koncentrace radonu v domě

Probl´ em odhadu pr˚ umˇ ern´ e roˇ cn´ı koncentrace radonu v domˇ e Seminárn´ı práce - ekonometrie Katar´ına Figurová Tomáˇs Hanzák Marek Mikoˇska

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikáln´ı fakulta Katedra pravdˇepodobnosti a matematické statistiky

Vedouc´ı práce: Ing. Jiˇr´ı H˚ ulka leden 2006

Dˇekujeme Ing. Jiˇr´ımu H˚ ulkovi ze Státn´ıho u ´stavu radiaˇcn´ı ochrany za poskytnutá data, uˇziteˇcné pˇripom´ınky, ochotu a v´ ybornou spolupráci. D´ıky také patˇr´ı Prof. RNDr. Jitce Dupaˇcové, DrSc. a Mgr. Zdeˇ nku Hlávkovi, Ph.D. za odborné konzultace.

2

Obsah ´ 1 Uvod 1.1 Zadán´ı u ´kolu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4 5

2 Radon 2.1 Základn´ı fyzikálnˇe-chemické vlastnosti . . . . 2.2 Pˇr´ırodn´ı radioaktivita a problematika radonu 2.3 P˚ usoben´ı radonu na lidsk´ y organismus . . . . 2.4 Pronikán´ı radonu do budovy . . . . . . . . . 2.5 Migrace radonu z podloˇz´ı . . . . . . . . . . .

. . . . .

6 6 6 6 7 8

3 Data ´ 3.1 Uprava dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Meteorologické data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Vlastnosti dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10 10 11 11

4 Odhady bez pouˇ zit´ı meteorologick´ ych promˇ enn´ ych 4.1 Logaritmicko-normáln´ı rozdˇelen´ı . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2 Vlastn´ı postup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Nejlepˇs´ı odhady . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13 13 14 14

5 Anal´ yza z hlediska ˇ casov´ ych ˇ rad 5.1 Vyˇsetˇrován´ı roˇcn´ıho pr˚ ubˇehu koncentrace radonu . . . . . . . . . 5.2 Stacionarizace dat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.3 Autokorelaˇcn´ı funkce, vzájemná korelace . . . . . . . . . . . . . . 5.4 Spektráln´ı anal´ yza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 Spektráln´ı anal´ yza jednorozmˇern´ ych ˇrad . . . . . . . . . . 5.4.2 Vztahy ve spektru, anal´ yza v´ıcerozmˇern´ ych ˇcasov´ ych ˇrad 5.5 Závˇery z anal´ yzy ˇcasov´ ych ˇrad . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . .

19 20 22 23 28 29 31 35

6 Regrese radonu na meteorologick´ e promˇ enn´ e 6.1 Identifikace problému . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6.2 Pouˇzit´ı regrese ke zpˇresnˇen´ı odhad˚ u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

36 36 37

7 Odhady koncentrace radonu v ˇ cl´ anc´ıch

49

8 Z´ avˇ er

50

3

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

. . . . .

. . . . . . .

Kapitola 1

´ Uvod Radon a jeho produkty v ovzduˇs´ı byt˚ u, ˇskolsk´ ych zaˇr´ızen´ı a pracoviˇst’ maj´ı na svˇedom´ı v´ıce neˇz ˇ a republika s pr˚ 70 % veˇskeré dávky ozáˇren´ı obyvatelstva. Cesk´ umˇernou koncentrac´ı objemové 3 aktivity radonu 140 Bq/m pˇritom patˇr´ı k zem´ım s nejvyˇsˇs´ı pr˚ umˇernou koncentrac´ı radonu na svˇetˇe. Becquerel je odvozená jednotka definovaná jako aktivita radioaktivn´ı látky pˇri n´ıˇz dojde k jednomu rozpadu atomového jádra za sekundu. Pro plyny se v praxi ˇcasto pouˇz´ıvaj´ı relativn´ı jednotky, napˇr. 3 Bq/m . Koncentrace radonu v ovzduˇs´ı budovy se mˇen´ı bˇehem dne a noci, bˇehem jednotliv´ ych dn´ı, roˇcn´ıch obdob´ı a dokonce i bˇehem let. Koncentrace pˇr´ırodn´ıho radioaktivn´ıho plynu radonu v domˇe se mˇen´ı v ˇcase a je závislá na pˇr´ısunu tohoto plynu do budovy a ventilaci podle rovnice: da/dt = R(t) − k(t).a(t) , kde a(t) je koncentrace radonu, R(t) pˇr´ısun a k(t) ventilace v ˇcase t. Jak pˇr´ısun R tak ventilace k se mˇen´ı v ˇcase a závis´ı na ˇradˇe parametr˚ u, zejména vˇsak na podtlaku dp v budovˇe. Aktivn´ı nasáván´ı radonu budovou (kom´ınov´ y efekt) ze zemˇe hraje v pˇr´ısunu radonu zpravidla nejvˇetˇs´ı roli. Toto nasáván´ı vzr˚ ustá tehdy, zvˇetˇsuje-li se rozd´ıl vnitˇrn´ı a venkovn´ı teploty a t´ım podtlak v budovˇe. Proto lze pozorovat zpravidla nejvˇetˇs´ı pˇr´ısun radonu do budovy v noci a v rann´ıch hodinách, a tedy i v´ıceménˇe pravidelné pˇrirozené kol´ısán´ı koncentrace radonu bˇehem dne a noci. Ze stejn´ ych d˚ uvod˚ u je v pr˚ umˇeru vˇetˇs´ı pˇr´ısun radonu v zimn´ım obdob´ı neˇz v letn´ım. Vˇetrán´ı m´ıstnosti koncentraci radonu pochopitelnˇe silnˇe ovlivˇ nuje. Koncentrace radonu i doba, za kterou se ustál´ı, jsou nepˇr´ımo u ´mˇerné intenzitˇe vˇetrán´ı. I v uzavˇrené m´ıstnosti docház´ı k u ńiku radonu z m´ıstnosti (zpravidla minimálnˇe kolem 10 % za hodinu), takˇze koncentrace radonu nar˚ ustá po uzavˇren´ı m´ıstnosti zpravidla jen nˇekolik hodin, neˇz dojde k rovnováze mezi pˇr´ısunem radonu a jeho pˇrirozen´ ym u ńikem. Poznamenejme, ˇze i ve venkovn´ım ovzduˇs´ı je pˇr´ıtomno jisté malé mnoˇzstv´ı radonu (kolem 10 Bq/m3 ). Tato koncentrace pˇredstavuje minimáln´ı hodnotu, pod kterou koncentrace uvnitˇr domu nikdy neklesne. V naˇs´ı práci tuto venkovn´ı u ´roveˇ n neuvaˇzujeme. Pˇred anal´ yzou hodnot namˇeˇren´ ych uvnitˇr objekt˚ u by totiˇz bylo moˇzné nejprve venkovn´ı koncentraci odeˇc´ıst. Ne vˇzdy je vˇsak moˇzné mˇeˇrit radon po dobu celého roku. Proto je z praktického hlediska potˇreba zjistit, co se dá ˇr´ıci o celoroˇcn´ım pr˚ umˇeru (kter´ y je d˚ uleˇzit´ y z hlediska dávek obyvatel˚ um domu) na základˇe kratˇs´ıch souvisl´ ych mˇeˇren´ı (napˇr. p˚ ulhodinov´ ych, hodinov´ ych, denn´ıch, t´ ydenn´ıch, mˇes´ıˇcn´ıch). Z takto z´ıskan´ ych v´ ysledk˚ u se pak mus´ıme pokusit odhadnout celoroˇcn´ı pr˚ umˇernou koncentraci radonu v objektu, která je rozhoduj´ıc´ı pro jeho zdravotnˇe (ne)závadné ob´ yván´ı.

4

1.1

Zad´ an´ı u ´ kolu

V neob´ yvaném objektu v obci Telec´ı, okres Svitavy, 49◦ 41’54” s. ˇs., 16◦ 10’49” v. d. (obr. 1.1), byla mˇeˇrena po dobu 1 roku po 30 minutách koncentrace radonu v ovzduˇs´ı domu. Kaˇzdé mˇeˇren´ı pˇredstavuje pr˚ umˇernou hodnotu bˇehem této p˚ ulhodiny. Dále jsou k dispozici data z nedalek´ ych meteorologick´ ych stanic.

Obrázek 1.1: Obec Telec´ı ´ Uloha: Jak´ ym rozdˇelen´ım hodnoty nejlépe popsat, co je nejlepˇs´ı ukazatel roˇcn´ıho pr˚ umˇeru na základˇe r˚ uzn´ ych kratˇs´ıch mˇeˇren´ı a jaké jsou nejistoty odhadu. Dále vz´ıt v u ´vahu teplotu a provést stejné anal´ yzy (koncentrace má zpoˇzdˇen´ı za zmˇenami parametr˚ u, zkuste zjistit jak velké). Pokuste se naj´ıt nejlepˇs´ı metodu pro zjiˇstˇen´ı roˇcn´ıho pr˚ umˇeru na základˇe kratˇs´ıch mˇeˇren´ı.

5

Kapitola 2

Radon 2.1

Z´ akladn´ı fyzik´ alnˇ e-chemick´ e vlastnosti

Radon je nejtˇeˇzˇs´ım prvkem ve skupinˇe vzácn´ ych plyn˚ u, je radioaktivn´ı. • Chemická znaˇcka Rn, (lat. Radon) • Atomové ˇc´ıslo 86 • Relativn´ı atomová hmotnost 222 amu 3

• Hustota 9, 73 kg/m (patˇr´ı mezi nejhustˇs´ı známé plyny) • Teplota tán´ı −71, 15◦ C, tj. 202 K • Teplota varu −61, 55◦ C, tj. 211, 3 K Bezbarv´ y plyn, bez chuti a zápachu, nereaktivn´ı. Vzniká jako produkt radioaktivn´ıho rozpadu radia a uranu a d´ıky své nestálosti postupnˇe zaniká dalˇs´ım radioaktivn´ım rozpadem.

2.2

Pˇ r´ırodn´ı radioaktivita a problematika radonu

Obavy obyvatelstva z radioaktivity jsou dnes soustˇredˇeny zejména na umˇelé zdroje záˇren´ı, zvláˇstˇe na jaderná zaˇr´ızen´ı. Vˇetˇsina lid´ı ani netuˇs´ı, ˇze zdaleka nejvˇetˇs´ı ozáˇren´ı obyvatelstva je zp˚ usobeno zdroji pˇr´ırodn´ımi (Obr. 2.1).

2.3

P˚ usoben´ı radonu na lidsk´ y organismus

Zv´ yˇsen´ y v´ yskyt radonu v urˇcité lokalitˇe sebou pˇrináˇs´ı nár˚ ust nebezpeˇc´ı v´ yskytu rakoviny, pˇredevˇs´ım plicn´ı. Jsou-li radon a jeho rozpadové produkty vdechnuty at’ uˇz samotné, ˇci usazené na aerosolové nebo prachové ˇcástice, z˚ ustávaj´ı v d´ ychac´ıch cestách, resp. v plicn´ıch skl´ıpc´ıch, kde se dále rozpadaj´ı, pˇriˇcemˇz bombarduj´ı plicn´ı v´ ystelku (sliznici) vysokoenergetick´ ymi ˇcásticemi (alfa, beta rozpad). Buˇ nky sliznice, které pr˚ ubˇeˇznˇe a po cel´ y ˇzivot ˇclovˇeka dˇelen´ım zajiˇst’uj´ı regeneraci v´ ystelky, jsou zásahem záˇren´ı poˇskozeny nebo usmrceny. Tato poˇskozen´ı se kumuluj´ı a po pˇrekroˇcen´ı urˇcité meze nevzniká jiˇz pˇri dˇelen´ı funkˇcn´ı buˇ nka v´ ystelky, ale buˇ nka rakovinová. Odborn´ıci prokázali, ˇze v pˇr´ıpadˇe dlouhodobého p˚ usoben´ı radonu a jeho dceˇrin´ ych rozpadov´ ych produkt˚ u na pl´ıce se prudce zvyˇsuje moˇznost vzniku rakoviny.

6

Obrázek 2.1: Rozdˇelen´ı dávek ozáˇren´ı obyvatelstva - celoˇzivotn´ı pr˚ umˇer

2.4

Pronik´ an´ı radonu do budovy

Obrázek 2.2: Model pronikán´ı radonu do budovy Radon se do budovy m˚ uˇze dostat: • z podloˇz´ı • ze stavebn´ıho materiálu • z dodávané vody Podloˇ z´ı je zpravidla nejv´ yznamnˇejˇs´ım zdrojem radonu. Pˇr´ırodn´ı radionuklidy jsou ve stopovém mnoˇzstv´ı ve vˇsech horninách. Jedná se pˇredevˇs´ım o uran 238 U. Nejvyˇsˇs´ı obsah uranu a jeho rozpadov´ ych produkt˚ u maj´ı vyvˇrelé horniny typu syenit˚ u, ˇzul, granodiorit˚ u apod. Tyto horniny vznikaj´ı ztuhnut´ım magmatu, kter´ y vzniká pˇretaven´ım hornin ve svrchn´ım pláˇsti Zemˇe. Protoˇze 7

horninové sloˇzen´ı ˇceského masivu je z velké ˇcásti tvoˇreno právˇe vyvˇrel´ ymi a metamorfovan´ ymi horninami, je zˇrejmé, ˇze pˇr´ısun radonu z tohoto podloˇz´ı je vyˇsˇs´ı. Bˇeˇzné hodnoty koncentrace 3 radonu v hloubce 1 m pod zem´ı b´ yvaj´ı vyˇsˇs´ı neˇz 10 000 Bq/m Na vstup radonu do domu má vˇsak v´ yznamn´ y vliv také plynopropustnost zeminy (ˇc´ım propustnˇejˇs´ı, t´ım vˇetˇs´ı riziko), pˇr´ıpadnˇe poruchy v horninách pod objektem, tektonické zmˇeny. Pouˇ zit´ y stavebn´ı materi´ al je druh´ ym moˇzn´ ym zdrojem radonu. Jedná se zejména o materiály s vyˇsˇs´ım obsahem uranu a radia, z nˇehoˇz radon trvale vzniká. Takov´ ymi materiály mohly b´ yt v nˇekter´ ych lokalitách v´ yrobky ze ˇskváry, pop´ılk˚ u apod. Podzemn´ı voda - radioaktivn´ı plyn radon se rozpouˇst´ı ve vodˇe. Podzemn´ı voda, která proud´ı skrz horniny a zeminy obsahuj´ıc´ı radon, je t´ımto plynem nasycována. Pˇri vyuˇzit´ı této vody pro zásobován´ı pitnou a uˇzitkovou vodou, docház´ı k uvolˇ nován´ı tohoto plynu v objektech. Pˇri pouˇz´ıván´ı vody v bytˇe se ˇcást radonu uvolˇ nuje do ovzduˇs´ı (pˇri sprchován´ı a myt´ı asi 50 %, pˇri vaˇren´ı a pran´ı témˇeˇr 100 %) a vytváˇr´ı zde krátkodobé produkty pˇremˇeny radonu, jejichˇz vdechován´ı pˇrisp´ıvá k ozáˇren´ı osob. Pit´ı vody je z hlediska ozáˇren´ı povaˇzováno za ménˇe v´ yznamné.

2.5

Migrace radonu z podloˇ z´ı

Z minerál˚ u mateˇrské horniny, která obsahuje rádium 226 Ra (posledn´ı ˇclen uranové rozpadové ˇrady pˇred radonem), se uvolˇ nuj´ı pˇri rozpadu atomy radonu 222 Rn. Tento proces se naz´ yvá emanace. Emanace zahrnuje vlastn´ı dˇej rozpadu rádia, následuje dˇej migrace atomu radonu po krystalové mˇr´ıˇzce minerálu k jeho povrchu a koneˇcnˇe pˇrechod atomu Rn do pór˚ u a trhlin horniny. Koncentrace radonu v p˚ udn´ım vzduchu tedy tvoˇr´ı ty atomy Rn, které pronikly aˇz do pór˚ u hornin a zemin. V této fázi docház´ı ke dvˇema základn´ım typ˚ um transportu radonu z geologického podloˇz´ı: 1. Dif´ uze je jev zp˚ usoben´ y tepeln´ ym pohybem molekul a atom˚ u plynu, kter´ y vede k jejich pˇrem´ıst’ován´ı z m´ıst s vyˇsˇs´ı koncentrac´ı do m´ıst s niˇzˇs´ı koncentrac´ı. Migrace radonu dif´ uz´ı závis´ı na pórovitosti prostˇred´ı, uspoˇrádán´ı ˇcástic horniny, na nasycenosti pór˚ u zeminy kapalinou a na teplotˇe. Z fyzikáln´ı podstaty jevu vypl´ yvá, ˇze vzdálenost i rychlost dif´ uze je velmi malá a vzdálenost, na kterou se radon dif´ uz´ı m˚ uˇze pˇrem´ıstit, ˇcin´ı max. 10 m. 2. Konvekce radonu je zp˚ usobena vnˇejˇs´ımi fyzikáln´ımi jevy, napˇr. tlakov´ ymi a teplotn´ımi gradienty v geologickém prostˇred´ı apod. Na teplotn´ım gradientu pˇr´ımo závis´ı i tlakov´ y gradient. Tepl´ y (ohˇra´t´ y) a ˇridˇs´ı vzduch uvnitˇr objektu stoupá d´ıky kom´ınovému efektu vzh˚ uru a má tendenci pronikat do vyˇsˇs´ıch podlaˇz´ı objektu. T´ım vzniká ve spodn´ıch ˇcástech objektu (pˇr´ızem´ı, pˇr´ıp. sklep) podtlak, kter´ y je vyrovnáván pˇrisáv´ an´ım studeného a na radon vysoce obohaceného vzduchu trhlinami a prasklinami v neizolované podlaze, betonov´ ych deskách, spárami mezi zdmi a podlahou, pˇr´ıp. prostupy inˇzen´ yrsk´ ych s´ıt´ı apod. Objekt tak vlastnˇe nasává radon z geologického podloˇz´ı objektu (Obr. 2.2). Rychlost transportu radonu konvekc´ı je o nˇekolik ˇrád˚ u vyˇsˇs´ı neˇz dif´ uz´ı. Radon m˚ uˇze v p˚ udˇe ˇci tektonicky poruˇsené horninˇe migrovat aˇz na vzdálenost nˇekolika des´ıtek metr˚ u od zdroje. Mezi dalˇs´ı doplˇ nuj´ıc´ı faktory patˇr´ı také • Propustnost hornin a p˚ ud • Tektonické poruˇsen´ı hornin r˚ uzn´ ymi zlomy a pˇresmyky. Tyto poruchy tvoˇr´ı v´ ybornou transportn´ı cestu pro radon, nebot’ m˚ uˇze podél poruch migrovat jednoduˇseji neˇz kompaktn´ı horninou. Terénn´ımi mˇeˇren´ımi bylo prokázáno, ˇze nad tektonick´ ymi poruchami ze základov´ ych p˚ ud uniká aˇz nˇekolikanásobné mnoˇzstv´ı radonu, neˇz nad horninami neporuˇsen´ ymi. • Teplota atmosféry a p˚ udy. Zp˚ usobuje zmˇeny objemové aktivity radonu bˇehem kalendáˇrn´ıho roku. V naˇsich zemˇepisn´ ych ˇs´ıˇrkách byl pozorován pokles pr˚ umˇern´ ych radonov´ ych hodnot v letn´ıch mˇes´ıc´ıch (n´ızká vlhkost p˚ udy, dobˇre odvˇetran´ y p˚ udn´ı profil) a jejich nár˚ ust v zimn´ım 8

obdob´ı. Tyto rozd´ıly jsou zp˚ usobeny promrzán´ım svrchn´ıch p˚ udn´ıch profil˚ u v zimn´ıch mˇes´ıc´ıch, ˇc´ımˇz docház´ı k uzavˇren´ı pór˚ u v p˚ udˇe, t´ım se radon akumuluje v hlubˇs´ıch horizontech profilu a nem˚ uˇze volnˇe unikat do atmosféry. • Mezi dalˇs´ı faktory ovlivˇ nuj´ıc´ı pronikán´ı radonu z podloˇz´ı patˇr´ı vlhkost p˚ udy, sráˇzková ˇcinnost, tlak vzduchu, rychlost vˇetru, nasycenost horninového podloˇz´ı mineralizovanou podzemn´ı vodou, charakter vertikáln´ıho profilu hornin, jejich homogenita apod. Tyto faktory vˇetˇsinou p˚ usob´ı ve vzájemné kombinaci, pˇriˇcemˇz se nedá pˇresnˇe urˇcit pod´ıl jednotliv´ ych faktor˚ u. Dá se vˇsak obecnˇe ˇr´ıci, ˇze za vlhkého poˇcas´ı je radon zadrˇzován v p˚ udˇe a do atmosféry uniká ménˇe.

9

Kapitola 3

Data K dispozici jsme dostali 18 932 p˚ ulhodinov´ ych mˇeˇren´ı ve dnech od 19.4.2003 do 28.5.2004 s obˇcasn´ ymi v´ ypadky proudu. Data jsme se rozhodli oˇrezat na rok od 1.5.2003 - 30.4.2004. Anal´ yza dat byla provedena v programech Microsoft Excel, R a Statistica.

3.1

´ Uprava dat

V prvn´ı ˇradˇe jsme potˇrebovali dostat kompletn´ı roˇcn´ı pr˚ ubˇeh, tedy pˇredevˇs´ım doplnit v´ ypadky. V této situaci je moˇzné pouˇz´ıt sloˇzit´ ych aproximaˇcn´ıch metod, ale rozhodli jsme se pouˇz´ıt jednoduchou intuitivn´ı metodu, nebot’ tohle nen´ı tˇeˇziˇstˇe naˇs´ı práce. Pˇri krátk´ ych v´ ypadc´ıch (1 aˇz 3 hodnoty) jsme data doplnili aritmetick´ ym pr˚ umˇerem okoln´ıch hodnot, pˇr´ıpadnˇe jednoduchou lineárn´ı interpolac´ı. Pˇri delˇs´ıch (v´ıcehodinov´ ych) v´ ypadc´ıch jsme vyuˇz´ıvali hodnot namˇeˇren´ ych v okoln´ıch dnech. Touto u ´pravou dat jsme dostali ˇcasovou ˇradu s 17 568 p˚ ulhodinov´ ymi hodnotami radonu, jej´ıˇz pr˚ ubˇeh m˚ uˇzeme vidˇet na obr. 3.1.

5000

Radon (Bq/m3)

4000

3000

2000

1000

0

1.5.2003 0:08

13.8.2003 4:16

25.11.2003 8:05

8.3.2004 12:22

Den (hodina)

Obrázek 3.1: Pr˚ ubˇeh radonu

10

3.2

Meteorologick´ e data

Dalˇs´ı data, která jsme mˇeli k dispozici, jsou u ´daje ze dvou meteorologick´ ych stanic. Prvn´ı je stanice Svratouch (okres Chrudim, 49◦ 43’46” s. ˇs., 16◦ 01’53” v. d.), vzdálená asi 11 km od obce Telec´ı. Odtud máme k dispozici hodinová pozorován´ı uveden´ ych veliˇcin, pro kaˇzd´ y den 14 hodnot v ˇcasech ´ ı nad Orlic´ı (49◦ 58’27” s. ˇs., 16◦ 23’51” v. d.) asi 7:00 aˇz 20:00. Druhá stanice se nacház´ı v Ust´ 34 km od naˇseho objektu. Odtud máme pro kaˇzd´ y den kompletn´ıch 24 hodinov´ ych pozorován´ı. V obou pˇr´ıpadech máme k dispozici data pro odpov´ıdaj´ıc´ı obdob´ı od 1. 5. 2003 do 30. 7. 2004, kdy jsme mˇeˇrili koncentraci radonu v naˇsem domˇe. Mimo teploty máme k dispozici také informace o atmosférickém tlaku (hPa), rychlosti vˇetru (m/s), rosném bodˇe (◦ C), oblaˇcnosti, sráˇzkách a smˇeru vˇetru. Z fyzikáln´ı podstaty procesu, kter´ ym se radon dostává do budovy, plyne, ˇze jeho koncentrace závis´ı na teplotˇe a tlaku, jejich pr˚ ubˇeh je vidˇet na obr. 3.2 a obr. 3.3.

990

Tlak (hPa)

980

970

960

950

940

1.5.2003

23.7.2003

14.10.2003

6.1.2004

29.3.2004

Den

Obrázek 3.2: Tlak

3.3

Vlastnosti dat

Podrobnˇejˇs´ı pohled na naˇse data nám odhal´ı denn´ı a roˇcn´ı periodicitu koncentrace radonu, které jasnˇe plynou z fyzikáln´ıho modelu chován´ı radonu. Také lehce zjist´ıme, ˇze letn´ı mˇes´ıce se vyznaˇcuj´ı sp´ıˇs niˇzˇs´ımi hodnotami a menˇs´ım rozptylem, zimn´ı data maj´ı vysoké hodnoty a velk´ y rozptyl, viz. tabulka 3.1. den 26.1.2004 27.1.2004 28.1.2004 29.1.2004 30.1.2004

radon (Bq/m3 ) 2940,03125 493,5 1913,36458 3112,16667 829,97917

Tabulka 3.1: Pˇr´ıklad denn´ıch pr˚ umˇeru radonu

11

40

30

Teplota (°C)

20

10

0

-10

-20

1.5.2003

23.7.2003

14.10.2003

6.1.2004

29.3.2004

Den

Obrázek 3.3: Teplota

V chladn´ ych mˇes´ıc´ıch taky m˚ uˇzeme sledovat velké rozd´ıly mezi hodnotami v rámci jednoho dne, viz. tabulka 3.2. den 20.2.04

pr˚ umˇ er 669,7813

min 85

max 1956

Tabulka 3.2: Pˇr´ıklad denn´ıho pr˚ ubˇehu radonu

V následuj´ıc´ıch kapitolách budeme k naˇsemu problému pˇristupovat ze tˇr´ı hledisek • odhady bez pouˇzit´ı meteorologick´ ych promˇenn´ ych • anal´ yza ˇcasov´ ych ˇrad • regrese

12

Kapitola 4

Odhady bez pouˇ zit´ı meteorologick´ ych promˇ enn´ ych Nyn´ı se na data nebudeme d´ıvat jako na ˇcasovou ˇradu, ale pouze jako na neuspoˇrádan´ y soubor hodnot. M˚ uˇzeme si napˇr´ıklad nechat nakreslit histogram p˚ ulhodinov´ ych mˇeˇren´ı (obr. 4.1).

Po et pozorování

2500

2000

1500

1000

500

0

0

1000

2000

3000

4000

Hodnoty

Obrázek 4.1: Histogram z p˚ ulhodinov´ ych mˇeˇren´ı Pˇri otázce o druhu rozdˇelen´ı nám bylo doporuˇceno pracovat s logaritmicko-normáln´ım rozdˇelen´ım, které se ˇcasto pouˇz´ıvá právˇe pˇri modelován´ı pˇr´ırodn´ıch jev˚ u.

4.1

Logaritmicko-norm´ aln´ı rozdˇ elen´ı

Logaritmicko-normáln´ı rozdˇelen´ı je rozdˇelen´ım náhodné veliˇciny, jej´ıˇz logaritmus má normáln´ı rozdˇelen´ı. Takˇze kdyˇz Y je náhodná veliˇcina s normáln´ım rozdˇelen´ım, potom X = exp(Y ) má logaritmicko-normáln´ı rozdˇelen´ı. Naopak, kdyˇz náhodná veliˇcina X má log-normáln´ı rozdˇelen´ı, tak Y = ln(X) má normáln´ı rozdˇelen´ı. Hustota logaritmicko-normáln´ıho rozdˇelen´ı je µ ¶ −(ln x − µ)2 1 √ exp (4.1) f (x, µ, σ) = 2σ 2 xσ 2π 13

pro x > 0, kde µ a σ 2 jsou stˇredn´ı hodnota a rozptyl zlogaritmované promˇenné Y . Pro stˇredn´ı hodnotu plat´ı 2 E(X) = eµ+σ /2 (4.2) a pro rozptyl

2

2

var(X) = (eσ − 1)e2µ+σ .

(4.3)

Odhady parametr˚ u metodou maximáln´ı vˇerohodnosti jsou µ ˆ=

1X ln xk n

(4.4)

k

1X σˆ2 = (ln xk − µ ˆ)2 . n

(4.5)

k

Jak si m˚ uˇzeme vˇsimnout, µ ˆ je moˇzné pˇrepsat jako µ ˆ = ln( pr˚ umˇer.

4.2

Q

1

k

xk ) n , kde (

Q

1

k

xk ) n je geometrick´ y

Vlastn´ı postup

Na obrázku 4.2 je vidˇet, ˇze odhadnuté logaritmicko-normáln´ı rozdˇelen´ı nadhodnocuje v´ yskyt niˇzˇs´ıch hodnot a podhodnocuje v´ yskyt vyˇsˇs´ıch hodnot. Odhadnuté Weibullovo rozdˇelen´ı se chová právˇe naopak. Takˇze je vidˇet, ˇze ani jedno rozdˇelen´ı nám u ´plnˇe nevyhovuje.

Obrázek 4.2: Hledán´ı rozdˇelen´ı Podle naˇseho názoru je pˇr´ıstup k dat˚ um pˇres rozdˇelen´ı neodpov´ıdaj´ıc´ı realitˇe, jelikoˇz nejde o náhodn´ y v´ ybˇer. Rozhodli jsme se tud´ıˇz nezkoumat tuto moˇznost do hloubky a dále t´ımto smˇerem nepostupovat. Pˇr´ıstup pˇres rozdˇelen´ı by se mohl uplatnit napˇr´ıklad pˇri práci s daty z vˇetˇs´ıho poˇctu dom˚ u.

4.3

Nejlepˇ s´ı odhady

V dalˇs´ı ˇcásti se pod´ıváme na to, která statistika je nejlepˇs´ım odhadem celoroˇcn´ıho pr˚ umˇeru. Jako odhad vyzkouˇs´ıme aritmetick´ y pr˚ umˇer, medián a geometrick´ y pr˚ umˇer za dané obdob´ı. Celoroˇcn´ı

14

3

pr˚ umˇer z p˚ ulhodinov´ ych mˇeˇren´ı v naˇsem domu je 1077,263 Bq/m . Jako veliˇcinu, která nám ˇrekne jak dobr´ y odhad roˇcn´ıho pr˚ umˇeru dává daná statistka, pouˇzijeme v u n u 1 X ¯ 2, S=t (Xi − X) n − 1 i=1 ¯ je celoroˇcn´ı pr˚ kde X umˇer a Xi je hodnota statistiky pro i-té obdob´ı. Pro lepˇs´ı orientaci taky zavedeme promˇennou index Xi I= ¯ . X Nejkratˇs´ım ˇcasov´ ym u ´sekem, kter´ ym se budeme zab´ yvat, je jeden den. Denn´ı S

arit. pr˚ umˇer 770,1008

medi´ an 812,2487

geom. pr˚ umˇer 758,3017323

Tabulka 4.1: Odhady z denn´ıch mˇeˇren´ı

Index

(denní geom. pr m r/ro ní pr m r)

Jak je patrné uˇz z hodnoty S, variabilita je pˇri denn´ım mˇeˇren´ı vysoká. Jako nejlepˇs´ı se ukázal odhad z denn´ıch dat pomoc´ı geometrického pr˚ umˇeru (Obr. 4.3).

4,0 3,5 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0,0 1.5.2003

9.8.2003

17.11.2003

25.2.2004

Den

Obrázek 4.3: Indexy denn´ıch geometrick´ ych pr˚ umˇer˚ u Denn´ı odhady jsou tedy prakticky nepouˇzitelné. Jak situace dopadne pˇri t´ ydenn´ım mˇeˇren´ı ukazuje následuj´ıc´ı tabulka (Tab. 4.2) T´ ydenn´ı S


medi´ an 618,6895


Tabulka 4.2: Odhady z t´ ydenn´ıch mˇeˇren´ı Nejlepˇs´ım odhadem se opˇet ukázal t´ ydenn´ı geometrick´ y pr˚ umˇer (Obr. 4.4). Uˇz na prvn´ı pohled je jasné, ˇze t´ ydenn´ı odhady budou kvalitnˇejˇs´ı jak odhady denn´ı. Vzhledem k prodlouˇzen´ı doby mˇeˇren´ı bychom vˇsak oˇcekávali v´ yraznˇeji kvalitnˇejˇs´ı odhady. Odchylka t´ ydenn´ıch odhad˚ u je stále velmi vysoká.

15

2,5

2,0

Index(týdenní geom. pr

m

r/ro ní pr

m

r)

3,0

1,5

1,0

0,5

0,0 18(03)

28(03)

38(03)

48(03)

6(04)

16(04)

Týden(rok)

Obrázek 4.4: Indexy t´ ydenn´ıch geometrick´ ych pr˚ umˇer˚ u Dalˇs´ı uvaˇzovanou délkou mˇeˇren´ı bude 14 dn´ı (Tab. 4.3, Obr. 4.5). Opˇet se nejlepˇs´ım ukázal geometrick´ y pr˚ umˇer. Dvout´ ydenn´ı S


medi´ an 591,9904


Index

(14 denní geom. pr m r/ro ní pr m r)

Tabulka 4.3: Odhady z dvout´ ydenn´ıch mˇeˇren´ı

3,0

2,5

2,0

1,5

1,0

0,5

0,0 18(03)

28(03)

38(03)

48(03)

6(04)

16(04)

14 denní úseky (po áte ní týdenr(rok))

Obrázek 4.5: Indexy dvout´ ydenn´ıch geometrick´ ych pr˚ umˇer˚ u Dalˇs´ımi odhady budou odhady mˇes´ıˇcn´ı. Konkrétnˇe naˇsich 366 dn´ı rozdˇel´ıme na 12 mˇes´ıc˚ u pˇresnˇe v souladu s bˇeˇzn´ ym kalendáˇrem, tj. nˇekter´ y mˇes´ıc bude m´ıt 30, nˇekter´ y 31 a jeden 29 dn´ı.

16

Mˇ es´ıˇ cn´ı S


medi´ an 473,134


Tabulka 4.4: Odhady z mˇes´ıˇcn´ıch mˇeˇren´ı

1.5

1.0

0.5

Index(m

sí ní geom.pr

m

r/ro ní pr

m

r)

2.0

0.0 5(03)

7(03)

9(03)

11(03)

1(04)

3(04)

M síc(rok)

Obrázek 4.6: Indexy mˇes´ıˇcn´ıch geometrick´ ych pr˚ umˇer˚ u Pro ilustraci se pod´ıváme také na odhady dvoumˇes´ıˇcn´ı (Tab. 4.5). Jsme si vˇedomi, ˇze pˇri roˇcn´ım mˇeˇren´ı to nebude m´ıt velkou vypov´ıdac´ı hodnotu, ale alespoˇ n nast´ın´ı kam smˇerovat u ´vahy, kdyˇz budou k dispozici data z delˇs´ıch mˇeˇren´ı. V tomto pˇr´ıpadˇe se odhady opˇet vylepˇsili, jako nejlepˇs´ı odhad vyˇsel aritmetick´ y pr˚ umˇer. Dvoumˇ es´ıˇ cn´ı S


medi´ an 474,9325


Tabulka 4.5: Odhady z dvoumˇes´ıˇcn´ıch mˇeˇren´ı Odhady jsem se pokouˇseli vylepˇsit taky rozdˇelen´ım mˇes´ıc˚ u na studené a teplé, pˇriˇcemˇz za studen´ y byl oznaˇcen´ y mˇes´ıc, v kterém teplota v noci trvale klesla pod 0◦ C. V naˇsem roku jsme shodou okolnost´ı dostali 6 tepl´ ych a 6 studen´ ych mˇes´ıc˚ u. Odhadovali jsme roˇcn´ı pr˚ umˇer na základˇe mˇes´ıˇcn´ıch mˇeˇren´ı. Z naˇsich v´ ysledk˚ u v letn´ıch mˇes´ıc´ıch se tyto odhady m´ırnˇe zhorˇsili (nejniˇzˇs´ı S = 467, 55). V zimn´ıch mˇes´ıc´ıch se naopak odhad m´ırnˇe zlepˇsil (pro geom. pr˚ umˇer S = 409, 39). Pokud bychom tedy mˇes´ıˇcn´ı mˇeˇren´ı provádˇeli ve studen´ ych mˇes´ıc´ıch, m˚ uˇzeme oˇcekávat lepˇs´ı v´ ysledek jako v mˇes´ıc´ıch tepl´ ych. Ani t´ımto zp˚ usobem jsme vˇsak nedosáhli v´ ysledku lepˇs´ıho neˇz S = 400. Obecnˇe samozˇrejmˇe plat´ı, ˇze ˇc´ım delˇs´ı dobu budeme mˇeˇrit, t´ım kvalitnˇejˇs´ı odhad z´ıskáme. Pˇresvˇedˇcili jsme se vˇsak, ˇze ani pro delˇs´ı mˇeˇren´ı nez´ıskáme pˇr´ıliˇs kvalitn´ı odhady.

17

Pro porovnán´ı pˇrikládáme kompletn´ı tabulku (Tab. 4.6): Denn´ı S T´ ydenn´ı S Dvout´ ydenn´ı S Mˇ es´ıˇ cn´ı S Dvoumˇ es´ıˇ cn´ı S

arit. pr˚ umˇer 770,1008 arit. pr˚ umˇer 569,7654 arit. pr˚ umˇer 476,9652 arit. pr˚ umˇer 443,0852 arit. pr˚ umˇer 411,5684

medi´ an 812,2487 medi´ an 618,6895 medi´ an 591,9904 medi´ an 473,134 medi´ an 474,9325

Tabulka 4.6: Odhady

18

geom. pr˚ umˇer 758,3017 geom. pr˚ umˇer 538,9953 geom. pr˚ umˇer 446,3559 geom. pr˚ umˇer 440,8478 geom. pr˚ umˇer 434,9082

Kapitola 5

Anal´ yza z hlediska ˇ casov´ ych ˇ rad

8 log(DataHod)

6

7

3000 2000 0

5

1000

DataHod [Bq.m−3]

4000

´ ı V této kapitole se snaˇz´ıme radon a jeho vztahy k meteorologick´ ym ukazatel˚ um (za stanice Ust´ nad Orlic´ı) vyˇsetˇrovat metodami anal´ yzy ˇcasov´ ych ˇrad. Tento postup se zdá pˇrirozen´ ym, nebot’ zkoumané veliˇciny maj´ı charakter ˇcasov´ ych ˇrad. Analyzujeme koncentraci radonu v hodinov´ ych mˇeˇren´ıch (z p˚ ulhodinov´ ych mˇeˇren´ı jsme spravili hodinová pomoc´ı pr˚ umˇeru) a vztahy k teplotˇe, rychlosti vˇetru a tlaku, nebot’ tyto tˇri veliˇciny hladinu radonu nejv´ıce ovlivˇ nuj´ı. Vˇetˇsinou zde pracujeme s logaritmy hodnot radonu. Pro anal´ yzu je to vhodnˇejˇs´ı, nebot’ tak sniˇzujeme velk´ y rozptyl, kter´ y je u p˚ uvodn´ıch hodnot (zvláˇstˇe ve studenˇejˇs´ıch mˇes´ıc´ıch). Zlepˇsen´ı po zlogaritmován´ı lze pozorovat na obrázku 5.1.

1.5.2003

15.6.2003

31.7.2003

15.9.2003

30.10.2003

15.12.2003

30.1.2004

16.3.2004

30.4.2004

1.5.2003

Time

15.6.2003

31.7.2003

15.9.2003

30.10.2003

15.12.2003

30.1.2004

16.3.2004

30.4.2004

Time

Obrázek 5.1: Srovnán´ı p˚ uvodn´ı ˇrady koncentrac´ı radonu a ˇrady zlogaritmované

V prvn´ı ˇcásti se zab´ yváme celoroˇcn´ım pr˚ ubˇehem radonu a moˇznostmi jeho vyuˇzit´ı k odhadu roˇcn´ıho pr˚ umˇeru z kratˇs´ıch mˇeˇren´ı. K pouˇzitelnosti dalˇs´ıch anal´ yz na hodinová mˇeˇren´ı jsou vˇsechny ˇrady stacionarizovány pomoc´ı vyrovnan´ ych hodnot z lokálnˇe polynomiáln´ıho regresn´ıho odhadu. Tˇret´ı sekce se t´ yká vztah˚ u v ˇcasové doménˇe - autokorelaˇcn´ı funkce, vzájemné korelace (cross-correlation). V´ ysledky ukazuj´ı na charakter a m´ıru ovlivnˇen´ı mezi namˇeˇren´ ymi veliˇcinami a také na závislost jednotliv´ ych mˇeˇren´ı. V posledn´ı ˇcásti je pouˇzita spektráln´ı anal´ yza na hledán´ı v´ yznamn´ ych periodick´ ych sloˇzek a fázového posunu mezi pr˚ ubˇehem radonu a teploty (rychlosti vˇetru, tlaku). Teorie k následuj´ıc´ım anal´ yzám je k nalezen´ı v [2] a [8].

19

5.1

Vyˇ setˇ rov´ an´ı roˇ cn´ıho pr˚ ubˇ ehu koncentrace radonu

Pro rozumn´ y odhad pr˚ umˇerné roˇcn´ı koncentrace radonu z kratˇs´ıch ˇcasov´ ych u ´sek˚ u by byla znalost pravidelného pr˚ ubˇehu bˇehem roku velmi pˇr´ınosná. V minul´ ych kapitolách uˇz bylo prezentováno, jak jsou krátkodobé odhady zaloˇzené na pr˚ umˇeru nepˇresné. Pro oblast se znám´ ym pravideln´ ym roˇcn´ım pr˚ ubˇehem by bylo moˇzné opravit krátkodobé odhady v závislosti na tom, v jaké fázi roku se nacházej´ı. Je ovˇsem velmi d˚ uleˇzité, z jak´ ych dat jsou tyto opravné poloˇzky zkonstruovány. V naˇsem pˇr´ıpadˇe, kdy máme pouze ˇradu roˇcn´ıch mˇeˇren´ı z jednoho domu, jsou moˇznosti vypov´ıdat o pravidelném roˇcn´ım pr˚ ubˇehu znaˇcnˇe omezené. Pro smysluplné konstrukce sezónn´ıho charakteru koncentrace v pr˚ ubˇehu roku by bylo potˇreba m´ıt data z vˇetˇs´ıho poˇctu dom˚ u ve vyˇsetˇrované oblasti. Také data s nˇekolikalet´ ym pr˚ ubˇehem by dopomohli k tvorbˇe u ´ˇcinného roˇcn´ıho modelu a k ovˇeˇren´ı správnosti dan´ ych u ´vah. Data, která pouˇz´ıváme, pˇredstavuj´ı jednu realizaci roˇcn´ı periody, tud´ıˇz nen´ı zaruˇcena správnost tohoto postupu pro libovoln´ y jin´ y rok ani jiné obydl´ı. Z uveden´ ych d˚ uvod˚ u zde pˇredkládáme pouze velmi jednoduchou ukázku, jak by se dalo postupovat. Z nedostatku dat je na konstrukci trendu bˇehem roku pouˇzito pouze proloˇzen´ı polynomem 4. stupnˇe. V´ ysledná kˇrivka reprezentuj´ıc´ı roˇcn´ı pr˚ ubˇeh je zakreslena spolu s daty na obrázku 5.2. Jedná se sice o velmi hrub´ y odhad, ale z obrázku je vidˇet, ˇze je pro naˇse ilustrativn´ı u ´ˇcely postaˇcuj´ıc´ı. Pˇribliˇznˇe ˇsest mˇes´ıc˚ u jsou hodnoty nad zakreslen´ ym roˇcn´ım pr˚ umˇerem, zb´ yvaj´ıc´ıch ˇsest mˇes´ıc˚ u pod n´ım. Také je naznaˇcena periodická návaznost kˇrivky. Pokud bychom mˇeli v´ıceletá data, bylo by vhodnˇejˇs´ı hledat tuto roˇcn´ı periodu pomoc´ı nástroj˚ u spektráln´ı anal´ yzy. Pro ukázku vol´ıme také jednoduchou konstrukci sezónn´ıch oprav po mˇes´ıc´ıch. Uplatˇ nuje se u ´vaha, ˇze data mˇeˇrená v urˇcité fázi roku (v demonstraci se jedná o kalendáˇrn´ı mˇes´ıc) staˇc´ı vynásobit opravn´ ym koeficientem odpov´ıdaj´ıc´ı fáze. Pro jednoduchost konstruujeme koeficient jako pod´ıl roˇcn´ıho pr˚ umˇeru a hodnoty, kterou proloˇzen´ y polynom nab´ yvá v polovinˇe dané fáze (napˇr. pro mˇes´ıc ˇcerven se pouˇzije hodnota kˇrivky k datu 15. ˇcervna). Napoˇctené sezónn´ı koeficienty jsou v tabulce 5.1.

Obrázek 5.2: Koncentrace radonu v pr˚ ubˇehu roku proloˇzená polynomem 4. stupnˇe

20

Mˇes´ıc kvˇeten ˇcerven ˇcervenec srpen záˇr´ı ˇr´ıjen listopad prosinec leden u ńor bˇrezen duben

Sezónn´ı koeficient 1,811135 1,511384 1,168813 0,9290264 0,7916054 0,7269818 0,7143113 0,7514815 0,8508542 1,037574 1,322565 1,714117

Tabulka 5.1: Ukázka sezónn´ıch opravn´ ych koeficient˚ u konstruovaná na základˇe roˇcn´ıho pr˚ ubˇehu koncentrace radonu

Hodnoty v tabulce pˇribliˇznˇe odpov´ıdaj´ı oˇcekáván´ı, ˇze v chladn´ ych mˇes´ıc´ıch je pr˚ umˇer nadhodnocen a v tepl´ ych podhodnocen. Na obrázku 5.3 je porovnán´ı odhad˚ u roˇcn´ı koncentrace radonu na základˇe klasického aritmetického pr˚ umˇeru a pr˚ umˇeru sezónnˇe upraveného. Jedná se o odhady zkonstruované z hodnot kalendáˇrn´ıch mˇes´ıc˚ u. Je patrné, ˇze u osmi mˇes´ıc˚ u doˇslo k v´ yraznému zlepˇsen´ı pˇri pouˇzit´ı opravn´ ych koeficient˚ u. Pouze v listopadu sezónn´ı oprava znatelnˇe zhorˇsila pˇredpovˇed’ roˇcn´ıho pr˚ umˇeru. Je to zp˚ usobeno nárazov´ ym sn´ıˇzen´ım koncentrace radonu v tomto mˇes´ıci (viz. obrázek 5.2).

Obrázek 5.3: Vylepˇsené sezónn´ı mˇes´ıˇcn´ı odhady roˇcn´ı pr˚ umˇerné koncentrace radonu

21

Na celkové zlepˇsen´ı odhad˚ u také poukazuje v´ ybˇerová smˇerodatná odchylka spoˇctená z tˇechto dvanácti odhad˚ u na základˇe jednotliv´ ych kalendáˇrn´ıch mˇes´ıc˚ u. Hodnota v´ ybˇerové smˇerodatné odchylky pro neupravené mˇes´ıˇcn´ı pr˚ umˇery je 429, 88 a pro sezónnˇe opravené koeficienty 225, 97. I kdyˇz jsme pouˇzili jen demonstrativn´ı postup, dosáhli jsme podstatnˇe vylepˇsen´ ych odhad˚ u pro roˇcn´ı koncentraci radonu. Konstrukce opravn´ ych koeficient˚ u by se dala zdokonalit pˇri zahrnut´ı meteorologick´ ych promˇenn´ ych ovlivˇ nuj´ıc´ıch roˇcn´ı pr˚ ubˇeh hladiny radonu a pouˇzit´ım v´ıcelet´ ych ˇ s´ı pouˇzitelnosti se dá dosáhnout pˇri konstrukci sezónn´ıch oprav mˇeˇren´ı koncentrace radonu. Sirˇ z velkého poˇctu dom˚ u zkoumané oblasti.

5.2

Stacionarizace dat

V anal´ yze ˇcasov´ ych ˇrad se daj´ı pouˇz´ıvat dva pˇr´ıstupy - anal´ yza v ˇcasové doménˇe a ve spektráln´ı doménˇe. Pˇr´ıstupy jsou ekvivalentn´ı z hlediska mnoˇzstv´ı informace o zkouman´ ych ˇradách. Informace je u nich ale pˇredávána v r˚ uzné formˇe. Pouˇzijeme obˇe metody a uvid´ıme, ˇze v´ ysledky se shoduj´ı. Vˇetˇsina teorie k tˇemto anal´ yzám je zaloˇzena na pouˇz´ıván´ı stacionárn´ıch ˇrad. Staˇc´ı uvaˇzovat napˇr´ıklad slabou stacionaritu. Stochastick´ y proces je slabˇe stacion´ arn´ı, pokud má v ˇcase konstantn´ı stˇredn´ı hodnotu, konstantn´ı rozptyl a kovarianˇcn´ı strukturu invariantn´ı v˚ uˇci posun˚ um v ˇcase (tj. cov(yt , ys ) = cov(yt+h , ys+h ) pro libovolné h). Z tohoto d˚ uvodu v této kapitole stacionarizujeme zkoumané ˇcasové ˇrady. P˚ uvodn´ı pozorován´ı nejsou stacionárn´ı, nebot’ je v nich obsaˇzen roˇcn´ı trend. Postup je následuj´ıc´ı. Metodou lokáln´ıch lineárn´ıch regresn´ıch odhad˚ u z´ıskáme vyhlazenou ˇcasovou ˇradu. Tu pak odeˇcteme od p˚ uvodn´ı zkoumané ˇcasové ˇrady. Z´ıskáme t´ım ˇradu, která má v mˇeˇr´ıtku jednoho roku stacionárn´ı charakter. Pro naˇse data pouˇz´ıváme k vyhlazen´ı lokáln´ı okno o délce 61 pozorován´ı. K-tou vyhlazenou hodnotu lze z´ıskat z regresn´ıho modelu, kde vysvˇetlujeme k-té pozorován´ı spolu s nejbliˇzˇs´ımi ˇsedesáti sousedn´ımi hodnotami vektorem poˇradov´ ych index˚ u vysvˇetlovan´ ych hodnot. Tato regresn´ı metoda je vhodnˇejˇs´ı neˇz vyrovnán´ı pomoc´ı libovolného jádra, nebot’ odpadaj´ı problémy s odhadem u krajn´ıch hodnot. Vyhlazen´ı na základˇe ˇsedesáti nejbliˇzˇs´ıch hodnot (60 hodin) nenaruˇs´ı denn´ı periodicitu naˇsich dat a pˇritom roˇcn´ı trend odstran´ı. Grafick´ y v´ ysledek pouˇzitého postupu u hodinov´ ych mˇeˇren´ı teploty a logaritm˚ u koncentrace radonu je vidˇet na obrázku 5.4. Obdobnˇe situace dopadne i pro ˇradu tlaku a rychlosti vˇetru.

22

b) Plot stacDataHod

0

stacDataHod

−1

7 6

−2

5

log(DataHod)

1

8

a) Local linear regression − logDataHod

31.7.2003

30.10.2003

30.1.2004

30.4.2004

1.5.2003

31.7.2003

30.10.2003

30.1.2004

Time

Time

c) Local linear regression − Teplota

d) Plot stacTeplota

30.4.2004

5 0

stacTeplota

−15 −10

−5

10 0 −20

Teplota

20

10

30

15

1.5.2003

1.5.2003

31.7.2003

30.10.2003

30.1.2004

30.4.2004

1.5.2003

31.7.2003

Time

30.10.2003

30.1.2004

30.4.2004

Time

Obr´ azek 5.4: a) vyhlazen´ı ˇrady logaritm˚ u koncentrace radonu na základˇe lokáln´ı lineárn´ı regrese, b) stacionarizovaná ˇrada pro radon, c) vyhlazen´ı ˇrady teplot na základˇe lokáln´ı lineárn´ı regrese, d) stacionarizovaná ˇrada pro teplotu

5.3

Autokorelaˇ cn´ı funkce, vz´ ajemn´ a korelace

V této sekci se zab´ yváme anal´ yzou ˇrad v ˇcasové doménˇe. Zde ani ve spektráln´ı anal´ yze nemáme moˇznosti vyˇsetˇrit fakta t´ ykaj´ıc´ı se pˇr´ımo roˇcn´ıho pr˚ ubˇehu (máme jen jednu realizaci roˇcn´ı periody). M˚ uˇzeme ale z´ıskat uˇziteˇcné informace o typu a velikosti závislosti koncentrace radonu na meteorologick´ ych veliˇcinách, závislosti sousedn´ıch pozorován´ı u jednotliv´ ych ˇrad a periodicitˇe v ˇrad´ ach. Tyto znalosti by se mohly uplatnit napˇr´ıklad v regresn´ıch odhadech koncentrace radonu na meteorologick´ ych promˇenn´ ych nebo pˇri rozvrhován´ı efektivn´ı strategie pro mˇeˇren´ı veliˇcin potˇrebn´ ych ke vhodnému odhadu roˇcn´ı pr˚ umˇerné koncentrace. V anal´ yze jednorozmˇern´ ych ˇrad dává pouˇzitelné v´ ysledky pouze autokorelaˇcn´ı funkce, kterou pro stacionárn´ı ˇradu yt definujeme následovnˇe: %s =

γs , γ0

s = . . . , −1, 0, 1, . . .

kde

γs = cov(yt , yt+s )

Za odhad autokorelaˇcn´ı funkce ˇrady {y1 , . . . , yn } bereme hodnoty rs : rs =

cs , co

s = −(n − 1), . . . , n − 1

kde

cs =

n−s X t=1

(yt − y)(yt+s − y) n

γs se naz´ yvá autokovarianˇcn´ı funkce a cs je jej´ı odhad. Autokorelaˇcn´ı funkce je sudá, tud´ıˇz ˇ ım v grafech se omezujeme pouze na hodnoty s ≥ 0. Dále nab´ yvá pouze hodnot intervalu [−1, 1]. C´ je |%s | bliˇzˇs´ı ˇc´ıslu jedna, t´ım vˇetˇs´ı je závislost mezi hodnotami, které jsou zpoˇzdˇené o s ˇcasov´ ych 23

jednotek. Na obrázku 5.5 je zobrazeno prvn´ıch 200 hodnot odhadnuté autokorelaˇcn´ı funkce pro stacionarizované ˇrady teplot a koncentrace radonu. U obou ˇrad lze na základˇe napoˇcten´ ych autokorelac´ı pozorovat velkou závislost nˇekolika sousedn´ıch dat. To se dalo oˇcekávat, nebot’ v´ yvoj teplot i koncentrace radonu v ˇcase je spojit´ y a kaˇzdé nové mˇeˇren´ı je dost závislé na posledn´ıch namˇeˇren´ ych hodnotách. Z pravidelného stˇr´ıdán´ı lokáln´ıch extrém˚ u u obou graf˚ u autokorelac´ı lze usuzovat na periodicitu v datech. Nikoho nepˇrekvap´ı, ˇze u obou ˇrad se jedná o 24 hodinovou periodu. U grafu autokorelac´ı teplot je denn´ı perioda jeˇstˇe zˇretelnˇejˇs´ı, neˇz u radonu. Stacionarizace dat byla d˚ uleˇzitá, nebot’ pˇri pouˇzit´ı odhadu autokorelaˇcn´ı funkce, napˇr´ıklad na nestacionárn´ı ˇradu teplot, jsou vˇsechny hodnoty autokorelac´ı kladné. To vˇsak neodpov´ıdá realitˇe. Správn´ y v´ ysledek je vidˇet na obr. 5.5, kde jsou i záporné hodnoty autokorelace. To odpov´ıdá tomu, ˇze teploty vzdálené o 12 hodin maj´ı opaˇcn´ y pr˚ ubˇeh.

0.4 −0.4

0.0

ACF

0.8

Series stacDataHod

0

50

100

150

200

150

200

Lag

ACF

−0.5

0.0

0.5

1.0

Series stacTeplota

0

50

100 Lag

Obr´ azek 5.5: Graf prvn´ıch 200 hodnot odhadnuté autokorelaˇcn´ı funkce pro stacionarizované hodnoty koncentrace radonu a teplot

Odhady autokorelaˇcn´ı funkce pro stacionarizované ˇrady hodnot tlaku a rychlosti vˇetru jsou na obrázku 5.6. Opˇet je vidˇet, ˇze nˇekolik bl´ızk´ ych hodnot na sobˇe znaˇcnˇe závis´ı. U tlaku nen´ı ani náznak denn´ı periody.

24

−0.2

0.2

ACF

0.6

1.0

Series stacRychlost_vitr

0

50

100

150

200

150

200

Lag

ACF

−0.2

0.2

0.6

1.0

Series stacTlak

0

50

100 Lag

Obr´ azek 5.6: Graf prvn´ıch 200 hodnot odhadnuté autokorelaˇcn´ı funkce pro stacionarizované hodnoty tlaku a rychlosti vˇetru Zaj´ımavˇejˇs´ı v´ ysledky v ˇcasové doménˇe m˚ uˇzeme dostat ze vzájemné korelaˇcn´ı funkce dvou ˇrad (cross-correlation). Pomoc´ı n´ı se snaˇz´ıme odhadnout v jakém ˇcasovém posunu jsou nejv´ıce ovlivnˇeny hodnoty jedné ˇrady hodnotami druhé. Na obr. 5.7 je ukázka, jak souvis´ı pr˚ ubˇeh koncentrace radonu s teplotn´ım v´ yvojem. Za povˇsimnut´ı stoj´ı, ˇze za nˇekolik hodin po nabyt´ı lokáln´ıho maxima v teplotˇe následuje lokáln´ı minimum v koncentraci radonu (obdobnˇe s opaˇcn´ ymi lokáln´ımi extrémy). Odhadnutá vzájemná korelaˇcn´ı funkce bude potvrzovat tuto skuteˇcnost v´ yznamn´ ymi záporn´ ymi hodnotami zpoˇzdˇen´ ymi pˇribliˇznˇe o 5 hodin.

Obrázek 5.7: Ukázka závislosti teploty a koncentrace radonu (5. 9. 2003 - 7. 9. 2003)

25

Kromˇe stacionarity ˇrad xt a yt pˇredpokládáme ˇcasovˇe invariantn´ı vzájemnou korelaˇcn´ı strukturu obou ˇrad. To znamená pˇredpoklad, ˇze γsxy = cov(xt , yt+s ),

s = . . . , −1, 0, 1, . . .

nez´ avis´ı na ˇcase t (γsxy se naz´ yvá vzájemná kovarianˇcn´ı funkce). Odhad vzájemné korelaˇcn´ı funkce xy rs zkonstruujeme z odhadnut´ ych hodnot cxy ajemné kovarianˇcn´ı funkce. Pro ˇrady {x1 , . . . , xn } s vz´ a {y1 , . . . , yn } má odhad vzájemné kovarianˇcn´ı funkce tvar cxy s =

n−s X t=1

cxy s =

n+s X t=1

(xt − x)(yt+s − y) n

pro

(xt−s − x)(yt − y) n

rsxy =

cxy s 1 xx 2 (c0 cyy 0 )

,

s = 0, 1, . . . , n − 1 ,

pro

s = −1, . . . , −(n − 1) ,

s = −(n − 1), . . . , n − 1 .

Na obrázku 5.8 je zakreslena odhadnutá vzájemná korelaˇcn´ı funkce pro stacionarizované ˇrady teploty a radonu. V´ ysledkem je odhad, ˇze hodnoty radonu jsou nejv´ıce korelované s hodnotami teploty, které byly o 5 hodin dˇr´ıve (r5xy = −0, 5683290). Jak bylo naznaˇceno dˇr´ıve, tak je správné, ˇze se jedná o zápornou korelovanost. Nezanedbatelné jsou i okoln´ı odhadnuté hodnoty. Je také zn´ amo, ˇze zpoˇzdˇen´ı hodnot radonu oproti teplotˇe nen´ı konstantn´ı. V závislosti na okolnostech se m˚ uˇze liˇsit i o nˇekolik hodin. Z v´ ysledk˚ u lze uˇcinit závˇer, ˇze toto zpoˇzdˇen´ı se vˇetˇsinou pohybuje v rozmez´ı od 3 do 7 hodin.

−0.2 −0.6

−0.4

cross−correlation

0.0

0.2

stacDataHod & stacTeplota

−30

−20

−10

0

10

20

30

Lag

Obrázek 5.8: Odhadnutá vzájemná korelaˇcn´ı funkce mezi radonem a teplotou

26

Pro vztah mezi rychlost´ı vˇetru a koncentrac´ı radonu dostáváme obdobné v´ ysledky jako u vztahu s teplotou. Na obr. 5.9 je vidˇet, ˇze opˇet je nejv´ yznamnˇejˇs´ı korelovanost mezi hodnotami radonu a rychlost´ı vˇetru, která byla pˇred 5-ti hodinami. Podobnˇe jako u teploty je i zde moˇzné uvaˇzovat, ˇze koncentraci radonu v domˇe nejv´ıce ovlivˇ nuje rychlost vˇetru, která byla v pˇredeˇsl´ ych tˇrech aˇz sedmi hodinách. Záporné hodnoty potvrzuj´ı skuteˇcnost, ˇze pˇri vˇetˇs´ı vˇetrnosti je v domˇe menˇs´ı koncentrace radonu.

−0.2 −0.4

cross−correlation

0.0

0.2

stacDataHod & stacRychlost_vitr

−30

−20

−10

0

10

20

30

Lag

Obrázek 5.9: Odhadnutá vzájemná korelaˇcn´ı funkce mezi radonem a rychlost´ı vˇetru Z hodnot odhadnuté vzájemné korelaˇcn´ı funkce mezi tlakem a koncentrac´ı radonu (obr. 5.10) je ych meteorologick´ ych veliˇcin. vidˇet, ˇze závislost na tlaku je menˇs´ı (r1xy = 0, 3192625) neˇz u pˇredeˇsl´ Ukazuje se, ˇze koncentrace radonu nejv´ıce závis´ı na hodnotách tlaku ve stejném ˇcase. Kladná korelovanost odpov´ıdá tomu, ˇze ˇc´ım vyˇsˇs´ı je tlak, t´ım je koncentrace radonu v domˇe vˇetˇs´ı.

0.20 0.15 0.10 0.00

0.05

cross−correlation

0.25

0.30

stacDataHod & stacTlak

−20

−10

0

10

20

Lag

Obrázek 5.10: Odhadnut´ a vzájemná korelaˇcn´ı funkce mezi radonem a tlakem

27

5.4

Spektr´ aln´ı anal´ yza

Pro pouˇzit´ı anal´ yzy ˇcasov´ ych ˇrad ve spektráln´ı doménˇe jsou základem pojmy spektráln´ı hustota, periodogram, frekvence. Teorii k prezentovan´ ym postup˚ um lze nalézt v knize [2]. Zde pouze shrneme podstatné body k interpretaci v´ ysledk˚ u. Teorie je zaloˇzena na myˇslence, ˇze kaˇzdou stacionárn´ı ˇradu lze vyjádˇrit jako (nespoˇcetnou) smˇes periodick´ ych sloˇzek tvaru du(ω)cos(ωt) + dv(ω)sin(ωt) pˇres frekvence ω ∈ [0, π], kde du(ω) a dv(ω) jsou náhodné amplitudy periodick´ ych sloˇzek, které jsou mezi sebou nekorelované. Kaˇzdá frekvence odpov´ıdá jednoznaˇcnˇe nˇejaké délce peri2π ody (d´ elka periody = f rekvence ). V prezentovan´ ych grafech je frekvence vydˇelena hodnotou 2π, takˇze pˇr´ısluˇsnou délku periody z´ısk´ ame jednoduˇse jako pˇrevrácenou hodnotu. Spektráln´ı hustota f x (ω) dává ekvivalentn´ı mnoˇzstv´ı informace jako autokovarianˇcn´ı funkce, avˇsak v jiné formˇe. Jej´ı hodnoty udávaj´ı intenzitu, se kterou jsou ve zkoumané ˇradˇe zastoupeny periodické sloˇzky. Na základˇe jej´ıho pr˚ ubˇehu lze zjistit, které periody se v ˇradˇe nejv´ıce vyskytuj´ı. Pro odhad spektráln´ı hustoty se pouˇz´ıvá periodogram I(ω). Za pˇredpokladu spojitosti spektráln´ı hustoty je tento odhad asymptoticky nestrann´ y, ale nˇekteré jeho nevhodné vlastnosti se odstran´ı teprve vyrovnán´ım jeho hodnot (napˇr´ıklad vyhlazen´ım pomoc´ı spektráln´ıho okna, které postupnˇe posouváme, z´ıskáme konzistenci odhadu). Spektráln´ı hustota je definovaná pro ω ∈ [−π, π]. Jedná se o funkci sudou a proto se v praxi staˇc´ı zaj´ımat pouze o pr˚ ubˇeh na intervalu [0, π]. Pˇri vyˇsetˇrován´ı vztahu dvou ˇcasov´ ych ˇrad vyuˇz´ıváme vzájemnou spektráln´ı hustotu f xy (ω), která dává stejné mnoˇzstv´ı informace jako vzájemná kovarianˇcn´ı funkce, ale v jiné formˇe. Jej´ı vlastnosti jsou obdobné jako u spektráln´ı hustoty jedné ˇcasové ˇrady, akorát se zde dˇel´ı na reálnou ˇcást (kospektrum) a imaginárn´ı ˇcást (kvadratické spektrum). Pro odhad se pouˇz´ıvaj´ı vyrovnané hodnoty vzájemného periodogramu (nˇekdy naz´ yvan´ y kˇr´ıˇzen´ y periodogram, cross-periodogram). Ze vzájemné spektráln´ı hustoty lze zkonstruovat dva v´ yznamné ukazatele, které pouˇz´ıv´ ame k urˇcen´ı závislosti mezi periodick´ ymi sloˇzkami zkouman´ ych ˇrad. Jedná se o koherenˇcn´ı a fázov´ y koeficient. Koherenˇcn´ı koeficient C(ω) udává m´ıru závislosti mezi vyˇsetˇrovan´ ymi ˇradami v rámci jejich periodick´ ych sloˇzek o frekvenci ω. V grafick´ ych v´ ystupech se pro frekvence ω ∈ [0, π] vˇetˇsinou vykresluje kvadrát koherenˇcn´ıho koeficientu (squared coherency, graf budeme naz´ yvat koherenˇcn´ı diagram). Fázov´ y koeficient Φxy (ω) udává fázov´ y posun, o nˇejˇz je zpoˇzdˇena periodická sloˇzka ˇrady yt s frekvenc´ı ω za periodickou sloˇzkou se stejnou frekvenc´ı ω ˇrady xt . Hodnoty fázového koeficientu se pro ω ∈ [0, π] vykresluj´ı do grafu nazvaného fázov´ y diagram (phase spectrum). F´ azov´ y koeficient se nˇekdy upravuje odeˇcten´ım násobk˚ u ˇc´ısla π, aby fázov´ y diagram nab´ yval hodnot v intervalu [−π, π]. Nejvˇetˇs´ı váhu pro nás maj´ı ty hodnoty, kde je na odpov´ıdaj´ıc´ı frekvenci kvadrát ˇ ım je totiˇz C 2 (ω) bliˇzˇs´ı jedné, t´ım je závislost v rámci koherenˇcn´ıho koeficientu bl´ızk´ y jedné. C´ frekvence ω vˇetˇs´ı. V praxi se vˇetˇsinou fázov´ y i koherenˇcn´ı diagram vyhlazuje. Jak uvid´ıme, tak i v naˇsem pˇr´ıpadˇe bude vyhlazen´ı velmi vhodné. Grafické v´ ystupy opˇet pouˇz´ıvaj´ı standardizaci na ose frekvenc´ı. Hodnoty jsou vydˇeleny ˇc´ıslem 2π, tud´ıˇz na ose frekvenc´ı jsou hodnoty v intervalu [0, 21 ].

28

5.4.1

Spektr´ aln´ı anal´ yza jednorozmˇ ern´ ych ˇ rad

V této sekci se snaˇz´ıme z odhadu spektráln´ı hustoty nalézt v´ yznamné periodické sloˇzky ve zkouman´ ych ˇradách. Nevyhlazené periodogramy pro stacionarizované ˇrady koncentrace radonu, teploty, rychlosti vˇetru a tlaku jsou zakresleny na obrázku 5.11. Na prvn´ı pohled pro nás budou zaj´ımavé frekvence, kde periodogram nab´ yvá v´ yznamn´ ych lokáln´ıch extrém˚ u. Vyhlazen´ım tˇechto periodogram˚ u dosáhneme toho, ˇze se bude odhad v´ıce koncentrovat kolem odhadované spektráln´ı hustoty, u které pˇredpokládáme spojitost. K ˇcásteˇcnému vyhlazen´ı je pouˇzito modifikovaného Daniellova spektráln´ıho okna, jehoˇz hodnoty jsou zakresleny na obr. 5.12. V naˇsem pˇr´ıpadˇe se jedná o 33 hodnot (oznaˇcme je wi , i = −16, . . . , 16), jejichˇz souˇcet je 1 a jsou symetrické kolem hodnoty w0 . Pokud máme napoˇcteno n hodnot periodogramu (I(ωk ), k = 1, . . . , n), lze vyhlazené hodnoty (kromˇe tˇech, které leˇz´ı na konc´ıch uvaˇzované ˇrady) zapsat vztahem b k) = I(ω

16 X

wi I(ωk+i )

k = 17, . . . , n − 16 .

i=−16

Odhad pro krajn´ı hodnoty ˇrady je potˇreba modifikovat. Tento postup odpov´ıdá tomu, ˇze váˇz´ıme vliv okoln´ıch dat. V´ıce vzdálená data maj´ı menˇs´ı váhy, neˇz data v bezprostˇredn´ı bl´ızkosti odhadované hodnoty.

b) Series: stacTeplota Raw Periodogram 1e+04 1e−04

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.0

0.1

0.2

0.3

frequency

c) Series: stacRychlostVitr Raw Periodogram

d) Series: stacTlak Raw Periodogram

spectrum

1e+01

0.5

0.4

0.5

1e−03

1e−04

1e−01

0.4

1e+00

1e+04

frequency

1e+03

0.0

spectrum

1e+00

spectrum

1e−02 1e−06

spectrum

1e+02

a) Series: stacDataHod Raw Periodogram

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.0

frequency

0.1

0.2

0.3

frequency

Obr´ azek 5.11: Nevyhlazen´ y periodogram pro stacionarizovanou ˇradu a) koncentrace radonu, b) teploty, c) rychlosti vˇetru, d) tlaku

29

0.03 0.00

0.01

0.02

W[k]

0.04

0.05

mDaniell(9,5,2)

−15

−10

−5

0

5

10

15

k

Obr´ azek 5.12: Modifikované Daniellovo spektráln´ı okno pouˇzité k ˇcásteˇcnému vyhlazen´ı periodogramu Vyhlazen´ y periodogram, kter´ ym se budeme zab´ yvat, je pro zkoumané ˇrady na obrázku 5.13. U odhad˚ u pro koncentraci radonu, teplotu a rychlost vˇetru m˚ uˇzeme sledovat obdobn´ y pr˚ ubˇeh. π Nejvyˇsˇs´ı hodnoty je dosaˇzeno na frekvenci odpov´ıdaj´ıc´ı periodˇe 24 hodin ( 12 ). T´ım je pro tyto ˇrady doloˇzeno, ˇze obsahuj´ı v´ yznamnou denn´ı periodicitu. Fisher˚ uv test periodicity pro vˇsechny zkoumané ˇrady zam´ıtá nulovou hypotézu (ˇze ˇrada neobsahuje periodickou sloˇzku a je rovna b´ılému ˇsumu) uˇz na 1% hladinˇe. Za povˇsimnut´ı stoj´ı, ˇze vˇsechny vyhlazené periodogramy maj´ı v´ yznamná π π π π lokáln´ı maxima ve stejn´ ych frekvenc´ıch ( 12 , 6 , 4 , 3 , . . . ). Jedná se o harmonické frekvence. Jejich pˇr´ıtomnost obvykle svˇedˇc´ı o tom, ˇze periodická sloˇzka zkoumané ˇrady nemá ˇcist´ y sinusov´ y pr˚ ubˇeh. U vˇsech vyhlazen´ ych periodogram˚ u jsou zv´ yˇsené hodnoty spektra u frekvenc´ı bl´ızk´ ych nule. Odpov´ıdaj´ı dlouhodobˇejˇs´ım periodám (napˇr´ıklad u radonu se jedná o délky periody 7, 9, 10, 5, 14 dn´ı apod.). Obdobné periody vystupuj´ı i v dalˇs´ıch ˇradách. Bohuˇzel neznáme jejich p˚ uvod a nev´ıme ˇ d˚ uvod jejich pˇr´ıtomnosti. Casto m˚ uˇze taková periodicita vzniknout nˇejak´ ym pravideln´ ym zákrokem typu u ´drˇzba mˇeˇr´ıc´ıho stroje v pravideln´ ych intervalech. Moˇzná u meteorologick´ ych veliˇcin je nˇejaká pravidelnost typu studen´ y a tepl´ y t´ yden, . . . V naˇsem pˇr´ıpadˇe byla namˇeˇrená data z pˇr´ıstroje sb´ırána jednou za tˇri nedˇele aˇz jednou za mˇes´ıc, tud´ıˇz nebyla potvrzena pˇredeˇslá u ´vaha. U periodogramu pro tlak se ukazuje, ˇze nemá v´ yraznˇejˇs´ı periodu délky 24 hodin. Zato nejv´ yznamnˇejˇs´ı je u nˇej pˇribliˇznˇe perioda o délce 14 dn´ı. To by mohlo poukazovat na stˇr´ıdán´ı tlakové v´ yˇse a n´ıˇze.

30

b) Series: stacTeplota Smoothed Periodogram 1e+03 1e+01

spectrum

1e−01

1e−01 1e−03

spectrum

1e+01

a) Series: stacDataHod Smoothed Periodogram

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.0

0.1

frequency

0.2

0.3

0.4

0.5

frequency

d) Series: stacTlak Smoothed Periodogram

spectrum

1e−02

1e+00

2.0 5.0 0.2 0.5

spectrum

20.0

1e+02

100.0

c) Series: stacRychlostVitr Smoothed Periodogram

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.0

frequency

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

frequency

Obr´ azek 5.13: Vyhlazen´ y periodogram pro stacionarizovanou ˇradu a) koncentrace radonu, b) teploty, c) rychlosti vˇetru, d) tlaku

5.4.2

Vztahy ve spektru, anal´ yza v´ıcerozmˇ ern´ ych ˇ casov´ ych ˇ rad

Vz´ ajemn´ y periodogram (odhad vzájemné spektráln´ı hustoty) mezi stacionarizovan´ ymi ˇradami teplot a koncentrac´ı radonu je na obr. 5.14. Reálná i imaginárn´ı ˇcást maj´ı znaˇcnˇe v´ yznamnou π hodnotu na frekvenci odpov´ıdaj´ıc´ı denn´ı periodicitˇe ( 12 ). Ostatn´ı hodnoty jsou nˇekolikanásobnˇe menˇs´ı. To naznaˇcuje, ˇze nejv´ yznamnˇejˇs´ı spoleˇcná perioda zkouman´ ych ˇrad je denn´ı. Ostatn´ı periody vyskytuj´ıc´ı se v obou ˇradách maj´ı malou intenzitu, proto se jimi nebudeme moc zab´ yvat. Pro vztah mezi periodicitami radonu a rychlosti vˇetru má smysl opˇet zkoumat pouze vlastnosti t´ ykaj´ıc´ı se denn´ı periodicity. U vzájemného periodogramu mezi tlakem a radonem má nejvˇetˇs´ı intenzitu perioda délky 20 dn´ı, denn´ı je proti n´ı zanedbatelná. Z koherenˇcn´ıho diagramu uvid´ıme, ˇze dlouhodobé periody jsou pro tyto dvˇe ˇrady málo korelované. Uˇz jsme zmiˇ novali, ˇze v praxi se vˇetˇsinou koherenˇcn´ı i fázov´ y diagram vyhlazuje. Ukázka tˇechto diagram˚ u pˇred vyhlazen´ım je na obrázku 5.15. K vyhlazen´ı diagram˚ u bylo opˇet pouˇzito modifikovaného Daniellova okna, tentokrát o vˇetˇs´ı ˇs´ıˇrce 101 hodnot (viz. obr. 5.16).

31

Obr´ azek 5.14: Vzájemn´ y periodogram mezi stacionarizovan´ ymi ˇradami koncentrac´ı radonu a teplot (reáln´ a ˇcást vlevo, imaginárn´ı vpravo)

Obr´ azek 5.15: Nevyhlazen´ y koherenˇcn´ı (vlevo) a fázov´ y diagram (vpravo) mezi stac. ˇradami teplot a koncentrac´ı radonu

W[k]

0.000

0.005

0.010

0.015

0.020

mDaniell(25,16,9)

−40

−20

0

20

40

k

Obr´ azek 5.16: Modifikované Daniellovo okno pouˇzité k vyhlazen´ı fázového a koherenˇcn´ıho diagramu

32

Phase spectrum −− stacDataHod, stacTeplota 3 phase

−1

0

1

2

0.8 0.6 0.4

−3

−2

0.2 0.0

squared coherency

1.0

Squared Coherency −− stacDataHod, stacTeplota

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.0

0.1

frequency

0.2

0.3

0.4

0.5

frequency

Obr´ azek 5.17: Vyhlazen´ y koherenˇcn´ı a fázov´ y diagram mezi stac. ˇradami teplot a koncentrac´ı radonu

Phase spectrum −− stacDataHod, stacVitr 3 phase

−1

0

1

2

0.8 0.6 0.4

−3

−2

0.2 0.0

squared coherency

1.0

Squared Coherency −− stacDataHod, stacVitr

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.0

frequency

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

frequency

Obr´ azek 5.18: Vyhlazen´ y koherenˇcn´ı a fázov´ y diagram mezi stac. ˇradami rychlost´ı vˇetru a koncentrac´ı radonu

33

Vyhlazené diagramy pro vztah mezi koncentrac´ı radonu a teplotou (resp. rychlost´ı vˇetru) je na obrázku 5.17 (resp. obr. 5.18). U obou koherenˇcn´ıch diagram˚ u je vysoká hodnota na frekvenci π odpov´ıdaj´ıc´ı denn´ı periodicitˇe (C 2 ( 12 ) > 0, 8 pro vztah s teplotou i rychlost´ı vˇetru). To znaˇc´ı fakt, ˇze denn´ı pr˚ ubˇeh koncentrace radonu je závisl´ y na teplotˇe a rychlosti vˇetru. Za tˇechto podm´ınek π vypov´ıdat o fázovém posunu mezi denn´ı periodou by mˇela hodnota fázového diagramu pro ω = 12 zkouman´ ych ˇrad. Nen´ı u ´plnˇe lehké správnˇe interpretovat v´ ysledné hodnoty fázového koeficientu (v rámci denn´ı periody se u teploty jedná o fázov´ y posun 1, 853802 a u rychlosti vˇetru 1, 717441). Pro pˇredstavu, o ˇcem vlastnˇe vypov´ıdá, m˚ uˇzeme vyj´ıt z obrázku 5.7. Pokud bychom uvaˇzovali, ˇze se zkoumané ˇrady skládaj´ı pouze z denn´ı periodické sloˇzky, dá se z fázového koeficientu vypoˇc´ıtat ˇcasov´ yu ´sek, o kter´ y je potˇreba jednu ˇradu posunout, aby se pr˚ ubˇehy ˇrad pˇrekr´ yvaly. V tomto pˇr´ıpadˇe by napoˇctené fázové posuny znamenaly, ˇze ˇrada teplot je posunutá o 7, 08 hodiny pˇred ˇradou radonu a ˇrada rychlost´ı vˇetru o 6, 58 hodiny. Pokud se ale zaj´ımáme o to, které hodnoty teplot ˇci rychlost´ı vˇetru nejv´ıce ovlivˇ nuj´ı okamˇzitou koncentraci, je tˇreba brát v u ´vahu fakt, ˇze pr˚ ubˇehy ˇrad jsou zápornˇe korelované. Po této u ´vaze dospˇejeme k závˇeru, ˇze v rámci denn´ı periody jsou aktuáln´ı koncentrace radonu nejv´ıce ovlivnˇeny teplotami, které byly pˇred 4, 5 − 5 hodinami (závis´ı na m´ıˇre vyhlazen´ı) a rychlosti vˇetru pˇred 5 - 5, 5 hodinami. V´ıme, ˇze vliv meteorologick´ ych veliˇcin na koncentraci radonu nen´ı konstantn´ı. Záleˇz´ı na mnoha fyzikáln´ıch p˚ usoben´ıch, tud´ıˇz v´ ysledné hodnoty bereme sp´ıˇse jako pr˚ umˇernou dobu, ve které je u ´roveˇ n radonu ovlivˇ nována. To také koresponduje s v´ ysledky, které dává vzájemná korelaˇcn´ı funkce (hodnoty teplot a rychlost´ı vˇetru maj´ı nejvˇetˇs´ı vliv na koncentraci plynu která následuje za tˇri aˇz sedm hodin).

Phase spectrum −− stacDataHod, stacTlak 3 phase

−1

0

1

2

0.8 0.6 0.4

−3

−2

0.2 0.0

squared coherency

1.0

Squared Coherency −− stacDataHod, stacTlak

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.0

frequency

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

frequency

Obr´ azek 5.19: Vyhlazen´ y koherenˇcn´ı a fázov´ y diagram mezi stac. ˇradami tlaku a koncentrac´ı radonu

Na obrázku 5.19 je koherenˇcn´ı a fázov´ y diagram pro stacionarizované ˇrady koncentrace radonu a tlaku. Potvrzuje se, ˇze pr˚ ubˇeh tlaku a koncentrace radonu nemá d˚ uleˇzitou spoleˇcnou denn´ı periodicitu. Na základˇe vzájemného periodogramu tˇechto dvou ˇrad jsou s vˇetˇs´ı intenzitou obsaˇzeny pouze n´ızké frekvence (dlouhodobé periody). Hodnoty koherenˇcn´ıho diagramu pro frekvence odpov´ıdaj´ıc´ı dlouhodob´ ym periodám nejsou nijak v´ yznamné. Jejich fázov´ ym posunem se proto nebudeme zab´ yvat.

34

5.5

Z´ avˇ ery z anal´ yzy ˇ casov´ ych ˇ rad

V rámci anal´ yzy ˇcasov´ ych ˇrad by se znaˇcnˇe rozˇs´ıˇrily moˇznosti, pokud bychom mˇeli k dispozici vˇetˇs´ı mnoˇzstv´ı dat. Jak jsme vidˇeli, velmi zaj´ımavé v´ ysledky pro odhad roˇcn´ı pr˚ umˇerné koncentrace dávaj´ı krátkodobé odhady, které upravujeme v závislosti na tom, v jaké fázi roku se nacház´ıme. Pro pouˇzit´ı této metody by se hodily v´ ysledky mˇeˇren´ı v horizontu nˇekolika let a z vˇetˇs´ıho poˇctu dom˚ u. Roˇcn´ı pr˚ ubˇeh by se dal lépe vymodelovat. Také by bylo uˇziteˇcné mˇeˇrit meteorologické promˇenné pˇr´ımo v m´ıstˇe, kde zkoumáme koncentraci radonu. Dané závislosti by pak byly pˇresnˇejˇs´ı. Na základˇe zpracovávan´ ych dat jsme z´ıskali pˇrehled o tom, ˇze koncentrace radonu, vnˇejˇs´ı teplota a rychlost vˇetru maj´ı periodick´ y denn´ı pr˚ ubˇeh a jsou v denn´ı periodˇe závislé. Aktuáln´ı koncentrace radonu je nejv´ıce ovlivˇ nov´ ana hodnotami teploty a vˇetrn´ ymi podm´ınkami, které panovaly pˇred tˇremi aˇz sedmi hodinami. Tlak ovlivˇ nuje u ´roveˇ n radonu pˇribliˇznˇe se zpoˇzdˇen´ım 0, 5 - 1 hodina a nemá v´ yznamnˇejˇs´ı denn´ı periodu. U vˇsech zkouman´ ych ˇrad je nˇekolik sousedn´ıch hodnot znaˇcnˇe z´ avisl´ ych. Tyto v´ ysledky se daj´ı zohlednit pˇri konstrukci regresn´ıch model˚ u pro koncentraci radonu v závislosti na meteorologick´ ych promˇenn´ ych a také v konstrukci plánu pro dalˇs´ı mˇeˇren´ı.

35

Kapitola 6

Regrese radonu na meteorologick´ e promˇ enn´ e 6.1

Identifikace probl´ emu

Shrˇ nme v´ ysledky z kapitoly 4 v následuj´ıc´ı tabulce: d´ elka mˇ eˇ ren´ı den t´ yden 14 dn´ı mˇes´ıc

maximum 3926,2 3081,2 2333,3 1797,4

minimum 104,2 322 546,7 565,3

medi´ an 852,3 913,1 912,1 891,3

odmocnina z MSE 768 565,1 468,1 424,2

Proˇc nepˇresnost odhad˚ u klesá s rostouc´ı délkou pozorován´ı tak pomalu, je zˇrejmé. Staˇc´ı se pod´ıvat na graf denn´ıch pr˚ umˇer˚ u koncentrace radonu. Z nˇej je patrné, ˇze hodnoty pro jednotlivé dni nejsou nezávislé, ale naopak silnˇe pozitivnˇe korelované v ˇcase. Spoˇc´ıtejme v´ ybˇerové autokorelaˇcn´ı koeficienty naˇs´ı 366 ˇclenné ˇcasové ˇrady koncentrac´ı (Obr. 6.1).

Obrázek 6.1: Autokorelaˇcn´ı funkce ˇrady denn´ıch koncentrac´ı radonu

36

ˇ ıselné hodnoty korelac´ı jsou: C´ 0 1,000

1 0,709

2 0,424

3 0,308

4 0,211

5 0,156

6 0,174

7 0,165

8 0,156

9 0,217

11 0,235

12 0,187

13 0,175

14 0,167

15 0,204

16 0,189

17 0,187

18 0,189

19 0,163

20 0,147

10 0,253

V´ yznamnˇe pozitivn´ı hodnoty autokorelac´ı vysvˇetluj´ı, proˇc variabilita pr˚ umˇeru nˇekolika po sobˇe jdouc´ıch ˇclen˚ u ˇrady nen´ı v´ yraznˇe menˇs´ı neˇz variabilita jednotliv´ ych ˇclen˚ u ˇrady. Popsanou vlastnost ˇcasové ˇrady denn´ıch pr˚ umˇer˚ u koncentrace radonu lze vyslovit i tak, ˇze stˇredn´ı hodnota pozorován´ı této ˇrady nen´ı konstantn´ı, ale pozvolna se v ˇcase mˇen´ı. Pokud bychom na uvaˇzovanou ˇcasovou ˇradu chtˇeli jako pˇredpovˇedn´ı metodu pouˇz´ıt jednoduché exponenciáln´ı vyrovnáván´ı, ukáˇze se b´ yt z hlediska minimalizace stˇredn´ı ˇctvercové pˇredpovˇedn´ı chyby jako optimáln´ı hodnota vyrovnávac´ı konstanty α = 0, 981. Náhodnému v´ ybˇeru by odpov´ıdala hodnota α = 0. Pokud bychom mohli z celého roku náhodnˇe vybrat napˇr. 7 dn´ı a v nich zmˇeˇrit koncentraci radonu, ˇslo by jiˇz prakticky o náhodn´ y v´ ybˇer a nepˇresnost odhadu vzatého jako pr˚ umˇer z tˇechto 7 mˇeˇren´ı by byla podstatnˇe menˇs´ı, neˇz jakou nepˇresnost má t´ ydenn´ı pr˚ umˇer (tj. pr˚ umˇer ze 7 po sobˇe jdouc´ıch dn´ı). Naˇs´ım problémem tedy nen´ı mal´ y poˇcet dn´ı, po které mˇeˇr´ıme, ale právˇe to, ˇze jde o po sobˇe jdouc´ı dny. Zpr˚ umˇerován´ım mˇeˇren´ı z tˇechto 7 dn´ı vlastnˇe odhadujeme lokáln´ı u ´roveˇ n uvaˇzované ˇcasové ˇrady, ale nez´ıskáváme explicitn´ı informaci o celoroˇcn´ım pr˚ umˇeru ˇrady. Tento problém ale nem˚ uˇzeme pˇr´ımo odstranit, protoˇze naˇs´ım limitem je právˇe krátk´ y ˇcasov´ y interval, bˇehem kterého m˚ uˇzeme naˇse mˇeˇren´ı provádˇet. Je zˇrejmé, ˇze naˇse odhady tˇeˇzko zpˇresn´ıme napˇr. pouˇzit´ım jiné statistiky neˇz je v´ ybˇerov´ y aritmetick´ y pr˚ umˇer, prostˇe proto, ˇze u ´roveˇ n koncentrace radonu ve zkoumaném objektu je v dobˇe naˇseho mˇeˇren´ı obecnˇe jiná, neˇz je celoroˇcn´ı pr˚ umˇer, kter´ y se snaˇz´ıme odhadnout. Jedin´ ym v´ ychodiskem je spolu s koncentrac´ı radonu mˇeˇrit i veliˇciny, které maj´ı na jeho koncentraci vliv a které tak zp˚ usobuj´ı kol´ısán´ı krátkodobé a stˇrednˇedobé u ´rovnˇe od celoroˇcn´ıho pr˚ umˇeru. Pˇredstavme si, ˇze napˇr. v t´ ydnu, po kter´ y budeme naˇse mˇeˇren´ı provádˇet, zjist´ıme pr˚ umˇernou venkovn´ı teplotu 25 ◦ C. Pˇritom bude známo, ˇze celoroˇcn´ı pr˚ umˇerná teplota je v daném m´ıstˇe rovna jen 18 ◦ C. V´ıme-li, ˇze koncentrace radonu klesá s rostouc´ı venkovn´ı teplotou, m˚ uˇzeme pˇredpokládat, ˇze námi namˇeˇren´ y t´ ydenn´ı pr˚ umˇer bude niˇzˇs´ı, neˇz je odhadovan´ y celoroˇcn´ı pr˚ umˇer. Mˇeli bychom tedy z´ıskanou hodnotu koncentrace radonu korigovat smˇerem vzh˚ uru, abychom eliminovali d˚ usledek toho, ˇze jsme si pro naˇse mˇeˇren´ı vybrali zrovna nadpr˚ umˇernˇe tepl´ y t´ yden. Podobná u ´vaha plat´ı i pro ostatn´ı meteorologické veliˇciny, které nˇejak´ ym zp˚ usobem ovlivˇ nuj´ı aktuáln´ı v´ yˇsi koncentrace radonu v objektu. V následuj´ıc´ıch odstavc´ıch se pokus´ıme vyvinout metodu, jak takové korekce za u ´ˇcelem vylepˇsen´ı pˇresnosti naˇsich odhad˚ u provádˇet.

6.2

Pouˇ zit´ı regrese ke zpˇ resnˇ en´ı odhad˚ u

Statistick´ ym nástrojem, kter´ y pouˇzijeme k odvozen´ı korekc´ı naˇsich odhad˚ u, bude regresn´ı anal´ yza. Konkrétnˇe se pokus´ıme pomoc´ı regrese koncentrace radonu na meteorologické promˇenné kvantifikovat m´ıru dotyˇcné závislosti a na základˇe této kvantifikace pak zkonstruovat odpov´ıdaj´ıc´ı 37

korekce. Vypoˇrádat se budeme muset s nˇekolika základn´ımi otázkami: 1. Jaké meteorologické promˇenné do regresn´ıho modelu zahrnout? 2. Pracovat s hodinov´ ymi ˇci denn´ımi pr˚ umˇery zkouman´ ych veliˇcin? 3. Jak´ y tvar modelu závislosti radonu na meteorologick´ ych promˇenn´ ych uvaˇzovat? 4. Z jak´ ych dat odhadovat parametry regresn´ıho modelu a jak obecnou platnost jim pˇrisoudit?

Pˇredem poznamenejme, ˇze u kaˇzdé z tˇechto otázek bylo vyzkouˇseno nˇekolik moˇzn´ ych ˇreˇsen´ı. Nˇekteré se ukázaly jako ménˇe vhodné, jiné naopak vhodnˇejˇs´ı. Neznamená to vˇsak, ˇze v jiné situaci (pokud bychom mˇeli jiná ˇci v´ıce dat) by se situace nemohla zmˇenit. Pro u ´sporu m´ısta zde budou prezentovány jen v´ ysledky obdrˇzené v danou chv´ıli nejlepˇs´ım moˇzn´ ym postupem. V´ ybˇer meteorologick´ ych promˇenn´ ych, které budou vstupovat do regresn´ıho modelu jako nezávisle promˇenné, je veden nˇekolika hledisky. Jednak na základˇe pˇr´ısluˇsn´ ych fyzikáln´ıch u ´vah vytipujeme seznam promˇenn´ ych, které by na koncentraci radonu teoreticky mˇely ˇci mohly m´ıt vliv. Dále zohledn´ıme naˇse mˇeˇr´ıc´ı moˇznosti, tj. z´ uˇz´ıme seznam na ty promˇenné, které máme moˇznost dostateˇcnˇe pˇresnˇe mˇeˇrit. Nakonec uˇz podle ˇcistˇe statistick´ ych kritéri´ı, na základˇe konkrétn´ıch dat, vyˇclen´ıme koneˇcnou mnoˇzinu promˇenn´ ych, které do naˇseho regresn´ıho modelu zahrneme. Na koncentraci radonu v objektu m˚ uˇzou teoreticky m´ıt vliv témˇeˇr vˇsechny myslitelné meteorologické veliˇciny. Z jiˇz uveden´ ych fyzikáln´ıch u ´vah vypl´ yvá, ˇze nejvˇetˇs´ı v´ yznam bude m´ıt venkovn´ı teplota, atmosférick´ y tlak a rychlost vˇetru. Vˇsechny tyto tˇri veliˇciny jsou také pomˇernˇe snadno a pˇresnˇe mˇeˇritelné, nav´ıc je moˇzné jejich namˇeˇrené hodnoty z´ıskat i z kaˇzdé meteorologické stanice. To je také náˇs pˇr´ıpad. K dispozici máme mˇeˇren´ı ze dvou meteorologick´ ych stanic pobl´ıˇz naˇseho objektu. Prvn´ı leˇz´ı v obci Svratouch asi 11 km od obce Telec´ı. Odtud máme k dispozici hodinová pozorován´ı uveden´ ych veliˇcin, pro kaˇzd´ y den 14 hodnot pro ˇcasy 7:00 aˇz 20:00. Druhá stanice se ´ ı nad Orlic´ı asi 34 km od naˇseho objektu. Odtud máme pro kaˇzd´ nacház´ı v Ust´ y den kompletn´ıch 24 hodinov´ ych pozorován´ı. V obou pˇr´ıpadech máme k dispozici data pro odpov´ıdaj´ıc´ı obdob´ı od 1.5. 2003 do 30.7. 2004, kdy jsme mˇeˇrili koncentraci radonu v naˇsem domˇe. Je zˇrejmé, ˇze ˇc´ım bl´ıˇze bude meteorologická stanice naˇsemu objektu, t´ım budou tam namˇeˇrené hodnoty lépe popisovat klimatické podm´ınky panuj´ıc´ı ve stejnou chv´ıli v bezprostˇredn´ım okol´ı zkoumaného objektu. Na druhou stranu je samozˇrejmˇe obecnˇe lepˇs´ı m´ıt k dispozici mˇeˇren´ı pro vˇsech 24 hodin dne a ne jen pro jeho u ´sek. Kaˇzdá z obou uveden´ ych meteorologick´ ych stanic m´ a tedy pro nás potenciálnˇe jednu v´ yhodu a jednu nev´ yhodu. Které jsou fakticky d˚ uleˇzitˇejˇs´ı, se ukáˇze teprve v souvislosti s dalˇs´ımi ˇreˇsen´ ymi otázkami. Pokud jde o volbu mezi denn´ımi a hodinov´ ymi pr˚ umˇery zkouman´ ych veliˇcin, ukazuje se z rozhoduj´ıc´ıch hledisek jako v´ yhodnˇejˇs´ı prvn´ı moˇznost. Pouˇzijeme-li jako vysvˇetlovanou promˇennou denn´ı pr˚ umˇery koncentrace radonu a jako vysvˇetluj´ıc´ı promˇenné denn´ı pr˚ umˇery hodnot meteorologick´ ych promˇenn´ ych, vyhneme se hned nˇekolika nepˇr´ıjemnostem, aniˇz by to, jak se ukazuje, mˇelo jak´ ykoli vliv na kvalitu z´ıskan´ ych v´ ysledk˚ u. Pˇrednˇe budeme pracovat jen s 366 m´ısto 8784 = 366 ∗ 24 pozorov´ an´ımi v pˇr´ıpadˇe hodinov´ ych dat. To pochopitelnˇe sn´ıˇz´ı jak pamˇet’ové tak v´ ypoˇcetn´ı nároky na skladován´ı, manipulaci a statistické zpracován´ı dat. Nav´ıc vˇsechny grafické v´ ystupy budou d´ıky tomu mnohonásobnˇe pˇrehlednˇejˇs´ı.

38

Zpr˚ umˇerován´ım promˇenn´ ych pˇres jednotlivé dny nav´ıc odstran´ıme jejich denn´ı periodicitu. To se t´ yká pˇredevˇs´ım venkovn´ı teploty a koncentrace radonu. Tato periodicita je zde velmi v´ yrazná a v´ıce ménˇe pravidelná. Regresn´ı model se tak bude moci soustˇredit na podchycen´ı závislosti radonu na poˇcas´ı jen z hlediska jeho nˇekolikadenn´ıch cykl˚ u a samozˇrejmˇe jeho roˇcn´ıho pr˚ ubˇehu. Dalˇs´ı d˚ uvod se t´ yká fyzikáln´ıho mechanismu, jak´ ym uvaˇzované meteorologické promˇenné ovlivˇ nuj´ı u ´roveˇ n koncentrace radonu v objektu. Jde o to, ˇze aktuáln´ı hodnota této koncentrace je závislá na intenzitˇe pˇr´ısunu a intenzitˇe ventilace plynu v právˇe uplynulém obdob´ı. Takto závis´ı koncentrace radonu v dan´ y okamˇzik na hodnotách meteorologick´ ych promˇenn´ ych od tohoto okamˇziku zpˇet do minulosti. Toto ˇcasové rozloˇzen´ı (zpoˇzdˇen´ı) závislosti lze oˇcekávat v ˇrádu hodin. Do naˇseho regresn´ıho modelu by tedy bylo tˇreba kromˇe meteorologick´ ych promˇenn´ ych ˇcasovˇe incidentn´ıch s koncentrac´ı radonu (hodnoty za stejnou hodinu) zahrnout i zpoˇzdˇené meteorologické promˇenné, tedy jejich hodnoty za nˇekolik uplynul´ ych hodin. Jak velké je pˇresnˇe ono ˇcasové rozloˇzen´ı závislosti a kolik regresor˚ u by tedy náˇs model mˇel ve skuteˇcnosti obsahovat, lze pˇribliˇznˇe usoudit z hodnot korelac´ı koncentrace radonu s r˚ uznˇe ´ ı nad Orlic´ı, které jsou zakresleny zpoˇzdˇen´ ymi meteorologick´ ymi promˇenn´ ymi ze stanice v Ust´ na obrázku 6.2.

Obr´ azek 6.2: Hodnoty vzájemn´ ych korelaˇcn´ıch funkc´ı radonu vzhledem k teplotˇe, tlaku a rychlosti vˇetru (hodinová data)

39

Nejtˇesnˇeji závis´ı koncentrace radonu na venkovn´ı teplotˇe zpoˇzdˇené o 4 a 5 hodin. V pˇr´ıpadˇe závislosti na atmosférickém tlaku nen´ı zpoˇzdˇen´ı patrné - nejvˇetˇs´ı korelaci má koncentrace radonu s tlakem ve stejné a v minulé hodinˇe. Rychlost vˇetru má nejvˇetˇs´ı vliv na koncentraci radonu po 5 hodinách. Tyto v´ ysledky koresponduj´ı s anal´ yzou provedenou na stacionarizovan´ ych ˇrad´ ach v kapitole 5. Letmou anal´ yzou lze usoudit, ˇze dobr´ ym kompromisem mezi jednoduchost´ı a vypov´ıdac´ı schopnost´ı by byl napˇr. model závislosti koncentrace radonu na atmosférickém tlaku v danou hodinu, venkovn´ı teploty o 3 a 7 hodin zpˇet a rychlosti vˇetru zpoˇzdˇené o 0, 3 a 7 hodin. Celkem by tedy model obsahoval 7 neznám´ ych strukturáln´ıch parametr˚ u. V pˇr´ıpadˇe pouˇzit´ı denn´ıch dat lze oˇcekávat jednoduˇsˇs´ı model s ménˇe parametry. Koeficient determinace v´ yˇse popsaného modelu pro hodinová pozorován´ı je nav´ıc pouze 40,8 %. To ukazuje, ˇze bud’ maj´ı na koncentraci radonu v objektu zásadn´ı vliv jeˇstˇe jiné faktory neˇz klimatické podm´ınky vyjádˇrené uvaˇzovan´ ymi tˇremi promˇenn´ ymi, nebo ˇze vzdálenost 34 km pouˇzité meteorologické stanice od zkoumaného domu je jiˇz pˇr´ıliˇs velká. S nejvˇetˇs´ı pravdˇepodobnost´ı je pravda oboj´ı. Dalˇs´ı d˚ uvod, proˇc nepouˇz´ıvat hodinová data je tedy nutnost pracovat s pˇr´ıliˇsn´ ym mnoˇzstv´ı ´ ı nad Orlic´ı, z n´ıˇz zpoˇzdˇen´ ych promˇenn´ ych a velká vzdálenost meteorologické stanice v Ust´ máme k dispozici celodenn´ı mˇeˇren´ı. V pˇr´ıpadˇe stanice Svratouch nám absence noˇcn´ıch mˇeˇren´ı poˇcas´ı zásadn´ım zp˚ usobem nevad´ı. M˚ uˇzeme prostˇe modelovat závislost denn´ıho pr˚ umˇeru (tj. pr˚ umˇeru z 24 hodinov´ ych pr˚ umˇer˚ u) koncentrace radonu v objektu na pr˚ umˇeru 14 pozorován´ı meteorologick´ ych promˇenn´ ych v ˇcasech 7:00 aˇz 20:00. Pochopitelnˇe by bylo ideáln´ı m´ıt k dispozici celodenn´ı mˇeˇren´ı z podobnˇe bl´ızké meteorologické stanice. N´ aˇs závˇer tedy zn´ı takto. Budeme modelovat závislost denn´ıho pr˚ umˇeru koncentrace radonu ve sledovaném domˇe v obci Telec´ı na denn´ıch pr˚ umˇerech meteorologick´ ych promˇenn´ ych z´ıskan´ ych ze 14 mˇeˇren´ı v dobˇe od 7:00 do 20:00 na 11 km vzdálené meteorologické stanici Svratouch. Nadále budeme hovoˇrit prostˇe o denn´ıch pr˚ umˇerech meteorologick´ ych veliˇcin, aniˇz bychom zd˚ urazˇ novali, ˇze jde o pr˚ umˇery jen ze 14 hodinov´ ych mˇeˇren´ı. Regresn´ı model budeme tedy odvozovat z 366 denn´ıch pozorován´ı za obdob´ı 1. 5. 2003 aˇz 30. 4. 2004. Nejprve se pod´ıvejme na vlastnosti naˇsich dat. Následuj´ıc´ı grafy (Obr. 6.3, 6.5 a 6.6) zobrazuj´ı pˇrekˇr´ıˇzen´ı regresor˚ u s vysvˇetlovanou promˇennou.

Obrázek 6.3: Závislost koncentrace radonu na venkovn´ı teplotˇe

40

Obrázek 6.4: Závislost koncentrace radonu na tlaku

Obrázek 6.5: Závislost koncentrace radonu na rychlosti vˇetru

Minimum, maximum a hodnoty vˇsech kvartil˚ u pro uvaˇzované ˇctyˇri promˇenné obsahuje následuj´ıc´ı tabulka: radon Min. : 104.2 1st Qu.: 542.8 Median : 852.3 Mean : 1077.3 3rd Qu.: 1392.0 Max. : 3929.2

teplota Min. : -10.7000 1st Qu.: 0.0425 Median : 8.0650 Mean : 8.6189 3rd Qu.: 16.9800 Max. : 28.1500

tlak Min. : 1st Qu.: Median : Mean : 3rd Qu.: Max. :

41

907.9 926.4 931.7 930.4 935.0 947.8

vitr Min. : 1.710 1st Qu.: 4.070 Median : 5.395 Mean : 6.399 3rd Qu.: 8.140 Max. : 25.570

V´ ybˇerová korelaˇcn´ı matice naˇsich promˇenn´ ych vypadá takto:

radon teplota tlak vitr

radon 1.0000000 -0.3250792 0.1639285 -0.3484751

teplota -0.3250792 1.0000000 0.2681720 -0.3003295

tlak 0.1639285 0.2681720 1.0000000 -0.2887262

vitr -0.3484751 -0.3003295 -0.2887262 1.0000000

Znaménka vˇsech korelac´ı potvrzuj´ı teoretické pˇredpoklady o smˇeru závislosti mezi jednotliv´ ymi veliˇcinami. Zdá se, ˇze nejvˇetˇs´ı vliv na koncentraci radonu bude m´ıt venkovn´ı teplota a s´ıla vˇetru. Pod´ıváme-li se na hodnoty korelac´ı mezi koncentrac´ı radonu a meteorologick´ ymi veliˇcinami s r˚ uzn´ ym ˇcasov´ ym zpoˇzdˇen´ım (Obr. 6.6), je jasné, ˇze ani pˇri práci s denn´ımi pr˚ umˇery se u ´plnˇe nevyhneme zaˇclenˇen´ı zpoˇzdˇen´ ych vysvˇetluj´ıc´ıch promˇenn´ ych do modelu. Kaˇzdopádnˇe se jev´ı rozumné zkouˇset do modelu zaˇradit veliˇciny s maximálnˇe jednodenn´ım zpoˇzdˇen´ım. Je moˇzné, ˇze pokud bychom mˇeli k dispozici mˇeˇren´ı meteorologick´ ych promˇenn´ ych po cel´ ych 24 hodin den, jiˇz by nebylo tˇreba zpoˇzdˇené promˇenné do modelu zaˇrazovat.

Obr´ azek 6.6: Hodnoty vzájemn´ ych korelaˇcn´ıch funkc´ı radonu vzhledem k teplotˇe, tlaku a rychlosti vˇetru (denn´ı data)

Vrat’me se nyn´ı k naˇsemu praktickému c´ıli, tj. pomoc´ı konstrukce regresn´ıho modelu mezi koncentrac´ı radonu a klimatick´ ymi podm´ınkami umoˇznit oˇciˇstˇen´ı namˇeˇren´ ych koncentrac´ı od vlivu tˇechto podm´ınek a z´ıskat t´ım kvalitnˇejˇs´ı odhad celoroˇcn´ıho pr˚ umˇeru koncentrace radonu. Naˇse strategie bude taková, ˇze se pokus´ıme zkonstruovat model, jehoˇz hodnoty parametr˚ u u meteorologick´ ych promˇenn´ ych budou platné i pro dalˇs´ı objekty, ne jen pro náˇs d˚ um v obci Telec´ı. Vycház´ıme 42

pˇritom z toho, ˇze z pozorován´ı v relativnˇe krátkém ˇcase (napˇr. t´ yden), které bychom mohli v praxi provádˇet v jiném neˇz naˇsem v´ yvojovém objektu, nejsme schopni z´ıskat vˇerohodné odhady vˇsech parametr˚ u naˇseho modelu. Pokud napˇr´ıklad sestroj´ıme klasick´ y lineárn´ı modle závislosti mezi koncentrac´ı radonu a meteorologick´ ymi promˇenn´ ymi, v nˇemˇz bude m´ıt parametr u promˇenné teplota hodnotu 30, znamenalo by to, ˇze pˇri jinak stejn´ ych podm´ınkách zp˚ usob´ı nár˚ ust denn´ı pr˚ umˇerné venkovn´ı teploty o 5 ◦ C 3 pokles oˇcekávané denn´ı pr˚ umˇerné koncentrace radonu o 150 Bq/m . Toto moˇzná bude platit pro náˇs objekt, v nˇemˇz je pˇr´ıtomnost radonu znaˇcná. V domˇe, kde se denn´ı koncentrace radonu pohybuje dejme tomu mezi 10 a 200 Bq/m3 , lze ale tˇeˇzko oˇcekávat tak velk´ y absolutn´ı pohyb koncentrace radonu pˇri zmˇenˇe teploty o 5 ◦ C. Sp´ıˇse lze oˇcekávat, ˇze stejná zmˇena venkovn´ı teploty zp˚ usob´ı u r˚ uzn´ ych dom˚ u stejnou relativn´ı zmˇenu koncentrace radonu. Jinak ˇreˇceno, závislost koncentrace radonu na vnˇejˇs´ıch vlivech bude sp´ıˇse multiplikativn´ı neˇz aditivn´ı. V´ yˇse popsanému zp˚ usobu závislosti odpov´ıdá line´ arn´ı z´ avislost logaritmu koncentrace radonu na meteorologických promˇenných. Tento tvar závislosti, kromˇe v´ yˇse uvedeného od˚ uvodnˇen´ı (které bohuˇzel pro nedostatek dat nem˚ uˇzeme empiricky potvrdit), má i dalˇs´ı v´ yhody. Zaprvé se ukázalo, ˇze vede k modelu s lepˇs´ı vypov´ıdac´ı schopnost´ı i v pˇr´ıpadˇe 366 denn´ıch pr˚ umˇer˚ u v naˇsem zkoumaném domˇe. Pak také obecnˇe zaruˇcuje, ˇze nikdy nez´ıskáme jako odhad koncentrace radonu záporné ˇc´ıslo (coˇz by se v pˇr´ıpadˇe nezlogaritmovaného lineárn´ıho modelu mohlo stát). Zkus´ıme nejprve do modelu zaˇradit pro kaˇzdou meteorologickou promˇennou i jej´ı jednodenn´ı zpoˇzdˇen´ı, k tomu jeˇstˇe vˇsechny pˇr´ısluˇsné druhé mocniny. Nejbohatˇs´ı uvaˇzovan´ y model tedy vypadá takto (symbolick´ y zápis pro u ´sporu m´ısta): log(rad)~tep+tep1+tla+tla1+vit+vit1+tep^2+tep1^2+tla^2+tla1^2+vit^2+vit1^2, kde tep1 apod. jsou promˇenné zpoˇzdˇené o jeden den (jejich hodnoty byly mˇeˇreny 1.5. 2003 aˇz 29.4. 2004) a tep apod. jsou nezpoˇzdˇené promˇenné (mˇeˇrené 2.5. 2003 aˇz 30.4. 2004). Koeficient determinace v tomto modelu je 60,1 %, ale spousta parametr˚ u nen´ı statisticky v´ yznamnˇe nenulov´ ych. To dává nadˇeji, ˇze se podaˇr´ı vyvinout znaˇcnˇe jednoduˇsˇs´ı model s podobnˇe velkou vypov´ıdac´ı schopnost´ı. Budeme tedy postupnˇe z modelu vyˇrazovat regresory aˇz dojdeme k modelu: log(rad) ~ vit + vit1 + tep1 Jeho koeficient determinace je 57,8 %, coˇz nen´ı o moc ménˇe neˇz u v´ ychoz´ıho modelu. Nav´ıc jsou zde vˇsechny parametry v´ yznamnˇe nenulové (vˇsechny p-hodnoty jsou menˇs´ı neˇz 2e-16). Jde o pomˇernˇe jednoduch´ y model neobsahuj´ıc´ı ˇzádné kvadratické ˇcleny. To v´ yraznˇe zlepˇs´ı interpretaci odhadnut´ ych parametr˚ u a zjednoduˇs´ı pouˇzit´ı modelu k oˇciˇstˇen´ı namˇeˇren´ ych hodnot koncentrace radonu od vlivu poˇcas´ı.

43

Obrázek 6.7: Autokorelaˇcn´ı funkce rezidu´ı regresn´ıho modelu

Rezidua v tomto modelu jsou silnˇe autokorelovaná (viz. Obr. 6.7), coˇz znamená, ˇze vlivy, které nebyly zahrnuty v naˇsich regresorech, p˚ usob´ı taktéˇz setrvaˇcnˇe. Odhadnut´ y model (nezohlednili jsme korelovanost rezidu´ı a pouˇzili OLS odhady) je log(rad)~8,301075-0,083191*vit-0,111669*vit1-0,036831*tep1, nebo-li po aplikaci exponenciáln´ı funkce rad~exp{8,301075-0,083191*vit-0,111669*vit1-0,036831*tep1} To, ˇze pouˇzit´ı logaritmické transformace na vysvˇetlovanou promˇennou je správné, ukazuje i anal´ yza obecné ˇskály Box-Coxov´ ych transformac´ı. Graf na obrázku 6.8 ukazuje, ˇze hodnota λ = 0, odpov´ıdaj´ıc´ı právˇe logaritmické transformaci, vede k nejlepˇs´ımu modelu.

Obrázek 6.8: Logaritmická vˇerohodnost pˇri pouˇzit´ı r˚ uzn´ ych hodnot λ

44

Interpretace odhadnutého modelu je následuj´ıc´ı: zmˇena teploty v uplynulém dni o 1 ◦ C vzh˚ uru znamená (za jinak stejn´ ych podm´ınek) vynásoben´ı oˇcekávané koncentrace radonu faktorem exp(−0, 036831). Nár˚ ust rychlosti vˇetru v dan´ y den o 1 m/s znamená vynásoben´ı oˇcekávané koncentrace radonu exp(−0, 083191) krát, atd. Naˇse korekce namˇeˇreného denn´ıho pr˚ umˇeru koncentrace radonu tedy bude vypadat následuj´ıc´ım zp˚ usobem: adjrad = rad * exp{-0,083191*(m_vit-vit)-0,111669*(m_vit-vit1)-0,036831*(m_tep-tep1)}, kde m vit resp. m tep je m´ıstn´ı pr˚ umˇerná denn´ı rychlost vˇetru resp. venkovn´ı teplota v dobˇe od 7:00 do 20:00, rad je namˇeˇrená koncentrace radonu a adjrad (adjusted radon) je hodnota oˇciˇstˇená o vliv poˇcas´ı. N´ aˇs postup pˇri mˇeˇren´ı nového objektu bude tedy tento. Zjist´ıme pr˚ umˇerné hodnoty m vit a m tep, nejsp´ıˇse z dlouhodob´ ych pozorován´ı na nejbliˇzˇs´ı meteorologické stanici. Budeme mˇeˇrit hodnoty veliˇcin rad, vit, vit1 a tep. Pro kaˇzd´ y denn´ı pr˚ umˇer provedeme popsanou korekci. Ze z´ıskan´ ych denn´ıch hodnot adjrad pak spoˇc´ıtáme aritmetick´ y pr˚ umˇer. To bude náˇs odhad celoroˇcn´ı pr˚ umˇerné koncentrace radonu v mˇeˇreném objektu. Bohuˇzel nemáme moˇznost otestovat empiricky tuto proceduru na jiném domˇe, neˇz na naˇsem v´ yvojovém objektu v obci Telec´ı. V´ ysledky pro denn´ı, t´ ydenn´ı, 14 denn´ı a mˇes´ıˇcn´ı pozorován´ı obsahuj´ı následuj´ıc´ı tabulky a grafy na obrázc´ıch 6.9, 6.10, 6.11 a 6.12. Vˇzdy je k dispozici srovnán´ı s hodnotami z´ıskan´ ymi bez pouˇzit´ı vyvinuté korekce.

denn´ı pr˚ umˇ ery rozsah v´ ybˇeru aritmetick´ y pr˚ umˇer maximum minimum medián odmocnina z MSE

namˇ eˇ ren´ e 366 1077,264 3929,19 104,18 852,325 767,9936

korigovan´ e 365 941,6448 3249,367 239,1786 825,2938 481,3382

t´ ydenn´ı pr˚ umˇ ery rozsah v´ ybˇeru aritmetick´ y pr˚ umˇer maximum minimum medián odmocnina z MSE

namˇ eˇ ren´ e 52 1081,744 3081,19 321,9929 913,085 565,1238

korigovan´ e 52 942,8378 2045,831 449,6784 849,0487 386,6226

14 denn´ı pr˚ umˇ ery rozsah v´ ybˇeru aritmetick´ y pr˚ umˇer maximum minimum medián odmocnina z MSE

namˇ eˇ ren´ e 26 1081,744 2333,339 546,6536 912,1271 468,092

korigovan´ e 26 942,8378 1887,903 493,4905 866,3496 376,2645

45

mˇ es´ıˇ cn´ı pr˚ umˇ ery rozsah v´ ybˇeru aritmetick´ y pr˚ umˇer maximum minimum medián odmocnina z MSE

d´ elka mˇ eˇ ren´ı den t´ yden 14 dn´ı mˇ es´ıc

namˇ eˇ ren´ e 12 1075,248 1797,424 565,2503 891,3429 424,2218

typ namˇeˇrené korigované namˇeˇrené korigované namˇeˇrené korigované namˇeˇrené korigované

korigovan´ e 12 940,319 1742,918 547,1108 836,15 355,2779

maximum 3926,2 3249,4 3081,2 2045,8 2333,3 1887,9 1797,4 1742,9

minimum 104,2 239,2 322 449,7 546,7 493,5 565,3 547,1

medi´ an 852,3 825,3 913,1 849 912,1 866,3 891,3 836,1

odmocnina z MSE 768 481,3 565,1 386,6 468,1 376,3 424,2 355,3

Obrázek 6.9: Denn´ı pr˚ umˇery oˇciˇstˇen´ ych koncentrac´ı radonu

46

Obrázek 6.10: T´ ydenn´ı pr˚ umˇery oˇciˇstˇen´ ych a namˇeˇren´ ych koncentrac´ı radonu

ˇ actidenn´ı pr˚ Obrázek 6.11: Ctrn´ umˇery oˇciˇstˇen´ ych a namˇeˇren´ ych koncentrac´ı radonu

47

Obrázek 6.12: Mˇes´ıˇcn´ı pr˚ umˇery oˇciˇstˇen´ ych a namˇeˇren´ ych koncentrac´ı radonu

Pˇresto, ˇze korigované odhady nejsou v´ ybˇerovˇe nestranné, maj´ı podstatnˇe niˇzˇs´ı MSE. Také jejich maximum a minimum jsou ve vˇetˇsinˇe pˇr´ıpad˚ u bl´ıˇze odhadované hodnotˇe. Nejv´ yraznˇejˇs´ı zlepˇsen´ı odhad˚ u lze pozorovat u jednodenn´ıho mˇeˇren´ı, s rostouc´ı délkou mˇeˇren´ı jiˇz nen´ı zlepˇsen´ı dramatické.

48

Kapitola 7

Odhady koncentrace radonu vˇ cl´ anc´ıch Problémem koncentrace radonu v domech se zab´ yvaj´ı mnohé ˇclánky publikované ve vˇedeck´ ych ˇcasopisech. V této kapitole krátce shrneme nˇekteré z pouˇz´ıvan´ ych postup˚ u a v´ ysledk˚ u. V ˇclánku [5] je na základˇe namˇeˇren´ ych koncentrac´ı radonu ve ˇctyˇrech budovách porovnáván vliv venkovn´ı teploty, rychlosti a smˇeru vˇetru. Kaˇzd´ y d˚ um je mˇeˇren velmi podrobnˇe. Mˇeˇren´ı zahrnuje koncentraci radonu na ˇctyˇrech m´ıstech (v zemi pod domem, ve sklepˇe, v ob´ yvac´ım pokoji a venku) a meteorologické ukazatele v bl´ızkosti domu. Docház´ı k závˇeru, ˇze pro zkoumané ˇctyˇri domy má koncentrace radonu velmi odliˇsnou závislost na meteorologick´ ych veliˇcinách. Zkoumaj´ı také vliv sezónn´ıch opravn´ ych faktor˚ u. U bˇeˇzného domu jejich pouˇzit´ı zlepˇsuje pˇresnost odhadu roˇcn´ıho pr˚ umˇeru (na základˇe dat ze tˇr´ı mˇes´ıc˚ u). V domech, které se v nˇejakém smyslu chovaly netypicky (tˇri ze ˇctyˇr zkouman´ ych dom˚ u), sezónn´ı korekce v´ yraznˇeji lepˇs´ıch odhad˚ u nedosahovaly. ˇ e republice zkoum´ V dalˇs´ı zaj´ımavé studii v ˇclánku [3] jsou pro data nasb´ıraná v Cesk´ any vztahy s venkovn´ı teplotou, atmosferick´ ym tlakem a t´ ydenn´ım u ´hrnem sráˇzek. Pro 29 m´ıstnost´ı (ze ˇsestnácti dom˚ u) bylo vyhotoveno 1537 t´ ydenn´ıch mˇeˇren´ı koncentrace radonu v obdob´ı jednoho roku a pro kaˇzdou m´ıstnost byl vypoˇc´ıtán roˇcn´ı aritmetick´ y pr˚ umˇer. Bylo ukázáno, ˇze vliv tlaku a sráˇzek nen´ı v´ yznamn´ y. Odchylky mezi roˇcn´ım pr˚ umˇerem koncentrace radonu a jeho odhadem zkonstruovan´ ym v rámci jednoho t´ ydne v´ yznamnˇe závisely na pr˚ umˇerné t´ ydenn´ı teplotˇe. Dobré v´ ysledky vykazovaly studie ve Francii a Anglii, které se zab´ yvaly konstrukc´ı opravn´ ych sezónn´ıch faktor˚ u. Na základˇe vˇetˇs´ıho vzorku dom˚ u urˇcité oblasti byly zvláˇst’ vypoˇcteny opravné poloˇzky pro tˇr´ı a ˇsestimˇes´ıˇcn´ı odhady roˇcn´ı pr˚ umˇerné koncentrace radonu. U tˇechto sezónnˇe upraven´ ych odhad˚ u doˇslo k v´ yznamnému zlepˇsen´ı a také byla ukázána stabilita opravn´ ych koeficient˚ u v dlouhodobˇejˇs´ım ˇcasovém u ´seku. Odhad opravn´ ych faktor˚ u je zaj´ımavˇe provádˇen pˇres regresi. (viz. ˇclánky [6], [1], [4]) Z r˚ uzn´ ych dosaˇzen´ ych v´ ysledk˚ u ve ˇclánc´ıch je vidˇet, ˇze odhad koncentrace radonu je velmi sloˇzitá záleˇzitost. Typ závislosti na r˚ uzn´ ych ˇcinitelech se nejsp´ıˇs bude liˇsit m´ısto od m´ısta. Urˇcitˇe m´ a v´ yznam spolu s radonem sledovat i meteorologické ukazatele a vˇetˇs´ı vzorek okoln´ıch dom˚ u. V ˇclánku [7] je také demonstrována d˚ uleˇzitost znalosti zdroje záˇren´ı. R˚ uzné zdroje maj´ı na koncentraci odliˇsn´ y vliv. Pomˇernˇe u ´spˇeˇsné se zdaj´ı odhady, které vyuˇz´ıvaj´ı sezónn´ıch oprav.

49

Kapitola 8

Z´ avˇ er Základn´ım c´ılem práce bylo zhodnocen´ı moˇznost´ı odhadovat roˇcn´ı pr˚ umˇernou koncentraci radonu v objektu na základˇe kratˇs´ıch mˇeˇren´ı. Pˇristupovali jsme k problému tˇremi r˚ uzn´ ymi zp˚ usoby. V kapitole 4 jsme zkoumali pˇresnost odhad˚ u na základˇe mediánu, aritmetického a geometrického pr˚ umˇeru. Vˇsechny odhady vykazuj´ı vysokou hodnotu smˇerodatné odchylky, která s rostouc´ı délkou mˇeˇren´ı klesá pomˇernˇe pomalu. Pˇr´ıstup vyuˇz´ıvaj´ıc´ı vlastnosti rozdˇelen´ı zkouman´ ych dat jsme nevyuˇz´ıvali z d˚ uvod˚ u, ˇze nejde o náhodn´ y v´ ybˇer, ale o ˇcasovou ˇradu. Pˇr´ıstupu pˇres ˇcasové ˇrady byla vˇenována kapitola 5. S vyuˇzit´ım sezónn´ıch opravn´ ych koeficient˚ u zde bylo dosaˇzeno nejkvalitnˇejˇs´ıho odhadu roˇcn´ı koncentrace radonu na základˇe mˇes´ıˇcn´ıch pozorován´ı. Dále byla zodpovˇezena otázka ˇcasového posunu p˚ usoben´ı meteorologick´ ych promˇenn´ ych na koncentraci radonu. Pomoc´ı spektráln´ı anal´ yzy byly vyhodnoceny periodicity ve zkouman´ ych ˇradách. V kapitole 6 jsme se pokouˇseli odhady aritmetick´ ym pr˚ umˇerem kratˇs´ıch mˇeˇren´ı vylepˇsit vyuˇzit´ım namˇeˇren´ ych hodnot meteorologick´ ych promˇenn´ ych. Za t´ımto u ´ˇcelem byl sestrojen a odhadnut regresn´ı model závislosti koncentrace radonu na tˇechto promˇenn´ ych. Na jeho základˇe pak byla navrˇzena korekce namˇeˇren´ ych hodnot koncentrac´ı, která by je oˇcistila od vlivu poˇcas´ı. Nepˇresnost odhad˚ u z tˇechto oˇciˇstˇen´ ych hodnot byla niˇzˇs´ı, zejména pˇri kratˇs´ıch délkách mˇeˇren´ı. Dle naˇsich v´ ysledk˚ u a citovan´ ych ˇclánk˚ u se zdá b´ yt nejvhodnˇejˇs´ı konstrukce odhad˚ u zaloˇzen´ ych na sezónn´ıch opravách a vyuˇzit´ı závislosti na meteorologick´ ych promˇenn´ ych. Pro anal´ yzu by bylo vhodné pouˇz´ıt vˇetˇs´ıho mnoˇzstv´ı dat.

50

Literatura [1] H. Baysson, S. Billon, D. Laurier, A. Rogel and M. Tirmarche. Seasonal correction factors for estimating radon exposure in dwellings in France. Radiation Protection Dosimetry, 104(3):245–252, 2003. [2] T. Cipra. Analýza ˇcasových ˇrad s aplikacemi v ekonomii. Statistics and Computing. SNTL, Praha, 1986. [3] J. Dolejs and J. H˚ ulka. The weekly measurement deviations of indoor radon concentration from the annual arithmetic mean. Radiation Protection Dosimetry, 104(3):253–258, 2003. [4] P. Grainger, S. H. Shalla, A. W. Preece and S. A. Goodfellow. Home radon levels and seasonal correction factors for the Isle of Man. Phys. Med. Biol., 45:2247–2252, 2000. [5] J. C. H. Miles. Temporal variation of radon levels in houses and implications for radon measurement strategies. Radiation Protection Dosimetry, 93(4):369–375, 2001. [6] J. Pinel, T. Fearn, S. C. Darby and J. C. H. Miles. Seasonal correction factors for indoor radon measurements in the United Kingdom. Radiation Protection Dosimetry, 58(2):127–132, 1995. [7] L. Sesana and S. Begnini. Hourly indoor radon measurements in a research house. Radiation Protection Dosimetry, 112(2):277–286, 2004. [8] W. N. Venables and B. D. Ripley. Modern applied statistics with S-Plus. Statistics and Computing. Springer-Verlag, New York, 1994.

51

koncentrace radonu v domě

Recommend Documents