Komplexní cˇ ísla Definice komplexních cˇ ísel Komplexní cˇ íslo m˚užeme nadefinovat jako uspoˇrádanou dvojici reálných cˇ ísel [a, b], u kterých definujeme operace sˇcítání, násobení, apod. Standardnˇe se komplexní cˇ ísla zapisují ve tvaru z = a + ib, kde i je komplexní jednotka a a, b ∈ R, pro komplexní jednotku platí i2 = −1,
(1)
(ˇcasto se používá také oznaˇcení j). a se nazývá reálná cˇ ást a zapisuje se ℜ(z) = a a imaginární cˇ ást ℑ(z) = b. Nyní definujeme základní operace komplexních cˇ ísel (z1 = a + ib, z2 = c + id): • sˇcítání z1 + z2 = a + c + i(b + d), • násobení z1 · z2 = (a · c − b · d) + i(a · d + c · b). Vyjádˇrení komplexního cˇ ísla ve tvaru z = a + ib nazýváme algebraický zápis. Komplexní cˇ ísla m˚užeme rovnˇež vyjádˇrit v tzv. geometrickém vyjádˇrení. Nejprve se podívejme na znázornˇení komplexního cˇ ísla v tzv. Gaussovˇe rovinˇe na 1. Souˇradnice každého komplexního cˇ ísla mohou být vyjádˇreny bud’ pomocí x-ové a y-ové souˇradnice, nebo pomocí vzdálenosti od poˇcátku, tj. absolutní hodnoty komplexního cˇ ísla p |z| = r = a2 + b2 , (2) a úhlu ϕ nakresleném v grafu 1: b ϕ = arctan , a
(3)
ℑ(z) = y z
b = r sin ϕ
r=
ϕ
|z|
a = r cos ϕ
ℜ(z) = x
Obrázek 1: Znázornˇení komplexního cˇ ísla v Gaussovˇe rovinˇe. Osa x znázorˇnuje reálnou cˇ ást cˇ ísla, osa y imagiˇ nární cˇ ást cˇ ísla. Císlo je možné také vyjádˇrit pomocí vzdálenosti od poˇcátku r a úhlu ϕ. 1
reálnou cˇ ást komplexního cˇ ísla potom m˚užeme pˇrepsat pomocí rovnice: a cos ϕ = , r což platí v pravoúhlém troj˚uhelníku, potom pro hodnotu a: a = r cos ϕ = |z| cos ϕ. Analogicky pro imaginární cˇ ást komplexního cˇ ísla: b = |z| sin ϕ. Komplexní cˇ íslo v algebraickém zápisu potom m˚užeme napsat ve tvaru: z = a + ib = |z| cos ϕ + i|z| sin ϕ = |z|(cos ϕ + i sin ϕ).
(4)
Narozdíl od vyjádˇrení v algebraickém tvaru není toto vyjádˇrení jednoznaˇcné, protože úplnˇe stejné cˇ íslo dostaneme, pˇriˇcteme-li k úhlu 2π nebo jeho celoˇcíselný násobek: z = |z|[cos(ϕ + 2kπ) + i sin(ϕ + 2kπ)], k ∈ Z.
(5)
Pˇrevod z algebraického tvaru na geometrický a naopak Mˇejme cˇ íslo z = −1 − i, které chceme pˇrevést do geometrického tvaru. Postup je následující: 1. spoˇcítáme absolutní hodnotu komplexního cˇ ísla |z| =
q p √ a2 + b2 = (−1)2 + (−1)2 = 2.
2. spoˇcítáme úhel ϕ
√ b 1 2 sin ϕ = = √ = − , r 2 2 √ a 1 2 cos ϕ = = − √ = − , r 2 2 π ϕ = arctan(1) = . 4 Výsledný úhel však neodpovídá zadání, cˇ íslo patˇrí do tˇretího, ne do prvního kvadrantu, což je patrné také z hodnot sin ϕ a cos ϕ. Musíme tedy najít úhel, pro který platí tan ϕ = 1 a leží v intervalu (π, 3/2π). Takový úhel je roven 54 π.
3. zapíšeme výsledné cˇ íslo √ 5 5 z = 2 cos π + 2kπ + i sin π + 2kπ , k ∈ Z. 4 4 Jak spoˇcítat z komplexního cˇ ísla v geometrickém tvaru cˇ íslo v algebraickém tvaru? Jednoduše :-) Staˇcí spoˇcítat hodnotu sin a cos daného úhlu tˇreba pro k = 0: √ √ ! √ √ 5 5 2 2 z = 2 cos π + i sin π = 2 − −i = −1 − i, 4 4 2 2 což je p˚uvodní zadání cˇ ísla.
2
Další operace s komplexními cˇ ísly Komplexní cˇ ísla lze také odˇcítat: z1 − z2 = (a − c) + i(b − d), k danému komplexnímu cˇ íslu z = e + i f musí existovat komplexní cˇ íslo opaˇcné −z = −e − i f . Komplexní cˇ ísla m˚užeme rovnˇež dˇelit: z1 z1 z2 z1 · z2 (a · c − b · d) + i(a · d + c · b) = = = , z2 z2 z2 |z2 |2 c2 + d 2 kde z oznaˇcuje cˇ íslo komplexnˇe sdružené: z = a + ib = a − ib. Komplexnˇe sdružená cˇ ísla se cˇ asto oznaˇcují hvˇezdiˇckou: z = z∗ . I zde je dˇelení podmínˇeno existencí inverzního prvku, tj. z−1 = z/|z|2 .
Mocniny a odmocniny z komplexních cˇ ísel, Moivreova vˇeta Z oboru komplexních cˇ ísel jsou pojmy mocnina a odmocnina definovány úplnˇe stejnˇe jako v oboru cˇ ísel reálných. Samotný výpoˇcet už tak jednoduchý není, napˇríklad n-tou mocninu je obecnˇe nutné spoˇcítat pomocí binomického rozvoje: n n k n n z = (a + ib) = ∑ a (ib)n−k , k k=0 což je však pro velké hodnoty n velmi pracný výpoˇcet. Pro výpoˇcet se tak hodí použít vyjádˇrení komplexního cˇ ísla v geometrickém tvaru, ve kterém má n-tá mocnina tvar: zn = |z|n (cos ϕ + i sin ϕ)n , Výpoˇcet mocniny komplexního cˇ ísla popisuje právˇe Moivreova vˇeta: zn = |z|n [cos(nϕ) + i sin(nϕ)],
(6)
tato vˇeta jde snadno dokázat matematickou indukcí. Nejprve si rovnost ovˇeˇrme pro n = 2: |z|2 (cos ϕ + i sin ϕ)2 = |z|2 [cos2 ϕ − sin2 ϕ + i(2 cos ϕ sin ϕ)] = |z|2 [cos(2ϕ) + i sin(2ϕ)], pro k-tou mocninu m˚užeme napsat |z|k (cos ϕ + i sin ϕ)k = |z|k [cos(kϕ) + i sin(kϕ)], k + 1 mocnina je dána: |z|k+1 (cos ϕ + i sin ϕ)k+1 = |z|k+1 [cos((k + 1)ϕ) + i sin((k + 1)ϕ)], upravujme pravou stranu této rovnice bez absolutní hodnoty. Použijme vzorec pro sin nebo cos souˇctu dvou úhl˚u: cos[(k + 1)ϕ] + i sin[(k + 1)ϕ] = cos(kϕ) cos ϕ − sin(kϕ) sin ϕ + i cos(kϕ) sin ϕ + i sin(kϕ) cos ϕ = i sin ϕ[i sin(nϕ) + cos(kϕ)] + cos ϕ[cos(kϕ) + i sin(kϕ)] = [cos(kϕ) + i sin(kϕ)](cos ϕ + i sin ϕ). (7) Spoˇcítaný výraz dosadíme do vzorce pro k + 1-ní mocninu a dostaneme: |z|k+1 (cos ϕ + i sin ϕ)k+1 = |z|k+1 [cos(kϕ) + i sin(kϕ)](cos ϕ + i sin ϕ), odkud po vydˇelení cˇ lenem |z|(cos ϕ + i sin ϕ) dostaneme ten samý výraz jako pro k-tou mocninu. Tím je Moivreova vˇeta dokázána. 3
Pˇríklad Je dáno z = 2 + i, spoˇcítejte z30 : ˇ Rešení: Geometrický tvar cˇ ísla je: z≈
√ 5[cos(0.464) + i sin(0.464)],
pomocí Moivreovy vˇety zjistíme, že z30 ≈ 515 [cos(13.909) + i sin(13.909)], odkud snadno zjistíme z30 ≈ 6.836 · 109 + 2.972 · 1010 i. Definice n-té odmocniny komplexního cˇ ísla je následující: n-tá odmocnina komplexního cˇ ísla a je každé takové √ komplexní cˇ íslo z, pro které platí zn = a. n-tou odmocninu v oboru komplexních cˇ ísel m˚užeme znaˇcit ( n a)C . V komplexním oboru má existuje nejvýše n n-tých odmocnin daného cˇ ísla. Chceme-li odmocniny spoˇcítat, musíme ˇrešit rovnici a = zn . Pro a = 0 existuje právˇe jedna odmocnina, a to z = 0. Pro a 6= 0 musíme odmocninu spoˇcítat pomocí zápisu cˇ ísel v geometrickém tvaru: R(cos Φ + i sin Φ) = |z|n (cos ϕ + i sin ϕ)n = |z|n [cos(nϕ) + i sin(nϕ)]. Pravá a levá strana rovnice si musí být rovny. To nastane právˇe tehdy, pokud jsou zvlášt’ reálné cˇ ásti stejné a imaginární cˇ ásti stejné: R cos Φ = |z|n cos(nϕ), a R sin Φ = |z|n sin(nϕ), rovnost bude splnˇena, pokud cˇ ísla budou mít stejnou absolutní hodnotu a stejný argument, který se m˚uže lišit o násobek 2kπ: R = |z|n , (8) Φ + 2kπ = nϕ, k = 0, 1, . . . , n − 1, odtud |z| =
√ n R,
Φ 2kπ + , k = 0, 1, . . . , n − 1. n n hledané odmocniny potom m˚užeme zapsat ve tvaru: √ Φ 2kπ Φ 2kπ n + + i sin + , k = 0, 1, . . . , n − 1. zk = R cos n n n n ϕ=
Je zˇrejmé, že pro k = n dostaneme to samé ˇrešení, jako pro k = 0: √ √ Φ Φ Φ Φ n n R cos + i sin = R cos + 2π + i sin + 2π . n n n n
4
(9) (10) (11)
(12)
Pˇríklad Spoˇcítejte všechny cˇ tvrté √ odmocniny z imaginární jednotky. ˇ Rešení: Hledáme: z = 4 i, ˇrešíme tedy rovnici: z4 = i, Absolutní hodnota i je rovna jedné a argument ϕ = π/2. Potom m˚užeme ˇrešení napsat: π kπ π kπ zk = cos + + i sin + , k = 0, 1, 2, 3. 8 2 8 2 Tedy:
p p √ √ 2+ 2 2− 2 z0 = +i 2 2 p p √ √ 2− 2 2+ 2 z1 = − +i 2 2 p p √ √ 2+ 2 2− 2 z2 = − −i 2 2 p p √ √ 2− 2 2+ 2 z3 = −i 2 2
≈ 0.924 + 0.383i, ≈ −0.383 + 0.924i, ≈ −0.924 − 0.383i, ≈ 0.383 − 0.924i.
ˇ Rešení rovnic v komplexním oboru Rovnost dvou komplexních cˇ ísel: komplexní cˇ ísla jsou si rovna, pokud jsou si rovny jejich reálné a imaginární cˇ ásti.
Pˇríklad na zaˇcátek Vyˇrešte rovnici z + 2z = 2 + 3i. ˇ ˇ Rešení: Rešení hledáme v algebraickém tvaru: z = a + ib, tedy po dosazení 3a − ib = 2 + 3i, reálná cˇ ást je potom rovna: a = 2/3 a imaginární: b = −3. Výsledek je tedy ve tvaru: z=
2 − 3i. 3
Kvadratické rovnice Kvadratická rovnice je ve tvaru: ax2 + bx + c = 0, obecné ˇrešení je dáno vztahem:
(13)
√ −b ± b2 − 4ac x1,2 = , (14) 2a pokud je výraz pod odmocninou záporný, nemá rovnice v R ˇrešení. V komplexním oboru však ˇrešní existuje. M˚užeme jej pro b2 < 4ac zapsat: √ −b ± i 4ac − b2 . (15) x1,2 = 2a Z tohoto vzorce je zˇrejmé, že koˇreny jsou komplexnˇe sdružené.
5
Pˇríklad x2 − 2x + 2 = 0. ˇ Rešení: Tuto rovnici m˚užeme ˇrešit bud’ doplnˇením na cˇ tverec, nebo pˇrímým dosazením do rovnice (16). Podívejme se na metodu doplnˇení na cˇ tverec: x2 − 2x + 2 = (x − 1)2 − 1 + 2 = (x − 1)2 + 1, abychom mohli provést úpravu podle vzorce a2 − b2 cˇ íslo 1 nahradíme −(i)2 : (x − 1)2 − (i)2 = (x − 1 − i)(x − 1 + i) = 0, koˇreny tedy jsou: x1,2 = 1 ± i.
Kvadratické rovnice s komplexními koeficienty ˇ Rešíme stejnou rovnici, avšak koeficienty mohou být komplexní cˇ ísla. Obecné ˇrešení m˚užeme zapsat ve tvaru: √ −b ± b2 − 4ac cos 21 α + i sin 12 α x1,2 = , (16) 2a kde α je argument diskriminantu (D = b2 − 4ac) pro D 6= 0 a libovolné reálné cˇ íslo pro D = 0.
6
