KONSEP DASAR SISTEM DAN MODEL
Hanna Lestari, ST, M.Eng
Sistem, Keadaan, Model
model
input
output
Permasalahan Dunia Industri Mendapatkan pemahaman adanya suatu fenomena baru misalnya jumlah produk jadi di dalam gudang dari tahun ke tahun cenderung mengalami peningkatan Mengetahui response perilaku sistem, misalnya seberapa besar load faktor pabrik atau utilisasi sumber dayanya Optimasi performansi untuk meningkatkan profit perusahaan, misalnya apakah kapasitas produksi masih bisa ditingkatkan dengan sumber daya yang dimiliki. Desain suatu plant yang kompleks seperti pusat pembangkit listrik, pabrik perakitan mobil, pabrik baja dan lain-lain
Peran Matematik Dalam Problem Solving Semakin luas karena : A.Semakin majunya teknologi komputer
B.Semakin berkembangnya metodologi komputasi C.Digunakannya pendekatan sistem dalam problem solving
Peran Matematik • Dimulai dengan formulasi masalah, • Membangun model matematik, • Analisis terhadap model matematik yang sudah dibangun tersebut • Dan interpretasi hasil analisis untuk menentukan solusi yang feasible.
Pemodelan Matematik • Interpretasi dan Representasi Proses Dunia Nyata ke dalam simbol-simbol abstrak • Simbol abstrak yg membentuk formulasi matematik ini disebut model matematik • Formulasi matematik dipandang sebagai dummy • Formulasi matematik (dummy) sering dapat digunakan untuk berbagai masalah
Validitas Model • Permasalahan validitas dari solusi yang diperoleh kemudian muncul dan ini berkaitan dengan model matematik yang sudah dibangun tersebut. • Sehingga dalam realitanya, model matematik tersebut harus diverivikasi dan divalidasi dengan keadaan pada sistem nyata
Membangun Model Yang Valid TEORI MATEMATIK KREATIVITAS SKILL
PENDEKATAN SISTEM
SISTEM DUNIA NYATA
MODEL
PENDEKATAN SISTEM Aktivitas problem solving baik menggunakan matematik atau tidak, dimulai dari mendefinisikan masalah yang ada. Problem dipandang sebagai sesuatu yang “embodied” di dalam system Karakteristik sistem yang terkait dengan problem lebih mudah diidentifikasi melalui pendekatan sistem
METODOLOGI :
IDENTIFIKASI MASALAH
KARAKTERISASI SISTEM
FORMULASI MODEL
ANALISIS MODEL
SIMULASI
ESTIMASI PARAMETER DESIGN OF EXPERIMENT VALIDASI MODEL
IDENTIFIKASI MASALAH • Permasalahan yang akan dipecahkan harus didefinisikan dengan jelas sebelum pemodelan matematik dimulai. • Pendefinisan masalah yang diambil dari dunia nyata ini dilakukan dengan mendeskripsikan konteks permasalahan yang ada dan menyatakannya tetap dalam konteks tersebut. ▫ Jangan sampai menyelesaikan dengan benar suatu masalah yang salah(bukan merupakan permasalahan sebenarnya)
Contoh : Identifikasi Masalah Topik
Deskripsi
Problem
Alloy selection
Sebuah pabrik akan memproduksi logam campuran dengan sifat thermal terbaik dari bahan & metoda tertentu
Menentukan metoda fabrikasi dan asal bahan tambang yang dapat memberikan sifat thermal terbaik
Optimal production
PT.X memproses susu segar menjadi susu krim, yoghurt dan keju.
Menentukan kombinasi produk yang memaksimalkan profit
World population
Pertumbuhan penduduk merupakan faktor penting dalam peningkatan produksi dan konsumsi makanan
Estimasi jumlah populasi berdasarkan data populasi yang lalu
Weather changes
Kolam renang dirancang agar temperatur tetap 27 C. Energi panas berasal dari matahari dan pemanas buatan
Berdasarkan data cuaca yang lalu, apakah ekonomis jika dipasang pemanas tenaga matahari
Thermal power stations
Produksi listrik dg membakar batubara, menghasilkan uap utk menggerakan turbin-generator
Component Reliabilty
Sistem kompleks terdiri dari banyak komponen. Berdasarkan data operasi komponen, lama operasi komponen sebelum gagal bersifat tak pasti
Supermarket Operation
Supermarket yang besar memiliki Berapa jumlah counter yang banyak counter. Sedikit counter optimal yang harus dimiliki menimbulkan antrean yg supermarket tersebut? panjang, banyak counter mengurangi profit
Demand for soft Perusahaan soft drink berfikir sdrink untk mengembangkan kapasitas pabriknya untuk mengantisiasi peningkatan permintaan ke depan
Kapan dibangun, berapa kapasitasnya, untuk base load atau load following Berapa lama mesin agar tetap operasional dengan n suku cadang komponen yang dimiliki? Berapa kali penggantian komponen dibutuhkan agar mesin tetap bekerja?
Bagaimana perusahaan mendapatkan estimasi permintaan yang baik agar mampu membuat keputusan dengan benar
KARAKTERISASI SISTEM Untuk mendapatkan deskripsi yang benar tentang sistem yang ditinjau. Tidak semua “features” dalam proses dunia nyata punya relevansi dengan problem atau solusinya. Karakterisasi berarti juga deskripsi parsial suatu sistem atau suatu proses simplifikasi dan idealisasi
Konsep Karakterisasi Problem
Goal for study
Real world
Total system description
Simplification
System characterization
KONSEP DASAR KARAKTERISASI SISTEM
Memahami sistem, elemen-elemen atau objeknya, variable dan parameter, input dan outputnya. Sebagian besar sistem bersifat terbuka yaitu berinteraksi dengan objek diluar sistem Banyaknya elemen atau objek dan interaksi antar objek akan menentukan kompeksitas dalam pemodelan. Jika struktur internal sistem tidak dapat diketahui (tidak transparan) maka digunakan pendekatan black box Pendekatan statik terhadap sistem yang dinamik adalah masalah penentuan periode atau time scale. Jika pendekatan continuous terlalu detail maka dilakukan pendekatan diskrit Adanya variabilitas pada data yang diamati menunjukkan perilaku stokastik yang menambah kompeksitas sistem yang ditinjau.
Sistem, variable, parameter • Sistem : kumpulan objek-objek yang saling berinteraksi dan mengarah ke suatu tujuan tertentu. • Setiap objek mempunyai karakteristik (attributes) tertentu.
• Atributes intrinsik disebut parameter • Atributes yang digunakan untuk menggambarkan interaksi antar objek disebut variables
Thermal power station
3 objek utama : boiler, turbin, generator
Variable dan parameter diturunkan dr pers heat transfer, mekanika fluida, listrik dll
Supermarket
3 objek : customer, counter, product
Jml customer di dalam toko, yang antree dan jml barang yg dibeli Parameter : harga produk, jmlh counter
Keandalan komponen
Single objek
Variable : state dr komponen : bekerja/gagal, umur komponen
Sistem Terbuka dan Tertutup Sistem terbuka jika objek di dalam sistem berinteraksi dengan objek di luar sistem. Sebaliknya disebut sistem tertutup. Thermal power plant Sistem terbuka jika asal batubara dianggap objek di luar system yang mempengaruhi sistem. Jaringan PLN dianggap objek lain yg dipengaruhi oleh sistem
Tambang batubara
Sistem
Jaringan PLN
Permintaan Soft drink Jika satu-satunya variabel yaitu permintaan ke depan hanya dikaitkan dengan permintaan yg lalu, sistem menjadi tertutup. Jika dikaitkan dengan perubahan populasi, cuaca dan promosi, sistem terbuka. Populasi Cuaca Promosi
Sistem
Permintaan soft drink
INTERAKSI ANTAR OBJEK Interaksi antar objek digambarkan melalui suatu garis yg menghubungkan variable-variable objek yang berinteraksi. Hubungan ini menjelaskan suatu interaksi sebab-akibat yg dikenal dg “causal relationship” Causal relationship dapat diindikasikan dengan menggunakan graphtheoric display atau tabel matriks. Iklan Promosi Suatu perusahaan menggunakan promosi untuk memperbaiki penjualan yang berarti meningkatkan pendapatan atau profit. Promosi iklan adalah suatu aktivitas yang mahal sehingga perlu direncanakan dengan tepat berapa banyak dan jenis promosi yang diperlukan. Diasumsikan sistem tertutup dengan 3 variabel : iklan, penjualan dan profit. Hubungan ketiga variabel dapat digambkan dengan graph-theoric dan tabel/matriks.
iklan Iklan
Penjualan
penjualan
profit
iklan
0
1
0
penjualan
0
0
1
profit
1
0
0
Profit
WHITE BOX VS BLACK BOX Sistem terbuka tetapi struktur dalam sistem tersebut tidak diketahui, maka deskripsi ini disebut black box. Sebaliknya jika dapat digambarkan objek-objek di dalam sistem dan atributeatributnya disebut deskripsi white box.
Keandalan komponen Pertama, karakterisasi sederhana dengan hanya 1 variable yg hanya punyai 2 nilai yaitu 1jika bekerja dan 0 jika gagal. Kedua, jika mekanisme kegagalan yaitu crack propagation bisa digambarkan, maka kita punyai deskripsi yg lebih rinci.
Pertumbuhan penduduk Karakterisasi sistem dimana populasi dpt dikategorisasi ke dalam umur, jenis kelamin dan lokasi geografi mengandung informasi yg lebih detil dibanding hanya sebagai fungsi waktu saja
FORMULASI MODEL Jenis Sistem • Statik • Dinamik • Determisintik • Stokastik • Diskrit • Kontinyu
Model Manufaktur • Model Antrean • Model Inventori
STATIC VS DYNAMIC Jika waktu tidak berperan sehingga semua variabel juga independen terhadap waktu, maka sistem adalah statik. Sebaliknya jika waktu berperan sehingga variabel nilainya berubah dg waktu, maka kita mempunyai sistem dinamik. Alloy Selection Jika problem ini digambarkan sebagai sistem lup tertutup dg 3 variabel yaitu A koeffisien thermal, B metoda produksi dan C suplier
C A B Rocket launch Posisi dan kecepatan roket terhadap tempat peluncuran di bumi adalah berubah dengan waktu. Hubungan antara posisi dan kecepatan dijelaskan dengan teori dinamika.
Continuous vs discrete Jika variabel dalam sistem perlu digambarkan pada “all time instants” (Continuous) atau hanya pada “relevant time instants” (discrete) Memilih continuous atau discrete tergantung banyak aspek dalam pemodelan. Jika “continuous” terlalu detail, bisa digunakan skala waktu “discrete” Permintaan soft drink Jika tertarik pada interval permintaan mingguan, maka varibel yang menggambarkan sistem berubah mingguan. Unsur waktu diperlakukan sebagai discrete. Polusi Sungai Level konsentrasi zat pencemar di sungai pada lokasi tertentu berubah secara kontinyu dengan waktu, sehingga digunakan pendekatan continuous.
Deterministik Vs Stokastik • Deterministik: Jika nilai variabel (sistem statik) atau perubahan nilainya (sistem dinamik) bersifat predictable dengan kepastian. •Stokastik: Jika nilai atau perubahan nilai variabelnya random dan unpredictable. Keandalan komponen Data waktu kegagalan komponen sebuah mesin menunjukkan adanya variabilitas yang besar (37 s/d 415 jam) sehingga sistem tersebut stokastik
Peluncuran Roket Posisi dan kecepatan roket dapat diformulsikan secara akurat dari teori dinamika sistem, sehingga posisi dan kecepatan roket dapat diprediksi dengan akurasi yg tingi pula. Sistem ini dipandang sbg deterministik.
Model Stokastik (Probabilistik) • Mengandung unsur acak atau distribusi peluang sehingga tidak hanya membuat penaksiran keluaran yang definitif tetapi juga disertai dengan deviasi (variance).
• Semakin besar ketidakpastian akan tingkah laku suatu sistem semakin penting penerapan model stokastik
Cont’ Kelahiran
Migrasi Proses Acak
Kematian
Konversi Kimia
• Tingkah laku sistem dapat menjadi deterministik apabila kuantitas besar dilibatkan artinya variasi yang sangat kecil tidak begitu berarti dalam taksiran yang dihasilkan model. • Kasus epidemiologi , dinamika populasi, pengendalian populasi terkadang didekati dengan model stokastik.
MODEL ANTRIAN • Pada prinsipnya sistem-sistem manufaktur, pergudangan, transportasi, pelayanan publik , seperti rumah sakit, kantor pos dan bank mempunyai bentuk model sistem antrean. • Analisis antrian merupakan bentuk analisis probabilitas, bukan teknik penentuan yang digunakan untuk mengambil keputusan dalam suatu operasi yang mengandung masalah antrian. • Ada sejumlah model antrian yang berbeda yang dapat digunakan, akan tetapi bentuk yang paling umum adalah system pelayanan tunggal (single server system) dan system pelayanan ganda (multiple server system)
Server (idle or busy)
Customer datang
Antree
dilayani
Pergi
PENDEKATAN MARKOV • N(t) yaitu jumlah customer di dalam sistem bersifat random dan memiliki distribusi probabilitas • Probabilitas jumlah customer N(t)=n dimana n= 0, 1, 2, …n,….,∞ adalah pn(t) • Jumlah keseluruhan probabilitas adalah satu • Probabilitas pada waktu yang akan datang , pn(t+1), dapat diprediksikan sebagai fungsi pn(t) melalui matriks transisi PT dimana berlaku pn(t+1)= PT pn(t) • Pada t menuju ∞, diharapkan terjadi kondisi steady-state dimana pn(t+1)=pn(t)
PENDEKATAN MARKOV • Asumsi yang digunakan dalam perumusan matematik adalah : ▫ ▫ ▫ ▫
Populasi pelanggan tidak terbatas Disiplin antrian first come first served Tingkat kedatangan terdistribusi poisson Waktu pelayanan terdistribusi eksponensial
DISCRETE EVENT MODEL • Model kejadian diskrit (discrete-event model) menggunkan pendekatan yang sangat berbeda dengan pendekatan Markov • Beberapa asumsi yang digunakan: ▫ Secara umum sistem dimodelkan secara dinamik, diskrit, dan probabilistik ▫ Pada t=0, tidak ada pelanggan di dalam sistem ▫ Kedatangan pelanggan pertama pada t=X1, dan jarak antar kedatangan pelanggan berikutnya X2, X3 dan seterusnya sehingga waktu kedatangan pelanggan kedua t=X1+X2, pelanggan ke-3 adalah t=X1+X2+X3 dan seterusnya ▫ Waktu antar kedatangan diasumsikan adalah independent dan terdistribusi dengan mengkuti distribusi probabilitas tertentu ▫ Lama pelayanan untuk pelanggan pertama, kedua dan seterusnya juga bersiat independent dan terdistribusi dengan mengkuti distribusi probabilitas tertentu.
DISCRETE EVENT MODEL e0
e1
t1
e3
t2
e4
C1
e6
e5
t3
C2
• Variable dan parameter yang digunakan dalam pendekatan diskrit ini adalah
▫ Variabel: status server (sibuk atau nganggur), jumlah customer antree, dan waktu kedatangan. ▫ Kejadian (e): suatu peristiwa yang dapat mengubah variable sistem antrean yaitu kedatangan customer (ti) dan kepergian customer (Ci) ▫ Aktivitas: lama enititas (customer) diproses atau dilayani
MODEL INVENTORY • Model Analitik Ii Q
.
Order Placed
Q
s
(R)
.
Order Received
Time t
MODEL INVENTORY • Model Simulasi S
I(t) I+(t) I-(t)
Ai I-(t)
Di
S – I (1)
s
1
2 T
Place an order
Order arrives
3
VALIDASI MODEL • Validasi adalah proses menguji kecukupan (adequacy) dari model matematis yang diberikan • Validasi model simulasi dilakukan dengan mengevaluasi response dari sistem model tersebut ym(t) dibandingkan dengan response sistem actual ys(t) terhadap sejumlah data masukan, xs(t) • Dalam pendekatan ini, validitas sebuah model diuji dengan sebuah tes yang mengevaluasi persesuaian antara model dan perilaku sistem, yaitu error atau deviasi e(t)= ys(t) - ym(t) • Untuk pendekatan ini, asumsi-asumsi yang dibuat dalam membangun adalah tidak penting
Validasi Model SISTEM NYATA
ys(t) e(t)
xm(t) MODEL SISTEM ym(t)
ym(t) ys(t)
