KONDISI MINIMAL BAGI KESETIMBANGAN DUOPOLI COURNOT DAN STACKELBERG
Oleh: NITA ARIANI G54102019
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
ABSTRAK NITA ARIANI. Kondisi Minimal Bagi Kesetimbangan Duopoli Cournot dan Stackelberg. Dibimbing oleh RETNO BUDIARTI dan SISWANDI.
Dalam model duopoli, dimana dalam pasar terdapat dua perusahaan yang saling bersaing, setiap perusahaan bertujuan memperoleh imbalan yang maksimum. Untuk mewujudkan tujuan tersebut diperlukan strategi. Kuantitas merupakan salah satu strategi perusahaan Strategi tersebut dapat dimainkan secara simultan atau sekuensial. Permainan simultan terjadi jika para pemain memutuskan bergerak pada saat yang sama, sedangkan permainan sekuensial terjadi jika para pemain memutuskan bergerak pada waktu yang berbeda. Permainan simultan dengan kuantitas sebagai strategi yang dipilih akan menghasilkan model duopoli Cournot, sedangkan permainan sekuensial dengan kuantitas sebagai strategi yang dipilih akan menghasilkan model duopoli Stackelberg. Karya tulis ini membahas bagaimana suatu kondisi minimal pada harga pasar dan fungsi biaya perusahaan akan menyebabkan perusahaan lebih memilih model duopoli Cournot atau Stackelberg, sehingga imbalan yang didapatnya maksimum. Harga pasar yang log konkaf akan menimbulkan model duopoli Cournot. Pada kasus ini pilihan koresponden tanggapan terbaiknya merupakan fungsi turun. Jika harga pasarnya log konveks dan tak ada biaya produksi, pilihan koresponden tanggapan terbaiknya merupakan fungsi naik dan akan menimbulkan model duopoli Stackelberg.
KONDISI MINIMAL BAGI KESETIMBANGAN DUOPOLI COURNOT DAN STACKELBERG
Skripsi Sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Oleh : NITA ARIANI G54102019
DEPARTEMEN MATEMATIKA FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT PERTANIAN BOGOR BOGOR 2007
Judul : Kondisi Minimal Bagi Kesetimbangan Duopoli Cournot dan Stackelberg Nama : Nita Ariani NRP : G54102019
Menyetujui:
Pembimbing I,
Pembimbing II,
Ir. Retno Budiarti, MS NIP 131842409
Drs. Siswandi, M.Si NIP 131957320
Mengetahui:
Dekan Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Pertanian Bogor
Prof. Dr. Ir. Yonny Koesmaryono, MS NIP 131473999
Tanggal Lulus :
KATA PENGANTAR Puji syukur penulis haturkan kehadirat Allah SWT yang telah memberi segala limpahan rahmat sehingga penulis dapat menyelesaikan penulisan karya ilmiah ini. Shalawat serta salam tercurah kepada junjungan kita, Nabi Muhamad SAW. Skripsi yang berjudul Kondisi Minimal Bagi Kesetimbangan Duopoli Cournot dan Stackelberg ini merupakan salah satu syarat untuk mendapatkan gelar Sarjana Sains. Penyusunan skripsi ini tentunya tidak akan selesai dengan baik tanpa adanya dorongan dan bantuan yang diberikan oleh berbagai pihak. Penulis mengucapkan terima kasih yang tak terhingga kepada Ibu Ir. Retno Budiarti, MS dan Bapak Drs. Siswandi, M.Si selaku pembimbing yang dengan penuh kesabaran memberikan bimbingan kepada penulis dan Bapak Drs. Effendi Syahril, Grad. Dipl selaku penguji yang telah memberikan saran dan kritik. Tak lupa penulis ucapkan terima kasih kepada: 1. Kedua orantua tercinta dan adik tersayang, Ari, untuk semua doa dan dukungannya selama ini. 2. Rabah Amir, terima kasih atas bantuan referensinya. Bapak Doni, terima kasih untuk kiriman jurnalnya. 3. Dyana. Terima kasih untuk persahabatan yang masih terjalin indah hingga kini. Ocha, terima kasih untuk semua saran yang telah diberikan. 4. Lisna, Hani, Kiki, Leni, Nia, dan Venti. Terima kasih telah membuat masa asrama menjadi terasa menyenangkan. 5. Ikhe, Wenny, Mega, Dina, Tami, Desi, Rany, Tika dan kawan-kawan di Matematika 39. Semoga keceriaan dan persahabatan ini tetap terjaga. Desi, terima kasih untuk kesediaannya mengurus konsumsi seminar. Dina, terima kasih atas semua bantuannya selama ini, terutama saat menjelang sidang. Ikhe, terima kasih selalu ada disaat-saat genting. 6. Vina, Indah, Uli, terima kasih untuk kesediaannya menjadi pembahas. 7. Ibu Susi, Ibu Ade serta seluruh staf Departemen matematika. Terima kasih atas semua bantuannya selama ini. Serta semua pihak yang telah membantu sampai selesainya skripsi ini. Bogor, Januari 2007 Nita Ariani
RIWAYAT HIDUP Penulis lahir di Bogor, Jawa Barat pada tanggal 31 Juli 1984 sebagai anak pertama dari dua bersaudara, anak dari pasangan Sarwono dan Rochana Partiningsih yang beralamat di Jalan Veteran III Rt 06/02 Banjarsari Kecamatan Ciawi Kabupaten Bogor. Tahun 2002, penulis lulus dari SMUN I Ciawi, Bogor dan pada tahun yang sama lulus seleksi masuk IPB melalui jalur Undangan Seleksi Masuk IPB. Penulis memilih Program Studi Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam. Selama mengikuti kegiatan perkuliahan, penulis pernah aktif menjadi anggota himpunan profesi matematika yang dikenal dengan nama GUMATIKA dalam Departemen Kesekretariatan masa kepengurusan 2003/2004.
DAFTAR ISI Halaman I
PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang .......................................................................................................... 1.2 Tujuan ....................................................................................................................... 1.3 Sistematika Penulisan ...............................................................................................
1 1 1
II LANDASAN TEORI 2.1 Teori Permainan ........................................................................................................ 2.2 Model Cournot dan Stackelberg ................................................................................ 2.3 Fungsi Konveks dan Fungsi Konkaf ......................................................................... 2.4 Interior Solution ..................................................................................................... 2.5 Fungsi Naik dan Fungsi Turun .............................................................................. 2.6 Kekompakan .......................................................................................................... 2.7 Titik Tetap Tarski ..................................................................................................
1 3 3 3 4 4 5
III PEMODELAN 3.1 Kesetimbangan Cournot-Nash dan Stackelberg .......................................................
6
IV PEMBAHASAN 4.1 Asumsi ...................................................................................................................... 4.2 Permainan Supermodular ......................................................................................... 4.3 Permainan Duopoli Cournot .................................................................................... 4.4 Permainan Duopoli Stackelberg ..............................................................................
8 8 11 13
V SIMPULAN .....................................................................................................................
15
VI DAFTAR PUSTAKA ......................................................................................................
15
1
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang Dalam teori ekonomi, setiap perusahaan diasumsikan bertujuan memperoleh imbalan yang maksimum. Imbalan yang didapat bergantung pada strategi yang diambil perusahaan. Kuantitas merupakan salah satu strategi perusahaan. Dalam model duopoli dimana dalam pasar terdapat dua perusahaan yang saling bersaing, setiap perusahaan dapat memilih strategi secara simultan atau sekuensial. Model duopoli dengan kuantitas sebagai strategi yang dipilih disebut duopoli kuantitas ( Amir dan Grilo 1999). Hamilton dan Slutsky (1990) mengkonstruksi sebuah permainan yang diperluas dengan model endogenous timing pada duopoli. Endogenous timing adalah suatu permainan dimana setiap pemainnya memiliki dua periode untuk memilih strategi. Permainan yang diperluas tersebut dikonstruksi dari model duopoli sederhana, dimana sebelum permainan berlangsung perusahaan memutuskan di periode ke berapakah memilih strategi. Model duopoli sederhana kemudian dimainkan menurut keputusan waktu tersebut, secara simultan atau sekuensial. Jika para pemain memutuskan bergerak pada saat yang sama, terjadi permainan simultan. Tetapi jika para pemain memutuskan bergerak pada waktu yang berbeda, terjadi permainan sekuensial. Duopoli Cournot dan Stackelberg masingmasing merupakan aplikasi permainan simultan dan sekuensial dengan kuantitas sebagai strategi untuk memaksimumkan imbalan. Misalkan dalam pasar terdapat dua perusahaan dengan produk yang dihasilkan adalah air kemasan. Untuk memaksimumkan
imbalannya perusahaan dapat memutuskan berproduksi pada periode 1 atau periode 2. Jika kedua perusahaan berproduksi pada periode yang sama maka terjadi model duopoli Cournot, sedangkan jika kedua perusahaan berproduksi pada periode yang berbeda terjadi model duopoli Stackelberg. Dalam karya ilmiah ini akan dibahas suatu kondisi minimal yang menyebabkan perusahaan lebih memilih model duopoli Cournot atau duopoli Stackelberg agar imbalan yang didapat maksimum. Karya ilmiah ini merupakan rekonstruksi dari tulisan Rabah Amir dan Isabel Grilo (1999) yang berjudul Stackelberg versus Cournot equilibrium. 1.2 Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan karya ilmiah ini adalah menunjukkan bahwa dengan memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar dan fungsi biaya, perusahaan akan lebih memilih model duopoli Cournot atau duopoli Stackelberg untuk memaksimumkan imbalannya. 1.3 Sistematika Penulisan Pada bab pertama dijelaskan latar belakang dan tujuan dari penulisan karya ilmiah ini. Bab dua berisi landasan teori yang menjadi konsep dasar dalam penyusunan pembahasan. Pada bab tiga diberikan pemodelan kesetimbangan Cournot dan Stackelberg yang akan digunakan dalam pembahasan. Bab empat berisi tentang kondisi minimal yang akan menyebabkan terjadinya model duopoli Cournot dan Stackelberg. Kemudian bab lima berisi simpulan dari karya ilmiah ini.
II. LANDASAN TEORI Pada bab ini akan diberikan teori yang menjadi landasan pengerjaan karya ilmiah ini. Berikut ini adalah definisi-definisi mengenai istilah ekonomi yang digunakan. 2.1 Teori Permainan Secara umum, suatu permainan terdiri atas himpunan pemain, himpunan strategi,
dan imbalan yang diperoleh setiap pemain dari strategi yang dipilih. Definisi 1 [Himpunan Strategi] Himpunan strategi pemain-i Ai adalah himpunan dari pilihan strategi ai yang dapat diambil oleh pemain-i dalam suatu permainan. Jadi Ai = {a i } . (Rasmusen 1990)
2
Definisi 2 [ Pemain] Pemain adalah individu atau kelompok yang membuat keputusan dari suatu himpunan strategi. Dalam suatu permainan, diasumsikan setiap pemain mempunyai tujuan untuk memaksimumkan imbalan yang didapat. (Rasmusen 1990) Definisi 3 [Kombinasi Strategi] Kombinasi strategi A adalah himpunan terurut yang terdiri dari satu strategi untuk masing-masing n pemain dalam permainan. Jadi A = {a1 , … , a n } . Untuk model duopoli, kombinasi strateginya adalah A = {a1 , a 2 } . (Rasmusen 1990) Definisi 4 [Fungsi Imbalan] Fungsi imbalan pemain-i ( π i ) adalah hasil yang diterima oleh pemain-i dari kombinasi strategi yang telah diambil. Dalam model duopoli, fungsi imbalan pemain-i dapat dipetakan dengan π i (a1 , a 2 ) : [0, ∞ )× [0, ∞ ) → R . (Rasmusen 1990) Definisi 5 [Bentuk Ekstensif] Bentuk ekstensif permainan menjabarkan: 1) Para pemain 2) a) Kapan tiap pemain berproduksi. b) Strategi yang diambil pemain pada tiap kesempatan dia boleh berproduksi. c) Apa yang diketahui tiap pemain pada kesempatan dia boleh berproduksi. 3) Imbalan yang diterima tiap pemain untuk setiap kombinasi strategi yang dapat dipilih para pemain. (Gibbons 1992) Bentuk ekstensif dapat digambarkan dalam bentuk pohon permainan. Berikut ini adalah contoh uraian permainan dalam bentuk ekstensif. 1. Pemain-1 memilih strategi a1 dari
{
himpunan strategi A1 = Pemain-2 mengamati a1
a1 , a1'
2.
memilih a 2 dari A2 = 3.
{
a 2 , a 2'
}.
kemudian
}.
Imbalannya adalah π 1 (a1 , a 2 ) dan π 2 (a1 , a 2 ) yang akan ditunjukkan dalam pohon permainan dibawah ini.
1
a1
a1' 2
2
a2 π 1 (a1 , a 2 )
π 2 (a1 , a 2 )
a2
a 2'
( ) (a , a )
(
π 1 a 1 , a 2'
π 1 a1' , a 2 ,
π2
π 2 a1' , a 2
1
' 2
(
a 2'
)
π (a , a ) '
'
) π (a ,a ) 1
2
1
2
'
'
1
2
Gambar 1 Pohon permainan ini dimulai dari titik simpul keputusan untuk pemain-1 dimana pemain-1 dapat memilih strategi a1 atau a1' . Jika pemain-1 memilih a1 , maka dicapai titik simpul keputusan untuk pemain-2 dimana dia memilih strategi a 2 atau a 2' . Demikian pula jika pemain-1 memilih a1' , maka dicapai titik simpul keputusan untuk pemain-2 dimana dia dapat memilih strategi a 2 atau a 2' . Berdasarkan pilihan strategi dari masing-masing pemain, dicapai titik simpul akhir yang menunjukkan imbalan yang diterima pemain. Misal imbalan yang diterima pemain diperlihatkan seperti pada Gambar 1. Baris pertama menunjukkan imbalan untuk pemain-1, sedangkan baris kedua menunjukkan imbalan untuk pemain2. Jika pemain-1 memilih a1 dan pemain-2 memilih a 2 , maka imbalan yang diterima pemain-1 adalah π 1 (a1 , a 2 ) dan imbalan untuk pemain-2 adalah π 2 (a1 , a 2 ) , dan seterusnya. Definisi 6 [Subgame] Subgame adalah bagian dari permainan yang dimulai dari suatu titik simpul pada permainan yang berbentuk ekstensif. (Rasmusen 1990) Definisi 7 [Kesetimbangan Nash] Kesetimbangan Nash adalah kombinasi strategi A* dimana tidak ada dorongan bagi
setiap pemain untuk melakukan perubahan strategi apabila pemain-pemain lain tidak melakukan perubahan strategi, yang dapat dirumuskan dengan:
3
∀i,
(
)
π i a1* , … , a i*−1 , a i* , a i*+1 , … , a n* ≥ π i a1* , … , a i*−1 , a i , a i*+1 , … , a n*
(
2.3 Fungsi konveks dan Fungsi Konkaf
)
untuk semua kemungkinan strategi ai ∈ Ai . Untuk model duopoli, kesetimbangan Nash dapat dirumuskan dengan: π 1 a1* , a 2* ≥ π 1 a1 , a 2*
( ) ( ) π (a , a ) ≥ π (a , a ) 2
* 1
* 2
2
* 1
2
(Rasmusen 1990)
Definisi 11 [Fungsi Konveks] Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada selang I. Fungsi f dikatakan konveks di I jika: f (λx1 + (1 − λ )x 2 ) ≤ λf (x1 ) + (1 − λ ) f (x 2 ) , untuk setiap x1 , x 2 ∈ I dan untuk setiap λ dengan 0 ≤ λ ≤ 1 . (Peressini, Sullivan dan Uhl Jr 1988)
2.2 Model Cournot dan Stackelberg
Definisi 12 [Fungsi Konkaf] Misalkan f adalah fungsi bernilai real yang terdefinisi pada selang I. Fungsi f dikatakan konkaf di I jika: f (λx1 + (1 − λ )x 2 ) ≥ λf (x1 ) + (1 − λ ) f (x 2 ) , untuk setiap x1 , x 2 ∈ I dan untuk setiap λ dengan 0 ≤ λ ≤ 1 . (Peressini, Sullivan dan Uhl Jr 1988)
Definisi 9 [Model Cournot] Model Cournot adalah model permainan simultan, setiap perusahaan memilih kuantitas sebagai strategi untuk memaksimumkan imbalan, barang yang diproduksi homogen, dan fungsi imbalan masing-masing pemain diketahui oleh semua pemain. (Gibbons 1992)
Definisi 13 [Log Konkaf dan Log Konveks] 1. Fungsi F : R + → R adalah log konkaf jika fungsi log F adalah konkaf. 2. Fungsi F : R + → R adalah log konveks jika fungsi log F adalah konveks. (Amir 1996)
Definisi 10 [Model Stackelberg] Model Stackelberg adalah sebuah model dinamis, yaitu pemain (leader) bergerak lebih dulu, kemudian diikuti oleh pemain lainnya (follower). Secara umum, langkah pada permainan ini adalah: 1. Pemain-1 (leader) memilih strategi a1 ∈ A1 . 2. Pemain-2 (follower) mengamati a1
2.4 Interior Solution
Definisi 8 [Kesetimbangan Nash Subgame-Perfect ] Suatu kesetimbangan Nash merupakan subgame-perfect jika strategi para pemain merupakan kesetimbangan Nash di setiap subgame. (Gibbons 1992)
3.
dan menentukan strategi a 2 ∈ A2 . Fungsi imbalan masing-masing pemain adalah π 1 (a1 , a 2 ) dan π 2 (a1 , a2 ) . (Gibbons 1992)
Duopoli Cournot merupakan aplikasi permainan simultan sedangkan duopoli Stackelberg merupakan aplikasi permainan sekuensial. Berikut adalah definisi, teorema dan lemma yang digunakan untuk pembuktian lemma dan teorema dalam pembahasan.
Definisi 14 [Daerah Fisibel] f , g1 , … , g m adalah fungsi Misalkan bernilai real yang didefinisikan pada C ⊂ R n . Misalkan program nonlinear: ⎧ Minimumkan f (x ) terhadap (P )⎪⎨ g1 (x ) ≤ 0, g 2 (x) ≤ 0, … , g m (x) ≤ 0, ⎪ dimana x ∈ C ⊂ R n ⎩
Fungsi f disebut fungsi objektif dari (P) dan ketaksamaan g1 (x ) ≤ 0, … , g m (x ) ≤ 0 disebut kendala untuk (P). Titik x ∈ C yang memenuhi semua kendala dari program (P) disebut titik fisibel untuk (P), dan himpunan semua titik fisibel untuk (P) disebut daerah fisibel untuk (P). (Peressini, Sullivan dan Uhl Jr 1988) Definisi 15 [Interior Solution] Interior solution adalah solusi dari suatu masalah optimisasi yang terjadi didalam daerah fisibel. (Chiang dan Wainwright 2005)
4
2.5 Fungsi Naik dan Fungsi Turun Definisi 16 [Fungsi Naik dan Fungsi Turun] a) Fungsi f disebut naik pada selang I jika f (x1 ) < f (x 2 ) bilamana x1 < x 2 pada I. b) Fungsi f disebut turun pada selang I jika f (x1 ) > f (x 2 ) bilamana x1 < x 2 pada I. (Stewart 1998)
ii. Jika v ≤ s ∀s ∈ S , maka v ≤ w. (Bartle dan Sherbert 1982)
2.6 Kekompakan Definisi 17 [Fungsi Kontinu] Sebuah fungsi f kontinu pada sebuah bilangan a jika lim f (x ) = f (a ) (Stewart 1998) x →a
Definisi 18 [Ruang Metrik] Misalkan M sembarang himpunan dan ρ adalah fungsi dengan ρ : M × M → [0, ∞ ) ∀x, y, z ∈ M sedemikian sehingga memenuhi: a) ρ (x, x ) = 0 b) ρ ( x, y ) > 0, x ≠ y c) ρ (x, y ) = ρ ( y, x ) d) ρ (x, y ) ≤ ρ (x, z ) + ρ (z , y ) maka ρ disebut metrik untuk M dan (M , ρ ) disebut ruang metrik. (Goldberg 1976) Definisi 19 [Barisan Cauchy] Barisan bilangan real {x n }∞n =1
disebut
barisan Cauchy jika: ∀ε > 0, ∃n 0 ∈ N ∋ m, n ≥ n 0 ⇒ x m − x n < ε (Goldberg 1976) Definisi 20 [Kekonvergen Barisan] Barisan bilangan real {x n }∞n =1 dikatakan konvergen ke L jika limit L.
Definisi 22 [Supremum dan Infimum] 1) Suatu bilangan u∈R disebut supremum (batas atas terkecil) dari S ⊆ R jika memenuhi dua kondisi berikut: i. s ≤ u ∀s ∈ S ii. Jika s ≤ v ∀s ∈ S , maka u ≤ v . 2) Suatu bilangan w ∈ R disebut infimum (batas bawah terbesar) dari S ⊆ R jika memenuhi dua kondisi berikut: i. w ≤ s ∀s ∈ S
{ }
x n ∞n =1
mempunyai
(Goldberg 1976)
Definisi 21 [Ruang Metrik Lengkap] Misalkan (M , ρ ) ruang metrik. M disebut ruang metrik lengkap jika setiap barisan Cauchy di M konvergen di M. (Goldberg 1976)
Definisi 23 [Terbatas] Misalkan (M , ρ ) ruang metrik. Himpunan A ⊂ M dikatakan terbatas jika ∃L > 0 sehingga ρ (x, y ) ≤ L ∀x, y ∈ A . Jika A terbatas, maka didefinisikan diameter A sebagai : diam A = sup (x, y ) x , y∈A
Jika A tidak terbatas, maka didefinisikan diameter A sebagai: diam A = +∞ (Goldberg 1976) Definisi 24 [Terbatas Total] Misalkan (M , ρ ) ruang metrik dan A ⊂ M . Himpunan A disebut terbatas total jika ∀ε > 0, ∃Ai , i = 1, … , n dimana Ai ⊂ M n
dengan diam Ai < ε sehingga A ⊂ ∪ Ai . i =1
(Goldberg 1976) Sebagai ilustrasi, ruang metrik [a, b] dengan a, b ∈ R adalah terbatas total. Definisi 25 [Kompak] Ruang metrik (M , ρ ) disebut ruang metrik kompak jika (M , ρ ) lengkap dan terbatas total. (Goldberg 1976) Teorema 1 [Ruang Metrik Lengkap] Jika (M , ρ ) adalah ruang metrik lengkap dan A ⊂ M , maka ( A, ρ ) adalah lengkap. (Goldberg 1976) Bukti dapat dilihat pada Goldberg (1976). Dari Teorema 1, karena R lengkap maka [a, b] ⊂ R adalah lengkap. Karena [a, b] juga terbatas total, maka menurut Definisi 25 [a, b] merupakan ruang metrik kompak dengan metrik ρ nilai mutlak.
5
2.7 Titik Tetap Tarski
lim
sup f (x ) ≤ f (inf (C ))
lim
sup f (x ) ≤ f (sup(C )) .
x∈C , x →inf (C )
Definisi 26 [Lattice] Himpunan S dikatakan lattice jika untuk setiap himpunan dua titik {x, y} ⊂ S , ada supremum untuk {x, y} (dinotasikan dengan x ∨ y , dikatakan gabungan x dan y ) dan infimum (dinotasikan dengan x∧y , dikatakan irisan x dan y ) dalam S. (Milgrom dan Roberts 1990) Definisi 27 [Complete Lattice] Misalkan himpunan S adalah lattice. Lattice S disebut complete jika untuk semua himpunan bagian tak kosong T ⊂ S , Inf (T ) ∈ S dan Sup (T ) ∈ S . (Milgrom dan Roberts 1990) Definisi 28 [Titik Tetap] Misal diberikan sistem persamaan diferensial (SPD) sebagai berikut: dx . = x = f (x ), x ∈ R n dt
( )
Titik x * disebut titik tetap jika f x * = 0 . Titik tetap disebut titik kritis atau kesetimbangan. (Tu 1994) Teorema 2 [Titik Tetap Tarski] Jika T adalah complete lattice dan f : T → T adalah fungsi tak turun, maka f mempunyai titik tetap. Selain itu, himpunan titik tetap f mempunyai Sup{x ∈ T | f (x ) ≥ x} sebagai anggota Inf {x ∈ T | f (x ) ≤ x} terbesarnya dan sebagai anggota terkecilnya. (Tarski 1955) Bukti dapat dilihat pada Tarski (1955). Definisi 29 [Order Upper SemiContinuous] Misalkan diberikan complete lattice S dan C ⊂ S sedemikian sehingga untuk y ∈C , x∈C dan sembarang x ≥ y atau y ≥ x . Fungsi f : S → R adalah order upper semi-continuous jika
x∈C , x →sup (C )
dan
(Milgrom dan Roberts 1990) Misalkan M ≠ ∅ adalah himpunan pemain dimana M finite atau infinite. Masing-masing pemain m ∈ M mempunyai himpunan strategi Am = {a m } dan strategi pesaingnya dinotasikan dengan a − m . Fungsi imbalan pemain-m adalah π m (a m , a − m ) . Teorema 3 [Kesetimbangan] Misalkan a m dan a m adalah anggota
terkecil dan terbesar dari Am , y dan z adalah dua kesetimbangan dengan y ≥ z . 1) Jika π m (a m , a − m ) naik dalam
a −m , maka π m (y ) ≥ π m (z ) . 2) Jika π m (a m , a − m ) turun dalam
a − m , maka π m (y ) ≤ π m (z ) . Jika kondisi (1) dipenuhi untuk beberapa himpunan bagian pemain M 1 dan kondisi (2) dipenuhi untuk pemain lain M \ M 1 , maka kesetimbangan terbesar adalah kesetimbangan terpilih untuk pemain di M 1 dan pilihan terkecil untuk para pemain lainnya, sementara kesetimbangan terkecil adalah pilihan terkecil pemain di M 1 dan pilihan terbesar para pemain sisa. (Milgrom dan Roberts 1990) Bukti dapat dilihat pada Milgrom dan Roberts (1990).
Definisi 30 [ Arg maks] Arg maks (Argumen maksimum) adalah himpunan nilai yang menyebabkan suatu fungsi mencapai nilai maksimum, yaitu: argmaks f (x) ∈ {x | ∀y : ( y ≠ x → f ( y) < f (x))} x
(Wikipedia 2006)
6
III. PEMODELAN mengetahui apa yang telah terjadi atau yang telah dilakukan oleh pemain lain pada tahap sebelumnya dimana follower mengamati tindakan leader sebelum bertindak.
3.1 Kesetimbangan Cournot-Nash dan Stackelberg
Misalkan P(.) adalah harga pasar dalam model duopoli dengan produk homogen, C1 (.) : [0, ∞ ) → [0, ∞ ) adalah fungsi biaya perusahaan-1, C2 (.) : [0, ∞ ) → [0, ∞ ) adalah fungsi biaya perusahan-2, x adalah kuantitas perusahaan-1 dan y adalah kuantitas perusahaan-2. Imbalan dari perusahaan-1 adalah: π 1 (x, y ) = xP(x + y ) − C1 (x ) dan imbalan perusahaan-2 adalah: π 2 (x, y ) = yP(x + y ) − C 2 ( y )
Definisi 32: Kesetimbangan Stackelberg x s , g s (.) Kesetimbangan Stackelberg adalah kesetimbangan subgame perfect dari permainan dua tahap, sedemikian sehingga: (i ) π 1 x s , g s x s ≥ π 1 x, g s (x) ∀x ≥ 0
(
(ii)
(
N
) ( ) dan π (x N
2
N
s
s
2
dimana tidak ada x ≥ 0, x ≠ x s sedemikian
(
)
sehingga π 1 (x, y ) > π 1 x s , y s , ∀y ∈ r2 (x ) . Selanjutnya akan diberikan suatu bentuk ekstensif dari permainan yang diperluas, Digambarkan dalam pohon permainan berikut ini.
) ( )
, y ≥ π2 x , y N
s
y ≥0
)
π1 x , y ≥ π1 x, y N
π2
( )) ( ) (x , g (x )) ≥ π (x , y) ∀y ≥ 0 s
Kesetimbangan Stackelberg ini terletak pada koresponden tanggapan terbaik pemain-2, yang didefinisikan sebagai: r2 (x ) = arg maks π 2 (x, y )
Definisi 31: Kesetimbangan CournotNash Kesetimbangan Cournot-Nash adalah N N x ,y pasangan sedemikian sehingga ∀x, y ≥ 0 berlaku:
(
(
)
N
Misalkan permainan dilakukan secara sekuensial dan perusahaan-1 sebagai leader. Dalam setiap tahap permainan, pemain 1
e
l
2
1
2
e
l
e
1
2
l
2
1
1
2
Gambar 2
Permainan yang diperluas dikonstruksi dari model duopoli sederhana, dimana sebelum permainan berlangsung, perusahaan
memutuskan di periode ke berapakah memilih strategi. Misalkan jika perusahaan memilih strategi pada periode pertama
7
dinotasikan dengan early (e), sedangkan bila perusahaan memilih strategi pada periode kedua dinotasikan dengan late (l). Model duopoli sederhana kemudian dimainkan menurut keputusan waktu tersebut, secara sekuensial atau simultan. Permainan simultan terjadi jika kedua pemain memutuskan bergerak pada periode yang sama. Aplikasi dari permainan ini adalah model duopoli Cournot. Jika kedua pemain memutuskan bergerak pada periode yang berbeda terjadi permainan sekuensial, dimana dalam setiap periode permainan, pemain mengetahui apa yang telah terjadi atau yang telah dilakukan oleh pemain lain pada periode sebelumnya. Model duopoli Stackelberg merupakan aplikasi permainan simultan. Diberikan model duopoli sederhana. Misalkan N adalah himpunan strategi kesetimbangan Nash, S i adalah himpunan strategi kesetimbangan Stackelberg dengan pemain-i sebagai leader, dan E adalah himpunan subgame perfect Nash equilibria dari permainan yang diperluas. Elemen dari himpunan E dapat ditulis sebagai pasangan waktu (early (e) atau late (l)) dan model duopoli sederhana (simultan atau sekuensial). Proposisi 1 Misal diberikan himpunan strategi kesetimbangan subgame perfect dari permainan yang diperluas E dan model duopoli sederhana dengan N ≠ ∅ dan S i ≠ ∅, i = 1,2 . Ketika π 1 (e, l ) > π 1 (l , l ) dan
π 2 (l , e ) > π 2 (l , l ) , maka pernyataan berikut benar: π 1 (e, e ) > π 1 (l , e ) dan a. Jika π 2 (e, e ) > π 2 (e, l ) , maka diperoleh E = {(e, e ), N } . π 1 (l , e ) > π 1 (e, e ) dan b. Jika π 2 (e, l ) > π 2 (e, e ) , maka diperoleh E = {(e, l ), S1 }∪ {(l , e ), S 2 } . Bukti. a. Dari hipotesis diketahui bahwa pemain1 lebih baik berada pada kombinasi strategi (e,l) daripada (l,l). Hal yang sama berlaku untuk pemain-2 yang lebih baik berada pada kombinasi strategi (l,e) daripada (l,l). Pemain-1 juga akan lebih memilih imbalan pada kombinasi strategi (e,e) daripada (l,e) dan pemain-2 lebih memilih imbalan pada kombinasi strategi (e,e) daripada (e,l). Maka e adalah strategi dominan untuk kedua pemain tersebut sehingga E = {(e, e ), N } . b. Dari hipotesis diperoleh bahwa pemain1 lebih memilih hasil kombinasi strategi (e,l) daripada (l,l) dan bahwa pemain-2 lebih memilih hasil kombinasi strategi (l,e) daripada (l,l). Tak ada keuntungan yang akan diperoleh pemain-1 jika mengubah strateginya, demikian pula pemain-2. Akibatnya diperoleh E = {(e, l ), S1 }∪ {(l , e ), S 2 } .
8
IV. PEMBAHASAN
4.1 Asumsi
Berikut ini adalah asumsi yang digunakan dalam memodelkan permainan. a. Harga pasar P(.) merupakan fungsi b.
turun dan P '' (.) kontinu. Fungsi biaya perusahaan-1 C1 (.) dan fungsi biaya perusahaan-2 C 2 (.) merupakan fungsi naik, C1'' (.) dan C 2'' (.) kontinu dengan C i (0) = 0 .
4.2 Permainan Supermodular
Berikut ini beberapa pegertian mengenai permainan Supermodular yang digunakan untuk menyelesaikan masalah utama yang akan dibahas dalam tulisan ini. Definisi 33 [Fungsi Supermodular dan Submodular] 1) Suatu fungsi F : R+2 → R dikatakan supermodular jika untuk semua x1 ≥ x 2 , y1 ≥ y 2 , F(x1, y1 ) − F(x2 , y1 ) ≥ F(x1, y2 ) − F(x2 , y2 )
2) Suatu fungsi F : R+2 → R dikatakan submodular jika untuk semua x1 ≥ x 2 , y1 ≥ y 2 , F(x1, y1) − F(x2 , y1) ≤ F(x1, y2 ) − F (x2 , y2 ) (Amir 1996) Definisi 34 [Fungsi Supermodular sempurna dan Submodular sempurna] 1) Suatu fungsi F : R+2 → R adalah supermodular sempurna jika untuk semua x1 ≥ x 2 , y1 ≥ y 2 , F (x1, y1 ) − F (x2 , y1) > F (x1, y2 ) − F (x2 , y2 )
2) Suatu fungsi F : R+2 → R adalah submodular sempurna jika untuk semua x1 ≥ x 2 , y1 ≥ y 2 , F (x1, y1) − F (x2 , y1) < F (x1, y2 ) − F (x2 , y2 ) (Amir 1996)
Bila dilihat dari turunan keduanya, Definisi 34 dapat ditulis sebagai berikut:
[Fungsi Supermodular Definisi 35 sempurna dan Submodular Sempurna] 1. Jika F mempunyai turunan kedua yang ∂2F > 0, ∀x, y maka F kontinu dan ∂x∂y adalah supermodular sempurna. 2. Jika F mempunyai turunan kedua yang ∂2F < 0, ∀x, y maka F kontinu dan ∂x∂y adalah submodular sempurna. (Amir 1996) Definisi 36 [Strict Single-Crossing Property (SSCP) dan Dual Strict Single-Crossing Property (Dual SSCP) ]
1) Fungsi F : [0, ∞ )2 → R mempunyai Strict Single-Crossing Property atau SSCP di (x, y ) jika: F (x1, y2 ) ≥ F (x2, y2 ) ⇒ F (x1, y1 ) > F (x2 , y1 ) untuk semua x1 > x 2 , y1 > y 2 .
2) Fungsi F : [0, ∞ )2 → R mempunyai dual SSCP di (x, y ) jika: F (x1, y2 ) ≤ F (x2, y2 ) ⇒ F (x1, y1 ) < F (x2 , y1 ) untuk semua x1 > x 2 , y1 > y 2 . (Amir 1996)
Teorema 4 [Permainan Supermodular] Duopoli Cournot adalah permainan ordinally supermodular jika memenuhi asumsi berikut: 1. P(.) merupakan fungsi turun dan log konkaf. 2. C i (.) , i = 1,2 merupakan fungsi naik dan kontinu kiri. Q>0 3. ∃ kuantitas sedemikian sehingga QP (Q ) − C i (Q ) < 0 , i = 1,2
untuk semua Q > Q. (Amir 1996) Bukti dapat dilihat pada Amir (1996). Teorema 5 [Koresponden Tanggapan Terbaik yang Tak Naik dan Tak Turun] 1) Setiap fungsi x * ( y ) ∈ arg maks F (x, y ) x ≥0
adalah tak turun di y jika F mempunyai SSCP.
9
2) Setiap fungsi x * ( y ) ∈ arg maks F (x, y ) x ≥0
adalah tak naik di y jika F mempunyai dual SSCP. (Milgrom dan Shannon 1994) Bukti dapat dilihat pada Milgrom dan Shannon (1994). Lemma 1 [Fungsi Supermodular dan Submodular] 1. Misal f , g : R + → R , f adalah fungsi konkaf dan g adalah fungsi konveks, maka fungsi bernilai real 1) (x, y ) → f (x + y ) adalah
submodular pada R + × R + ; 2) (x, y ) → f ( x − y ) supermodular pada lattice ϕ = {(x, y ) : y ≥ 0 dan x≥ y} supermodular 3) (x, y ) → g (x + y ) 2.
pada R + × R + . Misal f , g : R + → R , f adalah fungsi konkaf sempurna dan g adalah fungsi konveks sempurna, maka fungsi bernilai real adalah 1) (x, y ) → f (x + y ) submodular sempurna pada R+ × R+ ; supermodular 2) (x, y ) → f (x − y ) sempurna pada lattice ϕ = {(x, y ) : y ≥ 0 dan x ≥ y} ; supermodular 3) (x, y ) → g (x + y )
sempurna pada R + × R + . (Amir 1996) Bukti dapat dilihat pada Amir (1996). Lemma 2 Jika P(.) adalah log-konkaf atau
P(.)
memenuhi P ( x ) + xP (x ) < 0 untuk setiap x ≥ 0 dan ada kuantitas monopoli optimal untuk perusahaan-i K i sedemikian sehingga '
"
( ) ( )
KP(K ) − Ci (K ) ≤ Ki P Ki − Ci Ki , ∀K , i = 1,2,
(
)
maka semua kuantitas pada selang K i , ∞ adalah tindakan terdominasi untuk perusahaan-i dan setiap pilihan dari korespondensi tanggapan terbaik ri (.) merupakan fungsi tak naik di kuantitas pesaingnya. Bukti. Akan dibuktikan bahwa: 1) Setiap pilihan dari
koresponden
tanggapan terbaik ri (.) merupakan fungsi tak naik di kuantitas pesaing (Jika π i adalah dual SSCP maka setiap pilihan ri (.) merupakan fungsi tak naik di kuantitas pesaing). 2) Semua kuantitas di K i , ∞ adalah tindakan terdominasi untuk perusahaani.
(
1)
)
Dari hipotesis diketahui bahwa P adalah log-konkaf , maka log P(.) adalah konkaf. Berdasarkan Lemma 1 log P(x + y ) adalah submodular di
(x, y ) ∈ R + × R + , sembarang
maka untuk x1 > x 2 , y1 > y 2 :
log P ( x1 + y1 ) − log P (x 2 + y1 )
≤ log P( x1 + y 2 ) − log P ( x 2 + y 2 )
⇔ log
P (x1 + y1 ) P(x1 + y 2 ) ≤ log P(x 2 + y1 ) P(x 2 + y 2 )
P(x1 + y1 ) P(x1 + y2 ) ≤ P(x2 + y1 ) P(x2 + y 2 ) Misal diasumsikan bahwa: x1P(x1 + y2 ) − C1(x1 ) ⇔
(1)
≤ x2 P(x2 + y2 ) − C1(x2 ) Substitusi (1) ke ruas kanan (2), sehingga didapat: x1 P(x1 + y 2 ) − C1 (x1 )
(2)
P( x1 + y 2 ) P(x 2 + y1 ) − C1 (x 2 ) P(x1 + y1 ) Kemudian kali silang dengan P(x1 + y1 ) P(x1 + y 2 ) P(x1 + y1 ) x1 P(x1 + y1 ) − C1 (x1 ) P(x1 + y 2 ) ≤ x2
P(x1 + y1 ) C1 (x 2 ) P(x1 + y 2 ) x1 > x 2 , y1 > y 2 dan
≤ x 2 P ( x 2 + y1 ) − Karena
berdasarkan hipotesis P ' (.) < 0 ( P fungsi turun), C1 (.) fungsi naik, maka P(x1 + y1 ) < P(x1 + y 2 ) dan C1 (x1 ) > C1 (x 2 ) , sehingga diperoleh: x1 P(x1 + y1 ) − C1 (x1 )
< x 2 P(x 2 + y1 ) − C1 (x 2 )
(3)
Karena (2) berimplikasi (3) maka π 1 mempunyai dual strict single-crossing property (dual SSCP).
10
Misal diasumsikan bahwa: y1 P(x 2 + y1 ) − C 2 ( y1 )
(4) ≤ y 2 P(x 2 + y 2 ) − C 2 ( y 2 ) Substitusi (1) ke ruas kanan (4), sehingga didapat: y1 P(x 2 + y1 ) − C 2 ( y1 ) P(x1 + y 2 ) P(x 2 + y1 ) − C 2 ( y 2 ) P(x1 + y1 ) Kemudian kali silang dengan P(x1 + y1 ) P ( x 2 + y1 ) P(x1 + y1 ) y1 P(x1 + y1 ) − C 2 ( y1 ) P ( x 2 + y1 ) ≤ y2
P(x1 + y1 ) ≤ y 2 P(x1 + y 2 ) − C 2 ( y 2 ) P ( x 2 + y1 ) Karena x1 > x 2 , y1 > y 2 , P(.) fungsi turun dan C 2 (.) fungsi naik, maka P( x1 + y1 ) < P(x 2 + y1 ) dan C 2 ( y1 ) > C 2 ( y 2 ) , sehingga diperoleh : y1 P(x1 + y1 ) − C2 ( y1 )
< y 2 P(x1 + y 2 ) − C2 ( y 2 )
Bukti. Akan dibuktikan bahwa: 1) Duopoli kuantitas adalah permainan supermodular dengan N ≠ ∅ dan terdapat titik x, y dimana perusahaan-
( )
1 (perusahaan-2) menghasilkan kuantitas yang lebih tinggi (lebih rendah) pada N. 2) Titik terletak pada x, y
( )
r2 (.) = min r2 (.) dan merupakan pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah. 1) Berdasarkan hipotesis Lemma 2, duopoli kuantitas memenuhi Teorema 4 untuk menjadi permainan supermodular yaitu: a) P(.) merupakan fungsi turun dan log konkaf. b) C i (.) merupakan fungsi naik dan kontinu kiri, i = 1,2 . c)
(5)
Karena (4) berimplikasi (5) maka π 2 mempunyai dual SSCP, sehingga π i mempunyai dual SSCP. Akibatnya berdasarkan Teorema 5 setiap pilihan ri (.) merupakan fungsi tak naik di kuantitas pesaing . 2) Berdasarkan hipotesis diketahui bahwa K i adalah kuantitas monopoli optimal
untuk perusahaan-i, maka K i ∈ r (0) . Akibatnya imbalan akan menurun jika perusahaan memilih kuantitas lebih dari K i , sehingga kuantitas di K i , ∞ tidak dapat menjadi tanggapan terbaik. Jadi semua kuantitas di K i , ∞ adalah tindakan terdominasi untuk perusahaani.
(
(
)
)
Karena K i adalah kuantitas monopoli optimal untuk perusahaan-i, maka imbalan akan menurun jika perusahaan memilih lebih dari K i . Akibatnya ada
(
)
kuantitas pada selang K i , ∞ , misal Q, yang menyebabkan perusahaan merugi atau QP(Q ) − C i (Q ) < 0 . Berdasarkan Lemma 2 duopoli kuantitas menjadi permainan supermodular dengan himpunan tindakan efektif 0, K 1 × 0, K 2 .
[
][
] [0, K ]
Karena itu, N tidak kosong dan i merupakan selang tertutup sehingga merupakan complete lattice, dan menurut Teorema 2, N mempunyai anggota terbesar . Misalkan diberikan anggota terbesar yaitu berdasarkan Teorema 2, x, y . Tetapi
( )
perusahaan-2 sekurang-kurangnya memilih x, y dari semua kesetimbangan di N, maka
( )
( )
Lemma 3 Berdasarkan hipotesis Lemma 2, duopoli kuantitas adalah permainan supermodular, maka N tidak kosong dan terdapat titik x, y dimana perusahaan-1 (perusahaan-2 )
pada titik x, y perusahaan-1 menghasilkan
menghasilkan kuantitas yang lebih tinggi (lebih rendah) pada N. Titik x, y terletak
2)
( )
pada
r2 (.) = min r2 (.)
( )
dan
merupakan
pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah.
kuantitas tertinggi di N, perusahaan-2 menghasilkan terendah di N.
(x, y ) ∈
sedangkan kuantitas
( )
r2 (.) karena pada titik x, y
perusahaan-1 menghasilkan kuantitas tertinggi di N, sedangkan perusahaan-2 menghasilkan kuantitas terendah di N.
11
Berdasarkan Teorema 2 untuk pemetaaan (x, y ) → r1 ( y ), r2 (x ) yang tak turun akan
(
)
mempunyai titik tetap terbesar. Misalkan x ' , y ' ∈ N titik tetap terbesar
( ) (x , y )∈ r (.) '
dengan
'
y' < y .
dan
2
Kontradiksi dengan titik ekstrim
(x, y )
maka
merupakan
(x, y ),
pilihan
kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terkecil.
Lemma 4 Berdasarkan hipotesis Lemma 2, jika setiap titik x s , y s ∈ S1 harus terletak di r2 (.) dan
(
)
{
}
S1 = arg maks π 1 (x, y ) : (x, y ) ∈ r2 (.) , x ≥0
turun di y, maka menghasilkan imbalan leader yaitu: π 1 x s + ε , r2 x s + ε > π 1 x s , y s
(
(
))
(
)
Kontradiksi dengan hipotesis bahwa x s , y s adalah kesetimbangan Stackelberg.
(
)
(x
Karena itu haruslah
{
s
)
, y s ∈ r2 (.) dan
} (x, r (x )) .
S1 = arg maks π 1 (x, y ) : (x, y ) ∈ r2 (.) x ≥0
terpenuhi atau
S1 = arg maks π 1 x ≥0
2
Jadi semua titik di S1 menghasilkan imbalan yang sama untuk leader. Dari Lemma 3, x, y adalah kesetimbangan Cournot-Nash
( )
perusahaan-1 paling terpilih dan x, y ∈ r2 (.) , maka π 1 x s , y s ≥ π 1 x, y .
( )
(
)
( )
dengan r2 (.) adalah pilihan kesetimbangan Nash perusahaan-2 yang terendah, π 1 x s , y s ≥ π 1 x, y .
(
( )
)
Bukti. Akan dibuktikan: • Setiap titik
{
(x
s
)
, y s ∈ r2 (.)
maka
dan
}
S 1 = arg maks π 1 (x, y ) : (x, y ) ∈ r2 (.)
(
π1 x s , y
•
x ≥0 s
) ≥ π (x, y ) 1
)
Karena imbalannya kontinu, maka mempunyai pilihan minimum r2 (.) kontinu kanan. Misalkan ada kesetimbangan Stackelberg sedemikian sehingga x s , y s ∉ r2 (.)
(
y
s
) > r (x ) . s
2
Dari Lemma 2 diketahui
bahwa setiap pilihan r2 (.) adalah tak naik. Karena itu, himpunan titik di r2 (.) tidak bernilai tunggal serupa dengan himpunan titik di pilihan r2 (.) yang tak kontinu. r2 (.) bernilai banyak di x s . Karena itu dapat ditentukan bahwa untuk ε > 0 sedemikian sehingga pilih x s + ε untuk leader yang akan membawa pada tanggapan terbaik follower yang unik yaitu r2 (.) bernilai
( ) r (x + ε ) < y
tunggal di x s + ε . Karena y s > r2 x s dan
r2 (.) kontinu kanan maka
Teorema 6 Jika diketahui bahwa: 1. Tidak ada kesetimbangan Cournot-Nash yang terletak di batas daerah. 2. P(.) adalah log-konkaf atau P(.)
memenuhi P ' (x ) + xP " (x ) < 0, ∀x ≥ 0 .
Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap titik x s , y s ∈ r2 (.) .
(
4.3 Model Duopoli Cournot Teorema berikut memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar yang akan menghasilkan model duopoli Cournot.
s
2
s
.
Diketahui pula π 1 (x, y ) kontinu di x dan
∃ kuantitas K sedemikian sehingga KP (K ) − C i (K ) ≤ K i P K i − C i K i , ∀ K , i = 1, 2 . 4. P adalah log-konkaf sempurna yaitu P " (.)P(.) − P '2 (.) < 0 atau C i' (.) > 0 , maka E = {(e, e ), N } .
3.
( )
( )
Sebelum membuktikan Teorema 6 akan diberikan terlebih dahulu lemma berikut ini. Lemma 5 Jika asumsi Teorema 6 dipenuhi, maka titik ekstrim kesetimbangan Nash x, y ∉ S1 .
( )
Bukti. Akan dibuktikan bahwa: 1) r2' (.) < 0 di sembarang titik pada fungsi
tanggapan minimal
r2 (.) , sepanjang
titik tersebut terletak di dalam daerah fisibel. 2) x, y ∉ S1
( )
12
1) Berdasarkan Lemma 2, setiap pilihan dari r2 (.) tak naik, maka r2' (.) ≤ 0 .
perusahaan-1 sebagai leader. Karena adalah interior solution x, y
Imbalan untuk perusahaan-2 sembarang titik di r2 (.) adalah:
berdasarkan
[
]
[
]
pada
[ ]
π 2 x, r2 (x ) = r2 (x )P x + r2 (x ) − C 2 r2 (x )
Untuk setiap x ≥ 0 sedemikian sehingga r2 (.) > 0 , maka first-order condition diberikan oleh: ∂π 2 x, r2 (x ) =0 ∂ r2 (x )
[
]
[
]
[
] [ (x)] = 0 (6)
P x + r2 (x) + r2 (x)P x + r2 (x) '
− C2' r2
Turunkan (6) terhadap x, sehingga didapat: 1 + r2' (x) P ' x + r2 (x) + r2' (x)P ' x + r2 (x) + r2 (x)
] [ ] ( ) [ (1+ r (x))P [x + r (x)]− C [r (x)]r (x) = 0 ' 2
"
" 2 2
2
' 2
(7)
Substitusi (6) ke (7)
(x))P [x + r2 (x)] (x)P [x + r2 (x)] C2' [r2 (x )]− P[x + r2 (x )] (1 + r2' (x))P"[x + r2 (x)] + P' [x + r2 (x )] − C2" [r2 (x )]r2' (x ) = 0 Akan dibuktikan r2' (.) < 0 . Andaikan untuk suatu x 0 , r2' (x 0 ) = 0 , maka: C2' [r2 (x0 )]− P[x0 + r2 (x0 )] P' [x0 + r2 (x0 )]+ P' [x0 + r2 (x0 )] P" [x0 + r2 (x0 )] = 0
(
1 + r2'
+ r2'
'
'
[
] [ ] {P[x + r (x )]− C [r (x )]} = 0 − P'2 x0 + r2 (x0 ) + P" x0 + r2 (x0 ) 0
2
' 2 2
0
(8)
0
Berdasarkan hipotesis P (.) < 0 dan dari (6) '
[
]
[
]
P x 0 + r2 (x 0 ) + r2 (x 0 )P ' x 0 + r2 (x 0 )
[
]
− C 2' r2 (x 0 ) = 0
]
[
]
P x 0 + r2 (x 0 ) > C 2' r2 ( x 0 )
Sehingga (8) kontradiksi dengan hipotesis yaitu P(.) adalah log-konkaf sempurna
(− P
(.) + P " (.)P(.) < 0) atau C 2' (.) > 0 , sehingga haruslah r2' (.) ≠ 0 untuk r2 (.) > 0 . Dan berdasarkan Lemma 2 maka r2' (.) < 0 . '2
2) Misalkan kesetimbangan
(x
s
( ))
, r2 x s
Stackelberg
asumsi, maka harus ∂π 1 x, y =0 memenuhi: ∂x Jika x s , r2 x s juga merupakan interior
(
adalah dengan
( )
( ))
solution, maka akan memenuhi: ∂π 1 x s , r2 x s ∂π 1 x s , r2 x s ' s + r2 x ≤ 0 ∂x ∂y
(
( ))
(
( )) ( )
r2' (.) < 0
Diketahui
dan
∂π 1 (x, y ) = ∂y
xP ' (x + y ) , karena P ' (.) < 0 dan x ≥ 0 ∂π 1 < 0 . Sehingga diperoleh maka ∂y
(
( )) < 0
∂π 1 x s , r2 x s
. Akibatnya x ≠ x s dan ∂x r2 x ≠ r2 x s . Terbukti bahwa titik ekstrim
() ( )
( )
kesetimbangan Nash x, y ∉ S1 . Bukti Teorema 6. Akan dibuktikan bahwa : E = {(e, e ), N } Menurut Proposisi 1(a) akan dibuktikan: 1. Masing-masing perusahaan-i lebih baik berada pada sembarang titik di S i daripada di sembarang titik pada N. 2. Masing-masing perusahaan-i lebih memilih imbalan pada sembarang titik terburuk di N daripada sembarang imbalan sebagai follower. Lemma 2 dan Lemma 3 menunjukkan bahwa duopoli kuantitas adalah permainan supermodular. Jadi kesetimbangan CournotNash ada. Karena ruang strategi efektif merupakan selang tertutup, 0, Ki ⊂R
[ ]
[
]
akibatnya 0, K i lengkap dan terbatas total (lihat Teorema 1). Sehingga ruang strategi 0, K i merupakan ruang metrik kompak dengan metrik ρ nilai mutlak. Diketahui pula fungsi imbalan kontinu, maka kesetimbangan Stackelberg juga ada yaitu S1 dan S 2 tidak kosong . 1. Sudah dibuktikan di Lemma 4. 2. Misalkan x s , y s adalah sembarang kesetimbangan Stackelberg dengan perusahaan-1 sebagai leader dan x, y
[
Karena P ' (.) < 0 dan r2 (.) > 0 , maka
[
( )
]
(
)
( )
adalah titik ekstrim kesetimbangan Cournot-Nash. Sebagaimana ditunjukkan di Lemma 5
13
(x, y ) ≠ (x
s
)
, y s . Berdasarkan Lemma 3
dan Lemma 4 kedua titik terletak pada r2 (.) fungsi tanggapan minimal perusahaan-2.
(
) ( )
( ) () ≥ x P(x + y) − C (x )
log P ( x1 + y1 ) − log P (x 2 + y1 )
> log P (x1 + y 2 ) − log P (x 2 + y 2 )
xs P xs + ys − C1 xs > xP x + y − C1 x s
s
s
1
(9)
dimana pertidaksamaan pertama mengikuti sifat kesetimbangan Stackelberg yang digambarkan dalam Lemma 4 dan menurut Lemma 5 x, y ∉ S1 . Pertidaksamaan kedua
( )
mengikuti sifat kesetimbangan Nash. Karena π 1 menurun pada y, maka pertidaksamaan (9) menghasilkan
()
( )
r2 x s = y s < y = r2 x
dan r2 (.) merupakan fungsi turun sehingga menghasilkan x s > x .Maka untuk setiap y, keuntungan pemain-2 memenuhi:
( )
(
)
yP x + y − C2 ( y) > yP xs + y − C2 ( y)
(10)
Ambil sup y ≥ 0 pada kedua sisi dari pertidaksamaan (10), berdasarkan definisi x, y dan Lemma 4 menghasilkan:
( ) yP (x + y )− C (y ) > y P (x s
2
s
)
Berdasarkan Lemma 1, karena log P konveks sempurna maka supermodular sempurna di (x, y ) , maka untuk sembarang x1 > x 2 , y1 > y 2 :
( )
+ y s − C2 y s
Ini berarti follower lebih memilih kesetimbangan Cournot-Nash terburuk daripada kesetimbangan Stackelberg. Cara yang sama dilakukan untuk perusahaan-2 sebagai leader dengan x, y sebagai titik ekstrim kesetimbangan Cournot-Nash.
( )
4.4 Model Duopoli Stackelberg Teorema berikut memberikan suatu kondisi minimal pada harga pasar dan biaya yang akan menghasilkan model duopoli Stackelberg. Teorema 7 Jika P(.) log-konveks sempurna yaitu
P " (.)P(.) − P '2 (.) > 0 , C i (.) = 0 untuk i=1,2 lim xP(x + y ) = 0, ∀y tetap , maka dan x →∞
E = {(e, l ), S1} ∪ {(l , e ), S 2 } .
Bukti. Dari hipotesis diketahui P(.) log konveks sempurna maka log P konveks sempurna.
⇔ log
P (x1 + y1 ) P(x1 + y 2 ) > log P( x 2 + y1 ) P(x 2 + y 2 )
P (x1 + y1 ) P (x1 + y2 ) > P (x2 + y1 ) P (x2 + y2 ) Misal diasumsikan bahwa: x1P (x1 + y 2 ) − C1 (x1 ) ≥ x2 P (x2 + y2 ) − C1 (x2 ) Substitusi (11) ke (12), didapat: x1 P(x1 + y 2 ) − C1 (x1 ) ⇔
> x2
(11) (12 )
P(x1 + y 2 ) P(x 2 + y1 ) − C1 (x 2 ) P(x1 + y1 )
Kemudian kali silang dengan x1 P(x1 + y1 ) −
P(x1 + y1 ) P(x1 + y 2 )
P(x1 + y1 ) C1 (x1 ) P(x1 + y 2 )
P(x1 + y1 ) C1 ( x 2 ) P(x1 + y 2 ) Karena x1 > x 2 , y1 > y 2 , P fungsi turun dan C1 (.) fungsi naik, maka > x 2 P(x 2 + y1 ) −
P(x1 + y1 ) < P(x1 + y 2 ) C1 (x1 ) > C1 (x 2 ) , sehingga diperoleh: x1 P (x1 + y1 ) − C1 (x1 )
≥ x 2 P (x 2 + y1 ) − C1 (x 2 )
dan
(13)
Karena (12) berimplikasi (13) maka π 1 adalah SSCP. Untuk membuktikan π 2 adalah SSCP dilakukan cara yang sama, sehingga π i mempunyai SSCP. Akibatnya berdasarkan Teorema 5 setiap pilihan ri (.) merupakan fungsi tak turun di kuantitas pesaing. Diberikan permainan simetri, karena lim xP(x + y ) = 0 maka berdasarkan x →∞
Teorema 3 diketahui bahwa kedua pemain lebih memilih kesetimbangan Cournot (x, x ) terkecil daripada semua kesetimbangan Cournot yang lain. Selanjutnya akan dibedakan menjadi dua kasus.
14
Kasus 1 : Jika x finite Dengan menggunakan proposisi 1 (b) akan dibuktikan bahwa : 1. Masing-masing perusahaan-i lebih baik berada pada sembarang titik di S i daripada di sembarang titik pada N. 2. Masing-masing perusahaan-i lebih memilih imbalan follower terburuk daripada sembarang titik di N.
Bukti. Akan dibuktikan: • Setiap titik
Bukti bagian 1. Dibuktikan di lemma 6. 2. Misalkan x s , y s adalah sembarang kesetimbangan Stackelberg dengan leader. perusahaan-1 sebagai x s , y s ∉ N , analog seperti pada lemma 5. Didapat :
Karena imbalannya kontinu, maka mempunyai pilihan minimum r2 (.) kontinu
(
(
)
)
(
)
(
(
)
x s P x s + y s > xP x + y ≥ x s P x s + y
)
dimana pertidaksamaan pertama mengikuti sifat Stackelberg dan pertidaksamaan kedua dari sifat Nash. Karena y s < y dan analog dengan Lemma 5, r 2 (.) adalah fungsi naik, maka x s < x . Untuk setiap y berlaku :
(
)
(14 ) yP x s + y > yP (x + y ) Ambil sup y ≥ 0 pada kedua sisi pertidaksamaan (14) menghasilkan : y s P x s + y s > xP (2 x ) Ini berarti follower lebih memilih sembarang kesetimbangan Stackelberg daripada kesetimbangan Cournot terbaik.
(
)
Kasus 2 : Jika x = +∞ Berdasarkan asumsi, kesetimbangan Cournot yang berhubungan dengan (x, x ) adalah 0, karena limxP(2x) ≤ limxP(x + y) = 0, x→∞
x→∞
yang juga imbalan terkecil untuk pemain. Karena itu leader selalu mengambil kuantitas finite maka follower akan bereaksi finite sebab dengan kuantitas xP(x + y ) → 0 untuk x → ∞ , ∀y tetap. Akibatnya menghasilkan imbalan kesetimbangan Stackelberg lebih dari 0 untuk kedua pemain. Maka follower akan memilih sembarang kesetimbangan Stackelberg daripada Kesetimbangan Nash yang unik. Lemma 6 Berdasarkan asumsi Teorema 7, kesimpulan Lemma 4 diperoleh.
(x
{
s
)
, y s ∈ r2 (.)
dan
}
S1 = arg maks π 1 (x, y ) : (x, y ) ∈ r2 (.) x ≥0 s
(
) ≥ π (x, y )
π1 x s , y
•
1
Pertama akan ditunjukkan bahwa setiap titik x s , y s ∈ r2 (.) .
(
)
kiri. Misalkan ada kesetimbangan Stackelberg sedemikian sehingga x s , y s ∉ r2 (.)
(
y
) > r (x ) .
s
s
Dari Teorema 7 diketahui
2
bahwa setiap pilihan r2 (.) adalah tak turun. Karena itu, himpunan titik di r2 (.) tidak bernilai tunggal serupa dengan himpunan titik di pilihan r2 (.) yang tak kontinu. r2 (.) bernilai banyak di x s . Karena itu dapat ditentukan bahwa untuk ε > 0 sedemikian sehingga pilih x s − ε untuk leader yang akan membawa pada tanggapan terbaik follower yang unik yaitu r2 (.) bernilai tunggal di x s − ε . Ini tidak fisibel jika x s = 0 , walaupun π 1 (0, y ) = 0, ∀y . Karena itu haruslah xs > 0 . Karena y s > r2 x s
( ) dan r (x − ε ) < y . s
maka
r2 (.) kontinu kiri
s
Diketahui
2
pula
π 1 (x, y ) kontinu di x dan turun di y, maka menghasilkan imbalan leader yaitu: π 1 x s − ε , r2 x s − ε > π 1 x s , y s
(
(
))
(
)
Kontradiksi dengan hipotesis bahwa x s , y s adalah kesetimbangan Stackelberg.
(
)
(x , y )∈ r (.) dan (x, r (x )) . Jadi semua titik
Karena itu haruslah S 1 = arg maks π 1 x ≥0
s
s
2
2
di S1 menghasilkan imbalan yang sama
( )
untuk leader. Dari Teorema 7, x, y adalah kesetimbangan Cournot-Nash perusahaan-1 paling terpilih dan x, y ∈ r2 (.) , maka
(
)
( )
π 1 x s , y s ≥ π 1 x, y .
( )
15
V. SIMPULAN Dalam tulisan ini dibahas model duopoli, dengan strategi yang dipilih adalah kuantitas. Setiap perusahaan dapat memilih strategi secara simultan atau sekuensial agar imbalan yang didapat maksimum. Permainan simultan terjadi jika para pemain memutuskan bergerak pada saat yang sama. Permainan sekuensial terjadi jika para pemain memutuskan bergerak pada waktu yang berbeda. Duopoli Cournot dan Stackelberg masing-masing merupakan
aplikasi permainan simultan dan sekuensial dengan kuantitas sebagai strategi untuk memaksimumkan imbalan. Harga pasar yang log konkaf akan menimbulkan model duopoli Cournot. Pada kasus ini pilihan koresponden tanggapan terbaiknya merupakan fungsi turun. Jika harga pasarnya log konveks dan tak ada biaya produksi, pilihan koresponden tanggapan terbaiknya merupakan fungsi naik dan akan menimbulkan model duopoli Stackelberg.
VI. DAFTAR PUSTAKA Amir R. 1996. Cournot oligopoly and the theory of supermodular games. Games and economic behavior 15:132-148. Amir R, Grilo I. 1999. Stackelberg versus cournot equilibrium. Games and economic behavior 26: 1-21. Bartle RG, Sherbert DR. 1982. Introduction to real analysis. New York: John Wiley and Sons, Inc. Chiang AC, Wainwright K. 2005. Fundamental methods of mathematical economic. Ed. Ke-4. New York: Mc Graw-Hill Companies, Inc. Gibbons R. 1992. Games theory for applied economists. New Jersey: Princeton University Press. Goldberg RR. 1976. Methods of real analysis. Ed. Ke-2. Canada: John Wiley and Sons, Inc. Hamilton J, Slutsky S. 1990. Endogenous timing in duopoly games: stackelberg or Games and cournot equilibria. economic behavior 2:29-46. Milgrom P, Roberts J. 1990. Rationalizability, learning and equilibrium games with strategic Econometrica complementarities. 58:1255-1277.
Milgrom P, Shannon C. 1991. Monotone comparative statics. IMSSS Paper, Stanford University. Milgrom P, Shannon C. 1994. Monotone comparative statics. Econometrica 62:157-180. Peressini AL, Sullivan FE, Uhl, Jr JJ. 1988. The mathematics of nonlinear programming. New York: SpringerVerlag New York Inc. Rasmusen E. 1990. Games and information. Cambridge: Blackwell. Stewart J. 2001. Kalkulus. Ed. Ke-4, jilid 1. Gunawan N & Susila IN, penerjemah ; Hardani W, Mahanani N, editor. Jakarta: Erlangga. Terjemahan dari: Calculus Fourth Edition. Tarski A. 1955. A lattice-theoritical fixpoint theorem and its application. Pacific J. Math 5:285-309. Tu PNV. 1994. Dynamical system an introduction with application in economics and biologi. Germany: Springer-Verlag. Wikipedia. 2006. Arg max. http://en.wikipedia.org/wiki/Arg_max [31 Desember 2006].
