Kockázati modellek (VaR és cVaR)
BSc Szakdolgozat
Írta: Kutas Éva Matematika BSc Alkalmazott matematikus szakirány
Témavezet® Mádi-Nagy Gergely egyetemi adjunktus Operációkutatási Tanszék
Eötvös Loránd Tudományegyetem Természettudományi Kar 2012
Köszönetnyilvánítás
El®ször hálás köszönetet mondok mindazoknak, akiknek segítségével elkészült ez a szakdolgozat. Els®sorban Mádi-Nagy Gergely témavezet® tanáromnak tartozom köszönettel azért, hogy folyamatosan gyelemmel kísérte munkámat, ötleteivel és szakmai tanácsaival segített. Nem utolsó sorban pedig családomnak tartozom nagy hálával a rendíthetetlen bizalmukért és megértésükért.
2
Tartalomjegyzék
Köszönetnyilvánítás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Bevezetés
2
4
1. Közgazdasági környezet
1.1. Értékpapír, értékpapír-piac, árfolyam és hozam 1.2. A Markowitz-féle portfólióválasztási modell . . . 1.2.1. A modell feltevései . . . . . . . . . . . . 1.2.2. Hatékony portfólió . . . . . . . . . . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
. . . .
6
6 6 7 7
2. Kockázati mértékek
10
3. Modell LP formátumban
16
4. Gyakorlati példa
20
5. Összefoglalás
33
2.1. Szórás . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2. A kockáztatott érték: VaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3. CVaR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 3.1. cVaR-os modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4.1. Adatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.1.1. 1.példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 4.1.2. 2.példa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 Irodalomjegyzék . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3
Bevezetés
Napjainkban a pénz világa nagyon fontos szerepet játszik mindenki életében. Pénzügyi döntéseknél érdemes megnézni mennyi a kockázat. Érdemes-e kockáztatni? "Mi a kockázat?" Teszik fel sokan a kérdést. Intuitíve érezzük a választ, de niálni már nehezebb, hát még mérni! És akkor még nem is kezeltük. Hétköznapi nyelven gyakran úgy fogalmazzák meg, mint a "nyereség bizonytalansága", illetve "a veszteség lehet®sége". Képzeljünk el két különböz® befektetést, A-t és B -t. Mindkett®be 100 Ft-ért lehet beszállni. Egy év múlva az A befektetés garantáltan 110 Ft-ot zet, a B befektetés 50% - 50% eséllyel 100 vagy 130 Ft-ot zet. Melyik a jobb üzlet? Melyik a kockázatosabb üzlet? Képzeljünk el két másik befektetést, C -t és D-t. Mindkett® 100 Ft kezd®t®két igényel. Egy év múlva a C befektetés 50% - 50% eséllyel 50, illetve 150 Ft-ot zet, a D pedig 50% - 49% - 1% eséllyel 50, 150, illetve 200 Ft-ot zet. Itt melyik a jobb üzlet? Melyik a kockázatosabb üzlet? A harmadik példában vegyünk egy újabb befektetést, E -t és F -et. Az ár megint csak 100 Ft. Egy év múlva az E 50% -50% eséllyel 100, illetve 120 Ft-ot zet, D 1% -49% -49% -1% eséllyel -20, 100, 120 illetve 300 Ft-ot zet. Itt melyik a jobb üzlet? Melyik a kockázatosabb üzlet? A példákban (és a valóságban) a végkifejlet pontosan nem ismert. El®fordulhat, hogy a végén kevesebb pénzünk marad, mint amennyivel elindultunk, el®fordulhat, hogy minden pénzünket elveszítjük és az adósok börtönébe kerülünk. Az összes lehetséges kimenetelt nem is sejthetjük. Az alkalmazott matematika egyik leggyorsabban fejl®d® ága mostanában a pénzügyi matematika. Matematikusokat, zikusokat, mérnököket alkalmaznak különböz® bankok és pénzintézetek, hogy olyan modelleket alkossanak, amelyek a legtöbb pro tot hozzák. Szakdolgozatom a pénzügyi kockázatról és annak mérésér®l szól. A befektetési tevékenység kockázattal jár. A pénzügyi kockázat modern elméletének születését Harry Markovitz nevéhez köthetjük. Az els® fejezetben néhány közgazdasági fogalomat gy¶jtöttem össze, amire a kés®bbiekben szükségem lesz. Itt mutatom meg a Markowitz féle portfólióválasztási modellelt és a hatékony portfólió kialakítását is. A második fejezetben de niálom a kockázati mérték fogalmát, és hármat közülük részletesen is bemutatok. Ez a három a szórás, a kockáztatott érték, másnéven VaR, és a 4
feltételes kockáztatott érték, másnéven CVaR. Szó lesz az alsó és fels® VaR, illetve CVaR kapcsolatáról is. A harmadik fejezetben lineáris programozási feladatot oldok meg CVaR-os modellre. A negyedik fejezetben kerül sor 2 gyakorlati példa bemutatására. Itt 3-3 tényleges részvényt fogok vizsgálni. Ebb®l próbálok hatékony portfóliót kialakítani. Az utolsó fejezetben, pedig rövid összefoglalást és magyarázatot adok a kapott eredményekre.
5
1. fejezet Közgazdasági környezet
1.1. Értékpapír, értékpapír-piac, árfolyam és hozam
A fejezethez szükséges adatokat, illetve de níciókat az [1] könyv és a [6] értekezés felhasználásával gy¶jtöttem össze. A piac m¶ködése elképzelhetetlen a pénz nélkül. Az értékpapírok is a pénzb®l fejl®dtek ki, és annak helyettesítésére szolgálnak. A keletkezésük hátterében hitelügylet állt. Az értékpapírokat az áruforgalom, a kereskedelem szükségletei hívták életre, kés®bb a vagyongyarapodás legbiztosabb eszközeiként jelentek meg. Az els® értékpapírokat a vállalkozók és az állam hozták létre. Az értékpapírok vagyonhoz kapcsolódó jogokat testesítenek meg.
De níció 1.1 Értékpapír alatt olyan pénzügyi terméket (részvény, kötvény, befektetési
jegy) értünk, amely vételár ellenében szabadon átruházható. Az államkincstár bocsátja ki. Az értékpapírok adás-vételének színtere az értékpapír-piac. Az els®dleges értékpapírpiac a kibocsátást jelenti, míg a másodlagos a már kibocsátott értékpapír adás-vételét. De níció 1.2 Azt az árat, amelyen az értékpapírt eladhatjuk, vagy megvásárolhatjuk, az értékpapír árfolyamának nevezzük. Az árfolyam jöv®beli értéke véletlenszer¶, korlátozott mértékben, vagy egyáltalán nem jelezhet® el®re. Így a pénzügyi elméletben az árfolyamokat és a befektetések értékének alakulását véletlen folyamatokkal tudjuk modellezni. De níció 1.3 A portfólió kifejezés többféle értelemben használható, legtágabb értelmezésben vagyonösszetétel, azoknak a befektetéseknek az együttese, amely adott magánszemély, vagy cég tulajdonát képezi, de értelmezhet® úgy is, mint kötvények, részvények együttese, amelyet egy befektetésnek lehet tekinteni. De níció 1.4 Hozamnak nevezünk egy pénzügyi terméken elért nyereséget/ veszteséget. De níció 1.5 Várható hozamnak nevezzük a lehetséges hozamok valószín¶ségekkel súlyozott átlagát. Jele: E 1.2. A Markowitz-féle portfólióválasztási modell
A portfólió választás els® matematikai modelljét Harry Markowitz alkotta meg 1952ben. Az ® nevéhez f¶z®dik az a koncepció, amely a befektetési lehet®ségek rangsorolását két mutató, a várható hozam és a hozam varianciájának segítségével végzi el. 6
1.2.1. A modell feltevései
• A befektet®k az adott id®távon a lehet® legkisebb kockázat mellett a lehet® legna-
gyobb vagyongyarapodást szeretnék elérni,
• a befektet®k árelfogadók, • egyes pénzügyi termékb®l tetsz®leges hányadot vehetünk, • a rövidre eladás (shortolás, amikor a befektet® olyan értékpapírt ad el, ami még nincs
a birtokában) korlátlanul megengedett (a portfólió súlyok negatívak is lehetnek),
• nincs tranzakciós költség, • az árfolyamváltozások normális eloszlásúak (a hozam bármely statisztikai jellemz®je
leírható a várható érték és a szórás függvényeként),
• a befektetés kockázatát hozamának szórásával mérjük. 1.2.2. Hatékony portfólió
Egy portfóliót akkor nevezünk hatékonynak, ha nem állítható el® a portfólióénál nem kisebb várható hozamú, de kisebb kockázatú portfólió és nem állítható el® a portfólióénál nem nagyobb kockázatú, de nagyobb várható hozamú portfólió. Attól függ®en, hogy mekkora hozamot vár el, vagy mekkora kockázatot vállal a befektet®, több hatékony portfólió is képezhet®, e szempontok gyelembe vételével. Ezen portfóliók által alkotott halmazt hatékony határgörbének nevezzük. Egy befektet® alapvet®en azért alakít ki portfóliót, hogy ne csupán egyetlen befektetési formától függjön. A portfólió alapvet®en a kockázatmegosztás eszköze. A befektet®k a pénzügyi piacon többféle termék közül választhatnak. Egy befektet® tulajdonában lev® termékek összességét az adott befektet® portfóliójának nevezzük. Jelölje N a befektetési lehet®ségek számát, ekkor a portfóliót egy N - dimenziós w vektor írja le. A vektor i-edik komponense az i. értékpapírba fektetett összeg. A vektor komponenseit portfóliósúlyoknak nevezzük. A súlyok összege 100%, tehát 1. N X
(1.1)
wi = 1
i=1
Az i. értékpapír árfolyamát jelölje Si (t). A portfólió értéke a részvények értékének súlyozott átlaga. A t id®pontbeli értékét az alábbi módon fejezhetjük ki: Y (t) =
N X
(1.2)
wi Si (t)
i=1
Az i. értékpapír árfolyamának megváltozását jelölje Xi (t), Xi (t) = Si (t + ∆t) − Si (t), így a portfólió értékének megváltozása ebben az id®szakban X(t) = Y (t + ∆t) − Y (t)
N X i=1
7
wi Xi (t)
(1.3)
Xi (t) árfolyamingadozások stacionáriusak, és többváltozós normális eloszlást követnek. A
hozamok várható értéke és kovariancia mátrixa a következ®: µi = E[Xi ]
(1.4)
(1.5) A kovariancia mátrix szigorúan pozitív de nit. Egy w portfólió hozamának µp várható értéke és σp2 varianciája: σij = E[Xi Xj ] − E[Xi ]E[Xj ].
µp =
N X
w i µi ,
(1.6)
σij wi wj ,
(1.7)
i=1
σp2
=
N X N X i=1 j=1
Tehát, ha a befektet® racionálisan gondolkodik, akkor az azonos várható hozamú portfóliók közül azokat választja, amelyek hozamának kisebb a szórása, vagy az azonos szórásúak közül a nagyobb várható hozamúakat. A hatékony portfóliót a következ® Markov feladat adja meg: min
w∈RN
N X N X
σij wi wj ,
(1.8)
i=1 j=1
N X
wi µj = µ,
(1.9)
i=1 N X
wi = 1,
(1.10)
i=1
Ez egy feltételes széls®érték probléma (feltételes optimalizációs feladat), ahol az (1.8) feladat megoldásait határportfóliónak nevezzük. Lásd: 1.1 ábtát. A Markowitz-féle portfólióválasztási modellnek lényege, hogy a befektetést diverzi káljuk.
1.1. ábra. Portfólió [9]
8
De níció 1.6 A diverzi káció egy befektet®i magatartás, amely a portfólió kockázatának
csökkenésére irányul, mégpedig a portfólióban szerepl® értékpapírok számának növelésével.
Tegyük fel hogy X és Y hozammal rendelkez® befektetési eszközök, kombinációjuk azért kevésbé kockázatos mint külön-külön, mert annak a valószín¶sége, hogy a két befektetés egyszerre veszteséges, általában kisebb, mint annak, hogy csak az egyik, vagy csak a másik veszteséges (kivéve, ha tökéletesen korreláltak, mert akkor egyszerre veszteségesek, vagy egyszerre nyereségesek.)
9
2. fejezet Kockázati mértékek
Az el®z® fejezetben felvázolt probléma megoldására több alkalmas modell is született. Az alábbiakban bevezetjük a kockázat mértékeit, majd bemutatok néhány, a hatékony portfólió kialakítására alkalmas modellt. A fejezetben de niált kockázati mértékeket, illetve a modellek bemutatásához szükséges információkat a [6], [3] illetve [4] források felhasználásával gy¶jtöttem. A pénzügyek kulcstényez®je a bizonytalanság. Bizonytalanságról beszélünk, ha nem tudjuk, mi fog bekövetkezni, kockázatról, ha ismerjük valamely esemény lehetséges kimeneteleit, és azok bekövetkezési valószín¶ségét is. A pénzügyi döntések egyik alapeleme a kockázat meghatározása, számszer¶sítése. A döntések során különböz® kockázatú és hozamú lehet®ségekb®l kell kiválasztani egy legmegfelel®bbet. A kockázatosság nem feltétlenül negatív, mint általában a hétköznapi megközelítésben. A pénzügyi szakirodalom egyik alapelve ezt úgy fogalmazza meg, hogy egységnyi biztos pénz értékesebb, mint egységnyi kockázatos pénz. A pénzügy egyik f® kérdése, hogy olyan eszközöket biztosítson, amelyek lehet®vé teszik pénzügyi eszközök és kiváltképp portfóliók összehasonlítását, értékelését és kockázatosságuk jellemzését. A pénzügyi eszközökhöz és portfóliókhoz rendelt, a kockázatot jellemz® mutatószámokat fogom a továbbiakban kockázati mértékeknek nevezni. A klasszikus mutatók nem igazán adnak információt az eszközök kockázatosságáról (pl: price/earing). Számos kockázati mérték jelent meg az irodalomban. Ezek közül a Value at Risk terjedt el a leginkább, mind elméletben, mind gyakorlatban. Számos pénzpiaci, pénzintézeti törvény megköveteli a pénzintézetekt®l és esetleg egyéb piaci szerepl®kt®l ennek számítását, és ezzel kapcsolatos szabályok betartását. A kockázati mértékeket valószín¶ségi változók egy halmazán értelmezhetjük, hiszen ha adott egy portfólió, befektetés, vagy értékpapír, akkor egy valószín¶ségi változó mutatja az abból származó jöv®beli veszteséget.
De níció 2.1 Legyen ξ egy valószín¶ségi változó, amely egy adott értékpapír hozamát (árfolyam-változását) reprezentálja a t és t + ∆t id®pontok között. Az ilyen ξ valószín¶ségi változók halmazát jelölje Ω. Kockázati mérték alatt egy ρ : Ω → R funkcionált értünk, és azt mondjuk, hogy az ξ hozamú értékpapír kockázata ρ(ξ).
10
A de níció önmagában nem jelent sokat, mivel ρ nagyon sokféle funkcionál lehet. A helyes megválasztáshoz gyelembe kell venni, hogy az egyes piaci szerepl®k milyen célból szeretnék jellemezni a kockázatot. Néhány fontos szempont: • kockázat, mint bizonytalanság mértéke (kockázat Markowitz-féle megközelítése), • kockázat, mint potenciális veszteségek mértéke (baj vele, hogy a befektet®ket csak
a váratlan veszteség zavarja, a váratlan nyereség nem),
• diverzi kációs elv (t®kemegosztás többféle befektetés közt), • összegezhet®ség és összehasonlíthatóság, • t®kemegfeleltetés (könnyen mozgósítható szavatoló t®ke tartalékolás a cs®d elkerü-
lése végett).
2.1. Szórás
A legalapvet®bb kockázati mérték a szórás.
De níció 2.2 A hozam varianciája a várható piaci hozamtól való eltérés négyzetének várahtó értéke. Jelölés: σ 2
De níció 2.3 A szórás a variancia négyzetgyöke. Jelölés: σ A szórás normális eloszlású hozamok mellett jól méri a bizonytalanságot, és ösztönzi a diverzi kációt. Így mindenféle befektetés kiszámítható, összegezhet® és összehasonlítható. Viszont a normális eloszlást elvetve, gyengén jellemzi a kockázatot. Nem tesz különbséget a nyereségek és veszteségek közt, így nem mutatja meg a befektetés veszteségének nagyságát. A szórás csak szimmetrikus, véges varianciájú eloszlásokra elfogadható kockázati mérték. ◦ A szórás el®nyei: • Szemléletes jelentés¶, a jöv®beli megtérülés bizonytalanságát méri. • Az ered® kockázat több, akár nagyon eltér® jelleg¶ befektetésre is meghatároz-
ható. • Konvex, tehát a diverzi káció hatására csökken. • A portfóliósúlyoknak jól kezelhet® (pl. dierenciálható) függvénye. ◦ A szórás hátrányai: • Nem minden eloszlásra létezik. • Az eloszlás szélére nem elég érzékeny. • Nem tesz különbséget nyereség és veszteség között.
11
2.2. A kockáztatott érték: VaR
A szórás helyettesítésére az egyik vezet® bank (J.P. Morgan) kutatócsoportjának javaslatára a szakma a kockáztatott értéket (value at risk, általánosan használt rövidítéssel VaR) fogadta el a kockázat mér®számának. A '80-as évek óta ez az egyik legnépszer¶bb kockázati mérték. A VaR a várható legnagyobb veszteséget méri adott id®távon, adott biztonsági szint (kon dencia szint) mellett. A kon dencia szintet jelölje α. Tipikus értéke a gyakorlatban nagyobb, mint 90% (pl. 95% vagy 99%)
Példa 2.4 Képzeljük el, hogy VaR(95% ,1 nap) = 100 Ft, azaz egy portfólió 1 napos VaR-ja 100 Ft 99% -os kon denciaszint mellett. Mit jelent ez? Kétféle megközelítés lehetséges: ◦ Normál piaci körülmények között az adott portfóliót tekintve, egy napos id®távra 5%
-os valószín¶séggel várható 100 Ft-nál nagyobb veszteség. Ezt nevezzük pesszimista megközelítésnek.
◦ Normál piaci körülmények között 95% annak a valószín¶sége, hogy egy nap alatt nem
várható 100 Ft-nál nagyobb veszteség. Ezt pedig optimista megközelítésnek nevezzük.
A kés®bbiekben a pesszimista megközelítést az alsó VaR adja (mely az alsó 5% közül a legjobb kimenetel), míg az optimistát a fels® VaR (mely a fels® 95% közül a legrosszabb kimenetel). Most rátérek a precíz de nícióra, ahol a követket® jelöléseket használom: Egy ξ valószín¶ségi változó eloszlásfüggvénye Fξ , azaz Fξ (γ) = P(ξ < γ)
De níció 2.5 Legyen ξ egy valószín¶ségi változó, α ∈ (0, 1). Ekkor az ξ alsó α - kvantilise és
qα (ξ) = sup{γ|Fξ (γ) < α}
(2.1)
q α (ξ) = inf{y|Fξ (γ) > α}
(2.2)
az ξ fels® α - kvantilise. Ha ξ egy portfólió pro tját leíró valószín¶ségi változó egy valószín¶ségi mez®n és α ∈ (0, 1), akkor ξ alsó α- Value at Risk értéke: V aRα (ξ) = −qα (ξ),
(2.3)
míg ξ fels® α- Value at Risk értéke: V aRα (ξ) = −q α (ξ).
(2.4)
Megjegyzés 2.6 A mínusz el®jel azért kell, mert a veszteségekhez pozitív kockázatot rendelünk.
Megjegyzés 2.7 Diszkrét eloszlások esetén a kvantilis értéke nem mindig egyértelm¶, ezért szokás külön de niálni az alsó VaR-t és fels® VaR-t. Az alsó és felsó VaR értéke nem feltétlenül egyezik meg, de abszolút folytonos eloszlások esetén egyenl® a két érték.
12
Lemma 2.8 és
q α (ξ) = −q1−α (−ξ)
(2.5)
qα (ξ) = −q 1−α (−ξ)
(2.6)
Bizonyítás: A kvantilisek más alakban is megadhatók, így kapjuk, hogy qα (ξ) = inf{γ|Fξ (γ) ≥ α},
illetve
q α (ξ) = sup{γ|Fξ (γ) ≤ α}.
Jelölje F˜ξ az eloszlásfüggvény jobbról folytonos változatát, így F˜ξ = P(ξ ≤ z). Ekkor, ha a el®bbi de nícióban y 7→ Fξ (γ) = P(ξ < γ) eloszlásfüggvényt helyettesítenénk az y 7→ F˜ξ (γ) = P(ξ ≤ γ) függvénnyel, az qα (ξ) és q α (ξ) értét nem változtatná. q α (ξ) = inf{γ|Fξ (γ) > α} = inf{γ|P(−ξ ≤ −γ) < 1 − α} = − sup{−γ|P(−ξ ≤ −γ) < 1 − α} = − sup{γ|F˜−ξ (γ) < 1 − α} = −q1−α (−ξ).
Azt mondjuk, egy befektetés VaR-ja α kon denciaszinten az α százaléknyi legjobb eset közül a legrosszabb esetben elszenvedett veszteség. Más lehetséges megfogalmazások: • Az a pénzösszeg, amelynél többet csak 1 − α valószín¶séggel veszíthetünk. • Az 1 − α százaléknyi legrosszabb eset közül a legjobb esetben elszenvedett veszteség.
Megjegyzés 2.9 A VaR a hozameloszlás kvantilise. ◦ A VaR el®nyei: • Kifejezetten a veszteségekre koncentrál. • Tetsz®leges eloszlásra létezik. • Az ered® kockázat tetsz®leges jelleg¶ befektetések kombinációjára meghatároz-
ható. • A kockázatot pénzveszteségben fejezi ki. 13
◦ A VaR hátrányai: • A portfóliósúlyok nemdierenciálható függvénye. • Nem konvex. • A VaR-nál nagyobb veszteségek eloszlása nem számít. • Az utóbbi két hiányosság igen súlyos.
Megjegyzés 2.10 Hátrányai miatt a VaR általában alkalmatlan a kockázat mérésére. Ennek ellenére a gyakorlatban és a szabályzásban széleskör¶en alkalmazzák. 2.3. CVaR
Az elmúlt néhány évben akadémiai körökben egyre több oldalról érte bírálat a VaR-t mint kockázati mértéket. Sok kutató illetve kutatócsoport tett javaslatot, hogy kiküszöböljék a VaR legnyilvánvalóbb hibáját, a konvexitás hiányát. Az egyik legegyszer¶bb VaR-ra épül® kockázati mérték, amely konvex is, a feltételes VaR, másnéven CVaR. A rövidítés a Conditional Value-at-Risk szóból származik.
De níció 2.11 A CVaR a VaR-nál nagyobb veszteségek átlaga, a VaR-t is beleértve. Példa 2.12 A VaR megmutatja, hogy adott id®távon és kon denciaszinten maximum mekkora lehet a veszteség nagysága. Az el®bbi példához h¶en legyen α = 0,95. Pesszimista néz®pontból azt mondjuk, hogy 5% -os eséllyel lesz a VaR által mért kvantilisnél nagyobb a veszteség. Ekkor arra is kíváncsiak vagyunk, hogy ha bekövetkezik az 5% -os esemény, akkor mekkora lesz a veszteség várható értéke, átlagos nagysága. A VaR-hoz hasonlóan itt is létezik alsó és fels® CVaR, melyeket a következ®képpen de niálunk: CV aRα (ξ) = −E[ξ|ξ ≤ −V arα (ξ)], (2.7) CV aRα (ξ) = −E[ξ|ξ ≤ −V arα (ξ)],
(2.8)
ahol ξ a vizsgált befektetés hozama.
Megjegyzés 2.13 CV aRα (ξ) ≥ V arα (ξ),
(2.9)
CV aRα (ξ) ≥ V arα (ξ),
(2.10)
CV aRα (ξ) ≥ V arα (ξ),
(2.11)
továbbá CV aRα (ξ) = CV arα (ξ) pontosan akkor ha V aRα (ξ) = V arα (ξ)
A CVaR f® el®nye a VaR-ral szemben, hogy nemcsak a veszteségek 1 − α-kvantilisét veszi gyelembe, hanem az annál nagyobb veszteségeket is, így érzékeny az extrém eseményekre.
14
2.1. ábra. VaR és CVaR [2]
15
3. fejezet Modell LP formátumban
Ebben a fejezetben a [2] és [5] források voltak segítségemre.
De níció 3.1 Az olyan feltételes széls®érték-feladatot, amelyben a feltételek lineáris egyenletek és egyenl®tlenségek, és egy lineáris függvény széls®értékét keressük, lineáris programozási feladatnak nevezzük. (LP)
Megjegyzés 3.2 Azon pontok halmazát, amelyek koordinátái kielégítik a feltételrendszert, lehetséges megoldásoknak nevezzük. Azon lehetséges megoldásokat, ahol a célfüggvény értéke maximális/minimális, optimális megoldásoknak nevezzük.
Az operációkutatás különböz® modelljeinek tényleges megoldása hosszadalmas, ezért ezen megoldási eljárásokra különböz® számítógépes programcsomagokat készítettek, amelyek különböz® hatékonysággal használhatók. Ezek egyike az EXCEL táblázatkezel®ben található SOLVER beépül® makró. A Solver a lineáris programozási feladat megoldásához a szimplex algoritmust alkalmazza. Hátránya, hogy nem tud nagyobb méret¶ vektorváltozókkal számolni. Ezt a problémát kiküszöbölhetjük OpenSolver, vagy OpenO ce.org programmal. Ez utóbbi programcsomagnak a része az OpenO ce.org Calc, ami egy táblázatkezel® program. Segítségével számításokat, matematikai, pénzügyi elemzéseket végezhetünk, gra kusan ábrázolhatjuk számadatainkat. A második lehet®séget, az OpenSolver programcsomagot fogom használni.
3.1. ábra. OpenSolver felület
16
3.1. cVaR-os modell
A következ® jelöléseket vezetem be: • ξi : az i-edik részvény éves hozama (valószín¶ségi változó) • xi az i-edik részvény súlya a portfólióban • ri az i-edik értékpapír várható hozama ri = E(ξi ) • σi normális szórása a nyereség visszatérülésének • ρij korrelációs együttható ρ =
cov(X,Y ) D(X)D(Y )
• Qij variancia-kovariancia mátrix, ahol cov(X, Y ) = E((X − rX )(Y − rY ))
Várható hozamot és varianciát a következ®képpen számolunk E[x] = r1 x1 + ... + rn xn = rT x X V ar[x] = ρij σi σj xi xj = xT Qx i,j
További jelölések: • f (x, ξ) = ξ T x : nyereségfüggvény • −f (x, ξ) = −ξ T x : veszteségfüggvény • p s¶r¶ségfüggvény
Optimalizációs probléma: Többféle modell közül választhatunk max E[f (x, ξ)] x
tekintve, hogy CV aRα [−f (x, ξ)] ≤ ν
(3.1)
x≥0 min CV aRα [−f (x, ξ)] x
tekintve, hogy E[f (x, ξ)] ≥ ρ
(3.2)
x≥0 max E[f (x, ξ)] x
tekintve, hogy CV aRα1 [−f (x, ξ)] ≤ ν1 CV aRα2 [−f (x, ξ)] ≤ ν2 x≥0
Mi most a (3.2)-vel dolgozunk. Hogy tudjuk formalizálni és megoldani ezt a problémát? 17
(3.3)
Rockafellar és Uryasev bebizonyították, hogy ezt a feladatot meg lehet oldani a következ®képpen: tudjuk, hogy CV aRα (f (x, ξ)) = V aRα + E[f (x, ξ) − V aRα ]+
(3.4)
ahol z + = max{z, 0} 1) Diszkrét esetben ez azt jelenti, hogy CV aRα (f (x, ξ)) = V aRα +
N X
p(ξ)[f (x, ξ) − V aRα ]+ .
(3.5)
[f (x, ξ) − V aRα ]+ p(ξ)dξ.
(3.6)
ξ =1
2) Abszolút folytonos esetben pedig Z CV aRα (f (x, ξ)) = V aRα +
Legyen
1 Fα (x, γ) = γ + 1−α
Z
[f (x, ξ) − γ]+ p(ξ)dξ
ekkor a következ® állítás igaz:
Állítás 3.3 CV aRα (f (x, ξ)) = min Fα (x, γ) γ
min CV aRα (f (x, ξ)) = min Fα (x, γ) x
x,γ
Minimalizáljuk Fα (x, γ)-t. Diszkrét eloszlás esetén: ξ → ξk,
ahol ξ k már nem valószín¶ségi változó, hanem felvett érték. p(ξ) → pk , N X
pk = 1
k=1
f (x, ξ) → f (x, ξ k ) N
1 X Fα (x, γ) = γ + [f (x, ξ k ) − γ]+ 1 − α k=1 [f (x, ξ k ) − γ]+ ⇒ zk ≥ f (x, ξ k ) − γ,
ahol zk ≥ 0 és k = 1, . . . , N .
18
(3.7)
Maga a feladat:
min CV aRα (−ξ T x) ←→
N 1 X min γ + pk zk 1 − α k=1 T zk ≥ ξ k x − γ zk ≥ 0
Plusz feltételek: rT x ≥ ρ 1T x = 1 x≥0
Amire szükségünk van: pk és ξ k
19
(3.8)
4. fejezet Gyakorlati példa
Az utolsó fejezetben a felírt problémát oldom meg. A megoldáshoz a Budapesti Értékt®zsde bizonyos részvényeit fogom felhasználni. A modellek gyakorlati alkalmazásához szükséges adatok megszerzéséhez a [8] forrást használtam, míg az algoritmusok m¶ködéséhez a [2]-t vettem útmutatóul. A gyakorlati alkalmazáshoz nagy segítséget nyújtott a [7] oldal. 4.1. Adatok 4.1.1. 1.példa
A példában három részvénnyel foglalkoztam, olyan részvényeket választottam, amik már legalább 10 éve jelen vannak a t®zsdén. A megoldáshoz és azok elemzéséhez szükséges adatokat a Budapesti Értékt®zsde honlapjának adatbázisából gy¶jtöttem. Havi adatokkal számoltam. A BÉT oldalán felmerül® problémákkal a szakdolgozat nem foglalkozik. A kiválasztott három részvény: a) DANUBIUS b) OTP c) ZWACK Ezen három részvény havi hozamát kiszámoltam a letöltött adatokból. Jelölje r a havi hozamot, ahol pα a hó eleji árat és pω a hó végi árat, így a képlet amivel számoltam: r=
pω − p α , pα
(4.1)
Ezek az értékek nem teljesen pontosak, mert a letöltött adatokban a hóvégi és hó eleji maximum árral dolgoztam az egyszer¶ség kedvéért. Minden részvényhez 120 eredményt kaptam, mivel a 2002.márciustól 2012.februárig vizsgáltam az adatokat. Lásd 4.1 ábrát.
20
4.1. ábra. Havi hozamok A feladat mérete miatt sajnos csak kiragadott részletek bemutatására van esély. Itt a különböz® színek a különböz® értékpapírok adatait jelölik. Majd az összes havi hozamból külön-külön minimumot és maximumot számoltam. A minimum és maximum közti részt 10 intervallumra osztottam úgy, hogy a következ® tartományokat kaptam: (Lásd 4.1 táblázatot.) DANUBIUS
1 −0, 1251 ≤ r < −0, 1057 2 −0, 1057 ≤ r < −0, 0668 3 −0, 0668 ≤ r < −0, 0279 4 −0, 0279 ≤ r < 0, 0110 5 0, 0110 ≤ r < 0, 0499 6 0, 0499 ≤ r < 0, 0888 7 0, 0888 ≤ r < 0, 1277 8 0, 1277 ≤ r < 0, 1666 9 0, 1666 ≤ r < 0, 2055 10 0, 2055 ≤ r ≤ 0, 2249
OTP
ZWACK
−0, 8810 ≤ r < −0, 8150 −0, 8150 ≤ r < −0, 6832 −0, 6832 ≤ r < −0, 5514 −0, 5514 ≤ r < −0, 4196 −0, 4196 ≤ r < −0, 2878 −0, 2878 ≤ r < −0, 1560 −0, 1560 ≤ r < −0, 0242 −0, 0242 ≤ r < 0, 1077 0, 1077 ≤ r < 0, 2395 0, 2395 ≤ r ≤ 0, 3054
−0, 1854 ≤ r < −0, 1617 −0, 1617 ≤ r < −0, 1143 −0, 1143 ≤ r < −0, 0669 −0, 0669 ≤ r < −0, 0195 −0, 0195 ≤ r < 0, 0279 0, 0279 ≤ r < 0, 0753 0, 0753 ≤ r < 0, 1227 0, 1227 ≤ r < 0, 1701 0, 1701 ≤ r < 0, 2176 0, 2176 ≤ r ≤ 0, 2413
4.1. táblázat. Intervallumokhoz 1-t®l 10-ig értékeket rendelünk 21
Ezután az el®bbi értékekhez a táblázat alapján hozzárendeltem 1-t®l 10-ig a számokat. Így a következ® adatsorokat kaptam: (Lásd 4.2 ábrát.)
4.2. ábra. Havi hozamok értékadással Ezeket az értékeket oszlopok szerint növekv® sorrendbe rendeztem. Összeszámoltam, hogy az adott kombináció P hányszor fordult el®, majd ezután kiszámoltam a relatív gyakoriságukat. Tudjuk, hogy relatív gyakoriság = 1. Lásd 4.3 ábrát.
22
4.3. ábra. Relatív gyakoriság kiszámítása Majd a 2-t®l 9-es tartományokhoz a tartomány középpontját rendeltem, míg az 1-es tartományhoz a minimumot, a 10-es tartományhoz a maximumot. Így a 4.2 táblázatot kaptam:
23
DANUBIUS 1 -0,1251 2 -0,086238731 3 -0,047340849 4 -0,008442968 5 0,030454914 6 0,069352795 7 0,108250676 8 0,147148558 9 0,186046439 10 0,2249
OTP ZWACK -0,8810 -0,1854 -0,749137542 -0,138014243 -0,617322704 -0,09060512 -0,485507865 -0,043195997 -0,353693027 0,004213126 -0,221878188 0,051622249 -0,09006335 0,099031372 0,041751489 0,146440495 0,173566327 0,193849618 0,3054 0,2413
4.2. táblázat. Értékekhez rendelt középpontok Erre visszaírva az értékeket, kaptam a 4.4 -es ábrát:
4.4. ábra. Táblázat az átírt adatokkal
24
Ezután felírható a feladat kezdeti állapota. Az ábra némi magyarázatot igényel. Az el®bbi ábrát b®vítettem. A jobb áttekinthet®ség érdekében a lényeges mez®ket különféle színekkel színeztem. El®ször is felvettem egy α értéket F1 mez®be. Ez a kon dencia szintet jelöli. Majd egy ρ értéket J1 mez®be. Ez a ρ jelöli az elvárt hozamot. A portfólióban szerepl® részvények súlyozása (x) az L25, L26, L27 mez®kben található, kezdetben ez az érték 0. A portfólió hozammátrixa a G4 - I24 mez®kben lett eltárolva. A várható hozamvektor (µ) értékeit G25 - I25 mez®kben rögzítettem. Változók még a zk értékek, ezeket L4 - L24 mez®kbe írtam és kezdetben 0-ra állítottam. A feltételeket a Q4 - S24 mez®kben tárolom. A Q26 - S26 mez®k ®rzik a helyes súlyozásra vonatkozó feltételt (1T x = 1). Végül pedig Q2-es mez®be a célfüggvényt írtam. Most kiszámítjuk a modellt α =0,9-re. Lásd 4.5 ábrát.
25
26 4.5. ábra. A modell α =0,9-re
Ez az eredmény nem egészen azt adta, amit vártunk. Azt szerettem volna, ha megadja, hogy a különböz® értékpapírokból milyen súllyal vegyünk. De nekem csak egy értékpapírt javasol. 4.1.2. 2.példa
Próbálkozok három másik értékpapírral. Hátha az volt az el®bbiekkel a probléma, hogy nagyon egyszerre mozogtak. Az újabb három részvény: a) EGIS b) FOTEX c) MOL Ugyanazokat a lépéseket hajtottam végre, mint az el®bb. Kiszámoltam a havi hozamokat. Lásd 4.6 ábrát.
4.6. ábra. Havi hozamok Az összes havi hozamból külön-külön minimumot és maximumot számoltam. A minimum és maximum közti részt 10 intervallumra osztottam. (Lásd 4.3 táblázatot.)
27
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
EGIS
FOTEX
MOL
−0, 4261 ≤ r < −0, 3839 −0, 3839 ≤ r < −0, 2995 −0, 2995 ≤ r < −0, 2151 −0, 2151 ≤ r < −0, 1307 −0, 1307 ≤ r < −0, 0464 −0, 0464 ≤ r < 0, 0380 0, 0380 ≤ r < 0, 1224 0, 1224 ≤ r < 0, 2068 0, 2068 ≤ r < 0, 2911 0, 2911 ≤ r ≤ 0, 3333
−0, 3066 ≤ r < −0, 2390 −0, 2390 ≤ r < −0, 1040 −0, 1040 ≤ r < 0, 0311 0, 0311 ≤ r < 0, 1662 0, 1662 ≤ r < 0, 3013 0, 3013 ≤ r < 0, 4363 0, 4363 ≤ r < 0, 5714 0, 5714 ≤ r < 0, 7065 0, 7065 ≤ r < 0, 8416 0, 8416 ≤ r ≤ 0, 9091
−0, 1755 ≤ r < −0, 1502 −0, 1502 ≤ r < −0, 0996 −0, 0996 ≤ r < −0, 0489 −0, 0489 ≤ r < 0, 0017 0, 0017 ≤ r < 0, 0523 0, 0523 ≤ r < 0, 1029 0, 1029 ≤ r < 0, 1536 0, 1536 ≤ r < 0, 2042 0, 2042 ≤ r < 0, 2548 0, 2548 ≤ r ≤ 0, 2802
4.3. táblázat. Intervallumokhoz 1-t®l 10-ig értékeket rendelünk Ezután az el®bbi értékekhez a táblázat alapján hozzárendeltem 1-t®l 10-ig a számokat. (Lásd 4.7 ábrát.)
4.7. ábra. Havi hozamok értékadással Majd a kapott értékek oszlopait növekv® sorrendbe rendeztem. Összeszámoltam , hogy az adott kombináció P hányszor fordult el®, majd ezután kiszámoltam a relatív gyakoriságukat. Tudjuk, hogy relatív gyakoriság = 1. (Lásd 4.8 ábrát.) 28
4.8. ábra. Relatív gyakoriság kiszámítása Majd a 2-t®l 9-es tartományokhoz a tartomány középpontját rendeltem, míg az 1-es tartományhoz a minimumot, a 10-es tartományhoz a maximumot. Így a 4.4 táblázatot kaptam: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
EGIS FOTEX MOL -0,4260 -0,3065 -0,1755 -0,341691886 -0,171511522 -0,124894120 -0,299502810 -0,036436218 -0,074262899 -0,172935581 0,098639085 -0,023631679 -0,088557429 0,233714389 0,026999541 -0,004179277 0,368789693 0,077630761 0,080198876 0,503864997 0,128261981 0,164577028 0,638940301 0,178893202 0,248955181 0,774015605 0,229524422 0,3333 0,9090 0,2801
4.4. táblázat. Értékekhez rendelt középpontok Erre visszaírva az értékeket, kaptam a következ®t: (Lásd 4.9 ábrát.) 29
4.9. ábra. Táblázat az átírt adatokkal Ezután felírható a feladat kezdeti állapota. Most kiszámítom a modellt α =0,9-re. Lásd 4.10 ábrát. Ekkor is csak egy értékpapírt kínál nekem. Hogy megbizonyosodjak a modell jóságáról, kiszámolom α =0,1-re. Lásd 4.11 ábrát. Az eredmény itt már kicsit jobban hasonlít a várthoz. Itt már két értépapírt kínál fel, különböz® súlyokkal. EGIS részvényb®l 86,6% -ot míg MOL részvényb®l 13,4% -ot. Ezzel már csak az a probléma, hogy α-t 90% körülinek kellene választanunk, hogy a korábbiakban leírt CVaR modell jóságát belássuk, és ennél az utolsó példánál mi α = 10% -ra néztük.
30
31 4.10. ábra. A modell α =0,9-re
32 4.11. ábra. A modell α =0,1-re
5. fejezet Összefoglalás
A dolgozatban bevezettem a kockázati mérték fogalmást, majd megvizsgáltam ezekb®l hármat, a szórást, VaR-t és CVaR-t. Az utóbbival foglalkoztam, mert az kiküszöböli a VaR nagy hibáját, a konvexitás hiányát. A CVaR-os modellre diszkrét esetben egy lineáris programozási feladatot írtam fel. Ezt a feladatot szimuláltam az OpenSolver segítségével. A Solver a lineáris programozási feladat megoldásához a sziplex algoritmust használja. A feladat bemutatásában kevés részvénnyel dolgoztam, mert különben túl nagy lenne a feladat az Excelnek. Az ilyen problémák kikerülésére a való életben programot írnak. A példáim inkább csak illusztratívak a kis adathalmaz miatt. Így az, hogy eredményként nem mindig azt kaptam amit vártam, nem meglep®. A szimplex algoritmus OpenSolverrel történ® megoldásának bemutatására viszont alkalmasak az példáim.
33
Irodalomjegyzék
[1] Kurtán Lajos, Piacgazdaságtan, ELTE Eötvös kiadó, Budapest, 2003. [2] Oleksandr Romanko, Optimization in Finance AdvOLStudent Seminar Series, March 14, 2005 [3] Gáll József, Pap Gyula, Bevezetés a hasznosságalapú portfólió-menedzsmentbe, mobiDIÁK könyvtár, Debrecen, 2004. [4] Kondor Imre, Bank és Kockázat, Mindentudás Egyeteme. [5] Fábián Csaba Handling CVaR objectives and constraints in two-stage stochastic models [6] Varga-Haszonits István, Kockázati Mértékek Instabilitása, ELTE, 2009. [7] http://www.math.bme.hu/~gnagy/ExcelSolver.html [8] http://bet.hu/ [9] http://www.luiboy.ingyenweb.hu
34
