Konferensi Nasional Sistem dan Informatika 2008; Bali, November 15, 2008

Konferensi Nasional Sistem dan Informatika 2008; Bali, November 15, 2008

KNSI08-032

APLIKASI MATEMATIKA NUMERIK METODE NEWTON RAPHSON DALAM BIDANG MANAJEMEN KEUANGAN: SUATU TINJAUAN KHUSUS MENENTUKAN NILAI INTERNAL RATE OF RETURN DAN YIELD TO MATURITY OBLIGASI Yudha Herlambang Universitas Trunajaya Madura(UTM),Bangkalan [email protected] ABSTRACT This research discusses an alternative method to solve the value problem of Internal Rate Return or the method to calculate the value of Internal Rate Return (IRR) and the desired returned rate by Bonds investor. There were several methods to solve the calculation of IRR, such as Interpolation Method, Using the Financial Table, Trial and Error Method, and Using IRR Function in Excel Software. In this paper, the author will present the Application of Numerical Mathematic. There are a number of methods in Numerical Mathematic, but the most popular one is Newton Raphson Method. In this method, the case needs to be transferred into the NPV Equation or Bonds Equation either in the Case of Premium or Disconto Bonds. Then a Polinomial equation in term of f(x) is created. Iteration is conducted until the error is minimum. In terms of the results, this method gives the same outcome as the methods mentioned above. There is only an approximation of 4 digits in decimals in the result. Using this method, there is still difference in the outcome, but it is not significant. Keywords: Internal Rate Return, Interpolation Method Numerical Mathematic, Newton Raphson Method, NPV Equation, Polinomial Equation, Interation, Bonds, Approximation

1. Pendahuluan Sebagaimana telah kita ketahui bersama bahwa dunia investasi dan portofolio tak lepas dari adanya resiko yang harus dihadapi investor. Dan pihak yang akan berinvestasi pasti akan berupaya untuk lebih meminimalisir resiko tersebut dengan berbagai analisa. Termasuk dalam analisa ini misalkan ruang lingkup kelayakan proyek. Dalam analisa kelayakan proyek ini perlu dipertimbangkan unsur-unsur Time Value of Money sehingga berhubungan dengan Discount Factor. Dalam lingkup analisa atau evaluasi proyek, investor berupaya agar terhindar dari resiko yang diakibatkan oleh kesalahan dalam pengambilan keputusan berinvestasi. Salah satu metode yang digunakan ialah analisa Net Present Value (NPV). Dalam hal NPV bernilai positif atau tingkat Net Cash Flow dari tahun ke tahun selama umur proyek dengan mempertimbangkan faktor konsep nilai waktu uang atau Time Value of Money besarnya melebihi Investasi Awal Proyek, maka proyek tersebut layak dipertimbangkan untuk diterima. Namun seringkali dijumpai bahwa perhitungan mencari nilai IRR tak selalu mudah, dalam beberapa kasus harus menggunakan cara coba-coba atau trial and error. Atau dapat pula digunakan metode Interpolasi Linier. Dan kita mengenal pula pemakaian dengan menggunakan tabel Keuangan. Pada tulisan ini penulis memperkenalkan pemakaian Matematika Numerik terutama Metode Newton Raphson untuk mencari nilai eksak IRR dengan tingkat kepresisisan tertentu sesuai kehendak pengguna. Hal ini juga berlaku pada kasus mencari nilai Yield To Maturity pada Persamaan Obligasi, baik pada bentuk diskonto maupun premium. Penelitian ini bertujuan untuk mengenalkan metode perhitungan iterasi Newton Raphson dalam ranah ilmu Matematika Numerik dalam aplikasinya untuk melakukan perhitungan dalam mencari nilai Internal Rate Return (IRR) sebagai cara alternatif di samping Methode Interpolasi atau menggunakan fungsi IRR dalam paket program Excell. Sedangkan manfaat metode ini antara lain sebagai cara alternatif tanpa menggunakan tabel keuangan dan apabila tidak terdapat software. Sedangkan pencarian nilai IRR sendiri adalah untuk membantu kalangan pengguna atau investor pada saat tingkat interest berapa pada kondisi di mana jumlah yang diinvestasikan akan sama dengan Net Cash Flow yang diperkirakan akan diterima selama usia proyek tersebut berjalan. Adapun batasan masalah dari penelitian ini adalah: 1. Pada penelitian ini banyaknya perhitungan iteratif atau perhitungan berulang untuk mencari pendekatan nilai Internal Rate Return (IRR) akan dibatasi penulis hingga iteratif ke 5 atau bila error (penyimpangan) nilai f(x) yang diperoleh terhadap f(x)=0 adalah berkisar maksimum 0,1. 2. Sebagai pembanding terhadap tingkat kepresisian atau keakuratan hasil yang diperoleh penulis, maka dipergunakan software Excell dengan fungsi IRR, software Matlab (Matrix Laboratory) 7.00 dengan fungsi roots. Juga dipergunakan Metode Interpolasi pada usia proyek N=5 tahun. 3. Untuk usia proyek N=2 tahun tidak perlu dipergunakan pendekatan Numerik Newton Raphson, namun cukup formulasi abc dalam matematika aljabar biasa dan tidak perlu dibahas dalam paper. 4. Pada tulisan ini, pemakaian atau perhitungan mencari nilai IRR dengan menggunakan metode Matematika NumerikNewton Raphson dibatasi penulis hanya untuk umur project 3 hingga 5 tahun. Untuk umur project di atas 6 tahun 176


5.

KNSI08-032

dipergunakan software yang telah dirancang penulis dalam bahasa pemrograman Fortran (Sistem Operasi DOS) dan Delphi (Sistem Operasi Windows) Terdapat banyak metode pencarian akar dalam Matematika Numerik, misalkan Metode Interval, Bisection Method, Metode Interpelasi, dan lainnya, namun dalam tulisan ini yang akan dibahas terbatas pada Metode Newton Raphson.

Dalam tulisan ini akan dibahas metode numerik dengan pendekatan Newton Raphson untuk menyelesaikan masalah yaitu bagaimana mencari nilai Yield to Maturity pada persamaan Diskonto dan Premium Obligasi dan mencari nilai Internal Rate Return pada kasus Studi Kelayakan Proyek dalam bentuk persamaan Net Present Value, yaitu dalam bentuk persamaan matematis polinomial atau dengan kata lain mencari akar dalam bentuk persamaan polinomial yang diterapkan dalam manajemen keuangan. Dalam penelitian ini, juga dipergunakan hipotesa sederhana tanpa menggunakan alat uji statistik, karena pengujiannya dengan menggunakan perhitungan matematis, yaitu: ”Diduga Aplikasi Matematika Numerik – Metode Newton Raphson dapat dipergunakan untuk menyelesaikan perhitungan mencari nilai Internal Rate Return (IRR) dan menghitung besarnya tingkat pengembalian yang diharapkan investor Obligasi (k) sesuai hingga taraf ketelitian yang diperlukan pada iterasi tertentu ”.

2. Landasan Teori Discounting Model secara eksplisit memperhitungkan Time Value of Money pada suatu korporasi dan memasukkan unsur-unsur konsep discounting kas masuk dan kas keluar. Terdapat dua model pendekatan model discounting yang sering dijumpai yaitu: Net Present Value (NPV) dan IRR ( Internal Rate Return). Teknik nilai sekarang bersih atau yang terkenal dengan sebutan teknik NPV mengandalkan pada teknik arus kas yang didiskontokan/dicari present value-nya. Proses mengimplementasikan teknik NPV sebagai berikut: 1. Menentukan nilai sekarang dari setiap arus kas, termasuk arus kas masuk dan arus kas keluar, kemudian dihitung Net Cash Flownya (Selisih Cash In dan Cash Out) yang didiskontokan pada biaya modal proyek. 2. Menjumlahkan semua arus kas yang didiskontokan ini. Hasil penjumlahan ini didefinisikan sebagai NPV (Net Present Value) 3. Bila NPV Positif, proyek dapat diterima untuk dilaksanakan. Bila NPV negatif, proyek dipertimbangkan untuk ditolak. Net Present Value merupakan pendekatan yang dilakukan dalam penganggaran modal (capital budgeting) di mana nilai kas masuk saat ini (Present Value of Cash Inflows) dikurangi dengan nilai kas keluar saat ini (present value of cash outflows). Dalam menilai kelayakan suatu proyek, bila perhitungan NPV yang didapat positif, berarti proyek tersebut layak dipertimbangkan dan apabila NPR bernilai negative, proyek dimaksud semestinya ditolak. Sehingga secara definitif IRR merupakan tingkat bunga yang membuat nilai bersih seluruh arus kas saat ini (Net Present Value) atau NPV sebesar nol. IRR didefinisikan sebagai nilai (tingkat) interest yang membuat nilai Present Value Project Cash Inflows bernilai sama dengan Present Value dari Biaya Proyek (Project Costs). Nilai untuk ”mengeset” nilai IRR agar NPV bernilai nol ini adalah dengan cara coba-coba / trial-error. IRR tak lain merupakan tingkat interest pada saat NPV Projects bernilai nol. Jadi IRR merupakan alat untuk mengukur tingkat pengembalian hasil intern. Adapun formulasi matematis perhitungan NPV sebagai berikut: N

NPV = (∑ t =1

Net.Cash.Flowt ) − I0 (1 + k ) t

Seperti telah kita ketahui sebelumnya bahwa Tingkat Pengembalian Internal atau IRR merupakan suatu teknik dalam membuat peringkat usulan investasi dengan menggunakan tingkat pengembalian atas invenstasi yang dihitung dengan mencari tingkat diskonto yang menyamakan nilai sekarang arus kas masuk dengan investasi awal dan formula IRR yaitu n

Investasi. Awal = ∑ t =1

Net.Cash.Flowt (1 + IRR%) t

2.1 Penilaian Obligasi Obligasi secara sederhana merupakan surat janji kesanggupan untuk membayar (Promissory notes) jangka panjang, yang dikeluarkan oleh si peminjam dengan janji kepada si pemegangnya dengan pembayaran suatu nilai bunga setiap tahun yang telah ditentukan sebelumnya. Sehubungan dengan itu, maka nilai aset dipengaruhi oleh tiga elemen sebagai berikut: 1. Besar serta waktu penerimaan atas arus kas asset yang diharapkan 2. Resiko dari arus kas tersebut. 3. Tingkat pengembalian minimum investor (k) untuk memilih suatu obligasi. Adapun tingkat pengembalian yang diharapkan investor yaitu k, adalah ditentukan oleh besar kecilnya tingkat suku bunga bebas resiko dan premium resiko yang dirasakan investor perlu untuk mengkompensasikan resiko dalam kepemilikan aset. Dengan demikian, maka penilaian dasar sebuah sekuritas dapat didefinisikan secara matematis pada persamaan di bawah: N C3 Cn C1 C2 120 Vb = ∑ = + + + ........... + 2 3 t (1 + k ) (1 + k ) (1 + k ) (1 + k ) N t =1 (1 + k ) dimana : 177


KNSI08-032

C t = arus kas yang akan diterima pada waktu t V = nilai intrinsik atau nilai kini dari sebuah asset yang menghasilkann arus kas di masa mendatang, C t pada tahun ke-1 hingga tahun ke-n. k = tingkat pengembalian yang diinginkan investor. n = jumlah tahun dengan arus kas akan diterima. 2.2 Metode Newton Raphson Dalam dunia matematika numerik, metode ini paling banyak digunakan dalam mencari akar dari suatu persamaan khususnya bentuk persamaan polinomial. Bila perkiraan awal dari akar adalah xi , suatu garis singgung dapat dibuat dari titik ( xi , f ( x )) .Titik di mana garis singgung tersebut memotong sumbu x biasanya memberikan perkiraan yang lebih dekat dari nilai akar. Seperti yang ditunjukkan pada Gambar 1 pada lampiran, turunan pertama pada titik xi adalah ekuivalent dengan tingkat kemiringan. Metode yang lebih baik dalam memilih g'(x) adalah dengan membuat garis singgung dari f(x) untuk nilai x yang dipilih, dan dengan menggunakan besaran x dari perpotongan garis singgung terhadap absis sehingga diperoleh nilai x baru. Gambar 1 pada lampiran merupakan penjelasan grafis prosedur metode Newton Raphson. Metode Newton Raphson ini merupakan salah satu cara yang paling dikenal dalam metode penyelesaian fungsi f(x) = 0. Pengembalian cara ini adalah sifat konvergensi kuadratik dalam proses iterasi, karena terjadinya koreksi digit ganda di setiap proses. Secara matematis penurunan formulasi pada metode Newton Raphson dapat dirunut sebagai berikut: f ( xi ) f ( xi ) − 0 f ' ( xi ) = xi +1 = xi − atau x i − x i +1 f ' ( xi ) Berikut adalah prosedur algoritma pada Metode Newton Raphson: 1. Tentukan Xo, toleransi,dan jumlah iterasi maksimum. 2. Hitung Xbaru = x-f(xo)/f(xo). 3. Jika nilai mutlak (Xbaru-Xo) < toleransi, diperoleh tulisan xbaru sebagai hasil perhitungan; 4. Jika tidak, lanjutkan ke langkah berikutnya. 5. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program. 6. X = Xbaru, dan kembali ke langkah (b). Ketebatasan metode Newton Raphson ini antara lain: - Harus mencari f(x), dan nilainya mungkin 0. - Tidaklah sederhana melacak proses untuk konvergen. - Dalam perhitungan ada kemungkinan besar proses memberikan hasil divergen, kecuali nilai perkiraan awal x cukup tepat.

3. Metodologi Pada penelitian ini penulis mengambil contoh kasus suatu contoh persoalan dalam mencari nilai IRR (Internal Rate Return) untuk berbagai umur project yang akan ditinjau. Mulai dari umur proyek 3 tahun hingga umur proyek 5 tahun. Untuk umur proyek 2 tahun, penulis tidak merasa perlu mencari nilai IRR dengan pendekatan Numerik Metode Newton Raphson dan tidak perlu dibahas dalam paper ini, karena cukup dengan formulasi abc saja sudah dapat diselesaikan, karena sangat sederhana. Kemudian untuk contoh persoalan mencari nilai IRR yang melibatkan usia project antara 3 hingga 5 tahun dilakukan pencarian dugaan nilai IRR dengan pendekatan metode Newton Raphson yang dibandingkan hasilnya dengan software Excell memakai fungsi IRR serta software Matlab memakai fungsi Roots. Dalam pendekatan metode Newton Raphson dipakai istilah dugaan nilai IRR, karena nilai IRR yang dicari pada awal perhitungan belum memenuhi hasil presisi yang diharapkan, sehingga terus dilakukan “pencarian” nilai eksak untuk akar yang sesungguhnya atau hampir mendekati sesungguhnya. Langkah-langkah penelitian di atas juga berlaku bagi kasus Obligasi Premium dan Diskonto, yaitu mencari nilai Yield to Maturity, setelah dibentuk persamaan Obligasi dalam bentuk Persamaan Matematik Polinomial dimaksud.

4. Pembahasan Kasus Dalam Perhitungan Matematis 1. Kasus Umur Project N = 3 Tahun (Net Cash Flow dengan Jumlah yang Sama)

Misalkan kita ditawarkan sebuah proposal proyek investasi di mana kita harus menginvestasikan dana sebesar Rp 10 juta. Sebagai imbalan dari proyek yang berjangka waktu 3 tahun ini, di mana kita akan menerima pembayaran Rp 2 juta pada setiap akhir tahun selama 2 tahun dan Rp 12 juta pada akhir tahun ketiga. Apabila kita menggunakan formulasi IRR dalam bentuk rumus deret geometris sebagai berikut: NPV = −10 +

2 2 12 2 2 12 + + 10 = + + (1 + r %)1 (1 + r %) 2 (1 + r %) 3 , (1 + r %)1 (1 + r %) 2 (1 + r %) 3 ,

3 2 3 2 3 2 f(x) = 10 x + 28 x + 24 x − 6 =0 atau 5 x + 14 x + 12 x − 3 = 0 . Dengan memandang f(x) = 10 x + 28 x + 24 x − 6 , 2 maka f ’(x) = derivatif pertama = 30 x + 56 x + 24 , untuk nilai awal ditest x=0 dan x=1, diperoleh : f(0) = -6 dan

178


KNSI08-032

f(1)=10+28+24-6=56. Berhubung nilai f(0) dan f(6) berbeda tanda, maka diambil dugaan bahwa akar persamaan, yaitu x* di antara x=1 dan x=0. Sehubungan dengan ini kita lakukan langkah iterasi ( perhitungan ) yang pertama sebagai berikut: xi + 1 = xi −

f ( xi ) −6 f (0) 1 = 0− = 0− = = 25% . f ' ( xi ) f ' (0) 24 4

1 1 1 122 10( ) 3 + 28( ) 2 + 24( ) − 6 = = 1,9 . 4 4 4 64

f(1/4)= optimal atau konvergent, yaitu: xi + 1 = 0,202351 −

Kita lakukan test untuk f(1/4) ini yaitu:

Dan dengan menjalankan hingga interasi ke 3, diperoleh hasil akar yang

f (0,202351) 1 0,0428 1 0,0428 = − = − = 0,202351 − 0,002341 = 0,2 f ' (0,202351) 4 15(0,202351) 2 + 28(0,202351) + 12 4 18,28

Akhirnya kita lakukan test f(0,2)=f(20%)= 5(0,2) + 14(0,2) + 12(0,2) − 3 = 0 . Dengan demikian dapat dikatakan bahwa x=20% merupakan akar persamaan polinomial dan Internal Rate Return adalah pada tingkat r = 20 %. Dengan menggunakan Software Excell yaitu fasilitas fungsi IRR (Range cell, guess) akan diperoleh nilai IRR = 20%. Begitu pula apabila dihitung dengan menggunakan paket program Matlab bernilai sama, yaitu 20%. Hasil dengan metode Newton Raphson ini IRR = 20 % sama persis seperti hasil yang diperoleh pada software aplikasi Excell . 3

2

2. Kasus Umur Project N = 3 Tahun (Net Cash Flow yang Tidak Sama)

Pada contoh kasus ini tak jauh berbeda dengan contoh kasus no.3A di atas, hanya saja terdapat nilai Net Cash Flow yang berbeda dari tahun ke tahun. Jadi misalkan kita ditawarkan sebuah proposal proyek investasi di mana kita harus menginvestasikan dana sebesar Rp 110 juta. Sebagai imbalan dari proyek yang berjangka waktu 3 tahun ini, di mana kita akan menerima pembayaran Rp 50 juta pada setiap tahun pertama, tahun kedua memperoleh Net Cash Flow Rp 40 juta dan Rp 65 juta pada akhir tahun ketiga. Apabila kita menggunakan formulasi IRR dalam bentuk rumus deret geometris sebagai berikut: NPV = −110 + 0 = −110 +

50 40 65 + + (1 + r %)1 (1 + r %) 2 (1 + r %) 3

50 40 65 + + (1 + x)1 (1 + x) 2 (1 + x) 3

,

, dengan memisalkan r % = x,

50 40 65 110 = + + (1 + x) (1 + x) 2 (1 + x) 3

2 3 2 F(x)= 22 x + 56 x + 38 x − 9 = 0 . Sedangkan f’(x) = 66 x + 112 x + 38 . Maka dengan demikian kita lakukan test awal

sebagai untuk x=0 dan x=1 sebagai berikut: f(0) = -9 dan f(1) = 22+56+38-9=107. Dengan demikian dugaan akar x* agar f(x*)=0 adalah terletak di antara x=0 dan x=1. Maka diadakan proses perhitungan interasi: xi + 1 = xi −

f ( xi ) f ( 0) (−9) 9 = 0− = 0− = 0+ = 0,2368 f ' ( xi ) f ' (0) 38 66(0) 2 + 112(0) + 38

Dengan demikian diperoleh dugaan akar sementara x*=0,2368. Nilai f(0,2368) ini perlu kita test untuk menganalisa seberapa jauhkah error terhadap f(x*)=0. 3 2 f(x*)=f(0,2368)= 22(0,2368) + 56(0,2368) + 38(0,2368) − 9 = 3,44 . Sedemikian hingga apabila dilanjutkan sampai iterasi ke 4, sehingga diperoleh hasil akar yang konvergent, yaitu : xi + 1 = 0,1836 −

f (0,1836) 0,0006 = 0,1836 − = 0,18359013 . f ' (0,1836) 2,2248 + 20,5632 + 38

Dugaan akar yang terakhir ini yaitu x=0,18359013 akan kita lakukan test sampai seberapa jauhkah error terhadap f(x)=0. Berikut perhitungannya : f(0,18359013) = 22(0,18359013) 3 + 56(0,18359013) 2 + 38(0,18359013) − 9 = 0,0000352 −5

Kita perhatikan bahwa nilai f(0,18359013)=0,0000352 sudah sangat mendekati f(x)=0 atau sebesar 3,52.10 , menunjukkan errornya sudah mencapai sangat kecil dalam orde seperseratusan ribu. Dengan demikian nilai x=0,18359013 atau IRR=18,359 % merupakan nilai yang dicari. Adapun dari hasil Matlab didapatkan 0,1836=18,36 % adalah merupakan approksimasi atau digit di belakang koma.Apabila digunakan Software Excell yaitu fasilitas fungsi IRR (Range cell, guess) akan diperoleh nilai IRR = 18%. Sedangkan bila menggunakan software Matlab 7.00 sebagai pengujian validitas dan software pembanding, maka diperoleh nilai x= 0,1836= 18,36%. Hasil perhitungan dengan metode Newton Raphson di atas tadi merupakan pendekatan dari IRR = 18 % seperti hasil yang diperoleh pada software aplikasi Excell maupun software Matlab.

3. Contoh Kasus Usia Proyek N= 4 Tahun. Dengan Investasi Awal Rp 75.000.000,-, dan Net Cash Flow yang diperoleh untuk 4 tahun berturut-turut adalah sebagai berikut: tahun pertama Rp 40 juta, tahun kedua Rp 60 juta, tahun ketiga Rp 30 juta , tahun terakhir Rp 55 juta. Apabila dihitung dengan menggunakan software Excell, akan diperoleh hasil IRR = 48% . Sedangkan dengan menggunakan program Matlab akan diperoleh hasil IRR=0,4813 atau IRR = 48,13%. Adapun contoh kasus tersebut apabila dihitung dengan menggunakan Metode Newton Raphson dalam Matematika Numerik akan diperoleh hasil IRR = 0,4813328 atau 48,13328 %. Adapun Langkah perhitungannya disajikan di bawah ini . Pertama – tama kita susun menurut persamaan matematis formulasi NPV sebagai berikut ini: 0 = − 75 . 000 . 000 +

40 . 000 . 000 60 . 000 . 000 30 . 000 . 000 55 .0000 . 000 + + + (1 + r %) (1 + r %) 2 (1 + r %) 3 (1 + r %) 4

. Persamaan-persamaan di atas digabungkan dan disederhanakan maka diperoleh:

179


KNSI08-032

75x 4 + 260x 3 + 270x 2 + 30 x − 110 =0

yang merupakan suatu bentuk polinomial berderajat 4 yang akan dicari akar-akarnya untuk menentukan IRR. Kita test dengan titik awal misalkan x=0 , diperoleh f(0)= -110 dan x=1 diperoleh f(1)=525. Maka dugaan akar yang dicari (x*) pasti di antara x=0 dan x=1. Dengan demikian proses iterasi perhitungan kita mulai, namun demikian perlu ditentukan turunan fungsi pertama atau 3 2 f’(x) = 300 x + 780 x + 540 x + 30 . f (x )

(−110)

f (0)

110

11

2

i Iterasi I : xi +1 = xi − f ' ( x ) = 0 − f ' (0) = 0 − 300(0) 3 + 780(0) 2 + 540(0) + 30 = 0 + 30 = 3 = 3 3 = 3,666 . i Dengan demikian diperoleh dugaan akar sementara x*=3,666. Nilai f(3,666) ini perlu kita test untuk menganalisa seberapa jauhkah error terhadap f(x*)=0. 4 2 2 f(x*)=f(3,666)= 75(3,666) + 260(3,666) + 270(3,660) + 30(3,666) − 110 = 29.993 > f (1) = 525 Terlihat bahwa hasilnya tak menjadi lebih baik atau divergent atau bisa dikatakan semakin jauh dari f(x) yang seharusnya mendekati nol. Maka dari itu perlu dicari alternatif interasi lain, yaitu dihitung mundur dari x=1 dan f(1) = 525, sehingga perhitungan iterasi matematisnya sebagai berikut:

xi +1 = xi −

f ( xi ) f (1) (525) 525 = 1− = 1− = 1− = 1 − 0,318 = 0,681 f ' ( xi ) f ' (1) 1650 300(1) 3 + 780(1) 2 + 540(1) + 30

Sehingga pendugaan x* yang baru pada iterasi di atas ialah pada x* = 0,681 Akhirnya kita test seberapa jauh pendugaan x* baru tersebut terhadap f(x)=0, yaitu: 4 3 2 F(0,681)= 75(0,681) + 260(0,681) + 270(0,681) + 30(0,681) − 110 = 133,885 Atau f(0,681)=133,885 < f(1)=525, dari hasil ini diperoleh kondisi yang convergent, sehingga dugaan akar (x*) berikutnya terjadi di antara x = 0 dan x = 0,681. Dengan demikian iterasi perhitungan matematis kita teruskan hingga hasil yang presisi dan semakin konvergent hingga pada saat iterasi yang ke 4, diperoleh hasil optimal sebagai berikut: 4 3 2 f(0,4813328)= 75(0,4813328) + 260(0,4813328) + 270(0,4813328) + 30(0,4813328) − 110 = 0.01371, nilai ini sudah cukup mendekati f(x)=0, apabila dibandingkan dengan nilai f(x) dari kandidat-kandidat akar sebelumnya, sehingga dapat diambil keputusan bahwa x =0,4813328 merupakan dugaan akar yang sudah cukup presisi atau Internal Rate Return (IRR)= 48,13328 % atau dapat dikatakan hampir sesuai dengan hasil pengolahan dari Excell atau software Matlab sebagai pembandingnya. Apabila dilakukan proses perhitungan berulang atau intersi lebih lanjut, akan diperoleh hasil pendekatan akar yang tak jauh berbeda, yaitu berkisar antara x= 0,4813.........atau IRR = 48,13.......%, yang merupakan selisih ketelitian beberapa digit di belakang koma yang terlalu signifikant.

4. Contoh Kasus untuk Umur Project N = 5 Tahun Dengan Investasi awal (I) sebesar Rp 5.000.000, Net Cash Flow berturut-turut adalah sebagai berikut: Tahun pertama sebesar Rp 1.750.000,- . Tahun kedua sebesar Rp 1.900.000,-. Tahun ketiga sebesar Rp 2.050.000,- . Tahun keempat sebesar Rp 2.200.000,-. Dan tahun kelima sebesar Rp 2.450.000. Akan ditentukan nilai Internal Rate of Return (IRR) yang sesuai . Kini penulis akan melakukan perhitungan IRR dengan menggunakan pendekatan Matematika NumerikMetode Newton Raphson, seperti biasanya disusun terlebih dahulu persamaan matematik untuk NPV sebagai berikut : 0 = −5.000.000 +

1.750.000 1.900.000 2.050.000 2.200.000 2.450.000 + + + + (1 + r %) (1 + r %) 2 (1 + r %) 3 (1 + r %) 4 (1 + r %) 5

F(x) = 100 x + 465 x + 822 x + 635 x + 120 x − 107 . Sebagai titik awal dipilih x=0 yang akan menghasilkan f(0) = -107 dan x(1) yang akan menghasilkan f(1) = 100 + 465 + 822 + 635 + 120 – 107 = 2.035. Sehingga dapat dikatakan pendugaan di antara x=0 dan x=1. Namun kita perlukan tentukan turunan pertama yaitu f’(x) = 500 x 4 + 1860 x 3 + 2466 x 2 + 1270 x + 120 , 4 3 2 karenanya f’(0) = 500(0) + 1860(0) + 2466(0) + 1270(0) + 120 = 120 . Dengan demikian dilakukan iterasi pertama untuk memperoleh x* (kandidat atau dugaan akar), yaitu perhitungan sebagai berikut: 5

xi +1 = xi −

4

3

2

f ( xi ) f ( 0) (−107) =0− =0− = 0,89 . f ' ( xi ) f ' ( 0) 120

Kemudian dilakukan pengujian untuk mengetahui seberapa jauhnya terhadap

f(x)=0 f(0,89)= 55,84 + 291,7514 +579 + 502 + 106,80 -107 = 1.428 dan hasil ini semakin mendekat menuju f(x)=0, bila dibandingkan dengan f(1) = 2.035. Dengan demikian dugaan akar di antara x=0 dan x=0,89. Perhitungan dengan prosedur di atas dilakukan berulang hingga iterasi ke 5, sedemikian hingga diperoleh hasil akar yang konvergen sebagai berikut: xi +1 = xi −

(1,6647 ) f ( xi ) f (0, 284 ) = 0,284 − = 0,284 − = 0,284 − 0,00229477 = 0,2817 3,252695 + 42,6 + 198 ,897 + 360 + 120 f ' ( xi ) f ' (0,284 )

Kita peroleh x* (dugaan akar) yang baru = 0,2817, dan kita lakukan pengujian seberapa dekat terhadap f(x)=0. Berikut perhitungannya: 5 4 3 2 F(0,2817)= 100(0,2817) + 465(0,2817) + 822(0,2817) + 635(0,2817) + 120(0,2817) − 107 = −1,3346 Ternyata f(0,2817) bernilai negatif, sehingga dengan demikian dugaan akar di antara x=0,2817 yang f(x)nya bernilai 1,3346 dan x=0,2840 yang f(x)nya bernilai 1,665. Apabila demikian, solusinya adalah kita menghitung titik tengah antara dua nilai x ini : X tengah =

0,2817 + 0,2840 = 0,28285 . 2

Akhirnya kita lakukan test terhadap f(0,28285) yaitu: 5 100 ( 0 , 28285 ) + 465 (0,28285) 4 + 822(0,28285) 3 + 635(0,28285) 2 + 120(0,28285) − 107 = −0,49 . f(0,28285)= 180


KNSI08-032

Nilai f(0,28285) ini semakin mendekati f(x)=0, jadi bisa dianggap secara pendekatan bahwa x =0,282825 merupakan dugaan akar karena sudah cukup mendekati f(x)=0. Dengan demikian dapat dikatakan nilai IRR= 28,2825%. Nilai IRR dari perhitungan metode Newton Raphson ini tak terlalu terpaut jauh dengan nilai IRR dari software pembanding baik Excell maupun Matlab, yaitu selisih sekitar 0,07 %, sehingga dapat dikatakan selisih sebesar 0,07% tersebut tidaklah terlalu signifikan.

5. Aplikasi Metode Numerik Newton Raphson Untuk Menghiung Tingkat Pengembalian Yang Disyaratkan Investor Dalam Investasi Obligasi: Dalam proses penilaian obligasi, diperlukan 3 variabel penting , yaitu: (1) jumlah dan waktu dari arus kas yang akan diterima investor, (2) tanggal jatuh tempo obligasi, (3) tingkat pengembalian yang diinginkan investor. Bila perusahaan menggunakan obligasi sebagai sarana untuk memperoleh dana dari hutang jangka panjang, maka biaya hutang adalah sama dengan K d atau Yield to Maturity (YTM) yang tidak lain merupakan tingkat keuntungan yang diharapkan oleh pemegang atau pembeli obligasi (holder). Adapun variabel I t untuk menggambarkan pembayaran bunga (berdasar kupon rate) pada tahun t, M adalah harga jual pada nilai pasar, saat nilai jatuh tempo obligasi, dan k ataupun

K d merupakan tingkat pengembalian minimum pemegang obligasi, kita dapat menyatakan nilai obligasi yang jatuh tempo pada tahun ke-n pada persamaan matematik di bawah ini: n

Vb = ∑ t =1

It M + (1 + k ) t (1 + k d ) N = Harga Obligasi.

Biasanya untuk mengukur tingkat pengembalian yang diharapkan oleh pemegang obligasi (k), kita akan mencari tingkat diskon yang menyamakan nilai sekarang dari arus kas masa datang (bunga dan nilai jatuh tempo) dengan harga pasar obligasi pada saat sekarang. Tingkat pengembalian yang diharapkan dari sebuah obligasi juga merupakan tingkat pengembalian yang akan diperoleh investor bilamana obligasi dipegang hingga jatuh tempo atau tingkat penghasilan saat jatuh tempo. Terdapat hubungan yang mengatakan bahwa nilai obligasi berbanding terbalik dengan perubahan tingkat pengembalian yang diinginkan investor (tingkat suku bunga saat ini). Atau dengan kata lain, ketika tingkat suku bunga meningkat (menurun), maka nilai obligasi menurun (meningkat). Sebagai bahan ilustrasi, misalkan suatu Obligasi memiliki nilai pari 1000$, dengan pembayaran bunga tahunan 120$ yang menunjukkan tingkat suku bunga obligasi yang berlaku sekarang adalah kupon sebesar 12 persen (12% x 1000$ = 120$). Dengan berasumsi bahwa jangka waktu jatuh tempo adalah lima tahun, dan nilai obligasi itu seharga 1000$ atau sama dengan nilai parinya, maka akan kita cari tingkat pengembalian yang diharapkan investor, dengan pendekatan Numerik Newton Raphson. Mencari tingkat pengembalian yang diinginkan (k%): N

Vb = ∑ t =1

120 120 1000 =∑ + = 1.000 (1 + k ) (1 + k ) 5 (1 + k ) t

Vb = 1000 =

,

Vb = 1000 =

120 120 120 120 120 1000 } + + + +{ + (1 + k ) (1 + k ) 2 (1 + k ) 3 (1 + k ) 4 (1 + k ) 5 (1 + k ) 5

120 120 120 120 1.120 } + + + +{ (1 + k ) (1 + k ) 2 (1 + k ) 3 (1 + k ) 4 (1 + k ) 5 .

Dari Excell diperoleh k=12%.

Dan dari software Matlab diperoleh nilai k= 0.1200 atau 12% Adapun persamaan matematik dalam bentuk polinomial sebagai berikut: 4 3 2 25k 5 + 122k + 235k 3 + 220k 2 + 95k − 15 = 0 . Dan f’(k)= 125k + 488k + 705k + 440k + 95 Untuk pengujian yang menggunakan nilai awal f(0), maka diperoleh nilai = -15. Dan f(1) = 25+122+235+220+9515=682. Dengan demikian nilai dugaan k berada diantara k=0 dan k=1. Selanjutnya, kita lakukan perhitungan iterasi 4

f (x )

f (0)

(−15)

15

i pertama: xi +1 = xi − f ' ( x ) = 0 − f ' (0) = 0 − 95 = 95 = 0,15789 i Kemudian dilakukan pengujian untuk mengetahui seberapa jauhnya terhadap f(x)=0 f(0,15789)= 0,0243+0,07564+0,793+5,48438+14,99955 -15 = 6,377225 dan hasil ini semakin mendekat menuju f(x)=0, bila dibandingkan dengan f(1)=682. Dengan demikian dugaan akar di antara x=0 dan x=0,15789. Demikian kita teruskan pada iterasi berikutnya, sedemikian hingga iterasi ke 2, yang akhirnya diperoleh akar optimal dengan hasil yang

f (x )

f ( 0,15789 )

( 6 ,37725 )

i konvergen, yaitu: x i +1 = x i − f ' ( x i ) = 0,15789 − f ' ( 0,15789 ) = 0,15789 − (170 ,77 ) = 0,12089 = 0,1209 . Selanjutnya diadakan pengujian pdf (0,1209), yaitu: 5 4 3 2 F(0,1209)= 25(0,1209) + 122(0,1209) + 235(0,1209) + 220(0,1209) + 95(0,1209) − 15 F(0,1209)=0,000645 + 0,026 + 6,40608 + 3,215 + 11,48 - 15 = 0,127725. Dengan demikian tampak bahwa f(0,1209)=0,127725 semakin mendekati f(x)=0, dibandingkan interasi sebelumnya yaitu f(0,15789) = 6,37725. Dengan demikian nilai k inilah, yaitu k = 0,1209 atau k = 12,09%, yang diperoleh pada perhitungan iterasi ke-2 ini cukup mendekati f(x)=0 dan ini sudah merupakan nilai pendekatan untuk dugaan nilai k yang dicari, dengan menggunakan metode Newton Raphson di atas.

Kasus Discount Bond

181


KNSI08-032

Seperti pada ilustrasi di atas, namun nilai obligasi turun menjadi 899,24, maka tingkat pengembalian yang diharapkan investor akan kita cari dengan pendekatan Numerik Newton Raphson sebagai berikut yaitu mencari tingkat pengembalian yang diinginkan (k%): N

Vb = ∑ t =1

120 120 1000 =∑ + = 899,24. = (1 + k ) (1 + k ) 5 (1 + k ) t

Vb = 899 =

899.

Vb = 899 =

120 120 120 120 120 1000 } + + + +{ + (1 + k ) (1 + k ) 2 (1 + k ) 3 (1 + k ) 4 (1 + k ) 5 (1 + k ) 5

1.120 120 120 120 120 + + + +{ } (1 + k ) (1 + k ) 2 (1 + k ) 3 (1 + k ) 4 (1 + k ) 5

Dari Excell diperoleh k = 15%. Dan dengan menggunakan software Matlab diperoleh k = 0,1501. 5 4 3 2 Persamaan polinomial yaitu f(k) = 899 k + 4375k + 8510 k + 7790 k + 3295k − 701 = 0 . Adapun f’(k) = 4.495k + 17.500k + 25.350k + 15.580k + 3295 . Untuk pengujian yang menggunakan nilai awal f(0), maka diperoleh nilai = -701. Dan f(1) = 899 + 4375 + 8510 + 7790 + 3295 – 701 = 24.159. Dengan demikian nilai dugaan k berada diantara k=0 dan k=1, dengan demikian kita lakukan perhitungan iterasi pertama 4

f (x )

f (0)

3

( −701)

2

701

i : xi +1 = xi − f ' ( xi ) = 0 − f ' (0) = 0 − 3295 = 3295 = 0,212747. Kemudian dilakukan pengujian untuk mengetahui seberapa jauhnya terhadap f(x)=0 f(0,212747) = 434,88 dan hasil ini semakin mendekat menuju f(x)=0. Dengan demikian dugaan akar di antara x=0 dan x=0,212747. Demikian kita teruskan pada iterasi berikutnya hingga iterasi ke 5, sedemikian hingga diperoleh hasil dugaan akar yang konvergent dengan perhitungan sebagai berikut:

f ( xi ) f (0,151507 ) 0,0,000080636 = 0,151507 − = 0,151507 − . f ' ( xi ) f ' (0,151507 ) (6305)

xi +1 = xi −

xi +1 = 0,151507 − 0,0000000127 9 = 0,1515065689 = 15,15065689 % Kemudian kita lakukan pengujian terhadap f(x*) = f(15,15065689%) untuk menentukan seberapa jauhkah terhadap f(x)=0. Dari hasil perhitungan untuk f(15,15065689%) diperoleh nilai sebesar 0,000000000001933 << 1. Nilai ini sudah mendekati nol dan dengan demikian dapatlah kita mengambil kesimpulan bahwa dugaan akar atau nilai k yang dimaksud adalah k=15,15 % . Kasus Premium Bond Seperti pada ilustrasi di atas, namun nilai obligasi mengalami kenaikan menjadi 1.116$ maka tingkat pengembalian yang diharapkan investor akan kita cari dengan pendekatan Numerik Newton Raphson dengan mencari tingkat pengembalian yang diinginkan (k%): N

120 120 1000 120 120 120 120 120 1000 } Vb = 1.116 = + + + +{ + =∑ + = 1.116. (1 + k ) (1 + k ) 2 (1 + k ) 3 (1 + k ) 4 (1 + k ) 5 (1 + k ) 5 (1 + k ) (1 + k ) 5 (1 + k ) t 120 120 120 120 1.120 Vb = 1.116 = + + + +{ } (1 + k ) (1 + k ) 2 (1 + k ) 3 (1 + k ) 4 (1 + k ) 5 . Dari Excell diperoleh k = 9,0165 % atau 0,090165.

Vb = ∑ t =1

Dari Matlab diperoleh k = 9,02% atau k = 0,0902. Diperoleh persamaan bersuku polinomial sebagai berikut: f(k) = 1.116 k 5 + 5.460 k 4 + 10.680 k 3 + 9.960 k 2 + 4.380 k − 484 = 0 . 4 3 2 Adapun f’(k) = 5.580k + 21.840 k + 32.040 k + 19.920k + 4.380 = 0 . Untuk pengujian yang menggunakan nilai awal f(0), maka diperoleh nilai = -484. Dan f(1) = 1.116 + 5.460 + 10.680 + 9.960 + 4.380 – 484 = 31.112. Dengan demikian nilai dugaan k berada diantara k=0 dan k=1, dengan demikian kita lakukan perhitungan iterasi pertama :

xi +1 = xi −

f ( xi ) f (0) ( −484) 484 = 0− = 0− = = 0,1105. f ' ( xi ) f ' (0) 4380 4.380

Kemudian dilakukan pengujian untuk mengetahui seberapa jauhnya terhadap f(x)=0 f(0,1105) = 1.116 (0,1105) 5 + 5.460 (0,1105) 4 + 10.680(0,1105) 3 + 9.960 (0,1105) 2 + 4.380 (0,1105) − 484 = 136,8463 dan hasil ini semakin mendekat menuju f(x)=0 bila dibandingkan dengan f(1) = 31.112 atau dengan kata lain menunjukkan hasil yang konvergen. Dengan demikian dugaan akar di antara x=0 dan x=0,1105. Demikian kita teruskan pada iterasi – iterasi yang berikutnya, sedemikian hingga diperoleh nilai akar optimal yang konvergen, dengan perhitungan sebagai berikut: x i +1 = x i −

f ( xi ) 0,008533451 f (0,090152 ) = 0,090152 − = 0,090152 − = 0,090151 (6.453) f ' ( xi ) f ' (0,090152 )

Kemudian kita lakukan test terhadap f(0,090151) seberapa jauh terhadap f(x)=0, maka diperoleh hasil f(0,090151) = 0,000000023. Hasil ini sudah cukup menunjukkan bahwa langkah perhitungan iterasi sudah semakin mendekati nol. Maka dengan demikian dapat kita katakan bahwa nilai k yang dianggap cukup presisi hingga akhir perhitungan ini. Apabila kita ingin lanjutkan pada iterasi berikutnya misalkan, maka hasil yang diperoleh terdapat perbedaan yang tidak begitu signifikant atau tidak begitu berpengaruh, berikut ini perhitungan langkah iterasi: xi +1 = xi −

f ( xi ) f (0,090151) 0,000000023 = 0,090151 − = 0,090151 − = 0,09015099.... f ' ( xi ) f ' (0,090151) (6.453)

Jadi kita simpulkan bahwa menurut perhitungan dengan menggunakan metode Newton Raphson ini dapatlah kita anggap bahwa nilai k yang optimum mendekati f(k)=0, yaitu k = 0.09015099 atau k = 9,015099 %. 182


KNSI08-032

6. Kesimpulan Akhir daripada tulisan ini dapat kita simpulkan bahwa Aplikasi Matematika Numerik, khususnya Metode Newton Raphson dapat diterima sebagai salah satu cara alternatif untuk menyelesaikan persoalan dalam hal pencarian nilai Internal Rate Return (IRR) dan nilai Yield to Maturity dalam kasus Obligasi Diskonto dan Premium, secara tepat (eksak) maupun taksiran atau dengan kata lain. Hipotesa yang diajukan penulis dapat diterima, setelah melalui proses pembuktian dan perhitungan matematis. Dengan demikian hasil-hasil yang diperoleh dari pencarian taksiran nilai IRR atau tingkat pengembalian yang disyaratkan investor (k) dengan menggunakan pendekatan Matematika Numerik - Metode Newton Raphson ini tak jauh berbeda atau selisihnya tidak signifikan apabila dibandingkan dengan cara cara alternatif lain yang sudah dikenal sebelumnya, misalkan Pemakaian Fungsi IRR(range cell, guess) dalam Excell, Metode Interpolasi, serta Penggunaan toolbox (fasilitas) roots dalam software Matlab. Hal ini dapat dilihat pada Tabel 3. Metode Newton Raphson ini memungkinkan dipergunakan bilamana tak tersedia Tabel Keuangan Keterbatasan Penelitian Adapun keterbatasan yang harus diakui pada pendekatan Matematika Numerik-Newton Raphson ini antara lain harus mengubah bentuk persamaan deret Net Present Value (NPV) maupun persamaan Obligasi ini dalam bentuk Persamaan Polinomial bersuku banyak dan dilakukan perhitungan iterasi beberapa kali terhadapnya agar menghasilkan ”dugaan nilai ” x atau k yang konvegent atau error minimum sehingga memungkinkan diperoleh taksiran nilai IRR atau tingkat pengembalian yang disyaratkan investor (k) yang semakin presisi dengan selisih yang tidak signifikan apabila dibandingkan dengan software standar atau cara lain sebagai pembandingnya. Keterbatasan lainnya yaitu dengan umur project atau apabila umur jatuh tempo obligasi yang semakin tinggi, misalkan di atas 5 tahun, semakin panjang bentuk suku polinomialnya, sehingga akan terbentuk persamaan polinomial berderajat atau pangkat tertinggi sesuai dengan umur project atau umur jatuh tempo obligasi tersebut. Akibatnya semakin banyak kita melakukan perhitungan matematis (iterasi) untuk memperoleh taksiran nilai IRR atau nilai k yang presisi dan semakin rumit persamaan matematis yang terlibat di dalamnya. Untuk mengatasi atau mempermudah hal tersebut, maka penulis telah menyusun algoritma yaitu konsep berfikir metode Newton Raphson ini dalam bentuk listing program dalam bahasa Delphi untuk sistem Operasi Windows dan bahasa Fortran dalam sistem operasi DOS seperti terlihat pada bagian lampiran DAFTAR PUSTAKA [1] Dewi Astuti (2004). Manajemen Keuangan Perusahaan. Ghalia Indonesia Press, Jakarta. [2] Djakman Chaerul (1999). Dasar-Dasar Manajemen Keuangan”, Salemba Empat, FE-UI, Jakarta. [3] Mowen,Hansen (2003). Management Accounting. South Western-Thompson Learning, Ohio, USA [4] Sartono (2005). Manajemen Keuangan dan Portofolio. Andi Offset, Yogyakarta. [5] Trihatmodjo Bambang (2002). Metode Numerik. Beta Offset Press, Yogyakarta. [6] Http://www.google.co.id/wikipedia/newton raphson/htmlcgsio, Last Access June 12th, 2008 [7] Http://www.google.co.id/wikipedia/internal rate return/htmlcgsio, Last Access June 15th, 2008 Pilih secara acak Nilai Awal Hitung dan

Apakah kecil ?

x

n

= x

n +1

Gambar 1. Prosedur Algoritma Metode Newton Raphson

183

Selesai


KNSI08-032

Gambar 2. Logika Pemikiran Metode Newton-Raphson Digambarkan Secara Grafis Tabel 1. Tabulasi Hasil Penelitian Pencarian Dugaan Nilai IRR Metoda Newton Hasil Hasil Paket Umur Raphson Software Program Project Matlab Excell ( tahun ) 100% 1,00 Tak dilakukan 2 52 % 0,519 Tak dilakukan 2 20% 0,2 20% 3 18 % 0,1836 18,359% 3 48% 0,4813 48,13328% 4 28,3537 % 0,2835 28,2825% 5 Tabel 2. Tabulasi Hasil Penelitian Pencarian Dugaan Nilai K ( Tingkat Pengembalian Yang Diharapkan Investor Obligasi ) Kasus Obligasi Hasil Paket Program Hasil Software Metoda Newton Raphson Excell Matlab 12% 12% 12,09 % Normal 15% 15,01 % 15,15% Diskonto Bond 9,0165 % 9,02 % 9,015099 %. Premium Bond Tabel 3. Listing Program Metode Newton Raphson Dalam Bahasa Pemrograman Fortran C

C 30 C C

1. 2. 25

PROGRAM METODE NEWTON-RAPHSON F(X)=......................................................... FX(X) = TURUNAN X OPEN (5,FILE=’NEWTON.HAS’) I=0 X1=1 X2=X1+1 I=I+1 FX=(F(X2)-F(X1))/(X2-X1) XT=X1-F(X1)/FX(X1) I=I+1 WRITE(5,2)I,X1,XT,F(X1),F(XT) X1=XT IF ABS(F(XT)).LT.0.0001) GOTO 25 GOTO 30 FORMAT(I2,6F10.5) FORMAT(2F5.2) STOP END

Iterasi ke 1 2 3

Tabel 4. (Contoh Kasus 3 Tahun, Cash Flow Tiap Tahun Sama) Nilai x*(dugaan akar ) atau IRR Nilai f (x*) 0,25 1,9 0,202351 0,0428 0,2 0 ( stop )

Iterasi ke 1 2 3 4

Tabel 5. (Contoh Kasus 3 Tahun, Cash Flow Tiap Tahun Tak Sama) Nilai x*(dugaan akar ) atau IRR Nilai f (x*) 0,2368 3,44 0,18637 0,16946 −4 0,1836 0,0006= 6.10 0,18359013 0,0000352 ( Stop ) 184


KNSI08-032

Iterasi ke 1 2 3 4

Tabel 6. (Contoh Kasus 4 Tahun) Nilai x*(dugaan akar ) atau IRR 0,681 0,524669 0,4838440 0,4813328

Nilai f (x*) 133,885 23,07 1,275323 0,01371 ( Stop )

Iterasi ke 1 2 3 4 5

Tabel 7. (Contoh Kasus 5 Tahun) Nilai x*(dugaan akar ) atau IRR 0,595 atau 0,6 0,4035 0,307 0,2841 0,28285

Nilai f (x*) 439 108,132 12,3595 1,6647 -0,49 ( Stop )

Iterasi ke 1 2

Tabel 8. (Contoh Kasus Obligasi) Nilai x* (dugaan akar ) atau YTM 0,15789 0,1209

Nilai f (x*) 6,377225 0,127725 ( Stop )

Iterasi ke 1 2 3 4 5

Tabel 9. (Contoh Kasus Obligasi Jenis Diskonto) Nilai x* (dugaan akar ) atau YTM Nilai f (x*) 0,212747 434,88 0,157995 41,4288 0,151588 0,51077 0,151507 0,000080636 0,1515065689 0,000000000001933 ( Stop )

Iterasi ke 1 2 3 4

Tabel 10. (Contoh Kasus Obligasi Jenis Premium) Nilai x* (dugaan akar ) atau YTM Nilai f (x*) 0,1105 136,8463 0,090958 5,216335446 0,090152 0,008533451 0,0901509 0,000000023

185

Konferensi Nasional Sistem dan Informatika 2008; Bali, November 15, 2008

Recommend Documents