Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ.1.07/2.2.00/07.0018
4. Komplexní čísla Matematickým důvodem pro zavedení komplexních čísel (z latinského complexus − složený), byla potřeba rozšířit množinu (obor) reálných čísel. V oboru reálných čísel totiž existují algebraické (polynomické) rovnice s reálnými koeficienty a kladnými nezápornými celočíselnými exponenty (např. x2 + 1 = 0), které nemají v tomto oboru žádné řešení − kořeny (čili obor reálných čísel není vzhledem k nim uzavřený), případně je počet jejich reálných kořenů nižší, než stupeň polynomu. Tento problém tak vedl k nutnosti dodefinovat odmocniny ze záporného čísla a k zavedení množiny komplexních čísel, jejíž podmnožinou je množina reálných čísel. Obor komplexních čísel je uzavřený nejen na výše uvedené kořeny polynomů s reálnými koeficienty, ale i na kořeny polynomů s komplexními koeficienty. Tuto uzavřenost zaručuje Základní věta algebry, která tvrdí, že polynom n-tého stupně má v oboru komplexních čísel n kořenů. Ukázalo
se,
že
i
ve
fyzice
najdou
komplexní
čísla
své
uplatnění.
Přeformulováním řady fyzikálních problémů do komplexních čísel se tyto problémy většinou matematicky zjednoduší. S komplexními čísly se totiž velmi jednoduše pracuje a pro každý typ úlohy (podle matematického zápisu rovnic, podle povahy hledaného řešení, …) je vhodný jiný zápis komplexních čísel. Komplexní zápis se s výhodou používá, například, v teorii harmonického kmitání a vlnění, zejména při řešení obvodů střídavého proudu (sériový RLC obvod, výpočet tzv. jalového proudu, atd.). V teorii šíření elektromagnetického vlnění (světla) lze zase, například, index lomu považovat za komplexní funkci vlnové délky, kde reálná část má význam coby zobecnění indexu lomu jakožto konstanty pro danou vlnovou délku, zatímco imaginární část je tzv. index absorpce, popisující míru útlumu záření v daném materiálu. Také kvantová mechanika používá systematicky komplexní zápis pro stavy i operátory příslušející k pozorovatelným veličinám.
24
Poznámka: Důležité je vždy správně interpretovat získané řešení, tj. přiřadit komplexním číslům (resp. jejich imaginárním částem) správný fyzikální smysl.
ZÁKLADNÍ POJMY Komplexní číslo (v kartézském tvaru) je výraz z = a + ib, kde a, b jsou reálná čísla, i je imaginární jednotka s vlastností i2 = − 1. a je reálná část, b je imaginární část komplexního čísla z; značí se též a = Re z, b = Im z. Množina všech komplexních čísel se značí C. Libovolné reálné číslo lze pak vyjádřit jako komplexní číslo a + i0, odkud plyne, že R ⊆ C. Pokud platí, že z = ib (tedy a = 0), dostáváme ryze imaginární číslo. Komplexní čísla z1 = a + ib, z2 = c + id jsou si rovna, jestliže a = c a b = d; zapisujeme z1 = z2. Číslo komplexně sdružené ke komplexnímu číslu z = a + ib je číslo a − ib; značí se z .
GEOMETRICKÁ INTERPRETACE Z definice komplexního čísla je zřejmé, že dvojici reálných čísel a, b odpovídá právě jedno komplexní číslo a + ib. Každému komplexnímu číslu lze pak přiřadit bod [a, b] v rovině a naopak (viz obr. 4.1).
y
z = a + ib
b |z|
ϕ 0
a
x
Obrázek 4.1 Gaussova rovina komplexních čísel
Ztotožní-li se při této interpretaci každý bod [a, b] roviny s komplexním číslem a + ib, hovoří se o Gaussově rovině komplexních čísel. Reálné číslo a se pak ztotožní s bodem [a, 0], případně s komplexním číslem a + i0; množina všech reálných čísel v Gaussově rovině je reálná osa x, množina všech komplexních čísel z = a + ib, pro něž a = 0 (tedy ryze imaginárních čísel), je imaginární osa y, 0 je počátek.
25
Další významnou interpretaci dostaneme, jestliže každému komplexnímu číslu z = a + ib přiřadíme v rovině vektor z s počátečním bodem [0, 0] a koncovým bodem [a, b] (obr. 4.2).
y
z = a + ib
b z
ϕ 0
a
x
Obrázek 4.2 Komplexní číslo ve vektorové interpretaci
OPERACE S KOMPLEXNÍMI ČÍSLY Pro komplexní čísla z1 = a + ib, z2 = c + id se jejich součet, rozdíl, součin a podíl definuje takto: •
Součet z1 + z2 = (a + ib) + (c + id) = (a + c) + i(b + d).
•
Rozdíl z1 − z2 = (a + ib) − (c + id) = (a − c) + i(b − d).
•
Součin z1z2 = (a + ib)(c + id) = ac + iad + ibc + i2bd = (ac − bd) + i(ad + bc).
•
Podíl
z1 a + ib a + ib c − id ac + bd bc − ad = = = 2 +i 2 , když z2 ≠ 0, tj. c ≠ 0 a d ≠ 0. 2 z 2 c + id c + id c − id c + d c + d2
Z uvedených vztahů vyplývá, že při provádění operací s komplexními čísly postupujeme formálně stejně jako při operacích s dvojčleny reálných čísel, přičemž i2 nahradíme -1. Snadno se pak dokáže, že tyto operace splňují axiomy A1 - A4 platné pro reálná čísla (viz kapitola 3). Podotkněme, že pro komplexní čísla nelze zavést uspořádání pomocí ≤, jak je známe z reálných čísel.
Příklad: z1 = 2 + i3, z2 = 1 − i; z1 + z2 = (2 + 1) + i(3 − 1) = 3 + i2; z1 − z2 = (2 − 1) + i(3 + 1) = 1 + i4; z1z2 = 2 − i2 + i3 − 3i2 = 5 + i;
z 1 2 + i3 1 + i −1 + 5i 1 5 = = = − +i . z2 1− i 1+ i 2 2 2
26
ABSOLUTNÍ HODNOTA (MODUL) Absolutní hodnota (modul) komplexního čísla a + ib je reálné číslo
a2 + b2 ;
značí se z . Z obrázku 4.1 je patrno, že z vyjadřuje vzdálenost bodu [a, b] od bodu 0 = 0 + i0 = [0, 0]. Základní vlastnosti absolutní hodnoty : (a) z1 + z 2 ≤ z1 + z 2
(tzv. trojúhelníková nerovnost),
(b) z1z 2 = z1 z 2 , (c)
z z1 = 1 , jestliže z2 ≠ 0. z2 z2
Poznámka: Platí z = z z .
POLÁRNÍ (GONIOMETRICKÝ) TVAR KOMPLEXNÍHO ČÍSLA Komplexní číslo z = a + ib lze jako bod v rovině zadat i jiným způsobem, například vzdáleností z od počátku 0 (tedy absolutní hodnotou) a úhlem ϕ, který svírá průvodič bodu z s kladným směrem osy x (viz obr. 4.1). Pak dostáváme
cos ϕ =
a b , sin ϕ = z z
(4.1)
a odtud z = a + ib = z cos ϕ + i z sin ϕ = z (cos ϕ + i sin ϕ ) . Každé komplexní číslo z ≠ 0 lze tedy vyjádřit ve tvaru z = z (cos ϕ + i sin ϕ ) ,
(4.2)
který se nazývá polární tvar (též goniometrický tvar) komplexního čísla z. Každé reálné číslo ϕ vyhovující (4.1) se nazývá argument komplexního čísla z. Z periodicity funkcí sin a cos plyne, že každé komplexní číslo má nekonečně mnoho argumentů lišících se vzájemně o celočíselný násobek 2π. Argument ϕ, pro který platí 0 ≤ ϕ < 2π, se nazývá hlavní argument. Každé komplexní číslo z ≠ 0 se pak vyjadřuje ve tvaru z = z (cos(ϕ + 2kπ ) + i sin(ϕ + 2kπ )) ,
(4.3)
kde ϕ je hlavní argument a k je libovolné celé číslo.
27
Ve většině případů vystačíme s vyjádřením pomocí hlavního argumentu (tj. k = 0), což odpovídá tvaru (4.2). U odmocniny (viz dále) však je třeba vyjít z tvaru (4.3).
Příklad: z = −1 + i ; z=
(− 1)2 + 12 =
2 , cos ϕ =
3 −1 − 2 1 2 , ϕ = π + 2kπ , = , sin ϕ = = 4 2 2 2 2
3 3 z = 2 cos π + 2kπ + i sin π + 2kπ , kde k je libovolné celé číslo; 3/4π je hlavní argument. 4 4
MOIVREŮV VZOREC Pro komplexní čísla z1 = a1 + ib1 = z1 (cos ϕ1 + i sin ϕ1 ) , z 2 = a 2 + ib2 = z 2 (cos ϕ 2 + i sin ϕ 2 ) platí z1z 2 = z1 z 2 (cos(ϕ1 + ϕ 2 ) + i sin(ϕ1 + ϕ 2 )) ,
(4.4)
z z1 = 1 (cos(ϕ1 − ϕ2 ) + i sin(ϕ1 − ϕ2 )). z2 z2 Zobecněním
vztahu
(
(4.4)
pro
n
komplexních
čísel
)
z j = a j + ib j = z j cos ϕ j + i sin ϕ j , j = 1, 2,…, n dostáváme z1z 2 ⋯ z n = z1 ⋯ z n (cos(ϕ1 + ⋯ + ϕn ) + i sin(ϕ1 + ⋯ + ϕn )) . Speciálně pro z = z1 = ⋯ = z n = z (cos ϕ + i sin ϕ ) se pak
z n = ( z (cos(ϕ ) + i sin(ϕ ))) = z n
n
(cos nϕ + i sin nϕ )
(4.5)
nazývá Moivreův vzorec. ODMOCNINA KOMPLEXNÍHO ČÍSLA Buďte z = |z|(cos(ϕ + 2kπ) + isin(ϕ + 2kπ)) komplexní číslo, n přirozené číslo. n-tá odmocnina komplexního čísla z je komplexní číslo w, pro něž platí wn = z.
28
Aplikací (4.5) pro z ≠ 0 lze odvodit, že existuje n různých n-tých odmocnin wk komplexního čísla z, přičemž
( z )= w n
k
ϕ + 2kπ ϕ + 2kπ = n z cos + i sin n n
(4.6)
pro k = 0, 1,…, n − 1. Je patrno, že všechny n-té odmocniny mají tutéž absolutní hodnotu a argumenty se liší o celočíselný násobek
n
z
2π ; odtud vyplývá, že n-té odmocniny n
tvoří vrcholy pravidelného n-úhelníku vepsaného do kružnice o poloměru
n
z .
Příklad: 4
1+ i ;
π π 1 + i = 2 cos + i sin , 4 4
podle (4.6) pak platí wk =
4
π π + 2kπ + 2kπ 4 4 = 8 2 cos π + k π + i sin π + k π , 2 cos + i sin 4 4 2 2 16 16
kde k = 0, 1, 2, 3 (viz obr. 4.3).
y
w1
w0 w2
x
0 8
2
w3
Obrázek 4.3
29
ZOBECNĚNÝ MOIVREŮV VZOREC Poznatky předchozích dvou odstavců lze shrnout pro m, n přirozená čísla, n ≠ 0 do následujícího vztahu m
m
z n = ( z (cos(ϕ ) + i sin(ϕ ))) n = z
m n
(cos(mϕ /n ) + i sin(mϕ /n )) ,
(4.7)
který se nazývá zobecněný Moivreův vzorec. Tento vzorec se zpravidla uvádí pro komplexní čísla z = (cosϕ + i sinϕ) s modulem |z| = 1, kdy platí m
(cos(ϕ ) + i sin(ϕ )) n
= (cos(mϕ /n ) + i sin(mϕ /n )) .
(4.8)
Příklad: Pomocí vztahů (4.7) a (4.8) můžeme zapsat n řešení (kořenů) rovnice zn = 1, resp. z = n 1 ; . Označíme-li k-tý kořen wk, pak je w k = cos(2πk/n) + i sin(2πk/n), kde k = 0, 1, ..., n − 1. V souladu s (4.8.) je w nk = 1 .
EULERŮV VZOREC KOMPLEXNÍHO ČÍSLA Lze
odvodit
vzorec, který
spojuje
exponenciální
funkci
imaginárního
argumentu s trigonometrickými funkcemi. Tento vzorec se nazývá Eulerův vzorec e ±iϕ = cos ϕ ± i sin ϕ .
(4.9)
Komplexní číslo z = z (cos ϕ + i sin ϕ ) se tak může vyjádřit v následujícím tvaru z = z e iϕ ,
(4.10)
kde argument φ je určen vztahem tg ϕ = b /a , jak plyne ze (4.1). Tento zápis komplexního čísla je ve fyzice velmi často využíván a označuje se jako Eulerův vzorec komplexního čísla. Na základě výše řečeného se zobecněný Moivreův vzorec (4.8.) fakticky redukuje na pravidlo o násobení exponentů, jelikož platí
(cos ϕ + i sin ϕ )p
( )
= e iϕ
p
= e ipϕ = cos pϕ + i sin pϕ ,
přičemž lze uvažovat p = m /n jako libovolné číslo, ne nutně racionální.
30
Cílové znalosti 1. Operace s komplexními čísly. 2. Polární (goniometrický) tvar komplexního čísla. 3. Moivreův vzorec, odmocnina komplexního čísla, zobecněný Moivreův vzorec. 4. Eulerův vzorec komplexního čísla.
31
