Kódelméleti és kriptográai alkalmazások

Kódelméleti és kriptográai alkalmazások Wettl Ferenc

2015. május 14.

Wettl Ferenc

Kódelméleti és kriptográai alkalmazások

2015. május 14.

1 / 11

Hibajavító kódok

1

Hibajavító kódok

2

Általánosított ReedSolomon-kód

Wettl Ferenc


2015. május 14.

2 / 11

Hibajavító kódok

Bináris [7, 4, 3]2 Hamming-kód F42 → F72 : (b3 , b5 , b6 , b7 ) 7→ (b1 , . . . , b7 ), ahol b1 = b3 + b5 + b7 , b2 = b3 + b6 + b7 , b4 = b5 + b6 + b7 . Legyen B1 , B2 , B4 három halmaz.

B2k

alakjában a

pontosan akkor tartalmazza a

k -adik bit 1.

b5 b1 B1

b4 b7 b3

bi

bitet, ha

i

bináris

B4 b6 b2 B2

(b1 , . . . , b7 ) bitsorozat pontosan akkor kódszó, ha a Bj j = 1, 2, 4) halmazok mindegyikében páros sok bit egyes.

Egy (

Bármely

F72 -beli

vektor vagy kódszó, vagy egyértelm¶en kódszóvá

változtatható egyetlen bit megváltoztatásával, azaz e kód képes egy bithibát javítani. Wettl Ferenc


2015. május 14.

3 / 11

Hibajavító kódok

Feladat 7 halálraítélt körben ül, mindegyikük fején egy véletlenül kiválasztott piros vagy fekete sapka. Mindenki látja a többiek sapkáját, de senki se látja a sajátját. Semmi módon nem kommunikálhatnak egymással. Egy id® után egyszerre mindegyiküknek tippelnie kell a saját sapkája színére. Három válasz lehetséges: nem tudom, fekete, piros. Ha senki nem találja el, vagy csak egy is akad, aki téved, mind meghalnak, egyébként mind megmenekülnek. Tudunk-e számukra olyan eljárást javasolni, ami 1/2-nél nagyobb valószín¶séggel megmenekíti ®ket. Mi a legnagyobb valószín¶ség, amit el tudunk érni?

Wettl Ferenc


2015. május 14.

4 / 11

Hibajavító kódok

Lineáris kód, generátormátrix D Az

Fq

test fölött értelmezett

nevezzük, ha

C

az

Fnq

C ⊆ Fnq

vektortér egy

minimális távolság, akkor

kódot lineáris [n , k ]-kódnak k -dimenziós altere (ha d a

[n, k , d ]q ).

g1 , g2 ,. . . , gk a C egy bázisa. Egy tetsz®leges x ∈ Fkq vektor (üzenet) c ∈ C kódja legyen c = x1 g1 + x2 g2 + · · · + xk gk . Ez egy

D Legyen

egyszer¶ mátrixszorzással is el®állítható:

c = xG , ahol a

k × n-es G

sorvektorai

Wettl Ferenc

C

mátrix az úgynevezett generátormátrix

bázisának elemei.


2015. május 14.

5 / 11

Hibajavító kódok

Hamming-kód használata P Az

b2

F42 → F72 : (b3 , b5 , b6 , b7 ) 7→ (b1 , . . . , b7 ), ahol b1 = b3 + b5 + b7 , = b3 + b6 + b7 , b4 = b5 + b6 + b7 leképezés mátrixa  

G Például az

1

1

0

0

0

0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1



x = (0, 1, 1, 0) üzenet kódja c = xG

Wettl Ferenc

1

1 = 0

=

=

0

1

1

1

1

0





1

1

1

0

0

0

0

1  0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

0

1

0

1

1

0

1

0

0

1

0

0

1

1



0


2015. május 14.

6 / 11

Hibajavító kódok

Ellen®rz® mátrix D A

C

kód duálisán a

C ⊥ = { v ∈ Fnq : v · c = 0

minden

kódot értjük, mely egy lineáris kód. A

C

C⊥

c ∈ C kódszóra }

kód

H

generátormátrixát a

kód ellen®rz® mátrixának nevezzük. (paritásmátrix, paritásellen®rz®

mátrix). T Ha

(1) (2) (3) (4) (5) (6)

C

egy lineáris

[n, k ]-kód,

akkor

C ⊥ = { v ∈ Fnq : vG T = 0 }, C ⊥ egy [n, n − k ]-kód, C ⊥⊥ := (C ⊥ )⊥ = C , C = { c ∈ Fnq : cH T = 0 }, GH T = Ok ×n−k , HG T = On−k ×k , ha G = [Ik |A] a C kód standard alakú mátrixa H = [−AT |In−k ].

Wettl Ferenc

generátormátrixa, akkor ellen®rz®


2015. május 14.

7 / 11

Hibajavító kódok

Bináris Hamming-kód ellen®rz® mátrixa A generátormátrix a

[I | − AT ]

(34)

permutációval

[A|I ] alakot ölt, amelyhez az (34) permutáció inverze

ellen®rz® mátrix tartozik. Ezen a

ami önmaga a következ® mátrixot adja:



1

H = 0 0

Wettl Ferenc



0

1

0

1

0

1

1

1

0

0

1

1 .

0

0

1

1

1

1


(1)

2015. május 14.

8 / 11

Hibajavító kódok

Bináris Hamming-kód ellen®rz® mátrixa D Vegyünk egy olyan

H

mátrixot, melynek oszlopai között

Frq

minden

nemnulla vektorának pontosan egy nem nulla konstansszorosa szerepel. Azt a kódot, melynek a paraméter¶

rq

T A H ,

Fq

rq

feletti H ,

H

mátrix az ellen®rz® mátrixa,

r

Hamming-kódnak nevezzük.

Hamming-kód

r q − 1 qr − 1 , − r, 3 q−1 q−1 q paraméter¶ perfekt kód (azaz a kódszó közep¶

r -sugarú gömbök

egyrét¶en lefedik a teret).

Wettl Ferenc


2015. május 14.

9 / 11


1

Hibajavító kódok

2


Wettl Ferenc


2015. május 14.

10 / 11


Általánosított ReedSolomon-kód Reed és Solomon 1960-ban deniálta.

v = (v1 , v2 , . . . , vn ) ∈ Fn nemnulla elem¶, a = (a1 , a2 , . . . , an ) ∈ Fn csupa különböz® elemb®l álló vektor (n 6 |F|), és legyen 0 6 k 6 n egész. Ekkor a

D Legyen

n k (a, v ) = { (v1 c (a1 ), v2 c (a2 ), . . . , vn c (an )) | c (x ) ∈ F[x ]k }

GRS ,

c (x ) v = (1, 1, . . . , 1)

kódot általánosított ReedSolomon-kódnak nevezzük. Itt a polinomhoz tartozó kódszót fogjuk

c -vel jelölni.

(A

esetben e kódot ReedSolomon-kódnak nevezzük.)

n k (a , v )

T GRS ,

Wettl Ferenc

lineáris

[n, k , n − k + 1]-kód.


2015. május 14.

11 / 11

Kódelméleti és kriptográai alkalmazások

Recommend Documents