KETAKSTABILAN PARAMETER DALAM REGRESI QUANTILE

KETAKSTABILAN PARAMETER DALAM REGRESI QUANTILE

TESIS

Oleh RUSLY SIAGIAN/MT 077021070

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

Rusly Siagian : Ketakstabilan Parameter Dalam Regresi Quantile, 2009 USU Repository © 2008

KETAKSTABILAN PARAMETER DALAM REGRESI QUANTILE

TESIS

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara

Oleh RUSLY SIAGIAN/MT 077021070

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009


Judul Tesis Nama Mahasiswa Nomor Pokok Program Studi

: : : :

KETAKSTABILAN PARAMETER DALAM REGRESI QUANTILE Rusly Siagian 077021070 Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc) Ketua

Ketua Program Studi

(Prof. Dr. Herman Mawengkang, M.Sc)

Tanggal lulus:


(Dr. Tulus, M.Si) Anggota

Direktur

(Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)

Telah diuji pada

PANITIA PENGUJI TESIS Ketua

:

Dr. Sutarman, M.Sc

Anggota

:

Dr. Tulus, M.Si Dr. Saib Suwilo, M.Sc Drs. Open Darnius , M.Sc


ABSTRAK Thesis ini menganalisis pengujian tingkah laku untuk perubahan struktur berdasarkan estimasi regresi quantile. Penelitian ini merupakan kasus perubahan estimasi pada konjungsi dengan distribusi bebas dan identik (iid) dan error yang tidak iid. Selanjutnya membandingkan hipotesis null dan alternatif pada model, dimana hipotesis null dalam keadaan stabil, ketika hipotesis alternatif mengijinkan koefisien regresi berubah pada respon. Pengujian menyebabkan peningkatan fungsi objektif dan kesalahan dari gambar ketika kendala yang tidak pengting dibuat. Sebagai contoh juga diajukan dengan data real yang berkorelasi serial dan mempelajari Monte Carlo untuk menghitung error yang tidak normal dan tidak iid, kemudian menganalisis tingkah laku pengujian. Kata kunci: uji rasio kemungkinan, regresi kuartil, ketangguhan, perubahan struktur

i Rusly Siagian : Ketakstabilan Parameter Dalam Regresi Quantile, 2009 USU Repository © 2008

ABSTRACT The paper analyzes the behavior of a test for structural break based on quantile regression estimates. It considers the case of an estimated break in conjunction with independent and identically distributed (i.i.d.) and non-i.i.d. errors. It compares the null and the alternative models, where the null imposes stability, while the alternative allows the regression coefficients to change in response to the break. The test relies on the increase of the objective function and the worsening of the fit when unnecessary constraints are imposed. An example with serially correlated real data and a Monte Carlo study taking into account non-normal and non-i.i.d. errors analyze the behavior of the test. Keyword: likelihood ratio test, quantile regression, robustnees, structural

ii Rusly Siagian : Ketakstabilan Parameter Dalam Regresi Quantile, 2009 USU Repository © 2008

KATA PENGANTAR Penulis mengucapkan puji syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat dan karuniaNya sehingga penulis tesis yang berjudul ”Ketakstabilan Parameter dalam Regresi Quantile” dapat dirampungkan. Tesis ini merupakan tugas akhir pada Sekolah Pascasarjana Program Studi Magister Matematika, Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada : Gubernus Sumatera Utara dan Kepala Bappeda Provinsi Sumatera Utara beserta stafnya yang telah memberikan beasiswa kepada penulis serta Kepala Dinas Pendidikan Kota Medan yang telah memberikan izin kepada penulis untuk mengikuti perkuliahan di Sekolah Pascasarjana Program Studi Magister Matematika, Universitas Sumatera Utara. Prof. Dr. Chairuddin P. Lubis, DTM&H, Sp. Ak. Selaku Rektor Universitas Sumatera Utara dan Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B, M.Sc selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera utara yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti perkuliahan pada Sekolah Pascasarjana pada Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara Medan. Prof. Dr. Herman Mawengkang, selaku Ketua Program Studi Matematika SPs USU yang dengan penuh kesabaran memotivasi dan membimbing penulis serta memberikan buku dan jurnal-jurnal yang berkaitan dengan penelitian yang penulis lakukan sehingga tesis ini dapat selesai. iii Rusly Siagian : Ketakstabilan Parameter Dalam Regresi Quantile, 2009 USU Repository © 2008

Dr. Sutarman, MSc, selaku pembimbing I yang dengan penuh kesabaran memotivasi dan membimbing penulis untuk penelitian yang penulis lakukan sehingga tesis ini dapat selesai. Dr. Tulus, MSi, selaku pembimbing II yang dengan penuh kesabaran memberikan dukungan moral, kritik dan saran sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini. Dr. Saib Suwilo, MSc, selaku pembanding dan Sekretaris Program Studi Matematika SPs USU dengan penuh kesabaran memberikan dukungan moral, kritik dan saran sehingga penulis dapar menyelesaikan tesis ini. Drs. Open Darnius, MSc selaku pembanding yang telah banyak memberikan saran, masukan dan arahan yang membangun terhadap kesempurnaan penulisan tesis ini. Seluruh staf Pengajar pada SPs USU yang dengan sungguh-sungguh telah berusaha memberikan ilmunya kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Seluruh Staf Administrasi SPs USU, teristimewa Sdri Misiani, S,Si dan Sdri Sri Rayani Tanjung, S.Si yang telah memberikan bantuan dan pelayanan yang baik kepada penulis. Rekan-rekan seperjuangan, mahasiswa angkatan ketiga, atas kerja sama, kebersamaan dan bantuannya dalam mengatasi berbagai masalah selama perkuliahan berlangsung. Secara khusus penulis ingin menyampaikan terima kasih dan saying yang

iv Rusly Siagian : Ketakstabilan Parameter Dalam Regresi Quantile, 2009 USU Repository © 2008

mendalam kepada suami tercinta Tupal Pangaribuan, SE dan ananda tersayang Junita Pangaribuan, Meri Pangaribuan dan Hasahatan Agung Parlinggoman Pangaribuan yang senantiasa mendoakan, mendorong dan melayani dengan penuh kasih, sabar serta memberikan pengorbanan yang tidak terbatas kepada penulis selama mengikuti perkuliahan. Pada kesempatan ini penulis menyampaikan terima kasih kepada seluruh Keluarga Besar SMA Negeri 15 Medan yang terus mendoakan dan memotivasi serta membantu penulis selama mengikuti pendidikan di SPs Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara, Medan. Semoga tesis ini bermanfaat bagi para pembaca dan pihak-pihak yang memerlukannya.

Medan, Mei 2009 Penulis,

Rusly Siagian

v Rusly Siagian : Ketakstabilan Parameter Dalam Regresi Quantile, 2009 USU Repository © 2008

RIWAYAT HIDUP Rusly Siagian, dilahirkan di Gomparsigombo Kabupaten Tobasa pada tanggal 15 Oktober 1964, merupakan anak ke tujuh dan sembilan orang bersaudara, putrid dari Alm. St. Ojak Siagian dan Torsi br. Hutagaol almarhumah. Menamatkan Pendidikan SD Negeri I Simare-mare pada tahun 1976, SMP Negeri XVII Kodya Medan pada tahun 1980 dan SMA Laboratory School IKIP Medan 1983, tahun 1984 diterima Kuliah di IKIP Medan Jurusan Matematika Program D3 dan menamatkan kuliah tahun 1988. Pada tanggal 30 Juni 1988 dengan nomor 03718/105/01/C1/88.3. menjadi Calon Pegawai Negeri Sipil (CPNS) di SMA Negeri Simamora Nabolak Siborong-borong Kabupaten Tapanuli Utara. Menjadi Pegawai Negeri Sipil (PNS) pada tahun 1990 dengan nomor 0310/15/C1/90.3. Tahun 1991 pindah tugas menjadi guru Negeri diperbantukan pada SMA Swasta Budi Luhur Medan. Penulis menikah pada tanggal 26 e September 1992

vi Rusly Siagian : Ketakstabilan Parameter Dalam Regresi Quantile, 2009 USU Repository © 2008

DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 Latar Belakang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 Perumusan Masalah . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.3 Tujuan Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.4 Kontribusi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

4

1.5 Metodologi Penelitian . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

BAB 3 LANDASAN TEORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.1 Metode Kuadrat Terkecil . . . . . . . . . . . . . . . . .

10

3.2 Ketakstabilan Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . .

15

BAB 4 KETAKSTABILAN PARAMETER DALAM REGRESI QUANTILE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.1 Regresi Quantile

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

4.2 Contoh Data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

29

4.3 Eksperimen Monte Carlo . . . . . . . . . . . . . . . . .

32

vii Rusly Siagian : Ketakstabilan Parameter Dalam Regresi Quantile, 2009 USU Repository © 2008

4.4 Hasil Simulasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

34

BAB 5 KESIMPULAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

42

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

43

viii Rusly Siagian : Ketakstabilan Parameter Dalam Regresi Quantile, 2009 USU Repository © 2008

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang Dalam regresi linear terdapat beberapa metode estimasi parameter. Satu diantaranya adalah Metode Kuadrat Terkecil. Metode ini paling sering digunakan karena mudah dalam perhitungan. Namun demikian, metode ini sangat dipengaruhi oleh kehadiran outlier. Outlier dapat menyebabkan hasil estimasi parameter menjadi tidak stabil. Outlier biasanya terjadi akibat kesalahan memasukkan data, kesalahan catatan atau transmisi, dan kesalahan penempatan dari titik desimal (Rousseeuw, 1987). Salah satu alat analisis statistik yang dapat menyelesaikan masalah tersebut adalah regresi quantile. Regresi quantile ini merupakan metode yang berguna sekali dalam mengestimasi parameter, metode ini tidak mudah terpengaruh oleh kehadiran outlier sehingga outlier menjauh dan tidak mengganggu kestabilan data yang diperoleh. Metode ini adalah alat yang penting untuk menganalisa data yang terkontaminasi oleh kehadiran outlier. Selain itu, metode ini dapat memberikan hasil yang tepat dan stabil pada kehadiran outlier serta dapat membatasi pengaruh dari outlier (Furno, 2007). Model yang stabil merupakan hal yang penting untuk prediksi dan inferens. Karena model parametrik secara lengkap menggambarkan parameternya. Model yang stabil sama dengan parameternya yang stabil. Model yang tidak stabil secara sederhana mungkin disebabkan oleh kelalaian variabel yang penting atau

1 Rusly Siagian : Ketakstabilan Parameter Dalam Regresi Quantile, 2009 USU Repository © 2008

2 beberapa jenis pertukaran (Hansen, 1992). Penelitian tentang regresi quantile telah difokuskan pada interpretabilitas dari estimasi regresi quantile berdasarkan spesifikasi yang salah dan pada pengujian prosedur untuk memeriksa spesifikasi yang benar dari persamaan yang diestimasi (Furno, 2007). Kim dan White (2003) mendefinisikan konsistensi estimator regresi quantile pada batasan klas dari model yang salah dispesifikasi, sehingga dipenuhi asumsi linearitas. Kim dan White juga mendefinisikan pengujian spesifikasi berdasarkan informasi persamaan matriks. Sebagai alternatif, pengujian spesifikasi dapat dibangun pada residual. Dalam hal ini, perbandingan antara model parametrik dan nonparametrik. Hal ini membutuhkan teknik smoothing untuk menghitung regresi quantile nonparametrik (Koenker dan Machado, 1999). Selanjutnya Angrist et al (2006) menunjukkan bahwa regresi quantile merupakan perkiraan linear terbaik untuk memilih quantile bersyarat pada masalah spesifikasi yang salah menggunakan fungsi kerugian kesalahan kuadrat rata-rata terboboti, hanya metode kuadrat terkecil yang menyediakan rata-rata kesalahan kuadrat terbaik dari perkiraan linear untuk rata-rata bersyarat berdasarkan spesifikasi yang salah. Kemudian, Angrist et al (2006) mendefinisikan distribusi asimptot dari estimator regresi quantile pada spesifikasi yang salah. Dikarenakan spesifikasi yang salah tersebut, tentunya pengujian prosedur tidak berdistribusi bebas, daerah kepercayaan dapat ditemukan dengan pengambilan sampel ulang melalui bootstrap. Pada implementasi yang empiris, dijelaskan aturan yang sangat menonjol untuk sinyal pada sruktur yang berubah. Regresi quantile mengestimasi pada quantile yang dipilih melebihi periode sampel yang berbeda dan perlu diperhatikan pada interval kepercayaan dari persamaan yang diestimasi tidak


3 lengkap dan tidak mempunyai daerah yang umum dan hal ini merupakan bukti dari struktur yang berubah. Sama halnya dengan Bai (1995) menyediakan konsistensi dari estimator regresi quantile dalam kehadiran struktur yang berubah, terkecuali pada masalah estimasi yang berubah untuk error yang independen dan identik maupun error yang tidak independen dan identik. Bai mengijinkan pengujian resmi untuk struktur yang berubah berdasarkan estimasi regresi quantile, dan mengembangkan aturan yang sangat menonjol terdiri dalam inspeksi secara grafik dari interval kepercayaan yang tidak lengkap. Kemudian menganalisis model dengan hipotesis nol dan alternatif. Hipotesis nol dalam keadaan stabil ketika hipotesis alternatif mengijinkan koefisien regresi berubah pada responnya. Berdasarkan hipotesis nol yang diestimasi hanya satu persamaan pada seluruh sampel. Berdasarkan hipotesis alternatif diestimasi dua persamaan yang berbeda yang satu sebelum mengalami perubahan dan yang satu setelah mengalami perubahan. Kemudian dibandingkan fungsi objektif berdasarkan hipotesis nol dan alternatif, dan pengujian menunjukkan peningkatan fungsi objektif serta membuat keadaan gambar menjadi lebih buruk ketika kendala tidak penting sudah ditentukan. Perkembangan dari pengujian untuk perubahan struktur pada regresi quantile menyediakan alat yang sangat fleksibel untuk menyelidiki tingkah laku dari model tidak hanya pada pusat distribusi bersyarat tetapi juga pada ekornya. Sehingga untuk menganalisis kehadiran dari perubahan bisa dilakukan lebih dari satu titik yaitu pembuktian jika perubahan mempunyai pengaruh yang konstan pada quantile atau jika perubahan tersebut berubah berdasarkan tingkatan yang dipilih dari variabel terikat. Mungkin timbulnya permasalahan terjadi pada pen-


4 garuh perubahan di pusat distribusi bersyarat membatalkan hak untuk pengaruh yang berlawanan dari perubahan pada ekor distribusi dan atau pada sub sampel dari model tanpa kendala. Selanjutnya regresi quantile yang tegar berkenaan dengan nilai yang ganjil pada variabel terikat diijinkan untuk menghilangkan berturut-turut outlier dan perubahan yang biasanya dianggap sendiri, sehingga mencegah kesimpulan yang tidak benar (Furno, 2007).

1.2 Perumusan Masalah Adapun permasalahan dalam penelitian ini adalah bagaimana tatacara mengestimasi ketakstabilan parameter dalam regresi quantile.

1.3 Tujuan Penelitian Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah untuk menganalisis tingkah laku dari pengujian pada perubahan struktur konjungsi dengan distribusi independen dan identik dan error yang tidak berdistribusi independen dan identik berdasarkan estimasi regresi quantile. Selanjutnya penelitian ini juga akan membandingkan hasil estimasi ini dengan metode kuadrat terkecil.

1.4 Kontribusi Penelitian Adapun kontribusi dalam penelitian ini adalah dapat membantu peneliti untuk menggunakan regresi quantile sebagai salah satu alternatif alat analisis yang bisa digunakan untuk mengestimasi ketakstabilan parameter yang disebabkan oleh perubahan struktur atau outlier.


5 1.5 Metodologi Penelitian Penelitian ini bersifat literatur dan dilakukan dengan mengumpulkan informasi dari referensi beberapa buku dan jurnal. Penelitian ini pada awalnya memperkenalkan tentang analisis regresi dengan metode kuadrat terkecil, dilanjutkan dengan regresi quantile dan ketakstabilan parameter. Kemudian akan dijelaskan ketakstabilan parameter dalam regresi quantile yang disertai contoh kasus. Lalu akan diperlihatkan perbandingan hasil antara metode kuadrat terkecil dengan regresi quantile dan pengambilan kesimpulan.


BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Referensi pengujian pada perubahan struktur berdasarkan metode kuadrat terkecil banyak telah diteliti, diantaranya adalah Huskova dan Picek (2005) mempresentasikan pengujian perubahan struktur berubah berdasarkan bootsrap estimator M. Pendekatannya tidak meluas sampai ke regresi quantile. Gagliardini et al (2005) mendiskusikan pengujian ketegaran dari perubahan struktur yang asimptotnya ekivalen dengan uji Wald, perkalian Lagrange dan Likelihood ratio tetapi tidak memfokuskan pada regresi quantile. Furno (2006) mendefinisikan pengujian resmi terhadap perubahan struktur dengan menggunakan regresi quantile. Dengan implementasi pengujian yang berulang-ulang maka akan dapat mengontrol kestabilan keduanya terhadap waktu dan berkenaan dengan variabel bebasnya pada persamaan pendidikan, sehingga dapat dicari penjelasan yang mendalam dari perubahan. Ditemukan bahwa ketika model kembali ke pendidikan di Italy lebih dari satu persamaan, dengan membagi sampel dalam kategori jenis kelamin dan daerahnya. Ternyata estimasinya menjadi lebih stabil, secara khusus regresi menggambarkan gaji wanita. Jenis kelamin dan daerah memisahkan kenaikan dari perubahan masalah koefisien. Adapun model regresi linear standar adalah sebagai berikut: Yt = Xt β + εt dimana Yt adalah variabel terikat, Xt adalah matriks untuk k variabel bebas dan εt adalah residu yang bebas dan identik mempunyai fungsi kepadatan sangat positif dan kontinu pada median dalam ukuran sampel n. Pengujian perubahan struktur berdasarkan estimasi metode kuadrat terkecil (Chow, 1960) didefinisikan 6 Rusly Siagian : Ketakstabilan Parameter Dalam Regresi Quantile, 2009 USU Repository © 2008

7 sebagai berikut: C=

˜−u ˆ0u ˆ]/d1 [˜ u0 u u ˆ0u ˆ/d2

(2.1)

Bentuk u ˜u ˜ adalah jumlah kuadrat residu dari model dengan kendala, yang menentukan stabilitas dari koefisien regresi dengan pengestimasian model pada seluruh sampel. Bentuk u û ˆ adalah jumlah kuadrat residu dari model tanpa kendala, dan mengijinkan fleksibelitas pada koefisien regresi. Supaya perubahan terjadi pada koefisien yang diestimasi, maka sampel dibagi menjadi dua sub sampel yaitu sebelum dan sesudah perubahan. u û ˆ adalah jumlah kuadrat residu dari P P u ˆ2t + u ˆ2t , dan model dihitung pada tiap-tiap dua sub sampel, u û ˆ= t=1,...,n1

t=n1 +1,...,n

merepresentasikan estimasi fungsi objektif dari model tanpa kendala, dimana n1 adalah titik perubahan yang dipilih. Derajat kebebasan pada derajat pembilang diberikan dengan jumlah kendala yaitu d1 = k, berdasarkan hipotesis nol yang ditentukan stabilitas pada k koefisien yang diestimasi. Pada derajat penyebut maka derajat kebebasannya adalah d2 = n2k, karena diestimasi dua regresi yang berbeda pada dua sub sampel, untuk pembuktian jika koefisien merubah sampel terhadap kehadiran dari struktur yang berubah. Ketika jumlah kuadrat residu dari model dengan kendala berkembang, maka hipotesis nol dari struktur yang tidak berubah ditolak. Fungsi C pada persamaan (2.1) didistribusikan sebagai distribusi Fd1 ,d2 berdasarkan asumsi dari error yang berdistribusi nornal, bebas dan identik. Godfrey dan Orme (2000) menganalisis tingkah laku dari uji F terhadap kehadiran distribusi error dan tidak normal. Ditemukan bahwa fungsi C merupakan fungsi ukuran kecil dengan error berdistribusi uniform dan merupakan fungsi ukuran besar dengan error distribusi t-student, log normal dan khi kuadrat. Andrew


8 (2003) menyelidiki tingkah laku dari uji F dengan error yang dikorelasikan berurut. Ditemukan bahwa korelasi berurutan menyebabkan uji F sangat menolak hipotesis nol, kecuali dengan error yang berdistribusi normal Untuk mencegah asumsi distribusi diajukan regresi quantil dengan pengujian C 1 sebagai berikut: [V˜ (b(θ)) − Vˆ (b(θ))]/d1 C1 = = Vˆ (b(θ))/d2

!

V˜ (b(θ)) −1 Vˆ (b(θ))

d2 d1

(2.2)

Derajat pembilangnya adalah perbedaaan antara fungsi objektif regresi quantile dengan kendala dan tanpa kendala, disesuaikan dengan jumlah kendala. Derajat penyebut merupakan estimasi fungsi objektif regresi quantile untuk model tanpa kendala, disesuaikan dengan derajat kebebasannya. Fungsi objektif dari estimator regresi quantile untuk pemilihan quantile θ diberikan sebagai berikut P P : V (b(θ)) = yt >xt b θ|yt − xtb|+ yt <xt b (1 − θ)|yt − xt b|. Ketika θ = 0, 5 fungsi P objektifnya menyederhanakan ke dalam V (b(0, 5)) = |yt − xt b|, dan merupakan hitungan dari median regresi bersyarat atau aabsolut deviasi terkecil. Koenker dan Bassett (1982) serta Koenker dan Machado (1999) menurunkan asimptot distribusi dari pengujian likelihood ratio untuk restriksi pengeluaran dalam regresi quantile, LR1 , dengan definisi asimptot perkiraan kuadratik sebagai berikut: Wn (δ, θ) = (λ2 ω(θ))−1 [Vn (δ, (θ)) − Vn (0, (θ))] − [1/2δ 0 Dδ − λ−1 δ 0gn ]

(2.3)

√ n(b(θ) − β(θ))/ω(θ), λ2 = θ(1 − θ), ω(θ) = 1/f (θ) adalah skala P parameter pada quantile yang dipilih, gn = n−1/2 xt(θ − I(εt < 0)), dan D = Dimana δ =

lim n−1 X 0 X. Dengan Lemma 3.1 pada Gutenbrunner et al (1993) berdasarkan kondisi beraturan, maka sup |Wn (δ, θ)| → 0 dan LR1 = 2(λ2 ω(θ))−1 [V˜ (δ, (θ)) − Vˆ (δ, (θ))] = (δ˜0Dδ˜ − 2λ−1 δ˜0 gn ) (2.4) −(δˆ0Dδˆ − 2λ−1 δˆ0gn ) + op (1)


9 Persamaan (2.4) merupakan asimptot distribusi ξq2 berdasarkan hipotesis nol, dan bukan pusat dari distribusi ξq2 berdasarkan hipotesis alternatif, dimana q merupakan jumlah koefisien yang dikeluarkan. Kemudian ditulis kembali C 1 dalam bentuk LR1 sebagai berikut: C1 =

[V˜ (δ(θ)) − Vˆ (δ(θ))]/d1 (1/2)LR1 λ2 ω(θ)/d1 = Vˆ (δ(θ))/d2 Vˆ (δ(θ))/d2

(2.5)

Pada persamaan (2.5) derajat pembilangnya didistribusikan sebagai ξq2 oleh persamaan (2.4). Derajat penyebutnya merupakan fungsi objektif dari model tanpa kendala, untuk perkiraan asimptot pada persamaan (2.3) adalah sah. Ini mengimˆ −1 δˆ0gn ] merupakan plikasikan bahwa (λ2 ω(θ))−1 [Vˆn (δ(θ))−Vˆn (0(θ))] = [1/2δˆ0 Dδ−λ asimptot dari distribusi khi kuadrat. Sehingga C 1 yang diberikan oleh rasio dua distribusi khi kuadrat yang bebas, dan secara asimptot didistribusikan sebagai Fd1 ,d2 .


BAB 3 LANDASAN TEORI

3.1 Metode Kuadrat Terkecil Analisis regresi berganda digunakan untuk tes hipotesis tentang hubungan antara variabel terikat Y dengan dua atau lebih variabel bebas X. Model regresi berganda adalah: Yi = Xi1 β1 + Xi2 β2 + ... + Xip βp + ei

untuk i = 1, . . . , n

dalam bentuk matriks, persamaan diatas ditulis sebagai berikut: Y = Xβ + e dengan:

Y adalah vektor n × 1 dari variabel terikat X adalah matriks n × p dari penduga β adalah vektor p × 1 dari koefisien regresi e adalah vektor n × 1 dari error

Sehingga matriksnya adalah:    x Y1 x · · · x1p   11 12      Y2   x21 x22 · · · x2p     . = . .. .. ..  .   . . . .  .   .    xn1 xn2 · · · xnp Yn

        

β1 β2 .. . βp





        +      

e1 e2 .. . en

        


11 Dengan kolom pertama dari X adalah 1, vektor (xTi , Yi ) adalah baris xTi ke-i dari X dan elemen ke-i dari Y , dan variabel penduga x1, x2 , . . . , xp adalah variabel yang digunakan untuk menduga variabel terikat y. Pada model normal regresi linier berganda ditambahkan asumsi bahwa ei adalah iid N (0, σ 2 ) dengan mean E(ei) = 0 dan varians var(ei ) = σ 2, untuk i = 1, 2, . . . , n sehingga regresi harus mengestimasi parameter β dan σ 2. Untuk mengestimasi parameter β dan var(ei ) maka digunakan Metode Kuadrat Terkecil. Metode ini berfungsi meminimumkan kriteria kuadrat terkecil Q(b), sehingga bentuknya dapat ditulis sebagai berikut: min QLS (β) β

dengan QLS (β) =

n P

e2i untuk i = 1, 2, . . . , n

i=1

Persamaan normal Regresi Linier Bergandanya yaitu: X T Xb = X T Y

Sehingga estimator kuadrat terkecilnya adalah: βˆ = b = X T X

−1

XT Y

adapun variabel penduga Yˆ dalam bentuk vektor menjadi: Yˆ = Xb = HY dengan −1 T X . Sehingga entri ke-i dari Yˆ adalah nilai yang matriks hatnya H = X X T X diduga ke-i, Yî = b1 Xi1 + b2 Xi2 + . . . + bp Xip

untuk i = 1, 2, . . . , n

dan residual ke-i nya adalah: ei = Yi − Yî

untuk i = 1, 2, . . . , n


12 Dalam bentuk notasi matriks, residualnya dapat ditulis sebagai berikut: e = (IH)Y

Dalam Regresi Linier Berganda, SSE (Sum Square of Error) nya yaitu: n X

Yi − Yî

i=1

2

=

n X

e2i

untuk i = 1, 2, . . . , n

i=1

dan MSE (Mean Square Error) = σ 2 =

SSE , n−p

dengan MSE merupakan unbias

estimator dari error varians sehingga v u n u 1 X t e2 untuk i = 1, 2, ..., n σ= n − p i=1 i Contoh: Dua variabel bebas X1i dan X2i dengan variabel terikat Yi yaitu Yi = b0 +b1 X1i +b2 X2i +ei , estimasi parameter kuadrat terkecil biasa dapat diperoleh deP P P (Yi − Yî )2 = (Yi − ˆb0 − ˆb1 X1i − ˆb2X2i )2 . ngan meminimumkan Sum Square Error, e2i = P Persamaan normalnya dapat diperoleh dengan menurunkan e2i terhadap ˆb0 , ˆb1, ˆb2: ∂(Yi − ˆb0 − ˆb1X1i − ˆb2 X2i )2 ∂e2i = =0 ∂ˆb0 ∂ˆb0 X −2 (Yi − ˆb0 − ˆb1 X1i − ˆb2X2i ) = 0 X X X X1i + ˆb2 X2i Yi = nˆb0 + ˆb1

(3.1)

∂(Yi − ˆb0 − ˆb1X1i − ˆb2 X2i )2 ∂e2i = =0 ∂ˆb1 ∂ˆb1 X −2X1i (Yi − ˆb0 − ˆb1 X1i − ˆb2X2i ) = 0 X X X X 2 + ˆb2 X1i + ˆb1 X1i X1i X2i X1i Yi = ˆb0

(3.2)


13

∂e2i ∂(Yi − ˆb0 − ˆb1X1i − ˆb2 X2i )2 = =0 ∂ˆb2 ∂ˆb2 X −2X2i (Yi − ˆb0 − ˆb1 X1i − ˆb2X2i ) = 0 X X X X 2 X2i + ˆb1 X1i X2i + ˆb2 X2i X2i Yi = ˆb0

(3.3)

ˆb1 dan ˆb2 dapat diperoleh dengan penyelesaian simultan: ˆb1 = ˆb2 =

P

P P P X1 Y )( X22 )−( X2 Y )( X1 X2 ) P 2 P 2 P ( X1 )( X2 )−( X1 X2 )2 P P P P ( X2 Y )( X12 )−( X1 Y )( X1 X2 ) P 2 P 2 P ( X1 )( X2 )−( X1 X2 )2 (

ˆb0 = Y¯ − ˆb1X ¯ 1 − ˆb2 X ¯2

Notasi matriks dapat membantu menyelesaikan persamaan regresi jika variabel bebasnya besar yaitu: Y = Xb + e dengan: 

   ˆb =      Sˆb =



x x12 · · · x1p  11     x21 x22 · · · x2p Y2    , X= . .. .. ..  ..  .  . . . .   .   xn1 xn2 · · · xnp Yn  ˆb0   ˆb1   = (X T X)−1 X T Y ..   .   ˆbp

    Y =    



Y1

eT e (X T X)−1 n−k

e = Y − X ˆb






        , b =       

b0 b1 .. . bp





        , e =       

e1 e2 .. . en

        

14 Untuk meningkatkan kesederhanaan Metode Kuadrat Terkecil, maka diperlukan standart kuantitas sebagai berikut:

1. Untuk test signifikan pada parameter bj maka diasumsikan ei adalah bebas pada distribusi normal dengan mean sama dengan 0 dan varians sama dengan σ 2 , sehingga: tj =

ˆbj − bj , j = 1, 2, ..., p Sˆbj

mempunyai distribusi student dengan np derajat kebebasan, maka interval kepercayaan untuk bj adalah: ˆ ˆbj − t , j = 1, 2, ..., p 1 Sˆ , b + t 1 Sˆ (n−p),(1− α) bj j (n−p),(1− α) bj 2

2

jika H0 : bj = 0 H1 : bj 6= 0 Nilai ttabel > thitung, H0 ditolak maka koefisien regresi signifikan ke H1 . 2. Nilai p Jika p < 0, 05 maka koefisien regresi akan signifikan pada level 5 3. Untuk mengetahui hubungan antara variabel terikat dan variabel bebas diperlukan koefisien determinasi (R2 ), koefisien determinasi didefinisikan sebagai proporsi dari varians P 2pada Y yang dapat diterangkan oleh X: SSE e = 1 − P i2 , tanpa konstanta untuk i = 1, 2, ..., n R2 = 1 − SST yi P 2 SSE ei 2 R =1− =1−P , dengan konstanta untuk i = 1, 2, ..., n SSTm (yi − y¯)2 1X Y¯ = yi , untuk i = 1, 2, ..., n n dengan : SSE = Sum Square Error


15 SST = Sum Square Total SSTm = Sum Square Total Corrected for The Mean Hipotesis untuk R2 yaitu: Jika H0 : R2 = 0 H1 : R2 6= 0

4. Uji F untuk signifikan menyeluruhP : R2/ yî2/ (p − 1) (p − 1) =P 2 , untuk i = 1, 2, ..., n F(p−1),(n−p) = 2 (1 − R )/ ei/ (n − p) (n − p) (SSTm − SSE)/ (p − 1) = SSE/ (n − p) Jika Fhitung > Ftabel pada level signifikan dan derajat kebebasan sehingga H0 ditolak, maka hipotesis menerima parameter regresi yang tidak sama dengan nol. Maka R2 signifikan ke tidak nol. Formula F yang terdapat kostanta adalah sebagai berikut: Fp,(n−p)

R2/ p = = (1 − R2 )/ (n − p)

(SST − SSE)/ p SSE/ (n − p)

3.2 Ketakstabilan Parameter Model yang stabil merupakan hal yang penting untuk prediksi dan inferens. Karena model parametrik secara lengkap menggambarkan parameternya. Model yang stabil sama dengan parameternya yang stabil. Model yang tidak stabil secara sederhana mungkin disebabkan oleh kelalaian variabel yang penting atau beberapa jenis pertukaran (Hansen, 1992). Umumnya ketika model tidak stabil akan sulit menginterpretasikan hasil regresi. Model yang tidak stabil juga meru-


16 pakan kepentingan khusus dalam kebijakan analisis untuk mengetahui jika model adalah tidak beragam untuk memungkinkan gangguan kebijakan. Engle et al. (1983) memasukkan ke parameter gangguan tidak beragam dalam definisi dari super exogeneity, kondisinya adalah argumentasi yang diperlukan prasyarat untuk input kebijakan percobaan, diperlukan kondisi untuk super exogeneity dengan kekonstanan parameter sampel. Karena kebutuhan akan parameter yang baik dengan model yang stabil, telah banyak literatur yang telah dikembangkan untuk menguji kestabilan parameter ini. Jumlah dan jenisnya dari prosedur ini sangat mengejutkan akan tetapi sayangnya semua pengujian tidak sama kebanyakan dikembangkan dari kriteria ad hoc yang kurang baik. Idealnya, harus ada ujian yang dikenal luas dan memiliki kekuatan maksimal terhadap alternatif yang menarik untuk semua tes yang ukuran sama (Hansen, 1992). Dalam prakteknya, jarang ada tes ideal. Teori Asimptotik mungkin diperlukan untuk perkiraan distribusi null, dan perbandingan kekuatan langsung mungkin mustahil. Salah satu potensi masalah dengan model regresi time series adalah perkiraan parameter yang dapat berubah dari waktu ke waktu. Bentuk model kesalahan spesifikasi, parameter yang tidak konstan mungkin terdapat konsekuensi jika terdeteksi. Oleh sebab itu banyak mengaplikasikan ekonometri secara rutin mengaplikasikan pengujian untuk perubahan parameter. Pengujian yang paling umum adalah uji sampel split atau pengujian Chow (Chow, 1960). Ini adalah tes sederhana untuk diterapkan, dan distribusi teori yang dikembangkan dengan baik dan perlu menentukan priori dari waktu (satu kali) perubahan struktural yang terjadi di bawah alternatif. Sulit untuk melihat bagaima-


17 na setiap pilihan yang tidak acak dapat dilakukan secara independen dari data. Dalam prakteknya, pemilihan yang baik breakpoint yang dipilih dengan peristiwa atau setelah plot time series telah diperiksa. Hal ini menunjukkan bahwa titik break yang dipilih bergantung pada data yang kritis dan nilai-nilai konvensional itu tidak valid. Sehingga dapat disimpulkan bahwa pengaruhnya dapat menyesatkan (Hansen, 1992). Alternatif pengujian prosedur yang diajukan oleh Quandt (1960), yang disarankan menentukan alternatif hipotesa sebagai satu struktural break dari waktu yang tidak diketahui. Kesulitan dengan tes Quandt adalah teori distribusi yang tidak diketahui sampai sekarang. Teori distributi untuk uji statistik ini berlaku untuk regressor terikat yang disajikan mandiri oleh Andrews (1990), Chu (1989), dan Hansen (1990). Chu juga menganggap hal yang sederhana dari trend waktu linear. Pengujian yang lain dibangun dalam literatur statistik yang menentukan koefisien di bawah sebagai alternatif hipotesa acak berjalan. Hasil pekerjaan tidak menganggap model dengan regressor yang terikat. Artikel tersebut melakukan perluasan. Pengujian statistik yang disebutkan sebelumnya diperiksa dalam konteks cointegrasi regresi, sehingga sepenuhnya menggunakan metode perkiraan yang dimodifikasi dari Phillips dan Hansen (1990). The asymptotik distribusi dari pengujian statistik tergantung pada proses stochastik menjelaskan regressor. Muncul sebagai kesimpulan yang penting perlu untuk mengetahui proses stochastik regressor sebelum dapat menerapkan tes. Hansen (1990) dijelaskan umum untuk menguji teori ketidakstabilan parameter dalam model ekonometrik. Pengujian statistik dapat diturunkan sebagai uji


18 pengali Langrange dengan benar dikhususkan masalah likelihood. Dalam bagian ini, dijelaskan pengujian statistik dalam konteks sepenuhnya dimodifikasi perkiraan dari model regresi yang diintegrasikan. Berikut persamaan model regresi berganda yang terintegrasi yaitu (Hansen, 1992): yt = Axt + u1t, t = 1, 2, ..., n

(3.4)

persamaan (3.4) dapat dimodifikasi untuk memasukkan parameter ketidakstabilan oleh A yang tergantung pada waktu sebagai berikut: yt = Atxt + ut .

(3.5)

untuk semua uji, hipotesis nul merupakan koefisien At dalam (3.5) adalah konstan meskipun pengujian berbeda dalam perlakuan dari hipotesis alternatif. Pengujian pertama, dua model At merupakan perubahan struktur tunggal pada waktu t, dimana 1 < t < n: Ai = A1, i 6 t = A2, i > t. hipotesis nul nya adalah H0 : A1 = A2. Untuk pengujian pertama, perubahan struktur didasarkan pada hipotesis alternatif H1 : A1 6= A2 dengan t diketahui, dengan uji statistik sebagai berikut: ˆ 1.2 ⊗ Vnt )−1 vec(Snt ) Fnt = vec(Snt )(Ω n o ˆ −1 = tr Snt V −1 Snt Ω nt


1.2

19 dimana Snt =

t X

sî

i=1 −1 Vnt = Mnt Mnt Mnn Mnt

Mnt =

t X

xi xi

i=1

Pengujian kedua, waktu terhadap perubahan struktur dinyatakan tidak diketahui : H2 : A1 6= A2 , [t/n] ∈ =, dimana = merupakan subhimpunan yang kompak dari (0,1) dan [·] dinotasikan sebagai bagian integer, pengujian statistik ini adalah sebagai berikut (Hansen, 1992): SupF = sup Fnt t/n∈=

pengujian model ketiga dan keempat parameter At sebagai proses At = At1 + εt ; E(εt |=t−1) = 0, E(εt εt ) = δ 2Gt . Dalam konteks ini, hipotesis nul dapat ditulis sebagai kendala dengan varians perbedaannya adalah nol, H0 : δ 2 = 0, dan ˆ 1·2 ⊗ Vnt )−1 ; t/n ∈ = dengan hipotesis alternatifnya adalah H3 : δ 2 > 0, Gt = (Ω uji statistiknya adalah: MeanF =

1 X Fnt, n∗

dimana n∗ =

t/n∈=

X

1

t/n∈=

ˆ 1·2 ⊗ Mnn )−1 dengan hipotesis alternatif terakhir adalah: H4 : δ 2 > 0, Gt = (Ω uji statistiknya adalah: (

−1 Lc = tr Mnn

n X

ˆ −1 S 0 St Ω 1·2 t

)

t=1

Uji Fnt (t tetap) dihitung secara sederhana sesuai dengan uji Chow atau uji sampel split. Pengujian ini sama perhitungannya dengan estimasi A1 dan A2 pada dua subsampel dan pengujian ini sama dengan uji Wald menggunakan estimasi


20 varians untuk estimasi sampel yang penuh. Hal ini mudah dilihat jika terdapat kasus yang khusus dari estimasi kuadrat terkecil untuk persamaan tunggal (m1 = 1), sehingga −1 Snt Mnt

=

t X

xi x0i

1

=

t X 1

xi x0i

!−1 !−1

t X

xi u î

1 t X

xi yi −

1

t X

xi x0i

!−1

1

t X

ˆ = Aˆt − Aˆ xi x0i A

1

Sehingga nilai dari bagian pertama sampel dievaluasi pada estimasi dari sampel penuh, proporsional terhadap perbedaan antara estimasi yang hanya diperoleh dari bagian pertama sampel dan sampel penuh adalah proporsional untuk perbedaan antara estimasi yang diperoleh dari bagian pertama sampel dan sampel penuh. Berdasarkan statistik Fnt adalah ekuivalen terhadap statistik Wald yang ˆ Perbedaannya hanya berdasarkan merupakan tes ekuivalennya dari Aˆt dan A. pemilihan estimasi varians. Hal ini diketahui bahwa Statistik Wald adalah ekuivalen secara aljabar terhadap statistik Chow klasik, yang berdasarkan perbedaan antara estimasi yang mengandung dua sub sampel. Sebagai contoh, lihat Snow dan Im (1991). Teori distribusi dibentuk untuk tes ini (Chi-Squared asimtotik) adalah hanya valid ketika t dapat dipilih secara bebas dari sampel. Hal ini asumsi terbatas pada prakteknya dan mungkin akan valid hanya ketika t dipilih dengan cara bebas, seperti t = n/2. Pada kejadian ini, tes mungkin memiliki kekuatan rendah melawan banyak alternatif lainnya yang lebih menarik. Tes SupF berdasarkan Quandt (1960). Beberapa hasil penelitian tentang teori distribusi pada konteks berbeda yakni Andrews (1990), Chu (1989) dan Hansen (1990). Kesulitannya hanya pada implementasi pemilihan daerah =. Ber-


21 dasarkan Anderson dan Darling (1952) dan hasil lain Andrews (1990), daerah = harus tidak termasuk pada nilai 0 dan 1; untuk lainnya tes statistik akan divergen ke tak hingga. Pendapat lain yang dianjurkan oleh Andrews adalah pemilihan = = [.15, .85]. Walaupun pendekatannya beralasan, pemilihan elemen tersebut terbatas hanya dalam tes ini. Tes statistik MeanF diturunkan dari perbedaan struktur hipotesis tetapi dapat dilihat untuk lebih sederhana dari rata-rata tes Fnt. Walaupun pada prinsipnya rata-rata dapat memuat semua nilai τ yang mana Fnt dapat dihitung, pada prakteknya beberapa kondisi akan dibutuhkan (sejak Fnt tidak dapat didefinisikan terhadap semua t). Keterbatasan ini berhubungan dengan tes SupF yang tidak lengkap dihitung. Tes Lc telah memiliki sejarah panjang pada teori statistik, walaupun hal ini belum sepenuhnya dimengerti sampai saat ini. Tes ini diperkenalkan oleh Gardner (1969) sebagai tes Bayes untuk perubahan struktur. Selanjutnya kebebasannya diperkenalkan oleh Pagan dan Tanaka (1981), Nyblom dan Makelainen (1983) dan King (1987). Pekerjaan ini semuanya berkosentrasi terhadap tes untuk koefisien tunggal pada model regresi linier Gauss. Teori distribusi untuk sampel yang lebih besar diperkenalkan pertama kali oleh Nyblom dan Makelainen (1983), Nabeya dan Tanaka (1988) dan Leybourne dan McCabe (1989). Teori yang lebih baik untuk maksimum Likelihood ditunjukkan oleh Nyblom (1989) dan telah diperluas terhadap estimator ekonometrik secara umum oleh Hansen (1990). Hal yang menguntungkan adalah lebih mudah menghitung tes Lc daripada tes SupF dan MeanF untuk semua bentuk keterbatasan. Ketiga tes diatas yakni tes SupF, MeanF dan Lc adalah tes yang sama untuk


22 hipotesis nol tetapi berbeda pada pemilihannya untuk hipotesis alternatif. Pada prakteknya, semua uji ini akan memiliki kekuatan kearah yang sama, sehingga pemilihan boleh dibuat pada kekuatan perhitungan bahwa Lc lebih mudah untuk dihitung. Tetapi untuk uji statistik yang tepat pada sebagian aplikasi harus juga tergantung pada tujuan pengujiannya. Jika akan ditentukan adalah dimana daerah layang-layang, maka uji SupF lebih tepat. Disisi lain, jika salah satu penyederhanaan dari uji ada atau tidak model spesifik adalah model yang baik dari pengambilan hubungan yang stabil, parameter yang dipilih adalah model tak stabil untuk waktu yang lama. Jika variasi parameter likelihood adalah relatif stabil pada contoh, maka uji Lc yang paling cocok digunakan.


BAB 4 KETAKSTABILAN PARAMETER DALAM REGRESI QUANTILE

4.1 Regresi Quantile Bentuk quantile sinonim dengan persentil, median merupakan salah satu ukuran statistik yang paling terbaik dari quantile. Diketahui bahwa median sampel dapat didefinisikan sebagai nilai tengah (atau separuh nilai diantara dua nilai tengah) dari himpunan data yang terurut. Sebagai contoh median sampel membagi data menjadi dua bagian dengan jumlah titik data yang sama. Biasanya median sampel merupakan estimator dari median populasi m. Jumlah dalam distribusi dibagi ke dalam dua bagian jika variabel acak Y dapat diukur populasi maka P (Y 6 m) = P (Y > m) = 12 . Secara khusus, untuk variabel acak kontinu m merupakan solusi untuk persamaan F (m) =

1 , 2

dimana F (y) = P (Y ≤ y)

merupakan distribusi kumulatif (Yu et al, 2003). Lebih umumnya, 25% dan 75% quantile sampel dapat didefinisikan sebagai nilai yang membagi data dalam proporsi seperempat dan tigaperempat. Sehingga dalam masalah kontinu populasi quantile terendah dan quantil tertinggi yang merupakan solusi untuk persamaan F (y) =

1 4

dan F (y) = 34 . Umumnya, untuk

proporsi p dimana (0 < p < 1) dan dalam masalah kontinu adalah quantile 100p% (sama dengan persentil ke-p 100% dari F yang merupakan nilai y pada penyelesaian F (y) = p, diasumsikan bahwa nilai tersebut tunggal. Diberikan contoh kasus secara umum, yaitu mempelajari pertumbuhan anak dimana akan menimbulkan ketertarikan untuk mengetahui posisi dari anak yang


24 khusus dengan distribusi tinggi anak dilihat berdasarkan umurnya. Quantile tertinggi dan terendah untuk distribusi bersyarat variabel tinggi Y dan variabel umur X dapat ditemukan dengan menyelesaikan F (y|x) = p, dimana F (y|x) = P (Y ≤ y|X = x). Jelaslah bahwa perluasan beberapa covariat mungkin terjadi, berikut merupakan proses dari regresi standart ke regresi quantile: Regresi digunakan untuk melihat pengaruh hubungan antara variabel terikat dengan beberapa variabel kovariat. Regresi standart merupakan salah satu metode statistika terkenal dengan model regresinya adalah (Yu et al, 2003): Y = xT β + ε

(4.1)

dimana x = (1, x)T , β = (β0, βi)T . Parameter vektor β biasanya diestimasi melalui fungsi loss quadratik r(u) = u2 sebagai contoh diberikan himpunan data pengamatan {xi , y1}ni=1 , penaksiran dibentuk dengan meminimumkan : n X

r(yi −

xTi β)

=

i=1

n X

(yi − xTi β)2

i=1

berdasarkan β. Regresi kuadrat terkecil dihubungkan dengan estimasi dari ekspektasi bersyarat yaitu E(Y |X = x) mengakibatkan ekspektasi bersyarat ini merupakan nilai θ yang meminimumkan ekspektasi fungsi loss kuadrat E[(Y − P θ)2 |X = x] dan ni=1 r(yi − xTi β) merupakan estimasi sampel (Yu et al, 2003). Sama halnya, regresi median mengestimasi median bersyarat dari Y diberikan X = x dan digunakan untuk meminimumkan E[|Y − θ||X = x) berdasarkan θ kemudian diasosiasikan peda fungsi loss |u| sehingga ρ0,5(u) = 0, 5|u|. Estimasi P tersebut menghasilkan dengan meminimumkan ni=1 ρ0,5 (yi − xTi β) berdasarkan β. Selanjutnya dapat ditulis kembali ρ0,5(u) sebagai ρ0,5(u) = 0, 5uI[0,∞)(u) −


25   1

u∈A

yang merupakan indikator lainnya fungsi dari himpunan A. Definisi ini dapat digeneralisasikan dengan menggan-

(1 − 0, 5)uI(−∞,0) (u), dimana IA (u) =

 0

ti 0,5 dengan p diperoleh karakteristik dari 100% p regresi quantil yaitu qp(x) pada x sebagai nilai θ sehingga meminimumkan E[ρp(Y − θ)|X = x], dimana ρp (u) = puI[0,∞)(u) − (1 − p)uI(−∞,0)(u) dan disebut fungsi pemeriksaan. Regresi quantile pertama kali diperkenalkan oleh Koenker dan Bassett (1978) melihat dan memperluas ide estimasi fungsi quantile bersyarat. Model dengan quantile berdistribusi bersyarat dari variabel terikatnya diekspresikan sebagai fungsi covariat yang diamati. Quantile dapat dioperasikan dengan penyusunan atau pengurutan sampel pengamatan sehingga lebih mudah menentukan letaknya dan dapat mendefinisikan quantile melalui alternatif yang sederhana sebagai masalah optimisasi. Seperti halnya dapat didefinisikan rata-rata sampel sebagai solusi untuk masalah meminimumkan jumlah kuadrat residu, dapat mendefinisikan median sebagai solusi untuk masalah meminimumkan jumlah absolut residu. Simetri dari nilai fungsi absolut linier mengimplikasikan bahwa minimum jumlah absolut residu harus sama dengan jumlah residu yang positif dan negatif, sehingga menjamin bahwa terdapat jumlah pengamatan yang sama di atas dan di bawah median (Koenker dan Hallock, 2001). Karena simetri nilai absolut menghasilkan median, diharapkan dengan meminimumkan jumlah residu absolut terboboti yang tidak simetri, secara sederhana memberikan perbedaan bobot untuk residu positif dan negatif akan menghasilkan quantile. Untuk masalah ini dapat diselesaikan dengan min ξ∈<

X

ρτ (yi − ξ),


(4.2)

26 dimana fungsi ρx (·) merupakan nilai fungsi absolut yang terlihat pada Gambar 4.1 (Roger and Kevin 2001) yang menghasilkan sampel quantile ke-τ sebagai solusinya.

Gambar 4.1 : Fungsi ρ pada Regresi Quantile

Untuk mendefinisikan quantile bersyarat dalam sebuah analogi, regresi kuadrat terkecil menawarkan sebuah model, jika dipresentasikan dengan sampel acak {y1, y2 , ..., yn}, diselesaikan: min µ∈<

n X

(yi − µ)2 ,

i=1

maka diperoleh rata-rata sampel yang merupakan pengestimasian dari rata-rata populasi tidak bersyarat EY . Jika ditukar skalar µ dengan fungsi parametrik µ(x, β) dan diselesaikan, min

β∈
n X

(yi − µ(xi , β))2,

i=1

diperoleh pengestimasian dari fungsi ekspektasi bersyarat E(Y |x). Dalam regresi quantile, dihasilkan dengan cara yang sama. Untuk memperoleh estimasi fungsi median bersyarat, secara sederhana mengganti skalar ξ dalam persamaan 3.5 dengan fungsi parametrik ξ(xi , β) dan τ = . varians dari ide ini ditujukan pada pertengahan abad 19 oleh Boscovich dan diinvestigasi di-


27 antaranya oleh Laplace dan Edgeworth. Untuk memperoleh estimasi fungsi quantile bersyarat lainnya, dilakukan dengan mengganti nilai ρx (·) dan diselesaikan: min

β∈
X

ρτ (yi − ξ(xi , β)).

menghasilkan minimum problem, ketika ξ(x, β) diformulasikan sebagai fungsi linier dari parameter maka dapat diselesaikan sangat efesien dengan metode program linier (Koenker dan Hallock, 2001). Kurva Engel Quantile Untuk mengilustrasikan ide dasarnya, akan diperkenalkan kembali aplikasi empiris klasik pada ekonomi, Analisis Engel (1857) adalah hubungan antara pengeluaran belanja makanan rumah tangga dan pendapatan rumah tangga. Pada Gambar 3, dibentuk plot dari data Engel yang diperoleh dari 235 rumah tangga kelas pekerja. Berturut-turut semakin keatas plot adalah tujuh estimasi garis regresi quantile yang berhubungan dengan quantile {0.05, 0.1, 0.25, 0.5, 0.75, 0.9, 0.95}. Median τ = 0.5 ditunjukkan oleh garis tebal; estimasi kuadrat terkecil dari fungsi mean kondisional adalah plot dengan garis putus-putus. Plot secara jelas menyatakan tendensi dari dispersi pengeluaran belanja makan untuk meningkat sejalan dengan peningkatan pendapatan rumah tangga. Jarak antara garis regresi quantile juga meningkat yang distribusi kondisional dari pengeluaran belanja makanan adalah condong ke arah kiri: jarak panah pada quantile atas mengindikasikan kepadatan tinggi dan ekor bagian atas yang pendek serta jarak yang luas pada quantile bawah mengindikasikan kepadatan rendah dan ekor bawah yang rendah.

(Gambar ini diambil dari Ernst Engels (1857) Study of the dependence of


28

Gambar 4.2 : Kurva Engel untuk Makanan households food expenditure on household income)

Median dan rata-rata kondisional menjadikannya sungguh berbeda pada contoh ini, kenyataan bahwa penjelasan lain dengan kepadatan kondisional asimetri dan bagian lain dengan efek kuat yang digunakan pada estimasi kuadrat terkecil oleh dua point kurang berguna yang pendapatan tinggi dan pengeluaran belanja makanan rendah. Catatan bahwa salah satu hasil dari ketidaktegaran adalah hasil kuadrat terkecil memberikan lebih sedikit estimasi dari rata-rata kondisional untuk rumah tangga yang miskin pada contoh. Garis putus-putus dari kuadrat terkecil berada diatas semua observasi pendapatan sangat rendah. Alasan yang ditemukan pada notasi kesalahan yang terdapat pada beberapa regresi quantile dapat dicapai oleh segmen variabel respon terhadap himpunan bagiannya berdasarkan distribusi ketidak kondisionalnya dan melakukan kecocokan pada kuadrat terkecil pada bagian ini. Bentuk dari pemotongan variabel terikat ini akan menghasilkan hasil buruk pada contoh mendatang. Secara umum, strategi tersebut akan salah untuk semua alasan yang diambil secara hati-hati dari pekerjaan pemilihan sample Hekmans (1979). Secara berbeda pengambilan sample terhadap bagian yang didefinisikan berdasarkan kovariat kondisional adalah selalu pilihan yang valid. Selanjutnya, fitting


29 lokal yang demikian merupakan pendekatan regresi quantile nonparametrik. Pada banyak kasus yang ekstrim, diperoleh sel jarak p berdasarkan pengaturan berbeda dari vektor kovariat, x, dan regresi quantile secara sederhanan darpat dihitung dari quantile univariat untuk tiap selnya. Pada kasus menengah, boleh berharap untuk proyek sel ini diestimasi dari model linier; lihat Chamberlain (1994) dan Knight, Bassett dan Tam (2000) untuk contoh pendekatan ini. Variasi lain adalah sugesti yang berdasarkan estimasi model quantile kondisional linier. Dapat diperoleh estimasi ini dari respon biner untuk peluang yang variabel respon melebihi beberapa nilai potongnya. Pendekatan ini menggantikan hipotesis dari fungsi quantile kondisional yang linier pada parameter dengan hipotesis dari beberapa transformasi dari variasi probabilistik yang dipilih terpotong, yakni regresi logistik yang dapat diperlihatkan sebagai fungsi linier dalam observasi kovariat.

4.2 Contoh Data Pada bagian ini kita menganalisis himpunan data nyata, dimana kurs spot pada pengiriman adalah fungsi nilai tukar maju, untuk memberikan perkiraan efisiensi pasar. Deret waktu yang diambil dari data mingguan adalah dari Januari 1975 hingga Desember 1989. Variabel terikat dari regresi adalah log dari kurs spot 30 hari ke depan kontrak pada pemberian tanda nilai tukar dolar. Variabel bebas diberikan oleh log dari 30 hari ke depan tandai-nilai tukar dolar. Ide dari persamaan ini adalah untuk mengukur apa yang terjadi 30 hari ke depan dari perubahan kurs mengacu pada ramalan yang sama. Di bawah hipotesis dari rasionalitas dan risiko netralitas, teori ekonomi menyatakan bahwa nilai maju adalah ramalan optimal untuk masa depan dari harga spot. Persamaan diambil dari Hayashi (2000) yang merupakan contoh dari perawatan korelasi serial dan


30 kasus dengan C lebih banyak menolak hipotesis nol (Andrews, 2003). Selanjutnya dipilih untuk verifikasi berdasarkan uji structural dengan data real non-i.i.d. Selanjutnya dianalisa log dari data asli, tanpa memperdulikan korelasi serial, dan dipilih setengah sampel pada Mei 1981. Selanjutnya diterapkan regresi quantile didasarkan pada uji masing-masing quartile θ = 0, 25, θ = 0, 50 dan θ = 0, 75. Tabel 4.1 memperlihatkan perkiraan pada koefisien seluruh sampel, pada subsampel tahun 1975-81, dan pada kedua sub-sampel tahun 1981-89. Perhitungan mean kondisional, yang berarti Metode Kuadrat Terkecil pada kuartil pertama, kedua dan ketiga. Gambar 4.3 memperlihatkan koefisien slope Metode Kuadrat Terkecil segitiga kecil untuk estimasi pada sampel ini; kotak kecil untuk estimasi sub-sampel pertama dan berlian kecil untuk hasil sub-sampel kedua. Pada gambar hasil regresi quantile diperlihatkan oleh garis yang rusak yang menghubungkan segitiga besar, kotak besar dan berlian besar, untuk estimasi berdasarkan perhitungan quartile atas sampel tersebut yakni sub sampel 1 dan 2. Grafiknya kelihatan menyolok. Hal ini menunjukkan performance dari estimasi regresi quantile pada sub sampel sangat berbeda dari koefisien yang sama sebelumnya yang dihitung pada sampel ini. Selanjutnya, ketika koefisien estimasi pada tiga periode adalah sangat tertutup terhadap quantile pertama yang lainnya, yang merupakan berbeda pada median dan kuartil atas. Pada bagian lain, dua sub sampel pada model yang tak ditentukan adalah koefisien slope menurun pada pedia dan meningkat pada quantile atas, yang mana untuk estimasi slope atas sampel ini. Hal ini meningkat pada median dan menurun pada quantile atas. Selanjutnya analisis pada sub sampel menyatakan perbedaan dari estimasi pada sampel ini: akibatnya untuk kurs maju adalah lebih besar dari nilai sub sampel, ketika lebih besar pada median yang diambil dari nilai sampel


31 ini. Perbedaan dinamis berdasarkan kuantil dan sub sampel tidak dapat dianalisis dengan Metode Kuadrat Terkecil dan hal ini merupakan kasus yang salah pada inferensi. Ketika implementasi uji pada perubahan struktur diperoleh hasilnya 1 1 1 = 5.01; C0.5 = 4.21; C0.75 = 9.32. Nilai ini mengikuti adalah COLS = 1.03; C0.25

untuk menolak hipotesis nol pada semua uji berdasarkan regresi quantile, tetapi tidak pada uji berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil. Pada contoh ini rata-rata dan median memberikan nilai estimasi terkecil pada pengujian, tetapi ketika uji dihitung pada median adalah lebih besar untuk menolak hipotesis noll, hal ini bukan kasus dengan estimasi Metode Kuadrat Terkecil. Pada Gambar 4.3, dua garis rusak pada kedua sub periode memiliki bentuk yang sama, bergantung pada jarak dari model kendala garis dengan segitiga dan memimpin untuk menolak hipotesis noll pada analisis regresi quantile. Sebaliknya, estimasi Metode Kuadrat Terkecil pada contoh ini, segitiga kecil, merupakan posisi menengah antara estimasi Metode Kuadrat Terkecil pada dua sub sampel, selanjutnya merupakan keputusan stabil pada koefisien. Posisi intermediate segitiga kecil akan memperkecil jarak antara kendala Metode Kuadrat Terkecil dan estimasi tidak berkendala dan uji berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil tidak menolak hipotesis nol. Pada contoh ini efek keseimbangan pada quartile dengan efek keseimbangan antara kendala dan estimasi tidak kendala memimpin uji berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil untuk membuat keputusan yang salah.


32

Tabel 4.1 : Tanda Nilai Tukar Dollar

Gambar 4.3 : Grafik Tanda Nilai Tukar Dollar

4.3 Eksperimen Monte Carlo Akan dianalisis sampel dari 106 pengamatan. Model ini adalah yt =

P

xitβi

i=1,k

+εt dengan k = 5 sebagai variabel penjelas: konstanta x1t = 1; x2t digambar dari log-normal dengan ln (x3t) ∼ N (3, 1); x3t = 0.9x3t1 + η3t ; x4t = 0.6x3t1 + η4t ; x5t = 0.3x5t1 +η5t dengan η3t , η4t dan η5t menjadi standar normal bebas. Tanpa kehilangan bentuk umumnya, koefisien regresi dibentuk semuanya sama dengan 1. Error adalah i.i.d dengan himpunan pertama eksperimen, dari normal standar; studentt dengan tiga derajat kebebasan, t3; uniform U ; chi square dengan dua derajat kebebasan, χ22; log-normal, Λ. Pada bentuk ini distribusi error terkontaminasi normal dengan 5


33 Untuk model struktural yang dihentikan, dibentuk koefisien regresi β1 = 1, untuk i = 2, 3, 4, 5 dari awal sampel terhadap pengamatan n1 = 40 dan 0 lainnya. Eksperimen sama adalah diulang untuk point penghentian yang berbeda, n1 = 80 dan n1 = 100. Hal ini untuk memeriksa performance dari pengujian ketika berhenti pada saat awal, di tengah atau tertutup pada akhir dari sampel. Pada grup eksperimen ini dianalisis model yang secara spesifik sebbelum dihentikan nantinya pada nilai parameternya. Model kendala adalah diestimasi atas sampel ini, n = 106. Hasilnya akan dibandingkan dengan model tak berkendala, yang mana jumlah dari kuadrat residu adalah sama dari persamaan yang diestimasi dalam dua sub sampel berbeda sebelum dan sesudah titik break n1 . Derajat kebebasan adalah d1 = k = 6, d2 = n−2k = 94. Pada eksperimen ini diasumsikan bahwa break akan diberikan pada titik yang diketahui dan benar. Pada himpunan eksperimen yang berbeda, dilihat pengujian ketika dimana struktur break pada koefisien regresi dan error adalah distribusi tidak bebas dan tidak identik. Korelasi serial didefinisikan sebagai εt = ρεt−1 + at dan ρ = 0.8 merupakan error korelasi tertinggi. Penemuan at adalah normal standar bebas pada εt. Selanjutnya dilihat uji untuk struktural break dan error heteroskedastisitas kondisional, denagn varians bergantung pada nilai sebelumnya. Error regresi 2 + at dengan α = 0.8 dan at menjadi diberikan oleh εt = σt ηt dan σt2 = ασt1

normal standar bebas dari ηt. Selanjutnya, berdasarkan kasus perubahan koefisien regresi pada konjungsi dengan error heteroskedasitas, model shift skala lokasi. Error didefinisikan sebagai εt = σtηt , σt = |γzt + at | dengan γ = 0.8 dan zt digambarkan dari distribusi


34 uniform. Nilai at adalah bebas terhadap ηt dan diberikan oleh N(0, 1) untuk n = 1, . . . , n1 dan N (0, 92 ) untuk n = n1 + 1, . . . , 106. Selanjutnya dipilih titik break n1 = 80 dan n1 = 100. Dibawah alternatif berdasarkan jenis break. Pada himpunan pertama dari model eksperimen dibawah alternatif setelah break diberikan oleh , ketika himpunan kedua dari eksperimen setelah break kembali kepada error normal standar dan yt = 1 + ηt . Perbedaan dari pola heteroskedasitas setelah adanya break. Ketika model pertama varians memiliki lompatan dan selanjutnya meningkat, pada model kedua bersifat konstan setelah break. Akhirnya, ditentukan model skala shift, dengan koefisien regresi tidak berubah tetapi heteroskedasitas melompat setelah break. Untuk setiap eksperimen diimplementasikan terhadap 1000 duplikat. Diperlihatkan jumlah dari kuadrat residu untuk Metode Kuadrat Terkecil dan regresi quantile. Prosedur estimasi terakhir menghasilkan pertambahan. Dapat diimplementasikan dari uji pada quantile yang berbeda, akan diperlihatkan hasil dari pengujian fungsi selama pergerakan dari quantile pertama hingga ketiga, melewati media. Selanjutnya, walaupun hal ini tidak menghasilkan model spesifik pada eksperimen ini, hal ini boleh menjadi kasus dari efek struktural break persamaan hanya pada beberapa quantile. Selanjutnya diimplementasikan pengujian pada quantile θ = 0.25, θ = 0.50 dan θ = 0.75. Analisis lanjutan untuk quantile akan dibutuhkan pada pemilihan dari grid yang baik untuk θ.

4.4 Hasil Simulasi Tabel 4.2 memperlihatkan penolakan kurs untuk evaluasi ukuran dari uji F ketika asumsi break point adalah sebagai awalnya, pusat atau tertutup pada akhir sampel dan error regresi adalah i.i.d. Bagian kirinya adalah tabel yang melaporkan


35 ukuran dari uji yang mengimplementasikan quantile berbeda θ = 0.25, θ = 0.50 dan θ = 0.75 untuk n1 = 40 pada kolom tiga pertama, untuk n1 = 80 dalam kolom keempat hingga enam dan untuk n1 = 100 pada kolom tujuh hingga sembilan. Bagian kanannya adalah tabel yang melaporkan hasil untuk uji berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil. Pada hipotesis nol, break point bergerak hingga akhir pada sampel, mengakibatkan tidak normal pada uji berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil yang lebih besar, menghasilkan peningkatan atas penolakan terhadap kasus distribusi t3, Λ dan χ22, yang menghasilkan penurunan penolakan pada eksperimen dengan error uniform, yang dapat dilihat pada tiga kolom terakhir dari tabel ini. Hasil dari uji berdasarkan quantile adalah dalam hal waktu, sebagiannya pada median θ = 0.5. Ukuran secara umum meningkat pada quantile atas. Bagaimanapun juga, pengujian berdasarkan regresi quantile tidak pernah menolak hipotesis nol yang benar. Kekuatan uji F untuk eksperimen ini tidak dilaporkan sejak eksperimen menghasilkan hasil yang bagus ketika Metode Kuadrat Terkecil dan regresi quantile, dengan semua distribusi error diperoleh. Pada Tabel 4.3 diperoleh kasus dari struktur break dengan error korelasi serial, εt = ρεt−1 + at dengan ρ = 0.8, untuk break point n1 = 80 pada satu himpunan eksperimen, dan n1 = 100 pada himpunan kedua eksperimen. Pada tabel ini uji berdasarkan quantile memiliki penolakan kurs tertutup terhadap nilai nominal, ketika uji berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil menyatakan ukuran atas penolakan ketika asumsi break point tertutup terhadap akhir dari sampel. Korelasi serial ini memiliki penolakan atas problema Metode Kuadrat Terkecil. Pengujian berdasarkan regresi quantile tidak berpengaruh terhadap korelasi serial dan tidak


36 pernah menolak hipotesis nol. Walaupun himpunan eksperimen ini bukan problema. Pengujian memiliki kekuatan yang bagus ketika berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil atau regresi quantile, walapun dalam quantile yang dipilih, dengan asumsi break point berada pada tengah atau akhir sampel. Tabel 4.4 menampilkan hasil untuk error heteroskedasitas kondisional, εt = 2 + at , α = 0.8. Uji F berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil atas σt ηt , σt2 = ασt−1

penolakan hipotesis nol adalah paling banyak pada eksperimen, ketika n1 = 80 dan n1 = 100. Pengujian berdasarkan regresi quantile atas penolakan hanya pada satu kasus di quantile atas. Sekali lagi kekuatan bukan problema dan tidak perlu dilaporkan. Tabel 4.5 merupakan ukuran dari uji F untuk model shift skala lokasi pada konjungsi dengan error heteroskedasitas tidak kondisional, εt = σt ηt, σt = ˜ . Pada pengujian berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil |γzt + at| , γ = 0.8, ztU atas penolakan pada semua eksperimen untuk n1 = 80 dan n1 = 100. Pada regresi quantile, terdapat hanya dua atas penolakan pada quantile atas. Selanjutnya untuk melihat kekuatan pada pengujian, pada Tabel 4.6, untuk n1 = 100, dipilih dua cara berbeda untuk model struktur break. Pada himpunan pertama eksperimen, setelah break model diberikan oleh (a) yt = 1 + σtηt pada kolom 2-7, 11, 12, ketika perbedaan dari kelompok eksperimen, kolom 8-10, 13, model setelah break adalah (b) yt = 1+ηt . Pada eksperimen terakhir, setelah break error mengikuti distribusi standar normal dan menjadi homokesdasitas. Pada bentuk grup lainnya, varians akan berlanjut menjadi peningkatan pola setelah melompat pada break. Uji F untuk model (a) yt = 1 + σt ηt , menghasilkan kekuatan lebih dari model (b) pada


37 beberapa eksperimen. Bagaimanapun juga, penolakan kurs adalah lebih lambat dan terdapat kehilangan kekuatan secara umum, seabgain ketika n1 = 100. Hasil untuk eksperimen skala shift tidak dilaporkan sejak diinformasikan bahwa penemuan dari dua tabel sebelumnya. Uji F berdasarkan Metode Kuadrat Terkecil atas penolakan hipotesis nol yang benar pada semua eksperimen dan terdapat kehilangan kekuatan secara general pada kedua Metode Kuadrat Terkecil dan uji berdasarkan quantile. Akhirnya, Gambar 4.4 memperlihatkan distribusi empirik dari uji Metode Kuadrat Terkecil dan LAD, dibawah hipotesis nol dan alternatif, untuk error i.i.d, atas 1000 duplikat, ketika Gambar 4.5 memperlihatkan distribusi empirik dari uji F ketika error adalah korelasi serial. Gambar ini menunjukkan kasus dari struktur break yang spesifik secara benar, dengan model atas parameter setelah break, untuk break point tertutup pada akhir dari sampel, n1 = 100. Setiap gambar menunjukkan hipotesis nol dan alternatif yang dihitung 1 . Chowq pada gambar. Ketika error adalah pada C, chow pada gambar, dan C0.5

i.i.d, gambar menunjukkan bagaimana C atas penolakan hipotesis nol pada ka1 pada eksperimen ini menghasilkan diskriminasi sus t3, χ22 dan Λ, ketika uji C0.5 1 dengan berhubungan lebih baik antara H0 dan H1. Keuntungan lebih besar C0.5

terhadap Metode Kuadrat Terkecil dapat dilihat pada Gambar 4.5, dengan atas penolakan C berdasarkan setiap dari pemilihan distribusi error.


38

Tabel 4.2 : Ukuran Pengujian dengan iid error

Tabel 4.3 : Ukuran Pengujian dengan Error Korelasi Serial, εt = ρεt−1 + at, ρ = 0, 8

2 Tabel 4.4 : Ukuran Pengujian dengan Error ARCH(1), ε1 = σt ηt , σt2 = ασt−1 + at , α = 0, 8


39

Tabel 4.5 : Ukuran Pengujian dengan Error Heteroskedastisitas, εt = σt ηt , σt = |γZt + at|, γ = 0, 8 lokasi dan skala pertukaran model

Tabel 4.6 : Kekuatan Pengujian dengan Error Heteroskedasitas, γ = 0, 8 Lokasi dan Skala Pertukaran Model


40

Gambar 4.4 : Distribusi Empiris Uji F untuk Perubahan Struktur n1=100 dan Pengulangan 1000 kali Statistical Modelling 2007; (4): 345 - 362


41

Gambar 4.5 : Distribusi Empiris Uji F untuk Perubahan Struktur dengan Error Korelasi Serial, ρ = 0, 8, n1 = 100, dan pengulangan 1000 kali Statistical Modelling 2007; (4): 345 - 362 Rusly Siagian : Ketakstabilan Parameter Dalam Regresi Quantile, 2009 USU Repository © 2008

BAB 5 KESIMPULAN

Uji berbasis regresi quantile memperhatikan statistik uji pada quantile yang berbeda-beda. Jadi memberikan kesempatan untuk memeriksa eksistensi keretakan struktural bukan hanya di pusat distribusi bersyarat, tetapi juga quantile atas dan bawah sehingga memberi kesempatan untuk mengontrol dampak keretakan struktural pada model yang dianalisa berubah antara quantile- quantile, sehingga hasil lebih stabil dari OLS (metode kuadrat terkecil).


DAFTAR PUSTAKA Anderson, T. W., and Darling, D. A., 1952, Asymptotic Theory of Certain ’Goodness of Fit’ Criteria Based on Stochastic Pro- cesses, The Annals of Mathematical Statistics, 23, 193-212. Andrew D., 2003, End-of-sample instability tests, Econometrica, 71: 1661-1694. Andrews, D. W. K., 1990, Tests for Parameter Instability and Structural Change With Unknown Change Point, Discussion Paper 943, Yale University, Cowles Foundation for Research in Economics. Angrist J., Chernozhukov V dan Fernandez-Val I, 2006, Quantile regression under misspecification, with an application to the U.S. wage structure, Econometrica, 74: 539-563. Bai J., 1995, Least absolute deviation estimation of a shift. Econometric Theory, 11: 403-436. Chamberlain, Gary, 1994, Quantile Regres- sion, Censoring and the Structure of Wages, in Advances in Econometrics, Christopher Sims, ed. NewYork: Elsevier, pp. 171-209. Chow G., 1960, Test of equality between sets of coefficients in two linear regressions, Econometrica, 28: 591-605. Chu, C.-S. J., 1989, New Tests for Parameter Constancy in Sta- tionary and Nonstationary Regression Models, unpublished manuscript, University of California at San Diego, Dept. of Economics. Engel, Ernst., 1857, Die Produktions- und Konsumptionverhaltnisse des Konigreichs Sach- sen.” Reprinted in ”Die Lebenkosten Belgischer Arbeiter-Familien Fruher und Jetzt. Interna- tional Statistical Institute Bulletin. 9, pp. 1-125. Furno, M., 2006, Quantile regression and structural changes in the italian wage equation, Department of economics University of Cassino. Furno, M., 2007, Parameter Instability in Quantile Regressions, Statistical Modelling, 7(4) : 345-362. Gagliardini P., Trojani F., dan Urga G., 2005, Robust GMM tests for structural breaks, Journal of econometrics, 129: 139-182. Gardner, L. A., Jr., 1969, On Detecting Changes in the Mean of Normal Variates, The Annals of Mathematical Statistics, 40, 116- 126 Godfrey L dan Orme C., 2000, Controlling the significance levels of prediction error tests for linear regression models, Econometrics Journal, 3: 66-83. Gutenbrunner C., Jureckova J., Koenker R dan Portnoy S., 1993, Tests of linear hypotheses based on regression rank scores. Journal of Nonparametric Statistics, 2: 307-331. 43 Rusly Siagian : Ketakstabilan Parameter Dalam Regresi Quantile, 2009 USU Repository © 2008

44 Hansen, B. E., 1990, Lagrange Multiplier Tests for Parameter Instability in Nonlinear Models, unpublished manuscript, Uni- versity of Rochester, Dept. of Economics. Hansen, B. E., 1992, Testing for Parameter Instability in Linear Models, Journal of Policy Modelling, 14(4): 517-533. Hansen, B. E., 1992, Tests for Parameter Instability in Regressions with I(1) Processes, Journal of Business & Economic Statistics, Vol. 10, No. 3, pp. 321-335 Published by: American Statistical Association. Hayashi F., 2000, Econometrics. Princeton: Princeton University Press. Heckman, James J., 1979, Sample Selection Bias as a Specification Error, Econometrica. Jan- uary, 47:1, pp. 153-61. Huskova M dan Picek J., 2005, Bootstrap in detection of changes in linear regression. Sankhya, 67: 200-226. Kim T dan White H., 2003, Estimation, inference and specification testing for possibly misspecified quantile regression. In Fomby T dan Hills RC eds, Maximum likelihood estimation of misspecified models: twenty years later. New York: Elsevier, 107-132. Knight, Keith, Gilbert Bassett and Mo-Yin S. Tam, 2000, Comparing Quantile Estimators for the Linear Model, Preprint. Koenker R and Bassett G., 1982, Tests of linear hypotheses and l1-estimation. Econometrica, 50: 1577-1583. Koenker R. and Hallock K. F., 2001, Quantile Regression, The Journal of Economic Perspectives, Vol. 15, No. 4, pp. 143-156 Published by: American Economic Association. Koenker R dan Machado J., 1999, Goodness of fit and related inference processes for quantile regression. Journal of the american statistical association, 94: 1296-1310. Leybourne, S. L., and McCabe, B. P. M., 1989, On the Distri- bution of Some Test Statistics for Coefficient Constancy, Bio- metrika, 76, 169-177. Nabeya, S., and Tanaka, K., 1988, Asymptotic Theory of a Test for the Constancy of Regression Coefficients Against the Random Walk Alternative, The Annals of Statistics, 16, 218-235. Nyblom, J., 1989, Testing for the Constancy of Parameters Over Time, Journal of the American Statistical Association, 84, 223- 230 Nyblom, J., and Makelainen, T., 1983, Comparisons of Tests for the Presence of Random Walk Coefficients in a Simple Linear Model, Journal of the American Statistical Association, 84, 856- 864.


45 Pagan, A. R., and Tanaka, K., 1981, A Further Test for Assessing the Stability of Regression Coefficients, unpublished manuscript. Quandt, R., 1960, Tests of the Hypothesis That a Linear Regres- sion System Obeys Two Separate Regimes, Journal of the Amer- ican Statistical Association, 55, 324-30. Rousseeuw, P. J. , and Leroy, A. M., 1987, Robust Regression and Outlier Detection, By John Wiley and Sons, Inc. Snow, M. S., and Im, E. I., 1991, The Equivalence of Two Test Statistics for Testing the Constancy of Regression Coefficients, Econometric Theory, 7, 419-420. Yu, et al., 2003, Quantile Regression: Applications and Current Research Areas, The Statistician, Vol. 52, No. 3, pp. 331-350, Published by: Blackwell Publishing for the Royal Statistical Society.


KETAKSTABILAN PARAMETER DALAM REGRESI QUANTILE

Recommend Documents