Kit½uzött feladatok Kvantitatív módszerekb½ol Mesteri szak, 2010-2011 tanév Lineáris programozás 1. Egy farmon kétfajta takarmánnyal táplálják a nyulakat. Az egyik takarmány kilógrammja 150 gramm zsiradékot, 240 gramm szénhidrátot és 40 gramm proteint tartalmaz, ára pedig 2 euró. A másik takarmány kilógrammja 240 gramm zsiradékot, 240 gramm szénhidrátot és 20 gramm proteint tartalmaz, ára pedig 2.5 euró. Egy nyúl normális, napi tápanyagszükséglete legalább 24 gramm zsiradékot, 36 gramm szénhidrátot és 4 gramm proteint tartalmaz, de az össztakarmány mennyiség nem lehet több mint 0.5 kg. Hogyan kell keverni a két takarmányt, hogy normális táplálás mellett a költség minimális legyen. 2. A Csíki sörf½ozde világos és barna sört gyárt árpából, komlóból és malátából. Jelenleg 4 tonna árpa, 2 tonna komló és 5 tonna maláta áll rendelkezésre. Egy hordó világos sört 45 euróért lehet eladni, el½oállításához 1 kg árpa, 1 kg komló és 2 kg maláta szükséges. Egy hordó barna sört 50 euróért lehet eladni, el½oállításához 2 kg árpára, 1 kg komlóra és 1 kg malátára van szükség. A sörf½ozde el tudja adni az általa gyártott világos és barna sört. A sörf½ozde célja az összbevétel maximalizálása. Tegyük fel, hogy a sörf½ozde maláta-lik½or gyártását fontolgatja. Egy hordó maláta-lik½or eladási ára 60 euró, el½oállításához 0.5 kg árpára, 3 kg komlóra és 3 kg malátára van szükség. Érdemes-e maláta-lik½ort gyártani. A feladat megoldásához használja a WinQSB programcsomagot! 3. A Scientia Könyvkiadó három jegyzet kiadását tervezi. Az alábbi táblázat mutatja az eladható legnagyobb példányszámot, a jegyzetenkénti változó el½oállítási költséget, az eladási árat és a szerz½oi honoráriumot az egyes jegyzetek esetén: 1. jegyzet 2. jegyzet 3. jegyzet Kereslet (db.) 250 200 250 Költség (Lej/db) 20 15 18 Eladási ár (Lej/db) 40 38 32 Honorárium (Lej) 500 600 300 Ha például az 1-es jegyzetb½ol 200 példány készül, akkor a bevétel 200*40 lej, a költség viszont 500 + 200*20=4500 lej. A Scientia legfeljebb 600 jegyzetet tud elkészíteni. A kiadó hogyan maximalizálhatja pro…tját? 4. Egy játékokat gyártó üzem két modernebb öltöztetés½u Barbie-baba készítését t½uzi ki célul. Az egyiket Kasszandrának nevezik és 3 munkaóra szükséges az elkészítéséhez a másikat pedig Kleopátrának és 2 munkaórát igényel az elkészítése. A játékok 1 darabjának a gyártási költségét és eladási árát az alábbi táblázat tartalmazza: Játék Gyártási költség Kasszandra 45 Kleopátra 76 1
Eladási ár 67 92
Az üzemnek két részlege közösen készíti el a babákat. Az alábbi táblázat százalékos arányban megadja, hogy az egyes részlegek milyen arányban járulnak hozzá a babák elkészítéséhez: Játék 1. részleg 2. részleg Kasszandra 52% 48% Kleopátra 38% 62% Tudva azt, hogy az els½o részleg kapacitása 480, a másik részlegnek pedig 720 munkaóra, határozzuk meg, hogy az üzem milyen termelési terv mellett maximalizálhatja pro…tját. 5. Négy termelési projekt közül választhatunk, amelyek jellemz½oit a következ½o táblázat adja meg: T½okebefektetés Projekt Haszon 1. évben 2. évben 3. 1. 0.2 0.5 0.3 2. 0.3 1.0 0.8 3. 0.5 1.5 1.5 4. 0.1 0.1 0.4 Rendelkezésre álló t½oke 3.1 2.5
évben 0.2 0.2 0.3 0.1 0.4
Melyik projekteket válasszuk, ha célunk a haszon maximalizálása? 6. Három részvény jelenlegi árfolyamai és a t½ozsde 3 hónappal kés½obbi árfolyamelvárásait tartalmazza az alábbi táblázat: Jelenlegi árfolyam Árfolyamelvárás (euró/db) (euró/db) A 13000 16000 B 14000 15000 C 2500 3000 Egy befektet½o mindegyik részvényb½ol legalább 500000-euró értékben szeretne felvásárolni és portfoliót kialakítani. Összesen legfeljebb 5 millió eurót akar befektetni és a „B” részvényb½ol legfeljebb 100 darabot vásárolna. A vásárlást követ½oen minden részvényre azonnal limitáras eladási megbízást is ad. A brókeri jutalék vásárláskor részvényenként a vételi ár 0.5%-a és eladáskor az árbevétel 1%-a. Ha minden eladási megbízás teljesülne, akkor milyen portfolió esetén lenne az elvárt hozam maximális? Írjuk fel a lineáris programozási modellt és a WinQSB segítségével oldjuk meg a feladatot. Határozzuk meg az árnyékárakat. 7. Egy üzlet forgalmát tanulmányozva, azt állapították meg, hogy az egyes napokra az alábbi táblázatban feltüntetett számú elárusító szükséges: H. K. Sz. Cs. P. Szo. V. Szükséglet 20 18 16 12 10 13 20 Egy elárusító napi bére hétköznap 60 lej, szombaton 85 lej, vasárnap pedig 95 lej. Törvény szerint minden elárusító egyfolytában csak 5 napot dolgozhat és utána kötelez½oen 2 egymás utáni szabadnap jár. Az üzletvezet½o minimalizálni szeretné az elárusítók bérköltségét. Segítsünk neki! 2
8. Egy befektet½o két pénzt hozó lehet½oség A és B közül választhat az elkövetkez½o négy év mindegyikében. Minden egyes, az év elején az A-ba befektetett euró két év múlva 30 eurócent hasznot, míg a B-be fektetett euró három év múlva 50 eurócent hasznot eredményez és azonnal újra befektethet½ok. Kés½obb lehet½oség nyílik a C és a D befektetésekre is. Minden, a második év elején a C-be fektetett euró a negyedik év végén 50 eurócent hasznot, valamint a negyedik év elején a D-be fektetett euró az év végére 20 eurócent jövedelmez. A befektet½o 10000 euró befektetéssel indul. Milyen befektetési terv alapján érdemes eljárnia, hogy a negyedik év végén a lehet½o legtöbb pénzt halmozhassa fel? ½ RT négy típusú lábbelit gyárt. Az egyes termékek pro…tja 10, 15, 22, 17 9. A CI&PO euró és az elkövetkez½o 4 hétre a maximálisan eladható mennyiségek 50, 60, 85, 70 pár lábbeli. Minden egyes lábbeli a gyártási folyamat során 3 részlegen kell átmenjen. A részlegeken a négy típusú lábbeli egy egységéhez szükséges munkaid½oket, munkaórában kifejezve az alábbi táblázat tartalmazza: 1. részleg 2. részleg 3. részleg
1. lábbeli 2. lábbeli 3. lábbeli 4. lábbeli 2 2 1 1 2 4 1 2 3 6 1 5
A három részleg kapacitása 160, 200, valamint 80 munkaóra. Lehet½oség van, hogy az egyes részlegeken dolgozókat, ha szükséges más részlegekre osszák be. Így a második részleg munkaóra kapacitásának legtöbb 20%-át átadhatja az els½o részlegnek, az els½o részleg 30%-át a harmadik részlegnek és a harmadik részleg 10%-át a második részlegnek. A marketing terv el½oírja, hogy az elkészített els½o termék és az elkészített ½ Kft negyedik termék darabszámainak aránya 0.9 és 1.15 között legyen. A CI&PO milyen termelési tervvel maximalizálhatja pro…tját? 10. A Csöpög½o nev½u vállalat alma ízesítés½u üdít½oitalt gyárt ízesítettet-szóda és almalé kombinálásával. Egy deka ízesítettet-szóda 0.3 deka cukrot, és 2 mg C-vitamint, 1 deka almalé pedig 0.35 deka cukrot, és 5 mg C-vitamint tartalmaz. A Csöpög½onek 1 deka ízesítettet-szóda 3 euróba kerül, 1 deka almalé pedig 5 euróba. A Csöpög½o marketing osztálya elhatározza, hogy minden 10 dekás almalé–palack legalább 25mg C-vitamint és legfeljebb 5 deka cukrot tartalmazhat. Határozzuk meg, hogy a Csöpög½o hogyan tud eleget tenni a marketing osztály követelményeinek minimális költségek mellett. 11. A marosvásárhelyi m½utrágya gyár káliumot és nitrogént keverve kétféle típusú m½utrágyát állít el½o. Az 1. m½utrágya legalább 48% nitrogént kell hogy tartalmazzon, és eladási ára 70 euró kilogrammonként. A 2. m½utrágyának legalább 40% káliumot kell tartalmaznia, és eladási ára 30 euró kilogrammonként. A gyár legfeljebb 600 tonna nitrogént vásárolhat, kilogrammját 12 euróért, és legfeljebb 800 tonna káliumot, kilogrammját 10 euróért. Tételezzük fel, hogy bármennyi m½utrágya eladható. Fogalmazzon meg egy lineáris programozási feladatot, amely maximalizálja a gyár nettó jövedelmét! Mennyi ez a jövedelem? Határozza meg az árnyékárakat és magyarázza meg a gazdasági jelentésüket. A feladat megoldásához használja a WinQSB programcsomagot!
3
12. A maGma RT háromtípusú elektronikus vezérl½ot gyárt három részlegen. Egy vezérl½o gyártási id½otartamait percben kifejezve az alábbi táblázat tartalmazza: 1. vezérl½o 2. vezérl½o 3. vezérl½o
1. részleg 5 6 13
2. részleg 7 12 14
3. részleg 4 8 9
A következ½o táblázatban van összefoglalva a telephelyeken a vezérl½ok által jövedelmezett pro…tok euróban kifejezve. 1. részleg 1. vezérl½o 10 2. vezérl½o 18 3. vezérl½o 15
2. részleg 8 20 16
3. részleg 6 15 13
Tudva azt, hogy minden részleg kapacitása 35 munkaóra és az els½o vezérl½ob½ol legalább 100 darabot, a másodikból 150-et, a harmadikból pedig 100-at kell elkészíteni, hány darabot gyártson az egyes részlegeken a vezérl½okb½ol, hogy pro…tja maximális legyen?
Szállítási és hozzárendelési feladatok 13. Egy befektet½o 3 alapba szeretné elhelyezi pénzét a következ½oképpen: maximálisan 5 milliót részvénybe, maximálisan 3 milliót államkötvénybe és maximálisan 2 milliót lekötött betétbe. Négy társaságnál fektetheti be a t½okéjét. Az egyes társaságoknál maximálisan 4, 3, 2 és 1 millió eurót helyezhet el. A társaságok az adott id½oszakra az alapok szerinti bontásban, a következ½o táblázat szerint adták meg várható százalékos hozamukat (A, B, C, D a társaságokat, az I, II, III az alapokat jelenti): A I 19 II 9.4 III 7.8
B 17 9.8 8
C 20 8.9 7.2
D 16 9.2 6.6
Milyen bontásban helyezze el a pénzét, ha célja a maximális hozam elérése? Az éles feltételekre végezzünk érzékenységvizsgálatot is! 14. Egy Csíkszeredában lév½o vegyi árukat forgalmazó üzlet 5 különböz½o bolttal rendelkezik. A forgalma az idei évben nagyon fellendült, ezért úgy gondolta, hogy a kereslet folyamatosabb kielégítése érdekében az egyik bolthoz nagyobb raktárt épít. Terve szerint azonban úgy akarja a beruházást megvalósítani, hogy a boltok közötti szállítást a lehet½o legolcsóbban tudja megoldani. Az alábbi táblázat megadja az egyes boltok
4
közötti szállítás költségét euróban: Boltok Boltok 1. 2. 3. 4. 5. 1. - 10 13 5 1 2. 10 1 20 19 3. 13 1 7 5 4. 5 20 7 9 5. 1 19 5 9 Az alábbi táblázat azt mutatja meg, hogy az egyes boltoknak havonta hány teherautónyi árura van szükségük: Boltok 1. 2. 3. 4. 5. 3 4 5 3 5 Melyik eladóhelyet fejlessze, ha saját központi raktárából az áruk kiszállítását minimális költséggel akarja megoldani. 15. Oldjuk meg az alábbi szállítási feladatot, majd határozzuk meg, hogy mennyivel növekedne a minimális szállítási költség, ha kikötnénk, hogy az A körzetb½ol csak az A körzetbe, a B körzetb½ol csak a B körzetbe lehet szállítani. A körzet B C1 C2 C3 A körzet F1 10 12 10 F2 9 10 10 B körzet F3 7 8 8 F4 13 11 10 Kereslet 200 400 100
körzet C4 C5 Kínálat 11 13 300 9 12 300 7 8 200 12 11 400 300 200
16. Csíkszereda négy újságárus elárusítóhelyeihez három elosztóból szállítanak újságot. Az egyes árusok igénye az újságokból összesen 300, 200, 400 és 250 darab, míg az elosztókban ezen igények kielégítésére 400, 300, 450 darab áll rendelkezésre. Útkarbantartási munkák miatt le van zárva az E1 ! A1 és E2 ! A2 útszakasz. Hogyan osszák szét az újságokat, ha a cél a szállítás legrövidebb úton történ½o megvalósítása tudva azt, hogy az elosztók és az elárusítóhelyek távolságai km-ben a következ½ok: Elárusítóhelyek Elosztók A1 A2 A3 A4 E1 1 3 2 2 E2 2 3 1 5 E3 3 2 2 1 Írjuk fel a feladat lineáris programozási modelljét is és ellen½orizzük, hogy megoldások megegyeznek-e a disztribuciós módszerrel kapott megoldásokkal.
5
17. Egy vállalat öt különböz½o helyen végez építési munkálatokat, amelyhez négy betonkever½o bázisból szerzi be a szükséges betonmennyiséget. A szállítást betonkever½o kocsikkal végzik. Megvizsgálva a bázisok és az építkezések közti legrövidebb közúti távolságokat az alábbi km-ben megadott táblázatot kapták: Építési Bázisok E1 E2 B1 1 3 B2 2.2 4 B3 1.3 5.6 B4 3.3 4
munkálatok E3 E4 E5 2 7 2 1.5 5 3.1 3 8 5.2 2.5 8.5 2.5
A vizsgálatok során azt is megállapították, hogy két olyan útszakasz is van, ahol súlykorlátozás miatt betonkever½o nem haladhat át, ezek: B1 ! E5 , B3 ! E3 : A betonkever½o bázisok napi kapacitása 1000, 700, 1500, 800 tonna, az építkezések igényei pedig 400, 300, 450, 1000 és 600 tonna. A szállítási költségek km-re sávonként változnak: 2 km-ig 10 euró, 2-5 km-ig 15 euró, 5 km-t½ol 20 euró. Tudva, hogy egy betonkever½o egyszerre csak 10 tonna betont szállíthat, hogyan szervezze meg a vállalat a szállítási tervét, hogy költségei a lehet½o legkisebbek legyenek. 18. Adjuk meg a következ½o szállítási feladat optimális megoldását, ha a 3. célállomás nem kaphat árut az els½o feladótól: F1 F2 F3
R1 6 8 5 20
R2 8 9 6 20
R3 8 8 6 35
R4 6 7 7 45
40 30 50
Lehet-e az optimális megoldásban x23 = 9? 19. Egy vállalathoz három fogyasztótól érkezett megrendelés egy bizonyos termékre, mindegyikt½ol 30 egységre. A vállalatnak két raktára van. Az 1. raktárban 40 egység, a 2. raktárban pedig 30 egység áll rendelkezésre, vagyis a teljes megrendelést nem tudja kielégíteni. Az alábbi táblázatban láthatók a raktárakból a fogyasztókhoz történ½o szállítások egységköltségei (euróban): Hová Honnan 1. vev½o 2. vev½o 3. vev½o 1. raktár 15 35 25 2. raktár 10 50 40 Minden egyes kielégítetlen fogyasztói keresletegységhez bírság tartozik: az 1. vev½o esetében a bírság 110 euró, a 2. vev½o esetében a bírság 180 euró, a 3. vev½o esetében a bírság 90 euró. Oldjuk meg a feladatot számítógép segítségével. 20. Három gép (G1 , G2 és G3 ) mindegyike háromféle termék (T1 , T2 , T3 ) bármelyikét képes el½oállítani. Az egyes gépeken egy óra alatt bármelyik termékb½ol egy darab készíthet½o 6
el. A gépek kapacitása rendre 20, 30 és 35 gépóra/hét. Az egyes termékekb½ol a kereslet hetente minimálisan 45, 30, illetve 25 darab. A kereslet teljesítésének egységnyi hiánya az 1-es termékb½ol 2 euró, a 2-esb½ol 3 euró, a 3-asból pedig 1 euró veszteséget jelent. Egy termék darabjának gyártási költsége (euróban) az egyes gépeken az alábbi táblázatban látható: T1 T2 T3 G1 8 9 7 G2 5 4 6 G3 6 8 7 Mivel a keresletet nem tudja kielégíteni ezért döntenie kell, hogy az egyes termékekb½ol mennyit gyártson ahhoz, hogy kiadása a lehet½o legkisebb legyen. 21. Négy hallgató vizsgázik. A tanár kiválaszt 6 tételt, amelyekb½ol a hallgatók véletlenszer½uen kiválasztanak egyet-egyet. A hallgatók felkészültségét az egyes tételekb½ol az alábbi táblázat tartalmazza: Tétel Hallgató I. II. III. IV. V. VI. A 9 6 9 5 10 9 B 6 7 7 4 5 4 C 9 10 5 7 5 7 D 8 5 7 7 5 4 A legszerencsésebb húzás esetén mennyi lesz a hallgatók osztályzatának átlaga? Legszerencsésebb húzásnak azt tekintjük, ha a hallgatók által elért összeredmény a lehet½o legnagyobb. Lehetséges-e, hogy minden hallgató azt a tételt húzza, amelyb½ol a legjobban felkészült? A legszerencsétlenebb húzás esetén el½ofordulhat-e, hogy egyik hallgató sem kap 4-est? 22. Fát kell szállítani Kászonból illetve Csernátonból Brassóba és Marosvásárhelyre. A szállítás Kézdivásárhelyt½ol és Csíkszeredától vonattal is történhet. Kászon kapacitása 320 m3 hetente, Csernáton kapacitása 280 m3 =het. Brassó igénye 290 m3 =het, Marosvásárhely igénye 310 m3 =het. Egy m3 fa szállítási költségét az egyes viszonylatokban az alábbi táblázatok tartalmazzák (euróban kifejezve): Rönksz. Brassó M-Vásárhely K-vásárhely Csíkszereda Kászon 20 35 12 10 Csernáton 10 30 3 Vonattal Brassó Marosvásárhely Kézdivásárhely 5 15 Csíkszereda 6 10 Kézdivásárhelyen a raktározási kapacitás 130m3 és költsége 2 euro=m3 Csíkszeredában pedig 200 m3 , illetve 1:5 euro=m3 : Határozzuk meg a minimális költség½u szállítási tervet.
7
Játékelmélet 23. János és Laci a következ½o játékot játsszák. János betesz egy üveggolyót a bal vagy a jobb zsebébe úgy, hogy azt Laci ne lássa. Ezután Laci megtippeli, hogy János melyik zsebébe tette az üveggolyót. Ha eltalálja, hogy a balba, akkor kap Jánostól 3 eurót. Ha eltalálja, hogy a jobba, akkor kap Jánostól 2 eurót. Ha viszont nem találja el, hogy melyik zsebbe került a golyó, akkor ½o …zet Jánosnak 4 eurót. Mi a játékosok optimális kevert stratégiái és mennyi a játék értéke? Igazságos-e a játék? 24. Feldobunk egy érmet és az eredményt megmutatjuk az els½o játékosnak, aki passzol vagy fogad. Ha passzol, akkor …zet 1 eurot a másik játékosnak. Ha fogad, akkor a másik játékosnak (aki nem ismeri az érme feldobásának eredményét) két választása van: kiszáll vagy tartja a fogadást. Ha kiszáll, akkor …zet az els½o játékosnak 1 eurot, ha pedig tartja a fogadást, akkor megnézik a dobás eredményét: amennyiben az fej volt, akkor a második játékos …zet az els½o játékosnak 2 eurot, ha pedig írás volt, akkor az els½o játékos …zet a második játékosnak 2 eurot. Mi a játékosok optimális kevert stratégiái és mennyi a játék értéke? Igazságos-e a játék? 25. Két játékosnak 10 eurót kell elosztaniuk egymás között kerek eurókban. A játékosok egyszerre és egymástól függetlenül jelentik be igényüket a bírónak. Ha az igények összege nagyobb mint 10 euró és páratlan, akkor az els½o játékos kapja meg az 10 eurót, a második nem kap semmit, ha pedig páros akkor éppen fordítva. Ha az igények összege legfeljebb 10 euró, akkor mindkét fél megkapja azt, amit kért. Melyek ebben a játékban a dominált és az optimális stratégiák? 26. Egy bizonyos társaság szakszervezete és vezet½osége új kollektív szerz½odésr½ol tárgyal. A tárgyalások holtpontra jutottak azzal, hogy a vezet½oség béremelési ajánlata 10%, míg a szakszervezet béremelési követelése 17%. Ezért a két fél belegyezett abba, hogy egy páratlan dönt½obíró határozza meg a béremelést valahol 10% és 17% között (a végpontokat is beleértve). A dönt½obíró megkérte mindkét felet, hogy mutassa meg neki bizalmas javaslatát egy tisztességes és gazdaságilag ésszer½u béremelésre (a legközelebbi százalékra kerekítve). Korábbi tapasztalatból mindkét fél tudja, hogy ez a dönt½obíró rendszerint annak a félnek a javaslatát fogadja el, amelyik többet enged a kiindulási béremelési követelésb½ol. Ha egyik fél sem véltoztatja meg a követelését, vagy egyformán engednek, akkor a bíró rendszerint a két érték között félúton dönt (ami ebben az esetben 13.5%). Most mindegyik oldalnak meg kell határoznia, hogy milyen béremelést javasoljon ahhoz, hogy a legnagyobb el½onyre tegyen szert. Foalmazza meg a problémát kétszemélyes nulla összeg½u játékként. Mi a két fél legjobb stratégiája? Van-e a játéknak dominált stratégiája? 27. Két verseng½o étterem bevétele 120-120 millió lej. Mindkét étterem reklámra vagy 6 vagy 10 millió lejt költ. A reklámra többet költ½o étterem bevétele 190 millió lej lesz, a másiké pedig 50 millió lej. Ha azonos összeget költenek, reklámra, akkor nem változik a bevételük. Egy lej bevétel 10 bani pro…tot eredményez. Mindkét étterem céja a pro…t és a reklámköltsg különbségének a maximalizálása. Mi a játék egyensúlypontja? 28. Tekintsünk egy háromszemélyes, nem konstans összeg½u játékot, mely karakterisztikus
8
függvénye az alábbi: v (;) = v (f2g) = v (f3g) = 0; v (f1g) = 1; v (f1; 2g) = 5; v (f1; 3g) = 4; v (f2; 3g) = 3; v (f1; 2; 3g) = 15; Határozzuk meg a játék Shapley-értékét. 29. Ahhoz, hogy egy vállalkozás létrejöjjön szükség van befektet½okre és termel½okre. Egy egyszer½usített vállalkozásban jelöljük 1-el a befektet½ot, 2-vel illetve 3-mal a termel½oket. A Shapley-értéket használva határozzuk meg a nyereség igazságos szétosztási arányait. 30. Egy városban öt párt versenget a városi tanácsosi helyekért. Az alábbi táblázat mutatja a választás után kapott tanácsosi mandátumok számát: Pártok AP BP CP DP EP Mandátumok 11 8 5 2 1 Mivel egyik párt sem érte el a fele plusz 1 arányt, azaz a 14 mandátum-számot, ezért nem tudja egyik sem megszerezni az egyértelm½u hatalmat. Nincs más választásuk koalíciót kell képezzenek. A pártok között nincs semmi ideológiai ellentét és csak a város hasznát nézik. Ezért úgy egyeznek, hogy a város 620 millió eurós évi költségvetésének felügyeletét és gazdálkodását a tanácsban betöltött súlyuk alapján fogják leosztani. Tudjuk, hogy ezek a súlyok a játék Shapley értékét jelentik. Határozzuk meg, hogy az egyes pártok mekkora költségvetési összeget felügyelhetnek. 31. A Sapientia-EMTE csíkszeredai helyszíne a következ½o szabályok szerint …zet az általa bérelt telefonvonalakért: 400 euró/hó az els½o 4 vonalért, plusz 200 euró a következ½o 4 vonalért és plusz 100 euró/hó a további két vonalért. A Természettudományi karról 150, a Gazadaságtudományi karról 165, az adminisztrációs egységekb½ol 85 telefonhívást kezdeményeznek óránként. Egy vonal 40 telefonhívást képes kezelni egy óra alatt. A csíkszeredai helyszín tehát összesen 10 vonalat bérel. Hogyan osszák meg a bérleti díjat az egységek között? 32. Egy 800 eurós összegre hárman jogosultak: az els½o 150, a második 400, a harmadik 500 euróra. Mivel a teljes összeg nem elég a követelések teljesítésére a Shapley-érték segítségével osszuk szét igazságosan a 800 eurós összeget a jogosultak között.
El½orejelzési modellek 33. Egy italboltban egyszer½u exponenciális simítás ( = 2) módszerével becsülték a havi söreladási adatokat. Az áprilisi kereslet ismeretében májusra 4000 doboz az el½orejelzett kereslet. a.
Mi lesz a júliusra vonatkozó el½orejelzésünk május elején?
9
b. A májusi, valamint a júniusi tényleges kereslet a következ½o volt: május 4500 doboz sör, június 3500 doboz sör. A júniusi kereslet ismeretében mi lesz a júliusi keresletre az el½orejelzésünk? = 4000: Ez megegyezik a májusi, c. A május ésjúniusi kereslet havi átlaga 4500+3500 2 illetve júniusi adatok ismerete el½ott tett havi el½orejelzések értékével. Mégis, a májusi és a júniusi adatok meg…gyelése után a júliusra vonatkozó el½orejelzésünk kisebb, mint amit április végén jeleztünk el½ore. Miért? 34. A GNP el½orejelzéshez Winter módszert és havi adatokat használunk (minden adat milliárd euroban van megadva): 1999 január végén Lt = 600 és Tt = 5: A következ½o szezonindexeket ismerjük: január 0:8; február 0:85; december 1:2: 1999 februárjában a GNP a 630 szinten van. Mi lesz február végén az 1999 decemberére vonatkozó GNP el½orejelzése, ha = = = 0:5. 35. Csíkszereda népességének alakulását az alábbi táblázat mutatja: 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
Összes nemzetiség Magyar Román Cigány 42029 34241 7827 501 41678 33910 7255 513 41360 33608 7228 524 41091 33347 7208 536 40878 33130 7199 549 40626 32882 7182 562 40405 32663 7168 574 40153 32418 7148 587 39891 32165 7126 600
Holt módszerét használva készítsél el½orejelzést az elkövetkez½o 10 évre. Határozd meg a legjobb és értékeket és a trendet. Hogyan változik a százalékos eloszlás? 36. A General Motors részvényeinek hozamát, valamint a Standard and Poor’s piaci indexének hozamát az 1960 és 1970 között az alábbi táblázat tartalmazza:
Év 1961 1962 1963 1964 1965 1966 1967 1968 1969 1970
General Motors Standard and Poor’s részvényeinek index hozama hozama 12% 21% 2% -3% 38% 15% 26% 20% 18% 12% -10% 0% 0% 10% 9% 10% -2% 2% -1% -15%
Lineáris regressziót használva vizsgáld meg a kapcsolatot a két hozam között. Legyen X a General Motors részvényeinek hozam, és Y a Standard and Poor’s piaci indexének 10
hozama. Van-e szigni…káns a = 0:05 hatása a két indexnek egymásra. A General Motors indexének varianciája a Standard and Poor’s indexe szorásának hány százalékát magyarázza? Abban az évben, amelyben a General Motors indexe 15%-al n½o, hány százalákkal n½o a Standard and Poor’s indexe? 37. Egy termék eladási mennyiségét tartalmazza az alábbi táblázat: x 0 1 2 3 4 5 6 7 8
y 100 130 170 200 260 300 305 330 380
Ahol x a hónapot és y a darabszámot jelöli. Tesztelje a H0 : 1 = 0 hipotézist a H : = 0:05 mellett! Értelmezze az eredményt. Találja meg az x és y 1 6= 0 ellenében közötti korrelációt. A 7: és 8: értékek közül valamelyik kiugró érték-e? Ha a jelenlegi trend folytatódik, meközelít½oleg mi a valószín½usége, hogy 10 hónapban több mint 470 terméket értékesítnek? (Megj. StdErr( 1 ) = 1:76) 38. Az AEA bruttó nemzeti jövedelmének (GNP) alakulását 1975-1984 között az alábbi táblázat tartalmazza (millió dollárban) x=év y=GNP 1975 1060 1170 1976 1305 1977 1455 1978 1630 1979 1980 1800 1981 2000 1982 2220 1983 2450 1984 2730 a. Ábrázolja az x =évek számát 1974 után és a GNP-t, majd fogalmazza meg, miként illesztene egy olyan görbét a pontokra, amely megbecsüli a GNP-t az elkövetkez½o évekre. b. Miután transzformált adatokra kész a regresszió, határozzuk meg a korrelációt és készítsünk el½orejelzést az 1985 és 1986-os évekre.
11
Markov-láncok, sorbanállási feladatok 39. A vev½ok három gyártól vásárolnak autót. Ha valamely vev½o legutoljára egy adott gyártól vásárolt gépkocsit, akkor a következ½o gépkocsi vásárlásának egyes gyártókénti valószín½usége az alábbi táblázat szerint alakul: Venni fog t½ole Utoljára vett t½ole 1. gyár 2. gyár 1. gyár 0.8 0.1 2. gyár 0.05 0.85 3. gyár 0.1 0.2
3. gyár 0.1 0.1 0.7
a. Ha valakinek jelenleg 1. típusú autója van, mennyi a valószín½usége, hogy a következ½o két autó közül legalább az egyik 1. típusú lesz.? b. Jelenleg az 1. gyártónak 5000$-ba kerül egy autó el½oállítása, és az átlag vev½o 8000$-t …zet egy autóért. Az 1. gyártó ötéves garancia bevezetését fontolgatja. Úgy ítélik meg, hogy az autónként 300$ többletköltséget jelent a számára, de a piackutatási jelentések szerint az átmenetvalószín½uségek a következ½oképpen fognak alakulni:
Utoljára vett t½ole 1. gyár 2. gyár 3. gyár
Venni fog t½ole 1. gyár 2. gyár 0.85 0.1 0.1 0.8 0.05 0.1
3. gyár 0.05 0.1 0.75
40. Egy tetsz½oleges hónap során a Cashco 0.5 valószín½uséggel 1000$ bevételhez fog jutni és 0.5 valószín½uséggel 1000$-t kell ki…zetnie. Ha a hónap végén 1000$ készpénz marad a Cashco kasszájában, akkor elveszett kamat formájában 15$ költség lép fel. Minden hónap elején a Cashco átrendezheti a készpénzállományát. A készpénzállomány átrendezése (amely lehet felfelé vagy lefelé történ½o módosítás), tranzakciónként 20$-ba kerül. A Cashco hónap végi pénztáregyenlege soha sem lehet negatív. A Cashco a következ½o készpénzkezelési stratégiákkal rendelkezik: 1. stratégia: ha a hónap elején a készpénzállomány 3000$, akkor a készpénzszintet azonnal 1000$-ra csökkenti. Ha a hónap elején a készpénzállomány 0$, akkor a kézpénzszintet fel kell tölteni 1000$-ra. 2. stratégia: ha a hónap elején a kézpénzszint 4000$, akkor a készpénzszintet 2000$ra kell csökkenteni. Ha a hónap elején a készpénzállomány 0$, akkor a pénztárat fel kell tölteni 2000$-ra. Melyik stratégia mellett lesz kisebb a várható havi költség ( a tranzakciós és feláldozott kamat-költség együttesen)? Minden hónapban a következ½o események történnek: a.
Meg…gyelik a kezd½o készpénzállományt.
b.
Ha szükséges, módosítják a készpénzkészletet.
c.
A készpénzkészlet megváltozik.
d.
Kiszámolják a feláldozott kamatköltséget. 12
41. Tegyük fel, hogy székelyföld lakossága három csoportba sorolható: gyermekek, feln½ottek és nyugdíjasok. A korfát tanulmányozva azt tapasztaljuk, hogy egy évben átlagosan a gyermekek 0.959-ed része gyermek marad, a gyermekek 0.04-ed része dolgozó feln½otté válik, és a gyermekek 0.001-ed része meghal. Egy tetsz½oleges év során a feln½ottek 0.96 része dolgozó feln½ott marad, a dolgozó feln½ottek 0.03-ad része nyugdíjba megy és a dolgozó feln½ottek 0.01-ed része meghal. Ugyanakkor a nyugdíjasok 0.95-öd része nyugdíjas marad és a nyugdíjasok 0.05-öd része meghal. Minden évben ezer gyermek születik. Határozzuk meg az egyensúlyi népességet. A nyugdíjasok évente átlagosan 800 lej nyugdíjt kapnak. A nyugdíjakat a dolgozók jövedelméb½ol …nanszírozzák. Mekkora összeggel kell minden dolgozónak hozzájárulni a nyugdíjalaphoz? 42. Tekintsünk két részvényt. Az els½o részvény ára mindig 10$ vagy 20$. Ha a részvény ára ma 10$, akkor 0.8 a valószín½usége annak, hogy holnap is 10$-ba fog kerülni. Ha ma 20$-ba kerül, akkor 0.9 az esély annak, hogy holnap is 20$-ba fog kerülni. A 2. részvény ára 10$ vagy 25$. Ha ma a második részvény ára 10$, akkor 0.9 a valószín½usége, hogy holnap is 10$-ba fog kerülni. Ha ma 25$, akkor 0.85 az esélye annak, hogy holnap is 25$ lesz. Átlagban melyik részvény lesz drágább? Határozzuk meg és értelmezzük az átlagos elérési id½oket. 43. A sarki kocsmában az óránként rendelt (korsó) sörök mennyisége Poisson eloszlást követ, óránként 40 korsó sör átlaggal. a. Határozzuk meg annak a valószín½uségét, hogy este 10 óra és éjfél között pontosan 70 sört rendelnek? b. Határozzuk meg a reggel 9 és délután 1 óra között rendelt sörök átlagát és szórását! c. Határozzuk meg annak valószín½uségét, hogy két egymást követ½o rendelés 1 és 3 perc között lesz! 44. A következ½o beérkezési id½oket …gyeltük meg (percben): 0.01, 0.07, 0.03, 0.08, 0.1, 0.05, 0.1, 0.11, 1.17, 1.5, 0.93, 0.54, 0.19, 0.22, 0.36, 0.27, 0.51, 0.11, 0.56, 0.72, 0.29, 0.04, 0.73. Ésszer½u-e ebben az esetben azt feltételezni, hogy ezek a meg…gyelések exponenciális eloszlásból származnak? 45. A buszok érkezései között eltelt id½o eloszlása az alábbi táblázatban megadott eloszlást követi. Mennyi az átlagos érkezési id½o? Buszok között eltelt id½o 30 perc 1 óra 2 óra
Valószín½uség 0.25 0.25 0.5
46. Átlagosan óránként 20 személy érkezik egy kiszolgálóhely ablakához. Tegyük fel, hogy az átlagos kiszolgálási id½o 4 perc, és hogy a beérkezési és kiszolgálási id½ok exponenciális eloszlásúak. Válaszoljuk meg a következ½o kérdéseket: a.
Milyen valószín½uséggel lesz szabad a kiszolgálóhely?
b.
Mennyi a kiszolgálásra váró személyek átlagos száma? 13
c.
Mennyi id½ot tölt egy átlagos ügyfél (a kiszolgálással együtt) a kiszolgálóhelyen.
d.
Átlagosan hány ügyfelet fognak kiszolgálni?
47. Egy fodrászatban, ahol egyetlen fodrász dolgozik, 12 ül½ohely van. A beérkezési id½ok exponenciális eloszlásúak, és átlagosan 20 potenciális ügyfél érkezik óránként a fodrászatba. Ha megérkezéskor a fodrászat tele van, az ügyfél távozik. A fodrász átlagosan 15 perc alatt vágja le az ügyfél haját. A hajvágási id½ok exponenciális eloszlásúak. a.
Átlagosan hány hajvágást végez el a fodrász óránként?
b. Átlagosan mennyi id½ot fognak az üzletbe belép½o ( és ott maradó) ügyfelek eltölteni? 48. Tegyük fel, hogy óránként 18 vev½o érkezik, és hogy a vev½oket átlagosan 4 perc alatt szolgálják ki. A beérkezési és kiszolgálási id½ok exponenciálisak, és a rendszert az M=M=s=GD=1=1 sorbanállási rendszerrel lehet modellezni. A pénztárak m½uködtetése 10 dollárba kerül óránként és a vev½ok által a pénztárnál eltöltött minden egyes perc 15 cent költséget jelent. Hány kasszát tartsanak nyitva? 49. Tegyük fel, hogy az M=M=7=F CF S=8=1 sorbanállási rendszerbe érkezünk, ahol minden kiszolgálóhely foglalt. Mi a valószín½usége annak, hogy a hétb½ol legalább egy ügyfélnél korábban befejez½odik a kiszolgálás? 50. Tegyük fel, hogy egy 5 orvossal m½uköd½o járóbetegeket ellátó kórház m½uködését ay M=E3=4=F CF S=1=1 sorbanállási rendszerrel lehet modellezni. Óránként 20 beteg érkezik. Minden orvos 4 beteget tud ellátni óránként. Erlang eloszlást alkalmazva válaszoljunk az alábbi kérdésekre: a.
Mi annak a valószín½usége, hogy legalább egy betegnek várnia kell az orvost?
b.
Átlagosan mennyi id½ot töltenek a betegek várakozással?
c.
Mennyi a kórházban lev½o betegek átlagos száma?
14
