Komplexní čísla, komplexně sdružená čísla, opačná komplexní čísla, absolutní hodnota (modul) komplexního čísla Definice komplexního čísla Komplexní číslo je uspořádaná dvojice reálných čísel z = (z1 , z2) ≠ (z2 , z1). z1 je reálná, z2 imaginární část komplexního čísla. Obraz komplexního čísla je bod v Gaussově rovině Im z = [z1, z2] z2 Re
z1
0
Modul komplexního čísla, číslo komplexně sdružené a opačné komplexní číslo Modul komplexního čísla
Číslo komplexně sdružené z = [z1 ,− z 2 ]
z = z12 + z 22
Im
Im
z = [z1, z2]
z = [z1, z2] z2 0
[z]
z2 Re
z1
z1
0
Re
−z2
z Opačné komplexní číslo
− z = [− z1 ,− z2 ]
Im z = [z1, z2] z2 −z1
0 −z2
−z
z1
Re
Sčítání (odčítání) a násobení komplexních čísel Pro komplexní čísla x = (x1, x2), y = (y1, y2) definujeme operace sčítání (odčítání) a násobení x ± y = (x1, x2) ± (y1, y2) = (x1 ± y1, x2 ± y2) x ⋅ y = (x1y1 – x2y2) + (x2y1 + x1y2) Příklad: Jsou dána komplexní čísla x = (3, 2), y = (−1, 5). Určete x + y, x – y, x⋅y a příslušné moduly x + y = (3, 2) + (−1, 5) = (3+(−1), 2 + 5) = (2, 7) x − y = (3, 2) − (−1, 5) = (3−(−1), 2 − 5) = (4, −3) x⋅y = (3⋅(−1) −2⋅5, 3⋅5 + 2⋅(−1)) = (−3−10, 15−2) = (−13, −13) |x + y| =√(22 + 72) = √53 |x − y| = √((42 + (−3)2 )= √25 = 5 |x ⋅ y| = √((−13)2 + (−13)2) = 13⋅√2 Symbol i, algebraický tvar komplexního čísla z = (z1 , z2) = (z1 , 0) + (0 , z2) = z1 + z2(0 , 1) = z1 + z2i, kde zavedeme označení i = (0, 1). Pak lze psát z = (z1 , z2) = z1 + z2i= z1 + jz2 což je algebraický tvar komplexního čísla. Snadno se ukáže užitím pravidla o násobení komplexních čísel, že i2 = i⋅i = (0 , 1)⋅(0 , 1) = 0⋅0 − 1⋅1, 0⋅1 + 1⋅0 = −1 tedy i2 = −1, i = √−1 Zápis komplexních čísel v algebraickém tvaru je jednodušší, než zápis jako uspořádaných dvojic reálných čísel. S komplexními čísly v algebraickém tvaru počítáme jako s dvojčleny. Příklad: Sečtěte a odečtěte dvě komplexní čísla v algebraickém tvaru x = 3 + 2i, y = 7 + i x + y = (3 + 2i) + (7 + i) = (3 +7) + (2 + 1)i = 10 + 3i x − y = (3 + 2i) − (7 + i) = (3 −7) + (2 − 1)i = −4 + i Příklad: Vypočítejte součin komplexních čísel x = (3 + 2i), y = (7 + i) x⋅y = (3 + 2i)⋅(7 + i) = 3⋅7 + 3i +2i⋅7 + 2i⋅i = 21 + 3i + 14i − 2 = 19 + 17i Podíl komplexních čísel
3 − 2i Zápis komplexního čísla ve tvaru neuznáváme, nepovažujeme ho za slušný. Je to podíl komplexních čísel, 1 − i který upravujeme tzv. usměrněním. Zapíšeme dělence a dělitele ve tvaru zlomku a celý zlomek rozšíříme, tj. násobíme čitatele i jmenovatele číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli.
3 − 2i 1− i 3 − 2i 3 − 2i 1 + i 3 + 3i − 2i − 2i 2 3 + i + 2 5 1 5 1 = ⋅ = = = + i= + j 2 2 1− i 1− i 1+ i 1 −i 2 2 2 2 2
Příklad:Vyjádřete v algebraickém tvaru
Goniometrický tvar komplexního čísla V obrázku, který již známe, označíme úhel α. Vyjádříme modul z a goniometrické funkce úhlu α. Úhel α se nazývá argument komplexního čísla Im z = [z1, z2] [z]
z2
α
0
z =
z12 + z 22 , sin α =
Re
z1
z2 z z , cos α = 1 , tgα = 2 z z z1
z = z (cos α + i sin α )
Pro goniometrický tvar nepotřebujeme znát tangens úhlu α, ale úhel α, tedy z α = arctg 2 z1 Příklad: Převeďte do goniometrického tvaru
(
)
(
z = −2 3 + i
)
Upravíme − 2 3 + i = −2 3 − 2i a vypočteme z = α = arctg
(− 2 3 ) + (− 2) 2
2
= 12 + 4 = 4, α = arctg
−2 −1 = arctg −2 3 − 3
1 1 = π je chybný výsledek. Jedná se o třetí kvadrant, proto úhel 3 6 α = π/6 − π = −5/6π −5 −5 z = 4 cos π + i sin π 6 6 I.
IV. π/6 −5π/6 III.
II.
Opačný příklad: Převeďte do algebraického tvaru
−5 −5 z = 4 cos π + i sin π . 6 6
Na jednotkové kružnici (r =1) jsou poměry stran 1/2, 1,√3/2, takže
(
3 1 z = 4 − + i(− ) = −2 3 + i 2 2
)
Příklady Úpravy a převod komplexních výrazů do algebraického tvaru 1. Upravte a v algebraickém tvaru vyjádřete komplexní čísla. a) (3 + 2i) − (7 + i) b) (8 − 6i) + (−2i + 7)
c) −i + 2i(3 − 4i)
e) (3i − 7)(8 + i)
g) 6i(1 − i)(3i + 2)
f) (3 − 2i)(5 − 4i)(2 − i)
d) (2 − 3i)(2 + i)
h) (1 − 2i)(7 − 5i − (3 − 4i)) [a) −4 + i; b) 15 − 8i; c) 8 + 5i; d) 7 − 4i; e) −59 + 17i; f) − (8 + 51i); g) −6 + 30i; h) 2 − 9i] 2. Upravte a v algebraickém tvaru vyjádřete komplexní čísla. 1+i 2 − 3i 1 − i (1 + 2i)(2 + i)(3 − 2i) 4 2 − i 1+ i 1− i a) b) c) d) e) (1 − 2i) 2 + f) − 2 3 − 4i i−4 2+i (1 − i) 1− i 1+ i 1− i 1+ i 2
[ a) −
7 1 3 1 11 10 15 11 23 + i ; b) − + i ; c) − i ; d) − + 5i ; e) − − i ; f) − 1 − i ] 25 25 17 17 5 5 2 2 2
3. Upravte a v algebraickém tvaru vyjádřete komplexní čísla. a) (1 − i)2 ; b) (1 − i)3 ; c) (1 − i)4 ; d) 2(−3 + 4i) − 3(6 − i); e) i(1 − i 3)( 3 + i) ;
f)
65 90 7 − 3i 7 + 3i 3i − 5 − g) − − i + 2 h) 4 - 7i 3 + 9i 3 − 7i 3 + 7i i +1
[a) −2i; b) −2(1 + i); c) −4;d) −24 + 11i; e) 2 + 2i 3 ;f)
40 i ; g) 1 + 3i; h) 1+16i] 29
Algebraický versus goniometrický tvar komplexních čísel 1. Vyjádřete v goniometrickém tvaru 1 5 5 a) − 1 + i 3 ; b)5; c) (1 + i 3 ) ;d) − 2 (1 − i) ; e) 3 − i 3 ; f) 2,9i; g) − − i 6 2 3 2
1 π π 2 2 2 2 [a) 2 cos π + isin π ;b) 5( cos 0 + isin0) ;c) cos + isin ;d) 2cos π + isin π 3 3 3 3 3 3 3
e)
-π -π 5 4 4 π π + isin cos π + isin π ; f) 2,9 cos + isin ; g) 2 3 cos 3 3 2 2 6 6 3
3
2. Zapište v algebraickém tvaru daná komplexní čísla 2 2 3 3 5 5 a) 5 2 cos π + isin π ;b) 3 cos π + isin π ;c) 2 2 cos − π + isin − π ; 6 3 3 2 2 6
1 1 d) 7 cos − π + isin − π 4 4
[a) − 2,5 2 + 2,5i 6 ; b) -3i ; c) − 6 − i 2 ; d)
7 7 2− i 2] 2 2
Moivreova věta Nechť jsou dána komplexní čísla a = |a|⋅(cosα + isinα) , b = |b|⋅(cosβ + isinβ). Pak platí a⋅b = |a|⋅|b|⋅(cos(α + β) + isin(α + β)) Je - li |b| ≠ 0 platí: a/b = |a|/|b|⋅(cos(α −β)+ isin(α −β)) Zobecněním pro n-tou mocninu komplexního čísla dostaneme: Nechť a = |a|⋅(cosα + isinα) je komplexní číslo, n ∈ N. Pak platí: a n = [ a (cosα + isinα )] = a (cosnα + i sin nα ) n
n
Význam: umožňuje snadné násobení a umocňování komplexních čísel v goniometrickém tvaru.
π π 1 Příklad : Vypočítejte a2, a4, a7 ab3, b5, b6, jestliže a = 2 cos + isin a b = 8 8 a 7π 7π π π 4 cos 4 + i sin 4 ; 16i ; 128 cos 8 + i sin 8 13π 13π 1 11π 11π 1 5π 5π 1 8 cos 8 + i sin 8 ; 32 cos 8 + i sin 8 ; 64 cos 4 + i sin 4
Odmocnina komplexního čísla Z Moivreovy věty se dostane analogií pro n – tou odmocninu komplexního čísla Nechť a = |a|⋅(cosα + isinα) je komplexní číslo, n ∈ N. Pak platí: 1 α + 2kπ α + 2kπ a = a n = [ a (cosα + isinα )]n = n a cos + i sin ; k = 0, 1, 2, K, n − 1 n n 1
n
Příklad : Vypočítejte
5
− 32 ; 3 1 ;
3
−8 ;
4
− 5 + 5 3i
π + 2kπ π + 2kπ 2kπ 2kπ + isin + isin k = 0,1,2, k = 0,1,2,3,4; cos 2 cos 5 5 3 3 4 10 1 ± i 3 ,−2; ± 2
(
)
3 + i ,±
(
)
4 10 1− i 3 2
Kvadratické rovnice v C 1. Řešte v množině C rovnice a) x3 = 1; b) x5 = −32
π + 2 kπ π + 2 kπ π 2kπ π 2kπ [a) cos + + isin , k = 0,1,2,3,4 ] + isin + ,k = 0,1,2 ; b) 2 cos 5 5 3 3 6 6 2. Řešte v množině C kvadratické rovnice a) x2 - 4 = 0 [{2 ; - 2}] ; b) x2 + 9 = 0 [{3i ; -3i}] ; c) 2x2 - 5 = 0 [{ 2,5 ; − 2,5 }] ; d) 2x2 - 1 = 3x2 + 4 [{ i 5 ; − i 5 }] ; e) x2 - 2x + 2 = 0 [{1+ i;1 - i}] ; f) x2 - 14x + 50 = 0 [{7 + i; 7 - i}] ; g) 4x2 - 24x + 86 = (x + 3)2 - 1 [{5 + i; 5 - i}]
