KATA PENGANTAR Assalamu’alaikum Wr. Wb. Alhamdulillah.. Puji syukur kehadirat Allah SWT. atas segala rahmat dan hidayah-Nya. Segala pujian hanya layak kita aturkan kepada Allah SWT. Tuhan seru sekalian alam atas segala berkat, rahmat, taufik, serta petunjuk-Nya yang sungguh tiada terkira besarnya, sehingga penulis dapat
menyelesaikan
makalah
yang
penulis
beri
judul
”infersi,argument,aksioma,teorema,lemma,corollary”. Dalam penyusuna makalah ini, penulis mendapat banyak bantuan dari berbagai pihak, oleh karena itu penulis mengucapkan rasa berterimakasih yang sebesar-besarnya kepada mereka, kedua orang tua dan segenap keluarga besar penulis yang telah memberikan dukungan, moril, dan kepercayaan yang sangat berarti bagi penulis. Berkat dukungan mereka semua kesuksesan ini dimulai, dan semoga semua ini bisa memberikan sebuah nilai kebahagiaan dan menjadi bahan tuntunan kearah yang lebih baik lagi. Penulis tentunya berharap isi makalah ini tidak meninggalkan celah, berupa kekurangan atau kesalahan, namun kemungkinan akan selalu tersisa kekurangan yang tidak disadari oleh penulis. Oleh karena itu, penulis mengharapkan kritik dan saran yang membangun agar makalah ini dapat menjadi lebih baik lagi. Akhir kata, penulis mengharapkan agar makalah ini bermanfaat bagi semua pembaca. Wassalamu'alaikum Wr. Wb.
DAFTAR ISI KATA PENGANTAR------------------------------------------------------------------------DAFTAR ISI----------------------------------------------------------------------------------BAB I PENDAHULUAN-------------------------------------------------------------------A. Latar Belakang---------------------------------------------------------------------------B. Rumusan Masalah----------------------------------------------------------------------C. Tujuan -------------------------------------------------------------------------------------BAB II PEMBAHASAN--------------------------------------------------------------------A. INFERSI ----------------------------------------------------------------------------------B. ARGUMEN ------------------------------------------------------------------------------C. AKSIOMA---------------------------------------------------------------------------------D. TOREMA----------------------------------------------------------------------------------E. LEMMA------------------------------------------------------------------------------------F. COROLLARY-----------------------------------------------------------------------------BAB III KESIMPULAN--------------------------------------------------------------------DAFTAR PUSTAKA-------------------------------------------------------------------------
BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang. Salah satu karya Aristoteles adalah logika yang banyak berisi: pengertian, keputusan, pembuktian silogisme, dan lain-lain. Inti ajaran Aristoteles mengenai logika adalah Syllogismus, yaitu keputusan kedua yang tersusun sedemikian hingga melahirkan keputusan yang ketiga. Logika yang dikemukakan oleh Aristoteles dikenal sebagai logika tradisional, yang menjadi tonggak pemikiran logika. Pada abad ke-18 Masehi, G.W. Leibniz, seorang ahli matematika berkebangsaan Jerman, pertama kali mempelajari logika simbolik. Ahli matematika lainnya yang berjasa dalam pengembangan logika simbolik adalah George Boole, Leonard Euler, John Venn, dan Bertrand Russel. Secara etimologis, logika berasal dari kata Yunani ‘logos’ yang berarti kata, ucapan, pikiran secara utuh, atau bisa juga berarti ilmu pengetahuan (Kusumah, 1986). Dalam arti luas, logika adalah suatu cabang ilmu yang mengkaji penurunan-penurunan kesimpulan yang sahih (tidak valid). Proses berpikir yang terjadi di saat menurunkan atau menarik kesimpulan dari pernyataan-pernyataan yang diketahui benar atau dianggap benar itu biasanya disebut dengan penalaran. Melalui logika kita dapat mengetahui kebenaran suatu pernyataan dari suatu kalimat dan mengetahui apakah pernyataan pertama sama maknanya dengan pernyataan kedua. Misalkan, apakah pernyataan “Jika sekarang adalah hari Minggu maka sekolah libur.” sama artinya dengan “Jika sekolah libur maka sekarang adalah hari Minggu.”? Untuk menjawab pertanyaan ini tentu kita perlu mengetahui aturan-aturan dalam logika. Contoh lain, misalkan ada dua pernyataan “Jika anak pandai maka ia berprestasi di kelas. Jika ia berprestasi di kelas maka ia disayangi guru-gurunya.” Lalu, apakah dari dua pernyataan ini kita dapat menyimpulkan “Jika ia anak pandai maka ia disayangi guru-gurunya.”? Banyak hal yang perlu kita ketahui mengenai logika. Dengan logika, kita juga dapat mengetahui apakah suatu pernyataan bernilai benar atau salah. Hal terpenting yang akan didapatkan setelah mempelajari logika matematika adalah kemampuan atau keahlian mengambil kesimpulan dengan benar atau sah. Logika matematika memberikan dasar bagi sebuah pengambilan kesimpulan dan dapat digunakan dalam banyak aspek kehidupan.
B. Rumusan Masalah. Adapun masalah yang akan di bahas dalam makalah ini adalah 1. Apa yang dimaksud dengan infersi? 2. Apa saja kaedah infersi? 3. Apa yang dimaksud dengan argument? 4. Apa yang dimaksud dengan teorema? 5. Apa yang dimaksud dengan aksioma? 6. Bagaimana cara menarik kesimpulan? 7.
apa yang dimaksud dengan lemma?
8. apa yang di maksud dengan corollary? C. Tujuan. Adapun tujuan penulisan makalah ini adalah untuk mengetahui nilai kebenaran dari suatu pernyataan, operasi-operasi yang terdapat dalam logika matematika, mengetahui konvers, invers dan kontraposisi dari suatu implikasi, mengetahui mengenai tautologi dan kontradiksi, pernyataan berkuantor serta cara pengambilan kesimpulan dalam logika matematika.
BAB II PEMBAHASAN A. INFERENSI Inferensi adalah proses penarikan kesimpulan dari beberapa proposisi. Beberapa kaidah inferensi : 1. Modus Ponen Premis 1
: p →q
Premis 2
:p
______________________ …
:q
Cara membacanya : Apabila diketahui jika p maka q benar, dan p benar, disimpulkan q benar. Contoh : Premis 1
: Jika saya belajar, maka saya lulus ujian (benar)
Premis 2
: Saya belajar (benar)
________________________________________________ …
: Saya lulus ujian (T)
Baris pertama dari tabel kebenaran kondisional (implikasi) menunjukkan validitas dari bentuk argumen modus ponen. Modus Tolen : Premis 1
: p →q
Premis 2
:~q
_____________________ …
:~p
Contoh : Premis 1
: Jika hari hujan maka saya memakai jas hujan (T)
Premis 2
: Saya tidak memakai jas hujan (T)
_________________________________________________________ …
: Hari tidak hujan (benar)
Perhatikan bahwa jika p terjadi maka q terjadi, sehingga jika q tidak terjadi maka p tidak terjadi. Silogisme Hipotesis: Premis 1
: p →q
Premis 2
: q →r
_________________ …
: p →r
Contoh : Premis 1
: Jika kamu benar, saya bersalah (T)
Premis 2
: Jika saya bersalah, saya minta maaf (T)
_____________________________________________ …
: Jika kamu benar, saya minta maaf (T)
Silogisme Disjungtif Premis 1
:pÚq
Premis 2
:~q
__________________ …
:p
Jika ada kemungkinan bahwa kedua pernyataan p dan q dapat sekaligus bernilai benar, maka argumen di bawah ini tidak valid.
Premis 1
:p∨q
Premis 2
:q
___________________ …
:~p
Tetapi jika ada kemungkinan kedua pernyataan p dan q tidak sekaligus bernilai benar (disjungsi eksklusif), maka sillogisma disjungtif di atas adalah valid. Contoh : 1. Premis 1 Premis 2
: Pengalaman ini berbahaya atau membosankan (T) : Pengalaman ini tidak berbahaya (T)
_______________________________________________________ …
: Pengalaman ini membosankan (T)
2. Premis 1 Premis 2
: Obyeknya berwarna merah atau sepatu : Obyek ini berwarna merah
_____________________________________________ …
: Obyeknya bukan sepatu (tidak valid) Simplikasi
Premis 1
: p^q
__________________ …
: p
Contoh : Premis 1
: Hamid adalah mahasiwa ITB dan Unes
_________________________________________________________ …
: Hamid adalah mahasiwa ITB
Konjungsi
Premis 1
:p
Premis 2
:q
__________________ …
:pΛq
Artinya : p benar, q benar. Maka p Λ q benar. Tambahan (Addition) Premis 1
:p
__________________ …
:pνq
Artinya : p benar, maka p ν q benar (tidak peduli nilai benar atau nilai salah yang dimiliki q). B. Argumen Argumen adalah suatu deret proposisi yang ditulis sebagai p1 p2 p3 . . pn yang dalam hal ini, p1,p2,p3….. pn disebut hipotesis (premis), dan q disebut klonkusi. Argument hanya bernilai sahih (valid) dan palsu (invalid). Catatlah bahwa kata “valid” tidak sama maknanya denga kata “benar(True)”. Contoh argument : “jika air laut surut setelah gempa di laut, maka tsunami datang.air laut surut setelah gempa di laut. Karena itu tsunami datang.”
Adalah sahih. Penyelesaian: Misalkan p adalah “jika air laut surut setelah gempa di laut” dan q adalah proposisi “tsunami datang. Makadapat ditulis sebagai berikut : Premis 1
: p→q
Premis 2
:q
__________________ …
:q
C. Aksioma, teorema, lemma, corollary Aksioma adalah proposisi yang diasumsikan benar, aksioma tidak memerlukan pembuktian kebenaran lagi. Contoh aksioma : Untuk semua bilangan real x dan y, berlaku x + y = y + x (hukum komutatif penjumlahan) Teorema adalah proposisi yang sudah terbukti benar. Contoh teorema: Jika dua sisi dari sebuah segitiga sama panjang, maka sudut yang berlawanan dengan sisi tersebut sama besar. Lemma adalah teorema yang digunakan dalam pembuktian teorema lain. contoh lemma: jika n adalah bilangan bulat positif, maka n-1 bilangan positif atau n-1 = 0. Carollary adalah teorema yang mengikuti teorema lain. Contoh carollary: Jika sebuah segitiga sama sisi,maka segitiga tersebut sama sudut. Carolarry ini mengikuti teorema diatas.
