos C ) = a 2bc sin B sin C = 4σ 2 = S 2 . 2

0. Bevezetés 0.1. A témaválasztás indoklása Az 1990-es évek második felében háromszög-geometriával, ezen belül pedig a háromszöghöz kapcsolódó nevezetes körök tanulmányozásával foglalkoztam. Valamilyen átfogó, általános képet szerettem volna kialakítani magamban a háromszög körülírt, beírt, kilencpontos, továbbá Apollóniosz-, Taylor-, Brocard-féle körérıl, valamint a háromszög Tucker-, Lemoine-, Soddy-féle köreirıl. De nemcsak maguk e nevezetes körök, hanem a háromszögnek e körökhöz köthetı nevezetes pontjai és egyenesei is nagyon érdekeltek. Az általam akkor elérhetı szakkönyvekre fıleg az volt a jellemzı, hogy a háromszög-geometria elıbb említett témáit jobbára az elemi geometria módszereinek és eszközeinek segítségével tárgyalták. Ezen a területen viszont ezek a módszerek nehézkesnek, körülményesnek bizonyultak, ezért az analitikus geometria felé fordultam. Mivel a háromszöghöz a ferdeszögő koordinátarendszer jobban illeszthetı, mint a derékszögő (tengelyekként választhatjuk például a háromszög két tartóegyenesét), ezért a paralel-koordináták használatától az egész témakör egyszerőbb és hatékonyabb tárgyalását reméltem. Ugyanakkor helyenként a vektorgeometria eszközeit is igénybe vettem, azt az alapelvet tartva szem elıtt, hogy egy (geometriai) probléma megoldására-tárgyalására lehetıleg a legelınyösebb módszert alkalmazzam. A témával való több éves foglalkozásomnak egy könyv lett a hozadéka, amely 1999-ben az Erdélyi Tankönyvtanácsnál jelent meg A háromszög nevezetes körei. Háromszögmértan ferdeszögő koordinátákkal címen. Könyvemet Orbán Béla, volt egyetemi tanárom, a kolozsvári Babeş-Bolyai Tudományegyetem nyugalmazott professzora lektorálta. Az elıszót is ı írta, amelybıl a továbbiakban idézek néhány sort: „...sokan a geometria vonzerejét éppen a jó (nem sablonos) ötleteken alapuló szintetikus (elemi) módszer használatában látják, az analitikus (koordinátageometriai) módszert egyhangúnak, fárasztónak, kevesebb sikerélményt nyújtónak tartják. Véleményem szerint ez nincs így, mivel ha a geometriát tanulmányozó vagy feladatot megoldani akaró személy az analitikus apparátust jól uralja, annak számára a számítások, képletek mind geometriai mondanivalót hordoznak, s ezért érdekesek. Külön élményt nyújt az algebrai

1

úton kapott eredmények geometriai kiértékelése, mellyel sokszor új mértani összefüggéseket lehet felfedezni. Bıven találunk erre példát a könyvben, mikor a szerzı feladatokon keresztül, igen ötletesen mutatja meg az általa választott módszer különbözı lehetıségeit. […] A könyv a háromszög-geometriára vonatkozóan rengeteg fogalmat és képletet tartalmaz. Ezáltal mintegy a háromszögmértan kis enciklopédiájának tekinthetı, melyben könnyen megtalálható a szükséges fogalom vagy képlet. Ezt nagyban elısegíti a könyvhöz csatolt formulagyőjtemény. […] Az egész könyv a szerzı hatalmas munkáját, odaadását és a tárgy iránti lelkesedését tükrözi, ugyanakkor didaktikai érzékét, hozzáértését bizonyítja. A könyv nyelvezete egyszerő, világos és tömör. Véleményem szerint e munka több szempontból is hiánypótló a hazai (értsd: a romániai) magyar nyelvő tudományos, népszerősítı és didaktikai szakirodalomban.” A könyvem megjelenése után, matematikai foglalatosságaim között, annak tárgya ugyan kissé háttérbe szorult, de érdeklıdésem a koordinátageometriai módszerek iránt megmaradt. Sıt ez az érdeklıdés fokozódott, mivel nemzetközi szakfolyóiratokban több olyan cikkel találkoztam, amelyekben általam akkor még ismeretlen koordináta-fajtákat (trilineáris, baricentrikus) alkalmaztak fıleg síkmértani tételek, tulajdonságok bizonyítására. Késıbb arra is felfigyeltem, hogy a romániai vagy a magyarországi matematikai szakfolyóiratokban például a trilineáris és a baricentrikus koordináták szinte alig fordulnak elı, míg a helyzet egészen más a nyugateurópai vagy az amerikai matematikai szaklapok esetében. A 2000-es évek elején eldöntöttem, hogy amennyire körülményeim lehetıvé teszik, elmélyülök ezekben a kérdésekben és ezen a helyzeten megpróbálok változtatni. De azt is élénken éreztem, hogy a szellemi élet perifériáján, az igazi tudományos centrumoktól távol élve, ez nem lesz könnyő feladat. Ezért tudatosan elkezdtem keresni egy szervezett továbbképzési keretetlehetıséget, ahol szakkönyvek, folyóiratok, dokumentálódási lehetıségek vannak, emellett pedig az ösztönzı tudományos légkört megteremtı kutató matematikusokkal is kapcsolatot teremthetek. Keretnek kézenfekvı lehetıség volt a doktori képzés, tudományos központnak pedig a Debreceni Egyetem. Amint azt már említettem a nemzetközi szakfolyóiratokban számos olyan geometriai cikk, dolgozat, tanulmány jelent és jelenik meg, amelyekben az értekezésben tárgyalt koordináta-fajták valamelyikét alkalmazzák, egyre gyakrabban a trilineáris és a baricentrikus koordinátákat. Háromszög-geometriai és más jellegő kutatások szinte elképzelhetetlenek ma már e koordináták ismerete és alkalmazása nélkül. Ezek a meggondolások is indokolják e téma választását. A fogalmi meghatározásoknál forrásként és irányadónak [12]-t és [13]-at tekintettem. A lehetı legkevesebb fogalmat vezettem be, csupán

2

annyit, amennyire feltétlenül szükségem volt. Ugyanez érvényes a klasszikusnak számító, ismert eredményekre is, amelyek közül többet felhasználok, de csak valamely téma bevezetéseként, új eredmények elızményeként.

0.2. Az értekezés célkitőzései Jelen értekezés a matematikának az analitikus geometria néven ismert ágához kapcsolódik, amely elnevezést a [12]-ben leírt értelemben használom: „ az analitikus geometria (koordinátageometria) szőkebb értelemben a geometriának az az ága, amely a geometriai alakzatokat és a közöttük fennálló kapcsolatokat koordinátarendszer bevezetésével, az algebra (elsısorban a lineáris algebra) eszközeivel vizsgálja, vagyis a geometriai feladatokat szerkesztés és más szintetikus geometriai módszerek helyett számítással oldja meg. Feladata lényegében kettıs: meg kell találnia a geometriailag jellemzett alakzatokat leíró egyenleteket, majd ezekbıl geometriai következtetéseket kell levonnia. Ennek érdekében a koordinátarendszert arra használja, hogy a pontokat koordinátákkal, a geometriai objektumokat komponensekkel, azok kapcsolatait relációkkal jellemezze s ezáltal a számításra alkalmassá tegye. A tágabb értelemben vett analitikus geometria nemcsak az algebra, hanem pl. az analízis eszközeit is használja, s ebben az értelemben a differenciálgeometria is analitikus geometriának tekinthetı.” A doktori iskolába való felvételem (2001) után az alábbi célokat tőztem ki magamnak: - megismerni minél több vonatkoztatási rendszert és koordináta-fajtát, elmélyülni az analitikus geometriában - kipróbálni-alkalmazni a különbözı koordináta-fajtákat minél változatosabb geometriai helyzetekben-problémákra - megmutatni, hogy az analitikus geometria módszerei hogyan alkalmazhatók a kutatásban, új eredmények felfedezésében - népszerősíteni a koordinátageometriai módszereket, kiemelve elınyeiket és hátrányaikat egyaránt A következı évek a kutatás és tapasztalatszerzés jegyében teltek el és úgy 2006 körülre ezen a területen egy nagy mennyiségő ismeretanyag birtokába jutottam. Több cikk publikálása mellett egy könyvnyi anyagot is összeállítottam és 2008-ban a bukaresti Tankönyvkiadónál megjelent Analitikus geometriai módszerek komparatív vizsgálata címő könyvem, amelyért 2008-ban megkaptam a Romániai Magyar Pedagógusok Szövetsége által kétévenként kiosztásra kerülı Apáczai-díjat. Közben hazai és kölföldi doktorandusz szemináriumokon, nyári akadémiákon, konferenciákon, a

3

Magyar Tudomány Napja Erdélyben rendezvényein, stb. elıadásokat tartottam kutatási eredményeimrıl.

0.3. Az értekezés szerkezete Az értekezés a bevezetésbıl, négy fejezetbıl és egy függelékbıl áll. A 4. fejezet tartalmazza az alkalmazásokat. Az értekezést szerkezetileg az analógiára építettem fel, melyet hol az egyes fejezetek alfejezetei között, hol bizonyos alfejezeteken belül érvényesítek. Ennek következtében az értekezésnek vannak vagy teljesen azonos, vagy nagyon hasonló szerkezető részei. Ezek között a különbségeket csupán az eltérı fogalmi meghatározások jelentik. Ez a felépítés bizonyos szövegrészek szükségszerő ismétlésével jár ugyan, de mindenekelıtt azt tartottam szem elıtt, hogy a különbözı koordinátarendszerekhez kötıdı analitikus geometriai tárgyalási lehetıségek, eljárások, módszerek összehasonlítása minél könnyebb legyen. Az 1. fejezetben bevezetem a descartes-i koordinátarendszereket és koordinátákat valamint egy adott háromszöghöz kapcsolva a valódi és általános trilineáris illetve a baricentrikus és normált baricentrikus koordinátákat. Egyúttal megadom a háromszög bizonyos pontjainak utóbbi négy típusú koordinátáit. Minden esetben ugyanazokat a pontokat szerepeltetem, hogy a különbözı koordináta-típusok összehasonlítása és változásainak követése lehetséges legyen. A 2. fejezetben egymáshoz viszonyítva sajátos helyzető koordinátarendszerek leírásával foglalkozom, megadva ugyanazon pont különbözı koordináta-típusai közötti összefüggéseket, amelyek lehetıvé teszik, hogy az alakzatok koordinátageometriai jellemzıit át tudjuk írni egyik koordináta-fajtából egy másikba. Ez problémamegoldási lehetıségeinket kiszélesíti, változatosabbá teszi, mivel többé nem vagyunk kötve a legrégebbi és talán a leggyakrabban használt derékszögő koordinátarendszerhez. A 3. fejezetben a geometriai tulajdoságokat különbözı fajtájú koordinátákban tárgyalom. A geometriai alakzatok algebrai jellemzıit elıször derékszögő koordinátákban adom meg, majd áttérek más, az 1. fejezetben felsorolt koordináta-fajtákra. Itt a legelemibb és legismertebb geometriai fogalmakra szorítkoztam, mintegy ízelítıt nyújtva csupán a komparatív tárgyalás mibenlétébıl. A 4. fejezet tartalmazza az alkalmazásokat, amelyek középpontjába most nem a feladatmegoldásokat helyeztem. Az elsı három fejezet ismereteit felhasználva lehetıség nyílik a geometriai feladatok változatos, több módszerrel történı analitikus megoldására. A 4.1., 4.2. és 4.3. alkalmazásokban a kúpszeletekkel foglalkozom. E részek az ismert

4

eredményeket néhány újjal egészítik ki, amelyek fıleg a ferdeszögő koordinátarendszerek használatához kötıdnek. Például kiderül, hogy az ellipszis és a hiperbola kanonikus egyenletei formailag változatlanok maradnak a konjugált irányok koordinátarendszerében. Parabola esetén a tengelyirány és egy érintıirány koordinátaendszerében lesz a parabola egyenlete formailag ugyanaz, mint a kanonikus egyenlete. A 4.3. alfejezetben az egyenlı szárú hiperbola különbözı egyenleteivel foglalkozom. Itt bizonyítom, hogy egy elsıfokú racionális kifejezéssel megadott egyváltozós függvény grafikus képe egyenlı szárú hiperbola. A 4.4. rész tárgya a Fermat-pontok általánosítása és ezek metrikus jellemzése. Végül az útolsó, 4.5. részben kerül sor a Kimberling-sejtés igazolására.

0.4. Az értekezés eredményei Értekezésemben analitikus geometriai módszerek összehasonlító vizsgálatával foglalkozom, síkbeli koordinátarendszerekre és koordinátákra korlátozva. Kétfajta vonatkoztatási rendszert használok. Az egyik a síkbeli affin koordinátarendszer, a másik egy adott háromszög. Az 1. fejezetben egy affin koordinátarendszerhez kötve három koordináta-fajtát értelmezek, éspedig a derékszögő, a kontravariáns és a kovariáns koordinátákat. Egy síkbeli háromszöghöz kapcsolva pedig négy koordináta-típust vezetek be: a valódi trilineáris, a trilineáris, a baricentrikus és a normált baricentrikus koordinátákat. A 2. fejezetben levezetem az összes transzformációs képletet, amelyeknek segítségével át lehet térni az egyik vonatkoztatási rendszerbıl a másikba illetve bármely koordináta-típusból bármely másikra. Az értekezés többi részében lényegében az itt levezetett eredményeket alkalmazom. A 3. fejezetben a síkmértani alakzatok és a közöttük fennálló kapcsolatok algebrai jellemzését adom meg mindkét vonatkoztatási rendszerben és az elıbb felsorolt koordináta-típusokban. Ennek a fejezetnek két sajátosságát emelném ki: az egyik az, hogy a geometriai tulajdonságok és feltételek analitikus leírása egységes tárgyalásban található meg benne. A másik pedig, hogy ennek következményeként lehetıség nyílik az algebrai összefüggések összehasonlítására, aminek az az azonnali elınye, hogy mérlegelhetı-eldönthetı egyik vagy másik feltétel relatív bonyolultsága, ami a számítások szempontjából nem jelentéktelen. Ugyancsak itt derül ki az is, hogy mely feltételek koordináta-függetlenek, azaz mely feltételek maradnak formálisan változatlanok a felsorolt koordináta-fajtákra. A 3. fejezet csupán illusztrációként szolgál arra, hogy a 2. fejezet eredményeit felhasználva hogyan lehet a különbözı algebrai feltételeket más-más koordinátafajtákra felírni.

5

A 4. fejezetben különbözı alkalmazásokat mutatok be. A kúpszeletek egyenletei különbözı koordinátarendszerekben és koordinátákban jól ismertek. A 4.1. alfejezetben bemutatok közülük néhányat. A 4.2.-ben pedig részletesen kifejtem és bizonyítom, hogy az ellipszis és a hiperbola egyenlete a konjugált irányok koordinátarendszerében formálisan megegyezik a kanonikus egyenletükkel. A parabolánál a tengelyirány és egy érintıirány koordinátarendszerében lesz a parabola egyenlete formálisan ugyanaz, mint a kanonikus egyenlete. A hiperbolának megadom az egyenletét aszimptotáinak koordinátarendszerében is. Ezek az eredmények átvihetık az érintık egyenleteire is. Igazolom, hogy az érintık egyenleteit a konjugált irányok koordinátarendszerében szintén az ún. duplázási eljárással kapjuk, mint a kanonikus egyenletek esetében. A 4.2. alfejezet utolsó pontjában nyolc, kúpszeletre vonatkozó, tulajdonságot analitikusan bizonyítok, ferdeszögő koordinátarendszereket használva. Az ismert elemi bizonyításokat összehasonlítva az itt található analitikus geometriai bizonyításokkal világosan kiderül, hogy ez utóbbiak alkalmazása bizonyos helyzetekben elınyösebb. A 4.3. alkalmazásban az egyenlı szárú (derékszögő) hiperbola különbözı formájú egyenletével foglalkozom és részletesen bizonyítom, hogy elsıfokú polinomokkal megadott racionális függvény grafikus képe egyenlı szárú hiperbola. Egyúttal levezetem egy ilyen hiperbola konjugáltjának egyenletét is. A 4.4. alkalmazásban az általánosított Fermat-pontok metrikus jellemzése baricentrikus koordináták alkalmazásával történik. Ebben az alfejezetben általánosítom a Fermat-pontokat, abban az értelemben, hogy egy adott háromszög oldalaira egyenlı oldalú háromszögek helyett egymással hasonló háromszögeket építek. Ez az általánosítás és a Fermat-pontok metrikus jellemzése hangsúlyozottan a trigonometriára épül. Ennek következtében az analitikus bizonyításon belül sok trigonometriai feltételes azonosság alkalmazására is sor kerül. A kapott eredmények elemi geometriai úton is levezethetık, de hosszadalmasabb, bonyolultabb számításokkal. Az 4.5. alkalmazásban egy sejtés bizonyításával foglalkozom, amely Clark Kimberlingtıl származik: Ha az ABC háromszög hegyesszögő, akkor talpponti háromszögének érintı és érintı háromszögének talpponti háromszöge homotétikusak.

0.5. The Results of the Dissertation In my dissertation I deal with the comparative study of analytic geometric methods restricted to plane coordinate systems and coordinates. I use two types of reference systems. This first one is the plane affine

6

coordinate system, while the second one is a given triangle. In the first chapter, related to the affine coordinate system I define three types of coordinates, namely Cartesian, contravariant and covariant coordinates, while related to a given triangle I define four types of coordinates, namely real trilinear, trilinear, barycentric and normed barycentric coordinates. In the second chapter I prove all the transformational formulas, which provide the possibility to switch between the reference systems, respectively from any type of coordinates to any other type of coordinates. In essence the rest of the dissertation is about the application of the results of this proof. In the third chapter I provide the algebraic properties of the relationships of plane figures in both reference systems in the above mentioned types of coordinates. The peculiarities of this chapter are that the analytic description of the geometric properties and conditions appears in a unified discussion and that it is possible to compare the algebraic connections whereby the immediate advantage is that you can decide how complicated each condition is, which is important from the point of calculations. Likewise, this is the chapter where those conditions emerge that are independent of coordinates, namely which conditions remain formally the same in the above mentioned types of coordinate. Thus the third chapter is just an illustration of how the results of the second chapter can be used in noting the different algebraic conditions for different types of coordinates. The fourth chapter includes the practical applications. The equations of conic sections in different coordinate systems and coordinates are wellknown. I show some in subchapter 4.1., while in 4.2. I fully explicate and prove that the canonical equation of the ellipsis and hyperbola is formally the same as their equation in the conjugate directions coordinate system. Connected to the parabola I found that its canonical equation is formally the same equation as in the axis directions and tangent directions coordinate systems. In the case of the hyperbola I also provide its equation in its asymptotes’ coordinates. These results can be transferred to the equations of the tangents. I prove that the equations of tangents in the conjugate directions coordinate system is also drawn with the help of so called doubling procedure as in the case of the canonical equations. In the last section of subchapter 4.2. I analytically prove some properties of eight conic sections using oblique coordinate systems. Comparing the well-known elementary proofs with these analytic geometric proofs, it clearly comes out that the application of the latter is more preferable in some situations. In the application in subchapter 4.3. I deal with the different forms of the equation of the rectangular hyperbole and I prove in detail that the graph of a function of one variable given with a first-grade rational polynom is a

7

rectangular hyperbola. I also deduce the conjugate equation of such a hyperbole. In the application in subchapter 4.4. the properties of the generalized Fermat points and their metric properties are presented with the help of barycentric coordinates. In this subchapter the Fermat points are generalized to the effect that I construct similar triangles instead of equilateral triangles on the sides of the triangle. This generalization and the metric properties of Fermat points are based on trigonometry; thus a lot of conditional trigonometric identities are used in the analytic proof. The results can be deduced using elementary geometry but the calculations are longer and more complicated. In the application in subchapter 4.5. I deal with the proof of Clark Kimberling’s conjecture: If triangle ABC is acute angled, then its intouch-of-orthic and orthic-of-intouch triangles are homothetic.

0.6. Az értekezés fogalmi kerete és a szükséges háttér-ismeretek a) Vektortér Valamely T test feletti V vektortéren vagy lineáris téren olyan halmazt értünk, amelyben értelmezve van egy kétváltozós mővelet (összeadás), amelyre V Abel-csoport, továbbá V és T elemei között egy olyan α a (ahol α ∈ T , a ∈ V ) szorzás, hogy α a ismét V eleme legyen és bármely a, b ∈ V és α , β ∈ T elemre: (1) (α + β ) a = α a + β a (2) α ( a + b ) = α a + α b (3) (αβ ) a = α ( β a ) (4)

1a = a , ahol 1 T-nek az egységeleme. A V elemeit vektoroknak, a T elemeit skalároknak, az α a szorzást skalárral való szorzásnak nevezik. Ha egy vektortérben van n-elemő bázis, akkor n-dimenziós vektortérrıl beszélünk. Az n-dimenziós vektortérben egy B = ( e1 ,… , en ) bázis megadásával (rögzítésével) koordinátarendszert vezethetünk be, mivel a tér bármely x vektora egyértelmően elıállítható x = x1e1 + ⋯ + xn en alakban. Az x1 ,… , xn skalárokat az x vektornak a B bázisra vonatkozó koordinátáinak nevezzük.

8

b) Báziscsere Ha V a T test feletti n-dimenziós vektortér, B = (e1 , L , en ) ennek egy bázisa, akkor az x ∈ V , x = x1e1 + L + x n en vektorhoz rendeljük hozzá az

x = [ x ]B

 x1    = ( xi ) =  ⋮  , i = 1, 2,..., n x   n n

oszlopmátrixot. Tekintsük az e j = ∑ aij ei , j = 1, 2,..., n vektorsorozatot. i =1

A B = (e1 , L , en ) vektorhalmaz akkor és csak akkor bázis, ha az

 a11  a = ( aij ) =  21  ⋮   an1

⋯ a1n   a22 ⋯ a2 n  A = [ e1 ,⋯ , en ]B ⋮ ⋯ ⋮   an 2 ⋯ ann  mátrix nem szinguláris. Ekkor A-t a B bázisról a B bázisra való áttérési  x1   x1      mátrixnak hívjuk. Ha x = [ x ]B = ( xi ) =  ⋮  és x = [ x ]B = ( xi ) =  ⋮  , x  x   n  n a12

i = 1, 2,..., n , akkor az x vektor B és B bázisokra vonatkozó koordinátái n

között az

xi = ∑ aij x j , i = 1, 2,..., n összefüggések állnak fenn, melyeket j =1

mátrix alakban a következıképpen írhatunk: [x]B = A ⋅ [x]B ⇔ [x]B = A −1 ⋅ [x]B .

c) Az affin tér Weyl-féle axiómarendszere Legyen V a T test feletti vektortér. A nem üres E halmazt a V vektortér feletti (vagy a T test feletti) affin térnek nevezzük, ha létezik egy σ : E × E → V leképezés, amely eleget tesz a következı két feltételnek (Weyl-féle axiómák): W1 : Tetszıleges A ∈ E esetén a σ A ( B ) = σ ( A, B ) képlettel értelmezett

σ A : E → V leképezés bijekció.

9

W2 : Tetszıleges A, B, C ∈ E esetén σ ( A, B ) + σ ( B, C ) = σ ( A, C ) .

Az E tér elemeit pontoknak, a V elemeit az E eltolásainak vagy (szabad) vektorainak, a V vektorteret az E affin tér eltolási terének nevezzük. Tetszıleges ( A, B ) rendezett E-beli párt a σ : E × E → V leképezés egy  σ ( A, B) = v ∈ V vektorba visz át. Ha ezt a vektort AB -vel jelöljük, akkor a    W2 -beli egyenlıség az AB + BC = AC alakba írható. Ha az E affin tér eltolásainak V tere n-dimenziós, akkor az E teret magát is n-dimenziósnak nevezzük.

d) Affin koordinátarendszer Legyen E a T test feletti n-dimenziós affin tér és V az E eltolási tere. Affin koordinátarendszernek vagy affin n-élnek az E tér olyan rendezett  K = ( O, E1 ,… , En ) pontrendszerét nevezzük, amelyekre az ei = OEi

( i = 1,…, n )

vektorok a V vektortér egy bázisát alkotják. Ha adott az O ∈ E

pont és egy B = ( e1 ,… , en ) V-beli bázis, akkor az Ei pontokat meg tudjuk

határozni. Ezért a K = ( O, E1 ,… , En ) helyett gyakran a K = ( O, e1 ,… , en ) jelölést használjuk. Az O pontot a K koordinátarendszer kezdıpontjának, az ei vektorokat pedig koordinátavektoroknak nevezzük. Tetszıleges M ∈ E  pont meghatároz egy OM ∈ V vektort, amelyet az M pont O-ra vonatkozó  helyvektorának nevezünk. Az OM vektort a B = ( e1 ,… , en ) bázisban  felbonthatjuk: OM = x1e1 + ⋯ + xn en , ahol x1 ,… , xn a T test elemei. Ezeket az M pont T-beli (affin) koordinátáinak nevezzük és így jelöljük: M = ( x1 ,… , xn ) . Azt is mondhatjuk, hogy az M pont koordinátái azonosak helyvektorának koordinátáival. Ha rögzítjük az O ∈ E pontot, akkor a W1  szerint a σ O : E → V , σ O ( M ) = OM leképezés bijekció, amelynek segítségével az E affin tér azonosíható a V vektortérrel (tetszıleges M pontot  azonosítunk az OM ∈ V helyvektorával).

10

e) Skaláris szorzat Legyen V a valós számok ℝ teste feletti vektortér. A ϕ : V × V → ℝ leképezést skaláris szorzatnak nevezzük, ha bármely x, y vektorra teljesülnek az alábbi tulajdonságok: (1) ϕ ( x, y ) = ϕ ( y, x ) (2) ϕ ( λ x, y ) = λϕ ( x, y ) , ∀λ ∈ ℝ

(3) ϕ ( x1 + x2 , y ) = ϕ ( x1 + y ) + ϕ ( x2 + y ) , ∀x1 , x2 ∈ ℝ

(4) ϕ ( x, x ) ≥ 0, ∀x ∈ ℝ , egyenlıség pedig csak az x = 0 esetben áll fenn. A skaláris szorzat szokásos jelölése: xy vagy x ⋅ y .

f) Euklideszi tér A skaláris szorzattal ellátott lineáris teret euklideszi térnek nevezzük. Euklideszi terekben ertelmezhetı az x vektor hossza vagy normája:

x = x ⋅ x = x 2 . Az x vektort egységvektornak nevezzük, ha x = 1 . Ha a ≠ 0 , akkor az a0 =

a egységvektort a irányú egységvektornak nevezzük. a

Az n-dimenziós euklideszi tér egy B = ( e1 ,… , en ) bázisát ortonormáltnak vagy derékszögőnek nevezzük, ha a bázisbeli elemek egységvektorok és páronként merılegesek egymásra, azaz ha ei = 1, ei ⋅ e j = 0, i ≠ j ( i, j = 1, 2,… , n ) . A B = ( e1 ,… , en ) ortonormált bázis

által meghatározott K = ( O, e1 ,… , en ) koordinátarenszert szintén ortonormáltnak vagy derékszögőnek nevezzük. Véges dimenziós euklideszi térben mindig bevezethetı ortonormált bázis. Ekkor az x = x1e1 + ⋯ + xn en és

y = y1e1 + ⋯ + yn en vektorok skaláris szorzata x ⋅ y = x1 y1 + ⋯ + xn yn . Az x és y vektorokat ortogonálisaknak vagy merılegeseknek nevezzük, ha x ⋅ y = 0 . Megemlítjük még a sajátos ℝ n = ℝ × ℝ × ⋯ × ℝ (a jobb oldalon n tényezı szerepel) affin teret, amelyet n-dimenziós euklideszi térnek nevezünk, ha eltolási tere egy ℝ feletti euklideszi tér. Ezt a teret En -el fogjuk jelölni. Az En -ben értelmezhetı két pont távolsága: az A, B ∈ En pontok ρ ( A, B )  távolságán az AB vektor hosszát fogjuk érteni. Tekintsünk az En euklideszi

térben

egy

K = ( O, e1 ,… , en )

ortonormált

koordinátarenszert.

A = ( a1 ,… , an ) és B = ( b1 ,… , bn ) , akkor e pontok távolsága:

11

Ha



ρ ( A, B ) = AB =

( a1 − b1 )

2

+ ⋯ + ( an − bn ) . Ha pedig x = x1e1 + ⋯ + xn en ,

akkor az x vektor hossza: x = x ⋅ x =

2

( x1 )

2

+ ⋯ + ( xn ) . 2

A fenti fogalmak értelmezésekor forrásként [1]-et és [12]-t használtam.

12

1. fejezet Koordinátarendszerek és koordináták az euklideszi síkon Az elemi (szintetikus) geometria a tételeit bizonyos alapelvekbıl (axiómákból) és már igazolt állításokból kiindulva tisztán geometriai érveléssel, az alapfogalmakra és az alakzatok közötti kapcsolatokra építve állapítja meg és bizonyítja. Ezzel szemben az analitikus geometria vagy koordinátageometria a geometriai problémákat az algebra és az analízis eszközeivel oldja meg. A gyakorlatban a geometriai problémák megoldására megpróbáljuk a leghatékonyabb módszereket alkalmazni. A megoldandó feladattól és a várható siker, eredményesség fokától függıen dönthetünk a szintetikus, az analitikus vagy más geometriai eszközök mellett. Természetesen mindig a hatékonyabb módszert részesítjük elınyben. A geometriai feladatok analitikus megoldásakor az egyik fontos célunk a számítások mennyiségének a minimálisra csökkentése. Ezért olyan koordinátarendszert igyekszünk választani, amely a számítások szempontjából a legelınyösebb. Ezt a célt nem mindig könnyő megvalósítani. Bár a megoldandó probléma természete „sugallhatja” az alkalmazandó analitikus geometriai eszközöket, valójában nincsenek olyan kritériumok, amelyek adott típusú feladathoz a „legegyszerőbb tárgyalás” ismérvét is kielégítı módszert rendelnének. Ezért aztán a legtöbb esetben egy adott probléma több módszerrel történı megoldása után dönthetı csak el, hogy közülük melyik a legegyszerőbb, a leghatékonyabb és a legelegánsabb.

1.1. Vonatkoztatási rendszerek a síkon Ebben a fejezetben az affin koordinátarendszerhez és a háromszöghöz, mint vonatkoztatási rendszerhez kötıdı különbözı koordináta-típusokat vezetek be. Az affin koordinátarendszer szabatos matematikai értelmezése az affin tér eléggé bonyolult struktúráival és fogalmi rendszerében a felsıfokú képzés keretében természetes, a középiskolában viszont nem járható út. Ezért az affin vonatkoztatási rendszer bevezetésére,

13

az egyetem elıtti oktatásban, egy másik lehetıséget használunk, amely a valós számok és a számegyenes pontjai közötti bijekción alapszik. Hogyan lehet a síkban egy pont helyzetét meghatározni? Erre többféle mód is kínálkozik, a vonatkoztatási rendszer megválasztásától függıen.   Például választhatunk a síkban egy rögzített O pontot és egy ( i , j ) bázist. Az   ( O, i , j ) rendezett hármast a sík egy affin koordinátarendszerének nevezzük.  Bármely síkbeli M pont helyzetét az OM helyvektor egyértelmően    meghatározza. Mivel OM = xi + yj és ez a felbontás egyértelmő, az M pont

helyzete jellemezhetı az ( x, y ) rendezett számpárral. Az M pont    koordinátáiként az OM helyvektor ( i , j ) bázisra vonatkozó koordinátáit

tekintjük. Egy másik lehetıség az M síkbeli pont helyének meghatározására két számegyenes megadásával lehetséges. Ha egy egyenesen kijelölünk egy O kezdıpontot, egy E egységpontot és egy pozitív irányítást, akkor számegyenesrıl beszélünk. Az O pontnak a 0 számot, az E pontnak az 1 számot feleltetve meg, a számegyenes tetszıleges P pontjához OP hozzárendelhetjük az számot, ahol OP az ( OP ) szakasz elıjeles hosszát OE jelöli. Ezt a számot pozitívnak vesszük, ha P az (OE félegyenesen van, negatívnak ellenkezı esetben. Tekintsünk most a síkban két, nem egybeesı OE és OF számegyenest. Ezek egyesítését OEF affin vonatkoztatási rendszernek nevezzük. Egy tetszıleges M pont helyzete e számegyenesekhez viszonyítva határozható meg (lásd az 1.3. és 1.4. alfejezetet). Egy újabb lehetıség az M síkbeli pont helyének kijelölésére, ha vonatkoztatási rendszerként egy háromszöget választunk (lásd az 1.5., 1.6., 1.7., 1.8., 1.9. alfejezeteket). A háromszöghöz kapcsolódó koordináták kissé más természetőek, mint az affin koordináták. Például egy síkbeli pontot három koordináta jellemez, nem pedig kettı, ahogy azt a derékszögő koordinátáknál megszoktuk. Ezt a szokatlanságukat viszont ellensúlyozza az az elıny, hogy a háromszög bizonyos (centrális) pontjainak koordinátái, a vonatkoztatási háromszög oldalhosszaira és szögmértékeire vonatkozóan, szimmetrikusak Ezzel lehetıségeinket természetesen még nem merítettük ki, de vizsgálatainkat most csak ezekre a vonatkoztatási rendszerekre korlátozzuk.

14

1.2. Derékszögő koordinátarendszerek és koordináták A síkban tekintsünk két olyan x és y számegyenest, amelyek egymásra merılegesek és kezdıpontjaik egybeesnek. Az x számegyenes egységpontját jelölje E, az y számegyenesét F, közös kezdıpontjukat pedig O. Az x és y számegyenesek együttesét derékszögő koordinátarendszernek nevezzük (1.1. ábra).

Legyen M a sík tetszıleges pontja. Az M ponton át az Oy tengellyel párhuzamosan húzott egyenes az Ox tengelyt a P pontban, az M ponton át az Ox tengellyel párhuzamosan húzott egyenes az Oy tengelyt a Q pontban OP OQ metszi. Az x = és az y = számokat az M pont derékszögő OE OF koordinátáinak hívjuk. Ha OE = OF , akkor az xOy derékszögő koordinátarendszert ortonormáltnak nevezzük. Ortonormált koordinátarendszerekben      x = OE ⋅ OM és y = OF ⋅ OM , azaz az M pont abszcisszája egyenlı az OE    és OM , az M pont ordinátája pedig az OF és OM vektorok skaláris szorzatával.

1.3. Ferdeszögő koordinátarendszerek és koordináták A síkban tekintsünk két olyan X és Y számegyenest, amelyek nem párhuzamosok és kezdıpontjaik egybeesnek. A két számegyenes hajlásszögét

15

jelölje θ ∈ ( 0, π ) . Az X számegyenes egységpontját jelölje E, az Y számegyenesét F, közös kezdıpontjukat pedig O. Az X és Y számegyenesek együttesét ferdeszögő koordinátarendszernek vagy affin koordinátarendszernek nevezzük (1.2. ábra).

Ha OE = OF , azaz ha az OE és OF szakaszok hossza egyenlı, akkor az XOY ferdeszögő koordinátarendszert normáltnak nevezzük. Az XOY ferdeszögő koordinátarendszerben kétféle koordinátát értelmezünk, éspedig a kontravariáns és kovariáns koordinátákat.

1.4. Kontravariáns és kovariáns koordináták Legyen M a sík tetszıleges pontja. Az M ponton át az OY tengellyel párhuzamosan húzott egyenes az OX tengelyt az S pontban, az M ponton át az OX tengellyel párhuzamosan húzott egyenes az OY tengelyt a T pontban OS OT metszi (1.2. ábra). Az X = és az Y = számokat az M pont OE OF kontravariáns koordinátáinak hívjuk. Az M pont kontravariáns koordinátái    megegyeznek az OM helyvektor OE , OF bázisra vonatkozó

(

)

koordinátáival. A kontravariáns koordináták (háromszög)geometriai alkalmazásaival A háromszög nevezetes körei címő könyvemben foglalkoztam (Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 1999). Az M pontnak az OX illetve az OY tengelyre esı merıleges vetülete legyen a K illetve az L pont (1.3. ábra).

16

OK OL és a q = számokat az M pont kovariáns koordinátáinak OE OF hívjuk. A derékszögő koordináták mintájára a kovariáns koordinátákat eleve     értelmezhettük volna a p = OE ⋅ OM és q = OF ⋅ OM skaláris szorzatokkal, aminek az az azonnali elınye, hogy e koordináták könnyen kifejezhetık a kontravariáns koordinátákkal:          p = OE ⋅ OM = OE ⋅ X OE + Y OF = OE ⋅ OEX + OE ⋅ OFY ,          q = OF ⋅ OM = OF ⋅ X OE + Y OF = OF ⋅ OEX + OF ⋅ OFY .         Ha OE ⋅ OE = s11 , OE ⋅ OF = s12 , OF ⋅ OE = s21 , OF ⋅ OF = s22 , akkor A p=

( (

) )

s  s p = s11 X + s12Y és q = s21 X + s22Y . Az S =  11 12  jelöléssel az elıbbi  s21 s22  összefüggések felírhatók mátrixalakban:  p   s11 s12   X   p X   ⇔   = S   .  q  = s    21 s22   Y  q Y  Normált ferdeszögő (affin) koordinátarendszerek esetén  1 cosθ  S = , tehát p = X + Y cos θ és q = X cos θ + Y . Az S mátrix elsı cosθ 1      sorának elemei az OE = e1 , második sorának elemei pedig az OF = e2 alapvektor kovariáns koordinátái.   Ha az OE és OF (nem normált) alapvektorokat a k-szorosukra növeljük ( k > 1) és ezeket tekintjük bázisvektoroknak, akkor ugyanannak a pontnak a kovariáns koordinátái az eredeti koordináták k-szorosára növekednek, kontravariáns koordinátái pedig az eredeti koordináták

17

1 -szorosára csökkennek. Valóban, ha ( p, q ) ill. k   O, OE , OF illetve kovariáns koordinátái az

(

)

vonatkoztatási rendszerben, akkor     p′ = kOE ⋅ OM = k OE ⋅ OM = kp ,

( p′, q′ ) az

(

az M pont   O, kOE , kOF

)

    q′ = kOF ⋅ OM = k OF ⋅ OM = kq    X  Y  és OM = X ⋅ OE + Y ⋅ OF = kOE + kOF . k k Ez a magyarázata annak, hogy a kovariáns koordinátákhoz az „együtt változó”, a kontravariáns koordinátákhoz pedig az „ellentétesen változó” jelzıket szokás kapcsolni. (A kontravariáns és kovariáns koordináták részletesebb leírását lásd [6]-ban, a 295. oldalon).

(

)

(

)

(

Ha θ =

)

(

(

)

(

)

)

π

, akkor a kontravariáns és kovariáns koordináták 2 egybeesnek a derékszögő koordinátákkal.

1.5. Valódi trilineáris koordináták A valódi trilineáris és trilineáris koordinátákat Julius Plücker (1801 – 1868) vezette be 1830-ban, a Journal für die Reine und Angewandte Mathematick folyóiratban megjelent Uber ein neues Coordinatensystem (Egy új koordinátarendszerrıl) címő cikkében. Legyen ABC adott háromszög, amelyre a továbbiakban a vonatkoztatási háromszög elnevezéssel is hivatkozunk. A háromszög síkjában elhelyezkedı M pontnak a BC, CA, AB oldalegyenesekre esı merıleges vetületeit jelölje M a , M b , M c (1.4. ábra).

18

A BC oldalegyenes a háromszög síkját két félsíkra osztja. Az A csúcsot tartalmazó félsíkot BC szerint pozitívnak, az A csúcsot nem tartalmazó félsíkot BC szerint negatívnak tekintjük. Az MM a szakasz euklideszi mértékének aszerint fogunk pozitív vagy negatív elıjelet tulajdonítani, hogy az M pont BC szerint a pozitív vagy a negatív félsíkban van. Az MM a szakasz elıbbi értelemben vett elıjeles euklideszi mértékét jelölje α 0 . Hasonlóan értelmezzük az M pontnak a CA ill. AB oldalegyenesig mért β 0 ill. γ 0 elıjeles távolságát. Az (α 0 , β 0 , γ 0 ) számhármast az M pont ABC háromszögre vonatkozó valódi trilineáris koordinátáinak nevezzük. Ezt a továbbiakban a következıképpen fogjuk jelölni: M = (α 0 , β0 , γ 0 ) . Ilyen módon az ABC vonatkoztatási háromszög segítségével a sík bármely M pontjához egy rendezett (α 0 , β 0 , γ 0 ) számhármast rendelhetünk. Az ABC háromszög oldalegyenesei a háromszög síkját hét tartományra osztják. Ezek számozását és az egyes tartományokban elhelyezkedı pontok koordinátáinak elıjelét az 1.5. ábra szemlélteti.

A háromszög síkjában elhelyezkedı bármely M pontra, amelynek valódi trilineáris koordinátái (α 0 , β 0 , γ 0 ) , fennáll az alábbi összefüggés: aα 0 + bβ 0 + cγ 0 = S . (1.1) Mivel bármely háromszögre érvényes a szinusztétel, azaz a b c = = = 2R , sin A sin B sin C

19

ahol R a háromszög köré írt kör sugara, ezért az (1.1) összefüggés felírható az alábbi formába is: α 0 sin A + β 0 sin B + γ 0 sin C =

σ

. (1.2) R Tegyük fel, hogy adottak az M pont valódi trilineáris koordinátái. Felmerül a kérdés, hogy hogyan határozható meg az M pont helyzete? Az aα 0 + bβ 0 + cγ 0 = S összefüggés alapján az M pont bármely két valódi trilineáris koordinátájának ismeretében a harmadik koordináta meghatározható. Ez a tény az M pont helyzetének meghatározásában a következıképpen tükrözıdik: például a BC oldalegyenessel, az α 0 elıjelének megfelelı félsíkban, α 0

távolságra húzzunk párhuzamost, majd a CA

oldalegyenessel, az β 0 elıjelének megfelelı félsíkban, β 0 távolságra húzzunk egy másik párhuzamost. E két párhuzamos metszéspontja lesz az M pont. A alábbiakban megadjuk néhány pont valódi trilineáris koordinátáit: S   bc sin A   bc  1. A csúcspontok: A =  , 0, 0  =  , 0, 0  =  , 0, 0  , a   a   2R   S   ca sin B   ca  B =  0, , 0  =  0, , 0  =  0, ,0 , b  b     2R  S  ab sin C   ab   C =  0, 0,  =  0, 0,  =  0, 0, . c  c 2R      S S S   bc ca ab  2. A súlypont: G =  , ,  =  , , .  3a 3b 3c   6 R 6 R 6 R  3. A körülírt kör középpontja: O = ( R cos A, R cos B, R cos C ) . 4. A magasságpont (ortocentrum): H = ( 2 R cos B cos C , 2 R cos C cos A, 2 R cos A cos B ) . 5. A kilencpontos kör középpontja: R R R  ω =  cos ( B − C ) , cos ( C − A) , cos ( A − B )  . 2 2 2  σ σ σ  6. A beírt kör középpontja: I =  , ,  = ( r , r , r ) . s s s

20

1.6. Trilineáris koordináták Ha az vonatkozó

(α 0 , β 0 , γ 0 )

valódi

számhármas az M pont ABC háromszögre

trilineáris

koordinátái,

akkor

a

( kα 0 : k β0 : kγ 0 )

számhármasokat, ahol k ∈ ℝ∗ , az M pont általános trilineáris koordinátáinak vagy röviden trilineáris koordinátáinak fogjuk nevezni. Ebben az esetben a sík bármely M pontjához végtelen sok rendezett (α : β : γ ) számhármas tartozik. Ezt a továbbiakban a következıképpen fogjuk jelölni: M = (α : β : γ ) . Tehát, ha az (α : β : γ ) és (α ′ : β ′ : γ ′ ) számhármasok ugyanannak az M pontnak a trilineáris koordinátái, akkor létezik egy k ≠ 0 állandó úgy, hogy α = kα ′ , β = k β ′ , γ = kγ ′ . Ennek kifejezésére az M = (α : β : γ ) = (α′ : β′ : γ ′) jelölést használjuk. Hangsúlyozzuk, hogy ebben a jelölésben a két számhármas közötti egyenlıség csak valódi trilineáris koordinátákra jelent komponensenkénti egyenlıséget is, különben pedig nem. Ez utóbbi esetben az egyenlıség csupán azt fejezi ki, hogy a két számhármas ugyanazt a pontot reprezentálja. A valódi trilineáris koordinátákat a trilineáris koordinátáktól jelölésben a következıképpen fogjuk megkülönböztetni: (α , β , γ ) valódi trilineáris koordináták (a koordináták vesszıvel vannak elválasztva), (α : β : γ ) trilineáris koordináták (a koordináták kettısponttal vannak elválasztva). Ismerve az M pont ABC háromszögre vonatkozó valódi trilineáris koordinátáit, ezekbıl az M pont általános trilineáris koordinátáit úgy kapjuk, hogy az elıbbieket nem nulla állandókkal szorozzuk (osztjuk). Felmerül viszont a kérdés, hogyan kapjuk az általános trilineáris koordinátátákból a valódiakat? Erre a kérdésre az alábbiakban válaszolunk. Ha (α : β : γ ) az M pont általános trilineáris koordinátái, akkor az M pont ABC háromszögre vonatkozó valódi trilineáris koordinátái   Sα Sβ Sγ , ,  .  aα + bβ + cγ aα + bβ + cγ aα + bβ + cγ  Valóban, az M pont valódi trilineáris koordinátáit az általános (α : β : γ ) trilineáris koordinátákból úgy kapjuk, hogy ezeket valamely nem nulla k állandóval szorozzuk. Tehát az M pont valódi trilineáris koordinátái ( kα , k β , kγ ) alakúak, amelyekre akα + bk β + ckγ = S .

21

S . aα + bβ + cγ Most megadjuk néhány pont trilineáris koordinátáit: 1. A csúcspontok: A = (1: 0 : 0 ) , B = ( 0 :1: 0 ) , C = ( 0 : 0 :1) .

Innen k =

1 1 1 2. A súlypont: G =  : :  = ( bc : ca : ab ) = ( csc A : csc B : csc C ) . a b c 3. A körülírt kör középpontja: O = ( cos A : cos B : cos C ) = ( aS A : bS B : cSC ) . 4. A magasságpont (ortocentrum): 1 1   1 H = ( cos B cos C : cos C cos A : cos A cos B ) =  : : =  cos A cos B cos C   1 1 1  = ( sec A : sec B : sec C ) =  : : .  aS A bS B cSC  5. A kilencpontos kör középpontja: ω = ( cos ( B − C ) : cos ( C − A) : cos ( A − B ) ) . 6. A beírt kör középpontja: I = (1:1:1) .

1.7. Baricentrikus koordináták A baricentrikus koordinátákat August Ferdinand Möbius (1790-1868) vezette be 1827-ben megjelent Der barycentrische Calcül (A baricentrikus számítás) címő mővében. E koordináták szorosan kapcsolódnak a súlyozott pontrendszer fogalmához. Ha egy M ponthoz hozzárendelünk egy m valós számot, akkor M-et m együtthatójú súlyozott pontnak nevezzük és ( M , m ) -mel jelöljük. Az m jelenthet például tömeget, elektromos töltést, az M pontban ható erı nagyságát stb., ezért negatív súlyokat is megengedünk. Tekintsük az euklideszi tér ( M 1 , m1 ) ,… , ( M k , mk ) súlyozott pontjaiból álló pontrendszerét. Azt a G pontot, amelyre    m1 GM 1 + ⋯ + mk GM k = 0 , (1.3) e pontrendszer baricentrumának nevezzük. Ha a térben választunk egy G-tıl  különbözı O kezdıpontot, akkor a G pont OG helyvektora kifejezhetı az  M i pontok OM i helyvektorainak segítségével. Valóban, mivel    GM i = OM i − OG, i ∈ {1,… , k} , ezért    ( m1 + ⋯ + mk ) OG = m1 OM 1 + ⋯ + mk OM k . (1.4)

22

Innen látható, hogy a G pont csak akkor van egyértelmően meghatározva, ha m1 + ⋯ + mk ≠ 0 , azaz ha a pontok súlyösszege nem egyenlı nullával. Mivel ekkor    m OM 1 + ⋯ + m OM k 1 k OG = , (1.5) m1 + ⋯ + mk azt mondhatjuk, hogy egy súlyozott pontrendszer baricentrumának helyvektora e pontok helyvektorainak súlyozott középarányosa. Ha a pontrendszer M i pontjai egy egyenesen (síkon) helyezkednek el és az O  kezdıpont szintén ezen az egyenesen (síkon) van, akkor az OG elıbbi kifejezései alapján a G baricentrum is az egyenesen (síkon) lesz. Ha c ≠ 0 ,       akkor m1 GM 1 + ⋯ + mk GM k = 0 ⇔ c ⋅ m1 GM 1 + ⋯ + c ⋅ mk GM k = 0 , ezért egy pontrendszer baricentruma változatlan marad, ha a súlyokat ugyanazzal a nem nulla állandóval szorozzuk. Ha az M i pontok súlyai egyenlık, a pontrendszert homogénnek, ennek baricentrumát pedig izobaricentrumnak fogjuk nevezni. Homogén pontrendszerekre    OM 1 + ⋯ + OM k OG = , (1.6) k azaz az izobaricentrum helyvektora e pontok helyvektorainak számtani középarányosa. Az ABC háromszög A, B, C csúcsaiba helyezzük el rendre az u, v, w súlyokat. Ha u + v + w ≠ 0 , akkor az ( A, u ) , ( B, v ) , ( C , w ) pontrendszer súlypontja egy, az ABC háromszög síkjában elhelyezkedı, M pont lesz. Az ( u : v : w) számhármast az M pont ABC háromszögre vonatkozó általános baricentrikus koordinátáinak vagy röviden baricentrikus koordinátáinak nevezzük (1.6. ábra). Ezt a következıképpen fogjuk jelölni: M = ( u : v : w ) .

23

Ha az u, v, w súlyokat a velük arányos ku, kv, kw ( k ≠ 0 ) súlyokkal helyettesítjük, akkor e rendszer súlypontja nem változik meg. Ezért az M ponthoz végtelen sok rendezett ( ku : kv : kw ) számhármas rendelhetı. Tehát,

ha az ( u : v : w ) és ( u′ : v′ : w′ ) számhármasok ugyanannak az M pontnak a baricentrikus koordinátái, akkor létezik egy k ≠ 0 állandó úgy, hogy u = ku ′ , v = kv′ , w = kw′ . Ennek kifejezésére az M = ( u : v : w ) = ( u′ : v′ : w′ ) jelölést használjuk. Ebben a jelölésben a két számhármas közötti egyenlıség nem komponensenkénti egyenlıséget jelent, csupán azt fejezi ki, hogy a két számhármas ugyanazt a pontot reprezentálja. Az u + v + w ≠ 0 feltétel mellett, az u, v, w súlyok változtatásával elérhetı, hogy az M pont leírja az egész síkot. A 2. fejezetben bizonyítani fogjuk hogy, ha (α : β : γ ) az M pont

ABC háromszögre vonatkozó trilineáris koordinátái, ( u : v : w ) pedig az M pont ABC háromszögre vonatkozó baricentrikus koordinátái, akkor u = aα , v = bβ , w = cγ . Ebbıl látható, hogy az M pont baricentrikus koordinátáinak elıjele megegyezik ugyanezen pont trilineáris koordinátáinak elıjelével. A alábbiakban megadjuk néhány pont baricentrikus koordinátáit: 1. A csúcspontok: A = (1: 0 : 0 ) , B = ( 0 :1: 0 ) , C = ( 0 : 0 :1) .

2. A súlypont: G = (1:1:1) . 3. A körülírt kör középpontja: O = ( a cos A : b cos B : c cos C ) = ( a 2 S A : b 2 S B : c 2 SC ) =

= ( S A ( S B + S C ) : S B ( SC + S A ) : S C ( S A + S B ) ) . 4. A magasságpont (ortocentrum): b c   a H = ( a cos B cos C : b cos C cos A : c cos A cos B ) =  : : =  cos A cos B cos C   1 1 1  =  : :  = ( S BC : SCA : S AB ) .  S A S B SC  5. A kilencpontos kör középpontja: ω = ( a cos ( B − C ) : b cos ( C − A) : c cos ( A − B ) ) .

6. A beírt kör középpontja: I = ( a : b : c ) . A háromszög centrális pontjainak trilineáris és baricentrikus koordinátái megtalálhatók [9]-ben.

24

1.8. Normált baricentrikus koordináták Normálással egyértelmő baricentrikus koordináták vezethetık be. Ha ( u : v : w) az M pont ABC háromszögre vonatkozó baricentrikus koordinátái,

u v w , v0 = , w0 = valós számokat az M u+v+w u+v+w u+v+w pont ABC háromszögre vonatkozó normált baricentrikus koordinátáinak nevezzük. Ezt a következıképpen fogjuk jelölni: M = ( u0 , v0 , w0 ) . A háromszög síkjában elhelyezkedı bármely M pontra, amelynek normált baricentrikus koordinátái ( u0 , v0 , w0 ) , fennáll az alábbi összefüggés: akkor az u0 =

u0 + v0 + w0 = 1 . (1.7) A normált baricentrikus koordinátákat a baricentrikus koordinátáktól jelölésben a következıképpen fogjuk megkülönböztetni: ( u, v, w) nomált baricentrikus koordináták (a koordináták vesszıvel vannak elválasztva), ( v : v : w) baricentrikus koordináták (a koordináták kettısponttal vannak elválasztva). Normált baricentrikus koordinátákra az M = ( u, v, w ) = ( u′, v′, w′ ) egyenlıségek egyben komponensenkénti egyenlıségeket is jelentenek, azaz u = u ′ , v = v′ , w = w′ . A 2. fejezetben bizonyítjuk, hogy ha az (α 0 , β 0 , γ 0 ) ill. ( u0 , v0 , w0 ) számhármas az M pont ABC háromszögre vonatkozó valódi trilineáris ill. aα bβ cγ normált baricentrikus koordinátái, akkor u0 = 0 , v0 = 0 , w0 = 0 . S S S A alábbiakban megadjuk néhány pont nomált baricentrikus koordinátáit: 1. A csúcspontok: A = (1: 0 : 0 ) , B = ( 0 :1: 0 ) , C = ( 0 : 0 :1) . 1 1 1 2. A súlypont: G =  , ,  .  3 3 3 3. A körülírt kör középpontja: 2 2 2 bR cR  aR   a S A b S B c SC  cos A, cos B, cos C  =  , , . O= 2 2 2  S S  S   2S 2S 2S  4. A magasságpont (ortocentrum): bR cR  aR  S S S  H =  cos B cos C, cos C cos A, cos A cos B  =  BC2 , CA2 , AB2  . σ σ σ  S S S  5. A kilencpontos kör középpontja:

25

bR cR  aR  cos ( B − C ) , cos ( C − A ) , cos ( A − B )  . 2S 2S  2S   a b c  6. A beírt kör középpontja: I =  , ,  .  2s 2s 2s 

ω =

1.9. Areális vagy területi koordináták Az ABC háromszöget nevezzük pozitív (negatív) irányításúnak, ha az óramútató járásával ellentétes (megegyezı) körüljárású. Az ABC háromszög síkjában tekintsünk egy tetszıleges M pontot (1.7. ábra).

Az MBC, MCA, MAB háromszögek területeinek euklideszi mértékét jelölje σ a , σ b , σ c . Ezeket a mérıszámokat pozitív vagy negatív elıjellel vesszük, attól függıen, hogy ezen háromszögek irányítása megegyezı-e vagy σ σ σ  ellentétes az ABC háromszög pozitív irányításával. A  a , b , c  σ σ σ  számhármast az M pont ABC háromszögre vonatkozó areális vagy területi aα bβ cγ koordinátáinak nevezzük. Mivel σ a = 0 , σ b = 0 , σ c = 0 , ezért 2 2 2 aα 0 σ a bβ 0 σ b cγ 0 σ c u0 = = , v0 = = , w0 = = . Tehát az M pont ABC S σ S σ S σ háromszögre vonatkozó normált baricentrikus koordinátái megegyeznek ugyanezen pont ABC háromszögre vonatkozó areális vagy területi koordinátáival.

26

2. fejezet Koordinátatranszformációk Az analitikus geometriában egy-egy probléma tárgyalásakor olyan koordinátarendszert igyekszünk választani, amely a számítások szempontjából a legelınyösebb. Emiatt szükséges, hogy az alakzatok egyenletét egyik koordinátarendszerbıl át lehessen írni egy másik koordinátarendszerbe. Affin koordinátarendszerek esetében elegendı ismerni a bázisvektorok közötti összefüggéseket, azaz az egyik bázis vektorainak kifejezését egy másik bázis vektorainak segítségével (bıvebben lásd 0.5. b) alpontot). A matematikai szakirodalomban a koordinátatranszformáció elnevezésnek kétféle jelentése van. Az egyik az, hogy ugyanazokat a pontokat két koordinátarendszerben írjuk le (passzív szemlélet), ami feltételezi a két koordinátarendszer egymáshoz viszonyított helyzetének ismeretét. Ennek a helyzetnek a leírását az ún. koordináta-transzformációs képletek segítségével végezhetjük el. Például tekintsük a síknak azt a két xOy és x′O′y′ derékszögő koordinátarendszerét (2.1. ábra), amelyekre Ox  O′x′ , Oy  O′y′ és a megfelelı tengelyek irányítása megegyezik ( O ≠ O′ ) .

27

Az O′ pontnak az xOy rendszerbeli koordinátái legyenek ( a, b ) , a sík tetszıleges M pontjának xOy illetve x′O′y′ rendszerbeli koordinátái pedig ( x, y ) illetve ( x′, y′ ) . Mivel x′ = x − a és y′ = y − b , ugyanazon M pont analitikus leírása a két koordinátarendszerben a következı lesz: M = ( x, y ) és M = ( x − a, y − b ) . Azt is mondhatjuk, hogy az xOy rendszert

„eltoltuk” önmagával párhuzamosan az ( a, b ) elmozdulásvektorral. Ezért ezt a mőveletet síkbeli párhuzamos eltolásnak vagy transzlációnak szoktuk nevezni. Vagy vegyük az xOy derékszögő koordinátarendszernek az origó körüli ϕ szöggel történı forgatását (rotációját) az x′Oy′ derékszögő koordinátarendszerbe (2.2. ábra).

Ez a mővelet az x′ = x cos ϕ + y sin ϕ és az y′ = − x sin ϕ + y cos ϕ transzformációs egyenletekkel jellemezhetı, ahol ϕ az Ox és Ox′ tengelyek hajlásszöge. Tehát ugyanazon M pont analitikus leírása a két koordinátarendszerben a következı lesz: M = ( x, y ) és M = ( x cos ϕ + y sin ϕ , − x sin ϕ + y cos ϕ ) . A passzív szemlélető transzformációknál a koordinátarendszereket változtatjuk és a különbözı koordinátarendszerekben írjuk le ugyanazokat a pontokat, amelyeknek a koordinátái általában megváltoznak. A koordinátatranszformáció másik jelentése éppen ennek az  x′ = f ( x, y ) ellenkezıje: az M pont ( x, y ) koordinátáit transzformáljuk az   y′ = g ( x, y )

28

képletek szerint és az így kapott

( x′, y′ ) ( x′, y′ )

számpárt egy másik M ′ pont

koordinátáinak tekintjük. Az új koordinátákat ugyanabban a koordinátarendszerben ábrázolva, az M ponthoz az új koordinátákkal meghatározott M ′ pontot képként rendeljük hozzá (aktív szemlélet). Például az xOy derékszögő koordinátarendszerben az x′ = x + a és y′ = y + b egyenletekkel adott koordináta-transzformáció aktív szemléletben az M = ( x, y ) pontnak megfelelteti az M ′ = ( x + a, y + b ) pontot, ahol ( a, b )  egy adott v vektor komponensei (2.3. ábra).

Itt a sík egy olyan önmagára való bijektív leképezésérıl van szó, amely az M = ( x, y ) pontnak úgy felelteti meg az M ′ = ( x + a, y + b ) pontot,   hogy MM ′ = v . Ezt a transzformációt szintén párhuzamos eltolásnak vagy transzlációnak fogjuk nevezni. Lényeges, hogy most az xOy derékszögő  koordinátarendszer rögzített (fix) marad és a sík pontjait toljuk el a v elmozdulásvektorral. xOy derékszögő koordinátarendszerben az Vagy az ′ ′ x = x cos ϕ − y sin ϕ és y = x sin ϕ + y cos ϕ egyenletekkel adott koordinátatranszformáció aktív szemléletben az M = ( x, y ) pontnak megfelelteti az

M ′ = ( x cos ϕ − y sin ϕ , x sin ϕ + y cos ϕ ) pontot, ahol ϕ az OM és OM ′ félegyenesek hajlásszöge (2.4. ábra).

29

Itt szintén a sík egy önmagára való bijektív leképezésérıl van szó. Az xOy derékszögő koordinátarendszer most is rögzített (fix) marad és a sík pontjait elforgatjuk az O pont körül ϕ szöggel úgy, hogy OM = OM ′ . Ezt a transzformációt szintén forgatásnak vagy rotációnak fogjuk nevezni. Ebben a fejezetben a síkbeli pontok passzív szemlélető leírásával foglalkozom az 1. fejezetben bevezetett, egymáshoz viszonyítva sajátos helyzető koordinátarendszerekben. Ezen transzformációs képletek ismeretében a síkbeli alakzatok tulajdonságait kifejezı összefüggéseket, az ıket jellemzı egyenleteket, az alakzatok kölcsönös viszonyait kifejezı algebrai feltételeket stb. át lehet írni különbözı koordináta-fajtákra. A továbbiakban feltesszük, hogy a koordináta- illetve vonatkoztatási rendszerek egységszakaszainak a hossza ugyanaz, azaz, hogy a számtengelyek normáltak. Úgyszintén megállapodunk abban, hogy amikor a következı paragrafusokban koordináták közötti összefüggésekrıl beszélünk, akkor ugyanannak a pontnak különbözı típusú koordinátái közötti összefüggésekre gondolunk.

2.1. A derékszögő és kontravariáns koordináták közötti összefüggések A síkban vegyük fel az xOy derékszögő és az XOY ferdeszögő koordinátarendszert úgy, hogy abszcisszatengelyeik egybeessenek (2.5. ábra). Az XOY ferdeszögő koordinátarendszer tengelyei által alkotott szöget jelölje θ ( 0<θ <π ) .

30

  Az xOy rendszer bázisvektorai legyenek ( i , j ) , az XOY rendszeré        pedig ( e1 , e2 ) . Mivel e1 = i és e2 = cos θ ⋅ i + sin θ ⋅ j , az áttérési mátrix

 1 cos θ  A=  . Az M pont derékszögő koordinátái legyenek ( x, y ) ,  0 sin θ  kontravariáns koordinátái pedig Következésképpen ( X ,Y ) .  x   1 cos θ   X   =    . Tehát a derékszögő koordinátákról a kontravariáns  y   0 sin θ   Y  koordinátákra való transzformációs képletek a következık: x = X + Y cos θ , (2.1) y = Y sin θ . (2.2) 1 cos θ Mivel det A = = sin θ ≠ 0 , az A mátrix inverze 0 sin θ  1 −ctgθ  1  sin θ − cosθ    A = 1  , azaz  = 1   0 sin θ  0  sinθ   Tehát a fordított irányú áttérés az −1

X = x − yctgθ , (2.3) képletekkel lehetséges.

31

 1 −ctgθ  X   x  1    =  y   Y  0 sin θ  

Y=

y sin θ

(2.4)

2.2. A kontravariáns és kovariáns koordináták közötti összefüggések Az 1.5. alfejezetben már kifejeztük a kovariáns koordinátákat a cos θ   X   p  1 kontravariáns koordinátákkal:   =     . Mivel az 1  Y   q   cos θ cos θ  2 2  mátrix determinánsa det S = 1 − cos θ = sin θ ≠ 0 , az S1  − cos θ  1  1 nek van inverze: S −1 =   . Tehát 1  sin 2 θ  − cos θ − cos θ  p  X 1  1  =    . 2 1  q   Y  sin θ  − cos θ Ugyanerre az eredményre geometriai úton is eljuthatunk. A síkban vegyük fel az XOY ferdeszögő koordinátarendszert (2.6. ábra). Az M pont kontravariáns koordinátái legyenek ( X , Y ) , kovariáns koordinátái pedig  1 S =  cos θ

( p, q ) . Az

MKS derékszögő háromszögben:

KS p − X = ⇒ p = X + Y cos θ . MS Y LT q − Y Az MLT derékszögő háromszögben: cos θ = = ⇒ q = X cos θ + Y . MT X cos θ =

32

Tehát a kovariáns koordinátákról a kontravariáns koordinátákra való transzformációs képletek a következık: p = X + Y cos θ , (2.5) q = X cos θ + Y . (2.6)  X + Y cos θ = p A fordított irányú áttéréshez pedig megoldjuk az   X cos θ + Y = q

egyenletrendszert az ( X , Y ) ismeretlenekre: ∆=

1

cos θ

cos θ

1

1

p

∆Y =

= 1 − cos 2 θ = sin 2 θ ≠ 0 ,

= q − p cos θ . Tehát q 1 X= ( p − q cos θ ) , (2.7) sin 2 θ

∆X =

p cos θ q

1

= p − q cos θ ,

cos θ

Y=

1 ( − p cos θ + q ) . (2.8) sin 2 θ

2.3. A derékszögő és kovariáns koordináták közötti összefüggések A síkban vegyük fel az xOy derékszögő és az XOY ferdeszögő koordinátarendszert úgy, hogy abszcissza-tengelyeik egybeessenek (2.7.

33

ábra). Az M pont derékszögő koordinátái legyenek koordinátái pedig ( p, q ) .

( x, y ) ,

kovariáns

Derékszögő koordinátákról kovariáns koordinátákra az (2.1), (2.2) valamint a (2.7), (2.8) képletek segítségével térhetünk át: 1 1 x = X + Y cos θ = ( p − q cos θ ) + 2 ( − p cos θ + q ) cos θ = p , 2 sin θ sin θ 1 1 y = Y sin θ = ( − p cos θ + q ) sin θ = ( − p cos θ + q ) . 2 sin θ sin θ Tehát a derékszögő koordinátákról a kovariáns koordinátákra való transzformációs képletek a következık: 1 x = p , (2.9) y= ( − p cos θ + q ) . (2.10) sin θ A fordított irányú áttérés pedig a p = x , (2.11) q = x cos θ + y sin θ (2.12) képletekkel lehetséges.

2.4. A valódi trilineáris és kontravariáns koordináták közötti összefüggések Kapcsoljunk az ABC háromszöghöz egy XAY ferdeszögő koordinátarendszert úgy, hogy az AB egyenes essen egybe az AX, az AC egyenes pedig az AY tengellyel (2.8. ábra). Az M pont kontravariáns koordinátái legyenek ( X , Y ) , valódi trilineáris koordinátái pedig (α 0 , β 0 , γ 0 ) .

34

MM b β 0 = ⇒ β 0 = X sin A . MT X MM c γ 0 Az MM c S derékszögő háromszögben: sin A = = ⇒ γ 0 = Y sin A . MS Y Mivel aα 0 + bβ 0 + cγ 0 = S , ezért

Az MM bT derékszögő háromszögben: sin A =

1 sin A ( S − bβ 0 − cγ 0 ) = ( bc − bX − cY ) . a a Tehát a valódi trilineáris koordinátákról a kontravariáns koordinátákra való transzformációs képletek a következık: sin A α0 = ( bc − bX − cY ) , (2.13) a β 0 = X sin A , (2.14)

α0 =

γ 0 = Y sin A . (2.15) β0

A fordított irányú áttérés pedig az X =

sin A

, (2.16)

Y=

γ0 sin A

(2.17)

képletekkel lehetséges.

2.5. A valódi trilineáris és kovariáns koordináták közötti összefüggések Az M pont kovariáns koordinátái legyenek

( p, q ) ,

valódi trilineáris

koordinátái pedig (α 0 , β 0 , γ 0 ) (2.8. ábra). Valódi trilineáris koordinátákról

35

kovariáns koordinátákra a (2.13), (2.14), (2.15) valamint a (2.7), (2.8) képletek segítségével térhetünk át: sin A sin A  b c  α0 = bc − 2 ( p − q cos A) − 2 ( − p cos A + q)  = ( bc − bX − cY ) =  a a  sin A sin A  1 = bc sin 2 A − bp + bq cos A + cp cos A − cq ) = ( a sin A 1 =  2σ sin A − p ( b − c cos A ) − q ( c − b cos A )  = a sin A  1 S 1 =  2σ sin A − a ( p cos C + q cos B )  = − ( p cos C + q cos B ) , a sin A a sin A 1 1 β 0 = X sin A = 2 ( p − q cos A ) sin A = ( p − q cos A ) , sin A sin A 1 1 γ 0 = Y sin A = 2 ( − p cos A + q ) sin A = ( − p cos A + q ) . sin A sin A Tehát a valódi trilineáris koordinátákról a kovariáns koordinátákra való transzformációs képletek a következık: S 1 α0 = − ( p cos C + q cos B ) , (2.18) a sin A 1 β0 = ( p − q cos A) , (2.19) sin A 1 γ0 = ( − p cos A + q ) . (2.20) sin A  p − q cos A = β 0 sin A A fordított irányú áttéréshez pedig megoldjuk a  − p cos A + q = γ 0 sin A egyenletrendszert a ( p, q ) ismeretlenekre: ∆=

Tehát p =

1

− cos A

− cos A

1

= 1 − cos 2 A = sin 2 A ≠ 0

∆p =

β 0 sin A − cos A = ( β 0 + γ 0 cos A ) sin A , γ 0 sin A 1

∆q =

β 0 sin A = ( β 0 cos A + γ 0 ) sin A . − cos A γ 0 sin A 1

1 1 ( β 0 + γ 0 cos A ) , (2.21) q = ( β 0 cos A + γ 0 ) . (2.22) sin A sin A

36

2.6. A trilineáris és kontravariáns koordináták közötti összefüggések Az M pont kontravariáns koordinátái legyenek koordinátái pedig

(α , β , γ ) .

( X ,Y ) ,

trilineáris

Mivel α = kα 0 , β = k β 0 , γ = kγ 0 ( k ∈ ℝ ∗ ) ,

ezért a (2.13), (2.14) és (2.15) képletek alapján a trilineáris koordinátákról a kontravariáns koordinátákra való transzformációs képletek a következık: 1 α = ( bc − bX − cY ) , (2.23) β = X , (2.24) γ = Y . (2.25) a A fordított irányú áttéréshez a trilineáris koordinátákat elıször átalakítjuk valódi trilineáris koordinátákká, majd alkalmazzuk a (2.16) és (2.17) képleteket: β 1 Sβ 2 R abc β bcβ = = , X= 0 = a 2 R aα + bβ + cγ aα + bβ + cγ sin A sin A aα + bβ + cγ γ 1 Sγ 2 R abc γ bcγ = = . Y= 0 = a 2 R aα + bβ + cγ aα + bβ + cγ sin A sin A aα + bβ + cγ Tehát kontravariáns koordinátákról trilineáris koordinátákra az bcβ bcγ X= , (2.26) Y= (2.27) aα + bβ + cγ aα + bβ + cγ képletek alapján térhetünk át.

2.7. A trilineáris és kovariáns koordináták közötti összefüggések Az M pont kovariáns koordinátái legyenek koordinátái pedig

(α , β , γ ) .

( p, q ) ,

trilineáris

Mivel α = kα 0 , β = k β 0 , γ = kγ 0 ( k ∈ ℝ ∗ ) ,

ezért a (2.18), (2.19) és (2.20) képletek alapján a trilineáris koordinátákról a kovariáns koordinátákra való transzformációs képletek a következık:

α=

σ

− p cos C − q cos B , (2.28) R β = p − q cos A , (2.29) γ = − p cos A + q . (2.30)

A fordított irányú áttéréshez a trilineáris koordinátákat elıször átalakítjuk valódi trilineáris koordinátákká, majd alkalmazzuk a (2.21) és (2.22) képleteket:

37

1 S β + γ cos A bc ( β + γ cos A ) = , ( β 0 + γ 0 cos A) = sin A sin A aα + bβ + cγ aα + bβ + cγ bc ( β cos A + γ ) 1 S β cos A + γ = q= . ( β0 cos A + γ 0 ) = sin A sin A aα + bβ + cγ aα + bβ + cγ Tehát kovariáns koordinátákról trilineáris koordinátákra a bc ( β + γ cos A ) bc ( β cos A + γ ) q= p= , (2.31) (2.32) aα + bβ + cγ aα + bβ + cγ képletek alapján térhetünk át.

p=

2.8. A baricentrikus és kontravariáns koordináták közötti összefüggések Kapcsoljunk az ABC háromszöghöz egy XAY ferdeszögő koordinátarendszert úgy, hogy az AB egyenes essen egybe az AX, az AC egyenes pedig az AY tengellyel (2.9. ábra). A továbbiakban feltesszük, hogy az XAY koordinátarendszer és az ABC vonatkoztatási háromszög ilyen összekapcsolása változatlan marad és a következı alfejezetek eredményei erre a helyzetre vonatkoznak. Az M pont kontravariáns koordinátái legyenek ( X , Y ) , baricentrikus koordinátái pedig ( u, v, w) . Tételezzük fel, hogy az M pont nincs egyik oldalegyenesen sem.

Ha t = u + v + w ≠ 0 , akkor feltehetjük például, hogy u + v ≠ 0 . Legyen a C ′ ( X ′, 0 ) pont az ( A, u ) és ( B, v ) pontrendszer súlypontja. Ekkor

38

cv , az M pont pedig akkor lesz a ( C ′, u + v ) és ( C , w ) pontrendszer u+v ( u + v ) X ′ = cv és Y = bw . E két egyenletet átrendezzük, súlypontja, ha X = t t t belılük egy egyenletrendszert képezünk, majd a w-t paraméternek tekintve az egyenletrendszert megoldjuk az u és v ismeretlenekre vonatkozóan: tX = cv ( u + v + w ) X = cv  Xu + ( X − c ) v = − wX ⇔ ⇔  tY = bw ( u + v + w ) Y = bw Yu + Yv = w ( b − Y ) . X X −c A Cramer-féle képletek alapján: ∆ = = ( X − X + c ) Y = cY ≠ 0 , Y Y X′=

−wX

∆u =

w( b − Y )

∆v =

X Y

X −c Y

= w − XY + ( X − c )(Y − b )  = w ( bc − bX − cY ) ,

− wX = wX ( b − Y + Y ) = bwX . Tehát w(b − Y )

u = bc − bX − cY , (2.33) v = bX , (2.34) w = cY . (2.35) Ezek az összefüggések érvényesek maradnak akkor is, ha az M pont az ABC háromszög valamelyik oldalegyenesén helyezkedik el. A kontravariáns koordinátákról a baricentrikus koordinátákra való áttérésrıl a 2.9. alfejezetben lesz szó.

2.9. A normált baricentrikus és kontravariáns koordináták közötti összefüggések Az M pont normált baricentrikus koordinátáit úgy kapjuk, hogy a baricentrikus koordinátákat elosztjuk a t = u + v + w = bc − bX − cY + bX + cY = bc ≠ 0 mennyiséggel. Tehát: 1 X Y u0 = ( bc − bX − cY ) , (2.36) v0 = , (2.37) w0 = . (2.38) bc c b A fordított irányú áttérés pedig az X = cv0 , (2.39) Y = bw0 (2.40) képletekkel lehetséges. A kontravariáns koordinátákról a baricentrikus koordinátákra úgy térünk át, hogy elıször baricentrikus koordinátákról áttérünk normált baricentrikusokra, majd pedig alkalmazzuk a (2.39) és (2.40) képleteket: cv bw X= , (2.41) Y= . (2.42) u+v+w u+v+w

39

2.10. A baricentrikus és kovariáns koordináták közötti összefüggések Az M pont kovariáns koordinátái legyenek

( p, q ) ,

baricentrikus

koordinátái pedig ( u , v, w ) (2.9. ábra). A (2.5), (2.6) valamint a (2.41) és (2.42) képletek alapján cv bw cv + bw cos A p = X + Y cos A = + cos A = , u+v+w u+v+w u+v+w cv bw cv cos A + bw q = X cos A + Y = cos A + = . u+v+w u+v+w u+v+w Tehát kovariáns koordinátákról baricentrikus koordinátákra a cv + bw cos A cv cos A + bw p= , (2.43) q= (2.44) u+v+w u+v+w képletek alapján térünk át. A fordított irányú áttéréshez alkalmazzuk a (2.33), (2.34), (2.35) valamint a (2.7) és (2.8) képleteket: b c u = bc − bX − cY = bc − 2 ( p − q cos A ) − 2 ( − p cos A + q ) = sin A sin A 1 = ( bc sin 2 A − bp + bq cos A + cp cos A − cq ) = sin 2 A 1 =  2σ sin A − p ( b − c cos A ) − q ( c − b cos A )  = sin 2 A  1  a a σ   = 2 2σ − a ( p cos C + q cos B)  = 2  − p cos C − q cos B  , sin A  2R  sin A  R  b c v = bX = ( p − q cos A) , w = cY = 2 ( − p cos A + q ) . 2 sin A sin A Tehát a baricentrikus koordinátákról a kovariáns koordinátákra való transzformációs képletek a következık: σ  u = a  − p cos C − q cos B  , (2.45) R  v = b ( p − q cos A) , (2.46)

w = c ( − p cos A + q ) . (2.47)

40

2.11. A normált baricentrikus és kovariáns koordináták közötti összefüggések Az M pont kovariáns koordinátái legyenek

( p, q ) ,

normált

baricentrikus koordinátái pedig ( u0 , v0 , w0 ) (2.9. ábra). A (2.5), (2.6) valamint a (2.39) és (2.40) képletek alapján p = X + Y cos A = cv0 + bw0 cos A és q = X cos A + Y = cv0 cos A + bw0 . Tehát kovariáns koordinátákról normált baricentrikus koordinátákra a p = cv0 + bw0 cos A , (2.48) q = cv0 cos A + bw0 (2.49) képletek alapján térünk át. A fordított irányú áttéréshez alkalmazzuk a (2.36), (2.37), (2.38) valamint a (2.7) és (2.8) képleteket: 1 a σ  u0 = ( bc − bX − cY ) =  − p cos C − q cos B  , 2 bc bc sin A  R  X 1 Y 1 v0 = = ( p − q cos A ) , w0 = = ( − p cos A + q ) . 2 c c sin A b b sin 2 A Tehát a normált baricentrikus koordinátákról a kovariáns koordinátákra való transzformációs képletek a következık: R σ  (2.50) u0 =  − p cos C − q cos B  , σR  bR cR v0 = ( p − q cos A ) , (2.51) w0 = ( − p cos A + q ) . (2.52) aσ aσ

2.12. A normált baricentrikus és valódi trilineáris koordináták közötti összefüggések Az M pont normált baricentrikus koordinátái legyenek ( u0 , v0 , w0 ) ,

valódi trilineáris koordinátái pedig (α 0 , β 0 , γ 0 ) . A (2.36), (2.37), (2.38) valamint a (2.16), (2.17) képletek alapján β γ  1 aα 1 1 u0 = ( bc − bX − cY ) =  bc − b 0 − c 0  = ( S − bβ0 − cγ 0 ) = 0 , bc bc  sin A sin A  S S β0 bβ 0 bβ γ0 cγ 0 cγ X Y v0 = = = = 0 , w0 = = = = 0. c c sin A bc sin A S b b sin A bc sin A S Tehát a normált baricentrikus koordinátákról a valódi trilineáris koordinátákra való transzformációs képletek a következık:

41

aα 0 bβ , (2.53) v0 = 0 , (2.54) S S A fordított irányú áttérés pedig az S S α 0 = u0 , (2.56) β 0 = v0 , (2.57) a b képletek alapján lehetséges. u0 =

w0 =

cγ 0 . (2.55) S

γ0 =

S w0 , (2.58) c

2.13. A baricentrikus és valódi trilineáris koordináták közötti összefüggések Az M pont baricentrikus koordinátái legyenek

( u : v : w) ,

valódi

trilineáris koordinátái pedig (α 0 , β 0 , γ 0 ) . A (2.33), (2.34), (2.35) valamint a (2.16), (2.17) képletek alapján β γ aα 1 u = bc − bX − cY = bc − b 0 − c 0 = ( S − bβ0 − cγ 0 ) = 0 , sin A sin A sin A sin A bβ 0 cγ 0 v = bX = , w = cY = . sin A sin A Tehát a baricentrikus koordinátákról a valódi trilineáris koordinátákra való transzformációs képletek a következık: u = aα 0 , (2.59) v = bβ 0 , (2.60) w = cγ 0 . (2.61) A fordított irányú áttéréshez elıször baricentrikus koordinátákról áttérünk normált baricentrikusokra, majd pedig alkalmazzuk a (2.56), (2.57) és (2.58) képleteket: S u S v S w α0 = , (2.62) β 0 = , (2.63) γ 0 = . (2.64) a u+v+w b u+v+w c u+v+w

2.14. A derékszögő és valódi trilineáris koordináták közötti összefüggések Kapcsoljunk az ABC háromszöghöz egy xAy derékszögő koordinátarendszert is úgy, hogy az Ax tengely essen egybe az AX tengellyel (2.10. ábra). Az M pont derékszögő koordinátái legyenek ( x, y ) , kontravariáns koordinátái

(α 0 , β 0 , γ 0 ) .

( X ,Y ) ,

valódi trilineáris koordinátái pedig

42

A (2.1), (2.2), valamint a (2.16), (2.17) képletek alapján β γ cos A 1 x = X + Y cos A = 0 + 0 = ( β0 + γ 0 cos A) és sin A sin A sin A y = Y sin A = γ 0 . Tehát a derékszögő koordinátákról a valódi trilineáris koordinátákra való transzformációs képletek a következık: 1 x= y = γ 0 . (2.66) ( β 0 + γ 0 cos A) , (2.65) sin A A fordított irányú áttérés az alábbi képletek alapján lehetséges: γ0 = y ,

β 0 = x sin A − γ 0 cos A = x sin A − y cos A , 1 1 ( S − bβ0 − cγ 0 ) =  S − b ( x sin A − y cos A ) − cy  = a a 1 1 =  S − bx sin A − ( c − b cos A ) y  = ( S − bx sin A − ay cos B ) = a a 1  abc ab  bc =  − x − ay cos B  = − x sin B − y cos B . a  2R 2R  2R Tehát valódi trilineáris koordinátákról derékszögő koordinátákra az bc α0 = − x sin B − y cos B , (2.67) β 0 = x sin A − y cos A , (2.68) 2R γ 0 = y . (2.69) képletek alapján térhetünk át.

α0 =

43

2.15. A derékszögő és trilineáris koordináták közötti összefüggések

( x, y ) , kontravariáns (α , β , γ ) (2.10. ábra). A

Az M pont derékszögő koordinátái legyenek

koordinátái ( X , Y ) , trilineáris koordinátái pedig (2.1), (2.2), valamint a (2.26), (2.27) képletek alapján bc β bcγ cos A bc x = X + Y cos A = + = ( β + γ cos A ) , aα + bβ + cγ aα + bβ + cγ aα + bβ + cγ bcγ sin A Sγ y = Y sin A = = . aα + bβ + cγ aα + bβ + cγ Tehát a derékszögő koordinátákról a trilineáris koordinátákra való transzformációs képletek a következık: bc ( β + γ cos A ) Sγ x= , (2.70) y= . (2.71) aα + bβ + cγ aα + bβ + cγ A fordított irányú áttérés a (2.67), (2.68) és (2.69) képletek alapján lehetséges.

2.16. A derékszögő és normált baricentrikus koordináták közötti összefüggések Az M pont derékszögő koordinátái legyenek

( x, y ) ,

kontravariáns

koordinátái ( X , Y ) , normált baricentrikus koordinátái pedig ( u0 , v0 , w0 ) . A (2.1), (2.2), valamint a (2.39), (2.40) képletek alapján x = X + Y cos A = cv0 + bw0 cos A és y = Y sin A = bw0 sin A . Tehát a derékszögő koordinátákról a normált baricentrikus koordinátákra való transzformációs képletek a következık: x = cv0 + bw0 cos A , (2.72) y = bw0 sin A . (2.73) A fordított irányú áttérés az alábbi képletek alapján lehetséges: y c w0 = = y, b sin A S 1 1 y  b v0 = ( x − bw0 cos A ) =  x − cos A  = ( x sin A − y cos A ) , c c sin A  S b c a  bc  u0 = 1 − v0 − w0 = 1 − ( x sin A − y cos A ) − y =  − x sin B − y cos B  . S S S  2R  Tehát

44

a  bc  − x sin B − y cos B  , (2.74)  S  2R  b c v0 = ( x sin A − y cos A ) , (2.75) w0 = y . (2.76) S S

u0 =

2.17. A derékszögő és baricentrikus koordináták közötti összefüggések

( x, y ) , kontravariáns pedig ( u , v, w ) . Elıször

Az M pont derékszögő koordinátái legyenek

koordinátái ( X , Y ) , baricentrikus koordinátái baricentrikus koordinátákról áttérünk normált baricentrikusokra, majd alkalmazzuk a (2.1), (2.2), valamint a (2.41), (2.42) képleteket cv bw cos A cv + bw cos A x = X + Y cos A = + = és u+v+w u+v+w u+v+w bw sin A y = Y sin A = . u+v+w Tehát a derékszögő koordinátákról a baricentrikus koordinátákra való transzformációs képletek a következık: cv + bw cos A bw sin A x= , (2.77) y = . (2.78) u+v+w u+v+w A fordított irányú áttérés az alábbi képletek alapján lehetséges:  bc  u = a − x sin B − y cos B  , (2.79)  2R  v = b ( x sin A − y cos A ) , (2.80) w = cy . (2.81) Ezeknek a transzformációs képleteknek a segítségével az M pont 1. fejezetben tárgyalt bármely fajta koordinátája megkapható valamelyik koordináta-típus ismeretében. Ajánlatos mindig a legkönnyebben meghatározható koordináta-fajtából kiindulni. Affin koordinátarendszereknél az áttérés megvalósítható általánosan.   A síkban válasszunk egy rögzített O pontot és egy ( i , j ) bázist, azaz egy     K = ( O, i , j ) affin koordinátarendszert. Legyen K ′ = ( O′, i′, j ′ ) egy másik          affin koordinátarendszer. Ha OO′ = ai + bj , i′ = a11i + a21 j , j ′ = a12 i + a22 j ,

45

a12  a akkor az áttérési mátrix A =  11  . Ha az A mátrix nem szinguláris,  a21 a22     akkor az OM = OO′ + O′M reláció alapján  x  x′   a   x′  −1  x  −1  a    = A  ′  +   ⇔  ′  = A   − A   , ahol ( x, y ) illetve  y  y  b y   y b

( x′, y′ )

az M pont koordinátái a két rendszerben. A 2. fejezet eredményeit egy külön táblázatban, az 1. függelékben foglaltuk össze.

46

3. fejezet Síkmértani alakzatok és a közöttük levı kapcsolatok algebrai jellemzése különbözı koordináta-fajtákban Az analitikus geometriában maga a módszer abban a pillanatban dıl el, amikor megválasztjuk a vonatkoztatási rendszert és a koordináta típusát. Ezért olyan fontos, hogy a geometriai feltételeket, tulajdonságokat, viszonyokat kifejezı egyenlıségek, egyenlıtlenségek, összefüggések mennyire bonyolultak vagy nem. Ezt pedig csak akkor lehet eldönteni, ha lehetıség van azok összevetésére, összehasonlítására. Az értekezésnek ebben a fejezetében pontosan errıl van szó, persze csak illusztrálásképpen, de a 2. fejezet áttérési képleteinek birtokában ez tovább vihetı, kiterjeszthetı a geometria más területeire. Az a kérdés is nagyon érdekelt és foglalkoztatott, hogy a különbözı geometriai viszonyokat kifejezı összefüggések mennyire formalizálhatók, azazhogy melyek nem koordinátafüggık? Ennek annyiban van jelentısége, hogy az itt tárgyalt hét koordináta-fajtának megfelelı hét képlet helyett csak egyet kell megjegyezni-megtanulni, ha azok formálisan koordinátafüggetlenek.

3.1. Két pont távolsága. Szakasz hossza Derékszögő koordinátákban. A P = ( x, y ) és P′ = ( x′, y′ ) derékszögő koordinátáikkal adott pontok távolsága illetve az általuk meghatározott szakasz hossza:

PP′ =

( x − x′ ) + ( y − y ′ ) 2

2

.

Kontravariáns koordinátákban. A P = ( X , Y ) és P′ = ( X ′, Y ′ ) kontravariáns koordinátáikkal adott pontok távolságát az elıbbi képlet segítségével számíthatjuk ki, áttérve derékszögő koordinátákra:

47

PP′ = =

( X + Y cos θ − X ′ − Y ′ cos θ ) + (Y sin θ − Y ′ sin θ ) 2

( X − X ′ ) + (Y − Y ′ ) 2

2

2

=

+ 2 ( X − X ′ )(Y − Y ′ ) cos θ .

Kovariáns koordinátákban. A P = ( p, q ) és P′ = ( p′, q′ ) kovariáns koordinátáikkal adott pontok által meghatározott szakasz hosszát szintén az elıbbi képlet segítségével kapjuk, áttérve derékszögő koordinátákra: 1 2 2 PP′ = ( p − p′ ) + 2 ( − p cos θ + q + p′ cos θ − q′ ) = sin θ 1 2 2 = ( p − p′ ) + ( q − q′ ) − 2 ( p − p′)( q − q′ ) cos θ sin θ Valódi trilineáris koordinátákban. A P = (α , β , γ ) és P′ = (α ′, β ′, γ ′ ) valódi trilineáris koordinátáikkal adott pontok által meghatározott szakasz hosszának kiszámítása végett áttérünk derékszögő koordinátákra: 1 2 2 PP′ = ( β + γ cos A − β ′ − γ ′ cos A) + ( γ − γ ′ ) = 2 sin A 1 2 2 = ( β − β ′ ) + ( γ − γ ′ ) + 2 ( β − β ′ )( γ − γ ′ ) cos A sin A Mivel aα + bβ + cγ = S = aα ′ + bβ ′ + cγ ′ , ezért b c 2 (α − α ′) = − (α − α ′ )( β − β ′) − (α − α ′)(γ − γ ′ ) , a a a c 2 ( β − β ′ ) = − (α − α ′)( β − β ′) − ( β − β ′ )( γ − γ ′ ) , b b a b 2 ( γ − γ ′) = − (α − α ′)(γ − γ ′) − ( β − β ′ )( γ − γ ′ ) . c c 1 2 2 Tehát PP′ = ( β − β ′) + (γ − γ ′) + 2 ( β − β ′)( γ − γ ′) cos A = sin A 1 a c = − (α − α ′)( β − β ′) − ( β − β ′)( γ − γ ′) −⋯ + 2 ( β − β ′)( γ − γ ′) cos A = sin A b b 1 = −abc a ( β − β ′ )( γ − γ ′) + b ( γ − γ ′)(α − α ′ ) + c (α − α ′ )( β − β ′ )  = bc sin A 1 = − abc  a ( β − β ′ )( γ − γ ′ ) + b ( γ − γ ′ )(α − α ′ ) + c (α − α ′ )( β − β ′ )  . S Ez utóbbi képlet átírható az alábbi formába is: 2 2 2 a (α − α ′ ) cos A + b ( β − β ′ ) cos B + c ( γ − γ ′ ) cos C =

48

= − ( c cos B + b cos C )( β − β ′ )( γ − γ ′ ) −

− ( a cos C + c cos A )( γ − γ ′ )(α − α ′ ) − ( b cos A + a cos B )(α − α ′ )( β − β ′ ) = = −a ( β − β ′ )( γ − γ ′ ) − b ( γ − γ ′ )(α − α ′ ) − c (α − α ′ )( β − β ′ ) , azaz

PP′ = 1 − abc  a ( β − β ′ )( γ − γ ′ ) + b ( γ − γ ′ )(α − α ′ ) + c (α − α ′ )( β − β ′ )  = S 1 2 2 2 = abc  a (α − α ′ ) cos A + b ( β − β ′ ) cos B + c ( γ − γ ′ ) cos C  =   S 1 2 2 2 a 2 (α − α ′ ) S A + b 2 ( β − β ′ ) S B + c 2 ( γ − γ ′ ) SC . = S Sıt, a távolságképlet tovább alakítható és újabb formákba írható fel (lásd még [20], 78. oldal). Alább megadunk még két képletet: =

PP′ = = −

(α − α ′ )

2

sin 2 A + ( β − β ′ ) sin 2 B + ( γ − γ ′ ) sin 2C 2

2

sin A sin B sin C

=

( β − β ′ )( γ − γ ′ ) sin A + ( γ − γ ′ )(α − α ′ ) sin B + (α − α ′ )( β − β ′ ) sin C

sin A sin B sin C Normált baricentrikus koordinátákban. A P = ( u, v, w) és P′ = ( u′, v′, w′) normált baricentrikus koordinátáikkal adott pontok távolságának kiszámítása végett áttérünk valódi trilineáris koordinátákra: PP′ =

=

 S2  1 S2 S2 −abc  a ( v − v′ )( w − w′ ) + b ( w − w′ )( u − u′ ) + c ( u − u′ )( v − v′ )  = S ca ab  bc 

= − a 2 ( v − v′ )( w − w′ ) − b 2 ( w − w′ )( u − u ′ ) − c 2 ( u − u ′ )( v − v′ ) =

 S2  1 S2 S2 2 2 2 ′ ′ = abc  a 2 ( u − u ) cos A + b 2 ( v − v ) cos B + c 2 ( w − w′ ) cos C  = S b c  a  = bc ( u − u′ ) cos A + ca ( v − v′ ) cos B + ab ( w − w′ ) cos C = 2

=

( u − u′ )

2

2

2

S A + ( v − v′ ) S B + ( w − w′ ) SC . 2

2

Megjegyzés. Ha a P és P′ pontok trilineáris illetve baricentrikus koordinátáikkal adottak, akkor elıször áttérünk valódi trilineáris illetve normált baricentrikus koordinátákra, majd alkalmazzuk a megfelelı képletet a PP′ szakasz hosszának kiszámítására.

49

3.2. Szakaszt adott arányban osztó pont koordinátái Derékszögő koordinátákban. Legyenek M 1 = ( x1 , y1 ) és M 2 = ( x2 , y2 ) derékszögő koordinátáikkal adott pontok. Ha az M = ( x, y ) pont az M 1 M 2 szakaszt a k =

MM 1 arányban MM 2

x1 − kx2 y − ky2 és y = 1 . 1− k 1− k Ha k < 0 , akkor az M pont az M 1 M 2 szakasz belsı pontja, ha pedig

osztja, akkor x =

k > 0 és k ≠ 1 , akkor az M pont az M 1 M 2 szakaszon kívül, de az M 1M 2 egyenesen helyezkedik el. Ugyanez érvényes kontravariáns és kovariáns koordinátákra is. Valódi trilineáris koordinátákban. Legyenek M 1 = (α1 , β1 , γ 1 ) és M 2 = (α 2 , β 2 , γ 2 ) valódi trilineáris koordinátáikkal adott pontok. Ha az M = (α , β , γ ) szintén valódi trilineáris

MM 1 arányban osztja, MM 2 x − kx2 y − ky2 akkor áttérve derékszögő koordinátákra, az x = 1 és y = 1 1− k 1− k képletek alapján:  β1 + γ 1 cos A − k ( β 2 + γ 2 cos A ) β − k β2  β= 1  β + γ cos A =   1− k 1− k ⇔  γ = γ 1 − kγ 2 γ = γ 1 − kγ 2 .  1− k  1− k Mivel aα + bβ + cγ = S , aα1 + bβ1 + cγ 1 = S és aα 2 + bβ 2 + cγ 2 = S , érvényes az alábbi egyenértékő átalakítás: β − k β2 γ − kγ 2 α − kα 2 aα + b 1 +c 1 = S ⇔α = 1 . 1− k 1− k 1− k  α − kα 2 β1 − k β 2 γ 1 − kγ 2  Tehát M =  1 , ,  . Ugyanez érvényes normált 1− k 1− k   1− k baricentrikus koordinátákra is. koordinátáival adott pont az M 1 M 2 szakaszt a k =

50

3.3. Két pont által meghatározott egyenes egyenlete Derékszögő koordinátákban. Az M 1 = ( x1 , y1 ) és M 2 = ( x2 , y2 ) derékszögő koordinátáikkal adott pontok által meghatározott M 1M 2 egyenes egyenlete

x

y

1

( y1 − y2 ) x − ( x1 − x2 ) y + x1 y2 − y1 x2 = 0 ⇔

x1 y1 1 = 0 . x2 y2 1 Kontravariáns és kovariáns koordinátákban az egyenes egyenlete formálisan ugyanez lesz. Az egyenes egyenlete derékszögő, kontravariáns és kovariáns koordinátákban lx + my + n = 0 alakú, ahol az l, m, n együtthatók egyszerre nem nullák, az ( x, y ) pedig az egyenes M futópontjának koordinátái.

Trilineáris koordinátákban. Az M 1 = (α1 : β1 : γ 1 ) és M 2 = (α 2 : β 2 : γ 2 ) trilineáris koordinátáikkal adott pontok által meghatározott M 1M 2 egyenes egyenletét determináns alakban megkaphatjuk, ha áttérünk például kontravariáns koordinátákra bcβ bcγ aα + bβ + cγ α β γ

bcβ1 bcγ 1 aα1 + bβ1 + cγ 1 = 0 ⇔ α1 β1 γ 1 = 0 . bcβ 2 bcγ 2 aα 2 + bβ 2 + cγ 2 α 2 β2 γ 2 Baricentrikus koordinátákban az egyenes egyenlete formálisan ugyanez lesz. Az egyenes egyenlete trilineáris és baricentrikus koordinátákban lx + my + nz = 0 alakú, ahol az l, m, n együtthatók egyszerre

nem nullák, az ( x : y : z ) pedig az egyenes M futópontjának koordinátái.

3.4. Három pont kollinearitási feltétele Derékszögő koordinátákban. Az M1 = ( x1, y1 ) , M 2 = ( x2 , y2 ) , M3 = ( x3 , y3 ) derékszögő koordinátáikkal adott pontok akkor és csak akkor vannak egy egyenesen (azaz kollineárisak), ha x1 y1 1

x2 x3

y2 1 = 0 ⇔ ( y1 − y2 ) x3 − ( x1 − x2 ) y3 + x1 y2 − y1 x2 = 0 . y3 1

51

Kontravariáns és kovariáns koordinátákban a kollinearitási feltétel formálisan ugyanez lesz. Trilineáris koordinátákban. Az M 1 = (α1 : β1 : γ 1 ) , M 2 = (α 2 : β 2 : γ 2 ) , M 3 = (α 3 : β 3 : γ 3 ) trilineáris koordinátáikkal adott pontok akkor és csak akkor vannak egy egyenesen (azaz kollineárisak), ha

α1 β1 γ 1 α 2 β2 γ 2 = 0 ⇔ ( β1γ 2 − γ 1β2 ) α 3 + ( γ 1α 2 − α1γ 2 ) β3 + (α1β 2 − β1α 2 ) γ 3 = 0 . α 3 β3 γ 3 Baricentrikus koordinátákban a kollinearitási feltétel formálisan ugyanez lesz.

3.5. Három egyenes összefutási feltétele Derékszögő koordinátákban. Tekintsük a derékszögő koordinátákban adott L1 : l1 x + m1 y + n1 = 0, L2 : l2 x + m2 y + n2 = 0, L3 : l3 x + m3 y + n3 = 0 egyeneseket. Tegyük fel, hogy az L1 és L2 egyenesek az M pontban metszik

l1 x + m1 y = −n1 egymást. Az M pont koordinátáit az  egyenletrendszer l2 x + m2 y = −n2  m n −n m nl −l n  megoldásaként kapjuk: M =  1 2 1 2 , 1 2 1 2  .  l1m2 − m1l2 l1m2 − m1l2  Az L1 , L2 és L3 egyenesek akkor és csak akkor összefutók (mennek át ugyanazon az M ponton), ha M ∈ L3 , azaz mn −nm n l −l n l3 1 2 1 2 + m3 1 2 1 2 + n3 = 0 ⇔ l1m2 − m1l2 l1m2 − m1l2

⇔ l3 ( m1n2 − n1m2 ) + m3 ( n1l2 − l1n2 ) + n3 ( l1m2 − m1l2 ) = 0 ⇔ l1

m1

n1

⇔ l2 m2 n2 = 0 . l3 m3 n3 Kontravariáns és kovariáns koordinátákban az összefutási feltétel formálisan ugyanez lesz. Trilineáris koordinátákban. Tekintsük a trilineáris koordinátákban adott L1 : l1α + m1β + n1γ = 0, L2 : l2α + m2 β + n2γ = 0, L3 : l3α + m3 β + n3γ = 0

52

egyeneseket. Tegyük fel, hogy az L1 és L2 egyenesek az M pontban metszik

l1α + m1β = −n1γ egymást. Az M pont koordinátáit az  egyenletrendszer l2α + m2 β = −n2γ megoldásaként kapjuk: M = ( m1n2 − n1m2 , n1l2 − l1n2 , l1m2 − m1l2 ) . Az L1 , L2 és L3 egyenesek akkor és csak akkor összefutók (mennek át ugyanazon az M ponton), ha M ∈ L3 , azaz

l3 ( m1n2 − n1m2 ) + m3 ( n1l2 − l1n2 ) + n3 ( l1m2 − m1l2 ) = 0 ⇔ l1

m1

n1

⇔ l2 m2 n2 = 0 . l3 m3 n3 Baricentrikus koordinátákban az összefutási feltétel formálisan ugyanez lesz.

3.6. A háromszög területe Derékszögő koordinátákban. Az M 1 = ( x1 , y1 ) , M 2 = ( x2 , y2 ) , M 3 = ( x3 , y3 ) derékszögő koordinátáikkal adott pontok által meghatározott háromszög területe x1 y1 1 1 TM1M 2 M 3 = ∆ , ahol ∆ = x2 y2 1 . 2 x3 y3 1 Kontravariáns koordinátákban. Az M 1 = ( X 1 , Y1 ) , M 2 = ( X 2 , Y2 ) , M 3 = ( X 3 , Y3 ) kontravariáns koordinátáikkal adott pontok által meghatározott háromszög területe X 1 Y1 1 sin θ TM1M 2 M 3 = ∆ , ahol ∆ = X 2 Y2 1 . 2 X 3 Y3 1 Valóban, kontravariáns koordinátákról áttérve derékszögő koordinátákra M 1 = ( X 1 + Y1 cos θ , Y1 sin θ ) , M 2 = ( X 2 + Y2 cos θ , Y2 sin θ ) , M 3 = ( X 3 + Y3 cos θ , Y3 sin θ ) .

53

X 1 + Y1 cos θ Tehát ∆1 = X 2 + Y2 cos θ

X 3 + Y3 cos θ X1

Y1 sin θ

1

X1

Y1 1

Y2 sin θ 1 = sin θ X 2 Y2 1 = sin θ ⋅ ∆ , ahol Y3 sin θ 1 X 3 Y3 1

Y1 1

1 sin θ ∆ = X 2 Y2 1 . Következésképpen TM1M 2 M 3 = ∆1 = ∆. 2 2 X 3 Y3 1 Kovariáns koordinátákban. Az M1 = ( p1, q1 ) , M 2 = ( p2 , q2 ) , M3 = ( p3 , q3 ) kovariáns koordinátáikkal adott pontok által meghatározott háromszög területe p1 q1 1 1 TM1M 2 M 3 = ∆ , ahol ∆ = p2 q2 1 . 2sin θ p3 q3 1 Valóban, kovariáns koordinátákról áttérve derékszögő koordinátákra 1 1  M 1 =  p1 , ( − p1 cos θ + q1 )  , M 2 =  p2 , ( − p2 cos θ + q2 )  , θ θ sin sin     1  M 3 =  p3 , ( − p3 cos θ + q3 )  . sin θ   1 p1 ( − p1 cos θ + q1 ) 1 sin θ p1 q1 1 1 1 ∆ Tehát ∆ 2 = p2 p2 q2 1 = , ahol ( − p2 cos θ + q2 ) 1 = sin θ sin θ sin θ p3 q3 1 1 p3 ( − p3 cos θ + q3 ) 1 sin θ p1 q1 1 1 1 ∆ = p2 q2 1 . Következésképpen TM1M 2 M 3 = ∆ 2 = ∆. 2 2sin θ p3 q3 1 Valódi trilineáris koordinátákban. Az M 1 = (α1 , β1 , γ 1 ) , M 2 = (α 2 , β 2 , γ 2 ) , M 3 = (α 3 , β3 , γ 3 ) valódi trilineáris koordinátáikkal adott pontok által meghatározott háromszög területe

α1

TM1M 2 M 3

abc = 2 ∆ , ahol ∆ = α 2 2S

α3

54

β1 γ 1 β2 γ 2 . β3 γ 3

Valóban, valódi trilineáris koordinátákról áttérve derékszögő koordinátákra 1  1 M1 =  ( β1 + γ 1 cos A) , γ 1  , M 2 =  ( β 2 + γ 2 cos A ) , γ 2  ,  sin A   sin A   1 M3 =  ( β3 + γ 3 cos A) , γ 3  .  sin A  Tehát β1 + γ 1 cos A γ 1 1 β1 γ 1 1 1 β1 γ 1 1 1 1 ∆3 = β 2 + γ 2 cos A γ 2 1 = β2 γ 2 1 = 1 β2 γ 2 = sin A sin A sin A β3 + γ 3 cos A γ 3 1 β3 γ 3 1 1 β3 γ 3

aα1 + bβ1 + cγ 1 1 = aα 2 + bβ 2 + cγ 2 S sin A aα 3 + bβ3 + cγ 3

β1 γ 1 α1 β1 γ 1 a a∆ , β2 γ 2 = α 2 β2 γ 2 = S sin A S sin A β3 γ 3 α 3 β3 γ 3

α1 β1 γ 1 ahol ∆ = α 2 β 2 γ 2 . Következésképpen α 3 β3 γ 3 1 a abc abc ∆3 = ∆ = ∆ = 2 ∆. 2 2 S sin A 2 Sbc sin A 2S Normált baricentrikus koordinátákban. Az M 1 = ( u1 , v1 , w1 ) , M 2 = ( u2 , v2 , w2 ) , M 3 = ( u3 , v3 , w3 ) normált baricentrikus koordinátáikkal adott pontok által meghatározott háromszög területe u1 v1 w1 TM1M 2 M 3 =

TM1M 2 M 3 = σ ∆ , ahol ∆ = u2 v2 w2 . u3 v3 w3 Valóban, normált baricentrikus koordinátákról áttérve valódi trilineáris koordinátákra S S  S S  S S  S S S M 1 =  u1 , v1 , w1  , M 2 =  u2 , v2 , w2  , M 3 =  u3 , v3 , w3  . b c  b c  b c  a a a u1 v1 w1 u1 v1 w1 S3 S 3∆ , ahol ∆ = u2 v2 w2 . Tehát ∆ 4 = u2 v2 w2 = abc abc u3 v3 w3 u3 v3 w3 abc abc S 3 S ∆ = ⋅ ∆ = ∆ =σ ∆ . 4 2 2 2S 2 S abc 2 Megjegyzés. Ha az M 1 , M 2 , M 3 pontok trilineáris illetve baricentrikus koordinátáikkal adottak, akkor elıször áttérünk valódi trilineáris illetve

Következésképpen TM1M 2 M 3 =

55

normált baricentrikus koordinátákra, majd alkalmazzuk a megfelelı képletet az M 1M 2 M 3 háromszög területének kiszámítására.

3.7. Két egyenes párhuzamossági feltétele Derékszögő koordinátákban. Tekintsük a derékszögő koordinátákban adott L : lx + my + n = 0 és L′ : l ′x + m′y + n′ = 0 egyeneseket. Ha l 2 + m′2 = 0 vagy l ′2 + m2 = 0 , akkor az egyik egyenes párhuzamos az Ox, a másik egyenes pedig az Oy tengellyel, következésképpen egymással nem lehetnek párhuzamosak. Tehát ahhoz, hogy a két egyenes párhuzamos legyen szükséges, hogy lm′ ≠ 0 és l ′m ≠ 0 . A párhuzamosság szükséges és elégséges feltétele, hogy az egyenesek iránytényezıi egyenlık legyenek, azaz l m l l′ ⇔ lm′ − l ′m = 0 ⇔ =0. L  L′ ⇔ = l ′ m′ m m′ Ha l 2 + l ′2 = 0 és mm′ ≠ 0, akkor L  Ox  L′ . Ha m 2 + m′2 = 0 és ll ′ ≠ 0, akkor L  Oy  L′ . Ha

l m n = = , akkor a két l ′ m′ n′

egyenes egybeesik. Kontravariáns koordinátákban. Tekintsük a kontravariáns koordinátákban L : lX + mY + n = 0 és L′ : l ′X + m′Y + n′ = 0 egyeneseket. Ha adott 2 2 2 2 ′ ′ l + m = 0 vagy l + m = 0 , akkor az egyik egyenes párhuzamos az Ox, a másik egyenes pedig az Oy tengellyel, következésképpen egymással nem lehetnek párhuzamosak. Tehát ahhoz, hogy a két egyenes párhuzamos legyen szükséges, hogy lm′ ≠ 0 és l ′m ≠ 0 . Átírjuk az egyenesek egyenleteit derékszögő koordinátákra: L : l ( sin θ ) x + ( m − l cos θ ) y + n sin θ = 0 ,

L′ : l ′ ( sin θ ) x + ( m′ − l ′ cos θ ) y + n′ sin θ = 0 .

Tehát L  L′ ⇔

l m l sin θ l ′ sin θ = ⇔ lm′ − l ′m = 0 ⇔ = 0. l ′ m′ m − l cos θ m′ − l ′ cos θ

Ha l 2 + l ′2 = 0 és mm′ ≠ 0, akkor L  Ox  L′ . Ha m 2 + m′2 = 0 és ll ′ ≠ 0, akkor L  Oy  L′ . Ha

l m n = = , akkor a két l ′ m′ n′

egyenes egybeesik. Kovariáns koordinátákban. Tekintsük a kovariáns koordinátákban adott L : lp + mq + n = 0 és L′ : l ′p + m′q + n′ = 0 egyeneseket. Ha l 2 + m′2 = 0 vagy l ′2 + m2 = 0 , akkor az egyik egyenes párhuzamos az Ox, a másik egyenes

56

pedig az Oy tengellyel, következésképpen egymással nem lehetnek párhuzamosak. Tehát ahhoz, hogy a két egyenes párhuzamos legyen szükséges, hogy lm′ ≠ 0 és l ′m ≠ 0 . Átírjuk az egyenesek egyenleteit derékszögő koordinátákra: L : ( l + m cos θ ) x + m ( sin θ ) y + n = 0 ,

L′ : ( l ′ + m′ cos θ ) x + m′ ( sin θ ) y + n′ = 0 .

Tehát L  L′ ⇔

l m l + m cos θ l ′ + m′ cos θ = ⇔ lm′ − l ′m = 0 ⇔ =0. l ′ m′ m sin θ m′ sin θ

Ha l 2 + l ′2 = 0 és mm′ ≠ 0, akkor L  Ox  L′ . Ha m 2 + m′2 = 0 és ll ′ ≠ 0, akkor L  Oy  L′ . Ha

l m n = = , akkor a két l ′ m′ n′

egyenes egybeesik. Trilineáris koordinátákban. Tekintsük a trilineáris koordinátákban adott L : lα + mβ + nγ = 0 és L′ : l ′α + m′β + n′γ = 0 egyeneseket. Átírjuk az egyenesek egyenleteit kontravariáns koordinátákra: L : ( am − bl ) X + ( an − cl ) Y + bcl = 0 ,

L′ : ( am′ − bl ′ ) X + ( an′ − cl ′ ) Y + bcl ′ = 0 .

Tehát

L  L′ ⇔ ( am − bl )( an′ − cl ′ ) − ( am′ − bl ′ )( an − cl ) = 0 ⇔

a b c m n n l l m ⇔a +b +c = 0 ⇔ l m n = 0. m′ n′ n′ l ′ l ′ m′ l ′ m′ n′ Baricentrikus koordinátákban. Tekintsük a baricentrikus koordinátákban adott L : lu + mv + nw = 0 és L′ : l ′u + m′v + n′w = 0 egyeneseket. Átírjuk az egyenesek egyenleteit trilineáris koordinátákra: L : alα + bmβ + cnγ = 0 , L′ : al ′α + bm′β + cn′γ = 0 . 1 1 1 m n n l l m Tehát L  L′ ⇔ + + = 0 ⇔ l m n = 0. m′ n′ n′ l ′ l ′ m′ l ′ m′ n′

57

3.8. Adott ponton átmenı adott egyenessel párhuzamos egyenes egyenlete Derékszögő koordinátákban. Legyen L az lx + my + n = 0 ( lm ≠ 0 ) egyenlető adott egyenes és P = ( x′, y′ ) az adott pont derékszögő koordinátákban ( P ∉ L) . Keressük annak az L′ egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P ponton és párhuzamos az L egyenessel. Ha az L′ egyenes egyenlete l ′x + m′y + n′ = 0 , akkor P ∈ L′ ⇔ l ′x′ + m′y′ + n′ = 0 , L  L′ ⇔ lm′ − l ′m = 0 . Ha OP  L , akkor L′ ≡ OP és az L′ egyenlete lx + my = 0 ⇔ y′x − x′y = 0 . Ha viszont az OP egyenes nem párhuzamos az L egyenessel, akkor lx′ + my′ ≠ 0 és n′ ≠ 0 , következésképpen l ⋅ n′ m ⋅ n′ l′ = − és m′ = − . lx′ + my′ lx′ + my′ Tehát az L′ egyenes egyenlete: x y 1 lx + my − lx′ − my′ = 0 ⇔ x′ y′ 1 = 0 .

m −l 0 Az elıbbi gondolatmenetet megismételve kontravariáns és kovariáns koordinátákra, az L′ egyenes egyenlete formálisan ugyanez lesz. A fenti levezetés hasonló az alább következı trilineáris és baricentrikus koordinátákban való tárgyaláshoz. Leírását elsısorban ez az analógia indokolja, mivel a derékszögő, kontravariáns és kovariáns koordináták esetében az L′ egyenes egyenletének meghatározására van egyszerőbb lehetıség is. Valóban, mivel L  L′ , az L′ egyenes egyenlete lx + my + n′ = 0 alakú, a P ∈ L′ feltételbıl pedig n′ = − ( lx′ + my′ ) . Tehát az L′ egyenes egyenlete lx + my − lx′ − my′ = 0 . Trilineáris koordinátákban. Legyen L az lα + mβ + nγ = 0 egyenlető adott egyenes és P = (α ′ : β ′ : γ ′ ) az adott pont trilineáris koordinátákban ( P ∉ L) . Keressük annak az L′ egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P ponton és párhuzamos az L egyenessel. Ha az L′ egyenes egyenlete l ′α + m′β + n′γ = 0 , akkor P ∈ L′ ⇔ l ′α ′ + m′β ′ + n′γ ′ = 0 ,

58

a

b

c

b c c L  L′ ⇔ l m n = 0 ⇔ l′ + m n n l ′ m′ n′ Bevezetjük az alábbi jelöléseket: b c c a λa = = bn − cm, λb = = cl − an, λc = m n n l

a a b m′ + n′ = 0 . l l m

a

b

l

m

= am − bl .

α ′l ′ + β ′m′ = −γ ′n′ egyenletrendszert  λa l ′ + λb m′ = −λc n′ ismeretlenekre azt kapjuk, hogy l ′ = β ′λc − γ ′λb , m′ = γ ′λa − α ′λc , n′ = α ′λb − β ′λa . Tehát az L′ egyenes egyenlete: Megoldva

az

β′ γ ′ γ ′ α′ α′ β′ α+ β+ γ =0⇔ λb λc λc λa λa λb

α α′

β β′

l′

az

γ γ′

és

m′

= 0.

bn − cm cl − an am − bl

Baricentrikus koordinátákban. Legyen L az lu + mv + nw = 0 egyenlető adott egyenes és P = ( u′ : v′ : w′ ) az adott pont baricentrikus koordinátákban ( P ∉ L) . Keressük annak az L′ egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P ponton és párhuzamos az L egyenessel. Ha az L′ egyenes egyenlete l ′u + m′v + n′w = 0 , akkor P ∈ L′ ⇔ l ′u ′ + m′v′ + n′w′ = 0 , 1 1 1 1 1 1 1 1 1 L  L′ ⇔ l m n = 0 ⇔ l′ + m′ + n′ = 0 . m n n l l m l ′ m′ n′ Bevezetjük az alábbi jelöléseket: 1 1 1 1 1 1 µa = = n − m, µb = = l − n, µ c = = m−l . m n n l l m

u′l ′ + v′m′ = − w′n′ Megoldva az  egyenletrendszert az l ′ és m′ ismeret′ ′ ′ µ l + µ m = − µ n b c  a ′ lenekre azt kapjuk, hogy l = v′µc − w′µb , m′ = w′µa − u ′µc , n′ = u ′µb − v′µa . Tehát az L′ egyenes egyenlete: u v w v′ w′ w′ u′ u ′ v′ u+ v+ w = 0 ⇔ u′ v′ w′ = 0 .

µb

µc

µc

µa

µa

µb

n−m l −n m−l

59

3.9. Két egyenes merılegességi feltétele Derékszögő koordinátákban. Tekintsük a derékszögő koordinátákban adott L : lx + my + n = 0 és L′ : l ′x + m′y + n′ = 0 egyeneseket. Ha l 2 + l ′2 = 0 vagy m 2 + m′2 = 0 , akkor az egyenesek párhuzamosak. Tehát ahhoz, hogy a két egyenes merıleges legyen szükséges, hogy ll ′ ≠ 0 és mm′ ≠ 0 . A merılegesség szükséges és elégséges feltétele l m l m′ L ⊥ L′ ⇔ = − ⇔ ll ′ + mm′ = 0 ⇔ =0. − m′ l ′ m l′ Ha l 2 + m′2 = 0 és l ′m ≠ 0, akkor L ⊥ Oy és L′ ⊥ Ox, azaz L ⊥ L′ . Ha l ′2 + m 2 = 0 és lm′ ≠ 0, akkor L ⊥ Ox és L′ ⊥ Oy, azaz L ⊥ L′ . Kontravariáns koordinátákban. Tekintsük a kontravariáns koordinátákban adott L : lX + mY + n = 0 és L′ : l ′X + m′Y + n′ = 0 egyeneseket. Átírjuk az egyenesek egyenleteit derékszögő koordinátákra: L : l ( sin θ ) x + ( m − l cos θ ) y + n sin θ = 0 ,

L′ : l ′ ( sin θ ) x + ( m′ − l ′ cos θ ) y + n′ sin θ = 0 .

Tehát

L ⊥ L′ ⇔ ll ′ sin 2 θ + ( m − l cos θ )( m′ − l ′ cos θ ) = 0 ⇔

1 0 cos θ ⇔ ll ′ + mm′ − ( lm′ + l ′m ) cos θ = 0 ⇔ l ′ l m′ = 0 . m′ −m l′ Kovariáns koordinátákban. Tekintsük a kovariáns koordinátákban adott L : lp + mq + n = 0 és L′ : l ′p + m′q + n′ = 0 egyeneseket. Átírjuk az egyenesek egyenleteit derékszögő koordinátákra: L : ( l + m cos θ ) x + m ( sin θ ) y + n = 0 , L′ : ( l ′ + m′ cos θ ) x + m′ ( sin θ ) y + n′ = 0 .

Tehát

L ⊥ L′ ⇔ ( l + m cos θ )( l ′ + m′ cos θ ) + mm′ sin 2 θ = 0 ⇔

cos θ ⇔ ll ′ + mm′ + ( lm′ + l ′m ) cos θ = 0 ⇔ −l ′ l m′ = 0 . −m′ −m l′ Trilineáris koordinátákban. Tekintsük a trilineáris koordinátákban adott L : lα + mβ + nγ = 0 és L′ : l ′α + m′β + n′γ = 0 egyeneseket. Átírjuk az egyenesek egyenleteit kontravariáns koordinátákra: 1

60

0

L : ( am − bl ) X + ( an − cl ) Y + bcl = 0 ,

L′ : ( am′ − bl ′ ) X + ( an′ − cl ′ ) Y + bcl ′ = 0 . Tehát

L ⊥ L′ ⇔ ( am − bl )( am′ − bl ′ ) + ( an − cl )( an′ − cl ′ ) − − ( am − bl )( an′ − cl ′ ) + ( am′ − bl ′ )( an − cl )  cos A = 0 ⇔ ⇔ ( am − bl )( am′ − bl ′ − an′ cos A + cl ′ cos A) +

+ ( an − cl )( an′ − cl ′ − am′ cos A + bl ′ cos A) = 0 ⇔ ⇔ ( am − bl )( am′ − an′ cos A − al ′ cos C ) +

+ ( an − cl )( an′ − am′ cos A − al ′ cos B ) = 0 ⇔ ⇔ ( am − bl )( m′ − n′ cos A − l ′ cos C ) +

+ ( an − cl )( n′ − m′ cos A − l ′ cos B ) = 0 ⇔

⇔ ll ′ + mm′ + nn′ − ( mn′ + m′n ) cos A − ( nl ′ + n′l ) cos B − ( lm′ + l ′m ) cos C = 0 ⇔

⇔ ( l − m cos C − n cos B ) l′ + ( m − n cos A − l cos C ) m′ + ( n − l cos B − m cos A) n′ = 0. Baricentrikus koordinátákban. Tekintsük a baricentrikus koordinátákban adott L : lu + mv + nw = 0 és L′ : l ′u + m′v + n′w = 0 egyeneseket. Átírjuk az egyenesek egyenleteit trilineáris koordinátákra: L : alα + bmβ + cnγ = 0 , L′ : al ′α + bm′β + cn′γ = 0 . Tehát L ⊥ L′ ⇔ a 2ll ′ + b 2 mm′ + c 2 nn′ − bc ( mn′ + m′n ) cos A − − ca ( nl ′ + n′l ) cos B − ab ( lm′ + l ′m ) cos C = 0.

3.10. Adott ponton átmenı adott egyenesre merıleges egyenes egyenlete Derékszögő koordinátákban. Legyen L az lx + my + n = 0 ( lm ≠ 0 ) egyenlető adott egyenes és

P = ( x′, y′ ) az adott pont derékszögő koordinátákban. Keressük annak az L′ egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P ponton és merıleges az L egyenesre. Ha az L′ egyenes egyenlete l ′x + m′y + n′ = 0 , akkor P ∈ L′ ⇔ l ′x′ + m′y′ + n′ = 0 , L ⊥ L′ ⇔ ll ′ + mm′ = 0 .

61

Ha OP ⊥ L , akkor L′ ≡ OP és az L′ egyenlete mx − ly = 0 ⇔ y′x − x′y = 0 . Ha viszont az OP nem merıleges L-re, akkor mx′ − ly′ ≠ 0 és n′ ≠ 0 , m ⋅ n′ l ⋅ n′ következésképpen l ′ = − és m′ = . mx′ − ly′ mx′ − ly′ x y 1 Tehát az L′ egyenes egyenlete: −mx + ly + mx′ − ly′ = 0 ⇔ x′ y′ 1 = 0 .

l

m 0

Kontravariáns koordinátákban. Legyen L az lX + mY + n = 0 ( lm ≠ 0 ) egyenlető adott egyenes és

P = ( X ′, Y ′ ) az adott pont kontravariáns koordinátákban. Keressük annak az L′ egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P ponton és merıleges az L egyenesre. Ha az L′ egyenes egyenlete l ′X + m′Y + n′ = 0 , akkor P ∈ L′ ⇔ l ′X ′ + m′Y ′ + n′ = 0 , L ⊥ L′ ⇔ ( l − m cos θ ) l ′ + ( m − l cos θ ) m′ = 0 . Ha OP ⊥ L , akkor L′ ≡ OP és az L′ egyenlete ( m − l cos θ ) X − ( l − m cos θ ) Y = 0 ⇔ Y ′X − X ′Y = 0 . Ha viszont az OP egyenes nem merıleges L-re, akkor ( m − l cos θ ) X ′ − ( l − m cos θ ) Y ′ ≠ 0 és n′ ≠ 0 . Megoldva a fenti két egyenletbıl álló egyenletrendszert az l ′ és m′ ismeretlenekre azt kapjuk, ( m − l cos θ ) n′ hogy l ′ = − és ( m − l cos θ ) X ′ − ( l − m cos θ ) Y ′

( l − m cos θ ) n′ . Tehát az L′ egyenes egyenlete: ( m − l cos θ ) X ′ − ( l − m cos θ ) Y ′ − ( m − l cos θ ) X + ( l − m cos θ ) Y + ( m − l cos θ ) X ′ − ( l − m cos θ ) Y ′ = 0 ⇔

m′ =

X

Y

1

X′ Y′ 1 = 0. l − m cos θ m − l cos θ 0 Kovariáns koordinátákban. Legyen L az lp + mq + n = 0 ( lm ≠ 0 ) egyenlető adott egyenes és

⇔

P = ( p′, q′ ) az adott pont kovariáns koordiná-tákban. Keressük annak az L′ egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P ponton és merıleges az L egyenesre. Ha az L′ egyenes egyenlete l ′p + m′q + n′ = 0 , akkor P ∈ L′ ⇔ l ′p′ + m′q′ + n′ = 0 ,

62

L ⊥ L′ ⇔ ( l + m cos θ ) l ′ + ( m + l cos θ ) m′ = 0 . Ha OP ⊥ L , akkor L′ ≡ OP és az L′ egyenlete ( m + l cos θ ) p − ( l + m cosθ ) q = 0 ⇔ q′p − p′q = 0 . Ha viszont az OP egyenes nem merıleges L-re, akkor ( m + l cos θ ) p′ − ( l + m cosθ ) q′ ≠ 0 és n′ ≠ 0 . Megoldva a fenti két egyenletbıl álló egyenletrendszert az l ′ és m′ ismeretlenekre azt kapjuk, ( m + l cos θ ) n′ hogy l ′ = − és ( m + l cos θ ) p′ − ( l + m cos θ ) q′

( l + m cos θ ) n′ . Tehát az L′ egyenes egyenlete: ( m + l cos θ ) p′ − ( l + m cos θ ) q′ − ( m + l cos θ ) p + ( l + m cos θ ) q + ( m + l cos θ ) p′ − ( l + m cos θ ) q′ = 0 ⇔ m′ =

⇔

p p′

q q′

l + m cos θ

m + l cos θ

1 1 = 0. 0

Trilineáris koordinátákban. Legyen L az lα + mβ + nγ = 0 egyenlető adott egyenes és P = (α ′ : β ′ : γ ′ ) az adott pont trilineáris koordinátákban. Keressük annak az L′ egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P ponton és merıleges az L egyenesre. Ha az L′ egyenes egyenlete l ′α + m′β + n′γ = 0 , akkor P ∈ L′ ⇔ l ′α ′ + m′β ′ + n′γ ′ = 0 , L ⊥ L′ ⇔ ( l − m cos C − n cos B ) l ′ + + ( m − n cos A − l cos C ) m′ + ( n − l cos B − m cos A ) n′ = 0. Bevezetjük az alábbi jelöléseket: λa = l − m cos C − n cos B, λb = m − n cos A − l cos C , λc = n − l cos B − m cos A .

α ′l ′ + β ′m′ = −γ ′n′ egyenletrendszert az l ′  λa l ′ + λb m′ = −λc n′ ismeretlenekre azt kapjuk, l ′ = β ′λc − γ ′λb , m′ = γ ′λa − α ′λc , n′ = α ′λb − β ′λa . Tehát az L′

Megoldva

egyenlete:

⇔

az

és

hogy egyenes

β′ γ ′ γ ′ α′ α′ β′ α+ β+ γ =0⇔ λb λc λc λa λa λb α α′

β β′

γ γ′

l − m cos C − n cos B m − n cos A − l cos C

63

n − l cos B − m cos A

m′

= 0.

Baricentrikus koordinátákban. Legyen L az lu + mv + nw = 0 egyenlető adott egyenes és P = ( u′ : v′ : w′ ) az adott pont baricentrikus koordinátákban. Keressük annak az L′ egyenesnek az egyenletét, amely átmegy a P ponton és merıleges az L egyenesre. Ha az L′ egyenes egyenlete l ′u + m′v + n′w = 0 , akkor P ∈ L′ ⇔ l ′u ′ + m′v′ + n′w′ = 0 , L  L′ ⇔ a ( al − bm cos C − cn cos B ) l ′ + +b ( bm − cn cos A − al cos C ) m′ + c ( cn − al cos B − bm cos A ) n′ = 0.

µa = a(al − bm cos C − cn cos B), Bevezetjük az alábbi jelöléseket: µb = b(bm − cn cos A − al cos C ), µc = c(cn − al cos B − bm cos A). u′l ′ + v′m′ = − w′n′ Megoldva az  egyenletrendszert az l ′ és m′ ismeret µa l ′ + µb m′ = − µc n′ lenekre azt kapjuk, hogy l ′ = v′µc − w′µb , m′ = w′µa − u ′µc , n′ = u ′µb − v′µa . Tehát az L′ egyenes egyenlete: u v w v′ w′ w′ u′ u ′ v′ u+ v+ w = 0 ⇔ u′ v′ w′ = 0.

µb

µc

µc

µa

µa

µb

µa

µb

µc

3.11. Pontnak egyenestıl mért távolsága Derékszögő koordinátákban. Legyen L az

lx + my + n = 0

( lm ≠ 0 )

egyenlető adott egyenes és P = ( x′, y′ ) az adott pont derékszögő koordinátákban. Legyen továbbá L′ a P ponton átmenı és az L egyenesre merıleges egyenes. Célunk a PQ távolság meghatározása, ahol

{Q} = L ∩ L′ . Vezessük be az alábbi jelöléseket: E ( x, y ) = lx + my + n , E = E ( x′, y′ ) = lx′ + my′ + n . Meghatározzuk a Q pont koordinátáit megoldva l m lx + my = − n az  egyenletrendszert: ∆ = = l 2 + m2 ≠ 0 , −m l − mx + ly = − mx′ + ly′ −n m ∆x = = m2 x′ − lmy′ − nl = ( l 2 + m2 ) x′ − l ( lx′ + my′ + n ) = ∆x′ − lE , −mx′ + ly′ l

64

∆y =

−n = −lmx′ + l 2 y′ − mn = ( l 2 + m2 ) y′ − m( lx′ + my′ + n) = ∆y′ − mE . −m −mx′ + ly′ l

lE mE   Tehát a Q pont koordinátái: Q =  x′ − , y′ − . ∆ ∆  

E lx′ + my′ + n E2 = = . 2 ∆ ∆ l 2 + m2 Kontravariáns koordinátákban. Legyen L az lX + mY + n = 0 ( lm ≠ 0 ) Következésképpen d ( P, L ) = PQ =

(l

2

+ m2 )

egyenlető adott egyenes és P = ( X ′, Y ′ ) az adott pont kontravariáns koordinátákban. Legyen továbbá L′ a P ponton átmenı és az L egyenesre merıleges egyenes. Célunk a PQ távolság meghatározása, ahol

{Q} = L ∩ L′ . Vezessük be az E = E ( X ′, Y ′ ) = lX ′ + mY ′ + n .

alábbi jelöléseket: E ( X , Y ) = lX + mY + n , Meghatározzuk a Q pont koordinátáit

megoldva az lX + mY = − n  − ( m − l cos θ ) X + ( l − m cos θ ) Y = − ( m − l cos θ ) X ′ + ( l − m cos θ ) Y ′ l m = l 2 + m2 − 2lm cos θ ≠ 0 , egyenletrendszert: ∆ = − ( m − l cos θ ) l − m cos θ

∆x = ∆y =

−n m = ∆x′ − ( l − m cos θ ) E , − ( m − l cos θ ) X ′ + ( l − m cos θ ) Y ′ l − m cos θ l

− ( m − l cos θ )

−n = ∆y′ − ( m − l cos θ ) E. − ( m − l cos θ ) X ′ + ( l − m cosθ ) Y ′

E E  Tehát a Q pont koordinátái: Q =  X ′ − ( l − m cos θ ) , Y ′ − ( m − l cos θ )  . ∆ ∆  Következésképpen d ( P, L ) = PQ = E2 2 2 = ( l − mcosθ ) + ( m − l cosθ ) + 2 ( l − mcosθ )( m − l cosθ ) cosθ  2 =  ∆ l ( l − m cos θ ) (1 − cos 2 θ ) + m ( m − l cos θ ) (1 − cos 2 θ ) = ∆ E sin θ lx′ + my′ + n sin θ = = . ∆ l 2 + m 2 − 2lm cos θ =

E

65

Kovariáns koordinátákban. Legyen L az

lp + mq + n = 0

( lm ≠ 0 )

egyenlető adott egyenes és P = ( p′, q′ ) az adott pont kontravariáns koordinátákban. Legyen továbbá L′ a P ponton átmenı és az L egyenesre merıleges egyenes. Célunk a PQ távolság meghatározása, ahol

{Q} = L ∩ L′ . Vezessük be az alábbi jelöléseket: E ( p, q ) = lp + mq + n , E = E ( p′, q′ ) = lp′ + mq′ + n . Meghatározzuk a Q pont koordinátáit megoldva az

lp + mq = − n  − ( m + l cos θ ) p + ( l + m cos θ ) q = − ( m + l cos θ ) p′ + ( l + m cos θ ) q′

egyenletrendszert: ∆ =

∆p = ∆q =

l m = l 2 + m 2 + 2lm cos θ ≠ 0 , − ( m + l cos θ ) l + m cos θ

−n m = ∆p′ − ( l + m cos θ ) E , − ( m + l cos θ ) p′ + ( l + m cos θ ) q′ l − m cos θ l

− ( m + l cosθ )

−n = ∆q′ − ( m + l cos θ ) E . − ( m + l cosθ ) p′ + ( l + m cosθ ) q′

E E  Tehát a Q pont koordinátái: Q =  p′ − ( l + m cos θ ) , q′ − ( m + l cos θ )  . ∆ ∆  Következésképpen d ( P, L ) = PQ = 1  E2 2 2 ( l + mcosθ ) + ( m+ l cosθ ) − 2( l + mcosθ )( m+ l cosθ ) cosθ  2 = sinθ ∆ 1 E = l ( l + m cos θ ) (1 − cos 2 θ ) + m ( m + l cos θ ) (1 − cos 2 θ ) = sin θ ∆ E lx′ + my′ + n = = . ∆ l 2 + m2 + 2lm cos θ Valódi trilineáris koordinátákban. Legyen L az lα + mβ + nγ = 0 egyenlető adott egyenes és P = (α ′, β ′, γ ′ ) az adott pont valódi trilineáris koordinátákban. Legyen továbbá L′ a P ponton átmenı és az L egyenesre merıleges egyenes. Célunk a PQ távolság meghatározása, ahol

=

{Q} = L ∩ L′ . Átírjuk az L egyenes egyenletét kontravariáns koordinátákra: L : ( am − bl ) X + ( an − cl ) Y + bcl = 0 . γ′   β′ A P pont kontravariáns koordinátái: P =  ,  . Tehát  sin A sin A 

66

d ( P, L ) = PQ = =

( am − bl )

β′ sin A

+ ( an − cl )

( am − bl ) + ( an − cl ) 2

2

γ′ sin A

+ bcl sin A

− 2 ( am − cl )( an − cl ) cos A

lα ′ + mβ ′ + nγ ′ l 2 + m 2 + n 2 − 2mn cos A − 2nl cos B − 2lm cos C

=

.

Normált baricentrikus koordinátákban. Legyen L az lu + mv + nw = 0 egyenlető adott egyenes és P = ( u ′, v′, w′ ) az adott pont normált baricetrikus koordinátákban. Legyen továbbá L′ a P ponton átmenı és az L egyenesre merıleges egyenes. Célunk a PQ távolság meghatározása, ahol

{Q} = L ∩ L′ .

Átírjuk

az

L

egyenes

egyenletét

valódi

trilineáris

L : alα + bmβ + cnγ = 0 . A P pont valódi trilineáris  Su ′ Sv′ Sw′  koordinátái: P =  , ,  . Tehát d ( P, L ) = PQ =  a b c 

koordinátákra:

al = =S

( al ) + ( bm) + ( cn) 2

2

2

Su′ Sv′ Sw′ + bm + cn a b c − 2bmcn cos A − 2cnal cos B − 2albm cos C

=

lu ′ + mv′ + nw′

a 2l 2 + b 2 m 2 + c 2 n 2 − 2bcmn cos A − 2canl cos B − 2ablm cos C lu ′ + mv′ + nw′ =S . a 2l 2 + b 2 m 2 + c 2 n 2 − 2mnS A − 2nlS B − 2lmSC

=

3.12. Két egyenes hajlásszöge Derékszögő koordinátákban. Tekintsük a derékszögő koordinátákban adott L : lx + my + n = 0 és L′ : l ′x + m′y + n′ = 0 egyeneseket. A két egyenesnek a derékszögnél kisebb hajlásszögét jelölje ϕ , az egyeneseknek az Ox tengellyel alkotott pozitív szögét pedig ω illetve ω ′ . A jelöléseket most és az alábbiakban válasszuk úgy, hogy ω ≤ ω ′ teljesüljön. Ennek megfelelıen l l′ tgω = − illetve tgω ′ = − . Ekkor ϕ = ω ′ − ω és m m′ tgω ′ − tgω lm′ − l ′m tgϕ = tg (ω ′ − ω ) = = . 1 + tgω ⋅ tgω ′ ll ′ + mm′

67

Kontravariáns koordinátákban. Tekintsük a kontravariáns koordinátákban adott L : lX + mY + n = 0 és L′ : l ′X + m′Y + n′ = 0 egyeneseket. Átírjuk az egyenesek egyenleteit derékszögő koordinátákra: L : l ( sin θ ) x + ( m − l cos θ ) y + n sin θ = 0 ,

L′ : l ′ ( sin θ ) x + ( m′ − l ′ cos θ ) y + n′ sin θ = 0 . l sin θ l ′ sin θ Most tgω = − illetve tgω ′ = − . Tehát m − l cos θ m′ − l ′ cos θ tgω ′ − tgω (lm′ − l ′m)sin θ tgϕ = tg ( ω ′ − ω ) = = . 1 + tgω ⋅ tgω ′ ll ′ + mm′ − ( lm′ + l ′m ) cos θ

Kovariáns koordinátákban. Tekintsük a kovariáns koordinátákban adott L : lp + mq + n = 0 és L′ : l ′p + m′q + n′ = 0 egyeneseket. Átírjuk az egyenesek egyenleteit derékszögő koordinátákra: L : ( l + m cos θ ) x + m ( sin θ ) y + n = 0 ,

L′ : ( l ′ + m′ cos θ ) x + m′ ( sin θ ) y + n′ = 0 . l + m cos θ l ′ + m′ cos θ illetve tgω ′ = − és m sin θ m′ sin θ tgω ′ − tgω (lm′ − l ′m) sin θ tgϕ = tg ( ω ′ − ω ) = . = 1 + tgω ⋅ tgω ′ ll ′ + mm′ + ( lm′ + l ′m ) cos θ

Ebben az esetben tgω = −

Trilineáris koordinátákban. Tekintsük a trilineáris koordinátákban adott L : lα + mβ + nγ = 0 és L′ : l ′α + m′β + n′γ = 0 egyeneseket. Átírjuk az egyenesek egyenleteit kontravariáns koordinátákra: L : ( am − bl ) X + ( an − cl ) Y + bcl = 0 ,

L′ : ( am′ − bl ′ ) X + ( an′ − cl ′ ) Y + bcl ′ = 0 . Ha a két egyenesnek a derékszögnél kisebb hajlásszöge ϕ , akkor tgϕ = =

[(am − bl)( an′ − cl′) − ( an − cl )( am′ − bl′)]sin A = ( am − bl )( am′ − bl′) + ( an − cl )( an′ − cl′) −[( am − bl )( an′ − cl′) + ( am′ − bl′)( an − cl )]cos A

( mn′ − m′n ) sin A + ( nl ′ − n′l ) sin B + ( lm′ − l ′m ) sin C = ll ′ + mm′ + nn′ − ( mn′ + m′n ) cos A − ( nl ′ + n′l ) cos B − ( lm′ + l ′m ) cos C sin A sin B sin C

=

l l′

m m′

n n′

ll ′ + mm′ + nn′ − ( mn′ + m′n ) cos A − ( nl ′ + n′l ) cos B − ( lm′ + l ′m ) cos C

68

.

Baricentrikus koordinátákban. Tekintsük a baricentrikus koordinátákban adott L : lu + mv + nw = 0 és L′ : l ′u + m′v + n′w = 0 egyeneseket. Átírjuk az egyenesek egyenleteit trilineáris koordinátákra: L : alα + bmβ + cnγ = 0 , L′ : al ′α + bm′β + cn′γ = 0 . Ha a két egyenesnek a derékszögnél kisebb hajlásszöge ϕ , akkor ′ ) sin A + ca ( nl′ − n′l ) sin B + ab ( lm′ − l′m) sin C bc ( mn′ − mn = ′ ) cos A − ca ( nl′ + n′l ) cos B − ab( lm′ + l′m) cos C a2ll′ + b2mm′ + c2nn′ − bc ( mn′ + mn mn′ − m′n + nl ′ − n′l + lm′ − l ′m =S 2 = 2 2 a ll ′ + b mm′ + c nn′ − ( mn′ + m′n ) S A − ( nl ′ + n′l ) S B − ( lm′ + l ′m ) SC

tgϕ =

1

1

1

l m n l ′ m′ n′ =S 2 . 2 2 a ll ′ + b mm′ + c nn′ − ( mn′ + m′n ) S A − ( nl ′ + n′l ) S B − ( lm′ + l ′m ) SC

3.13. A Conway-féle képletek Legyen P az ABC háromszög síkjának tetszıleges pontja, amely nincs rajta egyik oldal tartóegyenesén sem ( P ∉ BC , P ∉ CA, P ∉ AB ). Legyen továbbá m ( BCP∢ ) = ϕ és m ( CBP∢ ) = θ . A ϕ illetve θ valós számnak a BC oldal szerint pozitív vagy negatív elıjelet tulajdonítunk attól függıen, hogy a BCA és BCP illetve a CBA és CBP háromszögek ellentétes vagy azonos körüljárásúak (3.1. ábra). Célunk most a P pont baricentrikus koordinátáinak a meghatározása. Elırebocsátjuk, hogy P = ( − a 2 : Sϕ + SC : Sθ + S B ) .

69

Elıször meghatározzuk a P pont kontravariáns koordinátáit, majd pedig áttérünk baricentrikus koordinátákra. Ehhez szükségünk lesz az alábbi eredményre: ha a kontravariáns koordinátákban adott Y = mX egyenlető d egyenes az XOY ferdeszögő koordináta-rendszer OX tengelyével β ∈ [ 0, π )

mértékő szöget alkot, a koordinátatengelyek hajlásszöge pedig α , akkor a d sin β egyenes iránytényezıje (meredeksége) m = . sin (α − β ) Kapcsoljunk az ABC háromszöghöz egy XAY ferdeszögő koordinátarendszert úgy, hogy az AB egyenes egybeessen az AX, az AC egyenes pedig az AY tengellyel (3.1. ábra). A P pont kontravariáns koordinátái legyenek ( X , Y ) , baricentrikus koordinátái pedig ( u , v, w ) .

1. eset. 0 < ϕ < π ; 0 < θ < π ; ϕ + θ < π (a P pont a BC egyenes által meghatározott, az A pontot nem tartalmazó félsíkban van) (3.1. ábra) sin ( B + θ ) A BP egyenes iránytényezıje m = − , egyenlete pedig sin ( C −θ )

Y = m ( X − c ) . A CP egyenes iránytényezıje m′ = −

sin ( B − ϕ )

sin ( C + ϕ )

, egyenlete

Y − b = m′X . Következésképpen pedig ′ ′ m ( X − c ) = b + m X ⇔ ( m − m ) X = b + cm . Külön kiszámítjuk az m − m′ és a b + cm mennyiségeket:

70

m − m′ = − =

sin ( B + θ )

sin ( C − θ )

+

sin ( B − ϕ )

sin ( C + ϕ )

=

sin ( B − ϕ ) sin ( C − θ ) − sin ( B + θ ) sin ( C + ϕ ) sin ( C + ϕ ) sin ( C − θ )

=

1 cos ( B + C + ϕ + θ ) − cos ( B + C − ϕ − θ )  sin A sin (ϕ + θ ) =2 =− , sin ( C + ϕ ) sin ( C − θ ) sin ( C + ϕ ) sin ( C − θ ) b + cm = b − c Tehát X =

sin ( B + θ )

sin ( C − θ )

=

b sin ( C − θ ) − c sin ( B + θ )

a sin θ sin ( C + ϕ )

sin ( C − θ )

és Y =

=−

a sin ϕ sin ( B + θ )

a sin θ . sin ( C − θ )

. Most meghatározsin A sin (ϕ + θ ) sin A sin (ϕ + θ ) zuk a P pont baricentrikus koordinátáit: ab sinθ sin ( C + ϕ ) ac sin ϕ sin ( B + θ ) a2 sin ϕ sin θ − =− , u = bc − bX − cY = bc − sin Asin (ϕ + θ ) sin Asin (ϕ + θ ) sin Asin (ϕ + θ ) v = bX =

ab sin θ sin ( C + ϕ ) sin A sin (ϕ + θ )

, w = cY =

ac sin ϕ sin ( B + θ ) sin A sin (ϕ + θ )

.

 ab sin ( C + ϕ ) ac sin ( B + θ )  P =  −a 2 : :  . A P pont sin ϕ sin θ   második és harmadik komponensét átalakítjuk: ab sin ( C + ϕ ) ab sin C cos ϕ + ab sin ϕ cos C = = Sctgϕ + SC = Sϕ + SC , sin ϕ sin ϕ ac sin ( B + θ ) ac sin B cos θ + ac sin θ cos B = = Sctgθ + S B = Sθ + S B . sin θ sin θ Tehát P = ( − a 2 : Sϕ + SC : Sθ + S B ) . Következésképpen

2. eset. −π < ϕ < 0; − π < θ < 0; ϕ + θ > −π (a P pont a BC egyenes által meghatározott, az A pontot tartalmazó félsíkban van). Megismételve az elıbbi gondolatmenetet azt kapjuk, hogy ebben az esetben a P pont baricentrikus koordinátái: P = ( a 2 : Sϕ − SC : Sθ − S B ) .

Legyen Q az ABC háromszög síkjának tetszıleges pontja, amely nincs rajta egyik oldal tartóegyenesén sem ( Q ∉ BC , Q ∉ CA, Q ∉ AB ). Legyen továbbá m ( CAQ∢ ) = ε és m ( ACQ∢ ) = δ . Az ε illetve δ valós számoknak a CA oldal szerint pozitív vagy negatív elıjelet tulajdonítunk attól

71

függıen, hogy a CAB és CAQ illetve az ACB és ACQ háromszögek ellentétes vagy azonos körüljárásúak (3.2. ábra).

1. eset. 0 < ε < π ; 0 < δ < π ; ε + δ < π (a Q pont a CA egyenes által meghatározott, a B pontot nem tartalmazó félsíkban van). Ebben az esetben a Q pont baricentrikus koordinátái: Q = ( Sδ + SC : −b 2 : Sε + S A ) .

2. eset. −π < ε < 0; − π < δ < 0; ε + δ > −π (a Q pont a CA egyenes által meghatározott, a B pontot tartalmazó félsíkban van) (3.2. ábra). Most a Q pont baricentrikus koordinátái: Q = ( Sδ − SC : b 2 : Sε − S A ) .

Legyen R az ABC háromszög síkjának tetszıleges pontja, amely nincs rajta egyik oldal tartóegyenesén sem ( R ∉ BC , R ∉ CA, R ∉ AB ). Legyen továbbá m ( ABR∢ ) = ω és m ( BAR∢ ) = ψ . Az ω illetve ψ valós számoknak az AB oldal szerint pozitív vagy negatív elıjelet tulajdonítunk attól függıen, hogy az ABC és ABR illetve a BAC és BAR háromszögek ellentétes vagy azonos körüljárásúak (3.3. ábra).

72

1. eset. 0 < ω < π ; 0 < ψ < π ; ω + ψ < π (az R pont az AB egyenes által meghatározott, a C pontot nem tartalmazó, félsíkban van). Ebben az esetben az R pont baricentrikus koordinátái: R = ( Sω + S B : Sψ + S A : −c 2 ) .

2. eset. −π < ω < 0; − π < ψ < 0; ω + ψ > −π (az R pont az AB egyenes által meghatározott, a C pontot tartalmazó félsíkban van) (3.3. ábra). Ebben az esetben az R pont baricentrikus koordinátái: R = ( Sω − S B : Sψ − S A : c 2 ) . A P, Q, R pontok baricentrikus koordinátáit megadó képleteket Conway-féle képleteknek nevezzük.

73

4. fejezet Alkalmazások 4.1. A kúpszeletek egyenletei derékszögő és polárkoordinátákban Elızmények. Sain Márton Matematikatörténeti ABC (Nemzeti Tankönyvkiadó – TYPOTEX, Budapest, 1998, hatodik kiadás) címő könyvében az „analitikus geometria” címszónál a következıket írja: „A pergéi Apollóniosz a Kúpszeletekrıl nyolc kötetbıl álló könyvet írt. Bár nem alkalmazhatta a ma használatos koordináta-geometriai módszereket, hiszen ezt akkor még az algebrai jelölések hiánya miatt nem tehette meg, azonban kúpszelettételeit úgy fogalmazta, hogy azokat mindig két kitüntetett irányra (két konjugált átmérıre) vonatkoztatta, tehát valójában ferdeszögő koordinátarendszerben gondolkodott. Eredményei minden további nélkül átírhatók a mai jelölésekkel.” B. L. van der Waerden [22]-ben röviden ismerteti Apollóniosz kúpszeletekkel kapcsolatos eredményeit. Ragaszkodva Apollóniosz szelleméhez keverve használja mind az elemi, mind a mai analitikus geometria jelöléseit, de koordinátarendszereket nem alkalmaz. Ezért merült fel bennem az a kérdés, hogy vajon hogyan néznek ki a kúpszeletek egyenletei ilyen ferdeszögő koordinátarendszerekben? A továbbiakban ezt a kérdést vizsgálom meg (lásd 4.2.-t), miután ebben a részben bevezetésként megadom a kúpszeletek néhány ismert egyenletét.

a) A kúpszeletek fokális egyenletei Az ellipszis, a parabola illetve a hiperbola kanonikus egyenlete: x2 y2 + 2 = 1, (b 2 = a 2 − c 2 ) 2 (1) a b y 2 = 2 px ,

(2)

x2 y2 − 2 = 1, (b 2 = c 2 − a 2 ) (3) 2 a b ahol a és b a féltengelyek hossza, 2c a fókusztávolság, p pedig a parabola paramétere. Ezeket az egyenleteket úgy kapjuk, hogy koordinátatengelyekként

74

az ellipszis és hiperbola esetében a szimmetriatengelyeket, a parabolánál pedig az egyetlen szimmetriatengelyre merıleges, a csúcsponton átmenı egyenest vesszük. Ha az így kapott xOy derékszögő vonatkoztatási rendszerek Oy tengelyét, önmagával párhuzamosan, valamelyik fókuszba toljuk, a kúpszeletek fokális egyenleteit kapjuk. p  Az Oy tengelyt ellipszisnél a ( −c, 0 ) , parabolánál a  , 0  , 2  hiperbolánál a ( c, 0 ) fókuszpontba toljuk, majd elvégezzük az alábbi koordináta-transzformációkat:  x′ = x + c ellipszisre  , azaz  y′ = y b 2 ( x ′ − c ) 2 + a 2 y ′2 = a 2 b 2 ⇔ a 2 x ′2 + a 2 y ′ 2 = a 2 x ′ 2 − b 2 ( x ′ − c ) + a 2 b 2 ⇔ 2

⇔ a ( x′ + y′ ) = ( cx′ + b 2

2

2

)

2 2

2

c b2  ⇔ x′ + y ′ =  x′ +  . a  a 2

2

p   x′ = x − parabolára  2 , azaz  y′ = y p 2  y′2 = 2 p  x′ +  ⇔ x′2 + y′2 = x′2 + 2 px′ + p 2 ⇔ x′2 + y′2 = ( x′ + p ) . 2   x′ = x − c hiperbolára  , azaz  y′ = y b 2 ( x ′ + c ) 2 − a 2 y ′2 = a 2 b 2 ⇔ a 2 x ′2 + a 2 y ′ 2 = a 2 x ′ 2 + b 2 ( x ′ + c ) − a 2 b 2 ⇔ 2

⇔ a ( x′ + y′ ) = ( cx′ + b 2

2

2

)

2 2

2

c b2  ⇔ x′ + y ′ =  x′ +  . a  a 2

2

c mennyiséget az ellipszis illetve a hiperbola numerikus a excentricitásának hívjuk. Ellipszisnél 0 < ε < 1 , hiperbolánál ε > 1 , parabola esetén pedig ε -t 1-nek vesszük. A fókuszokat (vagy parabolánál a fókuszt) tartalmazó tengelyre, valamelyik fókuszban emelt merılegesen a kúpszelet egy húrt határoz meg. E húr félhosszát a kúpszelet paraméterének nevezzük b2 és p-vel jelöljük. Ellipszis és hiperbola esetén p = , a parabolánál pedig az a említett húr félhossza egyenlı a fókuszpontnak a vezéregyenesig mért távolságával, amit eleve a parabola paraméterének neveztünk. Tehát a kúpszeletek fokális egyenlete Az ε =

75

x2 + y 2 = (ε x + p )

2

(4)

alakú, ahol ε a kúpszelet numerikus excentricitása, p pedig a paramétere. Ha az Oy tengelyt ellipszisnél a ( c, 0 ) , hiperbolánál a ( −c, 0 ) fókuszpontba toljuk, akkor fokális egyenletük x 2 + y 2 = (ε x − p ) 2 , (5) ahol ε -nak és p-nek ugyanaz a jelentése, mint a (4) képletben. A parabolának csak egy fokális egyenlete van.

b) A kúpszeletek fokális egyenletei polárkoordinátákban I. Ellipszisnél válasszuk a polártengely kezdıpontját a ( −c, 0 ) fókuszpontban, iránya pedig mutasson a másik fókuszpont felé, parabolánál a p   , 0  fókuszpontban, iránya egyezzen meg a tengelyiránnyal, hiperbola 2  esetén a ( c, 0 ) fókuszpontban, iránya legyen a másik fókuszpont felé mutató iránnyal ellentétes. Ha a polártengely egybeesik egy xOy derékszögő koordinátarendszer x-tengelyének pozitív féltengelyével, akkor a P pont ( x, y ) derékszögő koordinátái és (r, ϕ ) polárkoordinátái között érvényesek az x = r cos ϕ és y = r sin ϕ összefüggések, ahol r a vezérsugár (0 < r < ∞), ϕ a poláris szög (0 ≤ ϕ < 2π ) . Az x 2 + y 2 = ( ε x + p ) fokális egyenletben x-et és y-t helyettesítve, a kúpszeletek polárkoordinátás egyenletét kapjuk: 2 2 r 2 cos 2 ϕ + r 2 sin 2 ϕ = ( ε r cos ϕ + p ) ⇔ r 2 = ( ε r cos ϕ + p ) ⇔ 2

⇔ ± r = ε r cos ϕ + p ⇔ r ( ±1 − ε cos ϕ ) = p .

p . (9) 1 − ε cos ϕ p 2. Ha ε = 1 és 0 < ϕ < 2π , a parabola egyenlete r = . (10) 1 − cos ϕ Jelölje θ a hiperbola elsı negyedbe esı aszimptotájának az Ox tengellyel a 1 1 alkotott hajlásszögét: cos θ = = ⇔ θ = arccos . c ε ε 3. Ha ε > 1 és θ < ϕ < 2π − θ , a hiperbola ( c, 0 ) fókuszpontjához közelebbi 1. Ha 0 < ε < 1 és 0 ≤ ϕ < 2π , az ellipszis egyenlete r =

ágának egyenlete r =

p . (11) 1 − ε cos ϕ

76

Ha ε > 1 és π − θ < ϕ < π + θ , a hiperbola ( −c, 0 ) fókuszpontjához közelebbi p . (12) − 1 − ε cos ϕ II. Ha ellipszisnél a polártengely kezdıpontja a ( c, 0 ) , hiperbolánál a

ágának egyenlete r =

( − c, 0 )

fókuszpontba esik, iránya pedig megegyezik az I. pontban

meghatározott iránnyal, akkor az x 2 + y 2 = ( ε x − p ) fokális egyenlet alapján az ellipszis és hiperbola egyenlete polárkoordinátákban a következı lesz: p . (13) 1. Ha 0 < ε < 1 és 0 ≤ ϕ < 2π , az ellipszis egyenlete r = 1 + ε cos ϕ 2. Ha ε > 1 és 0 ≤ ϕ < θ vagy 2π − θ < ϕ < 2π , a hiperbola ( c, 0 ) 2

p . (14) − 1 + ε cos ϕ vagy π + θ < ϕ < 2π , a hiperbola

fókuszpontjához közelebbi ágának egyenlete r = Ha ε > 1 és 0 ≤ ϕ < π − θ

fókuszpontjához közelebbi ágának egyenlete r =

( − c, 0 )

p . (15) 1 + ε cos ϕ

4.2. A kúpszeletek egyenletei ferdeszögő koordinátarendszerekben Centrális másodrendő görbéknél (körök, ellipszisek, hiperbolák) egy adott átmérıvel párhuzamos húrok felezıpontjainak mértani helye egy másik átmérı, amelyet konjugált átmérınek nevezünk. Az ilyen görbékre igaz, hogy egy átmérı végpontjaiban a görbéhez húzott érintık párhuzamosak a konjugált átmérıvel (ennek bizonyítását lásd e rész g) alpontjában). Körök esetében a konjugált átmérık egymásra mindig merılegesek.

a) Az ellipszis egyenlete a konjugált irányok koordinátarendszerében x2 y2 + = 1 kanonikus egyenlető E ellipszis a2 b2 tetszıleges pontja, ahol 2a az ellipszis nagy-, 2b kistengelyének hossza, 2c pedig a fókusztávolsága. Az ellipszis két szimmetriatengelyébıl álló derékszögő koordináta-rendszer kezdıpontját jelölje O, az OV irány Legyen V = ( u, v ) az

77

konjugált iránya pedig legyen OW, ahol W ∈ E (4.2.1. ábra). Meghatározzuk a W = (α , β ) pont koordinátáit az u és v függvényében.

Ha VV ′ és WW ′ az ellipszis konjugált átmérıi, akkor a W illetve a W ′ pontban az ellipszis érintıje párhuzamos a VV ′ egyenessel. Mivel v V ′ = ( −u , −v ) , a VV ′ iránytényezıje mVV ′ = . A W pontban az ellipszis d u αx β y b2 α érintıjének egyenlete 2 + 2 = 1 , iránytényezıje pedig md = − 2 ⋅ . a b a β A d  VV ′ alapján Tehát

v b2 α b2 α = − 2 ⋅ , azaz v = − 2 ⋅ ⋅ u. u a β a β

u 2 1 b4 α 2 2 u 2 b2  β 2  u 2 + ⋅ ⋅ ⋅ u = 1 ⇔ + 1 − =1⇔  a2 b2 a 4 β 2 a2 a2  b2  β 2

 u a  u a  a2 ⇔  −   +  = 0 . Következésképpen 2 2 β b  β b  β b  a b   a b  a α = ∓ v , azaz W =  − v, u  és W ′ =  v, − u  . b a   b a  b ⇔

u2

=

Ha V = ( a cos t , b sin t ) , akkor W = ( −a sin t , b cos t ) , ahol t ∈ [0,2π ) .

78

b a

β =± u

és

Az OV szakasz hossza legyen p, az OW szakaszé pedig q. Tekintsük r r 1 1 most az e1 = OV és e2 = OW bázisvektorú x ′Oy ′ normált ferdeszögő p q

koordináta-rendszert (4.2.1. ábra). Egy tetszıleges P pont xOy rendszerbeli koordinátái legyenek

( x, y ) ,

x ′Oy ′ rendszerbeli koordinátái pedig ( x ′, y ′) .

r ur v r r av r bu r Mivel e1 = i + j és e2 = − i + j , az xOy rendszerbıl az x ′Oy ′ p p bq aq

rendszerbe való áttérési mátrix u  p A= v p  ahonnan x =

av   bq  . Tehát bu  aq 

−

u   x  p   =  y  v p 

av   bq   x ′   , bu   y ′  aq 

−

u av v bu x′ − y′ és y = x′ + y′. Következésképpen az E ellipszis p bq p aq

x ′Oy ′ rendszerbeli egyenlete: 2

2

1 u av  1v bu  x′ − y ′  + 2  x′ + y′  = 1 ⇔ 2  a p bq  b  p aq 

u2 v2 v2 u2 2 2 2 ′ ′ ′ ⇔ 2 2 x + 2 2 y + 2 2 x + 2 2 y ′2 = 1 ⇔ a p bq b p aq  u 2 v 2   x ′2 y ′ 2  x ′2 y ′ 2 ⇔  2 + 2   2 + 2  = 1 ⇔ 2 + 2 = 1. q  p q  a b  p Ez utóbbi egyenlet formálisan megegyezik az ellipszis kanonikus egyenletével, aminek az a magyarázata, hogy ha a V pont egybeesik az ellipszis ( a, 0 ) koordinátájú csúcspontjával, akkor a konjugált irányba esı W = ( 0, b ) pont az ellipszis másik csúcspontja lesz. Ez abból is következik, hogy az ellipszis szimmetriatengelyei egymásra merıleges konjugált irányok. Tehát itt lényegében arról van szó, hogy a konjugált irányok x ′Oy ′ ferdeszögő koordinátarendszerében az ellipszis egyenlete x′2 y′2 + = 1 (1) p2 q2

79

alakú, ahol 2p illetve 2q a konjugált átmérık hosszait jelentik. Az ellipszis kanonikus egyenletét az elıbbi általános egyenletbıl abban a sajátos esetben kapjuk, amikor V = ( a, 0 ) , azaz 2 p = 2a és 2q = 2b .

Megjegyzés. Az ellipszis szimmetriatengelyeire esı konjugált átmérık sajátos tulajdonsága, hogy az egyik a legnagyobb, a másik pedig a legkisebb az ellipszis összes átmérıi közül. Tehát a kanonikus egyenlettel kapcsolatban megalapozott a nagy- és kistengely elnevezések használata. Az általános esetben viszont az ellipszis konjugált átmérıpárjainak nagyságrendi alapon történı megkülönböztetése (nagy- és kisátmérı) értelmét veszti, mivel az OV bizonyos irányaira p < q, más irányaira viszont p > q.

b) A hiperbola egyenlete a konjugált irányok koordinátarendszerében x2 y2 Legyen V = ( u, v ) az 2 − 2 = 1 kanonikus egyenlető H hiperbola a b tetszıleges pontja, ahol 2a a hiperbola valós, 2b képzetes tengelyének hossza, 2c pedig a fókusztávolsága. A hiperbola két szimmetriatengelyébıl álló derékszögő koordináta-rendszer kezdıpontját jelölje O, az OV irány konjugált iránya pedig legyen OW, W ∈ H , ahol H a H hiperbola konjugált hiperbolája (4.2.2. ábra). Meghatározzuk a W = (α , β ) pont koordinátáit az u és v függvényében.

80

Ha VV ′ és WW ′ a W ′ pontban a konjugált b2 α azaz v = 2 ⋅ ⋅ u. Tehát a β

hiperbola konjugált átmérıi, akkor a W illetve a hiperbola érintıje párhuzamos a VV ′ egyenessel, u 2 1 b4 α 2 2 − ⋅ ⋅ ⋅u = 1 ⇔ a 2 b2 a 4 β 2

u 2 b2  β 2  u2  u a  u a  u2 a2 ⇔ 2 − 2  −1 + 2  2 = 1 ⇔ ⇔ 2 = 2 ⇔  −   +  = 0 . b a a  b β β  β b  β b  b a a b  Következésképpen β = ± u és α = ± v , azaz W =  v, u  és a b b a  b  b   a  a   W ′ =  − v, − u  . Ha V =  , b ⋅ tgt  , akkor W =  a ⋅ tgt ,  , ahol a  cos t   b  cos t    π 3π  t ∈ [0,2π ) \  ,  . 2 2  Az OV illetve OW szakasz hossza legyen p illetve q. Tekintsük most r r 1 1 az e1 = OV és e2 = OW bázisvektorú x ′Oy ′ normált ferdeszögő p q koordináta-rendszert. Egy tetszıleges P pont xOy rendszerbeli koordinátái legyenek ( x, y ) , x ′Oy ′ rendszerbeli koordinátái pedig ( x ′, y ′) . Mivel r ur v r r av r bu r e1 = i + j és e2 = i+ j , az xOy rendszerbıl az x ′Oy ′ rendszerbe p p bq aq

81

 u av   u av      x    p bq   x ′  p bq     , ahonnan . Tehát   = való áttérési mátrix A =  v bu   y   v bu   y ′   p aq   p aq      u av v bu x = x′ + y ′ és y = x ′ + y ′. Következésképpen a H hiperbola x ′Oy ′ p bq p aq rendszerbeli egyenlete: 2

2

1 u av  1v bu  x′ + y ′  − 2  x′ + y′  = 1 ⇔ 2  a p bq  b  p aq  u2 v2 v2 u2 ⇔ 2 2 x ′ 2 + 2 2 y ′2 − 2 2 x ′ 2 − 2 2 y ′ 2 = 1 ⇔ a p bq b p aq

 u 2 v 2  x′2 y′2  x ′2 y ′2 ⇔  2 − 2  2 − 2  = 1 ⇔ 2 − 2 = 1. q  p q  a b  p Ez utóbbi egyenlet is formálisan megegyezik a hiperbola kanonikus egyenletével, amelyet itt is sajátos esetként kapunk, éspedig ha a V pont egybeesik az ( a, 0 ) csúcsponttal (a hiperbola szimmetriatengelyei is egymásra merıleges konjugált irányok). Tehát a hiperbola egyenlete a konjugált irányok x ′Oy ′ ferdeszögő koordináta-rendszerében x′2 y′ 2 − = 1 (2) p2 q2 alakú, ahol 2p és 2q a konjugált átmérık hosszai.

c) A parabola egyenlete egy érintıirány és a tengelyirány koordinátarendszerében Tekintsük a d vezéregyeneső, F fókuszpontú Γ parabolát, amelynek kanonikus egyenlete y 2 = 2 px, ahol p a parabola paramétere. Legyen  p p O′ =  2 ,  a parabola tetszıleges pontja (m ≠ 0) . Mivel az O ′ pontban  2m m  p p  p  a parabola e érintıjének egyenlete , az m y = p x + ⇔ y = mx + 2  m 2m  2m  ennek az érintınek az iránytényezıje, azaz m = tgα , ahol α az e érintı és Ox tengely hajlásszöge (4.2.3. ábra).

82

Mivel a parabolának nincsenek konjugált átmérıi, ezért ebben az esetben nem beszélhetünk konjugált irányokról. Tekinthetjük viszont az O ′ ponton átmenı, a parabola Ox tengelyével párhuzamos a egyenest. Válasszuk az a és e egyeneseket az x ′O ′y ′ ferdeszögő koordinátarendszer tengelyeiként (legyen a az O′x′ , azaz az abszcissza-, e pedig az O′y′ , azaz az ordinátatengely). Ha egy tetszıleges P pont xOy rendszerbeli koordinátái ( x, y ) ,  p  p x ′O ′y ′ rendszerbeli koordinátái pedig ( x ′, y ′) , akkor OO′ = i + j , az 2m 2 m 1 cos α   p áttérési mátrix A= x = x ′ + y ′ cos α + és  , tehát 2m 2  0 sin α  p y = y ′ sin α + . (Az x ′O ′y ′ rendszert az xOy rendszerbıl úgy kapjuk, m hogy elıször az Oy tengelyt elforgatjuk az O pont körül, majd az így kapott  p p xOy′ koordináta-rendszert eltoljuk az O′ =  2 ,  pontba.) Tehát a  2m m  parabola x ′O ′y ′ rendszerbeli egyenlete:

83

2

p p  p     ⇔ y ′2 sin 2 α = 2 px′ ⇔ y′2 = 2 p + 2  x′ .  y ′ sin α +  = 2 p x′ + y′ cos α + 2  m 2m  m    

A λ=

p p = p+ 2 2 sin α m

jelöléssel a parabola x ′O ′y ′ rendszerbeli

egyenlete y ′ 2 = 2λx ′ , (3) amely formailag azonos a parabola kanonikus egyenletével. Nevezzük a λ -t az O ′ ponthoz tartozó paraméternek. Mi most a λ paraméter mértani jelentése? Legyen {M } = a ∩ Oy és { A} = a ∩ d : p = p + 2 MO′ = 2 ( AM + MO′ ) = 2 AO′ (4.2.3 ábra). Tehát λ az O ′ m2 pont d vezéregyenestıl való távolságának a kétszerese ( λ ≥ p ). Ha F ′ az A pont O′ szerinti szimmetrikusa, akkor λ az F ′ pontnak a d vezéregyenestıl való távolsága. Nevezzük az F ′ pontot pszeudo-fókuszpontnak. Ahhoz, hogy meghatározzuk a parabola F fókuszpontjának az x ′O ′y ′ rendszerbeli koordinátáit, az x′ és y′ koordinátákat kifejezzük az x és y koordináták függvényében: y p y p cos α y y′ = − = − = − λ cos α , 2 sin α m sin α sin α sin α sin α p y p y x′ = x − y′ cos α − = x− cos α + λ cos 2 α − = x− + 2 2 2m sin α 2m m p y p y p p y p +λ (1 − sin 2 α ) − 2 = x − + λ − p − 2 = x − + 2 − 2 = x − + 2 . 2m m 2m m m 2m m 2m Az elıbbi képletek alapján a parabola F fókuszpontjának az x ′O ′y ′

λ = p+

λ  rendszerbeli koordinátái  , −λ cos α  , az F ′ pont koordinátái pedig 2  λ   , 0  . Következésképpen FF ′ ║ e. 2   p p Az A pont xOy rendszerbeli koordinátái  − ,  , az F ponté  2 m 1 p   , 0  . Mivel az AF egyenes iránytényezıje mAF = − , ezért AF ⊥ e és m 2   p  AF ⊥ FF ′ . Az [ AF ] szakasz N felezıpontjának koordinátái  0, ,  2m 

84

p , amely éppen az O ′ 2m pontban a parabola e érintıjének egyenlete (4.2.3. ábra). Megjegyzések. 1. Az e érintı és az AF egyenes N metszéspontja egybeesik az OM szakasz felezıpontjával. 2. Ha az O ′ pont leírja a Γ parabolát, az F ′ pszeudo-fókuszpont az p  y 2 = p x −  egyenlető parabolán mozog, amelynek csúcspontja éppen a 2  Γ parabola F fókuszpontjába esik. felezımerılegesének egyenlete pedig y = mx +

3. Ha α →

π

, azaz m → ∞ , akkor λ → p és ekkor a parabola kanonikus 2 egyenletét kapjuk.

d) A hiperbola egyenlete aszimptotáinak koordinátarendszerében Válasszuk most a H hiperbola aszimptotáit egy x ′Oy ′ koordinátarendszer tengelyeiként (4.2.4. ábra). Ha az aszimptoták r r egységvektorai e1 és e2 , az általuk alkotott szöget pedig 2ϕ jelöli, akkor r r r r r r e1 = cos ϕ ⋅ i − sin ϕ ⋅ j és e2 = cos ϕ ⋅ i + sin ϕ ⋅ j .

85

( )

r r r r b a és cos ϕ = , az i , j ortonormált bázisról az (e1 , e2 ) c c  cos ϕ cos ϕ  1  a a   =   . „aszimptotikus” bázisra való áttérési mátrix A =   − sin ϕ sin ϕ  c  − b b  Ha egy tetszıleges P pont xOy rendszerbeli koordinátái ( x, y ) , x ′Oy ′ Mivel sin ϕ =

rendszerbeli

koordinátái

pedig

( x ′, y ′) ,

akkor

 x   =  y

1  a a  x ′     , c  − b b  y ′ 

a (x ′ + y ′) és y = b (− x′ + y ′) . Tehát a hiperbola c c egyenlete az aszimptotáiból álló x ′Oy ′ ferdeszögő koordinátarendszerben: következésképpen x =

1 b2 2 1 a2 2 ′ ′ ⋅ 2 ( x + y ) − 2 ⋅ 2 ( − x′ + y ′ ) = 1 ⇔ 2 a c b c

⇔ ( x ′ + y ′ ) − ( − x ′ + y ′ ) = c 2 ⇔ x ′y ′ = 2

2

c2 . 4

e) A kúpszeletek érintıinek egyenletei ferdeszögő koordinátarendszerekben 1. Ellipszis. Legyen M 0 az ellipszis tetszıleges pontja, (x 0, y 0 ) az

M 0 pont koordinátái az xOy derékszögő, ( x0′ , y 0′ ) pedig a konjugált irányok x ′Oy ′ ferdeszögő koordinátarendszerében. Ismert, hogy, az M 0 pontbeli d érintı egyenlete az xOy rendszerben

x0 x y 0 y + 2 = 1 . Ezt az egyenletet az a2 b

x2 y2 + = 1 egyenletébıl úgy kapjuk, hogy miután azt az a2 b2 x⋅ x y⋅ y + 2 = 1 alakba írtuk, a baloldal elsı tagjában x -t x0 -val, a második a2 b tagjában y -t y0 -val helyettesítjük. Nevezzük ezt az eljárást duplázási eljárásnak. Most megnézzük, hogy ez az eljárás „öröklıdik”-e a ferdeszögő koordinátarendszerekre? A transzformációs képletek alapján a d érintı egyenlete az x ′Oy ′ rendszerben a következı lesz:

ellipszis

86

u av   u av  1  v bu   v bu   x0′ − y 0′   x′ − y′  + 2  x0′ + y0′   x′ + y′  = 1 ⇔ bq   p bq  b  p aq   p aq  p  u 2 v 2  x′ x′  u 2 v 2  y ′ y ′ x′ x′ y′ y′ ⇔  2 + 2  0 2 +  2 + 2  0 2 = 1 ⇔ 0 2 + 0 2 = 1 . b  p b  q p q a a 1 a2

2. Hiperbola. Legyen M 0 a hiperbola tetszıleges pontja, (x 0, y 0 ) az

M 0 pont koordinátái az xOy derékszögő, ( x0′ , y 0′ ) pedig a konjugált irányok x ′Oy ′ ferdeszögő koordináta-rendszerében. Az M 0 pontbeli d érintı x0 x y 0 y − 2 = 1 . Az áttérési képletek alapján a d a2 b érintı egyenlete az x ′Oy ′ rendszerben a következı lesz: egyenlete az xOy rendszerben

u av   u av  1  v bu   v bu   x0′ + y 0′   x′ + y ′  − 2  x0′ + y0′   x′ + y′  = 1 ⇔ bq   p bq  b  p aq   p aq  p  u 2 v 2  x′ x′  u 2 v 2  y′ y′ x′ x′ y′ y′ ⇔  2 − 2  0 2 −  2 − 2  0 2 = 1 ⇔ 0 2 − 0 2 = 1 . b  p b  q p q a a 1 a2

3. Parabola. Legyen M 0 a parabola tetszıleges pontja, (x 0, y 0 ) az

M 0 pont koordinátái az xOy derékszögő, ( x0′ , y 0′ ) pedig egy érintıirány és a tengelyirány x ′O ′y ′ ferdeszögő koordináta-rendszerében. Az M 0 pontbeli d

érintı egyenlete az xOy rendszerben y 0 y = p ( x + x 0 ) . Az áttérési képletek alapján a d érintı egyenlete az x ′O ′y ′ rendszerben a következı lesz: p p p  p   + x0′ + y 0′ cos α + ⇔  y 0′ sin α +   y ′ sin α +  = p  x ′ + y ′ cos α + 2 m m  2m 2m 2    p p p2 p2 ⇔ y0′ y′ sin 2 α + y0′ sin α + y′ sin α + 2 = p(x′ + x0′ ) + p( y′ + y0′ ) cosα + 2 ⇔ m m 2m 2m p p p ⇔ y0′ y ′ + y0′ sin α + y ′ sin α = p(x′ + x0′ ) + p( y ′ + y0′ ) cos α ⇔ y0′ y′ = λ(x′ + x0′ ). λ m m

Tehát megállapíthatjuk, hogy a konjugált irányok illetve parabola esetén egy érintıirány és a tengelyirány koordinátarendszerében a kúpszeletek adott pontbeli érintıjének egyenletét szintén a duplázási eljárással kapjuk, mint a kanonikus egyenleteik esetében.

87

f) A hiperbola érintıinek egyenlete az aszimptoták koordinátarendszerében Legyen M 0 a hiperbola tetszıleges pontja, koordinátái az xOy derékszögő,

(x0′ , y 0′ )

(x

0,

y 0 ) az M 0 pont

pedig az aszimptoták x ′Oy ′

ferdeszögő koordináta-rendszerében. Az M 0 pontbeli d érintı egyenlete az x0 x y 0 y − 2 = 1 . A transzformációs képletek alapján a d a2 b érintı egyenlete az x ′Oy ′ rendszerben a következı lesz: 1 a a 1 b b c2 ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ( ) ( ) ( ) ( − x + y ) = 1 ⇔ y x + x y = . ⋅ x + y ⋅ x + y − ⋅ − x + y ⋅ 0 0 0 0 0 0 c 2 c a2 c b2 c Tehát az érintı egyenletét ebben az esetben is duplázással kapjuk, c2 c2 éspedig úgy, hogy a hiperbola x ′y ′ = egyenletét x ′y ′ + x ′y ′ = alakba 4 2 írjuk, majd a baloldal egyik tagjában x ′ -t x0′ -val, a másik tagjában y ′ -t y 0′ val helyettesítjük. xOy rendszerben

g) Kúpszeletekkel kapcsolatos tulajdonságok bizonyítása Ebben a részben azt mutatjuk meg, hogy kúpszeletekkel kapcsolatos tulajdonságok bizonyítása sok esetben lényegesen egyszerősíthetı, ha a bizonyítás során valamely ferdeszögő koordinátarendszerben felírt egyenletüket használjuk. 1. Igazoljuk, hogy az ellipszis (hiperbola) adott pontbeli érintıje párhuzamos az ehhez a ponthoz tartozó átmérı konjugált átmérıjével.

Bizonyítás. Ha VV ′ és WW ′ az ellipszis (hiperbola) konjugált átmérıi, akkor a konjugált irányok x ′Oy ′ koordináta-rendszerében a V = ( p, 0 ) pontbeli d p ⋅ x′ 0 ⋅ y′ érintı egyenlete ± 2 = 1 ⇔ x ′ = p , azaz d ║OW. p2 q 2. Írjunk az E ellipszisbe egy olyan M 1 M 2 M 3 háromszöget, amelynek súlypontja egybeesik az ellipszis középpontjával. Igazoljuk, hogy az ellipszis M 1 , M 2 , M 3 pontjaihoz tartozó normálisai egy ponton mennek át.

88

Bizonyítás. Ezzel a feladattal kapcsolatban több nehézség is felmerül. Például hogyan írjunk az ellipszisbe egy olyan háromszöget, amely a feltételeket teljesíti? Egyáltalán létezik-e ilyen háromszög? Elıször a feladat feltételeit kielégítı M 1 M 2 M 3 háromszög létezését bizonyítjuk. A V ≡ M 1 ∈ E ponthoz tartozó VV ′ átmérı konjugált átmérıje legyen WW ′ . A VV ′ átmérı a WW ′ -vel párhuzamos húrok felezıpontjainak mértani helye (4.2.5. ábra).

Ha S az [OV ′] szakasz felezıpontja, akkor az S ponton átmenı d egyenes az E ellipszist az M 2 és M 3 pontokban metszi. Mivel OV = 2 ⋅ OS , az [ M 1S ] szakasz akkor és csak akkor lesz az M 1 M 2 M 3 háromszög súlyvonala, ha az S pont az [ M 2 M 3 ] szakaszt is felezi, azaz ha M 2 M 3 ║ WW ′ . Ebben az esetben pedig az M 1 M 2 M 3 háromszög G súlypontja egybeesik O-val, az ellipszis centrumával. Az ellipszis M i pontjához tartozó érintıt jelölje d i , i = 1,2,3. Az 1. tulajdonság alapján d1 ║ M 2 M 3 , d 2 ║ M 3 M 1 , d 3 ║ M 1 M 2 . Tehát az M i pontokbeli normálisok az M 1 M 2 M 3 háromszög magasságvonalai lesznek, ezek pedig egy pontban metszik egymást. (Ennek a feladatnak más megoldásai megtalálhatók A merıleges affinitás és néhány alkalmazása címő cikkemben: Matlap, V. évf., 2001. november, 9. szám, 330 – 334) 3. A hiperbola V pontbeli érintıjébıl az aszimptoták által kivágott [MN] szakaszt a V pont felezi.

89

Bizonyítás. A V=(u,v) pontbeli d érintı egyenlete az aszimptoták x ′Oy ′ ferdeszögő koordinátarendszerében vx ′ + uy ′ =

c2 . 2

. Ha d az aszimptotákat az M és N pontokban metszi (4.2.6. ábra), akkor  c2   c2  c2 c2 c2 M =  , 0  és N =  0,  . Mivel uv = ⇔u= ⇔v= , a V pont 4 4v 4u  2v   2u  az MN szakasz felezıpontja. 4. A hiperbola bármely érintıje és aszimptotái által határolt háromszög területe ab, azaz állandó.

Bizonyítás. Ha a d érintı az aszimptotákat az M illetve N pontban metszi,  c2   c2  akkor M =  , 0  és N =  0,  . Tehát  2v   2u 

1 1 c2 c2 OM ON sin 2ϕ = sin 2ϕ = c 2 sin ϕ cos ϕ = ab . 2 2 2v 2u Megjegyzés. A 3. és 4. tulajdonságok egyik következménye, hogy a hiperbola V pontján át az aszimptotákkal párhuzamosan húzott egyenesek az aszimptotákkal egy állandó területő OKVL paralelogrammát képeznek: 1 1 TOKVL = TOMN = ab . 2 2 TOMN =

5. A hiperbola valamely aszimptotájával párhuzamos egyenes a hiperbolát egyetlen pontban metszi.

90

Bizonyítás. Ha a d egyenes párhuzamos az Oy ′ tengellyel (aszimptotával), akkor az aszimptoták x′Oy′ koordináta-rendszerében az egyenlete x′ = u

 c2  c2 . Tehát d a hiperbolát az egyetlen  u,  4u  4u  pontban metszi. Ha a d egyenes párhuzamos az Ox ′ tengellyel c2 (aszimptotával), akkor egyenlete y′ = v alakú és x′ = . Tehát d a 4v hiperbolát szintén egyetlen pontban metszi. alakú, következésképpen y′ =

6. Ha egy d egyenes a hiperbolát két pontban metszi, akkor a d-nek az aszimptoták és a hiperbola ágai közé esı szakaszai egyenlık.

Bizonyítás. A d egyenesnek az Ox ′ tengellyel (aszimptotával) való metszéspontja legyen M, az Oy ′ tengellyel (aszimptotával) pedig N. A d egyenes a hiperbolát a T és S pontokban metszi ( T legyen közelebb M-hez, S pedig az N-hez ) (4.2.7. ábra).

Ha T = (α , β ) és S = ( u, v ) , akkor az 5. tulajdonság alapján

α ≠ u, β ≠ v m=

és

αβ =

c2 = uv . 4

β −v ⇔ β − mα = v − mu , α −u

A

tehát

d

egyenes

egyenlete

iránytényezıje

y ′ − β = m( x ′ − α ) .

Meghatározzuk az M és N pontok koordinátáit az aszimptoták x′Oy′ koordinátarendszerében:

91

β   ⇒ M = α − , 0 ; m m m   x′ = 0 ⇒ y′ − β = − mα ⇒ y′ = β − mα ⇒ y ′ = 0 ⇒ x′ − α = −

β

⇒ x′ = α −

β

⇒ N = ( 0, β − mα ) vagy N = ( 0, v − mu ) . Kiszámítjuk a TM és az SN szakaszok hosszát: TM 2 =

β2 2

+β2 +2

β2

m m 2 2 2 SN = u + m u + 2mu 2 2

β2

( m + 2m cos 2ϕ + 1) , m cos 2ϕ = u (m + 2m cos 2ϕ + 1) . Mivel

cos 2ϕ =

2

2

2

2

2

2

 c2   c2  TM = SN ⇔ β = m u ⇔ β (α − u ) = u (β − v) ⇔  − uβ  =  uβ −  4 4   és ez utóbbi egyenlıség igaz, ezért TM = SN . Most Arkhimédész két, parabolával kapcsolatos tételét bizonyítjuk. A parabola két érintıje és az érintési pontokat összekötı szelı által meghatározott háromszöget Arkhimédész-féle háromszögnek nevezzük. A szelıre illeszkedı oldalt a háromszög alapjának hívjuk. 2

2

2

2 2

2

2

2

2

7. Az Arkhimédész-féle háromszög alapjához tartozó súlyvonal párhuzamos a parabola tengelyével.

Bizonyítás. A parabola A és B pontjaihoz tartozó érintık metszéspontja legyen C, az ABC háromszög AB alapjának felezıpontja pedig Q. Válasszuk vonatkoztatási rendszerként az A ponthoz tartozó érintıirányt és a tengelyirányt. Ebben az xAy ferdeszögő koordináta-rendszerben a parabola egyenlete y 2 = 2λ x , ahol λ az A ponthoz tartozó paraméter.

92

u v akkor v 2 = 2λu és Q =  ,  . 2 2 Meghatározzuk a C pont koordinátáit. A B pontbeli érintı egyenlete vy = λ ( x + u ) ⇔ vx − 2uy + uv = 0 . Ez az érintı az ordináta-tengelyt (az A Ha a B pont koordinátái

pontbeli érintıt) a

λu v

( u, v ) ,

 λu  ordinátájú pontban metszi, azaz C =  0,  vagy  v 

 v C =  0,  . A C és Q pontok ordinátái egyenlık, ezért a CQ súlyvonal  2 párhuzamos a parabola t tengelyével. 8. Az ABC Arkhimédész-féle háromszög AB alapjával párhuzamos MN középvonalnak ( M ∈ BC , N ∈ AC ) a CQ súlyvonallal való P metszéspontja rajta van a parabolán és a P ponthoz tartozó érintı éppen az MN egyenes. u v Bizonyítás. Mivel P a CQ szakasz felezıpontja, ezért P =  ,  . A P pont 4 2 koordinátái kielégítik a parabola egyenletét, következésképpen P rajta van a parabolán. A P pontbeli d érintı egyenlete: 4vx − 4uy + uv = 0 . Megoldva a vx − 2uy + uv = 0 egyenletrendszert, megkapjuk az M pont koordinátáit.  4vx − 4uy + uv = 0

93

 u 3v   v M =  ,  , N =  0,  , az MN 2 4   4 4vx − 4uy + uv = 0 , azaz d≡MN (4.2.8. ábra).

Mivel

egyenes

egyenlete

szintén

4.3. Az egyenlı szárú hiperbola egyenleteirıl M. Vygodsky mővében, [21]-ben, a 110. oldalon találtam meg annak rövid kifejtését, hogy az elsıfokú polinomok segítségével értelmezett mx + n y = f ( x) = racionális függvény grafikus képe egyenlı szárú px + q hiperbola. Ez adta az ötletet, hogy alaposabban foglalkozzam az egyenlı szárú hiperbolákkal és összehasonlítsam különbözı alakú egyenleteiket. Tárgyalásomban kitérek a konjugált egyenlı szárú hiperbolákra is. Az xOy derékszögő koordinátarendszerrel ellátott síkban tekintsük az ( x, y ) koordinátájú tetszıleges M pontot és az x 2 − y 2 = 4 , (1) xy = 2 , (2) 3x − 4 . (3) egyenleteket, amelyekkel kapcsolatban két kérdést x−2 fogalmazunk meg. 1. Milyen alakzatot ír le az (1), (2) illetve (3) egyenletet kielégítı ( x, y ) koordinátájú M pont? 2. E három alakzat hogyan viszonyul egymáshoz? A továbbiakban ezekre a kérdésekre keressük a válaszokat. A problémakört egy általánosabb keretben fogjuk tárgyalni. Tegyük fel, hogy az a valós és b x2 y2 képzetes féltengelyő hiperbola az 2 − 2 = 1 (4) kanonikus (középponti) a b egyenletével van megadva, ahol 2c a hiperbola fókusztávolsága, c > a > 0 és b2 = c2 − a2 . Ha a = b , akkor a hiperbolát egyenlı szárú vagy derékszögő hiperbolának nevezzük. Az egyenlı szárú hiperbola egyenlete x 2 − y 2 = a 2 . (5) y=

Egyenlı szárú hiperbolákra c = 2a , tehát a fókusztávolságuk 2c = 2 2a . Ebben a részben, ha hiperbolákról beszélünk, akkor többnyire egyenlı szárú hiperbolákra gondolunk. Az (5) alatti hiperbolát jelöljük H-val. Legyenek F1 és F2 a H hiperbola fókuszpontjai, A1 és A2 pedig a csúcspontjai. E pontok derékszögő koordinátái: F1 =

(

)

(

)

2a, 0 , F2 = − 2a, 0 , A1 = ( a, 0 ) , A2 = ( −a, 0 ) .

94

Az egyenlı szárú hiperbola aszimptotái az xOy derékszögő koordinátarendszer elsı és második szögfelezıi, amelyek merılegesek egymásra. A sík aktív szemlélető ϕ szöggel való rotációja után az M = ( x, y ) pont M ′ = ( x′, y′ ) képpontjának az xOy rendszerbeli koordinátái: x′ = x cos ϕ − y sin ϕ , y′ = x sin ϕ + y cos ϕ . Jelölje H ϕ azt a hiperbolát, amelyet a H egyenlı szárú hiperbola ϕ szöggel

való rotációja után kapunk. Felírjuk a H ϕ hiperbola egyenletét. Ehhez kifejezzük x-t és y-t x′ és y′ függvényében megoldva az  x cos ϕ − y sin ϕ = x′ egyenletrendszert:   x sin ϕ + y cos ϕ = y′ cos ϕ − sin ϕ ∆= = cos 2 ϕ + sin 2 ϕ = 1 , sin ϕ cos ϕ x′ − sin ϕ cos ϕ x′ ∆x = = x′ cos ϕ + y′ sin ϕ , ∆ y = = − x′ sin ϕ + y′ cos ϕ . y′ cos ϕ sin ϕ y′ A Cramer-féle képletek alapján: x = x′ cos ϕ + y′ sin ϕ és y = − x′ sin ϕ + y′ cos ϕ . Az (5) egyenletbe helyettesítve: 2 2 ( x′ cos ϕ + y′ sin ϕ ) − ( − x′ sin ϕ + y′ cos ϕ ) = a 2 ⇔ ⇔ ( x′2 − y′2 ) cos 2ϕ + 2 x′y′ sin 2ϕ = a 2 .

Tehát a H ϕ hiperbola egyenlete:

( x′

2

− y′2 ) cos 2ϕ + 2 x′y′ sin 2ϕ = a 2 . (6)

π  Jelölje G a H π / 4 hiperbolát  ϕ =  . A G hiperbola egyenlete: 4  2 a x′y′ = . (7) 2 Legyenek E1 és E2 a G hiperbola fókuszpontjai, B1 és B2 pedig a 1 1 csúcspontjai. Az x′ = ( x − y ) és y′ = ( x + y ) transzformációs 2 2 képletek alapján e pontok derékszögő koordinátái: a   a a   a E1 = ( a, a ) , E2 = ( −a, −a ) , B1 =  , ,−  , B2 =  − . 2 2  2 2  A G hiperbola ágai az elsı és harmadik negyedben helyezkednek el, valós tengelye az elsı szögfelezı, aszimptotái pedig maguk a koordinátatengelyek.

95

a) Konjugált hiperbolák Két olyan hiperbolát, amelyek aszimptotái közösek és az egyik valós féltengelye a másiknak képzetes féltengelye és fordítva, konjugált hiperboláknak nevezünk. A (4) alatti hiperbola konjugáltjának egyenlete x2 y2 − = −1 . (8) a2 b2 Ha a = b , akkor egyenlı szárú vagy derékszögő konjugált hiperboláról beszélünk, amelynek egyenlete x 2 − y 2 = −a 2 . (9) A H egyenlı szárú hiperbola konjugáltját jelölje H ∗ . Ennek aszimptotái szintén az xOy derékszögő koordinátarendszer elsı és második szögfelezıi. Legyenek F1∗ és F2∗ a H ∗ konjugált hiperbola fókuszpontjai, A1∗ és

(

A2∗ pedig a csúcspontjai. E pontok derékszögő koordinátái:

)

(

)

F1∗ = 0, 2a , F2∗ = 0, − 2a , A1∗ = ( 0, a ) , A2∗ = ( 0, −a ) . Jelölje G ∗ a H −π / 4 a2 π  hiperbolát  ϕ = −  . A G ∗ hiperbola egyenlete: x′y′ = − . (10) 2 4  Legyenek E1∗ és E2∗ a G ∗ hiperbola fókuszpontjai, B1∗ és B2∗ pedig a 1 1 csúcspontjai. Az x′ = ( x + y ) és y′ = ( − x + y ) transzformációs 2 2 képletek alapján e pontok derékszögő koordinátái: E1∗ = ( a, −a ) , a   a  a a  ∗ ∗ E2∗ = ( −a, a ) , B1∗ =  ,− ,  , B2 =  −  . A G hiperbola ágai a 2 2 2 2     második és negyedik negyedben helyezkednek el, valós tengelye a második szögfelezı, aszimptotái pedig maguk a koordinátatengelyek. A G ∗ és G hiperbolák egymás konjugáltjai. Mindkét hiperbolára az jellemzı, hogy pontjaik koordinátáinak szorzata állandó (lásd a (7) és (10) alatti egyenleteket). Az eddigiekbıl világosan látszik, hogy bizonyos sajátos helyzető hiperbolák egyenlete x′y′ = k = állandó (11) alakú. Természetesen adódik ezek után a kérdés: a (11) egyenletet kielégítı ( x′, y′ ) számpároknak megfelelı M ′ pontok milyen alakzatot írnak le egy xOy derékszögő koordinátarendszerben? Ez az alakzat egyenlı szárú hiperbola lesz a k állandó bármely zérótól különbözı valós értékére.

96

Valóban, ha az x 2 − y 2 = 2k (12) egyenlető egyenlı szárú hiperbolát

π

szöggel elforgatjuk, akkor olyan hiperbolát kapunk, amelynek egyenlete 4 éppen a (11) alatti egyenlet lesz. A k és − k értékeknek megfelelı hiperbolák egymás konjugáltjai. A k > 0 értékhez tartozó hiperbola valós tengelye az elsı szögfelezı, a − k értékhez tartozó hiperbola valós tengelye pedig a második szögfelezı. Jelölje ezeket a hiperbolákat K és K ∗ . Ezek féltengelyei:

a = b = 2 k , ( k ≠ 0) . A K

hiperbola fókuszpontjai

csúcspontjai pedig fókuszpontjai

(

) (

(

(

) (−

) (−

2k , 2 k ,

)

2k , − 2k ,

k , − k . A K ∗ kojugált hiperbola

k, k ,

) (−

2 k ,− 2 k ,

)

)

(

)

2k, 2k ,

csúcspontjai

pedig

k , − k , − k , k . E hiperbolák fókusztávolsága 4 k .

b) Az egyenlı szárú hiperbola, mint racionális függvény grafikus képe

( a, b )

Az x′y′ = k ( k ≠ 0 ) egyenlető egyenlı szárú K hiperbolát toljuk el az vektorral. A kapott, szintén egyenlı szárú hiperbolát, jelölje Q. A K

hiperbola ( x′, y′ ) koordinátájú M ′ pontjai a Q hiperbola ( x, y ) koordinátájú M pontjaiba transzformálódnak az x = x′ + a és y = y′ + b képletek alapján. A Q hiperbola egyenlete:

( x − a )( y − b ) = k ⇔ ( x − a ) y = k + b ( x − a ) .

Ha

bx + c alakba írható, ahol c = k − ab . x−a Innen azt feltételezhetjük, hogy elsıfokú polinomokkal értelmezett racionális függvény grafikus képe egyenlı szárú hiperbola. A továbbiakban ezt a kérdést fogjuk megvizsgálni. mx + n Tekintsük az y = f ( x) = (13) racionális függvényt, ahol px + q q p ≠ 0 , m 2 + n 2 ≠ 0 és x ≠ − . Alkalmazzuk erre a függvényre az p x ≠ a , akkor az elıbbi egyenlet y =

97

m koordinátatranszformációt, azaz toljuk el a p  q m függvény grafikus képét a  , −  vektorral: p p x′ = x +

q p

és

y′ = y −

( px + q) y = mx + n ⇔ ( px + q) py = mpx + np ⇔ px′ ( py′ + m) = m( px′ − q) + np ⇔

⇔ p 2 x′y′ = np − mq . p q δ Aδ= = np − mq jelöléssel az x′y′ = 2 (14) egyenletet kapjuk, amely m n p egyenlı szárú hiperbola egyenlete. Nevezzük a δ valós számot az f függvény determinánsának. Következésképpen a (13) alatti f függvény grafikus képe olyan egyenlı szárú hiperbola, melynek középpontja a  q m C =  − ,  pontban van, valós tengelye párhuzanos az xOy derékszögő  p p koordinátarendszer elsı szögfelezıjével, ha δ > 0 , illetve a második szögfelezıjével, ha δ < 0 . Jelölje ezt a hiperbolát T. Ennek féltengelyei:

a=b=

2δ p

, aszimptotái pedig az x = −

q m és y = egyenesek. A T valós p p

m+q m−q illetve y = − x + . p p Jelölje D1 és D2 a T hiperbola fókuszpontjait, C1 és C2 pedig a csúcspontjait. A δ elıjelétıl függıen e pontok derékszögő koordinátái a δ > 0 esetben:  q  q 2δ m 2δ  2δ m 2δ  D1 =  − + , + , −  , D2 =  − − , p p p  p p p   p  p  q  q δ m δ  δ m δ C1 =  − + , + , −  , C2 =  − − ; p p p  p p p   p  p a δ < 0 esetben:  q  q 2δ m 2δ  2δ m 2δ   , D2 =  − − , D1 =  − + , − , +  p  p p p p  p p p       q  q δ m δ  δ m δ   , C2 =  − − . C1 =  − + , − , +  p  p p p p  p p p     

illetve képzetes tengelyének egyenlete y = x +

98

A T hiperbola fókusztávolsága: D1 D2 =

4 δ p

.

Jelölje T ∗ a T hiperbola konjugáltját. Hogyan kapjuk meg a T ∗  q m δ egyenletét? Az x′y′ = − 2 (15) egyenlető hiperbolának a  − ,  vektorral p  p p q való eltolásával, azaz alkalmazva a (15) egyenletre az x = x′ − és p m y = y′ + koordinátatranszformációt: p  δ q  m δ x′y′ = − 2 ⇔  x +   y −  = − 2 ⇔ ( px + q )( py − m ) = −δ ⇔ p p  p p 

⇔ ( px + q ) py = ( px + q ) m − δ ⇔ ( px + q ) py = mpx + np − 2δ . 2δ p . px + q

mx + n − Tehát a T ∗ konjugált hiperbola egyenlete: y = f ∗ ( x) =

(16)

A T ∗ konjugált hiperbola determinánsa:  2δ  δ ∗ =  n −  p − mq = np − mq − 2δ = δ − 2δ = −δ , p   azaz a T determinánsának ellentettje. Jelölje D1∗ és D2∗ a T ∗ hiperbola fókuszpontjait, C1∗ és C2∗ pedig a csúcspontjait. A δ elıjelétıl függıen e pontok derékszögő koordinátái a δ > 0 esetben:  q 2δ m 2δ  ∗  q 2δ m 2δ  D1∗ =  − + , − , +  , D2 =  − − , p p p  p p p   p  p  q δ m δ  ∗  q δ m δ C1∗ =  − + , − , +  , C2 =  − −  ; p p p p p p p p     a δ < 0 esetben:  q 2δ m 2δ  ∗  q 2δ m 2δ   , D2 =  − − , D1∗ =  − + , + , −  p  p p p p  p p p       q δ m δ  ∗  q δ m δ   , C2 =  − − . C1∗ =  − + , + , −  p  p p p p  p p p     

99

Most válaszolunk a feltett kérdésekre: bár az (1), (2) illetve (3) alatti egyenletek alakjukat tekintve lényegesen különböznek egymástól, mégis mindegyik egy-egy egyenlı szárú hiperbola egyenlete. Hogy ezek a hiperbolák milyen kapcsolatban vannak egymással? Ha az x 2 − y 2 = 4

π

szöggel, akkor az xy = 2 egyenlető 4 hiperbolát kapjuk. Toljuk el az xy = 2 hiperbolát a ( 2,3) vektorral. A kapott

egyenlető hiperbolát elforgatjuk

hiperbola egyenlete

( x − 2)( y − 3) = 2 ⇔ ( x − 2) y = 3x − 4 .

Ha x ≠ 2 , akkor

π 3x − 4 , ami éppen a (3) egyenlet. Összefoglalva: (1)-bıl (2)-ıt x−2 4 szöggel való forgatással, (2)-bıl (3)-at pedig a ( 2,3) vektorral való eltolással kapjuk. y=

c) Módszertani javaslatok a kúpszeletek tanításához Az 1990-es évek elejéig a romániai iskolarendszerben a kúpszeleteket tanítottuk mind az elméleti líceumokban, mind a szakközépiskolákban, a XI. osztályokban. Akkor még az analitikus mértan külön tárgyként szerepelt a tananyagban és emellett még a tanterv tartalmazta a lineáris algebra elemeit (mátrixok, detrminánsok, lineáris egyenletrendszerek) és a metematikai analízis elemeit (sorozatok, határértékek, folytonosság, deriváltak, függvényvégrehajtott többrendbeli ábrázolás). Az azóta eltelt idıben reformintézkedések következményeként ma már a kúpszeletek csak az elméleti líceumok (fıgimnáziumok) reál profilú osztályainak tanterveiben szerepelnek. Ezek a tantervek csak és kizárólag a kúpszeletek kanonikus egyenleteinek az oktatását írják elı. Az ellipszis és a hiperbola konjugált irányokra vonatkozó illetve a parabolának a tengelyirány és egy érintıirány szerinti egyenlete az értekezésben tárgyalt formában, a szükséges magasabb szintő fogalmak miatt, csak fıiskolákon, egyetemeken, tanár-továbbképzıkön stb. vezethetı le. Viszont a 4.2. és 4.3. alfejezetek eredményeinek ismeretében a kúpszeletek tanítására javasolnék egy olyan megközelítést, amely már középiskolás szinten alkalmazható és amelyet az alábbi lépésekben lehetne megvalósítani: 1. a ferdeszögő koordinátarendszerek és a paralel- vagy kontravariáns koordináták bevezetése 2. a derékszögő koordinátarendszerek és a derékszögő koordináták bevezetése 3. a kúpszeletek kanonikus egyenleteinek a levezetése

100

4. a kúpszeletek egyenleteinek felírása sajátos helyzető ferdeszögő és derékszögő koordinátarendszerekben A 4. lépést most leírom részletesebben, de mellızve a számítások egy részét. I. Legyenek F1 és F2 az ellipszis fókuszpontjai. Az xOy ferdeszögő koordinátarendszert vegyük fel úgy, hogy O kezdıpontja az F1 F2 szakasz felezıpontjában legyen, tengelyei pedig ne essenek egybe az F1 F2 egyenessel. A továbbiakban kontravariáns koordinátákban dolgozunk. A tengelyek hajlásszögét jelöljük θ -val, a sík tetszıleges pontja pedig legyen M = ( x, y ) . Az ellipszis azon M pontok mértani helye a síkban, amelyekre MF1 + MF2 = 2a , ahol a > 0 és 2a > F1 F2 . Ha az ellipszis fókusztávolsága F1 F2 = 2c , F1 = (α , β ) , akkor F2 = ( −α , − β ) és az ellipszis egyenlete:

( x −α ) + ( y − β ) 2

+

2

+ 2 ( x − α )( y − β ) cos θ +

( x +α ) + ( y + β ) 2

2

+ 2 ( x + α )( y + β ) cos θ = 2a .

Átrendezések és kétszeri négyzetreemelés után az alábbi egyenletet kapjuk: ( a 2 − c2 + β 2 sin 2 θ ) x2 + 2 ( a 2 − c2 ) cosθ − αβ sin 2 θ  xy + + ( a 2 − c 2 + α 2 sin 2 θ ) y 2 = a 2 ( a 2 − c 2 ) A b 2 = a 2 − c 2 jelöléssel az ellipszis egyenlete a következı lesz: ( b2 + β 2 sin 2 θ ) x2 + 2 ( b2 cos θ − αβ sin 2 θ ) xy + ( b2 + α 2 sin 2 θ ) y 2 = a 2b2 .

Ha az x-tengely az ellipszist a V = ( p, 0 ) pontban, az y-tengely pedig

a W = ( 0, q ) pontban metszi, akkor

(b

2

+ β 2 sin 2 θ ) p 2 = a 2b 2 és ( b 2 + α 2 sin 2 θ ) q 2 = a 2b 2 .

Tehát az ellipszis egyenlete így alakul: a 2b 2 2 a 2b 2 2 2 2 x + 2 ( b cos θ − αβ sin θ ) xy + 2 y = a 2b 2 . 2 p q Most kimutatjuk, hogy ha az OV és OW konjugált irányok, akkor az xy-os tag együtthatója nullával egyenlı. Figyelembe véve, hogy c 2 = α 2 + β 2 + 2αβ cos θ , az alábbi eredményeket kapjuk: 1 2 ( b 2 cos θ − αβ sin 2 θ ) = 2b 2 cos 2 θ − 2αβ cos θ sin 2 θ ) = ( cos θ 1  2b 2 cos 2 θ + (α 2 + β 2 − c 2 ) sin 2 θ  = =  cos θ 

101

 1  a 2b 2 a 2b 2 2 2 2 2 2  2 + 2 − 2b + 2b cos θ − c sin θ  = cos θ  p q  2 2 2 2  1 a b a b 2 2 2 2 =  2 + 2 − 2b sin θ − c sin θ  = cos θ  p q 

=

 1  a 2b 2 a 2b 2 2 2 2 2  2 + 2 − a sin θ − b sin θ  = cos θ  p q  2 2 2 2 2 2  a +b  a b p +q = − sin 2 θ  .  2 2⋅ 2 2 cos θ  p q a + b  Ha az OV és OW konjugált irányok, akkor érvényesek Apollóniosz ellipszisre vonatkozó tételei: az ellipszis konjugált félátmérıinek négyzetösszege a 2 + b 2 , illetve az általuk meghatározott háromszög területe ab ab . Ebbıl adódóan p 2 + q 2 = a 2 + b 2 és sin θ = . Következésképpen az 2 pq xy-os tag együtthatója nulla lesz és megkapjuk az ellipszis konjugált x2 y 2 irányokra vonatkozó 2 + 2 = 1 egyenletét. p q Az elıbbi levezetés elvégezhetı a hiperbolára is. A −b 2 = a 2 − c 2 jelöléssel a H hiperbola egyenlete a következı lesz: ( b2 − β 2 sin 2 θ ) x2 + 2 ( b2 cos θ + αβ sin 2 θ ) xy + ( b2 − α 2 sin 2 θ ) y 2 = a 2b2 .

=

A H konjugált hiperbola egyenlete pedig: ( b2 − β 2 sin 2 θ ) x2 + 2 ( b2 cos θ + αβ sin 2 θ ) xy + ( b2 − α 2 sin 2 θ ) y 2 = −a 2b2 .

Ha az x-tengely a H hiperbolát a V = ( p, 0 ) pontban, az y-tengely pedig a H konjugált hiperbolát a W = ( 0, q ) pontban metszi, akkor

(b

2

− β 2 sin 2 θ ) p 2 = a 2b 2 és ( b 2 − α 2 sin 2 θ ) q 2 = −a 2b 2 .

Tehát a hiperbola egyenlete így alakul: a 2b 2 2 a 2b 2 2 2 2 x + 2 ( b cos θ + αβ sin θ ) xy − 2 y = a 2b 2 . 2 p q Most az xy-os tag együtthatója:  a 2 − b 2  a 2b 2 p 2 − q 2 2 2 ( b 2 cos θ + αβ sin 2 θ ) =  − 2 2 ⋅ 2 2 + sin θ  . cos θ  p q a − b  Az ellipszisre vonatkozó Apollóniosz-féle tételeknek megfelelı tulajdonságok a hiperbolára a következıképpen módosulnak: a hiperbola konjugált félátmérıinek négyzetkülönbsége a 2 − b 2 , illetve az általuk

102

meghatározott háromszög területe

ab . Azaz hiperbolára p 2 − q 2 = a 2 − b 2 , 2

ab képlet formálisan változatlan marad. Következésképpen az pq xy-os tag együtthatója nulla lesz és a hiperbola konjugált irányokra vonatkozó x2 y 2 egyenlete 2 − 2 = 1 alakú lesz. (Az ellipszis és a hiperbola esete együtt is p q tárgyalható úgy, ahogy az [6]-ban a 405. oldalon található) de a sin θ =

II. Legyen F a parabola fókuszpontja, d pedig a vezéregyenese. Az xOy ferdeszögő koordinátarendszert vegyük fel úgy, hogy O kezdıpontja a ( dF félsíban legyen, x-tengelye pedig legyen merıleges d-re, de ne essen

egybe a parabola tengelyével. A tengelyek hajlásszögét jelöljük θ -val, a sík tetszıleges pontja pedig legyen M = ( x, y ) . A parabola azon M pontok mértani helye a síkban, amelyek az F ponttól és a d egyenestıl egyenlı távolságra vannak. Az O pontnak a d egyenesre esı merıleges vetületét jelölje A, az OA szakasz hosszát pedig a ( a > 0 ) . Az A pont kontravariáns

koordinátái A = ( −a, 0 ) és ha F = (α , β ) , akkor a parabola egyenlete:

( x −α ) + ( y − β ) 2

2

+ 2 ( x − α )( y − β ) cos θ = a + x + y cos θ .

Négyzetreemelés és rendezés után az alábbi egyenletet kapjuk: ( sin 2 θ ) y 2 − 2 ( a + α + β cos θ ) x − 2 ( a cosθ + α cos θ + β ) y = = a 2 − α 2 − β 2 − 2αβ cos θ . Ha az O pont a parabolán van, akkor OA = OF ⇔ a 2 = α 2 + β 2 + 2αβ cos θ . Ekkor a parabola egyenlete: ( sin 2 θ ) y 2 − 2 ( a + α + β cos θ ) x − 2 ( a cosθ + α cos θ + β ) y = 0 .  a −α β  P= ,  2  2 felezıpontján, akkor az Oy tengely az O pontban érinti a parabolát. Ekkor α = a és β ( β + 2α cos θ ) = 0 . Ha β ≠ 0 , akkor a parabola egyenlete a következı lesz: ( sin 2 θ ) y 2 − 2 ( 2α + β cosθ ) x = 0 ⇔ ( sin 2 θ ) y 2 = 2 ( 2α − 2α cos2 θ ) x ⇔ Ha az Oy tengely átmegy az

( sin θ ) y 2

2

AF

szakasz

= 4α ( sin 2 θ ) x ⇔ y 2 = 4α x ⇔ y 2 = 4ax ⇔ y 2 = 2λ x ,

ahol λ = 2a . Ez utóbbi egyenlet éppen a parabola egyenlete a tengelyirány és egy érintıirány koordinátarendszerében (lásd 4.2. c) alpontot). Ha pedig

103

β = 0 , akkor az x-tengely egybeesik a parabola tengelyével, azaz átmegy az π F fókuszponton, N ≡ O, θ = és λ = AF = p . Ebben a sajátos esetben a

2 parabola y = 2 px kanonikus egyenletét kapjuk. A parabola a középiskolai tantervekben több helyen is elıfordul. A románai iskolarendszerben a diákok a parabola fogalmával elıször IX. osztályban találkoznak, mint az f : ℝ → ℝ, f ( x) = ax 2 + bx + c (a, b, c ∈ ℝ, a ≠ 0) másodfokú függvény grafikonjának mértani képével. Késıbb, XI. osztályban bevezetjük a parabola szabatos matematikai fogalmát és levezetjük y 2 = 2 px, ( p ∈ ℝ + ) kanonikus egyenletét. A függvények 2

tanumányozása során tanítjuk az f :[0, + ∞) → ℝ + , f ( x) = x négyetgyökfüggvényt, amelynek a grafikus képe egy „félparabola”. Nagyon fontos, hogy a középiskola ideje alatt világosan tisztázzuk és tudatosítsuk a diákokban, hogy a parabola fogalma bevezethetı elemei geometriai úton, függvénytani fogalmakkal és analitikusan. Ezeknek a didaktikai kérdéseknek a taglalásával részletesen foglalkoztam Módszertani javaslatok a parabola tanításához címő cikkemben (Matlap, VI. évf., 2002 január, 1. szám, 2-6). III. Most foglalkozzunk a hiperbola xy = k alakú egyenleteivel, konkrét feladatokból kiindulva. x2 y 2 1. Írjuk fel az − = 1 kanonikus egyenlető hiperbola egyenletét 16 4 aszimptotáinak XOY koordinátarendszerében. Megoldás. Mivel c 2 = a 2 + b 2 = 16 + 4 = 20 , ezért a kért egyenlet: c2 20 XY = ⇔ XY = ⇔ XY = 5 . 4 4 2. Írjuk fel az x 2 − y 2 = 10 egyenlı szárú hiperbola egyenletét aszimptotáinak XOY koordinátarendszerében. Megoldás. Mivel a 2 = 10 , ezért a kért egyenlet: a2 10 XY = ⇔ XY = ⇔ XY = 5 . 2 2 2 2 3. Az x − y = 10 egyenlı szárú hiperbolát forgassuk el 45 -kal. Írjuk fel a kapott hiperbola egyenletét. Megoldás. A sík aktív szemlélető ϕ szöggel való rotációja után az M = ( x, y ) pont M ′ = ( x′, y′ ) képpontjának az xOy rendszerbeli koordinátái:

104

x′ = x cos ϕ − y sin ϕ , y′ = x sin ϕ + y cos ϕ .

Mivel most ϕ = 45 , ezért 1 x′ = x cos ϕ − y sin ϕ = x cos 45 − y sin 45 = ( x − y ) és 2 1 y′ = x sin ϕ + y cos ϕ = x sin 45 + y cos 45 = ( x + y ) . Tehát 2 1 1 x′y′ = ( x 2 − y 2 ) = ⋅10 = 5 , azaz az elforgatott hiperbola egyenlete szintén 2 2 xy = 5 alakú. Az eredmények diszkussziója. Bár a fenti három számpélda eredménye látszólag ugyanaz az xy = 5 alakú egyenlet, mindhárom esetben ezek különbözı hiperbolák egyenletei. Éppen ezért egy hiperbola nem adható meg az xy = k alakú egyenletével, még akkor sem, ha egyenlı szárú hiperboláról van szó. Amint az elıbbi példákból is kiderül, az xy = k egyenlet lehet egy egyenlı szárú hiperbola aszimptotáira vonatkozó egyenlete vagy egy egyenlı szárú hiperbola 45 -al való elforgatottjának az egyenlete. Ha pedig nem egyenlı szárú hiperboláról van szó, akkor az xy = k alakú egyenletén kívül még meg kell adni vagy a féltengelyek egyikének hosszát vagy egyik aszimptotájának az x-tengellyel bezárt szögét ahhoz, hogy a hiperbola egyértelmően meg legyen határozva. Tehát az olyan feladatok, hogy „Ábrázoljuk az xy = k egyenlető hiperbolát” nincsenek helyesen kitőzve vagy csak akkor fogadhatók el mégis, ha hallgatólagosan egyenlı szárú hiperbolára gondolunk.

4.4. Az általánosított Fermat-pontok metrikus jellemzése Elızmények. A háromszög Fermat-pontjai a Pierre Fermat (1601-1665) által a XVII. század közepe körül felvetett alábbi problémával vannak kapcsolatban: Adott ABC hegyesszögő háromszög síkjában határozzuk meg azt a P pontot, amelyre a PA+PB+PC összeg a legkisebb. Ennek a feladatnak és a különbözı általánosításainak megoldásával sok matematikus foglalkozott, köztük Jacob Steiner is. Ezért a szakirodalomban az elıbbi feladat a Fermat-Steiner probléma néven ismert. A továbbiakban nem a Fermat-Steiner problémát tárgyalom, ellenben az egész kérdéskör rendkívül gazdag szakirodalmából utalok néhányra: 1. H. Mowaffaq, An Advanced Calculus Approach to Finding the Fermat Point, Mathematics Magazine 67, 29-34, 1994. 2. Shay Gueron and Ran Tessler, The Fermat-Steiner Problem, The American Mathematical Monthly 109, 443-451, 2002

105

3. P. G. Spain, The Fermat Point of a Triangle, Mathematics Magazine 69, 131-133, 1996. 4. J. Tong and Y. S. Chua, The Generalized Fermat’s Point, Mathematics Magazine 68, 214-215, 1995. A Fermat-Steiner probléma történeti áttekintése megtalálható 2.-ben. Most pedig rátérünk a Fermat-pontok általánosítására és e pontok metrikus jellemzésére, a trigonomtria és az analitikus geometria eszközeinek segítségével. Ha az ABC háromszög BC, CA, AB oldalaira kifelé megszerkesztjük a BCX 1 , CAY1 , ABZ1 egyenlı oldalú háromszögeket, akkor ± AF1 ± BF1 ± CF1 = AX 1 = BY1 = CZ1 , (I)

ahol { F1} = AX 1 ∩ BY1 ∩ CZ1 az ABC háromszög elsı (külsı) Fermat-pontja. Minusz jelet annál a tagnál veszünk, amelynek megfelelı csúcsszög nagyobb, mint120 . Ha az ABC háromszög BC, CA, AB oldalaira befelé szerkesztjük meg a BCX 2 , CAY2 , ABZ 2 egyenlı oldalú háromszögeket, akkor ± AF2 ± BF2 ± CF2 = AX 2 = BY2 = CZ 2 , (II)

ahol { F2 } = AX 2 ∩ BY2 ∩ CZ 2 az ABC háromszög második (belsı) Fermatpontja. Minusz jelet annál a tagnál veszünk, amelynek megfelelı csúcsszög nagyobb, mint 60 . Most azt vizsgáljuk, hogy ezek az ismert összefüggések hogyan módosulnak abban az esetben, ha az ABC háromszög oldalaira kifelé illetve befelé, három egymással hasonló háromszöget építünk. A bizonyítások során használt képleteket elıbb felsoroljuk, majd igazoljuk azokat: sin 2 A + sin 2 B + sin 2C = 4 sin A sin B sin C (1) cos 2 A + cos 2 B + cos 2C = −1 − 4 cos A cos B cos C

(2)

sin A cos B cos C + sin B cos C cos A + sin C cos A cos B = sin A sin B sin C

(3)

cos Asin B sin C + cos B sin C sin A + cosC sin Asin B = 1 + cos A cos B cosC

(4)

sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = 2 (1 + cos A cos B cos C )

(5)

cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C = 1 − 2 cos A cos B cos C

(6)

106

Az (1) képlet bizonyítása: sin 2α + sin 2β + sin 2γ = 2sin ( α + β ) cos ( α − β ) + 2sin γ cos γ = α −β+ γ α −β− γ cos sin γ = 4sin α sin β sin γ . 2 2 A (3) képlet bizonyítása: sin A cos B cos C + sin B cos C cos A + sin C cos A cos B = = sin A cos B cos C + cos A sin ( B + C ) = sin A ( cos A + cos B cos C ) = = 4 cos

= sin A  − cos ( B + C ) + cos B cos C  = sin A sin B sin C A (4) képlet bizonyítása: cos A sin B sin C + cos B sin C sin A + cos C sin A sin B = = cos A sin B sin C + sin A sin ( B + C ) = cos A sin B sin C + sin 2 A = = 1 − cos 2 A + cos A sin B sin C = 1 + cos A ( − cos A + sin B sin C ) = = 1 + cos A cos ( B + C ) + sin B sin C  = 1 + cos A cos B cos C . Az (5) képlet bizonyítása: 3 1 sin 2 A + sin 2 B + sin 2 C = − ( cos 2 A + cos 2 B + cos 2C ) = 2 2 3 1 = + (1 + 4 cos A cos B cos C ) = 2 (1 + cos A cos B cos C ) . 2 2

I. A háromszög elsı általánosított Fermat-pontja Az ABC háromszög oldalaira kifelé építsük fel az egymással hasonló BCD, CAE és ABF háromszögeket úgy, hogy m ( BAF ∢ ) = α = m ( CAE∢ ) ,

m ( CBD∢ ) = β = m ( ABF ∢ ) , m ( ACE∢ ) = γ = m ( BCD∢ ) .

Mivel A + B + C = π = α + β + γ , ezért m ( BDC ∢ ) = α , m ( CEA∢ ) = β ,

m ( AFB∢ ) = γ . Az ABC háromszögre vonatkozó baricentrikus koordinátákban fogunk dolgozni. A Conway-féle képletek alapján a D, E, F pontok baricentrikus koordinátái: D = ( − a 2 , Sγ + SC , S β + S B ) , E = ( Sγ + SC , −b 2 , Sα + S A ) , F = ( S β + S B , Sα + S A , −c 2 ) .

Az AD, BE, CF egyenesek egyenletei: − ( S β + S B ) y + ( Sγ + SC ) z = 0 ,

( Sα + S A ) x − ( Sγ + SC ) z = 0 , − ( Sα + S A ) x + ( Sβ + S B ) y = 0 . 107

Mivel bármely két egyenletet összeadva a harmadik egyenlet ( −1) szeresét kapjuk, az AD, BE és CF egyenesek egy K pontban metszik egymást. Ezt a K pontot a háromszög elsı általánosított Fermat-pontjának nevezzük. A K pont baricentrikus koordinátái: K=

(( S

β

)

+ S B )( Sγ + SC ) : ( Sγ + SC ) ( Sα + S A ) : ( Sα + S A ) ( S β + S B ) =

 1 1 1  = , , .  S + S S + S S + S  α A β B γ C   Vezessük be a következı jelölést: λ = λ ( A, B, C , α , β , γ ) =

= sin A sin B sin C ( ctgA sin 2 α + ctgB sin 2 β + ctgC sin 2 γ + 2sin α sin β sin γ ) = =

1 S sin 2 α + S B sin 2 β + SC sin 2 γ + 2 S sin α sin β sin γ ) . 2 ( A 4R

a) Az AD, BE és CF szakaszok hossza Az AD, BE és CF szakaszok hosszának kiszámításához felhasználjuk az alábbi jelöléseket:  cos β cos γ  S S sinα tα = Sβ + Sγ = S ⋅ ctgβ + S ⋅ ctgγ = S  + sin ( β + γ ) = = sin β sin γ  sin β sin γ  sin β sin γ S sin β S sin γ tβ = Sγ + Sα = , tγ = Sα + S β = . sin γ sin α sin α sin β A D, E illetve F pont koordinátáinak összege tα , tβ illetve tγ . Az AD szakasz hossza: 2 2 2 1 AD = a 2 + tα ) S A + ( Sγ + SC ) S B + ( S β + S B ) SC = ( tα =

1 tα

(a

2

+ 2tα )( a 2 S A + S BC ) + S Atα2 + S B Sγ2 + SC S β2 =

=

1 tα

(a

2

+ 2tα ) S 2 + S Atα2 + S B Sγ2 + SC S β2 =

=

1 tα

( a 2 + 2tα ) S 2 +

S2 sin 2 α S 2 cos 2 γ S 2 cos 2 β + + = S A sin 2 β sin 2 γ S B sin 2 γ SC sin 2 β

108

1 a2 sin2 β sin2 γ + 2S sinα sin β sinγ + SA sin2 α + SB sin2 β cos2 γ + SC cos2 β sin2 γ = sinα 1 2R λ S A sin 2 α + S B sin 2 β + SC sin 2 γ + 2 S sin α sin β sin γ = = . sin α sin α

=

Tehát: AD =

2R λ 2R λ 2R λ , BE = , CF = . (7) sin α sin β sin γ

A (7) képletek alapján: AD ⋅ sin α = BE ⋅ sin β = CF ⋅ sin γ = 2 R λ . (8)

b) Az elsı általánosított Fermat-pont távolsága a vonatkoztatási háromszög csúcsaitól A továbbiakban kiszámítjuk az AK, BK és CK szakaszok hosszát. A K pont koordinátáinak összege: Φ = ( S β + S B )( Sγ + SC ) + ( Sγ + SC ) ( Sα + S A ) + ( Sα + S A ) ( S β + S B ) =

= SBC + SCA + S AB + Sβγ + Sγα + Sαβ + ( SB + SC ) Sα + ( SC + S A ) Sβ + ( SA + SB ) Sγ =

= a 2 Sα + b 2 S β + c 2 Sγ + 2S 2 . Igazoljuk, hogy sin α sin β sin γ ( ctgα sin 2 A + ctgβ sin 2 B + ctgγ sin 2 C + 2sin A sin B sin C ) = λ . Valóban sin α sin β sin γ ( ctgα sin 2 A + ctgβ sin 2 B + ctgγ sin 2 C + 2 sin A sin B sin C ) = = sin A sin B sin C ( ctgA sin 2 α + ctgB sin 2 β + ctgC sin 2 γ + 2sin α sin β sin γ ) ⇔

⇔ cos α sin β sin γ sin 2 A + sin α cos β sin γ sin 2 B + sin α sin β cos γ sin 2 C = = cos A sin B sin C sin 2 α + sin A cos B sin C sin 2 β + sin A sin B cos C sin 2 γ ⇔

⇔ cos α ( cos α + cos β cos γ ) sin 2 A + cos β ( cos β + cos α cos γ ) sin 2 B + + cos γ ( cos γ + cos α cos β ) sin 2 C = cos A ( cos A + cos B cos C ) sin 2 α +

+ cos B ( cos B + cos A cos C ) sin 2 β + cos C ( cos C + cos A cos B ) sin 2 γ ⇔

⇔ sin2 Acos2 α + sin2 Bcos2 β + sin2 C cos2 γ + cosα cos β cosγ ( sin2 A+ sin2 B + sin2 C) = = sin2 α cos2 A+ sin2 β cos2 B + sin2 γ cos2 C + cos Acos Bcos C ( sin2 α + sin2 β + sin2 γ ) ⇔

⇔ cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ − ( cos 2 A + cos 2 B + cos 2 C ) +

109

+2cosα cos β cosγ (1+ cos Acos BcosC) − 2cos Acos Bcos C(1+ cosα cos β cosγ ) = 0 ⇔ ⇔1− 2cosα cos β cosγ −1+ 2cos Acos BcosC + 2cosα cos β cosγ − 2cos Acos Bcos C = 0, ami igaz. Tehát λ = sin α sin β sin γ ( ctgα sin 2 A + ctgβ sin 2 B + ctgγ sin 2 C + 2sin A sin B sin C ) =

sin α sin β sin γ 2 sin α sin β sin γ a Sα + b 2 S β + c 2 Sγ + 2 S 2 ) = Φ. ( 2 4R S 4R 2 S Az AK szakasz hossza: 2 2 2 1 2 2 AK = Φ−( Sβ + SB )( Sγ + SC ) SA +( Sγ + SC ) ( Sα + SA ) SB +( Sα + SA ) ( Sβ + SB ) SC = Φ S + SA 2 2 2 = α S B + S C + S β + Sγ ) S A + ( S γ + S C ) S B + ( S β + S B ) S C = ( Φ 2 S + SA 2 2 = α a 2 + tα ) S A + ( Sγ + SC ) S B + ( S β + S B ) SC = ( Φ S +S S + S 2Rtα λ sin α S = α A ADtα = α A = Sα + SA = sin ( A + α ) = Φ Φ sinα 2R λ 2R λ sin A S bc = sin ( A + α ) = sin ( A + α ) . a λ 2R λ bc ca Tehát AK = sin ( A + α ) , BK = sin ( B + β ) , 2R λ 2R λ ab CK = sin ( C + γ ) . (9) 2R λ =

c) Az AK, BK és CK szakaszokra vonatkozó összefüggések Igazoljuk az alábbi feltételes trigonometriai azonosságot: 1. bc sin α sin ( A + α ) + ca sin β sin (B + β ) + ab sin γ sin (C + γ ) = 4 R 2 λ . Valóban bc sinα sin ( A+α ) + ca sin β sin ( B + β ) + absin γ sin ( C + γ ) =

= 4 R 2 sin B sin C sin α ( sin A cos α + sin α cos A ) + +4 R 2 sin C sin A sin β ( sin B cos β + sin β cos B ) + +4 R 2 sin A sin B sin γ ( sin C cos γ + sin γ cos C ) =

110

= 4R2 sin Asin BsinC ctgAsin2 α + ctgBsin2 β + ctgCsin2 γ +( sin2α + sin2β + sin2γ ) 2 = = 4R2 sin Asin B sin C ( ctgAsin2 α+ ctgB sin2 β+ ctgC sin2 γ + 2sin α sin βsin γ ) = 4R2λ.

A +α >π , B + β >π , C + γ >π Mivel A + α + B + β + C + γ = 2π , az egyenlıtlenségek közül csak egyik teljesülhet. Ha A + α < π , B + β < π , C + γ < π , akkor a K pont az ABC háromszög belsı pontja és az 1. azonosság alapján AK sin α + BK sin β + CK sin γ = 2 R λ = AD sin α = BE sin β = CF sin γ . (10) Ha például A + α > π , akkor − AK sin α + BK sin β + CK sin γ = 2R λ = AD sin α = BE sin β = CF sin γ . (11)

II. A háromszög második általánosított Fermat-pontja Az ABC háromszög oldalaira befelé építsük fel az egymással hasonló BCL, CAM és ABN háromszögeket úgy, hogy m ( BAN ∢ ) = α = m ( CAM ∢ ) , m ( CBL∢ ) = β = m ( ABN ∢ ) ,

m ( ACM ∢ ) = γ = m ( BCL∢ ) .

Mivel

A+ B +C =π =α + β +γ ,

ezért

m ( BLC ∢ ) = α , m ( CMA∢ ) = β , m ( ANB∢ ) = γ . Az AL, BM és CN egyenesek egy T pontban metszik egymást. Ezt a T pontot a háromszög második általánosított Fermat-pontjának nevezzük. A második átalánosított Fermat-pontra vonatkozó eredményeket úgy kapjuk, hogy az I. rész képleteiben α -t ( −α ) -val, β -t ( − β ) -val, γ -t ( −γ ) val helyettesítjük. A Conway-féle képletek alapján az L, M, N pontok baricentrikus koordinátái: L = ( a 2 , Sγ − SC , S β − S B ) , M = ( Sγ − SC , b 2 , Sα − S A ) , N = ( S β − S B , Sα − S A , c 2 ) .

Az AL, BM, CN egyenesek egyenletei: − ( S β − S B ) y + ( Sγ − SC ) z = 0 ,

( Sα − S A ) x − ( Sγ − SC ) z = 0 , − ( Sα − S A ) x + ( S β − S B ) y = 0 .

A T pont baricentrikus koordinátái: T=

(( S

β

)

− S B )( Sγ − SC ) : ( Sγ − SC ) ( Sα − S A ) : ( Sα − S A ) ( S β − S B ) =

 1 1 1  = , , .  S − S S − S S − S  α A β B γ C  

111

Vezessük be a következı jelölést: µ = µ ( A, B, C , α , β , γ ) =

= sin A sin B sin C ( ctgA sin 2 α + ctgB sin 2 β + ctgC sin 2 γ − 2sin α sin β sin γ ) = =

1 ( S A sin 2 α + S B sin 2 β + SC sin 2 γ − 2S sin α sin β sin γ ) . 4R2

a) Az AL, BM és CN szakaszok hossza Az AL, BM és CN szakaszok hossza: 2R µ 2R µ 2R µ AL = , BM = , CN = . (12) sin α sin β sin γ A (12) képletek alapján: AL ⋅ sin α = BM ⋅ sin β = CN ⋅ sin γ = 2 R µ . (13)

b) A második általánosított Fermat-pont távolsága a vonatkoztatási háromszög csúcsaitól A T pont koordinátáinak összege: Γ = ( S β − S B )( Sγ − SC ) + ( Sγ − SC ) ( Sα − S A ) + ( Sα − S A ) ( S β − S B ) =

= SBC + SCA + SAB + Sβγ + Sγα + Sαβ − ( SB + SC ) Sα − ( SC + S A ) Sβ − ( SA + SB ) Sγ = = − a 2 Sα − b 2 S β − c 2 Sγ + 2 S 2 = − ( a 2 Sα + b 2 S β + c 2 Sγ − 2 S 2 ) .

Hasonlóan, mint az I.b) pontban igazolható, hogy µ = sin α sin β sin γ ( ctgα sin 2 A + ctgβ sin 2 B + ctgγ sin 2 C − 2sin Asin B sin C ) =

sin α sin β sin γ 2 sin α sin β sin γ a Sα + b 2 S β + c 2 Sγ − 2 S 2 ) = − Γ. ( 2 4R S 4R 2 S bc Az AT, BT és CT szakaszok hossza: AT = sin A − α , 2R µ ca ab BT = sin B − β , CT = sin C − γ . (14) 2R µ 2R µ =

c) Az AT, BT és CT szakaszokra vonatkozó összefüggések Érvényes az alábbi feltételes trigonometriai azonosság: 1. bc sin α sin ( A − α ) + ca sin β sin (B − β ) + ab sin γ sin (C − γ ) = −4 R 2 µ .

112

Mivel A − α + B − β + C − γ = 0, az A > α, B > β, C > γ egyenlıtlenségek közül egyidejőleg legfennebb kettı teljesülhet. Ha például A < α , B > β , C > γ , akkor az 1. azonosság alapján

AT sinα − BT sin β − CT sinγ = 2R µ = ALsinα = BM sin β = CN sin γ . (15) Vagy ha A < α , B < β , C > γ , akkor AT sinα + BT sin β − CT sin γ = 2R µ = ALsinα = BM sin β = CN sin γ . (16)

III. Sajátos eset Ebben a részben alkalmazzuk az alábbi képleteket: 1) abc ( ctgA + ctgB + ctgC ) = R ( a 2 + b 2 + c 2 ) ,

(

)

2) sin A sin B sin C ctgA + ctgB + ctgC + 3 = = 1 + 3 sin A sin B sin C + cos A cos B cos C ,

(

)

3) sin A sin B sin C ctgA + ctgB + ctgC − 3 = = 1 − 3 sin A sin B sin C + cos A cos B cos C , Az 1) képlet bizonyítása:  cos A cos B cosC   cos A cos B cosC  abc( ctgA+ ctgB + ctgC) = abc + + + +  = 2Rabc  = b c   sin A sin B sin C   a = R ( 2bc cos A + 2ca cos B + 2ab cos C ) = R ( b2 + c2 − a2 + c2 + a2 − b2 + a2 + b2 − c2 ) = = R ( a2 + b2 + c 2 )

A 2) és 3) képlet bizonyítása:

(

)

 cos A cos B cos C  sin Asin Bsin C ctgA+ ctgB + ctgC ± 3 = sin Asin Bsin C + + ± 3 =  sin A sin B sin C  = cos A sin B sin C + cos B sin C sin A + cos C sin A sin B ± 3 sin A sin B sin C = = 1 ± 3 sin A sin B sin C + cos A cos B cos C . Ha α = β = γ = π 3 , akkor K ≡ F1 és T ≡ F2 , ahol F1 illetve F2 az ABC háromszög elsı illetve második Fermat-pontja ( X 13 illetve X 14 [9]-ben ). Ebben az esetben π π π 3  λ ∗ = λ  A, B, C , , ,  = sin A sin B sin C ctgA + ctgB + ctgC + 3 = 3 3 3 4  3 3 = a 2 + b 2 + c 2 + 4 3∆ = 1 + 3 sin A sin B sin C + cos A cos B cos C , 2 32 R 4

(

(

) (

)

)

113

π π π 3  µ ∗ = µ  A, B, C , , ,  = sin A sin B sin C ctgA + ctgB + ctgC − 3 = 3 3 3 4 

(



(

) (

)

)

3 3 a 2 + b 2 + c 2 − 4 3∆ = 1 − 3 sin A sin B sin C + cos A cos B cos C . 2 32 R 4 4R ∗ A (8) képletek alapján AD = BE = CF = λ . (17) 3 A (9) képletekbıl következıen pedig bc π ca π   AF1 = sin  A +  , BF1 = sin  B +  , ∗ ∗ 3 3   2R λ 2R λ ab π  CF1 = sin  C +  (18) ∗ 3  2R λ Ha A < 2π 3 , B < 2π 3 , C < 2π 3 , akkor 4R ∗ AF1 + BF1 + CF1 = λ = AD = BE = CF . (19) 3 Ha A > 2π 3 , akkor 4R ∗ − AF1 + BF1 + CF1 = λ = AD = BE = CF . (20) 3 4R A (13) képletek alapján AL = BM = CN = µ ∗ . (21) 3 bc π A (14) képletekbıl következıen pedig AF2 = sin A − , 3 2R µ ∗ =

BF2 =

ca 2R µ ∗

sin B −

π ab π , CF2 = sin C − . (22) 3 3 2R µ ∗

Ha A < π 3 , B > π 3 , C > π 3 , akkor 4R AF2 − BF2 − CF2 = µ ∗ = AL = ME = NF . (23) 3 Ha A < π 3 , B < π 3 , C > π 3 , akkor 4R AF2 + BF2 − CF2 = µ ∗ = AL = ME = NF . (24) 3

114

IV. Módszertani elemzések és a témához kapcsolódó más eredmények Történetileg tekintve a klasszikus vagy sajátos helyzető Fermat-pontokra vonatkozó eredményeket (amikor az oldalakra épített háromszögek egyenlı oldalúak), hosszú idı alatt, az elemi geometria eszközeinek igénybevételével érték el a különbözı korok matamatikusai. Ezek között igen fontosak az ennek az alfejezetnek az elején közölt metrikus relációk, az (I) és a (II). Mivel e relációk függenek a ABC vonatkoztatási háromszög természetétıl (hegyes- vagy tompaszögő eset), levezetésük elemi geometriailag sem egyszerő és fıleg hosszadalmas, ha a sok lehetséges esetet mind figyelembe vesszük. E módszer egy másik hátránya, hogy nem adja meg például az AX 1 és AX 2 szakaszok hosszát az ABC vonatkoztatási háromszög elemeinek függvényében. Az említett hátrányokat az analitikus megközelítés részben ellensúlyozza, de ami ennél fontosabb, hogy lehetıvé teszi a probléma általánosítását, mégpedig egységes tárgyalásban. Ennek a módszernek viszont az a hátránya, hogy elég sok és alkalmasint bonyolult trigonometriai feltételes azonosságot használ és helyenként sok számítást igényel. Az itt bizonyított trigonometriai azonosságok közül néhányat fel tudtam használni az általános Napoleon-háromszögek területeinek összegére és különbségére vonatkozó két fontos eredmény levezetésére (lásd The sum and difference of the areas of Napoleon triangles, Teaching Mathematics and Computer Science, 1 (2007), p. 99-108). Pontosabban a fenti cikkben arról van szó, hogy ha a jelen alfejezet feltételei mellett a BCD, CAE és ABF háromszögek köré írt körök középpontjait U, V és W jelöli, a BCL, CAM és ABN háromszögek köré írt körök középpontjait pedig U ′, V ′ és W ′ , akkor az UVW és U ′V ′W ′ Napoleon-háromszögek területeire fennállnak az alábbi összefüggések: 1 σ [UVW ] + σ [U ′V ′W ′] = ( a 2 ctgα + b 2 ctgβ + c 2ctgγ ) , 4 σ [UVW ] − σ [U ′V ′W ′] = σ [ ABC ] , ahol σ [ ABC ] az ABC háromszög területét jelöli, α , β és γ pedig az oldalakra épített hasonló háromszögek szögeinek mértéke.

115

4.5. A Kimberling-féle sejtés igazolása kontravariáns koordináták alkalmazásával Elızmények. Az alább következı sejtés igazolásával nagyon sokat foglalkoztam, különbözı koordináta-fajtákat alkalmazva és próbálva ki. Miután az egyik változatot cikk formájában elküldtem a Forum Geometricorum nevő folyóirathoz, végül egy fıszerkesztıi észrevétel alapján sikerült a számításokat lényegesen csökkenteni. Talán ennek a cikknek a megírása során tudatosult bennem igazán, hogy mit jelent valójában egy jó ötlet, hogy az mennyire más irányt szabhat egy geometriai probléma tárgyalásának. Az analitikus módszerek hatékonyak ugyan, szinte biztosan elvezetnek a megoldáshoz, de általában számítás-igényesek. Ezt a hátrányt az elemi geometriai módszerekkel esetenként ellensúlyozni lehet, de igen gyakran ez egy eredeti ötlet meglétét feltételezi. Ha az ötlet „kipattan” a megoldás elıtt vagy közben, akkor nyert ügyünk van. De ha nem, akkor kénytelenek vagyunk valamilyen más (nem elemi) geometriai eszközhöz folyamodni. Alább a Kimberling-sejtés igazolásának az elsı változatát mutatom be. Az ABC háromszög magasságainak L ∈ BC , M ∈ CA, N ∈ AB talppontjai által meghatározott LMN háromszöget talpponti, (4.4.1. ábra) a beírt körnek az oldalakkal való D ∈ BC , E ∈ CA, F ∈ AB éritési pontjai által meghatározott DEF háromszöget pedig érintı háromszögnek (4.4.2. ábra) nevezzük.

116

Az alábbi kérdés-sejtés Clark Kimberlingtıl származik (Kimberling, C.: Triangle Centers and Central Triangles. Congr. Numer. 129, 1998, 274. oldal): Az ABC háromszög talpponti háromszögének érintı és érintı háromszögének talpponti háromszöge homotétikusak? A levezetések és bizonyítások során használt feltételes trigonometriai azonosságokat elıször felsoroljuk, majd rendre mindegyiket igazoljuk: 1 1. a cos B − b cos A = a 2 − b 2 , c 1 2. a cos A − b cos B = − a 2 − b 2 cos C , c 3. cos( A − B ) cos C + cos 2 B = sin 2 A ,

(

)

(

)

4. cos( A − C ) cos B + cos 2 C = sin 2 A ,

( ) 6. bc cos( A − C ) + (a − c )cos C = ab, 7. c(a + b )cos B − bc cos( A − B ) = a (a 8. b(a + c )cos C − b c cos( A − C ) = a (a 5. bc cos( A − B ) + a 2 − b 2 cos B = ac , 2

2

2

2

2

2

2

2

) ).

2

− b2 ,

2

− c2

Az azonosságok bizonyításai: a2 − b2 + c2 −a2 + b2 + c2 1 1 1. a cos B − b cos A = a −b = ( 2a2 − 2b2 ) = ( a2 − b2 ) . 2ac 2bc 2c c 2 2 2 2 2 2 −a + b + c a −b +c 2. a cos A − b cos B = a −b = 2bc 2ac 1  a 2 ( −a 2 + b2 + c 2 ) − b2 ( a 2 − b 2 + c 2 )  = =  2abc  2 2 2 1 a +b −c 1 = − ( a 2 − b2 ) = − ( a 2 − b 2 ) cos C . c 2ab c

117

1 1 3. cos ( A − B ) cos C + cos 2 B = cos ( A − B + C ) + cos ( A − B − C ) + cos 2 B = 2 2 1 1 1 = − cos 2 B − cos 2 A + cos 2 B = (1 − cos 2 A ) = sin 2 A. 2 2 2 2 2 5. bc cos ( A − B) + ( a − b ) cos B = bc cos A cos B + bc sin Asin B + ( a2 − b2 ) cos B = 1 2 2 2 a − b + c ) cos B + bc sin A sin B = ac cos 2 B + bc sin A sin B = ( 2 = c ( a − a sin 2 B + b sin A sin B ) = ac − c sin B ( a sin B − b sin A ) = ac . =

7. c ( a2 + b2 ) cos B − bc2 cos ( A − B) = c ( a2 + b2 ) cos B − bc2 cos Acos B − bc2 sin Asin B =

= a2c cos B + bc cos B ( b − c cos A) − bc2 sin A sin B =

= a 2 c cos B + abc cos B cos C − bc 2 sin A sin B = = ac  a cos B + b cos ( B + C )  = ac ( a cos B − b cos A ) = 1 2 a − b2 ) = a ( a 2 − b2 ) . ( c I. A BAC normált ferdeszögő koordináta-rendszerben (az AB egyenes az x-tengely, az AC egyenes az y-tengely) szereplı pontok koordinátái (4.4.3. bc  bc  ábra): A ( 0, 0 ) , B ( c, 0 ) , C = ( 0, b ) , L =  cos C , cos B  , a  a  M = ( 0, c cos A) , N = ( b cos A, 0 ) . = ac

118

Legyen H az ABC háromszög ortocentruma, O a háromszög köré írt kör középpontja, R pedig a sugara:  2R2   4R2  2R 2 4R 2 O= cos B, cos C  , H =  cos A cos C , cos A cos B  . a a  a   a  A továbbiakban feltesszük, hogy az ABC háromszög nem derékszögő és nem egyenlıszárú. Az LMN talpponti háromszög érintı háromszögét jelölje XYZ ( X ∈ MN , Y ∈ NL, Z ∈ LM ) . Elıször igazolni fogjuk, hogy az XYZ és az ABC háromszögek homotétikusok (4.4.3. ábra). Érvényesek az alábbi tulajdonságok: 1. Az ABC háromszög H ortocentruma az LMN háromszög beírt illetve az XYZ háromszög körülírt körének a középpontja. 2. Az OA, OB, OC egyenesek rendre merılegesek az LMN talpponti háromszög oldalaira (OA ⊥ MN , OB ⊥ NL, OC ⊥ LM ) . A 2. tulajdonság alapján HX║OA, HY║OB, HZ║OC. Tehát a HX, HY, HZ egyenesek iránytényezıi megegyeznek az OA, OB, OC egyenesek iránytényezıivel. A továbbiakban meghatározzuk az X, Y, Z pontok koordinátáit. Ehhez szükségünk van a HX, HY, HZ illetve az MN, NL, LM egyenesek egyenleteire. A HX, HY, HZ egyenesek iránytényezıi: cos C mHX = , cos B 2 R 2 cos C cos C mHY = − =− , 2 ac − 2 R cos B cos ( A − C ) mHZ = −

cos ( A − B ) ab − 2 R 2 cos C =− . 2 2 R cos B cos B

A HX egyenes egyenlete: y − y H = m HX ( x − x H ) ⇔ cos C ⋅ x − cos B ⋅ y =

(

)

= cosC ⋅ xH − cos B ⋅ y H ⇔ a cosC ⋅ x − a cos B ⋅ y = 4R 2 cos A cos2 C − cos2 B ⇔

(

)

⇔ a cos C ⋅ x − a cos B ⋅ y = b 2 − c 2 cos A. A HY egyenes egyenlete: y − y H = m HY (x − x H ) ⇔ cos C ⋅ x + cos( A − C ) ⋅ y =

= cos C ⋅ xH + cos ( A − C ) ⋅ yH ⇔ a cos C ⋅ x + a cos ( A − C ) ⋅ y = = 4 R 2 cos A  cos 2 C + cos ( A − C ) cos B  ⇔ cos C ⋅ x + cos ( A − C ) ⋅ y = a cos A.

A HZ egyenes egyenlete: y − y H = m HZ ( x − x H ) ⇔ cos( A − B ) ⋅ x + cos B ⋅ y =

119

= cos ( A − B ) ⋅ xH + cos B ⋅ yH ⇔ a cos ( A − B ) ⋅ x + a cos B ⋅ y = = 4 R 2 cos A  cos ( A − B ) cos C + cos 2 B  ⇔ cos ( A − B ) ⋅ x + cos B ⋅ y = a cos A. Az

MN,

NL,

LM

c cos A c =− , b cos A b 2 2 a cos A − b cos B a − b =− = . b cos C bc

iránytényezıi:

egyenesek

mMN = −

c cos B bc = 2 2 , mLM a cos A − c cos C a − c Az MN egyenes egyenlete: by = −c( x − b cos A) ⇔ cx + by = bc cos A. Az NL egyenes egyenlete: a 2 − c 2 y = bc( x − b cos A) ⇔ bcx − a 2 − c 2 y = b 2 c cos A. Az LM egyenes egyenlete: bc ( y − c cos A ) = ( a 2 − b 2 ) x ⇔ − ( a 2 − b 2 ) x + bcy = bc 2 cos A. mNL = −

(

)

(

)

Meghatározzuk az X, Y, Z pontok koordinátáit. Az X pont koordinátáit a HX és az MN egyenesek egyenleteibıl alkotott egyenletrendszer a cos C ⋅ x − a cos B ⋅ y = b 2 − c 2 cos A megoldásaként kapjuk:  cx + by = bc cos A. A Cramer-szabály alapján: a cos C − a cos B ∆= = a (b cos C + c cos B ) = a 2 ≠ 0 , c b

(

∆x =

(b

2

)

− c 2 )cos A − a cos B = b cos A(b 2 − c 2 + ac cos B ) = ab 2 cos A cos C, bc cos A b

(b

a cos C ∆y = c

2

− c 2 )cos A = c cos A(c 2 − b 2 + ab cos C ) = ac 2 cos A cos B. bc cos A

 b2  c2 Tehát: X =  cos A cos C , cos A cos B  . a a  Az Y pont koordinátáit a HY és az NL egyenesek egyenleteibıl alkotott egyenletrendszer megoldásaként kapjuk: cos C ⋅ x + cos( A − C ) ⋅ y = a cos A  2 2 2 bcx − a − c y = b c cos A. A Cramer-szabály alapján: cos C cos( A − C ) ∆= = − a 2 − c 2 cos C − bc cos( A − C ) = − ab ≠ 0 , 2 2 bc − a −c

(

(

)

(

)

)

120

∆x =

cos ( A − C )

a cos A

− ( a 2 − c2 )

b 2 c cos A

= − cos A  a ( a 2 − c 2 ) + b 2 c cos ( A − C )  =

= −b ( a 2 + c 2 ) cos A cos C , ∆y =

cos C bc

a cos A 2

b c cos A

= bc cos A(b cos C − a ) = −bc 2 cos A cos B.

 a2 + c2  c2 cos A cos C , cos A cos B  . Tehát: Y =  a  a  Az Z pont koordinátáit a HZ és az LM egyenesek egyenleteibıl alkotott egyenletrendszer megoldásaként kapjuk: cos( A − B ) ⋅ x + cos B ⋅ y = a cos A  2 2 2 − a − b x + bcy = bc cos A. A Cramer-szabály alapján: cos( A − B ) cos B ∆= = bc cos( A − B ) + a 2 − b 2 cos B = ac ≠ 0 , 2 2 − a −b bc a cos A cos B ∆x = 2 = bc cos A(a − c cos B ) = b 2 c cos A cos C , bc cos A bc cos( A − B) a cos A ∆y = = cos A bc2 cos( A − B) + a(a 2 − b2 ) = c(a 2 + b2 )cos AcosB. 2 2 2 − (a − b ) bc cosA

(

(

)

(

)

[

)

]

 b2  a 2 + b2 Tehát: Z =  cos A cos C , cos A cos B  . a a  Mivel az X és Y pontok ordinátái, illetve az X és Z pontok abszcisszái egyenlık, ezért XY║AB és XZ║AC. Az YZ egyenes iránytényezıje pedig: a 2 + b 2 − c 2 cos B 2ab cos B cos C b mYZ = − 2 =− = − = m BC , azaz YZ║BC. 2 2 2ac cos B cos C c a − b + c cos C Következésképpen az XYZ és ABC háromszögek párhuzamosan hasonlók.

( (

) )

II. Az ABC háromszög beírt körének az oldalakkal való érintési pontjai legyenek D, E és F (D ∈ BC , E ∈ CA, F ∈ AB ) . A DEF háromszög talpponti háromszögét jelölje UVW (U ∈ EF , V ∈ FD, W ∈ DE ) , az ABC háromszög félkerületét pedig 2s (2s = a + b + c ) . Most igazolni fogjuk, hogy az UVW és ABC háromszögek homotétikusak. b c  Mivel D =  ( s − c ) , ( s − b )  , E = ( 0, s − a ) , F = ( s − a, 0 ) , ezért az a a  EF, FD és DE egyenesek iránytényezıi:

121

mEF = −1, mFD =

b ( s − b)

c (s − c) − a (s − a)

=

b ( s − b) − a ( s − a) a − b b , mDE = = . a−c c ( s − c) c

Az EF egyenes egyenlete: y = −[x − (s − a )] ⇔ x + y = s − a. Az FD egyenes egyenlete: (a − c ) y = b[x − (s − a )] ⇔ bx − (a − c ) y = b(s − a ). Az DE egyenes egyenlete: cy − c(s − a ) = (a − b )x ⇔ −(a − b )x + cy = c(s − a ). Felírjuk a DEF háromszög DU, EV és FW magasságvonalainak egyenleteit. A merılegességi feltétel alapján meghatározzuk a DU, EV és FW egyenesek iránytényezıit: 1 + m EF ⋅ cos A 1 − cos A m DU = − =− = 1, m EF + cos A − 1 + cos A 1 + m FD ⋅ cos A a − c + b cos A b m EV = − =− =− , b + (a − c ) cos A a+c m FD + cos A 1 + m DE ⋅ cos A c + (a − b ) cos A a+b =− =− m FW = − . m DE + cos A a − b + c cos A c A DU egyenes egyenlete: ay − b(s − b ) = ax − c(s − c ) ⇔ ax − ay = (b − c )(s − a ). Az EV egyenes egyenlete: (a + c ) y − (a + c )(s − a ) = −bx ⇔ bx + (a + c ) y = (a + c )(s − a ). Az FW egyenes egyenlete: cy = −(a + b )[x − (s − a )] ⇔ (a + b )x + cy = (a + b )(s − a ). Meghatározzuk az U, V, W pontok koordinátáit. Az U pont koordinátáit az EF és a DU egyenesek egyenleteibıl alkotott egyenletx + y = s − a rendszer megoldásaként kapjuk:  ax − ay = (b − c )(s − a ). 1 1  Tehát: U =  ( s − a )( s − c ) , ( s − a )( s − b )  . a a  A V pont koordinátáit az FD és az EV egyenesek egyenleteibıl alkotott egyenletrendszer megoldásaként kapjuk: bx − (a − c ) y = b(s − a )  bx + (a + c ) y = (a + c )(s − a ). 1 a+c Tehát: V =  ( s − a )( s − c ) , ( s − a )( s − b )  . a  ab  A W pont koordinátáit az DE és az FW egyenesek egyenleteibıl alkotott egyenletrendszer megoldásaként kapjuk:

122

− (a − b )x + cy = c(s − a )  (a + b )x + cy = (a + b )(s − a ). a+b 1 Tehát: W =  ( s − a )( s − c ) , ( s − a )( s − b )  . ac a  Mivel az U és V pontok ordinátái, illetve az U és W pontok abszcisszái egyenlık, ezért UV║AB és UW║AC. Az VW egyenes iránytényezıje pedig: b(a + b − c )(s − b ) 2b(s − b )(s − c ) b mVW = − =− = − = m BC , azaz VW║BC. c(a − b + c )(s − c ) 2c(s − b )(s − c ) c Következésképpen az UVW és ABC háromszögek is párhuzamosan hasonlóak. Tehát igazoltuk, hogy az XYZ háromszög is és az UVW háromszög is homotétikus az ABC háromszöggel, amibıl következik, hogy e háromszögek egymással is homotétikusak. Ezzel a sejtés igazolását befejeztük. III. Legyen P az XYZ és ABC, Q pedig az ABC és UVW háromszögek által meghatározott homotétia középpontja, α és β e homotétiák arányai. Meghatározzuk ezeket az arányokat kiszámítva az XYZ és az UVW háromszögek oldalhosszait. Ha σ jelöli az ABC háromszög területét, r a beírt kör sugarát, d a körülírt kör átmérıjét, akkor a2 + c2 b2 XY = cos A cos C − cos A cos C = a a 1 = ( a 2 − b 2 + c 2 ) cos A cos C = 2c cos A cos B cos C , a a+c 1 1 UV = ( s − a )( s − c ) − ( s − a )( s − c ) = ( a − b + c )( s − a )( s − c ) = ab a ab 2 2 2σ 2σ ⋅ c csr cr cr = = = = = . ( s − a )( s − b )( s − c ) = ab abs 4 R ⋅ s 2 sR 2 R d Tehát YZ ZX XY α= = = = 2 cos A cos B cos C és a b c a b c d β= = = = . VW WU UV r Jelölje Tα a P centrumú, α arányú, Tβ pedig a Q centrumú, β

arányú homotétiát. Mivel Tβ o Tα ( X ) = Tβ ( A) = U , a T = Tβ o Tα homotétia az XYZ háromszögnek az UVW háromszöget felelteti meg. A T aránya 2d YZ γ =α ⋅β = cos A cos B cos C. Ha S a T homotétia centruma, akkor = VW r

123

a P, Q és S pontok kollineárisak. Az általuk meghatározott egyenest e homotétiák tengelyének nevezzük. Jelölje Rα az XYZ háromszög, R β pedig az UVW háromszög körülírt körének sugarát. Mivel a k állandójú homotétia az R sugarú kört a k R sugarú körbe transzformálja, ezért Rα = α ⋅ R = 2 R cos A cos B cos C = d cos A cos B cos C és r r ⋅R = . β 2R 2 Ez utóbbi összefüggés azt fejezi ki, hogy az UVW háromszög körülírt körének sugara egyenlı az ABC háromszögbe írt kör sugarának a felével. Ez a tulajdonság abból is adódik, hogy az UVW háromszög körülírt köre egybeesik a DEF érintı háromszög Feuerbach-körével. Rβ =

1

⋅R =

IV. Mivel az XYZ háromszög körülírt körének középpontja az ABC háromszög H ortocentruma és Tα (H ) = O , a Tα homotétia P centruma az ABC háromszög OH Euler-egyenesén van. Most egy hasonló tulajdonságot igazolunk a Q pontra vonatkozóan: a Tβ homotétia Q centruma a DEF háromszög IK Euler-egyenesén van, ahol I az ABC háromszög beírt körének, K pedig az UVW háromszög körülírt körének a középpontja. A Tβ (O ) = K alapján a Q, O és K pontok kollineárisak. Elegendı tehát igazolni, hogy a Q, O és I pontok is kollineárisak. Ehhez meghatározzuk a Q pont koordinátáit. A Q pont koordinátáit az AU és az BV egyenesek egyenleteibıl alkotott egyenletrendszer megoldásaként kapjuk. Az AU egyenes egyenlete: s−b y= x. A BV egyenes egyenlete: yV ⋅ x + (c − xV ) y = c ⋅ yV . A Q pont s−c

( s − c) yV + ( c − xV )( s − b)  x = c ( s − c) yV ⇔

abszcisszája:

 1  1  a +c ⇔ ( s − c) ( s − a)( s −b) + c − ( s − a)( s − c) ( s −b) x = c( s −c) ( s − a)( s −b) ⇔ a ab a     ⇔  abc − 2 ( s − a )( s − b )( s − c )  x = bc ( s − a )( s − c ) . bc(s − a )(s − c ) és abc − 2(s − a )(s − b )(s − c ) bc(s − a )(s − b ) yQ = . abc − 2(s − a )(s − b )(s − c )

Következésképpen xQ =

124

A kollineáritás igazolásához a Q, O és I pontok trilineáris koordinátáit használjuk: 1 1 1

I ∈ OQ ⇔

cos A (s − b )(s − c )

cos B (s − c )(s − a )

cos C =0⇔ (s − a )(s − b )

⇔ ∑ (s − a )(s − b)(cos B − cos A) = 0 ⇔ ∑ ab sin 2

C 1 ⋅ (a − b)(1 + cos C ) = 0 ⇔ 2 c

ab (a − b )sin 2 C = ∑ abc2 (a − b ) ⇔ ∑ (a − b ) = 0 , ami igaz. Ezzel c 4R igazoltuk, hogy a Q, O, K és I pontok egy egyenesen vannak. ⇔∑

V. Következtetések: A szóban forgó homotétiák centrumai azonosíthatók a [9]-ben található nevezetes pontok közül az alábbi hárommal: Az ABC és XYZ háromszögek által meghatározott homotétia centruma: X 25 Az ABC és UVW háromszögek által meghatározott homotétia centruma: X 57 Az UVW és XYZ háromszögek által meghatározott homotétia centruma: X 1876 Végül megjegyezzük, hogy egy háromszög talpponti háromszögének érintı és érintı háromszögének talpponti háromszöge csak akkor párhuzamosan hasonlók, ha az eredeti háromszög hegyesszögő. Tompaszögő háromszögekre csak az igaz, hogy az érintı háromszög talpponti háromszöge homotétikus az ABC vonatkoztatási háromszöggel, de a talpponti háromszög érintı háromszöge nem homotétikus ABC-vel. Ez utóbbi esetben az ABC háromszög tompaszögének csúcsa a talpponti háromszög beírt körének középpontja.

125

Irodalomjegyzék [1] V. T. Baziljev – K. I. Dunyicsev – V. P. Ivanyickaja, Geometria I. V. T. Baziljev – K. I. Dunyicsev, Geometria II. Tankönyvkiadó, Budapest, 1987. [2] O. Bottema, On the Area of a Triangle in Barycentric Coordinates, Crux. Math. 8, (1982) 228 – 231. [3] C. B. Boyer, History of Analytic Geometry, New York: Yeshiva University, 1956. [4] H. S. M. Coxeter, A geometriák alapjai, Mőszaki Könyvkiadó, Budapest, 1973. [5] H. S. M. Coxeter, Some Applications of Trilinear Coordinates, Linear Algebra, Appl. 226 – 228 (1995) 375 – 388. [6] Hajós György, Bevezetés a geometriába, Tankönyvkiadó, Budapest, 1960. [7] C. Kimberling, Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle, Mathematics Magazine 67 (1994) 163 – 187. [8] C. Kimberling, Triangle Centers and Central Triangles, Congressus Numerantium, 129, Winnipeg, 1998. [9] C. Kimberling, Encyclopedia of Triangle Centers, http://faculty.evansville.edu/ck6/encyclopedia/ETC.html [10] C. Kimberling, A class of major centers of triangles, Mathematicae, 55 (1998) 251-258.

Aequationes

[11] S. L. Loney, The Element of Coordinate Geometry, Part II. Trilinear Coordinates, Macmillan, London, 1957.

126

Matematikai kislexikon (Szerkesztı: Farkas Miklós), Mőszaki Könyvkiadó, Budapest, 1972. [13] Matematikai kislexikon (Szerzık: Maurer I. Gyula, Orbán Béla, Radó Ferenc, Szilágyi Pál, Vincze Mária), Kriterion Könyvkiadó, Bukarest, 1983.

[12]

[14] D. M. Y. Sommerville, Analytical Conics, 3rd ed. London, G. Bell and Sons, 1961. [15] Peter Yff, A Triangle Property in Trilinear Coordinates, Proceedings of the Conference on Algebra and Geometry, Kuwait (1981) 207 – 214. [16] Paul Yiu, The Uses of Homogeneous Barycentric Coordinates in Plane Euclidean Geometry, Internat. 3. Math. Ed. Sci. Tech. 31 (2000) 569 – 578. [17] Paul Yiu, Introduction to the Geometry of the Triangle, 2002 http://www.math.fau.edu/Yiu/GeometryNotes020402.pdf [18] D. Pedoe, Notes on the History of Geometrical Ideas I. Homogeneous Coordinates, Mathematics Magazine, Vol. 48, No. 4 (Sep. 1975), pp. 215 – 217. [19] Radó Ferenc – Orbán Béla, A geometria mai szemmel, Dacia Könyvkiadó, Kolozsvár, 1981. [20] W. A. Whitworth, Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions, Cambridge: Deighton, Bell, and Co., London: Bell and Daldy, 1866. http://historical.library.cornell.edu/cgi-bin/cul.math/docviewer?did= 01190002&seq=&view=50&frames=0&pagenum=1 [21] M. Vygosky: Mathematical handbook, Mir Publishers, Moscow, 1975. [22] B. L. van der Waerden: Egy tudomány ébredése, Gondolat, Budapest, 1977.

Matematikadidaktika: [23] Ambrus András, Bevezetés a matematikadidaktikába, ELTE Eötvös Kiadó, Budapest, 1995.

127

[24] P. Bednorz, Bevezetés a tanulás lélektanába, Medicina Kiadó, Budapest, 2006. [25] Csíkszenmihályi Mihály, Kreativitás, Akadémiai Kiadó, Budapest, 2008. [26] Dr. Czeglédy István, Dr. Orosz Gyuláné, Dr. Szalontai Tibor, Szilák Aladárné, Matematika tantárgypedagógia I., II., Bessenyei György Könyvkiadó, Nyíregyháza, 2000. [27] Dienes Zoltán, Építsük fel a matematikát, SHL Hungary Kft., 1997. [28] Klein Sándor, A komplex matematikatanítási módszer, Akadémiai Kiadó, Budapest, 1980. [29] W. Metzig, Tanuljunk meg tanulni, Medicina Kiadó, Budapest, 2003. [30] Pólya György, A gondolkodás iskolája, Akkord Kiadó, 2000. [31] R. Skemp, A matematikatanulás pszichológiája, Edge 2000 Kiadó, 2005. [32] R. J. Sternberg, A matematikai gondolkodás természete, Vince Kiadó, 1998. [33] Wiegandt Richárd, A természettudományok integrált oktatása, Természet Világa, 2008. december

A szerzınek az értekezéssel kapcsolatos publikációi I. Szakkönyvek: 1.Kiss Sándor, Analitikus geometriai módszerek komparatív vizsgálata Editura didactică şi pedagogică, Bukarest, 2008, 171 oldal 2. Kiss Sándor, A háromszög nevezetes körei. Háromszögmértan ferdeszögő koordinátákkal, Erdélyi Tankönyvtanács, Kolozsvár, 1999, 206 oldal

II. Szakfolyóiratokban megjelent cikkek és tanulmányok: 1. Kiss Sándor, Az egyenlı szárú hiperbola egyenleteirıl

128

Matlap, XII. évf., 2008 június, 6. szám, 215-218. 2. Sándor Kiss, The sum and difference of the areas of Napoleon triangles Teaching Mathematics and Computer Science, 1 (2007), p. 99-108.

3. Sándor Kiss, The Orthic-of-Intouch and Intouch-of-Orthic Triangles Forum Geometricorum 6 (2006) pp. 171-177. http://forumgeom.fau.edu/FG2006volume6/FG200617.pdf 4. Kiss Sándor, A kúpszeletek egyenleteirıl II. Felvidéki Matematikai Szakmódszertani Doktorandusz Konferencia, Pont Társadalomtudományi folyóirat 2005./1. - Matematikai Szakmódszertani különszám. 5. Sándor Kiss, Using SMS rules to hit elementary results on conic sections In: KARL JOSEF PARISOT & VÁSÁRHELYI ÉVA Positionen Mathematikdidaktik in Entwicklung Publikationen des Dissertantenseminars Salzburg 2004, Pozíciók - Matematikadidaktika fejlıdésben, A 2004-es Salzburgi doktorandusz szeminárium publikációi, 117-125. 6. Kiss Sándor, Paralelogrammákba írható paralelogrammák(II) Matlap, VIII. évf., 2004 március, 3. szám, 85-86. 7. Kiss Sándor, Paralelogrammákba írható paralelogrammák(I) Matlap, VIII. évf., 2004 február, 2. szám, 41-45. 8. Sándor Kiss, A new proof and generalizations of Malfatti’s problem Octogon, Vol. 10. Nr. 1. April 2002. pp. 117-125. 9. Kiss Sándor, Módszertani javaslatok a parabola tanításához Matlap, VI. évf., 2002 január, 1. szám, 2-6. 10. Kiss Sándor, A merıleges affinitás és néhány alkalmazása Matlap, V. évf., 2001 november, 9. szám, 330-334. 11. Sándor Kiss, Concurrent lines in connection with Morley’s triangle Octogon, Vol. 9., No.2., October 2001, pp. 846-851. 12. Sándor Kiss, About Morgan’s theorem Octogon, Vol. 8., Nr.1., April 2000, pp. 60-69.

129

A szerzı elıadásai 1) Euler-körök egy tulajdonsága (közös elıadás Horváth Sándorral) A Magyar Tudomány Napja Erdélyben, Erdélyi Múzeum-Egyesület + Radó Ferenc Matematikamővelı Társaság, Kolozsvár, 2008. nov. 14. 2) A Napoleon háromszögek területeinek összegérıl és különbségérıl A Magyar Tudomány Napja Erdélyben, Erdélyi Múzeum-Egyesület + Radó Ferenc Matematikamővelı Társaság, Kolozsvár, 2007. nov. 16-17. 3) The Equations of the Conics in Oblique Coordinates Systems The 7th Junior Mathemaical Congress, June 25- July 2, 2006, Târgu-Mureş (Marosvásárhely), Románia. 4) Concept-pyramids Second Central-European Conference on Mathematics Didactics, Komarno, 10-12. Dec. 2004. II. Felvidéki Matematikai Szakmódszertani Doktorandusz Konferencia, Révkomárom, 2004. dec. 10-12. 5) Koordinátatranszformációk A Magyar Tudomány Napja Erdélyben, Erdélyi Múzeum-Egyesület + Farkas Gyula Egyesület a Matematikáért és Informatikáért, Kolozsvár, 2004. nov. 12-13. 6) Tévútak és kreativitás a problémamegoldásban Bolyai Nyári Akadémia, Romániai Magyar Pedagógusok Szövetsége, Sepsiszentgyörgy, 2004. júl. 15. 7) Using SMS rules to hit elementary results on conics sections Módszertani konferencia doktoranduszoknak, Eötvös Loránd Tudományegyetem (Budapest) – Paris Lodron Universität (Salzburg), Salzburg, 2004. jún. 26 – júl. 2. 8) Koordinátarendszerek komparatív vizsgálata a hatékonyság szempontjából A Magyar Tudomány Napja Erdélyben, Erdélyi Múzeum-Egyesület + Radó Ferenc Matematikamővelı Társaság, Kolozsvár, 2003. nov. 28. 9) Az ellipszis és a hiperbola konjugált átmérıkre vonatkoztatott egyenletei

130

Bolyai Nyári Akadémia, Romániai Magyar Pedagógusok Szövetsége, Sepsiszentgyörgy, 2003. júl. 14. 10) Fogalom – piramisok Bolyai Nyári Akadémia, Romániai Magyar Pedagógusok Szövetsége, Sepsiszentgyörgy, 2003. júl. 14.

11) Koordinátarendszerek és koordinátatípusok Módszertani konferencia doktoranduszoknak, Eötvös Loránd Tudományegyetem (Budapest) – Paris Lodron Universität (Salzburg), Salzburg, 2003. jún. 21-26. 12) About the equations of the conics First Central-European Conference on Mathematics Didactics, Komarno, 24-25. January 2003. I. Felvidéki Matematikai Szakmódszertani Doktorandusz Konferencia, Révkomárom, 2003. jan. 24-25. 13) Kúpszeletek Bolyai Nyári Akadémia, Romániai Magyar Pedagógusok Szövetsége, Sepsiszentgyörgy, 2002. júl. 17. 14) A Fermat-féle probléma és általánosításai Bolyai Nyári Akadémia, Romániai Magyar Pedagógusok Szövetsége, Sepsiszentgyörgy, 2000. júl. 18.

131

1. Függelék. Koordinátatranszformációk (Összefoglalás) Koordinátatípusok

Derékszögő

( x, y )

( x, y )

( X ,Y )

Kovariáns

( p, q )

Valódi trilineáris

(α 0 , β 0 , γ 0 )

Kovariáns

( X ,Y )

( p, q ) x= p

x = X + Y cos θ y = Y sin θ

Derékszögő

Kontravariáns

Kontravariáns

y=

1 ( − p cos θ + q ) sin θ

1 ( p − q cos θ ) sin 2 θ 1 Y= ( − p cos θ + q ) sin 2 θ

X = x − yctgθ y Y= sin θ

X=

p=x q = x cos θ + y sin θ

p = X + Y cos θ q = X cos θ + Y

bc α0 = − x sin B − y cos B 2R β 0 = x sin A − y cos A

1 α 0 = ( bc − bX − cY ) sin A a β 0 = X sin A

γ0 = y

γ 0 = Y sin A

S 1 − ( p cos C + q cos B ) a sin A 1 β0 = ( p − q cos A ) sin A 1 γ0 = ( − p cos A + q ) sin A

α0 =

Koordinátatípusok

Általános trilineáris

Derékszögő

( x, y )

bc − x sin B − y cos B 2R β = x sin A − y cos A γ =y

α=

(α : β : γ ) Baricentrikus

( u : v : w)

Normált baricentrikus

( u0 , v0 , w0 )

Kontravariáns

 bc  u = a − x sin B − y cos B   2R  v = b ( x sin A − y cos A ) w = cy a  bc  − x sin B − y cos B   S  2R  b v0 = ( x sin A − y cos A ) S c w0 = y S

u0 =

Kovariáns

( X ,Y )

α=

1 ( bc − bX − cY ) a β=X γ =Y

u = bc − bX − cY v = bX w = cY u0 =

1 ( bc − bX − cY ) bc X v0 = c Y w0 = b

( p, q )

α=

σ

− p cos C − q cos B R β = p − q cos A γ = − p cos A + q

σ  u = a  − p cos C − q cos B  R  v = b ( p − q cos A)

w = c ( − p cos A + q )

u0 = 1 −

R

σ

( p cos C + q cos B )

bR ( p − q cos A ) aσ cR w0 = ( − p cos A + q ) aσ v0 =

Valódi trilineáris

Koordinátatípusok

Derékszögő

( x, y )

(α 0 , β 0 , γ 0 )

1 x= ( β 0 + γ 0 cos A ) sin A y = γ0 X=

Kontravariáns

( X ,Y )

Kovariáns

( p, q )

Valódi trilineáris

(α 0 , β 0 , γ 0 )

Y=

β0 sin A

γ0

sin A

1 ( β 0 + γ 0 cos A) sin A 1 q= ( β0 cos A + γ 0 ) sin A p=

Általános trilineáris

(α : β : γ )

bc ( β + γ cos A) aα + bβ + cγ Sγ y= aα + bβ + cγ bcβ X= aα + bβ + cγ bcγ Y= aα + bβ + cγ bc ( β + γ cos A) p= aα + bβ + cγ bc ( β cos A + γ ) q= aα + bβ + cγ Sα α0 = aα + bβ + cγ Sβ β0 = aα + bβ + cγ Sγ γ0 = aα + bβ + cγ x=

Baricentrikus

Normált baricentrius

cv + bw cos A u+v+w bw sin A y= u+v+w

x = cv0 + bw0 cos A y = bw0 sin A

( u : v : w)

x=

( u0 , v0 , w0 )

cv u+v+w bw Y= u+v+w

X = cv0 Y = bw0

cv + bw cos A u+v+w cv cos A + bw q= u+v+w

p = cv0 + bw0 cos A q = cv0 cos A + bw0

X=

p=

S u a u+v+w S v β0 = b u+v+w S w γ0 = c u+v+w

α0 =

S u0 a S β 0 = v0 b S γ 0 = w0 c

α0 =

Koordinátatípusok

Általános trilineáris

(α : β : γ ) Baricentrikus

( u : v : w)

Normált baricentrikus

( u0 , v0 , w0 )

Valódi trilineáris

(α 0 , β 0 , γ 0 )

Általános trilineáris

(α : β : γ )

α = kα 0 β = k β0 γ = k γ 0 , k ∈ ℝ*

aα 0 S bβ 0 v0 = S cγ w0 = 0 S

( u : v : w)

α=

u = aα 0 v = bβ 0 w = cγ 0 u0 =

Baricentrikus

u a

β=

γ=

w c

v b

aα aα + bβ + cγ bβ v0 = aα + bβ + cγ cγ w0 = aα + bβ + cγ

( u0 , v0 , w0 )

α=

u0 a

γ=

β=

v0 b

w0 c

u = ku0 v = kv0

u = aα v = bβ w = cγ u0 =

Normált baricentrius

w = kw0 , k ∈ ℝ*

u u+v+w v v0 = u+v+w w w0 = u+v+w

u0 =

Köszönetnyilvánítás Köszönetemet fejezem ki mindazoknak, akik észrevételeikkel, ötleteikkel, tanácsaikkal hozzájárultak az értekezés tartalmának jobbá, tökéletesebbé tételéhez. Mindenekelıtt Dr. Kovács Zoltán témavezetımnek, akinek bátorítása, szakértelme és tanácsai nagyon sokat jelentettek számomra. Továbbá Dr. Vásárhelyi Évának, Dr. Ambrus Andrásnak és Dr. Karl Josef Parisot-nak, akiktıl hasznos szakmai és módszertani segítséget kaptam. Valamint a 2002 és 2005 között Budapesten, Révkomáromban és Salzburgban rendezett doktori szemináriumokon résztvevı kollégáknak, akik az általam bemutatott matematikai kutatási eredmények építı jellegő, segítı szándékú bírálói voltak. Külön köszönet Buzogány Ágotának, a tézisfüzet angol fordítójának és Demeter Csaba informatikusnak, a dolgozat technikai szerkesztésében nyújtott segítségéért. Hálás vagyok a szatmárnémeti „Constantin Brâncuşi” Iskolaközpont igazgatóinak, megértésükért és támogatásukért.

Szatmárnémeti, 2010 január

137