KŘIVKY A PLOCHY. Obrázky (popř. slajdy) převzaty od

KŘIVKY A PLOCHY

JANA ŠTANCLOVÁ [email protected] Obrázky (popř. slajdy) převzaty od RNDr. Josef Pelikán, CSc., KSVI MFF UK

Obsah

– matematický popis křivek a ploch • křivky v rovině – implicitní tvar křivky, explicitní vyjádření, parametrický tvar, tečný vektor, tečna ke křivce

• křivky v prostoru • plochy

– modelování křivek a ploch • aproximace, interpolace • interpolační křivky a plochy – Fergusonovy kubiky

• aproximační křivky a plochy – Beziérovy křivky a plochy – Coonsovy (B-spline) křivky a plochy – β-spline křivky a plochy

2/67

Jana Štanclová, [email protected]

Matematický popis křivek a ploch

MATEMATICKÝ POPIS KŘIVEK A PLOCH

3/67


Křivky v rovině

1.

implicitní tvar křivky –

rovnice F(x,y) = 0 •

–

př. • •

4/67

F spojitá funkce dvou proměnných přímka: ?? kru nice: ?? kružnice:


Křivky v rovině

1.



–

př. • •

5/67

F spojitá funkce dvou proměnných přímka: ax + by + c = 0 kru nice: x2 + y2 – r2 = 0 kružnice:


Křivky v rovině

1.



–

př. • •

2.

přímka: ax + by + c = 0 kru nice: x2 + y2 – r2 = 0 kružnice:

explicitní vyjádření křivky – –

jedna souřadnice funkcí druhé proměnné y = Y(x) dosazování přípustných hodnot za x → body na křivce [x,Y(x)] •

6/67

F spojitá funkce dvou proměnných

př. přímka: ??


Křivky v rovině

1.



–

př. • •

2.




–

7/67


př. přímka: y = kx + q

lze vyjádřit všechny křivky ??


Křivky v rovině

1.



–

př. • •

2.




–

př. přímka: y = kx + q

lze vyjádřit všechny křivky ?? •

8/67


nelze: uzavřené křivky


Křivky v rovině

3.

parametrický tvar křivky – –

výhodné pro počítačovou geometrii poloha bodu na křivce vyjádřena parametrem → souřadnice bodů závislé na parametru

–

křivka K •

– – –

9/67

K = { [x,y]; x = X(t), y = Y(t), t ∈ < tmin, tmax > }

X(t) a Y(t) funkce závislosti souřadnic x, y na parametru t

počáteční bod: [ X(tmin) , Y(tmin) ] koncový bod: [ X(tmax) , Y(tmax) ] bod křivky: K(t) = [ X(t) , Y(t) ]


Křivky v rovině

3.

parametrický tvar křivky –

přímka • •

–

kružnice • •

10/67

x = ?? y = ??

x = ?? y = ??


Křivky v rovině

3.

parametrický tvar křivky –

přímka • •

x=t y = kt + q → parametr t ∈ R

–

kružnice • •

x = x0 + r cos(α) y = y0 + r sin(α)

→ parametr α ∈ <0,2π>

11/67


Křivky v rovině

•

tečný vektor K’ = [ X’(t) , Y’(t) ] ... vektor parciálních derivací – předpoklady • X(t) a Y(t) spojité a mají derivace • alespoň jedna z derivací X’(t) a Y’(t) v bodě t nenulová

– spojitá změna vektoru K’ křivky → hladký půběh křivky • nejsou „ostré vrcholy“

•

tečna křivky v bodě K(t) – přímka: T(u) = K(t) + u K‘(t)

12/67


Křivky v rovině

•

tečný vektor K’ = [ X’(t) , Y’(t) ] ... vektor parciálních derivací – předpoklady • X(t) a Y(t) spojité a mají derivace • alespoň jedna z derivací X’(t) a Y’(t) v bodě t nenulová

– spojitá změna vektoru K’ křivky → hladký půběh křivky • nejsou „ostré vrcholy“

•

tečna křivky v bodě K(t) – přímka: T(u) = K(t) + u K‘(t) bod křivky K(t)

tečný vektor K’(t) parametr

13/67


Křivky v rovině - příklad

•

příklad – spočítat tečnu v bodě [0,2] ke kružnici se středem v počátku a poloměrem 2

14/67



•


•

řešení – rovnice kružnice ??

15/67



•


•

řešení – rovnice kružnice x = 2 cos(α) y = 2 sin(α)

– tečný vektor kružnice ??

16/67



•


•


– tečný vektor kružnice x = - 2 sin(α) y = 2 cos(α)

– tečna ke kružnici v bodě [0,2] ... tečna ke kružnici v bodě ??

17/67



•


•


– tečný vektor kružnice x = - 2 sin(α) y = 2 cos(α)

– tečna ke kružnici v bodě [0,2] ... tečna ke kružnici v bodě α=π/2

18/67



•

pokračování řešení: – rovnice tečny v bodě α = π/2 x = ?? y = ??

19/67



•

pokračování řešení: – rovnice tečny v bodě α = π/2 x = 2 cos(π/2) – 2u sin(π/2) y = 2 sin(π/2) + 2u cos(π/2)

– po úpravách x = ?? y = ??

20/67



•

pokračování řešení: – rovnice tečny v bodě α = π/2 x = 2 cos(π/2) – 2u sin(π/2) y = 2 sin(π/2) + 2u cos(π/2)

– po úpravách x = 0 – 2u = – 2u y = 2 + 0u = 2

[0,2]

→ přímka y = 2 (x libovolné)

21/67


Křivky v prostoru 1.

explicitní tvar křivky –

vyjádření souřadnic y a z v závislosti na souřadnici x y = Y(x), z = Z(x) → tento tvar nemusí vždy existovat

2.

parametrický tvar křivky – –

•

tečný vektor v bodě K(t) –

22/67

nejobvyklejší křivka: K = { [x,y,z] ; x=X(t), y=Y(t), z=Z(t), t ∈ }

vektor parciálních derivací K‘(t) = [X’(t),Y’(t), Z’(t)]


Plochy (v prostoru) 1.

implicitní tvar plochy –

2.

explicitní tvar plochy – –

3.

23/67

rovnice F(x,y,z) = 0

jen pro některé plochy jedna souřadnice vyjádřena v závislosti na zbylých dvou proměnných z = Z(x,y)

parametrický tvar plochy – –

nejobvyklejší souřadnice závislé na hodnotách dvou parametrů u a v

– –

P = {[x,y,z]; x=X(u,v), y=Y(u,v), z=Z(u,v), u ∈ , v ∈ } X(u,v), Y(u,v), Z(u,v) ... parametrické funkce plochy P jeden z parametrů plochy fixován → ??


Plochy (v prostoru) 1.

implicitní tvar plochy –

2.

explicitní tvar plochy – –

3.

24/67

rovnice F(x,y,z) = 0

jen pro některé plochy jedna souřadnice vyjádřena v závislosti na zbylých dvou proměnných z = Z(x,y)

parametrický tvar plochy – –

nejobvyklejší souřadnice závislé na hodnotách dvou parametrů u a v

– –

P = {[x,y,z]; x=X(u,v), y=Y(u,v), z=Z(u,v), u ∈ , v ∈ } X(u,v), Y(u,v), Z(u,v) ... parametrické funkce plochy P jeden z parametrů plochy fixován → parametrická rovnice křivky na ploše


Modelování křivek a ploch

MODELOVÁNÍ KŘIVEK A PLOCH

25/67


Modelování křivek a ploch •

idea – nelze zadat všechny body křivky/plochy → je jich nekonečně

– zadají se nejdůležitější nejd le it jší uzlové body • např. body, kde křivka/plocha mění směr, obrací se, ...

– typicky požadavek na hladkost křivky/plochy • bez ostrých vrcholů

•

základní metody – interpolace • křivka/plocha prochází uzlovými body

– aproximace • křivka/plocha nemusí procházet uzlovými body • křivka „probíhá“ okolo uzlových bodů a „kopíruje“ je

26/67


Modelování křivek a ploch

Aproximace

27/67

Interpolace


Fergusonovy kubiky

FERGUSONOVY KUBIKY

28/67


Fergusonovy kubiky •

interpolační křivka – J. C. Ferguson, 1964

•

Fergusonova kubika – dva řídící body P0 a P1

• krajní body křivky → křivka jimi prochází • určují polohu křivky

– dva tečné vektory P‘0 a P’1 v řídících bodech P0 a P1

• směr a velikost tečných vektorů → míra vyklenutí křivky • větší velikost vektorů → křivka se více přimyká k vektoru

– rovnice křivky P(t) = P0F1(t) + P1F2(t) + P’0F3(t) + P’1F4(t) • kde F1,..., F4 jsou kubické Hermitovské polynomy F1(t) = 2t3 – 3t2 + 1 F3(t) = t3 – 2t2 + t F2(t) = -2t3 + 3t2 F4(t) = t3 – t2

29/67


Fergusonovy kubiky vektor P‘0 konstantní ... vektor P’1 se mění

30/67


Fergusonovy kubiky

applet:

31/67

http://www2.mat.dtu.dk/info/mathematics/VIDIGEO/applets/book5.html


Fergusonovy kubiky

•

výhody – snadné navazování Fergusonových kubik ??

32/67


Fergusonovy kubiky

•

výhody – snadné navazování Fergusonových kubik • poslední bod předchozího segmentu = první bod následujícího segmentu

– hladkost spojených dvou kubik ??

33/67


Fergusonovy kubiky

•

výhody – snadné navazování Fergusonových kubik • poslední bod předchozího segmentu = první bod následujícího segmentu

– hladkost spojených dvou kubik • ztotožnění tečných vektorů ztotožněných bodů

•

nevýhody – poměrně nesnadná editace tečného vektoru ve 3D

34/67


Beziérovy křivky

BEZIÉROVY KŘIVKY

35/67


Beziérovy křivky

•

aproximační křivka

•

vlastnosti – křivka prochází prvním a posledním uzlem • k ostatním bod bodům m se k křivka ivka pouze p přibližuje ibli uje

– úsečky spojující dva krajní uzly se dotýkají křivky v koncových bodech • spojnice prvního a druhého bodu, posledního a předposledního bodu • jinak průběh křivky zcela hladký n

– rovnice P(t ) = ∑ Pi Bin (t ) i =0

• kde Bin jsou Bernsteinovy polynomy

n n −i Bin (t ) =  t i (1 − t ) i

36/67


Beziérovy křivky

applet:

http://www.math.ubc.ca/~cass/gfx/bezier.html

win → program Paint: • kliknout a táhnout → počáteční a koncový bod • kliknout a táhnout → vytváří se oblouk (a ještě jednou zopakovat)

37/67


Beziérovy křivky

•

nevýhody – křivka určena velkým počtem bodů → složitý výpočet bodu na křivce • vnitřní bod křivky závisí na všech uzlech • posun jednoho uzlu → změna tvaru celé křivky

→ řešení: ??

38/67


Beziérovy křivky

•

nevýhody – křivka určena velkým počtem bodů → složitý výpočet bodu na křivce • vnitřní bod křivky závisí na všech uzlech • posun jednoho uzlu → změna tvaru celé křivky

→ řešení: složitější křivky spojení několika kratších křivek – lepší výpočet kratších křivek – lokální oprava tvaru křivky – změna polohy jednoho uzlu → změna jednoho úseku křivky •

39/67

ostatní úseky nezměněny


Beziérovy křivky

•

40/67

spojování dvou Beziérových křivek ??


Beziérovy křivky

•

spojování dvou Beziérových křivek – ztotožnění krajních vrcholů → spojení křivek nemusí být hladké

•

41/67

hladké spojení ??


Beziérovy křivky

•

spojování dvou Beziérových křivek – ztotožnění krajních vrcholů → spojení křivek nemusí být hladké

•

hladké spojení – 3 krajní body na jedné přímce • předposlední uzel křivky Q1 • poslední uzel křivky Q1 = první uzel křivky Q2 • druhý uzel křivky Q2

42/67


Beziérovy křivky

•

v praxi – Beziérovy křivky druhého stupně • kvadratické křivky • definované 3 uzly

– Beziérovy křivky třetího stupně • kubické křivky • definované 4 uzly

•

použití – definice znakových fontů • hladký průběh obrysů písmen • jednoduché zadávání → možnost libovolně font zvětšovat bez znehodnocení

43/67


Beziérovy plochy

BEZIÉROVY PLOCHY

44/67


Beziérovy plochy

•

aproximační plochy – stejné principy jako Beziérovy křivky

•

zadány sítí bodů v prostoru – obdélníková tabulka bodů/uzlů libovolné velikosti – rohové uzly • poloha rohů plochy

– okrajové řady/sloupce uzlů • okrajové Beziérovy křivky

– vnitřní uzly • tvar uvnitř plochy

45/67


Beziérovy plochy – editace uzlů

46/67


Beziérovy plochy

•

nevýhody – vnitřní bod plochy závisí na všech ostatních uzlech definiční sítě → řešení: jako u Beziérových křivek

•

složitější plochy: spojování více plátů dohromady – plát = jedna Beziérova plocha – typicky • bikvadratický Beziérový plát – plocha zadaná 3× ×3 uzly

• bikubický Beziérový plát – plocha zadaná 4× ×4 uzly

– výhody • lokální oprava komplikované plochy • rychlejší výpočet i zobrazení

47/67


Beziérových plochy – napojení plátů

•

48/67

napojení Beziérových plátů ??



•

napojení Beziérových plátů – ztotožnění krajních řad/sloupců → napojení nemusí být hladké

•

49/67

hladké napojení ??



•

napojení Beziérových plátů – ztotožnění krajních řad/sloupců → napojení nemusí být hladké

•

hladké napojení – vliv dalších řad uzlů sousedících se společným okrajem plátů • trojice uzlů na úsečkách • úsečky rozděleny prostředními uzly ve stejném poměru

50/67


Speciální Beziérovy pláty

•

speciální plát ... „záplata“ – degenerace jedné/dvou okrajových křivek • okrajová křivka plátu = Beziérova křivka zadaná krajní řadou/sloupcem uzlů

– spojení těchto uzlů do jediného → degenerace křivky do jediného bodu → výsledná plocha má méně rohů a okrajových křivek

•

p íklad: trojúhelníkový plát příklad: – jeden dvojitý roh

51/67


B-spline křivky

COONSOVY (B(B-SPLINE) KŘIVKY

52/67


B-spline křivky •

aproximační křivky – princip zadání: podobný Beziérovým křivkám – bez omezující podmínky pro hladké napojení dvou křivek

•

zadány posloupností bodů – začátek za átek křivky k ivky → antitěžiště antit išt trojúhelníka ABC – směr křivky → v krajním bodě rovnoběžný se stranou trojúhelníka AC

53/67


B-spline křivky •

aproximační křivky – princip zadání: podobný Beziérovým křivkám – bez omezující podmínky pro hladké napojení dvou křivek

•

zadány posloupností bodů – začátek za átek křivky k ivky → antitěžiště antit išt trojúhelníka ABC – směr křivky → v krajním bodě rovnoběžný se stranou trojúhelníka AC

54/67


Prodlužování B-spline křivek

• • • •

55/67

první úsek ... P0P1P2P3 druhý úsek ... P1P2P3P4 společný bod ... antitěžistě trojúhelníka P1P2P3 směr ve společném bodě ... rovnoběžný s úsečkou P1P3 společný pro obě křivky → hladké spojení


Prodlužování B-spline křivek

•

snadné napojování/prodlužování napojování/prodlu ování křivek k ivek – dvě spojené křivky → společné 3 definiční uzly

•

prodloužení křivky o jeden úsek – přidání jednoho nového uzlu

•

napojování B-spline křivek – zopakovány poslední tři uzly – na kraj přidán jeden nový uzel

56/67


B-spline křivky

•

vliv definičního defini ního uzlu – na maximálně ?? úseky křivek

57/67


B-spline křivky

•

vliv definičního defini ního uzlu – na maximálně 4 úseky křivek

•

oprava křivky → posun jednotlivých uzlů – posun jednoho uzlu → lokální oprava křivky • změna max. 4 sousedních částí křivek • zbytek křivky k nezměněn

58/67


B-spline plochy

COONSOVY (B(B-SPLINE) PLOCHY

59/67


B-spline plochy

•

aproximační plochy – zadány sítí bodů v prostoru • obdélníková tabulka bodů/uzlů libovolné velikosti

– B-spline plocha prochází volně zadanou soustavou uzlů

•

variabilita B-spline plochy – konstrukce složitějších tvarů → plochy složené z hodně plátů – dva sousední pláty → společné spole né 3 řady uzlů uzl • sestavená plocha vždy hladká • lokální opravy plochy → posuny definičních uzlů

– změna jednoho uzlu → změna ?? sousedních plátů

60/67


B-spline plochy

•

aproximační plochy – zadány sítí bodů v prostoru • obdélníková tabulka bodů/uzlů libovolné velikosti

– B-spline plocha prochází volně zadanou soustavou uzlů

•

variabilita B-spline plochy – konstrukce složitějších tvarů → plochy složené z hodně plátů – dva sousední pláty → společné spole né 3 řady uzlů uzl • sestavená plocha vždy hladká • lokální opravy plochy → posuny definičních uzlů

– změna jednoho uzlu → změna 4 - 16 sousedních plátů – speciální pláty • pomocí vícenásobných uzlů

61/67


B-spline plochy •

změna tvaru plochy – každý obrázek vznikl změnou polohy jediného uzlu

62/67


β-spline křivky

β-SPLINE KŘIVKY

63/67


β-spline křivky

•

aproximační křivky – zobecnění kubických B-spline křivek → variabilnější

•

úsek křivky – 4 řídící uzly • dva sousední úseky → společné 3 uzly

– sklon β1 • • • •

posunutí křivky vzhledem k řídícím uzlům standardně β1 = 1 β1 < 1 ... posun k prvnímu uzlu β1 > 1 ... posun k poslednímu uzlu

– napětí β2

• stupeň přesnosti aproximace → jak moc křivka přitahována/odpuzována od uzlů • β2 = 0 → klasická B-spline křivka

64/67


β-spline křivky

•

65/67

změna tvaru křivky při posunutí jednoho řídícího uzlu


β-spline plochy

β-SPLINE PLOCHY

66/67


β-spline plochy

•

aproximační plochy – zobecnění bikubických B-spline ploch

•

β-spline plát zadán – 16 řídících uzlů – sklony β1u a β1v

• sklon plochy v obou směrech

– napětí plochy β2

• stupeň přesnosti aproximace → jak moc plocha přitahována/odpuzována od uzlů

67/67


KŘIVKY A PLOCHY. Obrázky (popř. slajdy) převzaty od

Recommend Documents