Ábrahám Gábor: Kombinatorika az általános iskolában
Kombinatorika az általános iskolában Ábrahám Gábor, Szeged A kombinatorika másfajta gondolkodást és így a tanár részéről a többi témakörtől eltérő óravezetést igényel. Sok esetben tapasztalhatjuk, hogy azok a diákok, akik a matematika más fejezeteiben jeleskednek, ebben a témakörben háttérbe szorulnak, míg mások pont ilyenkor bontakoznak ki, jobbnál jobb ötletekkel állnak elő, kiválóan látják a problémák lényegét. Ez a helyzet a tanárokban más-más véleményt alakít ki. Van, aki nem szereti azokat az órákat, ahol kombinatorikai témák kerülnek elő, van, aki „lubickol” ezekben a problémákban és gyönyörűen tud haladni a témakörben. Bárhogy is viszonyulunk hozzá, tanítanunk kell, mert a mai tanterv szerves részét képezi. Az eddigi tapasztalataim szerint a diákokhoz sokkal közelebb áll a kombinatorika, a kombinatorikus gondolkodásmód 10-14 éves korukban, mint később, a gimnáziumi tanulmányaik során. Ha idejében, már általános iskolában megszokják a könnyed, de rendszeres gondolkodást, akkor a gimnáziumi évek során kevesebb gondjuk lesz az ilyen jellegű feladatokkal. Két évvel ezelőtt végeztem egy „házi” kísérletet. Egy 11.-es, -9. osztálytól kezdve emelt óraszámú- nem speciális matematika osztályban lényegében ugyanazt a kombinatorikaanyagot tanítottam, mint az akkori 8.-os speciális matematika osztályban. Annak ellenére, hogy ez a 8.-os osztály nem tartozik tagozatunk történetének kiemelkedő osztályai közé, náluk sokkal gördülékenyebben haladtunk az anyaggal és a témakör végén jóval nehezebb feladatokat oldottunk meg, mint a 11.-esekkel. Az alábbiakban egy lehetséges utat szeretnék felvázolni a kombinatorika tanítására. Reményeim szerint ez segítséget nyújthat a témakör szakköri feldolgozásához.
I. Logikai szita 1.
Egy 28 fős osztály egyik osztálykirándulás alkalmával tejivóban vacsorázott. Tízen ettek lekváros palacsintát, tizenhatan kakaósat és öten mindkét fajtából fogyasztottak. Akik nem kívánták az édeset, omlettet kértek. Hányan ettek csak egy fajta palacsintát? Hányan ettek omlettet?
2.
A strandon a lángossütőnél a sima lángos 200 Ft, a tejfölös 260 Ft, a sajtos 280 Ft, a sajtos-tejfölös 340 Ft. Egy alakalommal az árus összeszámolta, hogy az utolsó két órában a 30 vásárlóból 8-an kértek sajtot és tejfölt a lángosra, 18 olyan vásárló volt, aki kért rá tejfölt és 15 olyan, aki sajtot. Mennyi bevétele származott a lángosokból az árusnak ebben a két órában?
3
Kistérségi tehetséggondozás 3.
Egy osztályban a tanulók 80%-a közepesnél nem rosszabb, 40%-a közepesnél nem jobb dolgozatot írt matematikából. Hányan vannak az osztályban, ha közepes dolgozat 18-cal kevesebb volt, mint nem közepes?
4.
Egy 30 fős osztályban három szakkörre járnak: matematikára, fizikára és kémiára. Minden diák tagja valamelyik szakkörnek. Tudjuk, hogy matekra 14-en, fizikára 15-en, kémiára 11-en járnak. A pontosan két szakkörre járók száma: 6. Hány olyan diák van, aki mindhárom szakkörre jár?
5.
Hány olyan 500-nál kisebb pozitív egész szám van, amely a 3 és a 7 számok közül legalább az egyikkel osztható? Hány olyan van, amely pontosan az egyikkel osztható? Hány olyan van, amely egyikkel sem?
6.
Hány olyan 100-nál kisebb pozitív egész szám van, mely a) nem osztható 2-vel és 3-mal, b) nem osztható 2-vel és nem osztható 3-mal, c) nem osztható 2-vel vagy hárommal, d) nem osztható 2-vel vagy nem osztható 3-mal?
7.
Az első ötszáz pozitív egész szám között hány olyan van, amely a 2, 3, 5 számok közül a) pontosan kettővel, b) pontosan az egyikkel, c) legalább az egyikkel, d) egyikkel sem osztható?
II. Összeszámlálási feladatok i.
A kombinatorika általános szabályai
1.
A szekrényben öt kávéscsésze és három csészealj található. Hányféleképpen állíthatunk össze belőlük egy egyszemélyes kávéskészletet?
2.
Hányféleképpen állíthatunk össze egy egyszemélyes kávéskészletet, ha választunk hozzá a szekrényben található négy mokkáskanál közül?
4
Ábrahám Gábor: Kombinatorika az általános iskolában 3.
Hányféleképpen juthatunk el az A városból a C városba, ha azokat a mellékelt úthálózat köti össze?
4.
A 0, 1, 2, 3, 4, 5 számjegyek felhasználásával hány négyjegyű számot készíthetünk, ha a) egy számjegyet csak egyszer használhatunk fel, b) egy számjegyet többször is felhasználhatunk?
A kombinatorika szorzási szabálya: Ha az A objektumot m-féleképpen, a B objektumot n-féleképpen lehet kiválasztani, akkor az (A;B) rendezett elempárt mn féleképpen lehet kiválasztani. 5.
Hányféleképpen állíthatunk össze öt kávéscsészéből, három csészealjból és négy mokkáskanálból egy olyan „kávéskészletet”, amely két különböző fajta részből áll?
6.
Hányféleképpen juthatunk el az A városból a C városba, a B vagy a D városon keresztül az alábbi úthálózaton?
5
Kistérségi tehetséggondozás 7.
A 4. feladat a) részében szereplő számok között hány olyan van, amelyik osztható öttel?
A kombinatorika összeadási szabálya: Ha egy A objektumot m-féleképpen, egy B objektumot n-féleképpen választhatok ki, de a kettő együtt nem valósulhat meg, akkor a „vagy A, vagy B” megvalósítása m + n féleképpen lehet.
ii.
Variációk
1.
Egy futóverseny döntőjébe nyolc versenyző jutott. Az első helyezett arany-, a második ezüst-, a harmadik bronzérmet nyer. Hányféleképpen lehet kiosztani az érmeket?
2.
Az 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 számjegyekből hány négyjegyű szám készíthető, ha egy számjegyet legfeljebb csak egyszer használhatunk fel? Ezek közül hányban szerepel az 5-ös számjegy?
3.
Egy harmincfős osztályban három különböző könyvet sorsolnak ki. Hányféleképpen lehetséges ez, ha egy gyerek csak egy könyvet kaphat?
4.
Egy dobókockával négyszer dobunk egymás után, majd a dobott számokat leírjuk egymás mellé. a) Hány négyjegyű számot kaphatunk így? b) Hány olyan szám van közöttük, amely osztható 4-gyel? c) Hány olyan van köztük, melynek számjegyei között van egyforma? d) Hány olyan szám van közöttük, melynek számjegyei között van 3-mal osztható?
5.
* Határozzuk meg azon négyjegyű számok összegét, melyek az előző feladat egyes alpontjaiban keletkezhetnek.
6.
* Ha a 4/a feladatban szereplő négyjegyű számokat szorosan egymás mellé írjuk, akkor melyik számjegy áll a 2012. helyen?
7.
a) Hány darab ötjegyű pozitív egész szám van a nyolcas számrendszerben? b) Hány darab legfeljebb hatjegyű pozitív egész szám van a tízes számrendszerben?
8.
Színezzük pirosra azon négyjegyű pozitív egész számokat, amelyek számjegyei között van prímszám, a többit pedig kékre. Mennyi a piros és a kék számok számának aránya?
6
Ábrahám Gábor: Kombinatorika az általános iskolában iii. Permutációk 1.
2.
Egy hatfős baráti társaság, három fiú és három lány, elmennek moziba. a) Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé? b) Hányféleképpen ülhetnek le egymás mellé, ha fiú, fiú mellé és lány, lány mellé nem akar ülni? Az előző társaság hányféleképpen foglalhat helyet egy kerek asztal körül, ha a forgatással egymásba vihető elhelyezkedéseket nem tekintjük különbözőnek?
3.
Hányféleképpen helyezkedhetnek el a kerek asztal körül, ha fiú, fiú mellé, lány, lány mellé nem szeretne ülni?
4.
Az 1, 1, 1, 4, 4, 4, 6 számjegyek mindegyikének felhasználásával, hány hétjegyű szám készíthető? Ezek hányad része osztható tizenkettővel?
5.
Hányféle gyöngysort készíthetünk 8 piros, 4 zöld és 3 fehér gyöngyből, ha a gyöngyök legfeljebb csak méretükben különböznek egymástól? Ezek között hány olyan van, amelyben nincs két piros gyöngy egymás mellett?
iv. Kombinációk 1.
Egy 10 fős társaságban bármely két ember kezet fogott. Hány kézfogás volt összesen?
2.
A síkon felvettünk 20 pontot úgy, hogy semelyik három sincs egy egyenesen. a) Hány egyenest határoznak meg a pontok? b) Hány háromszöget határoznak meg a pontok?
3.
Egy sakkversenyen mindenki mindenkivel egy mérkőzést játszik. Eddig 30 partit fejeztek be, és még mindenkinek hátra van három partija. Hány sakkozó vesz részt a versenyen?
4.
Egy pályázatra 15 pályamű érkezett, melyek közül négyet jutalmaznak egyenként 50.000 Ft-tal. Hányféleképpen lehetséges ez?
5.
Egy dobókockával négyszer dobunk egymás után, majd a dobott számokat leírjuk egymás mellé. Hány olyan négyjegyű szám keletkezik, melyben nem szigorúan monoton növekvő sorrendben követik egymást a számjegyek?
6.
Hány ötelemű részhalmaza van egy nyolcelemű halmaznak?
7
Kistérségi tehetséggondozás 7.
Hány megoldása van a természetes számok halmazán az a) x + y = 20 b) * x + y + z = 20 egyenletnek?
8.
* Hány megoldása van az előző egyenleteknek a pozitív egész számok halmazán?
9.
* Süteményt szeretnénk vásárolni egy cukrászdában összesen 12 db-ot. Három kedvencünk közül választhatunk, melyek a dobos torta, a lúdláb torta és a franciakrémes. Mindegyikből van legalább 12. Hányféleképpen vihetünk haza süteményt, ha nem feltétlenül kell mindegyikből vinni? Hányféleképpen vihetünk haza akkor, ha mindből szeretnénk vinni legalább egyet?
v.
Pascal-háromszög, avagy Breki béka kalandjai a koordináta-rendszerben
1.
A koordináta-rendszer origójában ül Breki béka. Minden ugrása egy egység hosszú. Hányféleképpen juthat el a kiindulási helyéről a P(5;4) koordinátájú pontba, ha csak az x tengely, ill. az y tengely pozitív irányába mozoghat?
2.
Hányféleképpen juthat el az előző feladatbeli módon az origóból az y = 6 − x egyenletű egyenes első síknegyedbe eső rácspontjaiba? (Ebbe beleértjük a koordináta tengelyeken levő rácspontokat is.)
3.
Az x tengely, az y tengely és az y = 6 − x egyenletű egyenesek által határolt háromszög belsejében és határán levő rácspontok mindegyikében pontosan annyi légy van, ahányféleképpen eljuthat az origóból abba a pontba a fent leírt módon. Ha végigjárja a háromszögben és annak határán levő összes rácspontot, akkor legfeljebb hány legyet gyűjthet össze?
4.
5.
8
6 6 Mutassuk meg kombinatorikai úton, hogy = . Általánosítsuk a 2 4 feladatot. 5 5 6 Mutassuk meg kombinatorikai úton, hogy + = . Általánosítsuk a 3 4 4 feladatot.
Ábrahám Gábor: Kombinatorika az általános iskolában
6.
Lássuk be kombinatorikai úton, hogy egy hatelemű halmaz részhalmazainak a száma 26 ! Általánosítsuk a feladatot.
7.
Hányféleképpen olvashatjuk ki az alábbi táblázatból a kombinatorika szót, ha csak jobbra, illetve lefele haladhatunk? KOMBINA OMB INAT MB I NATO B I NA TOR I NAT OR I NA TO RI K AT O R IKA
8.
Hányféleképpen olvashatjuk ki az alábbi táblázatból a variáció szót, ha csak jobbra vagy balra lefelé haladhatunk? V A A R R R I I I I Á Á Á Á Á C C C C C C I I I I I I I Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó Ó
vi. Különleges korlátozásokat tartalmazó kombinatorikai feladatok 1.
Hány féleképpen ülhet le egymás mellé egy padra hat fiú és négy lány, ha lány, lány mellé nem szeretne ülni?
2.
Az A és B pontok között lépcsőt szeretnénk építeni. Az AC vízszintes távolság 5 méter, a CB függőleges távolság 1,8 méter. Az egyes lépcsőfokok magassága 30 cm, szélessége az 50 cm egész számú többszöröse. Hányféleképpen építhetjük meg a lépcsőt?
3.
Egy polcon 15 darab könyv áll. Hányféleképpen választhatunk ki közülük 6-ot úgy, hogy a kiválasztottak között ne legyen egymás mellett levő?
4.
Egy asztal körül 15 ember ül. Mindenki haragban áll a szomszédaival. Hányféleképpen választhatunk ki közülük hatot úgy, hogy közöttük ne legyenek haragosok? 9
Kistérségi tehetséggondozás
5.
Egy 52 lapos francia kártyából kiválasztunk 8 lapot. a) Hányféleképpen tehetjük ezt meg? b) Hányféleképpen tehetjük ezt meg, hogy legyen köztük pontosan két ász? c) Hányféleképpen tehetjük ezt meg, hogy legyen köztük legalább 3 treff? d) Hányféleképpen tehetjük ezt meg, hogy legyen köztük kör vagy király? e) Hányféleképpen tehetjük ezt meg, hogy legyen köztük kör és király?
6.
* Hányféleképpen ültethetünk le egymás mellé két angolt, két oroszt és két franciát úgy, hogy két azonos nemzetiségű ne kerüljön egymás mellé.
7.
* A 2013 szám számjegyeinek hányféle olyan sorrendje lehet, amelyben a) pontosan egy, b) egyik számjegy sem áll az eredeti helyén?
8.
* A 2013 szám számjegyeinek hányféle olyan sorrendje lehet, amelyben egyik előtt sem az a számjegy áll, mint a 2013-ban?
9.
Valakinek 6 barátja van. Húsz napon keresztül minden nap meghív vacsorára hármat-hármat. Hányféleképpen teheti ezt meg, hogy mind a húsz napon más és más legyen a társaság összetétele?
10. * Egy énekkar tíz tagja közül három napon keresztül kiválasztanak egy-egy hattagú kórust. Hányféleképpen tehetik ezt meg, hogy mind a három napon más és más legyen a hattagú kórus összetétele? 11. * Titánia egy miniállam az Óperenciás-tengeren túl, ahol az élet nem habostorta. Kormányzója Bástya Elemér, aki hatalomra kerülése óta sok különleges törvényt hozott. Lássunk ebből hármat. 1.
§ Titánia területén legfeljebb annyi n szintes (n = 1,2,3…,10) lakóház épülhet, ahányféleképpen kiszínezhetjük a ház szintjeit piros vagy fehér színnel úgy, hogy ne legyen két szomszédos fehér színű szintje.
2.
§ Minden n szintes lakóház bejáratához egy n lépcsőfokból álló lépcsősor vezessen.
3.
§ Minden lakóházban legfeljebb annyi lakást lehet kialakítani, ahányféleképpen fel lehet menni a házhoz tartozó lépcsősoron úgy, hogy egyszerre egy vagy két lépcsőfokot léphetünk. a) Legfeljebb hány n szintestes lakóház épülhet? b) Egy n szintes házban legfeljebb hány lakást lehet kialakítani? c) Maximálisan hány lakóház épülhet Titániában? d) Maximálisan hány lakást lehet építeni?
10
Ábrahám Gábor: Kombinatorika az általános iskolában
vii Partíciós problémák 1.
Hányféleképpen lehet a 32 lapos magyar kártyát szétosztani négy játékos között úgy, hogy minden játékos nyolc lapot kapjon?
2.
Négyen kártyázunk a 32 lapos magyar kártyával. Mindenkinek nyolc lapot osztunk. Hány esetben lehetséges az, hogy a) nálam lesz a piros ász, b) nálam lesz ász, c) nálam lesz az összes piros?
3.
Két gyerek 12 vadgesztenyét, 10 tobozt és 18 makkot gyűjtött. Hányféleképpen oszthatják el ezeket egymás között? (Itt előfordulhat, hogy valamelyik egyet sem kap.) Hányféleképpen oszthatják el abban az esetben, ha mindkettőnek kapnia kell legalább hármat mindegyik fajtából?
4.
Három gyerek hatvan barackot szedett. a) Hányféleképpen oszthatják el egymás között a barackokat, ha azok mind egyformák? (Lehet olyan gyerek, aki nem kap barackot.) b) Hányféleképpen oszthatják el egymás között, ha mindegyiknek kapnia kell legalább 10 barackot?
5.
Hányféleképpen oszthatunk szét 4 gyerek között 15 barackot, 13 almát, 10 körtét?
6.
Hányféleképpen történhet az előző osztozkodás, ha mindegyiknek kapnia kell mindegyik fajtából legalább egyet?
7.
Szét akarunk osztani 5 ember között nyolc különböző tárgyat. Hányféleképpen tehetjük ezt meg?
8.
* Hányféleképpen lehetséges az előző osztozkodás, ha mindenkinek kapnia kell legalább egy tárgyat?
11
Kistérségi tehetséggondozás
viii. Néhány feladat a kombinatorikus geometria köréből 1.
Felveszünk a síkon 25 db pontot az ábrának megfelelően. Hány darab olyan négyzet van, amelynek minden csúcsa, ezen pontok közül való?
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
• • • • •
2.
A koordináta-rendszerben a (0;0), (10;0), (10;10) és (0;10) csúcsú négyzet belsejében illetve határán levő rácspontok hány olyan téglalapot határoznak meg, melynek oldalai rácsegyenesekre esnek?
3.
Az előző feladatban szereplő téglalapok között hány olyan van, amely nem négyzet?
4.
Egy bolha a koordináta-rendszer origójában ül. Minden ugrása egy egység hosszú. Hány különböző helyre juthat el 100 ugrással, ha csak „jobbra”, vagy „felfelé” ugorhat?
5.
Hány különböző helyre juthat el az előző bolha, ha „balra” és „lefelé” is ugorhat?
6.
Milyen n-re létezik a síkon olyan n szakaszból álló zárt töröttvonal, hogy az egyes szakaszok hossza rendre 1, 2,…, n, továbbá bármely két szomszédos szakasz egymásra merőleges? a) Igazoljuk, hogy n páros. b) Igazoljuk, hogy n 4-gyel osztható. c) Igazoljuk, hogy n 8-cal osztható. d) Igazoljuk, hogyha n osztható 8-cal, akkor létezik a feladatban leírt tulajdonságú törött vonal.
7.
Egy szabályos háromszög minden oldala 5 egység hosszú. A háromszöget felosztjuk az oldalaival párhuzamos egyenesekkel 1 egység oldalú szabályos háromszögekre. Hány olyan szabályos háromszög van, amelynek a csúcsai a létrejött háló rácspontjai között vannak és oldalai párhuzamosak az eredeti háromszög oldalaival?
8.
Egy 20 szög átlói legfeljebb hány belső pontban metszhetik egymást?
12
Ábrahám Gábor: Kombinatorika az általános iskolában
9.
Az ABCDE szabályos ötszög minden átlóját illetve oldalát kék vagy piros színnel színezzük.(Nem kell mind a két színnek szerepelnie.) Hányféleképpen színezhetjük ki az ötszöget?
10. Az ABCDE szabályos ötszög minden átlóját illetve oldalát kék vagy piros színnel színezzük úgy, hogy bármely három csúcsa által meghatározott háromszögnek legyen két különböző színű oldala. Hányféle ilyen színezés létezik? 11. Vegyünk fel egy szabályos ötszöget és húzzuk be az összes átlóját. Hány egyenlő szárú háromszög keletkezik az ábrán?
13
