KEBIJAKAN PEMESANAN OPTIMAL UNTUK MASALAH PERSEDIAAN DENGAN KETERLAMBATAN INFORMASI DINAMIK

KEBIJAKAN PEMESANAN OPTIMAL UNTUK MASALAH PERSEDIAAN DENGAN KETERLAMBATAN INFORMASI DINAMIK

TESIS

Oleh ROSLINAWATI 077021069/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009

Roslinawati : Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Masalah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik, 2009

KEBIJAKAN PEMESANAN OPTIMAL UNTUK MASALAH PERSEDIAAN DENGAN KETERLAMBATAN INFORMASI DINAMIK

TESIS

Diajukan Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara

Oleh ROSLINAWATI 077021069/MT

SEKOLAH PASCASARJANA UNIVERSITAS SUMATERA UTARA MEDAN 2009


Judul Tesis

: KEBIJAKAN PEMESANAN OPTIMAL UNTUK MASALAH PERSEDIAAN DENGAN KETERLAMBATAN INFORMASI DINAMIK Nama Mahasiswa : Roslinawati Nomor Pokok : 077021069 Program Studi : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

( Dr. Tulus, M.Si) Ketua

Ketua Program Studi

(Prof. Dr. Herman Mawengkang)

(Dr. Saib Suwilo, M.Sc) Anggota

Direktur

(Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)

Tanggal lulus: 29 Mei 2009


Telah diuji pada Tanggal: 29 Mei 2009

PANITIA PENGUJI TESIS Ketua

: Dr. Tulus, M.Si

Anggota

: 1. Dr. Saib Suwilo, M.Sc 2. Prof.Dr. Opim Salim S, M.Sc 3. Drs. Marwan Harahap


ABSTRAK Keterlambatan informasi terjadi bila informasi persediaan terkini yang tersedia bagi Manager Presedia (MP) sudah usang. Dengan kata lain, hanya mengamati tingkat persediaan yang termasuk ke dalam perode sebelumnya. Situasi sedemikain bukan tidak umum bisa timbul bila dibutuhkan waktu untuk memproses data permintaan dan menyampaikan hasilnya kepada MP. Dengan dimasukkan keterlambatan informasi dinamik sebagai suatu proses Markov ke dalam masalah persediaan stokastik multiperiode standar dengan pemesan kembali. Dikembangkan konsep posisi persediaan rujukan. Ditunjukkan bahwa posisi ini bersamasama dengan tingkat keterlambatan yang diamati terakhir beserta usia pengamatan merupakan statistic cukup untuk penentuan kuantitas pesanan optimal. Lebih jauh lagi dipastikan bahwa kebijakan pemesanan optimal adalah tipe stok dasar tergantung keadaan yang dikaitkan dengan posisi persediaan rujukan (atau tipe(s, S), tergantung keadaan jika ada biaya pemesanan tetap). Optimalitas stok dasar dan tingkat (s, S) tergantung pada tingkat keterlambatan yang diamati terakhir dan usia pengamatan ini.

i Roslinawati : Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Masalah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik, 2009

ABSTRACT Information delays exist when the most recent inventory information available to the Inventory Manager (IM) is dated. In other words, the IM observes only the inventory level that belongs to an earlier period. Such situations are not uncommmon, and they arise when it takesa while to process the demand data and pass the results to the IM. We introduce dynamic information delays as a Markov backorders. We develop the concept of a reference inventory position. We show that this position along with the magnitude of the latest observed delay and the age og this observation are sufficient statistics for finding the optimal order quantities. Furthermore, we establish that the optimal ordering policy is of state-dependent base-stock type with respect to the reference inventory posision (or state-dependent (s, S) type if there is a fixed ordering cost). The optimal base stock and (s, S) levels depend on the magnitude of the latest observed delay and the age of this observation.

ii Roslinawati : Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Masalah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik, 2009

KATA PENGANTAR Sebagai umat beragama tak bosan-bosannya penulis bersyukur kehadirat ALLAH SWT, sehingga dapat menyelesaikan tesis ini sebagai tugas akhir pada Sekolah Pascasarjana Program Studi Magister Matematika Universitas Sumatera Utara dengan judul ”Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Maslah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik”. Tesis ini merupakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Matematika SPs Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terima kasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada: Kepala Bappeda Propinsi Sumatera Utara beserta stafnya yang memberikan beasiswa kepada penulis. Kepala Dinas Pendidikan Kota Medan yang telah memberi izin mengikuti perkuliahan Program Pasca Sarjana di Universitas Sumatera Utara. Prof. Dr. Chairuddin P. Lubis, DTM & H, Sp. Ak selaku Rektor Universitas Sumatera Utara. Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B, M.S selaku Direktur Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara beserta stafnya yang memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti perkuliahan pada angkatan ke III Program Edukator tahun 2007. Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku Ketua Program Studi Matematika SPs Universitas Sumatera Utara. Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku Sekretaris Program Studi Matematika SPs USU dan komisi pembimbing yang berkat bantuan beliaw dan motivasi beliau dari iii Roslinawati : Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Masalah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik, 2009

masa perkuliahan hingga sampai pada penyelesaian tesis ini. Dr. Tulus, M.Si selaku Ketua komisi pembimbing yang banyak memberikan saran dan masukan kepada penulis sehingga penulisan tesis ini menjadi lebih sempurna. Prof. Opim Salim Sitompul selaku pembanding yang juga begitu banyak memberikan saran dan masukan selama penulisan tesis hingga tesis ini dapat diselesaikan. marwan Hrp. selaku pembanding yang juga begitu banyak meberikan saran dan masukan selama penulisan tesis hingga tesis ini dapat diselesaikan. Prof. Dr. Iryanto, M.Si, Drs. Sawaluddin, MIT, Dr. Sutarman, M.Sc, Drs. Open Darnius, M.Sc, Drs. Suwarno Ariswoyo, M.Si selaku staf pengajar pada SPs Program Studi Matematika atas bimbingan dan motivasi selama masa perkuliahan. Bapak H. Ali Masran Daulay selaku Kepala Man 2 Medan yang telah memberikan kesempatan dan semangat kepada penulis sejak awal perkuliahan hingga selesai masa perkuliahan. Kepada orang tua penulis Nuroni Hrp. dan Robini Siregar; Mertua Abul Hasan Lubis dan Nismah Parinduri dukungan serta doanya sehingga penulis dapat menyelesaikan studi pada Sekolah SPs USU. Suami tercinta Drs. Muhammad Daud Lubis, M.M yang banyak menghabiskan waktu, tenaga, kesabaran dan memberikan semangat pada penulis hingga penulis dapat menyelesaikan perkuliahan dan penulisan tesis ini. Putra putri

iv Roslinawati : Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Masalah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik, 2009

tercinta Fachri Hasan Lbs, Faiz F. Husin Lbs, Farah Fadillah Lbs, Fiky Albar Lbs yang selalu rela ditinggalkan ibundanya untuk menyelesaikan perkuliahan hingga penulisan tesis ini. Khairunnisa SIregar sebagai adik dan juga sahabat yang selalu bersama selama perkuliahan hingga penyelesaian tesis ini. Khususnya kepada abang, kakak dan adik-adikku yang telah turut membantu perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai. Semoga kesehatan dan berkah dilimpahkan oleh ALLAH SWT kepada mereka. Kiranya tesis ini dapat bermanfaat bagi semua pihak yang telah turut membantu perkuliahan dan penulisan tesis ini hingga selesai, amin.

Medan, Mei 2009 Penulis,

Roslinawati

v Roslinawati : Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Masalah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik, 2009

RIWAYAT HIDUP Roslinawati dilahirkan di Medan pada tanggal 22 September 1966. Merupakan anak ketiga dari delapan bersaudara dari ayahanda H. Nuroni Hrp dan Hj Robini Siregar. Menamatkan Sekolah dasar di SDN 080655 Medan tahun 1979, melanjutkan ke SMP Negeri 12 Medan tamat tahun 1982, kemudian melanjutkan ke SMA Negeri 3 Medan dan tamat tahun 1985. Tahun 1987 sampai tahun 1988 mengikuti PGSLTP di P. Sidempuan. Pada tahun 1990 masuk IKIP Alwasliyah Medan transfer ke program S-1 tamat bulan Agustus tahun 1994. Pada tahun 1995 diangkat menjadi guru PNS di MAN 2 Medan hingga sekarang ini. Dan tahun 2006 diperkenankan mengikuti pendidikan Program Studi magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara dengan program beasiswa dari Bappeda Provinsi Sumatera Utara.

vi Roslinawati : Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Masalah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik, 2009

DAFTAR ISI Halaman ABSTRAK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

i

ABSTRACT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

ii

KATA PENGANTAR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

iii

RIWAYAT HIDUP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vi

DAFTAR ISI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

vii

BAB 1 PENDAHULUAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.1 LATAR BELAKANG MASALAH . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1

1.2 RUMUSAN MASALAH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.3 TUJUAN PENELITIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.4 KONTRIBUSI PENELITIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.5 METODE PENELITIAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

BAB 3 LANDASAN TEORI . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.1 Keterlambatan Informasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

3.2 Perumusan Dynamic Programming . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16

3.3 Penafsiran Statistik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

20

3.3.1 Contoh Illustratif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

23

3.3.2 Kembali ke Kasus Umum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

24

BAB 4 PEMBAHASAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

4.1 Analisa Kasus Khusus Penting . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

30

vii Roslinawati : Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Masalah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik, 2009

4.1.1 Barisan Keterlambatan-keterlambatan Saling Bebas . .

30

4.1.2 Keterlambatan-keterlambatan Tak bersilang . . . . . . . .

31

4.2 Kebijakan Pemesanan Persediaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

33

4.3 Sensitivitas Biaya Optimal dan Persediaan Dasar . . . . . . . . .

36

BAB 5 KESIMPULAN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

40

DAFTAR PUSTAKA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

41

viii Roslinawati : Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Masalah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik, 2009

BAB 1 PENDAHULUAN

1.1 LATAR BELAKANG MASALAH Tidak sedikit penelitian tentang pengendalian persediaan mengasumsikan bahwa Manager Persediaan (MP) memperoleh informasi terkini tentang permintaan dan tingkat persediaan. Dalam kenyataannya, dibutuhkan waktu untuk mengumpulkan, mengolah dan mengesahkan data dan menyampaikan informasi yang dihasilkan kepada MP. Kasus yang ditinjau adalah kasus sales representative keliling atau di luar lokasi yang menjanjikan pengiriman kepada pelanggan tanpa sepengetahuan segera MP. Bahkan sebagian sales representative di lokasi mengakumulasi pesanan satu hari dan memasukkannya ke dalam database persediaan di akhir hari kerja. Karena itu, MP jarang memperoleh informasi penjualan terkini, dan karena ia tidak mengetahui tingkat persediaan saat ini, ia harus berdasarkan keputusan pemesanannya pada tingkat persediaan periode yang lalu. Durasi antara waktu tingkat persediaan terkini yang diketahui MP dan waktu tingkat persediaan tersebut benar-benar diketahuinya disebut dengan istilah keterlambatan informasi (Axsater, 2001). Keterlambatan informasi terjadi bila informasi persediaan terkini yang tersedia bagi Manajer Persediaan (MP) sudah usang. Dengan kata lain, MP hanya mengamati tingkat persediaan yang termasuk dalam periode sebelumnya. Situasi sedemikian bukan tidak umum, dan bisa timbul bila dibutuhkan waktu untuk memproses data permintaan dan menyampaikan hasilnya kepada MP. Dengan memasukkan keterlambatan informasi dinamik sebagai proses Markov ke dalam 1 Roslinawati : Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Masalah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik, 2009

2 masalah persediaan stokastik multiperiode standar dengan pemesanan kembali. di kembangkan konsep posisi persediaan rujukan dan menunjukkan bahwa posisi ini bersama-sama dengan tingkat keterlambatan yang diamati terakhir beserta usia pengamatan ini adalah mengembangkan statistik cukup untuk menentukan kuantitas pemesanan optimal ( Bensoussa et al , 2005) Dengan mengkaji model persediaan tinjauan berkala di mana MP mengambil keputusan pemesanan pada setiap periode yang didasarkan pada informasi tingkat persediaan, yang sudah terlambat dari sejumlah periode yang dimodelkan dengan proses stokastik. Dalam model ini, tingkat keterlambatan informasi diukur dalam bentuk jumlah periode dan bukan dalam satuan waktu. Kemudian, bahkan saat dimasukkannya teknologi informasi (TI) baru mempercepat aliran informasi, teknologi tersebut kerapkali memungkinkan peneliti dapat meningkatkan frekuensi penempatan pesanan karena penurunan biaya pemrosesan pesanan yang dihasilkan TI baru. Dalam skenario ini, dapat diketahui dengan adanya TI modern, keterlambatan informasi bisa tetap ada, sebagaimana diukur dalam jumlah periode baru yang mungkin lebih singkat.

1.2 RUMUSAN MASALAH Bagaimana menentukan model kebijakan pemesanan optimal untuk masalah persediaan yang diamati parsial jauh lebih menuntut secara teknis dari pada masalah persediaan yang diamati sepenuhnya

1.3 TUJUAN PENELITIAN Tujuan penelitian ini adalah dengan menentukan model kebijakan peme-


3 sanan optimal untuk masalah persediaan diasumsikan ketidaktergantungan proses keterlambatan pada persediaan permintaan dan proses pemesanan

1.4 KONTRIBUSI PENELITIAN Dengan menggunakan model kebijakan pemesanan optimal untuk masalah persediaan dapat mengeneralisasi beberapa keterlambatan dengan mengasumsikan ketidaktergantungan proses keterlambatan pada persediaan, permintaan dan proses pemesanan

1.5 METODE PENELITIAN Metode penelitian:

a. Menjelaskan tentang optimalisasi kebijakan b. Menjelaskan tentang persediaan/inventori c. Menjelaskan tentang keterlambatan informasi d. Menentukan model kebijakan pemesanan persediaan dengan keterlambatan informasi


4

Bagan Alir Tahapan Rancangan Penelitian


BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA

Teknologi Informasi(TI) kerapkali mahal, dan penerapannya mengganggu aliran operasi yang biasa. Seperti yang ditegaskan Axsater (2001), perkembangan teknologi tiket-besar sedemikian tidak selalu dapat dibenarkan secara ekonomis, juga tidak menghapuskan semua kesalahan. Langkah pertama menuju pembenaran ekonomis atas TI baru adalah menilai total biaya yang terkait dengan keterlambatan yang terjadi sebelumnya dan dengan penurunan keterlambatan yang disebabkan TI. Analisa dalam bab ini mengambil langkah pertama dalam kasus keterlambatan stokastik dinamik. Dengan keterlambatan informasi, MP hanya bisa mengamati tingkat persediaan beberapa periode yang lalu dan statistik keterlambatan terkait. Berdasarkan informasi ini, MP bisa memperoleh distribusi bersyarat tingkat persediaan saat ini. Distribusi bersyarat bisa berfungsi sebagai keadaan sistem untuk keputusan pemesanan MP. Untuk mengakomodasi distribusi probabilitas sebagai keadaan, biasanya harus menangani ruang keadaan dimensi takhingga di lingkungan pengamatan parsial. Ini menjadikan masalah persediaan yang diamati parsial jauh lebih menuntut secara teknis daripada masalah persediaan yang diamati sepenuhnya yang dikaji dalam hampir semua literatur klasik tentang model persediaan. Bila kemungkinan pengamatan parsial persediaan disebabkan keterlambatan informasi, untungnya ada penafsiran statistik yang merangkumkan informasi dalam distribusi bersyarat, seperti yang di tunjukkan berikut ini Penafsiran. Statistik adalah: (i) Posisi persediaan rujukan, yang merupakan jumlah tingkat 5 Roslinawati : Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Masalah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik, 2009

6 persediaan diamati terakhir dan semua pesanan yang ditempatkan sejak waktu tingkat persediaan tersebut; (ii) tingkat keterlambatan diamati terakhir; dan (iii) usia keterlambatan yang diamati terakhir, yang merupakan jumlah periode berlalu sejak pengamatan keterlambatan terakhir. Ketiga statistik ini membentuk keadaan formulasi dynamic programming. Kontribusi utama antara lain mengidentifikasi statistik ini, menunjukkan bahwa statistik ini menunjukkan sifat Markov dan memastikan kelayakannya untuk pengambilan keputusan optimal. Selain itu, penafsiran ini tidak dengan sendirinya mengisyaratkan optimalitas kebijakan persediaan-dasar tergantung-keadaan, dan karena itu ditetapkan optimalitas sedemikian dengan menunjukkan bahwa fungsi nilai adalah konveks dan tingkat pemesanan optimal tidak tergantung pada posisi persediaan rujukan. Semuanya ini merupakan pemodelan yang signifikan dan juga kontribusi teoritis. Dengan memberikan perluasan yang signifikan dari hasil-hasil yang diperoleh dalam Bensoussan et al (2006), yang mengkaji masalah persediaan dengan keterlambatan deterministik dan acak, namun statik. Pertama, proses keterlambatannya adalah proses dinamik, sementara dalam Bensoussan et al (2006) proses keterlambatan hanya konstan atau variabel acak terbatas. Kedua, memperluas ruang keadaan relatip terhadap Bensoussan et al (2006), itu memungkinkan analisa sensitivitas yang jauh lebih kaya atas total biaya optimal dan persediaan dasar berkenaan dengan variabel keadaan. Keterlambatan dalam mengamati permintaan pelanggan bukanlah satu satunya alasan atas pengamatan parsial tingkat persediaan. Alasan lainnya meliputi kesalahan transaksi, kualitas produk, hasil acak dan barang busuk, pencurian, persediaan salah tempat, permintaan diseleksi dan saldo nol.


7 Sebuah tinjauan literatur komprehensif sebelumnya tentang Proses keputusan Markov yang diamati Parsial (PKMDP) ada dilakukan Monahan (1982). Sebagai salah satu contoh keterlambatan informasi dalam literatur PKMDP, Monahan menyebutkan Brooks dan Leondes (1972). Keterlambatan dalam Brooks dan Leondes adalah keterlambatan satu periode, yang diperluas ke jumlah periode konstan oleh Bander dan White (1999). untuk mengembangkan statistik cukup untuk berfungsi sebagai keadaan proses keputusan Markov diamati sepenuhnya, yang dikembangkan dari PKMDP utama. Mereka memberikan kerangka dengan ruang keadaan dan tindakan berhingga. Kerangka sedemikian tidak tepat bila tingkat persediaan dan kuantitas pesanan mengambil nilai kontinu, sebagaimana halnya standar dalam teori persediaan. Tambahan lagi, proses keterlambatan dinamik stokastik tidak dikaji dalam teori PKMDP. untuk mengatasi kekosongan ini dengan memodelkan keterlambatan sebagai rantai Markov. Lebih jauh lagi, di kaji optimalitas kebijakan pemesanan tertentu dan sensitivitasnya berkenaan dengan keadaan. Barulah belakangan ini ada aktivitas penelitian dalam studi tentang masalah yang diamati parsial yang terkait dengan pengendalian persediaan. Treharne dan Sox (2002), Ding et al (2002), Bensoussan et al (2004, 2005a, 2005b), Aviv dan Pazgal (2005) mengkaji permintaan yang diamati parsial tanpa memperhatikan pemeriksaan persediaan (atau penghitungan). Ke-lima tulisan pertama membahas minimisasi biaya persediaan, sementara tulisan ke-enam menetapkan harga item fashion untuk memaksimalkan total pendapatan pada musim penjualan berhingga. Dalam studi-studi tersebut kecuali untuk Ding et al (2002), permintaan adalah dimodulasi-Markov, tetapi keadaan permintaan utama tidak diamati. Probabilitas bahwa permintaan benar-benar datang dari keadaan tertentu digu-


8 nakan untuk menjelaskan sebagian permintaan secara parsial. Probabilitas ini dikemukakan dengan cara Bayes dalam setiap periode menurut permintaan pada periode tersebut. Baik Treharne dan Sox (2002) maupun Aviv dan Pazgal (2005) mengkaji batas dan heuristik, sementara Bensoussan et al (2005) terfokus pada struktural dan eksistensi. Dari antara beberapa model yang ada yang memasukkan pemeriksaan persediaan, model yang pertama adalah dari Iglehart dan Morey (1972), yang menentukan frekuensi penghitungan optimal dengan meminimalkan jumlah biaya penghitungan tetap dan biaya pengadaan persediaan. Tambahan lagi, Iglehart dan Morey berkata: ”perbedaan [persediaan] bisa terjadi disebabkan keterlambatan waktu antara aliran informasi dan bahan”. Kok dan shang (2004) mengkaji model persediaan multiperiode untuk mecari kesalahan transaksi dan pemeriksaan persediaan. Mereka mengajukan kebijakan heuristik di mana MP melakukan pemeriksaan jika (catatan) persediaan di bawah tingkat ambang batas dan kemudian memesan menurut kebijakan persediaan-dasar. Kok dan Shang juga meninjau tulisan-tulisan yang membahas pemeriksaan dengan hasil acak dan pemeriksaan untuk masalah perbaikan mesin.


BAB 3 LANDASAN TEORI

3.1 Keterlambatan Informasi MP yang tidak mengamati tingkat persediaan saat ini. Namun, ia mengamati ukuran pengganti untuk tingkat persediaan saat ini, yaitu tingkat persediaan eksak beberapa periode sebelumnya. Tingkat persediaan ini dan tingkat sebelumnya merupakan sinyal dalam konteks ini. MP mengamati sinyal ini di setiap periode tetapi tidak bisa menentukan tingkat persediaan aktual saat ini dari sinyal-sinyal yang diamati di masa lalu. Akan tetapi, MP bisa memperoleh distribusi probabilitas bersyarat tingkat persediaan saat ini yang didasarkan pada sinyal-sinyal ini. Misalkan (Ω, F, P ) menotasikan ruang probabilitas dan E menotasikan operator ekspektasi yang didefinisikan atas ruang. Untuk suatu himpunan A ∈ F , di misalkan variabel acak IA menotasikan indikator A. Misalkan variabel acak It menotasikan tingkat persediaan di awal periode t, t = 1, 2, · · · , T , di mana T adalah horizon perencanaan. Karenanya harus menginisialisasi persediaan untuk mengkaji evolusinya, di asumsikan bahwa persediaan awal I1 diketahui pada t = 1. Di asumsikan bahwa permintaan yang segera tidak dipenuhi dipesan kembali sepenuhnya dan pesanan pembelian dipenuhi, untuk sementara waktu, tanpa adanya tenggang waktu. Jadi persamaan keseimbangan persediaan adalah It−1 = It + qt − Dt untuk t ≥ 1

(3.1)

di mana Dt dan qt ≥ 0, masing-masing menyatakan permintaan dan kuantitas 9 Roslinawati : Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Masalah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik, 2009

10 pesanan pada periode t. Di asumsikan bahwa permintaan {Dt : t ≥ 1} adalah nonnegatip . Misalkan P dan µ menotasikan masing-masing distribusi kumulatif dan permintaan rata-rata. Di gunakan D tanpa indeks waktu untuk menotasikan permintaan umum dengan distribusi F . Misalkan θt ≥ 0 adalah tingkat keterlambatan yang dialami informasi dalam mencapai MP pada periode t. di asumsikan bahwa {θt : t ≥ 1} adalah rantai Markov waktu-diskrit, yang ruang keadaannya adalah himpunan bilangan-bilangan bulat nonnegatip. Lebih jauh lagi, di asumsikan bahwa {θt : t ≥ 1} tidak tergantung pada {Dt : t ≥ 1}. Rantai Markov {θt : t ≥ 1} didefinisikan secara lengkap oleh probabilitas transisi keadaanya pti,j := P (θt+1 = j|θt = i) untuk t ≥ 1 dan keadaan awal θ1 = 0. Keterlambatan informasi θt biasanya disebabkan oleh proses pengumpulan data permintaan (termasuk pengesahan dan penggabungan). Karena durasi proses ini tidak diketahui sebelumnya, layak kiranya mengasumsikan bahwa θt diamati saat It−θt sampai ke MP di awal periode t. Ini berarti bahwa tingkat keterlambatan baru diamati saat keterlambatan sudah terjadi. Ini di sebut keterlambatan ditentukan-tujuan untuk membedakannya dari keterlambatan ditentukan-asal, di mana keterlambatan diamati pada waktu penyampaian informasi persediaan. Sebagai contoh misalnya, bila proses pengumpulan data terotomatisasi, bisa jadi dimungkinkan mengetahui tingkat keterlambatan sejak dari awalnya. Dalam kasus otomatisasi yang ekstrim, keterlambatan bisa diambil sebagai deterministik. Catat bahwa dalam kasus keterlambatan deterministik, perbedaan antara aspek keterlambatan dihasilkan asal atau aspek keterlambatan dihasilkan tujuan tidak


11 ada. Disini dikaji keterlambatan stokastik {θt : t ≥ 1}, yang ditentukan di tujuan yang dimulai dengan θ1 = 0 yang sudah diketahui. Keterlambatan informasi bisa dikurangi di setiap periode dengan suatu upaya seperti panggilan telepon, perjalanan bisnis, pertemuan atau investasi pada TI yang tepat. Akan tetapi, tidak mengkaji masalah pengendalian proses keterlambatan informasi. Sekarang di uraikan beberapa kasus khusus keterlambatan Markov, dalam artian bahwa masing-masing kasus bisa diperoleh dengan membatasi pti,j dengan cara tertentu. Dengan demikian, kasus ini bisa dikaji dengan teori umum yang akan dikembangkan. ˆ Karena θ1 = 0, keterlambatan θ2 didis(i) Keterlambatan informasi acak θ: ˆ variabel acak yang distribusinya tribusikan oleh p1(0,j) . Di notasikan dengan θ, diberikan oleh p10,j , sama seperti distribusi untuk θ2 . Lebih jauh lagi, di batasi probabilitas transisi untuk keterlambatan yang diamati pada periode ketiga dan seterusnya dengan menetapkan pti,j = Ii=j untuk t ≥ 2. Keterlambatan konstan ˆ Itu tetap acak sampai diamati pada periode θˆ + 2, saat dan sama dengan θ. informasi tentang persediaan Iθ+2 sampai kepada MP. Ini berbeda dengan model umum , di mana keterlambatan bisa mempunyai nilai yang berbeda pada waktu yang berbeda-beda. Kasus keterlambatan acak yang sangat khusus adalah kasus keterlambatan ˆ di mana probabilitas transisi ditetapkan oleh pti,j = Ij=θ untuk t ≥ 1. konstan θ, Dalam kasus ini, θˆ diketahui MP pada setiap periode. Ini akan terjadi bila di gunakan sistem informasi yang sudah teruji sebelumnya, yang keterlambatannya sudah diketahui MP. Kasus keterlambatan informasi acak statik dan deterministik


12 dikaji dalam Bensoussan et al (2006). (ii) Barisan keterlambatan informasi tak terikat: Bila keterlambatan - keterlambatan terdistribusi tak terikat, maka probabilitas P (θt = j) bisa diambil oleh t−1 fungsi massa probabilitas pt−1 ∗j . Probabilitas p∗j bisa ditafsirkan sebagai probabi-

litas transisi dari kejadian [θt−1 = ∗] ke kejadian [θt = j]. Karena kedua kejadian ini saling bebas, maka besarnya θt−1 tidak terpengaruh. Yaitu diindikasikan dengan ∗ dalam notasi di pt−1 ∗j . Karena θt tidak tergantung pada {θ1 , · · · , θt−1 }, maka keterlambatan dalam periode t sebagian besar disebabkan kejadian pengumpulan informasi yang terjadi pada periode t, dan bukan disebabkan kejadian-kejadian pada periode sebelumnya. ¯ Tidak ada data (iii) Keterlambatan informasi periodik dengan periode θ: penjualan diamati untuk θ¯ periode dan semua data penjualan, θ¯ + 1 permintaan, diamati pada periode berikutnya. Maka, keterlambatan sifatnya siklik dan matriks transisinya adalah berukuran (θ¯ + 1) × (θ¯ + 1). Jadi di peroleh      1 untuk j = i + 1 dan i < θ¯        t ¯ pi,j = 1 untuk j = 0 dan i = θ          0 untuk lainnya  Situasi ini timbul dengan θ¯ = 6 hari jika tenaga penjualan menyampaikan informasi penjualan kepada MP setiap hari Senin pagi, sementara MP memesan setiap pagi. Dendan demikian kasus keterlambatan informasi periodik adalah perluasan dari kasus keterlambatan deterministik. (iv) Keterlambatan informasi periodik dengan informasi yang diterima pada


13 waktu acak: Perhatikan probabilitas transisi    ai untuk j = i + 1 dan i < θ¯       1 − ai untuk j = 0 dan i < θ¯ t pi,j   1 untuk j = 0 dan i = θ¯       0 untuk lainnya

                

, di mana 0 ≤ ai ≤ 1. Di tafsirkan 1 − a1 sebagai probabilitas bahwa tenaga penjualan mengakhiri penjualan dimuka, dan melaporkan jumlah penjualan pada periode ke-i dari siklus (θ¯ + 1) -periode. Dengan kata lain, keterlambatan lebih lama dari i periode dengan probabilitas ai , asalkan bahwa setidaknya ada i periode. Tetapkan ai = 1 untuk i < θ¯ untuk memperoleh keterlambatan informasi periodik tanpa adanya informasi diterima pada waktu acak. (v) Keterlambatan informasi dengan jumlah acak informasi yang diterima pada waktu acak: Matriks transisi harus memenuhi syarat pti,j = 0 untuk j ≥ i +2. Kemudian syarat ini di sebut sebagai syarat tidak ada persilangan keterlambatan. Pada periode t + 1, MP mengamati i + 1 − θt+1 tingkat persediaan, di mana keterlambatan θt+1 mempunyai pendukung {0, 1, · · · , i + 1}. Kedua matriks transisi yang diperkenalkan di atas untuk keterlambatan periodik memenuhi pti,j = 0 untuk j ≥ i + 2. Untuk memudahkan masuknya proses βt , yang menotasikan periode terakhir yang tingkat persediaannya diamati pada periode t, 1 ≤ βt ≤ t. βt dapat disebut sebagai tahun persediaan diamati terakhir. Proses stokastik {βt : t ≥ 1} diperoleh dari keterlambatan acak θt dengan cara berikut: βt = max{t − θt, βt−1 untuk t ≥ 2, dan β1 = 1 sehingga βt−1 ≥ βt ≤ t. .


(3.2)

14 MP mengamati keterlambatan melalui pengamatan tingkat persediaan yang terlambat. Dengan demikian, andaikan Ii adalah tingkat persediaan terakhir yang diketahui MP pada periode t − 1 dan MP mengamati {Ii+1, · · · , Ij } pada periode t untuk j ≥ i. Kejadian [j > i] mengindikasikan bahwa MP menerima informasi baru tentang persediaan. Bila j > 1, di simpulkan θt = t−j dari (3.2). Karena hal ini, di katakan bahwa θt diamati secara parsial, dan dengan demikian besarnya yang pasti tidak bisa disimpulkan kecuali j > 1. Di lain pihak, bila j = 1, MP hanya tahu bahwa θt ≥ t − i, tetapi ia tidak tahu besar yang pasti dari keterlambatan θt. Model keterlambatan memungkinkan θt > t − βt−1. Jika di asumsikan θ1 ≤ t − βt−1 , maka karena βt−1 tergantung pada {θi : 1 ≤ i ≤ t − 1}, di asumsikan akan mengisyaratkan ketergantungan di antara {θi : 1 ≤ i ≤ t}. Dengan demikian, dengan asumsi θt ≤ t − βt−1, kasus keterlambatan-keterlambatan yang saling bebas akan berganti menjadi kasus khusus proses keterlambatan umum. Dengan demikian, tidak mengasumsikan θt ≤ t − βt−1 untuk memasukkan kasus keterlambatan-keterlambatan saling bebas sebagai kasus khusus dari model ini. Di misalkan (zi, βt ) menotasikan sinyal yang diamati pada periode t, di mana zi adalah tingkat persediaan terakhir yang diamati dengan periode t, yaitu zi = Iβ Di tetapkan z1 = I1. Di awal periode t, MP mengetahui {zj , βj ) : j ≤ t}, yang menghasilkan riwayat sinyal Zt := σ({(zj , βj ) : j ≤ t}) yang tersedia untuk pengambilan keputusan. Notasi Zt = σ({(zj , βj ) : j ≤ t}) dibaca sebagai St dihasilkan oleh {(zj , βj ) : j ≤ t}. Untuk memahami bagaimana βt menyederhanakan penjelasan tentang pros-


15 es pengamatan. Misalkan informasi yang diamati pada periode t tanpa bantuan βt . Mengamati βt ekuivalen dengan mengamati salah satu kejadian berikut: [θt = 0], [θt = 1], · · · , [θt = t − βt−1 ], [θt ≥ t − βt−1 Dalam kejadian terakhir, MP hanya mengamati [θt ≥ t − βt−1 ] karena θt diamati secara parsial. Karena daftar lengkap dari semua kejadian di atas untuk setiap periode waktu yang tidak mudah untuk menangani βt . Dapat di gunakan (3.2) untuk menulis kejadian-kejadian di atas dalam bentuk {βt : t ≥ 1}:

[θt=0 = [θt = t − βt−1 − (t − βt−1 )] = [βt = βt−1 + (t − βt−1] = [βt = t] · · ·· · · [θt = t − βt−1 − (i)] = [βt = βt−1 + i] · · ·· · · [θt ≥ t − βt−1 ] = [βt = βt−1

di mana 0 ≤ i ≤ t − βt−1 . Yaitu, {βt : t ≥ 1} memiliki kemampuan menggambarkan informasi terlambat yang diamati MP. Di tetapkan β0 = 0 ≤ β1 = 1 untuk menyatakan bahwa keterlambatan θ1 = 0 diamati persis pada periode 1. Pada umumnya, di katakan bahwa keterlambatan θt diamati dengan tepat sebagai t − βt bila βt−1 < β1. Karena Dt = It +qt −It+1, mengamati barisan tingkat persediaan yang ekuivalen dengan mengamati barisan permintaan yang bersesuaian. Maka di peroleh

Zt = σ({I1 : (z2 , β2); · · · ; (zt , βt)})


16

= σ({I1, ((D1 , · · · , Dβ−1 ), β2); · · · ; ((Dβ , · · · , Dβ−1 ), β1)})

Akan tetapi, representasi alternatip dari Zt melalui permintaan juga tidak mudah, dan karenanya beroperasi dengan definisi awal Zt = σ({I1; (z2, β2); · · · ; (zt, βt)})

(3.3)

Sebelum di teruskan, di definisikan masalahnya secara formal. Misalkan c(I, q) menotasikan fungsi biaya satu-periode, yang mencakup biaya pemesanan, biaya persediaan dan biaya pesanan-kembali. Di asumsikan bahwa c(I, q) adalah konveks secara bersama. Misalkan r(I) menotasikan biaya penyelamatan untuk tingkat persediaan akhir I pada periode T. Dengan faktor diskon α < 1 dan dengan q mendefinisikan barisan pesanan-pesanan q = {q1, q2 , · · · , qT }, maka perkiraan total biaya dengan diskon diberikan oleh ) ( T X αt−1 c(It, qt) + αT r(IT +1) J (q) := E

(3.4)

t−1

Persediaan akhir pada periode T dinotasikan sebagai IT +1, karena ini juga bisa dianggap sebagai persediaan awal pada periode T + 1. Di gunakan biaya satuperiode stasioner untuk menghemat notasi, walaupun pernyataannya bisa dengan mudah diperluas pada biaya nonstasioner. Tujuannya adalah untuk menentukan proses kuantitas pesanan q yang disesuaikan dengan riwayat Zt dan yang meminimalkan J(q). 3.2 Perumusan Dynamic Programming Keadaan masalah dynamic programming mencakup posisi persediaan ru-


17 jukan, yang didefinisikan sebagai xt := zt +

t−1 X

qj

(3.5)

j=βt

xt = zt bila βt = t. Karena {qj : βt ≤ j ≤ t − 1} semuanya dapat dinyatakan dalam bentuk Zt , bisa di peroleh xt dari riwayat Zt . Di butuhkan persamaan transisi untuk xt dengan nuansa (3.1) dan (3.2). Dengan konvensi yang biasa, bila batas atas dari perjumlahan lebih kecil dari batas bawah, di tetapkan nilai perjumlahan sama dengan nol. Dari (3.1) dan (3.2), di peroleh Zt = I1 +

β−1 X

(qj − Dj )

(3.6)

j=1

Maka, sinyal zt berkembang menurut persamaan βt+1 −1

X

zt+1 − zt = I1 +

βt−1

(qj − Dj ) − I1 −

X

j=1

(qj − Dj )

j=1

(3.7)

βt+1 −1

=

X

(qj − Dj )

j=β

Sekarang dipersiapkan mendapatkan bagaimana xt berkembang. Dengan memulainya dengan definisi xt dalam (3.5), di peroleh t P

xt+1 − xt = zt+1 − zt +

qj −

j=βt+1

=

z − z +qt + |t+1{z }t

=0 jika βt+1 =βt

= qt +

(

βt+1 P−1 j=βt

t−1 P

qj

j=β t−1 X

qj −

j=βt+1

|

{z

t−1 X j=βt

=0 jika βt+1 =βt

(qj − Dj )

t−1 P j=βt+1

qj −

qj } t−1 P

qj

)

qj

j=βt


18 Dengan menyusun suku-sukunya, di peroleh βt+1 −1

X

xt+1 = xt + qt −

Dj

(3.8)

j=βt

Karena xt dan qt diketahui di awal periode t dan suku ketiga pada ruas kanan dari (3.8) diamati di awal periode t + 1, maka jelas bahwa xt+1 menjadi diketahui di awal periode t + 1. Selanjutnya, di peroleh tingkat persediaan It dalam bentuk (xt , βt), sehingga di dapat menulis biaya periode tunggal. Menurut (3.5), posisi persediaan rujukan xt tidak menangkap permintaan yang direalisasikan tetapi tidak diamati {Dj : βt ≤ j ≤ t − 1}. Permintaan ini tentu saja berbeda antara tingkat persediaan dan posisi persediaan rujukan. Dengan demikian, It = xt −

t−1 X

Dj

(3.9)

j=βt

Hubungan ini bisa dibuktikan secara rekursif seperti dalam Lemma 3 Bensoussan et al (2006). Untuk menulis biaya periode-tunggal dengan ringkas, di misalkan Di menotasikan perjumlahan sebanyak i permintaan . Untuk setiap fungsi f dan diberikan x, di definisikan F i(x, · · · ) := Ef (x − Di , · · · )

(3.10)

Bila i = 0, di peroleh Di = 0, dan karenanya c0 (x, q) = c(x, q). Karena c(I, q) konveks gabungan, tidak sulit ditunjukkan bahwa ci (x, q) juga konveks gabungan untuk setiap i. Dengan menggunakan (3.9), di peroleh ! t−1 X Dj , qt = Ect−β (xt , qt) Ec(It , qt) = Ec xt − j=βt


19 di mana ct−β didefinisikan dengan menghasilkan (3.10) untuk fungsi c. Untuk membuktikan kesamaan terakhir, cukup dibuktikan bahwa xt dan {Dj : βt ≤ j ≤ t − 1} saling bebas. Tepatnya, ini membutuhkan bukti, yang sifatnya teknis dan dilaksanakan dalam Bensoussan et al (2006). Sekarang dapat di tulis kembali fungsi tujuan dalam (3.4) dalam bentuk posisi persediaan rujukan xt sebagai berikut: ) ( T X αt−1 ct−βt (xt, qt) + αT rT +1−βT −1 (xT +1) J (q) := E

(3.11)

t−1

Untuk menulis persamaan dynamic programming (DP) untuk masalah ini, dibutuhkan status untuk sistem. Hal-hal yang mempengaruhi status adalah (xt , βt), tetapi {βt : t ≥ 1} bukan rantai Markov. Untuk mengetahuinya dengan jelas, perhatikan contoh yang didasarkan pada kejadian [β4 = 4, β3 = 2] dan [β3 = 2]: P 1 2 3 p0,i pi,j pj,0 dan P (β4 = 4, β3 = 2) = P i>0,j>1 p10,i p2i,j P (β3 = 2) = i>0,j>1

Di perhatikan P (β4 = 4|β3 = 2) = P (β4 = 4, β3 = 2)/P (β3 = 2), yang pada umumnya tergantung pada kejadian [β2 = t]. Karena {βt : t ≥ 1} bukan rantai Markov, (xt, βt) tidak memenuhi syarat untuk menjadi status. Karenanya, di masukkan (βt , · · · , β1) dalam status (xt , βt, · · · , β1) sistem. Sekarang di peroleh masalah persediaan dengan status (xt , βt, βt−1, · · · , β1), dinamika evolusi status (3.2) dan (3.8), fungsi biaya nonstasioner periode-tunggal ct−β (xt , qt), dan himpunan informasi Zt . Di definisikan fungsi nilai Wt sebagai # " T X Wt (x, βt, · · · , β1) = min E αt−1 ct−βt (xi, qi ) + αT +1−t rT +1−βT −1 (xT +1) |x, βt, ..., β1 qi ≥0,i≥t

i=t

(3.12)


20 Kemudian di tulis DP terkait sebagai WT +1 (x, βT +1, · · · , β1) = rT +1−βT −1 (x) Wt (x, βt, · · · , β1)

=

(

qt≥0

ct−βt (xi ,qi )+αEWt+1

min "

βt+1 −1

x+q−

P

Dj

#!

,βt+1 ,··· ,β1

)

j=βt

β

t+1 = min{ct−βt (x, q) + αEWt+1

qt ≥0

−βt

(x + q, βt+1, · · · , β1)} (3.13)

di mana di gunakan definisi dalam (3.10) untuk fungsi c dan Wt+1 untuk menulis kesamaan terakhir. Dalam (3.13), dimensi keadaan meningkat seiring berjalannya waktu, yang tidak mudah untuk analisa lebih lanjut. Tetapi, seperti yang telah di ketahui, {(xt, βt) : t ≥ 1} yang dengan sendirinya bukan rantai Markov. Dengan demikian, penafsiranperlu ditegaskannya sehingga keadaan dibuat menjadi rantai Markov dan bisa berfungsi sebagai proxy untuk (x, βt, · · · , β1), sepanjang menyangkut ekspektasi dalam (3.12). Seperti yang akan di ketahui dalam bagian berikut, asumsi di atas {θt : t ≥ 1} (Markovian dan independensi dari {Dt : t ≥ 1}) memungkinkan bisa memperoleh sebagian sifat dari {βt : t ≥ 1}. Sifat-sifat pada gilirannya membawa ke waktu τt , yang berlaku untuk periode di mana keterlambatan terakhir diamati pada waktu t. Kemudian, di tunjukkan bahwa (xt , βt, τt ) adalah rantai Markov dan bahwa (xt, βt, τt ) adalah penafsiran statistik yang bisa berfungsi sebagai keadaan DP. 3.3 Penafsiran Statistik Pada bagian ini di gunakan proses {θt : t ≥ 1} untuk membentuk formulasi DP (3.13) dengan lebih cepat. Ini akan dicapai dengan mengidentifikasi penafsiran statistik mencirikan evolusi probabilistiknya seiring berjalannya waktu.


21 Sekarang di jelaskan konsep penafsiran statistik yang digunakan dalam kontrol optimal stokastik sebagaimana berlaku dalam konteks ini. Variabel (x, ξ1, ξ2 , · · · , ξN ), N < 1, adalah penafsiran statistik jika setiap ξi dapat ditulis sebagai ψi (x, βt, βt−1, · · · , β1), untuk 1 ≤ i ≤ Nt , dan ruas kiri dan ruas kanan dari (3.13) dapat dinyatakan hanya dalam bentuk (x, ξ1 , ξ2, · · · , ξN ). Penafsiran Statistik memungkinkan di dapat menulis ulang (3.13) dalam bentuk ruang dimensi berukuran lebih kecil. Pada semua model ini, MP hanya mengetahui Zt yang mencakup pengetahuan tentang (βt , βt−1, · · · , β1). Dengan diketahuinya pengetahuan ini, di simpulkan proses baru τt pada periode t, yang merupakan periode di mana pada awal periode tersebut keterlambatan terakhir diamati. Secara formal, τt := max {j : βj−1 < βj } 1≤j≤t

(3.14)

sehingga τt ≤ τt+1 . Dari definisi τt , implikasi berikut dapat diduksikan segera:

[βt+1 = βi] ⇒ [τt+1 = τt ], [βt+1 > βt] ⇒ [τt+1 = t + 1]

Dengan menggunakan implikasi terakhir dengan βt−1 ≤ t − 1, juga bisa di peroleh [βt = t] ⇒ [τt = t]. Melihat kembali ke belakang dari suatu periode t, harusnya ada periode di mana keterlambatan diamati atau belum diamatinya keterlambatan. Dalam kasus yang disebut terakhir, di tetapkan τt = t. Pada umumnya, 1 ≤ τt ≤ t. Karean τt adalah periode bila Iβt diamati, di mesti memperoleh τt ≥ βt.


22 Menurut definisi τt , menyusul dua fakta: βτ 1 = τ1 − θτ 1 > βτ 1 − 1

(3.15)

βτi = βτi+1 = · · · = βt = τt − θτt∗

(3.16)

Yang pertama menyatakan bahwa keterlambatan diamati persis sama dengan θτ 1 pada periode τt . Yang kedua hanya mengindikasikan bahwa tidak ada diamati keterlambatan setelah periode τt . Sebelum diteruskan lebih lanjut, contoh numerik yang mengkaitkan proses {τt : t ≥ 1} dengan proses (βt : t ≥ 1} akan membantu. Dalam Tabel 1, di hitung dan daftarkan τt untuk (β1, β2, · · · , β6). Catat bahwa hanya θ2 = 0 dan θ5 = 1 yang diamati. Untuk keterlambatan lainnya, di simpulkan θ3 ≥ 1, θ4 ≥ 2 dan θ6 ≥ 1. Karena persamaan DP (3.13) mengharuskan evolusi proses {βt : t ≥ 1}, di kaji probabilitas yang mengatur proses ini. Probabilitas ini membantu di menyimpulkan bahwa (βt, τt ) adalah rantai Markov. Selain penting juga mengimplikasikan bahwa ekspektasi bersyarat dalam (3.12) bisa dihitung dengan mensyaratkan hanya atas (βt, τt ) dan bukan riwayat pengamatan keseluruhan {βt : t ≥ 1}. Ini memberikan kepada di kecukupan (x1, βt, τt ) sebagai keadaan. Pada periode t + 1, misalkan pt (j : j0 , k0 ) adalah probabilitas mengamati Ij , di mana Ij0 diamati pada periode k0 dan tidak ada persediaan diamati sejak itu sampai periode t: pt (j : j0 , k0 ) := P (βt+1 + j|βt = j0 , τt = k0 ) diberikan t = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, tabel I, nilai dari τt untuk t diberikan pada βt. Ketaksamaan 1 ≤ βt ≤ τt ≤ t dan βt ≤ βt+1 ≤ t + 1 mengimplikasikan bahwa


23 pt (j : j0 , k0 ) hanya didefinisikan untuk 1 ≤ j0 ≤ k0 ≤ t dan j0 ≤ j ≤ t + 1. Bila j = j0 , tidak ada informasi keterlambatan diamati pada periode t+1. Probabilitas kejadian ini bisa ditulis sebagai pt (j : j0 , k0 ) =P (θt+1 ≥ t + 1 − j0 |θk0 = k0 − j0

(3.17)

θk0 +1 ≥ k0 + 1 − j0 , · · · , θt ≥ t − j0 ) Jika keterlambatan diamati pada periode t + 1 melalui Ij , untuk setiap j ∈ {j0 + 1, · · · , t + 1}, maka di peroleh pt (j : j0 , k0 ) =P (θt+1 = t + 1 − j0 |θk0 = k0 − j0

(3.18)

θk0 +1 ≥ k0 + 1 − j0 , · · · , θt ≥ t − j0 ) Tabel 1. nilai dari τt untuk diberikan pada βt T βt τt

1 1 1

2 2 2

3 2 2

4 2 2

5 4 5

6 4 5

3.3.1 Contoh Illustratif Untuk lebih dapat memahami notasi, di mengkhususkan probabilitas ρt (j; j0 , k0 ) pada dua kasus khusus: keterlambatan acak dan keterlambatan bebas. Kasus Keterlambatan Acak Statis: Keterlambatan adalah variabel acak ˆ untuk t ≥ 2. Dengan demikian, θt = θ,    1 untuk t ≤ θˆ + 1 βt =   t − θˆ untuk t ≥ θˆ + 2

    

Jika βt ≥ 2, maka keterlambatan sudah diamati oleh t pada periode τ ≥ ˆ di peroleh βt+1 = βt + 1. Dengan βt . Karena keterlambatan adalah konstan θ, demikian, ρt (j0 + 1; j0 , k0 ) = 1 untuk 2 ≤ j0 ≤ k0 . Jika

1

= 1, maka di peroleh


24 τt = 1. Selain itu, bila βt = 1, di peroleh    1 untuk t 6 θˆ βt+1 =   t + 1 − θˆ untuk t > θˆ

    

Karenanya, jika j0 = 1 dengan rumus probabilitas ρt (j0 + 1; j0 , k0 ) = 1 , maka j ∈ {1, 2} dan k0 = 1. Karena itu, hanya ρt (1 : 1, 1) dan ρt (2 : 1, 1) bisa positip: P 1 k≥1 P0,k ˆ ˆ ρ (1 : 1, 1) = P (θ ≥ t|θ ≥ t − 1) = P 1 k≥1 P0,k t

1 P0,k 1 k≥1 P0,k

ρt (2 : 1, 1) = P (θˆ ≥ t − 1|θˆ ≥ t − 1)) = P

Di akhiri ulasan kasus ini sampai di sini, dan silahkan baca Bensoussan et al (2006), yang memperoleh kebijakan pemesanan optimal dalam kasus ini. Kasus Barisan Keterlambatan Bebas :

Karena keterlambatan se-

belumnya tidak mempengaruhi keterlambatan saat ini, di peroleh pt (j; j0 , k0 ) = P (βt+1 = j|βt = j0 , τt = k0 )    P (θt+1 = t + 1 − j) jika j0 + 1 6 j 6 t + 1 =   P (θt+1 > t + 1 − j0 ) jika j = j0      Pt jika j0 + 1 6 j 6 t + 1  ∗,t+1−j = P t t    1 − t−β  i=0 p∗,i jika j = j0

    

(3.19)

Dengan demikian, periode k0 , di mana persediaan terakhir diamati, tidak mempengaruhi t(j; j0 , k0 ). Akibatnya, {βt : t ≥ 1}. 3.3.2 Kembali ke Kasus Umum Sekarang setelah lebih memahami notasi, dilanjutkan dengan merumuskan persamaan DP. Jika tingkat persediaan diamatipada periode t + 1, di peroleh


25 βt+1 > βt dan τt = t + 1. Dalam hal lainnya, βt+1 = βt dan τt+1 = τt . Pernyataan ini bisa dirangkumkan sebagai berikut τt+1 = Iβt+1 τt + Iβt+1 >βt (t + 1)

(3.20)

Menurut (17), (18) dan (20), di simpulkan bahwa {(βt , τt) : t ≥ 1} adalah rantai Markov. Sekarang di tulis kembali (3.13) setelah mengetahui bahwa {(βt , τt) : t ≥ 1} adalah rantai Markov yang seluruhnya mencirikan probabilitas transisi ρt . Karena βt+1 hanya variabel acak pada ruas kanan dari (3.13) dan (βt, τt ) adalah rantai Markov, bisa di gunakan (βt , τt ) sebagai pengganti (βt, . . . , β1) dalam mengambil ekspektasi bersyarat. Dengan kata lain, (βt, τt ) mencirikan βt + 1 dan ˆ t (x, β, τ ) adalah fungsi juga (βt , . . . , β1) yang berukuran lebih besar. Misalkan W nilai bila di mulai pada periode t dengan mengetahui persediaan awal periode ˆ t (x, β, τ ), β yang diamati pada periode τ ≥ β. Fungsi nilai ini sama dengan W asalkan dihitung dari (βt, . . . , β1) dengan menggunakan (14). Dengan demikian di peroleh WTˆ+1 (x, β, τ ) = rT +1−β(x) dan ˆ t (x, β, τ ) = min{ct−β (x, q) + αW ˆ t (xt+1, βt+1 , τt+1)} W q≥0 n o X βt+1−1 limitsj=β Dj , βt+1, τt+1 = min ct−β (x, q) + αE Wˆt+1 (x + q − q≥0

= min{ct−β (x, q) + αP (βt+1 − β)Wˆt+1 (x + q, β, τ ) q≥0

ˆ βt+1−β (x + q, βt+1, τt+1 ))} + αE(Iβt+1 >β Wt+1 ˆ t+1(x + q, β, τ ) = min{ct−β (x, q) + αP t (β; β, τ )W q≥0

+α

t+1 X

ˆ j−β (x + q, j, t + 1)} P t (j; β, τ )W t+1

j=β+1

(3.21) di mana 1 ≤ β ≤ τ ≤ t.


26 DP dalam (3.13) dan (3.21) ekuivalen. Dengan DP ini, di peroleh dua cara dalam memandang keadaan pada waktu t : (x, βt, · · · , β1 ) dan (x, β, τ ). Representasi kedua lebih baik dan panjangnya tidak meningkat seiring berjalannya waktu. Di peroleh representasi bersama ini dengan menggunakan sifat-sifat proses keterlambatan: {θt : t ≥ 1} adalah rantai Markov dan tidak tergantung pada proses permintaan. Karena (βt, τt ) adalah rantai Markov naik monoton, tidak mudah mengkaji masalah horizon tak berhingga sebagai perluasan alami dari masalah horizon berhingga. Dengan mengganti pasangan ini dengan pasangan non-monoton (σt , ηt ), yang akan berubah menjadi mudah untuk masalah horizon takberhingga. Mula-mula di gambarkan perubahan variabel ini secara analitik. Misalkan σt : −t − τt dan ηt := θ, sehingga ηt = τt − βT 1 = τt − βt, di mana kesamaan terakhir berasal dari (3.16). Tambahan lagi, ηt = t − (σt + βT 1) = t − (σt + βt). Maka jarak untuk variabel baru adalah 0 ≤ σt ≤ t − 1 dan 0 ≤ ηt ≤ t − σt − 1. Dengan menafsirkan ηt sebagai besarnya keterlambatan diamati terakhir dan σt sebagai usia keterlambatan ini, yaitu jumlah periode berlalu sejak pengamatan keterlambatan ini. Pada pokoknya, dapat di bagi periode t ke dalam tiga komponen sebagai t = βt + ηt + σt . Pada periode t, tingkat persediaan periode βt diketahui. Tingkat ini diamati pada periode βt + ηt . Tidak ada tingkat persediaan diamati dalam σt periode terakhir . Dengan variabel baru (σ, η), di kunjungi kembali (3.21). Dengan menulisnya


27 kembali dengan k = t + 1 − j, di peroleh     t−β t ˆ      c (x, q) + αρ (β; β, τ )WT +1(x + q, β, τ )  ˆ T +1 (x, β, τ ) = min t−β W X q>0  ˆ t+1−k−β (x + q, t + 1 − k, t + 1   +α ρt (t + 1 − k; β, τ ) × W   t+1   k−0

(3.22)

Sekarang di kaji probabilitas pt yang muncul di atas: ρt (β; β, τ ) = ρt (t − σ − η; t − σ − η, t − σ) = P (θt+1 > η + σ + 1|θt−σ = η, θt−σ+1 > η + 1, ..., θt > η + σ), ρt (t + 1 − k; β, τ ) = ρt (t + 1 − k; t − σ − η, t − σ) = P (θt+1 = k|θt−σ = η, θt−σ+1 > η + 1, ..., θt > η + σ), where0 6 k 6 t − β = σ + η.let t t γσ,η := ρt (t − σ − η; t − σ − η, t − σ)andγk,σ,η ρt (t + 1 − k; t − σ − η, t − σ)

(3.23) untuk 0 ≤ k ≤ σ + η ≤ t − 1, sehingga t γσ,η

σ+η X

t γk,σ,η

k=0

Dengan memasukkan t − σ − η untuk β, t − σ untuk τ dan probabilitas yang didefinisikan dalam (3.23) ke dalam persamaan DP (3.22), di peroleh ˆ t (x, t − σ − η, t − σ) = min{cσ+η (x, q) + αρt (t − σ − η; t − σ − η, t − σ) W q>0

ˆ t|+1(x, q, t − σ − η, t − σ) + α ×W

σ+η ρt (t + 1 − k; t − σ − η, t − σ) X k−0

ˆ σ+η+1−k (x + q, t + 1 − k, t + 1)} = min{cσ+η (x, q) ×W t+1 q>0

t ˆ t+1(x + q, t − σ − η, t − σ) W +αγk,σ,η

+α

σ+η X

σ+η+1−k t ˆ t+1 γk,σ,η (x + q, t + 1 − k, t + 1)} W

k−0

(3.24)


28 ˆ t (x, t−σ−η, t−σ). Maka, W ˆ t+1 (x+q, t−σ−η, t−σ) = Di definisikan Vt (x, σ, η) = W ˆ σ+η+1−k (x + q, t + 1 − k, t + 1) = V σ+η+1−k (x + q, 0, k). Vt+1 (x + q, σ + 1, η) dan W t+1 t+1 Persamaan DP (3.24) dapat ditulis kembali sebagai (

t Vt+1 (x + q, σ + 1, η) + α Vt (x, σ, η) = min cσ+η (x, q) + αγσ,η q>0

σ+η X

σ+η+1−k t γk,σ,η Vt+1 (x

k−0

(3.25) dan VT +1 (x, σ, η) = rσ+η (x). Persamaan DP ini bisa ditafsirkan dengan mudah. Dengan memulai dengan besarnya η keterlambatan diamati terakhir σ periode yang lalu, mula-mula di bebankan biaya periode saat ini terhadap sebanyak σ + η permintaan yang tidak diketahui. Pada periode berikutnya, keterlambatan tidak diamati atau diamati. Pada kasus pertama, keterlambatan yang diamati terakhir tetap pada η, tetapi usia informasi ini meningkat hingga 1. Pada kasus kedua, keterlambatan k hanya bisa diamati jika k ≤ σ + η. Bila itu diamati sebagai k, t t dan γk,σ,η masing-masing adalah usia pengamatan ini sama dengan 0. Suku γσ,η

probabilitas tidak mengamati keterlambatan dan mengamatinya sebagai k. Persamaan baru (3.25) memberikan pengantar mudah untuk keadaan horizon takberhingga, karena hanya suku yang tergantung pada periode t dalam (3.25) t t adalah fungsi nilai Vt dan probabilitas γσ,η 0 , γk,σ,η . Setelah mengasumsikan stat sioneritas dari probabilitas transisi dan dengan menjadikan t cukup besar, γσ,η dan t bisa dijadikan stasioner. Kemudian, dengan menghilangkan indeks waktu γk,σ,η

dari fungsi nilai Vt dihasilkan persamaan DP untuk masalah horizon takberhingga. Operasi ini tidak bisa diaplikasikan pada (3.21) karena suku tertentu pada ruas kanan dari persamaan ini tergantung pada t. Di berikan dua persamaan DP ekuivalen dalam (3.21) dan (3.25), di mana (x, βt, τt ) dan (x, σt, ηt ) masing-masing berfungsi sebagai status. Karena t =


+ q, 0, k

)

29 βt + ηt + σt, juga di bisa gunakan berbagai representasi status ekuivalen lain seperti (x, βt, ηt ) atau (x, βt, σt). status (x, βt, ηt ) memuat βt persediaan diamati terakhir dan besarnya ηt keterlambatan yang diamati terakhir. Status ini bisa lebih menarik bagi manager. Akan tetapi, status (x, σt, ηt ) lebih mudah digunakan untuk menetapkan hasil-hasil. Jadi di gunakan status ini untuk analisa.


BAB 4 PEMBAHASAN

4.1 Analisa Kasus Khusus Penting Untuk mencirikan kebijakan pemesanan optimal, (3.25) cukup operasional. t t dan γk,σ,η perlu diperoleh. Karena proAkan tetapi, untuk perhitungannya γσ,η

babilitas ini mencakup perjumlahan dari pergandaan pti,j , perhitungannya bisa rumit. Menarik dikaji kasus di mana perhitungan DP lebih sederhana. Dua kasus khusus sedemikian dipresentasikan berikut ini. Kasus ini memungkinkan untuk dapat mengurangi ukuran ruang keadaan DP dalam (3.25).

4.1.1 Barisan Keterlambatan-keterlambatan Saling Bebas t t dan γk,σ,η untuk kasus keterlambatanPertama-tama di berikankan γσ,η

keterlambatan saling bebas: t = P (θt+1 ≥ η + σ + 1|θt−σ = η, γσ,η

θt−σ+1 ≥ η + t, · · · , θt ≥ η + σ) σ+η P t p ∗k = P (θt+1 ≥ η + σ + t) = 1 − k=0

dan t γk,σ,η = P (θt+1 ≥ k|θt−σ = θt−σ+1 ≥ η + 1,

· · · , θt ≥ η + σ) = P (θt+1 = k) = pt ∗ k di mana k ≤ η + σ ≤ t − 1. probabilitas ini tidak tergantung pada σ dan η secara terpisah, tetapi tergantung pada jumlahnya σ +η. Ini memotivasi pendefinisian vt 30 Roslinawati : Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Masalah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik, 2009

31 sebagai jumlah periode persediaan-takdiamati dalam periode t, yaitu vt = σt + ηt . Kemudian persamaan DP (3.25) dapat dikhususkan untuk kasus keterlambatanketerlambatan saling bebas sebagai berikut:

(

"

Yt (x, v) = inf q ≥ 0 cv (x, q) + α 1 −

v X

#

t × Yx+1 (x + q, v + 1)+ P∗,k

k=0

α

v X

t v+1−k P∗,k Yt+1 (x + q, k)

)

(4.1)

k=0

di mana v ≤ t − 1. Di gunakan Yt untuk menotasikan perkiraan biaya optimal dengan barisan keterlambatan-keterlambatan saling bebas, dan tetapkan YT +1 (x, v) = rv (x). Keterlambatan- keterlambatan informasi saling bebas menjadikan {vt : t ≥ 1} rantai Markov, dan karenanya (xt , vt) menjadi penafsiran statistik . Dengan demikian, keadaan DP dalam (4.1) hanya dua-dimensi, sementara keadaan DP dalam (3.25) adalah tiga-dimensi.

4.1.2 Keterlambatan-keterlambatan Tak bersilang Seperti yang dicatat dalam Bagian 2, kasus jumlah acak informasi yang diterima pada waktu acak mengharuskan keterlambatan-keterlambatan takbersilang, yaitu, t = 0 untuk j > i + 1 Pi,j

(4.2)

berlaku untuk matriks transisi untuk keterlambatan. Karenanya di mulai dengan θ1 = 0, syarat keterlambatan takbersilang menghasilkan θt+1 ≤ θt+1 ≤ · · · ≤


32 θ1 + t = t. Ketaksamaan pertama θt+1 ≤ θt + 1 juga bisa ditulis sebagai t − θt ≤ t + 1 − θt+1

(4.3)

Ada baiknya dibandingkan keterlambatan acak θt dengan waktu tenggang acak L(t) yang dikaji dalam literatur. Dalam literatur waktu tenggang acak, banyak model didasarkan pada sifat pesanan takbersilang: t + L(t) tidak turun dalam t. Serupa halnya, (4.3) mengimplikasikan bahwa t − θt tidak turun dalam t. Dalam kasus waktu tenggang acak, Kaplan (1970) mengajukan beberapa asumsi untuk mereduksi ruang keadaan menjadi skalar. Samahalnya, tujuannya adalah untuk menggunakan (4.2) untuk mereduksi dimensi ruang keadaan dalam (3.25). Persyaratan keterlambatan takbersilang akan membantu menyederhanakan (3.2). Di buktikan secara induksi bahwa βt = t − θt, yang benar untuk t = 1. Sekarang di asumsikan bahwa βt−1 = t−1−θt−1 dan di buktikan bahwa βt = t−θt. Di peroleh βt = max{t − θt , βt−1 = max(t − θt, t − 1 − θt−1 ) (4.4) = t − min{θt , θt−1 + 1} = t − θt di mana kesamaan terakhir adalah dari θt ≤ θt−1 + 1. Karena (4.4), di peroleh vt = t − βt = θt . Yaitu, jumlah periode persediaan-takdiamati selalu sama dengan keterlambatan. Akibatnya, {vt : t ≥ 1} adalah rantai Markov. t t dan γk,σ,η untuk kasus keterlambatSekarang di peroleh probabilitas γσ,η

an takbersilang. Pertama-tama catat bahwa kejadian [θt−σ = η, θt−σ+1 ≥ η + 1, · · · , θt ≥ η + σ] tidak mungkin kecuali θt−σ+1 = η|1, · · · , θt = η + σ. Tambahan lagi, P (θt+1 ≥ η + σ + 1|θt = η + σ) bisa positip hanya jika θt+1 = η + σ + 1. Karena itu,


33 t γσ,η = P (θt+1 ≥ η + σ + 1|θt−σ = η

θt−σ+1 ≥ η + 1, · · · , θt ≥ η + σ) = P (θt+1 ≥ η + σ + 1)|θt = η + σ) = ptσ+η,σ+η+1 Dan t γk,σ,η = P (θt+1 = k|θt−σ = η, θt−σ+1 ≥ η + 1, · · · ,

θt ≥ η + σ) = P (θt+1 = k|θt = η + σ) = pσ+η,k t t Karena probabilitas γσ,η dan γk,σ,η hanya tergantung pada vt = σt + ηt , di

gunakan v sebagai bagian dari keadaan untuk menulis persamaan DP. Dari (3.25), di peroleh

(

Zt (x, v) = min cv (x, q) + α q≥0

v+1 X

t v−k+1 Pv,k Zt+1 (x + q, k)

)

(4.5)

k=0

di mana Zt adalah perkiraan biaya optimal dengan keterlambatan takbersilang dan ZT +1 (x, v) = rv (x). Dengan demikian, dimensi ruang keadaan sekali lagi direduksi menjadi dua dengan keterlambatan takbersilang. Dengan mencapai tingkat reduksi yang sama dengan keterlambatan-keterlambatan saling bebas. Juga, kasus keterlambatan acak membutuhkan ruang keadaan dua dimensi. Bila keterlambatan dimodelkan dengan rantai Markov umum, maka dimensi ruang keadaan bisa direduksi menjadi hanya tiga. Namun demikian, ini merupakan reduksi yang signifikan dari sudut pandang persamaan DP (3.13).

4.2 Kebijakan Pemesanan Persediaan Biaya satu-periode ci (x, q) dapat ditulis sebagai cq + Eh(x − Di ) = cq + hi (x)


(4.6)

34 di mana suku pertama c ≥ 0 (suku kedua yang bersesuaian h(·)) menyatakan biaya pemesanan (persediaan yang bersesuaian). Diasumsikan struktur biaya ini untuk ulasan selanjutnya. Juga diasumsikan bahwa biaya h(·) dan r(·) adalah konveks. Dalam mengembangkan kebijakan pemesanan optimal, di fokuskan pada keterlambatan Markov umum dengan menggunakan persamaan DP (3.25). Bila asumsi keterlambatan bebas atau keterlambatan takbersilang menghasilkan sifafsifat tambahan, pada dasarnya menegaskan secara spesifik. Misalkan u = x + q. Maka persamaan DP (3.25) menjadi Vt (x, σ, η) = −cx + hσ+η (x)+ ( ) σ+η X σ+η−j+1 t t min cu + α γj,σ,η Vt+1 (u, 0, j) + αγσ,η Vt+1 (u, σ + 1, η) u>x

(4.7)

j=0

di mana di ganti inf dengan min dengan mengasumsikan bahwa u optimal ada. Konveksitas biaya mengimplikasikan bahwa Vt (x, σ, η) untuk setiap t yang konveks. Maka mudah diperoleh bahwa kebijakan tipe persediaan-dasar optimal, jadi di misalkan

u∗t ≡ u∗t (x, σ, η) (

arg min cu + α u

σ+η P

σ+η−j+1 t γj,σ,η Vt+1 (u, 0, j)

)

t + αγσ,η Vt+1 (u, σ + 1, η)

j=0

Dengan demikian, kuantitas pesanan feedback optimal diberikan oleh qt∗(x, σ, η) = (u∗t − x)+ . Karena (σt, ηt ) adalah rantai Markov, maka model ini serupa dengan masalah persediaan dengan permintaan Markov. kebijakan pemesanan didefinisikan atas posisi persediaan rujukan x. Lebih jauh lagi, kuantitas u∗t (xt , σt, ηt ) adalah persediaan dasar rujukan optimal untuk diperoleh pada periode t, sebelum


35 permintaan terwujud pada periode tersebut. Dengan menggunakan pernyataan konveksitas standar, ini dapat menunjukkan optimalitas kebijakan persediaan-dasar dengan masing-masing kasus berikut : (i) keterlambatan Markov, (ii) keterlambatan bebas, dan (iii) keterlambatan takbersilang. Dengan (i), tingkat persediaan-dasar tergantung pada besarnya persediaan diamati terakhir dan keterlambatan dalam mengamati persediaan tersebut. Dengan (ii) dan (iii), tingkat persediaan dasar hanya tergantung pada jumlah periode persediaan-takdiamati. Tambahan lagi, (3.25), (4.1) dan (4.5) memungkinkan memudahkan ke masalah horizon takberhingga cukup dengan mencoret indeks waktu t. Kemudian optimalitas kebijakan persediaandasar haruslah disesuaikan dan tingkat persediaan-dasar haruslah menjadi tak tergantung pada periode saat ini t. Bukti perluasan ini bisa sangat teknis, dan merupakan topik penelitian lebih lanjut. Jika ada biaya pemesanan tetap tambahan K, yaitu ci (x, q) = Iq>0 K + cq + hi (x), maka kebijakan pemesanan optimal adalah tipe (s, S) tergantungkeadaan. Hal ini karena, masalah bisa dibentuk sebagai model persediaan standar dengan keadaan utama Markov. Pada pokoknya, ada kebijakan-(s∗t (σ, η), St∗(σ, η)) tergantung-keadaan sedemikian sehingga fungsi kuantitas pesanan optimal diberikan oleh qt∗(x, σ, η) =

   S ∗t (σ, η) − x jika x 6 s ∗t (σ, η)   0

untuk lainnya

Bila keadaan diberikan oleh (x, β, η), maka parameter optimal (s∗ , S ∗) hanya akan tergantung pada besarnya β persediaan diamati terakhir dan keterlambatan η dalam mengamati persediaan tersebut. Serupa dengan tingkat persediaan dasar optimal di atas, parameter kebijakan s∗t dan St∗ hanyalah fungsi dari jumlah peri-


36 ode persediaan-takdiamati dengan keterlambatan bebas dan keterlambatan takbersilang Catatan : Di asumsikan waktu tenggang L sama dengan nol untuk menjaga ulasan tetap sederhana. Konstanta L > 0 bisa dengan mudah dimasukkan ke dalam analisa di jika di membuat dua asumsi standar. Pertama, biaya pemesanan dibayar saat di menerima pengiriman. Dengan demikian, di bayar qt−L pada periode t. Kedua, horizon waktu diperluas menjadi T + L dengan permintaan dan biaya yang sama. Pertama-tama di definisikan yt sebagai persediaan yang ada plus semua pesanan yang belum dipenuhi pada periode t ≥ 1 : yt := It + L P 1max(t−1,1). Maka, variabel acak yt−L − DL menyatakan persediaan di dapat i=1

pada periode t ≥ L + 1. Menurut Arrow, Karlin dan Scarf (1958) dan Zipkin (2000) Ec(yt−L − DL , qt−L ) dan Er(yT +1 − DL ) dapat dibebankan pada periode t dan T + 1. Karenanya, dapat di masukkan L > 0 dengan mengganti semua biaya berbentuk ct−βt (·, ·) dan rT +1−βT +1 (·) yang dimulai dari (3.11) masing-masing dengan cL+1−βt (·, ·). Operasi ini tidak mempengaruhi bentuk kebijakan persediaan yang dikembangkan di atas.

4.3 Sensitivitas Biaya Optimal dan Persediaan Dasar Pada bagian ini, pertama-tama di selidiki sensitivitas biaya optimal atas jumlah periode persediaan-takdiamati dengan kasus keterlambatan bebas dan takbersilang. Kemudian, di kaji sensitivitas tingkat persediaan-dasar optimal untuk jumlah periode persediaan-takdiamati dengan kasus keterlambatan bebas. Dengan demikian, bagian ini hanya membahas keterlambatan bebas atau takbersilang


37 Konsep yang berguna sewaktu membahas sensitivitas adalah dipertahankannya pesanan stokastik dengan probabilitas transisi. Untuk mendefinisikan konsep ini, misalkan πt(j) := P (θt = j) untuk j ≥ 0. Kemudian di bentuk πt+1 (j) =

X

πt (i)pti,j

(4.8)

i

Andaikan bahwa πt dan πt0 adalah dua vektor probabilitas yang berbeda namun k k P P πt(j) ≤ πt0 (j) untuk setiap k ≥ 0. Maka di terurut secara stokastik, yaitu j=0

tulis

πt0

j=0

πt . Probabilitas transisi pi,j disebut mempertahankan pesanan stokastik

0 0 ≤ πt+1, untuk πt+1 dan πt+1 yang diperoleh bila πt0 πt mengimplikasikan πt+1

dengan (4.8). Dalam teorema berikut, di asumsikan bahwa probabilitas transisi tidak mengubah pesanan. Asumsi ini berlaku secara trivial untuk keterlambatan bebas. Teorema 4.3.1 Jika probabilitas transisi pti,j tidak mengubah pesanan stokastik dengan keterlambatan takbersilang, maka biaya optimal dengan kasus keterlambatan bebas dan takbersilang memenuhi Ytn+1 (x, j) ≤ Ytn (x, j + 1) dan Ztn+1 (x, j) ≤ Ztn (x, j + 1) untuk setiap non-negatip j dan n. Untuk menafsirkan Teorema 4.3.1, mari di kaji keterlambatan takbersilang dan kasus khusus n = 0. Maka teorema mengatakan bahwa Zt1(x, j) lebih kecil dari atau sama dengan Zt (x, j + 1). Dalam kedua situasi, fungsi nilai mencakup biaya yang sama dalam memenuhi j + 1 permintaan yang tidak diamati pada periode t dengan posisi persediaan rujukan x. Di lain pihak, biaya masa mendatang berbeda tergantung pada evolusi keterlambatan. Dalam situasi yang terkait dengan Zt1 (x, j) dan Zt (x, j + 1), proses keterlambatan ditandai, masing-masing,


38 oleh vt = j dan vt = j + 1. Untuk keterlambatan tak bersilang, vt = j mencirikan keterlambatan yang lebih singkat daripada vt = j + 1. Dengan demikian, teorema menyatakan bahwa menangani keterlambatan yang lebih singkat memang lebih murah. Dengan menggunakan ketaksamaan Jensen dan Teorema 7.1, di peroleh Ztn (x − µ, j) ≤ EZtn (x − D, j) = Ztn+1 (x, j) ≤ Ztn (x, j + 1) Khususnya, bila n = 0, di peroleh Zt (x − µ, 0) ≤ Zt (x, 1). Ketaksamaan terakhir ini menyatakan bahwa lebih murah mempunyai tingkat persediaan eksak pada x −µ daripada mempunyai posisi persediaan rujukan x dengan satu tingkat persediaan takdiamati. Pernyataan ini menarik karena mengungkapkan perimbangan antara persediaan dan informasi. Pengetahuan yang dipresentasikan dalam kedua paragraf terakhir juga berlaku pada keterlambatan bebas, jika ganti Zt dengan Yt pada paragraraf ini. Besarnya penurunan biaya sebagai hasil dari keterlambatan yang lebih singkat akan memegang peranan utama dalam perimbangan ini. Dalam konteks ini, perbandingan dalam Teorema 7.1 mengindikasikan bagaimana biaya berkuranig sesuai dengan keterlambatan. Karena keterlambatan stokastik hanya bisa dipesan secara parsial, metode penurunannya tidaklah unik. Metode penurunan keterlambatan secara stokastik mengharuskan peningkatan pi , j1 dan penurunan pi , j2 secara sistematik untuk j1 < j2 dan untuk setiap i. Karena keterlambatan deterministik bisa dipesan secara total, mengkaji penurunannya relatip lebih mudah. Sampai sejauh ini, telah dbandingkan biaya dalam berbagai keadaan vt = j. Sekarang di mengalihkan perhatian di untuk membandingkan tingkat persediaandasar optimal. Teorema berikut menetapkannya untuk keterlambatan bebas. De-


39 mi kemudahan, di asumsikan fungsi biaya h(·) dan r(·) terdiferensialkan kontinu dan konveks murni. Teorema 4.3.2 Untuk keterlambatan bebas, di peroleh

i)

d d Yt (x, v + 1) ≤ Yt (x, v) dx dx

ii) u∗t (v) ≤ u∗t (v + 1)

Pada umumnya, diketahui bahwa sensitivitas tingkat persediaan-dasar lebih sulit dikaji daripada sensitivitas biaya. Ini ada dibahas dalam Bensoussan et al (2005c), di mana syarat tambahan atas biaya dimasukkan untuk mendukung pernyataan dalam kasus keterlambatan konstan. Karena keterlambatan Markov mengeneralisasikan keterlambatan konstan secara signifikan, maka syarat tersebut tidak cukup dalam konteks ini. Di akhiri bagian ini dengan mencatat bahwa tingkat persediaan-dasar optimal meningkat dalam jumlah periode persediaantakdiamati, bila keterlambatan-keterlambatan saling bebas. Di perkirakan kesimpulan yang sama berlaku untuk keterlambatan Markov dengan beberapa syarat tambahan. Ini merupakan topik yang menarik untuk penelitian masa mendatang.


BAB 5 KESIMPULAN

Diperkenalkan keterlambatan informasi dinamik dan stokastik ke dalam masalah persediaan stokastik tinjauan periodik standar dengan pesanan-kembali. Ini juga memperluas Bensoussan et al (2006), di mana hanya keterlambatan konstan dan keterlambatan acak statis yang dibahas. Hasil yang sangat penting adalah reduksi keadaan yang dicapai dengan memasukkan posisi persediaan rujukan, besarnya keterlambatan diamati terakhir dan usia pengamatan ini. Hal tersebut memungkinkan dapat mencirikan evolusi keterlambatan tanpa mengamatinya sepenuhnya. Di tetapkan optimalitas kebijakan persediaan dasar, dan dengan kebijakan (s, S) jika pemesanan tetap ada. Tambahan lagi, sensitivitas biaya optimal dan persediaan dasar juga dikaji. Dengan membatasi diri pada kerangka horizon-berhingga, waktu-diskrit masalah sehingga peralihan ke keadaan horizon takberhingga tidak akan sulit. Diketahui bahwa kebijakan persediaan dasar dan kebijakan (s, S) akan tetap optimal dalam masalah horizon tak berhingga. Setelah menghasilkan beberapa model keterlambatan diasumsikan ketidaktergantungan proses keterlambatan pada persediaan, permintaan dan proses pemesanan. Dengan demikian akan muncul topik penelitian yang sangat menarik dan sekaligus menantang.

40 Roslinawati : Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Masalah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik, 2009

DAFTAR PUSTAKA Arrow, K. J., S. Karlin, H. Scarf. 1958. Studies in the Mathematical Theory of Inventory and Production. Published by Stanford University Press, CA. Axsater, S. 2001. Inventory Control. Published by Kluwer Academic Publishing. Bander, J. L., C. C. White. 1999. Markov decision processes with noise-corrupted and delayed state observations. Journal of Operational Research Society 50(6) 660-668. Bensoussan, A., M. Cakanyildirim, S. P. Sethi. 2004. Partially observed inventory systems: The case of zero balance walk. Working paper, School of Management, University of Texas at Dallas, TX. To appear in SIAM Journal on Control and Optimization. Bensoussan, A., M. Cakanyildirim, S. P. Sethi. 2005a. On the optimal control of partially observed inventory systems. Comptes Rendus Mathematique 341(7) 419-426. Bensoussan, A., M. Cakanyildirim, S. P. Sethi. 2005b. A multiperiod newsvendor problem with partially observed demand. Working paper, School of Management, University of Texas at Dallas, TX. To appear in Mathematics of Operations Research. Bensoussan, A., M. Cakanyildirim, S. P. Sethi. 2006. Optimality of base stock and (s, S) policies for inventory problems with information delays.Journal of Optimization Theory and Applications 130(2), 153-172. Beyer, D., S. P. Sethi, M. I. Taksar. 1998. Inventory models with Markovian demands and cost functions of polynomial growth. Journal of Optimization Theory and Applications 98(2) 281-323. Brooks, D. M., C. T. Leondes. 1972. Markov decision processes with state information time lag. Operations Research 20(4) 904-907. Cheng, F., S. P. Sethi. 1999. Optimality of state Dependent (s, S) policies in inventory models with Markov-modulated demand and lost sales. Production and Operations Management 8(2) 183-192. Ding, X., M. L. Puterman, A. Bisi. 2002. The censored newsvendor and the optimal acquisition of information. Operations Research 50(3) 517-527. Iglehart, D. L., R. C. Morey. 1972. Inventory systems with imperfect asset information. Management Science 18(8) B-388-B-394. Kaplan, R. S. 1970. A dynamic inventory model with stochastic lead times.Management Science 16(7) 491-507. Ko”k, G., K. Shang. 2004. Replenishment and inspection policies for systems with inventory record inaccuracy. Working paper, Fuqua School of Business, Duke University, NC. To appear in M&SOM. 41 Roslinawati : Kebijakan Pemesanan Optimal Untuk Masalah Persediaan Dengan Keterlambatan Informasi Dinamik, 2009

42 Monahan, G. E. 1982. A survey of partially observable Markov decision processes. Management Science 28(1) 1-16. Refrigerated Transporter. 2001. Monitor Workers to Stop Internal Product Theft. July issue. Article downloaded on June 3, 2004 from http://refrigeratedtrans.com/issue 20010701. Treharne, J. T., C. R. Sox. 2002. Inventory control for nonstationary demand andpartial observation. Management Science 48(5) 607-624. Axsater, S. 2001. Inventory control. Published by Kluwer Academic Publishing. Bensousan, A., M. Cakanyildiri, S. P. Sethi. 2006. Optimality of base stock and, (s, S) policies for inventori problems with information delays. Journal of Optimization Theory and Applications 130 (2), 153-172 Iglehart, D. L, R. C. Morey. 1972. Inventori System With imperfect asset information. Management Science 18(8) B-388-B-394. Kok, G., K. Shang. 2004. Replenishment and infection policies for system with inventory record inaccuracy. Working paper, Fugua School of Business, Duke University, NC. To appear in M&SOM Beyer, D., Sheti, S.P. danTaksar, M.I., Inventory Models with Markovian demands and cost function of polynomial growth. Journal of optimization and applications, vol.98, No.2, pp.281 - 323, 1998 Feng, Q, Gallego, G., Sethi, S.P., Yan, H. and Zhang, H., Are base-stock policies optimal in inventory problems with multiple delivery modes? Operations Research, to appear, 2005


KEBIJAKAN PEMESANAN OPTIMAL UNTUK MASALAH PERSEDIAAN DENGAN KETERLAMBATAN INFORMASI DINAMIK

Recommend Documents